4. η εξίσωση της δύναμης του ελατηρίου σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η αντίστοιχη γραφική παράσταση F

Transcript

1 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σώμα μάζας m kg είναι στερεωμένο στο άνω άκρο κατακόρυφου ατηρίου σταθεράς k N, το άλλο άκρο του οοίου είναι m στερεωμένο στο δάεδο, όως φαίνεται στο σχμα. Αρχικά το σώμα ισορροεί. Αομακρύνουμε το σώμα αό τη θέση ισορροίας του και το φέρνουμε στη θέση φυσικού μκους του ατηρίου. Τη χρονικ στιγμ t δίνοντας στο σώμα κατακόρυφη ταχύτητα με φορά ρος τα άνω και μέτρο υ 3 m το αφνουμε εύθερο. s Θετικ φορά να θεωρηθεί η φορά ρος τα άνω. Να βρεθούν:. η ερίοδος της ταλάντωσης, αφού δειχθεί ότι το σώμα θα εκτέσει αλ αρμονικ ταλάντωση,. η εξίσωση της αομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η αντίστοιχη γραφικ αράσταση x f (t), 3. η εξίσωση της δύναμης του ατηρίου σε συνάρτηση με την αομάκρυνση αό τη θέση ισορροίας του σώματος και να γίνει η αντίστοιχη γραφικ αράσταση F f ( x),. η εξίσωση της δύναμης του ατηρίου σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η αντίστοιχη γραφικ αράσταση F f (t), 5. το χρονικό διάστημα στη διάρκεια μιας εριόδου στο οοίο το σώμα βρίσκεται άνω αό τη θέση φυσικού μκους του ατηρίου,. το χρονικό διάστημα στη διάρκεια μιας εριόδου στο οοίο το σώμα A βρίσκεται άνω αό τη θέση x, όου A το λάτος της ταλάντωσης, 7. το έργο της F r όταν το σώμα κινείται αό τη θέση φυσικού μκους του ατηρίου μέχρι την άνω ακραία θέση, 8. ο ρυθμός μεταβολς της ορμς του σώματος όταν το σώμα ερνά αό τις θέσεις x A και x A, 9. ο ρυθμός μεταβολς της κινητικς ενέργειας του σώματος όταν αυτό ερνά αό τη θέση x A,. ο ρυθμός μεταβολς της βαρυτικς δυναμικς ενέργειας του σώματος, ο ρυθμός μεταβολς της δυναμικς ενέργειας του ατηρίου, ο ρυθμός μεταβολς της κινητικς ενέργειας του σώματος 5

2 και ο ρυθμός μεταβολς της δυναμικς ενέργειας της ταλάντωσης τη 5T χρονικ στιγμ t, όου T η ερίοδος της ταλάντωσης,. το έργο της δύναμης εαναφοράς κατά τη μετάβαση του σώματος αό τη θέση x A στη θέση ισορροίας του,. η αόσταση του σώματος αό τη θέση ισορροίας του όταν η δυναμικ ενέργεια του ατηρίου είναι ίση με τη δυναμικ ενέργεια της ταλάντωσης, 3. το διάστημα ου διανύει το σώμα αό τη στιγμ ου το αφνουμε εύθερο έως τη στιγμ ου η ταχύτητά του μηδενίζεται για δεύτερη φορά,. το μέγιστο διάστημα ου διανύει το σώμα σε χρόνο Δt Τ, 5. η ειλέον ενέργεια ου έρεε να ροσφέρουμε στο σύστημα αρχικά ώστε το λάτος της ταλάντωσης του σώματος να ταν διλάσιο ( A),. η φάση της ταλάντωσης του σώματος τη χρονικ στιγμ ου η αομάκρυνσ του είναι x A και η ταχύτητά του είναι θετικ για δέκατη φορά, 7. το διάστημα το οοίο διανύει το σώμα αό τη χρονικ στιγμ t ου έχει αομάκρυνση x > και ταχύτητα υ > έως τη χρονικ στιγμ T t t, 8. το διάστημα το οοίο διανύει το σώμα αό τη χρονικ στιγμt έως τη χρονικ στιγμ ου η φάση της ταλάντωσς του είναι 39 rad. Δίνεται g m s.. Αό τη συνθκη ισορροίας έχουμε: ΣF F mg kx mg mg x x, m k

