ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ. Κιείδεο Κσλζηαληίλνο ΥΟΛΗ ΣΕΥΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΜΗΜΑ ΜΗΥΑΝΟΛΟΓΙΑ ΣΕ

Transcript

1 ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ Κιείδεο Κσλζηαληίλνο ΥΟΛΗ ΣΕΥΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΜΗΜΑ ΜΗΥΑΝΟΛΟΓΙΑ ΣΕ

2 Άδεηεο Υξήζεο Τν παξόλ εθπαηδεπηηθό πιηθό ππόθεηηαη ζε άδεηεο ρξήζεο Creative Cmms. Γηα εθπαηδεπηηθό πιηθό, όπσο εηθόλεο, πνπ ππόθεηηαη ζε άιινπ ηύπνπ άδεηαο ρξήζεο, ε άδεηα ρξήζεο αλαθέξεηαη ξεηώο. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΕ

3 Υξεκαηνδόηεζε Τν παξόλ εθπαηδεπηηθό πιηθό έρεη αλαπηπρζεί ζηα πιαίζηα ηνπ εθπαηδεπηηθνύ έξγνπ ηνπ δηδάζθνληα. Τν έξγν «Αλνηθηά Αθαδεκατθά Μαζήκαηα ζην ΤΔΙ Κεληξηθήο Μαθεδνλίαο» έρεη ρξεκαηνδνηήζεη κόλν ηε αλαδηακόξθσζε ηνπ εθπαηδεπηηθνύ πιηθνύ. Τν έξγν πινπνηείηαη ζην πιαίζην ηνπ Δπηρεηξεζηαθνύ Πξνγξάκκαηνο «Δθπαίδεπζε θαη Γηα Βίνπ Μάζεζε» θαη ζπγρξεκαηνδνηείηαη από ηελ Δπξσπατθή Έλσζε (Δπξσπατθό Κνηλσληθό Τακείν) θαη από εζληθνύο πόξνπο. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΕ

4 Κεθάιαην Αξηζκεηηθή επίιπζε κε γξακκηθώλ εμηζώζεσλ. Εληνπηζκόο ησλ ξηδώλ Οη πξαγκαηηθέο ξίδεο κηαο κε γξακκηθήο εμίζσζεο 0 f (.) είλαη, σο γλσζηόλ, ηα ζεκεία ηνκήο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο C f ηεο ζπλάξηεζεο y f, κε ηνλ άμνλα ησλ. Ο πξνζεγγηζηηθόο ππνινγηζκόο κηαο ξίδαο ηεο εμ. (.) μεθηλά απ ηνλ πξνζδηνξηζκόο ελόο δηαζηήκαηνο, οζοδήποηε κηθρού, κέζα ζην νπνίν βξίζθεηαη ε δεηνύκελε ξίδα. Τν δηάζηεκα απηό πξνζδηνξίδεηαη κε ηε βνήζεηα ηνπ ζεφρήκαηος Blza: f νξηζκέλε θαη ζπλερήο ζην δηάζηεκα f. Σόηε ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ κηα ξίδα ξ ηεο f 0 Έζησ ζπλάξηεζε f 0 ζην,. Παράδεηγκα Ι: Έζησ ε εμίζσζε f 0 ξίδεο ζην δηάζηεκα 0, 5.,, ηέηνηα ώζηε, πνπ αλήθεη. Να εμεηαζηεί αλ ε εμίζσζε έρεη Δίλαη: f 0 f 0 f 5 0. Σύκθσλα ινηπόλ κε ην ζ. Blza ππάξρεη ξίδα f 5 ηεο εμίζσζεο ζην δηάζηεκα 0, 5. Παράδεηγκα ΙΙ: Να πξνζδηνξηζηνύλ ηα δηαζηήκαηα κέζα ζηα νπνία βξίζθνληαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο f Υπνινγίδνπκε ηελ πξώηε παξάγσγν ηεο ζπλάξηεζεο γηα λα δηαπηζηώζνπκε αλ ππάξρνπλ αθρόηαηα (κέγηζηα ή ειάρηζηα), όπνπ είλαη πηζαλό λα αιιάδεη ε κολοηολία ηεο ζπλάξηεζεο. f 9 9. Οη ξίδεο ηεο 0 f είλαη. Δίλαη f 0, f 0, f 0, f 0 Έηζη f f 0, f f 0, f f 0 Από ηα παξαπάλσ ζπκπεξαίλνπκε όηη ε εμίζσζε έρεη ηξεηο πξαγκαηηθέο θαη άληζεο,,,,, ξίδεο ζηα δηαζηήκαηα.. Γξαθηθή κέζνδνο εληνπηζκνύ ησλ ξηδώλ

