FIABILITATEA SISTEMELOR INFORMATICE

Transcript

1 FLOAREA BAICU FIABILITATEA SISTEMELOR INFORMATICE (MODUL DE CURS)

2 Cupris CAPITOLUL Cocepe geerale referioare la fiabiliae.. Defiirea fiabiliăţii.. Obiecive ale fiabiliăţii î ciclul de viaţă al sisemelor.3. Defecări. Tipuri şi evoluţie.4. Fiabiliaea facorului uma.5. Evoluţia î imp a defecelor.6. Tipuri de îcercări peru esimarea fiabiliăţii CAPITOLUL Fucţii specifice fiabiliăţii, meeaţei şi dispoibiliăţii.. Fucţii specifice fiabiliăţii... Fucţia de fiabiliae, ( )... Probabiliaea de defecare, ( )..3. Desiaea de probabiliae a impului de fucţioare fără defecare, ( )..4. Raa de defecare, ( ) sau λ( )..5. Media impului de fucţioare pâă la defecare,..6. Deviaţia sadard, ( ) şi dispersia ( )..7. Cuaila impului de fucţioare,..8. Ierdepedeţa fucţiilor specifice fiabiliăţii.. Idicaori peru fiabiliaea sofware... Fucţia de fiabiliae, ( )... Raa de maifesare a erorilor sau desiaea de defecare, ( )..3. Cuaila impului de execuţie,..4. Numărul de erori remaee, ( )..5. Duraa medie de fucţioare pâă la defecare..6. Idicaori idirecţi, specifici fiabiliăţii previzioale a programelor.3. Merici ce descriu fiabiliaea sofware.4. Meeaţa CAPITOLUL 3 Pricipalele legi de disribuţie saisică specifice fiabiliăţii 3.. Tipuri de disribuţie saisică 3.. Disribuţia biomială 3.3. Disribuţia Poisso

3 3.4. Disribuţia ormală (Gauss-Laplace) Fucţia de disribuţie ormală Disribuţia ormală ormaă Valoarea medie şi dispersia uei variabile cu disribuţie ormală 3.5. Disribuţia expoeţială 3.6. Disribuţia log-ormală CAPITOLUL 4 Sudiul fiabiliăţii sisemelor pe baza blocurilor logice de fiabiliae 4.. Defiirea sisemelor complexe 4.. Dezvolarea modelului diagrame bloc de fiabiliae 4.3 Tpuri de coexiui Siseme de ip serie Siseme de ip paralel 4.4 Arbori de eveimee Cocepe de bază referior la arbori de eveimee Descrierea şi srucura grafică a arborelui de defecare Evaluarea fiabiliăţii sisemului sisemului uilizâd arbori de defecare CAPITOLUL 5 Meoda laţurilor Markov peru fiabiliaea sisemelor 5.. Defiirea laţului Markov 5.. Maricea sărilor de raziţie 5.3. Exemplu de calcul 5.4. Eapele aplicării meodei laţurilor Markov CAPITOLUL 6 şi 7 Nu fac pare di modulul di curs CAPITOLUL 8 Meode de esimare şi validare a idicaorilor de fiabiliae 8.. Valori esimae ale idicaorilor de fiabiliae 8... Valori eoreice (adevărae) şi esimae 8... Calculul valorilor esimae ale idicaorilor de fiabiliae Caracerisicile esimărilor pucuale 8.. Meode de esimare pucuală a paramerilor saici specifici fiabiliăţii 8... Meoda verosimiliăţii maxime (maximum likelihood mehod) 8... Meoda liiarizării Meoda momeelor Meoda celor mai mici părae

4 8.3. Meoda iervalelor de îcredere peru esimarea paramerilor saisici specifici fiabiliăţii 8.4. Tese de verificare şi validare a ipoezelor saisice Tesul Kolmogorov-Smirov Tesul χ Tesul secveţial al lui Wald CAPITOLUL 9 Fiabiliaea previzioală sofware 9.. Modele de fiabiliae sofware şi idicaori 9.. Tehici peru îmbuăăţirea sofware-ului bazae pe ciclul de viaţă al defecului sofware 9.3. Modele srucurale peru fiabiliaea sofware 9.4. Tehici şi modele peru siseme sofware olerae la defecări 9.4. Blocuri cu resabilire 9.4. Srucuri N-versioale 9.5. Tese de accepare a rezulaelor CAPITOLUL Modele peru fiabiliaea sofware î faza de esare şi operare.. Geeraliăţi.. Modele bazae pe impul mediu dire defecări... Modelul Jeliski-Morada... Modelul Goel-Okumoo I..3. Modelul Lilewood..4. Modelul Schick -Wolvero.3. Modele bazae pe umărarea defecelor.3.. Modelul Musa.3.. Modelul Shahikumar.3.3. Modelul Goel-Okumoo II.4. Validarea fiabiliăţii programelor.4.. Eape î validarea fiabiliăţii uui program.4.. Meode grafice CAPITOLUL Probleme specifice de fiabiliae hardware.. Defece specifice sisemelor hardware.. Fiabiliaea circuielor iegrae VLSI.3. Fiabiliaea memoriilor semicoducoare.3.. Defecarea memoriilor semicoducoare.3.3. Modaliăţi de îmbuăăţire a fiabiliăţii memoriilor semicoducoare

5 .4. Fiabiliaea microprocesoarelor.4.. Aspece specifice privid fiabiliaea microprocesoarelor.4.. Auoesarea microprocesoarelor.4.3. Facori de care depide fiabiliaea microprocesoarelor.4.4. Căi de îmbuăăţire a fiabiliăţii microprocesoarelor Screeig Procesoare olerae la erori raziee

