ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Transcript

1 ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ηµήτρης Αθανασίου Φυσικός ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Ερωτήσεις ολλαλής ειλογής.περιοδικά ονοµάζονται τα φαινόµενα τα οοία α.εαναλαµβάνονται σε σταθερά χρονικά διαστήµατα β.εαναλαµβάνονται αναλλοίωτα γ.εαναλαµβάνονται αναλλοίωτα σε σταθερά χρονικά διαστήµατα δ.εαναλαµβάνονται αργά σε σταθερά χρονικά διαστήµατα.περίοδος κάθε εριοδικού φαινοµένου ονοµάζεται α.ο χρόνος ου ααιτείται για να ολοκληρωθεί λήρως το φαινόµενο β.ο χρόνος ου ααιτείται για να ραγµατοοιηθεί δύο φορές το φαινόµενο γ.ο χρόνος ου µεσολαβεί µέχρι να ξαναραγµατοοιηθεί το φαινόµενο δ.η ταχύτητα µε την οοία ραγµατοοιείται το φαινόµενο 3.Όταν σε χρόνο t γίνονται N εαναλήψεις ενός εριοδικού φαινοµένου, η ερίοδος της κίνησης δίνεται αό τη σχέση α. N t t β. N γ. Nt δ. N t.η µονάδα µέτρησης της εριόδου µιας ταλάντωσης είναι

2 α. Hz β. s γ. s δ. Kg 5.Ο ωροδείκτης ενός ρολογιού έχει ερίοδο σε ώρες ( ) h α. h β. h γ. h δ. 8 h 6.Η ερίοδος της Γης λόγω εριστροφής γύρω αό τον άξονά της είναι α.365 µέρες β. h γ. h δ. 8 h 7.Συχνότητα κάθε εριοδικού φαινοµένου ονοµάζεται α.ο αριθµός των εαναλήψεων του εριοδικού φαινοµένου β.ο αριθµός των εαναλήψεων του εριοδικού φαινοµένου σε µία ώρα γ.ο αριθµός των εαναλήψεων του εριοδικού φαινοµένου σε ώρες δ.ο αριθµός των εαναλήψεων του εριοδικού φαινοµένου ρος τον αντίστοιχο χρόνο α. β. 8.Όταν σε χρόνο t γίνονται N εαναλήψεις ενός εριοδικού φαινοµένου, η συχνότητα f της κίνησης δίνεται αό τη σχέση N f t t f N f γ. Nt δ. f N t 9.Η µονάδα µέτρησης της συχνότητας µιας ταλάντωσης είναι α. Hz κύκλος β. γ. s s δ.όλα τα ροηγούµενα

3 .Η εριόδος και η συχνότητα κάθε εριοδικού φαινοµένου συνδέονται µε τη σχέση α. f β. f γ. f δ. f.η σχέση µεταξύ γωνιακής ταχύτητας ω, εριόδου και συχνότητας f κάθε εριοδικού φαινοµένου είναι α. ω και ω f και ω f β. ω γ. ω και ω f δ. ω και ω f.η µονάδα µέτρησης της γωνιακής συχνότητας (ταχύτητας) ω µιας ταλάντωσης είναι α. Hz rad β. s γ. s δ. s 3.Η αοµάκρυνση, η ταχύτητα και ειτάχυνση ενός σώµατος ου εκτελεί α. α. τ.. κάθε στιγµή δίνονται αό τις σχέσεις (η ταλάντωση ξεκινά αό τη θέση ισορροίας και κινείται κατά τη θετική φορά) α. x Aσυνωt, υ ωaηµωt, a Aω συνωt β. x Aηµωt, υ Aσυνωt, a ω ηµωt γ. x Aηµωt, υ ωaσυνωt, a ω Aηµωt δ. x ωaηµωt, υ Aσυνωt, a ωa ηµωt.η µέγιστη αοµάκρυνση, η µέγιστη ταχύτητα και η µέγιστη αοµάκρυνση για την ταλάντωση της ροηγούµενης ερώτησης δίνονται αό τη σχέση α. x A, υ ωa, a β. x A, υ ωa, a Aω Aω γ. x A, υ ωa, a A ω δ. x A, υ ωa, a A ω 3

4 5.Ένα σώµα εκτελεί α.α.τ. µε µέγιστη αοµάκρυνση A και γωνιακή συχνότητα ω. Αν διλασιάσουµε τη γωνιακή συχνότητα, η µέγιστη αοµάκρυνση του σώµατος α.διλασιάζεται β.τετραλασιάζεται γ.υοδιλασιάζεται δ.αραµένει σταθερή 6.Ένα σώµα εκτελεί α.α.τ. µε µέγιστη αοµάκρυνση A και γωνιακή συχνότητα ω. Αν διλασιάσουµε τη γωνιακή συχνότητα, η µέγιστη ταχύτητα του σώµατος α.διλασιάζεται β.τετραλασιάζεται γ.υοδιλασιάζεται δ.αραµένει σταθερή 7.Ένα σώµα εκτελεί α.α.τ. µε µέγιστη αοµάκρυνση A και γωνιακή συχνότητα ω. Αν διλασιάσουµε τη γωνιακή συχνότητα, η µέγιστη ειτάχυνση του σώµατος α.διλασιάζεται β.τετραλασιάζεται γ.υοδιλασιάζεται δ.αραµένει σταθερή 8.Όταν τη χρονική στιγµή µηδέν, το κινητό ου εκτελεί α.α.τ.,ερνά αό κάοιο άλλο σηµείο το οοίο βρίσκεται σε αόσταση d αό τη θέση ισορροίας, οι εξισώσεις της αοµάκρυνσης, ταχύτητας και ειτάχυνσης κάθε στιγµή είναι ω συν ωt+ φ α. x Aσυν( ωt + φ ), υ ωaηµ( ωt + φ ), a -A ( ) ω ηµ ωt+ φ β. x Aηµ( ωt + φ ), υ Aσυν( ωt + φ ), a - ( ) ω ηµ ωt+ φ γ. x Aηµ( ωt + φ ), υ Aωσυν( ωt + φ ), a - A ( ) ω ηµ ωt+ φ δ. x ωaηµ( ωt + φ ), υ Aσυν( ωt + φ ), a - A ( ) 9.Η εξίσωση της αοµάκρυνσης ενός σώµατος, το οοίο εκτελεί α.α.τ. είναι x.ηµ (t + ) στο S. I I. Η ερίοδος της ταλάντωσης είναι α. s β. s γ.. 5 s δ. s II. Η συχνότητα της ταλάντωσης είναι α. Hz β. Hz γ. Hz δ.. 5 Hz III.Η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης είναι rad rad α. β. s s γ. rad s rad δ. s

5 IV.Η µέγιστη αοµάκρυνση (λάτος) είναι α.. cm β. m γ.. m δ. m V.Η µέγιστη ταχύτητα είναι cm α.. β.. s VI.Η µέγιστη ειτάχυνση είναι cm α.. s cm γ.. s m δ.. s m m β.. γ.. 8 δ.. 8 s s m s cm s.υλικό σηµείο εκτελεί α.α.τ. υό την είδραση συνισταµένης δύναµης F. Αν x είναι η αοµάκρυνση του σηµείου αό τη θέση ισορροίας του και D θετική σταθερά, τότε για τη δύναµη ισχύει α. F D β. F Dx γ. F -Dx δ. F.Η ερίοδος της αλής αρµονικής ταλάντωσης δίνεται αό τη σχέση α. β. γ. δ. m D D m m D m D.Η συχνότητα της αλής αρµονικής ταλάντωσης δίνεται αό τη σχέση α. β. γ. δ. f f f f D m m D m D D m 3.Αν τετραλασιάσουµε τη µάζα m σώµατος ου εκτελεί α.α.τ, η ερίοδος της ταλάντωσής του 5

6 α.τετραλασιάζεται β.διλασιάζεται γ.υοδιλασιάζεται δ.υοτετραλασιάζεται.αν τετραλασιάσουµε τη σταθερά εαναφοράς D α.α.τ, η ερίοδός της α.τετραλασιάζεται β.διλασιάζεται γ.υοδιλασιάζεται δ.υοτετραλασιάζεται 5.Αν τετραλασιάσουµε τη µάζα m σώµατος ου εκτελεί α.α.τ, η συχνότητα της ταλάντωσης ου εκτελεί α.τετραλασιάζεται β.διλασιάζεται γ.υοδιλασιάζεται δ.υοτετραλασιάζεται 6.Αν τετραλασιάσουµε τη σταθερά εαναφοράς D αλή αρµονική ταλάντωση, η συχνότητά της α.τετραλασιάζεται β.διλασιάζεται γ.υοδιλασιάζεται δ.υοτετραλασιάζεται 7.Αό δύο ελατήρια,ίδιας σταθεράς k, κρέµονται δύο µάζες m και m ( m m ). Αοµακρύνουµε τις µάζες αό τη θέση ισορροίας. Για τις ερίοδους των ταλαντώσεων ου εκτελούν ισχύει α. β. γ. δ. 8.Αό δύο ελατήρια, ου έχουν σταθερές k και k ( 9k µάζες αό τη θέση ισορροίας. Για τις ερίοδους των ταλαντώσεων ου εκτελούν ισχύει k ), κρέµονται δύο ίσες µάζες m. Αοµακρύνουµε τις 3 3 α. β. γ. δ. 9 6

7 9.Αν διλασιάσουµε µόνο το λάτος A µιας α.α.τ, η υ και η a αντίστοιχα α.διλασιάζεται, τετραλασιάζεται β.διλασιάζεται, µένει σταθερή γ.µένει σταθερή, διλασιάζεται δ.διλασιάζεται, διλασιάζεται 3.Αν διλασιάσουµε µόνο την κυκλική ω µιας α.α.τ, η υ και η a αντίστοιχα α.διλασιάζεται, τετραλασιάζεται β.διλασιάζεται, µένει σταθερή γ.µένει σταθερή, διλασιάζεται δ.διλασιάζεται, διλασιάζεται 3.Στις ακραίες θέσεις η αοµάκρυνση, η ταχύτητα και η ειτάχυνση (κατ αόλυτο τιµή) έχουν τιµές αντίστοιχα α.µέγιστη, µέγιστη, µηδέν β.µέγιστη, µέγιστη, µέγιστη γ.µέγιστη, µηδέν, µέγιστη δ.µηδέν, µέγιστη, µηδέν 3.Στη θέση ισορροίας η αοµάκρυνση, η ταχύτητα και η ειτάχυνση (κατ αόλυτο τιµή) έχουν τιµές αντίστοιχα α.µέγιστη, µέγιστη, µηδέν β.µέγιστη, µέγιστη, µέγιστη γ.µέγιστη, µηδέν, µέγιστη δ.µηδέν, µέγιστη, µηδέν 33.Σώµα εκτελεί α.α.τ. διαγράφοντας ως εξής την τροχιά : αό το O P O P O Α (+) Ρ ακραία θέση Ο θέση ισορροίας Ρ ακραία θέση I.Οι τιµές της αοµάκρυνσης, ταχύτητας και ειτάχυνσης στη θέση O α. A,,ωA β.,ωa, γ. ω A,, δ. ω A,, ω A είναι αντίστοιχα II.Οι τιµές της αοµάκρυνσης, ταχύτητας και ειτάχυνσης στη θέση P είναι αντίστοιχα α. A,, ω A β.,ωa, γ. ω A,, δ. ω A,,-ω A 7

