LATVIJAS RAJONU 39. OLIMPIĀDE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "LATVIJAS RAJONU 39. OLIMPIĀDE"

Transcript

1 Materiāls ņemts o grāmatas:adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (-) kārtas (rajou) uzdevumi u atrisiājumi" LATVIJAS RAJONU 9 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 9 Ir jāaprēķia 00-ais loceklis aritmētiskā progresijā, kuras pirmais loceklis ir u otrais 40 Tātad diferece ir Tas ozīmē, ka 00-ais loceklis būs vieāds ar ( 00 ) a) Nē, evar Pieņemsim pretējo, ka tas ir iespējams Dotā piecstūra virsotes apzīmēsim ar ABCDE Taise sadala plaki divās pusplakēs (sauksim tās par pirmo u otro) Ja taise krusto visas piecstūra malas u pukts A atrodas pirmajā pusplakē, tad puktam B jāatrodas otrajā pusplakē, puktam C -- pirmajā pusplakē, puktam D -- otrajā pusplakē, puktam E -- pirmajā pusplakē Bet tad taise ekrusto malu AE Pretrua b) Jā, var Skat 9 zīm 9 zīm 9 Iegūtais skaitlis ir vieāds ar AA A 0 Ievērosim, ka skaitlis 0 ir pirmskaitlis Tātad skaitļa AA dalītāji ir visi skaitļa A dalītāji u šie dalītāji, pareiziāti ar 0 Tātad kopējais dalītāju skaits ir 94 Baltus iekrāsosim taišņu (, ), (, ), (, ), (, 4), (4, ) krustpuktus; pārējos krustpuktus iekrāsojam melus Tad uz katras taises atradīsies balti u meli pukti

2 9 Nē, evar (skat 96 zīm) a d b c 96 zīm Aplūkosim skaitļus pretrua a, b, c, d Tad o dotā seko, ka a < b < c < d < a, bet tā ir 96 Pukts atrodas otrajā kvadratā 97 Ja kaut vieā o vieādībām (piemēram x y + z ) skaitļu zīmes ir pretējas, tad uzreiz iegūstam prasīto vieādību: x y + z x + y + z 0 Ja visās vieādībās skaitļu zīmes ir vieādas, tad saskaitot šīs vieādības, iegūstam prasīto x y + z, y x + z, z x + y ; 98 Katru reizi o jaua uzrakstīto skaitļu reiziājums ir iepriekš uzrakstīto skaitļu reiziājuma kvadrāts; tātad vieāds ar Tas ozīmē, ka visu skaitļu reiziājums emaiās u visu laiku ir egatīvs 99 Ja 0 a + b dalās ar 7, tad arī ( 0a b) 7( a + b) ( a b) Ja + dalās ar 7; līdz ar to a b dalās ar 7 a b dalās ar 7, tad ( a b) + 7( a + b) 0a + b dalās ar 7 90 Pavisam ir līija Lai ar vieas krāsas autobusiem varētu aizbraukt o katras pilsētas uz katru, vajag vismaz 6 līijas Tāpēc vairāk par krāsām evar būt Ar krāsām uzdevuma osacījumi ir realizējami: A B C D E F G A krāsa, A C E G B D F A krāsa, A D G C F B E A krāsa 9 Atverot iekavas u savelkot līdzīgos locekļus, iegūstam vieādojumu x Atbilde: x

3 9 Ja x y, tad ( x + y + x y ) ( x + y + x y) x max( x, y) Ja x < y, tad ( x + y + x y ) ( x + y x + y) y max( x, y) Formula, kas izsaka mazāko o skaitļiem ir šāda: ( x + y x y ) Pierādījums ir aaloģisks iepriekšējam 9 Tāds leņķis izveidoties evar Starp ovilktajiem stariem jebkurš leņķis ir vieāds ar 90 No vieādības k 0 seko vieādība jo edalās ar 94 Veidojas šāda skaitļu virke:,, 4, 6, 7, 8, 89, 4, 4, 0, 4, 90 k, k, N k, bet šī vieādība av iespējama, Tā ir periodiska ar perioda garumu 8 Tā kā , tad 989-ais skaitlis būs vieāds ar piekto skaitli, tātad ar 7 9 Neatkarīgi o skaitļu izvietojuma aplūkojamā summa ir mazāka par ( ) ( ) Ievērojam, ka ( ) < Izpildās vieādība ( 0 ) Ievērosim, ka skaitļu ( 0 + ), ( 0 + ), ( 4) skaitļi ir e mazāki par 0 + pēdējie cipari av Tālākie ( 0 + ) > > Tātad pirmās zvaigzītes vietā ir jāieraksta cipars, bet otrās zvaigzītes vietā -- cipars 0 97 Pieņemsim, ka a b a + b + ab + a ab + b a b a + Tad iegūstam b + a ( b + ) b( a + ) a b 98 Aplūkosim 97 zīmējumu a b

4 C Y X A P Q B 97 zīm Novilksim perpedikulus PY u QX pret trijstūra katešu malām Tad o Talesa teorēmas seko, ka CY CA b, YP CB a, CX CB a, QX AC b Tālāk, izmatojot Pitagora teorēmu, iegūstam: CP 9 + PQ + CQ ( a + b ) + c c 9 ( a) + ( b) + ( c) + ( a) + ( b) 99 Aplūkosim 98 zīmējumu C A B D E P V Q F L T R S G K J H I 98 zīm Pieskaršaās puktus apzīmēsim ar P, Q, R, S, T, V No teorēmas par pieskaru vieādību iegūstam: AP AT AB + BP AL + LT, CF CV CD + DQ CB + BV, ER EP EF + FR ED + DP, GS GQ GH + HS GF + FQ, IT TR IJ + JT IH + HR, KV KS KL + LV KJ + JS 4

5 Saskaitot šīs vieādības iegūstam AB + CD + EF + GH + IJ + KL ( ) + ( BP + DQ + FR + HS + JT + LV ) ( AL + CB + ED + GF + IH + KJ ) + ( LT + BV + DP + FQ + HR + JS ) Izmatojot vēlreiz teorēmu par pieskaru vieādību, iegūstam BV BP, DP DQ, FQ FR, HR HS, JS JT, LT LV / Saskaitot šīs vieādības, iegūstam ( BP + DQ + FR + HS + JT + LV ) ( LT + BV + DP + FQ + HR + JS ) Atņemot šo vieādību o iepriekšējās vieādības, iegūstam prasīto vieādību ( AB + CD + EF + GH + IJ + KL) ( AL + CB + ED + GF + IH + KJ ) 90 Ja starp doto skaitļu atlikumiem pēc moduļa 7 ir sastopami visi atlikumi o 0 līdz 6, tad šo skaitļu summa pēc moduļa 7 ir vieāda ar ( mod 7) ; tātad dalās ar 7 Pretējā gadījumā atlikumu skaits epārsiedz 6 Tā kā , tad o Dirihlē pricipa seko, ka atradīsies vismaz 7 skaitļi, kas ir kogrueti pēc moduļa 7 Protams, ka to summa dalīsies ar 7 9 Pieņemsim, ka skaitlis s ir abu vieādojumu kopīgā sake; tad 989s 989s + as as Atņemot o otrās vieādības otro u izdalot ar , iegūstam vieādību s 0 Tātad s ± Ja s, tad a a 880 Ja s, tad 989 a a Tabulu var aizpildīt tā kā parādīts 9 zīmējumā zīm

6 Tabulas augšējā labajā stūrī jāieraksta skaitlis 9 Apskatīsim 96 zīmējumu B N M O A C 96 zīm Ar O apzīmēsim ievilktās riņķa līijas cetru; tad ON u OM ir perpedikuli pret atbilstošajām malām Taisleņķa trijstūri ONB u OMB ir vieādi, jo OB kopīga hipoteūza Tātad ON OM u BN BM ; o dotā AM CN No šejiees seko trijstūru AMB u CNB vieādība (leņķis B tiem ir kopīgs) Tātad AB BC 94 Pieņemsim, ka ir tikai divu garumu ogriežņi Septiņus puktus savieo ogriezis; tātad ir vismaz viea garuma ogriežņi Tiem ir galapukti Tā kā puktu ir 7, tad o kāda pukta O iziet vismaz 4 vieāda garuma ogriežņi To galapukti A, B, C, D atrodas uz riņķa līijas ar cetru puktā O Tā kā starp tiem attālumi var pieņemt tikai divas vērtības, tad tiem jāatrodas kvadrāta virsotēs Bet tādā gadījumā attālums AO pieņem trešo vērtību Iegūta pretrua 9 Apzīmēsim dotos skaitļus ar x < x < L < x69 No uzdevuma osacījumiem seko, ka x (Ja x, tad x 4, x, K, x69 0; tā ir pretrua) Apskatīsim 67 savā starpā atšķirīgus skaitļus x + x, x + x, K, x + x68 u 67 savā starpā atšķirīgus skaitļus x69 x, x69 x, K, x69 x68 Tie visi atrodas itervālā o līdz Tā kā aplūkojamo skaitļu kopskaits ir 4, tad kaut kādi divi o tiem ir vieādi; ti x + xi x69 x j No šejiees iegūstam prasīto atrisiājumu x + xi + x j x69 6

7 96 Skat 97 zīm B P C T A D X Q B C M R S Y A D 97 zīm Viegli redzēt, ka taise XY paralēla plakei paralēli XY (ti paralēli CB ) Apzīmējam BB C C Tātad šķēluma līija PQ Jāvelk M PQ BC Velkam taisi MY Tā pieder šķēluma plakei Tās krustpuktus ar ogriežņiem AB u CD apzīmējam atbilstoši ar S u R Velkam taisi SX Tās krustpuktu ar ogriezi A B Apzīmējam ar T Prasītais šķēlums ir piecstūris PQRST 97 Jā, var Ņemsim skaitļus, summu, k k k + + L+, k < k < L, K, r Aplūkosim jebkuru šo skaitļu r < k Šī summa dalās ar k, bet edalās ar lielāku divieka pakāpi; tātad pirmskaitlis ieiet šajā summā kā reiziātājs epāra pakāpē, u šī summa av aturāla skaitļa kvadrāts 98 Aplūkosim vieības vektorus ar koordiātēm ( x, cos x), ( si y, cos y), ( si z, cos z) si To summa ir ulles vektors; tātad šie vektori veido regulāra trijstūra kotūru, u leņķi starp tiem ir 0 99 Aplūkosim 98 zīmējumu B M K P A C N 98 zīm 7

8 Tā kā AKMC -- ievilkts četrstūris, tad pierāda, ka u MKC MAC BKM 80 AKM ACM Līdzīgi AKN ACM No ievilkto leņķu īpašības seko, ka NKC NBC No teorēmas par krustojošos hordu ogriežņu reiziājumiem seko vieādības Tātad AP PM CP PK u CP PK BP PN AP BP AP PM BP PN u ; tāpēc trijstūri APN u BPM ir līdzīgi u PN PM PAN PBM No šejiees AKC BKC 90 u CK ir augstums Tā kā PAN PKN, tad ap četrstūri AKPN var apvilkt riņķa līiju; tāpēc ANP 80 AKP 90 u arī BN ir augstums Līdzīgi pierāda, ka AM ir augstums 90 Ar a apzīmēsim, cik komadas var izveidot, ja ridā stāv studeti (ieskaitot tukšu komadu) Tad redzam, ka a, a Pieņemsim, ka ridā stāv studeti: epiedalās x, x, K, x Aplūkosim komadas, kurās x Tā kā atlikuši studeti, tad šādu komadu skaits ir a Komadas, kurās iekļauts x, evar piedalīties x a No šejiees iegūstam rekuretu sakarību + a a a ; tātad šādu komadu skaits ir Tālāk pakāpeiski izrēķiām: a +, a + 8, a + 8, K, a Tā kā tukšo komadu mēs eieskaitām, tad atbilde ir 76 9 Dotās fukcijas atvasiājums ir fukcija y ax + bx + c Ja a 0, tad tai ir e vairāk kā divas sakes; tātad a 0 y bx + c Ja b 0, tad tai ir tikai viea sake; tātad b 0 Iegūstam fukciju Ja c 0, tad fukcijai y c vispār av sakņu; tātad c 0 Iegūstam, ka y d tātad tā ir kostata fukcija 9 Pieņemsim pretējo, ka tādus skaitļus izvēlēties evar Sakārtosim dotos skaitļus augošā secībā a < a < a < a4 < a < a6 Skaidrs, ka a, a u a Ja a 4 < 6, tad skaitļu trijieks a, a, a4 apmieriātu uzdevuma osacījumus; tātad a a a 6 4 Līdzīgi iegūstam a a a 6 8, a a a Iegūta pretrua 4 ar uzdevuma osacījumiem; apgalvojums pierādīts 6 4, u 8

9 9 Aplūkosim vieības vektorus e ( a b), e ( c, d ), e ( e, f ) skalārā reiziājuma formulas seko, ka e, e e e cos e, e cos e e ac + ( ) ( ) ( ) bd,, No Līdzīgi iegūstam, ka cos ( e, e ) ae + bf u cos ( e, e ) ce + df Starp vektoriem e, e, e vismaz vies leņķis epārsiedz 0 Pretējā gadījumā leņķi summā pārsiegtu 60 Šī leņķa kosīuss av mazāks par Apgalvojums pierādīts 94 Papildiām trijstūri ABC līdz vieādsāu trapecei ABCD; tad P atrodas uz tās simetrijas ass (skat 99 zīm) D A B C P Apzīmējam 99 zīm ABC α ; tad BCA α, DAC 80 α Tā kā DAB ABC α, tad BAC 80 α No vieādības DBA DBC ABC ACB ABC α α α DAB seko, ka trijstūris BDA ir vieādsāu; tātad BD DA No šejiees seko, ka trijstūris PDA ir regulārs ( PA PD o simetrijas; PA AC BD DA ); tātad BAP 60 α BAC, ko arī vajadzēja pierādīt k 9 Aplūkosim patvaļīgu epāra skaitli u skaitļu grupu,,, K,, kas epārsiedz 00 Katrā šādā grupā drīkst izvēlēties katru otro skaitli Tātad skaitļu grupā,, 4, 8, 6,, 64 var maksimāli izvēlēties četrus skaitļus:, 4, 6, 64 Skaitļu grupā, 6,, 4, 48, 96 var maksimāli izvēlēties skaitļus :,, 48 Skaitļu grupā, 0, 0, 40, skaitļus:, 0, 80 Skaitļu grupā 7, 4, 8, 6 -- skaitļus: 7, 8 Skaitļu grupā 9, 8, 6, 7 -- skaitļus: 9, 6 9

10 Skaitļu grupā,, 44, skaitļus:, 44 Skaitļu grupā, 6, -- skaitļus:, Skaitļu grupā, 0, skaitļus:, 60 Skaitļu grupā 7, 4, skaitļus: 7, 68 Skaitļu grupā 9, 8, skaitļus: 9, 76 Skaitļu grupā, 4, skaitļus:, 84 Skaitļu grupā, 46, 9 -- skaitļus:, 9 Skaitļu grupā, 0, skaitļus:, 96 Grupās, kas atbilst pārējiem epāra skaitļiem o 7 līdz 99 (tādu ir 7) ir e vairāk kā divi skaitļi; o tiem var izvēlēties tikai vieu Kopā izāk, ka var izvēlēties 67 skaitļus 96 Skaitļu kvadrāti pēc moduļa pieņem vērtības 0 u Tātad o kogrueces a + b 0 ( mod ) seko, ka a b 0 ( mod ) arī a + b dalās ar 9 97 Vieādojumu pārveidojam: si x + si x si Atbilde: 4si cos x cos x x cos Tā kā a u b dalās ar, tad x 0 x cos cos x 0 a u ( 4si x ) ( cos x ) 0 cos x ( cos x) 0 π x + πk, ± arccos + πk, k Z 98 Nē, tāds daudzskaldis eeksistē x b dalās ar 9; līdz ar to Pieņemsim pretējo, ka katrai skaldei ir vismaz 6 malas Aplūkosim visu daudzskaldņa skaldņu leņķu vidējo lielumu S 0 Katrai skaldei leņķu vidējais lielums ir e mazāks par 0 ; tātad S 0 Leņķu summa pie izliekta daudzskaldņa virsotes ir mazāka par 60 ; tā kā leņķu ir vismaz, tad leņķu vidējais lielums pie virsotes ir mazāks par 0 No šejiees seko, ka S < 0 Iegūta pretrua 0

11 940 Apskatām fukcijas y si t Y grafiku itervālā [ 0, α] t 0 α α α 408 zīm Pierādāmā evieādība izsaka faktu, ka pakāpieveida figūras laukums lielāks par laukumu zem fukcijas grafika, kas ir vieāds ar tiek izmatots fakts, ka fukcija y si t dotajā itervālā ir augoša α 0 si t dt cosα Protams šeit

Atrisinājumi Latvijas 64. matemātikas olimpiāde 3. posms x 1. risinājums. Pārveidojam doto izteiksmi, atdalot pilno kvadrātu:

Atrisinājumi Latvijas 64. matemātikas olimpiāde 3. posms x 1. risinājums. Pārveidojam doto izteiksmi, atdalot pilno kvadrātu: trisiājumi Latvijas 6 matemātikas olimpiāde posms 9 Kādu mazāko vērtību var pieņemt izteiksme 0, ja > 0? risiājums Pārveidojam doto izteiksmi, atdalot pilo kvadrātu: 0 ( ) 0 0 0 0 0 Tā kā kvadrāts viemēr

Διαβάστε περισσότερα

LATVIJAS REPUBLIKAS 38. OLIMPIĀDE

LATVIJAS REPUBLIKAS 38. OLIMPIĀDE Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 8. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8. klase 8.. Vai eksistē tāda kvadrātfukcija

Διαβάστε περισσότερα

LATVIJAS REPUBLIKAS 35. OLIMPIĀDE

LATVIJAS REPUBLIKAS 35. OLIMPIĀDE Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 26.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 35. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8. klase 35. Atrisiāt vieādojumu x + 2x

Διαβάστε περισσότερα

Īsi atrisinājumi Jā, piemēram, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 4. Piezīme. Uzdevumam ir arī vairāki citi atrisinājumi Skat., piemēram, 1. zīm.

Īsi atrisinājumi Jā, piemēram, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 4. Piezīme. Uzdevumam ir arī vairāki citi atrisinājumi Skat., piemēram, 1. zīm. Īsi atrisinājumi 5.. Jā, piemēram,,,,,, 3, 4. Piezīme. Uzdevumam ir arī vairāki citi atrisinājumi. 5.. Skat., piemēram,. zīm. 6 55 3 5 35. zīm. 4. zīm. 33 5.3. tbilde: piemēram, 4835. Ievērosim, ka 4 dalās

Διαβάστε περισσότερα

MARUTA AVOTIĥA, LAURA FREIJA. Matemātikas sacensības klasēm 2010./2011. mācību gadā

MARUTA AVOTIĥA, LAURA FREIJA. Matemātikas sacensības klasēm 2010./2011. mācību gadā MARUTA AVOTIĥA, LAURA FREIJA Matemātikas sacesības 9 klasēm 00/0 mācību gadā RĪGA 0 M AvotiĦa, L Freija Matemātikas sacesības 9 klasēm 00/0 mācību gadā Rīga: Latvijas Uiversitāte, 0 56 lpp Grāmatā apkopoti

Διαβάστε περισσότερα

LATVIJAS RAJONU 33. OLIMPIĀDE. 4. klase

LATVIJAS RAJONU 33. OLIMPIĀDE. 4. klase Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5.-5.).kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 33. OLIMPIĀDE 4. klase 33.. Ievietot

Διαβάστε περισσότερα

LATVIJAS RAJONU 43. OLIMPIĀDE

LATVIJAS RAJONU 43. OLIMPIĀDE Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 43 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 43 Pārlokot

Διαβάστε περισσότερα

LATVIJAS REPUBLIKAS 45. OLIMPIĀDE

LATVIJAS REPUBLIKAS 45. OLIMPIĀDE Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 4. OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 4.. Dotās nevienādības > abas puses

Διαβάστε περισσότερα

ATRISINĀJUMI LATVIJAS REPUBLIKAS 32. OLIMPIĀDE

ATRISINĀJUMI LATVIJAS REPUBLIKAS 32. OLIMPIĀDE Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS. OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI.. Pirmā apskatāmā skaitļa ciparu

Διαβάστε περισσότερα

Rīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Uzdevumu risinājumu paraugi. 4. nodarbība

Rīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Uzdevumu risinājumu paraugi. 4. nodarbība Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi 4 nodabība piemēs pēķināt vektoa a gaumu un viziena kosinusus, ja a = 5 i 6 j + 5k Vektoa a koodinātas i dotas: a 5 ; a =

Διαβάστε περισσότερα

Rekurentās virknes. Aritmētiskā progresija. Pieņemsim, ka q ir fiksēts skaitlis, turklāt q 0. Virkni (b n ) n 1, kas visiem n 1 apmierina vienādību

Rekurentās virknes. Aritmētiskā progresija. Pieņemsim, ka q ir fiksēts skaitlis, turklāt q 0. Virkni (b n ) n 1, kas visiem n 1 apmierina vienādību Rekurentās virknes Rekursija ir metode, kā kaut ko definēt visbiežāk virkni), izmantojot jau definētas vērtības. Vienkāršākais šādu sakarību piemērs ir aritmētiskā un ǧeometriskā progresija, kuras mēdz

Διαβάστε περισσότερα

Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa. 8. klases uzdevumu atrisinājumi

Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa. 8. klases uzdevumu atrisinājumi Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa 8. klases uzdevumu atrisinājumi 1. ΔBPC ir vienādmalu trijstūris, tādēļ visi tā leņķi ir 60. ABC = 90 (ABCDkvadrāts), tādēļ ABP = 90 - PBC = 30. Pēc dotā BP = BC un, tā kā

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Agnis Andžāns, Julita Kluša /95. m.g. matemātikas olimpiāžu uzdevumi ar atrisinājumiem

Agnis Andžāns, Julita Kluša /95. m.g. matemātikas olimpiāžu uzdevumi ar atrisinājumiem Agnis Andžāns, Julita Kluša 994./95. m.g. matemātikas olimpiāžu uzdevumi ar atrisinājumiem Rīga, 997 Anotācija Šajā izstrādnē apkopoti 994./95. mācību gadā notikušo Latvijas mēroga matemātikas sacensību

Διαβάστε περισσότερα

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1, 1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =

Διαβάστε περισσότερα

LU A.Liepas Neklātienes matemātikas skola /2011.m.g. sagatavošanās olimpiāde matemātikā

LU A.Liepas Neklātienes matemātikas skola /2011.m.g. sagatavošanās olimpiāde matemātikā 2010.26.11. LU A.Liepas Neklātienes matemātikas skola 2010./2011.m.g. sagatavošanās olimpiāde matemātikā Katra metodiskā apvienība pati nolemj, vai un kad tā rīkos vai nerīkos šādu olimpiādi un, ja rīkos,

Διαβάστε περισσότερα

Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 7. klasei

Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 7. klasei 01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 7. klasei 1. Varam pieņemt, ka visos darbos Kristiāna strāda piecu darba dienu nedēļu, tātad 40 stundas nedēļā (drīkst arī pieņemt, ka Kristiāna strādā nedēļas

Διαβάστε περισσότερα

GATAVOSIMIES CENTRALIZĒTAJAM EKSĀMENAM MATEMĀTIKĀ

GATAVOSIMIES CENTRALIZĒTAJAM EKSĀMENAM MATEMĀTIKĀ Profesionālās vidējās izglītības programmu Lauksaimniecība un Lauksaimniecības tehnika īstenošanas kvalitātes uzlabošana 1.2.1.1.3. Atbalsts sākotnējās profesionālās izglītības programmu īstenošanas kvalitātes

Διαβάστε περισσότερα

PREDIKĀTU LOĢIKA. Izteikumu sauc par predikātu, ja tas ir izteikums, kas ir atkarīgs no mainīgiem lielumiem.

PREDIKĀTU LOĢIKA. Izteikumu sauc par predikātu, ja tas ir izteikums, kas ir atkarīgs no mainīgiem lielumiem. 005, Pēteris Daugulis PREDIKĀTU LOĢIKA Izteikumu sauc par predikātu, ja tas ir izteikums, kas ir atkarīgs no mainīgiem lielumiem. Par predikātiem ir jādomā kā par funkcijām, kuru vērtības apgabals ir patiesumvērtību

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

"Profesora Cipariņa klubs" 2005./06. m.g. 1. nodarbības uzdevumu atrisinājumi. A grupa

Profesora Cipariņa klubs 2005./06. m.g. 1. nodarbības uzdevumu atrisinājumi. A grupa "Profesora Cipariņa klubs" 005./06. m.g.. nodarbības udevumu atrisinājumi A grupa. Viegli pārbaudīt, ka 3 4=44. Tātad meklējamie skaitļi var būt ; 3; 4. Pierādīsim, ka tie nevar būt citādi. Tiešām, ivēloties

Διαβάστε περισσότερα

March 14, ( ) March 14, / 52

March 14, ( ) March 14, / 52 March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a

Διαβάστε περισσότερα

Tēraudbetona konstrukcijas

Tēraudbetona konstrukcijas Tēraudbetona konstrukcijas tēraudbetona kolonnu projektēšana pēc EN 1994-1-1 lektors: Gatis Vilks, SIA «BALTIC INTERNATIONAL CONSTRUCTION PARTNERSHIP» Saturs 1. Vispārīga informācija par kompozītām kolonnām

Διαβάστε περισσότερα

AGNIS ANDŽĀNS, DACE BONKA, ZANE KAIBE, LAILA ZINBERGA. Matemātikas sacensības klasēm uzdevumi un atrisinājumi 2009./2010.

AGNIS ANDŽĀNS, DACE BONKA, ZANE KAIBE, LAILA ZINBERGA. Matemātikas sacensības klasēm uzdevumi un atrisinājumi 2009./2010. AGNIS ANDŽĀNS, DACE BONKA, ZANE KAIBE, LAILA ZINBERGA Matemātikas sacensības 4.-9. klasēm uzdevumi un atrisinājumi 009./00. mācību gadā Rīga 0 A. Andžāns, D. Bonka, Z. Kaibe, L. Zinberga. Matemātikas sacensības

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 22 Φεβρουαρίου 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr. 2009/0196/1DP/

ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr. 2009/0196/1DP/ ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr. 009/0196/1DP/1...1.5/09/IPIA/VIAA/001 ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

ATTĒLOJUMI UN FUNKCIJAS. Kopas parasti tiek uzskatītas par fiksētiem, statiskiem objektiem.

ATTĒLOJUMI UN FUNKCIJAS. Kopas parasti tiek uzskatītas par fiksētiem, statiskiem objektiem. 2005, Pēteris Daugulis 1 TTĒLOJUMI UN FUNKCIJS Kopas parasti tiek uzskatītas par iksētiem, statiskiem objektiem Lai atļautu kopu un to elementu pārveidojumus, ievieš attēlojuma jēdzienu ttēlojums ir kāda

Διαβάστε περισσότερα

J! "#$ %"& ( ) ) ) " *+, -./0-, *- /! /!+12, ,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/<3/ +15;+ 5/<3=9 -!.1!-9 +17/> ) ) &

J! #$ %& ( ) ) )  *+, -./0-, *- /! /!+12, ,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/<3/ +15;+ 5/<3=9 -!.1!-9 +17/> ) ) & J! "#$ %"& J ' ( ) ) ) " *+, -./0-, L *- /! /!+12,3-4 % +15,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/01 ',913-51:--

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ %"&'$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-

!#$ %&'$!&!(!)%*+, -$!!.!$(-#$&%- !"#$ %"&$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-.#/."0, .1%"("/+.!2$"/ 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 4.)!$"!$-(#&!- 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Διαβάστε περισσότερα

!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).

!! #7 $39 % (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ). 1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3

Διαβάστε περισσότερα

Lielumus, kurus nosaka tikai tā skaitliskā vērtība, sauc par skalāriem lielumiem.

Lielumus, kurus nosaka tikai tā skaitliskā vērtība, sauc par skalāriem lielumiem. 1. Vektori Skalāri un vektoriāli lielumi Lai raksturotu kādu objektu vai procesu, tā īpašības parasti apraksta, izmantojot dažādus skaitliskus raksturlielumus. Piemēram, laiks, kas nepieciešams, lai izlasītu

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/liearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 12 Οκτωβρίου 2018 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

1. uzdevums. 2. uzdevums

1. uzdevums. 2. uzdevums 1. uzdevums Reaktīvā pasažieru lidmašīna 650 km lielu attālumu bez nosēšanās veica 55 minūtēs. Aprēķini lidmašīnas kustības vidējo ātrumu, izteiktu kilometros stundā (km/h)! 1. solis Vispirms pieraksta

Διαβάστε περισσότερα

HONDA. Έτος κατασκευής

HONDA. Έτος κατασκευής Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V

Διαβάστε περισσότερα

,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )

,, #,#, %&'(($#(#)&*& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) !! "#$%&'%( (%)###**#+!"#$ ',##-.#,,, #,#, /01('/01/'#!2#! %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) 6###+! 4! 4! 4,*!47! 4! (! 8!9%,,#!41! 4! (! 4!5),!(8! 4! (! :!;!(7! (! 4! 4!!8! (! 8! 4!!8(!44!

Διαβάστε περισσότερα

ATTIECĪBAS. Attiecības - īpašība, kas piemīt vai nepiemīt sakārtotai vienas vai vairāku kopu elementu virknei (var lietot arī terminu attieksme).

ATTIECĪBAS. Attiecības - īpašība, kas piemīt vai nepiemīt sakārtotai vienas vai vairāku kopu elementu virknei (var lietot arī terminu attieksme). 004, Pēteris Daugulis ATTIECĪBAS Attiecības - īpašība, kas piemīt vai nepiemīt sakārtotai vienas vai vairāku kopu elementu virknei (var lietot arī terminu attieksme). Bināra attiecība - īpašība, kas piemīt

Διαβάστε περισσότερα

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mthemtic.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mthemtic.gr. Μετατροπές

Διαβάστε περισσότερα

Answers - Worksheet A ALGEBRA PMT. 1 a = 7 b = 11 c = 1 3. e = 0.1 f = 0.3 g = 2 h = 10 i = 3 j = d = k = 3 1. = 1 or 0.5 l =

Answers - Worksheet A ALGEBRA PMT. 1 a = 7 b = 11 c = 1 3. e = 0.1 f = 0.3 g = 2 h = 10 i = 3 j = d = k = 3 1. = 1 or 0.5 l = C ALGEBRA Answers - Worksheet A a 7 b c d e 0. f 0. g h 0 i j k 6 8 or 0. l or 8 a 7 b 0 c 7 d 6 e f g 6 h 8 8 i 6 j k 6 l a 9 b c d 9 7 e 00 0 f 8 9 a b 7 7 c 6 d 9 e 6 6 f 6 8 g 9 h 0 0 i j 6 7 7 k 9

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών . Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών www.pe03.gr. Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών, Φθιώτιδας και Ευρυτανίας www.pe03.gr Day: 1 49th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD

Διαβάστε περισσότερα

!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 22 Φεβρουαρίου 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr, GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.

Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home. 6. VIRKNES Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M_10_UP_06_P1 Iracionāla skaitļa π aptuvenās vērtības noteikšana Skolēna darba lapa M_10_LD_06 Virknes

Διαβάστε περισσότερα

Batigoal_mathscope.org ñược tính theo công thức

Batigoal_mathscope.org ñược tính theo công thức SỐ PHỨC TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG Batigoal_mathscope.org Hoangquan9@gmail.com I.MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN. Khoảng cách giữa hai ñiểm Giả sử có số phức và biểu diễn hai ñiểm M và M trên mặt phẳng tọa

Διαβάστε περισσότερα

Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.

Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home. 3.TEMTS PIRMĪD Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_12_SP_03_P1 Dažādas piramīdas Skolēna darba lapa M_12_SP_03_P2 Dažādas piramīdas Skolēna darba lapa M_12_SP_03_P2

Διαβάστε περισσότερα

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Λύση Για να είναι αντιστρέψιμος θα πρέπει η ορίζουσα του πίνακα να είναι διάφορη του μηδενός =

Λύση Για να είναι αντιστρέψιμος θα πρέπει η ορίζουσα του πίνακα να είναι διάφορη του μηδενός = 7. Άσκηση 1 2 1 Εστω ο πίνακας A = 1 3 2. Να δειχθεί ότι ο πίνακας είναι αντιστρέψιμοςκαιστησυνέχειαναυπολογιστείοαντίστροφος. 1 0 1 Για να είναι αντιστρέψιμος θα πρέπει η ορίζουσα του πίνακα να είναι

Διαβάστε περισσότερα

! "#" "" $ "%& ' %$(%& % &'(!!")!*!&+ ,! %$( - .$'!"

! #  $ %& ' %$(%& % &'(!!)!*!&+ ,! %$( - .$'! ! "#" "" $ "%& ' %$(%&!"#$ % &'(!!")!*!&+,! %$( -.$'!" /01&$23& &4+ $$ /$ & & / ( #(&4&4!"#$ %40 &'(!"!!&+ 5,! %$( - &$ $$$".$'!" 4(02&$ 4 067 4 $$*&(089 - (0:;

Διαβάστε περισσότερα

! " #$% & '()()*+.,/0.

!  #$% & '()()*+.,/0. ! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5

Διαβάστε περισσότερα

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 9ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 801-900 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης

Διαβάστε περισσότερα

Compress 6000 LW Bosch Compress LW C 35 C A ++ A + A B C D E F G. db kw kw /2013

Compress 6000 LW Bosch Compress LW C 35 C A ++ A + A B C D E F G. db kw kw /2013 Ι 55 C 35 C A A B C D E F G 47 17 21 18 19 19 18 db kw kw db 2015 811/2013 Ι A A B C D E F G 2015 811/2013 Izstrādājuma datu lapa par energopatēriņu Turpmākie izstrādājuma dati atbilst ES regulu 811/2013,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Wide Transport Stretcher Model 738

Parts Manual. Wide Transport Stretcher Model 738 Wide Transport Stretcher Model 738 Modèle 738 De Civière Large Pour Le Transport Breites Transport-Bahre-Modell 738 Breed Model 738 van de Brancard van het Vervoer Modello Largo 738 Della Barella Di Trasporto

Διαβάστε περισσότερα

Heterobimetallic Pd-Sn Catalysis: Michael Addition. Reaction with C-, N-, O-, S- Nucleophiles and In-situ. Diagnostics

Heterobimetallic Pd-Sn Catalysis: Michael Addition. Reaction with C-, N-, O-, S- Nucleophiles and In-situ. Diagnostics Supporting Information (SI) Heterobimetallic Pd-Sn Catalysis: Michael Addition Reaction with C-, N-, -, S- Nucleophiles and In-situ Diagnostics Debjit Das, a Sanjay Pratihar a,b and Sujit Roy c * a rganometallics

Διαβάστε περισσότερα

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Χεμερινό εξάμηνο ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Χεμερινό εξάμηνο ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Χεμερινό εξάμηνο 2006-07 ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 1 ΔΕΥΤΕΡΑ, 9-10-06, 11-13. ΓΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ. Θεώρημα 1. Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι ίσο με 180 o. Θεώρημα 2. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΒ ΟΜΗ ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α JBMO ( ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΚΑΤΩ ΤΩΝ 15,5 ΕΤΩΝ ) - ΣΜΥΡΝΗ

ΕΒ ΟΜΗ ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α JBMO ( ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΚΑΤΩ ΤΩΝ 15,5 ΕΤΩΝ ) - ΣΜΥΡΝΗ ΕΟΜΗ ΛΚΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙ JBMO ( Ι ΜΘΗΤΕΣ ΚΤΩ ΤΩΝ 15,5 ΕΤΩΝ ) - ΣΜΥΡΝΗ Ιούνιος 003 Επιµέλεια: Ευθύβουλος Λιασίδης νδρέας Σαββίδης Να λυθούν όλα τα προβλήµατα Χρόνος: 4 ½ Ώρες Πρόβληµα 1. Ένας n θετικός

Διαβάστε περισσότερα

MÉTHODES ET EXERCICES

MÉTHODES ET EXERCICES J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς

Διαβάστε περισσότερα

Πρώτη Μέρα. με πραγματικούς συντελεστές τα ο- ποία ικανοποιούν την ισότητα

Πρώτη Μέρα. με πραγματικούς συντελεστές τα ο- ποία ικανοποιούν την ισότητα 45η ΔΙΕΘΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ IMO 004 ΑΘΗΝΑ ΕΛΛΑΔΑ Επιμέλεια: Ανδρέας Φιλίππου Θεόκλητος Παραγιού Πρώτη Μέρα Πρόβλημα. Έστω ABC ένα οξυγώνιο τρίγωνο με AB =/ AC. Ο κύκλος με διάμετρο την πλευρά BC τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

ALFA ROMEO. Έτος κατασκευής

ALFA ROMEO. Έτος κατασκευής 145 1.4 i.e. AR33501 66 90 10/94-01/01 0802-1626M 237,40 1.4 i.e. 16V AR33503 76 103 12/96-01/01 0802-1627M 237,40 1.6 i.e. AR33201 76 103 10/94-01/01 0802-1628M 237,40 1.6 i.e. 16V AR67601 88 120 12/96-01/01

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ "%&$ ##%&%'()) *..$ /. 0-1$ )$.'-

!#$ %&$ ##%&%'()) *..$ /. 0-1$ )$.'- !!" !"# "%& ##%&%',-... /. -1.'- -13-',,'- '-...4 %. -5"'-1.... /..'-1.....-"..'-1.. 78::8

Διαβάστε περισσότερα

Στις ΗΠΑ διεξάγονται κάθε χρόνο διάφοροι µαθηµατικοί διαγωνισµοί από τους οποίους ο USAMO, που αποτελεί την εθνική µαθηµατική ολυµπιάδα της χώρας, έχε

Στις ΗΠΑ διεξάγονται κάθε χρόνο διάφοροι µαθηµατικοί διαγωνισµοί από τους οποίους ο USAMO, που αποτελεί την εθνική µαθηµατική ολυµπιάδα της χώρας, έχε Στις ΗΠΑ διεξάγονται κάθε χρόνο διάφοροι µαθηµατικοί διαγωνισµοί από τους οποίους ο USAMO, που αποτελεί την εθνική µαθηµατική ολυµπιάδα της χώρας, έχει τα δυσκολότερα θέµατα. Άλλοι διαγωνισµοί µε σειρά

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

2G &:)* +HIJ LM=,ABCD 231 K= U b-u a 1 100% (1) U a T Q 1 )* +,- Q Fig.1 SketchmapoftheTarimRiverBasin - [) 398km,+%,+% <, `, 2, 2 #; + ( [ - ) 428km,

2G &:)* +HIJ LM=,ABCD 231 K= U b-u a 1 100% (1) U a T Q 1 )* +,- Q Fig.1 SketchmapoftheTarimRiverBasin - [) 398km,+%,+% <, `, 2, 2 #; + ( [ - ) 428km, 33 2G 2016> 3 = Y ARID ZOE RESEARCH Vol.33 o.2 Mar.2016 doi:10.13866/j.azr.2016.02.02 1 1,2, 1, 1, 3, 4 (1.,!"#$%&', 830011; 2., ( 100049;3.)* +,-. /01, 841000; 4. + 234567, + 832000) :89 TM:;,

Διαβάστε περισσότερα

8. f = {(-1, 2), (-3, 1), (-5, 6), (-4, 3)} - i.) ii)..

8. f = {(-1, 2), (-3, 1), (-5, 6), (-4, 3)} - i.) ii).. இர மத ப பண கள வ ன க கள 1.கணங கள ம ச ப கள ம 1. A ={4,6.7.8.9}, B = {2,4,6} C= {1,2,3,4,5,6 } i. A U (B C) ii. A \ (C \ B). 2.. i. (A B)' ii. A (BUC) iii. A U (B C) iv. A' B' v. A\ (B C) 3. A = { 1,4,9,16

Διαβάστε περισσότερα

Sheet H d-2 3D Pythagoras - Answers

Sheet H d-2 3D Pythagoras - Answers 1. 1.4cm 1.6cm 5cm 1cm. 5cm 1cm IGCSE Higher Sheet H7-1 4-08d-1 D Pythagoras - Answers. (i) 10.8cm (ii) 9.85cm 11.5cm 4. 7.81m 19.6m 19.0m 1. 90m 40m. 10cm 11.cm. 70.7m 4. 8.6km 5. 1600m 6. 85m 7. 6cm

Διαβάστε περισσότερα

GRAFOANALITISKO DARBU UZDEVUMI ELEKTROTEHNIKĀ UN ELEKTRONIKĀ VISPĀRĪGI NORĀDĪJUMI

GRAFOANALITISKO DARBU UZDEVUMI ELEKTROTEHNIKĀ UN ELEKTRONIKĀ VISPĀRĪGI NORĀDĪJUMI GRAFOANALITISKO DARBU UZDEVUMI ELEKTROTEHNIKĀ UN ELEKTRONIKĀ VISPĀRĪGI NORĀDĪJUMI Kursa Elektrotehnika un elektronika programmā paredzēta patstāvīga grafoanalītisko uzdevumu izpilde. Šajā krājumā ievietoti

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải. Đường tròn cung dây tiếp tuyến BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : 1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). 2. FA.FH

Διαβάστε περισσότερα

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t

Διαβάστε περισσότερα

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s

Διαβάστε περισσότερα

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor

Διαβάστε περισσότερα

Gaismas difrakcija šaurā spraugā B C

Gaismas difrakcija šaurā spraugā B C 6..5. Gaismas difrakcija šaurā spraugā Ja plakans gaismas vilnis (paralēlu staru kūlis) krīt uz šauru bezgalīgi garu spraugu, un krītošās gaismas viļņa virsma paralēla spraugas plaknei, tad difrakciju

Διαβάστε περισσότερα

Logatherm WPS 10K A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013

Logatherm WPS 10K A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013 51 d 11 11 10 kw kw kw d 2015 811/2013 2015 811/2013 Izstrādājuma datu lapa par energopatēriņu Turpmākie izstrādājuma dati atbilst S regulu 811/2013, 812/2013, 813/2013 un 814/2013 prasībām, ar ko papildina

Διαβάστε περισσότερα

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3. 3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΚΠΟΝΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΩΝ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΚΠΟΝΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΩΝ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜOΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Γ.Γ. Χωρικού Σχεδιασμού & Αστικού Περιβάλλοντος Γεν. Δ/νση Χωρικού Σχεδιασμού Δ/νση Χωροταξικού Σχεδιασμού ΜΕΛΕΤΗ: ΧΡΗΜ/ΤΗΣΗ: Αξιολόγηση και αναθεώρηση

Διαβάστε περισσότερα

Carolina Bernal, Frédéric Christophoul, Jean-Claude Soula, José Darrozes, Luc Bourrel, Alain Laraque, José Burgos, Séverine Bès de Berc, Patrice Baby

Carolina Bernal, Frédéric Christophoul, Jean-Claude Soula, José Darrozes, Luc Bourrel, Alain Laraque, José Burgos, Séverine Bès de Berc, Patrice Baby Gradual diversions of the Rio Pastaza in the Ecuadorian piedmont of the Andes from 1906 to 2008: role of tectonics, alluvial fan aggradation and ENSO events Carolina Bernal, Frédéric Christophoul, Jean-Claude

Διαβάστε περισσότερα

5. un 6.lekcija. diferenciālvienādojumiem Emdena - Faulera tipa vienādojumi. ir atkarīgas tikai no to attāluma r līdz lodes centram.

5. un 6.lekcija. diferenciālvienādojumiem Emdena - Faulera tipa vienādojumi. ir atkarīgas tikai no to attāluma r līdz lodes centram. Parasto diferenciālvienādojumu nelineāras robežproblēmas 5. un 6.lekcija 1. Robežproblēmas diferenciālvienādojumiem ar neintegrējamām singularitātēm 1.1. Emdena - Faulera tipa vienādojumi Piemērs 5.1.

Διαβάστε περισσότερα

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΙ

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΙ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΙ Παράδοση 4 Ολιγοπωλιακός ανταγωνισμός Εισαγωγή: η αποτελεσματικότητα των τέλεια ανταγωνιστικών αγορών Σημαντική υπόθεση πίσω από την αποτελεσματικότητα των αγορών: Τέλειος ανταγωνισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ABCDA EF A A D A ABCDA CA D ABCDA EF

ABCDA EF A A D A ABCDA CA D ABCDA EF ABCDAEF BABC FDDDDABCBABAC BBCABCADB AADAABCDACAD ABBFADAABA ABBFA AAFAB ABCDAEF AAABBA AA CADA BABA AA DA ABCDAEF BABC FDDDDABCBABAC BBCABCADB AADAABCDACAD ABBFADAABA CAA BABADFAAFAB BCAFAB ABCDAEF AAABBA

Διαβάστε περισσότερα

1. Testa nosaukums IMUnOGLOBULĪnS G (IgG) 2. Angļu val. Immunoglobulin G

1. Testa nosaukums IMUnOGLOBULĪnS G (IgG) 2. Angļu val. Immunoglobulin G 1. Testa nosaukums IMUnOGLOBULĪnS G (IgG) 2. Angļu val. Immunoglobulin G 3. Īss raksturojums Imunoglobulīnu G veido 2 vieglās κ vai λ ķēdes un 2 smagās γ ķēdes. IgG iedalās 4 subklasēs: IgG1, IgG2, IgG3,

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Answers to practice exercises

Answers to practice exercises Answers to practice exercises Chapter Exercise (Page 5). 9 kg 2. 479 mm. 66 4. 565 5. 225 6. 26 7. 07,70 8. 4 9. 487 0. 70872. $5, Exercise 2 (Page 6). (a) 468 (b) 868 2. (a) 827 (b) 458. (a) 86 kg (b)

Διαβάστε περισσότερα

! " #! $ % & $ ' ( % & # ) * +, - ) % $!. /. $! $

!  #! $ % & $ ' ( % & # ) * +, - ) % $!. /. $! $ [ ] # $ %&$'( %&#) *+,-) %$./.$ $ .$0)(0 1 $( $0 $2 3. 45 6# 27 ) $ # * (.8 %$35 %$'( 9)$- %0)-$) %& ( ),)-)) $)# *) ) ) * $ $ $ %$&) 9 ) )-) %&:: *;$ $$)-) $( $ 0,$# #)$.$0#$ $8 $8 $8 $8,:,:,:,: :: ::

Διαβάστε περισσότερα

Mixed Distributions = + k k. = n. k k k. ρ k Χ Χ ] e [ ] Χ i

Mixed Distributions = + k k. = n. k k k. ρ k Χ Χ ] e [ ] Χ i p d d Mxd Dstrbutos ρν ( ( ρ Ν( ρ ( ρ ρ ρ ( L ( ρ [ ρ ( ( ρ ( ]! " # $&% ' * - 3 4&5 6 7 8 9: ;A@CB < DFE G IKJLNM OFP QRS TU V S WTNX ρ Y[Z!\LZ!]^]`_ ab!c L! d!! ρ ( ρ Ρ( ρ ρ gh Cḧ l l ρ log L ρ log!

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Άσκηση Φ4.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 8ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 701-800 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης

Διαβάστε περισσότερα