Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας"

Transcript

1 Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

2

3 Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από τα κύρια ϑέµατα της γραµµικής άλγεβρας Στην ενότητα αυτή ϑα εισάγουµε την ορολογία που χρησιµοποιούµε όταν µιλάµε για συστήµατα γραµµικών εξισώσεων και ϑα µιλήσουµε για µία µέθοδο για την επίλυση γραµµικών συστηµάτων Μία ευθεία γραµµή στο επίπεδο xy µπορεί να αναπαρασταθεί αλγεβρικά από µία εξίσωση της µορφής ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ a x + a y = b Μία εξίσωση αυτής της µορφής ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε µεταβλητές x και y Γενικότερα ϑα ονοµάζουµε γραµµική εξίσωση µε n µεταβλητές x, x,, x n µία εξίσωση η οποία µπορεί να εκφραστεί στη µορφή a x + a x + + a n x n = b όπου τα a, a,, a n και b είναι πραγµατικές σταθερές Πολλές ϕορές οι µεταβλητές µίας γραµµικής εξίσωσης ονοµάζονται και άγνωστοι Παράδειγµα Οι παρακάτω είναι γραµµικές εξισώσεις : x + 3y = 7 x x 3x 3 + x 4 = 7 y = x + 3z + x + x + + x n = 3

4 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Παρατηρούµε ότι µία γραµµική εξίσωση δεν περιλαµβάνει γινόµενα ή ϱίζες των µεταβλητών Ολες οι µεταβλητές εµφανίζονται µόνο στην πρώτη δύναµη και δεν εµφανίζονται σαν ορίσµατα τριγωνοµετρικών, λογαριθµικών ή εκθετικών συναρτήσεων Οι παρακάτω δεν είναι γραµµικές εξισώσεις : x + 3y = 7 3x + y z + xz = 4 y sin x = 0 x + x + x 3 = Μία λύση της γραµµικής εξίσωσης a x +a x + +a n x n = b είναι µία ακολου- ϑία n αριθµών s, s,, s n οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση αν αντικαταστήσουµε x = s, x = s,, x n = s n Το σύνολο όλων των λύσεων της εξίσωσης ονοµάζεται σύνολο λύσεων ή γενική λύση της εξίσωσης Παράδειγµα Να ϐρεθεί το σύνολο λύσεων των (α) 4x y = (ϐ) x 4x + 7x 3 = 5 Λύση (α) Για να ϐρούµε τις λύσεις της (α), µπορούµε είτε να δώσουµε µία αυθαίρετη τιµή στο x και να λύσουµε ως προς y, είτε να δώσουµε µία αυθαίρετη τιµή στο y και να λύσουµε ως προς x Αν ακολουθήσουµε την πρώτη προσέγγιση και δώσουµε στο x την αυθαίρετη τιµή t, παίρνουµε x = t, y = t Οι τύποι αυτοί περιγράφουν το σύνολο λύσεων µέσω της αυθαίρετης παραµέτρου t Μπορούµε να πάρουµε συγκεκριµένες αριθµητικές λύσεις αντικαθιστώντας στους τύπους αυτούς συγκεκριµένες τιµές της t Για παράδειγµα για t = 3 παίρνουµε τη λύση x = 3, y = / και για t = / παίρνουµε τη λύση x = /, y = 3/ Αν ακολουθήσουµε την δεύτερη προσέγγιση και δώσουµε στο y την αυθαίρετη τιµή t παίρνουµε x = t + 4, y = t Παρόλο που οι τύποι αυτοί είναι διαφορετικοί από αυτούς που πήραµε στην προηγούµενη περίπτωση, δίνουν το ίδιο σύνολο λύσεων µε τους προηγούµενους αν στη ϑέση της t αντικαταστήσουµε όλους τους πραγµατικούς αριθµούς Για παράδειγµα οι προηγούµενοι τύποι µας έδωσαν τη λύση x = 3, y = / για t = 3, ενώ οι τύποι αυτοί µας δίνουν τη λύση αυτή για t = /

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 5 Λύση (ϐ) Για να ϐρούµε το σύνολο λύσεων της (ϐ) µπορούµε να δώσουµε αυθαίρετες τιµές σε οποιεσδήποτε δύο µεταβλητές και να λύσουµε ως προς την τρίτη Για παράδειγµα αν δώσουµε τις αυθαίρετες τιµές s και t στις x και x 3 αντίστοιχα, και λύσουµε ως προς x παίρνουµε x = 5 + 4s 7t, x = s, x 3 = t Ενα πεπερασµένο σύνολο γραµµικών εξισώσεων µε µεταβλητές x, x,, x n ονο- µάζεται σύστηµα γραµµικών εξισώσεων ή γραµµικό σύστηµα Μία ακολουθία ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ αριθµών s, s,, s n ονοµάζεται λύση του συστήµατος αν x = s, x = s,, x n = s n είναι λύση κάθε εξίσωσης του συστήµατος Για παράδειγµα το σύστηµα 4x x + 3x 3 = 3x + x + 9x 3 = 4 έχει τη λύση x =, x =, x 3 =, εφόσον οι τιµές αυτές ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Από την άλλη, η x =, x = 8, x 3 = δεν είναι λύση, εφόσον οι τιµές αυτές ικανοποιούν µόνο την πρώτη από τις δύο εξισώσεις του συστήµατος Υπάρχουν συστήµατα γραµµικών εξισώσεων τα οποία δεν έχουν λύσεις Για παράδειγµα αν πολλαπλασιάσουµε τη δεύτερη εξίσωση του συστήµατος µε / παίρνουµε το ισοδύναµο σύστηµα x + y = 4 x + y = 6 x + y = 4 x + y = 3 το οποίο προφανώς δεν έχει καµία λύση εφόσον οι δύο εξισώσεις του είναι αντιφατικές Ενα σύστηµα εξισώσεων το οποίο δεν έχει καµία λύση ϑα ονοµάζεται µη συµβιβαστό Αν υπάρχει τουλάχιστον µία λύση τότε το σύστηµα ϑα ονοµάζεται συµβιβαστό Για να δούµε τις πιθανές καταστάσεις που µπορεί να προκύψουν κατά την επίλυση ενός συστήµατος γραµµικών εξισώσεων, ας ϑεωρήσουµε το γενικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε αγνώστους x και y: a x + b y = c (a, b όχι και οι δύο 0) a x + b y = c (a, b όχι και οι δύο 0) Οι δύο αυτές εξισώσεις περιγράφουν δύο ευθείες γραµµές, τις l και l Εφόσον ένα σηµείο (x, y) ϐρίσκεται σε µία ευθεία αν και µόνο αν οι αριθµοί x και y ικανοποιούν

6 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ την εξίσωση της ευθείας, οι λύσεις του συστήµατος ϑα αντιστοιχούν στα σηµεία τοµής των l και l Υπάρχουν τρείς πιθανές περιπτώσεις (Σχήµα ): (α) Οι ευθείες l και l είναι παράλληλες Στην περίπτωση αυτή δεν τέµνονται σε κανένα σηµείο και άρα το σύστηµα δεν έχει καµία λύση (ϐ) Οι ευθείες l και l τέµνονται σε ένα µόνο σηµείο Στην περίπτωση αυτή το σύστηµα έχει ακριβώς µία λύση (γ) Οι ευθείες l και l ταυτίζονται Στην περίπτωση αυτή τέµνονται σε άπειρα σηµεία και άρα το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις Σχήµα Παρότι συζητήσαµε µόνο την περίπτωση δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους, ϑα δείξουµε παρακάτω ότι το ίδιο συµπέρασµα ισχύεί για οποιοδήποτε γραµµικό σύστηµα : Κάθε σύστηµα γραµµικών εξισώσεων είτε δεν έχει καµία λύση, είτε έχει ακριβώς µία λύση, είτε έχει άπειρες λύσεις Θα γράφουµε ένα σύστηµα m γραµµικών εξισώσεων µε n αγνώστους ως εξής a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a m x + a m x + + a mn x n = b m όπου x, x,, x n είναι οι άγνωστοι και τα a και b µε τους δείκτες είναι σταθερές Για παράδειγµα η γενική µορφή ενός συστήµατος τριών γραµµικών εξισώσεων µε τέσσερεις αγνώστους είναι : a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 4 = b a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 4 = b a 3 x + a 3 x + a 33 x 3 + a 34 x 4 = b 3 a 4 x + a 4 x + a 43 x 3 + a 44 x 4 = b 4 Ο διπλός δείκτης κάθε συντελεστή των αγνώστων είναι ιδιαίτερα χρήσιµος, γιατί µας επιτρέπει να προσδιορίσουµε τη ϑέση του συντελεστή στο σύστηµα Ο πρώτος δείκτης του συντελεστή a ij µας δείχνει σε ποια εξίσωση εµφανίζεται ο συντελεστής και ο δεύτερος δείκτης του συντελεστή µας δείχνει ποιος άγνωστος πολλαπλασιάζεται µε τον συντελεστή Ετσι ο a ϐρίσκεται στην πρώτη εξίσωση και πολλαπλασιάζεται µε τον άγνωστο x Η γραφή του συστήµατος m γραµµικών εξισώσεων µε n αγνώστους µπορεί να συντοµευθεί, αρκεί να ϑυµόµαστε που µπαίνουν τα +, τα x και τα =, γράφοντας µόνο

