Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας"

Transcript

1 Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

2

3 Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από τα κύρια ϑέµατα της γραµµικής άλγεβρας Στην ενότητα αυτή ϑα εισάγουµε την ορολογία που χρησιµοποιούµε όταν µιλάµε για συστήµατα γραµµικών εξισώσεων και ϑα µιλήσουµε για µία µέθοδο για την επίλυση γραµµικών συστηµάτων Μία ευθεία γραµµή στο επίπεδο xy µπορεί να αναπαρασταθεί αλγεβρικά από µία εξίσωση της µορφής ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ a x + a y = b Μία εξίσωση αυτής της µορφής ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε µεταβλητές x και y Γενικότερα ϑα ονοµάζουµε γραµµική εξίσωση µε n µεταβλητές x, x,, x n µία εξίσωση η οποία µπορεί να εκφραστεί στη µορφή a x + a x + + a n x n = b όπου τα a, a,, a n και b είναι πραγµατικές σταθερές Πολλές ϕορές οι µεταβλητές µίας γραµµικής εξίσωσης ονοµάζονται και άγνωστοι Παράδειγµα Οι παρακάτω είναι γραµµικές εξισώσεις : x + 3y = 7 x x 3x 3 + x 4 = 7 y = x + 3z + x + x + + x n = 3

4 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Παρατηρούµε ότι µία γραµµική εξίσωση δεν περιλαµβάνει γινόµενα ή ϱίζες των µεταβλητών Ολες οι µεταβλητές εµφανίζονται µόνο στην πρώτη δύναµη και δεν εµφανίζονται σαν ορίσµατα τριγωνοµετρικών, λογαριθµικών ή εκθετικών συναρτήσεων Οι παρακάτω δεν είναι γραµµικές εξισώσεις : x + 3y = 7 3x + y z + xz = 4 y sin x = 0 x + x + x 3 = Μία λύση της γραµµικής εξίσωσης a x +a x + +a n x n = b είναι µία ακολου- ϑία n αριθµών s, s,, s n οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση αν αντικαταστήσουµε x = s, x = s,, x n = s n Το σύνολο όλων των λύσεων της εξίσωσης ονοµάζεται σύνολο λύσεων ή γενική λύση της εξίσωσης Παράδειγµα Να ϐρεθεί το σύνολο λύσεων των (α) 4x y = (ϐ) x 4x + 7x 3 = 5 Λύση (α) Για να ϐρούµε τις λύσεις της (α), µπορούµε είτε να δώσουµε µία αυθαίρετη τιµή στο x και να λύσουµε ως προς y, είτε να δώσουµε µία αυθαίρετη τιµή στο y και να λύσουµε ως προς x Αν ακολουθήσουµε την πρώτη προσέγγιση και δώσουµε στο x την αυθαίρετη τιµή t, παίρνουµε x = t, y = t Οι τύποι αυτοί περιγράφουν το σύνολο λύσεων µέσω της αυθαίρετης παραµέτρου t Μπορούµε να πάρουµε συγκεκριµένες αριθµητικές λύσεις αντικαθιστώντας στους τύπους αυτούς συγκεκριµένες τιµές της t Για παράδειγµα για t = 3 παίρνουµε τη λύση x = 3, y = / και για t = / παίρνουµε τη λύση x = /, y = 3/ Αν ακολουθήσουµε την δεύτερη προσέγγιση και δώσουµε στο y την αυθαίρετη τιµή t παίρνουµε x = t + 4, y = t Παρόλο που οι τύποι αυτοί είναι διαφορετικοί από αυτούς που πήραµε στην προηγούµενη περίπτωση, δίνουν το ίδιο σύνολο λύσεων µε τους προηγούµενους αν στη ϑέση της t αντικαταστήσουµε όλους τους πραγµατικούς αριθµούς Για παράδειγµα οι προηγούµενοι τύποι µας έδωσαν τη λύση x = 3, y = / για t = 3, ενώ οι τύποι αυτοί µας δίνουν τη λύση αυτή για t = /

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 5 Λύση (ϐ) Για να ϐρούµε το σύνολο λύσεων της (ϐ) µπορούµε να δώσουµε αυθαίρετες τιµές σε οποιεσδήποτε δύο µεταβλητές και να λύσουµε ως προς την τρίτη Για παράδειγµα αν δώσουµε τις αυθαίρετες τιµές s και t στις x και x 3 αντίστοιχα, και λύσουµε ως προς x παίρνουµε x = 5 + 4s 7t, x = s, x 3 = t Ενα πεπερασµένο σύνολο γραµµικών εξισώσεων µε µεταβλητές x, x,, x n ονο- µάζεται σύστηµα γραµµικών εξισώσεων ή γραµµικό σύστηµα Μία ακολουθία ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ αριθµών s, s,, s n ονοµάζεται λύση του συστήµατος αν x = s, x = s,, x n = s n είναι λύση κάθε εξίσωσης του συστήµατος Για παράδειγµα το σύστηµα 4x x + 3x 3 = 3x + x + 9x 3 = 4 έχει τη λύση x =, x =, x 3 =, εφόσον οι τιµές αυτές ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Από την άλλη, η x =, x = 8, x 3 = δεν είναι λύση, εφόσον οι τιµές αυτές ικανοποιούν µόνο την πρώτη από τις δύο εξισώσεις του συστήµατος Υπάρχουν συστήµατα γραµµικών εξισώσεων τα οποία δεν έχουν λύσεις Για παράδειγµα αν πολλαπλασιάσουµε τη δεύτερη εξίσωση του συστήµατος µε / παίρνουµε το ισοδύναµο σύστηµα x + y = 4 x + y = 6 x + y = 4 x + y = 3 το οποίο προφανώς δεν έχει καµία λύση εφόσον οι δύο εξισώσεις του είναι αντιφατικές Ενα σύστηµα εξισώσεων το οποίο δεν έχει καµία λύση ϑα ονοµάζεται µη συµβιβαστό Αν υπάρχει τουλάχιστον µία λύση τότε το σύστηµα ϑα ονοµάζεται συµβιβαστό Για να δούµε τις πιθανές καταστάσεις που µπορεί να προκύψουν κατά την επίλυση ενός συστήµατος γραµµικών εξισώσεων, ας ϑεωρήσουµε το γενικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε αγνώστους x και y: a x + b y = c (a, b όχι και οι δύο 0) a x + b y = c (a, b όχι και οι δύο 0) Οι δύο αυτές εξισώσεις περιγράφουν δύο ευθείες γραµµές, τις l και l Εφόσον ένα σηµείο (x, y) ϐρίσκεται σε µία ευθεία αν και µόνο αν οι αριθµοί x και y ικανοποιούν

6 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ την εξίσωση της ευθείας, οι λύσεις του συστήµατος ϑα αντιστοιχούν στα σηµεία τοµής των l και l Υπάρχουν τρείς πιθανές περιπτώσεις (Σχήµα ): (α) Οι ευθείες l και l είναι παράλληλες Στην περίπτωση αυτή δεν τέµνονται σε κανένα σηµείο και άρα το σύστηµα δεν έχει καµία λύση (ϐ) Οι ευθείες l και l τέµνονται σε ένα µόνο σηµείο Στην περίπτωση αυτή το σύστηµα έχει ακριβώς µία λύση (γ) Οι ευθείες l και l ταυτίζονται Στην περίπτωση αυτή τέµνονται σε άπειρα σηµεία και άρα το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις Σχήµα Παρότι συζητήσαµε µόνο την περίπτωση δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους, ϑα δείξουµε παρακάτω ότι το ίδιο συµπέρασµα ισχύεί για οποιοδήποτε γραµµικό σύστηµα : Κάθε σύστηµα γραµµικών εξισώσεων είτε δεν έχει καµία λύση, είτε έχει ακριβώς µία λύση, είτε έχει άπειρες λύσεις Θα γράφουµε ένα σύστηµα m γραµµικών εξισώσεων µε n αγνώστους ως εξής a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a m x + a m x + + a mn x n = b m όπου x, x,, x n είναι οι άγνωστοι και τα a και b µε τους δείκτες είναι σταθερές Για παράδειγµα η γενική µορφή ενός συστήµατος τριών γραµµικών εξισώσεων µε τέσσερεις αγνώστους είναι : a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 4 = b a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 4 = b a 3 x + a 3 x + a 33 x 3 + a 34 x 4 = b 3 a 4 x + a 4 x + a 43 x 3 + a 44 x 4 = b 4 Ο διπλός δείκτης κάθε συντελεστή των αγνώστων είναι ιδιαίτερα χρήσιµος, γιατί µας επιτρέπει να προσδιορίσουµε τη ϑέση του συντελεστή στο σύστηµα Ο πρώτος δείκτης του συντελεστή a ij µας δείχνει σε ποια εξίσωση εµφανίζεται ο συντελεστής και ο δεύτερος δείκτης του συντελεστή µας δείχνει ποιος άγνωστος πολλαπλασιάζεται µε τον συντελεστή Ετσι ο a ϐρίσκεται στην πρώτη εξίσωση και πολλαπλασιάζεται µε τον άγνωστο x Η γραφή του συστήµατος m γραµµικών εξισώσεων µε n αγνώστους µπορεί να συντοµευθεί, αρκεί να ϑυµόµαστε που µπαίνουν τα +, τα x και τα =, γράφοντας µόνο

