ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ"

Transcript

1 ΚΕΦΛΙΟ 2 o Τ ΣΙΚ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ Πρωταρχικές έννοιες Όπως τα αντιλαμβανόμαστε : Σημείο, Ευθεία, Επίπεδο. ξιώματα προτάσεις που τις αποδεχόμαστε χωρίς απόδειξη. αξίωμα: πό δυο διαφορετικά σημεία του επιπέδου διέρχεται μοναδική ευθεία. αξίωμα: Κάθε επίπεδο περιέχει τουλάχιστον τρία μη συνευθειακά σημεία. αξίωμα: Κάθε ευθεία έχει άπειρα σημεία και εκτείνεται απεριόριστα και προς τις δύο κατευθύνσεις χωρίς διακοπές και κενά. Ευθύγραμμα τμήματα ευθύγραμμο τμήμα με άκρα,. μηδενικό ευθύγραμμο τμήμα είναι ένα τμήμα της μορφής (ίδια άκρα), δηλαδή ένα σημείο. Δύο διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα είναι ευθύγραμμα τμήματα τα οποία έχουν κοινό ένα άκρο και κανένα άλλο σημείο. Σχήμα 1 Διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα Σύγκριση ευθυγράμμων τμημάτων Για να συγκρίνουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα μετατοπίζουμε το ένα κατάλληλα ώστε το ένα άκρο του να ταυτιστεί με το άκρο του άλλου ευθυγράμμου τμήματος. Γ Δ Γ = Δ Γ = Δ Άρα το ΓΔ είναι μικρότερο του. Σχήμα 2 Σύγκριση ευθυγράμμων τμημάτων Ίσα ευθύγραμμα τμήματα λέγονται εκείνα που με κατάλληλη μετατόπιση ταυτίζονται και συμβολίζουμε : =ΓΔ. Σελίδα 1 από 34

2 αξίωμα : Κάθε επίπεδο σχήμα μπορεί να μετατοπισθεί μέσα στο επίπεδο από την αρχική του θέση σε οποιαδήποτε άλλη θέση και να παραμείνει αναλλοίωτο ως προς τη μορφή και το μέγεθος (Ομόλογα σχήματα). Κάθε σημείο μίας ευθείας χχ χωρίζει την ευθεία σε δύο μέρη το χ και το χ, τα οποία λέγονται ημιευθείες. Η ευθεία χχ, η οποία περιέχει τις δύο ημιευθείες λέγεται φορέας τους. Οι ημιευθείες αυτές που έχουν τον ίδιο φορέα και κοινό σημείο μόνο την αρχή τους λέγονται αντικείμενες. αξίωμα : Για κάθε ευθύγραμμο τμήμα και κάθε ημιευθεία Γχ υπάρχει σημείο Δ εσωτερικό της ημιευθείας ώστε ΓΔ=. Μέσο : χωρίζει το ευθύγραμμο τμήμα σε δυο ίσα μέρη. αξίωμα : Κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει μοναδικό μέσο. Έτσι το μέσο Μ του ευθυγράμμου τμήματος έχει την ιδιότητα : Μ=Μ. Πράξεις ευθυγράμμων τμημάτων Άθροισμα: των ευθυγράμμων τμημάτων και ΓΔ είναι το ευθύγραμμο τμήμα που προκύπτει, αν τα μετατοπίσουμε ώστε να γίνουν διαδοχικά και να έχουν τον ίδιο φορέα. Γ Δ Γ Δ Σχήμα 3 Πρόσθεση ευθυγράμμων τμημάτων Διαφορά: ν <ΓΔ τότε υπάρχει εσωτερικό σημείο Ε του ΓΔ, ώστε ΕΓ=. Το ευθύγραμμο τμήμα ΕΔ λέγεται διαφορά του από το ΓΔ. Γ Δ Γ Ε Δ Σχήμα 4 Διαφορά ευθυγράμμων τμημάτων Γινόμενο αριθμού ν με τμήμα λέγεται ένα νέο τμήμα που προκύπτει ως άθροισμα ν ευθυγράμμων τμημάτων. Μήκος ή μέτρο ενός ευθυγράμμου τμήματος λέγεται ο αριθμός που δείχνει πόσες φορές μεγαλύτερο ή μικρότερο είναι αυτό από τη μονάδα Σελίδα 2 από 34

3 μήκους, δηλαδή το ευθύγραμμο τμήμα με το οποίο συγκρίνουμε όλα τα υπόλοιπα. Το μήκος του το συμβολίζουμε με (). Οπότε : Το άθροισμα δύο ευθυγράμμων τμημάτων έχει μήκος το άθροισμα των μηκών τους : (+ΓΔ) = () + (ΓΔ). Η διαφορά δύο ευθυγράμμων τμημάτων έχει μήκος τη διαφορά των μηκών τους : (-ΓΔ) = () (ΓΔ). Το γινόμενο ενός αριθμού κ με ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει μήκος κ φορές το μήκος του : (κ ) = κ (). Παρατηρήσεις για τις ασκήσεις (Ευθύγραμμα τμήματα) ΓΕΝΙΚΟ ΣΧΟΛΙΟ : Προσπαθούμε να καταλάβουμε και να λάβουμε υπόψη μας ΟΛΕΣ τις λέξεις με τις οποίες διατυπώνεται μία άσκηση. Κάθε λέξη μας δίνει και ένα επιπλέον στοιχείο για την επίλυση της άσκησης. Όποτε είναι εφικτό προσπαθούμε να μεταφράζουμε τα δεδομένα μας σε ΛΓΕΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. 1) ν ζητηθεί να αποδείξετε ισότητα ευθυγράμμων τμημάτων πρέπει να εκφράσετε το ένα σε σχέση με το άλλο (συνήθως το μεγαλύτερο) 2) ν στην ισότητα υπάρχουν παραπάνω από δυο ευθύγραμμα τμήματα κάνω πράξεις μεταξύ τους. οηθάει να τα σπάω σε όσο το δυνατόν μικρότερα τμήματα και κάνω πράξεις. 3) ν έχω μέσο Μ ενός τμήματος δεν ξεχνάω να αντικαταστήσω το ένα από τα δυο ευθύγραμμα τμήματα (Μ ή Μ) με το άλλο. Ειδικά αν έχω απομακρυσμένα ευθύγραμμα τμήματα και δεν μπορώ να τα προσθέσω. Μ 4) Προσοχή : Στην περίπτωση που έχω συνευθειακά σημεία,, Γ και δεν αναφέρεται η σειρά, παίρνω ΟΛΕΣ τις δυνατές διαφορετικές περιπτώσεις : πχ ημιευθεία με αρχή το σημείο περιέχει τα σημεία και Γ. Γ Γ Γωνίες Τρόποι συμβολισμού γωνίας Γωνία x O y: Η κορυφή Ο σημειώνεται στο μέσο Γωνία ω : Συμβολισμός με μικρό γράμμα. Γωνία O : Συμβολισμός με την κορυφή. Γωνία Γ ˆ : η κορυφή της γωνίας και, Γ σημεία στις πλευρές της. Σελίδα 3 από 34

4 Είδη γωνιών Ορθή λέμε την γωνία που οι πλευρές της τέμνονται κάθετα (=90 o ). Οξεία λέμε την γωνία που είναι μικρότερη από την ορθή (<90 o ). μβλεία λέμε την γωνία που είναι μεγαλύτερη από την ορθή (>90 o ). Ευθεία λέμε την γωνία που οι πλευρές της είναι αντικείμενες ημιευθείες. Μηδενική λέμε την γωνία που οι πλευρές της ταυτίζονται. Πλήρη λέμε την γωνία που καλύπτει όλο το επίπεδο. Εφεξής λέμε τις γωνίες που έχουν κοινή κορυφή και μια πλευρά κοινή. Άθροισμα δύο εφεξής γωνιών λέγεται η γωνία που έχει πλευρές τη μη κοινή πλευρά των δύο αυτών γωνιών. Γινόμενο μίας γωνίας ω με έναν αριθμό κ ονομάζεται το άθροισμα κ διαδοχικών γωνιών ίσων με την ω. Συμπληρωματικές λέμε τις γωνίες που έχουν άθροισμα 90 o (η συμπληρωματική μιας γωνίας ω είναι η 90 o -ω ). Παραπληρωματικές λέμε τις γωνίες που έχουν άθροισμα 180 o (η παραπληρωματική μιας γωνίας ω είναι η 180 -ω ). Διχοτόμος είναι μια ημιευθεία που χωρίζει την γωνία σε δυο μικρότερες ίσες γωνίες. ξίωμα : Κάθε γωνία έχει μοναδική διχοτόμο. Θεώρημα : Σε κάθε σημείο μίας ευθείας άγεται μοναδική κάθετη σε αυτήν. πόσταση σημείου από ευθεία είναι το μήκος του μοναδικού κάθετου ευθυγράμμου τμήματος από το σημείο στην ευθεία. Μεσοκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος λέγεται η ευθεία που είναι κάθετη στο και διέρχεται από το μέσον του. Θεωρήματα γωνιών Θεώρημα : Δύο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες έχουν τις μη κοινές πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες και αντίστροφα. Θεώρημα : Οι διχοτόμοι δυο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών, τέμνονται κάθετα. Θεώρημα : Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες Θεώρημα : Η προέκταση της διχοτόμου μιας γωνίας, είναι διχοτόμος της κατακορυφήν της. Παρατηρήσεις για τις ασκήσεις (Γωνίες) Σελίδα 4 από 34