8 III.Οι τιµές της αοµάκρυνσης, ταχύτητας και ειτάχυνσης στη θέση O (όταν έρχεται αό το P ) είναι αντίστοιχα α. A,,ωA β., ω A, γ.,-ω A, ω ω ω ω ω δ. - A,, A P είναι αντίστοιχα V.Οι τιµές της αοµάκρυνσης, ταχύτητας και ειτάχυνσης στη θέση O (όταν έρχεται αό το α. A,,ωA β., ω A, γ.,-ω A, ω ω δ. A,,- A IV.Οι τιµές αοµάκρυνσης, ταχύτητας και ειτάχυνσης στη θέση α. A,,- A β. - A,,- A γ. ω A,, δ. A,,- A 3.Η δυναµική ενέργεια για κάθε χρονική στιγµή στην α.α.τ. δίνεται αό τη σχέση P ) είναι αντίστοιχα α. U ka DA Dx ηµ ω β. U t γ. U δ.οι ααντήσεις β και γ 35.H κινητική ενέργεια για κάθε χρονική στιγµή στην α.α.τ. δίνεται αό τη σχέση α. K mυ β. K mυ γ. K mυσυν ωt δ.οι ααντήσεις α και γ 36. Η ολική ενέργεια στην α.α.τ. δίνεται αό τη σχέση α. DA β. mυ γ. Dx + mυ δ.όλα τα ροηγούµενα 8

9 37.Για το ελατήριο της ερώτησης 3 I.Οι τιµές της U, K και α. DA,, mυ β. DA, mυ, γ., m υ, mυ υ δ. m,, ολ στη θέση O είναι αντίστοιχα II.Οι τιµές της U, K και α. DA β. DA,, DA, mυ, mυ, γ. DA, δ. DA,, DA ολ στη θέση P είναι αντίστοιχα III.Οι τιµές της U, K και ολ στη θέση O (όταν έρχεται αό το P ) είναι αντίστοιχα IV.Οι τιµές της U, K και α.,- m υ, β.,- m υ,- mυ γ., m υ, mυ δ., mυ, α. DA,, DA β. - DA,,- DA γ. DA,,- DA δ. - DA,, DA ολ στη θέση P είναι αντίστοιχα 9

10 V.Οι τιµές της U, K και α., m υ, mυ β.,- m υ,- mυ γ., m υ,- mυ δ.,- m υ, mυ A α. x ± β. x ± A A γ. x ± A δ. x ± ολ στη θέση O (όταν έρχεται αό το P ) είναι αντίστοιχα 38.Ελατήριο σταθεράς k εκτελεί α.α.τ. λάτους A, ξεκινώντας αό τη θέση ισορροίας. Η K είναι ίση µε την U στο σηµείο ου αέχει αό τη θέση ισορροίας (δύο θέσεις, δεξιά και αριστερά αό τη θέση ισορροίας) 39.Ελατήριο σταθεράς k εκτελεί α.α.τ. λάτους A, ξεκινώντας αό τη θέση ισορροίας. Η K είναι ίση µε το µισό της U στο σηµείο ου αέχει αό τη θέση ισορροίας (δύο θέσεις, δεξιά και αριστερά αό τη θέση ισορροίας) A α. x ± β. x ± A 3 A γ. x ± A δ. x ±.Ηλεκτρική ταλάντωση ονοµάζουµε α.την εµφάνιση σε συγκεκριµένα χρονικά διαστήµατα ηλεκτρικής ενέργειας στον υκνωτή β.την εµφάνιση σε συγκεκριµένα χρονικά διαστήµατα ενέργειας µαγνητικού εδίου στο ηνίο γ.το µετασχηµατισµό της ηλεκτρικής ενέργειας του υκνωτή σε ενέργεια µαγνητικού εδίου στο ηνίο και αντιστρόφως δ.το µετασχηµατισµό της ηλεκτρικής ενέργειας του υκνωτή σε ενέργεια µαγνητικού εδίου στο ηνίο.κύκλωµα LC εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση (θεωρούµε χρονική στιγµή µηδέν, όταν ο υκνωτής έχει φορτίο Q και κλείνουµε το διακότη). Οι εξισώσεις ου δίνουν το φορτίο q και την ένταση i κάθε χρονική στιγµή είναι α. q Qσυνωt, i Iηµωt β. q Qηµωt, i Iσυνωt γ. q Qηµωt, i Iηµωt δ. q Qσυνωt, i I t συνω

11 .Η ενέργεια του ηλεκτρικού εδίου του υκνωτή κάθε χρονική στιγµή δίνεται αό τη σχέση Q α. U C q β. U C Q γ. U συν ωt C δ.οι σχέσεις β και γ 3.Η µέγιστη ενέργεια του ηλεκτρικού εδίου του υκνωτή δίνεται αό τη σχέση Q α. C q β. U C Q γ. U C Q δ. U C U.Η ενέργεια του µαγνητικού εδίου του ηνίου κάθε χρονική στιγµή δίνεται αό τη σχέση α. U B Li β. U B LI γ. U B LI ηµ ωt δ.οι σχέσεις α και γ 5.Η µέγιστη ενέργεια του µαγνητικού εδίου του ηνίου δίνεται αό τη σχέση α. U B Li β. U B LI γ. U B Li δ. U B L I

12 6.Η ολική ενέργεια κυκλώµατος LC δίνεται αό τη σχέση α. LI Q β. C q γ. + Li C δ.όλα τα ροηγούµενα 7.Η ερίοδος ιδανικού κυκλώµατος LC δίνεται αό τη σχέση α. L C β. L C γ. LC δ. LC 8.Η συχνότητα f ιδανικού κυκλώµατος LC δίνεται αό τη σχέση α. f LC β. f LC γ. f LC δ. f LC 9.Αν τετραλασιάσουµε τη χωρητικότητα C υκνωτή σε κύκλωµα LC η ερίοδος α.τετραλασιάζεται β.διλασιάζεται γ.υοδιλασιάζεται δ.αραµένει σταθερή 5.Αν τετραλασιάσουµε το συντελεστή αυτεαγωγής L σε κύκλωµα LC η ερίοδος α.τετραλασιάζεται β.διλασιάζεται γ.υοδιλασιάζεται δ.αραµένει σταθερή

13 5.Αν διλασιάσουµε τη χωρητικότητα C υκνωτή και υοδιλασιάσουµε το συντελεστή αυτεαγωγής L σε κύκλωµα LC η ερίοδος α.τετραλασιάζεται β.διλασιάζεται γ.υοδιλασιάζεται δ.αραµένει σταθερή 5.Αν τετραλασιάσουµε τη χωρητικότητα C υκνωτή σε κύκλωµα LC η συχνότητα α.τετραλασιάζεται β.διλασιάζεται γ.υοδιλασιάζεται δ.αραµένει σταθερή 53.Αν τετραλασιάσουµε τον συντελεστή αυτεαγωγής L σε κύκλωµα LC η συχνότητα α.τετραλασιάζεται β.διλασιάζεται γ.υοδιλασιάζεται δ.αραµένει σταθερή 5.Αν διλασιάσουµε τη χωρητικότητα C υκνωτή και υοδιλασιάσουµε το συντελεστή αυτεαγωγής L σε κύκλωµα LC η συχνότητα α.τετραλασιάζεται β.διλασιάζεται γ.υοδιλασιάζεται δ.αραµένει σταθερή 55.Σε ιδανικό κύκλωµα LC η συχνότητα της ηλεκτρικής ταλάντωσης διλασιάζεται όταν α.διλασιαστεί η χωρητικότητα του υκνωτή β.διλασιαστεί ο συντελεστής αυτεαγωγής του ηνίου γ.τετραλασιαστεί η χωρητικότητα του υκνωτή δ.υοτετραλασιαστεί ο συντελεστής αυτεαγωγής του ηνίου 56.Η τάση φόρτισης του υκνωτή σε ιδανικό κύκλωµα LC, το οοίο µορεί να εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις, διλασιάζεται. Τότε α.η ενέργεια της ταλάντωσης διλασιάζεται β.η ερίοδος αραµένει σταθερή γ.η συχνότητα της ταλάντωσης διλασιάζεται δ.η ένταση του ηλεκτρικού εδίου του υκνωτή τετραλασιάζεται 3

14 57.Η γωνιακή ταχύτητα ω σε ιδανικό κύκλωµα LC δίνεται αό τη σχέση α. ω β. ω γ. ω LC LC LC δ. ω LC 58.Στο κύκλωµα των εξαναγκασµένων ηλεκτρικών ταλαντώσεων του σχήµατος C R L V ~ α.το λάτος I της έντασης του ρεύµατος είναι ανεξάρτητο της συχνότητας της εναλλασσόµενης τάσης β.η συχνότητα της ηλεκτρικής ταλάντωσης του κυκλώµατος είναι άντοτε ίση µε την ιδιοσυχνότητά του γ.η ιδιοσυχνότητα του κυκλώµατος είναι ανεξάρτητη της χωρητικότητας C του υκνωτή δ.όταν η συχνότητα της εναλλασσόµενης τάσης γίνει ίση µε την ιδιοσυχνότητα του κυκλώµατος, έχουµε µεταφορά ενέργειας στο κύκλωµα κατά το βέλτιστο τρόο 59.Φθίνουσα ταλάντωση ονοµάζεται η ταλάντωση της οοίας α.το λάτος της µειώνεται µέχρι ένα ορισµένο σηµείο β.το λάτος της συνεχώς µειώνεται µέχρι να σταµατήσει γ.η ερίοδος της µειώνεται στο µισό της αρχικής της τιµής δ.λόγω ειδρασης εξωτερικής δύναµης το λάτος της διατηρείται σταθερό 6.Σε µια φθίνουσα ταλάντωση η ενέργεια του ταλαντούµενου συστήµατος α.αυξάνεται συνεχώς β.ελαττώνεται συνεχώς γ.αραµένει σταθερή δ.ελαττώνεται µέχρι να αοκτήσει ορισµένη τιµή 6.Η σταθερά αόσβεσης b σε µια φθίνουσα ταλάντωση εξαρτάται α.αό τις ιδιότητες του µέσου β.αό το σχήµα του αντικειµένου ου κινείται γ.αό το µέγεθος του αντικειµένου ου κινείται δ.όλα τα αραάνω