7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 7 την ορθογώνια διευθέτηση αριθµών : a a a n b a a a n b a m a m a mn b m Θα ονοµάζουµε την ορθογώνια αυτή διευθέτηση αριθµών επαυξηµένο πίνακα του συστήµατος (Ο όρος πίνακας χρησιµοποιείται στα µαθηµατικά για ορθογώνιες διευ- ϑετήσεις αριθµών Οι πίνακες εµφανίζονται σε πολλές περιοχές Θα τους µελετήσουµε λεπτοµερώς σε παρακάτω ενότητες) Για παράδειγµα ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ο x + x + x 3 = 9 x + 4x 3x 3 = 3x + 6x 5x 3 = ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Οταν κατασκευάζουµε τον επαυξηµένο πίνακα ενός συστήµατος οι άγνωστοι πρέπει να γράφονται µε την ίδια σειρά σε κάθε εξίσωση Η κύρια µέθοδος που ακολουθούµε για να λύσουµε ένα σύστηµα γραµµικών εξισώσεων είναι η αντικατάσταση του δοσµένου συστήµατος µε ένα νέο σύστηµα το οποίο έχει το ίδιο σύνολο λύσεων µε το αρχικό, αλλά το οποίο είναι πιο εύκολο να λυθεί Το νέο αυτό σύστηµα το παίρνουµε σε µία σειρά ϐηµάτων εφαρµόζοντας τους παρακάτω τρείς τύπους διαδικασιών ώστε να απαλείψουµε τους αγνώστους συστηµατικά Πολλαπλασιάζουµε όλους τους όρους µίας εξίσωσης µε µία µη µηδενική σταθερά Εναλλάσουµε δύο εξισώσεις 3 Προσθέτουµε ένα πολλαπλάσιο µίας εξίσωσης σε µία άλλη Εφόσον οι γραµµές (οριζόντιες γραµµές) του επαυξηµένου πίνακα αντιστοιχούν στις εξισώσεις του αντίστοιχου συστήµατος, η εφαρµογή αυτών των τριών διαδικασιών στις εξισώσεις του συστήµατος αντιστοιχεί στην εφαρµογή των παρακάτω τριών διαδικασιών στις γραµµές του επαυξηµένου πίνακα Πολλαπλασιάζουµε όλους τους αριθµούς µίας γραµµής µε µία µη µηδενική σταθερά Εναλλάσουµε δύο γραµµές 3 Προσθέτουµε ένα πολλαπλάσιο µίας γραµµής σε µία άλλη

8 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Οι διαδικασίες αυτές ονοµάζονται στοιχειώδεις διαδικασίες γραµµών Στο επό- µενο παράδειγµα ϑα δούµε πώς χρησιµοποιούµε τις διαδικασίες αυτές για να λύσουµε ένα σύστηµα γραµµικών εξισώσεων Εφόσον µία µέθοδος µε την οποία ϐρίσκουµε λύσεις ϑα αναπτυχθεί στην επόµενη ενότητα, δεν χρειάζεται να ανησυχείτε για τον τρόπο ΣΤΟΙΧΕΙΩ- ΕΙΣ ΙΑ Ι- ΚΑΣΙΕΣ ΓΡΑΜΜΩΝ µε τον οποίο επιλέξαµε τα ϐήµατα στο παράδειγµα αυτό Η κύρια προσπάθειά σας πρέπει να είναι να καταλάβετε τους υπολογισµούς Παράδειγµα 3 Στην αριστερή στήλη λύνουµε ένα σύστηµα γραµµικών εξισώσεων εφαρµόζοντας τις στοιχειώδεις διαδικασίες στις εξισώσεις του συστήµατος και στη δεξιά στήλη λύνουµε το ίδιο σύστηµα εφαρµόζοντας τις στοιχειώδεις διαδικασίες στις γραµµές του επαυξηµένου πίνακα x + y + z = 9 x + 4y 3z = 3x + 6y 5z = 0 Προσθέτουµε - ϕορές την πρώτη εξίσωση στη δεύτερη και παίρνουµε x + y + z = 9 y 7z = 7 3x + 6y 5z = 0 Προσθέτουµε -3 ϕορές την πρώτη εξίσωση στην τρίτη και παίρνουµε x + y + z = 9 y 7z = 7 3y z = 7 Πολλαπλασιάζουµε τη δεύτερη εξίσωση µε / και παίρνουµε x + y + z = 9 y 7 z = 7 3y z = 7 Προσθέτουµε -3 ϕορές τη δεύτερη εξίσωση στην τρίτη και παίρνουµε x + y + z = 9 y 7 z = 7 z = Προσθέτουµε - ϕορές την πρώτη γραµµή στη δεύτερη και παίρνουµε Προσθέτουµε -3 ϕορές την πρώτη γραµµή στην τρίτη και παίρνουµε Πολλαπλασιάζουµε τη δεύτερη γραµµή µε / και παίρνουµε Προσθέτουµε -3 ϕορές τη δεύτερη εξίσωση στην τρίτη και παίρνουµε

9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 9 Πολλαπλασιάζουµε την τρίτη εξίσωση µε - και παίρνουµε x + y + z = 9 y 7 z = 7 z = 3 Προσθέτουµε - ϕορά τη δεύτερη εξίσωση στην πρώτη και παίρνουµε x + z = 35 y 7 z = 7 z = 3 Προσθέτουµε ϕορές την τρίτη εξίσωση στην πρώτη και 7 ϕορές την τρίτη εξίσωση στην δεύτερη και παίρνουµε x = y = z = 3 Είναι προφανές ότι η λύση είναι Πολλαπλασιάζουµε την τρίτη γραµµή µε - και παίρνουµε Προσθέτουµε - ϕορά τη δεύτερη γραµµή στην πρώτη και παίρνουµε Προσθέτουµε ϕορές την τρίτη γραµµή στην πρώτη και 7 ϕορές την τρίτη γραµµή στην δεύτερη και παίρνουµε x =, y =, z = 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ Ποιες από τις παρακάτω είναι γραµµικές εξισώσεις µε µεταβλητές x, x και x 3 ; (α) x + 5x x 3 = (ϐ) x 3x + x x 3 = (γ) x = 7x + 3x 3 (δ) x + x + 8x 3 = 5 (ε) x 3/5 x + x 3 = 4 (στ) πx x + 3 x 3 = 7 /3 Αν k είναι µία σταθερά, ποιες από τις παρακάτω είναι γραµµικές εξισώσεις ; (α) x x + x 3 = sin k (ϐ) kx k x = 9 (γ) k x + 7x x 3 = 0 3 Να ϐρεθεί το σύνολο λύσεων κάθε µίας από τις παρακάτω γραµµικές εξισώσεις (α) 7x 5y = 3 (ϐ) 3x 5x + 4x 3 = 7 (γ) 8x + x 5x 3 + 6x 4 = (δ) 3v 8w + x y + 4z = 0 4 Να ϐρεθεί ο επαυξηµένος πίνακας για κάθε ένα από τα παρακάτω συστήµατα γραµµικών εξισώσεων (α) 3x x = 4x + 5x = 3 7x + 3x = (γ) x + x x 4 + x 5 = 3x + x 3 x 5 = x 3 + 7x 4 = (ϐ) x + x 3 = 3x x + 4x 3 = 7 6x + x x 3 = 0 (δ) x = x = x 3 = 3

10 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ 5 Να ϐρεθεί το σύστηµα που αντιστοιχεί σε κάθε έναν από τους παρακάτω επαυξη- µένους πίνακες (α) (γ) [ (ϐ) (δ) (α) Βρείτε µία γραµµική εξίσωση µε µεταβλητές x και y η οποία έχει γενική λύση x = 5 + t, y = t (ϐ) είξτε ότι η x = t, y = t 5 είναι επίσης γενική λύση της εξίσωσης του µέρους (α) 7 Η καµπύλη y = ax + bx + c του Σχήµατος περνάει από τα σηµεία (x, y ), (x, y ) και (x 3, y 3 ) είξτε ότι οι συντελεστές a, b και c είναι µία λύση του συστήµατος µε επαυξηµένο πίνακα x x y x x y x 3 x 3 y 3 Σχήµα 8 Για ποια τιµή (τιµές) της σταθεράς k δεν έχει το παρακάτω σύστηµα καµία λύση ; Εχει ακριβώς µία λύση ; Εχει άπειρες λύσεις ; x y = 3 x y = k 9 Θεωρήστε το σύστηµα εξισώσεων ax + by = k cx + dy = l ex + fy = m Ποιες ϑα είναι οι σχετικές ϑέσεις των ευθειών ax+by = k, cx+dy = l και ex+fy = m όταν (α) το σύστηµα δεν έχει καµία λύση (ϐ) το σύστηµα έχει ακριβώς µία λύση (γ) το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις 0 είξτε ότι αν το σύστηµα εξισώσεων της Άσκησης 9 είναι συµβιβαστό, τότε τουλάχιστον µία από τις εξισώσεις µπορεί να αφαιρεθεί χωρίς να αλλάξει το σύνολο λύσεων

11 ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAUSS Εστω k = l = m = 0 στην Άσκηση 9 είξτε ότι το σύστηµα είναι συµβιβαστό Τι µπορούµε να πούµε για το σηµείο τοµής των τριών ευθειών αν το σύστηµα έχει ακριβώς µία λύση ; Θεωρήστε το σύστηµα εξισώσεων x + y + z = a x + z = b x + y + 3z = c είξτε ότι για να είναι το σύστηµα συµβιβαστό, πρέπει τα a, b και c να ικανοποιούν τη συνθήκη c = a + b 3 είξτε ότι αν οι γραµµικές εξισώσεις x + kx = c και x + lx = d έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων, τότε ταυτίζονται Απαλοιφή Gauss Στην ενότητα αυτή ϑα δούµε µία συστηµατική διαδικασία για την εύρεση των λύσεων συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων Η διαδικασία αυτή ϐασίζεται στην ιδέα της αναγωγής του επαυξηµένου πίνακα σε µία µορφή για την οποία η εύρεση της λύσης είναι απλή Στο Παράδειγµα 3 της προηγούµενης ενότητας λύσαµε το δοθέν γραµµικό σύστηµα ανάγοντας τον επαυξηµένο πίνακα στον ΑΝΗΓΜΕΝΗ ΚΛΙΜΑΚΩΤΗ ΜΟΡΦΗ από τον οποίο η λύση του συστήµατος ήταν προφανής Αυτό είναι ένα παράδειγµα ενός πίνακα ο οποίος ϐρίσκεται σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή Για να ϐρίσκεται στη µορφή αυτή ένας πίνακας πρέπει να έχει τις ακόλουθες ιδιότητες Αν µία γραµµή δεν αποτελείται αποκλειστικά από µηδενικά, τότε ο πρώτος µη µηδενικός αριθµός της γραµµής είναι το (Τον ονοµάζουµε αρχικό ) Αν υπάρχουν γραµµές οι οποίες αποτελούνται αποκλειστικά από µηδενικά, τότε είναι οµαδοποιηµένες όλες στο κάτω µέρος του πίνακα 3 Σε οποιεσδήποτε δύο διαδοχικές γραµµές οι οποίες δεν αποτελούνται αποκλειστικά από µηδενικά, το αρχικό της γραµµής η οποία είναι πιο χαµηλά ϐρίσκεται δεξιότερα από το αρχικό της γραµµής η οποία είναι πιο ψηλά 4 Κάθε στήλη η οποία περιέχει ένα αρχικό έχει µηδενικά σε όλες τις άλλες ϑέσεις

