Physics by Chris Simopoulos

Transcript

1 ΠΥΚΝΩΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Πυκνωτή ονομάζουμε ένα σύστημα δυο αγωγών οι οοίοι βρίσκονται σε μικρή αόσταση μεταξύ τους και φέρουν ίσα και αντίθετα ηλεκτρικά φορτία. Χαρακτηριστικό μέγεθος των υκνωτών είναι η χωρητικότητα η οοία ορίζεται ανάλογα με την χωρητικότητα του αγωγού. Χωρητικότητα () ονομάζουμε το σταθερό ηλίκο του φορτίου ου έχει ο υκνωτής ρος τη διαφορά δυναμικού ου ανατύσσεται μεταξύ των ολισμών του υκνωτή. = Όου το φορτίο του υκνωτή και V η τάση στα άκρα των ολισμών του. V Όταν συνδέουμε έναν υκνωτή με κάοια ηγή για να υολογίσουμε την ολικότητά του, θα αίρνουμε άντα την ραγματική φορά του ρεύματος. Ο θετικός όλος της ηγής συνδέεται με τον θετικό ολισμό του υκνωτή, ενώ ο αρνητικός όλος συνδέεται με τον αρνητικό ολισμό του υκνωτή. Ο υκνωτής σε κύκλωμα συνεχούς ρεύματος λειτουργεί σαν ανοικτός διακότης δηλαδή ο κλάδος στον οοίο συνδέεται ο υκνωτής δεν διαρρέεται αό ηλεκτρικό ρεύμα. Κάθε φορτισμένος υκνωτής εμφανίζει στο εσωτερικό του ομογενές ηλεκτρικό εδίο και εομένως αοθηκεύει ενέργεια. Η ενέργεια αυτή δίνεται αό την σχέση =. ΠΗΝΙΟ ΠΟΥ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ ΑΠΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ Στο εσωτερικό ενός ηνίου ου διαρρέεται αό ηλεκτρικό ρεύμα εμφανίζεται ομογενές μαγνητικό εδίο του οοίου οι δυναμικές γραμμές είναι αράλληλες στον άξονα του ηνίου. Η φορά των μαγνητικών δυναμικών γραμμών καθορίζεται αό τον κανόνα του δεξιού χεριού (ο αντίχειρας δηλώνει τη φορά του μαγνητικού εδίου). ΠΗΝΙΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ ΑΠΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ Συνδέω τα άκρα ενός ηνίου με γαλβανόμετρο G και λησιάζω ρος αυτό τον βόρειο όλο ενός μαγνήτη. Μόλις ο όλος του μαγνήτη εισέρχεται στο ηνίο αρατηρώ την μετακίνηση της βελόνας του γαλβανομέτρου ράγμα ου σημαίνει ότι ερνά αό αυτό ηλεκτρικό ρεύμα. Το ρεύμα θα διαρκέσει μέχρι ο μαγνήτης να εισέλθει στο ηνίο. Κατά την κίνηση του S + - Φορά κίνησης μαγνήτη N G Φορά κίνησης μαγνήτη N S N S G Physcs by hrs Smopoulos + - N S

2 μαγνήτη μέσα στο ηνίο δεν εμφανίζεται ηλεκτρικό ρεύμα. Είσης αρατηρώ ότι η ένταση του ρεύματος αυξάνει αν λησιάσουμε ιο γρήγορα τον μαγνήτη, και η φορά του αλλάζει όταν αλλάξουμε τον όλο του μαγνήτη (τοοθετήσω τον νότιο αντί του βορείου). Ακόμη την διέλευση ρεύματος αό το γαλβανόμετρο αρατηρώ και όταν εριστρέψω το ηνίο μροστά αό σταθερά τοοθετούμενο μαγνήτη. Ποια είναι η αιτία εομένως ου ροκαλεί την εμφάνιση του ηλεκτρικού ρεύματος; Φυσικά η μεταβολή της μαγνητικής ροής. Κατά την κίνηση του μαγνήτη κοντά στο ηνίο χαλά η διάταξη των δυναμικών γραμμών του εδίου με αοτέλεσμα να έχω μεταβολή της μαγνητικής εαγωγής του εδίου. Τότε όμως έχω μεταβολή της μαγνητικής ροής ου ερνά αό κάθε σείρα του ηνίου. Αυτό έχει σαν αοτέλεσμα την εμφάνιση ηλεκτρεγερτικής δύναμης στα άκρα του ηνίου και την διέλευση αό αυτό ηλεκτρικού ρεύματος. Η ηλεκτρεγερτική αυτή δύναμη ονομάζεται εαγωγική τάση. Θεωρώ κάοιο ηνίο το οοίο είναι συνδεδεμένο με τους όλους γεννήτριας και φέρει διακότη. Αν ανοίγω και κλείνω τον διακότη συνεχώς αρατηρώ στα άκρα του, την εμφάνιση διαφοράς δυναμικού (Η.Ε.Δ.). Αυτή οφείλεται στην μεταβολή της μαγνητικής ροής ου ροήλθε αό μεταβολή της μαγνητικής εαγωγής κατά το άνοιγμα και κλείσιμο του διακότη του κυκλώματος. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται αυτεαγωγή και είναι αυτό ου εμφανίζεται στα ιδανικά κυκλώματα Thomson (κυκλώματα ηνίου και υκνωτή ου εκτελούν ηλεκτρική ταλάντωση). Εομένως α υ τ ε α γ ω γ ή ονομάζουμε το φαινόμενο εκείνο κατά το οοίο εμφανίζεται ΗΕΔ αό εαγωγή στα άκρα ενός ηνίου όταν μεταβάλλουμε το ηλεκτρικό ρεύμα στο ίδιο το ηνίο. Η τάση αό αυτεαγωγή δίνεται αό την σχέση αυτ Δ = L. Όου L ο συντελεστής αυτεαγωγής του ηνίου και Δ/ ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα. Όταν συνδέουμε έναν ηνίο με κάοια ηγή για να υολογίσουμε την ολικότητά του, θα αίρνουμε άντα την ραγματική φορά του ρεύματος. Το άκρο του ηνίου ου συνδέεται με τον θετικό όλο της ηγής εμφανίζεται με θετικό δυναμικό και το άκρο του ηνίου ου συνδέεται με τον αρνητικό όλο της ηγής εμφανίζεται με αρνητικό δυναμικό Κάθε ηνίο ου διαρρέεται αό ρεύμα εμφανίζει στο εσωτερικό του ομογενές μαγνητικό εδίο και εομένως αοθηκεύει ενέργεια. Η ενέργεια αυτή δίνεται αό την σχέση ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: B =.L. Το ρόσημο (-) τοοθετείται στην σχέση μόνο εφόσον δεν μορούμε να καθορίσουμε την ολικότητα της ηγής. Εάν αυτή καθορίζεται με τον κανόνα του δεξιού χεριού ή τον κανόνα των τριών δακτύλων η σχέση () γράφεται χωρίς το ρόσημο το οοίο όως αναφέρεται και στο σχολικό δηλώνει τον νόμο του Lenz. Physcs by hrs Smopoulos