7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 7 την ορθογώνια διευθέτηση αριθµών : a a a n b a a a n b a m a m a mn b m Θα ονοµάζουµε την ορθογώνια αυτή διευθέτηση αριθµών επαυξηµένο πίνακα του συστήµατος (Ο όρος πίνακας χρησιµοποιείται στα µαθηµατικά για ορθογώνιες διευ- ϑετήσεις αριθµών Οι πίνακες εµφανίζονται σε πολλές περιοχές Θα τους µελετήσουµε λεπτοµερώς σε παρακάτω ενότητες) Για παράδειγµα ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ο x + x + x 3 = 9 x + 4x 3x 3 = 3x + 6x 5x 3 = ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Οταν κατασκευάζουµε τον επαυξηµένο πίνακα ενός συστήµατος οι άγνωστοι πρέπει να γράφονται µε την ίδια σειρά σε κάθε εξίσωση Η κύρια µέθοδος που ακολουθούµε για να λύσουµε ένα σύστηµα γραµµικών εξισώσεων είναι η αντικατάσταση του δοσµένου συστήµατος µε ένα νέο σύστηµα το οποίο έχει το ίδιο σύνολο λύσεων µε το αρχικό, αλλά το οποίο είναι πιο εύκολο να λυθεί Το νέο αυτό σύστηµα το παίρνουµε σε µία σειρά ϐηµάτων εφαρµόζοντας τους παρακάτω τρείς τύπους διαδικασιών ώστε να απαλείψουµε τους αγνώστους συστηµατικά Πολλαπλασιάζουµε όλους τους όρους µίας εξίσωσης µε µία µη µηδενική σταθερά Εναλλάσουµε δύο εξισώσεις 3 Προσθέτουµε ένα πολλαπλάσιο µίας εξίσωσης σε µία άλλη Εφόσον οι γραµµές (οριζόντιες γραµµές) του επαυξηµένου πίνακα αντιστοιχούν στις εξισώσεις του αντίστοιχου συστήµατος, η εφαρµογή αυτών των τριών διαδικασιών στις εξισώσεις του συστήµατος αντιστοιχεί στην εφαρµογή των παρακάτω τριών διαδικασιών στις γραµµές του επαυξηµένου πίνακα Πολλαπλασιάζουµε όλους τους αριθµούς µίας γραµµής µε µία µη µηδενική σταθερά Εναλλάσουµε δύο γραµµές 3 Προσθέτουµε ένα πολλαπλάσιο µίας γραµµής σε µία άλλη

8 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Οι διαδικασίες αυτές ονοµάζονται στοιχειώδεις διαδικασίες γραµµών Στο επό- µενο παράδειγµα ϑα δούµε πώς χρησιµοποιούµε τις διαδικασίες αυτές για να λύσουµε ένα σύστηµα γραµµικών εξισώσεων Εφόσον µία µέθοδος µε την οποία ϐρίσκουµε λύσεις ϑα αναπτυχθεί στην επόµενη ενότητα, δεν χρειάζεται να ανησυχείτε για τον τρόπο ΣΤΟΙΧΕΙΩ- ΕΙΣ ΙΑ Ι- ΚΑΣΙΕΣ ΓΡΑΜΜΩΝ µε τον οποίο επιλέξαµε τα ϐήµατα στο παράδειγµα αυτό Η κύρια προσπάθειά σας πρέπει να είναι να καταλάβετε τους υπολογισµούς Παράδειγµα 3 Στην αριστερή στήλη λύνουµε ένα σύστηµα γραµµικών εξισώσεων εφαρµόζοντας τις στοιχειώδεις διαδικασίες στις εξισώσεις του συστήµατος και στη δεξιά στήλη λύνουµε το ίδιο σύστηµα εφαρµόζοντας τις στοιχειώδεις διαδικασίες στις γραµµές του επαυξηµένου πίνακα x + y + z = 9 x + 4y 3z = 3x + 6y 5z = 0 Προσθέτουµε - ϕορές την πρώτη εξίσωση στη δεύτερη και παίρνουµε x + y + z = 9 y 7z = 7 3x + 6y 5z = 0 Προσθέτουµε -3 ϕορές την πρώτη εξίσωση στην τρίτη και παίρνουµε x + y + z = 9 y 7z = 7 3y z = 7 Πολλαπλασιάζουµε τη δεύτερη εξίσωση µε / και παίρνουµε x + y + z = 9 y 7 z = 7 3y z = 7 Προσθέτουµε -3 ϕορές τη δεύτερη εξίσωση στην τρίτη και παίρνουµε x + y + z = 9 y 7 z = 7 z = Προσθέτουµε - ϕορές την πρώτη γραµµή στη δεύτερη και παίρνουµε Προσθέτουµε -3 ϕορές την πρώτη γραµµή στην τρίτη και παίρνουµε Πολλαπλασιάζουµε τη δεύτερη γραµµή µε / και παίρνουµε Προσθέτουµε -3 ϕορές τη δεύτερη εξίσωση στην τρίτη και παίρνουµε

9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 9 Πολλαπλασιάζουµε την τρίτη εξίσωση µε - και παίρνουµε x + y + z = 9 y 7 z = 7 z = 3 Προσθέτουµε - ϕορά τη δεύτερη εξίσωση στην πρώτη και παίρνουµε x + z = 35 y 7 z = 7 z = 3 Προσθέτουµε ϕορές την τρίτη εξίσωση στην πρώτη και 7 ϕορές την τρίτη εξίσωση στην δεύτερη και παίρνουµε x = y = z = 3 Είναι προφανές ότι η λύση είναι Πολλαπλασιάζουµε την τρίτη γραµµή µε - και παίρνουµε Προσθέτουµε - ϕορά τη δεύτερη γραµµή στην πρώτη και παίρνουµε Προσθέτουµε ϕορές την τρίτη γραµµή στην πρώτη και 7 ϕορές την τρίτη γραµµή στην δεύτερη και παίρνουµε x =, y =, z = 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ Ποιες από τις παρακάτω είναι γραµµικές εξισώσεις µε µεταβλητές x, x και x 3 ; (α) x + 5x x 3 = (ϐ) x 3x + x x 3 = (γ) x = 7x + 3x 3 (δ) x + x + 8x 3 = 5 (ε) x 3/5 x + x 3 = 4 (στ) πx x + 3 x 3 = 7 /3 Αν k είναι µία σταθερά, ποιες από τις παρακάτω είναι γραµµικές εξισώσεις ; (α) x x + x 3 = sin k (ϐ) kx k x = 9 (γ) k x + 7x x 3 = 0 3 Να ϐρεθεί το σύνολο λύσεων κάθε µίας από τις παρακάτω γραµµικές εξισώσεις (α) 7x 5y = 3 (ϐ) 3x 5x + 4x 3 = 7 (γ) 8x + x 5x 3 + 6x 4 = (δ) 3v 8w + x y + 4z = 0 4 Να ϐρεθεί ο επαυξηµένος πίνακας για κάθε ένα από τα παρακάτω συστήµατα γραµµικών εξισώσεων (α) 3x x = 4x + 5x = 3 7x + 3x = (γ) x + x x 4 + x 5 = 3x + x 3 x 5 = x 3 + 7x 4 = (ϐ) x + x 3 = 3x x + 4x 3 = 7 6x + x x 3 = 0 (δ) x = x = x 3 = 3

10 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ 5 Να ϐρεθεί το σύστηµα που αντιστοιχεί σε κάθε έναν από τους παρακάτω επαυξη- µένους πίνακες (α) (γ) [ (ϐ) (δ) (α) Βρείτε µία γραµµική εξίσωση µε µεταβλητές x και y η οποία έχει γενική λύση x = 5 + t, y = t (ϐ) είξτε ότι η x = t, y = t 5 είναι επίσης γενική λύση της εξίσωσης του µέρους (α) 7 Η καµπύλη y = ax + bx + c του Σχήµατος περνάει από τα σηµεία (x, y ), (x, y ) και (x 3, y 3 ) είξτε ότι οι συντελεστές a, b και c είναι µία λύση του συστήµατος µε επαυξηµένο πίνακα x x y x x y x 3 x 3 y 3 Σχήµα 8 Για ποια τιµή (τιµές) της σταθεράς k δεν έχει το παρακάτω σύστηµα καµία λύση ; Εχει ακριβώς µία λύση ; Εχει άπειρες λύσεις ; x y = 3 x y = k 9 Θεωρήστε το σύστηµα εξισώσεων ax + by = k cx + dy = l ex + fy = m Ποιες ϑα είναι οι σχετικές ϑέσεις των ευθειών ax+by = k, cx+dy = l και ex+fy = m όταν (α) το σύστηµα δεν έχει καµία λύση (ϐ) το σύστηµα έχει ακριβώς µία λύση (γ) το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις 0 είξτε ότι αν το σύστηµα εξισώσεων της Άσκησης 9 είναι συµβιβαστό, τότε τουλάχιστον µία από τις εξισώσεις µπορεί να αφαιρεθεί χωρίς να αλλάξει το σύνολο λύσεων

11 ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAUSS Εστω k = l = m = 0 στην Άσκηση 9 είξτε ότι το σύστηµα είναι συµβιβαστό Τι µπορούµε να πούµε για το σηµείο τοµής των τριών ευθειών αν το σύστηµα έχει ακριβώς µία λύση ; Θεωρήστε το σύστηµα εξισώσεων x + y + z = a x + z = b x + y + 3z = c είξτε ότι για να είναι το σύστηµα συµβιβαστό, πρέπει τα a, b και c να ικανοποιούν τη συνθήκη c = a + b 3 είξτε ότι αν οι γραµµικές εξισώσεις x + kx = c και x + lx = d έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων, τότε ταυτίζονται Απαλοιφή Gauss Στην ενότητα αυτή ϑα δούµε µία συστηµατική διαδικασία για την εύρεση των λύσεων συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων Η διαδικασία αυτή ϐασίζεται στην ιδέα της αναγωγής του επαυξηµένου πίνακα σε µία µορφή για την οποία η εύρεση της λύσης είναι απλή Στο Παράδειγµα 3 της προηγούµενης ενότητας λύσαµε το δοθέν γραµµικό σύστηµα ανάγοντας τον επαυξηµένο πίνακα στον ΑΝΗΓΜΕΝΗ ΚΛΙΜΑΚΩΤΗ ΜΟΡΦΗ από τον οποίο η λύση του συστήµατος ήταν προφανής Αυτό είναι ένα παράδειγµα ενός πίνακα ο οποίος ϐρίσκεται σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή Για να ϐρίσκεται στη µορφή αυτή ένας πίνακας πρέπει να έχει τις ακόλουθες ιδιότητες Αν µία γραµµή δεν αποτελείται αποκλειστικά από µηδενικά, τότε ο πρώτος µη µηδενικός αριθµός της γραµµής είναι το (Τον ονοµάζουµε αρχικό ) Αν υπάρχουν γραµµές οι οποίες αποτελούνται αποκλειστικά από µηδενικά, τότε είναι οµαδοποιηµένες όλες στο κάτω µέρος του πίνακα 3 Σε οποιεσδήποτε δύο διαδοχικές γραµµές οι οποίες δεν αποτελούνται αποκλειστικά από µηδενικά, το αρχικό της γραµµής η οποία είναι πιο χαµηλά ϐρίσκεται δεξιότερα από το αρχικό της γραµµής η οποία είναι πιο ψηλά 4 Κάθε στήλη η οποία περιέχει ένα αρχικό έχει µηδενικά σε όλες τις άλλες ϑέσεις