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Αν ένας πίνακας έχει τις ιδιότητες, και 3 (άλλα όχι αναγκαστικά την 4), τότε ϑα λέµε ότι ϐρίσκεται σε κλιµακωτή µορφή Παράδειγµα Οι παρακάτω πίνακες είναι σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή [ 0 0 7, 0 0, , Οι παρακάτω πίνακες είναι σε κλιµακωτή µορφή , 0 0, Ο αναγνώστης πρέπει να επιβεβαιώσει ότι ο κάθε ένας από τους παραπάνω πίνακες ικανοποιεί τις αναγκαίες ιδιότητες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Οπως ϕαίνεται από το προηγούµενο παράδειγµα ένας πίνακας σε κλι- µακωτή µορφή έχει µηδενικά κάτω από κάθε αρχικό, ενώ ένας πίνακας σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή έχει µηδενικά και πάνω και κάτω από κάθε αρχικό Αν µετά από µία ακολουθία στοιχειωδών διαδικασιών γραµµών ο επαυξηµένος πίνακας ενός συστήµατος ϐρεθεί σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή, τότε η λύση του συστήµατος µπορεί να ϐρεθεί είτε άµεσα είτε, στη χειρότερη περίπτωση, µετά από λίγα απλά ϐήµατα, όπως ϑα δούµε στο επόµενο παράδειγµα Παράδειγµα Εστω ότι ο επαυξηµένος πίνακας ενός συστήµατος γραµµικών εξισώσεων έχει αναχθεί µε διαδικασίες γραµµών στην δοθείσα ανηγµένη κλιµακωτή µορφή Να λυθεί το σύστηµα (α) (γ) (ϐ) (δ) Λύση (α) Το αντίστοιχο σύστηµα εξισώσεων είναι το Είναι άµεσο ότι x = 5, x =, x 3 = 4 x = 5 x = x 3 = 4

13 ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAUSS 3 Λύση (ϐ) Το αντίστοιχο σύστηµα εξισώσεων είναι το x + 4x 4 = x + x 4 = 6 x 3 + 3x 4 = Εφόσον οι x, x και x 3 αντιστοιχούν σε αρχικά στον επαυξηµένο πίνακα, ϑα τις ονοµάζουµε ϐασικές µεταβλητές Τις µεταβλητές που δεν είναι ϐασικές (στην περίπτωση αυτή την x 4 ) ϑα τις ονοµάζουµε ελέυθερες µεταβλητές Λύνοντας ως προς τις ϐασικές µεταβλητές συναρτήσει της ελέυθερης µεταβλητής παίρνουµε x = 4x 4 x = 6 x 4 x 3 = 3x 4 Εφόσον η x 4 µπορεί να πάρει µία αυθαίρετη τιµή, έστω t, έχουµε άπειρες λύσεις Η γενική λύση δίνεται από τους τύπους x = 4t, x = 6 t, x 3 = 3t, x 4 = t Λύση (γ) Το αντίστοιχο σύστηµα εξισώσεων είναι το x + 6x + 4x 5 = x 3 + 3x 5 = x 4 + 5x 5 = Εδώ οι ϐασικές µεταβλητές είναι οι x, x 3 και x 4 και οι ελεύθερες µεταβλητές είναι οι x και x 5 Λύνοντας ως προς τις ϐασικές µεταβλητές συναρτήσει των ελέυθερων µεταβλητών παίρνουµε x = 4x 5 6x x 3 = 3x 5 x 4 = 5x 5 Εφόσον µπορούµε να δώσουµε µία αυθαίρετη τιµή, t, στην x 5, και µία αυθαίρετη τιµή, s, στην x, υπάρχουν άπειρες λύσεις Η γενική λύση δίνεται από τους τύπους x = 4t 6s, x = s, x 3 = 3t, x 4 = 5t, x 5 = t Λύση (δ) Η τελευταία εξίσωση στο αντίστοιχο σύστηµα εξισώσεων είναι η 0x + 0x + 0x 3 = Εφόσον η εξίσωση αυτή δεν ικανοποιείται ποτέ, το σύστηµα δεν έχει καµία λύση

14 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAUSS Μόλις είδαµε πόσο εύκολο είναι να λύσουµε ένα σύστηµα γραµµικών εξισώσεων αν ο επαυξηµένος του πίνακάς είναι σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή Τώρα ϑα δόσουµε µία διαδικασία σε ϐήµατα, η οποία µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να αναχθεί ένας πίνακας στην ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του Για να γίνει πιο ξεκάθαρο τι κάνουµε, µαζί µε την διατύπωση κάθε ϐήµατος της διαδικασίας ϑα το εφαρµόζουµε στον παρακάτω πίνακα για να πάρουµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του Βήµα ο Εντοπίζουµε την πιο αριστερή στήλη η οποία δεν αποτελείται αποκλειστικά από µηδενικά Πιο αριστερή µη µηδενική στήλη Βήµα ο Αν είναι αναγκαίο εναλλάσουµε την γραµµή που ϐρίσκεται στην κορυφή του πίνακα µε µία άλλη γραµµή για να ϕέρουµε ένα µη µηδενικό στοιχείο στην κορυφή της στήλης που ϐρήκαµε στο Βήµα Εναλλάξαµε την πρώτη µε τη δεύτερη γραµµή του προηγούµενου πίνακα Βήµα 3ο Αν το στοιχείο το οποίο ϐρίσκεται τώρα στην κορυφή της στήλης την οποία ϐρήκαµε στο Βήµα είναι a, τότε πολλαπλασιάζουµε την πρώτη γραµµή µε /a για να πάρουµε ένα αρχικό Πολλαπλασιάσαµε την πρώτη γραµ- µή του προηγούµενου πίνακα µε / Βήµα 4ο Προσθέτουµε κατάλληλα πολλαπλάσια της γραµµής η οποία ϐρίσκεται στην κορυφή στις γραµµές κάτω από αυτήν ώστε όλα τα στοιχεία κάτω από το αρχικό να γίνουν Προσθέσαµε - ϕορές την πρώτη γραµµή του προηγούµενου πίνακα στην τρίτη γραµµή Βήµα 5ο Τώρα καλύπτουµε την γραµµή που ϐρίσκεται στην κορυφή του πίνακα και αρχίζουµε πάλι εφαρµόζοντας το Βήµα στον υποπίνακα που αποµένει Συνεχίζουµε µε αυτό τον τρόπο µέχρι όλος ο πίνακας να είναι σε κλιµακωτή µορφή Πιο αριστερή µη µηδενική στήλη του υποπίνακα

15 ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAUSS Πολλαπλασιάσαµε την πρώτη γραµ- µή του υποπίνακα µε -/ για να πά- ϱουµε ένα αρχικό Προσθέσαµε -5 ϕορές την πρώτη γραµµή του υποπίνακα στη δεύτερη γραµµή του υποπίνακα για να πά- ϱουµε µηδενικά κάτω από το αρχικό Καλύπτουµε την πρώτη γραµµή του υποπίνακα και γυρνάµε στο Βήµα Πιο αριστερή µη µηδενική στήλη του νέου υποπίνακα Πολλαπλασιάσαµε την πρώτη (και µοναδική) γραµµή του νέου υποπίνακα µε για να πάρουµε ένα αρχικό Ο πίνακας ϐρίσκεται τώρα σε κλιµακωτή µορφή Για να πάρουµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή χρειαζόµαστε το παρακάτω πρόσθετο ϐήµα Βήµα 6ο Αρχίζοντας από την τελευταία γραµµή και δουλεύοντας προς τα πάνω, προσθέτουµε κατάλληλα πολλαπλάσια κάθε γραµµής στις πάνω από αυτήν γραµµές για να πάρουµε µηδενικά πάνω από τα αρχικά Προσθέσαµε 7/ ϕορές την τρίτη γραµµή του προηγούµενου πίνακα στη δεύτερη γραµµή Προσθέσαµε -6 ϕορές την τρίτη γραµ- µή στην πρώτη γραµµή Προσθέσαµε 5 ϕορές τη δεύτερη γραµµή στην πρώτη γραµµή Ο τελευταίος πίνακας είναι σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή Η παραπάνω διαδικασία αναγωγής ενός πίνακα στην ανηγµένη κλιµακωτή µορ- ϕή του ονοµάζεται απαλοιφή Gauss-Jordan Αν χρησιµοποιήσουµε µόνο τα πέντε πρώτα ϐήµατα, τότε παίρνουµε την κλιµακωτή µορφή και η διαδικασία ονοµάζεται απαλοιφή Gauss Παράδειγµα 3 Να λυθεί µε απαλοιφή Gauss-Jordan το x + 3x x 3 + x 5 = 0 x + 6x 5x 3 x 4 + 4x 5 3x 6 = 5x 3 + 0x 4 + 5x 6 = 5 x + 6x + 8x 4 + 4x 5 + 8x 6 = 6