6 Capiolul. CONCEPTE GENERALE REFERITOARE LA FIABILITATE.. Defiirea fiabilăţii Fiabiliaea sisemelor ehice ese defiiă ca fiid probabiliaea ca u sisem să-şi îdepliească fucţia proiecaă u ierval de imp specifica, î codiţii de uilizare presabilie. Î acesă defiiţie su paru elemee cheie:. Fiabiliaea ese defiiă ca probabiliae, peru că defecarea sisemului ese u feome îâmplăor, poaă să apară oricâd şi poae fi descrisă umai de fucţii specifice probabiliăţilor. Nu puem obţie cu ceriudie iformaţii despre defecări idividuale, cauze sau relaţii îre defecări, ci umai cu o aumiă probabiliae. Fiabiliaea ese o şiiţă sohasică, care pemie esimarea saisică a comporării î imp a sisemelor cu ajuorul probabiliăţilor, şi î special al probabiliăţilor codiţioae. La îcepuuri a exisa iluzia că ese posibilă previziuea ceră a fucţioării uui sisem şi au fos umeroase cerceări î aces domeiu. Experieţa acumulaă î imp a ifirma o asemeea posibiliae şi a obliga la o abordare mai realisă, mai apropiaă de comporameul real, cocreizaă pri aaşarea uui aumi ivel de iceriudie (sau de îcredere) referior la gradul de îdepliire a serviciului î cursul iervalului de imp ceru. Probabiliaea de buă fucţioare (succesul misiuii) poae fi foare apropiaă de ceriudie, dar iciodaă %, sigur, exisă îodeaua u aumi risc de isucces, de preferiţă foare mic, idifere de câ s-ar ivesi î fiabiliae.. Fiabiliaea ese corelaă cu fucţia proiecaă, adică cu realizarea umai a acelei fucţii avue î vedere la coceperea sisemului, îaie de dezvolarea sa. Sisemul ca asamblu rebuie să fucţioeze fără defecare, deşi po exisa compoee ale sisemului care se po defeca, fără că fucţia proiecaă a sisemului să fie afecaă. Acese compoeele po fi îlocuie îaie de defecare î coformiae cu aumie crierii presabilie şi program de meeaţă (ex. sursele de alimeare, veilaoare, aumie module fucţioale). 3. Fiabiliaea se se referă la o buă fucţioare îr-u aumi ierval de imp, î afara acesui ierval sisemul puâd să fie fucţioal sau u. Peru aumie siseme impul poae fi îlocui cu umăr cicluri de uilizare sau de rulări. Se foloseşe emeul de ciclu de viaţă sau duraă de viaţă. 4. Fiabiliaea ese resricţioaă de codiţiile presabilie peru operare, codiţiile cocree de mediu ier şi exer î care fucţioează sisemul şi care rebuie defiie explici. Ese aproape imposibil şi efezabil să proiecezi şi realizezi u sisem care să fucţioeze î orice codiţii, de exemplu î deşer, la pol sau î spaţiu, îr-o cerală ucleară sau îr-u submari. La fel de imposibil ese să gâdeşi u program peru compuer care să rezolve orice problemă maemaică şi să poţi ţie seama de oae combiaţiile posibile de dae de irare. Dacă sisemul ese uiliza î ale codiţii de mediu decâ cele avue î vedere la proiecarea şi fabricarea sa, fucţioarea lui poae fi grav perurbaă. 7

7 Maemaic, fiabiliaea se exprimă cu ajuorul fucţiei de fiabiliae (reliabiliy fucio) R( ) şi repreziă probabiliaea ca î iervalul (, ) sisemul să fucţioeze fără să apară defece []: p ( ) P ( < T ) R ( ), (..) ude: p ( ) probabiliaea de buă fucţioare; variabila imp; T limia specificaă a duraei de fucţioare, respeciv duraa de fucţioare pâă la defecare; Auci câd e referim la fiabiliaea uui sisem ehic rebuie să e referim la oae părţile compoee ale acesuia care au fiabiliăţi diferie. Compoeele uui sisem ehic po îsema echipamee fizice, hardware, sofware, ierfeţe, coexiui, operaor uma, proceduri de uilizare şi u î ulimul râd, îfrasrucura supor. U sisem rebuie să fie echilibra di puc de vedere al fiabiliăţii: oae compoeele sale rebuie să aibă ivele de fiabiliae comparabile, alfel cea mai efiabilă compoeă deermiă fiabiliaea sisemului, ea ese veriga cea mai slabă a laţului. Fiabiliaea uui sisem poae fi sporiă folosid diferie ehici speciale pe care le vom prezea î capiolele urmăoare. Di sudiile de specialiae se poae cosidera că î defecarea sisemelor de calcul, defecarea hardului repreziă u proce de 9%, a sofului 4% î imp ce facorul uma (proceduri icorece sau icorec aplicae) geerează 49% di defecări, acele de vadalism %, accidee de mediu %, suprasoliciarea 6%. Î acesă care e vom ocupa de fiabiliaea hardware şi sofware, de modelele care descriu defecarea acesora, meode de evideţiere a defecărilor, măsurare a paramerilor şi îmbuăăţirea idicaorilor de fiabiliae. Toţi facorii care iflueţează fiabiliaea sisemelor au caracer aleaor; di aces moiv fudameul maemaic al eoriei fiabiliăţii îl cosiuie eoria probabiliăţilor şi saisica maemaică. Daele ce pri prelucrări maemaice permi esimarea perioadei de buă fucţioare se obţi fie pri îcercări accelerae riguros proiecae, fie di fucţioarea reală a sisemelor, cu codiţia ca acese dae să fie corec colecae şi suficiee... Obiecive ale fiabiliăţii î ciclul de viaţă al sisemelor Teoria fiabiliăţii se cosruieşe pe baza daelor referioare la defecarea sisemului şi compoeelor acesuia. Defecarea ese procesul de pierdere a capaciăţii sisemului (sau compoee ale sisemului) de a-şi realiza fucţia proiecaă. Fiabiliaea ca şiiţă are ca obiec: - aprecierea caiaivă a comporării sisemelor î imp, ţiâd seama de iflueţa pe care o exerciă asupra acesora facorii ieri şi exeri; - sabilirea meodelor de proiecare, dezvolare, cosrucive, ehologice şi de exploaare peru asigurarea, meţierea şi creşerea fiabiliăţii sisemelor şi compoeelor acesora; 8