15 6.Ένα σύστηµα ελατήριο - σώµα εκτελεί ταλάντωση µέσα σένα µέσο µε σταθερά αόσβεσης b. Η ερίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης α.συνεχώς ελαττώνεται β.στην αρχή µειώνεται λίγο και µετά ερισσότερο γ.αραµένει σταθερή δ.στην αρχή αραµένει σταθερή και κατόιν µειώνεται 63.Σε µια φθίνουσα ταλάντωση το λάτος της ταλάντωσης σε σχέση µε τη σταθερά αόσβεσης b α.ελαττώνεται ιο γρήγορα όταν µεγαλώνει η σταθερά αόσβεσης b του µέσου β.ελαττώνεται ιο γρήγορα όταν ελαττώνεται η σταθερά αόσβεσης b του µέσου γ.δεν εξαρτάται αό το µέσο µέσα στο οοίο γίνεται η ταλάντωση δ.είναι άντα σταθερό 6.Το σύστηµα ανάρτησης ενός αυτοκινήτου είναι ένα σύστηµα το οοίο βασίζεται στις φθίνουσες ταλαντώσεις. Για την άνεση των ειβατών ένα τέτοιο σύστηµα ρέει να έχει σταθερά αόσβεσης b α.µικρή β.µηδενκή γ.ολύ µεγάλη δ.µεσαία 65.Σένα κύκλωµα LC το οοίο εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση η ελάττωση του λάτους της έντασης του ρεύµατος ου διαρρέει το κύκλωµα κυρίως οφείλεται α.στην ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία β.στο ότι ο υκνωτής δεν είναι ιδανικός γ.στη συνολική ωµική αντίσταση του κυκλώµατος δ.στο ότι το ηνίο δεν είναι ιδανικό 66.Κατά τη φθίνουσα µηχανική ταλάντωση α.το λάτος αραµένει σταθερό β.η µηχανική ενέργεια διατηρείται γ.το λάτος µεταβάλλεται σύµφωνα µε τη σχέση A Λt A e, όου Λ θετική σταθερά δ.έχουµε µεταφορά ενέργειας αό το ταλαντούµενο σύστηµα στο εριβάλλον 67.Ένα σύστηµα εκτελεί εξαναγκασµένη ταλάντωση σταθερού λάτους. Η συχνότητα της ταλάντωσης του συστήµατος είναι α.µικρότερη αό αυτήν του διεγέρτη β.µεγαλύτερη αό αυτήν του διεγέρτη γ.ίση µε την ιδιοσυχνότητά του δ.ίση µε τη συχότητα του διεγέρτη 68.Σε µια εξαναγκασµένη ταλάντωση το λάτος της ταλάντωσης α.είναι ανεξάρτητο αό τη συχνότητα του διεγέρτη β.εξαρτάται αό τη συχνότητα του διεγέρτη γ.αυξάνεται συνεχώς όταν αυξάνεται η συχνότητα του διεγέρτη δ.γίνεται µέγιστο όταν η συχνότητα του διεγέρτη αίρνει µεγάλες τιµές 5

16 69.Ένα ταλαντούµενο σύστηµα έχει ιδιοσυχνότητα f. Ένας διεγέρτης αναγκάζει το σύστηµα σε ταλάντωση διαφόρων συχνοτήτων f. Το λάτος της ταλάντωσης γίνεται µέγιστο όταν α. f < f β. f > f γ. f f δ.άντα 7.Η ιδιοσυχνότητα ενός συστήµατος ου εκτελεί εξαναγκασµένη ταλάντωση χωρίς τριβή είναι Hz.Το λάτος της ταλάντωσης γίνεται µέγιστο όταν η συχνότητα του διεγέρτη είναι α. Hz β. Hz γ. 3 Hz δ. Hz 7.Το λάτος µιας εξαναγκασµένης ταλάντωσης υό την είδραση µιας εξωτερικής εριοδικής δύναµης είναι µέγιστο. Αν διλασιάσουµε τη συχνότητα της δύναµης αυτής το λάτος της ταλάντωσης θα α.διλασιαστεί β.µειωθεί γ.τετραλασιαστεί δ.αραµείνει το ίδιο 7.Ένα ταλαντούµενο σύστηµα έχει ιδιοσυχνότητα f. ιεγέρτης αναγκάζει το σύστηµα σε ταλάντωση διαφόρων συχνοτήτων f. Μεταβάλουµε τη συχνότητα του διεγέρτη αό την τιµή µηδέν έως τιµές µεγαλύτερες της ιδιοσυχνότητας f του συστήµατος. Το λάτος της εξαναγκασµένης ταλάντωσης α.αρχικά αυξάνεται κατόιν αίρνει τη µέγιστη τιµή και µετά ελαττώνεται β.αρχικά µειώνεται κατόιν αίρνει τη µέγιστη τιµή και µετά αυξάνεται γ.συνεχώς αυξάνεται µέχρι να άρει µια µέγιστη τιµή δ.αρχικά αραµένει σταθερό κατόιν αίρνει τη µέγιστη τιµή και µετά ελαττώνεται 73. ύο α.α.τ. εκτελούνται στην ίδια διεύθυνση και γύρω αό το ίδιο κέντρο. Για να είναι η συνισταµένη κίνηση α.α.τ. ρέει οι δύο α.α.τ. να έχουν α.το ίδιο λάτος β.την ίδια αρχική φάση γ.την ίδια συχνότητα δ.όλα τα αραάνω 6

17 7.Ένα σώµα µετέχει δύο α.α.τ. της ίδιας διεύθυνσης και γύρω αό το ίδιο κέντρο, µε εξισώσεις x Aηµ ( ωt + φ ) µε A > A x Aηµωt και I ) Το λάτος της ταλάντωσης του σώµατος είναι A A + A όταν α. φ β. φ γ. φ δ. φ II) Το λάτος της ταλάντωσης του σώµατος είναι A A - A όταν α. φ β. φ γ. φ δ. φ 75. ύο α.α.τ. εκτελούνται στην ίδια διεύθυνση και γύρω αό το ίδιο κέντρο µε εξισώσεις x Aηµω t. Η συνισταµένη κίνηση είναι διακρότηµα όταν x Aηµω t και ω ω α. β. ω Nω και A A, N,,,3... γ. ω ω και A A δ. ω ω και A A 76.Κατά τη σύνθεση δύο αλών αρµονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, ου γίνονται γύρω αό το ίδιο σηµείο, µε το ίδιο λάτος A και συχνότητες f και f ου διαφέρουν λίγο µεταξύ τους α.το µέγιστο λάτος της ταλάντωσης είναι A β.όλα τα σηµεία ταλαντώνονται µε το ίδιο λάτος γ.ο χρόνος ανάµεσα σε δύο διαδοχικούς µηδενισµούς του λάτους είναι δ.ο χρόνος ανάµεσα σε δύο διαδοχικούς µηδενισµούς του λάτους είναι f + f f - f 7

18 Ερωτήσεις σωστού λάθους.περιοδικά ονοµάζονται τα φαινόµενα ου εξελίσσονται σε σταθερά χρονικά διαστήµατα.το άναµµα και το σβήσιµο του φάρου είναι εριοδικά φαινόµενο 3.Περίοδος είναι ο χρόνος ου ααιτείται για να ολοκληρωθεί το φαινόµενο.η ερίοδος του ωροδείκτη είναι ώρες 5.Συχνότητα είναι ο αριθµός των εαναλήψεων του φαινοµένου 6.Σε µια α.α.τ. όταν η αοµάκρυνση είναι µέγιστη, είναι µέγιστη και η ταχύτητα 7.Σε µια α.α.τ. όταν το σώµα ερνά αό τη θέση ισορροίας, η συνολική δύναµη ου δέχεται είναι µέγιστη 8.Σε µια α.α.τ. η ειτάχυνση είναι άντα αντίθετη µε την αοµάκρυνση 9.Για να εκτελέσει ένα σώµα α.α.τ., ρέει η συνισταµένη δύναµη ου του ασκείται στη διεύθυνση κίνησης, να είναι της µορφής F Dx.Η ερίοδος στην α.α.τ. είναι αντιστρόφως ανάλογη της σταθεράς εαναφοράς.κατά τη διάρκεια µιας εριόδου η K και η U γίνονται ίσες τέσσερις φορές.η ενέργεια στην α.α.τ. είναι σταθερή και ανάλογη µε το λάτος 3.Σε ιδανικό κύκλωµα LC, η ενέργεια ηλεκτρικού εδίου στον υκνωτή, µετατρέεται εριοδικά σε ενέργεια µαγνητικό εδίου στο ηνίο και αντιστρόφως.σε ιδανικό κύκλωµα LC, η ερίοδος εξαρτάται αό τη χωρητικότητα, την αυτεαγωγή και την ωµική αντίσταση του κυκλώµατος 5.Σε ιδανικό κύκλωµα LC, η U γίνεται δύο φορές διλάσια αό την U B κατά τη διάρκεια µιας εριόδου 6.Όλες οι ταλάντώσεις στο µακρόκοσµο είναι φθίνουσες, λόγω τριβών και αντιστάσεων 7.Σε µια φθίνουσα ταλάντωση οι δυνάµεις ου αντιτίθενται στην κίνηση µεταφέρουν ενέργεια αό το εριβάλλον στο ταλαντούµενο σύστηµα 8.Σε µια φθίνουσα ταλάντωση, η σταθερά αόσβεσης εξαρτάται αό τις ιδιότητες του µέσου καθώς και αό το σχήµα και το µέγεθος του σώµατος 9.Το όσο γρήγορα µειώνεται το λάτος µιας ταλάντωσης εξαρτάται αό την τιµή της σταθεράς αόσβεσης b.η ερίοδος µιας ταλάντωσης για µια ορισµένη τιµή της σταθεράς b είναι σταθερή και εξαρτάται αό το λάτος της ταλάντωσης.όταν η τιµή της σταθεράς b αυξάνεται το λάτος µιας ταλάντωσης µειώνεται ιο γρήγορα.στα αµορτισέρ του αυτοκινήτου, ειδιώκουµε η αόσβεση της ταλάντωσης να είναι µηδέν 3.Στις φθίνουσες ταλαντώσεις, ο λόγος δύο διαδοχικών µέγιστων αοµακρύνσεων ρος την ίδια κατεύθυνση µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο.στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις, ο κύριος λόγος της αόσβεσης είναι η ωµική αντίσταση, για ορισµένη τιµή της οοίας, η ερίοδος είναι σταθερή 5.Το λάτος της εξαναγκασµένης ταλάντωσης εξαρτάται αό τη συχότητα του διεγέρτη 8