16 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ο Προσθέτοντας - ϕορές την πρώτη γραµµή στην δεύτερη και την τέταρτη γραµµή παίρνουµε τον Πολλαπλασιάζοντας την δεύτερη γραµµή µε - και µετα προσθέτοντας -5 ϕορές την δεύτερη γραµµή στην τρίτη γραµµή και -4 ϕορές την δεύτερη γραµµή στην τέταρτη γραµµή παίρνουµε τον Εναλλάσοντας την τρίτη και την τέταρτη γραµµή και µετά πολλαπλασιάζοντας την τρίτη γραµµή του πίνακα που προκύπτει µε /6 παίρνουµε την κλιµακωτή µορφή Προσθέτοντας -3 ϕορές την τρίτη γραµµή στη δεύτερη γραµµή και µετα προσθέτοντας ϕορές την δεύτερη γραµµή του πίνακα που προκύπτει στην πρώτη γραµµή παίρνουµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή Το αντίστοιχο σύστηµα εξισώσεων είναι το x + 3x + 4x 4 + x 5 = 0 x 3 + x 4 = 0 x 6 = 3 (Παραλείψαµε την τελευταία εξίσωση 0x + 0x + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 = 0, εφόσον ϑα ικανοποιείται αυτόµατα από τις λύσεις των υπόλοιπων εξισώσεων) Λύνοντας ως προς τις ϐασικές µεταβλητές παίρνουµε x = 3x 4x 4 x 5 x 3 = x 4 x 6 = 3

17 ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAUSS 7 Αν δώσουµε στις ελεύθερες µεταβλητές x, x 4 και x 5 τις αυθαίρετες τιµές r, s και t αντίστοιχα, τότε η γενική λύση δίνεται από τους τύπους x = 3r 4s t, x = r, x 3 = s, x 4 = s, x 5 = t, x 6 = 3 Παράδειγµα 4 Κάποιες ϕορές είναι προτιµότερο να λύσουµε ένα σύστηµα γραµ- ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΙΣΩ µικών εξισώσεων χρησιµοποιώντας απαλοιφή Gauss για να πάρουµε την κλιµακωτή µορφή του επαυξηµένου πίνακα, χωρίς να σύνεχίσουµε για να ϐρούµε την ανηγµένη ΑΝΤΙΚΑΤΑ- ΣΤΑΣΗ κλιµακωτή µορφή Οταν κάνουµε κάτι τέτοιο το αντίστοιχο σύστηµα λύνεται µε µία τεχνική η οποία ονοµάζεται προς τα πίσω αντικατάσταση Θα χρησιµοποιήσουµε το σύστηµα του Παραδείγµατος 3 για να δείξουµε πώς δουλεύει η µέθοδος αυτή Από τους υπολογισµούς του Παραδείγµατος 3 η κλιµακωτή µορφή του επαυξηµένου πίνακα είναι η Για να λύσουµε το αντίστοιχο σύστηµα εξισώσεων προχωράµε ως εξής : x + 3x x 3 + x 5 = 0 x 3 + x 4 + 3x 6 = x 6 = 3 Βήµα ο Λύνουµε τις εξισώσεις ως προς τις ϐασικές µεταβλητές x = 3x + x 3 x 5 x 3 = x 4 3x 6 x 6 = 3 Βήµα ο Αρχίζοντας από την τελευταία εξίσωση και δουλεύοντας προς τα πάνω, αντικαθιστούµε διαδοχικά κάθε εξίσωση σε όλες τις εξισώσεις που ϐρίσκονται πάνω από αυτήν Αντικαθιστώντας x 6 = 3 στην δεύτερη εξίσωση παίρνουµε x = 3x + x 3 x 5 x 3 = x 4 x 6 = 3 Αντικαθιστώντας x 3 = x 4 στην πρώτη εξίσωση παίρνουµε x = 3x 4x 4 x 5 x 3 = x 4 x 6 = 3 Βήµα 3ο ίνουµε αυθαίρετες τιµές στις ελεύθερες µεταβλητές, εφόσον υπάρχουν

18 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Αν δώσουµε στις ελεύθερες µεταβλητές x, x 4 και x 5 τις αυθαίρετες τιµές r, s και t αντίστοιχα, τότε η γενική λύση δίνεται από τους τύπους x = 3r 4s t, x = r, x 3 = s, x 4 = s, x 5 = t, x 6 = 3 Βλέπουµε ότι το αποτέλεσµα είναι το ίδιο µε αυτό του Παραδείγµατος 3 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Οι αυθαίρετες τιµές που δίνουµε στις ελεύθερες µεταβλητές συχνά ονοµάζονται παράµετροι Παρότι γενικά ϑα χρησιµοποιούµε τα γράµµατα r, s, t, για τις παραµέτρους, οποιαδήποτε γράµµατα τα οποία δεν έρχονται σε αντίθεση µε τα ονόµατα των µεταβλητών µπορούν να χρησιµοποιηθούν Παράδειγµα 5 Να λυθεί το x + y + z = 9 x + 4y 3z = 3x + 6y 5z = 0 µε απαλοιφή Gauss και προς τα πίσω αντικατάσταση Λύση Αυτό είναι το σύστηµα του Παραδείγµατος 3 της Ενότητας Στο παράδειγµα αυτό µετατρέψαµε τον επαυξηµένο πίνακα στην κλιµακωτή µορφή Το σύστηµα το οποίο αντίστοιχεί σε αυτόν τον πίνακα είναι το x + y + z = 9 y 7 z = 7 z = 3 Λύνοντας ως προς τις ϐασικές µεταβλητές παίρνουµε x = 9 y z y = z z = 3 Αντικαθιστώντας την τελευταία εξίσωση στις από πάνω της παίρνουµε x = 3 y y = z = 3 και αντικαθιστώντας την δεύτερη εξίσωση στην πρώτη παίρνουµε x = y = z = 3

19 ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAUSS 9 Το αποτέλεσµα αυτό είναι το ίδιο µε αυτό που ϐρήκαµε στο Παράδειγµα 3 της Ενότητας µε απαλοιφή Gauss-Jordan Οι διαδικασίες που δώσαµε για την αναγωγή ενός πίνακα σε κλιµακωτή µορφή και ανηγµένη κλιµακωτή µορφή µπορούν να χρησιµοποιηθούν για υπολογισµούς µε υπολογιστή γιατί είναι συστηµατικές Από την άλλη στις διαδικασίες αυτές εµφανί- Ϲονται µερικές ϕορές κλάσµατα, πράγµα που µπορεί να αποφευχθεί αν αλλάξουµε τη σειρά των ϐηµάτων µε σωστό τρόπο Ετσι, όταν ο αναγνώστης έχει µάθει καλά να χρησιµοποιεί τη ϐασική διαδικασία, µπορεί να προσπαθήσει σε συγκεκριµένα προ- ϐλήµατα να αλλάξει τη σειρά των ϐηµάτων για να αποφύγει τα κλάσµατα (ϐλ Άσκηση 5) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Μπορεί να αποδειχθεί, παρότι δεν ϑα το κάνουµε εδώ, ότι κάθε πίνακας έχει µοναδική ανηγµένη κλιµακωτή µορφή, δηλαδή για έναν συγκεκριµένο πίνακα µε όποιον τρόπο κι αν εφαρµόσουµε τις στοιχειώδεις διαδικασίες γραµµών ϕτάνου- µε πάντα στην ίδια ανηγµένη κλιµακωτή µορφή Αντίθετα η κλιµακωτή µορφή ενός πίνακα δεν είναι µοναδική Αλλάζοντας τη σειρά των στοιχειωδών διαδικασιών γραµ- µών µπορεί να καταλήξουµε σε διαφορετική κλιµακωτή µορφή (ϐλ Άσκηση 6) Για το λόγο αυτό µιλάµε για την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή ενός πίνακα και για µία κλιµακωτή µορφή ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Οι περισσσότεροι αλγόριθµοι που χρησιµοποιούνται από υπολογιστές για τη λύση συστηµάτων χρησιµοποιούν την απαλοιφή Gauss και όχι την απαλοιφή Gauss-Jordan Επίσης η ϐασική διαδικασία συχνά τροποποιείται µε πολλούς δια- ϕορετικούς τρόπους ώστε να ελαττωθούν τα σφάλµατα κατά τη στρογγυλοποίηση, να ελαχιστοποιηθεί ο απαραίτητος χώρος αποθήκευσης και να µεγιστοποιηθεί η ταχύτητα Για παράδειγµα πολλοί τέτοιοι αλγόριθµοι δεν κανονικοποιούν το ϐασικό στοιχείο κάνοντάς το ίσο µε

20 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ Ποιοι από τους παρακάτω 3 3 πίνακες είναι σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή ; (α) (δ) (Ϲ) (ϐ) (ε) (η) (γ) (στ) (ϑ) Ποιοι από τους παρακάτω 3 3 πίνακες είναι σε κλιµακωτή µορφή ; (α) (δ) (ϐ) (ε) (γ) (στ) Για κάθε έναν από τους παρακάτω πίνακες εξετάστε αν είναι σε κλιµακωτή µορφή, σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή, και στις δύο ή σε καµία από τις δύο (α) (δ) [ (ϐ) (ε) (γ) (στ) [ Για κάθε έναν από τους παρακάτω πίνακες υποθέστε ότι ο επαυξηµένος πίνακας ενός συστήµατος γραµµικών εξισώσεων έχει αναχθεί µε διαδικασίες γραµµών σε αυτή την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή Λύστε το σύστηµα (α) (γ) (ϐ) (δ) Για κάθε έναν από τους παρακάτω πίνακες υποθέστε ότι ο επαυξηµένος πίνακας ενός συστήµατος γραµµικών εξισώσεων έχει αναχθεί µε διαδικασίες γραµµών σε αυτή