3 ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Ας μελετήσουμε τη διαδικασία ταλάντωσης ενός κυκλώματος L- με την ροϋόθεση ότι ο υκνωτής αρχικά έχει φορτιστεί αό ηγή (όως αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο). Τα φορτία του υκνωτή αρχίζουν να κινούνται στο κύκλωμα και εισέρχονται στο ηνίο. Τότε δημιουργείται στα άκρα του ηνίου εαγωγικό τάση, η οοία δημιουργεί ρεύμα αντιθέτου φοράς αό αυτό ου διαρρέει το κύκλωμα με σκοό να μην ειτρέψει τα φορτία να εράσουν δια μέσου του ηνίου. Αυτό έχει σαν συνέεια να καθυστερεί το ρεύμα να εράσει αό το ηνίο και έτσι γίνεται συσσώρευση φορτίων. Το ρεύμα ου διαρρέει το ηνίο αυξάνει μέχρι να άρει την μέγιστη τιμή του Ι. Αυτό ειτυγχάνεται μετά αό χρόνο t=τ/4 αό την έναρξη της ταλάντωσης. Στη συνέχεια τα φορτία, διατηρώντας την κίνηση τους, αρχίζουν να εξέρχονται αό το ηνίο. Τότε δημιουργείται στα άκρα του ηνίου εαγωγικό τάση, η οοία δημιουργεί ρεύμα αντιθέτου φοράς αό αυτό ου διαρρέει το κύκλωμα με σκοό να διατηρήσει τα φορτία στο εσωτερικό του ηνίου. Έτσι το ρεύμα συνεχώς μειώνεται, τα φορτία αρχίζουν να αοθηκεύονται στον ολισμό του υκνωτή στον οοίο φτάνουν. Με τη άροδο του χρόνου το ρεύμα μηδενίζεται και ο υκνωτής αοκτά άλι το μέγιστο φορτίο του. Τώρα όμως έχει φορτιστεί με αντίθετη ολικότητα. Αυτό ειτυγχάνεται μετά αό χρόνο t=τ/ αό την έναρξη της ταλάντωσης. Το φαινόμενο συνεχίζεται με τον ίδιο τρόο οότε στη συνέχεια εκφορτίζεται ο υκνωτής και το ηνίο διαρρέεται αό μέγιστο ρεύμα αντιθέτου φοράς ρος την αρχική. Τέλος το ρεύμα και άλι μειώνεται στο ηνίο και φορτίζεται ο υκνωτής με ολικότητα ίδια με την αρχική. Γενικά στα κυκλώματα L- ή κυκλώματα Thomson διακρίνουμε δύο κατηγορίες ροβλημάτων: Α) Ο υκνωτής αρχικά συνδέεται με ηγή οότε αοκτά φορτίο και στη συνέχεια αοσυνδέεται αό τη ηγή και συνδέεται με το ηνίο. Β) Το ηνίο είναι αρχικά συνδεδεμένο με ηγή οότε διαρρέεται αό ρεύμα Ι και στη συνέχεια αοσυνδέεται αό τη ηγή και συνδέεται με υκνωτή. Εδώ ρέει να αναφέρουμε ότι σχεδιάζουμε υοχρεωτικά κάθε διάγραμμα ταλάντωσης όως και στο μηχανικό σύστημα με τη διαφορά ότι στη θέση του λάτους της αομάκρυνσης τοοθετώ το μέγιστο φορτίο του υκνωτή. Θα μελετήσουμε κάθε κατηγορία χωριστά. t=0 0<t<T/4 T/4<t<T/ Physcs by hrs Smopoulos t=τ/

4 Α) Ας θεωρήσουμε κύκλωμα ου αοτελείται αό υκνωτή με χωρητικότητα, και ηνίο με αυτεαγωγή L και διακότη δ. Όταν ο διακότης είναι στη θέση α φορτίζουμε τον υκνωτή αό την ηγή με τάση Ε οότε αυτός αοκτά φορτίο ου δίνεται αό την σχέση = V. =. ( ) Στη συνέχεια μεταφέρω τον διακότη στη θέση β και αρατηρώ μια μετακίνηση φορτίων αό τον υκνωτή στο ηνίο και αντίθετα. Αυτό γίνεται συνεχώς όταν το κύκλωμα είναι ιδανικό. Στην αραάνω αναφορά ο υκνωτής ξεκινά τη ταλάντωση του κυκλώματος μετά την φόρτισή του αό την ηγή. Έτσι το κύκλωμα εμφανίζει αρχική φάση /. Οι χρονικές εξισώσεις του φορτίου και του ρεύματος δίνονται αό τις σχέσεις q = ημ ( ωt + ) () και =. συν ( ωt + ) (3) Οι εξισώσεις των ενεργειών δίνονται αό τις σχέσεις q ( = = ημ ωt + ) και = ) L = L συν ( ωt + B Παρατηρείστε στα σχήματα ου ακολουθούν τη μετατροή της ενέργειας του ηλεκτρικού εδίου του υκνωτή σε ενέργεια μαγνητικού εδίου του ηνίου στη ρώτη ημιερίοδο ταλάντωσης του κυκλώματος. Β) Στην δεύτερη ερίτωση έχουμε το ηνίο να διαρρέεται αό ρεύμα και ο υκνωτής να είναι αφόρτιστος. Όταν ο διακότης είναι στη θέση α το κύκλωμα διαρρέεται αό το μέγιστο ρεύμα το οοίο δίνεται αό την σχέση = R + r (4) Στη συνέχεια μεταφέρω τον διακότη στη θέση β και αρατηρώ μια μετακίνηση φορτίων αό το ηνίο στον υκνωτή και αντίθετα. Αυτό γίνεται συνεχώς όταν το κύκλωμα είναι ιδανικό. q=0 t=0 0<t<T/4 t=t/4 T/4<t<T/ t=t/ Physcs by hrs Smopoulos - Θ.ΙΣ R + t=0 L Ε,r L Ε,r β α β α

5 Στην αραάνω αναφορά το κύκλωμα ξεκινά τη ταλάντωση αό την θέση ισορροίας. Έτσι το κύκλωμα δεν εμφανίζει αρχική φάση. Οι χρονικές εξισώσεις του φορτίου και του ρεύματος δίνονται αό τις σχέσεις q = ημωt ( 5 ) και =. συνωt (6) Οι εξισώσεις των ενεργειών δίνονται αό τις σχέσεις q ημ = = ωt και = L = L συν ωt B Για τις ασκήσεις αναφέρουμε ότι ισχύουν ακριβώς οι αντίστοιχοι τύοι και ότι κάθε άσκηση ηλεκτρικού κυκλώματος μετασχηματίζεται και λύνεται όως ακριβώς και στο μηχανικό σύστημα ελατηρίου - μάζας. Εομένως είναι σαν να έχω μια ταλάντωση σε μηχανικό κύκλωμα. Μορούμε να αντιστοιχίσουμε τα μεγέθη του ηλεκτρικού κυκλώματος σε μηχανικό κύκλωμα όως φαίνεται ιο κάτω ΜΕΓΕΘΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Αομάκρυνση - Φορτίο x q Πλάτος - Μέγιστο φορτίο A Εξισώσεις x=f(t) - q=f(t) Ταχύτητα Ηλεκτρικό ρεύμα Εξισώσεις υ=f(t) - =f(t) x = A. ημωt q =. ημωt Δx υ = Δq = υ = υ 0. συνωt =. συνωt Μάζα - Αυτεαγωγή m L Σταθερά εαναφοράς Χωρητικότητα Δυναμική Ενέργεια - Ενέργεια υκνωτή q=0 t=0 0<t<T/4 t=t/4 D = D.x - t=0 T/4<t<T/ Θ.ΙΣ q = Physcs by hrs Smopoulos + q=0 t=t/

6 Κινητική Ενέργεια Ενέργεια ηνίου K =.m.υ B =.L. Σχέση μεγεθών D=m.ω = L. ω Μέγιστη ταχύτητα - Μέγιστο ρεύ- μα υ 0 = ω.a = ω. Θα αοδείξουμε με λήρη αντιστοιχία τις σχέσεις ου χρησιμοοιούμε στο μηχανικό σύστημα αφού ισχύουν και για το ηλεκτρικό κύκλωμα (σελ..5) ΣΧΕΣΗ ΦΟΡΤΙΟΥ - ΕΝΤΑΣΗΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Αό τις εξισώσεις του φορτίου και της έντασης του ρεύματος θα έχουμε: q q =. ημ ( ωt ) q =. ημ ( ωt ) ημ ( ωt ) = = ω. συν( ωt ) = ω. συν ( ωt ) συν ( ωt ) = ω Αντικαθιστώ στην τριγωνομετρική σχέση τις σχέσεις (7) και (8) οότε έχω q q + = ω.q + = ω = ω ω ( 9 ) ΣΧΕΣΗ ΕΝΤΑΣΗΣ - ΠΛΑΤΟΥΣ ΕΝΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΟΥ Αό την αρχή διατήρησης ενέργειας στο κύκλωμα έχουμε: q = + B = L( B max q L + ) ( 0 ) Αλλά ακόμη έχουμε L = ω. Οότε η (0) γράφεται q = L = ω q ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ + L = L q (7 ) = L L Οι γραφικές αραστάσεις της ενέργειας σε συνάρτηση με τον χρόνο αναφέρονται στο σχολικό βιβλίο και είναι ημιτονοειδής. Ιδιαίτερη ροσοχή ρέει να δώσουμε στο ότι οι γραφικές αραστάσεις δεν αίρνουν αρνητικές τιμές διότι το ημίτονο και το συνημίτονο είναι υψωμένα στο τετρά- γωνο. - (J) ολ B + qb ( ) (J) ολ ( 8 ) - + qb ( ) Physcs by hrs Smopoulos

7 διάγραμμα Οι γραφικές αρα στάσεις της ενέργειας σε συνάρτηση με το φορτίο φαίνονται στο διλανό ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΜΕΓΕΘΩΝ Εδώ ρέει να τονίσουμε ότι οι ρυθμοί μεταβολής της ενέργειας δηλώνουν ισχύ και καθορίζονται αό την σχέση Συγκεκριμένα έχουμε: ΔW = P = V. ) το ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ηλεκτρικού εδίου του υκνωτή Δ ) το ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του μαγνητικού εδίου του ηνίου Δ = B = Εειδή στο κύκλωμα δεν υάρχουν αντιστάσεις κάθε χρονική στιγμή η τάση στα άκρα του υκνωτή θα είναι ίση με την τάση στα άκρα του ηνίου, έτσι οι ρυθμοί θα είναι άντοτε ίσοι με τη διαφορά ότι όταν ο ένας αυξάνεται ο άλλος θα μειώνεται δηλαδή είναι αντίθετοι. Ισχύει εξίσωση V = V V V L Πρέει να αναφέρουμε ότι η τάση στα άκρα του υκνωτή κάθε χρονική στιγμή δίνεται αό την V q = V L... ημ ( ωt + ϕ0 ) = ενώ η τάση στα άκρα του ηνίου δίνεται αό την σχέση ου γνωρίσαμε στην αυτεαγωγή και είναι δύσκολος ο υολογισμός της ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΥΚΛΩΜΑ L-. V L Δ = L. Οι ασκήσεις αυτές ανάγονται λήρως στο μηχανικό σύστημα. Έτσι ακολουθούμε τον ίδιο ακριβώς τρόο με αυτόν της ρώτης κατηγορίας, δηλαδή α. Σχεδιάζω το σχεδιάγραμμα ταλάντωσης του σώματος. β. Γράφω τις εξισώσεις ου μας ενδιαφέρουν. γ. Ελέγχω τις ειδικές συνθήκες. δ. Αντικαθιστώ τις τιμές του ροβλήματος στις εξισώσεις. ε. Λύνω το σύστημα των εξισώσεων ου ροκύτει ελέγχοντας τις δεκτές τιμές των γωνιών με το σχεδιάγραμμα της ταλάντωσης. Physcs by hrs Smopoulos