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Αν ένας πίνακας έχει τις ιδιότητες, και 3 (άλλα όχι αναγκαστικά την 4), τότε ϑα λέµε ότι ϐρίσκεται σε κλιµακωτή µορφή Παράδειγµα Οι παρακάτω πίνακες είναι σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή [ 0 0 7, 0 0, , Οι παρακάτω πίνακες είναι σε κλιµακωτή µορφή , 0 0, Ο αναγνώστης πρέπει να επιβεβαιώσει ότι ο κάθε ένας από τους παραπάνω πίνακες ικανοποιεί τις αναγκαίες ιδιότητες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Οπως ϕαίνεται από το προηγούµενο παράδειγµα ένας πίνακας σε κλι- µακωτή µορφή έχει µηδενικά κάτω από κάθε αρχικό, ενώ ένας πίνακας σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή έχει µηδενικά και πάνω και κάτω από κάθε αρχικό Αν µετά από µία ακολουθία στοιχειωδών διαδικασιών γραµµών ο επαυξηµένος πίνακας ενός συστήµατος ϐρεθεί σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή, τότε η λύση του συστήµατος µπορεί να ϐρεθεί είτε άµεσα είτε, στη χειρότερη περίπτωση, µετά από λίγα απλά ϐήµατα, όπως ϑα δούµε στο επόµενο παράδειγµα Παράδειγµα Εστω ότι ο επαυξηµένος πίνακας ενός συστήµατος γραµµικών εξισώσεων έχει αναχθεί µε διαδικασίες γραµµών στην δοθείσα ανηγµένη κλιµακωτή µορφή Να λυθεί το σύστηµα (α) (γ) (ϐ) (δ) Λύση (α) Το αντίστοιχο σύστηµα εξισώσεων είναι το Είναι άµεσο ότι x = 5, x =, x 3 = 4 x = 5 x = x 3 = 4

13 ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAUSS 3 Λύση (ϐ) Το αντίστοιχο σύστηµα εξισώσεων είναι το x + 4x 4 = x + x 4 = 6 x 3 + 3x 4 = Εφόσον οι x, x και x 3 αντιστοιχούν σε αρχικά στον επαυξηµένο πίνακα, ϑα τις ονοµάζουµε ϐασικές µεταβλητές Τις µεταβλητές που δεν είναι ϐασικές (στην περίπτωση αυτή την x 4 ) ϑα τις ονοµάζουµε ελέυθερες µεταβλητές Λύνοντας ως προς τις ϐασικές µεταβλητές συναρτήσει της ελέυθερης µεταβλητής παίρνουµε x = 4x 4 x = 6 x 4 x 3 = 3x 4 Εφόσον η x 4 µπορεί να πάρει µία αυθαίρετη τιµή, έστω t, έχουµε άπειρες λύσεις Η γενική λύση δίνεται από τους τύπους x = 4t, x = 6 t, x 3 = 3t, x 4 = t Λύση (γ) Το αντίστοιχο σύστηµα εξισώσεων είναι το x + 6x + 4x 5 = x 3 + 3x 5 = x 4 + 5x 5 = Εδώ οι ϐασικές µεταβλητές είναι οι x, x 3 και x 4 και οι ελεύθερες µεταβλητές είναι οι x και x 5 Λύνοντας ως προς τις ϐασικές µεταβλητές συναρτήσει των ελέυθερων µεταβλητών παίρνουµε x = 4x 5 6x x 3 = 3x 5 x 4 = 5x 5 Εφόσον µπορούµε να δώσουµε µία αυθαίρετη τιµή, t, στην x 5, και µία αυθαίρετη τιµή, s, στην x, υπάρχουν άπειρες λύσεις Η γενική λύση δίνεται από τους τύπους x = 4t 6s, x = s, x 3 = 3t, x 4 = 5t, x 5 = t Λύση (δ) Η τελευταία εξίσωση στο αντίστοιχο σύστηµα εξισώσεων είναι η 0x + 0x + 0x 3 = Εφόσον η εξίσωση αυτή δεν ικανοποιείται ποτέ, το σύστηµα δεν έχει καµία λύση

14 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAUSS Μόλις είδαµε πόσο εύκολο είναι να λύσουµε ένα σύστηµα γραµµικών εξισώσεων αν ο επαυξηµένος του πίνακάς είναι σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή Τώρα ϑα δόσουµε µία διαδικασία σε ϐήµατα, η οποία µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να αναχθεί ένας πίνακας στην ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του Για να γίνει πιο ξεκάθαρο τι κάνουµε, µαζί µε την διατύπωση κάθε ϐήµατος της διαδικασίας ϑα το εφαρµόζουµε στον παρακάτω πίνακα για να πάρουµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του Βήµα ο Εντοπίζουµε την πιο αριστερή στήλη η οποία δεν αποτελείται αποκλειστικά από µηδενικά Πιο αριστερή µη µηδενική στήλη Βήµα ο Αν είναι αναγκαίο εναλλάσουµε την γραµµή που ϐρίσκεται στην κορυφή του πίνακα µε µία άλλη γραµµή για να ϕέρουµε ένα µη µηδενικό στοιχείο στην κορυφή της στήλης που ϐρήκαµε στο Βήµα Εναλλάξαµε την πρώτη µε τη δεύτερη γραµµή του προηγούµενου πίνακα Βήµα 3ο Αν το στοιχείο το οποίο ϐρίσκεται τώρα στην κορυφή της στήλης την οποία ϐρήκαµε στο Βήµα είναι a, τότε πολλαπλασιάζουµε την πρώτη γραµµή µε /a για να πάρουµε ένα αρχικό Πολλαπλασιάσαµε την πρώτη γραµ- µή του προηγούµενου πίνακα µε / Βήµα 4ο Προσθέτουµε κατάλληλα πολλαπλάσια της γραµµής η οποία ϐρίσκεται στην κορυφή στις γραµµές κάτω από αυτήν ώστε όλα τα στοιχεία κάτω από το αρχικό να γίνουν Προσθέσαµε - ϕορές την πρώτη γραµµή του προηγούµενου πίνακα στην τρίτη γραµµή Βήµα 5ο Τώρα καλύπτουµε την γραµµή που ϐρίσκεται στην κορυφή του πίνακα και αρχίζουµε πάλι εφαρµόζοντας το Βήµα στον υποπίνακα που αποµένει Συνεχίζουµε µε αυτό τον τρόπο µέχρι όλος ο πίνακας να είναι σε κλιµακωτή µορφή Πιο αριστερή µη µηδενική στήλη του υποπίνακα

15 ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAUSS Πολλαπλασιάσαµε την πρώτη γραµ- µή του υποπίνακα µε -/ για να πά- ϱουµε ένα αρχικό Προσθέσαµε -5 ϕορές την πρώτη γραµµή του υποπίνακα στη δεύτερη γραµµή του υποπίνακα για να πά- ϱουµε µηδενικά κάτω από το αρχικό Καλύπτουµε την πρώτη γραµµή του υποπίνακα και γυρνάµε στο Βήµα Πιο αριστερή µη µηδενική στήλη του νέου υποπίνακα Πολλαπλασιάσαµε την πρώτη (και µοναδική) γραµµή του νέου υποπίνακα µε για να πάρουµε ένα αρχικό Ο πίνακας ϐρίσκεται τώρα σε κλιµακωτή µορφή Για να πάρουµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή χρειαζόµαστε το παρακάτω πρόσθετο ϐήµα Βήµα 6ο Αρχίζοντας από την τελευταία γραµµή και δουλεύοντας προς τα πάνω, προσθέτουµε κατάλληλα πολλαπλάσια κάθε γραµµής στις πάνω από αυτήν γραµµές για να πάρουµε µηδενικά πάνω από τα αρχικά Προσθέσαµε 7/ ϕορές την τρίτη γραµµή του προηγούµενου πίνακα στη δεύτερη γραµµή Προσθέσαµε -6 ϕορές την τρίτη γραµ- µή στην πρώτη γραµµή Προσθέσαµε 5 ϕορές τη δεύτερη γραµµή στην πρώτη γραµµή Ο τελευταίος πίνακας είναι σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή Η παραπάνω διαδικασία αναγωγής ενός πίνακα στην ανηγµένη κλιµακωτή µορ- ϕή του ονοµάζεται απαλοιφή Gauss-Jordan Αν χρησιµοποιήσουµε µόνο τα πέντε πρώτα ϐήµατα, τότε παίρνουµε την κλιµακωτή µορφή και η διαδικασία ονοµάζεται απαλοιφή Gauss Παράδειγµα 3 Να λυθεί µε απαλοιφή Gauss-Jordan το x + 3x x 3 + x 5 = 0 x + 6x 5x 3 x 4 + 4x 5 3x 6 = 5x 3 + 0x 4 + 5x 6 = 5 x + 6x + 8x 4 + 4x 5 + 8x 6 = 6

