Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας"

Transcript

1 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 009, υ.0.96

2 Περιεχόµενα Εισαγωγη iv Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο. Θεωρια Λυµενες Ασκησεις Αλυτες Ασκησεις Ευθειες στον Τρισδιαστατο Χωρο 3. Θεωρια Λυµενες Ασκησεις Αλυτες Ασκησεις ευτεροβαθµιες Επιφανειες στον Τρισδιαστατο Χωρο Θεωρια Λυµενες Ασκησεις Αλυτες Ασκησεις i

3 Προλογος Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης µε τα µαθηµατικα ειναι η επιλυση ασκησεων οσο περισσοτερες ασκησεις λυσει ο αναγνωστης, τοσο καλυτερα ϑα κατανοησει το αντικειµενο. Συµφωνα µε αυτη την αποψη, στο παρον τευχος η ϑεωρια παρουσιαζεται σε µεγαλη συντοµια, αλλα υπαρχει µεγαλος αριθµος λυµενων και αλυτων ασκησεων. Ο αναγνωστης πρεπει να χρησιµοποιησει τις λυµενες ασκησεις ως ενα ενδιαµεσο ϐοηθηµα για την επιλυση των αλυτων ασκησεων. Με αλλα λογια, αν ο αναγνωστης δεν λυσει ο ιδιος µεγαλο αριθµο των αλυτων ασκησεων δεν ϑα ωφεληθει ιδιαιτερα (δεν αρκει δηλ. να µελετησει τις ηδη λυµενες ασκησεις). Σχετικα µε τις προαπαιτουµενες γνωσεις και τον συµβολισµο που χρησιµοποιειται, σηµειωνω τα παρακατω.. Τα σηµεια του τριδιαστατου χωρου συµβολιζονται ως εξης : M (x, y, z) ειναι το ση- µειο M µε συντεταγµενες (x, y, z). Οµοια το σηµειο M (x, y, z ) κτλ.. Το συνολο των πραγµατικων αριθµων συµβολιζεται µε R. Το συµβολο R 3 δηλωνει το συνολο των τριαδων πραγµατικων αριθµων : R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} και επισης τον τριδιαστατο χωρο, δηλ. το συνολο ολων των σηµειων M (x, y, z) µε τυχουσες πραγµατικε συντεταγµενες x, y, z R. 3. Τα διανυσµατα συµβολιζονται µε εντονους, µικρους Λατινικους χαρακτηρες. Π.χ. p, q κ.τ.λ. 4. Θεωρουνται γνωστα τα ϐασικα περι διανυσµατων. Ειναι πολυ σηµαντικο οτι χρησι- µοποιουµε σχεδον αποκλειστικα ελευθερα διανυσµατα. ηλ. καθε διανυσµα εχει δεδοµενο µετρο, ϕορα και κατευθυνση αλλα η αρχη του δεν ϑεωρειται σταθερη. Για την ακριβεια δυο διανυσµατα µε ιδιο µετρο, ϕορα και κατευθυνση ϑεωρουνται το ιδιο διανυσµα. (α ) Για να γινει το παραπανω σαφεστερα αντιληπτο, ϑεωρειστε το διανυσµα p = (a, b, c). Αυτο µπορει µα ϑεωρηθει οτι εχει την αρχη του στην αρχη των αξονων, δηλ. το σηµειο A (0, 0, 0) και το περας του στο σηµειο B (a, b, c). Οµως το p ειναι το ιδιο διανυσµα (στις παρουσες σηµειωσεις) µε αυτο που εχει αρχη στο ii

4 iii σηµειο C (, 4, ) και περας στο D ( + a, 4 + b, + c), οπως και µε το διανυσµα που εχει αρχη στο σηµειο E (, 0, 3) και περας στο D ( + a, b, 3 + c) κτλ. 5. Το συνολο των ελευθερων διανυσµατων ειναι σε -προς- αντιστοιχια µε τα σηµεια του τριδιαστατου χωρου. Η αντιστοιχια ειναι η εξης : αν ϑεωρησουµε οτι το διανυσµα r = (x, y, z) τοποθετειται ετσι ωστε η αρχη του να ειναι η αρχη των αξονων, τοτε το αντιστοιχο σηµειο ειναι το περας του διανυσµατος, δηλ. το σηµειο M (x, y, z). 6. Ωστοσο αρκετες ϕορες ϑα ορισουµε ενα διανυσµα απο την αρχη και το περας του. Π.χ. ϑα µιλαµε για το διανυσµα µε αρχη το σηµειο M (x, y, z ) και περας το M (x, y, z ). Αυτο το διανυσµα ειναι το (x x, y y, z z ) και µερικες ϕορες ϑα το συµβολιζουµε ως M M. Τονιζουµε οµως οτι και σε αυτην περιπτωση το M M ειναι ενα ελευθερο διανυσµα. 7. Το µετρο ενος διανυσµατος p συµβολιζεται µε p. 8. Το εσωτερικο γινοµενο δυο διανυσµατων p, q συµβολιζεται µε p q και το εξωτερικο µε p q. 9. Η λεξη «ανν» σηµανει «αν και µονον αν». Η παρουσα µορφη των σηµειωσεων απεχει πολυ απο το να ειναι τελικη. Υπαρχουν ακοµη λαθη (ελπιζω λιγα). Ιδιαιτερως, τα σχηµατα χρειαζονται µεγαλη ϐελτιωση. Ζητω συγγνωµη για τις υπαρχουσες ατελειες και ελπιζω οτι µια ϐελτιωµενη εκδοση ϑα ειναι διαθεσιµη συντοµα. Θανασης Κεχαγιας Θεσσαλονικη, Σεπτεµβρης 009

5 Εισαγωγη iv

6 Κεφάλαιο Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο. Θεωρια... Εστω τρια σηµεια M, M, M 3 που δεν ανηκουν σε µια ευθεια και εχουν συντεταγ- µενες (x, y, z ), (x, y, z ), (x 3, y 3, z 3 ) και αντιστοιχα διανυσµατα r, r, r 3. Το επιπεδο E που καθοριζεται απο τα σηµεια M, M, M 3 οριζεται να ειναι το συνολο των διανυσµατων r / σηµειων (x, y, z) που ικανοποιουν την διανυσµατικη εξισωση r (u, v) = r + u (r r ) + v (r 3 r ) οπου u, v R. (.)... Η (.) ειναι ισοδυναµη µε την εξισωση x x y y z z x x y y z z = 0. (.) x 3 x y 3 y z 3 z ηλ. ενα σηµειο M (x, y, z) ικανοποιει την (.) ανν ανηκει στο επιπεδο E που οριζουν τα σηµεια (x, y, z ), (x, y, z ), (x 3, y 3, z 3 )...3. Επισης η (.) ειναι ισοδυναµη µε την παραµετρικη εξισωση x (u, v) = x + u (x x ) + v (x 3 x ), (.3) y (u, v) = y + u (y y ) + v (y 3 y ), z (u, v) = z + u (z z ) + v (z 3 z )...4. Τελος, καθε επιπεδο E στον τριδιαστατο χωρο µπορει να περιγραφει απο µια εξισωση της µορφης Ax + By + Cz + D = 0 (.4) οπου A, B, C, D πραγµατικοι αριθµοι. Επισης, σε καθε εξισωση της µορφης (.4) αντιστοιχει ενα επιπεδο. Η εξισωση της µορφης (.4) λεγεται κανονικη εξισωση του επιπεδου...5. Η εξισωση επιπεδου που διερχεται απο δυο σηµεια (x, y, z ), (x, y, z ) και ειναι παραλληλο στο διανυσµα p = (a, b, c) ειναι x x y y z z x x y y z z = 0. (.5) a b c

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Η διανυσµατικη εξισωση του ιδιου επιπεδου ειναι r (u, v) = r + u (r r ) + v p...6. Η εξισωση επιπεδου που διερχεται απο σηµειο (x, y, z ) και ειναι παραλληλο στα (µη συγγραµικα) διανυσµατα p = (a, b, c), q = (d, e, f) ειναι x x y y z z a b c = 0. (.6) d e f Η διανυσµατικη εξισωση του ιδιου επιπεδου ειναι r (u, v) = r + u p + v q...7. Ενα διανυσµα p = (a, b, c) ειναι καθετο στο επιπεδο Ax + By + Cz + D = 0 ανν a A = b B = c C. (.7)..8. Η εξισωση επιπεδου που διερχεται απο σηµειο (x, y, z ) και ειναι καθετο στο διανυσµα p = (a, b, c) ειναι a (x x ) + b (y y ) + c (z z ) = 0. (.8)..9. Ενα διανυσµα p = (a, b, c) ειναι παραλληλο στο επιπεδο Ax + By + Cz + D = 0 ανν a A + b B + c C = 0. (.9)..0. υο επιπεδα A x + B y + C z + D = 0, A x + B y + C z + D = 0 ειναι παραλληλα ανν A = B = C. (.0) A B C... υο επιπεδα A x + B y + C z + D = 0, A x + B y + C z + D = 0 ειναι καθετα µεταξυ τους ανν A A + B B + C C = 0. (.)... Η διεδρη γωνια θ µεταξυ δυο επιπεδων προσδιοριζεται απο τη σχεση A A + B B + C C cos θ = A + B + C A + B + C. (.)..3. Εστω τρια επιπεδα E : A x + B y + C z + D = 0, E : A x + B y + C z + D = 0, E 3 : A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0. Για να µελετησουµε την σχετικη ϑεση των E, E, E 3 οριζουµε τους πινακες A B C A B C D P = A B C, Q = A B C D A 3 B 3 C 3 A 3 B 3 C 3 D 3 και διακρινουµε τις ακολουθες περιπτωσεις.

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 3. Αν rank (P ) = rank (Q) = 3, τα τρια επιπεδα τεµνονται σε ενα σηµειο.. Αν rank (P ) = και rank (Q) = 3, δυο απο τα επιπεδα τεµνονται κατα µια ευθεια παραλληλη στο τριτο επιπεδο. 3. Αν rank (P ) = rank (Q) =, τα τρια επιπεδα περνουν απο µια ευθεια. 4. Αν rank (P ) = και rank (Q) =, τα τρια επιπεδα ειναι παραλληλα (και ενδεχο- µενως δυο εξ αυτων συµπιπτουν). 5. Αν rank (P ) = rank (Q) =, τα τρια επιπεδα συµπιπτουν...4. ινονται δυο επιπεδα E : A x + B y + C z + D = 0 E : A x + B y + C z + D = 0, τα οποια τεµονται κατα µια ευθεια l. Η αξονικη δεσµη των επιπεδων που περνουν απο την l ειναι το συνολο ολων των επιπεδων που περνουν απο αυτη την ευθεια. Καθε τετοιο επιπεδο εχει εξισωση κ (A x + B y + C z + D ) + ( κ) (A x + B y + C z + D ) = 0, (.3) οπου κ (, ) ειναι µια παραµετρος: για καθε τιµη του κ προκυπτει ενα επιπεδο της αξονικης δεσµης (παρατηρειστε οτι, οταν κ = παιρνουµε το επιπεδο E και οταν κ = 0 παιρνουµε το επιπεδο E )...5. Εστω επιπεδο E : Ax + By + Cz + D = 0 και σηµειο M (x, y, z ). Η αποσταση του σηµειου απο το επιπεδο ειναι d (M, E) = Ax + By + Cz + D A + B + C. (.4)

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 4. Λυµενες Ασκησεις... Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια (,, 0), (0,, 3) και (, 0, ). Λυση. Το επιπεδο απεικονιζεται στο Σχ. 4.. Σχ.4. Χρησιµοποιωντας την (.) ϐλεπουµε οτι η Ϲητουµενη εξισωση ειναι x y z = 5x + y + z 7 = Βρειτε την διανυσµατικη και την παραµετρικη εξισωση του παραπανω επιπεδου Λυση. Εχουµε τα διανυσµατα και οποτε η διανυσµατικη εξισωση ειναι και η παραµετρικη εξισωση ειναι r = (,, 0) r = (0,, 3) r3 = (, 0, ) r r = (0,, 3 0) = (,, 3) r 3 r = (, 0, 0) = (0,, ) r (u, v) = (,, 0) + u (,, 3) + v (0,, ) r (u, v) = x (u, v) y (u, v) z (u, v) = u u v 3u + v.

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Να ϐρεθει η εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια (,, ), (,, 3), (3, 3, 3). Λυση. Συµφωνα µε την (.), η Ϲητουµενη εξισωση ειναι x y z = 0 4y x z = ικαιολογειστε την.., δηλ. οτι το επιπεδο που καθοριζεται απο τα σηµεια M (x, y, z ), M (x, y, z ), M 3 (x 3, y 3, z 3 ) ικανοποιει την εξισωση x x y y z z x x y y z z x 3 x y 3 y z 3 z = 0. Λυση. ειτε το Σχ.4.. Απεικονιζονται τα σηµεια M, M, M 3, το επιπεδο E που αυτα καθοριζουν και ενα τυχον σηµειο M (x, y, z). Στα M, M, M, M 3 αντιστοιχουν τα διανυσµατα r, r, r, r 3. Τα διανυσµατα Σχ.4. r r = (x x, y y, z z ) r r = (x x, y y, z z ) r 3 r = (x 3 x, y 3 y, z 3 z ) ειναι συνεπιπεδα, δηλ. το συνολο {r r, r r, r 3 r } ειναι γραµµικα εξαρτηµενο, και αρα πρεπει να ικανοποιουν την (.)...5. Αποδειξτε οτι (α) καθε επιπεδο εχει κανονικη εξισωση της µορφης Ax + By + Cz + D = 0 και (ϐ) σε καθε τετοια εξισωση αντιστοιχει ενα επιπεδο.

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 6 Λυση. Εστω οτι το επιπεδο οριζεται απο τα σηµεια (x, y, z ), (x, y, z ), (x 3, y 3, z 3 ). Τοτε ικανοποιει την εξισωση x x y y z z x x y y z z x 3 x y 3 y z 3 z = 0 δηλ. (x x ) y y z z y 3 y z 3 z (y y ) x x z z x 3 x z 3 z +(z z ) x x y y x 3 x y 3 y = 0 η οποια ειναι της µορφης Ax + By + Cz + D = 0 µε A = y y z z y 3 y z 3 z, B = x x z z x 3 x z 3 z, C = x x y y x 3 x y 3 y, D = x y y z z y 3 y z 3 z + y x x z z x 3 x z 3 z z x x y y x 3 x y 3 y. Αντιστροφα, εστω E το συνολο των σηµειων (x, y, z) που ικανοποιουν την εξισωση Ax + By + Cz + D = 0. (.5) Ας υποθεσουµε προς το παρον οτι τα A, B, C, D ειναι ολα διαφορα του µηδενος. Τρια σηµεια που ικανοποιουν την (.5) ειναι τα ( D/A, 0, 0), (0, B/A, 0), (0, 0, D/C). Το επιπεδο που οριζεται απο αυτα τα τρια σηµεια ειναι αυτο που ικανοποιει την x + D/A y 0 z D/A D/B D/A 0 0 D/C 0 = 0 D 3 + AxD + ByD + CzD D ABC ABC = 0 (D + Ax + By + Cz) = 0. Η τελευταια εξισωση ειναι η (.5), δηλ. το συνολο των σηµειων που ικανοποιουν την (.5) ειναι το επιπεδο που διερχεται απο τα σηµεια ( D/A, 0, 0), (0, B/A, 0), (0, 0, D/C). Οι περιπτωσεις στις οποιες καποια απο τα A, B, C, D ειναι µηδενικα αφηνονται στον αναγνωστη...6. Βρειτε την κανονικη εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια ( 6, 0, 0), (0, 3, 0) και (0, 0, ). Λυση. Η Ϲητουµενη εξισωση εχει την µορφη Ax + By + Cz + D = 0

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 7 και πρεπει να ικανοποιει 6A + 0B + 0C + D = 0 0A 3B + 0C + D = 0 0A + 0B C + D = 0 Λυνοντας το συστηµα παιρνουµε A = D/6, B = D/3, C = D. επιπεδου ειναι D 6 x + D 3 y + Dz + D = 0 η πιο απλα x + y + 6z + 6 = 0 Αρα η εξισωση του..7. Βρειτε το σηµειο τοµης των επιπεδων Λυση. Αρκει να λυσουµε το συστηµα E : x + y + z = 0 E : x + y + z + = 0 E 3 : 3x + y + 4z = 0 x + y + z = 0 x + y + z + = 0 3x + y + 4z = 0. Με απαλοιφη Gauss ϐρισκουµε οτι αυτο εχει λυση x = 0, y =, z = 7. ηλ. το σηµειο τοµης ειναι το (0,, 7)...8. Βρειτε το σηµειο τοµης των επιπεδων Λυση. Αρκει να λυσουµε το συστηµα E : x + y + z = 0 E : x + y + z + = 0 E 3 : x + 3y + z = 0 x + y + z = 0 x + y + z + = 0 x + 3y + z = 0 Με απαλοιφη Gauss ϐρισκουµε οτι αυτο εχει απειρια λυσεων της µορφησ: x = 3 t, y =, z = t, t R. (.6)

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 8 Η γεωµετρικη εξηγηση ειναι οτι τα τρια επιπεδα διερχονται απο µια ευθεια. ες και το Σχ.4.3. Πραγµατι, η (.6) ειναι εξισωση ευθειας, οπως ϑα δουµε στο Κεφαλαιο. Σχ Βρειτε το σηµειο τοµης των επιπεδων E : x + y + z = 0 E : x + y + z + = 0 E 3 : x + 3y + z + 3 = 0 Λυση. Αρκει να λυσουµε το συστηµα x + y + z = 0 x + y + z + = 0 x + 3y + z = 0 Ευκολα ϐρισκουµε οτι το συστηµα δεν εχει καµµια λυση. Η γεωµετρικη εξηγηση ειναι

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 9 οτι τα επιπεδα δεν τεµνονται, οπως ϕαινεται και στο Σχ.4.4. Σχ Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια (,, 0), (0,, 3) και ειναι παραλληλο στο διανυσµα p = (,, ) Λυση. Συµφωνα µε την εξ.(.5) ειναι x y z και σε παραµετρικη µορφη x (u, v) r (u, v) = y (u, v) = z (u, v) 0 = 4y 4x 4 = 0 + u 3 + v... Να ϐρεθει η εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια (,, ), (,, 3) και ειναι παραλληλο στο διανυσµα p = (3, 3, 3). Λυση. Συµφωνα µε την εξ.(.5) ειναι x y z = 6y 3x 3z = 0... Να ϐρεθει η εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια A (,, ), B (,, 3) και ειναι παραλληλο στο διανυσµα p = (0,, ). Λυση. Συµφωνα µε την εξ.(.5) ειναι x y z 3 0 = 0.