3 Σε μια τυχαία θέση έχουμε: ΣF F mg ΣF k( x x) mg ΣF kx kx mg ΣF kx Άρα το σώμα εκτεί αλ αρμονικ ταλάντωση με D k και ερίοδο T m T s T, s k. Αό τη διατρηση της ενέργειας της ταλάντωσης έχουμε: Κ E Γ U Γ m υ kx ka m υ kx 3 Α Α m A, m k Άρα τη χρονικ στιγμ t το σώμα βρίσκεται στη θέση ταχύτητα υ >. x A με 7

4 Η εύρεση της αρχικς φάσης της ταλάντωσης γίνεται με δύο τρόους: Με τριγωνομετρικ εξίσωση Αό την εξίσωση της αομάκρυνσης για t και ( ωt ) x Aημ φ Α x έχουμε: Α Αημφ ημφ ημφ ημ Οι λύσεις της τριγωνομετρικς αυτς εξίσωσης είναι: φ κ με κ,,,... 5 φ κ με κ,,,... Αό τη φ κ με φ < rad για κ έχουμε: φ rad Αό τη 5 5 φ κ με φ < rad για κ έχουμε: φ rad Αό την εξίσωση της ταχύτητας υ ( ω φ ) υmax υ υ max συν για t έχουμε: συνφ t Για Για φ rad αίρνουμε υ > 5 φ rad αίρνουμε υ < 8

5 Αφού τη χρονικ στιγμ t έχουμε είναι Α x και υ >, η αρχικ φάση φ rad Με εριστρεφόμενο διάνυσμα Την t το εριστρεφόμενο διάνυσμα βρίσκεται στη θέση ου φαίνεται στο σχμα. Αό το τρίγωνο ΟΓΔ έχουμε: A συνθ συνθ A άρα θ rad 3 Εομένως η αρχικ φάση είναι: φ rad φ rad 3 Η γωνιακ συχνότητα της ταλάντωσης είναι: ω Τ ω rad s Εομένως η εξίσωση της αομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο είναι x Aημ ωt x, ημ t ( S.I.) Η γραφικ αράσταση x f (t) βρίσκεται ως εξς: Η γραφικ αράσταση της x, ημ t είναι η γραφικ αράσταση της 9

6 x, ημt μετατοισμένη ρος τα T αριστερά κατά, αφού ισχύει Δt T T Δt 3. Στην τυχαία θέση και αφού το σώμα εκτεί αλ αρμονικ ταλάντωση ισχύει ΣF kx mg kx mg kx F F F x (S.I.) με, m x, m Η γραφικ αράσταση F f ( x) y α x β. είναι ευθεία, αφού είναι της μορφς Για Για Για Για x, m έχουμε F N x, m έχουμε F 3N F έχουμε x, m. x έχουμε F N...

7 Σχόλιο για τη γραφικ αράσταση Οι θετικές τιμές της F r αναφέρονται στις θέσεις του σώματος ου βρίσκονται κάτω αό τη Θ.Φ.Μ. του ατηρίου, διότι τότε η F r έχει θετικ κατεύθυνση, ενώ οι αρνητικές τιμές της αναφέρονται στις θέσεις του σώματος ου βρίσκονται άνω αό τη Θ.Φ.Μ. του ατηρίου, οότε η F r έχει αρνητικ κατεύθυνση.. Έχοντας εκφράσει τη δύναμη του ατηρίου σε συνάρτηση με την αομάκρυνση αό τη θέση ισορροίας του σώματος μορούμε να την εκφράσουμε και σε συνάρτηση με το χρόνο, αφού Συνεώς F x και x, ημ t, ημ t F ημ t ( S.I.) F Η γραφικ αράσταση F f ( t) βρίσκεται ως εξς: Αό τη σχέση F ημ t για F έχουμε: ημ t ημ t ημ t ημ Οι λύσεις της τριγωνομετρικς αυτς εξίσωσης είναι: t κ με κ,,,... 5 t κ με κ,,,...

8 Αό τη t κ t κ για κ έχουμε t για κ έχουμε t s 5 5 Αό τη t κ για κ έχουμε t κ 3 t t s 3 5 Ισχύει ημ t. Όταν ημ t, έχουμε: Για κ έχουμε t κ t t 3 t s και τότε F N 3 Όταν ημ t, έχουμε: t κ Για κ έχουμε t t s και τότε F 3N 3 5 Η γραφικ αράσταση της εόμενο σχμα. F ημ t (.I.) S φαίνεται στο

9 5. Το χρονικό διάστημα στη διάρκεια μιας εριόδου στο οοίο το σώμα βρίσκεται σε θέσεις άνω αό τη θέση φυσικού μκους του ατηρίου, δηλαδ η δύναμη του ατηρίου έχει αρνητικ κατεύθυνση ( F < ), μορεί να βρεθεί ροφανώς αό το διάγραμμα F f ( t) και είναι Δt s. 5. Το χρονικό διάστημα στη διάρκεια μιας εριόδου στο οοίο το σώμα βρίσκεται άνω αό τη θέση x A υολογίζεται ως εξς: α τρόος Αό την εξίσωση της αομάκρυνσης για x A έχουμε: x Aημ ωt A Aημ ωt ημ ωt ημ ωt ημ Οι λύσεις της τριγωνομετρικς αυτς εξίσωσης είναι: 3

10 ωt κ 3 ωt κ ωt κ με κ,,,... 7 ωt κ με κ,,,... Αό την ωt κ για κ έχουμε: t Τ t Τ Αό την 7 ωt κ για κ έχουμε: t T 7 t 7T Άρα οι χρονικές στιγμές ου το σώμα ερνά αό τη θέση x A είναι Τ 7T για ρώτη φορά η t και για δεύτερη φορά η t. Εομένως Δt t t Δt T, s 5 β τρόος Η διαδικασία είναι μικρότερη αν ειλέξουμε τη μέθοδο με εριστρεφόμενο διάνυσμα. Στο χρονικό διάστημα στο οοίο το σώμα διαγράφει τη διαδρομ A Α A το εριστρεφόμενο διάνυσμα έχει διαγράψει συνολικά γωνία θ στρεφόμενο και τικ τη. αριστερόστροφα με γωνιακ ταχύτητα ω, αρχικ θέση την ( ) ( )

11 Αό το τρίγωνο ΟΓΔ έχουμε: Α συνθ Α συνθ θ rad Αό τη σχέση θ ω Δt (η θ άντα σε rad ) έχουμε: T Δt Δt T Δt, 5 s 7. Το έργο της δύναμης του ατηρίου μορεί να υολογιστεί ως εξς: α τρόος W F U ( αρχ ) U (τ ) W F A k kα W F 8 W F, 5 J β τρόος Το έργο της δύναμης του ατηρίου μορεί να υολογιστεί εφαρμόζοντας το θεώρημα έργου - ενέργειας για τη διαδρομ αό τη θέση Γ, ου είναι η θέση φυσικού μκους του ατηρίου, μέχρι την άνω ακραία θέση (Α): Κ K W W τ αρχ mg F A m υ mg WF A m υ mg WF W F J 3 J W F, 5 J 5

12 Σχόλια α) Η δυναμικ ενέργεια του ατηρίου δίνεται αό τη σχέση U kx όου x η ειμκυνση η συσείρωση του ατηρίου. β) Το έργο της δύναμης του ατηρίου, ου είναι συντηρητικ δύναμη, είναι WF, 5 J και σε κάθε άλλη διαδρομ του σώματος κατά τη διάρκεια της ταλάντωσς του με αρχικ θέση τη θέση Γ, ου είναι η θέση φυσικού μκους του ατηρίου, και τικ την άνω ακραία θέση (Α). 8. Ο ρυθμός μεταβολς της ορμς του σώματος δίνεται αό τη σχέση dp dp ΣF, όου ΣF kx, άρα kx Έτσι ο ρυθμός μεταβολς της ορμς είναι: για x A : για A x : dp dp ka N dp A k dp N 9. Ο ρυθμός μεταβολς της κινητικς ενέργειας του σώματος δίνεται αό τη σχέση dk dw ΣF ΣF dx ΣF υ kxυ Σε κάθε ερίτωση θα αντικαταστσουμε τα x και τιμές. υ με τις αλγεβρικές τους

13 Αό τη διατρηση της ενέργειας της ταλάντωσης έχουμε: K U Ε m υ mω x mω A υ ω ( Α x ) υ ± ω Α x υ ± ω Α A ωa 3 υ ± υ ± 3 m s Για υ 3 m s έχουμε: dκ Για υ 3 m s έχουμε: dκ, 3 J s ( 3) J s, dκ dκ 3 J s 3 J s Σχόλιο: Ο ρυθμός μεταβολς της κινητικς ενέργειας είναι θετικός όταν το σώμα κινείται ρος τη θέση ισορροίας του και αρνητικός όταν αομακρύνεται αό αυτν. dκ Ακόμη είναι όταν το σώμα ερνά αό τη θέση ισορροίας του ( x ) και όταν βρίσκεται σε ακραία θέση της ταλάντωσης ( υ ).. Ο ρυθμός μεταβολς της βαρυτικς δυναμικς ενέργειας του σώματος ( U βαρ ) δίνεται αό τη σχέση du βαρ dw Όταν το σώμα κατεβαίνει, δηλαδ στην ερίτωσ μας κινείται αό τη θέση x A ρος τη θέση x A, τότε έχουμε: mg 7

14 du βαρ dwmg du βαρ du βαρ mg dx mg υ Όταν το σώμα ανεβαίνει, δηλαδ στην ερίτωσ μας κινείται αό τη θέση x A ρος τη θέση x A, τότε έχουμε: du βαρ dwmg du βαρ mg dx du βαρ mgυ Ο ρυθμός μεταβολς της δυναμικς ενέργειας του ατηρίου δίνεται αό τη σχέση du dwf du F dx du F υ Η δύναμη του ατηρίου και η ταχύτητα αντικαθίστανται με την αλγεβρικ τους τιμ. Ο ρυθμός μεταβολς της κινητικς ενέργειας του σώματος δίνεται αό τη σχέση dk dw ΣF ΣF dx ΣF υ kxυ Σε κάθε ερίτωση θα αντικαταστσουμε τα x και τιμές. υ με τις αλγεβρικές τους Τη χρονικ στιγμ 5T t : Αό την εξίσωση της αομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο έχουμε: 5T x, ημ x,ημ x T 8

15 Αό την εξίσωση της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο έχουμε: 5T υ ωασυν υ συν Τ υ m s Αό την εξίσωση της δύναμης του ατηρίου σε συνάρτηση με το χρόνο έχουμε: 5T F ημ F ημ T F N Εομένως τη χρονικ στιγμ 5T t ου το σώμα κατεβαίνει έχουμε: du βαρ mgυ du βαρ J s du ( ) J J dk F υ και kxυ s s Αό τη διατρηση της ενέργειας της ταλάντωσης έχουμε: dk du K U E du dk Άρα ο ρυθμός μεταβολς της δυναμικς ενέργειας της ταλάντωσης τη χρονικ στιγμ 5T du t είναι. du βαρ du dκ Σχόλιο: Παρατηρούμε ότι ισχύει, ου είναι συνέεια της διατρησης της μηχανικς ενέργειας του συστματος ατηρίου - σώματος. 9

16 . Το έργο της δύναμης εαναφοράς βρίσκεται εφαρμόζοντας το θεώρημα έργου - ενέργειας για οοιαδοτε διαδρομ και αν έχουμε ειλέξει. Στη συγκεκριμένη ερίτωση, για την κίνηση του σώματος αό τη θέση A x στη θέση ισορροίας του έχουμε: K τ Κ αρχ W ΣF m υ max mυ WΣF W ΣF mω Α mυ W ΣF J, 5 J W ΣF, 5 J. Για να είναι η δυναμικ ενέργεια της ταλάντωσης ίση με τη δυναμικ ενέργεια του ατηρίου, ρέει U U ταλ k Δl kx x Δl Δηλαδ ρέει το σώμα να βρίσκεται σε μια θέση ανάμεσα στη θέση φυσικού μκους του ατηρίου και στη θέση ισορροίας του, στην οοία η συσείρωση του ατηρίου και η αόσταση του σώματος αό τη θέση ισορροίας του να είναι ίσες. Ισχύει x Δl x x x x x x, 5 m

17 3. Όταν η ταχύτητα του σώματος μηδενίζεται για δεύτερη φορά, το σώμα βρίσκεται στην κάτω ακραία θέση της ταλάντωσς του για ρώτη φορά και το διάστημα το οοίο έχει διανύσει αό τη στιγμ ου το αφσαμε εύθερο είναι S A x A S, m, m, m S, 5 m. Το μέγιστο διάστημα ου διανύει το σώμα σε χρόνο εξς: α τρόος T Δt βρίσκεται ως Οι χρονικές στιγμές ου το σώμα ερνά αό τη θέση ισορροίας του βρίσκονται αό την εξίσωση x Aημ ωt, αό την οοία για x έχουμε: Aημ ωt ημ ωt ημ Οι λύσεις της τριγωνομετρικς αυτς εξίσωσης είναι: ωt κ t κ Τ κτ Τ t με κ,, 3,... Τις χρονικές στιγμές κτ Τ T t 8 κτ 5Τ t με κ,, 3,... η αομάκρυνση του σώματος είναι x3 Aημ ωt x3 Aημ κ A x ± 3

18 Τις χρονικές στιγμές κτ Τ T t 8 κ Τ Τ t με κ,, 3,... η αομάκρυνση του σώματος είναι x Aημ ωt x Aημ κ x m A Εομένως το μέγιστο διάστημα ου διανύει το σώμα είναι S max x 3 x S max A S max, m β τρόος Καθώς το σώμα κινείται αό τη μια ακραία θέση ρος την άλλη και για χρόνο T Δt το εριστρεφόμενο διάνυσμα διαγράφει γωνία φ ω Δt φ T φ Τ rad Η ροβολ του ευθύγραμμου τμματος ΚΛ στον κατακόρυφο άξονα δίνει το διάστημα ου διανύει το σώμα στο χρόνο Δt. Η ροβολ του ευθύγραμμου τμματος ΚΛ στον κατακόρυφο άξονα είναι μέγιστη όταν το ευθύγραμμο τμμα γίνεται αράλληλο στον άξονα αυτόν, όως φαίνεται στα εόμενα σχματα, με θ rad.

19 Αό το τρίγωνο ΟΚΛ έχουμε: d A A d A Εομένως το μέγιστο διάστημα ου διανύει το σώμα είναι S max d S max A S max, m T Σχόλιο: Το διάστημα ου διανύει το σώμα σε χρόνο Δt είναι άχιστο όταν κινείται αό τη θέση με αομάκρυνση x 3 x ρος την κοντινότερη ακραία θέση της ταλάντωσης και ειστρέφει στην ίδια θέση. Εομένως A S min 3 ( A x ) ( A x ) A A( ), ( ) m 5. Για την ενέργεια ου ροσφέρουμε στο σύστημα ισχύει E ροσφ Ε ταλ Η ενέργεια ου ροσφέραμε στο σύστημα αρχικά για να εκτεί το σώμα ταλάντωση λάτους A, m είναι E ροσφ Ε ταλ Eροσφ ka 3

20 Η ενέργεια ου έρεε να ροσφέρουμε στο σύστημα αρχικά ώστε το σώμα να εκτέσει ταλάντωση λάτους A A, m είναι E E k( A) ροσφ ροσφ Ε ταλ E ροσφ ka Εομένως η ειλέον ενέργεια ου έρεε να ροσφέρουμε στο σύστημα αρχικά ώστε το σώμα να εκτέσει ταλάντωση λάτους A A, m είναι Δ Ε E ροσφ ροσφ Ε ροσφ 3 ΔE kα ροσφ 3 ΔE ροσφ J ΔE ροσφ J,. Αό την εξίσωση της αομάκρυνσης x, ημφ για x m έχουμε:,,ημφ ημ φ ημ φ ημ Οι λύσεις της τριγωνομετρικς αυτς εξίσωσης είναι: φ κ με κ,,,... 3 φ κ φ κ με κ,,,... Αό την εξίσωση της ταχύτητας υ συνφ για για φ κ έχουμε υ > 3 φ κ έχουμε υ <

21 Εομένως αό τη φ κ για κ 9 (δέκατη φορά) έχουμε: 73 φ 8 φ rad 7. Τις χρονικές στιγμές t και T t t : η αομάκρυνση του σώματος είναι x και x αντίστοιχα με x ( ω ) Aημ t φ και Aημ ω t T φ x x Aημ ( ω φ ) Aημ ( ωt ) φ t x, άρα x x η ταχύτητα του σώματος είναι αντίστοιχα ( ω ) υ A t ω συν φ και υ συν ω t T φ A υ ωa συν ( ω φ ) ω υ ω συν ( ωt ) φ t A, άρα υ υ Τη χρονικ στιγμ t η αομάκρυνση του σώματος είναι x > και η ταχύτητά του είναι υ >. Τη χρονικ στιγμ t η αομάκρυνση του σώματος είναι x < και η ταχύτητά του είναι υ <. 5

22 Εομένως το διάστημα ου διανύει το σώμα στο χρόνο T t t είναι S A x A S A S, m x Αό τη φ ωt με φ rad έχουμε: 39 t Τ 38 38Τ t t Τ Τ t 3Τ 39 Αό την εξίσωση της αομάκρυνσης x Αημφ για φ rad έχουμε: 39 x Αημ x Αημ x Α Εομένως το διάστημα το οοίο διανύει το σώμα αό τη στιγμ t έως τη 39 στιγμ ου η φάση της ταλάντωσς του είναι φ rad είναι A S 3 A A 5A S S, 5 m

23 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σώμα Σ μάζας m kg ισορροεί άνω σε λείο κεκλιμένο είεδο ου o σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία φ 3. Το σώμα Σ είναι δεμένο στο ένα άκρο ιδανικού ατηρίου σταθεράς k N, το άλλο άκρο του οοίου m στερεώνεται στη βάση του κεκλιμένου ειέδου, όως φαίνεται στο σχμα. Εκτρέουμε το σώμα Σ κατά d, m αό τη θέση ισορροίας του κατά μκος του κεκλιμένου ειέδου και το αφνουμε εύθερο.. Να αοδείξετε ότι το σώμα Σ εκτεί αλ αρμονικ ταλάντωση.. Να υολογίσετε τη μέγιστη τιμ του μέτρου του ρυθμού μεταβολς της ορμς του σώματος Σ. Μετακινούμε το σώμα Σ ρος τα κάτω κατά μκος του κεκλιμένου ειέδου μέχρι το ατριο να συμιεστεί αό το φυσικό του μκος κατά Δ l, 3 m. Τοοθετούμε ένα δεύτερο σώμα Σ μάζας m kg στο κεκλιμένο είεδο, ώστε να είναι σε εαφ με το σώμα Σ, και ύστερα αφνουμε τα σώματα εύθερα. 7

24 3. Να υολογίσετε τη σταθερά εαναφοράς του σώματος Σ κατά τη διάρκεια της ταλάντωσς του.. Να υολογίσετε σε όση αόσταση αό τη θέση όου αφσαμε εύθερα τα σώματα χάνεται η εαφ μεταξύ τους. Δίνονται: 3 o ημ, g m s. Εαναλητικές εξετάσεις. Αό τη συνθκη ισορροίας για το σώμα Σ έχουμε: ΣF m gημφ kx m gημφ F Σε μια τυχαία θέση έχουμε: ΣF F m gημφ ΣF k( x x) m gημφ ΣF kx kx mgημφ ΣF kx Άρα το σώμα Σ εκτεί αλ αρμονικ ταλάντωση με D k N m.. Το μέτρο του ρυθμού μεταβολς της ορμς του σώματος Σ δίνεται αό τη σχέση 8

25 dp Σ F k x Το σώμα εκτεί αλ αρμονικ ταλάντωση λάτους A d, m. Η μέγιστη τιμ του μέτρου του ρυθμού μεταβολς της ορμς του σώματος Σ, η οοία ειτυγχάνεται όταν το σώμα βρίσκεται σε ακραία θέση της ταλάντωσς του ( x ± A ), είναι dp max dp k A N max 3. Η γωνιακ συχνότητα της ταλάντωσης του συστματος των σωμάτων Σ και Σ είναι k ω m m rad ω s Η σταθερά εαναφοράς της ταλάντωσης του σώματος Σ είναι ω 5 rad s D mω N D 5 m. Αό τη συνθκη ισορροίας για το σύστημα των σωμάτων Σ και Σ έχουμε: ΣF F m gημφ m gημφ kx m gημφ m gημφ x ( m m ) gημφ x, m k 9

26 Για την ταλάντωση ου εκτεί το σώμα ισχύει Σ ΣF Dx F mgημφ Dx F mgημφ D x ( ) Η εαφ μεταξύ των σωμάτων Σ και Σ χάνεται όταν η δύναμη F r μηδενίζεται. Αό τη σχέση ( ) για F αίρνουμε: mgημφ mgημφ Dx x D 5 x m x, m 5 Δηλαδ η εαφ μεταξύ των σωμάτων Σ και Σ χάνεται όταν το ατριο αοκτσει το φυσικό του μκος. Εομένως η αόσταση αό τη θέση όου αφσαμε τα σώματα εύθερα στην οοία χάνεται η εαφ μεταξύ των σωμάτων είναι d Δl, 3 m 3

27 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 Σώμα εκτεί αλ αρμονικ ταλάντωση με λάτος A και ερίοδο T s. Όταν το σώμα βρίσκεται στη θέση Γ με x A, η δυναμικ ενέργεια της ταλάντωσης είναι U Γ J. Τη χρονικ στιγμ t το σώμα ερνά αό τη θέση Γ με ταχύτητα θετικ. Να βρεθούν:. η ενέργεια της ταλάντωσης,. το έργο της συνισταμένης των δυνάμεων κατά την κίνηση του σώματος αό τη θέση Γ στη θέση Δ στην οοία η αομάκρυνση του σώματος είναι 3 x A, 3. το οσοστό % της μεταβολς της κινητικς ενέργειας του σώματος για τη διαδρομ Γ Δ του ροηγούμενου ερωτματος,. ο ρυθμός μεταβολς της κινητικς ενέργειας του σώματος όταν ερνά αό τη θέση Γ με ταχύτητα θετικ, 5. οι χρονικές στιγμές ου η κινητικ ενέργεια του σώματος και η δυναμικ ενέργεια της ταλάντωσης είναι ίσες και η ταχύτητα είναι θετικ ( υ > ),. όσες φορές ερνά το σώμα αό τη θέση ισορροίας του αό τη χρονικ Α στιγμ ου η αομάκρυνσ του είναι x με υ > για δέκατη A φορά έως τη χρονικ στιγμ ου είναι x με υ > για εκατοστ φορά και οια είναι η μεταβολ της φάσης της ταλάντωσης στο αραάνω χρονικό διάστημα.. Η δυναμικ ενέργεια της ταλάντωσης στη θέση Γ είναι A U Γ D οότε A U D Γ E U Γ E J U Γ E 3

28 . Αό τη διατρηση της ενέργειας της ταλάντωσης για τις θέσεις Γ και Δ έχουμε: K Γ U Γ Κ Δ U Δ KΔ K Γ U Γ U Δ WΣ F U Γ U Δ Όμως 3A U Δ D U Δ D 9 A 9 9 U Δ E U Δ. J U Δ 9 J Άρα W ΣF U Γ U W ΣF J 9 J W ΣF 5 J Δ Σχόλιο: Το έργο της συνισταμένης δύναμης είναι διαδρομ με αρχικ θέση τη Γ και τικ θέση τη Δ. W ΣF 5 J για κάθε 3. Στη θέση Γ η κινητικ ενέργεια του σώματος είναι K E K Γ J J K Γ J Γ U Γ Στη θέση Δ η κινητικ ενέργεια του σώματος είναι K E K Δ J 9 J K 7 J Δ U Δ Δ Το οσοστό % της μεταβολς της κινητικς ενέργειας του σώματος είναι K Δ K K Γ Γ 7 5 % % % 3

29 . Ο ρυθμός μεταβολς της κινητικς ενέργειας του σώματος δίνεται αό τη σχέση dκ dw ΣF ΣF dx ΣF υ Dxυ Για τη θέση Γ ο ρυθμός μεταβολς της κινητικς ενέργειας του σώματος δίνεται dκ αό τη σχέση Dx υ Αό τη διατρηση της ενέργειας της ταλάντωσης έχουμε: K U E Γ Γ mυ mω x mω A υ ± A x ω υ ± ω A A 3 υ ±ω A ωα υ ± 3 Με A x και ωα 3 υ έχουμε: dκ dκ A ωα dκ 3 Dx υ D 3 ωε dκ 3 J s dκ 8 3 J s 33

30 5. Αό τη διατρηση της ενέργειας της ταλάντωσης για K U έχουμε: K U E U E DA Dx A x ± Έτσι βρίσκουμε τις θέσεις στις οοίες το σώμα έχει K U. Η ταλάντωση εμφανίζει αρχικ φάση, αφού την t το σώμα ερνά αό τη θέση x A με υ >. Η αρχικ φάση της ταλάντωσης βρίσκεται ως εξς: Με τριγωνομετρικ εξίσωση Αό την εξίσωση της αομάκρυνσης x Aημ( ωt ) για t και Α x έχουμε: φ Α Αημφ ημφ ημφ ημ Οι λύσεις της τριγωνομετρικς αυτς εξίσωσης είναι: φ κ με κ,,,... 5 φ κ με κ,,,... Αό τη Αό τη φ κ με φ < rad για κ έχουμε: φ rad 5 5 φ κ με φ < rad για κ έχουμε: φ rad 3

31 Αό την εξίσωση της ταχύτητας υ ( ) υ max συν ωt φ για t έχουμε: Για υ υmaxσυνφ φ rad έχουμε: υ > Για 5 φ rad έχουμε: υ < Εομένως για την ερίτωσ μας όου t, η αρχικ φάση είναι φ rad. Α x και υ > Με εριστρεφόμενο διάνυσμα Την t το εριστρεφόμενο διάνυσμα βρίσκεται στη θέση ου φαίνεται στο σχμα. Αό το τρίγωνο ΟΓΔ έχουμε: A συνθ A συνθ άρα θ rad 3 Δηλαδ η αρχικ φάση είναι: φ rad φ rad 3 Άρα η εξίσωση της αομάκρυνσης είναι: x Aημ ωt Σχόλιο: Η γραφικ αράσταση f ( t) x βρίσκεται ως εξς: Η γραφικ αράσταση της x Aημ ωt είναι η γραφικ αράσταση της 35

32 T x Aημωt μετατοισμένη ρος τα αριστερά κατά, αφού ισχύει Δt T T Δt Αό την εξίσωση της αομάκρυνσης για x A έχουμε: x A Aημ ωt Aημ ωt ημ ωt ημ Οι λύσεις της τριγωνομετρικς αυτς εξίσωσης είναι: ω t κ με κ,,,... ω 3 t κ ω t κ με κ,,,... Η ρώτη ομάδα λύσεων δίνει ταχύτητα θετικ, αφού υ υ ω Ασυν ωt υ ωασυν κ max υ > 3

33 Η δεύτερη ομάδα λύσεων δίνει ταχύτητα αρνητικ, αφού 3 υ υmaxσυν ωt υ υ max συν κ υ max υ < A Αφού ψάχνουμε τις χρονικές στιγμές ου είναι x αλλά και υ >, αίρνουμε την ρώτη ομάδα λύσεων, αό την οοία έχουμε: ω t κ t T κ t κ T T t κτ t κ με κ,,,... Για Α x έχουμε: x A Aημ ωt Aημ ωt ημ ωt ημ Οι λύσεις της τριγωνομετρικς αυτς εξίσωσης είναι: ωt κ με κ,,,... 5 ω t κ ω t κ με κ,,,... 37

34 Η ρώτη ομάδα λύσεων δίνει ταχύτητα θετικ, αφού υ υmaxσυν ωt υ υ max συν κ υ υ υ max συν max υ > Η δεύτερη ομάδα λύσεων δίνει ταχύτητα αρνητικ, αφού 5 υ υ max συν ωt υ υ max συν κ 5 υ υ max συν υ max υ < A Αφού ψάχνουμε τις χρονικές στιγμές ου είναι x αλλά και υ >, αίρνουμε την ρώτη ομάδα λύσεων, αό την οοία έχουμε: ωt κ ωt κ 5 t κ T 5T t κt 5 t κ με κ,, 3,.... Αό την εξίσωση της αομάκρυνσης θα βρούμε οιες χρονικές στιγμές ερνά το σώμα αό τη θέση ισορροίας του, δηλαδ είναι x. Αό τη x Aημ ωt για x έχουμε: 38

35 Aημ ωt ημ ωt ημ Οι λύσεις της τριγωνομετρικς αυτς εξίσωσης είναι: ω t κ t κ T Τ t κt t κ με κ,, 3,... Η χρονικ στι γμ ου το σώμα ερνά για δέκατη φορά αό τη θέση A x με υ > θα βρεθεί αό τη σχέση 7 t κ για κ 9, οότε t s Η χρονικ στιγμ ου το σώμα ερνά για εκατοστ φορά αό τη θέση A x με υ > θ α βρεθεί αό τη σχέση t κ για, οότε t s κ Πρέει: t < t < t 7 < κ < < κ < 9 < κ < 397 8, 5 < κ < 99, 75, άρα κ 9,,..., 99 39