16 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ο Προσθέτοντας - ϕορές την πρώτη γραµµή στην δεύτερη και την τέταρτη γραµµή παίρνουµε τον Πολλαπλασιάζοντας την δεύτερη γραµµή µε - και µετα προσθέτοντας -5 ϕορές την δεύτερη γραµµή στην τρίτη γραµµή και -4 ϕορές την δεύτερη γραµµή στην τέταρτη γραµµή παίρνουµε τον Εναλλάσοντας την τρίτη και την τέταρτη γραµµή και µετά πολλαπλασιάζοντας την τρίτη γραµµή του πίνακα που προκύπτει µε /6 παίρνουµε την κλιµακωτή µορφή Προσθέτοντας -3 ϕορές την τρίτη γραµµή στη δεύτερη γραµµή και µετα προσθέτοντας ϕορές την δεύτερη γραµµή του πίνακα που προκύπτει στην πρώτη γραµµή παίρνουµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή Το αντίστοιχο σύστηµα εξισώσεων είναι το x + 3x + 4x 4 + x 5 = 0 x 3 + x 4 = 0 x 6 = 3 (Παραλείψαµε την τελευταία εξίσωση 0x + 0x + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 = 0, εφόσον ϑα ικανοποιείται αυτόµατα από τις λύσεις των υπόλοιπων εξισώσεων) Λύνοντας ως προς τις ϐασικές µεταβλητές παίρνουµε x = 3x 4x 4 x 5 x 3 = x 4 x 6 = 3

17 ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAUSS 7 Αν δώσουµε στις ελεύθερες µεταβλητές x, x 4 και x 5 τις αυθαίρετες τιµές r, s και t αντίστοιχα, τότε η γενική λύση δίνεται από τους τύπους x = 3r 4s t, x = r, x 3 = s, x 4 = s, x 5 = t, x 6 = 3 Παράδειγµα 4 Κάποιες ϕορές είναι προτιµότερο να λύσουµε ένα σύστηµα γραµ- ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΙΣΩ µικών εξισώσεων χρησιµοποιώντας απαλοιφή Gauss για να πάρουµε την κλιµακωτή µορφή του επαυξηµένου πίνακα, χωρίς να σύνεχίσουµε για να ϐρούµε την ανηγµένη ΑΝΤΙΚΑΤΑ- ΣΤΑΣΗ κλιµακωτή µορφή Οταν κάνουµε κάτι τέτοιο το αντίστοιχο σύστηµα λύνεται µε µία τεχνική η οποία ονοµάζεται προς τα πίσω αντικατάσταση Θα χρησιµοποιήσουµε το σύστηµα του Παραδείγµατος 3 για να δείξουµε πώς δουλεύει η µέθοδος αυτή Από τους υπολογισµούς του Παραδείγµατος 3 η κλιµακωτή µορφή του επαυξηµένου πίνακα είναι η Για να λύσουµε το αντίστοιχο σύστηµα εξισώσεων προχωράµε ως εξής : x + 3x x 3 + x 5 = 0 x 3 + x 4 + 3x 6 = x 6 = 3 Βήµα ο Λύνουµε τις εξισώσεις ως προς τις ϐασικές µεταβλητές x = 3x + x 3 x 5 x 3 = x 4 3x 6 x 6 = 3 Βήµα ο Αρχίζοντας από την τελευταία εξίσωση και δουλεύοντας προς τα πάνω, αντικαθιστούµε διαδοχικά κάθε εξίσωση σε όλες τις εξισώσεις που ϐρίσκονται πάνω από αυτήν Αντικαθιστώντας x 6 = 3 στην δεύτερη εξίσωση παίρνουµε x = 3x + x 3 x 5 x 3 = x 4 x 6 = 3 Αντικαθιστώντας x 3 = x 4 στην πρώτη εξίσωση παίρνουµε x = 3x 4x 4 x 5 x 3 = x 4 x 6 = 3 Βήµα 3ο ίνουµε αυθαίρετες τιµές στις ελεύθερες µεταβλητές, εφόσον υπάρχουν

18 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Αν δώσουµε στις ελεύθερες µεταβλητές x, x 4 και x 5 τις αυθαίρετες τιµές r, s και t αντίστοιχα, τότε η γενική λύση δίνεται από τους τύπους x = 3r 4s t, x = r, x 3 = s, x 4 = s, x 5 = t, x 6 = 3 Βλέπουµε ότι το αποτέλεσµα είναι το ίδιο µε αυτό του Παραδείγµατος 3 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Οι αυθαίρετες τιµές που δίνουµε στις ελεύθερες µεταβλητές συχνά ονοµάζονται παράµετροι Παρότι γενικά ϑα χρησιµοποιούµε τα γράµµατα r, s, t, για τις παραµέτρους, οποιαδήποτε γράµµατα τα οποία δεν έρχονται σε αντίθεση µε τα ονόµατα των µεταβλητών µπορούν να χρησιµοποιηθούν Παράδειγµα 5 Να λυθεί το x + y + z = 9 x + 4y 3z = 3x + 6y 5z = 0 µε απαλοιφή Gauss και προς τα πίσω αντικατάσταση Λύση Αυτό είναι το σύστηµα του Παραδείγµατος 3 της Ενότητας Στο παράδειγµα αυτό µετατρέψαµε τον επαυξηµένο πίνακα στην κλιµακωτή µορφή Το σύστηµα το οποίο αντίστοιχεί σε αυτόν τον πίνακα είναι το x + y + z = 9 y 7 z = 7 z = 3 Λύνοντας ως προς τις ϐασικές µεταβλητές παίρνουµε x = 9 y z y = z z = 3 Αντικαθιστώντας την τελευταία εξίσωση στις από πάνω της παίρνουµε x = 3 y y = z = 3 και αντικαθιστώντας την δεύτερη εξίσωση στην πρώτη παίρνουµε x = y = z = 3

19 ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAUSS 9 Το αποτέλεσµα αυτό είναι το ίδιο µε αυτό που ϐρήκαµε στο Παράδειγµα 3 της Ενότητας µε απαλοιφή Gauss-Jordan Οι διαδικασίες που δώσαµε για την αναγωγή ενός πίνακα σε κλιµακωτή µορφή και ανηγµένη κλιµακωτή µορφή µπορούν να χρησιµοποιηθούν για υπολογισµούς µε υπολογιστή γιατί είναι συστηµατικές Από την άλλη στις διαδικασίες αυτές εµφανί- Ϲονται µερικές ϕορές κλάσµατα, πράγµα που µπορεί να αποφευχθεί αν αλλάξουµε τη σειρά των ϐηµάτων µε σωστό τρόπο Ετσι, όταν ο αναγνώστης έχει µάθει καλά να χρησιµοποιεί τη ϐασική διαδικασία, µπορεί να προσπαθήσει σε συγκεκριµένα προ- ϐλήµατα να αλλάξει τη σειρά των ϐηµάτων για να αποφύγει τα κλάσµατα (ϐλ Άσκηση 5) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Μπορεί να αποδειχθεί, παρότι δεν ϑα το κάνουµε εδώ, ότι κάθε πίνακας έχει µοναδική ανηγµένη κλιµακωτή µορφή, δηλαδή για έναν συγκεκριµένο πίνακα µε όποιον τρόπο κι αν εφαρµόσουµε τις στοιχειώδεις διαδικασίες γραµµών ϕτάνου- µε πάντα στην ίδια ανηγµένη κλιµακωτή µορφή Αντίθετα η κλιµακωτή µορφή ενός πίνακα δεν είναι µοναδική Αλλάζοντας τη σειρά των στοιχειωδών διαδικασιών γραµ- µών µπορεί να καταλήξουµε σε διαφορετική κλιµακωτή µορφή (ϐλ Άσκηση 6) Για το λόγο αυτό µιλάµε για την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή ενός πίνακα και για µία κλιµακωτή µορφή ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Οι περισσσότεροι αλγόριθµοι που χρησιµοποιούνται από υπολογιστές για τη λύση συστηµάτων χρησιµοποιούν την απαλοιφή Gauss και όχι την απαλοιφή Gauss-Jordan Επίσης η ϐασική διαδικασία συχνά τροποποιείται µε πολλούς δια- ϕορετικούς τρόπους ώστε να ελαττωθούν τα σφάλµατα κατά τη στρογγυλοποίηση, να ελαχιστοποιηθεί ο απαραίτητος χώρος αποθήκευσης και να µεγιστοποιηθεί η ταχύτητα Για παράδειγµα πολλοί τέτοιοι αλγόριθµοι δεν κανονικοποιούν το ϐασικό στοιχείο κάνοντάς το ίσο µε

20 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ Ποιοι από τους παρακάτω 3 3 πίνακες είναι σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή ; (α) (δ) (Ϲ) (ϐ) (ε) (η) (γ) (στ) (ϑ) Ποιοι από τους παρακάτω 3 3 πίνακες είναι σε κλιµακωτή µορφή ; (α) (δ) (ϐ) (ε) (γ) (στ) Για κάθε έναν από τους παρακάτω πίνακες εξετάστε αν είναι σε κλιµακωτή µορφή, σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή, και στις δύο ή σε καµία από τις δύο (α) (δ) [ (ϐ) (ε) (γ) (στ) [ Για κάθε έναν από τους παρακάτω πίνακες υποθέστε ότι ο επαυξηµένος πίνακας ενός συστήµατος γραµµικών εξισώσεων έχει αναχθεί µε διαδικασίες γραµµών σε αυτή την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή Λύστε το σύστηµα (α) (γ) (ϐ) (δ) Για κάθε έναν από τους παρακάτω πίνακες υποθέστε ότι ο επαυξηµένος πίνακας ενός συστήµατος γραµµικών εξισώσεων έχει αναχθεί µε διαδικασίες γραµµών σε αυτή