8 - sudiul defecelor şi erorilor (al cauzelor, proceselor de apariţie şi dezvolare), al meodelor de preveire a apariţiei defecelor, de remediere a defecelor şi corecare a erorilor; - aaliza fizică a defecelor; - sabilirea modelelor şi meodelor de calcul şi progoză a fiabiliăţii pe baza îcercărilor specifice şi a urmăririi comporării î exploaare a sisemelor; - sabilirea meodelor de selecare şi prelucrare a daelor privid fiabiliaea; - deermiarea valorilor opime a idicaorilor de fiabiliae; - sabilirea uor măsuri corecive peru reducerea riscurilor pe parcursul ciclului de viaţă şi îmbuăăţirea fiabiliăţii. Apecele privi maagemeul şi procedurarea aciviăţilor uilizaorilor sisemului su raae separa î şiiţe oi de exemplu caliae, opimizare securiae şi maageme ielige. Fiabiliaea ese iseparabil legaă de capaciaea sisemului de a fi repus î fucţiue după defecare. Probabiliaea ca sarea de buă fucţioare a sisemului să fie resabiliă pri operaţii adecvae desfăşurae îr-u aumi ierval de imp se umeşe meeabiliae. Asamblul uuror aiviăţilor desfăşurae peru a meţie sau resabili sarea de buă fucţioare se umeşe meeaţă. Exisă siseme care î urma uor operaţii de meeaţă po fi aduse îr-o sare de fucţioare apropiaă de cea iiţială, iar asfel de siseme se umesc siseme cu resabilire sau reparabile (umie şi siseme cu reîoire) şi siseme care u mai po fi aduse î sarea de buă fucţioare pri ici u program de meeaţă. Asfel de siseme se umesc siseme ereparabile. Fiabiliaea sisemelor rebuie avuă î vedere î îreg ciclu de viaţă al sisemului. Ciclul de viață al oricărui sisem, iclusiv al sisemelor iformaice, cosă îr-o îlăţuire de eape care se succed dar se şi suprapu pe aumie perioade. Î accepţiue ieraţioală, eapele ciclului de viaţă ale uui sisem su [UP]:. aaliza ecesiăţii uui sisem: ideificarea ceriţelor şi asepărilor beeficiarilor acesui sisem;. cocepere: sabilirea fucţiilor sisemului; 3. proiecare/dezvolare: realizarea proiecului pe baza ceriţelor ideificae ale beeficiarului referioare la fucţiile sisemului, cu respecarea ceriţelor legale şi celorlale reglemeări legale di domeiu; 4. realizare - realizarea propriu-zisă pe baza proiecului elabora; 5. esarea - uilizâd meode adecvae, iclusiv fucţioarea î codiţii corolae/de laboraor care simulează fucţioarea reală; 6. implemeare, fucţioare/operare î codiţii reale/omiale; 7. verificare, esare, iclusiv validare; 8. îreţiere şi îmbuăățire, meeață - corecarea erorilor care au codus la defecare, up-grade, up-dae; 9. reragere..3. Defecări. Tipuri şi evoluţie U sisem bie proieca, corec realiza, miuţios verifica, judicios uiliza u ar rebui să prezie defecări î fucţioare. Experieţa a arăa ouşi că şi cele 9

9 mai bue siseme î codiţiile celei mai corece exploaări u exclud î îregime posibiliaea apariţiei uor defece î fucţioare. Defecul se poae defii ca o aomalie î fucţioarea corecă a uui sisem. Îcearea capaciăţii uui sisem de a îdeplii fucţia specificaă (proiecaă) poară deumirea de cădere sau defecare. Defecarea poae să îseme că cel puţi ua di performaţele sisemului a ieşi di limiele specificae. Performaţele sisemului su relevae faţă de o aume aplicaţie, iar a ţie seama de oae performaţele sisemului, chiar peru u sisem simplu, ese exrem de dificil. Defecarea poae fi rezulaul uui proces coiuu de variaţie a performaţelor sisemului sau al modificării bruşe a valorii uei performaţe, sarea de defecare aflâdu-se îr-u rapor de coiuiae sau discoiuiae faţă de sarea de buă fucţioare a sisemului. Idifere de modul de variaţie al performaţelor sisemului, defecarea ese u proces aleaor. Toae modelele maemaice ale fiabiliăţii su de ip sohasic, asfel îcâ previziuea comporării viioare a uui sisem, bazaă pe cuoaşerea evoluţiei sale di recu şi a srucurii sale, poae fi făcuă umai pe baza eoriilor specifice probabiliăţilor, cu u aumi ivel de îcredere, cu u ivel accepa de iceriudie. Cauzele care po deermia defecarea po fi daorae proiecării, fabricaţiei şi/sau uilizării sisemului. Defecarea ese provocaă pri depăşirea uor sări limiă, care se maifesă sub forma ruperii uei compoee, apariţiei uui scurcircui sau erori î program ec., mecaismul defecării puâd fi de aură fizică, chimică sau de ală aură. Exisă prire specialişi şi opiia coform căreia u orice mică defecţiue cosiuie o defecare, îrucâ exisă defecţiui care u împiedică îdepliirea fucţiilor de bază ale produsului. Fiabiliaea sofware repreziă probabiliaea ca sofware-ul să u producă defecarea uui sisem care uilizează calculaorul îr-u aumi ierval de imp şi î codiţii specificae [6, 34]. Ese legaă de abiliaea sofului de a rula cum și câd ese ecesar î momeul iegrării î sisem. Defecarea sofului u ese similară cu cea a hardului, ese u eveime cauza de pierderea abiliății de realizare a uei fucții sof î limiele specificae şi se defieşe ca maifesarea uui defec î sof care poae împiedica realizarea performaței cerue, face să se obţiă rezulae eaşepae î fucţioarea acesuia, discrepațe îre valorile obţiue și cele specificae sau corece di puc de vedere eoreic. Defecările sofului apar î mod aleaoriu î operarea sisemului și po survei oricâd î impul ciclului de viață al sisemului. Auci câd apar su sisemaice și au caracerisici similare. U defec sof repreziă icapaciaea uui sof de a opera di cauza erorilor. U defec sof rămâe lae pâă câd ese aciva î aumie circumsațe de fucțioare și î mod ormal devie iaciv câd acese circumsaţe u mai exisă. U defec sof poae cauza defecarea sisemului. Eroarea sof ese o ese de obicei produsă de acțiuea greşiă a uui programaor î impul codificării sau de ierprearea greșiă de căre programaor a cerițelor specificației sof, raducerea icorecă (compilarea) î limbajele specifice sau omieri ale cerițelor î specificația de proiecare.

10 Î mod uzual se folosese ermeul de eroare aâ peru o acţiue greşiă câ şi peru maifesarea greşelii î program. Referior la fiabiliaea sofware (a programelor), preocupările au fos direcţioae spre elaborarea uor programe câ mai bue, care să u coţiă erori, excluzâd posibiliăţile ca u program foare bu să se defeceze î ipul ciclului de viaţă, să apară erori oi î impul uilizării uui aumi sofware [45, 8].Pe parcursul acesei cărţi peru sofware vom folosi frceve ermeul sof. Î domeiul programelor defecarea cosă î puerea î evideţă a uei erori laee coţiue î program şi care u se daorează uzurii. Daoriă fapului că o aumiă cofiguraţie de dae, care pue î evideţă eroarea, apare după u ierval de imp aleaor de esare sau uilizare, defecările sofware-ului po fi raae ca eveimee aleaoare, care se produc de-a lugul uui ierval de imp. Î cazul programelor defecarea repreziă maifesarea uei erori prezee î program şi care ese deecaă pri: - mesaje de eroare de execuţie; - o duraă de execuţie efiiă a programului; - obţierea uui rezula clar eroa, î afara domeiului. S-a demosra că î imp, chiar îr-u program foare bu, elabora la firme mari se specialişi recuoscuţi şi miuţios verificae au apăru defece. Progoza defecării uui program ese afecaă de două surse de iceriudie: - variabiliaea daelor de irare şi lipsa uei aumie legi de succesiue a acesora; - variabiliaea programelor care po implemea o aceeaşi fucţie, respeciv variabiliaea raţioameelor peru rezolvarea uei probleme. Elemeele eseţiale î defiirea defecării sofware, coform IEEE (ANSI) 98. di 988 [34] su: eroarea (error), eregula (faul, bug), defecul (defec) şi defecarea sau căderea (failure). Moiorizarea fucţioării uui sisem de calcul implică aâ parea sofware câ şi parea hardware, operaorul uma şi mediul de lucru. Deseori, ieracţiuile dire acese părţi po coduce la defecări chiar î abseţa uor defece localizabile î vreua dire ele. De aceea, ese impora să se ia î cosiderare asamblul om-maşiă, forma di hardware (HW), sofware (SW) şi persoalul uilizaor, facorul uma (FU). Defecarea sisemului se poae produce di cauza uor malfucţioări ale sofware-ului chiar dacă acesa u coţie defece dar ese uiliza ecorespuzăor. O variaă de clasificare a defecelor sofware ese urmăoarea [,6]: a) defece ale specificaţiilor: - dae icomplee sau icosisee; - defece de ierfaţă îre hard, sof şi uilizaor; b) defece ale proiecului: - descriere icorecă; - defiirea icompleă a daelor; - ierprearea greşiă a ceriţelor; - corol logic sau descriere logică icompleă; - lipsă de comuicare; - proceduri icomplee de ideificare a posibilelor erori;

11 - aplicarea de sadarde ieşie di uz. c) defece de programare, de codare: - de logică; - compuaţioale; - de prelucrare; - de ierfaţă; - de comeariu; d) defece iserae la compilare: compilare icorecă, ierfeţe eadecvae; e) defece de documeare: defece î documeele care îsoţesc produsul sofware. f) defece iroduse î impul meeaţei: - corecare cu apariia uei ale erori Di puc de vedere caiaiv se cosideră două ipuri de erori î execuţia uui program: - eroarea de discrimiare, pri care o aumiă valoare de irare ese prelucraă pe o ală cale; - eroare de omisiue, pri care o valoare de irare ese prelucraă î mod iadecva pe ua di căile exisee, î program efiid prevăzuă o cale peru prelucrarea corecă..4. Fiabiliaea facorului uma Fiabiliaea umaă se poae defii ca probabiliaea realizării cu succes de căre om a uei aciviăţi sau sarcii î orice sadiu de operare a sisemului, îr-o limiă de imp specificaă. Porid de la premisa că sudiul fiabiliăţii se realizează uilizâd procese sohasice î care decizia facorului uma ese subiecivă, ese aboslu obligaoriu să se ţiă seama de facorul uma î validarea rezulaelor obţiue. Teoria deciziilor reale ese o ramură a psihologiei care sudiază comporarea persoaelor reale î siuaţii ideale. Nu ieresează modul real de luare a deciziilor reale de căre persoae reale, ci modul raţioal î care ar acţioa u subiec idealiza. Prima codiţie de raţioaliae ese coereţa srică, respeciv repariţia apriori cosideraă să acopere oae valorile adevărae ale paramerului, adică uuror valorilor adevărae ale paramerului să li se asocieze o probabiliae apriori, asfel îcâ oae deciziile privid aces parameru să u fie eroae. A doua codiţie ese codiţia de simerie, respeciv peru aceleaşi iformaţii prelucrae de aalişi diferiţi să rezule repariţii apriori ideice, reducâd la miimum subieciviaea aalisului. A reia codiţie se referă la modul de combiare a iformaţiilor apriori cu rezulaele experimeale, respeciv la fapul că umai rezulaele experimeale să iflueţeze decizia aalisului. Peru aciviaea de ip coiuu, impul mediu pâă la eroarea umaă - MTHE (Mea Time o Huma Error), poae fi esima pe baza relaţiei: MTHE exp[ h( ) dτ] τ d (.4.) ude: h(τ) ese raa erorii umae iar τ ese impul. Raa erorii umae se poae deermia experimeal şi poae fi cosaă sau poae avea o disribuţie expoeţială, Weibull, ormală, gama, Poisso ec.

12 Facorul uma iervie la oae fazele de dezvolare a uui sisem fie că ese mecaic, elecric, ehic, social sau sofware, î oae eapele ciclului de viaţă ale sisemului: la ivelul ideificării ceriţelor, coceperea şi proiecarea lui, realizare şi esare î exploaare precum şi la culegerea daelor di exploaare sau îcercări, î vederea sudierii şi îmbuăăţirii fiabiliăţii sisemului. Cocluziile specialişilor spu că aproximaiv 4% dire defecţiui su daorae direc erorilor umae, iar peru echipamee complexe (CNE, aerospaţial) coa ajuge la 7-8%. O pare di erorile umae su daorae cocepţiei, fabricaţiei sau isalării la locul de expolaare al sisemului. O serie di acese erori po fi corecae î diferie eape ale corolului de caliae, la verificările iermediare şi fiale, î impul îcercărilor de puere î fucţiue precum şi î prima perioadă de fucţioare a sisemelor. Î exploaare, cele mai mule şi imporae erori se daorează persoalului. Erorile umae po fi grupae î două mari caegorii: erori ehice şi psihologice. Nu e vo referi la erorile iroduse cu rea voiţă. a) Erori ehice po fi î cocepere şi proiecare, exploaare, îcercări sau meeaţă. Erorile umae î faza de cocepere/ proiecare po fi: - eîţelegeri ale ceriţelor: - comuicare icorecă îre specialişii implicaţi; - descrieri icompee sau icorece ec. Erorile umae î exploaare po fi: - maevre greşie î urma uor idicaţii greşi aplicae sau eaplicae, uor iformaţii greşi iercepae sau uor feomee rău îţelese; - alarme eglijae sau greşi ierpreae ca fiid o defecare a sisemului de alarmă; - rasmiere greşiă de coseme îre persoae; - uilizarea de coseme icomplee sau perimae; Erori umae î impul îcercărilor periodice - îcercări periodice eefecuae sau greşi efecuae, erori de ealoare şi reglaj; - uilizarea de proceduri de îcercare icomplee sau perimae; - eglijarea sau uiarea de a efecua aumie operaţii, care fac ca sisemul să se afle la fiele îcercării îr-o sare diferiă de cea prevăzuă. Erori umae î impul operaţiilor de meeaţă - proceduri de îreţiere erespecae; - uilizarea de proceduri icomplee sau perimae; - eglijarea sau uiarea de a efecua aumie operaţii care fac ca la sfârşiul operaţiei de meeaţă sisemul să u fie î sarea prevăzuă. b) Erori psihologice Erorile psihologice ale operaorului uma se po clasifica î: erori de omisiue (de memorie, de aeţie) şi erori pasive (de ideificare, de ierpreare, de operare). Erori de omisiue po provei de la oboseală şi de la lipsa de areame profesioal. Memoria poae fi ajuaă pri isrucţiui de lucru scrise şi afişae la locuri vizibile, idicarea de ivele limiă, codiţii criice. Aeţia poae fi ajuaă de diferie forme de afişare, iclusiv pri uilizarea culorilor de cod, a semalelor audiive sau a oricăror ale semale. Exisă ediţa de a reduce dimesiuile şi umărul de aparae de pe paouri şi di camerele de comadă şi de a uiliza ecrae coceraoare. 3

13 Erorile pasive po fi: a) Erori de ideificare care depid aâ de cocepţie câ şi de uilizaor sau operaor. Tesarea psihologică a operaorului uui sisem complex ese absolu ecesară. Ideificarea poae fi ajuaă pri divizarea voiă a paourilor de comadă, asfel ca grupuri de aparae, lămpi de semalizare, buoae care deservesc o zoă sau asigură o aumiă fucţioaliae să poaă fi grupae corespuzăor. Schemele meomice servesc şi ele aces scop. b) Erori de ierpreare au loc pri îţelegerea greşiă de căre operaor a uor iformaţii afişae sau a uor iscripţii (scale, deumiri ec.) şi î coseciţă pri acţioarea îr-u mod impropriu. Culoarea diferiă a uor iscripţii, marcarea specială a uor descripori alfa-umerici, ilumiarea uor iformaţii scrise ajuă la eviarea uor asfel de erori. c) Erori de operare su cele la care mişcarea cu rol de corol (reglaj) ese improprie î rapor cu efecul dori cauzele su similare cu cele de mai sus, coseciţele po fi foare grave. Î vederea dimiuării efecului facorului uma î scăderea fiabiliăţii se impu o serie de acţiui, respeciv măsuri peru proiecarea şi cosrucţia sisemelor care implică: - efecuare a secveţelor operaţioale î mod câ mai facil, ueori pri realizarea uor modele asociaive meal care să câşige aeţia operaorului; - elimiarea ecesiăţii de a ierprea o iformaţie afişaă sau scrisă; - mişcările şi eforurile psihice să fie gâdie câ mai ergoomic. Peru a preîâmpia reziseţa pasivă a persoalului se impue: - crearea uei amosfere plăcue de lucru şi de cooperare; - sabilirea uui scop comu, recuoscu şi accepa; - elaborarea de sarcii şi resposabiliăţi specifice; - urmărirea modului î care progresează îdepliirea scopului propus. Comporameele umae se po ameliora pri obţierea de saisfacţii morale şi maeriale pri aalize de comporame şi eficieţă, pri selecţia persoalului (iclusiv pri chesioare de agajare, probe de lucru, ese psihologice sau ale meode). Pricipalele mijloace dispoibile peru a miimiza frecveţa erorilor umae su: - luarea î cosiderare a operaorului uma îcă di faza de cocepţie; - puerea la puc a uor reguli de uilizare şi îreţiere care să reducă dificulăţile de ierpreare şi de aplicare (livrarea sisemului împreuă cu o isrucţiui de isalare şi uilizare) - corolul caliăţii î oae fazele (de proiecare, isalare, exploaare, scoaere di uz), exiseţa isrucţiuilor de lucru la locul efecuării operaţiei, afişarea regulilor de urma; - isruirea permaeă a persoalului agaja; - îmbuăăţirea coiuă a ivelului isruirii ; - îmbuăăţirea a mediului de lucru. Î realizarea uei aalize a fiabiliăii umae (HRA-Huma Reliabiliy Aalysis) se ţie seama că omul operează asupra eiăţilor caliaive şi realizează esimări posibile (comporame de ip fuzzy): - iegrarea ehologiilor oi î siseme complexe deermiă ca daele experimeale asupra fiabiliăţii sisemului să fie isuficiee, caz î care se apelează la dae previzioale de fiabiliae. 4

14 - operaorii sisemelor complexe su isruiţi şi educaţi la u ivel ridica. - mare pare di crieriile de decizie su caliaive, cu scală diferiă de la u caz la alul şi u po fi comparae direc. Exisă umeroase preocupări peru u maageme ielige şi aaliză a fiabiliăţii umae di perspeciva implicării coşiee şi resposabile a persoalului î exploaarea sisemelor, limiarea acţiuilor care po geera erori şi defecări..5. Evoluţia î imp a defecelor Prezeţa defecărilor î diferie eape di viaţa sisemelor ese diferiă î fucţie de eapa di ciclul de viaţă, de ipul şi complexiaea sisemului. La ivel ieraţioal, î lieraura de specialiae, peru perioada de fucţioare ese uaim cosideraă peru evoluţia de ip a raei de defece a aşa umiei curbe de forma cadă de baie - bahroom curve prezeaă î figura. Coform acesei reprezeări î ciclul de viaţă al uui sisem se po cosidera rei perioade disice. Prima perioadă o cosiuie perioada iiţială (de moraliae ifailă, de rodaj, de maurizare) perioadă î care defecările au o frecveţă ridicaă. Elemeele compoee care se defecează î aceasă perioadă su elemeele cele mai slabe, cu vicii ascuse care se defecează chiar de la primele soliciări. După elimiarea acesor defecţiui iiţiale, precoce, defecţiuile se vor produce di ce î ce mai rar. Di aces moiv, aumie echipamee se livrează cosumaorilor după o perioadă iiţială de rodare, de esare, î care are loc "puerea la puc", perioadă î care echipameele su puse î fucţiue î codiţiile omiale specificae iar sofurile se vâd după ce variaa β a fos oferiă liberă pe piaţă şi a fos uilizaă de mai mulţi uilizaori, care au rimis observaţii referior la bua fucţioare. Î aceasă perioadă caracerisicile de fiabiliae ale uui sisem se îmbuăăţesc. Peru dispoziivele semicoducoare acese defecări se elimiă î impul perioadei de ardere, pri proba umi "bur-i" realizaă de producăor îaiea vâzării acesora. Peru produsele sof o pare di erorile di perioada de dezvolare a codului su elimiae î impul esării "variaei β" de căre uilizaori ieresaţi. Figura.. Variaţia ipică î imp a raei de defecare, curba "cadă de baie" 5

15 Perioada a II-a, perioada ormală de fucţioare (de mauriae ) repreziă perioada pricipală de fucţioare, cu duraa cea mai lugă. Caracerisica geerală a acesei perioade o cosiuie frecveţa redusă a defecărilor şi ivelul relaiv cosa al raei de defecare. Defecări apar şi î aceasă perioadă, ele îsă u po fi prevăzue. Nu rebuie făcuă cofuzie îre acese defecţiui şi eveualele îlocuiri periodice daoriă uzurii care ţi de programul de meeaţă al sisemului. Defecele di perioada de mauriae au u caracer accideal, aleaor, î geeral cosa. Aceasa ese perioada î care se efecuează sudiile privid fiabiliaea. Îaiea îceperii uui sudiu de fiabiliae ese ecesar să se eseze dacă respecivul sisem se află î perioada ormală de fucţioare. Perioada a III-a, perioada fială (de uzură, aşa umia "bărâeţe") se caracerizează prir-o creşere bruscă a frecveţei defecărilor daoriă uzurii accelerae a sisemului (degradare). Î acesă perioadă caracerisicile de fiabiliae se îrăuăţesc rapid. Peru mule siseme ehice, iclusiv peru sof, aceasă perioadă u se aige î pracică, ele uzâdu-se moral îaie de uzură şi îlocuie cu alele cu caracerisici superioare. Exiderea î imp a celor rei perioade variază î fucţie de aura sisemului..6. Tipuri de îcercări peru esimarea fiabiliăţii Esimarea paramerilor de fiabiliae ai sisemelor, oricâ ar fi de complexe se face pe baza idicaorilor de fiabiliae ale uuror elemeelor compoee ale sisemelor şi coexiuilor dire acesea, Idicaorii de fiabiliae ai compoeelor avue î vedere la proiecarea sisemului rebuie cuoscuţi. Î calculul fiabiliăţii sisemului rebuie să se ţiă seama şi de rolul şi locul pe care îl ocupă î cadrul sisemului, de gradul de soliciare al compoeei î cadrul sisemului, de criiciaea ei î fucţioarea corecă a sisemului. Idicaorii de fiabiliae ai compoeelor se po esima fie pe baza urmăririi î imp a fucţioării şi defecării compoeelor respecive î diferie siseme, î aceleaşi codiţii de soliciare şi de mediu (fiabiliae operaţioală), fie pri îcercări î laboraor (fiabiliae experimeală sau empirică). Ambele meode su laborioase şi scumpe, chiar dacă s-ar puea crede că urmărirea î imp a fucţioării u presupue cosuri suplimeare. Îregisrarea corecă a daelor presupue complearea uor formulare bie gâdie de căre operaori isruiţi şi coşieţi de fapul că dae icomplee sau icorece deformează rezulaul sudiului. O codiţie eseţială peru esimarea fiabiliăţii uui sisem o repreziă coiuiaea variaţiei performaţelor sale. Ese evoie ca peru fiecare siuaţie î care performaţa relevaă are o evoluţie î repe sau î saluri, să se găsească o variabilă măsurabilă, corelaă direc cu performaţa de ieres şi care să aibă o variaţie coiuă. Peru orice mecaism de defecare, se poae găsi o ecuaţie a defecării, care, pri rasformări coveabile, poae fi liiarizaă, asfel îcâ ecuaţia performaţei să poaă fi scrisă î forma [8, ]: 6

16 + y ( ) A B( ) d, (.6.) ude: B () raa isaaee de variaţie, A valoarea iiţială a performaţei. Dacă A şi B() su perfec cuoscue, duraa de fucţioare pâă la defecare poae fi sabiliă î mod deermiis, egalâd expresia (.6.) cu valoarea limiă a performaţei y. Dar A şi B ( ) u su riguros deermiae, ele fiid variabile aleaoare, previziuea defecării sisemului ese probabilisă, asfel îcâ u po fi cuoscue exac şi simula valoarea iiţială a uui parameru şi modul (paa) de variaţie a acesora. Probabiliaea repreziă gradul de îcredere raţioală a realizării uui posibil eveime; u e ceriudie. Fapul că fucţia de fiabiliae a uui sisem î iervalul + are valoarea R afirmă că probabiliaea îdepliirii cu succes a uei misiui de duraă ese egală cu R. Îcercările de fiabiliae se po face î scopul: - deermiării idicaorior de fiabiliae, - cofirmării (validării) uor idicaori de fiabiliae meţioaţi î documeul ehic ormaiv al compoeei/produsului/sisemului, - sabilirea cauzelor care provoacă defecţiui şi mecaismele de defecare asociae. Pri îcercări de fiabiliae se deermiă idicaori sau fucţii de fiabiliae empirici(e), oae î lieraura de specialiae cu " " sau " " deasupra simbolului. Î fucţie de procedura de îcercare, de duraa îcercării şi umărul de compoee defece admise di o loul supus îcercărilor, se po efecua urmăoarele ipuri de îcercări: îcercări complee, câd îcercarea coiuă pâă câd oae elemeele compoee ale eşaioului s-au defeca, îcercări ruchiae, câd îcercarea ese îrerupă după o aumiă duraă presabiliă, îaie de defecarea uuror elemeelor eşaioului (cesored ype I ess), îcercări cezurae, câd îcercarea se îrerupe după ce s-au defeca u umăr specifica de elemee (cesored ype II ess). Toae acese ipuri de îcercări se po combia îre ele î vederea obţierii rezulaelor î imp uil. Î fucţie de ivelul soliciării î impul îcercărilor de fiabiliae, acesea po fi: accelerae, câd soliciările î codiţii de laboraor su superioare celor di fucţioarea ormală, î vederea scurării impului de îcercare; ormale, î cazul î care ivelul soliciării ese acelaşi cu cel di fucţioarea ormală. De obicei, su îcercările de fiabiliae operaţioală. Meoda geerală de îcercare presupue supuerea uui eşaio de es cu u umăr specifica de elemee, prelevae aleaoriu di loul care urmează a fi caraceriza ("populaţia cosideraă"), la ciclul de îcercare specfica şi apoi îsumarea peru oae compoeele supuse îcercărilor a duraelor relevae de îcercare şi a defecărilor îregisrae, pâă câd se poae lua decizia de îrerupere 7

17 a îcercării, î cazul îcercării ruchiae, sau pâă câd ese ais umărul de defecări presabili peru îcerările cezurae [,, 34, 44, 46]. Pe parcursul îcercărilor ese ecesară efecuarea uor îregisrări sisemaice, care să permiă luarea deciziei corece referioare la îcercări. Acese îregisrări rebuie să cupridă, cel puţi, urmăoarele iformaţii: impul (momeul îceperii îcercărilor, momeele de apariţie a defecărilor ec.), ideificarea elemeelor îlocuie sau resabilie, dealii asupra codiţiilor de soliciare şi de mediu. Pricipalul idicaor de fiabiliae urmări a fi esima pri îcercări ese media impului de fucţioare, m, oa şi cu m şi care poae fi corela fie cu MTBF, fie cu MTTF sau chiar cu raa de defecare. U al idicaor esima ese dispersia impului mediu de buă fucţioare, D sau abaerea păraică medie a impului de fucţioare, σ. Ceilalţi idicaori de fiabiliae po fi deduşi pe baza relaţiilor dire idicaori, relaţii prezeae î capiolul al prezeei cărţi. Îcercările complee po fi efecuae î codiţii reale sau î codiţii simulae [, 3]. Îcercări complee î codiţii reale se fac de producăor, umai câd exisă ceriţe exprese î corac. Î cazul uei îcercări complee, î codiţii simulae, loul de N elemee ese supus îcercărilor pâă la defecarea uuror elemeelor di lo. Aces ip de îcercări se mai umeşe "îcercări pâă la epuizare". Pe parcursul îcercării, peru fiecare eleme defeca se îregisrează impii de defecare, ). Duraa cumulaă de îcercare ese daă de relaţia: ( i N Σ i i T. (.6.) Îcercările complee po avea durae foare mari şi să ecesie cheluieli semificaive, de aceea asfel de îcercări se uilizează mai rar şi umai peru cazul, î care esimarea idicaorilor rebuie să se facă cu o precizie foare mare, cum ese cazul compoeelor uilizae î siseme de securiae (eergeică ucleară, ehică aerospaţială ec.). Peru cazul uzual se folosesc îcercări scurae, respecive cezurae sau ruchiae care po oferi rezulae corece, î imp relaiv scur, cu cosuri rezoabile. Peru îcercările de fiabiliae a sofului se îregisrează umărul de erori care se maifesă pe parcursul duraei de rulare sau îr-u aumi ciclu de rulare dar şi impul dire două defecări succesive. Scopul îcercărilor de fiabiliae ese esimarea umărului de erori exisee î program la momeul iiţial şi predicţia comporării î imp a programului. Peru esimarea fiabiliăţii sofware s-au dezvola modedele speciale. 8

