Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD
|
|
- Αθορ Κρεστενίτης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD 1
2 Nõudmised krüptoräsidele (Hash-funktsionidele) Krüptoräsiks nimetatakse ühesuunaline funktsioon Krüptograafiline sõnumilühend (Hash-kood) saadakse funktsiooni H abil: h=h(m), kus M on suvalise pikkusega avatekst ning h on fikseeritud pikkusega kood. Selleks, et selle funktsiooni abil oleks võimalik teostada autentimist, peab funktsioon vastama järgmistele nõuetele: 1) H peab olema rakendatav suvalise pikkusega tekstile 2) H peab tulemuseks andma fikseeritud pikkusega koodi h. 3) H(M) on suhteliselt lihtne arvutada polünomiaalse ajaga iga M puhul 4) Iga koodi h jaoks on arvutuslikult võimatu leida M, sellise, et H(M)=h 5) Kui on antud sisend x, siis selle jaoks on arvutuslikult võimatu leida y x selline, et H(x)=H(y). 6) Arvutuslikult on võimatu tuvastada paari sisenditest (x,y) lähtudes, et nende hash-koodid oleks võrdsed, ehk H(x)=H(y) Funktsioon mis rahuldab tingumusi 1-5 on lihtne (tavaline) Hash-funktsioon, kui funktsioon rahuldab lisaks ka tingimust 6, siis Hash-funktsioon on tugev 2
3 Lihtsad krüptoräsid (Hash-funktsionid) Sisendit (tekst, fail) vaadeldakse kui n-bitiste plokkide jada Üks kõige lihtsamatest Hash-funktsioonidest on esitatav järgmise valemiga (plokkide XOR bittide tasemel) С i = b i1 b i2... b ik, kus С i - i-kohal bitt Hash-koodis, 1 i n. k - n-bitiste plokkide arv b ij - i-kohal bitt j-kohal plokkis Tulemuseks on n-pikkune Hash-kood (engl: hash-code, digest) Tavaliselt kontrollitakse selle meetodi abil andmete terviklust. Selleks, et antud meetod peidaks teksti omadusi, kasutatakse ka bittide nihutamist: Iga plokki sees teostataks nihe ühe biti võrra vasakule (<<) Seejärel teostatakse XOR 3
4 Näide T a Y l l l i i k n o n o a l С i = b i1 b i2 b i3 b i4 TCP/IP kasutab 32bitist või 16 bitist plokki suurust 4
5 Sünnipäeva paradoks Kui on tegu inimeste grupiga, mis koosneb 23 inimesest, siis tõenäosus, et kas või kahel inimesel on sünnipäev samal päeval on suurem kui 0,5. Kui on tegu grupiga 60, siis selline tõenäosus on 99%, kui aga 365, siis 100% Tõenäosus, et sünnipäevad on erinevad: Tõenäosus, et sünnipäevad on samad: Intuitiivsel tasemel: Kui 23 inimesest moodustada paare, siis kombinatoorika valemi järgi on selliseid paare 253 5
6 Sünnipäeva paradoks n p (n) % % % % ,99996 % , % 300 ( ) 100 % 350 ( ) 100 % % 6
7 Sünnipäeva paradoks Olgu inimeste arv n ning sünnipäevade jaotus olgu ühtlane (sünnipäevade arv on piiratud ja nende esinemine on võrdse tõenäosusega) Kõigepealt arvutame tõenäosuse, et vaadeldavatel inimestel on sünnipäev erinevatel päevadel Võtame esimese inimese ning jätame meelde tema sünnipäeva. Võtame järgmise inimese. Tõenäosus, et tema sünnipäev on esimesest inimesest erinev on 1 1/365. 7
8 Sünnipäeva paradoks Vaatame nüüd kuidas lood on tõenäosusega, et keegi grupist on sündinud samal päeval isikuga, kes ei kuulu valitud gruppi Kui n=23, siis selline tõenäosus on 5,9%. Selleks, et see tõenäosus oleks suurem kui 50%, peaks n olema 253. Selline erinevus on seotud asjaoluga, et grupis võivad sünnipäevad korduda ning see teeb meie arvutatud tõenäosuse väiksemaks. 8
9 Paradoksi kasutus Hash-funktsioonsis Olgu funktsiooni H tulemuse, ehk hash-koodi pikkus n. Milline peab olema arv k, selleks, et konkreetse X ja Y väärtuste Y1,, Yk korral kas või ühe Yi jaoks oleks võimalik, et H (X) = H (Yi) ning selle tõenäosus oleks suurem kui 0,5. Kui tegu on ühe väärtusega Y, siis nimetatud tõenäosus, et H (X) = H (Y), võrdub 1/n. Vastavalt, tõenäosus, et H (X) H (Y) on 1-1/n. Kui tegu ei ole suuruse ainsa Y väärtusega (Y), vaid k väärtusega Y1,,Yk, siis tõenäosus, et H (X) H (Y) on (1-1/n) k Eelnevast tuleneb, et tõenäosus, et suuruse Y mingi väärtuse korral H(X) = H (Y), võrdub arvuga 1 - (1-1/n) k (1 - a) k = 1 - ka + (k(k-1)/2!)a ka 1 - (1 - k/n) = k/n = 0,5 k = n/2 Vaatamata sellele, et kõikide võimalike Hash-koodide arv on 2 n, on võimalik meie Hash-koodile pihta saada ka juhul, kui Hashfunktsiooni arvutamine on läbi katsetatud 2 n/2 korda. 9