21 ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAUSS την κλιµακωτή µορφή Λύστε το σύστηµα (α) (γ) (ϐ) (δ) Να λυθεί το κάθε ένα από τα παρακάτω συστήµατα µε απαλοιφή Gauss-Jordan (α) x + x + x 3 = 8 x x + 3x 3 = 3x 7x + 4x 3 = 0 (γ) x y + z w = x + y z w = x + y 4z + w = 3x 3w = 3 (ϐ) x + x + x 3 = 0 x + 5x + x 3 = 8x + x + 4x 3 = (δ) b + 3c = 3a + 6b 3c = 6a + 6b + 3c = 5 7 Να λυθεί το κάθε ένα από τα συστήµατα της Άσκησης 6 µε απαλοιφή Gauss 8 Να λυθεί το κάθε ένα από τα παρακάτω συστήµατα µε απαλοιφή Gauss-Jordan (α) x 3x = x + x = 3x + x = (γ) 4x 8x = 3x 6x = 9 x + 4x = 6 (ϐ) 3x + x x 3 = 5 5x + 3x + x 3 = 0 3x + x + 3x 3 = 6x 4x + x 3 = 30 (δ) 0y 4z + w = x + 4y z + w = 3x + y + z + w = 5 x 8y + z w = 4 x 6y + 3z = 9 Να λυθεί το κάθε ένα από τα συστήµατα της Άσκησης 8 µε απαλοιφή Gauss 0 Να λυθεί το κάθε ένα από τα παρακάτω συστήµατα µε απαλοιφή Gauss-Jordan (α) 5x x + 6x 3 = 0 x + x + 3x 3 = (γ) w + x y = 7 x y = 3 w + 3x y = 7 u + 4v + w + 7x = 7 (ϐ) x x + x 3 4x 4 = x + 3x + 7x 3 + x 4 = x x x 3 6x 4 = 5 Να λυθεί το κάθε ένα από τα συστήµατα της Άσκησης 0 µε απαλοιφή Gauss Λύστε το παρακάτω σύστηµα µε όποια µέθοδο ϑέλετε I I + 3I 3 + 4I 4 = 9 I I 3 + 7I 4 = 3I 3I + I 3 + 5I 4 = 8 I + I + 4I 3 + 4I 4 = 0

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ 3 Να λυθούν τα παρακάτω συστήµατα αν a, b και c είναι σταθερές (α) x + y = a 3x + 6y = b (ϐ) x + x + x 3 = a x + x 3 = b 3x + 3x 3 = c 4 Για ποιες τιµές του a δεν έχει το παρακάτω σύστηµα καµία λύση ; Ακριβώς µία λύση ; Άπειρες λύσεις ; 5 Να αναχθεί ο x + y 3z = 4 3x y + 5z = 4x + y + (a 4)z = a σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή χωρίς να εµφανιστούν κλάσµατα 6 Βρείτε δύο κλιµακωτές µορφές του [ Να λυθεί το ακόλουθο σύστηµα µη γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους τις γωνίες α, β και γ, όπου 0 α π, 0 β π και 0 γ < π sin α cos β + 3 tan γ = 3 4 sin α + cos β tan γ = 6 sin α 3 cos β + tan γ = 9 8 Να λυθεί το ακόλουθο σύστηµα µη γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους τα x, y και z x + y + z = 6 x y + z = x + y z = 3 9 Στο Σχήµα δίνετε το γράφηµα της καµπύλης µε εξίσωση y = ax 3 + bx + cx + d η οποία διέρχεται από τα σηµεία (0, 0), (, 7), (3, ), (4, 4) Να ϐρεθούν οι συντελεστές a, b, c και d 0 Να περιγραφούν οι πιθανές ανηγµένες κλιµακωτές µορφές του πίνακα a b c d e f g h i είξτε ότι αν ad bc 0, τότε η ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του [ [ a b 0 είναι c d 0

23 3 ΟΜΟΓΕΝΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 Χρησιµοποιήστε την Άσκηση για να δείξετε ότι αν ad bc 0, τότε το σύστηµα έχει ακριβώς µία λύση ax + by = k cx + dy = l 3 Οµογενή Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Οπως έχουµε ήδη πει κάθε σύστηµα γραµµικών εξισώσεων είτε έχει µία λύση, είτε έχει άπειρες λύσεις, είτε δεν έχει καµία λύση Καθώς ϑα προχωράµε ϑα υπάρξουν περιπτώσεις στις οποίες δεν ϑα ενδιαφερόµαστε να ϐρούµε τις λύσεις ενός συγκεκριµένου συστήµατος, αλλά ϑα µας απασχολεί το πλήθος των λύσεων του συστήµατος αυτού Στην ενότητα αυτή ϑα εξετάσουµε γραµµικά συστήµατα για τα οποία είναι εύκολο να καταλήξουµε σε συµπεράσµατα για το πλήθος των λύσεών τους Ενα σύστηµα γραµµικών εξισώσεων ονοµάζεται οµογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι είναι µηδέν, δηλαδή αν το σύστηµα είναι της µορφής a x + a x + + a n x n = 0 a x + a x + + a n x n = 0 a m x + a m x + + a mn x n = 0 Κάθε οµογενές σύστηµα γραµµικών εξισώσεων είναι συµβιβαστό, εφόσον όλα τα συστήµατα αυτού του είδους έχουν τη λύση x = 0, x = 0,, x n = 0 Η λύση αυτή ονοµάζεται τετριµµένη λύση Αν υπάρχουν άλλες λύσεις, τότε ϑα ονοµάζονται µη τετριµµένες λύσεις Εφόσον τα οµογενή συστήµατα γραµµικών εξισώσεων είναι συµβιβαστά, έχουν είτε µία λύση είτε άπειρες λύσεις Εφόσον µία από αυτές τις λύσεις είναι η τετριµµένη λύση, µπορούµε να πούµε τα εξής Για ένα οµογενές σύστηµα γραµµικών εξισώσεων ένα ακριβώς από τα παρακάτω είναι αλήθεια : Το σύστηµα έχει µόνο την τετριµµένη λύση Το σύστηµα έχει άπειρες µη τετριµµένες λύσεις και την τετριµµένη λύση

24 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Υπάρχει µία περίπτωση στην οποία ένα οµογενές σύστηµα έχει σίγουρα µη τετριµ- µένες λύσεις Αυτό συµβαίνει όταν το σύστηµα έχει περισσότερους αγνώστους από εξισώσεις Για να δούµε γιατί, ας ϑεωρήσουµε το παρακάτω παράδειγµα τεσσάρων εξισώσεων µε πέντε αγνώστους Παράδειγµα Να λυθεί το παρακάτω οµογενές σύστηµα γραµµικών εξισώσεων µε απαλοιφή Gauss-Jordan x + x x 3 + x 5 = 0 x x + x 3 3x 4 + x 5 = 0 x + x x 3 x 5 = 0 x 3 + x 4 + x 5 = 0 () Λύση Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ο Ανάγοντας τον πίνακα σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή παίρνουµε τον Το αντίστοιχο σύστηµα εξισώσεων είναι το x + x + x 5 = 0 x 3 + x 5 = 0 x 4 = 0 () Λύνοντας ως προς τις ϐασικές µεταβλητές παίρνουµε Άρα η γενική λύση είναι x = x x 5 x 3 = x 5 x 4 = 0 x = s t, x = s, x 3 = t, x 4 = 0, x 5 = t Παρατηρούµε ότι για s = t = 0 παίρνουµε την τετριµµένη λύση Το Παράδειγµα ξεκαθαρίζει δύο στοιχεία τα οποία είναι σηµαντικά για τη λύση ενός οµογενούς συστήµατος γραµµικών εξισώσεων Πρώτο : καµία από τις τρεις στοιχειώδεις διαδικασίες δεν µπορεί να αλλάξει την τελευταία στήλη του επαυξηµένου πίνακα η οποία αποτελείται από µηδενικά Για το λόγο αυτό το σύστηµα εξισώσεων το

25 3 ΟΜΟΓΕΝΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 5 οποίο αντιστοιχεί στην ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του επαυξηµένου πίνακα πρέπει να είναι επίσης οµογενές [ϐλ σύστηµα () εύτερο : ανάλογα µε το αν η ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του επαυξηµένου πίνακα έχει µηδενικές γραµµές, το πλήθος των εξισώσεων στο ανηγµένο σύστηµα είναι το ίδιο ή µικρότερο από το πλήθος των εξισώσεων στο αρχικό σύστηµα [συγκρίνετε τα συστήµατα () και () Άρα αν το δοθέν οµογενές σύστηµα έχει m εξισώσεις µε n αγνώστους µε m < n, και στην ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του επαυξηµένου πίνακα υπάρχουν r µη µηδενικές γραµµές, ϑα έχουµε r < n Εποµένως το σύστηµα εξισώσεων το οποίο αντιστοιχεί στην ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του επαυξηµένου πίνακα ϑα είναι της µορφής x k + ( ) = 0 x k + ( ) = 0 (3) x kr + ( ) = 0 όπου οι x k, x k,, x kr είναι οι ϐασικές µεταβλητές και τα ( ) συµβολίζουν αθροίσµατα (πιθανά όλα διαφορετικα) των n r ελεύθερων µεταβλητών Λύνοντας ως προς τις ϐασικές µεταβλητές παίρνουµε x k = x k = ( ) ( ) x kr = ( ) Οπως στο Παράδειγµα, µπορούµε να δώσουµε αυθαίρετες τιµές στις ελεύθερες µεταβλητές στο δεξιό µέλος και έτσι να πάρουµε άπειρες λύσεις για το σύστηµα Ανακεφαλαιώνοντας παίρνουµε το ακόλουθο ϑεώρηµα Θεώρηµα 3 Ενα οµογενές σύστηµα γραµµικών εξισώσεων µε περισσότερους αγνώστους από εξισώσεις έχει άπειρες λύσεις ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το Θεώρηµα 3 ισχύει µόνο για οµογενή συστήµατα Ενα µη οµογενές σύστηµα µε περισσότερους αγνώστους από εξισώσεις δεν είναι πάντα συµβι- ϐαστό (Άσκηση ) Οµως αν είναι συµβιβαστό, τότε ϑα έχει άπειρες λύσεις Αυτό ϑα αποδειχθεί αργότερα