5 Ο εληνπηζκόο πξνζεγγηζηηθώλ ηηκώλ ησλ ξηδώλ ηεο εμίζσζεο (.) είλαη δπλαηόο κε ρξήζε γξαθεκάησλ. Μπνξνύκε λα εξγαζηνύκε κε δύν ηξόπνπο: Καηαζθεπάδνπκε ην γξάθεκα ηεο ζπλάξηεζεο y f, ζε νξζνγώλην ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ. Οη ηεηκεκέλεο ησλ ζεκείσλ ηνκήο ηνπ γξαθήκαηνο κε ηνλ άμνλα είλαη νη δεηνύκελεο πξνζεγγηζηηθέο ηηκέο ησλ ξηδώλ, πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη ζπλήζσο σο αξρηθέο ηηκέο γηα εύξεζε αθξηβέζηεξσλ πξνζεγγίζεσλ. Σε θάπνηεο πεξηπηώζεηο είλαη πξνηηκόηεξν λα γξάςνπκε ηελ εμίζσζε f 0 ζηε κνξθή, όπνπ, είλαη απινύζηεξεο ζπλαξηήζεηο. Σηε ζπλέρεηα θαηαζθεπάδνπκε ηα γξαθήκαηα ησλ,. Οη ηεηκεκέλεο ησλ ζεκείσλ ηνκήο ησλ γξαθεκάησλ είλαη νη δεηνύκελεο (αξρηθέο) πξνζεγγηζηηθέο ηηκέο ησλ ξηδώλ ηεο f 0. Παράδεηγκα Ι: Να ιπζεί ε εμίζσζε f e 0 γξαθεκάησλ., κε ηε κέζνδν ησλ Γξάθνπκε: e 0 e e Θέηνπκε: e Από ην δηπιαλό ζρήκα δηαπηζηώλνπκε όηη ε εμίζσζε έρεη κία κόλν ξίδα ρ. y () () 0 Παράδεηγκα IΙ: Να ιπζεί ε εμίζσζε f 0, κε ηε κέζνδν ησλ γξαθεκάησλ. Η ζπλάξηεζε f είλαη πνιπσλπκηθή θαη, ζπλεπώο, ζπλερήο ζε όιν ην R. Υπνινγίδνληαο ηηο ηηκέο ηεο ζπλάξηεζεο ζε θάπνηα ζεκεία ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο βξίζθνπκε: f 5, f, f 0, f, f 7 θ.ν.θ. Γηαπηζηώλνπκε ινηπόλ όηη f 5 0 f δηάζηεκα (-, -). Γξάθνπκε: 0 Θέηνπκε:, πνπ ζεκαίλεη όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ κία ξίδα ρ ζην Όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα, κηα ξίδα. 5 y () 5 - =-.5 - ()

6 βξίζθεηαη ζην δηάζηεκα (-, -)... Θεσξεηηθή κέζνδνο εληνπηζκνύ ησλ ξηδώλ Αο ππνζέζνπκε όηη γηα ηελ εμ. (.) κπνξνύκε λα βξνύκε έλα δηάζηεκα,, ζην νπνίν ε ζπλάξηεζε y f είλαη ζπλερήο θαη ηθαλνπνηείηαη ε απαίηεζε ηνπ ζεσξήκαηνο Blza. Τόηε ζα ππάξρεη κία ηνπιάρηζηνλ ξίδα ηεο (.) ηέηνηα ώζηε. Αλ κπνξνύκε λα πξνζδηνξίζνπκε έλαλ αξηζκό, αλήθεη ζε θάπνην απ ηα δηαζηήκαηα ή ην δηάζηεκα:,, ηέηνηνλ ώζηε ε ξίδα λα,, ηόηε κπνξνύκε λα πάξνπκε, f f f f, 0, 0 (.) Με ηνλ ηξόπν απηό πξνζδηνξίδνπκε κηα αθοιοσζία δηαζηεκάηφλ,,,,,,..., (..α) θαη ηελ αληίζηνηρε αθοιοσζία προζεγγίζεφλ ηες ρίδας ρ,,,...,, f a f 0 (..β) Όηαλ ην πιάηνο ηνπ δηαζηήκαηνο, 0, γηα, ηόηε, γεγνλόο πνπ ζεκαίλεη όηη έρνπκε κηα πξνζέγγηζε ηεο ξίδαο ρ. Κάζε ηέηνηα κέζνδνο πξνζέγγηζεο ησλ ξηδώλ κηαο εμίζσζεο νλνκάδεηαη κέζοδος, παρεκβοιής, αθξηβώο γηαηί κεηαμύ ησλ νξίσλ θάζε δηαζηήκαηνο παξεκβάιιεηαη κηα λέα πξνζέγγηζε Παξαηεξήζεηο: Όηαλ ζε θάπνην δηάζηεκα ηεο ξίδαο.,,,,,..., ε ξίδα ρ ζπκπίπηεη κε θάπνην απ ηα άθξα ηνπ, ηόηε δηαθόπηεηαη ε δηαδηθαζία, αθνύ έρεη βξεζεί ε αθρηβής ηηκή ηεο ξίδαο ρ. 6