10 Ründed, mis kasutavad paradoksi (Collision Attack) Vastane moodustab (mõtleb välja) 2 m/2 erinevat teksti, millel on mingi konkreetne mõte ning sama palju võltstekste. Nendest kõikidest tekstidest arvutatakse Hashfunktsiooni abil Hash-kood ning otsitakse võrdseid paare. Tõenäosusega >0,5 leiame võrdse paari. Kui ei ole leitud, genereeritakse tekste juurde. Jätkatakse kuni vajalik paar on leitud Vastane annab Alice-le (saatja) allkirjastamisele õige dokumendi. Seejärel Alice allkirja lisatakse võltsdokumendile sama hash-koodiga ning saadetakse Bobile (saajale) 10
11 MD5 Hash-funktsiooni algoritm 128 bitine algoritm, töötatud välja 1991a. On väljaarendatud algoritmist MD4 Teades Hash-koodi, ei ole võimalik taastada avateksti on avaldatud algoritm (Vlastimil Klima) mis suudab murda MD5 ühe minutiga Ronald L. Rivest
12 MD5 Hash-funktsiooni algoritm Sisendiks on suvalise pikkusega tekst (sh nullpikkusega). Olgu sisendi pikkus L (mittenegatiivne täisarv). Samm 1. Sisendi ühtlustamine. Kirjutatakse sisendi lõppu bitt 1, seejärel 0-bitte. Nulle kirjutataks kuni pikkus L saab võrdseks arvuga 448(mod 512). Ehk 512*N+448. Selline ühtlustamine toimib isegi siis, kui meie esialgne pikkus L on juba võrdne 448(mod 512). Samm2. Sisendi pikendamine. Viimastele 64 bittide kohtadele ( =64) kirjutatakse arvu L (esialgne pikkus) kahendesitus. Kui L> , siis kirjutatakse esimesi bitte saadust kahendkoodist. Sisendi ühtlustamine Sisendi pikendamine Initsialiseerimine Arvutamine raundides 12
13 MD5 Hash-funktsiooni algoritm. Initsialiseerimine. Arvutustes hakatakse kasutama korraga 4 sõna: A,B,C, D (iga sõna 32 bitti) Algandmed on järgmised: А = В = 89 AB CD EF С = FE DC BA 98 D = ABCD on initsialiseerimisvektor. Järgmistes sammudes läheb vaja konstantide tabelit K[1..64]. K[i] = int( * sin(i) ), kus = Teiste sõnadega: selles tabelis seisavad sin() funktsiooni väärtusest 32 bitti peale koma 13
14 MD5 Hash-funktsiooni algoritm. Arvutamine raundides. Kasutatakse 4 raundi. Igas raundis on oma funktsioon: 1 raund F(X,Y,Z)=(X&Y) ( X&Z) 2 raund G(X,Y,Z)=(X&Z) ( X&Y) 3 raund H(X,Y,Z)=X Y Z 4 raund I(X,Y,Z)=Y ( Z X) Järjekordne plokk (4 alamplokki ) paigutatakse spetsialsesse massiivi (M). Jäetakse meelde eelmise raundi ABCD (kui tegu on esimese tsükliga, siis initsialiseerimisvektor) Kasutatakse spetsiaalset operatsiooni vastava funktsiooniga. Näiteks 1 raundi operatsioon [abcd k s i] tähendab a =b + ((a + F(b,c,d) + M[k] + K[i]) <<< s) Liitmine sooritatakse kasutades mod
15 MD5 Hash-funktsiooni algoritm. Arvutamine raundides. Lähemalt Olgu А = = В = 89 AB CD EF = С = FE DC BA 98 = D = = [abcd 0 s 1] a =b + ((a + F(b,c,d) + M[0] + K[1]) <<< s) K[1] = int( * sin(1) ) plokk nr i paigutatakse massiivi M: Tallinna Ylikool, Informaatika Instituut. Narva mnt 25, Tallinn, Eesti. Siin k=0 on M[0]: Tall s väärtused esimeses raundis on: 7, 12, 17, 22, ehk esimene nendest on 7 Esimeses raundis on F(B,C,D)=(B&C) ( B&D) 15
16 MD5 Hash-funktsiooni algoritm. Arvutamine raundides. Pseudokood. // jagame avateksti plokkideks nii et igas plokks oleks 16 sõna: for i = 0 to N/16-1 do { // plokk nr i paigutatakse massiivi M for j = 0 to 15 do M[j] = X[i * 16 + j] // eelmised A, B, C, D jäetakse meelde AA = A; BB = B; CC = C; DD = D // raund 1 /*[abcd k s i] a = b + ((a + F(b,c,d) + M[k] + K[i]) <<< s). */ [ABCD 0 7 1][DABC ][CDAB ][BCDA ] [ABCD 4 7 5][DABC ][CDAB ][BCDA ] [ABCD 8 7 9][DABC ][CDAB ][BCDA ] [ABCD ][DABC ][CDAB ][BCDA ] // raund 2 /*[abcd k s i] a = b + ((a + G(b,c,d) + M[k] + K[i]) <<< s). */ [ABCD ][DABC ][CDAB ][BCDA ] [ABCD ][DABC ][CDAB ][BCDA ] [ABCD ][DABC ][CDAB ][BCDA ] [ABCD ][DABC ][CDAB ][BCDA ] 16