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 0 Οµως η οριζουσα εχει δυο ιδιες γραµµες, και αρα ϑα ειναι ταυτοτικα ιση µε µηδεν, οποτε δεν µπορουµε να ϐρουµε την Ϲητουµενη εξισωση του επιπεδου. Αυτο ειναι αναµενοµενο, διοτι τα διανυσµατα AB και p ειναι παραλληλα και ετσι απο τα A, B διερχεται απειρια επιπεδων παραλληλων στο p...3. Αποδειξτε την..5, δηλ. οτι η εξισωση επιπεδου που διερχεται απο δυο σηµεια (x, y, z ), (x, y, z ) και ειναι παραλληλο σε δοθεν διανυσµα p. ειναι x x y y z z x x y y z z a b c = 0. Λυση. Στο Σχ.4.5 απεικονιζονται τα δοθεντα σηµεια (x, y, z ), (x, y, z ), το δοθεν διανυσµα p και τυχον σηµειο του επιπεδου (x, y, z). Σχηµατιζουµε τα διανυσµατα r = (x x, y y, z z ), r = (x x, y y, z z ) τα οποια ειναι συνεπιπεδα µε το p. Σχ.4.5 Ετσι το συνολο {r, r, p} ειναι γραµµικα εξαρτηµενο και η οριζουσα r r p = x x y y z z x x y y z z a b c ϑα πρεπει να ισουται µε 0, που ειναι το Ϲητουµενο...4. Να ϐρεθει η εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (,, ) και ειναι παραλληλο στα διανυσµατα p = (,, 3) και q = (3, 3, 3). Λυση. Συµφωνα µε την εξ.(.6) ειναι x y z = 6y 3x 3z = 0.

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ..5. Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (,, 0) και ειναι παραλληλο στα διανυσµατα p = (,, 3) και q = (,, ). Λυση.Συµφωνα µε την εξ.(.6) ειναι και σε διανυσµατικη µορφη r (u, v) = x y z 0 3 x (u, v) y (u, v) z (u, v) = = y x z 3 = u 3 + v..6. Αποδειξτε την..6, δηλ. οτι η εξισωση επιπεδου που διερχεται απο σηµειο (x, y, z ) και ειναι παραλληλο στα δοθεντα διανυσµα p, q ειναι x x y y z z a b c d e f = 0. Λυση. Στο Σχ.4.6 απεικονιζεται το δοθεν σηµειο (x, y, z ), τα δοθεντα διανυσµατα p, q και τυχον σηµειο του επιπεδου (x, y, z). Εχουµε µετακινησει τα ελευθερα διανυσµατα p, q ετσι ωστε να κεινται επι του επιπεδου. Σχηµατιζουµε το διανυσµα r = (x x, y y, z z ) το οποια ειναι συνεπιπεδο µε τα p, q.. Σχ.4.6 Ετσι το συνολο {r, p, q} ειναι γραµµικα εξαρτηµενο, οποτε η οριζουσα r p q = x x y y z z a b c d e f ϑα πρεπει να ισουται µε 0, και αυτη ειναι ακριβως η Ϲητουµενη εξισωση.

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ..7. ειξτε οτι το διανυσµα p = (,, ) ειναι καθετο στο επιπεδο x + y + z + 0 = 0. Λυση. Το επιπεδο εχει A =, B =, C = και D = 0. Αφου = = το Ϲητουµενο προκυπτει αµεσα απο την (.7)..8. Αποδειξτε οτι το διανυσµα p = (,, ) ειναι καθετο στο επιπεδο x+4y+z+3 = 0. Λυση. Το επιπεδο εχει A =, B = 4, C = και D = 3. Αφου = 4 = το Ϲητουµενο προκυπτει αµεσα απο την (.7)...9. Να ϐρεθει η εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (3,, 4) και ειναι καθετο στο διανυσµα p = (,, 3). Λυση. Εστω οτι η Ϲητουµενη εξισωση ειναι Ax + By + Cz + D. Για να διερχεται το επιπεδο απο το (3,, 4) ϑα ισχυει Επισης, απο την συνθηκη καθετοτητας, ϑα ισχυει 3A B + 4C + D = 0 (.7) A = B = C 3. (.8) Οποτε, λυνοντας τις (.7) και (.8) παιρνουµε A = 5 D, B = 5 D, C = 3 D, δηλ. η 0 Ϲητουµενη εξισωση ειναι D 5 x + D 5 y 3D 0 z + D = 0 και το D µπορει να παρει αυθαιρετη τιµη. Θετοντας D = 0, τελικα παιρνουµε x + y 3z + 0 = Αποδειξτε την..9, δηλ. οτι ενα διανυσµα p = (a, b, c) ειναι καθετο στο επιπεδο E : Ax + By + Cz + D = 0 ανν a A = b B = c C. Λυση. Στο Σχ.4.7 απεικονιζουµε τρια σηµεια M (x, y, z ), M (x, y, z ), M 3 (x 3, y 3, z 3 )

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 3 του επιπεδου E και τα αντιστοιχα διανυσµατα r, r, r 3. Τα διανυσµατα Σχ.4.7 r r = (x x, y y, z z ) r 3 r = (x 3 x, y 3 y, z 3 z ) ανηκουν στο E. Ενα διανυσµα q ειναι καθετο στο E ανν ειναι καθετο στα r r, r 3 r. Ε- να τετοιο διανυσµα ειναι το (A, B, C). Πραγµατι, αφου τα (x, y, z ), (x, y, z ) ανηκουν στο E, εχουµε και µε αφαιρεση κατα µελη εχουµε Ax + By + Cz + D = 0 Ax + By + Cz + D = 0 A (x x ) + B (y y ) + C (z z ) = 0 δηλ. (A, B, C) (r r ). Με οµοιο τροπο δειχνουµε οτι (A, B, C) (r 3 r ). Αρα (A, B, C) E και το p ειναι καθετο στο E ανν p (A, B, C) δηλ. ανν a A = b B = c C.... Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (,, 0) και ειναι καθετο στο διανυσµα p = (,, 3) Λυση. Συµφωνα µε την (.8), η Ϲητουµενη εξισωση ειναι (x ) + (y ) + 3 (z 3) = x + y + 3z 4 = 0.

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 4... Αποδειξτε την..8, δηλ. οτι το επιπεδο που διερχεται απο δοθεν σηµειο (x, y, z ) και ειναι καθετο σε δοθεν διανυσµα p = (a, b, c) ειναι a (x x ) + b (y y ) + c (z z ) = 0 Λυση. Στο Σχ.4.8 απεικονιζεται το δοθεν σηµειο (x, y, z ), το δοθεν διανυσµα p, και τυχον σηµειο του επιπεδου (x, y, z). Σχηµατιζουµε το διανυσµα r = (x x, y y, z z ) το οποιο ειναι καθετο στο p. Οποτε ϑα εχουµε p r = 0, δηλ. που ειναι η Ϲητουµενη σχεση. Σχ.4.8 a (x x ) + b (y y ) + c (z z ) = Αποδειξτε οτι το διανυσµα p = (,, ) ειναι παραλληλο στο επιπεδο x + y 5z + 3 = 0. Λυση. Αποδεικνυεται αµεσα απο την (.0), αφου + + ( 5) = Αποδειξτε την..9, δηλ. οτι το επιπεδο E : Ax + By + Cz + D = 0 ειναι παραλληλο στο διανυσµα p = (a, b, c) ανν a A + b B + c C = 0. Λυση. Καθε διανυσµα παραλληλο στο E ϑα ειναι καθετο στο διανυσµα q = (A, B, C). Αν λοιπον το p ειναι παραλληλο στο E ϑα εχουµε q p = Aa + Bb + Cc = 0

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ ειξτε οτι τα επιπεδα E : 5x + y + z + 6 = 0 και E : 0x + 4y + z = 0 ειναι παραλληλα. Λυση. Αυτο ισχυει, ϐασει της (.0), διοτι 5 0 = 4 =...6. Αποδειξτε οτι τα επιπεδα x + y + z + = 0 και x + 4y + z 5 = 0 ειναι παραλληλα Λυση. Αποδεικνυεται αµεσα απο την εξ.(.0), αφου = 4 =...7. Αποδειξτε την..0, δηλ. οτι δυο επιπεδα E : A x + B y + C z + D = 0, E : A x + B y + C z + D = 0 ειναι παραλληλα ανν A A = B B = C C. Λυση. Το E ειναι καθετο στο p = (A, B, C ) και το E ειναι καθετο στο p = (A, B, C ). Εχουµε δε E E p p και p p ανν A A = B B = C C. ες και το Σχ.4.9. Σχ Αποδειξτε οτι τα επιπεδα x + y + z + = 0 και x + y 3z 5 = 0 ειναι καθετα. Λυση. Αποδεικνυεται αµεσα απο την (.), αφου + + ( 3) = Αποδειξτε οτι τα επιπεδα 5x + y + z + 6 = 0 και x y 3z = 0 ειναι καθετα µεταξυ τους. Λυση. Αποδεικνυεται αµεσα απο την (.), αφου 5 + ( ) + ( 3) = 0.

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Αποδειξτε την.., δηλ. οτι δυο επιπεδα E : A x + B y + C z + D = 0, E : A x + B y + C z + D = 0 ειναι καθετα µεταξυ τους ανν A A + B B + C C = 0. Λυση. Το E ειναι καθετο στο p = (A, B, C ) και το E ειναι καθετο στο p = (A, B, C ). Εχουµε δε E E p p και p p ανν A A + B B + C C = 0. ες και το Σχ Σχ Βρειτε την γωνια των επιπεδων x + y 4 = 0 και x y = 0. Λυση. Η γωνια θ ικανοποιει cos θ = + ( ) ( ) = 0 δηλ. θ = π/ τα επιπεδα ειναι καθετα µεταξυ τους...3. Βρειτε την γωνια των επιπεδων x + y + z = 0 και x y + z 5 = 0. Λυση. Η γωνια θ ικανοποιει cos θ = + ( ) ( ) + = 3 οποτε arccos ( ) 3 =. 3 0 ακτινια (περιπου ).

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Βρειτε την γωνια µεταξυ των 5x y + z + = 0 και 0x 4y + z = 0. Λυση. Η Ϲητουµενη γωνια θ εχει συνηµιτονο cos θ = ( ) ( 4) ( 4) + = δηλ. θ = 0 και τα επιπεδα ειναι παραλληλα Αποδειξτε την.., δηλ. οτι η γωνια µεταξυ δυο επιπεδων E, E δινεται απο την σχεση A A + B B + C C cos θ = A + B + C A + B + C. Λυση. ειτε το Σχ.4.. Η γωνια θ µεταξυ των δυο επιπεδων ειναι ιση µε την γωνια των καθετων σε αυτα διανυσµατων p = (A, B, C ), p = (A, B, C ). Αρα η θ δινεται απο την σχεση cos θ = p p p p = Σχ.4. A A + B B + C C A + B + C A + B + C..35. Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (, 3, 6) και ειναι παραλληλο στο επιπεδο x 5y + 7 = 0. Λυση. Το Ϲητουµενο επιπεδο, λογω της συνθηκης παραλληλιας, ϑα εχει εξισωση x 5y + D = 0. Για να διερχεται δε απο το σηµειο (, 3, 6) ϑα πρεπει να εχουµε 5 ( 3) + D = 0 D = 9. ηλ. η Ϲητουµενη εξισωση ειναι x 5y 9 = 0.

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που περναει απο το σηµειο (,, 3) και ειναι παραλληλο στο επιπεδο x 3y + z = 0. Λυση. Το Ϲητουµενο επιπεδο ϑα εχει εξισωση x 3y + z + D = 0 και ϑα πρεπει να ικανοποιει 3 ( ) D = 0 D = 4 οποτε η Ϲητουµενη εξισωση ϑα ειναι x 3y + z 4 = Να ϐρεθει η εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια (,, 3), (3,, ) και ειναι καθετο στο επιπεδο 4x y + z 7 = 0. Λυση. Το διανυσµα p = (4,, ) ϑα ειναι παραλληλο στο Ϲητουµενο επιπεδο. Οποτε η Ϲητουµενη εξισωση ειναι δηλ. x + y + z 3 = 0. x y z = Να ϐρεθει η εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (,, 3) και ειναι καθετο στα επιπεδα x + 3y z = 0 και 3x y + z 5 = 0. Λυση. Εστω οτι το Ϲητουµενο επιπεδο εχει εξισωση Ax + By + Cz + = 0. (Πηραµε, χωρις ϐλαβη της γενικοτητας, D = ). Απο τις συνθηκες καθετοτητας εχουµε A + 3B C = 0 3A B + C = 0. Και επειδη το επιπεδο διερχεται απο το (,, 3) εχουµε επισης Οι τρεις εξισωσεις δινουν το συστηµα A + B 3C + = 0. A + 3B C = 0 3A B + C = 0 A + B 3C + = 0 το οποιο εχει λυση A =, B =, C =, δηλ. το Ϲητουµενο επιπεδο εχει εξισωση και πιο απλα 6 x + 3 y + 6 z + = 0 x + y + z + 6 = 0.

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Να ϐρεθει η τοµη των επιπεδων E : 5x + 3y z + 7 = 0 E : 4x 5y + 7z + 6 = 0 E 3 : 6x + y 3z + 66 = 0 Λυση. Λυνοντας το παραπανω συστηµα ϐλεπουµε οτι τα επιπεδα τεµνονται στο σηµειο ( 0, 0, ). Αυτα ϑα µπορουσαµε να το καταλαβουµε και απο το γεγονος οτι rank = rank = Να ϐρεθει η τοµη των επιπεδων E : 5x + 3y z + 7 = 0 E : 4x 5y + 7z + 6 = 0 E 3 : 6x + y 3z + 66 = 0 Λυση. Λυνοντας το παραπανω συστηµα ϐλεπουµε οτι τα επιπεδα τεµνονται στο σηµειο ( 0, 0, ). Αυτα ϑα µπορουσαµε να το καταλαβουµε και απο το γεγονος οτι rank = rank = Να ϐρεθει η τοµη των επιπεδων E : 5x + 3y z + 7 = 0 E : 4x 5y + 7z + 6 = 0 E 3 : 6x + y 3z + 66 = 0 E 4 : x + y + z + 8 = 0 Λυση. Λυνοντας το συστηµα των τριων πρωτων εξισωσεων ϐλεπουµε οτι εχει µοναδικη λυση την (x, y, z) = ( 0, 0, ). Κατοπιν παρατηρουµε οτι αυτη ικανοποιει και την τεταρτη εξισωση. Αρα τα τεσσερα επιπεδα διερχονται απο το σηµειο ( 0, 0, )...4. ινονται τα επιπεδα E : 5x + y + z + = 0 και E : x y 3z = 0. Να ϐρεθει η αξονικη δεσµη αυτων. Λυση. Η αξονικη δεσµη περιεχει ολα τα επιπεδα µε εξισωση κ (5x + y + z + ) + ( κ) (x y 3z) = Π.χ., για κ = / παιρνουµε το επιπεδο ( 4 ) ( + x + 3 ) y + (4κ + ) x + (3κ ) y + (4κ 3) z + κ = 0. ( 4 ) 3 z + κ = 3x + y z + κ = 0

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 0 το οποιο τεµνεται µε τα E και E κατα µια ευθεια. Για κ = παιρνουµε το E και για κ = 0 παιρνουµε το E (δες και το Σχ.4.). Σχ Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που περναει απο την τοµη των επιπεδων E : x 7y + 4z 3 = 0, E : 3x 5y + 4z + = 0 και απο το σηµειο (,, 3). Λυση. Το Ϲητουµενο επιπεδο ανηκει στην αξονικη δεσµη των δυο αλλων και αρα εχει εξισωση κ (x 7y + 4z 3) + ( κ) (3x 5y + 4z + ) = 0 (3 κ) x + ( 5 κ) y + 4 z + ( 4κ) = 0. Για να περναει απο το (,, 3) πρεπει να εχουµε (3 κ) ( ) + ( 5 κ) ( 4κ) = 0 (.9) απο το οποιο προκυπτει οτι κ = 6. Αντικαθιστωντας στην (.9) ϐλεπουµε οτι το Ϲητουµενο 7 επιπεδο εχει εξισωση ( 3 6 ) ( x ) ( y + 4z ) = και απλουστερα 5x 47y + 8z 7 = Να ϐρεθει η εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο την τοµη των επιπεδων E : 3x 4y + z = 0 E : 4x 7y + 3z + 4 = 0

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ και ειναι καθετο στο επιπεδο 5x + y z + 30 = 0. Λυση. Το Ϲητουµενο επιπεδο ανηκει στην αξονικη δεσµη των δυο αλλων και αρα εχει εξισωση κ (3x 4y + z ) + ( κ) (4x 7y + 3z + 4) = 0 (4 κ) x + ( 7 + 3κ) y + (3 κ) z + (4 6κ) = 0. Για να ειναι δε καθετο στο τελευταιο επιπεδο, πρεπει να εχουµε (4 κ) 5 + ( 7 + 3κ) + (3 κ) ( ) = 0 (.0) απο το οποιο προκυπτει οτι κ =. Αντικαθιστωντας στην (.0) ϐλεπουµε οτι το Ϲητου- µενο επιπεδο εχει εξισωση 5x 0y + 5z + 0 = Να ϐρεθει η αποσταση του επιπεδου E : 5x + y + z + = 0 απο το σηµειο M (, 0, 0) Λυση. ες και το Σχ.4.3. Εφαρµοζοντας την εξ.(.4) παιρνουµε Σχ.4.3 d (M, E) = = 6 30 = Βρειτε την αποσταση του σηµειου M (,, 3) απο το επιπεδο E : 8x 4y z 8 = 0. Λυση. Εφαρµοζοντας την εξ.(.4) παιρνουµε d (M, E) = 8 ( ) = 35 9.

