MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)"

Transcript

1 TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003

2 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks mõisteks on lause. Kuid mitte iga keeleliselt korrektne lause ei ole matemaatilise loogiks lause. Matemaatilises loogikas nimetatakse lauseks ainult niisugust väljendit, mille korral saab rääkida selle sisu vastavusest või mittevastavusest tegelikkusele. Kui lause sisu vastab tegelikkusele, siis nimetatakse seda lauset tõeseks. Kui aga lause sisu ei vasta tegelikkusele, siis nimetatakse seda lauset vääraks. Lause tegelikkusele vastavuse määr on lause tõeväärtus. Iga lause on kas tõene või väär, kolmandat võimalust ei ole. Nii on näiteks lause "Tallinn on Eesti Vabariigi pealinn" tõene, lause "2 3 > 10" väär. Kuid väljendid nagu "Mis on uudist?", "Head aega", "Korrutage arvud 5 ja 9", "x - 8 = 10" ei ole lausearvutuse lauseteks, sest ei ole võimalik määrata nende tõeväärtust. Matemaatilise loogiks lauseid tähistatakse väikeste tähtedega nagu a, b, c,, p, q, r,. Tõese lause tõeväärtuse tähiseks on t, väära lause tõeväärtuse tähiseks aga v. Kui näiteks lause a on tõene, b aga väär, siis kirjutatakse seda lühidalt võrdusena: a = t, b = v. 2.LOOGILISED TEHTED Loogiliste tehete abil moodustatakse lausetest liitlauseid. Lauseid, millest liitlause moodustatakse, nimetatakse komponentlauseteks. Liitlause nagu iga komponentlausegi, võib olla kas tõene või väär. Liitlauseid võib moodustada ka komponentlausetest, mis ei oma sisulist ühtsust. Liitlause tõeväärtus sõltub komponentlausete tõeväärtusest ning loogilisest tehtest, mitte otseselt liitlause sisu vastavusest tegelikkusele. Iga lauset võib vaadelda samuti liitlausena. Tähistame vaadeldavad laused järgmiselt: "Tallinn on Eesti Vabariigi pealinn" a, "Pärnu on Eesti Vabariigi pealinn" b, "Riia on Läti Vabariigi pealinn" c, "Riia on Leedu Vabariigi pealinn" d Konjunktsioon On ilmne, et eespool nimetatud lausete tõeväärtused on a = t, b = v, c = t, d = v. Moodustame antud lausetest liitlause sidesõnaga "ja": "Tallinn on Eesti Vabariigi pealinn ja Riia on Läti Vabariigi pealinn". Arvestades komponentlausete tähistusi ning seda, et saadud liitlause on tõene, võime kirjutada, et a c = t t = t, kus märk " " asendab sõna "ja". Liitlauses "Tallinn on Eesti Vabariigi pealinn ja Riia on Leedu Vabariigi pealinn" on teine komponentlause väär ja ka liitlauset loetakse vääraks. Lühidalt kirjutame seda kujul: a d = t v = v. Liitlauses "Pärnu on Eesti Vabariigi pealinn ja Riia on Läti Vabariigi pealinn" on esimene komponentlause väär ning ka liitlause loetakse vääraks. Seda kirjutame järgmiselt: b c = v t = v. Kuid liitlauses "Pärnu on Eesti Vabariigi pealinn ja Riia on Leedu Vabariigi pealinn" on mõlemad komponentlaused väärad ja ka liitlauset loetakse vääraks. Seega, b d = v v = v. 2

3 Esitatud liitlausete tõeväärtused määrasime vastavalt liitlause sisule. Matemaatilises loogikas ühendatakse liitlauseteks ka sisulist ühtsust mitteomavaid komponentlauseid. Et sidesõna "ja" abil saadud liitlause tõeväärtus oleks alati määratav, defineeritakse üldjuhul loogiline tehe, mille sõnaliseks vasteks on "ja" järgmiselt: Kahe lause a ja b konjunktsiooniks nimetatakse liitlauset a b (loetakse : a ja b), mis on tõene siis ja ainult siis, kui mõlemad komponentlaused a ja b on tõesed. Hea ülevaate konjunktsiooni a b tõeväärtuste sõltuvusest komponentlausete a ja b tõeväärtustest annab järgmine tabel, mida nimetatakse konjunktsiooni tõeväärtustabeliks. a b a b t t t t v v v t v v v v Konjunktsiooni nimetust kannab nii liitlause (a b) kui ka loogiline tehe ( ), mille abil see liitlause on moodustatud. Et komponentlausete sisuline ühtsus pole nõutav, siis võib vaadelda ka näiteks järgmisi konjunktsioone: "3 > M 2", (10 M 2 loetakse: "10 jagub kahega") "Oskar Luts on eesti kirjanik 7 on paarisarv", "6 on paaritu arv -2 = 2". Neist esimene on tõene, kaks viimast väärad Disjunktsioon Moodustame lausetest a, b, c ja d liitlauseid sidesõnaga "või", mis vastab loogilise tehte märgile " ". "Tallinn on Eesti Vabariigi pealinn või Riia on Läti Vabariigi pealinn". Et siin mõlemad komponentlaused on tõesed, siis on ka nende disjunktsioon tõene. Seega a c = t t = t. Liitlauses "Tallinn on Eesti Vabariigi pealinn või Pärnu on Eesti Vabariigi pealinn" on esimene komponentlause tõene, teine väär, kuid liitlause loetakse tõeseks. Seda märgime lühidalt a b = t v = t. Liitlauses "Pärnu on Eesti Vabariigi pealinn või Riia on Läti Vabariigi pealinn" on aga esimene komponentlause väär, teine tõene. Viimane liitlause loetakse samuti tõeseks: b c = v t = t. Kuid liitlauses "Pärnu on Eesti Vabariigi pealinn või Riia on Leedu Vabariigi pealinn" on mõlemad komponentlaused väärad. Liitlause loetakse sel juhul vääraks: b d = v v = v. Vaadeldud liitlaused, mis on saadud komponentlausete ühendamisel sidesõnaga "või" kannavad ühist nimetust - disjunktsioon. Kahe lause a ja b disjunktsiooniks nimetatakse liitlauset a b (loetakse: a või b), mis on väär siis ja ainult siis, kui mõlemad komponentlaused a ja b on väärad. Moodustame disjunktsiooni tõeväärtustabeli. 3

4 a b a b t t t t v t v t t v v v tähelepanu ka korrektsele vormistusele): "t on algarv (-1) 2 = 1 2 " = t t = t; "2 M 3 või (-1) 2 > 0" = v t = t. Kirjutist -2 0 mõistetakse disjunktsioonina -2 < 0-2 = 0, mis on tõene, sest t v = t. Kuid kirjutist 0 < 2 < 4 mõistetakse konjunktsioonina 2 < 4 2 > 0, mis on tõene, sest t t = t Implikatsioon Analüüsime järgmist Peetri poolt oma sõbrale öeldud lauset: "Kui ma tulen homme kooli, siis toon Sulle huvitava raamatu". Tähistame komponentlaused järgmiselt: "Ma tulen homme kooli" k, "Ma toon Sulle huvitava raamatu" r. Et sõnaühend "kui, siis" on keeleliseks vasteks implikatsiooni märgile " ", siis võime esitatud liitlause sümbolites kirjutada kujul k r. Vaatleme, millised on liitlause k r tõeväärtused olenevalt komponentlausete tõeväärtustest. 1 0 Oletame, et Peeter tuli kooli ja tõi sõbrale lubatud raamatu. Siis on mõlemad komponentlaused tõesed ning ka Peetri öeldud lause on tõene. Seega k r = t t = t. 2 0 Juhul, kui Peeter tuli kooli (k = t), kuid sõbrale huvitavat raamatut ei toonud (r = v), siis Peeter oma lubadust ei täitnud. Järelikult k r = t v = v. 3 0 Kui Peeter ei tulnud kooli (k = v), kuid lubatud raamatu saatis sõbrale (r = t), siis Peeter täitis oma lubaduse sõbra suhtes. Seega k r = v t = t. 4 0 Kui aga Peeter kooli ei tulnud ( k = v) ning sõbrale huvitavat raamatud ei toonud (r = v), siis ei saa ka Peetrit süüdistada valetamises, sest ta lubas ju raamatu tuua siis, kui ta tuleb kooli. Sel juhul tuleb Peeter õigeks mõista: k r = v v = t. Näitena vaadeldud liitlause on komponentlausete k ja r implikatsioon. Üldiselt: Kahe lause a ja b implikatsiooniks nimetatakse liitlauset a b (loetakse: kui a, siis b), mis on väär siis ja ainult siis, kui esimene komponentlause a on tõene ning teine komponentlause b on väär. Teeme implikatsiooni tõeväärtustabeli: a b a b t t t t v v v t t v v t Disjunktsiooniks nimetatakse ka seda tehet, mille abil saadakse vastav liitlause. Vaatleme veel näiteks ka järgmisi disjunktsioone ja nende tõeväärtusi (pöörake Vastavalt definitsioonile tuleb tõesteks lugeda näiteks järgmised implikatsioonid: "kui 2 on algarv, siis Tartu asub Emajõe ääres", "kui 2 2 = 5, siis 3 3 = 9", "kui 6 on algarv, siis -3 < 3". 4

5 Implikatsioon "Kui 2 2 = 4, siis 6 on algarv" on aga väär, sest t v = v. Implikatsiooni nimetust kannab ka loogiline tehe, mille märgiks on " " Ekvivalents Moodustame lausetest "Arvu 27 ristsumma jagub 3-ga" a, "Arv 27 jagub 3-ga" b implikatsioonid: "Kui arvu 27 ristsumma jagub 3-ga, siis arv 27 jagub 3-ga", ehk a b, ja "Kui arv 27 jagub 3-ga, siis arvu 27 ristsumma jagub 3-ga", ehk b a.. Rakendades saadud implikatsioonidele konjunktsiooni, saame uue liitlause: "Kui arvu 27 ristsumma jagub 3-ga, siis arv 27 jagub 3-ga, ja kui arv 27 jagub 3-ga, siis arvu ristsumma jagub 3-ga", mida sümbolites kirjutame kujul (a b) (b a) ehk lühemalt a b. Viimast kirjutist loetakse: a siis ja ainult siis, kui b ehk vaadeldud näite korral " Arv 27 jagub 3-ga siis ja ainult siis, kui arvu 27 ristsumma jagub 3-ga". Antud juhul on komponentlaused ja ka liitlause tõene. Seega a b = t t = t. Tõeseks loetakse ka liitlause "Arv 16 jagub 3-ga siis ja ainult siis, kui arvu 16 ristsumma jagub 3-ga". Siin on mõlemad komponentlaused väärad. Liitlaused "Arv 27 jagub 3-ga siis ja ainult siis, kui arvu 16 ristsumma jagub 3- ga" ning "Arv 16 jagub 3-ga siis ja ainult siis, kui arvu 27 ristsumma jagub 3-ga" loetakse vääradeks. Neis on komponentlaused erinevate tõeväärtustega. Vaadeldud näited tuginevad järgmisele ekvivalentsi definitsioonile: Kahe lause a ja b ekvivalentsiks nimetatakse liitlauset a b (loetakse: a siis ja ainult siis, kui b), mis on tõene siis ja ainult siis, kui mõlemad komponentlaused a ja b omavad ühesuguseid tõeväärtusi. Järgmine tabel on ekvivalentsi tõeväärtustabel. a b a b t t t t v v v t v v v t kui Tartu on miljonilinn". Ekvivalentsiks nimetatakse ka loogilist tehet, mille tulemusena saadakse vastav liitlause Eitus Moodustame lausest "Stockholm on Soome pealinn" s uue lause sõnade pole tõsi, et abil: "Pole tõsi, et Stockholm on Soome pealinn", mida märgime sümboliga s. Näeme, et s = v ja s = t. Antud juhul on moodustatud lähtelause s eitus. Lause a eituseks nimetatakse liitlauset øa (loetakse: pole tõsi, et a ehk a eitus), mis on tõene siis ja ainult siis, kui lause a on väär. Lause a eituse tõeväärtustabel on järgmine: a t v a v t Ekvivalentsi definitsiooni põhjal tuleb lugeda tõesteks näiteks järgmised liitlaused: "Arv 7 on algarv siis ja ainult siis, kui 8 2 = 64", "2 > 7 siis ja ainult siis, Seega, väära lause eitus on tõene ning tõese lause eitus väär. Tehet, mille abil saadakse lausest selle eitus, nimetatakse samuti eituseks. 5

6 Eitus on ainus loogiline tehe, mida saab rakendada ka ainult ühele lausele. Ülejäänud loogiliste tehete - konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents - rakendamiseks peab olema vähemalt kaks komponentlauset. 3. LIITLAUSE TÕEVÄÄRTUSED Vaadeldud loogilisi tehteid võib rakendada ka enam kui kahele komponentlausele. Nii võib moodustada liitlaused p øq, (ør q) p ja (p q) ø(p q). Sulud näitavad ka siin tehete järjekorda. Lausearvutuse üks põhilisi ülesandeid ongi liitlause tõeväärtuste leidmine Liitlause tõeväärtused komponentlausete etteantud tõeväärtuste korral Kui komponentlausete tõeväärtused on ette antud, siis liitlause tõeväärtuse leidmiseks tuleb komponentlaused asendada nende tõeväärtustega ning arvestada tehete järjekorda ja loogiliste tehete definitsioone. Leiame näiteks liitlause (øp q) (p q) tõeväärtuse, kui on teada, et p = t ja q = v. Arvutuskäigu kirjutame üles järgmiselt: ( p q) (p q) = ( t v) (t v) = (v v) v = t v = t. Järelikult, komponentlausete tõeväärtuste p = t ja q = v korral on liitlause ( p q) (p q) tõene. Leiame veel ka liitlause ø[(p øq) ør] tõeväärtuse, kui p = v, q = t, r = t. Siis [(p q) r] = [(v t) t]= [(v v) v ] = (v v) = t = v. Seega, kui p = v, q = t ja r = t, on liitlause [(p q) r] väär Tõeväärtustabelid Kui komponentlausete tõeväärtused pole ette antud, siis määratakse liitlause tõeväärtused komponentlausete tõeväärtuste kõikvõimalike kombinatsioonide korral. Seda on otstarbekas teha tabeli kujul, mida nimetatakse liitlause tõeväärtustabeliks. Koostame näiteks liitlause (øp q) (p q) tõeväärtustabeli. Tabeli peasse kirjutame komponentlaused p ja q ning üksikud tehted nõutavas järjekorras (vt järgnevat tabelit). Kahekomponentlause korral on 4 võimalikku tõeväärtuste kombinatsiooni. Nendega täidamegi komponentlausete p ja q tõeväärtuste veerud ning seejärel täidame tabeli ülejäänud veerud, arvestades vastavaid loogilisi tehteid. Liitlause ( p q) (p q) tõeväärtused on tabeli viimases veerus. Näeme, et antud liitlause on väär vaid ühel juhul, ja nimelt siis, kui mõlemad komponentlaused on väärad (p = v ja q = v). Punktis 3.1 arvutatud sama liitlause tõeväärtusele komponentlausete etteantud tõeväärtuste korral (p = t ja q = v) vastab tabeli teine rida. p q p p q p q ( p q) (p q) t t v t t t t v v t v t v t t t v t v v t v v v 6

7 Esitame näitena ka kolme komponentlausega liitlause ø(p ø q) r tõeväärtustabeli (järgnev tabel). Nägime, et kui liitlauses on 2 komponenti, siis nende tõeväärtuste erinevaid kombinatsioone on 2 2 = 4. Kolme komponentlause korral on nende tõeväärtuste erinevaid kombinatsioone 2 3 = 8, nelja komponentlause korral 2 4 = 16, n komponentlause korral siis 2 n erinevat tõeväärtuste kombinatsiooni. (Et tõeväärtustabel sisaldaks komponentlausete tõeväärtuste kõiki erinevaid kombinatsioone, on soovitatav komponentlausete tõeväärtuste veerud täita kindla süsteemi järgi (vt eelmist ja järgmist tabelit)). p q r q p q (p q) (p q) r t t t v t v v t t v v t v t t v t t t v v t v v t t v t v t t v v t t v t v v v t v v v t t t v v v v v t t v t Liitlausete tõeväärtustabeleid saab kasutada ka teatud liiki tekstülesannete lahendamiseks. Selleks eraldame liitlause komponentlaused, tähistame need ja kirjutame liitlause kujul esitatud ülesande tingimused sümbolites. Saadud liitlause tõeväärtustabelist leiame vastuse ülesandes püstitatud küsimusele. Lahendame näitena järgmise ülesande. Ühes perekonnas on lõunasöögi suhtes kujunenud tavaks, et kui süüakse suppi, siis süüakse ka praadi, ja kui suppi ei sööda, siis süüakse magustoitu, ja kui süüakse salatit, siis ei sööda praadi. Kas lõunasöögiks on ka magustoit, kui salat on juba laual? Tähistame komponentlaused järgmiselt. "Süüakse suppi " s, "Süüakse magustoitu" m, "Süüakse praadi" p, "Süüakse salatit" a. Antud tingimused kirjutame sümbolites järgmiselt: (s p) ( s m) (a p). Kuna ülesandes on antud, et salatit süüakse, siis lause a on tõene. Ülejäänud komponentlausete s, p ja m kohta pole teada, kas nad on tõesed või väärad, seepärast tuleb nende suhtes vaadelda kõiki võimalusi, mida on kokku 8. Koostame liitlause tõeväärtustabeli. a s p m s p s s m p a p (s p) ( s m) (a p) t t t t t v t v v v t t t v t v t v v v t t v t v v t t t v t t v v v v t t t v t v t t t t t v v v t v t v t t v v v v t v v t t t t t t t t v v v t t v t t v 7

8 Siit ilmneb, et vaadeldav liitlause on tõene ainult ühel juhul, ja nimelt siis, kui a = t, s = v, p = v, m = t. See aga tähendab, et sel juhul on ülesande tingimused kooskõlas. Ja komponentlausete tõeväärtuste põhjal saamegi vastuse ülesandes püstitatud küsimusele: kui süüakse salatit ( a = t), siis süüakse ka magustoitu (m = t). Vastus: Kui süüakse salatit, siis süüakse ka magustoitu. 4. SAMASELT TÕESED, SAMASELT VÄÄRAD NING KEHTESTATAVAD LIITLAUSED Vaatleme liitlausete ø a (a b), ø [a (b a)] ja a ø b tõeväärtustabeleid. a b a a b øa (a b) b a a (b a) ø [a (b a)] b a øb t t v t t t t v v v t v v v t t t v t t v t t t t v t v v t v v t t t t t v t t Siit ilmneb, et liitlause ø a (a b) on tõene komponentlausete tõeväärtuste kõigi kombinatsioonide korral (tabeli 4. veerg). Sel juhul öeldakse, et vaadeldav liitlause on samaselt tõene ja kirjutatakse ø a (a b) t. Liitlause ø [a (b a)] on aga väär komponentlausete tõeväärtuste kõigi kombinatsioonide korral, st ta on samaselt väär: ø [a (b a)] v. Kolmas liitlause a øb omandab nii tõeväärtusi t kui ka v, st on kehtestatav. Liitlauset nimetatakse samaselt tõeseks, kui ta on tõene komponentlausete tõeväärtuste kõigi kombinatsioonide korral Liitlauset nimetatakse samaselt vääraks, kui ta on väär komponentlausete tõeväärtuste kõigi kombinatsioonide korral. Liitlauset nimetatakse kehtestatavaks, kui ta on tõene komponentlausete tõeväärtuste vähemalt ühe kombinatsiooni korral. Järelikult on iga samaselt tõene liitlause ka kehtestatav. Kogu liitlausete hulk L jaotub kaheks osahulgaks. samaselt väärate ehk mittekehtestatavate liitlausete hulk V ning kehtestatavate liitlausete hulk K, kusjuures nende ühisosa on tühihulk, st V K =. Samaselt tõeste liitlausete hulk T on aga kehtestatavate liitlausete hulga osahulk - T K. Illustreerime seda joonisega: V K T Seega siis - et teha kindlaks, kas liitlause on samaselt tõene, samaselt väär või kehtestatav, koostame selle tõeväärtustabeli. 5. SAMAVÄÄRSED LIITLAUSED Vaatleme liitlauseid a (b c) ja (a b) (a c). 8

9 a b c b c a (b c) a b a c (a b) (a c) t t t t t t t t t t v t t t v t t v t t t v t t t v v v v v v v v t t t v v v v v t v t v v v v v v t t v v v v v v v v v v v v Tabelist ilmneb, et liitlausete a (b c) ja (a b) (a c) tõeväärtused ühtivad komponentlausete tõeväärtuste iga kombinatsiooni korral. Seepärast on need liitlaused samaväärsed. Liitlauseid nimetatakse samaväärseteks, kui nad omavad ühesuguseid tõeväärtusi komponentlausete tõeväärtuste iga kombinatsiooni korral. Liitlausete samaväärsust tähistatakse samuti nagu algebraliste avaldiste samaväärsustki ( ). Niisiis, a (b c) (a b) (a c). Vaatleme veel liitlauseid ø(p q) ja øp øq. p q p q ø(p q) p q øp øq t t t v v v v t v v t v t v v t v t t v v v v v t t t t Nende lausete tõeväärtustabelist selgub, et antud liitlausete tõeväärtused kahel juhul, st komponentlausete kahe tõeväärtuste kombinatsiooni korral ei ühti. Vaadeldavad liitlaused ei ole samaväärsed, mida tähistame järgmiselt: ø(p q) øp øq. Koostame tõeväärtustabelid ka liitlausetele p q, q p, p q, q p, p q, q p, p q, q p. p q p q q p p q q p p q q p p q q p t t t t t t t t t t t v v v t t v t v v v t v v t t t v v v v v v v v v t t t t Tabelist ilmneb, et p q q p, p q q p ja p q q p, kuid p q q p. Et konjunktsiooni, disjunktsiooni ja ekvivalentsi tõeväärtus ei muutu komponentlausete järjekorra muutmisel, siis on need loogilised tehted kommutatiivsed. Implikatsioon aga ei ole kommutatiivne. Seepärast tuleb implikatsiooni korral silmas pidada komponentlausete järjekorda. Rida samaväärseid liitlauseid on võetud lausearvutuse põhisamasusteks. Neid kasutatakse liitlausete teisendamiseks lihtsamale kujule nii nagu näiteks algebra põhivalemeid (samasusi) kasutatakse algebraliste avaldiste lihtsustamiseks. 9

10 PÕHISAMASUSED:1 0 ø ø p p 2 0 p q q p 3 0 (p q) r p (q r) p q r 4 0 p q q p 5 0 (p q) r p (q r) p q r 6 0 p (q r) (p q) (p r) 7 0 p (q r) (p q) (p r) 8 0 ø(p q) øp øq 9 0 ø(p q) øp øq 10 0 p p p 11 0 p p p 12 0 p q øp q 13 0 p q (p q) (øp øq) 14 0 p q (p øq) (øp q) 15 0 p t p 16 0 p v v 17 0 p t t 18 0 p v p 19 0 p ø p t 20 0 p ø p v 6. LIITLAUSETE TEISENDAMINE Loogilised tehted konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents ja eitus ei ole üksteisest sõltumatud, ükskõik millist liitlauset on võimalik teisendada põhisamasuste abil näiteks kujule, mis loogilistest tehetest sisaldab kas ainult konjunktsiooni ja eitust või disjunktsiooni ja eitust. Liitlause teisendamist temaga samaväärseks liitlauseks nimetatakse samasusteisenduseks. Samasusteisendusi kasutatakse liitlausete lihtsustamiseks ja liitlausete samaväärsuse näitamiseks. Lihtsustame näiteks liitlauset ø(p q) (q p). (p q) (q p) ( 7 0 ) 0 ( 0 0 (12 ) ( p q) ( q p) 8,1 ) (11 0 ) (p q) q p (p q p) ( q q p) (p q) ( q p) p q. Teisendame liitlauset (p q) ø(øp q) r nii, et märk " " esineks ainult komponentlausete ees: ( 0 0 (p q) ( p q) r 12,1 ) ( 8 0 ) ( p q) (p q) r ( p q) ( p q) r. Tõestame näiteks samaväärsuse øp (p q) ø p q. ( 7 0 ) p (p q) p q ( p p) ( p q) t ( p q) p q. Lahendame samasusteisenduste abil ka nn lõunasöögi ülesande (vt lk 7-8 ). Teisendame ülesande tingimuste põhjal koostatud liitlauset, kasutades põhisamasusi ning arvestades, et a = t: 10 (19 0 ) (10 0 ) (15 0 ) ( 7 0 )

11 (s p) ( s m) (a p) ( s p) (s m) ( t p) ( s p) (s m) p ( s s p) ( s m p) (p s p) (p m p) s m p. Selleks, et antud liitlause oleks tõene, peavad olema konjunktsiooni definitsiooni järgi s = t, m = t ja p = t ehk s = v, m = t ja p = v. Seega lõunasöögiks on ka magustoit ( m = t), kui salat on laual (a = t), nagu me ka eelmises selle ülesande lahenduses saime. Ka liitlause tõeväärtustabelit on hõlpsam koostada, kui liitlause on eelnevalt teisendatud lihtsamale kujule. ÜLESANDED 1. Määrata järgmiste liitlausete tõeväärtused: 1) "15 M 7 ja 12 M 2", 2) "15 M 7 või 12 M 3", 3) "1 5 või 3 on paarisarv", 4) "kui 3 > 2, siis 3 5", 5) "kui 3 < 2, siis 3 5", 6) "6 M 3 siis ja ainult siis, kui 6 > 3". 2. Esitada järgmised liitlaused konjunktsiooni või disjunktsiooni kujul ning leida tõeväärtused: 1) "2 3" 3) "tan45 0 1" 5) "3 < π < 4" 2) "2 3" 4) "0 < 2 < 1" 6) "2 < 5 <3". 3. Eraldades ja tähistades komponentlaused, kirjutada järgmised liitlaused sümbolites ja määrata võimaluse korral nende tõeväärtused: 1) arv 15 jagub 3-ga siis ja ainult siis, kui arvu 15 ristsumma jagub 3-ga 2) kui 3 = -3, siis 3 2 = (-3) 2 3) 2 6 > 11 siis ja ainult siis, kui 5 < 2 4) kui sirge läbib raadiuse otspunkti ringjoonel ja on risti raadiusega, siis see sirge on ringjoone puutuja 5) kui sirge on ringjoone puutuja, siis ta on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega 6) sirge on ringjoone puutuja siis ja ainult siis, kui ta läbib raadiuse otspunkti ringjoonel ja on risti raadiusega. 4. Järgmistes liitlausetes kirjutada punktide asemele sidesõna "ja" või "või" nii, et liitlause oleks tõene: 1) "a 0.. b 0 korral a b 0" 2) "Kui ab < 0, siis a < 0.. b > 0.. a > 0.. b < 0" 3) "Kui a > 0.. b > 0, siis b a > Moodustada järgmiste lausete eitused sümboli " " abil ning määrata nende tõeväärtused: 1) "2 < 3" 3) "5 = 5" 5) "2 3" 11

12 2) "5 7" 4) "0,4 0,9" 6) "2 > 3". 6. Leida järgmiste liitlausete tõeväärtused: 1) p [(p r) q], kui p = t, q = t, r = v; 2) (p r) ( q r), kui p = v, q = t, r = t; 3) [ q (p r)], kui p = t, q = v, r = t. 7. Koostada järgmiste liitlausete tõeväärtustabelid (liitlauseid eelnevalt lihtsustamata) 1) (p q) q 3) (p q) (p p) 5) (q r) (p q) 2) p (q p) 4) ( p r) (p q) 6) q (p r) 8. Suvelaagrist naasnud Peeter vastab sõprade küsimustele toidu suhtes järgmist: "Kui ei antud kartuleid, siis anti hapukapsast, ja kui anti kartuleid ja hapukapsast, siis ei antud lillkapsast, ja kui anti lillkapsast ning ei antud kartuleid, siis ei antud ka hapukapsast". Milliseid nimetatud produktidest anti koos; mitu võimalust on? 9. Kokkuleppe kohaselt on asutuste A, B ja C poolt välja töötatud uue projekti kinnitamise kord järgmine: kui projekti kinnitamisest võtavad alguses osa A ja B, siis peab nendega ühinema ka asutus C. Kui kinnitamine toimub asutustes B ja C, siis peab nendega ühinema ka asutus A. Kas on võimalik, et projekt kinnitatakse ainult asutustes A ja C ning asutuse b osavõtt pole vajalik? 10. Perekond on puhkuse suhtes otsustanud, et kui nad sõidavad Helsingisse, siis ei sõida nad Hiiumaale, ja kui nad sõidavad Helsingisse, siis sõidavad nad ka Stockholmi, ja nad sõidavad Stockholmi ja mitte Hiiumaale. Mitu reisivõimalust on ja millised need on? 11. Tõeväärtustabelite abil otsustada, milline järgmistest liitlausetest on samaselt tõene, samaselt väär või kehtestatav: 1) (a b) a b 3) a (b a) 5) (p q) (p q) 2) a (b a) 4) (a b) (a b) 6) (p q) ( p q). 12. Kasutades põhisamasusi lihtsustada järgmised liitlaused: 1) ( a b) (a b) b 4) (p q) ( q p) 2) ( p q) [(p q) p] 5) (p q) (p q) 3) (a b) (a b) 6) [p q (p q)]. ******************************************************************** Kontrolltöödes lahendamisele kuuluvad ülesanded: I variant: 1(1,6); 2(3,6); 3(2,5); 4(2); 5(1,6); 6(3); 7(1,5); 8; 11(1,4); 12(3,6) II variant: 1(2,5); 2(2,5); 3(1,4);4(1); 5(2,5); 6(2); 7(2,6); 9; 11(2,6); 12(1,4) III variant: 1(3,4); 2(1,4); 3(3,6); 4(3); 5(3,4); 6(1); 7(3,4); 10; 11(3,5); 12(2,5) Kontrolltööks M - tuleb teil lahendada. variandi ülesanded. Kontrolltöö ärasaatmise viimane tähtaeg on.. 12

Kompleksarvu algebraline kuju

Kompleksarvu algebraline kuju Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on

Διαβάστε περισσότερα

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58

Διαβάστε περισσότερα

Lokaalsed ekstreemumid

Lokaalsed ekstreemumid Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetrilised vektorid

Geomeetrilised vektorid Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse

Διαβάστε περισσότερα

Funktsiooni diferentsiaal

Funktsiooni diferentsiaal Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral

Διαβάστε περισσότερα

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori

Διαβάστε περισσότερα

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}

Διαβάστε περισσότερα

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning

Διαβάστε περισσότερα

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2 PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused

Διαβάστε περισσότερα

Ehitusmehaanika harjutus

Ehitusmehaanika harjutus Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative

Διαβάστε περισσότερα

Kontekstivabad keeled

Kontekstivabad keeled Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,

Διαβάστε περισσότερα

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1 laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad

Διαβάστε περισσότερα

HULGATEOORIA ELEMENTE

HULGATEOORIA ELEMENTE HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad

Διαβάστε περισσότερα

PLASTSED DEFORMATSIOONID

PLASTSED DEFORMATSIOONID PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb

Διαβάστε περισσότερα

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed

Διαβάστε περισσότερα

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon 2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides

Διαβάστε περισσότερα

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke

Διαβάστε περισσότερα

9. AM ja FM detektorid

9. AM ja FM detektorid 1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid

Διαβάστε περισσότερα

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti

Διαβάστε περισσότερα

,millest avaldub 21) 23)

,millest avaldub 21) 23) II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.

Διαβάστε περισσότερα

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD 1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki

Διαβάστε περισσότερα

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.

Διαβάστε περισσότερα

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika

Διαβάστε περισσότερα

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008 Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub

Διαβάστε περισσότερα

; y ) vektori lõpppunkt, siis

; y ) vektori lõpppunkt, siis III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: http://www.allaveelmaa.com/ematejalid/vekto-koodinaadid-pikkus.pdf Vektoite lahutamine: http://allaveelmaa.com/ematejalid/lahutaminenull.pdf

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja

Διαβάστε περισσότερα

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1 κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii

Διαβάστε περισσότερα

Analüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets

Analüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets Analüütilise geomeetria praktikum II L. Tuulmets Tartu 1985 2 Peatükk 4 Sirge tasandil 1. Sirge tasandil Kui tasandil on antud afiinne reeper, siis iga sirge tasandil on selle reeperi suhtes määratud lineaarvõrrandiga

Διαβάστε περισσότερα

Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist

Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist Loeng 2 Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist P2 - tuleb P1 lahendus T P~Q = { x P(x)~Q(x) = t} = = {x P(x)

Διαβάστε περισσότερα

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010 KTEGOORITEOORI Kevad 2010 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS

Διαβάστε περισσότερα

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud... Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega

Διαβάστε περισσότερα

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass 2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH

Διαβάστε περισσότερα

Formaalsete keelte teooria. Mati Pentus

Formaalsete keelte teooria. Mati Pentus Formaalsete keelte teooria Mati Pentus http://lpcs.math.msu.su/~pentus/ftp/fkt/ 2009 13. november 2009. a. Formaalsete keelte teooria 2 Peatükk 1. Keeled ja grammatikad Definitsioon 1.1. Naturaalarvudeks

Διαβάστε περισσότερα

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad Eesti LIV matemaatikaolümpiaad 31. märts 007 Lõppvoor 9. klass Lahendused 1. Vastus: 43. Ilmselt ei saa see arv sisaldada numbrit 0. Iga vähemalt kahekohaline nõutud omadusega arv sisaldab paarisnumbrit

Διαβάστε περισσότερα

1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5

1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5 1. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 2013-14. 1 Reaalarvud ja kompleksarvud Sisukord 1 Reaalarvud ja kompleksarvud 1 1.1 Reaalarvud................................... 2 1.2 Kompleksarvud.................................

Διαβάστε περισσότερα

Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel

Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides Magistritöö Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Tartu 2013 Sisukord Sissejuhatus Ajalooline sissejuhatus iii v 1 Rühmateooria elemente 1 1.1 Substitutsioonide

Διαβάστε περισσότερα

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016 KTEGOORITEOORI Kevad 2016 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.

Διαβάστε περισσότερα

3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE

3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3.1. Loendamise põhireeglid Kombinatoorika on diskreetse matemaatika osa, mis uurib probleeme, kus on tegemist kas diskreetse hulga mingis mõttes eristatavate osahulkadega

Διαβάστε περισσότερα

2. HULGATEOORIA ELEMENTE

2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad Hulga mõiste on matemaatika algmõiste ja seda ei saa def ineerida. Me võime vaid selgitada, kuidas seda abstraktset mõistet endale kujundada.

Διαβάστε περισσότερα

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,

Διαβάστε περισσότερα

4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks

4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].

Διαβάστε περισσότερα

DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud.

DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurk 1 KOLMNURK DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurga tippe tähistatakse nagu punkte ikka

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom. Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised

Διαβάστε περισσότερα

Tuletis ja diferentsiaal

Tuletis ja diferentsiaal Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.

Διαβάστε περισσότερα

Mudeliteooria. Kursust luges: Kalle Kaarli september a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk.

Mudeliteooria. Kursust luges: Kalle Kaarli september a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk. Mudeliteooria Kursust luges: Kalle Kaarli 1 20. september 2004. a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk. 2 Sisukord 1 Põhimõisted 9 1.1 Signatuur ja struktuur.................. 9

Διαβάστε περισσότερα

T~oestatavalt korrektne transleerimine

T~oestatavalt korrektne transleerimine T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:

Διαβάστε περισσότερα

Smith i diagramm. Peegeldustegur

Smith i diagramm. Peegeldustegur Smith i diagramm Smith i diagrammiks nimetatakse graafilist abivahendit/meetodit põhiliselt sobitusküsimuste lahendamiseks. Selle võttis 1939. aastal kasutusele Philip H. Smith, kes töötas tol ajal ettevõttes

Διαβάστε περισσότερα

Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid

Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.. Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Aritmeetilised operaatorid Need leiab paletilt "Calculator" ja ei vaja eraldi kommenteerimist.

Διαβάστε περισσότερα

Avaliku võtmega krüptograafia

Avaliku võtmega krüptograafia Avaliku võtmega krüptograafia Ahto Buldas Motiivid Salajase võtme vahetus on tülikas! Kas ei oleks võimalik salajases võtmes kokku leppida üle avaliku kanali? 2 Probleem piiramatu vastasega! Kui vastane

Διαβάστε περισσότερα

7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85

7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7 Hii-ruut test Üks universaalsemaid ja sagedamini kasutust leidev test on hii-ruut (χ 2 -test, inglise keeles ka chi-square test). Oletame, et sooritataval katsel on k erinevat

Διαβάστε περισσότερα

Kehade soojendamisel või jahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks.

Kehade soojendamisel või jahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks. KOOLIFÜÜSIKA: SOOJUS 3 (kaugõppele) 6. FAASISIIRDED Kehade sooendamisel või ahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks. Sooendamisel vaaminev

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise

Διαβάστε περισσότερα

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil. 8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,

Διαβάστε περισσότερα

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja

Διαβάστε περισσότερα

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud

Διαβάστε περισσότερα

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots TARTU ÜLIKOOL Teaduskool STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi

Διαβάστε περισσότερα

Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp

Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp http://www.staff.ttu.ee/ puusemp/ Sellel kodulehe aadressil asub alajaotuse Diskreetne matemaatika all elektrooniline õpik ja ülesannete

Διαβάστε περισσότερα

Sirgete varraste vääne

Sirgete varraste vääne 1 Peatükk 8 Sirgete varraste vääne 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-8.1 Sissejuhatus ja lahendusmeetod Käesoleva loengukonspekti alajaotuses.10. käsitleti väändepingete leidmist ümarvarrastes ja alajaotuses.10.3

Διαβάστε περισσότερα

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:

Διαβάστε περισσότερα

Sisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32

Sisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32 Sisukord Sündmused ja t~oenäosused 4. Sündmused................................... 4.2 T~oenäosus.................................... 7.2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni

Διαβάστε περισσότερα

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad 6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline

Διαβάστε περισσότερα

T~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA

T~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA http://wwwttuee http://wwwstaffttuee/ math TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MATEMAATIKAINSTITUUT http://wwwstaffttuee/ itammeraid Ivar Tammeraid T~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA Elektrooniline ~oppematerjal

Διαβάστε περισσότερα

6 Mitme muutuja funktsioonid

6 Mitme muutuja funktsioonid 6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad

Διαβάστε περισσότερα

Sisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36

Sisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36 Sisukord Sündmused ja tõenäosused 5. Sündmused................................... 5.2 Tõenäosus.................................... 8.2. Tõenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni

Διαβάστε περισσότερα

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST EESSÕNA Koostanud Hilja Afanasjeva Enne selle teema käsitlemist avame mõned materjalist arusaamiseks vajalikud mõisted hulgateooriast.

Διαβάστε περισσότερα

sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =

sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α = KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele

MATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Matemaatikainstituut MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele Tallinn 24 3 MATEMAATILINE ANALÜÜS II

Διαβάστε περισσότερα

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui Ülesnded j lhendused utomtjuhtimisest Ülesnne. Süsteem oosneb hest jdmisi ühendtud erioodilisest lülist, mille jonstndid on 0,08 j 0,5 ning õimendustegurid stlt 0 j 50. Leid süsteemi summrne ülendefuntsioon.

Διαβάστε περισσότερα

Skalaar, vektor, tensor

Skalaar, vektor, tensor Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,

Διαβάστε περισσότερα

Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse. Ahto Buldas

Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse. Ahto Buldas Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse Ahto Buldas 22. september 2003 2 Sisukord Saateks v 1 Entroopia ja infohulk 1 1.1 Sissejuhatus............................ 1 1.2 Kombinatoorne

Διαβάστε περισσότερα

Andmeanalüüs molekulaarbioloogias

Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Praktikum 3 Kahe grupi keskväärtuste võrdlemine Studenti t-test 1 Hüpoteeside testimise peamised etapid 1. Püstitame ENNE UURINGU ALGUST uurimishüpoteesi ja nullhüpoteesi.

Διαβάστε περισσότερα

Suhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27

Suhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27 Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid

Διαβάστε περισσότερα

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi Kontrollijate kommentaarid 2002. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta Kokkuvõtteks Uuendusena oli tänavusel piirkondlikul olümpiaadil 10.-12. klassides senise 5 asemel 6 ülesannet, millest

Διαβάστε περισσότερα

Elastsusteooria põhivõrrandid,

Elastsusteooria põhivõrrandid, Peatükk 4 Elastsusteooria põhivõrrandid, nende lahendusmeetodid ja lihtsamad ruumilised ülesanded 113 4.1. Elastsusteooria põhivõrrandid 114 4.1 Elastsusteooria põhivõrrandid 1. Tasakaalu (diferentsiaal)võrrandid

Διαβάστε περισσότερα

Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist

Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). KINEMAATIKA. Ühtlane liikumine Punktmass Punktmassiks me nimetame keha, mille mõõtmeid me antud liikumise juures ei pruugi arestada. Sel juhul loemegi keha tema asukoha

Διαβάστε περισσότερα

KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS

KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS Nooem aste (9. ja 10. klass) Tallinn, Tatu, Kuessaae, Nava, Pänu, Kohtla-Jäve 11. novembe 2006 Ülesannete lahendused 1. a) M (E) = 40,08 / 0,876 = 10,2 letades,

Διαβάστε περισσότερα

Mathematica kasutamine

Mathematica kasutamine mathematica_lyhi_help.nb 1 Mathematica kasutamine 1. Sissejuhatus Programmi Mathematica avanemisel pole programmi tuum - Kernel - vaikimisi käivitatud. Kernel on programmi see osa, mis tegelikult teostab

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte 43. keemiaolümpiaad

Eesti koolinoorte 43. keemiaolümpiaad Eesti koolinoorte 4. keeiaolüpiaad Koolivooru ülesannete lahendused 9. klass. Võrdsetes tingiustes on kõikide gaaside ühe ooli ruuala ühesugune. Loetletud gaaside ühe aarruuala ass on järgine: a 2 + 6

Διαβάστε περισσότερα

Skalaar, vektor, tensor

Skalaar, vektor, tensor Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,

Διαβάστε περισσότερα

(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33

(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 (Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 Normaallõike tugevusarvutuse alused. Arvutuslikud pinge-deormatsioonidiagrammid Elemendi normaallõige (ristlõige) on elemendi pikiteljega risti olev lõige (s.o.

Διαβάστε περισσότερα

Vektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias

Vektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias ektorid Matemaatikas tähistab vektor vektorruumi elementi. ektorruum ja vektor on defineeritud väga laialt, kuid praktikas võime vektorit ette kujutada kui kindla arvu liikmetega järjestatud arvuhulka.

Διαβάστε περισσότερα

Ecophon Line LED. Süsteemi info. Mõõdud, mm 1200x x x600 T24 Paksus (t) M329, M330, M331. Paigaldusjoonis M397 M397

Ecophon Line LED. Süsteemi info. Mõõdud, mm 1200x x x600 T24 Paksus (t) M329, M330, M331. Paigaldusjoonis M397 M397 Ecophon Line LED Ecophon Line on täisintegreeritud süvistatud valgusti. Kokkusobiv erinevate Focus-laesüsteemidega. Valgusti, mida sobib kasutada erinevates ruumides: avatud planeeringuga kontorites; vahekäigus

Διαβάστε περισσότερα

Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül.

Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül. Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln.6 I kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Astmed.. Arvutada avaldise täpne väärtus. 8 * (,8)

Διαβάστε περισσότερα

Keerukusteooria elemente

Keerukusteooria elemente Keerukusteooria elemente Teema 5 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 1 / 45 Sisukord 1 Algoritmi keerukus 2 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria

Διαβάστε περισσότερα

Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria.

Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Hele Kiisel, Hugo Treffneri Gümnaasium Analüütilise geomeetria teemad on gümnaasiumi matemaatikakursuses jaotatud kaheks osaks: analüütiline geomeetria tasandil,

Διαβάστε περισσότερα

4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32

4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32 Sisukord 1 Sündmused ja t~oenäosused 4 1.1 Sündmused................................... 4 1.2 T~oenäosus.................................... 7 1.2.1 T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b),

Διαβάστε περισσότερα

Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 16. november a.

Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 16. november a. Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused oorem rühm (9. ja 0. klass) 6. november 2002. a.. ) 2a + 2 = a 2 2 2) 2a + a 2 2 = 2a 2 ) 2a + I 2 = 2aI 4) 2aI + Cl 2 = 2aCl + I 2 5) 2aCl = 2a + Cl 2 (sulatatud

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a.

Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a. Geomeetria põhivara Jan Willemson 19. mai 2000.a. 1 Kolmnurk Kolmnurgas tasub mõelda järgmistest lõikudest ja sirgetest: kõrgused, nurgapoolitajad, välisnurkade poolitajad, külgede keskristsirged, mediaanid,

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Jõud ja pinged 2-2

2.1. Jõud ja pinged 2-2 1 Peatükk 2 Pinge 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Διαβάστε περισσότερα

Eesti LV matemaatikaolümpiaad

Eesti LV matemaatikaolümpiaad Eesti LV matemaatikaolümpiaad 2. veebruar 2008 Piirkonnavoor Kommentaarid Kokkuvõtteks Selleaastast komplekti võib paremini õnnestunuks lugeda kui paari viimase aasta omi. Lõppvooru pääsemise piirid protsentides

Διαβάστε περισσότερα