7 Σηελ πξάμε, ε δηαδηθαζία δηαθόπηεηαη, όηαλ, γηα θάπνην, ην εύξνο ηνπ δηαζηήκαηνο, γίλεη πνιύ κηθξό. Ωο ξίδα ηεο εμ. (.) ζεσξείηαη ε πξνζεγγηζηηθή ηηκή,, πνπ έρεη βξεζεί.. Τπνινγηζκόο ησλ ξηδώλ κε κεζόδνπο παξεκβνιήο.. Μέζνδνο δηρνηόκεζεο Με ηε βνήζεηα ηνπ ζεσξήκαηνο Blza εληνπίδνπκε έλα δηάζηεκα,, ζην 0 νπνίν ε εμ. (.) έρεη ξίδα ξ. Διέγρνπκε αλ ην κέζο ηοσ δηαζηήκαηος είλαη ξίδα ηεο εμίζσζεο. Αλ όρη, εληνπίδνπκε ην δηάζηεκα πνπ πεξηέρεη ηε ξίδα, ην νπνίν ζα είλαη ην, είηε ην, (βι. εμ..). ειέγρνπκε ηώξα αλ ην κέζν, ηνπ, είλαη ξίδα ηεο εμίζσζεο θ.ν.θ. Η αθνινπζία ησλ πξνζεγγίζεσλ πνπ δεκηνπξγείηαη (εμ...β) ζσγθιίλεη ζηε ρίδα ρ. Τν ζθάικα ηεο πξνζέγγηζεο, κεηά από επαλαιήςεηο είλαη: E (.) Αλ καο ελδηαθέξεη λα βξεζεί ξίδα κε πξνζέγγηζε k δεθαδηθώλ υεθίφλ, ηόηε ε (.) ζε ζπλδπαζκό κε ηελ (.) δίλεη: k (.5) απ ηελ νπνία ππνινγίδνπκε ηνλ ειάτηζηο αρηζκό επαλαιήυεφλ ποσ απαηηούληαη. Παράδεηγκα Ι: Αθνύ απνδεηρζεί όηη ε εμίζσζε 0 έρεη κνλαδηθή ξίδα ζην δηάζηεκα (0,), λα βξεζεί ε ξίδα απηή κε πξνζέγγηζε ελόο δεθαδηθνύ ςεθίνπ θαη λα γίλεη εθηίκεζε ηνπ ζθάικαηνο. Έρεη άιιε πξαγκαηηθή ξίδα ε εμίζσζε απηή; Πνηνο είλαη ν ειάρηζηνο απαηηνύκελνο αξηζκόο επαλαιήςεσλ ηεο κεζόδνπ δηρνηόκεζεο, ώζηε λα βξεζεί ε ξίδα κε πξνζέγγηζε δεθαδηθώλ ςεθίσλ; Η ζπλάξηεζε f είλαη πνιπσλπκηθή θαη γη απηό ζπλερήο ζε όιν ην. Δίλαη f f f f ξίδα 0,. 0, 0 0, νπόηε ε εμ. έρεη ηνπιάρηζηνλ κία Η παξάγσγνο ηεο ζπλάξηεζεο είλαη f 0,. Απηό ζεκαίλεη όηη είλαη γλεζίσο αύμνπζα θαη έηζη ε ξίδα ρ είλαη κνλαδηθή θαη είλαη ε κόλε πξαγκαηηθή ξίδα ηεο εμίζσζεο. Απ ηελ εμ. (.5) πξνθύπηεη: 7

8 k 0 k k, δει. απαηηνύληαη 0 0 επαλαιήςεηο.. Μέζν ηνπ (0,): f 0 f f 0, 8. Μέζν ηνπ, : f 0 f f 0, 6. Μέζν ηνπ, : f 0 f f 0, Μέζν ηνπ, 8 : f 0 f f 0, Η ξίδα ινηπόλ βξίζθεηαη ζην δηάζηεκα (0.65, ), Αθνύ δεηείηαη κε πξνζέγγηζε ελόο δεθαδηθνύ ςεθίνπ είλαη ρ=0.6. Τν ζθάικα ηεο πξνζέγγηζεο ππνινγίδεηαη κε ηε βνήζεηα ηεο εμ. (.) θαη είλαη: 0 E Αλ καο ελδηαθέξεη ε εύξεζε ηεο ξίδαο κε πξνζέγγηζε δεθαδηθώλ ςεθίσλ απαηηνύληαη επαλαιήςεηο, όπσο πξνθύπηεη από ηελ (.5): 0 k k 0 0 Παράδεηγκα IΙ: Με ηε κεζνδν ηεο δηρνηόκεζεο λα ππνινγηζηεί, κε αθξίβεηα δύν δεθαδηθώλ ςεθίσλ, κηα ξίδα ηεο εμίζσζεο f 0 0 ζην δηάζηεκα [,]. Η ζπλάξηεζε f f f f f ξίδα,. είλαη πνιπσλπκηθή θαη γη απηό ζπλερήο ζε όιν ην. Δίλαη 5, 70 0, νπόηε ε εμ. έρεη ηνπιάρηζηνλ κία 8

9 Απ ηελ εμ. (.5) πξνθύπηεη: k 0 k k, δει. απαηηνύληαη επαλαιήςεηο, γηα ηελ εύξεζε ηεο ξίδαο κε αθξίβεηα δύν δεθαδηθώλ ςεθίσλ:. Μέζν ηνπ (,):.5 f f f.5 0,.5. Μέζν ηνπ,.5 :.5 f f.5 f.5 0.5,.5. Μέζν ηνπ.5,.5 :.75 f f.5 f ,.75. Μέζν ηνπ.5,.75 : f f f , Μέζν ηνπ.5,.75 : f f f , Μέζν ηνπ.75,.75 : f f f , Μέζν ηνπ.5975,.75 : f f f , Από ηελ ηειεπηαία επαλάιεςε πξνθύπηεη όηη ε δεηνύκελε ξίδα κε αθξίβεηα δύν δεθαδηθώλ ςεθίσλ ππνιγίδεηαη ζε ρ=.6. Τν ζθάικα ηεο ξίδαο ππνινγίδεηαη απ ηελ εμ. (.): E Τπνινγηζκόο ησλ ξηδώλ κε επαλαιεπηηθέο κεζόδνπο.. Γεληθή επαλαιεπηηθή κέζνδνο (Picard Pea) Η εμίζσζε (.) κπνξεί λα γξαθεί ζηε κνξθή: (.6) όπνπ παξαγσγίζηκε ζ έλα δηάζηεκα, θαη, εμίζσζεο (.). Θεσξνύκε ηελ αθνινπζία ζεκείσλ 0,,,...,, πνπ θαηαζθεπάδεηαη κε ηελ αλαδξνκηθή ζρέζε: ε αθξηβήο ξίδα ηεο, 0,,,... (.7) 9