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ..47. Βρειτε την αποσταση των επιπεδων E : x 3y 6z 4 = 0 και E : x 3y 6z + 7 = 0. Λυση. Παρατηρουµε οτι τα επιπεδα ειναι παραλληλα. Οποτε d (E, E ) = d (M, E ) οπου M ειναι τυχον σηµειο του E. Μπορουµε να παρουµε ενα τετοιο σηµειο ϑετοντας x = 0, y = 0 και υπολογιζοντας z = = Τοτε d (E, E ) = d (M, E ) = = Βρειτε την εξισωση των επιπεδων που ειναι παραλληλα στο E : x 3y 6z 4 = 0 και εχουν αποσταση 5 απο την αρχη των αξονων. Λυση. Το Ϲητουµενο επιπεδο ϑα ειναι (λογω της συνθηκης παραλληλιας) E : x 3y 6z + D = 0. Απο την συνηκη αποστασης ϑα εχουµε d (0, E ) = Αρα υπαρχουν δυο Ϲητουµενα επιπεδα, τα D = 5 D = ±35 E : x 3y 6z + 35 = 0 και E : x 3y 6z 35 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που ειναι παραλληλο στο επιπεδο xy και απεχει 3 µοναδες απο αυτο. Λυση. Το επιπεδο xy ειναι το E : z = 0. Απο την συνθηκη παραλληλιας, το Ϲητουµενο επιπεδο E ϑα εχει εξισωση z + D = 0 και ενα σηµειο αυτου ϑα ειναι το (0, 0, D). Απο την συνθηκη αποστασης d (E, E ) = D = 3 D = ±3 Αρα υπαρχουν δυο Ϲητουµενα επιπεδα, τα E : z + 3 = 0 και E : z 3 = 0 (δες και το Σχ.4.4). Σχ.4.4

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Βρειτε την εξισωση των επιπεδων που ειναι παραλληλα στο E : 4x 4y+7z 3 = 0 και απεχουν 4 µοναδες απο το σηµειο M (4,, ). Λυση. Το Ϲητουµενο επιπεδο E ϑα ειναι (λογω της συνθηκης παραλληλιας) E : 4x 4y + 7z + D = 0. Απο την συνηκη αποστασης ϑα εχουµε d (M, E) = ( ) + D = 4 D = 4 (D = 36 η D + = 36) 9 D = 38 η D = 34 Τελικα υπαρχουν δυο Ϲητουµενα επιπεδα, τα E : 4x 4y + 7z + 38 = 0 και E : 4x 4y + 7z 34 = Βρειτε ενα σηµειο M το οποιο κειται στον αξονα των y και απεχει ισες αποστασεις απο τα επιπεδα E : x + 3y + 6z 6 = 0 και E : 8x + 9y 7z + 73 = 0. Λυση. Το Ϲητουµενο M ειναι της µορφης (0, y, 0) και πρεπει να ικανοποιει y = d (M, E ) = d (M, E ) y y 6 7 = 9 y Η τελευταια εξισωση εχει δυο λυσεις : απο την 3 y 6 7 = 9 y παιρνουµε y = 73 και απο την 3 y 6 7 = 9 y παιρνουµε y = Τελικα υπαρχουν δυο τετοια σηµεια : το M (0, 73/, 0) και το M (0, 73/8, 0)...5. Εστω σηµειο A επι του αξονα των x, B επι του αξονα των y και C επι του αξονα των z. Η ϑεση των A, B, C µεταβαλλεται, αλλα µε τετοιο τροπο ωστε να ισχυει παντα OA + OB + OC =. (.) Να δειχτει οτι το επιπεδο που οριζουν τα A, B, C διερχεται απο σταθερο σηµειο. Λυση. Η εξισωση του επιπεδου που οριζουν τα A, B, C ειναι x OA + y OB + z OC =. (.)

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 4 Επισης, απο τα δεδοµενα εχουµε OA + OB + OC =. Αφαιρωντας την (.) απο την (.) παιρνουµε (για τα σηµεια που ανηκουν στο επιπεδο) x OA + y OB + z OC = 0 και αυτη εξισωση επαληθευεται απο το σηµειο (x, y, z) = (,, ). Αρα, για οποιαδηποτε ϑεση των A, B, C το επιπεδο που αυτα οριζουν διερχεται απο το (,, ) Αποδειξτε την..5, δηλ. οτι η αποσταση του επιπεδου E : Ax+By+Cz+D = 0 απο το σηµειο (x, y, z ) ειναι d = Ax + By + Cz + D A + B + C. Λυση. (Αυτη η ασκηση απαιτει την εξισωση ευθειας, η οποια δινεται στο Κεφαλαιο.) Εστω επιπεδο E : Ax + By + Cz + D = 0 και σηµειο M : (x, y, z ). Το διανυσµα το καθετο στο E ειναι το p = (A, B, C). Η ευθεια l η οποια διερχεται απο το M και ειναι παραλληλη στο p ειναι η x x A = y y B = z z C και το σηµειο τοµης αυτης µε το επιπεδο ειναι το (x, y, z ) που ειναι η λυση του συστη- µατος Λυνοντας το συστηµα παιρνουµε Ax + By + Cz + D = 0 x x A = y y B y y B = z z C ( ) x = AD B x A + B + C C x + ABy + ACz ( ) y = BD A y A + B + C C y + ABx + BCz ( ) z = CD A z A + B + C B z + ACx + BCy και υπολογιζοντας την αποσταση d (M, M ) εχουµε d (M, M ) = (x x ) + (y y ) + (z z ). Μετα απο επιπονους αλλα προφανεις υπολογισµους προκυπτει οντως d (M, E ) = d (M, M ) = Ax + By + Cz + D A + B + C.

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 5.3 Αλυτες Ασκησεις.3.. Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια (, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, ). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. x + y + z = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια (,, 3), (3,, ), (,, ). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. 4y x z = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια (,, ), (,, ), (,, ). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. 9y 3x + 6z = Να ϐρεθει η εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια (, 4, 8), ( 3,, 5), (6,, 7). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. 4z 7y 5x 38 = Σχεδιαστε τα επιπεδα και ϐρειτε το σηµειο τοµης αυτων. Απ. x = 3, y = 4 7, z =. x + y + z = 0 4x + y + z + = 0 x + y + 4z = Σχεδιαστε τα επιπεδα και ϐρειτε το σηµειο τοµης αυτων. Απ. x =, y =, z = 3. x + y + z = 0 3x + y + 4z = 0 x + y + 4z + = Σχεδιαστε τα επιπεδα και ϐρειτε το σηµειο τοµης αυτων. Απ. Τα επιπεδα δεν τεµνονται. x + y + z = 0 3x + y + 4z = 0 4x + 4y + 6z 5 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια (,, 3), (3,, ) και ειναι παραλληλο στο διανυσµα p = (,, ). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. 7x 6y + 5z 0 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια (,, 3), (,, ) και ειναι παραλληλο στο διανυσµα p = (,, ). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. z y = 0.

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια (,, 3), (,, ) και ειναι παραλληλο στον αξονα των y. Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. x + z 5 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (,, 3) και ειναι παραλληλο στα διανυσµατα (,, ) και (,, 0). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. y x + z 3 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (,, 3) και ειναι παραλληλο στα διανυσµατα (,, ) και (,, 0). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. y x + z 3 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (, 0, ) και ειναι παραλληλο στα διανυσµατα (,, ) και (,, 0). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. y x + z + = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (, 5, 4) και ειναι παραλληλο στο επιπεδο 4x 7z + 6 = 0. Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. y x + z + = ειξτε οτι το επιπεδο x y + z + = 0 ειναι καθετο στο διανυσµα (,, ) ειξτε οτι το επιπεδο x+y+3z+0 = 0 ειναι καθετο στο διανυσµα (,, 3).Υπαρχει αλλο διανυσµα καθετο στο ιδιο επιπεδο ;.3.7. ειξτε οτι το επιπεδο x + y + z 3 = 0 ειναι παραλληλο στο διανυσµα (,, ). Σχεδιαστε το επιπεδο ειξτε οτι το επιπεδο x + y + z 3 = 0 ειναι παραλληλο στο διανυσµα (,, 3). Σχεδιαστε το επιπεδο ειξτε οτι το επιπεδο x y+z+ = 0 ειναι παραλληλο στο διανυσµα (,, 5).Βρειτε ενα αλλο διανυσµα παραλληλο στο ιδιο επιπεδο ειξτε οτι το επιπεδο x + y + z 3 = 0 ειναι καθετο στο επιπεδο x + y z = 0. Σχεδιαστε τα επιπεδα..3.. ειξτε οτι το επιπεδο x+y+z 3 = 0 ειναι καθετο στο διανυσµα x+y 3z+ = 0. Σχεδιαστε τα επιπεδα..3.. Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (, 3, 6) και ειναι παραλληλο στο επιπεδο x 5y + 7 = 0. Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. x 5y 9 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που περναει απο το σηµειο (3, 4, ) και ειναι παραλληλο στο επιπεδο z = 0. Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. z + = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που περναει απο το σηµειο (,, 4) και ειναι παραλληλο στο επιπεδο x 3y 5z + 6 = 0. Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. x 3y 5z + 8 = 0.

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (4,, ) και ειναι καθετο στο διανυσµα p = (7,, 3). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. 7x + y 3z = Να ϐρεθει η εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (3,, 4) και ειναι καθετο στο διανυσµα p = (,, 3). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. x + y 3z + 0 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (, 3, 5) και ειναι καθετο στο διανυσµα (4, 6, 0). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. x + 4y 3 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο το σηµειο (3, 5, ) και ειναι καθετο στο διανυσµα (4, 6, ). Σχεδιαστε το επιπεδο. Απ. 4x 6y + z 40 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο τα σηµεια (,, ), ( 3,, ) και ειναι καθετο στο επιπεδο x + y z + 6 = 0. Σχεδιαστε τα επιπεδα. Απ. x y 0z 5 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που περναει απο τα σηµεια (,, ) και (0,, 0) ειναι καθετο στο επιπεδο x y + 3z 7 = 0. Σχεδιαστε τα επιπεδα. Απ. 7x 6y z 7 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που περναει απο τα σηµεια (,, ) και (0,, 0) και ειναι καθετο στο επιπεδο x y + 3z 7 = 0. Σχεδιαστε τα επιπεδα. Απ. 4x y z = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που περναει απο τα σηµεια (,, ) και (3,, ) και ειναι καθετο στο επιπεδο x + y 5z 3 = 0. Σχεδιαστε τα επιπεδα. Απ. 7x 6y z 7 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που περναει απο τα σηµεια (,, 6) και (,, 4) και ειναι καθετο στο επιπεδο x y z + 9 = 0. Σχεδιαστε τα επιπεδα. Απ. x + 4y 3z + 8 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που περναει απο το σηµειο (3,, 4) και ειναι καθετο στα επιπεδα 7x 3y + z 5 = 0 και 4x y z + 9 = 0. Σχεδιαστε τα επιπεδα. Απ. 4x + y + 5z 0 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που περναει απο το σηµειο (, 4, ) και ειναι καθετο στα επιπεδα x + 5y z 5 = 0 και 4x 7y + 3z + 9 = 0. Σχεδιαστε τα επιπεδα. Απ. 4x 5y 7z + 0 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που περναει απο το σηµειο (3,, ) και ειναι καθετο στα επιπεδα 3y 5z + = 0 και x = 0. Σχεδιαστε τα επιπεδα. Απ. 5y + 3z + 7 = 0.

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που περναει απο το σηµειο (,, ) και ειναι καθετο στα επιπεδα x y 4z 6 = 0 και 3x + y + 6z 4 = 0. Σχεδιαστε τα επιπεδα. Απ. x + 3y z = Βρειτε την γωνια των επιπεδων 6x + 3y z = 0 και x + y + 6z = 0. Απ. 90 o Βρειτε την γωνια των επιπεδων x + 5y + 7z = 0 και 3x 4y + z = 0. Απ. 90 o Βρειτε την γωνια των επιπεδων 3x + y + 5z + 6 = 0 και x + 4y + 3z 8 = 0. 3 Απ. arccos θ = Βρειτε την γωνια των επιπεδων 3x + 4y z + = 0 και x y 5z + 3 = 0. Απ. 90 o.3.4. Για ποια τιµη του κ ειναι τα επιπεδα 3x + 4y + κz 6 = 0 και 4x 3y + 4z + = 0 καθετα µεταξυ τους ; Απ. κ = Να εξεταστει η ϕυση της τοµης των επιπεδων 5x + 3y z + 7 = 0 4x 5y + 7z + 6 = 0 Απ. Αυτα τεµνονται στο σηµειο ( 0, 0, ). 6x + y 3z = Να εξεταστει η ϕυση της τοµης των επιπεδων 5x + 3y z + 7 = 0 4x 5y + 7z + 6 = 0 6x + y 3z = 66 x + y + z + 8 = 0 Απ. Αυτα τεµνονται στο σηµειο ( 0, 0, ) Να εξεταστει η ϕυση της τοµης των επιπεδων x + y 3z + 5 = 0 4x 5y + z + = 0 3x 6y + 4z 3 = 0 Απ. Αυτα τεµνονται στην ευθεια x (t) = 4t 3, y (t) = 3 t, z (t) = t Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που ειναι παραλληλο στο 4x 4y + 7z 3 = 0 και απεχει 4 µοναδες απο το σηµειο (4,, ). Σχεδιαστε τα επιπεδα. Απ. 4x 4y + 7z + 38 = 0, 4x 4y + 7z 34 = 0.

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που περναει απο την ευθεια τοµης των x 7y +4z 3 = 0, 3x 5y + 4z + = 0 και απο το σηµειο (,, 3). Σχεδιαστε τα επιπεδα. Απ. 5x 47y + 8z 7 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που περναει απο την ευθεια τοµης των 3x 4y + z 6 = 0, x + 4y z + 7 = 0 και απο το σηµειο (,, 3). Σχεδιαστε τα επιπεδα. Απ. 43x 4y + z 3 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που περναει απο την ευθεια τοµης των x y + z 6 = 0, 3x 6y + z = 0 και τεµνει τον αξονα των x στο σηµειο (6, 0, 0). Σχεδιαστε τα επιπεδα. Απ. x 5y z = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που περναει απο το σηµειο (,, 3) και απο την ευθεια Σχεδιαστε το επιπεδο και την ευθεια. Απ. x + 5y + 7z + 7 = 0. x 3y + z 3 = 0 x + 3y + z + = Βρειτε την αποσταση του σηµειου (,, 3) απο το επιπεδο 8x 4y z 8 = 0. Απ. 35/ Υπολογιστε την αποσταση του επιπεδου x + y z = 0 απο το σηµειο (,, 3). Απ. 0/ Υπολογιστε την αποσταση του επιπεδου x + y z = 0 απο το σηµειο (,, 4). Απ. 6/ Υπολογιστε την αποσταση του επιπεδου 6x 3y + z 3 = 0 απο το σηµειο (7, 3, 4). Απ Υπολογιστε την αποσταση του σηµειου (0,, 3) απο το επιπεδο που οριζεται απο τα σηµεια (3,, 5), (8, 3, 3), (,, 4) Απ. 6/ Βρειτε την αποσταση των επιπεδων x 3y 6z 4 = 0 και x 3y 6z +7 = 0. Σχεδιαστε τα επιπεδα. Απ Να ϐρεθει η αποσταση των επιπεδων 3x + y 6z 35 και 3x + y 6z + 4 = 0. Απ. d = 7.