5 1) ν ζητηθεί να αποδείξετε ισότητα μεταξύ γωνιών πρέπει να εκφράσετε τη μια σε σχέση με την άλλη (συνήθως τη μεγαλύτερη). 2) ν στην ισότητα υπάρχουν παραπάνω από δυο γωνίες κάνω πράξεις μεταξύ τους. οηθάει να τα σπάω σε όσο το δυνατόν μικρότερες γωνίες και κάνω πράξεις. 3) Προσοχή αν έχω διχοτόμο Οδ μιας γωνίας Ο δεν ξεχνάω να αντικαταστήσω τη μια από τις Οδ, Οδ με την άλλη. Κύκλος - Γωνίες και τόξα Κύκλος (Ο, ρ): λέγεται το επίπεδο σχήμα του οποίου όλα τα σημεία απέχουν από το Ο απόσταση ίση με την ακτίνα. ρ: ακτίνα, Ο: κέντρο Γεωμετρικός τόπος: λέγεται το σύνολο των σημείων του επιπέδου που έχουν μια χαρακτηριστική ιδιότητα. Πχ. Για όλα τα σημεία του κύκλου που ισαπέχουν από το κέντρο ισχύει ΟΜ = ρ. Στοιχεία του κύκλου Τόξο: ονομάζεται κάθε τμήμα πάνω στον κύκλο που ορίζεται από δυο σημεία. Χορδή: ονομάζεται κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει τα άκρα του πάνω στον κύκλο. πόστημα ως προς μια χορδή λέγεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα πάνω σ αυτή από το κέντρο του κύκλου Διάμετρος: ονομάζεται η χορδή που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου ντιδιαμετρικά σημεία: ονομάζονται τα άκρα μιας διαμέτρου. Εσωτερικό σημείο: λέγεται κάθε σημείο για το οποίο ισχύει ΟΜ>ρ Εξωτερικό σημείο: λέγεται κάθε σημείο για το οποίο ισχύει ΟΜ<ρ Σημείο πάνω στον κύκλο: λέγεται κάθε σημείο για το οποίο ισχύει ΟΜ=ρ. Ίσοι κύκλοι: ονομάζονται οι κύκλοι που έχουν ίσες ακτίνες Επίκεντρη γωνία: λέγεται κάθε γωνία που έχει σαν κορυφή της το κέντρο του κύκλου. Θεώρημα : Δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, αν και μόνο αν οι επίκεντρες γωνίες που βαίνουν σε αυτά είναι ίσες. Τα τόξα άνισων κύκλων δεν είναι συγκρίσιμα (με τη μέθοδο της μετατόπισης). Θεώρημα : Το μέσο ενός τόξου είναι μοναδικό. Σελίδα 5 από 34

6 ΚΕΦΛΙΟ 3 0 ΤΡΙΓΩΝ ασικά στοιχεία Κριτήρια ισότητας τριγώνων. Κύρια στοιχεία τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες. Είδη τριγώνων (Ως προς τις πλευρές) Σκαληνό λέγεται εκείνο που έχει όλες τις πλευρές του άνισες. Ισοσκελές λέγεται ένα τρίγωνο, το οποίο έχει τις δύο πλευρές του ίσες. Ισόπλευρο λέγεται ένα τρίγωνο, το οποίο έχει όλες τις πλευρές του ίσες μεταξύ τους. Παρατήρηση : Όταν σε μία άσκηση δεν μας ζητούν συγκεκριμένο τύπο τριγώνου, τότε σχεδιάζουμε ένα σκαληνό τρίγωνο. (Ως προς τις γωνίες ) Οξυγώνιο λέγεται ένα τρίγωνο το οποίο έχει όλες του τις γωνίες οξείες. Ορθογώνιο λέγεται ένα τρίγωνο το οποίο έχει μία ορθή γωνία. Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία λέγεται υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου. μβλυγώνιο λέγεται ένα τρίγωνο που έχει μία γωνία αμβλεία. Δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Διάμεσος ενός τριγώνου ονομάζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή ενός τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Μ Γ Σχήμα 5 : Η διακεκομμένη γραμμή είναι η διάμεσος του τριγώνου που αντιστοιχεί στην κορυφή και στην πλευρά Γ. Διχοτόμος μίας γωνίας ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που χωρίζει τη γωνία σε δυο ίσα μέρη. Σελίδα 6 από 34

7 Γ Σχήμα 6 : Η διακεκομμένη γραμμή είναι η διχοτόμος της γωνίας και την χωρίζει σε δύο ίσα μέρη. Ύψος ενός τριγώνου ονομάζεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που φέρνουμε από μια κορυφή ενός τριγώνου στην απέναντι πλευρά. Γ Σχήμα 7 : Η διακεκομμένη γραμμή είναι το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή και την πλευρά Γ του τριγώνου. Παρατήρηση : Είναι εμφανές ότι κάθε τρίγωνο διαθέτει τρεις διαμέσους, τρεις διχοτόμους και τρία ύψη. Άλλα στοιχεία του τριγώνου Περίμετρος ενός τριγώνου (ή ευθυγράμμου σχήματος γενικότερα) καλείται το άθροισμα των πλευρών του. Κυρτό σχήμα ονομάζεται εκείνο του οποίου καθεμία από τις πλευρές του το αφήνουν στο ίδιο ημιεπίπεδο. Ισότητα τριγώνων Δυο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τις πλευρές και τις γωνίες τους ίσες μια προς μια (αντίστοιχες ή ομόλογες πλευρές / γωνίες). Παρατήρηση : Σε ίσα τρίγωνα ισχύει ότι απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα. ΚΡΙΤΗΡΙ ΙΣΟΤΗΤΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ έβαια καταλαβαίνουμε ότι για να μπορέσουμε να διαπιστώσουμε αν δύο τρίγωνα είναι ίσα δεν μπορούμε πάντα να μετακινούμε το ένα πάνω στο άλλο και να τα συγκρίνουμε, αλλά και η διαδικασία της μέτρησης και σύγκρισης όλων των πλευρών και των γωνιών είναι ιδιαίτερα κοπιαστική. Γι αυτόν το λόγο για να συγκρίνουμε με λιγότερο κόπο δύο τρίγωνα θα χρησιμοποιήσουμε μεθόδους οι οποίες μας επιτρέπουν να αποφανθούμε αν δύο τρίγωνα είναι ίσα με λιγότερο κόπο. Τέτοιες μέθοδοι καλούνται κριτήρια ισότητας τριγώνων (και προφανώς Σελίδα 7 από 34

8 παρόμοια κριτήρια και μέθοδοι υπάρχουν και σε άλλα αντικείμενα στις επιστήμες ). Συνεπώς, η χρήση ενός κριτηρίου μας ωθεί να αποδείξουμε γρηγορότερα την ισχύ μίας ιδιότητας και στη συγκεκριμένη περίπτωση τα κριτήρια ισότητας τριγώνων μας βοηθούν στο να αποδείξουμε την ισότητα δύο τριγώνων. 1ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (ΠΓΠ) Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν δυο πλευρές ίσες μια προς μια και τις περιεχόμενες σ αυτές γωνίες ίσες. Γ Γ Σχήμα 8 : Εδώ έχουμε τις γωνίες =Ά και τις πλευρές : =Ά και Γ = ΆΓ. 2ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (ΓΠΓ) Δυο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν μια πλευρά ίση και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μια προς μια. Γ Γ Σχήμα 9 : Εδώ έχουμε τις γωνίες : =Ά, Γ=Γ, οι οποίες «πρόσκεινται» στις ίσες πλευρές : Γ = ΆΓ. 3ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (ΠΠΠ) Δυο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τρεις πλευρές ίσες μία προς μία. Γ Γ Σχήμα 10 : Εδώ έχουμε ίσες και τις τρεις πλευρές : Γ = Γ, = Ά και Γ = Ά Γ. Σελίδα 8 από 34

9 ΚΡΙΤΗΡΙ ΙΣΟΤΗΤΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Θεώρημα (μοναδικότητας καθέτου από σημείο σε ευθεία) πό ένα σημείο το οποίο δεν ανήκει σε δεδομένη ευθεία άγεται μοναδική κάθετος προς αυτήν την ευθεία. Εφαρμόζοντας τις ιδιότητες και τα κριτήρια ισότητας τριγώνων στην ειδική περίπτωση του ορθογωνίου τριγώνου έχουμε τα εξής κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. 1 ο Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων (υποτείνουσα + οξεία) Δυο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν την υποτείνουσα και μια οξεία γωνία ίσες μια προς μια. 2 ο Κριτήριο ισότητας ορθογ. τριγώνων (υποτείνουσα + κάθετη ) Δυο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν την υποτείνουσα και μια κάθετη πλευρά ίσες μια προς μια. Πρώτες εφαρμογές ισότητας τριγώνων. Θα δούμε στη συνέχεια ότι η χρήση της σύγκρισης των τριγώνων είναι βασική διαδικασία στη γεωμετρία, με την οποία επιτυγχάνουμε την απόδειξη της ισότητας, όχι μόνον τριγώνων, αλλά και ευθυγράμμων τμημάτων και γωνιών ή ακόμα και άλλων ευθυγράμμων σχημάτων. Παρατήρηση : Η βασική ιδέα για τη χρήση της σύγκρισης των τριγώνων σε όλες αυτές τις περιπτώσεις είναι να εντοπίσουμε κατάλληλα τρίγωνα (τα οποία μας φαίνονται τουλάχιστον ίσα) που περιέχουν τα προς σύγκριση στοιχεία. Παρακάτω βλέπουμε δύο παραδείγματα τέτοιας χρήσης. Θεώρημα Δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες ανν (αν και μόνο αν) τα αποστήματα τους είναι ίσα. Θεώρημα Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα κάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμου. Παρατηρήσεις για τις ασκήσεις (Ισότητα τριγώνων) 1) Για να αποδείξουμε ότι δυο πλευρές ή ότι δυο γωνίες είναι ίσες βρίσκουμε δυο τρίγωνα που τις περιέχουν και αποδεικνύουμε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. Στη συνέχεια βγάζουμε το ζητούμενο αφού ξέρουμε ότι σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες. 2) Προσοχή όταν έχω σαν δεδομένο ότι δυο τρίγωνα είναι ίσα, ξέρω ότι όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες είναι ίσες μια προς μια και το σημειώνω στο σχήμα μου. Σελίδα 9 από 34