21 ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAUSS την κλιµακωτή µορφή Λύστε το σύστηµα (α) (γ) (ϐ) (δ) Να λυθεί το κάθε ένα από τα παρακάτω συστήµατα µε απαλοιφή Gauss-Jordan (α) x + x + x 3 = 8 x x + 3x 3 = 3x 7x + 4x 3 = 0 (γ) x y + z w = x + y z w = x + y 4z + w = 3x 3w = 3 (ϐ) x + x + x 3 = 0 x + 5x + x 3 = 8x + x + 4x 3 = (δ) b + 3c = 3a + 6b 3c = 6a + 6b + 3c = 5 7 Να λυθεί το κάθε ένα από τα συστήµατα της Άσκησης 6 µε απαλοιφή Gauss 8 Να λυθεί το κάθε ένα από τα παρακάτω συστήµατα µε απαλοιφή Gauss-Jordan (α) x 3x = x + x = 3x + x = (γ) 4x 8x = 3x 6x = 9 x + 4x = 6 (ϐ) 3x + x x 3 = 5 5x + 3x + x 3 = 0 3x + x + 3x 3 = 6x 4x + x 3 = 30 (δ) 0y 4z + w = x + 4y z + w = 3x + y + z + w = 5 x 8y + z w = 4 x 6y + 3z = 9 Να λυθεί το κάθε ένα από τα συστήµατα της Άσκησης 8 µε απαλοιφή Gauss 0 Να λυθεί το κάθε ένα από τα παρακάτω συστήµατα µε απαλοιφή Gauss-Jordan (α) 5x x + 6x 3 = 0 x + x + 3x 3 = (γ) w + x y = 7 x y = 3 w + 3x y = 7 u + 4v + w + 7x = 7 (ϐ) x x + x 3 4x 4 = x + 3x + 7x 3 + x 4 = x x x 3 6x 4 = 5 Να λυθεί το κάθε ένα από τα συστήµατα της Άσκησης 0 µε απαλοιφή Gauss Λύστε το παρακάτω σύστηµα µε όποια µέθοδο ϑέλετε I I + 3I 3 + 4I 4 = 9 I I 3 + 7I 4 = 3I 3I + I 3 + 5I 4 = 8 I + I + 4I 3 + 4I 4 = 0

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ 3 Να λυθούν τα παρακάτω συστήµατα αν a, b και c είναι σταθερές (α) x + y = a 3x + 6y = b (ϐ) x + x + x 3 = a x + x 3 = b 3x + 3x 3 = c 4 Για ποιες τιµές του a δεν έχει το παρακάτω σύστηµα καµία λύση ; Ακριβώς µία λύση ; Άπειρες λύσεις ; 5 Να αναχθεί ο x + y 3z = 4 3x y + 5z = 4x + y + (a 4)z = a σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή χωρίς να εµφανιστούν κλάσµατα 6 Βρείτε δύο κλιµακωτές µορφές του [ Να λυθεί το ακόλουθο σύστηµα µη γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους τις γωνίες α, β και γ, όπου 0 α π, 0 β π και 0 γ < π sin α cos β + 3 tan γ = 3 4 sin α + cos β tan γ = 6 sin α 3 cos β + tan γ = 9 8 Να λυθεί το ακόλουθο σύστηµα µη γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους τα x, y και z x + y + z = 6 x y + z = x + y z = 3 9 Στο Σχήµα δίνετε το γράφηµα της καµπύλης µε εξίσωση y = ax 3 + bx + cx + d η οποία διέρχεται από τα σηµεία (0, 0), (, 7), (3, ), (4, 4) Να ϐρεθούν οι συντελεστές a, b, c και d 0 Να περιγραφούν οι πιθανές ανηγµένες κλιµακωτές µορφές του πίνακα a b c d e f g h i είξτε ότι αν ad bc 0, τότε η ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του [ [ a b 0 είναι c d 0

23 3 ΟΜΟΓΕΝΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 Χρησιµοποιήστε την Άσκηση για να δείξετε ότι αν ad bc 0, τότε το σύστηµα έχει ακριβώς µία λύση ax + by = k cx + dy = l 3 Οµογενή Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Οπως έχουµε ήδη πει κάθε σύστηµα γραµµικών εξισώσεων είτε έχει µία λύση, είτε έχει άπειρες λύσεις, είτε δεν έχει καµία λύση Καθώς ϑα προχωράµε ϑα υπάρξουν περιπτώσεις στις οποίες δεν ϑα ενδιαφερόµαστε να ϐρούµε τις λύσεις ενός συγκεκριµένου συστήµατος, αλλά ϑα µας απασχολεί το πλήθος των λύσεων του συστήµατος αυτού Στην ενότητα αυτή ϑα εξετάσουµε γραµµικά συστήµατα για τα οποία είναι εύκολο να καταλήξουµε σε συµπεράσµατα για το πλήθος των λύσεών τους Ενα σύστηµα γραµµικών εξισώσεων ονοµάζεται οµογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι είναι µηδέν, δηλαδή αν το σύστηµα είναι της µορφής a x + a x + + a n x n = 0 a x + a x + + a n x n = 0 a m x + a m x + + a mn x n = 0 Κάθε οµογενές σύστηµα γραµµικών εξισώσεων είναι συµβιβαστό, εφόσον όλα τα συστήµατα αυτού του είδους έχουν τη λύση x = 0, x = 0,, x n = 0 Η λύση αυτή ονοµάζεται τετριµµένη λύση Αν υπάρχουν άλλες λύσεις, τότε ϑα ονοµάζονται µη τετριµµένες λύσεις Εφόσον τα οµογενή συστήµατα γραµµικών εξισώσεων είναι συµβιβαστά, έχουν είτε µία λύση είτε άπειρες λύσεις Εφόσον µία από αυτές τις λύσεις είναι η τετριµµένη λύση, µπορούµε να πούµε τα εξής Για ένα οµογενές σύστηµα γραµµικών εξισώσεων ένα ακριβώς από τα παρακάτω είναι αλήθεια : Το σύστηµα έχει µόνο την τετριµµένη λύση Το σύστηµα έχει άπειρες µη τετριµµένες λύσεις και την τετριµµένη λύση

24 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Υπάρχει µία περίπτωση στην οποία ένα οµογενές σύστηµα έχει σίγουρα µη τετριµ- µένες λύσεις Αυτό συµβαίνει όταν το σύστηµα έχει περισσότερους αγνώστους από εξισώσεις Για να δούµε γιατί, ας ϑεωρήσουµε το παρακάτω παράδειγµα τεσσάρων εξισώσεων µε πέντε αγνώστους Παράδειγµα Να λυθεί το παρακάτω οµογενές σύστηµα γραµµικών εξισώσεων µε απαλοιφή Gauss-Jordan x + x x 3 + x 5 = 0 x x + x 3 3x 4 + x 5 = 0 x + x x 3 x 5 = 0 x 3 + x 4 + x 5 = 0 () Λύση Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ο Ανάγοντας τον πίνακα σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή παίρνουµε τον Το αντίστοιχο σύστηµα εξισώσεων είναι το x + x + x 5 = 0 x 3 + x 5 = 0 x 4 = 0 () Λύνοντας ως προς τις ϐασικές µεταβλητές παίρνουµε Άρα η γενική λύση είναι x = x x 5 x 3 = x 5 x 4 = 0 x = s t, x = s, x 3 = t, x 4 = 0, x 5 = t Παρατηρούµε ότι για s = t = 0 παίρνουµε την τετριµµένη λύση Το Παράδειγµα ξεκαθαρίζει δύο στοιχεία τα οποία είναι σηµαντικά για τη λύση ενός οµογενούς συστήµατος γραµµικών εξισώσεων Πρώτο : καµία από τις τρεις στοιχειώδεις διαδικασίες δεν µπορεί να αλλάξει την τελευταία στήλη του επαυξηµένου πίνακα η οποία αποτελείται από µηδενικά Για το λόγο αυτό το σύστηµα εξισώσεων το

25 3 ΟΜΟΓΕΝΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 5 οποίο αντιστοιχεί στην ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του επαυξηµένου πίνακα πρέπει να είναι επίσης οµογενές [ϐλ σύστηµα () εύτερο : ανάλογα µε το αν η ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του επαυξηµένου πίνακα έχει µηδενικές γραµµές, το πλήθος των εξισώσεων στο ανηγµένο σύστηµα είναι το ίδιο ή µικρότερο από το πλήθος των εξισώσεων στο αρχικό σύστηµα [συγκρίνετε τα συστήµατα () και () Άρα αν το δοθέν οµογενές σύστηµα έχει m εξισώσεις µε n αγνώστους µε m < n, και στην ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του επαυξηµένου πίνακα υπάρχουν r µη µηδενικές γραµµές, ϑα έχουµε r < n Εποµένως το σύστηµα εξισώσεων το οποίο αντιστοιχεί στην ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του επαυξηµένου πίνακα ϑα είναι της µορφής x k + ( ) = 0 x k + ( ) = 0 (3) x kr + ( ) = 0 όπου οι x k, x k,, x kr είναι οι ϐασικές µεταβλητές και τα ( ) συµβολίζουν αθροίσµατα (πιθανά όλα διαφορετικα) των n r ελεύθερων µεταβλητών Λύνοντας ως προς τις ϐασικές µεταβλητές παίρνουµε x k = x k = ( ) ( ) x kr = ( ) Οπως στο Παράδειγµα, µπορούµε να δώσουµε αυθαίρετες τιµές στις ελεύθερες µεταβλητές στο δεξιό µέλος και έτσι να πάρουµε άπειρες λύσεις για το σύστηµα Ανακεφαλαιώνοντας παίρνουµε το ακόλουθο ϑεώρηµα Θεώρηµα 3 Ενα οµογενές σύστηµα γραµµικών εξισώσεων µε περισσότερους αγνώστους από εξισώσεις έχει άπειρες λύσεις ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το Θεώρηµα 3 ισχύει µόνο για οµογενή συστήµατα Ενα µη οµογενές σύστηµα µε περισσότερους αγνώστους από εξισώσεις δεν είναι πάντα συµβι- ϐαστό (Άσκηση ) Οµως αν είναι συµβιβαστό, τότε ϑα έχει άπειρες λύσεις Αυτό ϑα αποδειχθεί αργότερα