26 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Χωρίς να χρησιµοποιήσετε χαρτί και µολύβι προσδιορίστε ποια από τα παρακάτω οµογενή συστήµατα έχουν µη τετριµµένες λύσεις (α) x 3x + 4x 3 x 4 = 0 7x + x 8x 3 + 9x 4 = 0 x + 8x + x 3 x 4 = 0 (γ) a x + a x + a 3 x 3 = 0 a x + a x + a 3 x 3 = 0 (ϐ) x + 3x x 3 = 0 x 8x 3 = 0 4x 3 = 0 (δ) 3x x = 0 6x 4x = 0 Να λυθούν τα παρακάτω οµογενή συστήµατα γραµµικών εξισώσεων µε οποιαδήποτε µέθοδο (α) x + x + 3x 3 = 0 x + x = 0 x + x 3 = 0 (γ) x + y + 4z = 0 w y 3z = 0 w + 3x + y + z = 0 w + x + 3y z = 0 (ϐ) 3x + x + x 3 + x 4 = 0 5x x + x 3 x 4 = 0 3 Να λυθούν τα παρακάτω οµογενή συστήµατα γραµµικών εξισώσεων µε οποιαδήποτε µέθοδο (α) x y 3z = 0 x + y 3z = 0 x + y + 4z = 0 (γ) x + 3x + x 4 = 0 x + 4x + x 3 = 0 x x 3 x 4 = 0 x 4x + x 3 + x 4 = 0 x x x 3 + x 4 = 0 (ϐ) v + 3w x = 0 u + v 4w + 3x = 0 u + 3v + w x = 0 4u 3v + 5w 4x = 0 4 Λύστε για τα Z, Z, Z 3, Z 4 και Z 5 Z 3 + Z 4 + Z 5 = 0 Z Z + Z 3 3Z 4 + Z 5 = 0 Z + Z Z 3 Z 5 = 0 Z + Z Z 3 + Z 5 = 0 5 είξτε ότι το ακόλουθο µη γραµµικό σύστηµα έχει δεκαοκτώ λύσεις αν 0 α π, 0 β π και 0 γ π sin α + cos β + 3 tan γ = 0 sin α + 5 cos β + 3 tan γ = 0 sin α 5 cos β + 5 tan γ = 0 6 Για ποια τιµή (τιµές) του λ έχει το παρακάτω σύστηµα εξισώσεων µη τετριµµένες λύσεις ; (λ 3)x + y = 0 x + (λ 3)y = 0

27 3 ΟΜΟΓΕΝΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 7 7 Θεωρήστε το σύστηµα εξισώσεων ax + by = 0 cx + dy = 0 ex + fy = 0 Εξετάστε τις σχετικές ϑέσεις των ευθειών ax + by = 0, cx + dy = 0 και ex + fy = 0 όταν (α) το σύστηµα έχει µόνο την τετριµµένη λύση (ϐ) το σύστηµα έχει µη τετριµµένες λύσεις 8 Γνωρίζουµε από τη γεωµετρία ότι τρία σηµεία του επιπέδου τα οποία δεν ϐρίσκονται όλα σε µία ευθεία γραµµή ορίζουν έναν µοναδικό κύκλο Γνωρίζουµε επίσης ότι κάθε κύκλος στο επίπεδο xy έχει µία εξίσωση της µορφής ax + ay + bx + cy + d = 0 Να ϐρεθεί η εξίσωση του κύκλου του Σχήµατος ο οποίος διέρχεται από τα σηµεία ( 4, 5), (, 7), (4, 3) Σχήµα 9 Θεωρήστε το σύστηµα εξισώσεων ax + by = 0 cx + dy = 0 (α) είξτε ότι αν x = x 0, y = y 0 είναι µία λύση του συστήµατος και k είναι µία σταθερά, τότε η x = kx 0, y = ky 0 είναι επίσης µία λύση (ϐ) είξτε ότι αν οι x = x 0, y = y 0 και x = x, y = y είναι δύο λύσεις του συστήµατος, τότε η x = x 0 + x, y = y 0 + y είναι επίσης µία λύση 0 Θεωρήστε τα συστήµατα εξισώσεων (Ι) ax + by = k cx + dy = l (ΙΙ) ax + by = 0 cx + dy = 0 (α) είξτε ότι αν οι x = x, y = y και x = x, y = y είναι λύσεις του (I), τότε η x = x x, y = y y είναι µία λύση του (II) (ϐ) είξτε ότι αν η x = x, y = y είναι µία λύση του (I) και η x = x 0, y = y 0 είναι µία λύση του (II), τότε η x = x + x 0, y = y + y 0 είναι µία λύση του (I) (α) Στο σύστηµα εξισώσεων (3) εξηγήστε γιατί ϑα ήταν λάθος να χρησιµοποιούσαµε τα σύµβολα x, x,, x r για τις ϐασικές µεταβλητές αντί για τα x k, x k,, x kr τα οποία χρησιµοποιήσαµε

28 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ (ϐ) Το σύστηµα () είναι µία ειδική περίπτωση του (3) Ποια είναι η τιµή του r στην περίπτωση αυτή ; Ποια είναι τα x k, x k,, x kr στην περίπτωση αυτή ; Γράψτε τα αθροίσµατα τα οποία στο (3) συµβολίζονται µε ( ) Να ϐρεθεί ένα µη συµβιβαστό σύστηµα γραµµικών εξισώσεων µε περισσότερους αγνώστους από εξισώσεις 4 Πίνακες και πράξεις µεταξύ πινάκων Ορθογώνιες διευθετήσεις πραγµατικών αριθµών δεν εµφανίζονται µόνο στους επαυξη- µένους πίνακες γραµµικών συστηµάτων, αλλά και σε πολλές άλλες περιπτώσεις Στην ενότητα αυτή ϑα µελετήσουµε τέτοιες διευθετήσεις αριθµών και ϑα συζητήσουµε κάποιες από τις ιδιότητες τους που ϑα µας χρειαστούν αργότερα ΟΡΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟ- ΛΙΣΜΟΙ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισµός Ενας πίνακας είναι µία ορθογώνια διευθέτηση αριθµών Οι αριθµοί στη διευθέτηση αυτή ονοµάζονται στοιχεία του πίνακα Παράδειγµα Οι παρακάτω είναι πίνακες [ 0 3 π e [ 3 [ 4 Οι πίνακες διαφέρουν µεταξύ τους σε διαστάσεις Οι διαστάσεις ενός πίνακα περιγράφονται από τον αριθµό των γραµµών (οριζόντιες γραµµές) και των στηλών (κατακόρυφες γραµµές) του πίνακα Ο πρώτος πίνακας του Παραδείγµατος έχει 3 γραµµές και στήλες και άρα οι διαστάσεις του είναι 3 επί (το οποίο γράφεται 3 ) Ο πρώτος αριθµός δηλώνει το πλήθος των γραµµών και ο δεύτερος δηλώνει το πλήθος των στηλών Εποµένως οι υπόλοιποι πίνακες του Παραδείγµατος έχουν διαστάσεις 4, 3 3, και αντίστοιχα ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Συνήθως δεν γράφουµε τις αγκύλες σε έναν πίνακα Ετσι µπορούµε να γράφουµε 4 αντί για [ 4 Παρότι αυτό δεν µας επιτρέπει να καταλάβουµε αν 4 σηµαίνει τον αριθµό τέσσερα ή τον πίνακα µε στοιχείο το τέσσερα, αυτό

29 4 ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΙΝΑΚΩΝ 9 σπάνια προκαλεί προβλήµατα, αφού συνήθως είναι εύκολο να καταλάβουµε από τα συµφραζόµενα τι σηµαίνει το 4 Θα χρησιµοποιούµε κεφαλαία γράµµατα για να συµβολίζουµε πίνακες και πεζά για να συµβολίζουµε αριθµητικές ποσότητες ηλαδή ϑα γράφουµε [ [ 7 a b c A = ή C = 3 4 d e f Οταν µιλάµε για πίνακες συνήθως ονοµάζουµε τις αριθµητικές ποσότητες ϐαθµωτά Μέχρι το Κεφάλαιο 0 όλα τα ϐαθµωτά είναι πραγµατικοί αριθµοί Αν ο A είναι ένας πίνακας ϑα συµβολίζουµε µε a ij το στοιχείο το οποίο ϐρίσκεται στην i γραµµή και την j στήλη του A Εποµένως η γενική µορφή ενός 3 4 πίνακα είναι A = a a a 3 a 4 a a a 3 a 4 a 3 a 3 a 33 a 34 Συνήθως ϑα χρησιµοποιούµε το ίδιο γράµµα για να συµβολίσουµε έναν πίνακα και τα στοιχεία του ηλαδή για έναν πίνακα B ϑα χρησιµοποιούµε b ij για το στοιχείο το οποίο ϐρίσκεται στην i γραµµή και την j στήλη του B Η γενική µορφή ενός m n πίνακα είναι B = b b b n b b b n b m b m b mn ή [b ij m n Αν δεν είναι σηµαντικό να δώσουµε έµφαση στις διαστάσεις, τότε ϑα συµβολίζουµε τον πίνακα απλά µε [b ij Ενας πίνακας A µε n γραµµές και n στήλες ονοµάζεται τετραγωνικός πίνακας τάξης n Θα λέµε ότι τα στοιχεία a, a,, a nn ϐρίσκονται στην κύρια διαγώνιο του A (δες τα έντονα στοιχεία στο Σχήµα ) a a a n a a a n a n a n a nn Σχήµα Ενας τετραγωνικός πίνακας στον οποίο όλα τα στοιχεία εκτός της κύριας διαγωνίου είναι µηδέν ονοµάζεται διαγώνιος πίνακας Μερικά παραδείγµατα είναι οι [

30 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΙΝΑΚΩΝ Μέχρι τώρα, χρησιµοποιήσαµε τους πίνακες σα συντοµογραφίες κατά την επίλυση συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων Για άλλες εφαρµογές πρέπει να αναπτύξουµε µία «αριθµητική πινάκων» στην οποία να µπορούµε να προσθέτουµε και να πολλαπλασιά- Ϲουµε πίνακες µε έναν τρόπο χρήσιµο για αυτές τις εφαρµογές Η υπόλοιπη ενότητα είναι αφιερωµένη στην ανάπτυξη αυτής της αριθµητικής Θα λέµε ότι δύο πίνακες είναι ίσοι αν έχουν τίς ίδιες διαστάσεις και τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα Παράδειγµα Θεωρούµε τους πίνακες A = [ 3 4 B = [ 3 5 C = [ Εχουµε ότι A C, εφόσον οι A και C έχουν διαφορετικές διαστάσεις Για τον ίδιο λόγο B C Επίσης A B, εφόσον τα αντίστοιχα στοιχεία δεν είναι όλα ίσα Ορισµός Αν οι A και B είναι δύο πίνακες µε ίδιες διαστάσεις, τότε το άθροισµά τους A + B είναι ο πίνακας που παίρνουµε αν προσθέσουµε τα αντίστοιχα στοιχεία των δύο πινάκων εν µπορούµε να προσθέσουµε πίνακες µε διαφορετικές διαστάσεις Παράδειγµα 3 Θεωρούµε τους πίνακες A = B = Τότε A + B = ενώ οι A + C και B + C δεν ορίζονται C = [ Ορισµός Αν ο A είναι ένας πίνακας και το c είναι ένα ϐαθµωτό, τότε το γινόµενο ca είναι ο πίνακας που παίρνουµε αν πολλαπλασιάσουµε κάθε στοιχείο του A µε c Παράδειγµα 4 Αν ο A είναι ο πίνακας τότε A = A = και ( )A = Αν ο B είναι ένας πίνακας, τότε µε B ϑα συµβολίζουµε το γινόµενο ( )B Αν οι A και B είναι δύο πίνακες µε ίδιες διαστάσεις, τότε ο πίνακας A B ορίζεται σαν το άθροισµα A + ( B) = A + ( )B