19 6.Το λάτος της ταλάντωσης κατά το συντονισµό εξαρτάται αό τη σταθερά αόσβεσης 7.Στις εξαναγκασµένες ταλαντώσεις, για να διατηρήσουµε το λάτος σταθερό ασκούµε στο σύστηµα µια δύναµη 8.Το κουρδιστό ρολόϊ θέλει κούρδισµα, για να αντισταθµίσει τις αώλειες ενέργειας λόγω τριβών 9.Στις εξαναγκασµένες ταλαντώσεις, όσο αυξάνεται η συχνότητα του διεγέρτη, αυξάνεται και το λάτος της ταλάντωσης 3.Στις εξαναγκασµένες ταλαντώσεις, όσο αυξάνεται η αόσβεση η µείωση της συχνότητας συντονισµού γίνεται µεγαλύτερη 3.Κατά το συντονισµό η ενέργεια µεταφέρεται στο σύστηµα κατά το βέλτιστο τρόο, γιαυτό και το λάτος της ταλάντωσης γίνεται µέγιστο 3.Όταν η συχνότητα ενός ηχητικού κύµατος γίνει ίση µε την ιδιοσυχνότητα του κρυστάλλινου οτηριού, το οτήρι ταλαντώνεται µε µέγιστο λάτος και τελικά σάει 33.Σε κύκλωµα εξαναγκασµένων ηλεκτρικών ταλαντώσεων, το λάτος του ρεύµατος κατά το συντονισµό, είναι ανεξάρτητο της ωµικής αντίστασης του κυκλώµατος 3.Όταν το έδαφος ταλαντώνεται λόγω σεισµών, τα κτίρια εκτελούν εξαναγκασµένη ταλάντωση 35.Η ειλογή ενός σταθµού στο ραδιόφωνο στηρίζεται στο φαινόµενο του συντονισµού και γυρίζοντας το κουµί ειλογής των σταθµών µεταβάλλουµε το συντελεστή αυτεαγωγής ενός ηνίου 36.Το κύκλωµα ειλογής σταθµών στο ραδιόφωνο είναι ένα κύκλωµα LC κεραία ου εξαναγκάζεται σε ταλάντωση αό την 37.Όταν ένα σώµα κάνει ταυτόχρονα δύο αρµονικές ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας γύρω αό το ίδιο σηµείο, η αοµάκρυνσή του είναι ίση µε το αλγεβρικό άθροισµα των αοµακρύνσεων των ειµέρους ταλαντώσεων στις οοίες µετέχει 38.Σένα διακρότηµα, ο χρόνος ου µεσολαβεί µεταξύ δύο µηδενισµών του λάτους εξαρτάται αό τη διαφορά f - f των συχνοτήτων των συνιστωσών ταλαντώσεων και αυξάνεται όταν η διαφορά f - f αυξάνεται 39.Σένα διακρότηµα, το λάτος της ταλάντωσης µεταβάλλεται µε το χρόνο.η ερίοδος του διακροτήµατος είναι ίση µε τη διαφορά των εριόδων των συνιστωσών ταλαντώσεων.η συχνότητα του διακροτήµατος είναι ίση µε τη διαφορά των συχνοτήτων των συνιστωσών ταλαντώσεων.σένα διακρότηµα, το µέγιστο λάτος της ταλάντωσης µορεί να γίνει µεγαλύτερο αό το άθροισµα των λατών των συνιστωσών 3.Ο συντονισµός λαµβάνεται ολύ σοβαρά σε ολλές εφαρµογές ου αφορούν την καθηµερινή µας ζωή εειδή οι συνέειες του είναι άντα καταστρετικές.όταν ένα σώµα κάνει ταυτόχρονα δύο αρµονικές ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας γύρω αό το ίδιο σηµείο, το λάτος και η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι ανεξάρτητη αό τα στοιχεία των εί µέρους ταλαντώσεων 5.Ο χρόνος ανάµεσα σε δύο µηδενισµούς του λάτους ονοµάζεται ερίοδος των διακροτηµάτων 6.Αό τη σύνθεση δύο ταλαντώσεων ου οι συχνότητές τους διαφέρουν ολύ, ροκύτει ιδιόµορφη εριοδική κίνηση ου αρουσιάζει διακροτήµατα 7.Σε ιδανικό κύκλωµα LC, αν διλασιάσουµε τη χωρητικότητα του υκνωτή, διλασιάζεται η ερίοδος 8.Όταν η συχνότητα f του διεγέρτη γίνει ίση µε την ιδιοσυχνότητα f του συστήµατος, έχουµε συντονισµό 9

20 Ερωτήσεις αντιστοίχισης.να αντιστοιχίσετε τα µεγέθη της αριστερής στήλης µε αυτά της δεξιάς Αριστερή στήλη εξιά στήλη. Aωσυνω t α.αοµάκρυνση ηµω. - A t β.ταχύτητα ω 3. Aηµω t γ.ειτάχυνση ηµω. - ma t δ.δύναµη ω ε.ολική ενέργεια 5. DA. Να αντιστοιχίσετε τα µεγέθη της αριστερής στήλης µε τις µονάδες της δεξιάς Αριστερή στήλη εξιά στήλη α.ερίοδος β.ταχύτητα γ.ειτάχυνση δ.συχνότητα ε.δυναµική ενέργεια. Hz. m/ s 3. Joule. m / s 5. s

21 3. Να αντιστοιχίσετε τα µεγέθη της µηχανικής ταλάντωσης µε τα µεγέθη της ηλεκτρικής ταλάντωσης Αριστερή στήλη Μεγέθη µηχανικής ταλάντωσης εξιά στήλη Μεγέθη ηλεκτρικής ταλάντωσης α. αοµάκρυνση x. ένταση ρεύµατος i β.ταχύτητα υ. αντίστροφο χωρητικότητας C γ. σταθερά ταλάντωσης D 3.αυτεαγωγή L δ. µάζα m.ωµική αντίσταση R ε.σταθερά αόσβεσης b στ.διεγείρουσα δύναµη F 5. εναλλασσόµενη τάση V 6.φορτίο q 7.χωρητικότητα C

22 Ερωτήσεις µε αιτιολόγηση.σώµα µάζας m εκτελεί γραµµική α.α.τ. Η αοµάκρυνση x του σώµατος αό τη θέση ισορροίας δίνεται αό τη σχέση x Aηµωt, όου A το λάτος της ταλάντωσης και ω η γωνιακή ταχύτητα.να αοδείξετε ότι η συνολική δύναµη, ου δέχεται το σώµα σε τυχαία θέση της τροχιάς του, δίνεται αό τη σχέση F -mω x 3.Στο άκρο ιδανικού ελατηρίου µε φυσικό µήκος l και σταθερά ελατηρίου k είναι συνδεδεµένο σώµα µάζας m. l α.οια αό τις καµύλες I και II του αρακάτω διαγράµµατος αντιστοιχεί στη U του ελατηρίου και οια στην K του σώµατος Να δικαιολογήσετε την αάντησή σας I l -A β.να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της ολικής ενέργειας 3.Σύστηµα ελατηρίου µάζας εκτελεί α.α.τ. σε λείο οριζόντιο είεδο µε λάτος A και εξίσωση αοµάκρυνσης x Aηµωt α.σε οιες αοµακρύνσεις αό τη θέση ισορροίας η K του ταλαντωτή είναι ίση µε τη U Να εκφραστούν οι αοστάσεις σαν συνάρτηση του A.Σώµα µάζας m εκτελεί α.α.τ. µε εξίσωση αοµάκρυνσης αοδείξετε ότι η ερίοδος της α.α.τ. δίνεται αό τη σχέση M II l +A x Aηµωt. Αν η σταθερά εαναφοράς είναι D να 5.Σύστηµα ελατηρίου µάζας εκτελεί α.α.τ. σε λείο οριζόντιο είεδο µε λάτος A και εξίσωση αοµάκρυνσης x Aηµωt Να υολογιστεί η χρονική στιγµή για την οοία η K του ταλαντωτή είναι ίση µε τη U για ρώτη και για δεύτερη φορά X m D 6.Να αοδείξετε ότι η δυναµική ενέργεια συστήµατος ου εκτελεί α.α.τ. δίνεται αό τη σχέση U Dx 7.Να αοδείξετε ότι η µηχανική ενέργεια συστήµατος ου εκτελεί α.α.τ., σε µια τυχαία θέση δίνεται αό τη σχέση DA mυ 8.Να αοδείξετε ότι η U στην ακραία θέση είναι ίση µε την K στη θέση ισορροίας 9.Για δύο ιδανικά συστήµατα ελατήριο - µάζα ισχύει k k όου k και k οι σταθερές των ελατηρίων. m. Αοµακρύνουµε και τα δύο σώµατα αό τη θέση ισορροίας κατά d και τα αφήνουµε ελεύθερα ( ) m α.η µέγιστη ταχύτητα του k ελατηρίου είναι διλάσια του άλλου β.και τα δύο συστήµατα ταλαντώνονται µε την ίδια ερίοδο ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

23 Οι ροτάσεις ου ακολουθούν αναφέρονται στην αλή αρµονική ταλάντωση του αρακάτω σχήµατος Σε κάθε κεφάλαιο στη στρατηγική είλυσης της άσκησης ρέει να υάρχει ένας κεντρικός στόχος. Στις ασκήσεις της α.α.τ διευκολύνει αφάνταστα την είλυση οοιασδήοτε άσκησης ή αόδειξης ου θέµατος ανελλαδικών εξετάσεων, αν ορίσουµε τη θέση ισορροίας (ή ακραία θέση) της α.α.τ. Γιαυτό µε τα διαδοχικά σχήµατα ή µε άλλο τρόο, σε κάθε άσκηση ο κεντρικός µας στόχος θα είναι ο καθορισµός των αραάνω σηµείων P Α Ο χ Γ Α Ρ Θέση µέγιστης αοµάκρυνσης Θέση ισορροίας Τυχαία θέση Θέση µέγιστης αοµάκρυνσης Οι ταλαντώσεις ξεκινούν αό το O (θέση ισορροίας) ρος το P (θετική φορά) δηλ. σε µια λήρη ταλάντωση έχοµε την εξής διαδροµή: O P O P O Οι γωνίες ου αντιστοιχούν στα σηµεία της διαδροµής (ή η διαδροµή σε γωνίες) είναι 3 δηλ. ( O) ( P) ( O) 3 ( P ) ( O) Οι χρονικές στιγµές ου αντιστοιχούν στα σηµεία της διαδροµής (ή η διαδροµή σε χρόνους) είναι 3 δηλ. ( O) ( P) ( O) 3 ( P ) ( O ) P Θέση µέγιστης αοµάκρυνσης O Θέση ισορροίας 3 /, / και και P Θέση µέγιστης αοµάκρυνσης / 3 / / ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΦΑΣΗΣ Όταν το σώµα τη χρονική στιγµή αρχική φάση είναι µηδέν και οι εξισώσεις ου εριγράφουν την κίνησή του είναι a -Aω ηµωt t βρίσκεται στη θέση ισορροίας (O ) και ξεκινάει την ταλάντωση, τότε η x Aηµωt, υ ωaσυνωt και ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σώµα το οοίο τη χρονική στιγµή t βρίσκεται στη θέση ισορροίας, εκτελεί α.α.τ. λάτους cm και συχνότητας Hz Να γραφούν οι εξισώσεις αοµάκρυνσης, ταχύτητας και ειτάχυνσης ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αφού δεν υάρχει αρχική φάση οι εξισώσεις είναι x Aηµωt, υ ωaσυνωt και a -Aω ηµωt όου A cm. m και ω f 3. 68rad / s Αντικαθιστώντας οι εξισώσεις αίρνουν τη µορφή 3

24 x Aηµωt ή x.ηµ 68t υ Aωσυνωt ή υ 6.8συν68t a Aω ηµ ( ωt+ φ) ή a ηµ 68t Όταν το σώµα τη χρονική στιγµή t δε βρίσκεται στη θέση ισορροίας, αλλά βρίσκεται σε θέση η οοία αέχει x αό τη θέση ισορροίας ( O ) κατά x, έχει αρχική φάση, η οοία υολογίζεται αό τη σχέση ηµφ A Οι εξισώσεις ου εριγράφουν την κίνησή του είναι x Aηµ ( ωt + φ ), υ ωaσυν( ωt + φ ) a -Aω ηµ ( ωt + φ ). Εειδή στην ίδια τιµή του ηµιτόνου αντιστοιχούν δύο γωνίες, για τη σωστή ειλογή της τιµής της γωνίας, είναι ααραίτητο να γνωρίζουµε σε οιο διάστηµα της ταλάντωσης O P O P O βρίσκεται το σώµα ι.για το διάστηµα ιι.για το διάστηµα ιιι.για το διάστηµα ιν.για το διάστηµα Οι αντιστοιχίσεις µεταξύ διαστηµάτων και τιµών γωνίας είναι O P θα δεχτούµε τιµή της γωνίας φ ου θα είναι µεταξύ και P O θα δεχτούµε τιµή της γωνίας φ ου θα είναι µεταξύ και O P θα δεχτούµε τιµή της γωνίας φ ου θα είναι µεταξύ και P O θα δεχτούµε τιµή της γωνίας φ ου θα είναι µεταξύ 3 3 και Ο ροσδιορισµός της θέσης στην οοία βρίσκεται το σώµα είναι δυνατός αό τα ρόσηµα ου έχουν η αοµάκρυνση, η ταχύτητα και η ειτάχυνση του σώµατος Υάρχουν και άλλοι τρόοι ροσδιορισµού της θέσης όως.χ αό τις τιµές της ενέργειας Ισχύουν.όταν το σώµα βρίσκεται στο διάστηµα.όταν το σώµα βρίσκεται στο διάστηµα 3.όταν το σώµα βρίσκεται στο διάστηµα.όταν το σώµα βρίσκεται στο διάστηµα O P :αοµάκρυνση ( + ), ταχύτητα ( + ), ειτάχυνση (-) και δύναµη (-) P O :αοµάκρυνση ( + ), ταχύτητα (-), ειτάχυνση (-) και δύναµη (-) O P :αοµάκρυνση (-),ταχύτητα (-), ειτάχυνση ( + ) και δύναµη ( + ) P O :αοµάκρυνση ( - ),ταχύτητα ( + ),ειτάχυνση ( + ) και δύναµη ( + ) Όταν το λάτος της ταλάντωσης A ή η αοµάκρυνση x δεν είναι γνωστά, ο υολογισµός τους γίνεται κυρίως µε τις εξισώσεις ενέργειας της ταλάντωσης ου θα αναφερθούν αρακάτω Άλλοι τρόοι (ενδεικτικοί) ροσδιορισµού της θέσης.η δυναµική ενέργεια του σώµατος γίνεται ίση ή διλάσια ή τριλάσια της κινητικής ενέργειας για δεύτερη φορά. Το σώµα βρίσκεται στο διάστηµα P O και θα δεχτούµε τιµή της γωνίας φ ου θα είναι µεταξύ και.η δυναµική ενέργεια του σώµατος είναι 6J και αυξάνεται, η κινητική ενέργεια είναι J και έχει θετική ειτάχυνση Το σώµα βρίσκεται στο διάστηµα O P και θα δεχτούµε τιµή της γωνίας φ ου θα είναι µεταξύ και 3 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σώµα ου εκτελεί α.α.τ. µε βρίσκεται στη θέση A cm και ω rad / s, τη χρονική στιγµή t x cm µε ταχύτητα υ m / s. Να γραφούν οι εξισώσεις αοµάκρυνσης, ταχύτητας και ειτάχυνσης

25 ΑΠΑΝΤΗΣΗ x Υάρχει αρχική φάση ηµφ εοµένως φ ή φ 5 A 6 6 Εειδή όµως αοµάκρυνση ( + ) και ταχύτητα ( + ) το σώµα βρίσκεται στο διάστηµα O P άρα δεκτή η τιµή φ ( η φ µεταξύ και ) 6 Οι εξισώσεις είναι x Aηµ ( ωt+ φ) ή x.ηµ (t + ) 6 υ Aωσυν ( ωt+ φ) ή υ συν(t + ) 6 a Aω ηµ ( ωt+ φ) ή a -ηµ( ωt + ) 6 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σώµα ου εκτελεί α.α.τ. µε A cm και ω rad / s t βρίσκεται στη θέση x cm µε ταχύτητα υ -m / s, τη χρονική στιγµή Να γραφούν οι εξισώσεις αοµάκρυνσης, ταχύτητας και ειτάχυνσης ΑΠΑΝΤΗΣΗ Υάρχει αρχική φάση x ηµφ εοµένως φ ή φ 5 A 6 6 Εειδή όµως αοµάκρυνση ( ) + και ταχύτητα ( ) - το σώµα βρίσκεται στο διάστηµα P O άρα δεκτή η τιµή φ 5 ( η φ µεταξύ και ) 6 Οι εξισώσεις είναι x Aηµ ( ωt+ φ) ή x.ηµ (t + 5 ) 6 υ Aωσυν ( ωt+ φ) ή υ συν(t + 5 ) 6 a Aω ηµ ( ωt+ φ) ή a -ηµ( ωt + 5 ) 6 5

26 ΠΕΡΙΟ ΟΣ ( ) ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ( f ) ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ( ω ) Τα µεγέθη συνδέονται µεταξύ τους µε τις σχέσεις f, ω και ω f Αό τα αραάνω ροκύτει ότι: αν είναι γνωστό ένα αό τα µεγέθη ω, ή f είναι γνωστά και τα άλλα δύο Για τον υολογισµό της εριόδου της ταλάντωσης ισχύουν οι σχέσεις t και N Η ερίοδος ( ή η συχνότητα ή η γωνιακή ταχύτητα ) ολλές φορές δίνονται εµµέσως στην άσκηση.χ µε αριθµό διελεύσεων αό τη θέση ισορροίας εντός ορισµένου χρόνου ή µε τον αριθµό µεγιστοοιήσεων δυναµικής ή κινητικής ενέργειας ενός ορισµένου χρόνου m D ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σώµα ου εκτελεί α.α.τ, µέσα σε χρόνο υολογιστεί η ερίοδος ( ή η συχνότητα ή η γωνιακή ταχύτητα ) s διέρχεται φορές αό τη θέση ισορροίας. Να ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Εειδή για κάθε ταλάντωση έχοµε διελεύσεις αό τη θέση ισορροίας, µε τις διελεύσεις το σώµα έχει εκτελέσει ταλαντώσεις εοµένως στην αντικατάσταση στον τύο θα s χρησιµοοιήσουµε t s και N ταλαντώσεις δηλ. s ( f Hz και ω rad / s ) Σώµα ου εκτελεί α.α.τ, σε χρόνο s η δυναµική ενέργεια ταλάντωσης του σώµατος µεγιστοοιείται φορές ΑΠΑΝΤΗΣΗ Εειδή κατά τη διάρκεια της αλής αρµονικής ταλάντωσης η δυναµική ενέργεια µεγιστοοιείται δύο φορές, στο χρόνο των s το σώµα εκτελεί ταλαντώσεις, t s εοµένως η ερίοδος είναι. s εοµένως ω ω N. ω rad / s ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σώµα µάζας m ου εκτελεί α.α.τ, έχει ροσδεθεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k του οοίου το άνω άκρο είναι στερεωµένο σε ακλόνητο σηµείο. Να υολογιστεί η ερίοδος ( ή η συχνότητα ή η γωνιακή ταχύτητα ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αό τη σύγκριση των µορφών, της δύναµης ου είναι ααραίτητη ροϋόθεση για να εκτελέσει ένα σώµα α.α.τ. F -Dx και της δύναµης του ελατηρίου F -kx ροκύτει m D k εοµένως p ή D m k ( f k m και ω k rad m s ) 6

27 Υ Π Ο Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Χ Ρ Ο Ν Ο Υ P Α Ο χ Γ Α Ρ Θέση µέγιστης αοµάκρυνσης Θέση ισορροίας Τυχαία θέση Θέση µέγιστης αοµάκρυνσης Ι.όταν το σώµα εκτελεί την α.α.τ O P O P O, ο χρόνος ου χρειάζεται για να µεταβεί αό θέση ισορροίας σε θέση µέγιστης αοµάκρυνσης θα εκφράζεται χωρίς αόδειξη σε σχέση µε την ερίοδο της ταλάντωσης µε βάση ότι κάθε σηµείο αέχει αό το ροηγούµενο χρόνο εοµένως O P χρόνος, O P O χρόνος, O P P O P χρόνος O P 3 χρόνος κ.ο.κ ΙΙ.όταν το σώµα ου εκτελεί την α.α.τ O P O P O, βρίσκεται σε τυχαία θέση ( εκτός των σηµείων O, P και P.χ στη θέση Γ του αραάνω σχήµατος) ο χρόνος ου χρειάζεται για να µεταβεί φ στη θέση ισορροίας ή σε θέση µέγιστης αοµάκρυνσης θα υολογίζεται άντα αό τη σχέση t ω ( ροκύτει αό φ φ ω ή t ) t ω Εοµένως ρώτα θα γίνεται ο υολογισµός της φάσης φ, µετά η µεταβολή φ και η ω και κατόιν ο χρόνος t ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ A cm και. s. Τη χρονική στιγµή x cm µε ταχύτητα υ -m / s Σώµα εκτελεί α.α.τ. µε θέση t βρίσκεται στη Να υολογιστούν α.ο χρόνος ου χρειάζεται το σώµα να φτάσει για ρώτη φορά στη θέση ισορροίας ( ή ο χρόνος ου χρειάζεται για να γίνει για ρώτη φορά υ υ ) β.ο χρόνος να φτάσει αό τη θέση ου βρίσκεται για ρώτη φορά σε θέση µέγιστης αοµάκρυνσης ( ή ο χρόνος ου χρειάζεται για να γίνει για ρώτη φορά υ ) και γ.ο χρόνος να ολοκληρωθεί η ταλάντωση. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Εειδή τη χρονική στιγµή t το σώµα δε βρίσκεται στη θέση ισορροίας, υάρχει φ αρχική φάση, εοµένως ο χρόνος θα υολογιστεί αό τη σχέση t ω 7

28 Υολογισµός φάσης Αό τη σχέση x ηµφ ροκύτει φ ή A 6 φ 5 6 Αό τα ρόσηµα αοµάκρυνσης και ταχύτητας καταλαβαίνουµε ότι βρίσκεται στη διαδροµή P O άρα φ 5 6 α.ο χρόνος ου χρειάζεται το σώµα να φτάσει για ρώτη φορά στη θέση ισορροίας ( διαδροµή Γ O ) Το σώµα ( σε γωνία ) κατευθύνεται αό φ 5 ( σηµείο Γ ) σε φ ( σηµείο O ) εοµένως η φ ου 6 χρειάζεται το σώµα να φτάσει για ρώτη φορά στη θέση ισορροίας είναι φ φ / 6 εειδή ω rad / s έχουµε t t s. ω 6 β.ο χρόνος να φτάσει για ρώτη φορά σε θέση µέγιστης αοµάκρυνσης ( διαδροµή Γ O P ) Παρατήρηση Η θέση ισορροίας O, αντιστοιχεί σε τρεις γωνίες, και. Γιαυτό όταν ερνάει αό το O κατευθυνόµενο σε άλλη θέση, ο υολογισµός του χρόνου, ρος αοφυγή λαθών, καλό να γίνεται αό το τυχαίο σηµείο Γ στο O και κατόιν αό το O στο τελικό σηµείο και να ροσθέτουµε τους χρόνους.(διαδροµή Γ O ) αό το ροηγούµενο ερώτηµα Το σώµα ( σε γωνία ) κατευθύνεται αό φ 5 ( σηµείο Γ ) σε 6 φ / 6 φ 5 έχουµε t t s 6 6 ω 6 φ ( σηµείο O ) εοµένως.(διαδροµή O P αό θέση ισορροίας σε ακραία θέση) εοµένως. t t t t s 3 t ολ t + t tολ + tολ + tολ t άρα ολ s 5 γ.ο χρόνος για να εράσει δεύτερη φορά αό τη θέση ισορροίας (διαδροµή.(διαδροµή Γ O ) αό το ροηγούµενο ερώτηµα Γ O P O ) Το σώµα ( σε γωνία ) κατευθύνεται αό φ 5 ( σηµείο Γ ) σε 6 φ / 6 φ 5 έχουµε t t s 6 6 ω 6 φ ( σηµείο O ) εοµένως 8

29 .(διαδροµή O P αό θέση ισορροίας σε ακραία θέση) εοµένως. t t t t s 3 t ολ t + t tολ + tολ + tολ t άρα ολ s 5.(διαδροµή P O αό ακραία θέση σε θέση ισορροίας) εοµένως t 3 t3 3 3 t ολ t+ t + t3 tολ + + tολ + + t s άρα ολ 6 s Ε Ν Ε Ρ Γ Ε Ι Α Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Η Σ Οι εξισώσεις ενέργειας (ολικής, δυναµικής και κινητικής) χρησιµοοιούνται για τον ροσδιορισµό του λάτους της α.α.τ ή της µέγιστης ταχύτητας ή της θέσης στην οοία βρίσκεται το σώµα ή της ταχύτητας του σώµατος στη συγκεκριµένη θέση ή για τη σταθερά εαναφοράς D Για τους υολογισµούς είναι ααραίτητο να γνωρίζουµε την ενέργεια σε συγκεκριµένες θέσεις της ταλάντωσης.θέσεις µέγιστης αοµάκρυνσης (σηµεία P και P ) δυναµική ενέργεια U DA (µέγιστη τιµή), κινητική ενέργεια (µηδέν), ολική ενέργεια ταλάντωσης U + K DA mυ.θέση ισορροίας (σηµείο O ) δυναµική ενέργεια (µηδέν), κινητική ενέργεια U + K mυ DA K mυ (µέγιστη τιµή), ολική ενέργεια ταλάντωσης 3.Τυχαία θέση Γ (αόσταση αό τη θέση ισορροίας κατά x ) δυναµική ενέργεια U Dx, κινητική ενέργεια K mυ, ολική ενέργεια ταλάντωσης U + K Dx + mυ ή DA Dx + mυ ή mυ Dx + mυ Λόγω διατήρησης της ενέργειας µεταξύ των θέσεων ισχύει DA mυ Dx + mυ ( P, P ) (O) (Γ ) ή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να βρεθεί η θέση στην οοία η κινητική ενέργεια είναι διλάσια αό τη δυναµική 9

30 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Για την ολική ενέργεια ισχύει ολ U + K αντικαθιστούµε στη σχέση τη σχέση µεταξύ των ενεργειών και έχοµε ολ U + U 3U αντικαθιστούµε την ολική και τη δυναµική A ενέργεια αό τις σχέσεις µε την αόσταση και έχοµε DA 3 Dx ή A 3x ή x ± 3 Σηµείωση Κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης οι ενέργειες έχουν αυτή τη σχέση τέσσερις φορές, δύο φορές σε θέση δεξιά της θέσης ισορροίας και δύο φορές σε θέση αριστερά της θέσης ισοροίας. Είσης τέσσερις φορές κατά τη διάρκεια µιας ταλάντωσης η δυναµική µε την κινητική ενέργεια είναι ίσες ή διλάσια ή τριλάσια κοκ η µια της άλλης ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σώµα µάζας στη θέση m Kg εκτελεί α.α.τ. µε. s. Τη χρονική στιγµή t βρίσκεται x cm µε -. 3m / s υ Να υολογιστεί το λάτος της ταλάντωσης ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αφού. s έχουµε ω rad / s. Ισχύει ol U + Kή DA Dx + mυ ή mω A m ω x + mυ ή A. + (-. 3) ή 5A. +.6ή 5A.8ή A. m Σχέσεις ου µορούν να χρησιµοοιηθούν µε ή χωρίς αόδειξη Ειτάχυνση: a -ω x (µε αόδειξη) ύναµης εαναφοράς (χωρίς αρχική φάση): F -mω x ή F -maω ηµωt (χωρίς αόδειξη) ύναµης εαναφοράς (µε αρχική φάση): F -maω ηµ ( ωt + φ ) (χωρίς αόδειξη) F D l ύναµη ελατηρίου ελ όου l η αοµάκρυνση αό το φυσικό µήκος (χωρίς αόδειξη) υναµική ενέργεια ταλάντωσης U Dx DA ηµ ωt οληµ ωt (χωρίς αόδειξη) υναµική ενέργεια ελατηρίου Uελ D l όου l η αοµάκρυνση αό το φυσικό µήκος (χωρίς αόδειξη) du du Ρυθµός µεταβολής δυναµικής ενέργειας... ( Dxυ µε αόδειξη) dt dt Αόδειξη d( du dt Dx ) d( x ) D dt dt xdx D Dxυ dt Κινητική ενέργεια ταλάντωσης K mυ συν ωt ολ συν ωt 3

31 dk dk du Ρυθµός µεταβολής κινητικής ενέργειας... ( µε αόδειξη) dt dt dt du dk dk du Αόδειξη Εειδή U + K σταθερή έχουµε + dt dt dt dt Ταχύτητα σε τυχαία θέση υ ω ( A - x ) (µε αόδειξη) Αόδειξη υ Aωσυνωt υ A ω συν ωt υ A ω ( ηµ ωt) υ A ω A ω ηµ ωt υ ω ( A Aηµ ωt) υ ω ( A x ) Ειτάχυνση σε τυχαία θέση a ω ( υ -υ ) (µε αόδειξη) Αόδειξη a Aω - ηµωt a (-Aω ηµωt) a a A ω A ω συν ωt a A ω ηµ ωt a A ω ( συν ωt) ω ( A ω A ω συν ωt) a ω ( υ υ ) 3

32 ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Α.Όταν δίνεται κάοια εξίσωση της α.α.τ. και ζητούνται τα βασικά µεγέθη της ταλάντωσης ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ υ στο S. I και η µάζα m 6 ίνεται η εξίσωση της ταχύτητας συν (t + ) Ζητούνται το λάτος, η ερίοδος, η συχνότητα, οι εξίσωσεις αοµάκρυνσης και ειτάχυνσης και η δύναµη Στις ασκήσεις αυτής της κατηγορίας συγκρίνοµε την εξίσωση ου δίνεται µε την γενική ΑΠΑΝΤΗΣΗ της µορφή. Αό τη σύγκριση των δύο εξισώσεων ροκύτουν αµέσως κάοια µεγέθη. Τα υόλοια υολογίζονται αό τους τύους Σύγκριση εξισώσεων: υ συν( t + ) [αό τα δεδοµένα] 6 υ ωaσυν( ωt + φ) [γενική µορφή] Αό την άµεση σύγκριση των δύο εξισώσεων ροκύτουν radm rad ωa, ω, φ s s 6 Αό είλυση (ή εεξεργασία) τύων radm Πλάτος: ωa A A A. m, s ω Περίοδος:. s, Συχνότητα: Hz ω f. 5 Εξισώση αοµάκρυνσης: Γενική µορφή x Aηµ ( ωt+ φ) µε αντικατάσταση x.ηµ (t + ) 6 Εξισώση ειτάχυνσης:γενική µορφή a -Aω ηµ ( ωt + φ ) µε αντικατάσταση a - ηµ (t + ) 6 ύναµη:γενική µορφή F -maω ηµ ( ωt + φ ) µε αντικατάσταση F -m ηµ (t + ) 6 Παρατηρήσεις α.για να βρεθούν οι στιγµιαίες τιµές των µεγεθών αοµάκρυνσης x, ταχύτητας υ, ειτάχυνσης a και δύναµης F ρέει να δίνεται ο χρόνος t rad Σώµα εκτελεί α.α.τ. µε A. m και ω (.s). Να υολογιστεί η ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ s αοµάκρυνση του σώµατος τη χρονική στιγµή t s 3

33 ΑΠΑΝΤΗΣΗ x Aηµω t x.ηµ x.ηµ (Αό τη σύγκριση ερίοδου και χρόνου το σώµα βρίσκεται στη διαδροµή x. ή x. m O P ) β.αν η εξίσωση της ταχύτητας ήταν υ συνt η σύγκριση θα γινόταν µε την εξίσωση υ ωaσυνωt δηλ. κάθε φορά ροσέχουµε µε οια αό τις µορφές των εξισώσεων συγκρίνουµε τη δοθείσα (αν έχουµε ή όχι αρχική φάση) Την ίδια µεθοδολογία χρησιµοοιούµε και όταν δίνεται η εξίσωση άλλου µεγέθους ( αοµάκρυνσης ή ειτάχυνσης) Β.Όταν δίνεται η γραφική αράσταση ενός µεγέθους της ταλάντωσης Αό την γραφική αράσταση συνήθως βρίσκουµε αευθείας το λάτος του µεγέθους και την ερίοδο (αν η γραφική αράσταση είναι ως ρος το χρόνο) x (m) 5 8 t (s) Αό την αραάνω γραφική αράσταση ροκύτει ότι το λάτος της ταλάντωσης είναι A 5m και η ερίοδος s. Μετά τον υολογισµό των µεγεθών αό τη γραφική αράσταση, τα υόλοια µεγέθη τα υολογίζοµε όως ανατύσσεται αραάνω Γ.Ταλάντωση συστήµατος ελατηρίου µάζας Στην κατηγορία αυτή ρέει α.να αοδείξουµε ότι το σύστηµα εκτελεί α.α.τ και β.να βρούµε τη θέση ισορροίας και τις θέσεις µέγιστης αοµάκρυνσης της ταλάντωσης Σε όλες τις ασκήσεις χρειάζονται διαδοχικά σχήµατα, ξεκινώντας άντα αό το φυσικό µήκος του ελατηρίου. Ποια είναι η θέση ισορροίας ή η ακραία θέση σε κάθε ερίτωση, την καταλαβαίνουµε και αό άλλα χαρακτηριστικά.χ.την ταχύτητα Ι.Αόδειξη ότι το σύστηµα εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση Οριζόντια ελατήρια Για να αοδείξουµε ότι το σύστηµα εκτελεί α.α.τ αρκεί να αοδείξουµε ότι σε µια τυχαία θέση της ταλάντωσης ισχύει ΣF -Dx ΒΗΜΑ ο Σχεδιάζουµε το ελατήριο στο φυσικό του µήκος 33

34 ΒΗΜΑ ο Τοοθετούµε στην ελεύθερη άκρη του ελατηρίου τη µάζα m Αν αό τη µάζα ροκύτει ειµήκυνση ή συσείρωση, σχεδιάζουµε τις δυνάµεις ου ασκούνται στο σώµα στη θέση αυτή και γράφουµε τη συνθήκη ισορροίας του σώµατος δηλ. ΣF Τη σχέση αυτή (αφού ανατύξουµε το ΣF ) θα τη χρησιµοοιήσουµε στα εόµενα βήµατα ΒΗΜΑ 3ο Αοµακρύνουµε το ελατήριο αό τη θέση ισορροίας κατά x Για την αόδειξη ου θα ακολουθήσει µας ενδιαφέρουν µόνο οι δυνάµεις ου ασκούνται κατά τη διεύθυνση ου κινείται το σώµα Αν η συνισταµένη των δυνάµεων (στη διεύθυνση ου κινείται το σώµα) έχει µορφή ΣF -Dx το σώµα εκτελεί α.α.τ. Οι δυνάµεις ου ασκούνται κάθετα στη µετατόιση µορεί να χρησιµοοιηθούν για τον υολογισµό άλλων δυνάµεων ου µας ενδιαφέρουν ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΟ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ.7 ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ χ χ φυσικό µήκος ΒΗΜΑ ο Ν k F F k W κατάσταση ισορροίας ΒΗΜΑ ο Ν F F τυχαία θέση ΒΗΜΑ 3ο x W (+) ΒΗΜΑ ο Κατάσταση ισορροίας ΣF k x k x () x ΒΗΜΑ 3ο Τυχαία θέση (αοµακρύνουµε το σώµα κατά x αο τη θέση ισορροίας) Στη διεύθυνση ου κινείται το σώµα έχοµε 3

35 Σ F x F F Σ k x x) k ( x+ ) Σ k x k x k x k () Λόγω της () η σχέση () γράφεται Σ k x k x Σ F x k k ) F x ( x F x x F x ( + x Παρατηρούµε ότι η δύναµη ου ασκείται στο σώµα στη διεύθυνση ου κινείται έχει µορφή ΣF x -Dx Εοµένως το σώµα εκτελεί α.α.τ. Τις δυνάµεις N (κάθετη αντίδραση) και W (βάρος) τις σχεδιάζουµε, αλλά δεν εηρεάζουν την κίνηση του σώµατος ( ΣF y N -W ) Κατακόρυφα ελατήρια Στην ερίτωση ου το ελατήριο είναι κατακόρυφο ή σε κεκλιµένο είεδο ακολουθούµε τα εξής βήµατα ΒΗΜΑ ο Σχεδιάζουµε το ελατήριο στο φυσικό του µήκος ΒΗΜΑ ο Στην εόµενη θέση (ριν ξεκινήσει να εκτελεί ταλάντωση), στην οοία έχοµε µια ειµήκυνση ή συσείρωση του ελατηρίου λόγω του βάρους του σώµατος κατά x, σχεδιάζουµε τις δυνάµεις ου ασκούνται στο σώµα και αίρνουµε τη συνθήκη ισορροίας των δυνάµεων ( Σ F ) στη διεύθυνση ου θα κινηθεί το σώµα. Για τις δυνάµεις οι οοίες ασκούνται κάθετα στη µετατόιση ισχύουν ότι και ροηγούµενα ΒΗΜΑ 3ο Αοµακρύνουµε το σώµα αό τη θέση ισορροίας κατα x Η έκφραση... αοµακρύνουµε το σώµα αό τη θέση ισορροίας κατά x και το αφήνουµε ελεύθερο... είναι τρόος να δοθεί εµµέσως το λάτος της ταλάντωσης Τώρα το σώµα αρχίζει να κινείται. Για την κίνηση του σώµατος υολογίζουµε τη συνισταµένη των δυνάµεων Σ F Συνδυάζουµε την έκφραση της συνισταµένης ου υολογίστηκε στο βήµα µε την έκφραση της συνισταµένης ου υολογίστηκε στο βήµα 3. Αν αό το συνδυασµό των σχέσεων ροκύτει συνισταµένη δύναµη της µορφής ΣF -Dx το σώµα εκτελεί α.α.τ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Στην ελεύθερη άκρη κατακόρυφου ελατηρίου κρεµάµε µάζα m. Αοµακρύνουµε το σώµα αό τη θέση ισορροίας κατα x (δηλ. A x ) Θα αοδείξουµε ότι το σώµα εκτελεί α.α.τ 35

36 ΒΗΜΑ ο ΒΗΜΑ ο ΒΗΜΑ 3ο φυσικό µήκος ελατηρίου F ελ kx χ θέση ισορροίας κχmg w F ελ k(χ+χ ) χ θέση µε ειµήκυνση χ (+) w ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΒΗΜΑ ο Θέση ισορροίας Συνθήκη ισορροίας ΣF kx mg () Σηµείωση Στις ασκήσεις η ανάτυξη της αραάνω σχέσης µας βοηθάει στον υολογισµό κάοιων µεγεθών. Της αοµάκρυνσης x (λόγω της µάζας), της σταθεράς του ελατηρίου k και της µάζας m. ηλ. kx mg kx mg ροκύτουν ή mg x ή k mg k ή m x kx g ΒΗΜΑ 3ο Τυχαία θέση µε αοµάκρυνση x Η συνισταµένη των δυνάµεων ου ασκούνται στη διεύθυνση ου κινείται το σώµα είναι Σ F mg kx kx () Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () ροκύτει Σ F kx. Εειδή η συνισταµένη δύναµη είναι της µορφής το σώµα εκτελεί α.α.τ ΣF -Dx Σ F mg k x+ x ) ( ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στις ασκήσεις, αν δεν αναφέρεται σαφώς στην εκφώνηση ότι το σώµα εκτελεί α.α.τ, ρέει να αοδεικνύεται ότι το σώµα εκτελεί α.α.τ και κατόιν να χρησιµοοιούνται οι τύοι της εριόδου και των άλλων µεγεθών 36

37 ΙΙ.Εύρεση θέσης ισορροίας της αλής αρµονικής ταλάντωσης Σε όλες τις ασκήσεις αλής αρµονικής ταλάντωσης ( είτε έχοµε κρούση είτε όχι) διευκολύνει άρα ολύ τη λύση της άσκησης αν βρούµε τη θέση ισορροίας και τις θέσεις µέγιστης αοµάκρυνσης. Εοµένως ριν αό οοιαδήοτε ενέργεια, ρέει να βρούµε τις αραάνω θέσεις ιακρίνουµε τις εριτώσεις Α. Οριζόντια ελατήρια Είτε η σύγκρουση είναι ελαστική είτε λαστική η αρχική θέση του σώµατος είναι η θέση ισορροίας της ταλάντωσης ου θα ακολουθήσει και η θέση µέγιστης συσείρωσης του ελατηρίου είναι θέση µέγιστης αοµάκρυνσης της ταλάντωσης Παράδειγµα. του βιβλίου Θέση ισορροίας Ο Θέση σύγκρουσης (λαστική κρούση) Φυσικό µήκος ελατηρίου (χ) Ν F Α W Θέση µέγιστης αοµάκρυνσης Θέση µέγιστης συσείρωσης Όταν γνωρίζουµε τη θέση ισορροίας της ταλάντωσης, τότε γνωρίζουµε ότι η ταχύτητα ου αοκτά το σώµα στη θέση αυτή µετά την κρούση (ελαστική ή λαστική) είναι η µέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης υ, ενώ όταν γνωρίζουµε τη µέγιστη συσείρωση του ελατηρίου τότε γνωρίζουµε τη θέση µέγιστης αοµάκρυνσης της ταλάντωσης Υολογισµός ταχύτητας συσσωµατώµατος µετά την λαστική κρούση Εειδή η σύγκρουση γίνεται στη θέση ισορροίας της ταλάντωσης η ταχύτητα ου αοκτά µετά την κρούση το 37

38 συσσωµάτωµα είναι η µέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης υ γιαυτό και η αρχή διατήρησης της ορµής ( γράφεται P ολριν P ολµετ ή ά P ολριν Pολµετά P Mριν + P ριν Pολµετά m + m υ ( M + m) υ Παρατήρηση Αν δε χρησιµοοιήσουµε διανύσµατα όταν το σώµα κινείται συνεχώς στην ίδια διεύθυνση δεν είναι λάθος Υολογισµός µέγιστης συσείρωσης ελατηρίου A. O. ) Όταν είναι γνωστή η υ, η µέγιστη συσείρωση δηλ.το λάτος της ταλάντωσης µορεί να υολογιστεί αό τις σχέσεις ενέργειας της ταλάντωσης. Η µέγιστη συσείρωση µορεί να υολογιστεί και µε το θεώρηµα έργου ενέργειας µεταξύ θέση ισορροίας της ταλάντωσης και θέσης µέγιστης συσείρωσης του ελατηρίου Υολογισµός µε εξισώσεις ενέργειας της ταλάντωσης K U ( m+ M ) υ DA A... Υολογισµός µε θεώρηµα έργου ενέργειας (θεώρηµα µεταβολής κινητικής ενέργειας) Σχεδιάζουµε τις δυνάµεις. Στη διεύθυνση ου κινείται το σώµα, ασκείται µόνο η δύναµη του ελατηρίου ΘΜΚΕ: K τελ K αρχ W ολ K τελ K W + W W () αρχ N W + ελ F ελ kx Έχουµε K εειδή η υ (η θέση µέγιστης συσείρωσης είναι θέση µέγιστης αοµάκρυνσης), τελ τελ K αρχ ( m+ M ) υ εειδή υ αρχ υ (γιατί είναι η ταχύτητα στη θέση ισορροίας της ταλάντωσης) W (γιατί η δύναµη είναι κάθετη στη µετατόιση) N W (γιατί η δύναµη είναι κάθετη στη µετατόιση) W (γιατί είναι η ταχύτητα στη θέση ισορροίας της ταλάντωσης) και W ελ U Wελ ( Uτελ Uαρχ ) Wελ Uαρχ Uτελ (γιατί είναι συντηρητική δύναµη) όου U Dx µε x την αόσταση κάθε φορά αό το φυσικό µήκος εοµένως Wελ DA Αντικαθιστώντας τα αοτελέσµατα στην εξίσωση () έχουµε: ( m+ M ) υ + DA + ( m M ) υ DA A... Παρατήρηση Εειδή το θεώρηµα έργου ενέργειας (ή θεώρηµα µεταβολής κινητικής ενέργειας) δε διδάσκεται στη ασκήσεις των εξετάσεων λύνονται οωσδήοτε µε τα θεωρήµατα διατήρησης ενέργειας και ορµής Γ Λυκείου, οι Υολογισµός χρόνου κίνησης Αφού ροσδιορίσαµε τις θέσεις ισορροίας και µέγιστης αοµάκρυνσης της ταλάντωσης, για τον υολογισµό του χρόνου κίνησης εργαζόµαστε µε τον τρόο ου αναφέρεται στην αράγραφο υολογισµός χρόνου 38

39 Στο συγκεκριµένο αράδειγµα ο χρόνος αό τη στιγµή της σύγκρουσης (θέση ισορροίας) µέχρι τη θέση µέγιστης ( M + m) D συσείρωσης (θέση µέγιστης αοµάκρυνσης) είναι εοµένως t Β.Κατακόρυφα ή Πλάγια (κεκλιµένο είεδο) ελατήρια Όταν η σύγκρουση είναι ελαστική ( ή ανελαστική αλλά το βλήµα να διαερνά το σώµα) ισχύουν όσα αναφέρθηκαν στην ερίτωση του οριζόντιου ελατηρίου δηλ. η θέση σύγκρουσης είναι η θέση ισορροίας της ταλάντωσης ου θα ακολουθήσει. Το ειλέον στις ασκήσεις αυτές είναι η εύρεση της ταχύτητας του βλήµατος ριν συγκρουστεί µε το σύστηµα ελατήριο σώµα ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έστω σώµα µάζας m βάλλεται κατακόρυφα ρος τα άνω και συγκρούεται ελαστικά µε σώµα µάζας m ου είναι κρεµασµένο στην άκρη ελατηρίου ΒΗΜΑ ο Εφαρµόζουµε θεώρηµα ενέργειας για να βρούµε την ταχύτητα του σώµατος ριν τη σύγκρουση ΒΗΜΑ ο A.. Ο Εφαρµόζουµε για να βρούµε την ταχύτητα του συστήµατος ελατήριο µάζα µετά την κρούση η οοία είναι και η µέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης. Κατά την εφαρµογή της A.. Ο ροσοχή στη φορά της κίνησης κάθε σώµατος γιατί η ορµή είναι διανυσµατικό µέγεθος ΒΗΜΑ 3ο Με βάση αυτά τα µεγέθη και αό τα δεδοµένα µορούµε να βρούµε εύκολα τα υόλοια στοιχεία της ταλάντωσης ( αφού αοδείξουµε ότι εκτελεί α.α.τ.) 39

40 φυσικό µήκος ελατηρίου Είναι (εκτός αροότου) ακραία θέση της α.α.τ F ελ kx w χ h Η θέση σύγκρουσης είναι η θέση ισορροίας Ο της α.α.τ Όταν η κρούση είναι λαστική το σηµείο σύγκρουσης είναι τυχαία θέση για την ταλάντωση ου θα ακολουθήσει. Η ταχύτητα ου αοκτά το συσσωµάτωµα µετά τη σύγκρουση είναι ταχύτητα σε τυχαία θέση και µορώ να την υολογίσω αό την εξίσωση ενέργειας της ταλάντωσης (αφού αοδείξω ρώτα ότι εκτελεί α.α.τ.) U + K στην οοία ρέει να γνωρίζω το λάτος A και την αόσταση της θέσης σύγκρουσης αό τη θέση ισορροίας Για να υολογίσω βρω τη θέση ισορροίας (ή το λάτος A ) ακολουθώ την εξής διαδικασία ος τρόος Εφαρµόζω συνθήκη ισορροίας όταν είναι κρεµασµένη µόνο η µάζα m και έχω αραµόρφωση x δηλ. m g m g kxή x k Λόγω της λαστικής κρούσης εφαρµόζω άλι συνθήκη ισορροίας θεωρώντας ότι κρέµασα ακόµα µια µάζα m και έχω αραµόρφωση x δηλ. m g kx x m g ή (αόσταση αό τη θέση σύγκρουσης) Η θέση αυτή είναι η θέση ισορροίας της ταλάντωσης µε λάτος της ταλάντωσης ος τρόος k A x x Εφαρµόζω συνθήκη ισορροίας θεωρώντας κρεµασµένες τις δύο µάζες ( m και m ) οότε έχω αραµόρφωση x + x δηλ. ( m + m ) g k( x + x ) A x x Η θέση αυτή είναι η θέση ισορροίας της ταλάντωσης µε λάτος της ταλάντωσης + + Εοµένως στη θέση σύγκρουσης (τυχαία θέση) η εξίσωση ενέργειας γράφεται U+ K DA Dx + ( m + m ) υ

41 Παράδειγµα.8 του βιβλίου φυσικό µήκος ελατηρίου Είναι (εκτός αροότου) ακραία θέση της α.α.τ ΒΗΜΑ ο kx χ m g κ(χ +χ ) χ Η θέση λαστικής κρούσης είναι τυχαία θέση της α.α.τ ΒΗΜΑ ο (m +m )g Θέση ισορροίας α.α.τ. µετά αό λαστική κρούση ΒΗΜΑ 3ο Παρατήρησεις.Η µέγιστη δύναµη ου ασκείται στο σώµα αό το ελατήριο κατά την ταλάντωση υολογίζεται αό τη σχέση F kx όου x η ειµήκυνση αό το φυσικό µήκος µέχρι θέση µέγιστης αοµάκρυνσης.όταν στην άκρη ελατηρίου είναι δεµένα δύο σώµατα και ζητάµε τη δύναµη εαναφοράς του ενός αό τα δύο, ο υολογισµός του µέτρου της, γίνεται αό τη σχέση F D x Την D σώµατος υολογίζουµε αό την εξής διαδικασία σώµατος συστήµατος σώµατος m M σωµατος συστήµατος σώµατος D σώµατος Dσυστ ήµατος Dσωµατος Dσυστ ήµατος Mσυστ ήµατος m Στο αραάνω αράδειγµα για τη µάζα m θα ίσχυε m m m D m + k 3.Η άσκηση ανατύχτηκε θεωρώντας ότι οι µάζες µετά την λαστική κρούση αραµένουν ενωµένες. Τι γίνεται σε αντίθετη ερίτωση ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ύο όµοια ελατήρια κρέµονται αό δύο ακλόνητα σηµεία. Στα κάτω άκρα των ελατηρίων δένονται σώµατα Σ µάζας m και Σ µάζας m. Κάτω αό το σώµα Σ δένουµε µέσω αβαρούς νήµατος άλλο σώµα µάζας m ενώ κάτω αό το σώµα Σ µάζας m (m m ). Αρχικά τα σώµατα είναι ακίνητα. Κάοια στιγµή κόβουµε τα νήµατα και τα σώµατα Σ και Σ αρχίζουν να ταλαντώνονται. Αν η ενέργεια της ταλάντωσης του Σ είναι Ε και του Σ m είναι Ε, να αοδειχτεί ότι m