17 MD5 Hash-funktsiooni algoritm. Arvutamine raundides. Pseudokood. // raund 3 /*[abcd k s i] a = b + ((a + H(b,c,d) + M[k] + K[i]) <<< s). */ [ABCD ][DABC ][CDAB ][BCDA ] [ABCD ][DABC ][CDAB ][BCDA ] [ABCD ][DABC ][CDAB ][BCDA ] [ABCD ][DABC ][CDAB ][BCDA ] // raund 4 /*[abcd k s i] a = b + ((a + I(b,c,d) + M[k] + K[i]) <<< s). */ [ABCD ][DABC ][CDAB ][BCDA ] [ABCD ][DABC ][CDAB ][BCDA ] [ABCD ][DABC ][CDAB ][BCDA ] [ABCD ][DABC ][CDAB ][BCDA ] A = AA + A; B = BB + B; C = CC + C; D = DD + D } // for tsükli lõpp Samm 5. Andmete väljastamine 17
18 MD5 Hashfunktsiooni algoritm. Arvutamine raundides. Plokkskeem 18
19 MD5 java 19
20 MD5 omadused Iga hash-koodi bitt on funktsioon igast sisendbitist. Funktsioonide FGHI kordamine kindlustab seda, et tulemus on hästi ärasegatud, ehk on vähetõenäone, et kaks avateksti, mis on valitud juhuslikult (isegi kui nad tunduvad sarnased), saavad ühesugused hashkoodid. MD5 on tugev Hash-funktsioon 128 bitise hash-koodi jaoks. Selleks, et leida kaks avateksti, millel on ühesugune hash-kood on vaja sooritada 2 64 operatsiooni. Seejuures selleks, et leida avatekst etteantud hash-koodiga, on vaja operatsiooni. 20
21 SHA-1 Hash-funktsiooni algoritm. SHA-1 (Secure Hash Algorithm 1) on väljatöötatud 1995a. Antud algoritmil on palju ühist MD5 algoritmiga, sest mõlema aluseks on algoritm MD4. Funktsiooni sisendiks on plokk suurusega 512 bitti või eelmise tsükli tulemus Hash-kood, mis vastab plokile M i on h i = f(m i,h i 1 ). Hash koodi pikkus on 160bitti Terve sõnumi hash-koodiks on viimase ploki väljund. Sisendi ühtlustamine Sisendi pikendamine Initsialiseerimine Peamine tsükkel, mis koosneb neljast etapist (igas 20 operatsiooni), ehk 80 raundi 21
22 SHA-1 Hash-funktsiooni algoritm. Sisendi ühtlustamine, pikendamine ja initsialiseerimine on sama, mis algoritmil MD5. Avatekst jagatakse plokkideks, iga ploki suurus on 512bitt. A = B = EFCDAB89 C = 98BADCFE D = E = C3D2E1F0 22
23 SHA-1 Hashfunktsiooni algoritm. 80 ühesuguse struktuuriga raundi. Igas raundis kasutatakse konstanti k t. 0 t 19 K t = 5A (täisarvuline osa arvu [ /2 ]) 20 t 39 K t = 6ED9EBA1 (täisarvuline osa arvu [ /2 ]) 40 t 59 K t = 8F1BBCDC (täisarvuline osa arvu [ /2 ]) 60 t 79 K t = CA62C1D6 (täisarvuline osa arvu [ /2 ]) 23
24 SHA-1 Hash-funktsiooni algoritm. Raund Iga raundi operatsiooni võib esitada kui A, B, C, D, E (CLS 5 (A) + f t (B, C, D) + E + W t + K t ), A, CLS 30 (B), C, D A, B, C, D, E - sisendsõnad. t tsükli number, 0 t 79. f t elementaarne funktsioon. CLS s - 32-ndal kohal seisva biti tsükliline nihutamine s biti võrra vasakule. W t - 32-bitine sõna, mis on saadud tsüklile vastavast 512-bitist plokist arvutuste alusel. K t - konstant. + - liitmine mooduliga
25 SHA-1 Hash-funktsiooni algoritm. Funktsioon f. W t arvutus. Raundi number ft (B, C, D) (0 t 19) (B & C) ( B & D) (20 t 39) B C D (40 t 59) (B & C) (B & D) (C & D) (60 t 79) B C D W t arvutus: Esimest 16 sõna tulevad Y-st. Järgmised 16 sõna arvutatakse: W t = W t-16 W t-14 W t-8 W t-3 25
26 SHA-1 ja MD5 algoritmide võrdlus MD5 SHA 1 Hash-koodi pikkus 128 bitti 160 bitti Töötleva bloki suurus 512 bitti 512 bitti Iteratsioonide arv 64 (4 raundi, igas 16 iteratsiooni) 80 Elementaarsete loogika funktsioonide arv 4 3 Lisakonstantide arv
27 SHA-1 ja MD5 algoritmide võrdlus Turvalisus. Kuna SHA-1 hash-kood on pikem, siis SHA-1 on vastupidavam otserünnete vastu. On raskem moodustada kaks teksti, millel on võrdne hash-kood ( SHA-1 puhul ja MD5 puhul). Kiirus. Kuna mõlemad algoritmid kasutavad 32bitist liitmist mod 2 32, siis mõlemad vajavad vastavat 32 arhitektuuri. SHA-1 sisaldab rohkem iteratsioone. Võrdse riistvaralise arhidektuuri juures, SHA-1 töötab 25% aeglasem kui MD5. Lihtsus ja kompaktsus. Mõlemad algoritmid on lihtsad. Seejuures aga SHA-1 rakendab raundides sisendandmete töötlemist ühtemoodi, MD5-s töödeldakse aga ABCD sisendi vastavalt raundile. 27
28 Hash-funktsioonid SHA a NIST võttis kasutusele hash-funktsioone pikema hashkoodiga. Tihti nimetatakse neid konkreetselt: SHA-256, SHA-384 ning SHA-512 SHA-2el on välja antud patent US patent Algoritm Avateksti pikkus bittides Plokki pikkus bittides Sõna pikkus bittides Hash-koodi pikkus bittides Sünnipäeva paradoksi piir SHA-1 < SHA-256 < SHA-384 < SHA-512 <
29 Hash-funktsioonid SHA-2 Ch (x, y, z) = (x & y) ( x & z) Maj (x, y, z) = (x & y) (x & z) (y & z) Σ {256} 0 (x) = ROTR 2 (x) ROTR 13 (x) ROTR 22 (x) Σ {256} 1 (x) = ROTR 6 (x) ROTR 11 (x) ROTR 25 (x) σ {256} 0 (x) = ROTR 7 (x) ROTR 18 (x) SHR 3 (x) σ {256} 1 (x) = ROTR 17 (x) ROTR 19 (x) SHR 10 (x) SHA-256 Ch (x, y, z) = (x & y) ( x & z) Maj (x, y, z) = (x & y) (x & z) (y & z) Σ 0 {512} (x) = ROTR 28 (x) ROTR 34 (x) ROTR 39 (x) Σ 1 {512} (x) = ROTR 14 (x) ROTR 18 (x) ROTR 41 (x) σ 0 {512} (x) = ROTR 1 (x) ROTR 8 (x) SHR 7 (x) σ 1 {512} (x) = ROTR 19 (x) ROTR 61 (x) SHR 6 (x) SHA-384 ning SHA
30 Hash-funktsioonid SHA-2 Ettevalmistamise etapid on samad, mis SHA-1, (ploki pikkust arvestatakse erinevalt). Tulemuseks on iga avatekst esitatud N plokiga M (1), M (2),, M (N). Initsialiseeritakse kaheksa sõna (iga sõna vastavalt 32 või 64 bitti): a, b, c, d, e, f, g, h. Algoritmi peamiseks osaks on raundid (64 iteratsiooni) iga M (i) jaoks. T 1 = h + Σ 1 {256} (e) + Ch(e, f, g) + K t {256} + W t T 2 = Σ 0 {256} (a) + Maj(a, b, c) h = g g = f f = e e = d + T 1 d = c c = b b = a a = T 1 + T 2 K i {256} on 64 konstanti, mis on esimesed 32 bitti kolmanda astme juurtes, mis on võetud esimesest kuuekümne neljast algarvust. SHA
31 Hash-funktsioonid SHA-2 SHA-512 juures on sõna suurus 64 bitti ning 80 iteratsiooni kaheksakümne konstantiga K i {512}. W t = M t (i), 0 t 15 W t = σ 1 {256/512} (W t-2 ) + W t-7 + σ 0 {256/512} (W t-15 ) + W t-16, 16 t 63/79 H 0 (i) = a + H 0 (i-1) H 1 (i) = b + H 1 (i-1) H 2 (i) = c + H 2 (i-1) H 3 (i) = d + H 3 (i-1) H 4 (i) = e + H 4 (i-1) H 5 (i) = f + H 5 (i-1) H 6 (i) = g + H 6 (i-1) H 7 (i) = h + H 7 (i-1) 31
32 Hash-funktsioonide kasutamine TLS ja SSL, PGP, SSH, S/MIME, IPsec Autentimine. Autentimise all mõeldakse kinnitust asjaolule, et tekst on saadud just sellelt inimeselt, kellena see isik on end esitlenud. Kui sõnum on valmis, lisatakse selle lõppu hash-kood. Saatja šifreerib selle koodi enda privaatvõtmega. Vastuvõtja arvutab õiget hash-koodi ning kontrollib tulemust saatja hash-koodiga. 32
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58
Διαβάστε περισσότεραGeomeetrilised vektorid
Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse
Διαβάστε περισσότεραFunktsiooni diferentsiaal
Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral
Διαβάστε περισσότεραVektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale
Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori
Διαβάστε περισσότεραLokaalsed ekstreemumid
Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,
Διαβάστε περισσότερα2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon
2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on
Διαβάστε περισσότεραKompleksarvu algebraline kuju
Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa
Διαβάστε περισσότεραITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA
PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
Διαβάστε περισσότεραHAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2
PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika harjutus
Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative
Διαβάστε περισσότεραPLASTSED DEFORMATSIOONID
PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb
Διαβάστε περισσότεραRuumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule
Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D
Διαβάστε περισσότερα9. AM ja FM detektorid
1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid
Διαβάστε περισσότεραGraafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid
Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.
Διαβάστε περισσότεραKrüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse. Ahto Buldas
Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse Ahto Buldas 22. september 2003 2 Sisukord Saateks v 1 Entroopia ja infohulk 1 1.1 Sissejuhatus............................ 1 1.2 Kombinatoorne
Διαβάστε περισσότεραKirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika
Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika
Διαβάστε περισσότεραPlaneedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1
laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad
Διαβάστε περισσότεραKontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,
Διαβάστε περισσότεραSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti
Διαβάστε περισσότεραT~oestatavalt korrektne transleerimine
T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi
Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning
Διαβάστε περισσότερα4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.
Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised
Διαβάστε περισσότερα7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85
7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7 Hii-ruut test Üks universaalsemaid ja sagedamini kasutust leidev test on hii-ruut (χ 2 -test, inglise keeles ka chi-square test). Oletame, et sooritataval katsel on k erinevat
Διαβάστε περισσότεραJätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV
U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS
Διαβάστε περισσότερα4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32
Sisukord 1 Sündmused ja t~oenäosused 4 1.1 Sündmused................................... 4 1.2 T~oenäosus.................................... 7 1.2.1 T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise
Διαβάστε περισσότεραsin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α
Διαβάστε περισσότεραFunktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses
Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36
Sisukord Sündmused ja tõenäosused 5. Sündmused................................... 5.2 Tõenäosus.................................... 8.2. Tõenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
Διαβάστε περισσότερα3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE
3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3.1. Loendamise põhireeglid Kombinatoorika on diskreetse matemaatika osa, mis uurib probleeme, kus on tegemist kas diskreetse hulga mingis mõttes eristatavate osahulkadega
Διαβάστε περισσότεραAndmeanalüüs molekulaarbioloogias
Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Praktikum 3 Kahe grupi keskväärtuste võrdlemine Studenti t-test 1 Hüpoteeside testimise peamised etapid 1. Püstitame ENNE UURINGU ALGUST uurimishüpoteesi ja nullhüpoteesi.
Διαβάστε περισσότεραArvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008
Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub
Διαβάστε περισσότερα20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1
κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii
Διαβάστε περισσότεραAlgebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel
Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides Magistritöö Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Tartu 2013 Sisukord Sissejuhatus Ajalooline sissejuhatus iii v 1 Rühmateooria elemente 1 1.1 Substitutsioonide
Διαβάστε περισσότερα4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks
4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].
Διαβάστε περισσότερα,millest avaldub 21) 23)
II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.
Διαβάστε περισσότεραExcel Statistilised funktsioonid
Excel2016 - Statistilised funktsioonid Statistilised funktsioonid aitavad meil kiiresti leida kõige väiksemat arvu, keskmist, koguarvu, tühjaks jäänud lahtreid jne jne. Alla on lisatud sellesse gruppi
Διαβάστε περισσότερα6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad
6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline
Διαβάστε περισσότεραDEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud.
Kolmnurk 1 KOLMNURK DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurga tippe tähistatakse nagu punkte ikka
Διαβάστε περισσότεραKoduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused
Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna
Διαβάστε περισσότερα8. KEEVISLIITED. Sele 8.1. Kattekeevisliide. Arvutada kahepoolne otsõmblus terasplaatide (S235J2G3) ühendamiseks. F = 40 kn; δ = 5 mm.
TTÜ EHHATROONIKAINSTITUUT HE00 - ASINATEHNIKA -, 5AP/ECTS 5 - -0-- E, S 8. KEEVISLIITED NÄIDE δ > 4δ δ b k See 8.. Kattekeevisiide Arvutada kahepoone otsõmbus teraspaatide (S5JG) ühendamiseks. 40 kn; δ
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan
ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika. EST meetod
Ehitusmehaanika. EST meetod Staatikaga määramatu kahe avaga raam /44 4 m q = 8 kn/m 00000000000000000000000 2 EI 4 EI 6 r r F EI p EI = 0 kn p EI p 2 m 00 6 m 00 6 m Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna
Διαβάστε περισσότεραKOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD
KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed
Διαβάστε περισσότεραHULGATEOORIA ELEMENTE
HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad
Διαβάστε περισσότερα1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus
Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks
Διαβάστε περισσότεραSORTEERIMINE JA FILTREERIMINE
Praktikum 3 Tänase praktikumi teema on andmetabelite filtreerimine ja kokkuvõtvate tabelite loomine, juttu tulebka mõningatest pisut nutikamatest funktsioonidest keskmiste ja vaatluste arvu arvutamisel.
Διαβάστε περισσότεραVektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise
Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja
Διαβάστε περισσότεραMathematica kasutamine
mathematica_lyhi_help.nb 1 Mathematica kasutamine 1. Sissejuhatus Programmi Mathematica avanemisel pole programmi tuum - Kernel - vaikimisi käivitatud. Kernel on programmi see osa, mis tegelikult teostab
Διαβάστε περισσότερα1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...
Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega
Διαβάστε περισσότεραTuletis ja diferentsiaal
Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32
Sisukord Sündmused ja t~oenäosused 4. Sündmused................................... 4.2 T~oenäosus.................................... 7.2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
Διαβάστε περισσότερα28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.
8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,
Διαβάστε περισσότερα2. HULGATEOORIA ELEMENTE
2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad Hulga mõiste on matemaatika algmõiste ja seda ei saa def ineerida. Me võime vaid selgitada, kuidas seda abstraktset mõistet endale kujundada.
Διαβάστε περισσότεραÜlesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus
Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus Antud: Õhuke raudbetoonist gravitatsioontugisein maapinna kõrguste vahega h = 4,5 m ja taldmiku sügavusega d = 1,5 m. Maapinnal tugiseina
Διαβάστε περισσότεραSmith i diagramm. Peegeldustegur
Smith i diagramm Smith i diagrammiks nimetatakse graafilist abivahendit/meetodit põhiliselt sobitusküsimuste lahendamiseks. Selle võttis 1939. aastal kasutusele Philip H. Smith, kes töötas tol ajal ettevõttes
Διαβάστε περισσότεραWilcoxoni astakmärgitest (Wilcoxon Signed-Rank Test)
Peatükk 2 Wilcoxoni astakmärgitest (Wilcoxon Signed-Rank Test) 2.1 Motivatsioon ja teststatistik Wilcoxoni astakmärgitesti kasutatakse kahe s~oltuva valimi v~ordlemiseks. Oletame näiteks, et soovime v~orrelda,
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmid ja andmestruktuurid Ülesannete kogu
TARTU ÜLIKOOL ARVUTITEADUSE INSTITUUT Algoritmid ja andmestruktuurid Ülesannete kogu Versioon 1.0 5. juuli 2016. a. 17:06 Koostajad: Ahti Peder Jüri Kiho Härmel Nestra Tartu 2016 Käesoleva õppevahendi
Διαβάστε περισσότεραKeerukusteooria elemente
Keerukusteooria elemente Teema 5 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 1 / 45 Sisukord 1 Algoritmi keerukus 2 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte 43. keemiaolümpiaad
Eesti koolinoorte 4. keeiaolüpiaad Koolivooru ülesannete lahendused 9. klass. Võrdsetes tingiustes on kõikide gaaside ühe ooli ruuala ühesugune. Loetletud gaaside ühe aarruuala ass on järgine: a 2 + 6
Διαβάστε περισσότερα2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass
2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH
Διαβάστε περισσότεραNÄIDE KODUTÖÖ TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL. Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut. AAR0030 Sissejuhatus robotitehnikasse
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut AAR000 Sissejuhatus robotitehnikasse KODUTÖÖ Teemal: Tööstusroboti Mitsubishi RV-6SD kinemaatika ja juhtimine Tudeng: Aleksei Tepljakov
Διαβάστε περισσότεραKontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.2 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 28 Sisukord 1 Pinuautomaadid 2 KV keeled ja pinuautomaadid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότερα(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33
(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 Normaallõike tugevusarvutuse alused. Arvutuslikud pinge-deormatsioonidiagrammid Elemendi normaallõige (ristlõige) on elemendi pikiteljega risti olev lõige (s.o.
Διαβάστε περισσότεραPunktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist
Loeng 2 Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist P2 - tuleb P1 lahendus T P~Q = { x P(x)~Q(x) = t} = = {x P(x)
Διαβάστε περισσότεραMatemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika KLASS 11 TUNDIDE ARV 35
Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika Permutatsioonid, kombinatsioonid ja variatsioonid. Sündmus. Sündmuste liigid. Klassikaline tõenäosus. Geomeetriline tõenäosus. Sündmuste liigid: sõltuvad ja
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise
Διαβάστε περισσότεραI. Keemiline termodünaamika. II. Keemiline kineetika ja tasakaal
I. Keemiline termdünaamika I. Keemiline termdünaamika 1. Arvutage etüüni tekke-entalpia ΔH f lähtudes ainete põlemisentalpiatest: ΔH c [C(gr)] = -394 kj/ml; ΔH c [H 2 (g)] = -286 kj/ml; ΔH c [C 2 H 2 (g)]
Διαβάστε περισσότερα1. Paisksalvestuse meetod (hash)
1. Paisksalvestuse meetod (hash) Kas on otsimiseks võimalik leida paremat ajalist keerukust kui O(log n)? Parem saaks olla konstantne keerukus O(1), mis tähendaks seda, et on kohe teada, kust õige kirje
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότεραFormaalsete keelte teooria. Mati Pentus
Formaalsete keelte teooria Mati Pentus http://lpcs.math.msu.su/~pentus/ftp/fkt/ 2009 13. november 2009. a. Formaalsete keelte teooria 2 Peatükk 1. Keeled ja grammatikad Definitsioon 1.1. Naturaalarvudeks
Διαβάστε περισσότεραAvaliku võtmega krüptograafia
Avaliku võtmega krüptograafia Ahto Buldas Motiivid Salajase võtme vahetus on tülikas! Kas ei oleks võimalik salajases võtmes kokku leppida üle avaliku kanali? 2 Probleem piiramatu vastasega! Kui vastane
Διαβάστε περισσότεραCompress 6000 LW Bosch Compress LW C 35 C A ++ A + A B C D E F G. db kw kw /2013
55 C 35 C A A B C D E F G 50 11 12 11 11 10 11 db kw kw db 2015 811/2013 A A B C D E F G 2015 811/2013 Toote energiatarbe kirjeldus Järgmised toote andmed vastavad nõuetele, mis on esitatud direktiivi
Διαβάστε περισσότεραC 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Διαβάστε περισσότεραVeaarvutus ja määramatus
TARTU ÜLIKOOL Tartu Ülikooli Teaduskool Veaarvutus ja määramatus Urmo Visk Tartu 2005 Sisukord 1 Tähistused 2 2 Sissejuhatus 3 3 Viga 4 3.1 Mõõteriistade vead................................... 4 3.2 Tehted
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 2 Programmeerimiskeel C
Veiko Sinivee 2 Programmeerimiskeel C Sisukord Sissejuhatus...1 Programmeerimiskeel C...1 C - keele programmi ehitusest...4 Abiprogramm MAKE...13 Enamkasutatavad funktsioonid...16 Funktsioonid printf()
Διαβάστε περισσότεραSuhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27
Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks
Διαβάστε περισσότερα6 Mitme muutuja funktsioonid
6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad
Διαβάστε περισσότεραFUNKTSIONAALNE PROGRAMMEERIMINE. Skeemid. Eesmärk: esitada riistvara skeeme ja teisi andmevoodiagrammidel baseeruvaid kirjeldusi Haskellis
Skeemid Eesmärk: esitada riistvara skeeme ja teisi andmevoodiagrammidel baseeruvaid kirjeldusi Haskellis VARMO VENE 1 Skeemid Skeemid koosnevad juhtmetest ja komponentidest Läbi juhtmete voolavad etteantud
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester
Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b),
Διαβάστε περισσότεραELEKTRIMÕÕTMISTE TÄIENDKOOLITUS
Meede 1.1 projekt nr 1.0101-0386/IN660 Elektrotehnilise personali täiendkoolitussüsteemi väljaarendamine ELEKTRIMÕÕTMISTE TÄIENDKOOLITUS Täiendkoolituse õppematerjal Koostanud Raivo Teemets Tallinn 2007
Διαβάστε περισσότεραHSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G
HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud
Διαβάστε περισσότεραEnergiabilanss netoenergiavajadus
Energiabilanss netoenergiajadus 1/26 Eelmisel loengul soojuskadude arvutus (võimsus) φ + + + tot = φ φ φ juht v inf φ sv Energia = tunnivõimsuste summa kwh Netoenergiajadus (ruumis), energiakasutus (tehnosüsteemis)
Διαβάστε περισσότεραMatemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid
Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid Alustame nüüd Exceli põhiliste töövahenditega - funktsioonidega. Võtame esimesena sihikule Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid. Kuigi kogu
Διαβάστε περισσότεραJuhuslik faktor ja mitmetasandilised mudelid
Peatükk 2 Juhuslik faktor ja mitmetasandilised mudelid Uurime inimese verer~ohku. Inimese verer~ohk on üsnagi varieeruv ja s~oltub üsnagi tugevalt hetkeolukorrat mida inimene on enne m~o~otmist söönud/joonud,
Διαβάστε περισσότεραÜlesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül.
Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln.6 I kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Astmed.. Arvutada avaldise täpne väärtus. 8 * (,8)
Διαβάστε περισσότεραDigitaaltehnika Loengukonspekt
Digitaaltehnika Loengukonspekt Sisukord Sisukord.... rvusüsteemid...4.. Kümnendsüsteem... 4.. Kahendsüsteem... 4.. Kaheksandsüsteem... 4.4. Kuueteistkümnend süsteem... 4.5. Kahendkodeeritud kümnendsüsteem
Διαβάστε περισσότεραEcophon Square 43 LED
Ecophon Square 43 LED Ecophon Square 43 on täisintegreeritud süvistatud valgusti, saadaval Dg, Ds, E ja Ez servaga toodetele. Loodud kokkusobima Akutex FT pinnakattega Ecophoni laeplaatidega. Valgusti,
Διαβάστε περισσότεραStatistiline andmetöötlus, VL-0435 sügis, 2008
Praktikum 6 Salvestage kursuse kodulehelt omale arvutisse andmestik lehmageen.xls. Praktikum püüab kirjeldada mõningaid võimalusi tunnuste vaheliste seoste uurimiseks. Kommentaarid andmestiku kohta Konkreetselt
Διαβάστε περισσότερα!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.
..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$
Διαβάστε περισσότεραT~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA
http://wwwttuee http://wwwstaffttuee/ math TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MATEMAATIKAINSTITUUT http://wwwstaffttuee/ itammeraid Ivar Tammeraid T~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA Elektrooniline ~oppematerjal
Διαβάστε περισσότεραEcophon Line LED. Süsteemi info. Mõõdud, mm 1200x x x600 T24 Paksus (t) M329, M330, M331. Paigaldusjoonis M397 M397
Ecophon Line LED Ecophon Line on täisintegreeritud süvistatud valgusti. Kokkusobiv erinevate Focus-laesüsteemidega. Valgusti, mida sobib kasutada erinevates ruumides: avatud planeeringuga kontorites; vahekäigus
Διαβάστε περισσότεραDiskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp
Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp http://www.staff.ttu.ee/ puusemp/ Sellel kodulehe aadressil asub alajaotuse Diskreetne matemaatika all elektrooniline õpik ja ülesannete
Διαβάστε περισσότεραKehade soojendamisel või jahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks.
KOOLIFÜÜSIKA: SOOJUS 3 (kaugõppele) 6. FAASISIIRDED Kehade sooendamisel või ahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks. Sooendamisel vaaminev
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.
Διαβάστε περισσότερα1 Entroopia ja informatsioon
Kirjadus: T.M. Cover, J.A. Thomas "Elemets of iformatio theory", Wiley, 99 ja 2006. Yeug, Raymod W. "A first course of iformatio theory", Kluwer, 2002. Mackay, D. "Iformatio theory, iferece ad learig algorithms",
Διαβάστε περισσότερα