10 Αλ ηζρύεη: c,, (.8) όπνπ c ζηαζεξή, ηόηε ε αθνινπζία (.7) ζσγθιίλεη ζηε ξίδα ξ, ε νπνία είλαη κνλαδηθή. Μεηά από επαλαιήςεηο, ην ζθάικα είλαη E θαη ηζρύεη: c c όπνπ 0 κηα αρτηθή προζέγγηζε ηες ρίδας. Η κέζνδνο πινπνηείηαη κε ηα αθόινπζα βήκαηα: (.9) Βήκα. Γξάθνπκε ηελ εμίζσζε δπλαηό) Βήκα. Υπνινγίδνπκε ηελ παξάγσγν y f ζε ηζνδύλακε κνξθή (αλ είλαη θαη ιύλνπκε ηελ αλίζσζε ζηόρνο είλαη λα βξνύκε γηα πνηεο ηηκέο ε κέζνδνο ζπγθιίλεη, δειαδή ην ζθάικα κεηώλεηαη ζπλερώο, ώζηε λα πάξνπκε ξίδα κε ηελ επηζπκεηή αθξίβεηα. αξγή ζύγθιηζε Αλ γξήγνξε ζύγθιηζε Αλ 0 Βήκα. Ξεθηλώληαο από κηα πξώηε πξνζέγγηζε ηεο ξίδαο, επόκελε πξνζέγγηζε.. Ο, βξίζθνπκε ηελ Βήκα. Δπαλαιακβάλνπκε ην Βήκα όζες θορές τρεηαζηεί, ππνινγίδνληαο κηα δεύηεξε πξνζέγγηζε, ζηε ζπλέρεηα θ.ν.θ. Καηαζθεπάδνπκε έηζη κηα αθνινπζία ηηκώλ, ζύκθσλα κε ηελ εμ. (.7). Η δηαδηθαζία δηαθόπηεηαη κόιηο πξνθύςεη Παράδεηγκα Ι: Με ηελ επαλαιεπηηθή κέζνδν θαη αθξίβεηα δεθαδηθώλ ςεθίσλ λα βξεζεί κηα ξίδα ηεο εμίζσζεο f 0. Βήκα. Γξάθνπκε Βήκα. Δίλαη F 0 F 0 F 0

11 Βήκα. Αξρηθή πξνζέγγηζε 0 Δπαλάιεςε : Βήκα. Δπαλάιεςε : Δπαλάιεςε : F F F Αθνύ 0.5 ζηακαηάκε ηηο επαλαιήςεηο. Η δεηνύκελε ξίδα, κε ηελ επηζπκεηή αθξίβεηα, είλαη 0.5. Παράδεηγκα IΙ: Με ηελ επαλαιεπηηθή κέζνδν θαη αθξίβεηα δεθαδηθώλ ςεθίσλ λα βξεζεί κηα ξίδα ηεο εμίζσζεο f cs 0. Βήκα. Γξάθνπκε Βήκα. Δίλαη cs cs cs 0 cs F F si si F si. Απηό ηζρύεη R Βήκα. Αξρηθή πξνζέγγηζε 0 Δπαλάιεςε : Βήκα. Δπαλάιεςε : Δπαλάιεςε : cs0 F 0.5 cs F cs F Αθνύ 0. ζηακαηάκε ηηο επαλαιήςεηο. Η δεηνύκελε ξίδα, κε ηελ επηζπκεηή αθξίβεηα, είλαη 0.. Παράδεηγκα IIΙ: Με ηελ επαλαιεπηηθή κέζνδν θαη αθξίβεηα δεθαδηθώλ ςεθίσλ λα f l 0. βξεζεί κηα ξίδα ηεο εμίζσζεο l l 0 l Βήκα. Γξάθνπκε l F

12 Βήκα. Δίλαη l F l F l 0 Γηα λα νξίδεηαη ην, ζα πξέπεη λα ηζρύεη. Οη () θαη () ζπλαιεζεύνπλ γηα Βήκα. Αξρηθή πξνζέγγηζε 0 Δπαλάιεςε : l 0 F Βήκα. Δπαλάιεςε : l.0986 F Δπαλάιεςε : l F.6.6 Δπαλάιεςε : l F Δπαλάιεςε 5: l F Δπαλάιεςε 5: l F Αθνύ ζηακαηάκε ηηο επαλαιήςεηο. Η δεηνύκελε ξίδα, κε ηελ επηζπκεηή αθξίβεηα, είλαη.67.

13 .. Μέζνδνο Newt Raphs Η κέζνδνο απηή είλαη ε πην δεκνθηιήο γηα ηνλ πξνζδηνξηζκό κηαο ξίδαο ζε κηα κεγξακκηθή εμίζσζε. Δίλαη απιή ζηελ εθαξκνγή ηεο θαη, γηα απιέο ξίδεο, ε πξνθύπηνπζα αθνινπζία ζπγθιίλεη γξήγνξα (δει. απαηηνύληαη ιίγεο επαλαιήςεηο). Περηγραθή ηες μεζόδοσ Έζησ ε κε-γξακκηθή εμίζσζε f 0, όπνπ ε ζπλάξηεζε f παξαγσγίζηκε ζε έλα δηάζηεκα,, κε ζπλερή παξάγσγν. Αλ f f 0 είλαη ζπλερήο θαη, ζύκθσλα κε ην ζεώξεκα Blza ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ κία ξίδα ρ ηεο εμίζσζεο θαη,. Γηα ηελ πξνζέγγηζε ηεο ξίδαο ρξεζηκνπνηνύκε ηνλ αλαγσγηθό ηύπν: είλαη f N, f Η «θαηαζθεπή» ηεο εμ. (.) κπνξεί λα πεξηγξαθεί κε ηε βνήζεηα ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο y f. (.0) Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο είλαη ε γξακκή C, ε νπνία ηέκλεη ηνλ -άμνλα ζην ζεκείν ρ, ην νπνίν πξνθαλώο είλαη ε ξίδα ηεο εμίζσζεο. Απ ην ζεκείν Α(,f( )), θέξνπκε ηελ εθαπηνκέλε ζηε C, ε νπνία έρεη θιίζε ίζε κε ηελ πξώηε παξάγσγν f ηεο ζπλάξηεζεο, ζην ζεκείν Α. Η εμίζσζε ηεο εθαπηόκελεο γξακκήο είλαη: y f f y f f (.) Η επζεία (.) ηέκλεη ηνλ -άμνλα ζην ζεκείν κε ηεηκεκέλε +. Γηα ην ζεκείν απηό ηζρύεη y=0, δειαδή (απ ηελ εμ. (.)) παίξλνπκε:

14 0 f f f f πνπ είλαη ε εμ. (.0). Απ ην ζεκείν B( +,f( + )) θέξνπκε ηελ εθαπηόκελε ζηε C, ε νπνία ηέκλεη ηνλ - άμνλα ζην ζεκείν κε ηεηκεκέλε +. Σπλερίδνπκε κέρξη λα βξνύκε k ηέηνην ώζηε: E, όπνπ E ε δεηνύκελε αθξίβεηα. k k Παραηερήζεης. Σε θάζε επαλάιεςε, ην ζθάικα ηεο κεζόδνπ Newt-Raphs κεηώλεηαη «ηεηξαγσληθά» ζε ζρέζε κε ηελ πξνεγνύκελε ηηκή ηνπ, ελώ ζηε γεληθή επαλαιεπηηθή κέζνδν κεηώλεηαη αλάινγα κε ηελ πξνεγνύκελε ηηκή ηνπ.. Η εθαξκνγή ηεο κεζόδνπ παξνπζηάδεη πξόβιεκα όηαλ ε αξρηθή πξνζέγγηζε ηεο ξίδαο είλαη θνληά ζε θάπνην αθξόηαην ηεο ζπλάξηεζεο, νπόηε ε κέζνδνο απνθιίλεη, ή δε δίλεη ηελ επηζπκεηή πξνζέγγηζε. Γηα λα αληηκεησπίζνπκε έλα ηέηνην ελδερόκελν, αξρηθά ππνινγίδνπκε ηε δεύηεξε παξάγσγν ηεο ζπλάξηεζεο f θαη, ζηε ζπλέρεηα, επηιέγνπκε σο πξώηε πξνζέγγηζε ηεο ξίδαο κηα ηηκή ηέηνηα ώζηε f f 0. Η κέζνδνο πινπνηείηαη κε ηα αθόινπζα βήκαηα: f f Βήκα. Πξνζδηνξίδνπκε έλα δηάζηεκα,, ζην νπνίν ππάξρεη ξίδα ηεο εμίζσζεο f 0 (ζα πξέπεη f f 0 Βήκα. Υπνινγίδνπκε ηελ πξώηε ζύκθσλα κε ην ζεώξεκα Blza) f θαη ηε δεύηεξε f ζπλάξηεζεο θαη επηιέγνπκε κηα πξώηε πξνζέγγηζε εμίζσζεο, ζύκθσλα κε ην θξηηήξην f f 0. Βήκα. Ξεθηλώληαο από ηελ πξώηε πξνζέγγηζε ηεο ξίδαο, επόκελε πξνζέγγηζε. παξάγσγν ηεο ηεο ξίδαο ηεο, βξίζθνπκε ηελ Βήκα. Δπαλαιακβάλνπκε ην Βήκα όζες θορές τρεηαζηεί, ππνινγίδνληαο κηα δεύηεξε πξνζέγγηζε, ζηε ζπλέρεηα θ.ν.θ. Καηαζθεπάδνπκε έηζη κηα αθνινπζία ηηκώλ, ζύκθσλα κε ηελ εμ. (.0). Η δηαδηθαζία δηαθόπηεηαη κόιηο πξνθύςεη Παράδεηγκα Ι: Με ηελ κέζνδν Newt-Raphs θαη αθξίβεηα δεθαδηθώλ ςεθίσλ λα βξεζεί κηα ξίδα ηεο εμίζσζεο f 5 0. Η f είλαη πνιπσλπκηθή θαη ζπλεπώο παξαγσγίζηκε (σο ζπλερήο) R. Βήκα. Δίλαη f f f f 0, 0 0 ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ κηα ξίδα ηεο εμίζσζεο ζην δηάζηεκα (0,).

15 f 0 Βήκα. Πξώηε παξάγσγνο: Γεύηεξε παξάγσγνο: f 6 0 Δίλαη f f f f 0 0, 0 σο πξώηε πξνζέγγηζε επηιέγνπκε ηελ ηηκή 0. Βήκα. Δίλαη f 7, νπόηε έρνπκε: Δπαλάιεςε : f f Βήκα. Δπαλάιεςε : f f f f 0.57 Δπαλάιεςε : f f f f 0.8 Δπαλάιεςε : f f f f 0.7 Αθνύ 0.7 ζηακαηάκε ηηο επαλαιήςεηο. Η δεηνύκελε ξίδα, κε ηελ επηζπκεηή αθξίβεηα, είλαη 0.7. Επηβεβαίωζε ηες ηημής ηες ρίδας με ηο ζρήκα Hrer. Τν ζρήκα Hrer ρξεζηκνπνηείηαη γηα λα ειεγτζεί αλ θάπνηνο δνζκέλνο αξηζκόο είλαη ξίδα κηαο ποισφλσκηθής εμίζσζεο f 0 (όπνπ f... ) θαη ότη γηα λα βρεζεί ρίδα. Η κέζνδνο πεξηγξάθεηαη ζηε ζπλέρεηα: 0 Δθηειείηαη ε δηαίξεζε f / (κε λέν πνιπώλπκν:... 0 ) νπόηε πξνθύπηεη έλα p (H.) πνπ είλαη ην πειίθο, θαζώο θαη (ζηε γεληθή πεξίπησζε) έλα σπόιοηπο R. Ιζρύεη ε ηασηόηεηα ηες Εσθιείδηας δηαίρεζες: f p R (H.), πνπ ζεκαίλεη όηη ν βαζκός (deg) ηοσ πειίθοσ p() είλαη κηθρόηερος από ασηόλ ηοσ αρτηθού ποισφλύκοσ f(). νπόηε deg p deg f deg 5

16 Σύκθσλα κε ηε ζρέζε (H.), όηαλ R 0 ν δνζκέλνο αξηζκόο είλαη ξίδα ηεο αξρηθήο εμίζσζεο. Από ηηο (H.) θαη (H.) δηαπηζηώλνπκε όηη: R... ( ) R 0 0 (H.) Σπγθξίλνληαο ηνπο ζπληειεζηέο ζηα δύν κέιε ηεο (H.) θαηαιήγνπκε ζην ζπκπέξαζκα όηη: 0 0 R R Τν ζρήκα Hrer κπνξεί λα πεξηγξαθεί κε ηελ αθόινπζε κνξθή: R Γηα ην Παξάδεηγκα I ζα εμεηάζνπκε αλ ν αξηζκόο ρ=0.7 είλαη όλησο ξίδα ηεο αξρηθήο καο εμίζσζεο: R= Τν ππόινηπν ηεο δηαίξεζεο είλαη R 0, πνπ ζεκαίλεη όηη ε ηηκή πνπ βξήθακε είλαη ξίδα ηεο εμίζσζεο. Παράδεηγκα ΙΙ: Με ηελ κέζνδν Newt-Raphs λα θαηαζθεπαζηεί ν αιγόξηζκνο ππνινγηζκνύ ηεο ηεηξαγσληθήο ξίδαο ελόο ζεηηθνύ αξηζκνύ. Να ππνινγηζηεί ε ηηκή, κε αθξίβεηα ηξηώλ δεθαδηθώλ ςεθίσλ. Έζησ όηη ζέινπκε λα ππνινγίζνπκε ηελ ηηκή a, a 0 a a a 0. Βήκα. Η ζπλάξηεζε f a ζεκαίλεη όηη ππάξρεη ξίδα ζην R.. Δίλαη είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε R. Απηό 6

17 Βήκα. f f 0, a f 0, 0 f f 0 0 ηελ επηινγή ηεο αξρηθήο πξνζέγγηζεο ηεο ξίδαο. Βήκα. Αλαγσγηθόο ηύπνο Newt-Raphs: f a f a δελ ππάξρεη πεξηνξηζκόο γηα Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο ηηκήο επηιέγνπκε σο πξώηε πξνζέγγηζε. Δπαλάιεςε : Δπαλάιεςε : Δπαλάιεςε : Δπαλάιεςε : Δπαλάιεςε 5: Δπαλάιεςε 6: Αθνύ ζηακαηάκε ηηο επαλαιήςεηο. Η δεηνύκελε ηηκή, κε ηελ επηζπκεηή αθξίβεηα, είλαη.7. 0 Παράδεηγκα IV: Με ηελ κέζνδν Newt-Raphs λα βξεζεί κηα ξίδα ηεο εμίζσζεο f si 0, κε αθξίβεηα 5 δεθαδηθώλ ςεθίσλ ( ζε rad). 5 Η f είλαη άζξνηζκα πνιπσλπκηθήο θαη ηξηγσλνκεηξηθήο θαη ζπλεπώο παξαγσγίζηκε. Βήκα. Δίλαη f 0, f f 0 f 0 ππάξρεη 5 ηνπιάρηζηνλ κηα ξίδα ηεο εμίζσζεο ζην δηάζηεκα (0,π/). Βήκα. Πξώηε παξάγσγνο: f cs 5 Γεύηεξε παξάγσγνο: f si 5 7

18 Δίλαη f 0 0.5, f 0 0.8, f 0 0 f , f, f 0.0 Έηζη σο πξώηε πξνζέγγηζε επηιέγνπκε ηελ ηηκή 0 0 (ην 0 ζεσξείηαη ρσξίο πξόζεκν). Βήκα. Δπαλάιεςε : Βήκα. Δπαλάιεςε : Δπαλάιεςε : f f f 0 f f f f f Αθνύ ζηακαηάκε ηηο επαλαιήςεηο. Η δεηνύκελε ξίδα, κε ηελ επηζπκεηή αθξίβεηα, είλαη Μέζνδνο ηέκλνπζαο Με ηε κέζνδν απηή, νη πξνζεγγίζεηο ηεο ξίδαο ξ ππνιγίδνληαη κε ρξήζε ηνπ αλαγσγηθνύ ηύπνπ: f, N f f (.) Γηα ηε ρξήζε ηεο εμ. (.) απαηηείηαη ε γλώζε δύν αξρηθώλ ηηκώλ,. Η εμ. 0 (.) πξνθύπηεη από ηνλ ηύπν ηεο κεζόδνπ Newt-Raphs, κε ηελ αληηθαηάζηαζε: f f f Γεωμεηρηθή ερμενεία Αλ f 0 f 0, ε εμίζσζε f 0 έρεη ξίδα,. 0 Η ρνξδή ΑΒ ηέκλεη ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο, f. Η f ζην ηηκή είλαη πξνζεγγηζε ηεο ξίδαο. Η ρνξδή ΑΓ ηέκλεη ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο, f f ζην θ.ν.θ. 8

19 Με ηνλ ηξόπν απηό δεκηνπξγείηαη κηα αθνινπζία ηηκώλ, 0,,,..., πνπ είλαη δπλαηό λα ζπγθιίλεη ζηελ ηηκή ηεο ξίδαο ρ. Παράδεηγκα Ι: Με ηελ κέζνδν ηεο ηέκλνπζαο λα βξεζεί κηα ξίδα ηεο εμίζσζεο f 0. Να γίλεη ζύγθξηζε κε ηε κέζνδν Newt-Raphs. Έρνπκε, γηα 0 f 0 f f 0 f ξίδα 0,. 0,, 0 ππάξρεη Με ηε βνήζεηα ηεο εμ. (.) βξίζθνπκε: f 0 f f 0 f f f f f f f 5 f f f f 5 f f f 6 f 5 f f 7 f Με πξνζέγγηζε δύν δεθαδηθώλ ςεθίσλ έρνπκε ηε ξίδα ρ=0.68. Αλ εθαξκόζνπκε ηε κέζνδν Newt-Raphs, κε αξρηθή πξνζέγγηζε ζα έρνπκε: f f νπόηε βξίζθνπκε: 0.7, 0.68, 0.68 θ.ν.θ. Έηζη βξίζθνπκε ηε ξίδα ζε ηξεηο κόλνλ επαλαιήςεηο. 9