26 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Χωρίς να χρησιµοποιήσετε χαρτί και µολύβι προσδιορίστε ποια από τα παρακάτω οµογενή συστήµατα έχουν µη τετριµµένες λύσεις (α) x 3x + 4x 3 x 4 = 0 7x + x 8x 3 + 9x 4 = 0 x + 8x + x 3 x 4 = 0 (γ) a x + a x + a 3 x 3 = 0 a x + a x + a 3 x 3 = 0 (ϐ) x + 3x x 3 = 0 x 8x 3 = 0 4x 3 = 0 (δ) 3x x = 0 6x 4x = 0 Να λυθούν τα παρακάτω οµογενή συστήµατα γραµµικών εξισώσεων µε οποιαδήποτε µέθοδο (α) x + x + 3x 3 = 0 x + x = 0 x + x 3 = 0 (γ) x + y + 4z = 0 w y 3z = 0 w + 3x + y + z = 0 w + x + 3y z = 0 (ϐ) 3x + x + x 3 + x 4 = 0 5x x + x 3 x 4 = 0 3 Να λυθούν τα παρακάτω οµογενή συστήµατα γραµµικών εξισώσεων µε οποιαδήποτε µέθοδο (α) x y 3z = 0 x + y 3z = 0 x + y + 4z = 0 (γ) x + 3x + x 4 = 0 x + 4x + x 3 = 0 x x 3 x 4 = 0 x 4x + x 3 + x 4 = 0 x x x 3 + x 4 = 0 (ϐ) v + 3w x = 0 u + v 4w + 3x = 0 u + 3v + w x = 0 4u 3v + 5w 4x = 0 4 Λύστε για τα Z, Z, Z 3, Z 4 και Z 5 Z 3 + Z 4 + Z 5 = 0 Z Z + Z 3 3Z 4 + Z 5 = 0 Z + Z Z 3 Z 5 = 0 Z + Z Z 3 + Z 5 = 0 5 είξτε ότι το ακόλουθο µη γραµµικό σύστηµα έχει δεκαοκτώ λύσεις αν 0 α π, 0 β π και 0 γ π sin α + cos β + 3 tan γ = 0 sin α + 5 cos β + 3 tan γ = 0 sin α 5 cos β + 5 tan γ = 0 6 Για ποια τιµή (τιµές) του λ έχει το παρακάτω σύστηµα εξισώσεων µη τετριµµένες λύσεις ; (λ 3)x + y = 0 x + (λ 3)y = 0

27 3 ΟΜΟΓΕΝΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 7 7 Θεωρήστε το σύστηµα εξισώσεων ax + by = 0 cx + dy = 0 ex + fy = 0 Εξετάστε τις σχετικές ϑέσεις των ευθειών ax + by = 0, cx + dy = 0 και ex + fy = 0 όταν (α) το σύστηµα έχει µόνο την τετριµµένη λύση (ϐ) το σύστηµα έχει µη τετριµµένες λύσεις 8 Γνωρίζουµε από τη γεωµετρία ότι τρία σηµεία του επιπέδου τα οποία δεν ϐρίσκονται όλα σε µία ευθεία γραµµή ορίζουν έναν µοναδικό κύκλο Γνωρίζουµε επίσης ότι κάθε κύκλος στο επίπεδο xy έχει µία εξίσωση της µορφής ax + ay + bx + cy + d = 0 Να ϐρεθεί η εξίσωση του κύκλου του Σχήµατος ο οποίος διέρχεται από τα σηµεία ( 4, 5), (, 7), (4, 3) Σχήµα 9 Θεωρήστε το σύστηµα εξισώσεων ax + by = 0 cx + dy = 0 (α) είξτε ότι αν x = x 0, y = y 0 είναι µία λύση του συστήµατος και k είναι µία σταθερά, τότε η x = kx 0, y = ky 0 είναι επίσης µία λύση (ϐ) είξτε ότι αν οι x = x 0, y = y 0 και x = x, y = y είναι δύο λύσεις του συστήµατος, τότε η x = x 0 + x, y = y 0 + y είναι επίσης µία λύση 0 Θεωρήστε τα συστήµατα εξισώσεων (Ι) ax + by = k cx + dy = l (ΙΙ) ax + by = 0 cx + dy = 0 (α) είξτε ότι αν οι x = x, y = y και x = x, y = y είναι λύσεις του (I), τότε η x = x x, y = y y είναι µία λύση του (II) (ϐ) είξτε ότι αν η x = x, y = y είναι µία λύση του (I) και η x = x 0, y = y 0 είναι µία λύση του (II), τότε η x = x + x 0, y = y + y 0 είναι µία λύση του (I) (α) Στο σύστηµα εξισώσεων (3) εξηγήστε γιατί ϑα ήταν λάθος να χρησιµοποιούσαµε τα σύµβολα x, x,, x r για τις ϐασικές µεταβλητές αντί για τα x k, x k,, x kr τα οποία χρησιµοποιήσαµε

28 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ (ϐ) Το σύστηµα () είναι µία ειδική περίπτωση του (3) Ποια είναι η τιµή του r στην περίπτωση αυτή ; Ποια είναι τα x k, x k,, x kr στην περίπτωση αυτή ; Γράψτε τα αθροίσµατα τα οποία στο (3) συµβολίζονται µε ( ) Να ϐρεθεί ένα µη συµβιβαστό σύστηµα γραµµικών εξισώσεων µε περισσότερους αγνώστους από εξισώσεις 4 Πίνακες και πράξεις µεταξύ πινάκων Ορθογώνιες διευθετήσεις πραγµατικών αριθµών δεν εµφανίζονται µόνο στους επαυξη- µένους πίνακες γραµµικών συστηµάτων, αλλά και σε πολλές άλλες περιπτώσεις Στην ενότητα αυτή ϑα µελετήσουµε τέτοιες διευθετήσεις αριθµών και ϑα συζητήσουµε κάποιες από τις ιδιότητες τους που ϑα µας χρειαστούν αργότερα ΟΡΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟ- ΛΙΣΜΟΙ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισµός Ενας πίνακας είναι µία ορθογώνια διευθέτηση αριθµών Οι αριθµοί στη διευθέτηση αυτή ονοµάζονται στοιχεία του πίνακα Παράδειγµα Οι παρακάτω είναι πίνακες [ 0 3 π e [ 3 [ 4 Οι πίνακες διαφέρουν µεταξύ τους σε διαστάσεις Οι διαστάσεις ενός πίνακα περιγράφονται από τον αριθµό των γραµµών (οριζόντιες γραµµές) και των στηλών (κατακόρυφες γραµµές) του πίνακα Ο πρώτος πίνακας του Παραδείγµατος έχει 3 γραµµές και στήλες και άρα οι διαστάσεις του είναι 3 επί (το οποίο γράφεται 3 ) Ο πρώτος αριθµός δηλώνει το πλήθος των γραµµών και ο δεύτερος δηλώνει το πλήθος των στηλών Εποµένως οι υπόλοιποι πίνακες του Παραδείγµατος έχουν διαστάσεις 4, 3 3, και αντίστοιχα ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Συνήθως δεν γράφουµε τις αγκύλες σε έναν πίνακα Ετσι µπορούµε να γράφουµε 4 αντί για [ 4 Παρότι αυτό δεν µας επιτρέπει να καταλάβουµε αν 4 σηµαίνει τον αριθµό τέσσερα ή τον πίνακα µε στοιχείο το τέσσερα, αυτό

29 4 ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΙΝΑΚΩΝ 9 σπάνια προκαλεί προβλήµατα, αφού συνήθως είναι εύκολο να καταλάβουµε από τα συµφραζόµενα τι σηµαίνει το 4 Θα χρησιµοποιούµε κεφαλαία γράµµατα για να συµβολίζουµε πίνακες και πεζά για να συµβολίζουµε αριθµητικές ποσότητες ηλαδή ϑα γράφουµε [ [ 7 a b c A = ή C = 3 4 d e f Οταν µιλάµε για πίνακες συνήθως ονοµάζουµε τις αριθµητικές ποσότητες ϐαθµωτά Μέχρι το Κεφάλαιο 0 όλα τα ϐαθµωτά είναι πραγµατικοί αριθµοί Αν ο A είναι ένας πίνακας ϑα συµβολίζουµε µε a ij το στοιχείο το οποίο ϐρίσκεται στην i γραµµή και την j στήλη του A Εποµένως η γενική µορφή ενός 3 4 πίνακα είναι A = a a a 3 a 4 a a a 3 a 4 a 3 a 3 a 33 a 34 Συνήθως ϑα χρησιµοποιούµε το ίδιο γράµµα για να συµβολίσουµε έναν πίνακα και τα στοιχεία του ηλαδή για έναν πίνακα B ϑα χρησιµοποιούµε b ij για το στοιχείο το οποίο ϐρίσκεται στην i γραµµή και την j στήλη του B Η γενική µορφή ενός m n πίνακα είναι B = b b b n b b b n b m b m b mn ή [b ij m n Αν δεν είναι σηµαντικό να δώσουµε έµφαση στις διαστάσεις, τότε ϑα συµβολίζουµε τον πίνακα απλά µε [b ij Ενας πίνακας A µε n γραµµές και n στήλες ονοµάζεται τετραγωνικός πίνακας τάξης n Θα λέµε ότι τα στοιχεία a, a,, a nn ϐρίσκονται στην κύρια διαγώνιο του A (δες τα έντονα στοιχεία στο Σχήµα ) a a a n a a a n a n a n a nn Σχήµα Ενας τετραγωνικός πίνακας στον οποίο όλα τα στοιχεία εκτός της κύριας διαγωνίου είναι µηδέν ονοµάζεται διαγώνιος πίνακας Μερικά παραδείγµατα είναι οι [