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Βρειτε την αποσταση των επιπεδων x + y + z = 0 και x y + z =. Σχεδιαστε τα επιπεδα. Απ Βρειτε την εξισωση των επιπεδων που ειναι παραλληλα στο x 3y 6z 4 = 0 και εχουν αποσταση 5 απο την αρχη των αξονων. Σχεδιαστε τα επιπεδα. Απ. x 3y 6z ± 35 = Βρειτε την εξισωση του επιπεδου που ειναι παραλληλο στο επιπεδο xy και απεχει 3 µοναδες απο αυτο. Απ. z + 3 = Βρειτε ενα σηµειο το οποιο κειται στον αξονα των y και απεχει ισες αποστασεις απο τα επιπεδα x + 3y + 6z 6 = 0 και 8x + 9y 7z + 73 = 0. Απ. Υπαρχουν δυο τετοια σηµεια : (0, 73/, 0) και (0, 73/8, 0) Να ϐρεθει η εξισωση του επιπεδου που απεχει 3 µοναδες µηκους απο την αρχη των αξονων και ειναι παραλληλο στο επιπεδο 3x 6y z 4 = 0. Απ. 3x 6y z + = 0.

36 Κεφάλαιο Ευθειες στον Τρισδιαστατο Χωρο. Θεωρια... Οι ευθεια που διερχεται απο σηµειο (x, y, z ) και ειναι παραλληλη στο διανυσµα p = (a, b, c) (δηλ. εχει την διευθυνση του p) οριζεται να ειναι το συνολο των σηµειων (x, y, z) που ικανοποιουν τις δυο εξισωσεις x x a = x x b = x x, (.) c Λεµε οτι οι (.) ειναι οι εξισωσεις της ευθειας σε συµµετρικη µορφη. Ισοδυναµες µε την (.) ειναι και οι µορφες παραµετρικη : x (t) = x + t a, y (t) = y + t b, z (t) = z + t c, (.) διανυσµατικη : r (t) = r + t p. (.3) (οπου r = (x, y, z), r = (x, y, z ) και p = (a, b, c)).... Οι εξισωσεις (.) (.3) εχουν την εξης ϕυσικη ερµηνεια : περιγραφουν την τροχια ενος κινητου το οποιο κινειται στον χωρο µε σταθερη διανυσµατικη ταχυτητα p και η µεταβλητη t ειναι ο χρονος. Προφανως η τροχια του κινητου ειναι ευθεια γραµµη και την χρονικη στιγµη t = 0, το κινητο ϐρισκεται στο σηµειο (x, y, z )...3. Οι εξισωσεις ευθειας που διερχεται απο δυο σηµεια (x, y, z ), (x, y, z ) εχουν τις εξης ισοδυναµες µορφες x x συµµετρικη : = x x = x x, (.4) x x x x x x παραµετρικη : x = x + t (x x ), y = y + t (y y ), z = z + t (z z ), (.5) διανυσµατικη : r (t) = r + t (r r ) (.6) (οπου r = (x, y, z) και r = (x, y, z ), r = (x, y, z ) ). 3

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Μια ευθεια µπορει επισης να περιγραφει και ως τοµη δυο επιπεδων : A x + B y + C z + D = 0, A x + B y + C z + D = Εστω δυο ευθειες µε εξισωσεις x = x + t a, y = y + t b, z = z + t c και x = x +t a, y = y +t b, z = z +t c. Η γωνια θ µεταξυ των δυο ευθειων προσδιοριζεται απο a a + b b + c c cos θ = a + b + c a. (.7) + b + c Προσεξτε οτι οι ευθειες δεν ειναι απαραιτητο να τεµνονται...6. υο ευθειες λεγονται ασυµβατες αν δεν ειναι παραλληλες και δεν τεµονται...7. Εστω δυο ευθειες µε εξισωσεις x = x + t a, y = y + t b, z = z + t c, x = x + t a, y = y + t b, z = z + t c οπου (a, b, c ) (a, b, c ). Οι ευθειες ειναι ασυµβατες (δηλ. δεν τεµνονται) ανν x x y y z z a b c 0. (.8) a b c..8. Εστω δυο ασυµβατες ευθειες µε εξισωσεις x = x + t a, y = y + t b, z = z + t c, x = x + t a, y = y + t b, z = z + t c Η αποσταση των δυο ευθειων ειναι το ελαχιστο µηκος ευθυγραµµου τµηµατος που εχει ενα ακρο σε καθε ευθεια. Αυτο ειναι ισο µε x x y y z z a b c d e f d =. (.9) (bf ec) + (af dc) + (ae bd)..9. Εστω επιπεδο Ax + By + Cz + D = 0 και ευθεια x x = y y = z z. Το σηµειο a b c τοµης της ευθειας µε το επιπεδο µπορει να υπολογιστει λυνοντας το συστηµα Ax + By + Cz + D = 0 x x a y y b = y y b = z z. c Αν το συστηµα εχει απειρες λυσεις, η ευθεια ανηκει στο επιπεδο. Αν το συστηµα δεν εχει καµµια λυση η ευθεια ειναι παραλληλη στο επιπεδο.

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Εστω επιπεδο Ax + By + Cz + D = 0 και ευθεια x = x + t a, y = y + t b, z = z +t c. Αν η ευθεια τεµνει το επιπεδο τοτε το σηµειο τοµης ειναι η λυση του συστηµατος Ax + By + Cz + D = 0 x x a y y b = y y b = z z. c (.0) Το ιδιο σηµειο τοµης µπορει να περιγραφει και ως (x + at 0, y + bt 0, z + ct 0 ),οπου t 0 = Ax + By + Cz + D. (.) aa + bb + cc... Εστω επιπεδο Ax + By + Cz + D = 0 και ευθεια x = x + t a, y = y + t b, z = z + t c. Η γωνια θ µεταξυ της ευθειας και του επιπεδου προσδιοριζεται απο sin θ = aa + bb + cc a + b + c A + B + C. (.) Ως ειδικες περιπτωσεις εχουµε οτι η ευθεια ειναι παραλληλη στο επιπεδο ανν aa + bb + cc = 0 (.3) και ειναι καθετη στο επιπεδο ανν a A = b B = c C. (.4)

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 34. Λυµενες Ασκησεις... Να ϐρεθουν οι εξισωσεις της ευθειας που διερχεται απο το σηµειο (,, 0) και ειναι παραλληλη στο διανυσµα p = (,, 3) Λυση. Συµφωνα µε την (.) η ευθεια εχει εξισωσεις και σε παραµετρικη µορφη r (t) = x = y = z 0 3 x = y = z 3 x (t) y (t) z (t) (δηλ. x (t) = + t, y (t) = + t, z (t) = 3t = 0 + t... Να ϐρεθουν οι εξισωσεις της ευθειας που διερχεται απο το σηµειο (,, 0) και ειναι παραλληλη στο διανυσµα p = (,, 3) Λυση. Συµφωνα µε την (.) η ευθεια εχει εξισωσεις 3 x x = y = y = z 3 = z 0 3 δηλ...3. Γραψτε τις εξισωσεις της ευθειας που διερχεται απο το (0,, ) και ειναι παραλληλη στο διανυσµα p = (, 0, 4). Λυση. Συµφωνα µε την εξ.(.3), οι παραµετρικες εξισωσεις της ευθειας ειναι Για την συµµετρικη µορφη, η (.) δινει x = t, y = 0 t =, z = + 4t. (.5) x = y 0 = z + 4. (.6) Ποιο ειναι το νοηµα του κλασµατος y ; Μπορουµε να εξισωσουµε τα κλασµατα της 0 (.6) µε µια πραγµατικη µεταβλητη t και να παρουµε x = y 0 = z + 4 = t. (.7) Ο µονος τροπος ωστε y 0 = t, οπου το t µπορει να παιρνει µονο πραγµατικες τιµες, ειναι να εχουµε y = 0, δηλ. y =. Αυτη ειναι ακριβως και η τιµη που δινουν οι

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 35 παραµετρικες εξισωσεις (.5). Με αλλα λογια, η ευθεια ειναι παραλληλη στο επιπεδο xy (δες και το Σχ.5.). Σχ Αποδειξτε την.., δηλ. οτι η ευθεια που διερχεται απο δοθεν σηµειο (x, y, z ) και ειναι παραλληλη σε δοθεν διανυσµα p = (a, b, c) εχει εξισωσεις x x = x x = x x, (.8) a b c x (t) = x + t a, y (t) = y + t b, z (t) = z + t c, (.9) r (t) = r + t p. (.0) Λυση. Στο Σχ.5. απεικονιζεται το δοθεν σηµειο (x, y, z ), το δοθεν διανυσµα p, και τυχον σηµειο (x, y, z) της ευθειας. Σχηµατιζουµε το διανυσµα r = (x x, y y, z z ) το οποιο ειναι επι της ευθειας και αρα παραληλο στο p. Σχ.5.

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 36 Οποτε ϑα εχουµε r = t p, δηλ. x x a = y y b = z z c που ειναι οι εξισωσεις της (.8). Απο αυτες προκυπτουν x x = t x = x + at a y y = t y = y + bt b z z = t z = z + ct c που ειναι οι εξισωσεις της (.9). Απο αυτες προκυπτουν και τις r = (x, y, z), r = (x, y, z ) προκυπτει οι (.0)...5. Να ϐρεθουν οι εξισωσεις της ευθειας που διερχεται απο τα σηµεια (,, 0), (0,, 3). Λυση. Οι εξισωσεις σε συµµετρικη µορφη ειναι και σε παραµετρικη µορφη x (t) r (t) = y (t) = z (t) = t x 0 = y = z δηλ. x = y = z t (δηλ. x (t) = t, y (t) = t, z (t) = 3t ) = 0 + t..6. Βρειτε τις εξισωσεις της ευθειας που διερχεται απο τα σηµεια (,, 3) και (4,, ). Λυση. Συµφωνα µε την εξ.(.4) οι Ϲητουµενες εξισωσεις ειναι δηλ. και σε παραµετρικη µορφη x = y = z 3 3 x + 6 = y = z 3 5 x (t) = + 6t, y (t) = + t, z (t) = 3 5t...7. Αποδειξτε την.., δηλ. οτι η ευθεια που διερχεται απο τα σηµεια (x, y, z ), (x, y, z ) εχει εξισωσεις x x = y y = z z, x x y y z z (.) x (t) = x + t (x x ), y (t) = y + t (y y ), z (t) = z + t (z z ), (.) r (t) = r + t (r r ). (.3) 3

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 37 Λυση. Στο Σχ.5.3 απεικονιζεται η ευθεια και τα δοθεντα σηµεια (x, y, z ), (x, y, z ). Αυτα οριζουν ενα διανυσµα p = (x x, y y, z z ) το οποιο ειναι παραλληλο στην ευθεια. Σχ.5.3 Αφου η ευθεια ειναι παραλληλη στο (x x, y y, z z ), οι συµµετρικες εξισωσεις αυτης ειναι x x = y y = z z (.4) x x y y z z και αν ϑεσουµε καθε κλασµα στην (.4) ισο µε t, προκυπτουν και οι (.),.3)...8. ινεται η ευθεια x = y Να ϐρεθουν οι παραµετρικες εξισωσεις αυτης. Λυση. Θετουµε x και, λυνοντας ως προς t παιρνουµε..9. ινεται η ευθεια = y = z 3 3. = z 3 3 = t x = + t, y = + t, z = 3 + 3t. x (t) = + t, y (t) = t, z (t) = + t. Να ϐρεθουν οι συµµετρικες εξισωσεις αυτης. Λυση. Εχουµε x = t, y = t, z = t και αρα x = y = z = t.

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ ειξτε οτι τα (, 3, ), (5, 4, 4), (8,, 9) κεινται πανω σε µια ευθεια. Λυση. Σχηµατιζουµε τις εξισωσεις της ευθειας που διερχεται απο τα (, 3, ), (5, 4, 4). Αυτες ειναι x 5 = y = z 4 και παρατηρουµε οτι αυτες ικανοποιουνται απο το (8,, 9): 8 5 = = 9 4 =.... ινεται η ευθεια x = y = z 3 3. (.5) Να ϐρεθει το σηµειο αυτης το οποιο εχει συντεταγµενη z =. Λυση. Θετοντας στην (.5) z = παιρνουµε Αρα x = y = 3 3 = 3. ( x = ) x = 3 3 = 3 ( y = ) y = = 0 3. Αρα το Ϲητουµενο σηµειο ειναι το ( 3, 0 3, ).... ινεται η ευθεια x (t) = + t, y (t) = t, z (t) = + t. (.6) Να ϐρεθει το σηµειο αυτης το οποιο εχει συντεταγµενη z =. Λυση. Για να εχουµε z = ϑα πρεπει στην (.6) να εχουµε οποτε = + t t = Αρα το Ϲητουµενο σηµειο ειναι το ( 3, 3, ). x = + t = + = 3 y = t = = 3.

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Βρειτε τις συµµετρικες και παραµετρικες εξισωσεις της ευθειας που περιγραφεται ως τοµη των επιπεδων x 3y + 3z 4 = 0 (.7) x + y z + 3 = 0 (.8) Λυση. Λυνοντας το συστηµα (.7) (.8) παιρνουµε x = 3 7 z 7, y = 5 7 z 0 7. Θετοντας t = z εχουµε x = 3 7 t 7, y = 5 7 t 0 7, z = t και αυτες ειναι οι παραµετρικες εξισωσεις της ευθειας. Απαλοιφοντας το t απο τις παραπανω παιρνουµε τις συµµετρικες εξισωσεις ες και το Σχ.5.4. x + /7 3/7 = y + 0/7 5/7 = z = t. Σχ Να ϐρεθουν οι παραµετρικες εξισωσεις της ευθειας που οριζεται ως τοµη των επιπεδων x + y + z + = 0 x + y + 3z + = 0 Λυση. Οι Ϲητουµενες εξισωσεις µπορουν να ϐρεθουν λυνοντας το παραπανω συστηµα. Πραγµατι, αυτο εχει λυσεις της µορφης x (t) = 5 3 t, y (t) = t, z (t) = t. 3

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 40 και σε παραµετρικη διανυσµατικη µορφη x (t) r (t) = y (t) = z (t)..5. ειξτε οτι οι ευθειες l : x = y 5 l : x + 3 = y 4 + t = z 5 4 = z 3. 5/3 /3 τεµνονται. Λυση. Οι ευθειες τεµνονται στο σηµειο ( 5, 5, 5), επειδη αυτο ειναι η λυση του συστηµατος..6. ειξτε οτι οι ευθειες l : x + = y 5 3 = z 7 x + 5 = y 5 y 5 = z 5 4 x + 3 = y 4 y 4 = z 3 και l : x = y z 3 6 ειναι παραλληλες. Λυση. Η l ειναι παραλληλη στο διανυσµα p = (, 3, ) και η l ειναι παραλληλη στο διανυσµα p = (4, 6, ). Αλλα p p οποτε και l l...7. ειξτε οτι οι ευθειες l : 7x 5 = 7y = z και l : x + 3 = y ειναι καθετες µεταξυ τους. Λυση. Η l ειναι παραλληλη στο διανυσµα p = (, 4, ) και η l ειναι παραλληλη στο διανυσµα q = (,, ). Επειδη p q =0 τα διανυσµατα p, q ειναι καθετα µεταξυ τους και αρα το ιδιο ισχυει και για τις l, l...8. Γραψτε τις εξισωσεις της ευθειας l που διερχεται απο το (, 4, 3) και ειναι παραλληλη στην ευθεια l που διερχεται απο τα (, 3, 4) και (,, 3). Λυση. Οι εξισωσεις της l ειναι x = y 3 3 = z ηλ. η l ειναι παραλληλη στο διανυσµα p = ( 3,, ). Αρα η l εχει εξισωσεις x + 3 = y 4 = z 3. = z

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Βρειτε την γωνια µεταξυ των ευθειων x 6 = y + 3 = z 4 6 και x + 3 = y 3 6 = z + 4. Λυση. Η Ϲητουµενη γωνια ειναι η ιδια µε αυτη των διανυσµατων p = (6, 3, 6), q = (3, 6, ). Αυτα σχηµατιζουν γωνια θ µε cos θ = p q p q = ( ) = 4 o ηλ. θ = arccos ( 4/) = = o...0. Βρειτε την γωνια µεταξυ των ευθειων l : x y + 3z 4 = 0, 3x + y z + 7 = 0 l : x + y z + 3 = 0, 4x y + 3z + 7 = 0. Λυση. Καταρχην ϐρισκουµε τις συµµετρικες εξισωσεις των ευθειων. Για την l, το συστηµα x y + 3z 4 = 0 3x + y z + 7 = 0 εχει λυση x = z, y = 7 z 6 7 αρα οι συµµετρικες εξισωσεις ειναι x /7 5/7 = y + 6/7 /7 = z και αρα η l ειναι παραλληλη στο p = ( 5,, 7). Για την l, το συστηµα x + y z + 3 = 0 4x y + 3z + 7 = 0 εχει λυση x = z, y = z αρα οι συµµετρικες εξισωσεις ειναι 5 5 x + /5 = y + /5 = z και αρα η l ειναι παραλληλη στο q = (,, 5). Τελος η γωνια των p, q ειναι cos θ = p q p q = 5 ( ) = οποτε θ arccos = o.