10 3) Όταν δίνεται η διάμεσος ενός τριγώνου, συχνά εξυπηρετεί να προεκτείνουμε αυτήν κατά τμήμα ίσο με αυτήν, οπότε δημιουργούνται δύο ίσα τρίγωνα Γεωμετρικοί τόποι. Γεωμετρικός τόπος ονομάζεται ένα σύνολο σημείων (του επιπέδου), τα οποία έχουν μία κοινή ιδιότητα και δεν υπάρχουν άλλα εκτός από αυτά με αυτήν την ιδιότητα. Κύκλος ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου, τα οποία έχουν την ιδιότητα να απέχουν σταθερή δεδομένη απόσταση ρ(ακτίνα του κύκλου) από ένα σταθερό δοσμένο σημείο (κέντρο του κύκλου). Μεσοκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος. Διχοτόμος μίας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου, τα οποία ισαπέχουν από τις πλευρές της. Νοηματική σύλληψη ενός γεωμετρικού τόπου Για να μπορέσουμε να κατανοήσουμε την ιδέα του γεωμετρικού τόπου και να προσδιορίσουμε τη μορφή αυτού μία μέθοδος σκέψης είναι η εξής : Σκεφτόμαστε τον εαυτό μας σαν ένα σημείο του επιπέδου και προσπαθούμε να κινηθούμε σε αυτό το επίπεδο, δεχόμενοι τους κανόνες (δηλαδή την ιδιότητα) που μας δίνουν. υτή η κίνησή μας στο επίπεδο θα μας δώσει ένα ή περισσότερα σημεία στο επίπεδο. Η συλλογή αυτών των σημείων είναι ακριβώς και ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος. Παράδειγμα ( η μεσοκάθετος). Χαρακτηριστική ιδιότητα : τα σημεία που ισαπέχουν από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος. Φανταζόμαστε, λοιπόν, ότι κινούμαστε πάνω στο επίπεδο με τον παραπάνω κανόνα. Που θα μπορούσαμε να πάμε (βλ. σχήμα); Σελίδα 10 από 34

11 «επιτρεπτά» σημεία «μη επιτρεπτά» σημεία Σχήμα 11: Εδώ για το ευθύγραμμο τμήμα η μεσοκάθετος είναι η διάστικτη ευθεία. Οι μεγάλες τελείες είναι μη επιτρεπτά σημεία «κίνησης», σύμφωνα με τους κανόνες που μας έχουν δοθεί. Παρατηρήσεις για τις ασκήσεις (γεωμετρικοί τόποι) Για να προσδιορίσουμε και να αποδείξουμε ότι ένα σχήμα είναι ο γ.τ. των σημείων με μία συγκεκριμένη ιδιότητα εργαζόμαστε στα εξής βήματα : 1) Θεωρούμε ένα σημείο Μ του ζητούμενου γ.τ. και με βάση την ιδιότητα, η οποία μας δίνεται προσδιορίζουμε το σχήμα στο οποίο βρίσκεται. 2) ποδεικνύουμε ότι κάθε σημείο με τη συγκεκριμένη ιδιότητα ανήκει στο σχήμα αυτό και 3) Κάθε σημείο του σχήματος αυτού έχει τη συγκεκριμένη ιδιότητα νισοτικές σχέσεις. Θεώρημα Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου. Θεώρημα Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα. Θεώρημα Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους. Τριγωνική ανισότητα i) β-γ < α <β + γ ii) β-α < γ <β + α iii) α-γ < β <α + γ α γ β Σελίδα 11 από 34

12 Παρατήρηση : Πρακτικά το πρώτο μέρος της τριγωνικής ιδιότητας μας λέει ότι ο συντομότερος τρόπος για να μεταβώ από ένα σημείο σε ένα άλλο είναι η ευθεία και όχι η τεθλασμένη δια μέσω άλλου σημείου δηλαδή. Επίσης, κάθε τριάδα αριθμών αποτελούν μήκη πλευρών τριγώνου αν και μόνο αν ικανοποιούν μία από τις παραπάνω μορφές της τριγωνικής ανισότητας. Θεώρημα ν δύο πλάγια τμήματα είναι ίσα, τότε τα ίχνη τους ισαπέχουν από το ίχνος της καθέτου και αντίστροφα. Θεώρημα ν από ένα σημείο εκτός ευθείας φέρουμε το κάθετο τμήμα και δύο πλάγια τμήματα προς αυτήν, τότε το κάθετο τμήμα είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο. κόμα, αν δύο πλάγια τμήματα είναι άνισα, τότε και οι αποστάσεις των ιχνών τους από το ίχνος της καθέτου είναι ομοίως άνισες και αντίστροφα. Παρατηρήσεις για τις ασκήσεις (ανισοτικές σχέσεις) 1) Προσδιορίζουμε αν δεδομένα ευθύγραμμα τμήματα μπορούν να σχηματίσουν τρίγωνο, ελέγχοντας αν τα μήκη τους ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα για κάθε πλευρά. 2) Σε κάθε περίπτωση αν μας ζητηθεί να αποδείξουμε μία ανίσωση με ευθύγραμμα τμήματα, προσπαθούμε το μικρότερο μέλος της ανίσωσης να το δούμε ως το ένα μέλος της τριγωνικής ανισότητας. 3) ν τρία σημεία Κ, Λ, Μ του επιπέδου δεν είναι συνευθειακά, τότε σχηματίζεται τρίγωνο και άρα θα ισχύει η τριγωνική ανισότητα για κάθε πλευρά αυτού του τριγώνου. 4) Για να αποδείξουμε ότι δύο ευθύγραμμα τμήματα είναι ίσα, αρκεί να δείξουμε ότι είναι πλευρές τριγώνου με άνισες τις απέναντι γωνίες. 5) Κάθε ύψος ενός τριγώνου είναι μικρότερο από τις προσκείμενες πλευρές του τριγώνου (διότι είναι κάθετο τμήμα στην άλλη πλευρά) Εφαρμογές στον κύκλο. Σχετικές θέσεις ευθείας κύκλου Θεωρούμε κύκλο (Ο,ρ) (Ο: κέντρο του κύκλου, ρ : ακτίνα του κύκλου), τότε : 1) ν Ο > ρ (η απόσταση της ευθείας από το κέντρο του κύκλου είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα) τότε η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. Σελίδα 12 από 34

13 Ο ρ Σχήμα 12 : Η διακεκομμένη γραμμή είναι η απόσταση της ευθείας από το κέντρο Ο του κύκλου και μεγαλύτερη από την ακτίνα του. 2) ν Ο = ρ (η απόσταση της ευθείας από το κέντρο του κύκλου είναι ίση με την ακτίνα) τότε η ευθεία και ο κύκλος έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο (σημείο επαφής). ρ Ο Σχήμα 13 : Η διακεκομμένη γραμμή είναι η απόσταση της ευθείας από το κέντρο Ο του κύκλου και είναι ίση με την ακτίνα του. 3) ν Ο < ρ (η απόσταση της ευθείας από το κέντρο του κύκλου είναι μικρότερη από την ακτίνα) τότε η ευθεία και ο κύκλος έχουν δυο κοινά σημεία. ρ Σχήμα 14 : Η διακεκομμένη γραμμή είναι η απόσταση της ευθείας από το κέντρο του κύκλου και είναι μικρότερη της ακτίνας του κύκλου. πό τα παραπάνω έχουμε ότι : Θεώρημα : Μία ευθεία και ένας κύκλος έχουν το πολύ δύο σημεία. Ο Θεώρημα : Τα εφαπτόμενα ευθύγραμμα τμήματα που άγονται από σημείο εκτός του κύκλου είναι ίσα =Γ Πόρισμα : Η διακεντρική ευθεία ενός σημείου και ενός κύκλου είναι μεσοκάθετος της χορδής του κύκλου με άκρα τα σημεία επαφής με τα εφαπτόμενα τμήματα. Πόρισμα : Η διακεντρκή ευθεία ενός σημείου και ενός κύκλου είναι διχοτόμος της γωνίας των εφαπτόμενων τμημάτων. Σελίδα 13 από 34

14 Σχετικές θέσεις δυο κύκλων Διάκεντρος (δ) ή διακεντρική ευθεία ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που έχει για άκρα του τα κέντρα δυο κύκλων. Οι κύκλοι τέμνονται τότε R ρ < δ < R + ρ. Οι κύκλοι δεν τέμνονται : α) εσωτερικός ο ένας κύκλος στον άλλο δ < R ρ. β) εξωτερικός ο ένας κύκλος στον άλλο δ > R + ρ. Οι κύκλοι εφάπτονται : α) εσωτερικά δ = R ρ. β) εξωτερικά δ = R + ρ. Θεώρημα : Η διάκεντρος δυο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής τους. Κ Λ Κ Λ Κ Λ Κ Λ Κ Λ Σχήμα 15 : Οι δυνατές διαδοχικές θέσεις δύο κύκλων καθώς η διακεντρική ευθεία ΚΛ μεγαλώνει. Παρατηρήσεις για τις ασκήσεις (Σχετικές θέσεις ευθείας κύκλου, Σχετικές θέσεις δυο κύκλων) 1) Για να αποδείξουμε ότι μια ευθεία εφάπτεται σε ένα σημείο ενός κύκλου προσπαθούμε να δείξουμε ότι η ακτίνα σε αυτό το σημείο είναι κάθετη στην ευθεία. 2) Η διάκεντρος δύο εφαπτόμενων κύκλων είναι ίση με το άθροισμα των ακτίνων τους. 3) Όταν έχουμε δύο κύκλους συχνά εξυπηρετεί να φέρουμε την κοινή εφαπτομένη τους ή την κοινή χορδή τους. Σελίδα 14 από 34

15 ΚΕΦΛΙΟ 4 0 ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ Τέμνουσα δύο ευθειών Ευκλείδειο αίτημα Σχετικές θέσεις ευθειών ταυτίζονται τέμνονται είναι παράλληλες (δεν τέμνονται) Τέμνουσα δύο ευθειών ς θεωρήσουμε δύο ευθείες ε 1 και ε 2, τον επιπέδου, οι οποίες τέμνονται από τρίτη ευθεία ε 3. Παρατηρούμε ότι σχηματίζονται οκτώ γωνίες. Οι γωνίες γ, δ, ε, ζ που βρίσκονται μεταξύ των ε 1, ε 2 λέγονται εντός ενώ οι γωνίες α, β, η, θ λέγονται εκτός. Δύο γωνίες που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της τέμνουσας ε 3 λέγονται επί τα αυτά μέρη ενώ δύο γωνίες που βρίσκονται εκατέρωθεν της ε 3 λέγονται εναλλάξ. Έτσι, με συνδυασμό και των δύο χαρακτηρισμών, οι γωνίες ε και γ λέγονται εντός εναλλάξ, οι γωνίες ε και α λέγονται εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη ενώ οι γωνίες ε και δ λέγονται εντός και επί τα αυτά μέρη. (ε 3 ) (ε 1 ) β α γ δ ζ ε (ε 2 ) η θ Σχήμα 16 : Οι ευθείες ε1 και ε2 τέμνονται και η ε3 είναι μία τέμνουσα αυτών. Θεώρημα : (κριτήριο παραλληλίας) ν δυο ευθείες τεμνόμενες από μια τρίτη σχηματίζουν δυο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες τότε είναι παράλληλες. Πόρισμα : ν δυο ευθείες τεμνόμενες από μια τρίτη σχηματίζουν τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες. Σελίδα 15 από 34

16 Πόρισμα : ν δυο ευθείες τεμνόμενες από μια τρίτη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές, τότε είναι παράλληλες. Ευκλείδειο αίτημα Το ευκλείδειο αίτημα είναι ένα από τα αξιώματα που έθεσε ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» του και είναι αυτό που καθόρισε τη μορφή της επίπεδης γεωμετρίας. Η αντικατάστασή του από άλλα αξιώματα οδήγησε στην ανάπτυξη άλλων γεωμετριών, οι οποίες έχουν επίσης πολλές εφαρμογές ( πχ σφαιρική γεωμετρία στην ναυτιλία ). ίτημα παραλληλίας πό σημείο εκτός ευθείας άγεται μοναδική παράλληλη προς αυτήν την ευθεία. Ιδιότητες παραλλήλων ευθειών Οι ιδιότητες ενός σχήματος ή μίας κατάστασης είναι τα συμπεράσματα που προκύπτουν από τη γνώση ύπαρξης της κατάστασης αυτής. Παρακάτω αναφέρουμε τις ιδιότητες που προκύπτουν από τη σχέση παραλληλίας ευθειών. Πρόταση : Δύο παράλληλες ευθείες, οι οποίες τέμνονται από τρίτη σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. Πόρισμα : Δύο παράλληλες ευθείες, οι οποίες τέμνονται από τρίτη σχηματίζουν τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες και τις εντός και επί τα αυτά μέρη παραπληρωματικές. Πρόταση (μεταβατική ιδιότητα) : ν δυο ευθείες είναι παράλληλες σε μια τρίτη τότε είναι παράλληλες και μεταξύ τους. ε 1 //ε 3 και ε 2 //ε 3 τότε ε 1 //ε 2. Πόρισμα : ν δυο ευθείες είναι κάθετες σε μια τρίτη τότε είναι παράλληλες μεταξύ τους : ε 1 ε 3 και ε 2 ε 3 τότε ε 1 //ε 2.. Πρόταση : ν δύο ευθείες είναι παράλληλες και μία τρίτη ευθεία τέμνει τη μία από αυτές, τότε θα τέμνει και την άλλη. Πρόταση : (κριτήριο τεμνόμενων ευθειών) ν δύο ευθείες τεμνόμενες από Τρίτη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροισμα μικρότερο των δύο ορθών, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται αυτές οι γωνίες. Σελίδα 16 από 34

17 Γωνίες με παράλληλες πλευρές κύκλοι τριγώνου Δύο γωνίες με παράλληλες πλευρές μία προς μία αν είναι και οι δύο οξείες ή αμβλείες, τότε θα είναι ίσες μεταξύ τους. Δύο γωνίες με παράλληλες πλευρές μία προς μία, αν η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία, τότε είναι παραπληρωματικές. Θεώρημα : Οι τρεις μεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο του κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου. (Ο περίκεντρο). Ο κύκλος αυτός καλείται περιγεγραμμένος. Μ Κ Ο Λ Γ Σχήμα 17 : Οι μεσοκάθετοι ενός τριγώνου συντρέχουν στο κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου αυτού. Θεώρημα : Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλο που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του τριγώνου. (Ι έγκεντρο). Ο κύκλος αυτός καλείται εγγεγραμμένος. Ν Λ Γ Δ Σχήμα 18 : Οι διχοτόμοι των εσωτερικών γωνιών του τριγώνου συντρέχουν στο κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του. Εφαρμογή : ν θεωρήσουμε δύο εξωτερικές διχοτόμους και μία εσωτερική διχοτόμο ενός τριγώνου, τότε αυτές συντρέχουν σε ένα σημείο το οποίο καλείται παράκεντρο του τριγώνου και το οποίο είναι κέντρο κύκλου, ο οποίος εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτάσεις των δύο άλλων και λέγεται παραγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. Σελίδα 17 από 34

18 Παρατηρήσεις για τις ασκήσεις στις παράλληλες 1) ν μου ζητήσουν να αποδείξω ότι δυο ευθείες είναι παράλληλες τότε εντοπίζω μια τέμνουσα αυτών των δυο και προσπαθώ να βρω ίσες γωνίες (εντός εναλλάξ, εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη ή εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές). Σε κάθε περίπτωση γράφω πάντα τόσο τις παράλληλες όσο και την τέμνουσα. Μεγάλη προσοχή απαιτείται όταν έχουμε περισσότερες από μία τέμνουσες. 2) Ευθείες κάθετες σε μια τρίτη ευθεία είναι παράλληλες μεταξύ τους. 3) Για να εντοπίσουμε ποιο εύκολα τις γωνίες, προσδιορίζω τις παράλληλες και την τέμνουσα και κάθε φορά πέρνω μια γωνία από τον ένα κόμβο με μια από τον άλλο. 4) ν γνωρίζουμε μία από τις 8 γωνίες που σχηματίζονται από δύο παράλληλες και μία τέμνουσα, τότε μπορούμε να βρούμε και τις υπόλοιπες. 5) ν υπάρχουν γωνίες οι οποίες δεν μπορούν άμεσα να συσχετισθούν μεταξύ τους μέσω παραλλήλων, αλλά έχουμε γνωστή κάποια σχέση με μία τρίτη κοινή γωνία, τότε φέρουμε μία κατάλληλη βοηθητική παράλληλη, η οποία να μπορεί να μας δώσει σχέση για όλες τις γωνίες μεταξύ τους Άθροισμα γωνιών τριγώνου γωνίες με κάθετες πλευρές Θεώρημα : Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι δύο ορθές. Πόρισμα : Κάθε εξωτερική γωνία του τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου. Θεώρημα : Δύο οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι ίσες. (ω=φ). Πόρισμα : Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού ν-γώνου είναι 2ν-4 ορθές. Πόρισμα : Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κυρτού ω-γώνου είναι 4 ορθές. Παρατηρήσεις για τις ασκήσεις 1) Όταν μας δίνεται το μέτρο μίας ή περισσοτέρων γωνιών τότε χρησιμοποιούμε τη σχέση του αθροίσματος των γωνιών του σχήματος : δύο ορθές για τρίγωνα, τρεις ορθές για τετράπλευρα. 2) ν δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ή θέλουμε να δείξουμε ότι έχουμε ορθογώνιο τρίγωνο, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι οι υπόλοιπες δύο γωνίες θα έχουν άθροισμα 90 μοίρες. 3) Σε τρίγωνα δεν ξεχνάμε να εναλλάσσουμε τις σχέσεις από ισότητα γωνιών σε ισότητα πλευρών και αντίστροφα όπου χρειάζεται. Σελίδα 18 από 34

19 4) ν σε τρίγωνο Γ δίνεται ότι : ˆ = 2Γ, ˆ τότε είτε φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας, οπότε σχηματίζεται ισοσκελές τρίγωνο ΓΔ, είτε φέρουμε το ύψος Δ και θεωρούμε τμήμα ΔΕ = Δ στη Γ, οπότε δημιουργούνται δύο ισοσκελή τρίγωνα. ΚΕΦΛΙΟ 5 Ο ΠΡΛΛΗΛΟΓΡΜΜ ΤΡΠΕΖΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΙ ΚΡΙΤΗΡΙ ΠΡΛΛΗΛΟΓΡΜΜΩΝ Ορισμός : Τετράπλευρο ονομάζεται κάθε ευθύγραμμο σχήμα με τέσσερεις πλευρές. Ένα τετράπλευρο ονομάζεται κυρτό, αν κάθε πλευρά του το αφήνει στο ολόκληρο στο ίδιο ημιεπίπεδο. Ένα τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες καλείται παραλληλόγραμμο. Παρατηρήσεις για τις ασκήσεις 1. πόδειξη ισότητας πλευρών ενός τετραπλεύρου: a. Χρησιμοποιώ ίσα τρίγωνα. b. Χρησιμοποιώ ισοσκελή τρίγωνα. i. Μπορώ να δείξω ότι ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές, χρησιμοποιώντας ισότητες γωνιών, είτε μέσω ίσων τριγώνων, είτε : ii. Μέσω παραλλήλων. iii. Μέσω κατακορυφήν γωνιών. iv. Παραπληρωματικές γωνίες. v. Συμπληρωματικές γωνίες, όπως έγινε χρήση όλων αυτών στα προηγούμενα. vi. πέναντι γωνίες δεδομένου παραλληλογράμμου. c. Χρησιμοποιώ ιδιότητες ενός άλλου τετραπλεύρου για το οποίο ήδη γνωρίζω ότι είναι παραλληλόγραμμο. 2. πόδειξη παραλληλίας πλευρών τετραπλεύρου : a. Χρησιμοποιώ ιδιότητες ενός άλλου τετραπλεύρου για το οποίο έχω δεδομένο ότι είναι παραλληλόγραμμο. b. Χρησιμοποιώ ισότητες γωνιών εντός εναλλάξ, εντός εκτός και επί τ αυτά, όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο. 3. πόδειξη ισότητας γωνιών τετραπλεύρου : όπου χρησιμοποιώ κάποια από τις τεχνικές που περιγράφονται παραπάνω. 4. ν δίνεται ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο γράφω πάντα όλες τις σχέσεις που προκύπτουν από τις ιδιότητές του. 5. ν ζητείται να αποδείξω ότι κάποιες ευθείες συντρέχουν ( δηλαδή διέρχονται από το ίδιο σημείο), τότε χρησιμοποιώ την ιδιότητα που έχει το κέντρο του παραλληλογράμμου από το οποίο διέρχονται οι διαγώνιοι αυτού. Σελίδα 19 από 34

20 ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΤΡΕΛΟ ΜΗ ΚΥΡΤΟ ΚΥΡΤΟ ΠΡΛΛΗΛΟΓΡΜΜΟ ΤΡΠΕΖΙΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΡΛΛΗΛΟΓΡΜΜΟ ΡΟΜΟΣ (ΙΣΕΣ ΠΛΕΥΡΕΣ) ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΠΕΖΙΟ ΤΕΤΡΓΩΝΟ Σελίδα 20 από 34

21 ΕΙΔΟΣ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΟΥ ΠΡΛΛΗΛΟΓΡΜΜΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΡΛΛΗΛΟΓΡΜΜΟ ΡΟΜΟΣ ΤΕΤΡΓΩΝΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΠΕΖΙΟ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΕΝΝΤΙ ΠΛΕΥΡΕΣ ΙΣΕΣ ΠΕΝΝΤΙ ΓΩΝΙΕΣ ΙΣΕΣ ΔΙΓΩΝΙΟΙ ΔΙΧΟΤΟΜΟΥΝΤΙ ΠΡΛΛΗΛΟΓΡΜΜΟ ΜΕ ΟΡΘΗ ΓΩΝΙ ΟΙ ΔΙΓΩΝΙΟΙ ΤΟΥ ΕΙΝΙ ΙΣΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΓΡΜΜΟ ΜΕ ΔΥΟ ΔΙΔΟΧΙΚΕΣ ΠΛΕΥΡΕΣ ΙΣΕΣ ΟΛΕΣ ΟΙ ΠΛΕΥΡΕΣ ΤΟΥ ΕΙΝΙ ΙΣΕΣ ΟΙ ΔΙΓΩΝΙΟΙ ΤΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΙ ΚΘΕΤ ΟΙ ΔΙΓΩΝΙΟΙ ΤΟΥ ΡΟΜΟΥ ΔΙΧΟΤΟΜΟΥΝ ΤΙΣ ΓΩΝΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ + ΡΟΜΟΣ ΠΕΝΝΤΙ ΠΛΕΥΡΕΣ ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΟΛΕΣ ΟΙ ΠΛΕΥΡΕΣ ΙΣΕΣ ΟΛΕΣ ΟΙ ΓΩΝΙΕΣ ΟΡΘΕΣ ΔΙΓΩΝΙΕΣ ΙΣΕΣ ΔΙΓΩΝΙΟΙ ΚΘΕΤΕΣ ΔΙΓΩΝΙΟΙ ΔΙΧΟΤΟΜΟΥΝΤΙ ΔΙΓΩΝΙΟΙ ΔΙΧΟΤΟΜΟΥΝ ΓΩΝΙΕΣ ΟΙ ΠΡΟΣΚΕΙΜΕΝΕΣ ΣΤΗ ΣΗ ΓΩΝΙΕΣ ΕΙΝΙ ΙΣΕΣ ΟΙ ΔΙΓΩΝΙΟΙ ΤΟΥ ΕΙΝΙ ΙΣΕΣ ΚΡΙΤΗΡΙ ΔΥΟ ΖΕΥΓΗ ΙΣΩΝ ΠΕΝΝΤΙ ΠΛΕΥΡΩΝ ΔΥΟ ΖΕΥΓΗ ΙΣΩΝ ΠΕΝΝΤΙ ΓΩΝΙΩΝ ΟΙ ΔΙΓΩΝΙΟΙ ΤΟΥ ΔΙΧΟΤΟΜΟΥΝΤΙ ΔΥΟ ΠΕΝΝΤΙ ΠΛΕΥΡΕΣ ΙΣΕΣ ΚΙ ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΓΡΜΜΟ ΜΕ ΜΙ ΓΩΝΙ ΟΡΘΗ ΠΡΛΛΗΛΟΓΡΜΜΟ ΜΕ ΙΣΕΣ ΔΙΓΩΝΙΟΥΣ ΤΡΕΙΣ ΓΩΝΙΕΣ ΟΡΘΕΣ ΟΛΕΣ ΟΙ ΓΩΝΙΕΣ ΤΟΥ ΕΙΝΙ ΙΣΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΓΡΜΜΟ ΚΙ ΔΥΟ ΔΙΔΟΧΙΚΕΣ ΠΛΕΥΡΕΣ ΤΟΥ ΙΣΕΣ ΕΧΕΙ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΠΛΕΥΡΕΣ ΤΟΥ ΙΣΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΓΡΜΜΟ ΚΙ ΟΙ ΔΙΓΩΝΙΟΙ ΤΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΙ ΚΘΕΤ ΠΡΛΛΗΛΟΓΡΜΜΟ ΚΙ ΜΙ ΔΙΓΩΝΙΟΣ ΔΙΧΟΤΟΜΕΙ ΜΙ ΓΩΝΙ ΤΟΥ ΔΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΕΙΝΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΚΙ ΡΟΜΟΣ ΟΡΘΗ ΓΩΝΙ + ΔΥΟ ΔΙΔΟΧΙΚΕΣ ΠΛΕΥΡΕΣ ΙΣΕΣ ΟΡΘΗ ΓΩΝΙ + ΔΙΓΩΝΙΟΣ ΔΙΧΟΤΟΜΕΙ ΜΙ ΓΩΝΙ ΟΡΘΗ ΓΩΝΙ + ΔΙΓΩΝΙΟΙ ΚΘΕΤΕΣ ΔΙΓΩΝΙΕΣ ΙΣΕΣ + ΔΥΟ ΔΙΔΟΧΙΚΕΣ ΠΛΕΥΡΕΣ ΙΣΕΣ ΔΙΓΩΝΙΟΙ ΙΣΕΣ ΚΙ Η ΜΙ ΔΙΧΟΤΟΜΕΙ ΜΙ ΓΩΝΙ ΔΙΓΩΝΙΟΙ ΙΣΕΣ ΚΙ ΚΘΕΤΕΣ ΤΡΠΕΖΙΟ ΚΙ ΟΙ ΓΩΝΙΕΣ ΠΟΥ ΠΡΟΣΚΕΙΝΤΙ ΣΤΗ ΜΙ ΣΗ ΕΙΝΙ ΙΣΕΣ ΤΡΠΕΖΙΟ ΠΟΥ ΟΙ ΔΙΓΩΝΙΟΙ ΤΟΥ ΕΙΝΙ ΙΣΕΣ Σελίδα 21 από 34

22 Παρατηρήσεις για τις ασκήσεις 6. Όταν μου δίνουν (=ιδιότητες) ένα παραλληλόγραμμο σημειώνω όλα τα στοιχεία που γνωρίζω. 7. ν θέλω να αποδείξω (=κριτήρια) ότι κάποιο τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, ρόμβος ή τετράγωνο ανάλογα τι στοιχεία έχω χρησιμοποιώ τα κριτήρια: a. για τις διαγώνιους. b. για τις πλευρές (ίσα τρίγωνα, ισοσκελή). c. για τις γωνίες (ισοσκελή, παράλληλες, κατακορυφήν, παραπληρωματικές, συμπληρωματικές, ίσα τρίγωνα). 8. Δείτε και μεθοδολογία προηγούμενης παραγράφου ΕΦΡΜΟΓΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΤΩΝ ΠΡΛΛΗΛΟΓΡΜΜΩΝ ΕΦΡΜΟΓΕΣ ΣΤ ΤΡΙΓΩΝ Θεώρημα 1 Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της. Γ ΔΕ=// 2 Γ ΠΡΤΗΡΗΣΗ : Το θεώρημα αυτό αποτελεί ένα πολύ καλό κριτήριο παραλληλίας, αλλά σημαντική ιδιότητα των μέσων ενός τριγώνου. Θεώρημα 2 ν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μια πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. Θεώρημα 3 ν τρεις (τουλάχιστον) παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μια ευθεία ίσα τμήματα, θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη. Σελίδα 22 από 34

23 ν =Γ τότε ΔΕ=ΕΖ Δ Ε Γ Ζ ΠΡΤΗΡΗΣΗ : Το προηγούμενο θεώρημα αποτελεί μία ειδική περίπτωση του πολύ γνωστού θεωρήματος του Θαλή, το οποίο θα εξετάσουμε παρακάτω και το χρησιμοποιούμε για να χωρίζουμε ευθύγραμμα τμήματα σε ίσα τμήματα. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από δύο παράλληλες ευθείες ε 1 και ε 2, η οποία διέρχεται από τα μέσα των τμημάτων που έχουν τα άκρα τους στις δύο παράλληλες λέγεται μεσοπαράλληλος (η ευθεία ε) των ε 1 και ε 2. ΧΡΚΤΗΡΙΣΤΙΚ ΣΗΜΕΙ ΣΤ ΤΡΙΓΩΝ αρύκεντρο τριγώνου Θεώρημα Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο του οποίου η 2 απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου. 3 (Το Θ στο οποίο τέμνονται οι διάμεσοι ονομάζεται βαρύκεντρο του τριγώνου) Θ= 3 2 Δ Θ Δ Γ Ορθόκεντρο τριγώνου Λήμμα Οι παράλληλες ευθείες που άγονται από τις κορυφές ενός τριγώνου προς τις απέναντι πλευρές του, σχηματίζουν τρίγωνο, το οποίο έχει ως μέσα των πλευρών του τις κορυφές του αρχικού τριγώνου. Σελίδα 23 από 34

24 Θεώρημα Οι φορείς των υψών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. ΠΡΤΗΡΗΣΗ : Το ορθόκεντρο και το βαρύκεντρο κυρίως αποτελούν βασική ιδιότητα με την οποία αποδεικνύουμε ότι τρεις ευθείες συντρέχουν σε κάποιο σημείο. ΧΡΚΤΗΡΙΣΤΙΚ ΣΗΜΕΙ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Περίκεντρο Σημείο τομής μεσοκαθέτων Έγκεντρο Σημείο τομής εσωτερικών διχοτόμων Παράκεντρα Σημεία τομής δύο εξωτερικών και μίας εσωτερικής διχοτόμου Ορθόκεντρο Σημείο τομής υψών αρύκεντρο ή κέντρο βάρους Σημείο τομής διαμέσων Ιδιότητες ορθογωνίου τριγώνου Θεώρημα 1 Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Θεώρημα 2 (αντίστροφο) Γ Μ= 2 ν η διάμεσος ενός τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή. Πόρισμα ν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 0, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας. Παρατηρήσεις για τις ασκήσεις 1. Όταν σε μια άσκηση μας δίνονται τα μέσα δυο τμημάτων εφαρμόζουμε το θεώρημα των μέσων (θεώρημα 1). a. ν υπάρχει το τρίγωνο χρησιμοποιώ το θεώρημα, Σελίδα 24 από 34

25 b. ν δεν υπάρχει το τρίγωνο και έχω δυο πλευρές και τα μέσα τους, καταλαβαίνω ότι πρέπει να δημιουργήσω τρίγωνο και φέρνω την τρίτη πλευρά. Μετά χρησιμοποιώ το θεώρημα. 2. Όταν έχω ορθογώνιο τρίγωνο και φέρω την διάμεσό του από την ορθή γωνία, δημιουργούνται ισοσκελή τρίγωνα (θεώρημα Ι) και το εκμεταλλεύομαι ανάλογα είτε ζητάω πλευρές είτε γωνίες. 3. Όταν σε ένα τρίγωνο μου ζητάνε να δείξω ότι ένα τμήμα μιας πλευράς Γ ισούται με το 1/2 του υπόλοιπου τμήματος Γ της πλευράς, τότε φέρνω το μέσο Μ του Γ και a. αποδεικνύω ότι το ζητούμενο τμήμα ισούται με ένα από τα άλλα δυο, b. αποδεικνύω ότι το ζητούμενο τμήμα ισούται με το 1/3 της πλευράς χρησιμοποιώντας θεώρημα διαμέσων. 4. Για να χωρίσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε ν ίσα ευθύγραμμα τμήματα ακολουθούμε την εξής διαδικασία : a. Κατασκευάζουμε ημιευθεία χ και πάνω σε αυτήν θεωρούμε διαδοχικά ίσα ν το πλήθος ευθύγραμμα τμήματα με το πρώτο να έχει αρχή το και το τελευταίο τέλος ένα σημείο που το ονομάζουμε Κ, b. ενώνουμε το σημείο με το τέλος του τελευταίου ευθυγράμμου τμήματος της χ, δηλαδή το σημείο Κ. c. Τέλος από καθένα από τα σημεία των ευθυγράμμων τμημάτων που πήραμε στην χ φέρουμε παράλληλη προς την Κ, τότε από το θεώρημα 3 έχουμε το ζητούμενο. 5. Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι τρεις ευθείες συντρέχουν σε κάποιο σημείο ( δηλαδή διέρχονται από το ίδιο σημείο ), τότε εξετάζουμε μήπως είναι διάμεσοι σε κάποιο τρίγωνο, ή ύψη ή ακόμα κάποιο από τα χαρακτηριστικά σημεία που είχαμε μελετήσει στο 4 ο κεφάλαιο : περίκεντρο, έγκεντρο ή παράκεντρο ΤΡΠΕΖΙ Γενικές ιδιότητες Ορισμός Τραπέζιο λέγεται το κυρτό τετράπλευρο που έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες. Διάμεσος ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του τραπεζίου. Θεώρημα 1 Η διάμεσος του τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμα τους. Σελίδα 25 από 34

26 Πόρισμα Η διάμεσος ΕΖ τραπεζίου ΓΔ διέρχεται από τα μέσα Κ και Λ των διαγωνίων του και το τμήμα ΚΛ είναι παράλληλο με τις βάσεις του και ίσο με την ημιδιαφορά των βάσεων του. Ισοσκελές τραπέζιο Ορισμός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. Ιδιότητες ισοσκελούς τραπεζίου ν ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές τότε: 1. Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση είναι ίσες 2. Οι διαγώνιοι του είναι ίσες. Κριτήρια ισοσκελούς τραπεζίου 1. Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση του είναι ίσες. 2. Οι διαγώνιοι του είναι ίσες Παρατηρήσεις για τις ασκήσεις 1. Χρησιμοποιούμε παρόμοιες μεθόδους με αυτές που είδαμε στα άλλα τετράπλευρα και σε συνδυασμό με τις ιδιότητες των υπολοίπων τετραπλεύρων. 2. Επίσης πολύ συχνά βοηθά να φέρουμε κάποιο από τα δευτερεύοντα στοιχεία του τραπεζίου όπως : a. η διάμεσος, b. τα ύψη από τις κορυφές της μικρής βάσης, οπότε σχηματίζεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, c. η παράλληλη από τη μία κορυφή του τραπεζίου προς τη μη παράλληλη πλευρά, οπότε δημιουργείται παραλληλόγραμμο. Σελίδα 26 από 34

27 ΣΧΕΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΚΕΦΛΙΟ 6 ο ΕΓΓΕΓΡΜΜΕΝ ΣΧΗΜΤ Ορισμός : Ένα ευθύγραμμο σχήμα λέγεται εγγεγραμμένο σε κύκλο, αν όλες οι κορυφές του βρίσκονται σε κύκλο. Μία γωνία λέγεται εγγεγραμμένη σε κύκλο, αν η κορυφή της βρίσκεται σε κύκλο και οι πλε-υρές της είναι τέμνουσες του.ο κύκλου. Το τόξο λέγεται αντίστοιχο τόξο της Γ ή ότι η Γ γωνία Γ βαίνει στο τόξο. ν σε μία γωνία η μία της πλευρά είναι εφαπτόμενη σε έναν κύκλο και η άλλη της πλευρά είναι τέμνουσα του ίδιου κύκλου, τότε καλείται γωνία χορδής και εφαπτομένης. Μία γωνία λέγεται επίκεντρη, αν η κορυφή της είναι το κέντρο ενός κύκλου (Ο,ρ). ΣΧΕΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΘΕΩΡΗΜ 1 (εγγεγραμμένης και επίκεντρης). Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης γωνίας, η οποία βαίνει στο ίδιο τόξο. Πόρισμα : Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. ΘΕΩΡΗΜ 2 : (γωνία χορδής και εφαπτομένης). Η γωνία που σχηματίζεται από μία χορδή ενός κύκλου και την εφαπτομένη στο άκρο της χορδής ισούται με την εγγεγραμμένη, η οποία βαίνει στο τόξο της χορδής. ΕΦΡΜΟΓΗ 1 : (γωνία δύο τεμνουσών). Μία γωνία με κορυφή στο εσωτερικό ή το εξωτερικό ενός κύκλου, της οποία οι πλευρές τέμνουν τον κύκλο λέγεται γωνία δύο τεμνουσών. Μια γωνία δύο τεμνουσών που βρίσκεται εσωτερικά στον κύκλο είναι ίση με το ημιάθροισμα των τόξων που ορίζει αυτή και η κατακορυφήν της. Μία γωνία δύο τεμνουσών που βρίσκεται εξωτερικά του κύκλου είναι ίση με την ημιδιαφορά των τόξων που ορίζει στον κύκλο αυτόν. Σελίδα 27 από 34

28 ασικοί γεωμετρικοί τόποι στον κύκλο Τόξο κύκλου ως γεωμετρικός τόπος. Μ Ορισμός : ν Μ,, σημεία ενός κύκλου, θα λέμε ότι το Μ βλέπει το ευθύγραμμο τμήμα υπό γωνία φ, φ αν φ = Μ. Επίσης θα λέμε ότι το φαίνεται από το σημείο Μ υπό γωνία φ και ότι το τόξο τ που περιέχει τα,,μ δέχεται γωνία φ. ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΡΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. ναλυτική συνθετική μέθοδος : Κατά την αναλυτική συνθετική μέθοδο ακολουθούμε τα βήματα της ανάλυσης και της σύνθεσης. Κατά την ανάλυση και με αφετηρία το ζητούμενο, χρησιμοποιώντας δεδομένα από τη θεωρία (προτάσεις που ήδη έχουν δειχθεί) φθάνουμε σε μία νέα ικανή σχέση. Ομοίως στη συνέχεια αναζητούμε νέα ικανή για αυτήν σχέση μέχρι να καταλήξουμε στην υπόθεση της ζητούμενης πρότασης ή σε προτάσεις που έχουν αποδειχθεί πλήρως προηγουμένως. Δηλαδή ακολουθούμε μία αλυσωτή συλλογιστική διαδικασία της μορφής : Σ ->Π κ -> Π κ-1 -> ->Π 2 ->Π 1 ->Υ Με αυτόν τον τρόπο βρίσκουμε τον δρόμο για την απόδειξη του ζητούμενου, οπότε και χρησιμοποιούμε τη σύνθεση, όπου με αφετηρία την υπόθεση εκμεταλλευόμενοι τα βήματα που βρήκαμε στο βήμα της ανάλυσης και με διαδοχικούς συλλογισμούς βασισμένους σε δεδομένα και γνωστές προτάσεις καταλήγουμε στο συμπέρασμα. Στη συνέχεια παραθέτουμε παραδείγματα της μεθόδου. Παρατηρήσεις για τις ασκήσεις 1. Γενικώς ακολουθούμε τις σκέψεις και των προηγουμένων κεφαλαίων και ιδιαίτερα μπορούμε να προσπαθούμε να χρησιμοποιούμε περισσότερο τη διερευνητική μέθοδο αντιμετώπισης ενός προβλήματος ( αναλυτική συνθετική μέθοδος). 2. Ειδικότερα, όταν έχουμε να αντιμετωπίσουμε πρόβλημα με δύο εφαπτόμενους κύκλους, συχνά εξυπηρετεί να φέρουμε την κοινή εξωτερική ή εσωτερική εφαπτομένη ΕΓΓΕΓΡΜΜΕΝ ΚΙ ΕΓΓΡΨΙΜ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡ Ορισμός : Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραμμένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σημεία του κύκλου. Γενικότερα, ένα πολύγωνο λέγεται εγγεγραμμένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του βρίσκονται σε κύκλο. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιμο όταν μπορούμε να φέρουμε κύκλο, ο οποίος να διέρχεται και από τις τέσσερεις κορυφές του. Ο κύκλος στον οποίο είναι εγγεγραμμένο ένα τετράπλευρο λέγεται περιγεγραμμένος. Σελίδα 28 από 34

29 Ιδιότητες εγγεγραμμένων τετραπλεύρων ΘΕΩΡΗΜ (ιδιότητες εγγεγραμμένων τετραπλεύρων): Ένα τετράπλευρο, το οποίο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο έχει : ι) τις απέναντι γωνίες του παραπληρωματικές και ιι) κάθε πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες. Πόρισμα : Κάθε εξωτερική γωνία ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ισούται με την απέναντι εσωτερική γωνία του. Κριτήρια εγγράψιμων τετραπλεύρων ΘΕΩΡΗΜ (κριτήρια εγγράψιμων τετραπλεύρων): Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο, αν : α. Δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές β. Μία πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες. γ. Μία εξωτερική του γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική γωνία του τετραπλεύρου. ΕΦΡΜΟΓΗ (περιγεγραμμένο και περιγράψιμο σε κύκλο τετράπλευρο) 1. Ένα περιγεγραμμένο σε κύκλο τετράπλευρο έχει διχοτόμους γωνιών που διέρχονται από το κέντρο του εγγεγραμμένου του κύκλου. 2. Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών ενός περιγεγραμμένου σε κύκλο τετραπλεύρου είναι ίσα. 3. Ένα τετράπλευρο είναι περιγράψιμο σε κύκλο, αν οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο. 4. Ένα τετράπλευρο είναι περιγράψιμο σε κύκλο αν τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα. Παρατηρήσεις για τις ασκήσεις 3. Σε κύκλους που τέμνονται μας διευκολύνει συχνά να φέρουμε την κοινή χορδή. Θυμηθείτε εδώ ότι : «Η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής τους», επίσης ότι : «Τα εφαπτόμενα τμήματα ενός κύκλου, που άγονται από εξωτερικό του σημείο είναι μεταξύ τους ίσα», καθώς επίσης και άλλα χρήσιμά αποτελέσματα στις παραγράφους 3.14, Επίσης, αν θέλουμε να δείξουμε ότι ένας κύκλος που διέρχεται από τρία σημεία,,γ, ότι περνά και από ένα Δ, τότε αρκεί τα,,γ,δ να είναι κορυφές εγγράψιμου τετραπλεύρου. Σελίδα 29 από 34

30 Επαναληπτικές ασκήσεις. 1. ν η παραπληρωματική μιας γωνίας είναι το τριπλάσιο της συμπληρωματικής της να βρεθεί η γωνία, η παραπληρωματική της και η συμπληρωματικής της. 2. Δίνεται τραπέζιο ΓΔ με Δ=ΔΓ=Γ=α και = 2α, τότε να αποδείξετε ότι : i) ν ΔΕ και ΓΖ νδο : Ε = Ζ = α/2, ii) Να δειχθεί ότι : ==60 ο. 3. ν (Ο, ρ 2 ) και (Κ, 3 ρ ) δυο κύκλοι, να βρείτε τις σχετικές θέσεις των κύκλων 2 αν : i) ΟΚ=2ρ ii) ΟΚ=3ρ iii) ΟΚ= ρ 2 iv) ΟΚ=ρ v) ΟΚ= 7 2ρ. 4. Δίνεται τρίγωνο Γ με = Γ + 30 ο, Δ Γ και Ε,Ζ μέσα των και Γ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι : i) ΔΕ = 120 2Γ ii) ΖΕ = 150 2Γ iii) Να βρεθεί η γωνία ΖΕΔ. 5. Δίνεται τραπέζιο ΓΔ ώστε +ΔΓ = Δ και ΜΝ η διάμεσός του, τότε να αποδείξετε ότι : i) ΜΝ = Δ/2 ii) ΜΔ γωνία ορθή iii) Μ διχοτόμος της γωνίας και ΔΜ διχοτόμος της γωνίας Δ. 6. πό τυχαίο σημείο Μ της πλευράς Γ τριγώνου Γ φέρνουμε παράλληλη στη διχοτόμο Δ της γωνίας, η οποία τέμνει τις ευθείες και Γ στα Ε,Ζ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι: i) το τρίγωνο ΕΖ είναι ισοσκελές και ii) Ε + ΓΖ = + Γ. 7. Δίνεται τραπέζιο ΓΔ, ώστε ΔΓ = Δ + Γ και Ε διχοτόμος της γωνίας, να αποδείξετε ότι : i) ΔΕ = Δ ii) ΓΕ = Γ iii) Η Ε διχοτόμος της γωνίας. 8. Δίνεται τετράπλευρο ΓΔ με Γ = Δ και Γ Δ και Μ,Ν,Κ,Λ μέσα των Δ,, Γ, ΓΔ αντίστοιχα, τότε να αποδείξετε ότι : Σελίδα 30 από 34

31 i) ΜΝ//ΛΚ και ΜΝ = ΛΚ, ii) ΜΝ ΜΛ, iii) το ΜΝΚΛ τετράγωνο. 9. Οι διαγώνιοι τετραπλεύρου ΓΔ έχουν κοινό μέσο το Ο. Τυχαία ευθεία διερχόμενη από το Ο, τέμνει τις, ΓΔ στα Η,Θ. Να αποδειχθεί ότι ΟΗ = ΟΘ και Η = ΓΘ. 10. Δίνεται ΓΔ ισοσκελές τραπέζιο (Δ=Γ με ΓΔ = 3 και Ε, Ζ τα μέσα των διαγωνίων του Δ και Γ αντίστοιχα, τότε να αποδείξετε ότι : i) ΕΖ // και ΕΖ =, ii) ΕΖ ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, iii) Να δειχθεί ότι οι προεκτάσεις των Ε και Ζ είναι ύψη του τραπεζίου. 11. Δίνεται τετράγωνο ΓΔ και στις προεκτάσεις των πλευρών του και Γ παίρνουμε τμήματα Ε και ΓΖ αντίστοιχα ίσα μεταξύ τους, να αποδείξετε ότι : i) τα τρίγωνα ΕΓ και ΔΖΓ είναι ίσα μεταξύ τους, ii) οι γωνίες ΗΓΖ και ΓΔΖ είναι ίσες μεταξύ τους, iii) η γωνία ΓΗΖ είναι ορθή. 12. Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΓΔ με Ε ΔΓ και Γ = 40 ο, ΓΕ = 15 ο και Δ = 30 ο, να βρεθούν οι γωνίες ΓΕ, ΔΓ, ΓΔ και η γωνία που σχηματίζουν οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου. 13. Δίνεται τραπέζιο ΓΔ με τις ορθές γωνίες τις Δ και ΔΓ και Γ = 2 ΓΔ και ΜΝ διάμεσος του τραπεζίου, να αποδείξετε ότι : i) Μ = ΜΔ, ii) ΔΜΓ = ΔΜΝ γωνίες iii) ΜΓ = 3 Μ 14. Έστω τρίγωνο Γ και ΓΕ, Δ ύψη του, ενώ Μ μέσο της Γ. Να αποδείξετε ότι ΕΜ = ΜΔ. 15. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο Γ και στις πλευρές του, Γ, Γ παίρνουμε τα σημεία Δ,Ε,Ζ έτσι ώστε Δ = Ε = ΓΖ. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο. 16. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο Γ με ορθή τη γωνία και Μ διάμεσος, Δ ύψος. ν γωνία > Γ γωνίας τότε να δειχθεί ότι ΜΔ = Γ γωνίες. 17. ν Γ ορθογώνιο τρίγωνο στο και Δ ύψος, ενώ Ε, Ζ μέσα των και Γ αντίστοιχα, τότε να δείξετε ότι : i) οι γωνίες ΖΔ και ΖΔ είναι ίσες, ii) οι γωνίες ΕΔ και ΕΔ είναι ίσες, iii) η γωνία ΖΔΕ είναι ορθή, iv) αν επιπλέον = Γ τότε το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Σελίδα 31 από 34

32 18. Δίνεται τρίγωνο Γ με διάμεσο Μ και Δ μέσο της Μ. ν ΜΖ//Ε, τότε να δείξετε ότι : i) Ε = ΕΖ ii) ΕΖ = ΖΓ iii) Ε = ΕΓ/2 19. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο Γ ( = 900), Μ διάμεσος, Δ ύψος και Ε διχοτόμος της γωνίας Γ, Γ, τότε να δείξετε ότι : i) Οι γωνίες ΜΓ και Γ είναι ίσες, ii) οι γωνίες Δ και Γ είναι ίσες και iii) η Ε διχοτομεί τη γωνία ΜΔ. 20. Δίνεται τρίγωνο Γ με <Γ. ν Ζ διχοτόμος και Ε Ζ και η προέκταση της Ε τέμνει την Γ στο Θ, ενώ Δ μέσο της Γ, τότε να δείξετε ότι : i) = Θ, ii) ΔΕ // ΘΓ iii) ΔΕ = ΘΓ/2 iv) ΔΕ = (Γ )/2 21. Δίνεται τρίγωνο Γ και ευθεία ε//γ που διέρχεται από το. ν Δ τυχαίο σημείο της Γ και ΔΘ// που τέμνει την Γ στο Ν, ΔΖ//Γ που τέμνει την στο Ρ, τότε να δειχθεί ότι : i) ΔΘ παραλληλόγραμμο, ii) ΡΔΝ παραλληλόγραμμο, iii) ΓΔΖ παραλληλόγραμμο, iv) τα τρίγωνα Γ και ΖΔΘ είναι ίσα. 22. Δίνεται τρίγωνο Γ με γωνία 60 ο και Δ Γ, ΓΕ και Γ >. ν Μ, Ν μέσα των και Γ αντίστοιχα, τότε να δείξετε ότι : i) Δ = /2 ii) ΕΜ = ΔΝ = (Γ-)/ Έστω ευθείες ε 1 //ε 2 και ε τέμνουσά τους, ώστε εε 1 γωνία 45 ο και ε 2 ε 3 = 50 ο, όπου η ε 3 τέμνουσα των ε 1, ε 2 από το σημείο τομής των ε 1, ε. ν σημείο τομής των ε 3 και ε 2 και Γ σημείο τομής των ε και ε 2 να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου Γ. 24. ν σε τρίγωνο Γ είναι < Γ και η γωνία = 80 ο να υπολογισθεί η γωνία ΙΓ που σχηματίζεται από τις διχοτόμους Ι και ΓΙ των και Γ αντίστοιχα. 25. Έστω τρίγωνο Γ με = 100 ο και = Γ. ν Ε, Δ σημεία της Γ, ώστε Δ = = ΓΕ, τότε : i) Να βρεθούν οι υπόλοιπες γωνίες του τριγώνου Γ, ii) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα Δ και ΕΓ είναι ίσα, iii) Να υπολογιστούν οι γωνίες των τριγώνων που σχηματίζονται στο σχήμα. 26. Να βρεθεί το είδος ενός τριγώνου Γ στο οποίο ισχύει ότι : Σελίδα 32 από 34

33 i) η μία του γωνία είναι ίση με το άθροισμα των δύο άλλων, ii) η μία του γωνία είναι μεγαλύτερη από το άθροισμα των δύο άλλων, iii) η μία του γωνία είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από καθεμία από αυτές. 27. Σε κύκλο κέντρου Ο θεωρούμε μία χορδή του και σημεία της Γ, Δ, ώστε Γ=Δ, να δειχθεί ότι : i) Οι γωνίες ΟΓ και ΔΟ είναι ίσες, ii) τα τρίγωνα ΟΔ και ΟΓ είναι ίσα. 28. Δίνεται γωνία χοψ και Ο εσωτερική της ημιευθεία. ν σημείο της Οχ ώστε Ο = και //Οψ, τότε η Ο διχοτομεί τη γωνία χοψ. 29. Δίνεται τρίγωνο Γ με Γ = 50 ο και Δ σημείο της Γ, ώστε Δ=. Να βρεθεί η γωνία ΔΓ. 30. Σε τρίγωνο Γ με = 60 ο, όπου Δ, ΓΕ διχοτόμοι του να δείξετε ότι : i) οι γωνίες Δ και ΕΓ είναι ίσες, ii) ν επιπλέον Ζ = Ε τότε : οι γωνίες ΖΙ και Δ είναι ίσες, iii) ΔΓ = ΓΖ iv) Ε + ΓΔ = Γ. 31. Σε ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή και Μ διάμεσο, Δ ύψος και ΔΖ Γ, ΔΕ να δείξετε ότι : i) ΕΔΖ ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, ii) τα τρίγωνα ΖΕ και ΔΕ είναι ίσα, iii) οι γωνίες ΖΕ, ΔΕ και είναι ίσες, iv) η γωνία ΖΝ είναι ορθή, όπου Ν το σημείο τομής των Μ και ΖΕ. 32. ν οι ημιευθείες χ//ψ βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ευθεία και Γ σημείο αυτού, τότε να δείξετε ότι Γ = χγ ψγ γωνίες. 33. ν δύο κύκλοι κέντρων Κ και Λ εφάπτονται εξωτερικά στο και ε ευθεία που διέρχεται από το τους τέμνει στα σημεία και Γ αντίστοιχα, τότε να δείξετε ότι : i) Κ // ΛΓ και ii) οι εφαπτομένες στα και Γ αντίστοιχα είναι παράλληλες μεταξύ τους. 34. Έστω κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας Ο. ν Γ μεσοκάθετος της Ο να δείξετε ότι το ΟΓ είναι ρόμβος. 35. Έστω κύκλος κέντρου Κ και χορδή του. ν Μ μέσο της και Δ, Γ σημεία της χορδής ώστε ΜΔ = ΜΓ, τότε να δειχθεί ότι ΟΓ = ΟΔ. 36. Δίνονται κύκλοι κέντρων Κ, Λ, Μ με ίσες ακτίνες, όπου Κ, Λ, Μ συνευθειακά διαδοχικά σημεία. ν, σημεία τομής των κύκλων προς το ίδιο ημιεπίπεδο, τότε να δειχθεί ότι //ΚΜ. Σελίδα 33 από 34

34 37. Θεωρούμε κύκλο κέντρου Ο και δύο ίσες χορδές του = ΓΔ που τέμνονται στο σημείο Μ. ν ΟΛ και ΟΡ ΓΔ, τότε να δείξετε ότι : i) τα τρίγωνα ΟΜΛ και ΟΜΡ είναι ίσα, ii) η ΟΜ είναι διχοτόμος των γωνιών ΛΟΡ και ΛΜΡ. 38. Έστω κύκλος κέντρου Ο και εξωτερικό του σημείο. ν, Γ σημεία του κύκλου ώστε = Γ, τότε να δειχθεί ότι η Ο διχοτομεί τη γωνία Γ. 39. ν ίσες χορδές = ΓΔ ενός κύκλου κέντρου Ο τέμνονται εξωτερικά του κύκλου σε σημείο Μ και ΟΝ, ΟΡ ΔΓ, τότε να δείξετε ότι : i) τα τρίγωνα ΟΝΜ και ΟΡΜ είναι ίσα ii) Μ=ΜΓ iii) η ΟΜ είναι διχοτόμος των γωνιών ΝΟΡ και ΜΔ. 40. ν ΓΔ παραλληλόγραμμο με = 2 Γ και Ε μέσο της ΔΓ, Ζ μέσο της τότε να δείξετε ότι : i) ΔΕΖ ρόμβος, ii) το τρίγωνο Ε είναι ορθογώνιο. Καλή μελέτη, καλή επιτυχία. Σελίδα 34 από 34

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια εωµετρία τάξης ενικού υκείου ΩΝΙΕΣ ρισµός: Έστω χ και ψ δύο ηµιευθείες που δεν έχουν κοινό φορέα και έστω p το ηµιεπίπεδο που έχει ακµή τον φορέα της Oχ και περιέχει την ψ και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θεωρήματα καθώς και το Θεώρημα Ι σ. 104 είναι SOS όχι μόνο για θεωρία αλλά και για χρήση στις ασκήσεις, οπότε πρέπει να κατανοήσετε τι λένε, να ξέρετε την απόδειξη και να είστε έτοιμοι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. ΚΕΦΛΙΟ ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Κανονικά Πολύγωνα. Να δοθεί ο ορισμός του κανονικού πολυγώνου. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.. Να βρεθεί η γωνία

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι λύσεις των θεμάτων είναι ενδεικτικές.πιθανόν να υπάρχουν και άλλες λύσεις και μάλιστα πιο απλές. ΘΕΜΑ 2 2814 α) Αφού ΑΒΓ ισοσκελές 180 ˆ ˆ ˆ Α 180 80 100 Β=Γ= = = = 50 2 2 2 Επειδή ΒΕ=ΒΔ θα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης .5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις 1 ου Διαγωνίσματος Θέμα 1 ο α) Από μία κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy ΒΓ. Τότε ω = Β και φ = Γ, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 57 ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ Πολυγωνικά χωρία - Πολυγωνικές επιφάνειες. Τι καλούμαι πολυγωνικό χωρίο και πως ονομάζεται αυτό ; Πότε δύο πολυγωνικά χωρία λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Α και Β Γενικού Λυκείου ε 3 Γ ε 2 Κ Ε ε 1 Ι Ο Θ Η Ζ Α μ α Ψ ε 4 Β Β ( Σελ. 63 120 ) Τόμος 2ος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) : 5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ εωμετρία α λυκείου ξιοσημείωτα σημεία τριγώνου 5 ΣΚΗΣΙΣ ΣΤ ΞΙΟΣΗΙΩΤ ΣΗΙ ΤΡΙΩΝΟΥ )ίνεται τρίγωνο µε = 45 και B = 75. ν µέσο της φέρουµε από το κάθετη στη διχοτόµο της γωνίας που τέµνει την στο. Στην παίρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ)

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ (ΤΡΠΖ ΘΜΤΩΝ) GI_V_GEO_2_18975 ίνεται τρίγωνο AB με AB=9, A=15. πό το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά B που τέμνει τις AB,A στα,e αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι A = 2 AB

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Διατυπώστε το θεώρημα του Θαλή, κάνετε σχήμα και γράψτε την αναλογία που εκφράζει το θεώρημα του Θαλή στο συγκεκριμένο σχήμα. Απάντηση: «Αν τρείς τουλάχιστον παράλληλες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0.

Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν = 1 4 για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. ii) α n 1 α n Να αποδείξετε: α ν 1 =1 για κάθε n - ν 1 α ν α) ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ΥΠΟΥΡΙΟ ΠΙΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΥΤΩΝ Κωδικός βιβλίου: 0--007 ΠΟΛΙΤΙΣΟΥ ΚΙ ΘΛΗΤΙΣΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ε Κ ε Ψ Ζ Ο Ι Θ ε Η μα ε4 και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ISBN 978-960-06--6

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ Ο 1. Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει τις AB,AΓ στα Δ,E αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι AΔ = AB

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ.

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ. 1 Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και η διχοτομος ΒΕ της γωνιας B του τριγωνου Απο το Α φερνουμε παράλληλη της ΒΕ, που τεμνει τη ΒΓ 3 Να δειχτει οτι α + 11 α Ποτε ισχυει ΑΔ ΒΕ το ισον; οποτε οι γωνιες 3 3 Aν α, β

Διαβάστε περισσότερα