30 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΙΝΑΚΩΝ Μέχρι τώρα, χρησιµοποιήσαµε τους πίνακες σα συντοµογραφίες κατά την επίλυση συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων Για άλλες εφαρµογές πρέπει να αναπτύξουµε µία «αριθµητική πινάκων» στην οποία να µπορούµε να προσθέτουµε και να πολλαπλασιά- Ϲουµε πίνακες µε έναν τρόπο χρήσιµο για αυτές τις εφαρµογές Η υπόλοιπη ενότητα είναι αφιερωµένη στην ανάπτυξη αυτής της αριθµητικής Θα λέµε ότι δύο πίνακες είναι ίσοι αν έχουν τίς ίδιες διαστάσεις και τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα Παράδειγµα Θεωρούµε τους πίνακες A = [ 3 4 B = [ 3 5 C = [ Εχουµε ότι A C, εφόσον οι A και C έχουν διαφορετικές διαστάσεις Για τον ίδιο λόγο B C Επίσης A B, εφόσον τα αντίστοιχα στοιχεία δεν είναι όλα ίσα Ορισµός Αν οι A και B είναι δύο πίνακες µε ίδιες διαστάσεις, τότε το άθροισµά τους A + B είναι ο πίνακας που παίρνουµε αν προσθέσουµε τα αντίστοιχα στοιχεία των δύο πινάκων εν µπορούµε να προσθέσουµε πίνακες µε διαφορετικές διαστάσεις Παράδειγµα 3 Θεωρούµε τους πίνακες A = B = Τότε A + B = ενώ οι A + C και B + C δεν ορίζονται C = [ Ορισµός Αν ο A είναι ένας πίνακας και το c είναι ένα ϐαθµωτό, τότε το γινόµενο ca είναι ο πίνακας που παίρνουµε αν πολλαπλασιάσουµε κάθε στοιχείο του A µε c Παράδειγµα 4 Αν ο A είναι ο πίνακας τότε A = A = και ( )A = Αν ο B είναι ένας πίνακας, τότε µε B ϑα συµβολίζουµε το γινόµενο ( )B Αν οι A και B είναι δύο πίνακες µε ίδιες διαστάσεις, τότε ο πίνακας A B ορίζεται σαν το άθροισµα A + ( B) = A + ( )B

31 4 ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΙΝΑΚΩΝ 3 Παράδειγµα 5 Θεωρούµε τους πίνακες [ 3 4 A = και B = Από τους ορισµούς που δώσαµε παραπάνω [ 0 7 B = 3 5 [ και A B = [ 3 4 [ = [ Παρατηρούµε ότι µπορούµε να πάρουµε τον A B αφαιρώντας τα στοιχεία του B από τα αντίστοιχα στοιχεία του A Παραπάνω ορίσαµε τον πολλαπλασιασµό ενός πίνακα µε ένα ϐαθµωτό, αλλά δεν έχουµε ορίσει µέχρι τώρα τον πολλαπλασιασµό δύο πινάκων Εφόσον για να προθέσουµε πίνακες προσθέτουµε τα αντίστοιχα στοιχεία και για να αφαιρέσουµε πίνακες αφαιρούµε τα αντίστοιχα στοιχεία, ϑα ϕαινόταν σαν ο πιο ϕυσικός ορισµός του πολλαπλασιασµού δύο πινάκων ο πολλαπλασιασµός των αντίστοιχων στοιχείων Παρόλα αυτά προκύπτει ότι ο ορισµός αυτός δεν είναι χρήσιµος στα περισσότερα προβλήµατα Η πείρα οδήγησε τους µαθηµατικούς στον παρακάτω ορισµό για τον πολλαπλασιασµό πινάκων, ο οποίος παρότι είναι λιγότερο ϕυσιολογικός είναι ιδιαίτερα χρήσιµος Ορισµός Αν ο A είναι ένας m r πίνακας και ο B είναι ένας r n πίνακας, τότε το γινόµενο AB είναι ο m n πίνακας τού οποίου τα στοιχεία προσδιορίζονται µε τον ακόλουθο τρόπο : Για να ϐρούµε το στοιχείο το οποίο ϐρίσκεται στην i γραµµή και την j στήλη του AB ξεχωρίζουµε την i γραµµή του A και την j στήλη του B Κατόπιν πολλαπλασιαζουµε τα αντίστοιχα στοιχεία της γραµµής και της στήλης και προσθέτουµε τα γινόµενα που προκύψανε Παράδειγµα 6 Θεωρούµε τους πίνακες A = [ B = Εφόσον ο A είναι ένας 3 και ο B είναι ένας 3 4, το γινόµενο AB είναι ένας 4 πίνακας Για να προσδιορίσουµε, για παράδειγµα, το στοιχείο που ϐρίσκεται στην η γραµµή και την 3η στήλη του AB, ξεχωρίζουµε την η γραµµή του A και την 3η στήλη του B Μετά, όπως ϕαίνεται παρακάτω, πολλαπλασιάζουµε τα αντίστοιχα στοιχεία τους και προσθέτουµε τα γινόµενα που προκύπτουν [ [ =

32 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ( 4) + (6 3) + (0 5) = 6 Το στοιχείο στην η γραµµή και την 4η στήλη του AB υπολογίζεται ως εξής [ [ = ( 3) + ( ) + (4 ) = 3 Οι υπολογισµοί που µας δίνουν τα υπόλοιπα στοιχεία είναι οι ακόλουθοι ( 4) + ( 0) + (4 ) = ( ) ( ) + (4 7) = 7 ( 4) + ( 3) + (4 5) = 30 ( 4) + (6 0) + (0 ) = 8 ( ) (6 ) + (0 7) = 4 ( 3) + (6 ) + (0 ) = AB = [ Ο ορισµός του πολλαπλασιασµού πινάκων απαιτεί ο αριθµός των στηλών του πρώτου παράγοντα A να είναι ο ίδιος µε τον αριθµό των γραµµών του δεύτερου παράγοντα B ώστε να µπορεί να σχηµατιστεί το γινόµενο AB Αν η συνθήκη αυτή δεν ικανοποιείται το γινόµενο δεν ορίζεται Ενας ϐολικός τρόπος για να εξετάσουµε αν το γινόµενο δύο πινάκων ορίζεται είναι να γράψουµε τις διαστάσεις του πρώτου παράγοντα και στα δεξιά τους να γράψουµε τις διαστάσεις του δεύτερου παράγοντα Αν, όπως στο Σχήµα, οι εσωτερικοί αριθµοί είναι οι ίδιοι, τότε το γινόµενο ορίζεται Στην περίπτωση αυτή οι εξωτερικοί αριθµοί δίνουν τις διαστάσεις του γινοµένου Σχήµα A B = AB m r r n m n εσωτερικοί εξωτερικοί Παράδειγµα 7 Εστω ότι ο A είναι ένας 3 4 πίνακας, ο B είναι ένας 4 7 πίνακας και ο C είναι ένας 7 3 πίνακας Τότε ο AB ορίζεται και είναι ένας 3 7 πίνακας, ο CA ορίζεται και είναι ένας 7 4 πίνακας, ο BC ορίζεται και είναι ένας 4 3 πίνακας Τα γινόµενα AC, CB και BA δεν ορίζονται Παράδειγµα 8 Αν ο A είναι ένας m r πίνακας και ο B είναι ένας r n πίνακας, τότε το στοιχείο στην i γραµµή και την j στήλη του AB δίνεται από τον τύπο a i b j + a i b j + a i3 b 3j + + a ir b rj

33 4 ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΙΝΑΚΩΝ 33 AB = a a a r a a a r a i a i a ir b b b j b n b b b j b n b r b r b rj b rn a m a m a mr Ο πολλαπλασιασµός πινάκων έχει µία σηµαντική εφαρµογή στα συστήµατα γραµµι- κών εξισώσεων Θεωρούµε ένα σύστηµα m γραµµικών εξισώσεων µε n αγνώστους a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a m x + a m x + + a mn x n = b m ΠΙΝΑΚΩΤΗ ΜΟΡΦΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Εφόσον δύο πίνακες είναι ίσοι αν και µόνο αν τα αντίστοιχα στοιχεία είναι ίσα µπορούµε να αντικαστήσουµε τις m εξισώσεις στο σύστηµα µε µία µοναδική εξίσωση πινάκων, την a x + a x + + a n x n a x + a x + + a n x n a m x + a m x + + a mn x n = b b b m Ο m πίνακας στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης αυτής µπορεί να γραφτεί σαν γινόµενο και παίρνουµε a a a n a a a n a m a m a mn x x x n = b b b m Αν ονοµάσουµε τους πίνακες αυτούς A, X και B αντίστοιχα, τότε το αρχικό σύστηµα m εξισώσεων µε n αγνώστους αντικαθίσταται από µία µοναδική εξίσωση πινάκων, την AX = B () Παρακάτω ϑα προσπαθήσουµε να ϐρούµε τρόπους για να λύσουµε εξισώσεις πινάκων όπως αυτή για τον άγνωστο πίνακα X Λόγω αυτού του νέου τρόπου αντιµετώπισης ϑα πάρουµε καινούριες µεθόδους για τη λύση συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων Ο πίνακας A στην () ονοµάζεται πίνακας συντελεστών του συστήµατος Παράδειγµα 9 Σε κάποιες περιπτώσεις είναι χρήσιµο να µπορούµε να ϐρούµε µία συγκεκριµένη γραµµή ή στήλη στο γινόµενο AB χωρίς να υπολογίσουµε ολόκληρο

34 34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ το γινόµενο Αφήνεται σαν άσκηση να αποδείξετε ότι τα στοιχεία της j στήλης του AB είναι τα στοιχεία του γινοµένου AB j, όπου ο B j είναι ο πίνακας που σχηµατίζεται χρησιµοποιώντας µόνο την j στήλη του B Ετσι αν οι A και B είναι οι πίνακες του Παραδείγµατος 6, η δεύτερη στήλη του γινοµένου AB υπολογίζεται ως εξής [ = εύτερη στήλη του B [ 7 4 εύτερη στήλη του AB Οµοια τα στοιχεία της i γραµµής του AB είναι τα στοιχεία του γινοµένου A i B, όπου ο A i είναι ο πίνακας που σχηµατίζεται χρησιµοποιώντας µόνο την i γραµµή του A Ετσι η πρώτη γραµµή του γινοµένου AB του Παραδείγµατος 6, υπολογίζεται ως εξής [ 4 Πρώτη γραµµή του A = [ Πρώτη γραµµή του AB Τελειώνουµε την ενότητα αυτή µε τον ορισµό δύο πράξεων πινάκων για τις οποίες δεν υπάρχει αντίστοιχο στους πραγµατικούς αριθµόυς ΑΝΑ- ΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Ορισµός Αν ο A είναι ένας m n πίνακας, τότε ο ανάστροφος του A συµβολίζεται µε A t και ορίζεται ως ο n m πίνακας του οποίου η πρώτη στήλη είναι η πρώτη γραµµή του A, η δεύτερη στήλη είναι η δεύτερη γραµµή του A, η τρίτη στήλη είναι η τρίτη γραµµή του A και τα λοιπά Παράδειγµα 0 Παρακάτω δίνουµε µερικά παραδείγµατα πινάκων και των αναστρό- ϕων τους A = a a a 3 a 4 a a a 3 a 4 a 3 a 3 a 33 a 34 A t = a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 a 4 a 4 a 34