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 4... Αποδειξτε την..5, δηλ. οτι δυο ευθειες µε εξισωσεις l : x = x + t a, y = y + t b, z = z + t c l : x = x + t a, y = y + t b, z = z + t c σχηµατιζουν γωνια θ που προσδιοριζεται απο cos θ = a a + b b + c c a + b + c a. (.9) + b + c Λυση. Η l ειναι παραλληλη στο p = (a, b, c ) και η l ειναι παραλληλη στο p = (a, b, c ). Η γωνια λοιπον µεταξυ των l λαι l ειναι ιση µε αυτη µεταξυ των p και p η οποια ικανοποιει την (.9).... Γραψτε τις εξισωσεις της ευθειας l που διερχεται απο το (3,, 4) και ειναι καθετη στις ευθειες l : x 3 = y = z 4 Λυση. Η l ϑα εχει εξισωσεις και l 3 : x = y 3 = z. x 3 a = y + b = z 4. c Τα δε a, b, c πρεπει να ικανοποιουν (λογω καθετοτητας) 3a + b 4c = 0 a 3b + c = 0 Η λυση του παραπανω συστηµατος ειναι a = 8 4 c, b = c 3 3 οποτε οι εξισωσεις της l ειναι x 3 8c/3 = y + 4c/3 = z 4 c και παιρνοντας c = 3 εχουµε τις Ϲητουµες εξισωσεις : x 3 8 = y + 4 = z Να ϐρεθουν οι εξισωσεις της ευθειας που διερχεται απο το σηµειο (,, ) και τεµνει καθετα την ευθεια x = y = z. Λυση. Εστω οτι οι Ϲητουµενες εξισωσεις ειναι Πρεπει να ισχυει x a = y b a + b + c = 0 = z +. (.30) c

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 43 Ακοµη, εστω (x 0, y 0, z 0 ) το σηµειο τοµης των δυο ευθειων. Επειδη αυτο ανηκει στην x = y = z, ϑα ειναι (x 0, x 0, x 0 ) και ϑα πρεπει να ικανοποιει την (.30). ηλ.εχουµε τις εξισωσεις x 0 a x 0 b a + b + c = 0. = x 0 b = x 0 + c Απο την πρωτη εξισωση ϐλεπουµε οτι a = b, οποτε απο την τριτη παιρνουµε c = b. Αρα καθε λυση ικανοποιει (a, b, c) = (a, a, a) (δεν χρειαζεται να λυσουµε την δευτερη εξισωση αν δεν µας ενδιαφερει η τιµη του x 0 ). Ετσι οι Ϲητουµενες εξισωσεις της ευθειας ειναι και πιο απλα x a x = y a = y = z + a = z ειξτε την..7, δηλ. οτι δυο ευθειες µε εξισωσεις ειναι ασυµβατες ανν l : x = x + t a, y = y + t b, z = z + t c, l : x = x + t a, y = y + t b, z = z + t c. x x y y z z a b c a b c 0. (.3) Λυση. Ας υποθεσουµε το αντιθετο, δηλ. οτι οι ευθειες τεµνονται. ειτε το Σχ.5.5. Σχ.5.5

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 44 Η l διερχεται απο το (x, y, z ) και εχει διευθυνση αυτη του p = (a, b, c ). Η l διερχεται απο το (x, y, z ) και εχει διευθυνση αυτη του p = (a, b, c ). Τα p, p και r r = (x x, y y, z z ) ειναι συνεπιπεδα, αρα η οριζουσα που εχει αυτα ως γραµµες ειναι µηδενικη. Με αλλα λογια οι l, l τεµνονται x x y y z z a b c a b c = 0. (.3) Αρα ισχυει και το αντιστροφο x x y y z z a b c a b c 0 οι l, l δεν τεµνονται δηλ. ειναι ασυµβατες...5. Υπολογιστε την αποσταση των ευθειων x = + t, y = + t, z = + t, x = t, y = + t, z = 0. Λυση. Αυτες εχουν αποσταση d = και αρα ειναι ασυµβατες (δες και το Σχ.5.6) + 0 = 5 5 Σχ.5.6

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Να ϐρεθει η αποσταση των ευθειων x = + t, y = + t, z = t, x = 3t, y = + t, z =. Λυση. Οι ευθειες εχουν αποσταση d = = 5. 3 και αρα ειναι ασυµβατες...7. Να ϐρεθει η αποσταση των ευθειων l : x + = y l : x = y = z = z Λυση. Οι δυο ευθειες εχουν παραµετρικες εξισωσεις Οποτε η αποσταση τους ειναι d = l : x = + t y = + t z = 3 + 3t l : x = t y = t z = t = Να ϐρεθει η αποσταση του σηµειου A (,, ) απο την ευθεια l : x = y + 5 Λυση. Η ευθεια l εχει παραµετρικες εξισωσεις = z. x = + t y = 5 + t z = t. Εστω τυχον σηµειο M ( + t, 5 + t, t) της ευθειας Το τετραγωνο της αποστασης απο το M στο A εινα f (t) = ( t) + ( + 5 t) + ( t) = 9t 0t + 40 Η συναρτηση f (t) ελαχιστοποιειται οταν f (t) = 0, δηλ. για t = 0/9. Οποτε το σηµειο M µε ελαχιστη αποσταση απο το A ( ειναι το + 0, 5 + 0, ) = (9/9, 5/9, 0/9) και τοτε η ελαχιστη αποσταση των d (A, M) = 60 f (0/9) = που ειναι η Ϲητουµενη αποσταση του σηµειου απο την 9 ευθεια.

51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Να ϐρεθει η αποσταση του σηµειου A (,, ) απο την ευθεια l : x = y = z. Λυση. Η ευθεια l εχει παραµετρικες εξισωσεις x = t y = + t z = t. Εστω τυχον σηµειο M (t, + t, t) της ευθειας Το τετραγωνο της αποστασης απο το M στο A ειναι f (t) = ( t) + ( t) + ( t) = 3t 4t + Η συναρτηση f (t) ελαχιστοποιειται οταν f (t) = 0, δηλ. για t = 3/. Οποτε το σηµειο M µε ελαχιστη αποσταση απο το A ειναι το (3/, 5/, 3/) και τοτε η ελαχιστη αποσταση των d (A, M) = f (3/) = = που ειναι η Ϲητουµενη αποσταση του σηµειου απο την ευθεια Να ϐρεθει η αποσταση του σηµειου A (,, ) απο την ευθεια l : x = y, z = 0. Λυση. Η ευθεια l εχει παραµετρικες εξισωσεις x = t y = t z = 0. Εστω τυχον σηµειο M (t, t, 0) της ευθειας Το τετραγωνο της αποστασης απο το M στο A ειναι f (t) = ( t) + ( t) + ( 0) = t 4t + 3 Η συναρτηση f (t) ελαχιστοποιειται οταν f (t) = 0, δηλ. για t =. Οποτε το σηµειο M µε ελαχιστη αποσταση απο το A ειναι το (,, 0) και τοτε η ελαχιστη αποσταση των d (A, M) = f () = που ειναι η Ϲητουµενη αποσταση του σηµειου απο την ευθεια...3. Βρειτε το σηµειο τοµης της ευθειας x + = y 5 3 = z 7 µε το επιπεδο x + y + z = 0. Λυση. Το Ϲητουµενο προκυπτει απο την επιλυση του συστηµατος x + y 5 3 x + y + z = 0 το οποιο εχει λυση (x, y, z) = ( 3, 3, ) = y 5 3 = z 7

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Βρειτε το σηµειο στο οποιο η ευθεια x = y + 3 = z 6 τεµνει το επιπεδο xy. Λυση. Το επιπεδο xy εχει z = 0. Αρα το Ϲητουµενο σηµειο δινεται απο τις εξισωσεις x = y + 3 = 0 6 και ειναι (x, y, z) = (3, 3, 0) ειξτε οτι η ευθεια x = y = z ανηκει στο επιπεδο 3x 8y + z 8 = 0. Λυση. Λυνοντας τις εξ.(.33) ως προς x ϐρισκουµε (.33) y = 0 x 0 και z = 7 0 x ( ηλ. τυχον σηµειο της ευθειας εχει συντεταγµενες x, x, 7 x + ) Αντικαθιστωντας αυτα στην εξισωση του επιπεδου ϐλεπουµε οτι ( 3x 8 0 x ) ( x + 8 ) 8 5 ειναι ταυτοτικα ισο µε 0. ηλ. καθε σηµειο της ευθειας ικανοποιει την εξισωση του επιπεδου, αρα η ευθεια ανηκει στο επιπεδο Να ϐρεθει η γωνια της ευθειας x = z µε το επιπεδο z = 0 Λυση. Απο την (.) η Ϲητουµενη γωνια ικανοποιει sin θ = = y =

53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 48 δηλ. θ = π/6 (δες και το Σχ.5.7).? Σχ ειξτε οτι η ευθεια x = z ειναι παραλληλη στο επιπεδο x + y 5z = 0 3 Λυση. Αυτο προκυπτει αµεσα αφου..36. ειξτε οτι η ευθεια = y aa + bb + cc = ( 5) = 0. l : x 6 = y + 0 = z 3 4 ειναι καθετη στο επιπεδο E : 3x 5y + z + 4 = 0. Λυση. Αυτο προκυπτει αµεσα αφου a A = 6 3 =, b B = 0 5 =, c C = 4 = Αποδειξτε την.., δηλ. οτι η γωνια θ µεταξυ επιπεδου και ευθειας προσδιοριζεται απο την E : Ax + By + Cz + D = 0 l : x = x + t a, y = y + t b, z = z + t c. sin θ = aa + bb + cc a + b + c A + B + C. (.34) ειξτε οτι η συνθηκη παραλληλιας (.3) και καθετοτητας (.4) ειναι ειδικες περιπτωσεις της (.34).

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 49 Λυση. ειτε το Σχ.5.8.? Σχ.5.8 Το p = (A, B, C) ειναι το διανυσµα καθετο στο επιπεδο E. Αυτο σχηµατιζει γωνια φ µε την l και εχουµε θ + φ = π/. Αρα cos θ = sin φ και η (.34) προκυπτει απο την σχεση (.7) για την γωνια µεταξυ ευθειας και διανυσµατος. Για να ειναι l E ϑα πρεπει θ = 0 οποτε προκυπτει η συνθηκη παραλληλιας aa + bb + cc = 0. (.35) Για να ειναι l E ϑα πρεπει φ = 0 οποτε προκυπτει η συνθηκη καθετοτητας a A = b B = c C. (.36)..38. Γραψτε τις εξισωσεις της ευθειας l που διερχεται απο το (,, 3) και ειναι παραλληλη στα επιπεδα E : x 4y + z 3 = 0 και E : x + y 6z + 4 = 0. Λυση. Εστω οτι η ευθεια εχει εξισωσεις x a = y + b = z 3 c δηλ. ειναι παραλληλη στο διανυσµα p = (a, b, c). Αυτο το διανυσµα πρεπει να ειναι καθετο στα καθετα διανυσµατα των επιπεδων E και E, δηλ. στα ηλ. πρεπει να εχουµε p = (, 4, ) και p = (,, 6). a 4b + c = 0 a + b 6c = 0

55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 50 που εχει λυση a = 4 c, b = 3 8 c. Οποτε η l εχει εξισωσεις και παιρνοντας c = 8 x c/4 = y + 3c/8 = z 3 c x = y + 3 = z Να ϐρεθουν οι εξισωσεις της ευθειας που διερχεται απο το (,, ) και ειναι καθετη στο επιπεδο x + y z = 0. Λυση. Το διανυσµα p = (,, ) ειναι καθετο στο δοθεν επιπεδο και αρα παραλληλο στη Ϲητουµενη ευθεια. Οποτε η ευθεια εχει εξισωσεις x = y = z Γραψτε τις εξισωσεις της ευθειας που περναει απο το ( 6, 4, ) και ειναι καθετη στο επιπεδο 3x y + 5z + 8 = 0. Λυση. Η ευθεια εχει εξισωσεις x + 6 a = y 4 b = z c και µπορουµε να παρουµε το διανυσµα p = (a, b, c) ισο µε το καθετο διανυσµα του επιπεδου δηλ. p = (3,, 5). Οποτε τελικα η ευθεια εχει εξισωσεις l : x = y 4 = z Βρειτε τις εξισωσεις του επιπεδου που περιεχει τις ευθειες x 4 = y + Λυση. Λυνοντας το συστηµα = z 3 x 4 y + x 5 y + 4 και = y + = z 3 = y + 4 = z 3 x 5 = y + 4 = z 3. ϐρισκουµε οτι εχει µοναδικη λυση x =, y =, z =. Αρα οι δυο ευθειες τεµονται στο (,, ) το οποιο ανηκει στο Ϲητουµενο επιπεδο. Το δε επιπεδο ειναι παραλληλο στα διανυσµατα p = (4,, 3) και q = (5, 4, 3) οποτε εχει εξισωση x y + z = 3y 6x + 6z 3 = 0.

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 5.3 Αλυτες Ασκησεις.3.. Γραψτε τις εξισωσεις της ευθειας που διερχεται απο το (0,, ) και ειναι παραλληλη στο διανυσµα p = (, 3, 4). Σχεδιαστε την ευθεια. Απ. x = y = z Γραψτε τις εξισωσεις της ευθειας που διερχεται απο το (0, 0, 0) και ειναι παραλληλη στο διανυσµα p = (,, ). Σχεδιαστε την ευθεια. Απ. x = y = z Γραψτε τις εξισωσεις της ευθειας που διερχεται απο το (, 4, 3) και ειναι παραλληλη στην ευθεια που διερχεται απο τα (, 3, 4) και (,, 3). Σχεδιαστε τις ευθειες. Απ. x 3y + 4 = 0, y z = Βρειτε τις συµµετρικες και παραµετρικες εξισωσεις της ευθειας που διερχεται απο τα σηµεια (,, 3) και (4,, ). Σχεδιαστε την ευθεια. Απ. x+ = y = z Βρειτε τις συµµετρικες και παραµετρικες εξισωσεις της ευθειας που διερχεται απο τα σηµεια (4,, 3) και (4,, ). Σχεδιαστε την ευθεια. Απ. x 4 = y = z 3 η x = 4, y = t, z = 3 + 5t Βρειτε τις παραµετρικες εξισωσεις της ευθειας x ευθεια. Απ. x = + t, y = + 3t, z = 4 + 8t. = y = z Σχεδιαστε την.3.7. Βρειτε τις συµµετρικες εξισωσεις της ευθειας x = + 3t, y = 3t, z = 4 + 8t.Σχεδιαστε την ευθεια. Απ. x = y = z ινεται η ευθεια x y + t 6 = 0 x + 4y t 8 = 0. Να ϐρεθουν οι συµµετρικες και οι παραµετρικες εξισωσεις αυτης, καθως και το σηµειο αυτης το οποιο εχει συντεταγµενη z =. Σχεδιαστε τα επιπεδα και την ευθεια. Απ. x = t, y = 5t + 0 x 3/9, z = t και = y 0/9 = z Το σηµειο ειναι x = 0 3, y = 5 3, z = Βρειτε τις συµµετρικες και παραµετρικες εξισωσεις της ευθειας που περιγραφεται ως τοµη των επιπεδων x 3y + 3z 4 = 0 x + y z + 3 = 0. Σχεδιαστε τα επιπεδα και την ευθεια. Απ. x = 3t, y = 5t 0 x+/7, z = t και = y+0/7 5 = z 7.

57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Μπορειτε για την παραπανω ασκηση να ϐρειτε παραµετρικες εξισωσεις της ευ- ϑειας αλλες απο αυτες που δινονται στην απαντηση ; Αν ναι, πως το εξηγειτε ; Απ. Μια πιθανοτητα ειναι x = 3 5 t, y = t, z = 7 5 t ειξτε οτι τα (, 3, ), (5, 4, 4), (8,, 9) κεινται πανω σε µια ευθεια. Σχεδιαστε την ευθεια..3.. Βρειτε τις συντεταγµενες y, z του σηµειου που ανηκει στην x 3 = y + 4 = z και εχει x = 3. Σχεδιαστε την ευθεια. Απ. (3, 4/3, 5/3) ινεται η ευθεια x = y = z 3 3. Να ϐρεθει το σηµειο αυτης το οποιο εχει συντεταγµενη z = 6. Απ. x =, y = 4, z = 6. Σχεδιαστε την ευθεια ινεται η ευθεια x (t) = + t, y (t) = t, z (t) = + t. Να ϐρεθει το σηµειο αυτης το οποιο εχει συντεταγµενη z =. Σχεδιαστε την ευθεια. Απ. x = 3, y =, z = Βρειτε τις συντεταγµενες y, z του σηµειου που ανηκει στην και εχει z = 5. Σχεδιαστε την ευθεια. Απ. x = 7, y = 5, z = ειξτε οτι οι ευθειες x = 4 3t, y = + 4t, z = t 3 x + = y 5 3 = z 7 και x = y z 3 3 ειναι καθετες µεταξυ τους. Σχεδιαστε τις ευθειες ειξτε οτι οι ευθειες 7x 5 = 7y = z και x + 3 = y = z ειναι καθετες µεταξυ τους. Σχεδιαστε τις ευθειες.

58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ ειξτε οτι η ευθεια x 3y + 3z 4 = 0 x + y z + 3 = 0 ειναι καθετη στην ευθεια x = t, y = t, z = t. Σχεδιαστε τις ευθειες Γραψτε τις εξισωσεις δυο επιπεδων των οποιων η τοµη ειναι η ευθεια που περναει απο το (, 4, 3) και ειναι παραλληλη στο διανυσµα (3,, ) Σχεδιαστε την ευθεια και τα επιπεδα. Απ. x 3y + 4 = 0, y z = Εξεταστε αν οι ευθειες τεµνονται. Σχεδιαστε τις ευθειες. Απ. Ναι. x x 6 3 = y 7 = z 3 4 = y + = z Εξεταστε αν οι ευθειες ειναι παραλληλες. Σχεδιαστε τις ευθειες. Απ. Ναι..3.. Εξεταστε αν οι ευθειες x = y 3 = z + 4 x 7 6 = y = z 9 x = t, y = t + 3, z = t + και x = t +, y = 4t, z = t ειναι παραλληλες. Σχεδιαστε τις ευθειες. Απ. Ναι Εξεταστε αν οι ευθειες και τεµνονται. Σχεδιαστε τις ευθειες. Απ. Ναι. x + y + z + = 0 x + y + 3z = 0 x + 3y 4z = 0 4x + 6y = 0

59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Εξεταστε αν οι ευθειες x ειναι ασυµβατες. Σχεδιαστε τις ευθειες. Απ. Ναι Εξεταστε αν οι ευθειες και ειναι ασυµβατες. Σχεδιαστε τις ευθειες. Απ. Οχι. = y = z = z 4 x = y x + y 5z = 0 x y + 3z 9 = 0 x + y 3z + = 0 x y + z + 3 = Γραψτε τις εξισωσεις της ευθειας που διερχεται απο το (3,, 4) και ειναι καθετη στις ευθειες x 3 = y = z x και = y 4 3 = z. Σχεδιαστε τις ευθειες. Απ. x 3 = y+ = z Εξεταστε αν οι ευθειες x 4 = y + 3 = z και x 7 5 ειναι καθετες µεταξυ τους. Σχεδιαστε τις ευθειες. Απ. Ναι. = y 6 = z Για ποιες τιµες του κ ειναι οι ευθειες x + = y 3 = z 4 καθετες µεταξυ τους ; Σχεδιαστε τις ευθειες. Απ. κ =. και x 3 a = y 4 = z Βρειτε την γωνια µεταξυ των ευθειων x 6 = y + 3 = z 4 6 και x + 3 = y 3 6 = z + 4. Σχεδιαστε τις ευθειες. Απ. 79 o

60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Βρειτε την γωνια µεταξυ των ευθειων x + y + z 4 = 0 x 3y + z = 0 και Σχεδιαστε τις ευθειες. Απ. 49 o x 7 = y + 6 = z Βρειτε την γωνια µεταξυ των ευθειων Σχεδιαστε τις ευθειες. Απ. 8 o.3.3. Ειναι οι ευθειες l : x y + 3z 4 = 0, 3x + y z + 7 = 0 l : x + y z + 3 = 0, 4x y + 3z + 7 = 0. και x = 7 t + 5 7, y = 5 7 t 34 7, z = t x y z 7 = 0 3x 4y = 0 καθετες µεταξυ τους ; Απ. Ναι Γραψτε την εξισωση της ευθειας που περναει απο το (3,, 4) και ειναι καθετη στα διανυσµατα p = (3,, 4) και q = (, 3, ). Σχεδιαστε τις ευθειες. Απ. x = 8t + 3, y = 4t, z = 3t Γραψτε την εξισωση της ευθειας που περναει απο το (,, 3) και ειναι καθετη στα διανυσµατα p = (,, 3) και q = (,, 0). Σχεδιαστε τις ευθειες. Απ. x = t 4, y = t, z = t ειξτε οτι οι ευθειες και x y z + 8 = 0 5x + y + z + 0 = 0 x + y + z = 0 x + y 3z + 9 = 0 τεµνονται και ϐρειτε το σηµειο τοµης αυτων. Σχεδιαστε τις ευθειες. Απ. x = 3, y = 3, z =.

61 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ ειξτε οτι οι ευθειες x = y = z τεµνονται και ϐρειτε το σηµειο τοµης αυτων. Απ. x = 3, y =, z = Να ϐρεθει η αποσταση των ευθειων Σχεδιαστε τις ευθειες. και x 3 = y = z 3 Σχεδιαστε τις ευθειες. x = y = z και x = y = z Να ϐρεθει η αποσταση των ευθειων Σχεδιαστε τις ευθειες. Απ. 4/ 3. x 3 = y 5 4 = z 6 7 και x = y = z Να ϐρεθει η αποσταση της ευθειας x = y + = z απο τον αξονα των x. Σχεδιαστε την ευθεια. Απ. 3/ Να ϐρεθουν οι εξισωσεις της ευθειας η οποια διερχεται απο το ( 3, 5, 9) και τεµνει τις ευθειες x = y 5 3 Σχεδιαστε τις ευθειες. x Απ. = y 7 = z+3. = z + 3 και x = y = z Να ϐρεθουν οι εξισωσεις της ευθειας η οποια περναει απο το (, 3, ), σχη- µατιζει γωνια π/3 µε τον αξονα των z και γωνια π/4 µε τον αξονα των x. Σχεδιαστε τις ευθειες. Απ. (x ) = ± (x + 3) = (z + ) (δυο ευθειες) Να ϐρεθει η αποσταση της αρχης των αξονων απο την ευθεια Σχεδιαστε την ευθεια. Απ. 3. x 3 = y 4 = z Να ϐρεθει η αποσταση του σηµειου (,, ) απο την ευθεια. Σχεδιαστε το σηµειο και την ευθεια Απ. d =. x = y + 5 = z.

62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Βρειτε το σηµειο τοµης της ευθειας x + = y 5 3 = z 7 µε το επιπεδο x + y + z = 0. Σχεδιαστε το επιπεδο και την ευθεια. Απ. x = 3, y = 3 4, z = Βρειτε το σηµειο στο οποιο η ευθεια x = y + 3 = z 6 τεµνει το επιπεδο xy. Σχεδιαστε το επιπεδο και την ευθεια. Απ. (3, 3, 0) Βρειτε το σηµειο στο οποιο η ευθεια x = y 3 = z 5 τεµνει το επιπεδο 4x y + z 3 = 0.Σχεδιαστε το επιπεδο και την ευθεια. Απ. (,, 3) Να ϐρεθει η γωνια µεταξυ της ευθειας x + 3 = y 6 = z 3 6 και του επιπεδου x y + z 3. Σχεδιαστε το επιπεδο και την ευθεια. Απ. 6 o ειξτε οτι η ευθεια x 0 ανηκει στο επιπεδο 3x 8y + z 8 = 0. = y / = z 5 7 Σχεδιαστε το επιπεδο και την ευθεια ειξτε οτι η ευθεια x = y + = z 3 4 ανηκει στο επιπεδο x + 3y z + 0 = 0. Σχεδιαστε το επιπεδο και την ευθεια ειξτε οτι η ευθεια x = y + = z 3 4 ειναι παραλληλη στο επιπεδο 6x + 7y 5z 8 = 0. Σχεδιαστε το επιπεδο και την ευθεια ειξτε οτι η ευθεια x = y + 3 = z + 3 ειναι καθετη στο επιπεδο x 3y + z + 4 = 0. Σχεδιαστε το επιπεδο και την ευθεια.

63 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Γραψτε τις εξισωσεις της ευθειας που διερχεται απο το (,, 3) και ειναι πα- ϱαλληλη στα επιπεδα x 4y + z 3 = 0 και x + y 6z + 4 = 0. Σχεδιαστε τα επιπεδα και την ευθεια. Απ. x = y+ = z Γραψτε τις εξισωσεις της ευθειας που διερχεται απο το (, 4, ) και ειναι παραλληλη στα επιπεδα 6x + y + z + 3 = 0 και 3x 5y z = 0. Σχεδιαστε τα επιπεδα και την ευθεια. Απ. x = y 4 = z Γραψτε τις εξισωσεις της ευθειας που περναει απο το ( 6, 4, ) και ειναι καθετη στο επιπεδο 3x y + 5z + 8 = 0. Απ. x = 3t 33, y = t, z = t Γραψτε τις εξισωσεις της ευθειας που περναει απο το (, 0, 3) και ειναι καθετη στο επιπεδο x 3y + 6 = 0. Σχεδιαστε το επιπεδο και την ευθεια. Απ. x = t, y = t, z = Βρειτε τις εξισωσεις της ευθειας που διερχεται απο το σηµειο (, 3, 4) και ειναι καθετη στο επιπεδο x 3y + z = 4. Απ. x = y+3 = z Βρειτε τις εξισωσεις του επιπεδου που περιεχει τις ευθειες x 4 = y + = z 3 και x 5 = y + 4 = z 3. Σχεδιαστε το επιπεδο και τις ευθειες. Απ. x y z + = Να ϐρεθει η αποσταση της ευθειας x = y + = z 3 4 απο το επιπεδο 6x + 7y 5z 8 = 0. Σχεδιαστε το επιπεδο και την ευθεια. Απ Να ϐρεθει η αποσταση της ευθειας x + = y 5 3 = z 7 και του επιπεδου x + y + z = 0. Σχεδιαστε το επιπεδο και την ευθεια. Απ Βρειτε την εξισωση της ευθειας της οποιας καθε σηµειο ισαπεχει απο τα τρια σηµεια (3,, ), (4, 6, 5), (0, 0, 3). Σχεδιαστε τα σηµεια και την ευθεια. x Απ. = y+75/3 = z+9/

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Βρειτε τις εξισωσεις της ευθειας που περναει απο το (, 3, 4) και ειναι καθετη στις ευθειες Απ. x 3 = y+3 5 = z 4. x = y = z + 5 και x Ποια ειναι η σχετικη ϑεση των ευθειων = y + 4 = z. x = 3 + t, y = + t, z = 4t και x = 3 + t, y = + t, z = 4. Απ. Ειναι ασυµβατες Ποιος ειναι ο γεωµετρικος τοπος των σηµειων τα οποια ισαπεχουν απο τα (3,, 4), (5, 3, ) και (0, 4, ). Σχεδιαστε τον γεωµετρικο τοπο. Απ. Ειναι ευθεια µε εξισωσεις x 8/ = y = z+9/

65 Κεφάλαιο 3 ευτεροβαθµιες Επιφανειες στον Τρισδιαστατο Χωρο 3. Θεωρια 3... Οπως ειδαµε στο Κεφαλαιο, ενα επιπεδο µπορει να παρασταθει ως το συνολο των σηµειων (x, y, z) τα οποια ικανοποιουν την εξισωση Ax + By + Cz + D = Γενικευοντας το παραπανω, µια επιφανεια οριζεται να ειναι το συνολο των σηµειων (x, y, z) τα οποια ικανοποιουν µια εξισωση F (x, y, z) = c (3.) (οπου c µια σταθερα). Η (3.) λεγεται πεπλεγµενη αναπαρασταση της επιφανειας Π.χ. µια σφαιρα ειναι το συνολο των σηµειων τα οποια απεχουν σταθερη αποσταση R απο ενα δοθεν σηµειο (x 0, y 0, z 0 ). Αυτη η ιδιοτητα περιγραφεται απο την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο (x 0, y 0, z 0 ) και ακτινα R, η οποια ειναι (x x 0 ) + (y y 0 ) + (z z 0 ) = R (δηλ. σε αυτη την περιπτωση F (x, y, z) = (x x 0 ) + (y y 0 ) + (z z 0 ), c = R ) Στο παρον κεφαλαιο ϑα ασχοληθουµε µε τις δευτεροβαθµιες επιφανειες, δηλ. αυτες για τις οποιες οι F (x, y, z) εχει την µορφη A x + B y + C z + D xy + E yz + F zx + G x + H y + J z + K = 0 δηλ. ειναι πολυωνυµο το πολυ δευτερου ϐαθµου ως προς τις µεταβλητες x, y, z Καθε δευτεροβαθµια επιφανεια, µε καταλληλη µετατοπιση της αρχης των αξονων και αντιµεταθεση των µεταβλητων x, y, z µπορει να αναχθει σε µια απο τις εξης δυο ϐασικες µορφες Ax + By + Cz = D, (3.) Ax + By + Cz = 0. (3.3) 60

66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Αν η επιφανεια ειναι της µορφης (3.) µπορει να αναχθει περαιτερω σε µια απο τις παρακατω µορφες Επιφανεια Ελλειψοειδες Μονοχωνο Υπερβολοειδες ιχωνο Υπερβολοειδες Κωνος Ελλειπτικος Κυλινδρος x + y a b + z x + y a b z z y a b x x + z = y a b c x + y a b = x y a b = = c = c = c Υπερβολικος Κυλινδρος µε καταλληλη επιλογη των a, b, c (εξαρτωµενη απο τις τιµες των A, B, C, D) Αν η επιφανεια ειναι της µορφης (3.3) µπορει να αναχθει σε µια απο τις παρακατω µορφες Ελλειπτικο Παραβολοειδες Υπερβολικο Παραβολοειδες z = x a z = x a x + y a + y b y b Ελλειπτικος Κυλινδρος = b µε καταλληλη επιλογη των a, b (εξαρτωµενη απο τις τιµες των A, B, C) Μια ειδικη κατηγορια επιφανειων ειναι οι επιφανειες εκ περιστροφης. Εστω οτι στο επιπεδο yz δινεται µια καµπυλη C µε εξισωση z = f (y). Αν περιστρεψουµε την C γυρω απο τον αξονα των x, παιρνουµε µια επιφανεια S µε εξισωση x + z = (f (y)). (3.4) Αναλογες επιφανειες προκυπτουν απο την περιστροφη µιας καµπυλης του επιπεδου zx γυρω απο τον αξονα των y κτλ Ειδικες κατηγοριες των δευτεροβαθµιων επιφανειων προκυπτουν απο την περιστροφη καµπυλων ειναι οι εξης. Καµπυλη Αξονας Περιστροφης Επιφανεια Ελλειψοειδες Μονοχωνο Υπερβολοειδες y + z b y b y z b y b = Oy c z x = Oz c b y = Oy c b + z c + y b z c + x z x ιχωνο Υπερβολοειδες x Κωνος z = ay Oy + z = y a a Ελλειπτικος Κυλινδρος z = a Oy x + z = a Ελλειπτικο Παραβολοειδες y = z Oy y = x + z = c = c = c 3... Εκτος απο την πεπλεγµενη µορφη, µια επιφανεια µπορει επισης να παρασταθει σε παραµετρικη µορφη, απο τρεις εξισωσεις της µορφης x (u, v) = f (u, v), y (u, v) = g (u, v), z (u, v) = h (u, v) και ισοδυναµα σε διανυσµατικη µορφη r (u, v) = (f (u, v), g (u, v), h (u, v)). Οι µεταβλητες u, v ειναι οι παραµετροι, και παιρνουν τιµες σε καταλληλα συνολα.

67 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Το ελλειψοειδες εχει παραµετρικη εξισωση x a + y b + z c = οπου u [0, π] και v [0, π]. r (u, v) = (x 0 + a cos u cos v, y 0 + b sin u cos v, z 0 + c sin v) Η επιφανεια που περιγραφεται απο την διανυσµατικη εξισωση r (u, v) = r 0 + v (r (u) r 0 ) (3.5) λεγεται κωνικη επιφανεια µε κορυφη το σηµειο r 0 και οδηγο καµπυλη την r (u). Εαν η r (u) ειναι ενας κυκλος, τοτε η (3.5) δινει τον «κλασικο» κωνο Η επιφανεια που περιγραφεται απο την διανυσµατικη εξισωση r (u, v) = r (u) + v r λεγεται κυλινδρικη επιφανεια µε γενετειρα το διανυσµα r και οδηγο καµπυλη την r (u). Εαν η r (u) ειναι ενας κυκλος και το r παραλληλο σε ενα απο τους αξονες Ox, Oy, Oz τοτε η (3.5) δινει τον «κλασικο» κυλινδρο.

68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Λυµενες Ασκησεις 3... Γραψτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο (,, ) και ακτινα 4. Λυση. Ειναι (x ) + (y ) + (z ) = 4. ες και το Σχ.6.. Σχ Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο A (,, 3) και διερχοµενη απο το σηµειο B (, 3, 4). Λυση. Η Ϲητουµενη σφαιρα εχει ακτινα ιση µε την αποσταση d (A, B) = ( ) + (3 ) + (4 3) = 3. Οποτε η Ϲητουµενη εξισωση ϑα ειναι ειξτε οτι η επιφανεια µε εξισωση (x ) + (y ) + (z 3) = 3. x x + y 4y + z 6z + 3 = 0 ειναι µια σφαιρα. Λυση. Θα ϐρουµε την εξισωση µε συµπληρωση του τετραγωνου. Εχουµε x x + y 4y + z 6z + 3 = 0 x + x + + y y + + z 3 z = 0 Αρα η Ϲητουµενη σφαιρα εχει κεντρο (,, 3) και ακτινα. (x ) + (y ) + (z 3) =.

69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ ειξτε οτι η επιφανεια µε εξισωση x 4x + y y + z 4 = 0 ειναι µια σφαιρα. Λυση. Παροµοια µε την προηγουµενη ασκηση, µε συµπληρωση του τετραγωνου η εξισωση µπορει να ξαναγραφτει ως εξησ: που ειναι η εξισωση σφαιρας : 0 = x 4x + y y + z 4 = x x + + y y + + z 4 = (x ) + (y ) + z 3 µε κεντρο το (,, 0) και ακτινα 3. (x ) + (y ) + z = Βρειτε την εξισωση της σφαιρας µε κεντρο (,, 3) και εφαπτοµενης στον αξονα των x. Λυση. Η αποσταση τυχοντος σηµειου (x 0, y 0, z 0 ) απο τον αξονα των x ειναι d = y 0 + z0. ες και το Σχ.6.. Σχ.6. Οποτε η Ϲητουµενη σφαιρα ϑα εχει ακτινα R = + 3 = 3 και η εξισωση της ϑα ειναι (x ) + (y ) + (z 3) = 3.

70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Βρειτε την εξισωση της σφαιρας που εχει κεντρο το (3, 6, 4) και εφαπτεται στο επιπεδο E : x y z 0 = 0. Λυση. Η αποσταση απο το κεντρο ως το επιπεδο E ειναι d = = 4 Αρα η εξισωση της σφαιρας ειναι (x 3) + (y 6) + (z + 4) = Βρειτε την σφαιρα που διερχεται απο τα σηµεια (,, ), (, 0, ), (, 0, ) και (0,, ). Λυση. Αν η εξισωση τη σφαιρας εχει την µορφη x + y + z + Ax + By + Cz + D = 0 τοτε η συγκεκριµενη σφαιρα πρεπει να ικανοποιει δηλ A + B + C + D = A + B 0 + C + D = A + B 0 + C + D = A 0 + B + C + D = 0. A + B + C + D = 3 A + C + D = 8 A + C + D = B + C + D = που εχει λυση A =, B =, C = 5, D = 4. Αρα η Ϲητουµενη εξισωση ειναι x + y + z x y 5z + 4 = 0 x x + + y y + + z 5 z = 0 ( x ) ( + y ( + z ) ) 5 ( ) 3 =. ηλ. η Ϲητουµενη σφαιρα εχει κεντρο (/, /, 5/) και ακτινα 3/ Στο επιπεδο xy δινεται ο κυκλος µε κεντρο (5, 4, 0) και ακτινα 6. Να ϐρεθει η σφαιρα που διερχεται απο αυτο τον κυκλο και εφαπτεται στο επιπεδο E : 3x+y+6z = 0. Λυση. Ο δοθεις κυκλος ειναι τοµη της σφαιρας S : (x 5) + (y 4) + z = 6

71 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 66 και του επιπεδου z = 0. ες και το Σχ.6.3. Σχ.6.3 Καθε σφαιρα που διερχεται απο αυτο τον κυκλο ϑα εχει εξισωση S (κ) : x + y + z 0x 8y + 5 κz = 0 Πρεπει να ϐρουµε κ τετοιο ωστε η S (κ) να εφαπτεται στο E. ηλ. πρεπει το κεντρο της S (κ) να εχει αποσταση d απο το E ιση µε την ακτινα R (κ) της S (κ). Χρησιµοποιωντας τον τυπο για την αποσταση σηµειου απο επιπεδο και ϐρισκοντας την ακτινα της S (κ) µε συµπληρωση τετραγωνου παιρνουµε την εξισωση κ = η οποια ειναι ισοδυναµη µε την εξισωση ( ) + 3κ = κ κ 4 η οποια εχει δυο λυσεις : κ = 30 3 και κ = 6. Οποτε υπαρχουν δυο σφαιρες που ικανοποιουν τα Ϲητουµενα : 5 S : x + y + z 0x 8y z = 0 S : x + y + z 0x 8y z = 0 Τελικα, µε συµπληρωση του τετραγωνο ϐρισκουµε οτι οι σφαιρες αυτες ειναι ( S : (x 5) + (y 4) + z 60 ) ( ) 78 = 3 3 S : (x 5) + (y 4) + (z 8) = 0.

72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Βρειτε την εξισωση της σφαιρας που εφαπτεται στα επιπεδα E : x z 8 = 0, E : x z + 5 = 0 και εχει κεντρο επι της ευθειας l : x =, y = 0. Λυση. Το κεντρο της σφαιρας ϑα ϐρισκεται στο διχοτοµουν επιπεδο E 3 των E και E (δες Σχ.6.4) Σχ.6.4 Το E 3 εχει εξισωση E 3 : (x z 8) + (x z + 5) = 0 δηλ. E 3 : x z = 0 Αφου το κεντρο της σφαιρας ϐρισκεται επισης πανω στην l ϑα εχουµε x =, y = 0, z = ( ) = 3. Η ακτινα της σφαιρας ϑα ειναι η αποσταση του (, 0, 3) απο το επιπεδο E : d = ( ) ( ) ( 3) = 4 5 Οποτε η σφαιρα ϑα εχει εξισωση (x + ) + y + (z + 3) = Σχεδιαστε και περιγραψτε το ελλειψοειδες x a + y b + z c =

73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 68 Λυση. Η γραφικη παρασταση του ελλειψοειδους δινεται στο Σχ.6.5. Σχ.6.5 Παρατηρουµε οτι καθε επιπεδο z = c [ c, c] (παραλληλο στο επιπεδο xy ) τεµνει το ελλειψοειδες κατα µια ελλειψη. Πραγµατι επι της τοµης ϑα εχουµε x a + y b = c c που ειναι η εξισωση ελλειψης. Το ιδιο ισχυει και για τοµες απο επιπεδα παραλληλα ειτε στο επιπ. yz ειτε στο zx Εξηγειστε γιατι η σφαιρα (µε κεντρο (0, 0, 0) και ακτινα R) ειναι µια ειδικη περιπτωση ελλειψοειδους, µε a = b = c = R. Λυση. Πραγµατι, αν στην εξισωση του ελλειψοειδους ϑεσουµε a = b = c = R παιρνουµε x R + y R + z R = x + y + z = R Αναγνωριστε την επιφανεια x 6 + y 9 + z 4 = Λυση. Η επιφανεια ειναι ελλειψοειδες µε a = 4, b = 3, c = ειξτε οτι η επιφανεια ειναι ενα ελλειψοειδες. x + 3y + z 8x + 6y 4z 3 = 0

74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 69 Λυση. Χρησιµοποιουµε και παλι συµπληρωση τετραγωνου. x + 3y + z 8x + 6y 4z 3 = 0 (x x + ) + 3 (y + y + ) + ( z z + ) = 0 (x ) + 3 (y + ) + (z ) = (x ) (y + ) (z ) ( ) = 3 που αναγνωριζεται ως εξισωση ελλειψοειδους µε κεντρο το (,, ) και a = 6, b =, c = 3. ες και το σχηµα 6.6, οπου ϕαινεται η µετατοπιση του κεντρου του ελλειψοειδους. Σχ Σχεδιαστε και περιγραψτε το µονοχωνο υπερβολοειδες x a + y b z c =.

75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 70 Λυση. Η γραφικη παρασταση του µονοχωνου υπερβολοειδους δινεται στο Σχ.6.7. Σχ.6.7 Παρατηρουµε οτι καθε επιπεδο z = c R (παραλληλο στο επιπεδο xy ) τεµνει το µονοχωνο υπερβολοειδες κατα µια ελλειψη. Πραγµατι επι της τοµης ϑα εχουµε x a + y b = + c c που ειναι η εξισωση ελλειψης. Καθε επιπεδο x = a R (παραλληλο στο επιπεδο yz ) τεµνει το µονοχωνο υπερβολοειδες κατα µια υπερβολη. Πραγµατι επι της τοµης ϑα εχουµε y b z c = a a που ειναι η εξισωση υπερβολης. Το ιδιο ισχυει και για τοµες απο επιπεδα παραλληλα στο επιπεδο zx Αναγνωριστε την επιφανεια x 4 + y 4 z 9 = Λυση. Αυτη αναγνωριζεται ως µονοχωνο υπερβολοειδες µε a =, b =, c = Σχεδιαστε και αναγνωριστε την επιφανεια x 4 y 4 + z 9 = (3.6)

76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 7 Λυση. Η γραφικη παρασταση της (3.6) δινεται στο Σχ. Σχ.6.8. Σχ.6.8 Βλεπουµε οτι ειναι µονοχωνο υπερβολοειδες, αλλα ο κυριος αξονας του ειναι ο Oy και οχι ο Oz (οπως ηταν π.χ. στο Σχ. 6.7). Με αλλα λογια εγινε αντιµεταθεση των µεταβλητων y, z (και αντιστοιχα των αξονων Oy και Oz). Αυτος ο µετασχηµατισµος µπορει να εφαρµοστει και σε πολλες αλλες δευτεροποβαθµιες επιφανειες, οπως ϑα δουµε παρακατω Αναγνωριστε την επιφανεια 4 x x + y 6y 9 z Λυση. Με συµπληρωση τετραγωνου η (3.7) µετασχηµατιζεται στην = 0. (3.7) (x ) 4 + (y 3) z 9 = που αναγνωριζεται ως εξισωση µονοχωνου υπερβολοειδους, µε κεντρο (, 3, 0) και a =, b =, c = Σχεδιαστε και περιγραψτε το διχωνο υπερβολοειδες x a y b z c = Λυση. Η γραφικη παρασταση δινεται στο Σχ.6.8. Παρατηρουµε οτι οι τοµες του διχωνου υπερβολοειδους απο επιπεδα παραλληλα στο xy και στο zx ειναι υπερβολες, ενω οι τοµες απο επιπεδα παραλληλα στο yz ειναι ελλειψεις.

77 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Αναγνωριστε την επιφανεια (x ) (y + ) (z ) + = 3 Λυση. Εινα διχωνο υπερβολοειδες µε αντιµεταθεση των αξονων 0x και 0z και το κεντρο µετατοπισµενο στο (,, ). ειτε και το Σχ Αναγνωριστε την επιφανεια Σχ x 9 x y z 8 9 = 0. Λυση. Με συµπληρωση τετραγωνων η εξισωση της επιφανειας γινεται (x ) δηλ. αυτη ειναι διχωνο υπερβολοειδες Αναγνωριστε την επιφανεια 3 y z = 4 x + y 9 z + 9 z 9 = 0 Λυση. Με συµπληρωση τετραγωνων η εξισωση της επιφανειας γινεται y x 4 δηλ. αυτη ειναι διχωνο υπερβολοειδες. (z ) 9 =

78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Σχεδιαστε και περιγραψτε τον ελλειπτικο κωνο x a + y b = z c. (3.8) Λυση. Η γραφικη παρασταση δινεται στο Σχ.6.0. Παρατηρουµε οτι οι τοµες του κωνου υπερβολοειδους απο επιπεδα παραλληλα στο xy ειναι ελλειψεις, επειδη για z = c η (3.8) γινεται x + y = c a b. Οι τοµες απο επιπεδα παραλληλα στο yz ειναι υπερβολες, c επειδη για y = b η (3.8) γινεται x z = b a c b (παροµοια και για τις τοµες απο επιπεδα παραλληλα στο zx) Αναγνωριστε την επιφανεια Λυση. Η (3.9) µπορει να ξαναγραφει ως Σχ.6.0 y + 4z x = 0 (3.9) y + z = x που αναγνωριζεται ως εξισωση ελλειπτικου κωνου µε αντιµεταθεση των αξονων Ox και Oz Αναγνωριστε την επιφανεια x x + y 4y z z + 4 = 0 Λυση. Με συµπληρωση των τετραγωνων η εξισωση ξαναγραφεται ως (x ) + (y ) (z + ) = 0 και αναγνωριζεται ως ελλειπτικος κωνος µε a = b = c = και την κορυφη του κωνου µετατοπισµενη στο (,, ).

79 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Σχεδιαστε και περιγραψτε τον ελλειπτικο κυλινδρο Λυση. Η γραφικη παρασταση δινεται στο Σχ.6.. x a + y =. (3.0) b Σχ.6. Προσεξτε οτι η (3.0) ειναι η εξισωση µιας επιφανειας στον χωρο και δεν πρεπει να συγχεεται µε την ιδια εξισωση στο επιπεδο (η οποια περιγραφει µια ελλειψη). Με αλλα λογια, ο ελλειπτικος κυλινδρος ειναι το συνολο των σηµειων (x, y, z) (µια επιφανεια) που ικανοποιουν την (3.0). Αν το σηµειο (x, y, 0) ανηκει στην επιφανεια το ιδιο ισχυει και για καθε σηµειο (x, y, z). Αυτο συµβανει επειδη η συντεταγµενη z δεν εµφανιζεται στην (3.0). Οι τοµες του υπερβολικου κυλινδρου απο επιπεδα παραλληλα στο xy ειναι ελλειψεις Σχεδιαστε και αναγνωριστε την επιφανεια 4x + 9z = 36. Λυση. Η εξισωση γραφεται ως x 3 + z = και αναγνωριζεται ως ελλειπτικος κυλινδρος µε αντιµεταθεση των αξονων Oy και Oz

80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 75 εναλαγµενους. ες και το Σχ.6.. Σχ Σχεδιαστε και περιγραψτε τον υπερβολικο κυλινδρο x a y b = Λυση. Η γραφικη παρασταση δινεται στο Σχ.6.3. Οι τοµες απο επιπεδα παραλληλα στο xy ειναι υπερβολες. Σχ.6.3

81 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Σχεδιαστε και αναγνωριστε την επιφανεια 4 x x 9 z + 3 z 7 4 = 0 Λυση. Με συµπληρωση των τετραγωνων, η εξισωση µπορει να ξαναγραφει ως (x ) και αναγνωριζεται ως υπερβολικος κυλινδρος. (z 3) 3 = Σχεδιαστε και περιγραψτε το ελλειπτικο παραβολοειδες z = x a + y b Λυση. Η γραφικη παρασταση δινεται στο Σχ.6.4. Σχ.6.4 Οι τοµες απο επιπεδα z = c ειναι ελλειψεις. Οι τοµες απο επιπεδα x = a και y = b ειναι παραβολες Αναγνωριστε την επιφανεια Λυση. Η εξισωση µπορει να ξαναγραφει 4x + 9y = 36z z = x 3 + y που αναγνωριζεται ως εξισωση ελλειπτικου παραβολοειδους.

82 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Αναγνωριστε την επιφανεια x 6 y + 8 y 9 z 9 z 5 44 = 0 Λυση. Με συµπληρωση του τετραγωνου ϐρισκουµε οτι η εξισωση ειναι ισοδυναµη µε την (y ) (z + ) x = δηλ. η επιφανεια ειναι ενα ελλειπτικο παραβολοειδες µε κορυφη στο (0,, ) Αναγνωριστε την επιφανεια 4 x + x + y 6y z Λυση. Με συµπληρωση τετραγωνων η εξισωση της επιφανειας ξαναγραφεται ως εξης z = 4 (x + ) + (y 3) και αναγνωριζουµε οτι ειναι ελλειπτικο παραβολοειδες Σχεδιαστε και περιγραψτε το υπερβολικο παραβολοειδες z = x a y b Λυση. Η γραφικη παρασταση δινεται στο Σχ.6.5. Σχ.6.5 Οι τοµες απο επιπεδα z = c ειναι υπερβολες. Οι τοµες απο επιπεδα x = a και y = b ειναι παραβολες.

83 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Αναγνωριστε την επιφανεια 9x 4y = 36z Λυση. Η εξισωση µπορει να ξανγραφτει ως z = x y 3 που αναγνωριζεται ως εξισωση υπερβολικου παραβολοειδους Βρειτε την εξισωση του παραβολοειδους µε κορυφη το (0, 0, 0), αξονα τον Oy, και διερχοµενο απο τα σηµεια (,, ) και (,, 3). Λυση. Αφου η κορυφη ειναι το (0, 0, 0) και αξονας συµµετριας ο αξονας των Oy, ηεξισωση του παραβολοειδους ϑα ειναι y = Ax + Cz. Για να διερχεται δε το παραβολοειδες απο τα (,, ) και (,, 3) ϑα πρεπει να ισχυει = A + C = A + C 3 που εχει λυση A = 8, C = 3. ηλ. η Ϲητουµενη εξισωση ειναι 5 5 και το παραβολοειδες ειναι ελλειπτικο. y = 8 5 x 3 5 z Σχεδιαστε και περιγραψτε τον παραβολικο κυλινδρο y = x a Λυση. Η γραφικη παρασταση δινεται στο Σχ.6.6. Σχ.6.6

84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 79 Οι τοµες απο επιπεδα z = c ειναι παραβολες Βρειτε τον γεωµετρικο τοπο των σηµειων M για τα οποια AM A ειναι (,, ) και το B ειναι (3, 3, 3). Λυση. Εστω τυχον M (x, y, z). Αυτο ϑα πρεπει να ικανοποιει (x + ) + (y ) + (z + ) = (x 3) + (y + 3) + (z 3) 3 BM = 3, οπου το σηµειο 9 ((x + ) + (y ) + (z + ) ) = 4 ((x 3) + (y + 3) + (z 3) ) 5x + 60x + 5y 60y + 5z + 60z = 0 5 ((x + 6) + (y 6) + (z + 6) 08 ) = 0. (Στο τελευταιο ϐηµα χρησιµοποιησαµε συµπληρωση του τετραγωνου). Οποτε ο Ϲητουµενος γεωµετρικος τοπος ειναι σφαιρα µε κεντρο το ( 6, 6, 6) και ακτινα Βρειτε τον γεωµετρικο τοπο των σηµειων των οποιων η αποσταση απο τον αξονα των y ειναι τριπλασια απο την αποσταση απο τον αξονα των z. Λυση. Θυµιζουµε οτι η αποσταση σηµειου (x, y, z) απο τον αξονα των y ειναι x + z και απο τον αξονα των z ειναι x + y Οποτε τα δεδοµενα του προβληµατος εκφραζονται απο την εξισωση x + z = 3 x + y 8x + 9y z = 0 που αναγνωριζεται ως εξισωση ελλειπτικου κωνου Βρειτε τον γεωµετρικο τοπο των σηµειων που το τετραγωνο της αποστασης τους απο τον αξονα των y ειναι τετραπλασιο απο την αποσταση απο το επιπεδο xz. Λυση. Θυµιζουµε οτι η αποσταση σηµειου (x, y, z) απο τον αξονα των y ειναι x + z, απο δε το επιπεδο xz ειναι, ϕυσικα, y. Αρα τα δεδοµενα του προβληµατος εκφραζονται απο την εξισωση 4y = x + z δηλ. y = x + z που αναγνωριζεται ως εξισωση ελλειπτικου παραβολοειδους Βρειτε τον γεωµετρικο τοπο των σηµειων M για τα οποια AM + BM = 8, οπου το σηµειο A ειναι (, 3, 4) και το B ειναι (, 3, 4). Λυση. Εστω τυχον M (x, y, z). Αυτο ϑα πρεπει να ικανοποιει (x ) + (y 3) + (z 4) + (x ) + (y + 3) + (z 4) = 8

85 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 80 δηλ. (x ) + (y 3) + (z 4) = 8 (x ) + (y + 3) + (z 4) 3y + 6 = 4 (x ) + (y + 3) + (z 4) 9y + 96y + 56 = 6 ((x ) + (y + 3) + (z 4) ) 6x + 7y + 6z 64x 8z + 08 = 0 (x ) 7 + y (z 4) = που αναγνωριζεται ως εξισωση ελλειψοειδους µε κεντρο το (, 0, 4) Βρειτε τον γεωµετρικο τοπο των σηµειων M για τα οποια η αποσταση απο το σηµειο (,, 3) ειναι δυο ϕορες η αποσταση απο τον αξονα των x. Λυση. Θα ειναι (x ) + (y + ) + (z 3) = y + z που µπορει να γραφτει και ως x 4x 3y + y 3z 6z + 4 = 0 (x ) 3 (y /3) 3 (z + ) = 40 3 (y /3) (z + ) 40 9 (x ) 40 3 = και αναγνωριζεται ως εξισωση µονοχωνου υπερβολοειδους µε κεντρο το (/3,, ) Βρειτε τον γεωµετρικο τοπο των σηµειων M για τα οποια AM BM = 6, οπου το σηµειο A ειναι ( 4, 3, ) και το B ειναι (4, 3, ). Λυση. Θα πρεπει να εχουµε ( ) ( (x + 4) + (y 3) + (z ) = 6 + 4x 9 = 3 (x 4) + (y 3) + (z ) ) (x 4) + (y 3) + (z ) 6x 7x + 8 = 9 ((x 4) + (y 3) + (z ) ) 7x 9y 9z + 54y + 8z = 53 x 9 (y 3) 7 (z ) 7 = που αναγνωριζουµε ως εξισωση διχωνου υπερβολοειδους Βρειτε την εξισωση της επιφανειας που δηµιουργειται απο την περιστροφη της ελλειψης x + 4z = 6 (η οποια κειται στο επιπεδο xz) γυρω απο τον Ox.

86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 8 Λυση. ειτε το Σχ.6.7. Σχ.6.7 Εστω M τυχον σηµειο της επιφανειας και MB καθετο στο επιπεδο xy. Τοτε το τριγωνο ABM ειναι ορθογωνιο και AB = y, BM = z, AP = y + z. Επισης, απο την εξισωση της ελλειψης, x = 6 4AP = 6 4 (y + z ) δηλ. x + 4y + 4z = 6 (3.) δηλ. η επιφανεια ειναι ενα ελλειψοειδες. Φυσικα η εξισωση (3.) ειναι ακριβως αυτη που ϑα περναµε και µε εφαρµογη της (3.4) Βρειτε την εξισωση της επιφανειας που δηµιουργειται απο την περιστροφη της υπερβολης x z = 6 (η οποια κειται στο επιπεδο xz) γυρω απο τον Oz.

87 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 8 Λυση. ειτε το Σχ.8. Σχ.6.8 Εστω M (x, 0, z) τυχον σηµειο της υπερβολης και M (0, 0, z) η προβολη του M στον Oz. Καθως το M περιστρεφεται γυρω απο τον Oz, η εικονα του ειναι ενας κυκλος. Εστω M (x, y, z) τυχον σηµειο του κυκλου. Θα εχουµε x = x + y και στην περιστραµµενη υπερβολη x z = 6 x + y z = 6. (3.) ηλ. η επιφανεια ειναι ενα µονοχωνο υπερβολοειδες. Φυσικα η εξισωση (3.) ειναι ακριβως αυτη που ϑα περναµε και µε εφαρµογη της (3.4) Βρειτε την εξισωση της επιφανειας που δηµιουργειται απο την περιστροφη της ευθειας x + 3y = 6 (η οποια κειται στο επιπεδο xy) γυρω απο τον Oy.

88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 83 Λυση. ειτε το Σχ.6.9. Σχ.6.9 Η εξισωση της επιφανειας προκυπτει αντικαθιστωντας το x στην εξισωση της ελλειψης µε το x + z οποτε η επιφανεια εχει εξισωση x + y = 3 ( y) 4 (x + z ) = 9 ( y) που ειναι ενας κωνος µε κορυφη στο (0,, 0) ειξτε οτι η επιφανεια µε παραµετρικες εξισωσεις ειναι η σφαιρα r (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) (3.3) = (R cos u cos v, R sin u cos v, R sin v), 0 u π, 0 v π. x + y + z = R. (3.4) Κατοπιν ϐρειτε µια διαφορετικη παραµετρικη εξισωση της ιδιας σφαιρας. Λυση. Αυτο µπορει να δειχτει µε απαλοιφη των u, v απο την (3.3). Εχουµε } x = R cos u cos v x + y = R (cos u cos v + sin u cos v ) = R cos v y = R sin u cos v και µαζι µε την z = sin v παιρνουµε Μια διαφορετικη παραµετροποιηση ειναι η x + y + z = R cos v + R sin v = R. r (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) (3.5) = (R sin u sin v, R cos v, R sin u cos v), 0 u π, 0 v π η οποια επισης δινει x + y + z = R (οπως µπορει να αποδεχτει µε απαλοιφη των u, v).

89 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Βρειτε µια παραµετροποιηση της σφαιρας (x x 0 ) + (y y 0 ) + (z z 0 ) = R. Λυση. Μια δυνατη παραµετροποιηση ειναι r (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) (3.6) = (x 0 + R cos u cos v, y 0 + R sin u cos v, z 0 + R sin v), 0 u π, 0 v π. Πραγµατι, απο την (3.6) παιρνουµε x x 0 = R cos u cos v y y 0 = R sin u cos v z z 0 = R sin v και απο τις παραπανω, οπως και στην προηγουµενη ασκηση, παιρνουµε (x x 0 ) + (y y 0 ) + (z z 0 ) = R Βρειτε µια παραµετροποιηση του ηµισφαιριου (x x 0 ) + (y y 0 ) + (z z 0 ) = R, z 0. Λυση. Μια δυνατη παραµετροποιηση ειναι η r (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) (3.7) = (x 0 + R cos u cos v, y 0 + R sin u cos v, z 0 + R sin v), 0 u π, 0 v π/. Η µονη διαφορα απο την (3.6) ειναι οτι v [0, π/] αντι του [0, π] Βρειτε µια παραµετροποιηση του ελλειψοειδους (x x 0 ) a + (y y 0) b + (z z 0) Λυση. Μια δυνατη παραµετροποιηση ειναι c = R. r (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) (3.8) = (x 0 + a cos u cos v, y 0 + b sin u cos v, z 0 + c sin v), 0 u π, 0 v π. οπως µπορει να ελεγχθει µε απαλοιφη των u, v απο την (3.8) Ποια επιφανεια περιγραφουν οι παραµετρικες εξισωσεις ( r (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) = a + u sin v, a ) + u cos v, cu, (3.9) u R, v [0, π]. Λυση. Εχουµε x a + y a = a ( + u ) (sin v + cos v ) = + u = + z a c αρα η (3.9) ειναι η παραµετρικη εξισωση ενος µονοχωνου υπερβολοειδους.

90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Ποια επιφανεια περιγραφουν οι παραµετρικες εξισωσεις δηλ. Λυση. Εχουµε r (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) (3.0) = (sinh u cos v, a sinh u sin v, c cosh u), u R, v [0, π]. x a + y a z c = a ( cos v + sin v ) a = sinh u cosh u = c x a y a = που ειναι η εξισωση ενος διχωνου υπερβολοειδους. z sinh u c cosh u c Γραψτε τις παραµετρικες εξισωσεις του παραβολοειδους z = x + y. a b Λυση. Θελουµε να εκφρασουµε τα x, y, z ως συναρτησεις x (u, v), y (u, v) τετοιες ωστε Μια προφανης επιλογη ειναι z = x (u, v) a + y (u, v) b. x (u, v) = a u cos v, y (u, v) = b u sin v, z (u, v) = u Ποια επιφανεια περιγραφει η r (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) = (av cos u, bv sin u, v), u [0, π]. (3.) Λυση. Εχουµε x a + y b = v (cos u + sin u ) = z οποτε η (3.) ειναι η εξισωση ενος ελλειπτικου κωνου Βρειτε µια παραµετροποιηση του ελλειπτικου κυλινδρου x a + y b =. Λυση. Θελουµε να εκφρασουµε τα x, y, z ως συµαρτησεις x (u, v), y (u, v) τετοιες ωστε x (u, v) a + y (u, v) b = και το πεδιο τιµων της z (u, v) να ειναι ολο το R. Μια προφανης επιλογη ειναι x (u, v) = a cos u, y (u, v) = b sin u, z (u, v) = v.

91 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ ειξτε οτι η παραµετρικη εξισωση r (u, v) = (v + v cos u, v sin u, 5 v) (3.) περιγραφει µια κωνικη επιφανεια µε κορυφη το σηµειο (0, 0, 5) και οδηγο καµπυλη τον κυκλο (3 + 4 cos u, 4 sin u, 0), δηλ. τον κυκλο που ανηκει στο xy επιπεδο, εχει κεντρο το (, 0) και ακτινα. Λυση. Η (3.) µπορει να ξαναγραφει ως εξησ: µε r (u, v) = (0, 0, 5) + v (( + cos u, sin u, 0) (0, 0, )) = r 0 + v (r (u) r 0 ) (3.3) Το Σχ.6.9 απεικονιζει την (3.3). r 0 = (0, 0, 5), r (u) = ( + cos u, sin u, 0). Σχ.6.9 Το r (u) = (4 + 4 cos u, 4 sin u, 0) ειναι η παραµετρικη εξισωση του κυκλου στο επιπεδο xy µε ακτινα και κεντρο το (3, 0, 0). Το δε r (u) r 0 ειναι ο ιδιος κυκλος µετατοπισµενος κατα r 0 = (0, 0, ), δηλ. ανυψωµενος στο επιπεδο z =. Τωρα, η επιφανεια της (3.3) κατασκευαζεται προσθετοντας στο σταθερο διανυσµα r 0 = (0, 0, ) διανυσµατα συγγραµικα µε το r (u) r 0. Με αλλα λογια, η επιφανεια αποτελειται απο ευθειες οι οποιες περνουν απο το σταθερο σηµειο (0, 0, ) (κορυφη) και τα σηµεια του κυκλου (γενετειρα). Ετσι δηµιουργειται ενας «κεκλιµενος» κωνος, ενα παραδειγµα κωνικης επιφανειας Γραψτε τον «ορθο» κωνο της (3.) στην µορφη r 0 + v (r (u) r 0 ) Λυση. Η εξισωση του κωνου ειναι (av cos u, bv sin u, v) = (0, 0, 0) + v (a cos u, b sin u, ).

92 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 87 ηλ. r 0 = (0, 0, 0), r (u) = (a cos u, b sin u, ), µια ελλειψη στο επιπεδο z =. Πραγµατι, ο κωνος του Σχ.6.0 Σχ.6.0 δηµιουργειται απο τις ευθειες οι οποιες οριζονται απο την κορυφη (0, 0, 0) και τα σηµεια της γενετειρας ελλειψης Γραψτε τις παραµετρικες εξισωσεις του ελλειπτικου κυλινδρου x + y = στην a b µορφη r (u, v) = r (u) + v r (3.4) Λυση. Αν ϑεσουµε η (3.4) γινεται οι οποιες ικανοποιουν r (u) = (a cos u, b sin u, 0), r = (0, 0, ) r (u, v) = (a cos u, b sin u, 0) + v (0, 0, ) = (a cos u, b sin u, v) x (u, v) = a cos u, y (u, v) = b sin u, z (u, v) = v x a + y = και z R. b Με αλλα λογια, ο κυλινδρος σχηµατιζεται ϕερνοντας απο καθε σηµειο της ελλειψης

Thanasis Kehagias, 2009

Thanasis Kehagias, 2009 Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός.

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. 1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. ( Καρτεσιανή ) επιλέχθηκε για το σχήµα. Ο αριθµός a δεν επιρρεάζει

Διαβάστε περισσότερα

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3

x 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 008-9 ΛΥΣΕΙΣ = 1 (Ι) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα 6 40 1 0 A 4 1 1 1 (ΙΙ) Εστω b 1, b, b 3 στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 1 x 1 + 4x + x 3 = b x 1 + x + x

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

[A I 3 ] [I 3 A 1 ].

[A I 3 ] [I 3 A 1 ]. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Η Έννοια του Διανύσματος

1.1 Η Έννοια του Διανύσματος ΙΝΥΣΜΤΙΚΟΟΙΣΜΟΣ 11 Η Έννοια του ιανύσματος ΜΘΗΣΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να κατανοήσει τις έννοιες : διάνυσµα, µηδενικό διάνυσµα, φορέας-διεύθυνση, κατεύθυνση - φορά, µέτρο διανύσµατος, ϖαραλληλία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1)

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1. Γενικά Επειδή οι επιφάνειες δευτέρου βαθµού συναντώνται συχνά στη µελέτη των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών θεωρούµε σκόπιµο να τις περιγράψουµε στην αρχή του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.8

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.8 Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 9, υ..8 Περιεχόµενα Εισαγωγη Πινακες. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα............................. 7. Αλυτα Προβληµατα..............................

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή Κεφάλαιο 4 Ευκλείδιοι Χώροι 4 Ευκλείδιοι Χώροι Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή των σηµείων στο επίπεδο και διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών για την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 15 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. Εστω n 3 ακέραιος.

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/44 1. Ορισµοί 2. Είδη διανυσµάτων 3. Πράξεις διανυσµάτων 4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 8 Παραβολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Παραβολή είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από µια σταθερή ευθεία (δ) που λέγεται διευθετούσα της παραβολής και από

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

(Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/2004) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις:

(Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/2004) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις: 1 η Εργασία 004-005 (Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/004) Άσκηση 1 (7 µονάδες) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις: (α) A+ B C µε A + B C (β) A+ B AB

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ» 1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 : Γραµµική εξίσωση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006

1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 9 Νοεµβρίου 6. α. Να βρεθεί η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων a = i + j k και b = 6 i j + k. β. Να δείξετε ότι τα διανύσµατα a, b, c είναι ορθογώνια και µοναδιαία. a = ( i

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2ο κεφάλαιο: Ευθείες Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή.

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή. Στροφορµή Έστω ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ και έστω ένα σηµείο Ο. Ορίζουµε στροφορµή του υλικού σηµείου ως προς το Ο, το εξωτερικό γινόµενο: L= r p= m r υ Όπου r η απόσταση του υλικού σηµείου

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ=(6,1,5) πάνω στην ευθεία ε: x ={3,1,2}+λ{1,2,1},, και η απόστασή του από αυτήν.

4. Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ=(6,1,5) πάνω στην ευθεία ε: x ={3,1,2}+λ{1,2,1},, και η απόστασή του από αυτήν. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙI Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 009-00 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο V Ι. Δίνονται οι ευθείες δ: x ={,0,0}+λ{,,}, ε: x -x + x -=0, x -x =. Να εξετάσετε αν οι ευθείες δ, ε είναι ασύμβατες. Αν ναι, βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

v Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β

v Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o α Α Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β Μονάδες 4 Β Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρεθούν τα αναλλοίωτα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρεθούν τα αναλλοίωτα ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΙΙ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 011-1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ V 1. ίνεται η οµοπαραλληλία f: E E, που ορίζεται από το σύστηµα x1 = ax+, x = ax, a R. Να εξεταστεί για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι

Διαβάστε περισσότερα

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την οποία σε κάθε στοιχείο χ ενός συνόλου Α αντιστοιχούµε ακριβώς ένα στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισµού ( ή σύνολο ορισµού ) της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

, ορίζουμε deta = ad bc. Πρόταση Ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε και μόνο αν deta 0.

, ορίζουμε deta = ad bc. Πρόταση Ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε και μόνο αν deta 0. Για κάθε πίνακα Α ορίζουμε μία τιμή που λέγεται ορίζουσα και συμβολίζεται deta ή Α Ο ορισμός γίνεται επαγωγικά για = 2, 3, 4, και ισχύουν τα εξής: a b Για 22 πίνακα Α = c d, ορίζουμε deta = ad bc a 1 b

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανό Σύστηµα y. y A. x A

Καρτεσιανό Σύστηµα y. y A. x A Στη γενική περίπτωση µπορούµε να ορίσουµε άπειρα συστήµατα συντεταγ- µένων τα οποία να µας επιτρέπουν να προσδιορίσουµε τη θέση ενός σηµείου. Στη Φυσική χρησιµοποιούνται αρκετά. Τα βασικά από αυτά θα εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα