Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 7. klasei
|
|
- Γαλήνη Βούλγαρης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 7. klasei 1. Varam pieņemt, ka visos darbos Kristiāna strāda piecu darba dienu nedēļu, tātad 40 stundas nedēļā (drīkst arī pieņemt, ka Kristiāna strādā nedēļas nogalēs). Attiecīgi, ja nedēļā kopā ir 7 4 = 168 stundas, tad Kristiāna strādā, 5 40 = 10 stundas un guļ = 48 stundas.. Skudra apmeklēja visas 8 kuba virstones. Tā kā no katras virsotnes līdz nakamajai jānorāpo pa vienu škautni (t.i., jānorāpo 1 sprīdis) un savu gājienu jau sāka no virsotnes, tad skudra kopā norāpoja 7 sprīžus. 3. Tika iepirktas 15.84/0.0 = 79 uzlīmes. Skapīšiem 1 9 pietiek ar vienu ciparu, tātad 9 uzlīmes. Skapīšiem vajag katram uzlīmes, kopā 90 = 180 uzlīmes. Skapīšiem katram nepieciešamas 3 uzlīmes, bet no nopirktajām vēl palikušas = 603 uzlīmes, t.i. 01 skapītis. Tātad kopumā klubā ir = 300 skapīši. 4. Ar X apzīmētas atbilstošās atbildes. Nosacījums Nepieciešams Pietiekams a) Dotais skaitlis dalās ar 3. X b) Dotais skaitlis dalās ar 1. X c) Dotais skaitlis ir 18. X d) Dotais skaitlis dalās ar un 3. X X e) Dotais skaitlis dalās ar 4 un 9. X gads bija garais gads ar 366 dienām, tātad nākamajos 50 gados būs vēl 50 4 = (noapaļojot) 1 garie gadi. Tātad zelta kāzas bus pēc = 186 dienām. Dalot ar 7, 186 dod atlikumā 6, tātad pēc 50 gadiem bez vienas dienas būs apritējis pilns skaits nedēļu, kas ļauj mums secināt, ka zelta kāzas tiks svinētas vienu dienu pirms sestdienas - piektdien. Neaizmirsīsim viņus apsveikt! 6. Ar tējas daudzumu ir vienkāršāk. Pirms katras iemalkošanas, tējas daudzums tasītē ir attiecīgi 1, 1 /, 1 /4, 1 /8, 1 /16, 1 /3 (šajā brīdī rituāls tiek pārtraukts, jo 1 /3 < 1 /0 = 5%). Tātad neizdzerta paliek 1 /3 tējas, un izdzertais tējas daudzums ir 31 /3 tasītes. Piena īpatsvars savukārt ir attiecīgi 0, 1 /, 3 /4, 7 /8, 15 /16 un katrā reizē tiek izdzerta pustasīte, tātad kopumā ( )/16/=49/3 tasītes piena. Var arī aprēķināt no kopējā daudzuma: piecreiz tiek izdzerta pustasīte, t.i. 5/ = 80/3 tasītes dzēriena, no kura 31/3 ir tēja, tātad pārējās 49/3 ir piens. 7. Varam pārliecināties, ka uzdevumu nosacījumiem atbildīs šādas atzīmes uz centimetru iedaļām: 0, 1, 4, 9, 11 0, 3, 4, 9, 11 un to atbilstošie spoguļattēli: 0,, 7, 10, 11 1
2 0,, 7, 8, 11 Apskatīsim, kādēļ neder citi atzīmēšanas veidi. Lai atvieglotu pierakstu, turpmāk ar skaitļiem apzīmēsim attālumu starp mūsu izvēlētajām iedaļām, tas ir, (0, 1, 4, 9, 11) apzīmēsim ar (1, 3, 5, ) utt. Šādi attālumi 1,, 3, 4 starp atzīmēm nederēs nekādās kombinācijās, jo: 1 nedrīkst but blakus, jo tad to summa (attālums starp pirmo un trešo iedaļu) sakritīs ar 3 jeb attālumu starp trešo un ceturto iedaļu 1 nedrīkst but blakus 3, jo tad to summa sakritīs ar 4 1 nedrīkst but blakus 4, jo tad to summa sakritīs ar un 3 summu, kuri pilnīgi noteikti atradīsies viens otram blakus, jo 1 un 4 abi kopā varēs atrasties tikai pirmajās vai pēdējās pozīcijās. Tātad pie šādām attālumiem 1 nav nekādi iespējams iekombinēt. Atliek pārbaudīt 1,, 3, 5 iespējamās kombinācijas: ievērosim, ka un 1 nedrīkst būt blakus, jo tad to summa sakritīs ar 3 analogi nedrīkstēs būt blakus 3, jo tad to summa sakritīs ar 5 tātad drīkst būt blakus tikai 5, turklāt esot tikai virknes sākumā vai beigās Varam viegli pārliecināties ka uzrādītie 4 atrisinājumi (atvieglotajā pierakstā: (1,3,5,) (3,1,5,) (,5,3,1) (,5,1,3)) būs vienīgās kombinācijas, kurām izpildīsies augstākminētie 3 nosacījumi. 8. Pieņemsim pretējo, ka nebūs tādu divu brāļu, kuri spēlēs vienā komandā. Tad, tā kā ir 5 komandas, kurā katrā nespēlēs vairāk par vienu brāli, turnīrā nepiedalīsies vairāk par 5 brāļiem, kas nav iespējams, jo turnīrā piedalās visi 7 brāļi. Tātad būs tāda komanda, kurā spēlēs vismaz divi no brāļiem. 9. Ievērosim, ka sākotnēji uz tāfeles uzrakstīto skaitļu summa ir nepāra skaitlis. Mārtiņš katru gājienu diviem skaitļiem pieskaita 5, tātad skaitļu summu uz tāfeles palielina par 10 un nemaina tās paritāti. Tātad pēc katra Mārtiņa gājiena skaitļu summa uz tāfeles paliks nepāra skaitlis, un attiecīgi Mārtiņš nevar panākt, ka visi skaitļi būs vienādi, jo tad uz tāfeles esošo skaitļu summai būtu jābut pāra skaitlim. 10. Ja nav tādu divus skolēnu, kam būtu vienāds draugu skaits, tad draugu skaits katram skolēnam ir atšķirīgs. Pieņemsim, ka skolēnu skaits klasē ir x, tad minimālais draugu skaits kādam skolēnam var būtu 0, savukārt lielākais skaits x 1. Tātad kopā x dažādas vērtības, kas nozīmē, ka starp skolēniem būs kāds, kuram nav neviena drauga un kāds kuram visi parējie skolēni ir draugi (x 1 draugi). Tas acīmredzot nav iespējams, tādēļ kāds skolēns ir samelojis par savu draugu skaitu vai arī ir nepareizi novērtējis to! 11. Ir jāizpildās šādiem nosacījumiem: autobusi brauc ar vienādu un vienmērīgu ātrumu, starp pieturām ir vienādi attālumi pieturu skaits ir pāra skaitlis autobusu skaits sakrīt ar pieturu skaitu un starp tiem ir vienāds attālums. (Var pieņemt, ka autobusam ir gala pietura, uz kuru neattiecas uzdevumu nosacījumi, jo tai pretim
3 nav nevienas pieturas. Tad autobusu var būtu arī divreiz mazāk par pieturām - autobusi periodiski satiekas nepāra pieturās un pāra pieturās.) starp pēdejo un pirmo pieturu pretējā virzienā ir tāds pats attālums kā starp pieturām Grafiska skice maršuta izskatam: 1. Zirdziņš, kurš stāvēs uz baltā lauciņa apdraudēs tikai melnos lauciņus, un otrādi zirdziņš uz melnā lauciņā apdraudēs tikai baltos lauciņus. Tātad, uzliekot 3 zirdziņus katru uz sava baltā lauciņa, tie viens otru neapdraudēs. Pierādīsim, ka vairāk par 3 zirdziņiem, tiem vienam otru nepadraudot, uz šaha laukuma nav iespējams uzlikt. Pieņemsim, ka to var izdarīt un uz laukuma ir vismaz 33 zirdziņi. Tad, ņemot vērā, ka 8 8 laukumu var sadalīt astoņos 4 (skat. attēlu zemāk) taisnstūros, pēc Dirihlē principa uz vizmaz viena no šādiem taisnstūriem atradīsies vismaz 5 zirdziņi. Tas savukārt nozīmē, ka vismaz divi zirdziņi stāvēs uz lauciņa ar vienādu numuru un viens otru apdraudēs. Pretruna, kas pierāda, ka vairāk par 3 uz laukuma izvietot neizdosies. 13. Maksimālais daudzums, ko var atlikt ir 136 (visu atsvaru summa). Apskatīsim gadījumu, kad uz kreisā svaru kausa stāv visi atsvari un tiek noņemti atsvari ar svaru k. Tad kreisajā pusē atsvaru svars bus 136 k, bet labajā k un tiks nosvērts svars 136 k. Tātad varēs nosvērt tikai pāra skaitļa svarus. Varam sakombinēt jebkādu k intervālā no 1 līdz 68, tādējādi uzrādot, ka ar šo atsvaru komplektu var nosvērt visus pāra skaitļa svarus no līdz 136: izvēlamies vienu atsvaru ar svaru intervālā (1,... 16), iegūstam k intervālā (1,... 16) izvēlamies divus atsvarus - 16 un svaru no intervāla (1,... 15), iegūstam k intervālu (17, ) izvēlamies trīs atsvarus - 16, 15 un svaru no intervāla (1,... 14), iegūstam k intervālu (3, ) izvēlamies četrus atsvarus - 16, 15, 14 un svaru no intervāla (1,... 13), iegūstam k intervālu (46, ) izvēlamies piecus atsvarus - 16, 15, 14, 13 un svaru no intervāla (1,... 10), iegūstam k intervālu (59, ) 3
4 14. No dotajām formulām un to nosaukumiem varam novērot šādas sakarības Sakne but- prop- et- hept- C skaits Galotne -īns -ēns -āns Skaita sakarība H= (C-1) H= C H= (C+1) Attiecīgi: a) C H 4 - etēns, C H 6 - etāns, C 7 H 1 - heptīns. b) propēns - C 3 H 6, butāns - C 4 H Apzīmēsim ar n rūķīšu skaitu, un ar k - cik nabagākajam ruķītim sākumā monētu. Tātad pirmajam rūķītim sākumā ir n + k 1 monēta. Katrs rūķītis dod par 1 monētu vairāk nekā saņēmis, tātad pirmais, kuram izbeigsies nauda būs pēdējais, nabagākais rūķītis (pēc k pilniem apļiem). Taču process turpinās vēl vienu apli, kurā priekšpēdējais rūķītis līdz ar saņemtajām monētām padod tālāk savu pēdējo monētu. Tā kā pēdējam rūķītim vairs nav savas monētas, ko pielikt, process apstājas. Tajā brīdī visiem kaimiņiem ir 1 monētas starpība, izņemot pēdējam rūķītim ar viņa kaimiņiem. Viņam ir n(k + 1) 1 monēta, bet viņa kaimiņiem attiecīgi 0 un n + k 1 (k + 1) = n. Iegūstam vienādojumu: n(k + 1) 1 = 4(n ), pārkārtojot iegūstam n(k 3) = 7. Kā reizinājumu to var izteikt vai nu kā 7 1, vai 7 ( 1). Tā kā n un k ir pozitīvi, der tikai otrais variants, tātad ir n = 7 rūķīši un nabagākajam bija k = monētas. 4
5 01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 8. klasei 1. Varam pieņemt, ka visos darbos Kristiāna strāda piecu darba dienu nedēļu, tātad 40 stundas nedēļā (drīkst arī pieņemt, ka Kristiāna strādā nedēļas nogalēs). Attiecīgi, ja nedēļā kopā ir 7 4 = 168 stundas, tad Kristiāna strādā, 5 40 = 10 stundas un guļ = 48 stundas.. a) 31967/0.144 = iedz. b) Krievi nepilsoņi = 10078; krievi Latvijā 10078/0.346 = c) pilsoņi krievi: = ; nepilsoņi baltkrievi: = 43101; kopumā baltkrievi 43101/0.553 = 77940; pilsoņi baltkrievi = 34839; nepilsoņi ukraiņi = 30649; kopumā ukraiņi 30649/0.563 = 54439; pilsoņi ukraiņi = d) Pilsoņi Latvijā = Krievi, baltkrievi, ukraiņi pilsoņi procentuāli no visiem pilsoņiem: ( )/ = 4.0%. 3. a) var salikt (skat. attēlu) b) nē, šādu taisnstūri nav iespējams salikt. Ievērosim, ka abu tipu figūras sastāv no 4 rūtiņām, tādēļ rūtiņu skaitam figūrā, kas salikta no šīm divām figurām, jādalās ar 4. Prasītajam taisnstūrim rūtiņu skaits nedalās ar Tika iepirktas 15.84/0.0 = 79 uzlīmes. Skapīšiem 1 9 pietiek ar vienu ciparu, tātad 9 uzlīmes. Skapīšiem vajag katram uzlīmes, kopā 90 = 180 uzlīmes. Skapīšiem katram nepieciešamas 3 uzlīmes, bet no nopirktajām vēl palikušas = 603 uzlīmes, t.i. 01 skapītis. Tātad kopumā klubā ir = 300 skapīši gads bija garais gads ar 366 dienām, tātad nākamajos 50 gados būs vēl 50 4 = (noapaļojot) 1 garie gadi. Tātad zelta kāzas bus pēc = 186 dienām. Dalot ar 7, 186 dod atlikumā 6, tātad pēc 50 gadiem bez vienas dienas būs apritējis pilns skaits nedēļu, kas ļauj mums secināt, ka zelta kāzas tiks svinētas vienu dienu pirms sestdienas - piektdien. Neaizmirsīsim viņus apsveikt! 6. Pieņemsim pretējo, ka nebūs tādu divu brāļu, kuri spēlēs vienā komandā. Tad, tā kā ir 5 komandas, kurā katrā nespēlēs vairāk par vienu brāli, turnīrā nepiedalīsies vairāk par 5 brāļiem, kas nav iespējams, jo turnīrā piedalās visi 7 brāļi. Tātad būs tāda komanda, kurā spēlēs vismaz divi no brāļiem. 1
6 7. Apskatīsim visas trīs iespējas, kāds var būt skaitļa n atlikums, dalot ar trīs. Ja tas ir 0, tad n jau dalās ar 3. Ja tas ir 1, tad n + dalīsies ar 3, un, ja atlikums ir, tad n + 4 dalīsies ar Ievērosim, ka sākotnēji uz tāfeles uzrakstīto skaitļu summa ir nepāra skaitlis. Mārtiņš katru gājienu diviem skaitļiem pieskaita 5, tātad skaitļu summu uz tāfeles palielina par 10 un nemaina tās paritāti. Tātad pēc katra Mārtiņa gājiena skaitļu summa uz tāfeles paliks nepāra skaitlis, un attiecīgi Mārtiņš nevar panākt, ka visi skaitļi būs vienādi, jo tad uz tāfeles esošo skaitļu summai būtu jābut pāra skaitlim. 9. Kamēr iet gar daudzstūra malu, noietais attālums neatšķiras. Bet uz stūriem Eva iet pa riņķa līnijas (rādiuss 1m) segmentu, šie segmenti kopumā veidu pilnu riņķa līniju, tātad viņa noies par π metriem vairāk. 10. Pārveidosim sākotnējo vienādību: z + r + zr + 1 = (z + 1)(r + 1) = 013 (z + 1) = 013 (r + 1) z + 1 ir izrēķināms, zinot r + 1. Atliek atrast visas iespējamās r + 1 vērtības. Skaitlim 013 ir trīs pirmreizinātāji, proti, 3, 11 un 61. Tātad r + 1 var saturēt vai nu nevienu, vienu, divus, vai visus trīs no šiem reizinātājiem. Visas šīs iespējas un izrietošās z + r vērtības ir apkopotas tabulā. r z z + r Kopā ir 4 dažādās z + r vērtības: 9, 19, 67, (100 a)(100 b) = 100 (100 (a + b)) + ab Tādēļ pirmos divus ciparus reizinājumā var aprēķināt kā 100 (a + b) un pēdējos divus kā ab. Metode strādā bez pārnešanas pie nosacījuma ab < Zirdziņš, kurš stāvēs uz baltā lauciņa apdraudēs tikai melnos lauciņus, un otrādi zirdziņš uz melnā lauciņā apdraudēs tikai baltos lauciņus. Tātad, uzliekot 3 zirdziņus katru uz sava baltā lauciņa, tie viens otru neapdraudēs. Pierādīsim, ka vairāk par 3 zirdziņiem, tiem vienam otru nepadraudot, uz šaha laukuma nav iespējams uzlikt. Pieņemsim, ka to var izdarīt un uz laukuma ir vismaz 33 zirdziņi. Tad, ņemot vērā, ka 8 8 laukumu var sadalīt astoņos 4 (skat. attēlu zemāk) taisnstūros, pēc Dirihlē principa uz vizmaz viena no šādiem taisnstūriem atradīsies vismaz 5 zirdziņi. Tas savukārt nozīmē, ka vismaz divi zirdziņi stāvēs uz lauciņa ar vienādu numuru un viens otru apdraudēs. Pretruna, kas pierāda, ka vairāk par 3 uz laukuma izvietot neizdosies.
7 13. Der atrisinājums r =, a =, e = 1, m = 5. Bezgalīgi daudz atrisinājumu mēs varam konstruēt sekojoši: r = k 3, a = k 4, e = k 6, m = 5k 6, kur k ir jebkurš naturāls skaitlis. Tad (k 3 ) 4 + (k 4 ) 3 + (k 6 ) = (5k 6 ) 16k 1 + 8k 1 + k 1 = 5k 1 5k 1 = 5k No dotajām formulām un to nosaukumiem varam novērot šādas sakarības Sakne but- prop- et- hept- C skaits Galotne -īns -ēns -āns Skaita sakarība H= (C-1) H= C H= (C+1) Attiecīgi: a) C H 4 - etēns, C H 6 - etāns, C 7 H 1 - heptīns. b) propēns - C 3 H 6, butāns - C 4 H a) Var sasēsties puikas, meitenes utt., tad nav tāda bērna. b) Sanumurējam vietas no 1 līdz. Vai nu nepāra, vai ari pāra numura vietās sēdes vismaz 6 meitenes (nevar būt abās mazāk par 6, jo kopā ir 11 meitenes). Taču, sasēdinot 6 meitenes, piem., pāra numura vietās, būs divas meitenes, kas sēdēs secīgās pāra vietās, tātad abpus kādam bērnam (kas sēž nepāra vietā). 3
8 01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 9. klasei 1. Tika iepirktas 15.84/0.0 = 79 uzlīmes. Skapīšiem 1 9 pietiek ar vienu ciparu, tātad 9 uzlīmes. Skapīšiem vajag katram uzlīmes, kopā 90 = 180 uzlīmes. Skapīšiem katram nepieciešamas 3 uzlīmes, bet no nopirktajām vēl palikušas = 603 uzlīmes, t.i. 01 skapītis. Tātad kopumā klubā ir = 300 skapīši.. a) var salikt (skat. attēlu) b) nē, šādu taisnstūri nav iespējams salikt. Ievērosim, ka abu tipu figūras sastāv no 4 rūtiņām, tādēļ rūtiņu skaitam figūrā, kas salikta no šīm divām figurām, jādalās ar 4. Prasītajam taisnstūrim rūtiņu skaits nedalās ar Ar X apzīmētas atbilstošās atbildes. Nosacījums Nepieciešams Pietiekams a) Dotais skaitlis dalās ar 3. X b) Dotais skaitlis dalās ar 1. X c) Dotais skaitlis ir 18. X d) Dotais skaitlis dalās ar un 3. X X e) Dotais skaitlis dalās ar 4 un 9. X 4. Ar tējas daudzumu ir vienkāršāk. Pirms katras iemalkošanas, tējas daudzums tasītē ir attiecīgi 1, 1 /, 1 /4, 1 /8, 1 /16, 1 /3 (šajā brīdī rituāls tiek pārtraukts, jo 1 /3 < 1 /0 = 5%). Tātad neizdzerta paliek 1 /3 tējas, un izdzertais tējas daudzums ir 31 /3 tasītes. Piena īpatsvars savukārt ir attiecīgi 0, 1 /, 3 /4, 7 /8, 15 /16 un katrā reizē tiek izdzerta pustasīte, tātad kopumā ( )/16/=49/3 tasītes piena. Var arī aprēķināt no kopējā daudzuma: piecreiz tiek izdzerta pustasīte, t.i. 5/ = 80/3 tasītes dzēriena, no kura 31/3 ir tēja, tātad pārējās 49/3 ir piens. 5. Lai nebūtu jāraksta %, lietosim p = p/100 un q = q/100. Tad pareizā formula ir nevis p + q, bet gan (1 + p )(1 + q ) 1 = p + q + p q. Tātad Ritvars piemirsis pieskaitīt p q. Gadījumā, ja p un q absolūtā vērtība ir maza (piemēram, zem 0.10) tad to reizinājums ir krietni mazāks par p + q, (attiecīgi, 0.01 ir krietni mazāks par 0.0). Konkrētajā piemērā Ritvars iegūtu 0.p 0.8(p ), tātad paaugstinot cenu par vairāk nekā 5%, ieņēmumi samazinātos. No ekonomikas viedokļa gan elastības koeficients ir definēts tikai mazām cenu izmaiņām. 6. Ja nav tādu divus skolēnu, kam būtu vienāds draugu skaits, tad draugu skaits katram skolēnam 1
9 ir atšķirīgs. Pieņemsim, ka skolēnu skaits klasē ir x, tad minimālais draugu skaits kādam skolēnam var būtu 0, savukārt lielākais skaits x 1. Tātad kopā x dažādas vērtības, kas nozīmē, ka starp skolēniem būs kāds, kuram nav neviena drauga un kāds kuram visi parējie skolēni ir draugi (x 1 draugi). Tas acīmredzot nav iespējams, tādēļ kāds skolēns ir samelojis par savu draugu skaitu vai arī ir nepareizi novērtējis to! 7. Apzīmēsim kopējo distanci ar d km un meklēto ātrumu ar v km /h. Ceļā pavadītais laiks ir t = d/ + d/ bet vidējam ātrumam jābūt d/t = v km /h. Atrisinām: d d ( 1 + 1) = v v = 90 1 v = = v = 70 7 = km /h = Veicam vieglus pārveidojumus: a 3 + b 3 + c 3 6abc = (a + b + c)(a + b + c ab bc ac) a 3 + b 3 + c 3 3abc = (a + b + c)(a + b + c ab bc ac) a 3 + b 3 + c 3 3abc = (a 3 + ab + ac a b abc a c + a b + b 3 + bc ab b c abc... + a c + b c + c 3 abc bc ac ) Savelkot līdzīgos locekļus, iegūstam prasīto: a 3 + b 3 + c 3 3abc = a 3 abc + b 3 abc + c 3 abc a 3 + b 3 + c 3 3abc = a 3 + b 3 + c 3 3abc 9. Ievērosim, ka sākotnēji uz tāfeles uzrakstīto skaitļu summa ir nepāra skaitlis. Mārtiņš katru gājienu diviem skaitļiem pieskaita 5, tātad skaitļu summu uz tāfeles palielina par 10 un nemaina tās paritāti. Tātad pēc katra Mārtiņa gājiena skaitļu summa uz tāfeles paliks nepāra skaitlis, un attiecīgi Mārtiņš nevar panākt, ka visi skaitļi būs vienādi, jo tad uz tāfeles esošo skaitļu summai būtu jābut pāra skaitlim. 10. a) jebkuru 4 pēc kārtas ņemtu veselu skaitļu summu, kur pirmais skaitlis ir patvaļīgs n, varam izteikt kā n + (n + 1) + (n + ) + (n + 3) = 4n + 6. Tātad 4 pēc kārtas ņemtu veselu skaitļu summa nedalās ar 4, b) analogi kā gadījumā ar 4 skaitļiem, jebkuru 5 pēc kārtas ņemtu skaitļu summa būs n + (n + 1) + (n + ) + (n + 3) + (n + 4) = 5n + 10 = 5(n + ) un tā dalīsies ar 5, c) attiecīgi neeksistē tādi pēc kārtas ņemti skaitļu, kuru summa dalās ar 6, jo (5n + 10) + (n + 6) = 6n + 16 = 6(n + ) Jā, tās ir iespējams. Pirmajos 11 mēnešos ikmēneša peļņa latos ir 600 Ls un LVL/USD maiņas kurss ir 0.6. Tātad kopējā peļņa par 11 mēnešiem latos būs 6600 Ls un dolāri. Pedējā mēnesī būs zaudējumi Ls un gada peļņa 100 Ls. Varam viegli izrēkināt, kādam bija jābūt latu maiņas kursam pēdējā mēnesī, lai gadā kopā sanāktu 100 dolāru zaudējumi: = 100 (kur x ir meklētais maiņas kurss), un x = x = Kamēr iet gar daudzstūra malu, noietais attālums neatšķiras. Bet uz stūriem Eva iet pa riņķa līnijas (rādiuss 1m) segmentu, šie segmenti kopumā veidu pilnu riņķa līniju, tātad viņa noies par π metriem vairāk.
10 13. Maksimālais daudzums, ko var atlikt ir 136 (visu atsvaru summa). Apskatīsim gadījumu, kad uz kreisā svaru kausa stāv visi atsvari un tiek noņemti atsvari ar svaru k. Tad kreisajā pusē atsvaru svars bus 136 k, bet labajā k un tiks nosvērts svars 136 k. Tātad varēs nosvērt tikai pāra skaitļa svarus. Varam sakombinēt jebkādu k intervālā no 1 līdz 68, tādējādi uzrādot, ka ar šo atsvaru komplektu var nosvērt visus pāra skaitļa svarus no līdz 136: izvēlamies vienu atsvaru ar svaru intervālā (1,... 16), iegūstam k intervālā (1,... 16) izvēlamies divus atsvarus - 16 un svaru no intervāla (1,... 15), iegūstam k intervālu (17, ) izvēlamies trīs atsvarus - 16, 15 un svaru no intervāla (1,... 14), iegūstam k intervālu (3, ) izvēlamies četrus atsvarus - 16, 15, 14 un svaru no intervāla (1,... 13), iegūstam k intervālu (46, ) izvēlamies piecus atsvarus - 16, 15, 14, 13 un svaru no intervāla (1,... 10), iegūstam k intervālu (59, ) 14. Apzīmēsim ar n rūķīšu skaitu, un ar k - cik nabagākajam ruķītim sākumā monētu. Tātad pirmajam rūķītim sākumā ir n + k 1 monēta. Katrs rūķītis dod par 1 monētu vairāk nekā saņēmis, tātad pirmais, kuram izbeigsies nauda būs pēdējais, nabagākais rūķītis (pēc k pilniem apļiem). Taču process turpinās vēl vienu apli, kurā priekšpēdējais rūķītis līdz ar saņemtajām monētām padod tālāk savu pēdējo monētu. Tā kā pēdējam rūķītim vairs nav savas monētas, ko pielikt, process apstājas. Tajā brīdī visiem kaimiņiem ir 1 monētas starpība, izņemot pēdējam rūķītim ar viņa kaimiņiem. Viņam ir n(k + 1) 1 monēta, bet viņa kaimiņiem attiecīgi 0 un n + k 1 (k + 1) = n. Iegūstam vienādojumu: n(k + 1) 1 = 4(n ), pārkārtojot iegūstam n(k 3) = 7. Kā reizinājumu to var izteikt vai nu kā 7 1, vai 7 ( 1). Tā kā n un k ir pozitīvi, der tikai otrais variants, tātad ir n = 7 rūķīši un nabagākajam bija k = monētas. 15. Ja n ir pāra skaitlis, tad doto kubu summu varam sadalīt pa pāriem un pārveidot (n ) + ((n 1) ) + ((n ) ) +... ((n/ + 1) 3 + (n/) 3 ) Izmantojot kubu summas formulu a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ), katru no pāriem varam sadalīt divos reizinātājos, t.i., (n+1)(n n+1)+(n+1)((n 1) 4(n 1)+4)+... (n+1)((n/+1) n /+(n/) ) Tad, ar M apzīmejot visu ". iekavu" summu, kubu summu n 3 varam izteikt kā (n + 1)M, kas dalās ar n + 1 un nav pirmskaitlis. Savukārt, ja n ir nepāra skaitlis. Tad n 1 ir pāra skaitlis un (n 1) 3 = nm, tādēļ n 3 = nm + n 3 = n(m + n ), kas nav pirmskaitlis, jo dalās ar n. 3
11 01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums būs 1 4 no trijstūra ABC laukuma. Analogi no viduslīnijām LN un MN varam secināt, ka trijstūri, 3 būs 1 no dotā trijstūra ABC laukuma, tādēļ meklētais trijstūra MNL laukums būs = a) 31967/0.144 = iedz. b) Krievi nepilsoņi = 10078; krievi Latvijā 10078/0.346 = c) pilsoņi krievi: = ; nepilsoņi baltkrievi: = 43101; kopumā baltkrievi 43101/0.553 = 77940; pilsoņi baltkrievi = 34839; nepilsoņi ukraiņi = 30649; kopumā ukraiņi 30649/0.563 = 54439; pilsoņi ukraiņi = d) Pilsoņi Latvijā = Krievi, baltkrievi, ukraiņi pilsoņi procentuāli no visiem pilsoņiem: ( )/ = 4.0%. 3. Ar tējas daudzumu ir vienkāršāk. Pirms katras iemalkošanas, tējas daudzums tasītē ir attiecīgi 1, 1 /, 1 /4, 1 /8, 1 /16, 1 /3 (šajā brīdī rituāls tiek pārtraukts, jo 1 /3 < 1 /0 = 5%). Tātad neizdzerta paliek 1 /3 tējas, un izdzertais tējas daudzums ir 31 /3 tasītes. Piena īpatsvars savukārt ir attiecīgi 0, 1 /, 3 /4, 7 /8, 15 /16 un katrā reizē tiek izdzerta pustasīte, tātad kopumā ( )/16/=49/3 tasītes piena. Var arī aprēķināt no kopējā daudzuma: piecreiz tiek izdzerta pustasīte, t.i. 5/ = 80/3 tasītes dzēriena, no kura 31/3 ir tēja, tātad pārējās 49/3 ir piens. 4. Varam pārliecināties, ka uzdevumu nosacījumiem atbildīs šādas atzīmes uz centimetru iedaļām: 0, 1, 4, 9, 11 0, 3, 4, 9, 11 un to atbilstošie spoguļattēli: 1
12 0,, 7, 10, 11 0,, 7, 8, 11 Apskatīsim, kādēļ neder citi atzīmēšanas veidi. Lai atvieglotu pierakstu, turpmāk ar skaitļiem apzīmēsim attālumu starp mūsu izvēlētajām iedaļām, tas ir, (0, 1, 4, 9, 11) apzīmēsim ar (1, 3, 5, ) utt. Šādi attālumi 1,, 3, 4 starp atzīmēm nederēs nekādās kombinācijās, jo: 1 nedrīkst but blakus, jo tad to summa (attālums starp pirmo un trešo iedaļu) sakritīs ar 3 jeb attālumu starp trešo un ceturto iedaļu 1 nedrīkst but blakus 3, jo tad to summa sakritīs ar 4 1 nedrīkst but blakus 4, jo tad to summa sakritīs ar un 3 summu, kuri pilnīgi noteikti atradīsies viens otram blakus, jo 1 un 4 abi kopā varēs atrasties tikai pirmajās vai pēdējās pozīcijās. Tātad pie šādām attālumiem 1 nav nekādi iespējams iekombinēt. Atliek pārbaudīt 1,, 3, 5 iespējamās kombinācijas: ievērosim, ka un 1 nedrīkst būt blakus, jo tad to summa sakritīs ar 3 analogi nedrīkstēs būt blakus 3, jo tad to summa sakritīs ar 5 tātad drīkst būt blakus tikai 5, turklāt esot tikai virknes sākumā vai beigās Varam viegli pārliecināties ka uzrādītie 4 atrisinājumi (atvieglotajā pierakstā: (1,3,5,) (3,1,5,) (,5,3,1) (,5,1,3)) būs vienīgās kombinācijas, kurām izpildīsies augstākminētie 3 nosacījumi. 5. Doto izteiksmi varam pārveidot par n(n + 1) + 1. Skaidrs, ka vai nu n + 1, vai n ir pāra skaitlis, tādēļ reizinājums n(n + 1) ir pāra skaitlis un n(n + 1) + 1 nepāra skaitlis, tāpat kā sākotnējā izteiksme. 6. Lai nebūtu jāraksta %, lietosim p = p/100 un q = q/100. Tad pareizā formula ir nevis p + q, bet gan (1 + p )(1 + q ) 1 = p + q + p q. Tātad Ritvars piemirsis pieskaitīt p q. Gadījumā, ja p un q absolūtā vērtība ir maza (piemēram, zem 0.10) tad to reizinājums ir krietni mazāks par p + q, (attiecīgi, 0.01 ir krietni mazāks par 0.0). Konkrētajā piemērā Ritvars iegūtu 0.p 0.8(p ), tātad paaugstinot cenu par vairāk nekā 5%, ieņēmumi samazinātos. No ekonomikas viedokļa gan elastības koeficients ir definēts tikai mazām cenu izmaiņām. 7. Ja nav tādu divus skolēnu, kam būtu vienāds draugu skaits, tad draugu skaits katram skolēnam ir atšķirīgs. Pieņemsim, ka skolēnu skaits klasē ir x, tad minimālais draugu skaits kādam skolēnam var būtu 0, savukārt lielākais skaits x 1. Tātad kopā x dažādas vērtības, kas nozīmē, ka starp skolēniem būs kāds, kuram nav neviena drauga un kāds kuram visi parējie skolēni ir draugi (x 1 draugi). Tas acīmredzot nav iespējams, tādēļ kāds skolēns ir samelojis par savu draugu skaitu vai arī ir nepareizi novērtējis to! 8. Apzīmēsim kopējo distanci ar d km un meklēto ātrumu ar v km /h. Ceļā pavadītais laiks ir
13 t = d/ + d/ bet vidējam ātrumam jābūt d/t = v km /h. Atrisinām: d d ( 1 + 1) = v v = 90 1 v = = v = 70 7 = km /h = Zirdziņš, kurš stāvēs uz baltā lauciņa apdraudēs tikai melnos lauciņus, un otrādi zirdziņš uz melnā lauciņā apdraudēs tikai baltos lauciņus. Tātad, uzliekot 3 zirdziņus katru uz sava baltā lauciņa, tie viens otru neapdraudēs. Pierādīsim, ka vairāk par 3 zirdziņiem, tiem vienam otru nepadraudot, uz šaha laukuma nav iespējams uzlikt. Pieņemsim, ka to var izdarīt un uz laukuma ir vismaz 33 zirdziņi. Tad, ņemot vērā, ka 8 8 laukumu var sadalīt astoņos 4 (skat. attēlu zemāk) taisnstūros, pēc Dirihlē principa uz vizmaz viena no šādiem taisnstūriem atradīsies vismaz 5 zirdziņi. Tas savukārt nozīmē, ka vismaz divi zirdziņi stāvēs uz lauciņa ar vienādu numuru un viens otru apdraudēs. Pretruna, kas pierāda, ka vairāk par 3 uz laukuma izvietot neizdosies. 10. Pārveidosim sākotnējo vienādību: z + r + zr + 1 = (z + 1)(r + 1) = 013 (z + 1) = 013 (r + 1) z + 1 ir izrēķināms, zinot r + 1. Atliek atrast visas iespējamās r + 1 vērtības. Skaitlim 013 ir trīs pirmreizinātāji, proti, 3, 11 un 61. Tātad r + 1 var saturēt vai nu nevienu, vienu, divus, vai visus trīs no šiem reizinātājiem. Visas šīs iespējas un izrietošās z + r vērtības ir apkopotas tabulā. r z z + r
14 Kopā ir 4 dažādās z + r vērtības: 9, 19, 67, a) Var sasēsties puikas, meitenes utt., tad nav tāda bērna. b) Sanumurējam vietas no 1 līdz. Vai nu nepāra, vai ari pāra numura vietās sēdes vismaz 6 meitenes (nevar būt abās mazāk par 6, jo kopā ir 11 meitenes). Taču, sasēdinot 6 meitenes, piem., pāra numura vietās, būs divas meitenes, kas sēdēs secīgās pāra vietās, tātad abpus kādam bērnam (kas sēž nepāra vietā). 1. Jebkuram kvadrātā ievilktam trijstūrim var novilkt taisni AK, kas ir paralēla kvadrāta malām (skat. piemēru kreisajā attēlā. Šī taisne var arī sakrist ar kādu kvadrāta malu). Tad S ABC = S ABK + S ACK = h 1 AK + h AK = (h 1 + h ) AK. Skaidrs, ka visos gadījumos h 1 + h 1 un AK 1, t.i., nepārsniedz kvadrāta malas garumu, tādēļ S ABC 1. Otrajā attēlā redzams piemērs ar trijstūra laukumu Varam pārveidot doto nevienādību: Un, ievērojot, ka a un b ir pozitīvi ab (a + b)/ab ab ab a + b a + b ab a ab + b 0 ( a b) 0, kas ir spēkā, jo jebkura skaitļa kvadrāts ir nenegatīvs. 14. Sanumurējam tikai zēnus, sākot no īsākā, no 1 līdz n. Zēnam nr. i trenera piešķirto kārtas numuru var izteikt kā i + a i, kur a i - cik meiteņu par viņu īsākas. Tātad trenera skaitlis ir par n i=1 i = n(n + 1)/ lielāks nekā A = n i=1 a i. 15. Vispirms ievērosim, ka V ir vidējais lielums no desmit vērtībām: V = K 1 + K 13 + K 14 + K 15 + K 3 + K 3 + K 5 + K 34 + K 35 + K 45, 10 kur K 1 - kopīgo uzdevumu skaits starp 1. un. klašu grupu, K 13 - kopīgo uzdevumu skaits starp 1. un 3. klašu grupu utt. 4
15 Apzīmēsim ar a 5 uzdevumu skaitu, kas iekļauts visās 5 klašu grupās, ar a 4, a 3, a, a 1 uzdevumu skaitu, kas iekļauts attiecīgi 4, 3, un 1 klašu grupā. Tad a 5 + a 4 + a 3 + a + a 1 = 35 0 a 5, a 4, a 3, a, a 1 15 Vidēji katrs uzdevumus ir iekļauts = 1 /7 klašu grupās. Tad [a 5 (5 1 /7) + a 4 (4 1 /7) + a 3 (3 1 /7)] [a ( 1 /7 ) + a 1 ( 1 /7 1)] = 0 (1) tas ir, uzdevumu "svars", kas iekļauti vairāk klašu grupās nekā vidēji, ir tāds pats kā uzdevumu, kas iekļauti mazāk klašu grupās nekād vidēji. Algebriski tas izriet arī no tā, ka 5a 5 + 4a 4 + 3a 3 + a + 1a 1 = 5 15 = 75 = 1 /7(a 5 + a 4 + a 3 + a + a 1 ) No vienādības (1) tad secinām: a 5 + a 4 + a 3 0 a + a 1 0 () Skaidrs, ja uzdevums būs ielikts visās 5 klašu grupās, tad tas tiks ieksaitīts visos 10 no iepriekšminētajiem skaitļiem (K 1, K K 45 ), ja 4 klašu grupās, tad 6 skaitļos, ja 3 klašu grupās, tad 3 skaitļos, ja grupās, tad tikai vienā no skaitļiem, tādēļ 10a 5 + 6a 4 + 3a 3 + a = 10 V. Saprotams, ka V sasniegs maksimālo vērtību pie iespējas lielāka a 5, bet, ņemot vērā () nevienādību a 5 nevar būt 15, jo a 1 1 (ja arī a 1, tad tas samazina iespējamo a 5 skaitu). Tad no (1) vienādības a 5 (5 1 /7) a 1 ( 1 /7 1) = 0 0a 5 8a 1 = 0 0a 5 8(35 a 5 ) = 0 8a 5 = 80 a 5 = 10, a 1 = 5, V = 10 Analogi varam secināt, ka minimālo vērtību V sasniegs pie pēc iespējas mazākas a 3 vērtības un a 1 (ja arī a 1 1, tad tas palielina iespējamo a 3 skaitu). Tad a 3 (3 1 /7) a ( 1 /7 ) = 0 6a 3 a = 0 6a 3 (35 a 3 ) = 0 7a 3 = 35 a 3 = 5, a = 30, V = 4, 5 Piemēri, kas uzrādi, ka šādi uzdevumu sadalījumi pa klašu grupām, lai iegūtu V = 10 un V = 4, 5 ir iespējami (ar X atzīmēti, kurā klašu grupā attiecīgie uzdevumi ir ielikti). 5
16 6
17 01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 11. klasei 1. Tika iepirktas 15.84/0.0 = 79 uzlīmes. Skapīšiem 1 9 pietiek ar vienu ciparu, tātad 9 uzlīmes. Skapīšiem vajag katram uzlīmes, kopā 90 = 180 uzlīmes. Skapīšiem katram nepieciešamas 3 uzlīmes, bet no nopirktajām vēl palikušas = 603 uzlīmes, t.i. 01 skapītis. Tātad kopumā klubā ir = 300 skapīši gads bija garais gads ar 366 dienām, tātad nākamajos 50 gados būs vēl 50 4 = (noapaļojot) 1 garie gadi. Tātad zelta kāzas bus pēc = 186 dienām. Dalot ar 7, 186 dod atlikumā 6, tātad pēc 50 gadiem bez vienas dienas būs apritējis pilns skaits nedēļu, kas ļauj mums secināt, ka zelta kāzas tiks svinētas vienu dienu pirms sestdienas - piektdien. Neaizmirsīsim viņus apsveikt! 3. Ar tējas daudzumu ir vienkāršāk. Pirms katras iemalkošanas, tējas daudzums tasītē ir attiecīgi 1, 1 /, 1 /4, 1 /8, 1 /16, 1 /3 (šajā brīdī rituāls tiek pārtraukts, jo 1 /3 < 1 /0 = 5%). Tātad neizdzerta paliek 1 /3 tējas, un izdzertais tējas daudzums ir 31 /3 tasītes. Piena īpatsvars savukārt ir attiecīgi 0, 1 /, 3 /4, 7 /8, 15 /16 un katrā reizē tiek izdzerta pustasīte, tātad kopumā ( )/16/=49/3 tasītes piena. Var arī aprēķināt no kopējā daudzuma: piecreiz tiek izdzerta pustasīte, t.i. 5/ = 80/3 tasītes dzēriena, no kura 31/3 ir tēja, tātad pārējās 49/3 ir piens. 4. Ievērosim, ka sākotnēji uz tāfeles uzrakstīto skaitļu summa ir nepāra skaitlis. Mārtiņš katru gājienu diviem skaitļiem pieskaita 5, tātad skaitļu summu uz tāfeles palielina par 10 un nemaina tās paritāti. Tātad pēc katra Mārtiņa gājiena skaitļu summa uz tāfeles paliks nepāra skaitlis, un attiecīgi Mārtiņš nevar panākt, ka visi skaitļi būs vienādi, jo tad uz tāfeles esošo skaitļu summai būtu jābut pāra skaitlim. 5. Ir jāizpildās šādiem nosacījumiem: autobusi brauc ar vienādu un vienmērīgu ātrumu, starp pieturām ir vienādi attālumi pieturu skaits ir pāra skaitlis autobusu skaits sakrīt ar pieturu skaitu un starp tiem ir vienāds attālums. (Var pieņemt, ka autobusam ir gala pietura, uz kuru neattiecas uzdevumu nosacījumi, jo tai pretim nav nevienas pieturas. Tad autobusu var būtu arī divreiz mazāk par pieturām - autobusi periodiski satiekas nepāra pieturās un pāra pieturās.) starp pēdejo un pirmo pieturu pretējā virzienā ir tāds pats attālums kā starp pieturām Grafiska skice maršuta izskatam: 1
18 6. a) jebkuru 4 pēc kārtas ņemtu veselu skaitļu summu, kur pirmais skaitlis ir patvaļīgs n, varam izteikt kā n + (n + 1) + (n + ) + (n + 3) = 4n + 6. Tātad 4 pēc kārtas ņemtu veselu skaitļu summa nedalās ar 4, b) analogi kā gadījumā ar 4 skaitļiem, jebkuru 5 pēc kārtas ņemtu skaitļu summa būs n + (n + 1) + (n + ) + (n + 3) + (n + 4) = 5n + 10 = 5(n + ) un tā dalīsies ar 5, c) attiecīgi neeksistē tādi pēc kārtas ņemti skaitļu, kuru summa dalās ar 6, jo (5n + 10) + (n + 6) = 6n + 16 = 6(n + ) Veicam vieglus pārveidojumus: a 3 + b 3 + c 3 6abc = (a + b + c)(a + b + c ab bc ac) a 3 + b 3 + c 3 3abc = (a + b + c)(a + b + c ab bc ac) a 3 + b 3 + c 3 3abc = (a 3 + ab + ac a b abc a c + a b + b 3 + bc ab b c abc... + a c + b c + c 3 abc bc ac ) Savelkot līdzīgos locekļus, iegūstam prasīto: a 3 + b 3 + c 3 3abc = a 3 abc + b 3 abc + c 3 abc a 3 + b 3 + c 3 3abc = a 3 + b 3 + c 3 3abc 8. a) Var sasēsties puikas, meitenes utt., tad nav tāda bērna. b) Sanumurējam vietas no 1 līdz. Vai nu nepāra, vai ari pāra numura vietās sēdes vismaz 6 meitenes (nevar būt abās mazāk par 6, jo kopā ir 11 meitenes). Taču, sasēdinot 6 meitenes, piem., pāra numura vietās, būs divas meitenes, kas sēdēs secīgās pāra vietās, tātad abpus kādam bērnam (kas sēž nepāra vietā). 9. Kombinācijas pa 3 elementiem no 33 bez atkārtošanās, secība nav svarīga (jo tikai viena ir alfabētiska): /(3!) = Pieņemsim, ka doti divi dažādi racionāli skaitļi a b un c, kur a, b, c, d ir veseli skaitļi. Tad šo d skaitļu vidējais aritmētiskias ( a b + c ad + cb )/ jeb būs racionāls skaitlis, jo gan ad + cb, d bd gan bd būs veseli skaitļi. Skaidrs arī, ka, pieņemot a b < c, vidējais aritmētiskais atradīsies d starp dotajiem skaitļiem a b < (a b + c d )/ < c d 0 < ( c d a b )/ < c d a b 11. Jebkuram kvadrātā ievilktam trijstūrim var novilkt taisni AK, kas ir paralēla kvadrāta malām (skat. piemēru kreisajā attēlā. Šī taisne var arī sakrist ar kādu kvadrāta malu). Tad S ABC = S ABK + S ACK = h 1 AK + h AK = (h 1 + h ) AK. Skaidrs, ka visos gadījumos h 1 + h 1 un AK 1, t.i., nepārsniedz kvadrāta malas garumu, tādēļ S ABC 1. Otrajā attēlā redzams piemērs ar trijstūra laukumu 1.
19 1. Ievērosim šadās sakarības: - vārdu skaits ar vienādu sakni Sakne but- prop- et- hept- Vārdu skaits formulu skaits ar vienādu oglekļu (C) skaitu C skaits Formulu skaits vārdu skaits ar vienādu galotni Galotne -īns -ēns -āns Vārdu skaits formulu skaits ar vienādām sakarībām starp H un C skaitu Skaita sakarība H= (C-1) H= C H= (C+1) Vārdu skaits 3 1 Tātad varam secināt, ka starp formulām un nosaukumiem ir spēkā šādās sakarības Sakne but- prop- et- hept- C skaits Galotne -īns -ēns -āns Skaita sakarība H= (C-1) H= C H= (C+1) Attiecīgi: a) C 3 H 8, C 4 H 6, C 3 H 4, C 4 H 8, C 7 H 14, C H ; propāns, butīns, propīns, butēns, heptēns, etīns. b) C H 4 - etēns, C H 6 - etāns, C 7 H 1 - heptīns. c) propēns - C 3 H 6, butāns - C 4 H Nedēļā ir 7 dienas, katrā no tām varbūtība lietot bļodu ir /3, tātad vidējais dienu skaits būs 7 /3 = 14 /3 = / Vispirms ievērosim, ka V ir vidējais lielums no desmit vērtībām: V = K 1 + K 13 + K 14 + K 15 + K 3 + K 3 + K 5 + K 34 + K 35 + K 45, 10 kur K 1 - kopīgo uzdevumu skaits starp 1. un. klašu grupu, K 13 - kopīgo uzdevumu skaits starp 1. un 3. klašu grupu utt. Apzīmēsim ar a 5 uzdevumu skaitu, kas iekļauts visās 5 klašu grupās, ar a 4, a 3, a, a 1 uzde- 3
20 vumu skaitu, kas iekļauts attiecīgi 4, 3, un 1 klašu grupā. Tad a 5 + a 4 + a 3 + a + a 1 = 35 0 a 5, a 4, a 3, a, a 1 15 Vidēji katrs uzdevumus ir iekļauts = 1 /7 klašu grupās. Tad [a 5 (5 1 /7) + a 4 (4 1 /7) + a 3 (3 1 /7)] [a ( 1 /7 ) + a 1 ( 1 /7 1)] = 0 (1) tas ir, uzdevumu "svars", kas iekļauti vairāk klašu grupās nekā vidēji, ir tāds pats kā uzdevumu, kas iekļauti mazāk klašu grupās nekād vidēji. Algebriski tas izriet arī no tā, ka 5a 5 + 4a 4 + 3a 3 + a + 1a 1 = 5 15 = 75 = 1 /7(a 5 + a 4 + a 3 + a + a 1 ) No vienādības (1) tad secinām: a 5 + a 4 + a 3 0 a + a 1 0 () Skaidrs, ja uzdevums būs ielikts visās 5 klašu grupās, tad tas tiks ieksaitīts visos 10 no iepriekšminētajiem skaitļiem (K 1, K K 45 ), ja 4 klašu grupās, tad 6 skaitļos, ja 3 klašu grupās, tad 3 skaitļos, ja grupās, tad tikai vienā no skaitļiem, tādēļ 10a 5 + 6a 4 + 3a 3 + a = 10 V. Saprotams, ka V sasniegs maksimālo vērtību pie iespējas lielāka a 5, bet, ņemot vērā () nevienādību a 5 nevar būt 15, jo a 1 1 (ja arī a 1, tad tas samazina iespējamo a 5 skaitu). Tad no (1) vienādības a 5 (5 1 /7) a 1 ( 1 /7 1) = 0 0a 5 8a 1 = 0 0a 5 8(35 a 5 ) = 0 8a 5 = 80 a 5 = 10, a 1 = 5, V = 10 Analogi varam secināt, ka minimālo vērtību V sasniegs pie pēc iespējas mazākas a 3 vērtības un a 1 (ja arī a 1 1, tad tas palielina iespējamo a 3 skaitu). Tad a 3 (3 1 /7) a ( 1 /7 ) = 0 6a 3 a = 0 6a 3 (35 a 3 ) = 0 7a 3 = 35 a 3 = 5, a = 30, V = 4, 5 Piemēri, kas uzrādi, ka šādi uzdevumu sadalījumi pa klašu grupām, lai iegūtu V = 10 un V = 4, 5 ir iespējami (ar X atzīmēti, kurā klašu grupā attiecīgie uzdevumi ir ielikti). 4
21 15. AB OP, AC OR ROP = CAB = α. BP = RP = πα/360. BC = a tg α a πα/360. Tātad, pie nelielām nobīdēm α, BC < BP tad un tikai tad, ja a <. 5
LATVIJAS RAJONU 33. OLIMPIĀDE. 4. klase
Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5.-5.).kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 33. OLIMPIĀDE 4. klase 33.. Ievietot
Διαβάστε περισσότεραĪsi atrisinājumi Jā, piemēram, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 4. Piezīme. Uzdevumam ir arī vairāki citi atrisinājumi Skat., piemēram, 1. zīm.
Īsi atrisinājumi 5.. Jā, piemēram,,,,,, 3, 4. Piezīme. Uzdevumam ir arī vairāki citi atrisinājumi. 5.. Skat., piemēram,. zīm. 6 55 3 5 35. zīm. 4. zīm. 33 5.3. tbilde: piemēram, 4835. Ievērosim, ka 4 dalās
Διαβάστε περισσότεραKomandu olimpiāde Atvērtā Kopa. 8. klases uzdevumu atrisinājumi
Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa 8. klases uzdevumu atrisinājumi 1. ΔBPC ir vienādmalu trijstūris, tādēļ visi tā leņķi ir 60. ABC = 90 (ABCDkvadrāts), tādēļ ABP = 90 - PBC = 30. Pēc dotā BP = BC un, tā kā
Διαβάστε περισσότεραRekurentās virknes. Aritmētiskā progresija. Pieņemsim, ka q ir fiksēts skaitlis, turklāt q 0. Virkni (b n ) n 1, kas visiem n 1 apmierina vienādību
Rekurentās virknes Rekursija ir metode, kā kaut ko definēt visbiežāk virkni), izmantojot jau definētas vērtības. Vienkāršākais šādu sakarību piemērs ir aritmētiskā un ǧeometriskā progresija, kuras mēdz
Διαβάστε περισσότεραLATVIJAS REPUBLIKAS 45. OLIMPIĀDE
Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 4. OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 4.. Dotās nevienādības > abas puses
Διαβάστε περισσότεραLATVIJAS RAJONU 43. OLIMPIĀDE
Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 43 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 43 Pārlokot
Διαβάστε περισσότεραATRISINĀJUMI LATVIJAS REPUBLIKAS 32. OLIMPIĀDE
Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS. OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI.. Pirmā apskatāmā skaitļa ciparu
Διαβάστε περισσότεραESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr. 2009/0196/1DP/
ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr. 009/0196/1DP/1...1.5/09/IPIA/VIAA/001 ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības
Διαβάστε περισσότεραAtrisinājumi Latvijas 64. matemātikas olimpiāde 3. posms x 1. risinājums. Pārveidojam doto izteiksmi, atdalot pilno kvadrātu:
trisiājumi Latvijas 6 matemātikas olimpiāde posms 9 Kādu mazāko vērtību var pieņemt izteiksme 0, ja > 0? risiājums Pārveidojam doto izteiksmi, atdalot pilo kvadrātu: 0 ( ) 0 0 0 0 0 Tā kā kvadrāts viemēr
Διαβάστε περισσότεραRīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Uzdevumu risinājumu paraugi. 4. nodarbība
Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi 4 nodabība piemēs pēķināt vektoa a gaumu un viziena kosinusus, ja a = 5 i 6 j + 5k Vektoa a koodinātas i dotas: a 5 ; a =
Διαβάστε περισσότεραAgnis Andžāns, Julita Kluša /95. m.g. matemātikas olimpiāžu uzdevumi ar atrisinājumiem
Agnis Andžāns, Julita Kluša 994./95. m.g. matemātikas olimpiāžu uzdevumi ar atrisinājumiem Rīga, 997 Anotācija Šajā izstrādnē apkopoti 994./95. mācību gadā notikušo Latvijas mēroga matemātikas sacensību
Διαβάστε περισσότεραAGNIS ANDŽĀNS, DACE BONKA, ZANE KAIBE, LAILA ZINBERGA. Matemātikas sacensības klasēm uzdevumi un atrisinājumi 2009./2010.
AGNIS ANDŽĀNS, DACE BONKA, ZANE KAIBE, LAILA ZINBERGA Matemātikas sacensības 4.-9. klasēm uzdevumi un atrisinājumi 009./00. mācību gadā Rīga 0 A. Andžāns, D. Bonka, Z. Kaibe, L. Zinberga. Matemātikas sacensības
Διαβάστε περισσότεραLATVIJAS REPUBLIKAS 38. OLIMPIĀDE
Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 8. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8. klase 8.. Vai eksistē tāda kvadrātfukcija
Διαβάστε περισσότεραLU A.Liepas Neklātienes matemātikas skola /2011.m.g. sagatavošanās olimpiāde matemātikā
2010.26.11. LU A.Liepas Neklātienes matemātikas skola 2010./2011.m.g. sagatavošanās olimpiāde matemātikā Katra metodiskā apvienība pati nolemj, vai un kad tā rīkos vai nerīkos šādu olimpiādi un, ja rīkos,
Διαβάστε περισσότεραLATVIJAS REPUBLIKAS 35. OLIMPIĀDE
Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 26.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 35. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8. klase 35. Atrisiāt vieādojumu x + 2x
Διαβάστε περισσότεραATTĒLOJUMI UN FUNKCIJAS. Kopas parasti tiek uzskatītas par fiksētiem, statiskiem objektiem.
2005, Pēteris Daugulis 1 TTĒLOJUMI UN FUNKCIJS Kopas parasti tiek uzskatītas par iksētiem, statiskiem objektiem Lai atļautu kopu un to elementu pārveidojumus, ievieš attēlojuma jēdzienu ttēlojums ir kāda
Διαβάστε περισσότερα"Profesora Cipariņa klubs" 2005./06. m.g. 1. nodarbības uzdevumu atrisinājumi. A grupa
"Profesora Cipariņa klubs" 005./06. m.g.. nodarbības udevumu atrisinājumi A grupa. Viegli pārbaudīt, ka 3 4=44. Tātad meklējamie skaitļi var būt ; 3; 4. Pierādīsim, ka tie nevar būt citādi. Tiešām, ivēloties
Διαβάστε περισσότεραTēraudbetona konstrukcijas
Tēraudbetona konstrukcijas tēraudbetona kolonnu projektēšana pēc EN 1994-1-1 lektors: Gatis Vilks, SIA «BALTIC INTERNATIONAL CONSTRUCTION PARTNERSHIP» Saturs 1. Vispārīga informācija par kompozītām kolonnām
Διαβάστε περισσότεραATTIECĪBAS. Attiecības - īpašība, kas piemīt vai nepiemīt sakārtotai vienas vai vairāku kopu elementu virknei (var lietot arī terminu attieksme).
004, Pēteris Daugulis ATTIECĪBAS Attiecības - īpašība, kas piemīt vai nepiemīt sakārtotai vienas vai vairāku kopu elementu virknei (var lietot arī terminu attieksme). Bināra attiecība - īpašība, kas piemīt
Διαβάστε περισσότεραLATVIJAS RAJONU 39. OLIMPIĀDE
Materiāls ņemts o grāmatas:adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (-) kārtas (rajou) uzdevumi u atrisiājumi" LATVIJAS RAJONU 9 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 9 Ir jāaprēķia 00-ais
Διαβάστε περισσότεραCompress 6000 LW Bosch Compress LW C 35 C A ++ A + A B C D E F G. db kw kw /2013
Ι 55 C 35 C A A B C D E F G 47 17 21 18 19 19 18 db kw kw db 2015 811/2013 Ι A A B C D E F G 2015 811/2013 Izstrādājuma datu lapa par energopatēriņu Turpmākie izstrādājuma dati atbilst ES regulu 811/2013,
Διαβάστε περισσότεραPREDIKĀTU LOĢIKA. Izteikumu sauc par predikātu, ja tas ir izteikums, kas ir atkarīgs no mainīgiem lielumiem.
005, Pēteris Daugulis PREDIKĀTU LOĢIKA Izteikumu sauc par predikātu, ja tas ir izteikums, kas ir atkarīgs no mainīgiem lielumiem. Par predikātiem ir jādomā kā par funkcijām, kuru vērtības apgabals ir patiesumvērtību
Διαβάστε περισσότεραLogatherm WPS 10K A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013
51 d 11 11 10 kw kw kw d 2015 811/2013 2015 811/2013 Izstrādājuma datu lapa par energopatēriņu Turpmākie izstrādājuma dati atbilst S regulu 811/2013, 812/2013, 813/2013 un 814/2013 prasībām, ar ko papildina
Διαβάστε περισσότεραFIZIKĀLO FAKTORU KOPUMS, KAS VEIDO ORGANISMA SILTUMAREAKCIJU AR APKĀRTĒJO VIDI UN NOSAKA ORGANISMA SILTUMSTĀVOKLI
Mikroklimats FIZIKĀLO FAKTORU KOPUMS, KAS VEIDO ORGANISMA SILTUMAREAKCIJU AR APKĀRTĒJO VIDI UN NOSAKA ORGANISMA SILTUMSTĀVOKLI P 1 GALVENIE MIKROKLIMATA RĀDĪTĀJI gaisa temperatūra gaisa g relatīvais mitrums
Διαβάστε περισσότεραKOMBINATORIKAS UN VARBŪTĪBU TEORIJAS ELEMENTI. matemātikas profīlkursam vidusskolā
Jānis Cīrulis KOMBINATORIKAS UN VARBŪTĪBU TEORIJAS ELEMENTI matemātikas profīlkursam vidusskolā ANOTĀCIJA Šī izstrādne ir mācību līdzeklis (tā pirmā puse) nosaukumā minēto tēmu apguvei, ko varētu gan vairāk
Διαβάστε περισσότερα1. Testa nosaukums IMUnOGLOBULĪnS G (IgG) 2. Angļu val. Immunoglobulin G
1. Testa nosaukums IMUnOGLOBULĪnS G (IgG) 2. Angļu val. Immunoglobulin G 3. Īss raksturojums Imunoglobulīnu G veido 2 vieglās κ vai λ ķēdes un 2 smagās γ ķēdes. IgG iedalās 4 subklasēs: IgG1, IgG2, IgG3,
Διαβάστε περισσότεραLielumus, kurus nosaka tikai tā skaitliskā vērtība, sauc par skalāriem lielumiem.
1. Vektori Skalāri un vektoriāli lielumi Lai raksturotu kādu objektu vai procesu, tā īpašības parasti apraksta, izmantojot dažādus skaitliskus raksturlielumus. Piemēram, laiks, kas nepieciešams, lai izlasītu
Διαβάστε περισσότεραTemperatūras izmaiħas atkarībā no augstuma, atmosfēras stabilitātes un piesārħojuma
Temperatūras izmaiħas atkarībā no augstuma, atmosfēras stabilitātes un piesārħojuma Gaisa vertikāla pārvietošanās Zemes atmosfērā nosaka daudzus procesus, kā piemēram, mākoħu veidošanos, nokrišħus un atmosfēras
Διαβάστε περισσότερα5. un 6.lekcija. diferenciālvienādojumiem Emdena - Faulera tipa vienādojumi. ir atkarīgas tikai no to attāluma r līdz lodes centram.
Parasto diferenciālvienādojumu nelineāras robežproblēmas 5. un 6.lekcija 1. Robežproblēmas diferenciālvienādojumiem ar neintegrējamām singularitātēm 1.1. Emdena - Faulera tipa vienādojumi Piemērs 5.1.
Διαβάστε περισσότεραLai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.
6. VIRKNES Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M_10_UP_06_P1 Iracionāla skaitļa π aptuvenās vērtības noteikšana Skolēna darba lapa M_10_LD_06 Virknes
Διαβάστε περισσότεραMehānikas fizikālie pamati
1.5. Viļņi 1.5.1. Viļņu veidošanās Cietā vielā, šķidrumā, gāzē vai plazmā, tātad ikvienā vielā starp daļiņām pastāv mijiedarbība. Ja svārstošo ķermeni (svārstību avotu) ievieto vidē (pieņemsim, ka vide
Διαβάστε περισσότεραTaisnzobu cilindrisko zobratu pārvada sintēze
LATVIJAS LAUKSAIMNIECĪBAS UNIVERSITĀTE Tehniskā fakultāte Mehānikas institūts J. SvētiĦš, Ē. Kronbergs Taisnzobu cilindrisko zobratu pārvada sintēze Jelgava 009 Ievads Vienkāršs zobratu pārvads ir trīslocekĝu
Διαβάστε περισσότεραGRAFOANALITISKO DARBU UZDEVUMI ELEKTROTEHNIKĀ UN ELEKTRONIKĀ VISPĀRĪGI NORĀDĪJUMI
GRAFOANALITISKO DARBU UZDEVUMI ELEKTROTEHNIKĀ UN ELEKTRONIKĀ VISPĀRĪGI NORĀDĪJUMI Kursa Elektrotehnika un elektronika programmā paredzēta patstāvīga grafoanalītisko uzdevumu izpilde. Šajā krājumā ievietoti
Διαβάστε περισσότεραLai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.
1.TEMATS EKSPONENTVIENĀDOJUMI UN NEVIENĀDĪBAS Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_12_SP_01_P1 Eksponentvienādojumu atrisināšana Skolēna darba lapa M_12_SP_01_P2 Eksponentvienādojumu
Διαβάστε περισσότεραGaismas difrakcija šaurā spraugā B C
6..5. Gaismas difrakcija šaurā spraugā Ja plakans gaismas vilnis (paralēlu staru kūlis) krīt uz šauru bezgalīgi garu spraugu, un krītošās gaismas viļņa virsma paralēla spraugas plaknei, tad difrakciju
Διαβάστε περισσότεραPašmācības materiāli izklājlapu lietotnes OpenOffice.org Calc apguvei
Pašmācības materiāli izklājlapu lietotnes OpenOffice.org Calc apguvei Guntars Lācis guntars_l@inbox.lv Saturs Izklājlapu lietotnes OpenOffice.org Calc darba vide... 4 Aprēķinu veikšana, izmantojot lietotni
Διαβάστε περισσότεραAndrejs Rauhvargers VISPĀRĪGĀ ĶĪMIJA. Eksperimentāla mācību grāmata. Atļāvusi lietot Latvijas Republikas Izglītības un zinātnes ministrija
Andrejs Rauhvargers VISPĀRĪGĀ ĶĪMIJA Eksperimentāla mācību grāmata Atļāvusi lietot Latvijas Republikas Izglītības un zinātnes ministrija Rīga Zinātne 1996 UDK p 54(07) Ra 827 Recenzenti: Dr. chem. J. SKRĪVELIS
Διαβάστε περισσότεραRīgas Tehniskā universitāte Enerģētikas un elektrotehnikas fakultāte Vides aizsardzības un siltuma sistēmu institūts
Rīgas Tehniskā universitāte Enerģētikas un elektrotehnikas fakultāte Vides aizsardzības un siltuma sistēmu institūts www.videszinatne.lv Saules enerģijas izmantošanas iespējas Latvijā / Seminārs "Atjaunojamo
Διαβάστε περισσότεραLai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.
5.TEMATS FUNKCIJAS Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M UP_5_P Figūras laukuma atkarība no figūras formas Skolēna darba lapa M UP_5_P Funkcijas kā reālu procesu modeļi
Διαβάστε περισσότεραGATAVOSIMIES CENTRALIZĒTAJAM EKSĀMENAM MATEMĀTIKĀ
Profesionālās vidējās izglītības programmu Lauksaimniecība un Lauksaimniecības tehnika īstenošanas kvalitātes uzlabošana 1.2.1.1.3. Atbalsts sākotnējās profesionālās izglītības programmu īstenošanas kvalitātes
Διαβάστε περισσότεραMAZĀ UNIVERSITĀTE. 5. nodarbība, gada 31. marts. Mazā matemātikas universitāte
MAZĀ MATEMĀTIKAS UNIVERSITĀTE Mazā matemātikas universitāte 5. nodarbība, 2012. gada 31. marts Statistiskais eksperiments varbūtību teorijā. Kā vēl var aprēėināt notikumu varbūtības? Mazā matemātikas universitāte
Διαβάστε περισσότερα1. uzdevums. 2. uzdevums
1. uzdevums Reaktīvā pasažieru lidmašīna 650 km lielu attālumu bez nosēšanās veica 55 minūtēs. Aprēķini lidmašīnas kustības vidējo ātrumu, izteiktu kilometros stundā (km/h)! 1. solis Vispirms pieraksta
Διαβάστε περισσότεραMARUTA AVOTIĥA, LAURA FREIJA. Matemātikas sacensības klasēm 2010./2011. mācību gadā
MARUTA AVOTIĥA, LAURA FREIJA Matemātikas sacesības 9 klasēm 00/0 mācību gadā RĪGA 0 M AvotiĦa, L Freija Matemātikas sacesības 9 klasēm 00/0 mācību gadā Rīga: Latvijas Uiversitāte, 0 56 lpp Grāmatā apkopoti
Διαβάστε περισσότεραĶermeņa inerce un masa. a = 0, ja F rez = 0, kur F visu uz ķermeni darbojošos spēku vektoriālā summa
2.1. Ķereņa inerce un asa Jebkurš ķerenis saglabā iera stāvokli vai turpina vienērīgu taisnlīnijas kustību ar neainīgu ātruu (v = const) tikēr, kaēr uz to neiedarbojas citi ķereņi vai ta pieliktie ārējie
Διαβάστε περισσότεραLielais dānis Nilss Bors
Lielais dānis Nilss Bors No kā sastāv atoms? Atoma kodola atklāšana Atoma planetārais modelis. Bora teorija Orbitālais kvantu skaitlis Magnētiskais kvantu skaitlis. Magnētiskā mijiedarbība atomā Elektrona
Διαβάστε περισσότεραLatvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra. Inese Bula
Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula STRATĒǦISKO SPĒĻU TEORIJA LEKCIJU KONSPEKTS 2007 SATURS Lekcija nr. 1. Kas ir spēļu teorija? 3 Lekcija nr.
Διαβάστε περισσότεραLatvijas Skolēnu 62. fizikas olimpiādes III posms
Latvijas Skolēnu 62 fizikas olimpiādes III posms Vērtēšanas kritēriji Teorētiskā kārta 212 gada 12 aprīlī 9 klase Uzdevums Caurplūdums, jeb ūdens tilpums, kas laika vienībā iztek caur šķērsgriezumu S ir
Διαβάστε περισσότερα12. klase. Fizikas 64. valsts olimpiādes III posms gada 10. aprīlī
Fizikas 64. valsts olimpiādes III posms 2014. gada 10. aprīlī 12. klase Jums tiek piedāvāti trīs uzdevumi. Par katru uzdevumu maksimāli iespējams iegūt 10 punktus. Katra uzdevuma risinājumu vēlams veikt
Διαβάστε περισσότεραLaboratorijas darbu apraksts (I semestris)
Laboratorijas darbu apraksts (I semestris) un mērījumu rezultātu matemātiskās apstrādes pamati 1. Fizikālo lielumu mērīšana Lai kvantitatīvi raksturotu kādu fizikālu lielumu X, to salīdzina ar tādas pašas
Διαβάστε περισσότεραKontroldarba varianti. (II semestris)
Kontroldarba varianti (II semestris) Variants Nr.... attēlā redzami divu bezgalīgi garu taisnu vadu šķērsgriezumi, pa kuriem plūst strāva. Attālums AB starp vadiem ir 0 cm, I = 0 A, I = 0 A. Aprēķināt
Διαβάστε περισσότεραLai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.
7.TEMATS Trigonometriskie vienādojumi un nevienādības Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M SP_07_0_P Trigonometrisko izteiksmju pārveidojumi Skolēna
Διαβάστε περισσότεραFizikas valsts 66. olimpiāde Otrā posma uzdevumi 12. klasei
Fizikas valsts 66. olimpiāde Otrā posma uzdevumi 12. klasei 12-1 Pseido hologramma Ievēro mērvienības, kādās jāizsaka atbildes. Dažus uzdevuma apakšpunktus var risināt neatkarīgi no pārējiem. Mūsdienās
Διαβάστε περισσότερα2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZE
Ekspluatācijas gaitā jebkura reāla būve ārējo iedarbību rezultātā kaut nedaudz maina sākotnējo formu un izmērus. Sistēmas, kurās to elementu savstarpējā izvietojuma un izmēru maiņa iespējama tikai sistēmas
Διαβάστε περισσότεραSatura rādītājs Apmācīšanās piemērs... 44
Satura rādītās. Neironu tīkli skaitļošanas paradigma... 3.. Neironu tīkls kā skaitļošanas sistēma... 3.. Bioloģiskie neironu tīkli... 4. Mākslīgais neirons... 7.. Neirona uzbūves un darbības pamatprincipi...
Διαβάστε περισσότεραJauni veidi, kā balansēt divu cauruļu sistēmu
Jauni veidi, kā balansēt divu cauruļu sistēmu Izcila hidrauliskā balansēšana apkures sistēmās, izmantojot Danfoss RA-DV tipa Dynamic Valve vārstu un Grundfos MAGNA3 mainīga ātruma sūkni Ievads Zema enerģijas
Διαβάστε περισσότεραLaboratorijas darbs disciplīnā Elektriskās sistēmas. 3-FAŽU ĪSSLĒGUMU APRĒĶINAŠANA IZMANTOJOT DATORPROGRAMMU PowerWorld version 14
RĪGAS TEHNISKĀ UNIVERSITĀTE Enerģētikas un elektrotehnikas fakultāte Enerģētikas institūts Laboratorijas darbs disciplīnā Elektriskās sistēmas 3-FAŽU ĪSSLĒGUMU APRĒĶINAŠANA IZMANTOJOT DATORPROGRAMMU PowerWorld
Διαβάστε περισσότεραLATVIJAS 48. NACIONĀLĀ ĶĪMIJAS OLIMPIĀDE (2007)
LATVIJAS 48. NACIONĀLĀ ĶĪMIJAS OLIMPIĀDE (007) Rajona (pilsētas) posma olimpiādes uzdevumi 9. klasei Atrisināt tālāk dotos 6 uzdevumus! Darba izpildes laiks 4 astronomiskās stundas. Risinājumā parādīt
Διαβάστε περισσότεραMULTILINGUAL GLOSSARY OF VISUAL ARTS
MULTILINGUAL GLOSSARY OF VISUAL ARTS (GREEK-ENGLISH-LATVIAN) Χρώματα Colours Krāsas GREEK ENGLISH LATVIAN Αυθαίρετο χρώμα: Χρϊμα που δεν ζχει καμία ρεαλιςτικι ι φυςικι ςχζςθ με το αντικείμενο που απεικονίηεται,
Διαβάστε περισσότερα10. klase 1. uzdevuma risinājums A. Dēļa garums l 4,5 m. sin = h/l = 2,25/4,5 = 0,5 = (2 punkti) W k. s = 2,25 m.
0. klase. uzdevuma risinājums A. Dēļa garums l 4,5 m. sin = h/l =,5/4,5 = 0,5 = 0 0. ( punkti) B. v o = 0 m/s. Tādēļ s = at / un a = s/t Ja izvēlas t = s, veiktais ceļš s = 4m. a = 4/ = m/s. ( punkti)
Διαβάστε περισσότεραUDK ( ) Ko743
1 UDK 178+614.2(474.3-25) Ko743 Teksta redaktore: Datormaketētājs: Vāka dizains: Ināra Stašulāne Artūrs Kalniņš Matīss Kūlis Publicēšanas un citēšanas gadījumā lūdzam uzrādīt informācijas avotu "Rīgas
Διαβάστε περισσότεραLai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.
3.TEMTS PIRMĪD Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_12_SP_03_P1 Dažādas piramīdas Skolēna darba lapa M_12_SP_03_P2 Dažādas piramīdas Skolēna darba lapa M_12_SP_03_P2
Διαβάστε περισσότεραDonāts Erts LU Ķīmiskās fizikas institūts
Donāts Erts LU Ķīmiskās fizikas institūts Nanovadu struktūras ir parādījušas sevi kā efektīvi (Nat. Mater, 2005, 4, 455) fotošūnu elektrodu materiāli 1.katrs nanovads nodrošina tiešu elektronu ceļu uz
Διαβάστε περισσότερα4. APGAISMOJUMS UN ATTĒLI
4. APGAISMJUMS UN ATTĒLI ptisko mikroskopu vēsture un nākotne Gaismas avota stiprums. Gaismas plūsma Apgaismojums Elektriskie gaismas avoti. Apgaismojums darba vietā Ēnas. Aptumsumi Attēla veidošanās.
Διαβάστε περισσότεραModificējami balansēšanas vārsti USV
Modificējami balansēšanas vārsti USV Izmantošana/apraksts USV-I USV vārsti ir paredzēti manuālai plūsmas balansēšanai apkures un dzesēšanas sistēmās. Vārsts USV-I (ar sarkano pogu) kopā ar vārstu USV-M
Διαβάστε περισσότερα6.2. Gaismas difrakcija Gaismas difrakcijas veidi
6.. Gaismas difrakcija Ļoti pierasts un katram pilnīgi saprotams liekas priekšstats par gaismas taisnvirziena izplatīšanos homogēnā vidē. Tomēr, daudzos gadījumos gaismas intensitātes sadalījums uz robežas,
Διαβάστε περισσότεραJauna tehnoloģija magnētiskā lauka un tā gradienta mērīšanai izmantojot nanostrukturētu atomārās gāzes vidi
Projekts (vienošanās ) Jauna tehnoloģija magnētiskā lauka un tā gradienta mērīšanai izmantojot nanostrukturētu atomārās gāzes vidi Izveidotā jaunā magnētiskā lauka gradienta mērīšanas moduļa apraksts Aktivitāte
Διαβάστε περισσότερα6. LATVIJAS UNIVERSITĀTES ĶĪMIJAS FAKULTĀTES JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 2.KĀRTAS UZDEVUMU ATBILDES 8.-9.klases uzdevumi
6. LATVIJAS UNIVERSITĀTES ĶĪMIJAS FAKULTĀTES JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 2.KĀRTAS UZDEVUMU ATBILDES 8.-9.klases uzdevumi 1. uzdevums Vai tu to vari? Gāzes Ķīmisko reakciju vienādojumi Ūdeņradis, oglekļa dioksīds,
Διαβάστε περισσότεραBūvfizikas speckurss. LBN Ēku norobežojošo konstrukciju siltumtehnika izpēte. Ūdens tvaika difūzijas pretestība
Latvijas Lauksaimniecības universitāte Lauku inženieru fakultāte Būvfizikas speckurss LBN 002-01 Ēku norobežojošo konstrukciju siltumtehnika izpēte. difūzijas pretestība Izstrādāja Sandris Liepiņš... Jelgava
Διαβάστε περισσότεραMarch 14, ( ) March 14, / 52
March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a
Διαβάστε περισσότεραDatu lapa: Wilo-Yonos PICO 25/1-6
Datu lapa: Wilo-Yonos PICO 25/1-6 Raksturlīknes Δp-c (konstants),4,8 1,2 1,6 Rp 1¼ H/m Wilo-Yonos PICO p/kpa 6 15/1-6, 25/1-6, 3/1-6 1~23 V - Rp ½, Rp 1, Rp 1¼ 6 5 v 1 2 3 4 5 6 7 Rp ½,5 1, p-c 1,5 2,
Διαβάστε περισσότεραDatu lapa: Wilo-Yonos PICO 25/1-4
Datu lapa: Wilo-Yonos PICO 25/1-4 Raksturlīknes Δp-c (konstants) v 1 2 3 4,4,8 1,2 Rp ½ Rp 1,2,4,6,8 1, Rp 1¼ H/m Wilo-Yonos PICO p/kpa 15/1-4, 25/1-4, 3/1-4 4 1~23 V - Rp ½, Rp 1, Rp 1¼ 4 m/s Atļautie
Διαβάστε περισσότεραΟ ΠΕΡΙ ΤΕΛΩΝΕΙΑΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ 2004
Αριθμός 2204 Ο ΠΕΡΙ ΤΕΛΩΝΕΙΑΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ 2004 (Παράρτημα Παράγραφοι 1 και 2) Δηλοποιηση Κατασχέσεως Αναφορικά με τους ZBIGNIEW και MAKGORZATA EWERTWSKIGNIEWEK, με αριθμούς διαβατηρίων Πολωνίας
Διαβάστε περισσότεραReview Exercises for Chapter 7
8 Chapter 7 Integration Techniques, L Hôpital s Rule, and Improper Integrals 8. For n, I d b For n >, I n n u n, du n n d, dv (a) d b 6 b 6 (b) (c) n d 5 d b n n b n n n d, v d 6 5 5 6 d 5 5 b d 6. b 6
Διαβάστε περισσότεραLatvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte. Inese Bula MIKROEKONOMIKA (MATEMĀTISKIE PAMATI)
Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Inese Bula MIKROEKONOMIKA (MATEMĀTISKIE PAMATI) LEKCIJU KONSPEKTS 2007 SATURS Priekšvārds 3 Lekcija nr. 1. Ievads mikroekonomikas teorijā 4 Lekcija
Διαβάστε περισσότεραSalaspils kodolreaktora gada vides monitoringa rezultātu pārskats
Lapa 1 (15) Apstiprinu VISA Latvijas Vides, ģeoloģijas un meteoroloģijas centrs Valdes priekšsēdētājs K. Treimanis Rīgā, 2016. gada. Salaspils kodolreaktora 2015. gada vides monitoringa Pārskatu sagatavoja
Διαβάστε περισσότεραINSTRUKCIJA ERNEST BLUETOOTH IMMOBILIZER
APRAKSTS: INSTRUKCIJA ERNEST BLUETOOTH IMMOBILIZER BLUETOOTH IMOBILAIZERS ir transporta līdzekļa papildus drošibas sistēma. IERĪCES DARBĪBA 1. Ja iekārta netiek aktivizēta 1 minūtes laikā, dzinējs izslēdzas.
Διαβάστε περισσότεραDEKLARĀCIJA PAR VEIKSTSPĒJU
LV DEKLARĀCIJA PAR VEIKSTSPĒJU DoP No. Hilti HIT-HY 270 33-CPR-M 00-/07.. Unikāls izstrādājuma tipa identifikācijas numurs: Injicēšanas sistēma Hilti HIT-HY 270 2. Tipa, partijas vai sērijas numurs, kā
Διαβάστε περισσότεραAtlases kontroldarbs uz Baltijas valstu ķīmijas olimpiādi 2013.gada 07.aprīlī
Atlases kontroldarbs uz Baltijas valstu ķīmijas olimpiādi 2013.gada 07.aprīlī Atrisināt dotos sešus uzdevumus, laiks 3 stundas. Uzdevumu tēmas: 1) tests vispārīgajā ķīmijā; 2) ķīmisko reakciju kinētika;
Διαβάστε περισσότεραTIEŠĀ UN NETIEŠĀ GRADIENTA ANALĪZE
TIEŠĀ UN NETIEŠĀ GRADIENTA ANALĪZE Botānikas un ekoloăijas katedra Iluta Dauškane Vides gradients Tiešā un netiešā gradienta analīze Ordinācijas pamatideja Ordinācijas metodes Gradientu analīze Sugu skaits
Διαβάστε περισσότερα2017. gada Sv. Alberta draudzes svētceļojuma dienasgrāmata
2017. gada Sv. Alberta draudzes svētceļojuma dienasgrāmata 5. augusts Svētceļojuma pirmā diena: Rīga - Zilupe Mēs, R gas svētā Alberta draudzes svētce nieku grupa, sasniedzām šodien Zilupi. Jau otro reizi
Διαβάστε περισσότερα!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.
..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$
Διαβάστε περισσότερα2. Kā tu uztver apkārtējo pasauli? Kas tev ir svarīgāk: redzēt, dzirdēt, sajust?
Romāns. Marks Hedons ROMĀNS MARKS HEDONS (1962) UZZIŅAI Britu rakstnieks M. Hedons ir Anglijā pazīstams bērnu grāmatu rakstnieks un ilustrators, piecpadsmit grāmatu autors. Viņš rakstījis scenārijus BBC
Διαβάστε περισσότεραLIETOŠANAS INSTRUKCIJA: INFORMĀCIJA ZĀĻU LIETOTĀJAM. XYLOMETAZOLIN ICN Polfa 1,0 mg/ml deguna pilieni. Xylometazolini hydrochloridum
LIETOŠANAS INSTRUKCIJA: INFORMĀCIJA ZĀĻU LIETOTĀJAM XYLOMETAZOLIN ICN Polfa 1,0 mg/ml deguna pilieni Xylometazolini hydrochloridum Uzmanīgi izlasiet visu instrukciju, jo tā satur Jums svarīgu informāciju.
Διαβάστε περισσότεραJAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 2.KĀRTAS UZDEVUMI
C4. LATVIJAS UNIVERSITĀTES ĶĪMIJAS FAKULTĀTES JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 2.KĀRTAS UZDEVUMI Atrisināt tālāk dotos sešus uzdevumus un atbildes ierakstīt MS Word atbilžu datnē, ko kā pievienoto dokumentu līdz
Διαβάστε περισσότεραP A atgrūšanās spēks. P A = P P r P S. P P pievilkšanās spēks
3.2.2. SAITES STARP ATOMIEM SAIŠU VISPĀRĪGS RAKSTUROJUMS Lai izprastu materiālu fizikālo īpašību būtību jābūt priekšstatam par spēkiem, kas darbojas starp atomiem. Aplūkosim mijiedarbību starp diviem izolētiem
Διαβάστε περισσότεραSalaspils kodolreaktora gada vides monitoringa rezultātu pārskats
Lapa : 1 (16) Apstiprinu: VISA Latvijas Vides, ģeoloģijas un meteoroloģijas centrs Valdes priekšsēdētājs K. Treimanis Rīgā, 2017. gada. Salaspils kodolreaktora 2016. gada vides monitoringa Pārskatu sagatavoja:
Διαβάστε περισσότεραMATEMĀTIKA klase MĀCĪBU PRIEKŠMETA PROGRAMMA
MATEMĀTIKA 7. 9. klase MĀCĪBU PRIEKŠMETA PROGRAMMA Mācību priekšmeta programmu matemātikā veidoja Programmu izstrādāja Aira Kumerdanka, Indra Muceniece, Inga Riemere, Jānis Vilciņš, Aivars Ančupāns, Jeļena
Διαβάστε περισσότεραNacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai. Valsts 58. ķīmijas olimpiādes uzdevumi 11.
Projekta numurs: 8.3.2.1/16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai Valsts 58. ķīmijas olimpiādes uzdevumi 11. klasei Kopā: 106 punkti 1. uzdevums Leģendām
Διαβάστε περισσότεραElektronikas pamati 1. daļa
Egmonts Pavlovskis Elektronikas pamati 1. daļa Mācību līdzeklis interešu izglītības elektronikas pulciņu audzēkņiem un citiem interesentiem Mācību līdzeklis tapis Eiropas reģionālās attīstības fonda projekta
Διαβάστε περισσότεραĒkas energoefektivitātes aprēķina metode
Publicēts: Latvijas Vēstnesis > 03.02.2009 18 (4004) > Dokumenti > Ministru kabineta noteikumi Ministru kabineta noteikumi Nr.39 Rīgā 2009.gada 13.janvārī (prot. Nr.3 17. ) Ēkas energoefektivitātes aprēķina
Διαβάστε περισσότεραLaboratorijas darbu apraksts (II semestris)
Laboratorijas darbu apraksts (II semestris).5. Zemes magnētiskā lauka horizontālās komponentes noteikšana ar tangensgalvanometru. Katrā zemeslodes vietā Zemes magnētiskā lauka indukcijas vektors attiecībā
Διαβάστε περισσότεραLATVIJAS NACIONĀLĀ ĶĪMIJAS OLIMPIĀDE RAJONA OLIMPIĀDES UZDEVUMI 9. KLASE
9 LATVIJAS NACIONĀLĀ ĶĪMIJAS OLIMPIĀDE 50 2009 RAJONA OLIMPIĀDES UZDEVUMI 9. KLASE Rajona olimpiādes uzdevumi 2009 9. KLASE 9. KLASE Rajona olimpiādes uzdevumi 2009 Salasāmā rokrakstā atrisināt tālāk dotos
Διαβάστε περισσότεραEiropas Savienības Oficiālais Vēstnesis L 76/17
24.3.2009. Eiropas Savienības Oficiālais Vēstnesis L 76/17 KOMISIJAS REGULA (EK) Nr. 245/2009 (2009. gada 18. marts) par Eiropas Parlamenta un Padomes Direktīvas 2005/32/EK īstenošanu attiecībā uz ekodizaina
Διαβάστε περισσότεραPIELIKUMS I ZĀĻU APRAKSTS
PIELIKUMS I ZĀĻU APRAKSTS 1 1. ZĀĻU NOSAUKUMS Eurartesim 160 mg/20 mg apvalkotās tabletes. 2. KVALITATĪVAIS UN KVANTITATĪVAIS SASTĀVS Katra apvalkotā tablete satur 160 mg piperahīna tetrafosfāta (tetrahidrāta
Διαβάστε περισσότεραM.Jansone, J.Blūms Uzdevumi fizikā sagatavošanas kursiem
DINAMIKA. Dinmik prkst pātrinājum ršnās cēloħus un plūko tā lielum un virzien noteikšns pħēmienus. Spēks (N) ir vektoriāls lielums; ts ir ėermeħu vi to dĝiħu mijiedrbībs mērs. Inerce ir ėermeħu īpšīb sglbāt
Διαβάστε περισσότεραŠis dokuments ir izveidots vienīgi dokumentācijas nolūkos, un iestādes neuzņemas nekādu atbildību par tā saturu
2011R0109 LV 24.02.2015 002.001 1 Šis dokuments ir izveidots vienīgi dokumentācijas nolūkos, un iestādes neuzņemas nekādu atbildību par tā saturu B KOMISIJAS REGULA (ES) Nr. 109/2011 (2011. gada 27. janvāris),
Διαβάστε περισσότερα6. LATVIJAS UNIVERSITĀTES ĶĪMIJAS FAKULTĀTES JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 3.KĀRTAS UZDEVUMU ATBILDES
6. LATVIJAS UNIVERSITĀTES ĶĪMIJAS FAKULTĀTES JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 3.KĀRTAS UZDEVUMU ATBILDES 8.-9.klases uzdevumi 1. uzdevums Vecmāmiņas atmiņas Vielu triviālie (vēsturiskie) nosaukumi: Triviālais Sistemātiskais
Διαβάστε περισσότερα1. MAIŅSTRĀVA. Fiz12_01.indd 5 07/08/ :13:03
1. MAIŅSRĀVA Ķeguma spēkstacija Maiņstrāvas iegūšana Maiņstrāvas raksturlielumumomentānās vērtības Maiņstrāvas raksturlielumu efektīvās vērtības Enerģijas pārvērtības maiņstrāvas ķēdē Aktīvā pretestība
Διαβάστε περισσότεραEKSPLUATĀCIJAS ĪPAŠĪBU DEKLARĀCIJA
LV EKSPLUATĀCIJAS ĪPAŠĪBU DEKLARĀCIJA DoP No. Hilti HIT-HY 170 1343-CPR-M500-8/07.14 1. Unikāls izstrādājuma veida identifikācijas numurs: Injicēšanas sistēma Hilti HIT-HY 170 2. Tipa, partijas vai sērijas
Διαβάστε περισσότεραI PIELIKUMS ZĀĻU APRAKSTS
I PIELIKUMS ZĀĻU APRAKSTS 1 1. ZĀĻU NOSAUKUMS Prevenar 13 suspensija injekcijām Pneimokoku polisaharīdu konjugēta vakcīna (13-valenta, adsorbēta) Pneumococcal polysaccharide conjugate vaccine (13-valent,
Διαβάστε περισσότερα