31 4 ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΙΝΑΚΩΝ 3 Παράδειγµα 5 Θεωρούµε τους πίνακες [ 3 4 A = και B = Από τους ορισµούς που δώσαµε παραπάνω [ 0 7 B = 3 5 [ και A B = [ 3 4 [ = [ Παρατηρούµε ότι µπορούµε να πάρουµε τον A B αφαιρώντας τα στοιχεία του B από τα αντίστοιχα στοιχεία του A Παραπάνω ορίσαµε τον πολλαπλασιασµό ενός πίνακα µε ένα ϐαθµωτό, αλλά δεν έχουµε ορίσει µέχρι τώρα τον πολλαπλασιασµό δύο πινάκων Εφόσον για να προθέσουµε πίνακες προσθέτουµε τα αντίστοιχα στοιχεία και για να αφαιρέσουµε πίνακες αφαιρούµε τα αντίστοιχα στοιχεία, ϑα ϕαινόταν σαν ο πιο ϕυσικός ορισµός του πολλαπλασιασµού δύο πινάκων ο πολλαπλασιασµός των αντίστοιχων στοιχείων Παρόλα αυτά προκύπτει ότι ο ορισµός αυτός δεν είναι χρήσιµος στα περισσότερα προβλήµατα Η πείρα οδήγησε τους µαθηµατικούς στον παρακάτω ορισµό για τον πολλαπλασιασµό πινάκων, ο οποίος παρότι είναι λιγότερο ϕυσιολογικός είναι ιδιαίτερα χρήσιµος Ορισµός Αν ο A είναι ένας m r πίνακας και ο B είναι ένας r n πίνακας, τότε το γινόµενο AB είναι ο m n πίνακας τού οποίου τα στοιχεία προσδιορίζονται µε τον ακόλουθο τρόπο : Για να ϐρούµε το στοιχείο το οποίο ϐρίσκεται στην i γραµµή και την j στήλη του AB ξεχωρίζουµε την i γραµµή του A και την j στήλη του B Κατόπιν πολλαπλασιαζουµε τα αντίστοιχα στοιχεία της γραµµής και της στήλης και προσθέτουµε τα γινόµενα που προκύψανε Παράδειγµα 6 Θεωρούµε τους πίνακες A = [ B = Εφόσον ο A είναι ένας 3 και ο B είναι ένας 3 4, το γινόµενο AB είναι ένας 4 πίνακας Για να προσδιορίσουµε, για παράδειγµα, το στοιχείο που ϐρίσκεται στην η γραµµή και την 3η στήλη του AB, ξεχωρίζουµε την η γραµµή του A και την 3η στήλη του B Μετά, όπως ϕαίνεται παρακάτω, πολλαπλασιάζουµε τα αντίστοιχα στοιχεία τους και προσθέτουµε τα γινόµενα που προκύπτουν [ [ =

32 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ( 4) + (6 3) + (0 5) = 6 Το στοιχείο στην η γραµµή και την 4η στήλη του AB υπολογίζεται ως εξής [ [ = ( 3) + ( ) + (4 ) = 3 Οι υπολογισµοί που µας δίνουν τα υπόλοιπα στοιχεία είναι οι ακόλουθοι ( 4) + ( 0) + (4 ) = ( ) ( ) + (4 7) = 7 ( 4) + ( 3) + (4 5) = 30 ( 4) + (6 0) + (0 ) = 8 ( ) (6 ) + (0 7) = 4 ( 3) + (6 ) + (0 ) = AB = [ Ο ορισµός του πολλαπλασιασµού πινάκων απαιτεί ο αριθµός των στηλών του πρώτου παράγοντα A να είναι ο ίδιος µε τον αριθµό των γραµµών του δεύτερου παράγοντα B ώστε να µπορεί να σχηµατιστεί το γινόµενο AB Αν η συνθήκη αυτή δεν ικανοποιείται το γινόµενο δεν ορίζεται Ενας ϐολικός τρόπος για να εξετάσουµε αν το γινόµενο δύο πινάκων ορίζεται είναι να γράψουµε τις διαστάσεις του πρώτου παράγοντα και στα δεξιά τους να γράψουµε τις διαστάσεις του δεύτερου παράγοντα Αν, όπως στο Σχήµα, οι εσωτερικοί αριθµοί είναι οι ίδιοι, τότε το γινόµενο ορίζεται Στην περίπτωση αυτή οι εξωτερικοί αριθµοί δίνουν τις διαστάσεις του γινοµένου Σχήµα A B = AB m r r n m n εσωτερικοί εξωτερικοί Παράδειγµα 7 Εστω ότι ο A είναι ένας 3 4 πίνακας, ο B είναι ένας 4 7 πίνακας και ο C είναι ένας 7 3 πίνακας Τότε ο AB ορίζεται και είναι ένας 3 7 πίνακας, ο CA ορίζεται και είναι ένας 7 4 πίνακας, ο BC ορίζεται και είναι ένας 4 3 πίνακας Τα γινόµενα AC, CB και BA δεν ορίζονται Παράδειγµα 8 Αν ο A είναι ένας m r πίνακας και ο B είναι ένας r n πίνακας, τότε το στοιχείο στην i γραµµή και την j στήλη του AB δίνεται από τον τύπο a i b j + a i b j + a i3 b 3j + + a ir b rj

33 4 ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΙΝΑΚΩΝ 33 AB = a a a r a a a r a i a i a ir b b b j b n b b b j b n b r b r b rj b rn a m a m a mr Ο πολλαπλασιασµός πινάκων έχει µία σηµαντική εφαρµογή στα συστήµατα γραµµι- κών εξισώσεων Θεωρούµε ένα σύστηµα m γραµµικών εξισώσεων µε n αγνώστους a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a m x + a m x + + a mn x n = b m ΠΙΝΑΚΩΤΗ ΜΟΡΦΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Εφόσον δύο πίνακες είναι ίσοι αν και µόνο αν τα αντίστοιχα στοιχεία είναι ίσα µπορούµε να αντικαστήσουµε τις m εξισώσεις στο σύστηµα µε µία µοναδική εξίσωση πινάκων, την a x + a x + + a n x n a x + a x + + a n x n a m x + a m x + + a mn x n = b b b m Ο m πίνακας στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης αυτής µπορεί να γραφτεί σαν γινόµενο και παίρνουµε a a a n a a a n a m a m a mn x x x n = b b b m Αν ονοµάσουµε τους πίνακες αυτούς A, X και B αντίστοιχα, τότε το αρχικό σύστηµα m εξισώσεων µε n αγνώστους αντικαθίσταται από µία µοναδική εξίσωση πινάκων, την AX = B () Παρακάτω ϑα προσπαθήσουµε να ϐρούµε τρόπους για να λύσουµε εξισώσεις πινάκων όπως αυτή για τον άγνωστο πίνακα X Λόγω αυτού του νέου τρόπου αντιµετώπισης ϑα πάρουµε καινούριες µεθόδους για τη λύση συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων Ο πίνακας A στην () ονοµάζεται πίνακας συντελεστών του συστήµατος Παράδειγµα 9 Σε κάποιες περιπτώσεις είναι χρήσιµο να µπορούµε να ϐρούµε µία συγκεκριµένη γραµµή ή στήλη στο γινόµενο AB χωρίς να υπολογίσουµε ολόκληρο

34 34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ το γινόµενο Αφήνεται σαν άσκηση να αποδείξετε ότι τα στοιχεία της j στήλης του AB είναι τα στοιχεία του γινοµένου AB j, όπου ο B j είναι ο πίνακας που σχηµατίζεται χρησιµοποιώντας µόνο την j στήλη του B Ετσι αν οι A και B είναι οι πίνακες του Παραδείγµατος 6, η δεύτερη στήλη του γινοµένου AB υπολογίζεται ως εξής [ = εύτερη στήλη του B [ 7 4 εύτερη στήλη του AB Οµοια τα στοιχεία της i γραµµής του AB είναι τα στοιχεία του γινοµένου A i B, όπου ο A i είναι ο πίνακας που σχηµατίζεται χρησιµοποιώντας µόνο την i γραµµή του A Ετσι η πρώτη γραµµή του γινοµένου AB του Παραδείγµατος 6, υπολογίζεται ως εξής [ 4 Πρώτη γραµµή του A = [ Πρώτη γραµµή του AB Τελειώνουµε την ενότητα αυτή µε τον ορισµό δύο πράξεων πινάκων για τις οποίες δεν υπάρχει αντίστοιχο στους πραγµατικούς αριθµόυς ΑΝΑ- ΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Ορισµός Αν ο A είναι ένας m n πίνακας, τότε ο ανάστροφος του A συµβολίζεται µε A t και ορίζεται ως ο n m πίνακας του οποίου η πρώτη στήλη είναι η πρώτη γραµµή του A, η δεύτερη στήλη είναι η δεύτερη γραµµή του A, η τρίτη στήλη είναι η τρίτη γραµµή του A και τα λοιπά Παράδειγµα 0 Παρακάτω δίνουµε µερικά παραδείγµατα πινάκων και των αναστρό- ϕων τους A = a a a 3 a 4 a a a 3 a 4 a 3 a 3 a 33 a 34 A t = a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 a 4 a 4 a 34

35 4 ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΙΝΑΚΩΝ 35 B = [ 5 B t = C = [ 3 5 C t = D = 5 4 D t = E = [ 4 E t = [ 4 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Παρατηρήστε ότι όχι µόνο είναι οι στήλες του A t οι γραµµές του A, αλλά και οι γραµµες του A t είναι οι στήλες του A Ορισµός Αν ο A είναι ένας τετραγωνικός πίνακας, τότε το ίχνος του A συµβολίζεται µε tr(a) και ορίζεται ως το άθροισµα των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του A Παράδειγµα Παρακάτω δίνουµε µερικά παραδείγµατα πινάκων και των ιχνών τους A = B = a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a tr(a) = a + a + a 33 tr(b) = = ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Εστω ότι οι A, B, C, D και E είναι πίνακες µε τις ακόλουθες διαστάσεις : A B C D E (4 5) (4 5) (5 ) (4 ) (5 4) Να εξεταστεί ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις ορίζονται Για αυτές που ορίζονται να ϐρεθούν οι διαστάσεις του πίνακα που προκύπτει (α) BA (ϐ) AC + D (γ) AE + B (δ) AB + B (ε) E(A + B) (στ) E(AC) (Ϲ) E t A (η) (A t + E)D Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση πινάκων µε αγνώστους τα a, b, c και d [ a b b + c = 3d + c a 4d [ 8 7 6

36 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ 3 Θεωρούµε τους παρακάτω πίνακες 3 0 [ A = 4 B = 0 C = [ D = E = Να υπολογιστούν τα παρακάτω (όπου αυτό είναι δυνατό) (α) D + E (ϐ) D E (γ) 5A (δ) 7C (ε) B C (στ) 4E D (Ϲ) 3(D + E) (η) A A (ϑ) tr(d) (ι) tr(d 3E) (ια) 4 tr(7b) (ιβ) tr(a) 4 Χρησιµοποιήστε τους πίνακες της Άσκησης 3 για να υπολογίσετε τα παρακάτω (όπου αυτό είναι δυνατό) (α) A t + C (ϐ) D t E t (γ) (D E) t (δ) B t + 5C t (ε) Ct 4 A (στ) B Bt (Ϲ) E t 3D t (η) (E t 3D t ) t 5 Χρησιµοποιήστε τους πίνακες της Άσκησης 3 για να υπολογίσετε τα παρακάτω (όπου αυτό είναι δυνατό) (α) AB (ϐ) BA (γ) (3E)D (δ) (AB)C (ε) A(BC) (στ) CC t (Ϲ) (DA) t (η) (C t B)A t (ϑ) tr(dd t ) (ι) tr(4e t D) (ια) tr(c t A t + E t ) 6 Χρησιµοποιήστε τους πίνακες της Άσκησης 3 για να υπολογίσετε τα παρακάτω (όπου αυτό είναι δυνατό) (α) (D t E)A (ϐ) (4B)C + B (γ) ( AC) t + 5D t (δ) (BA t C) t (ε) B t (CC t A t A) (στ) D t E t (ED) t 7 Εστω A = και B = Χρησιµοποιήστε τη µέθοδο του Παραδείγµατος 9 για να ϐρείτε (α) την η γραµµή του AB (ϐ) την 3η γραµµή του AB (γ) την η στήλη του AB (δ) την η στήλη του BA (ε) την 3η γραµµή του AA (στ) την 3η στήλη του AA 8 Εστω C, D και E οι πίνακες της Άσκησης 3 Χρησιµοποιώντας το µικρότερο δυνατό πλήθος υπολογισµών ϐρείτε το στοιχείο το οποίο ϐρίσκεται στη η γραµµή και την 3η στήλη του πίνακα C(DE) 9 (α) είξτε ότι αν οι AB και BA ορίζονται και οι δύο, τότε οι AB και BA είναι τετραγωνικοί πίνακες (ϐ) είξτε ότι αν ο A είναι ένας m n πίνακας και ο A(BA) ορίζεται, τότε ο B είναι ένας n m πίνακας

37 4 ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΙΝΑΚΩΝ 37 0 Να ϐρεθούν πίνακες A, X και B οι οποίοι να εκφράζουνε το κάθε ένα από τα παρακάτω συστήµατα γραµµικών εξισώσεων σαν µία εξίσωση πινάκων AX = B (α) x 3x + 5x 3 = 7 9x x + x 3 = x + 5x + 4x 3 = 0 (ϐ) 4x 3x 3 + x 4 = 5x + x 8x 4 = 3 x 5x + 9x 3 x 4 = 0 3x x 3 + 7x 4 = Να εκφραστεί κάθε µία από τις παρακάτω εξισώσεις πινάκων σαν σύστηµα γραµ- µικών εξισώσεων (α) x x x 3 = 4 (ϐ) w x y z = Εστω a a a n a a a n A =, D = d d 0, E = e e 0 a m a m a mn 0 0 d m 0 0 e n (α) Να υπολογιστούν τα DA και AE (ϐ) Εξετάστε τις γραµµές του DA και τις στήλες του AE και ϐρείτε δύο απλούς κανόνες για το πώς πολλαπλασιάζουµε έναν πίνακα A µε έναν διαγώνιο πίνακα (γ) Χρησιµοποίηστε τους κανόνες που ϐρήκατε στο (ϐ) για να υπολογίσετε τα AB και BA αν A = και B = είξτε ότι το γινόµενο διαγώνιων πινάκων είναι διαγώνιος πίνακας Βρείτε έναν κανόνα για να πολλαπλασιάζετε διαγώνιους πίνακες 4 (α) είξτε ότι αν ο A έχει µία γραµµή που αποτελείται από µηδενικά και ο B είναι οποιοσδήποτε πίνακας για τον οποίο ο AB ορίζεται, τότε και ο AB έχει µία γραµµή που αποτελείται από µηδενικά (ϐ) Βρείτε ένα αντίστοιχο αποτέλεσµα για στήλες που αποτελούνται αποκλειστικά από µηδενικά 5 Αν a ij είναι το στοιχείο το οποίο ϐρίσκεται στην i γραµµή και την j στήλη του A, τότε σε ποια γραµµή και σε ποια στήλη του A t ϑα εµφανίζεται το a ij ; 6 Εστω ότι ο A είναι ένας m n πίνακας και έστω ότι ο 0 είναι ο m n πίνακας του οποίου όλα τα στοιχεία είναι µηδέν είξτε ότι αν ka = 0, τότε είτε k = 0 είτε A = 0

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών»)

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών») Πρώτοι αριθµοί: Τι µας λέει στο βιβλίο (σελ.25-26): 1. Μου αρέσουν οι πρώτοι αριθµοί, γι αυτό αρίθµησα µε πρώτους τα κεφάλαια. Οι πρώτοι αριθµοί είναι αυτό που αποµένει όταν αφαιρέσεις όλα τα στερεότυπα

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Φρ. Κουτελιέρης. Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι

Φρ. Κουτελιέρης. Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/24 Κ2: Γραµµικά συστήµατα 1. Ορισµοί 2. Σύστηµα σε µορφή πίνακα 3. Επίλυση Crammer 4. Επίλυση Gauss

Διαβάστε περισσότερα

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον Αφιέρωση Σταπαιδιάµας Στουςµαθητέςπουατενίζουν µεαισιοδοξίατοµέλλον Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό: Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος. Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια 8 Κρούσεις Στην µηχανική µε τον όρο κρούση εννοούµε τη σύγκρουση δύο σωµάτων που κινούνται το ένα σχετικά µε το άλλο.το ϕαινόµενο της κρούσης έχει δύο χαρακτηριστικά : ˆ Εχει πολύ µικρή χρονική διάρκεια.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ0 Ε ρ γ α σ ί α η Ε ρ ω τ ή µ α τ α Ερώτηµα 1. (1) Να διατυπώστε αλγόριθµο που θα υπολογίζει το ν-οστό όρο της ακολουθίας a ν : ν = 1,,3,..., όπου a 1 = 1, a

Διαβάστε περισσότερα

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1.1 16950 Β (ΑΝΑΡΤΗΘΗΚΕ 08-11-14) α) Να κατασκευάσετε ένα γραµµικό σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους µε συντελεστές διάφορους του µηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων;

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων; ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ Είδαµε ότι η φυσική κίνηση ενός σωµατιδίου σε συντηρητικό πεδίο ικανοποιεί την αρχή ελάχιστης δράσης του Hamilton µε Λαγκρανζιανή, όπου η κινητική ενέργεια του

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 1 4. 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόβληµα : Ονοµάζουµε την κατάσταση που δηµιουργείται όταν αντι- µετωπίζουµε εµπόδια και δυσκολίες στην προσπάθεια µας να φτάσουµε σε έναν συγκεκριµένο στόχο.. Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους τελεστικούς ενισχυτές

Εισαγωγή στους τελεστικούς ενισχυτές ΗΥ121-Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα Γιώργος ηµητρακόπουλος Εισαγωγή στους τελεστικούς ενισχυτές 1 Εισαγωγή Ο τελεστικός ενισχυτής είναι ένας ενισχυτής τάσης µε πολύ µεγάλο κέρδος. Το κέρδος µπορεί να παίρνει πολύ

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ Όταν στα µαθηµατικά λέµε ότι το τείνει στο και συµβολίζεται, εννοούµε ότι οι τιµές προσεγγίζουν την τιµή, είτε µε από τιµές µικρότερες του δηλ από αριστερά του, είτε από τιµές µεγαλύτερες

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Οι χάρτες των 850 Hpa είναι ένα από τα βασικά προγνωστικά επίπεδα για τη παράµετρο της θερµοκρασίας. Την πίεση των 850 Hpa τη συναντάµε στην ατµόσφαιρα σε ένα µέσο ύψος περί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Θέµα 1 ο Α. Να απαντήσετε τις παρακάτω ερωτήσεις τύπου Σωστό Λάθος (Σ Λ) 1. Σκοπός της συγχώνευσης 2 ή περισσοτέρων ταξινοµηµένων πινάκων είναι η δηµιουργία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα