Modele de retele. Reteaua cu comutarea de circuit modelata ca o retea cu pierderi. Reteaua cu comutarea pachetelor modelata ca o retea cu asteptare

Transcript

1 Modele de etele Reteaua cu comutaea de cicuit modelata ca o etea cu piedei Reteaua cu comutaea pachetelo modelata ca o etea cu asteptae

2 Modelul taficului in cadul unei etele bazata pe comutaea de cicuit Fie o etea cu comutae de cicuit de exemplu: eteaua telefonica Taficul: apeluile telefonice fiecae apel pelucat ocupa un canal al liniei de-a lungul caeia se popaga Sistemul: teminalul (apaatul) telefonic noduile etelei liniile de acces tunchiul de etea A

3 Reteaua cu comutae de cicuit QoS: Data de pobabilitatea de blocae a apelului de la teminal la teminalend-to-end ( pobabilitatea ca, conexiunea doita sa nu poata fi stabilita datoita congestiei de-a lungul caii acesteia) In cadul modelului facem pesupuneea ca: Noduile de acces si eteaua de acces nu pot poduce blocaea Un apel este blocat daca si numai daca toate canalele sunt ocupate in oice tunchi de etea de-a lungul taseului apelului pelucat A

4 Liniile (legatuile) = 1, J În cadul modelului toate liniile sunt dublu sens Liniile in tunchiul de etea se indexeaza dupa, = 1, J - de expl. J = 6 Fie n numaul de canale afeente linie = capacitatea liniei n= ( n1, n J ) Fiecae linie e modelata ca un sistem pu cu piedei A 6 5 4

5 Cai = 1,, R Se defineste o cale ca fiind: Un set de legatui (dublu sens) consecutive ce leaga 2 nodui de etea Caile se indexeaza pin, = 1,, R In exemplu: R = = 32 exista 3 cai inte noduile a si b: {1,2},{6,3},{5,4,3} 1 2 b 3 Sa notam: d = 1 daca legatua apatine caii A a d = 0 in caz conta D= ( d = 1, J; = 1,, R)

6 Clase de tafic Se pesupune ca: Pobabilitatea de blocae, end to end este aceeasi pentu toate conexiunile apatinand unei anumite cai Clasa de tafic a anei conexiuni este deteminata de calea pe cae aceasta o umeaza Exemplu: conexiunea inte A si apatine clasei ce utilizeaza calea {6,3} 2 b x Sa notam pin numaul de conexiuni active ce umeaza calea A a x= x1 x R (, ) 5 4 Vectoul x epezinta staea sistemului

7 Spatiul stailo Numaul de conexiuni active ale unei clase de tafic este limitat de capacitatile n de-a lungul caii coespunzatoae R = 1, Acelasi lucu se poate scie sub foma vectoiala: x d x n pentutoti D x= n Spatiul stailo S epezentand spatiul stailo pemise este: S = { x 0 D x n} Nota: Datoita capacitatii finite a liniei setul S este finit

8 Exemplu 3 linii cu capacitatile: Linia a-c: 3 canale Linia b-c: 3 canale Linia c-d: 4 canale 2 cai: calea a-c-d calea b-c-d celelalte 4 cai (a-c-b, a-c, c-d, b-c) sunt ignoate in cadul modelului Spatiul stailo: S= {(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0) (1,1),(1,2),(1,3), (2,0),(2,1), (2,2),(3,0),(3,1)}

9 Setul de stai S cae nu poduc blocaea in cadul clasei Sa consideam un apel cae soseste, apatinand clasei (adica umeaza calea ) Acesta nu va fi blocat de linia apatinand caii daca: R '1 = d x n 1 pentutoti ' ' Acelasi lucu expimat sub foma vectoiala este ( e epezinta vectoul unitate in diectia ) D ( x+ e ) n Setul de stai S cae nu poduc blocaea in cadul clasei este: S = { x 0 D ( x+ e ) n}

10 Setul de stai S cae poduc blocaea pentu clasa Setul stailo cae poduc blocaea in cazul clasei este: S S S = S Un apel apatinand clasei este blocat si piedut daca si numai daca staea x a sistemului apatine setului S Exemplu: Staile de blocae S1 coespunzatoae conexiunilo din clasa 1 ( ce utilizeaza calea a-c-d) sunt macate pe figua S 1 = {(1,3),(2,2),(3,0),(3,1)}

11 Retele cu piedei Pesupunem ca: Ceeile de noi conexiuni apatinand clasei de tafic sosesc independent potivit unui poces Poisson de intensitate ( paametu) λ Timpii de mentinee a apeluilo sunt sunt vaiabile iid de medie h Notam a =λ h intensitatea taficului pentu clasa

12 Distibutiile in conditiile de echilibu (Pobabilitatile de stae) Se poate demonsta - pobabilitatea de stae π x pentu oice stae x S este R 1 x G f x = 1 π = ( ) Unde G este constanta de nomalizae: R G f ( x ) = x S = 1 Si functiile f ( x ) f sunt definite astfel: a ( x) = x x!

13 Distibutiile in conditiile de echilibu (Pobabilitatile de stae)(2) Pobabilitatea de stae π x este sub foma de podus - totusi numaul de conexiuni active al difeitelo clase nu este independent ( intucat constanta de nomae depinde de fiecae x ) - numai daca toate liniile a avea capacitati infinite toate clasele de tafic a fi independente inte ele - ezulata ca dependenta inte difeitele clase de tafic este data de numaul limitat al esusele

14 PASTA Sa consideam oice model simplu de tafic cu sosii de tip Poisson Potivit popietatii numite PASTA (Poisson Aivals See Time Aveages) apeluile cae sosesc (potivit unui poces Poisson) gasesc sistemul in stae de echilibu Aceasta este o impotanta obsevatie aplicabila in numeoase pobleme De exemplu ne pemite sa calculam pobabilitatile de blocae endto-end in cadul modelului de etea cu comutae de cicuit ( intucat am pesupus ca sosiea apeluilo se face potivit unui poces de tip Poisson)

15 locaea end-to end: fomula Pobabilitatea ca sistemul sa se afle inte-o stae in cae sa nu mai poata accepta apelui din clasa este data de elatia: In continuae vom numi aceasta pobabilitate: pobabilitatea de blocae de timp pentu clasa Datoita popietatii PASTA pobabilitatea de blocae end-to-end de apel egaleaza aceasta pobabilitate: x S π = π x S Intucat nu exista difeente inte pobabilitatea de blocae de timp si cea de apel vom numi in continuae aceasta pobabilitate simplu pobabilitatea de blocae x x

16 Exemplu Fie sistemul pezentat anteio ( slide + slide) Pobabilitatea de blocae end-to-end pentu clasa 1 este: 1 =π (1,3) +π (2,2) +π (3,0) +π (3,1) = aa 1 2 a1a2 a 1 a !3! 2!3! 3! 1! a 1 2 a2 a 2 a 1 a 1 2 a2 a 2 a 1 a 1 2 a 2 a 1 a ! 2! 3! 1! 1! 2! 3! 2! 1! 2! 3! 1!

17 Metode apoximative In pactica este deosebit de geu( chia imposibil) de aplicat o astfel de fomula - acest lucu se datoeste asa numita explozie a stailo: sunt atatea dimensiuni in spatiul stailo cate cai avem in model ceea ce detemina o cestee exponentiala a spatiului stailo Astfel sunt necesae in metode appoximative - una dinte cele mai simple: metoda maginii podusului Poduct ound method - se estimeaza, mai intai pobabilitatile de blocae in fiecae linie sepaat ( comune pentu toate clasele de tafic) - se calculeaza apoi pobabiliattile de blocae end-to-end pentu fiecae clasa pe baza ipotezei confom caeia blocaea apae pe fiecae linie in mod independent

18 Poduct ound (1) Sa consideam pobabilitatea de blocae int-o linie abitaa - fie R( ) setul de cai cae utilizeaza linia Daca capacitatile tutuo celolalte linii a fi infinite, Linia a putea fi modelata ca un sistem cu piedei in cae noile apelui sosesc potivit unui poces Poisson de intensitate λ ( ) = λ R( ) λ( ) - in acest caz pobabilitatea de blocae se poate calcula cu fomula: ( ) = El( n, a ) R( ) - Aceasta epezinta in mod cla o apoximae intucat taficul ofeit liniei datoita blocailo in alte linii ( si nici maca nu e tip Poisson)

19 Poduct ound (2) Sa consideam pobabilitatea de blocae end-to-end pentu clasa - fie J () setul de linii ce apatin caii Un apel cae soseste, apatinand clasei nu este blocat daca nu e blocat in nici in nici o linie J() Daca blocaea se poduce independent in fiecae linie, un apel cae soseste si apatine clasei va fi blocat cu pobabilitatea 1 (1 ) J( ) Pentu valoi mici ale lui () se poate apoxima confom: () J( )

20 Ω Modelul de tafic in cadul unei etele cu comutaea pachetelo Fie o etea cu comutaea pachetelo faa conexiune, la nivelul pachetelo: Ex. O subetea in cadul Intenetului Taficul: pachete de date identificate pin susa A si destinatia Sistemul Statii de lucu si sevee (teminale) Routee( nodui ale etelei) Linii de acces (de la teminale la utee) Linii de tunchi (inte utee) A

21 Ω Modelul de tafic in cadul unei etele cu comutaea pachetelo Calitatea seviciului Intaziee medie end-to-end a pachetelo( timpul mediu necesa unui pachet sa pacuga dumul A- Totusi in cadul modelului Ne estictionam la timpul mediu in cadul tunchiului de etea( de la uteul susei la uteul destinatiei) Implicit pesupunem ca intazieea datoata etelei de acces este negliabila sau cel putin, apoape deteminista)

22 Componentele intazieii end-to-end Intazieea in cadul tunchiului de etea consta din: Intazieile de popagae ( in linii) Intazieile de tansmisie ( in linii) Intazieile de pocesae ( in nodui) Intaziei datoate cozilo de asteptae inainte de tansmisie si inainte de pocesae) De notat: Intazieile datoate popagaii si cele de tansmisie sunt deteministe Intazieile cauzate de pocesae pot fi aleatoae Intazieile cauzate de cozile de asteptae sunt aleatoae In cadul modelului Luam in consideae intazieile cauzate de tansmisie si de cozile de asteptae Nu luam in consideae pe cele cauzate de popagae si de pocesae

23 Liniile In acest caz sepaam diectiile astfel incat Toate liniile sunt int-un sens = 1,, J Indexam liniile int-un tunchi dupa = 1,, J In figua J =12 C Fie capacitatea liniei in bps;

24 Cai = 1,, R Se defineste o cale Un set odonat de linii consecutive( int-un singu sens) ce conecteaza doua noduide etea numite susa si destinatie Caile se indexeaza dupa = 1,, R In figua In exemplul consideat R = 2 ( ) exista 3 cai de la nodul (a) la nodul (b): (1,3) (11,6) (10,8,6) pentu aceste cai nodul a este oiginea, ia nodul b este destinatia

25 Modelul de linie individual Fiecae linie e modelata ca Un sistem pu cu asteptae ( cu un singu seve si un buffe infinit Fie λ ata de sosie a pachetelo ce umeaza a fi tansmise pe linia (in pachete pe secunda) L lungimea medie a unui pachet (in biti) 1 = L = timpul mediu de tansmisie a unui pachet pe μ C linia in secunde Stabilitatea impune conditia: λ <μ

26 Ratele de sosie ale pachetelo pe o linie Fie λ() ata de sosie a unui pachet ce umeaza calea R( ) setul de cai ce utilizeaza linia Se poate duce pe baza tabelelo de utae Rata de sosie pe linia se poate deduce confom: λ = λ() R( )

27 Clase de tafic = 1,, R Nota Intazieea medie end-to-end este egala pentu toate pachetele ce umeaza aceeasi cale Astfel, clasa de tafic a unui pachet ete deteminata de calea pe cae conexiunea o umeaza

28 x Spatiul stailo Fie numaul de pachete in coada (incluzand pachetul in cus de tansmisie) x = x1 x J (,, ) Vectoul x epezinta staea sistemului K, x In acest caz poate avea oice valoae nenegativa Spatiul stailo S este in acest caz: S = { x 0} Spatiul stailo este in acest caz infinit

29 Exemplu 2 linii: linia a-b linia b-c 3cai: calea a-b calea b-c calea a-b-c Spatiul stailo: S = {(0,0), (1,0),(0,1), (2,0),(1,1),(0,2), (3,0),(2,1),(1,2),(0,3),...}

30 Retea cu asteptae Pesupunem ca Noile pachete cae umeaza calea sosesc (independent) potivit unui poces Poisson de intensitate λ() Lungimea pachetelo este un poces independent si distibuit exponential de medie L Rezulta: noile pachete ce umeaza a fi tansmise pe linia sosesc potivit unui poces Poisson de intensitate confom: λ = λ R( ) Timpii de tansmitee ai pachetelo sunt independenti si umeaza o distibutie exponetiala de medie 1 μ = L C λ

31 Pobabilitatile de stae In continuae se pesupune ca: λ <μ Sistemul e stabil: pentu toate valoile Lungimea pachetului este in mod independent efacuta (pe baza aceleasi distibutii) in cadul fiecaei linii pe cae pachetul o stabate Aceasta epezinta asa numita ipoteza de independenta a lui Kleinock In aceste conditii se poate demonsta ca : Pobabilitatea ca sistemul sa se afle int-o stae de stationaitate π( x) oi cae a fi x S este: J π ( x) = (1 ρ ) ρ = 1 x Unde pin ρ s-a notat incacaea cu tafic a liniei λ λ L ρ = = < 1 μ C

32 Pobabilitatile de stae (2) π( x) Pobabilitate de stae este din nou sub foma de podus: acum numaul de pachete in cadul fiecaei cozi e independent Fiecae coada individuala epezinta o coada de tipul M/M/1 Numaul de pachete int-o astfel de coada este dat de o distibutie geometica de medie: X ρ = 1 ρ

33 Intazieea medie end-to-end Sa consideam intaziee medie end-to-end pentu clasa : Fie J () setul de legatui cae apatin caii In cadul modelului intazieea medie end-to-end va fi epezentata de suma intazieilo medii coespunzatoae difeitelo linii de-a lungul caii espective (cae includ intaziei de tansmisie si intaziei datoate cozilo de asteptae) Potivit Fomulei lui Little intazieea medie a liniei este: T X 1 ρ = = = = λ λ 1 ρ μ 1 ρ μ λ Astfel intazieea medie end-to-end pentu clasa : T () = T = = J( ) J( ) μ 1 ρ J( ) μ λ