35 4 ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΙΝΑΚΩΝ 35 B = [ 5 B t = C = [ 3 5 C t = D = 5 4 D t = E = [ 4 E t = [ 4 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Παρατηρήστε ότι όχι µόνο είναι οι στήλες του A t οι γραµµές του A, αλλά και οι γραµµες του A t είναι οι στήλες του A Ορισµός Αν ο A είναι ένας τετραγωνικός πίνακας, τότε το ίχνος του A συµβολίζεται µε tr(a) και ορίζεται ως το άθροισµα των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του A Παράδειγµα Παρακάτω δίνουµε µερικά παραδείγµατα πινάκων και των ιχνών τους A = B = a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a tr(a) = a + a + a 33 tr(b) = = ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Εστω ότι οι A, B, C, D και E είναι πίνακες µε τις ακόλουθες διαστάσεις : A B C D E (4 5) (4 5) (5 ) (4 ) (5 4) Να εξεταστεί ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις ορίζονται Για αυτές που ορίζονται να ϐρεθούν οι διαστάσεις του πίνακα που προκύπτει (α) BA (ϐ) AC + D (γ) AE + B (δ) AB + B (ε) E(A + B) (στ) E(AC) (Ϲ) E t A (η) (A t + E)D Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση πινάκων µε αγνώστους τα a, b, c και d [ a b b + c = 3d + c a 4d [ 8 7 6

36 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ 3 Θεωρούµε τους παρακάτω πίνακες 3 0 [ A = 4 B = 0 C = [ D = E = Να υπολογιστούν τα παρακάτω (όπου αυτό είναι δυνατό) (α) D + E (ϐ) D E (γ) 5A (δ) 7C (ε) B C (στ) 4E D (Ϲ) 3(D + E) (η) A A (ϑ) tr(d) (ι) tr(d 3E) (ια) 4 tr(7b) (ιβ) tr(a) 4 Χρησιµοποιήστε τους πίνακες της Άσκησης 3 για να υπολογίσετε τα παρακάτω (όπου αυτό είναι δυνατό) (α) A t + C (ϐ) D t E t (γ) (D E) t (δ) B t + 5C t (ε) Ct 4 A (στ) B Bt (Ϲ) E t 3D t (η) (E t 3D t ) t 5 Χρησιµοποιήστε τους πίνακες της Άσκησης 3 για να υπολογίσετε τα παρακάτω (όπου αυτό είναι δυνατό) (α) AB (ϐ) BA (γ) (3E)D (δ) (AB)C (ε) A(BC) (στ) CC t (Ϲ) (DA) t (η) (C t B)A t (ϑ) tr(dd t ) (ι) tr(4e t D) (ια) tr(c t A t + E t ) 6 Χρησιµοποιήστε τους πίνακες της Άσκησης 3 για να υπολογίσετε τα παρακάτω (όπου αυτό είναι δυνατό) (α) (D t E)A (ϐ) (4B)C + B (γ) ( AC) t + 5D t (δ) (BA t C) t (ε) B t (CC t A t A) (στ) D t E t (ED) t 7 Εστω A = και B = Χρησιµοποιήστε τη µέθοδο του Παραδείγµατος 9 για να ϐρείτε (α) την η γραµµή του AB (ϐ) την 3η γραµµή του AB (γ) την η στήλη του AB (δ) την η στήλη του BA (ε) την 3η γραµµή του AA (στ) την 3η στήλη του AA 8 Εστω C, D και E οι πίνακες της Άσκησης 3 Χρησιµοποιώντας το µικρότερο δυνατό πλήθος υπολογισµών ϐρείτε το στοιχείο το οποίο ϐρίσκεται στη η γραµµή και την 3η στήλη του πίνακα C(DE) 9 (α) είξτε ότι αν οι AB και BA ορίζονται και οι δύο, τότε οι AB και BA είναι τετραγωνικοί πίνακες (ϐ) είξτε ότι αν ο A είναι ένας m n πίνακας και ο A(BA) ορίζεται, τότε ο B είναι ένας n m πίνακας

37 4 ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΙΝΑΚΩΝ 37 0 Να ϐρεθούν πίνακες A, X και B οι οποίοι να εκφράζουνε το κάθε ένα από τα παρακάτω συστήµατα γραµµικών εξισώσεων σαν µία εξίσωση πινάκων AX = B (α) x 3x + 5x 3 = 7 9x x + x 3 = x + 5x + 4x 3 = 0 (ϐ) 4x 3x 3 + x 4 = 5x + x 8x 4 = 3 x 5x + 9x 3 x 4 = 0 3x x 3 + 7x 4 = Να εκφραστεί κάθε µία από τις παρακάτω εξισώσεις πινάκων σαν σύστηµα γραµ- µικών εξισώσεων (α) x x x 3 = 4 (ϐ) w x y z = Εστω a a a n a a a n A =, D = d d 0, E = e e 0 a m a m a mn 0 0 d m 0 0 e n (α) Να υπολογιστούν τα DA και AE (ϐ) Εξετάστε τις γραµµές του DA και τις στήλες του AE και ϐρείτε δύο απλούς κανόνες για το πώς πολλαπλασιάζουµε έναν πίνακα A µε έναν διαγώνιο πίνακα (γ) Χρησιµοποίηστε τους κανόνες που ϐρήκατε στο (ϐ) για να υπολογίσετε τα AB και BA αν A = και B = είξτε ότι το γινόµενο διαγώνιων πινάκων είναι διαγώνιος πίνακας Βρείτε έναν κανόνα για να πολλαπλασιάζετε διαγώνιους πίνακες 4 (α) είξτε ότι αν ο A έχει µία γραµµή που αποτελείται από µηδενικά και ο B είναι οποιοσδήποτε πίνακας για τον οποίο ο AB ορίζεται, τότε και ο AB έχει µία γραµµή που αποτελείται από µηδενικά (ϐ) Βρείτε ένα αντίστοιχο αποτέλεσµα για στήλες που αποτελούνται αποκλειστικά από µηδενικά 5 Αν a ij είναι το στοιχείο το οποίο ϐρίσκεται στην i γραµµή και την j στήλη του A, τότε σε ποια γραµµή και σε ποια στήλη του A t ϑα εµφανίζεται το a ij ; 6 Εστω ότι ο A είναι ένας m n πίνακας και έστω ότι ο 0 είναι ο m n πίνακας του οποίου όλα τα στοιχεία είναι µηδέν είξτε ότι αν ka = 0, τότε είτε k = 0 είτε A = 0

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή Κεφάλαιο Ορίζουσες Η Συνάρτηση Ορίζουσα Είµαστε όλοι εξοικειωµένοι µε συναρτήσεις όπως η f(x) sin x και η f(x) x οι οποίες αντιστοιχίζουν έναν πραγµατικό αριθµό f(x) σε κάθε πραγµατική τιµή της µετα- ϐλητής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Kehagias, 2009

Thanasis Kehagias, 2009 Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου.

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Ανδρέας Ζούπας 22 Ιανουαρίου 203 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή Κεφάλαιο 4 Ευκλείδιοι Χώροι 4 Ευκλείδιοι Χώροι Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή των σηµείων στο επίπεδο και διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών για την

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

ΟΣ GAUSS) Α.6 ΣΧΕΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...

ΟΣ GAUSS) Α.6 ΣΧΕΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιεχόµενα παραρτήµατος Α Α.1 Μέθοδος αντικατάστασης... A. Μέθοδος των οριζουσών (ΜΕΘΟ ΟΣ CRAMER)... 3 A..1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ... 3 A.. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 33... 5 A..3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Γραµµικά Συστήµατα. x n. x 1 AX = B, ( ) A =

Κεφάλαιο Γραµµικά Συστήµατα. x n. x 1 AX = B, ( ) A = Κεφάλαιο 1 Γραµµικά Συστήµατα Η επίλυση των γραµµικών συστηµάτων αποτελεί ένα από τα κύρια ϑέµατα µελέτης της Γραµµικής Άλγεβρας Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε τις ϐασικές τεχνικές επίλυσης των γραµµικών

Διαβάστε περισσότερα

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.8

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.8 Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 9, υ..8 Περιεχόµενα Εισαγωγη Πινακες. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα............................. 7. Αλυτα Προβληµατα..............................

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Γ 3 2Γ. Από τον τελευταίο πίνακα προκύπτει το ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα. 3x 2 2x 3 = 1 x 3 = 2

Γ 3 2Γ. Από τον τελευταίο πίνακα προκύπτει το ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα. 3x 2 2x 3 = 1 x 3 = 2 Γραμμικά συστήματα Άσκηση. Να βρεθεί η λύση του γραμμικού συστήματος x 2x 2 + x 3 = x + x 2 x 3 = 2 2x x 2 + x 3 = Απόδειξη. Θεωρούμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος 2 2 2 και εκτελούμε στοιχειώδεις

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΘΕΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Συγγραφή Χαρά Χαραλάµπους Ανέστης Φωτιάδης Κριτικός Αναγνώστης Κωνσταντινος Τσίχλας Συντελεστές Εκδοσης ΓΛΩΣΣΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ανέστης Φωτιάδης,

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα