YMM3740 Matemaatilne analüüs II

Transcript

1 YMM3740 Matemaatilne analüüs II Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaülikool G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 29

2 Sisu 1 Ridade teooria 2 Diferentsiaalarvutus 3 Integraalarvutus ja diferentsiaalvõrrandid Tudengil on võimalik saada oma hinne kätte semestri jooksul sooritatud kontrolltööde põhjal. Selleks tuleb kirjutada kolm teooria tööd (kollokviumi) loengumaterjali kohta ja kaks ülesannete tööd harjutustundide materjali kohta. Eksmihindest osa moodustab teooriatööde hinne, teise osa ülesannete tööde hinne. Kontrolltööd harjutustunni materjali kohta toimuvad harjutustundides. Eksamieelduseks on ülesannete kontrolltööde sooritamine vähemalt 51 punktile või ülesannete kontrolltööde punktide summa vähemalt 111. G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 2 / 29

3 Arvread Positiivsete arvridade võrdlustunnused D Alembert i tunnus Cauchy tunnus Integraaltunnus Leibnizi tunnus Funktsionaalread Astmeread Abeli teoreem Taylori rida Astmeridade rakendused Ortogonaalsed polünoomid Fourier rida ortogonaalse süsteemi järgi Besseli võrratus ja Parsevali võrdus Fourier rida trigonomeetrilise süsteemi järgi Fourier teisendus G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 3 / 29

4 Diferentsiaalarvutus Mitme muutuja funktsioon Funktsiooni piirväärtus ja pidevus Funktsiooni osatuletised Funktsiooni täisdiferentsiaalid ja nende rakendused Liitfunktsiooni osatuletised Ilmutamata funktsiooni osatuletised Pinna puutujatasand ja normaalsirge Taylori valem Lokaalse ekstreemumi tarvilikud ja piisavad tingimused Tinglik ekstreemum Globaalne ekstreemum Väljateooria põhimõisted G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 4 / 29

5 Integraalarvutus ja diferentsiaalvõrrandid Kordsed integraalid ja ende arvutamine Muutujate vahetus kordses integraalis II liiki joonintegraal ja Greeni valem Diferentsiaalvõrrandi mõiste Cauchy ülesanne Eksaktne diferentsiaalvõrrand Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand Lineaarne diferentsiaalvõrrand Lineaarsed konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandid Lineaarsed konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandite süsteemid G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 5 / 29

6 Kirjandus Tammeraid I. Matemaatiline analüüs II. Tallinn, TTÜ kirjastus, Piskunov N. S. Diferentsiaal- ja integraalarvutus II. Tallinn, Valgus, Kangro G. Matemaatiline analüüs II. Tallinn, Valgus, Pedas A., Vainikko G. Harilikud diferentsiaalvõrrandid. Tartu, TÜ kirjastus, Sõrmus T., Vainikko G. Harilikud diferentsiaalvõrrandid. Tallinn, Valgus, Vainikko G. Harilikud diferentsiaalvõrrandid. Tallinn, Lõhmus A., Petersen I., Roos H. Kõrgema matemaatika ülesannete kogu. Tallinn, Valgus, Reimers E. Matemaatilise analüüsi praktikum II. Tallinn, Valgus, G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 6 / 29

7 Tähistused Sissejuhatus N := {1, 2, 3,...} - naturaalarvude hulk Z := {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} - täisarvude hulk R - reaalarvude hulk C(D) - piirkonnas D pidevate funktsioonide klass C 1 (D) - piirkonnas D pidevalt diferentseeruvate funktsioonide klass L 1 (D) - piirkonnas D (Lebesgue i mõttes) absoluutselt integreeruvate funktsioonide klass L 2 (D) - piirkonnas D integreeruva ruuduga funktsioonide klass f, g w := f (x)g(x)w(x)dx - skalaarkorrutis kaaluga w(x) 0 D (f g)(t) := f (x)g(t x)dx - konvolutsioon D G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 7 / 29

8 Jadad (Analüüs I) Ridade teooria Definitsioon Ütleme, et jada {x n } n=1 koondub suuruseks a (ehk jada {x n} n=1 piirväärtus on a) kui iga 0 < ε R korral leidub N N nii et x n U ε (a) iga n > N korral. Definitsioon Öeldakse, et {x n } on Cauchy jada ehk fundamentaaljada, kui iga ε > 0 korral leidub N N, et iga naturaalarvu n > N ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus d(x n+p, x n ) < ε. Lause (Cauchy kriteerium) Arvjada {x n } koondub parajasti siis, kui ta on Cauchy jada. G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 8 / 29

9 Päratud integraalid (Analüüs I) Definitsioon Olgu a R ja iga b > a korral olgu funktsioon f (x) integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a, b]. I liiki päratuks integraaliks funktsioonist f (x) poollõigul [a, + ) nimetame lõplikku piirväärtust I = b lim f (x) dx =: b + a + a f (x) dx Kui leidub lõplik piirväärtus I, siis öeldakse, et päratu integraal koondub. Vastasel korral öeldakse, et päratu integraal hajub. G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 9 / 29

10 Vaatame monotoonselt kahanevaid positiivseid funktsioone f (x) ja f ( x ). Siin x tähistab täisosa, st suurimat täisarvu n Z, mille korral n x. Seega saame tähistada a k := f ( x ) (k := x ) G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 10 / 29

11 f (x) f ( x ) f (x 1) f (x) a k f (x 1) k+1 k f (x)dx a k f (x)dx n k k 1 k+1 f (x)dx n n a k k k k 1 n+1 f (x)dx n a k n 1 0 f (x)dx f (x)dx G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 11 / 29

12 Arvread Arvread Definitsioon Avaldist kujul a k = a 1 + a a k +..., kus a k (k N) on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Arve a 1, a 2,... nimetatakse rea liikmeteks ja a k nimetatakse rea üldliikmeks. Definitsioon Arvrea n esimese liikme summat S n nimetatakse rea n-ndaks osasummaks, st S n := n a k = a 1 + a a n. G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 12 / 29

13 Arvread Definitsioon Arvrida a k nimetatakse koonduvaks, kui rea osasummade jadal {S n } n=1 eksisteerib lõplik piirväärtus, st lim S n = S n (S R). Arvu S nimetatakse rea summaks. Arvrida nimetatakse hajuvaks, kui ta ei ole koonduv. G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 13 / 29

14 Arvread Lause (Cauchy kriteerium) Arvrida a k koondub parajasti siis, kui iga ε > 0 korral leidub naturaalarv N N, nii et iga n > N ja p > 0 korral kehtib S n+p S n = a n+1 + a n a n+p < ε. Lause (Koondumise tarvilik tingimus) Koonduva rea a k üldliige a k rahuldab tingimust Lause lim a k = 0 k Lõpliku arvu liikmete ärajätmine või lisamine ei mõjuta rea koonduvust. Koonduva rea korral muutub vaid rea summa. G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 14 / 29

15 Arvread Tehted ridadega Liitmine a k + b k := (a k + b k ) Arvuga korrutamine γ a k := γa k, γ R Cauchy korrutis ( ) ( ) a k b k := c k c k := k a j b k j j=1 G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 15 / 29

16 Positiivsed arvread Ridade teooria Positiivsed arvread Definitsioon (Positiivne arvrida) Positiivseks arvreaks nimetatakse arvrida kujul a k, a k 0(k N). Lause Positiivne arvrida a k koondub parajasti siis, kui tema osasummade jada {S n } n=1 on ülalt tõkestatud, st M R... S n M n N. G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 16 / 29

17 Integraaltunnus Ridade teooria Integraaltunnus Lause Kui positiivse arvrea a k korral on täidetud tingimused f (k) = a k, f (x) 0(x [1, + )), f (x) (x [1, + )) siis rida ja päratu integraal + 1 a k f (x)dx koonduvad või hajuvad samaaegselt. G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 17 / 29

18 Tõestus Ridade teooria Integraaltunnus Vaatame monotoonselt kahanevaid positiivseid funktsioone f (x), f (x 1) ja f ( x ). Siin x tähistab täisosa, st suurimat täisarvu n Z, mille korral n x. Seega saame tähistada a k := f ( x ) (k := x ) G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 18 / 29

19 Integraaltunnus f (x) f ( x ) f (x 1) f (x) a k f (x 1) k+1 f (x)dx a k k f (x)dx n k k 1 k+1 f (x)dx n n a k k k k 1 n+1 f (x)dx n a k n 1 0 f (x)dx f (x)dx G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 19 / 29

20 Integraaltunnus Olgu meil eelneva lause eeldused täidetud, siis a k = f (k) + 1 f (x) dx = = ln x = 2 t t = log 2 x dx = 2 t ln 2 dt 2 t f (2 t ) dt x t j f (2 j ) = j=0 2 j a 2 j j=0 Seega saime seose a k 2 j a 2 j j=0 G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 20 / 29

21 Integraaltunnus Definitsioon Harmooniliseks reaks nimetame rida Lause 1 k α (α R) Harmooniline rida koondub kui parameeter α > 1 ja hajub kui α 1. Definitsioon Geomeetriliseks reaks nimetame rida Lause q k (q R) k=0 Geomeetriline rida koondub kui q < 1 ja hajub kui q 1. G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 21 / 29

22 Positiivsete arvridade võrdlustunnused Positiivsete arvridade võrdlustunnused Lause Kui positiivsete arvridade a k ja b k üldliikmete vahel kehtib võrratus a k b k, siis rea b k koondumisest järeldub rea a k koondumine; rea a k hajumisest järeldub rea b k hajumine. G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 22 / 29

23 Positiivsete arvridade võrdlustunnused Positiivsete arvridade võrdlustunnused Lause Kui a k ja b k on positiivsed arvread ja eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus nende üldliikmete a k ja b k suhtest a lim k = γ 0, k b k siis read koonduvad või hajuvad üheaegselt. G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 23 / 29

24 D Alembert i tunnus Ridade teooria D Alembert i tunnus Lause Kui positiivse arvrea a k korral eksisteerib lõplik piirväärtus a lim k+1 = q, k a k siis juhul q < 1 on uuritav rida koonduv, juhul q > 1 on uuritav rida hajuv G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 24 / 29

25 D Alembert i tunnus Faktoriaalid k! := (k 1)!k = k (2k 1)!! := (2k 3)!!(2k 1) = (2k 1) (3k 2)!!! := (3k 5)!!!(3k 2) = (3k 2) Stirlingi valem: st k! k k e k 2πk (k ) k k 2πk lim k e k k! = 1 G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 25 / 29

26 Cauchy tunnus Ridade teooria Cauchy tunnus Lause Kui positiivse arvrea a k korral eksisteerib lõplik piirväärtus lim k k ak = q, siis juhul q < 1 on uuritav rida koonduv, juhul q > 1 on uuritav rida hajuv. G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 26 / 29

27 Leibnizi tunnus Leibnizi tunnus Definitsioon (Vahelduvate märkidega rida) Vahelduvate märkidega reaks nimetatakse arvrida kujul Lause (Leibnizi tunnus) ( 1) k a k, a k 0. Vahelduvate märkidega rida koondub, kui on täidetud tingimused lim a k = 0 (koondumise tarvilik tingimus) ja k a k+1 a k iga k > n 0 korral (monotoonsus). G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 27 / 29

28 Leibnizi tunnus Absoluutne ja tingimisi koonduvus Definitsioon (Absoluutne koonduvus) Arvrida a k nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui koondub rida a k. Definitsioon (Tingimisi koonduvus) Koonduvat arvrida a k nimetatakse tingimisi koonduvaks, kui ta ei koondu absoluutselt. G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 28 / 29

29 Leibnizi tunnus Rea a n ümberjärjestuseks nimetatakse rida n=1 a nk = a n1 + a n a nk +... Lause (Dirichlet teoreem) Absoluutselt koonduva rea iga ümberjärjestus koondub samaks summaks. Lause (Riemanni teoreem) Tingimisi koonduval real a k, a k R leidub selline ümberjärjestus, mille summaks on suvaliselt etteantud arv või + või. G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 29 / 29