ATTIECĪBAS. Attiecības - īpašība, kas piemīt vai nepiemīt sakārtotai vienas vai vairāku kopu elementu virknei (var lietot arī terminu attieksme).
|
|
- Ήλιόδωρος Βασιλείου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 004, Pēteris Daugulis ATTIECĪBAS Attiecības - īpašība, kas piemīt vai nepiemīt sakārtotai vienas vai vairāku kopu elementu virknei (var lietot arī terminu attieksme). Bināra attiecība - īpašība, kas piemīt vai nepiemīt kopas (vai divu dažādu kopu) sakārtotiem elementu pāriem. x, y piemīt šī īpašība, tad Ja elementu pārim teiksim, ka tie ir saistīti ar attiecību (kuru nosauksim vārdā ρ ) un pierakstīsim to formā x ρ y, pretējā gadījumā - x ρ/ y. Tātad attiecība definē kādu apakškopu kopā A B (ja x ρ y, tad ( x, y) ir šajā apakškopā, pretējā gadījumā - nav) DEFINĪCIJA Bināra attiecība starp kopu A un B elementiem ir kāda apakškopa R kopā A B. Ja A = B attiecību kopā A., tad bināru attiecību sauc par bināru Biežāk tiek izmantotas attiecības vienā kopā.
2 004, Pēteris Daugulis R A Attiecību ρ, kas atbilst apakškopai ( R A A ) apzīmēsim ar pierakstu ρ = ( A, R) ( ρ = ( A, R) ). B Kopu R sauksim par attiecības grafiku. Kopu A ar tajā uzdotu attiecību ρ var apzīmēt ar pierakstu ( A, ρ), šis apzīmējums ir izdevīgs, ja attiecību uzdod ar attiecības aprakstu, nevis ar kopu R. ρ un x, y) R Ja = ( A, R) (, tad saka, ka elementi x un y ir saistīti ar attiecību ρ, atrodas attiecībā ρ vai ir salīdzināmi attiecībā ρ (apzīmē ar x ρ y ). Strādājot ar konkrētām attiecībām, burta ρ vietā izmanto dažādus atdalošos simbolus, piemēram <, =,, p, un citus.
3 004, Pēteris Daugulis 3 PIEMĒRI a) reālu skaitļu vienādība (=), šajā gadījumā ρ = ( A, R), kur A ir reālo skaitļu kopa un R = {[ x, y] A x = y} ; b) reālo skaitļu sakārtojums ( ), jeb attiecība mazāks vai vienāds, A ir reālo skaitļu kopa un R = {[ x, y] A x y} ; c) veselo skaitļu dalāmības attiecība ( ), A = Z un R = {[ x, y] A y dalās ar x }; c) kopu ietilpšanas attiecība ( ), A ir visu kopu kopa un R = {[ x, y] A x y} ; d) apakšprogrammu izsaukšanas attiecībair visu dotā programmas apakšprogrammu kopa, R = {( x, y) A y izsauc x} e) cilvēku radniecības attiecība, A ir visu cilvēku kopa, R = {[ x, y] A x un y uzskata sevi par radiniekiem }; f) trijstūru līdzība, A ir visu plaknes trijstūru kopa, R = {[ x, y] A x un y ir līdzīgi }. Jebkuram sakārtotam kopu pārim ( A, B) ir definētas divas speciālas attiecības:
4 004, Pēteris Daugulis 4 a) tukšā attiecība λ = ( A, ) ; b) pilnā attiecība ω = ( A, A B). Jebkurai kopai A ir vēl papildus speciāla attieksme - vienības attiecība kur ε = ( A, diag( A)), diag ( A) = {( x, y) A x = y} ir A apakškopa, ko sauc par A diagonāli. Attiecību var interpretēt kā attēlojuma grafiku, tāpēc pastāv savstarpēji viennozīmīga atbilstība starp attiecībām un attēlojumiem. Attiecībām un attēlojumiem ir dažādas psiholoģiskas nianses, kuras ir lietderīgi izmantot dažādās situācijās: - apakškopu tiešajā reizinājumā A B ir ērti uzskatīt par attēlojuma grafiku, ja iet runa par kopas A elementu pārveidojumiem par kopas B elementiem vai apakškopām;
5 004, Pēteris Daugulis 5 - šo pašu apakškopu ir ērti uzskatīt par attiecību, ja ir svarīgi domāt par šo apakškopu kā par sakārtotu elementu pāru kopu. Attiecības uzdošanas veidi: ) attiecību ρ = ( A, R) var uzdot definējot kopas A un B un pārskaitot visus kopas R elementus, šī metode der, ja kopas A un B ir mazas galīgas kopas, šajā gadījumā bieži izmanto attiecības uzdošanu matricas (tabulas) veidā: ja A = n un B = m, tad konstruē tabulu, kurā ir n kolonnas un m rindas, tabulas kolonnas tiek indeksētas ar kopas A elementiem un rindas ar kopas B elementiem, tabulas rūtiņā, x A un kolonnai y B kas atbilst rindai ieraksta, ja [ x, y] R un 0, ja [ x, y] R, ja ir uzdota attiecības matrica to var vizualizēt matricas grafa vai attiecības grafa veidā: grafa virsotnes ir kopu A un B elementi, starp virsotnēm x un y ir orientēta šķautne (bultiņa no x uz y ) tad un tikai tad, ja [ x, y] R ;
6 004, Pēteris Daugulis 6 ) attiecību var uzdot ar kādu kopas R A B raksturīgu īpašību; 3) attiecību var uzdot ar salīdzināmo elementu pāru raksturojošo īpašību. Attiecību vienādība un salīdzināšana DEFINĪCIJA Divas attiecības ( A, R ) un ρ = ( A, R ) sauc par vienādām ( ρ tad un tikai tad, ja R = R. R ρ = ρ = ) Ja, tad saka, ka attiecības nav vienādas ( ρ ρ ). R Saka, ka attieksme ρ ietilpst attiecībā ρ vai, ka attiecība ρ ir attiecības ρ apakšattiecība ( ρ ρ ), tad un tikai tad, ja R R. ρ un ρ ρ, tad saka, ka attiecība ρ Ja ρ stingri ietilpst attiecībā ρ vai, ka attiecība ρ ir attiecības ρ īsta apakšattiecība. PIEMĒRI
7 004, Pēteris Daugulis 7 Jebkura attiecība ietilpst pilnajā attiecībā un tukšā attiecībā ietilpst jebkurā citā attieksmē. Ja ρ ir attiecība mazāks vai vienāds ( ) un ρ ρ ; ir attiecība =, tad ρ ja ρ ir attiecība būt radiniekiem un ρ ir attiecība būt pazīstamiem, tad ρ ρ (mēs uzskatām, ka radinieki pazīst viens otru). DEFINĪCIJA Operācijas ar attiecībām Ja ir dotas divas attiecības ρ = A, ) un ρ = A, ) ( R ( R, tad par šo attiecību apvienojumu sauc attiecību ρ U ρ = A, R U ) ; ( R par attiecību šķēlumu sauc attiecību ρ I ρ = A, R I ) ; ( R par attiecību starpību sauc attiecību ρ ρ = ( A, R \ ). \ R
8 004, Pēteris Daugulis 8 Par attiecības ρ = ( A, R) papildinājumu jeb papildinošo attiecību sauc attiecību ρ ' = ( A, ( A B) \ R). Par attieksmes ρ = ( A, R) apvērsto attiecību sauc attiecību ρ = ( A, R ), kur R = {( y, x) B A ( x, y) R}. Ja ir dotas divas attiecību ρ = A, ) un ρ = ( C, ) R ( R, tad par šo attiecību kompozīciju vai reizinājumu sauc attiecību ρ ρ = R ( A, C, R ), kur R R = {( x, z) A C eksistē y B tāds, ka ( x, y) R un y, z) R }. ( Attiecību kompozīcija ir saistīta ar attēlojumu kompozīciju: attiecību ρ = ( A, R ) un ρ = C, ) kompozīcijai ( R ρ ρ = R ( A, C, R ) atbilst kopa R R, kas ir vienāda ar kopām R un R atbilstošo attēlojumu kompozīcijas grafiku.
9 004, Pēteris Daugulis 9 PIEMĒRI < TEORĒMA (attiecību īpašības) Ja ρ = ( A, R), σ = ( A, S) un τ = ( A, T ) ir attiecības kopā, tad ir spēkā šādas īpašības ) ερ ρε = ρ = ; λρ ρλ = λ ) ( ρ ') = ( ρ )' ; 3) ( ρ σ ) = ρ σ ; ( ρ σ ) = ρ σ ; 4) ρ( σ τ ) = ρσ ρτ ; ( σ τ ) ρ = σρ τρ ; 5) ρ( σ τ ) ρσ ρτ ; ( σ τ ) ρ σρ τρ ; = ; Attiecību speciālgadījumi
10 004, Pēteris Daugulis 0 DEFINĪCIJA Attiecību ρ = ( A, R) sauksim par refleksīvu, ja katram aρ a. a A izpildās nosacījums Attiecības ρ = ( A, R) refleksivitāte nozīmē, ka ε ρ vai arī, ka ρ = ρ ε, citos terminos, tās grafiks satur kopas A diagonāli, refleksīvas attiecības grafā katrai virsotnei a var atrast šķautni, kuras abi gali pieder a (šādu šķautni sauc par orientētu cilpu). Refleksīvu attiecību piemēri: skaitļu vienādība, ģeometrisku figūru vienādība un līdzība. DEFINĪCIJA Attiecību sauc par antirefleksīvu, ja ja katram a A izpildās nosacījums a ρ ' a. ρ ε' vai arī, ka Antirefleksivitāte nozīmē, ka ρ = ρ \ ε, antirefleksīvas attiecības grafā nav nevienas cilpas. Antirefleksīvu attiecību piemēri: skaitļu nevienādība, taišņu perpendikularitāte.
11 004, Pēteris Daugulis DEFINĪCIJA Attiecību sauksim par simetrisku, ja jebkuriem diviem nosacījums: ja aρ b, tad a A un b A izpildās šāds bρ a. Attiecības simetriskums nozīmē, ka ρ = ρ vai arī, ka ( ρ \ ε) = ( ρ \ ε ) ε, simetriskas attiecības grafā starp jebkurām divām dažādām virsotnēm vai nu nav nevienas šķautnes, vai arī ir divas šķautnes (vērstas pretējos virzienos). Simetrisku attiecību piemēri: skaitļu vienādība, figūru līdzība, cilvēku radniecība. Attiecību sauksim par antisimetrisku, ja jebkuriem diviem aρ b un a A un b A izpildās nosacījums: ja bρ a, tad a = b. Attiecību antisimetriskums nozīmē, ka ρ ρ ε vai arī, ka ( ρ \ ε) = ( ρ \ ε ) \ ε, antisimetriskas attiecības grafā nav virsotņu pāru, starp kuru elementiem ir divas šķautnes. Antisimetrisku attiecību piemēri: skaitļu attiecība mazāks vai vienāds, veselu skaitļu dalāmība.
12 004, Pēteris Daugulis Attieksmi sauc par asimetrisku, ja jebkuriem diviem aρ b, tad a A un b A izpildās nosacījums: ja b ' a ρ. Attieksmes asimetriskums nozīmē, ka ρ ρ = λ vai arī, ka ρ = ρ \ ε, asimetriskas attieksmes grafā nav cilpu un nav virsotņu pāru, starp kuru elementiem ir divas šķautnes. Asimetrisku attieksmju piemēri: skaitļu attieksme mazāks. Attieksmi sauc par tranzitīvu, ja jebkuriem trīs elementiem nosacījums: ja a A, b A un c A izpildās aρ b un bρ c, tad aρ c. Attieksmes tranzitivitāte nozīmē, ka arī, ka ( ρ ε ) = ρ ε. ρ ρ vai Ja ρ ir patvaļīga attieksme, tad attieksmi U = ρ i N sauc par attieksmes ρ tranzitīvo slēgumu (pierādīt patstāvīgi, ka τ ir tranzitīva attieksme!). τ i
13 004, Pēteris Daugulis 3 Tranzitīvu attieksmju piemēri: skaitļu attieksme mazāks (<), skaitļu dalāmības attieksme, ģeometrisku figūru līdzības attieksme. Attieksmi sauc par dihotomisku (aptverošu), ja a A un b A a b izpildās nosacījums: aρ b vai bρ a. jebkuriem diviem, tādiem, ka Attieksmes dihotomiskums nozīmē, ka ε ' ρ ρ. Dihotomisku attieksmju piemēri: skaitļu attieksme mazāks vai vienāds. Sakārtojumi DEFINĪCIJA Attiecību sauc par daļēju sakārtojumu, ja tā ir ) refleksīva, ) antisimetriska, 3) tranzitīva. Daļēju sakārtojumu sauc par pilnu (lineāru) sakārtojumu, ja tas ir dihotomisks. Attiecību sauc par stingru (pilnu) sakārtojumu, ja tā ir antirefleksīva, antisimetriska un tranzitīva (un dihotomiska).
14 004, Pēteris Daugulis 4 Refleksīvu un tranzitīvu attiecību sauc par pirmsakārtojumu vai kvazisakārtojumu. Kopu ar tajā uzdotu daļēju sakārtojumu sauc par daļēji sakārtotu kopu, kopu ar pilnu sakārtojumu sauc par pilnīgi sakārtotu kopu vai ķēdi. Daļēja un pilna sakārtojuma attieksmes parasti apzīmē ar izteikti nesimetriskiem, orientētiem atdalošiem simboliem, piemēram <,, p, <,,,, u un citiem. Mēs apzīmēsim vispārīgu sakārtojumu ar. Duālo DSK iegūst no dotās mainot uz pretējo salīdzināšanas kārtību. PIEMĒRS Vienības attiecība ε acīmredzami ir daļējs sakārtojums, to sauc par triviālo vai diskrēto sakārtojumu. Daži klasiski sakārtojumu piemēri: (, ),( N, ), ( P( A), ) N, Elementus x un y sauksim par salīdzināmiem, ja x y (x ir mazāks vai vienāds kā y) vai x y (x ir lielāks vai vienāds kā y), pretējā gadījumā tos sauksim par nesalīdzināmiem.
15 004, Pēteris Daugulis 5 Ja uzdota daļēji sakārtota kopa ( A, ), tad apakškopu B A sauc par ķēdi, ja ( B, ) ir pilnīgi sakārtota kopa, apakškopu B sauc par antiķēdi, ja ( B, ) ir triviāli sakārtota kopa. Ķēdi (attiecīgi, antiķēdi) B sauc par maksimālu, ja a A \ B apakškopa {a} jebkuram ķēde (attiecīgi, antiķēde). B nav Saka, ka daļēji sakārtotas kopas garums (attiecīgi, platums) ir n, ja tajā eksistē ķēde (attiecīgi, antiķēde), kas satur n elementus un neeksistē ķēde (attiecīgi, antiķēde), kas satur n + elementu. DSK, kuras garums ir, sauksim par divdaļīgu DSK. Elementu x A sauc par vislielāko (attiecīgi, a A izpildās a x x a ). vismazāko), ja katram (attiecīgi, Ja DSK eksistē vislielākais (vismazākais) elements, tad to sauc par ierobežotu no augšas (apakšas).
16 004, Pēteris Daugulis 6 x A sauc par maksimālu (attiecīgi, x a seko, ka x = a a x seko, ka x Elementu minimālu), ja no tā, ka (attiecīgi, no tā, ka a = ). Grafi sakārtojumu vizualizēšanai Salīdzināmības orientētais grafs grafs kā vispārīgai attiecībai. Salīdzināmības (neorientētais) grafs - dažādi elementi tiek savienoti ar neorientētu šķautni tad un tikai tad, ja tie ir salīdzināmi. Izmanto arī nesalīdzināmības grafu. Hasses grafs Vizualizējot daļējus sakārtojumus grafu veidā, ir lietderīgi nedaudz modificēt attieksmes grafa jēdzienu: ja ir dots daļējs sakārtojums ( A, ), tad no sākumā konstruē šī sakārtojuma grafu parastajā nozīmē un pēc tam izdzēš visas cilpas un visas šķautnes, kuru eksistence ir tranzitivitātes sekas. Šādu grafu sauc par sakārtojuma (vai Hasses) grafu.
17 004, Pēteris Daugulis 7 Ja kopa A ir galīga, tad šī definīcija nozīmē, ka starp dažādiem elementiem a un b ir šķautne ( a b ) tad un tikai tad, ja a b un neeksistē c A tāds, ka c a, c b, a c un c b. Saka, ka b nosedz a. Papildus DSK īpašības Par DSK ( A, ) apakšattiecību sauksim DSK ( B), kur B A un b B b tad un tikai tad, ja b b (kopā A). Par intervālu [x,y] sauksim apakšattiecību, kas satur visus z: x z y. A un ( B) tad Ja ir dotas divas DSK (, A) funkciju f : A B sauksim par izotonu (tādu, kas saglabā kārtību), ja no tā, ka f ( a) B f ( a'). a A a' seko, ka Divas DSK ( A, A) un ( B) sauksim par izomorfām, ja eksistē bijektīva funkcija
18 004, Pēteris Daugulis 8 f f : A B tāda, ka a a' ( a) f ( a') B. A tad un tikai tad, ja Var definēt arī antiizomorfisma jēdzienu, kad eksistē bijektīva funkcija f : A B tāda, ka a A a' tad un tikai tad, ja f ( a) B f ( a' ). Par DSK kēžu sadalījumu sauksim tās elementu kopas sadalījumu apakškopās, kurām atbilstošās apakšdsk ir ķēdes. TEORĒMA (Dilvorts) Galīgai DSK platums ir vienāds ar minimālo ķēžu sadalījuma elementu skaitu (minimālo skaitu ķēžu, kurās var sadalīt doto DSK). PIERĀDĪJUMS Patstāvīgi, izmantot matemātisko indukciju pēc platuma. Operācijas ar DSK: ) apvienojums - ja dotas DSK D = ( A, R ) un D = ( A, R) un A I A =, tad D + D = A U A, R U ) ( R ) lineārā summa - ja dotas DSK D = A, ) un D = A, ) un ( R ( R
19 004, Pēteris Daugulis 9 A I A =, tad D D = A A, R U R U A ) ( A U, visi viena kopas elementi ir mazāki nekā visi otrās kopas elementi; 3) Dekarta reizinājums - ja dotas DSK D = ( A, R ) un D = ( A, R), tad D D = ( A A, ), kur elementi S ( a, a ) un ( b, b ) a b a b R R ir salīdzināmi tad un tikai tad, ja un. PIEMĒRI Kēde ir viena elementa DSK iterētā lineārā summa. Antiķēde ir viena elementa DSK iterēts apvienojums. Ja ir dotas divas DSK D = ( A, R ) un D = ( A, R), tad var definēt leksikogrāfisko A sakārtojumu (kopu) Dekarta reizinājumā šādi: ( a, a) ( b, b ) tad un tikai tad, ja a b vai a = b un a b. A PIEMĒRS Ja ir dota pilnīgi sakārtota kopa ( A, ), n tad katram n N kopā A var definēt pilnu sakārtojumu, ko sauc par sakārtojumam atbilstošo leksikogrāfisko sakārtojumu, kuru mēs
20 004, Pēteris Daugulis 0 apzīmēsim ar p, šādā veidā: ( a,..., an ) p ( b,..., bn ) tad un tikai tad, ja mazākajam indeksam i, tādam, ka a i b i izpildās nosacījums ai bi. DSK sauc par graduētu, ja visām maksimālām ķēdēm ir vienāds garums. Par graduētas kopas rangu sauc jebkuras tās maksimālas ķēdes garumu. Par DSK ranga funkciju sauc funkciju r, kas katram elementam piekārto veselu skaitli tā, ka ja y nosedz x, tad r(y)=r(x)+. DSK, kurai eksistē ranga funkciju sauc par ranžētu DSK. Par k-tā ranga kopu sauc DSK apakškopu, kuras elementi rangs vienāds ar k. DSK ( B ) ir DSK ( A, A ) paplašinājums, ja ( A) ( B ). Ja B ir lineārs sakārtojums, to sauc par lineāru paplašinājumu. Topoloģiskās šķirošanas problēma: atrast dotās DSK lineāro paplašinājumu. Par DSK A realizatoru sauc visu tādu tās lineāro paplašinājumu kopu, kuru šķēlums ir A. Par DSK A dimensiju sauc minimāli iespējamo elementu skaitu tās realizatorā.
21 004, Pēteris Daugulis PIEMĒRS DSK pielietojumi šķirošanā. Šķirošanas uzdevuma mērķis ir sakārtot dotos skaitļus (vispārīgā gadījumā, lineāri sakārtotas kopas elementus) pieaugošā kārtībā veicot vairākkārtīgi divu elementu salīdzināšanas operācijas. Tādējādi, jebkurā laika momentā uzkrāto zināšanu apjoms ir DSK, kas apraksta visu salīdzināšanu rezultātus. Algoritms ir jāizstrādā tā, lai katra nākamā salīdzināšana pēc iespējas samazinātu DSK dimensiju. Ekvivalence DEFINĪCIJA Attiecību sauc par ekvivalenci, ja tā ir ) refleksīva; ) simetriska; 3) tranzitīva. Ekvivalences parasti apzīmē ar simboliem, kas ir izteikti simetriski attiecība pret vertikālo asi, piemēram, =,,. Klasiski ekvivalenču piemēri: skaitļu un, vispārīgāk, matemātisku objektu vienādība vai izomorfisms, ģeometrisku figūru līdzība.
22 004, Pēteris Daugulis TEORĒMA Jebkurai kopai A pastāv bijekcija starp ekvivalencēm, kas uzdotas kopā A un kopas A sadalījumiem. PIERĀDĪJUMS Ja ir dots kopas A sadalījums AI = { A } α α I, tad definēsim tam atbilstošu ekvivalenci šādā veidā: a b tad un tikai tad, ja a un b pieder vienai un tai pašai sadalījuma apakškopai A x, apzīmēsim šo attēlojumu no kopas A sadalījumu kopas uz kopas A attieksmju kopu ar ϕ. Pierādīsim, ka katram sadalījumam definētā attieksme tiešām ir ekvivalence: refleksivitāte - katram a A izpildās a a, a b, tad { a, b} A x kādai b a, a un b c, tad simetrija - ja apakškopai A x un tranzitivitāte - ja b { a, b} A x un { b, c} Ay, tātad A x = Ay un a c. No otras puses, pieņemsim, ka ir dota ekvivalence un parādīsim, ka šādai attieksmes var viennozīmīgi piekārtot kopas A sadalījumu,
23 004, Pēteris Daugulis 3 apzīmēsim šo attēlojumu no kopas A ekvivalenču kopas uz kopas A sadalījumu kopu ar ψ. a A definēsim A a { x A x a} a A a Aa, tātad a Katram =. Katram A un U Aa = A, tātad kopa { Aa } a A ir kopas A a A pārklājums. Pierādīsim vēl, ka ja Aa Ab, tad Aa I A b =. Ja Aa I A b, tad eksistē c A tāds, ka c A, c, no kā seko, ka a c c b a b. a A b, un x tāds, ka Pieņemsim, ka eksistē A x A, x, tad iegūstam, ka a a A b x 'b. Tā kā a b x b tranzitivitātes seko, ka x un, tad no attieksmes, kas ir pretruna. Līdzīgā veidā iegūsim pretrunu, ja pieņemsim, ka eksistē x A tāds, ka x Ab, x Aa. No funkciju ϕ un ψ konstrukcijām seko, ka to kompozīcijas jebkurā kārtībā ir vienādas ar
24 004, Pēteris Daugulis 4 vienības attēlojumiem attiecīgajās kopās, tātad abas šīs funkcijas ir bijekcijas.
ATTĒLOJUMI UN FUNKCIJAS. Kopas parasti tiek uzskatītas par fiksētiem, statiskiem objektiem.
2005, Pēteris Daugulis 1 TTĒLOJUMI UN FUNKCIJS Kopas parasti tiek uzskatītas par iksētiem, statiskiem objektiem Lai atļautu kopu un to elementu pārveidojumus, ievieš attēlojuma jēdzienu ttēlojums ir kāda
Διαβάστε περισσότεραPREDIKĀTU LOĢIKA. Izteikumu sauc par predikātu, ja tas ir izteikums, kas ir atkarīgs no mainīgiem lielumiem.
005, Pēteris Daugulis PREDIKĀTU LOĢIKA Izteikumu sauc par predikātu, ja tas ir izteikums, kas ir atkarīgs no mainīgiem lielumiem. Par predikātiem ir jādomā kā par funkcijām, kuru vērtības apgabals ir patiesumvērtību
Διαβάστε περισσότεραRekurentās virknes. Aritmētiskā progresija. Pieņemsim, ka q ir fiksēts skaitlis, turklāt q 0. Virkni (b n ) n 1, kas visiem n 1 apmierina vienādību
Rekurentās virknes Rekursija ir metode, kā kaut ko definēt visbiežāk virkni), izmantojot jau definētas vērtības. Vienkāršākais šādu sakarību piemērs ir aritmētiskā un ǧeometriskā progresija, kuras mēdz
Διαβάστε περισσότεραRīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Uzdevumu risinājumu paraugi. 4. nodarbība
Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi 4 nodabība piemēs pēķināt vektoa a gaumu un viziena kosinusus, ja a = 5 i 6 j + 5k Vektoa a koodinātas i dotas: a 5 ; a =
Διαβάστε περισσότεραESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr. 2009/0196/1DP/
ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr. 009/0196/1DP/1...1.5/09/IPIA/VIAA/001 ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības
Διαβάστε περισσότεραTēraudbetona konstrukcijas
Tēraudbetona konstrukcijas tēraudbetona kolonnu projektēšana pēc EN 1994-1-1 lektors: Gatis Vilks, SIA «BALTIC INTERNATIONAL CONSTRUCTION PARTNERSHIP» Saturs 1. Vispārīga informācija par kompozītām kolonnām
Διαβάστε περισσότεραĪsi atrisinājumi Jā, piemēram, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 4. Piezīme. Uzdevumam ir arī vairāki citi atrisinājumi Skat., piemēram, 1. zīm.
Īsi atrisinājumi 5.. Jā, piemēram,,,,,, 3, 4. Piezīme. Uzdevumam ir arī vairāki citi atrisinājumi. 5.. Skat., piemēram,. zīm. 6 55 3 5 35. zīm. 4. zīm. 33 5.3. tbilde: piemēram, 4835. Ievērosim, ka 4 dalās
Διαβάστε περισσότεραLATVIJAS RAJONU 33. OLIMPIĀDE. 4. klase
Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5.-5.).kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 33. OLIMPIĀDE 4. klase 33.. Ievietot
Διαβάστε περισσότεραLATVIJAS REPUBLIKAS 45. OLIMPIĀDE
Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 4. OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 4.. Dotās nevienādības > abas puses
Διαβάστε περισσότεραAtrisinājumi Latvijas 64. matemātikas olimpiāde 3. posms x 1. risinājums. Pārveidojam doto izteiksmi, atdalot pilno kvadrātu:
trisiājumi Latvijas 6 matemātikas olimpiāde posms 9 Kādu mazāko vērtību var pieņemt izteiksme 0, ja > 0? risiājums Pārveidojam doto izteiksmi, atdalot pilo kvadrātu: 0 ( ) 0 0 0 0 0 Tā kā kvadrāts viemēr
Διαβάστε περισσότεραATRISINĀJUMI LATVIJAS REPUBLIKAS 32. OLIMPIĀDE
Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS. OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI.. Pirmā apskatāmā skaitļa ciparu
Διαβάστε περισσότεραKomandu olimpiāde Atvērtā Kopa. 8. klases uzdevumu atrisinājumi
Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa 8. klases uzdevumu atrisinājumi 1. ΔBPC ir vienādmalu trijstūris, tādēļ visi tā leņķi ir 60. ABC = 90 (ABCDkvadrāts), tādēļ ABP = 90 - PBC = 30. Pēc dotā BP = BC un, tā kā
Διαβάστε περισσότεραAgnis Andžāns, Julita Kluša /95. m.g. matemātikas olimpiāžu uzdevumi ar atrisinājumiem
Agnis Andžāns, Julita Kluša 994./95. m.g. matemātikas olimpiāžu uzdevumi ar atrisinājumiem Rīga, 997 Anotācija Šajā izstrādnē apkopoti 994./95. mācību gadā notikušo Latvijas mēroga matemātikas sacensību
Διαβάστε περισσότεραLATVIJAS REPUBLIKAS 38. OLIMPIĀDE
Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 8. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8. klase 8.. Vai eksistē tāda kvadrātfukcija
Διαβάστε περισσότεραLATVIJAS RAJONU 43. OLIMPIĀDE
Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 43 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 43 Pārlokot
Διαβάστε περισσότεραLU A.Liepas Neklātienes matemātikas skola /2011.m.g. sagatavošanās olimpiāde matemātikā
2010.26.11. LU A.Liepas Neklātienes matemātikas skola 2010./2011.m.g. sagatavošanās olimpiāde matemātikā Katra metodiskā apvienība pati nolemj, vai un kad tā rīkos vai nerīkos šādu olimpiādi un, ja rīkos,
Διαβάστε περισσότεραCompress 6000 LW Bosch Compress LW C 35 C A ++ A + A B C D E F G. db kw kw /2013
Ι 55 C 35 C A A B C D E F G 47 17 21 18 19 19 18 db kw kw db 2015 811/2013 Ι A A B C D E F G 2015 811/2013 Izstrādājuma datu lapa par energopatēriņu Turpmākie izstrādājuma dati atbilst ES regulu 811/2013,
Διαβάστε περισσότεραΠ Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α
Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ
Διαβάστε περισσότεραLogatherm WPS 10K A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013
51 d 11 11 10 kw kw kw d 2015 811/2013 2015 811/2013 Izstrādājuma datu lapa par energopatēriņu Turpmākie izstrādājuma dati atbilst S regulu 811/2013, 812/2013, 813/2013 un 814/2013 prasībām, ar ko papildina
Διαβάστε περισσότεραLATVIJAS REPUBLIKAS 35. OLIMPIĀDE
Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 26.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 35. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8. klase 35. Atrisiāt vieādojumu x + 2x
Διαβάστε περισσότεραLATVIJAS RAJONU 39. OLIMPIĀDE
Materiāls ņemts o grāmatas:adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (-) kārtas (rajou) uzdevumi u atrisiājumi" LATVIJAS RAJONU 9 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 9 Ir jāaprēķia 00-ais
Διαβάστε περισσότεραMehānikas fizikālie pamati
1.5. Viļņi 1.5.1. Viļņu veidošanās Cietā vielā, šķidrumā, gāzē vai plazmā, tātad ikvienā vielā starp daļiņām pastāv mijiedarbība. Ja svārstošo ķermeni (svārstību avotu) ievieto vidē (pieņemsim, ka vide
Διαβάστε περισσότερα1. Testa nosaukums IMUnOGLOBULĪnS G (IgG) 2. Angļu val. Immunoglobulin G
1. Testa nosaukums IMUnOGLOBULĪnS G (IgG) 2. Angļu val. Immunoglobulin G 3. Īss raksturojums Imunoglobulīnu G veido 2 vieglās κ vai λ ķēdes un 2 smagās γ ķēdes. IgG iedalās 4 subklasēs: IgG1, IgG2, IgG3,
Διαβάστε περισσότεραTIEŠĀ UN NETIEŠĀ GRADIENTA ANALĪZE
TIEŠĀ UN NETIEŠĀ GRADIENTA ANALĪZE Botānikas un ekoloăijas katedra Iluta Dauškane Vides gradients Tiešā un netiešā gradienta analīze Ordinācijas pamatideja Ordinācijas metodes Gradientu analīze Sugu skaits
Διαβάστε περισσότεραLatvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra. Inese Bula
Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula STRATĒǦISKO SPĒĻU TEORIJA LEKCIJU KONSPEKTS 2007 SATURS Lekcija nr. 1. Kas ir spēļu teorija? 3 Lekcija nr.
Διαβάστε περισσότερα2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZE
Ekspluatācijas gaitā jebkura reāla būve ārējo iedarbību rezultātā kaut nedaudz maina sākotnējo formu un izmērus. Sistēmas, kurās to elementu savstarpējā izvietojuma un izmēru maiņa iespējama tikai sistēmas
Διαβάστε περισσότεραAndrejs Rauhvargers VISPĀRĪGĀ ĶĪMIJA. Eksperimentāla mācību grāmata. Atļāvusi lietot Latvijas Republikas Izglītības un zinātnes ministrija
Andrejs Rauhvargers VISPĀRĪGĀ ĶĪMIJA Eksperimentāla mācību grāmata Atļāvusi lietot Latvijas Republikas Izglītības un zinātnes ministrija Rīga Zinātne 1996 UDK p 54(07) Ra 827 Recenzenti: Dr. chem. J. SKRĪVELIS
Διαβάστε περισσότεραTemperatūras izmaiħas atkarībā no augstuma, atmosfēras stabilitātes un piesārħojuma
Temperatūras izmaiħas atkarībā no augstuma, atmosfēras stabilitātes un piesārħojuma Gaisa vertikāla pārvietošanās Zemes atmosfērā nosaka daudzus procesus, kā piemēram, mākoħu veidošanos, nokrišħus un atmosfēras
Διαβάστε περισσότερα5. un 6.lekcija. diferenciālvienādojumiem Emdena - Faulera tipa vienādojumi. ir atkarīgas tikai no to attāluma r līdz lodes centram.
Parasto diferenciālvienādojumu nelineāras robežproblēmas 5. un 6.lekcija 1. Robežproblēmas diferenciālvienādojumiem ar neintegrējamām singularitātēm 1.1. Emdena - Faulera tipa vienādojumi Piemērs 5.1.
Διαβάστε περισσότεραΠαρασκευή 1 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 1. Λύση. Παρατήρηση. Ασκηση 2. Λύση.
(, ) =,, = : = = ( ) = = = ( ) = = = ( ) ( ) = = ( ) = = = = (, ) =, = = =,,...,, N, (... ) ( + ) =,, ( + ) (... ) =,. ( ) = ( ) = (, ) = = { } = { } = ( ) = \ = { = } = { = }. \ = \ \ \ \ \ = = = = R
Διαβάστε περισσότεραĶermeņa inerce un masa. a = 0, ja F rez = 0, kur F visu uz ķermeni darbojošos spēku vektoriālā summa
2.1. Ķereņa inerce un asa Jebkurš ķerenis saglabā iera stāvokli vai turpina vienērīgu taisnlīnijas kustību ar neainīgu ātruu (v = const) tikēr, kaēr uz to neiedarbojas citi ķereņi vai ta pieliktie ārējie
Διαβάστε περισσότεραGaismas difrakcija šaurā spraugā B C
6..5. Gaismas difrakcija šaurā spraugā Ja plakans gaismas vilnis (paralēlu staru kūlis) krīt uz šauru bezgalīgi garu spraugu, un krītošās gaismas viļņa virsma paralēla spraugas plaknei, tad difrakciju
Διαβάστε περισσότεραSpektrālaparā un spektrālie mērījumi Lekciju konspekts. Linards Kalvāns LU FMF gada 7. janvārī
Spektrālaparā un spektrālie mērījumi Lekciju konspekts Linards Kalvāns LU FMF 014. gada 7. janvārī Saturs I. Vispārīga informācija 4 I.1. Literatūras saraksts..........................................
Διαβάστε περισσότερα"Profesora Cipariņa klubs" 2005./06. m.g. 1. nodarbības uzdevumu atrisinājumi. A grupa
"Profesora Cipariņa klubs" 005./06. m.g.. nodarbības udevumu atrisinājumi A grupa. Viegli pārbaudīt, ka 3 4=44. Tātad meklējamie skaitļi var būt ; 3; 4. Pierādīsim, ka tie nevar būt citādi. Tiešām, ivēloties
Διαβάστε περισσότεραLai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.
3.TEMTS PIRMĪD Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_12_SP_03_P1 Dažādas piramīdas Skolēna darba lapa M_12_SP_03_P2 Dažādas piramīdas Skolēna darba lapa M_12_SP_03_P2
Διαβάστε περισσότεραRīgas Tehniskā universitāte Materiālu un Konstrukciju institūts. Uzdevums: 3D- sijas elements Beam 189. Programma: ANSYS 9
Rīgas Tehniskā universitāte Materiālu un Konstrukciju institūts Uzdevums: 3D- sijas elements Beam 189 Programma: ANSYS 9 Autori: E. Skuķis 1 ANSYS elements: Beam 189, 3-D Quadratic Finite Strain Beam Beam
Διαβάστε περισσότεραMULTILINGUAL GLOSSARY OF VISUAL ARTS
MULTILINGUAL GLOSSARY OF VISUAL ARTS (GREEK-ENGLISH-LATVIAN) Χρώματα Colours Krāsas GREEK ENGLISH LATVIAN Αυθαίρετο χρώμα: Χρϊμα που δεν ζχει καμία ρεαλιςτικι ι φυςικι ςχζςθ με το αντικείμενο που απεικονίηεται,
Διαβάστε περισσότεραMAZĀ UNIVERSITĀTE. 5. nodarbība, gada 31. marts. Mazā matemātikas universitāte
MAZĀ MATEMĀTIKAS UNIVERSITĀTE Mazā matemātikas universitāte 5. nodarbība, 2012. gada 31. marts Statistiskais eksperiments varbūtību teorijā. Kā vēl var aprēėināt notikumu varbūtības? Mazā matemātikas universitāte
Διαβάστε περισσότεραLai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.
5.TEMATS FUNKCIJAS Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M UP_5_P Figūras laukuma atkarība no figūras formas Skolēna darba lapa M UP_5_P Funkcijas kā reālu procesu modeļi
Διαβάστε περισσότεραΑ Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ
Διαβάστε περισσότεραTaisnzobu cilindrisko zobratu pārvada sintēze
LATVIJAS LAUKSAIMNIECĪBAS UNIVERSITĀTE Tehniskā fakultāte Mehānikas institūts J. SvētiĦš, Ē. Kronbergs Taisnzobu cilindrisko zobratu pārvada sintēze Jelgava 009 Ievads Vienkāršs zobratu pārvads ir trīslocekĝu
Διαβάστε περισσότεραLielais dānis Nilss Bors
Lielais dānis Nilss Bors No kā sastāv atoms? Atoma kodola atklāšana Atoma planetārais modelis. Bora teorija Orbitālais kvantu skaitlis Magnētiskais kvantu skaitlis. Magnētiskā mijiedarbība atomā Elektrona
Διαβάστε περισσότεραLielumus, kurus nosaka tikai tā skaitliskā vērtība, sauc par skalāriem lielumiem.
1. Vektori Skalāri un vektoriāli lielumi Lai raksturotu kādu objektu vai procesu, tā īpašības parasti apraksta, izmantojot dažādus skaitliskus raksturlielumus. Piemēram, laiks, kas nepieciešams, lai izlasītu
Διαβάστε περισσότεραKomandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 7. klasei
01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 7. klasei 1. Varam pieņemt, ka visos darbos Kristiāna strāda piecu darba dienu nedēļu, tātad 40 stundas nedēļā (drīkst arī pieņemt, ka Kristiāna strādā nedēļas
Διαβάστε περισσότεραKOMBINATORIKAS UN VARBŪTĪBU TEORIJAS ELEMENTI. matemātikas profīlkursam vidusskolā
Jānis Cīrulis KOMBINATORIKAS UN VARBŪTĪBU TEORIJAS ELEMENTI matemātikas profīlkursam vidusskolā ANOTĀCIJA Šī izstrādne ir mācību līdzeklis (tā pirmā puse) nosaukumā minēto tēmu apguvei, ko varētu gan vairāk
Διαβάστε περισσότερα2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς. 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η. 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν. 5. Π ρ ό τ α σ η. 6.
Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α 1. Ε ι σ α γ ω γ ή 2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν 5. Π ρ ό τ α σ η 6. Τ ο γ ρ α φ ε ί ο 1. Ε ι σ α γ ω
Διαβάστε περισσότεραFIZIKĀLO FAKTORU KOPUMS, KAS VEIDO ORGANISMA SILTUMAREAKCIJU AR APKĀRTĒJO VIDI UN NOSAKA ORGANISMA SILTUMSTĀVOKLI
Mikroklimats FIZIKĀLO FAKTORU KOPUMS, KAS VEIDO ORGANISMA SILTUMAREAKCIJU AR APKĀRTĒJO VIDI UN NOSAKA ORGANISMA SILTUMSTĀVOKLI P 1 GALVENIE MIKROKLIMATA RĀDĪTĀJI gaisa temperatūra gaisa g relatīvais mitrums
Διαβάστε περισσότεραELEKTROĶĪMIJA. Metāls (cietā fāze) Trauks. Elektrolīts (šķidrā fāze) 1. att. Pirmā veida elektroda shēma
1 ELEKTROĶĪMIJA Elektroķīmija ir zinātnes nozare, kura pēta ķīmisko un elektrisko procesu savstarpējo sakaru ķīmiskās enerģijas pārvēršanu elektriskajā un otrādi. Šie procesi ir saistīti ar katra cilvēka
Διαβάστε περισσότεραLai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.
6. VIRKNES Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M_10_UP_06_P1 Iracionāla skaitļa π aptuvenās vērtības noteikšana Skolēna darba lapa M_10_LD_06 Virknes
Διαβάστε περισσότεραAGNIS ANDŽĀNS, DACE BONKA, ZANE KAIBE, LAILA ZINBERGA. Matemātikas sacensības klasēm uzdevumi un atrisinājumi 2009./2010.
AGNIS ANDŽĀNS, DACE BONKA, ZANE KAIBE, LAILA ZINBERGA Matemātikas sacensības 4.-9. klasēm uzdevumi un atrisinājumi 009./00. mācību gadā Rīga 0 A. Andžāns, D. Bonka, Z. Kaibe, L. Zinberga. Matemātikas sacensības
Διαβάστε περισσότεραLaboratorijas darbu apraksts (I semestris)
Laboratorijas darbu apraksts (I semestris) un mērījumu rezultātu matemātiskās apstrādes pamati 1. Fizikālo lielumu mērīšana Lai kvantitatīvi raksturotu kādu fizikālu lielumu X, to salīdzina ar tādas pašas
Διαβάστε περισσότεραGRAFOANALITISKO DARBU UZDEVUMI ELEKTROTEHNIKĀ UN ELEKTRONIKĀ VISPĀRĪGI NORĀDĪJUMI
GRAFOANALITISKO DARBU UZDEVUMI ELEKTROTEHNIKĀ UN ELEKTRONIKĀ VISPĀRĪGI NORĀDĪJUMI Kursa Elektrotehnika un elektronika programmā paredzēta patstāvīga grafoanalītisko uzdevumu izpilde. Šajā krājumā ievietoti
Διαβάστε περισσότεραEKSPLUATĀCIJAS ĪPAŠĪBU DEKLARĀCIJA
LV EKSPLUATĀCIJAS ĪPAŠĪBU DEKLARĀCIJA saskaņā ar Regulas (ES) 305/2011 (par būvizstrādājumiem) III pielikumu Hilti ugunsdrošās putas CFS-F FX Nr. Hilti CFS 0843-CPD-0100 1. Unikālais izstrādājuma tipa
Διαβάστε περισσότεραX galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)
Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f
Διαβάστε περισσότεραRīgas Tehniskā universitāte Enerģētikas un elektrotehnikas fakultāte Vides aizsardzības un siltuma sistēmu institūts
Rīgas Tehniskā universitāte Enerģētikas un elektrotehnikas fakultāte Vides aizsardzības un siltuma sistēmu institūts www.videszinatne.lv Saules enerģijas izmantošanas iespējas Latvijā / Seminārs "Atjaunojamo
Διαβάστε περισσότεραMARUTA AVOTIĥA, LAURA FREIJA. Matemātikas sacensības klasēm 2010./2011. mācību gadā
MARUTA AVOTIĥA, LAURA FREIJA Matemātikas sacesības 9 klasēm 00/0 mācību gadā RĪGA 0 M AvotiĦa, L Freija Matemātikas sacesības 9 klasēm 00/0 mācību gadā Rīga: Latvijas Uiversitāte, 0 56 lpp Grāmatā apkopoti
Διαβάστε περισσότεραLatvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte. Inese Bula MIKROEKONOMIKA (MATEMĀTISKIE PAMATI)
Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Inese Bula MIKROEKONOMIKA (MATEMĀTISKIE PAMATI) LEKCIJU KONSPEKTS 2007 SATURS Priekšvārds 3 Lekcija nr. 1. Ievads mikroekonomikas teorijā 4 Lekcija
Διαβάστε περισσότεραINSTRUKCIJA ERNEST BLUETOOTH IMMOBILIZER
APRAKSTS: INSTRUKCIJA ERNEST BLUETOOTH IMMOBILIZER BLUETOOTH IMOBILAIZERS ir transporta līdzekļa papildus drošibas sistēma. IERĪCES DARBĪBA 1. Ja iekārta netiek aktivizēta 1 minūtes laikā, dzinējs izslēdzas.
Διαβάστε περισσότεραΟ ΠΕΡΙ ΤΕΛΩΝΕΙΑΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ 2004
Αριθμός 2204 Ο ΠΕΡΙ ΤΕΛΩΝΕΙΑΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ 2004 (Παράρτημα Παράγραφοι 1 και 2) Δηλοποιηση Κατασχέσεως Αναφορικά με τους ZBIGNIEW και MAKGORZATA EWERTWSKIGNIEWEK, με αριθμούς διαβατηρίων Πολωνίας
Διαβάστε περισσότερα1. uzdevums. 2. uzdevums
1. uzdevums Reaktīvā pasažieru lidmašīna 650 km lielu attālumu bez nosēšanās veica 55 minūtēs. Aprēķini lidmašīnas kustības vidējo ātrumu, izteiktu kilometros stundā (km/h)! 1. solis Vispirms pieraksta
Διαβάστε περισσότεραMK noteikumi Nr.273 "Mērvienību noteikumi" ("LV", 49 (4241), ) [spēkā ar ]
Lapa 1 no 10 VSIA "Latvijas Vēstnesis", 2005-2010 23.03.2010. MK noteikumi Nr.273 "Mērvienību noteikumi" ("LV", 49 (4241), 26.03.2010.) [spēkā ar 27.03.2010.] Redakcija uz 27.03.2010. Mērvienību noteikumi
Διαβάστε περισσότεραGATAVOSIMIES CENTRALIZĒTAJAM EKSĀMENAM MATEMĀTIKĀ
Profesionālās vidējās izglītības programmu Lauksaimniecība un Lauksaimniecības tehnika īstenošanas kvalitātes uzlabošana 1.2.1.1.3. Atbalsts sākotnējās profesionālās izglītības programmu īstenošanas kvalitātes
Διαβάστε περισσότεραLaboratorijas darbs disciplīnā Elektriskās sistēmas. 3-FAŽU ĪSSLĒGUMU APRĒĶINAŠANA IZMANTOJOT DATORPROGRAMMU PowerWorld version 14
RĪGAS TEHNISKĀ UNIVERSITĀTE Enerģētikas un elektrotehnikas fakultāte Enerģētikas institūts Laboratorijas darbs disciplīnā Elektriskās sistēmas 3-FAŽU ĪSSLĒGUMU APRĒĶINAŠANA IZMANTOJOT DATORPROGRAMMU PowerWorld
Διαβάστε περισσότεραPašmācības materiāli izklājlapu lietotnes OpenOffice.org Calc apguvei
Pašmācības materiāli izklājlapu lietotnes OpenOffice.org Calc apguvei Guntars Lācis guntars_l@inbox.lv Saturs Izklājlapu lietotnes OpenOffice.org Calc darba vide... 4 Aprēķinu veikšana, izmantojot lietotni
Διαβάστε περισσότεραTestu krājums elektrotehnikā
iļānu 41.arodvidusskola Sergejs Jermakovs ntons Skudra Testu krājums elektrotehnikā iļāni 2007 EOPS SOCĀLS FONDS zdots ar ESF finansiālu atbalstu projekta Profesionālās izglītības programmas Elektromontāža
Διαβάστε περισσότεραMatemātiskās statistikas pamatjēdzieni
Matemātskās statstkas pamatjēdze Uzskatīsm, ka ξ - gadījuma lelums, kas apraksta pētāmā objekta uzvedību (rādītāj par veu, va varākām objekta pazīmēm ). Gadījuma lelums ξ peņem vērtības o kādas kopas X.
Διαβάστε περισσότερα12. klase. Fizikas 64. valsts olimpiādes III posms gada 10. aprīlī
Fizikas 64. valsts olimpiādes III posms 2014. gada 10. aprīlī 12. klase Jums tiek piedāvāti trīs uzdevumi. Par katru uzdevumu maksimāli iespējams iegūt 10 punktus. Katra uzdevuma risinājumu vēlams veikt
Διαβάστε περισσότεραElektromagnētisms (elektromagnētiskās indukcijas parādības)
atvijas Uiversitāte Fizikas u matemātikas fakutāte Fizikas oaļa Papiiājums ekciju kospektam kursam vispārīgajā fizikā ektromagētisms (eektromagētiskās iukcijas parāības) Asoc prof Aris Muižieks Noformējums
Διαβάστε περισσότεραSatura rādītājs Apmācīšanās piemērs... 44
Satura rādītās. Neironu tīkli skaitļošanas paradigma... 3.. Neironu tīkls kā skaitļošanas sistēma... 3.. Bioloģiskie neironu tīkli... 4. Mākslīgais neirons... 7.. Neirona uzbūves un darbības pamatprincipi...
Διαβάστε περισσότεραLaboratorijas darbu apraksts (II semestris)
Laboratorijas darbu apraksts (II semestris).5. Zemes magnētiskā lauka horizontālās komponentes noteikšana ar tangensgalvanometru. Katrā zemeslodes vietā Zemes magnētiskā lauka indukcijas vektors attiecībā
Διαβάστε περισσότεραBūvfizikas speckurss. LBN Ēku norobežojošo konstrukciju siltumtehnika izpēte. Ūdens tvaika difūzijas pretestība
Latvijas Lauksaimniecības universitāte Lauku inženieru fakultāte Būvfizikas speckurss LBN 002-01 Ēku norobežojošo konstrukciju siltumtehnika izpēte. difūzijas pretestība Izstrādāja Sandris Liepiņš... Jelgava
Διαβάστε περισσότεραIevads Optometrija ir neatkarīga redzes aprūpes profesija primārās veselības aprūpes sfērā. Šī profesija vairumā attīstīto valstu tiek regulēta ar
Ievads Optometrija ir neatkarīga redzes aprūpes profesija primārās veselības aprūpes sfērā. Šī profesija vairumā attīstīto valstu tiek regulēta ar likumu (tās piekopšanai nepieciešama licence un reģistrēšanās).
Διαβάστε περισσότεραLatvijas Skolēnu 62. fizikas olimpiādes III posms
Latvijas Skolēnu 62 fizikas olimpiādes III posms Vērtēšanas kritēriji Teorētiskā kārta 212 gada 12 aprīlī 9 klase Uzdevums Caurplūdums, jeb ūdens tilpums, kas laika vienībā iztek caur šķērsgriezumu S ir
Διαβάστε περισσότεραIsover tehniskā izolācija
Isover tehniskā izolācija 2 Isover tehniskās izolācijas veidi Isover Latvijas tirgū piedāvā visplašāko tehniskās izolācijas (Isotec) produktu klāstu. Mēs nodrošinām efektīvus risinājumus iekārtām un konstrukcijām,
Διαβάστε περισσότεραT : g r i l l b a r t a s o s Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α. Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ
Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α g r i l l b a r t a s o s Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 1 : 0 π μ Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ T ortiyas Σ ο υ
Διαβάστε περισσότερα4. APGAISMOJUMS UN ATTĒLI
4. APGAISMJUMS UN ATTĒLI ptisko mikroskopu vēsture un nākotne Gaismas avota stiprums. Gaismas plūsma Apgaismojums Elektriskie gaismas avoti. Apgaismojums darba vietā Ēnas. Aptumsumi Attēla veidošanās.
Διαβάστε περισσότεραInterferometri
6..6. Interferometri Interferometri ir optiskie aparāti, ar kuriem mēra dažādus fizikālus lielumus, izmantojot gaismas interferences parādības. Plānās kārtiņās koherentie interferējošie stari atrodas relatīvi
Διαβάστε περισσότεραP A atgrūšanās spēks. P A = P P r P S. P P pievilkšanās spēks
3.2.2. SAITES STARP ATOMIEM SAIŠU VISPĀRĪGS RAKSTUROJUMS Lai izprastu materiālu fizikālo īpašību būtību jābūt priekšstatam par spēkiem, kas darbojas starp atomiem. Aplūkosim mijiedarbību starp diviem izolētiem
Διαβάστε περισσότερα2. ELEKTROMAGNĒTISKIE
2. LKTROMAGNĒTISKI VIĻŅI Radio izgudrošana Svārstību kontūrs Nerimstošas elektriskās svārstības lektromagnētisko viļņu iegūšana lektromagnētiskais šķērsvilnis lektromagnētisko viļņu ātrums lektromagnētisko
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIKA UN ELEKTRĪBAS IZMANTOŠANA
Ieguldījums tavā nākotnē Ieguldījums tavā nākotnē Profesionālās vidējās izglītības programmu Lauksaimniecība un Lauksaimniecības tehnika īstenošanas kvalitātes uzlabošana 1.2.1.1.3. Atbalsts sākotnējās
Διαβάστε περισσότεραLabojums MOVITRAC LTE-B * _1114*
Dzinēju tehnika \ Dzinēju automatizācija \ Sistēmas integrācija \ Pakalpojumi *135347_1114* Labojums SEW-EURODRIVE GmbH & Co KG P.O. Box 303 7664 Bruchsal/Germany Phone +49 751 75-0 Fax +49 751-1970 sew@sew-eurodrive.com
Διαβάστε περισσότεραKlasificēšanas kritēriji, ņemot vērā fizikāli ķīmiskās īpašības
, ņemot vērā fizikāli ķīmiskās īpašības Mg.sc.ing. Līga Rubene VSIA "Latvijas Vides, ģeoloģijas un meteoroloģijas centrs" Informācijas analīzes daļa Ķīmisko vielu un bīstamo atkritumu nodaļa 20.04.2017.
Διαβάστε περισσότεραibemo Kazakhstan Republic of Kazakhstan, West Kazakhstan Oblast, Aksai, Pramzone, BKKS office complex Phone: ; Fax:
Διαβάστε περισσότερα
ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΣΤΕΛΕΧΩΣΗ
ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΣΤΕΛΕΧΩΣΗ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΤΕΣΤ ΙΚΑΝΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΘΕΣΕΙΣ ΩΡΟΜΙΣΘΙΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΒΟΗΘΟΙ ΤΗΛΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ (ΑΡ. ΠΡΟΚΗΡΥΞΗΣ: 2/2017) (ΛΕΥΚΩΣΙΑ
Διαβάστε περισσότερα?=!! #! % &! & % (! )!! + &! %.! / ( + 0. 1 3 4 5 % 5 = : = ;Γ / Η 6 78 9 / : 7 ; < 5 = >97 :? : ΑΒ = Χ : ΔΕ Φ8Α 8 / Ι/ Α 5/ ; /?4 ϑκ : = # : 8/ 7 Φ 8Λ Γ = : 8Φ / Η = 7 Α 85 Φ = :
Διαβάστε περισσότερα6. LATVIJAS UNIVERSITĀTES ĶĪMIJAS FAKULTĀTES JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 2.KĀRTAS UZDEVUMU ATBILDES 8.-9.klases uzdevumi
6. LATVIJAS UNIVERSITĀTES ĶĪMIJAS FAKULTĀTES JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 2.KĀRTAS UZDEVUMU ATBILDES 8.-9.klases uzdevumi 1. uzdevums Vai tu to vari? Gāzes Ķīmisko reakciju vienādojumi Ūdeņradis, oglekļa dioksīds,
Διαβάστε περισσότεραUGUNSAIZSARDZĪBAS ROKASGRĀMATA 3/KOKS
UGUNSAIZSARDZĪBAS ROKASGRĀMATA 3/KOKS Vieglas un noslogotas koka konstrukcijas TERMINU SKAIDROJUMI UN SAĪSINĀJUMI Ugunsaizsardzība Ugunsizturība Ugunsdroša būvkonstrukcija Nestspējas R kritērijs Viengabalainība,
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα3.2. Līdzstrāva Strāvas stiprums un blīvums
3.. Līdzstrāva Šajā nodaļā aplūkosim elektrisko strāvu raksturojošos pamatlielumus un pamatlikumus. Nodaļas sākumā formulēsim šos likumus, balstoties uz elektriskās strāvas parādības novērojumiem. Nodaļas
Διαβάστε περισσότεραMATEMĀTIKA klase MĀCĪBU PRIEKŠMETA PROGRAMMA
MATEMĀTIKA 7. 9. klase MĀCĪBU PRIEKŠMETA PROGRAMMA Mācību priekšmeta programmu matemātikā veidoja Programmu izstrādāja Aira Kumerdanka, Indra Muceniece, Inga Riemere, Jānis Vilciņš, Aivars Ančupāns, Jeļena
Διαβάστε περισσότεραΑ θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ
Α θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ 2 0 1 6 Τ ε ύ χ ο ς Δ ι α κ ή ρ υ ξ η ς Α ν ο ι κ τ ο ύ Δ ι ε θ ν ο ύ ς Δ ι α γ ω ν ι σ μ ο ύ 0 1 / 2 0 1 6 μ ε κ ρ ι τ ή ρ ι ο κ α τ α κ ύ ρ ω σ η ς τ η ν π λ έ ο ν σ υ μ
Διαβάστε περισσότερα6.4. Gaismas dispersija un absorbcija Normālā un anomālā gaismas dispersija. v = f(λ). (6.4.1) n = f(λ). (6.4.2)
6.4. Gaismas dispersija un absorbcija 6.4.1. Normālā un anomālā gaismas dispersija Gaismas izplatīšanās ātrums vakuumā (c = 299 792,5 ±,3 km/s) ir nemainīgs lielums, kas nav atkarīgs no viļņa garuma. Vakuumā
Διαβάστε περισσότερα10. klase 1. uzdevuma risinājums A. Dēļa garums l 4,5 m. sin = h/l = 2,25/4,5 = 0,5 = (2 punkti) W k. s = 2,25 m.
0. klase. uzdevuma risinājums A. Dēļa garums l 4,5 m. sin = h/l =,5/4,5 = 0,5 = 0 0. ( punkti) B. v o = 0 m/s. Tādēļ s = at / un a = s/t Ja izvēlas t = s, veiktais ceļš s = 4m. a = 4/ = m/s. ( punkti)
Διαβάστε περισσότερα1. MAIŅSTRĀVA. Fiz12_01.indd 5 07/08/ :13:03
1. MAIŅSRĀVA Ķeguma spēkstacija Maiņstrāvas iegūšana Maiņstrāvas raksturlielumumomentānās vērtības Maiņstrāvas raksturlielumu efektīvās vērtības Enerģijas pārvērtības maiņstrāvas ķēdē Aktīvā pretestība
Διαβάστε περισσότεραElektromagnētiskās svārstības un viļņi
Elekromagnēiskās svārsības un viļņi Par brīvām svārsībām sauc svārsības, kas norisinās svārsību sisēmā, ja ā nav pakļaua periodiskai ārējai iedarbībai. Tāad svārsības noiek ikai uz ās enerģijas rēķina,
Διαβάστε περισσότεραPētniecības metodes un pētījumu datu analīze skolēnu zinātniski pētnieciskā darba rakstīšanas procesā. Seminārs skolēniem
Pētniecības metodes un pētījumu datu analīze skolēnu zinātniski pētnieciskā darba rakstīšanas procesā. Seminārs skolēniem Dr. oec, docente, Silvija Kristapsone 29.10.2015. 1 I. Zinātniskās pētniecības
Διαβάστε περισσότεραEiropas Savienības Oficiālais Vēstnesis L 94/75
8.4.2009. Eiropas Savienības Oficiālais Vēstnesis L 94/75 EIROPAS CENTRĀLĀS BANKAS REGULA (EK) Nr. 290/2009 (2009. gada 31. marts), ar ko groza Regulu (EK) Nr. 63/2002 (ECB/2001/18) par statistiku attiecībā
Διαβάστε περισσότεραModificējami balansēšanas vārsti USV
Modificējami balansēšanas vārsti USV Izmantošana/apraksts USV-I USV vārsti ir paredzēti manuālai plūsmas balansēšanai apkures un dzesēšanas sistēmās. Vārsts USV-I (ar sarkano pogu) kopā ar vārstu USV-M
Διαβάστε περισσότεραDonāts Erts LU Ķīmiskās fizikas institūts
Donāts Erts LU Ķīmiskās fizikas institūts Nanovadu struktūras ir parādījušas sevi kā efektīvi (Nat. Mater, 2005, 4, 455) fotošūnu elektrodu materiāli 1.katrs nanovads nodrošina tiešu elektronu ceļu uz
Διαβάστε περισσότεραJauni veidi, kā balansēt divu cauruļu sistēmu
Jauni veidi, kā balansēt divu cauruļu sistēmu Izcila hidrauliskā balansēšana apkures sistēmās, izmantojot Danfoss RA-DV tipa Dynamic Valve vārstu un Grundfos MAGNA3 mainīga ātruma sūkni Ievads Zema enerģijas
Διαβάστε περισσότερα