18 Capiolul. FUNCŢII SPECIFICE FIABILITĂŢII, MENTENANŢEI ŞI DISPONIBILITĂŢII.. Fucţii specifice fiabiliăţii Exisă o serie de fucţii specifice fiabiliăţii, iercoecae îre ele, care permi descrierea fiabiliăţii sisemelor, umie şi idicaori de fiabiliae. Peru siseme ehice î geeral, deci şi peru hardware, aceşi idicaori su: fucţia de fiabiliae şi cea de ofiabiliae, disribuţia impului de fucţioare pâă la defecare, raa de defecare, media impului de fucţioare pâă la defecare, dispersia şi abaerea păraică medie, cuaila impului de fucţioare. Peru sofware, acese fucţii se adapează şi compleează cu raa de maifesare a erorilor sau desiaea de defecare, impul de execuţie, umărul de erori remmaee î program după o duraă de esare, umărul de irări/ieşiri pe modul, idicaori Halsead referiori la lugimea volumul şi dificulaea programelor, idicaori de complexiae. Î coiuare vor fi prezeae fucţiile care descriu fiabiliaea sisemelor ehice şi ierdepedeţa dire ele. Fucţiile care descriu fiabiliaea sisemului sofware vor fi prezeae î dealiu î &.... Fucţia de fiabiliae, R( ) (Reliabiliy), repreziă probabiliaea ca u sisem (sau o compoeă a sisemului) să-şi îdepliească corec fucţiile prevăzue pe o perioadă de imp specificaă, î codiţii de uilizare presabilie [,8, 3, 34]: p ( ) P( < T ) R( ), (..) ude: p ( ) probabiliaea de buă fucţioare; variabila imp; T limia specificaă a duraei de fucţioare, respeciv duraa de fucţioare pâă la defecare; R( ) repreziă probabiliaea ca î iervalul (, ) sisemul să fucţioeze fără să apară defece. Fucţia de fiabiliae R ( ) are urmăoarele proprieăţi: - R ( ) deoarece {T > } ese u eveime sigur al experieţei; - R () ese o fucţie descrescăoare; - R ( ) peru, eveimeul {T > } fiid imposibil. Coform eoriei probabiliăţilor se cosideră că probabiliaea de buă fucţioare ese egală cu la momeul îceperii fucţioării, al şi scade î imp, asfel îcâ după u ierval de imp suficie de mare ( ) ajuge asimpoic la. Reprezearea geerală a uei asfel de fucţii ese redaă î figura.. Î capiolul rei al acesei cărţi vom prezea mai mule ipuri de fucţii maemaice cocree, care descriu fiabiliae sisemelor. 9

19 Figura.. Fucţia de fiabiliae... Probabiliaea de defecare, F ( ) (ureliabiliy) se defieşe cu relaţia: F( ) P( T). (..) F () repreziă probabiliaea de defecare a sisemului î iervalul (, ). R () şi F () su fucţii complemeare, fucţia F () umidu-se şi fucţia de ofiabiliae. Maemaic aceasa se scrie: R ( ) + F( ). (..3) Acese fucţii se exclud reciproc, u sisem ese la u mome da, fie fucţioal fie defec. Ele se po uşor subsiui, ueori ese avaajos să discuăm despre probabiliaea de defecare a uui sisem, pri îcercările de fiabiliae se obţi î mod uzual dae despre defecele care se maifesă..-3. Desiaea de probabiliae a impului de fucţioare fără defecare f ( ) (probabiliy desiy fucio), exprimă frecveţa relaivă a defecărilor îr-u ierval de imp da şi se mai umeşe lege de repariţie sau de disribuţie saisică a impului de fucţioare pâă la defecare. Se defieşe cu relaţia: F ( + ) F ( ) df ( ) dr ( ) f ( ) lim. d d (..4)..4. Raa de defecare, z ( ) sau λ( ), descrie probabiliaea de defecare î jurul uui mome da al uui eleme compoe al uui sisem afla î sare de buă fucţioare pâă la acel mome. Coform defiiţiei probabiliăţilor codiţioae se poae scrie: F ( + ) F ( ) f ( ) dr z( ) lim. R( ) R( ) R( ) d (..5) Aceasă relaţie ese valabilă idifere de modul de variaţie î imp a raei de defecare. Uiaea de măsură peru raa de defecare ese iversul uiăţii de măsură a impului, h. Peru compoee elecroice se foloseşe uiaea de măsură FIT (Failure I Time). FIT repreziă u defec care apare după fucţioarea uei compoee imp de 9 h sau după fucţioarea uui lo de compoee imp de 7 h, sau a uui lo de compoee imp de 6 h sau o ală combiaţie îre umărul de compoee şi imp care ajuge la 9 [37].

20 Relaţia dire raa de defecare şi fucţia de fiabiliae rezulă di relaţia..5 scrisă sub forma: R dr( ) z d l R( ). (..5 ) R( ) Peru R. Peru cazul geeral se poae scrie: R ( ) exp ( ). z d (..6) Raa de defecare permie o clasificare a sisemelor după ipul de uzură. U sisem fără uzură are raa de defecare cosaă (RDC), u sisem cu uzură poziivă are raa de defecare poziivă (RDP), iar u sisem cu uzură egaivă are raa de defecare egaivă (RDN). Fucţia de fiabiliae are proprieăţi specifice fiecărui ip de uzură...5. U al idicaor de fiabiliae ese media impului de fucţioare pâă la defecare, m, care se defieşe cu ajuorul relaţiei: m f ( ) d R( ) d exp z( τ ) dτ d, (, ). (..7) Î cazul sisemelor reparabile aces idicaor devie impul mediu îre defecări, MTBF (Media Time Bewee Failures), iar î cazul sisemelor ereparabile devie MTTF (Media Time To Failures)...6. Deviaţia sadard (σ) şi dispersia (D) impului de fucţioare se defiesc cu ajuorul relaţiilor: D ( m) f ( ) d, (..8) σ D. (..9) Acese două mărimi idică gradul de împrăşiere sau de uiformiae a performaţelor idividuale ale uor siseme de acelaşi ip, di puc de vedere al fiabiliăţii. Dacă procesul de fabricare al elemeelor compoee ale uui sisem ese bie corola, valorile lui D şi σ vor fi mici...7. Cuaila impului de fucţioare, α, repreziă impul î care proporţia de elemee defecae dir-u eşaio u depăşeşe o valoare presabiliă α. Ese defii ca rădăciă a ecuaţiei: F ( α ) α. (..) α u depide de imp şi poae fi ierprea ca impul garaa de producăor pâă la aigerea uui aumi proce de defece, u aumi ivel de îcredere garaa de producăor...8. Ierdepedeţa fucţiilor specifice fiabiliăţii Aşa cum se poae obseva, îre fucţiile de fiabiliae exisă relaţii de ierdepedeţa asfel îcâ peru u aumi sisem ese suficie să se esimeze aumie fucţii, ceilelale po fi deermiae pri calcul.

21 Relaţia dire fucţiile R(), F(), f() şi z() ese prezeaă sieic î figura. şi î abelul., (fără a ţie seama de o aumiă formă a fucţiei f()): Figura.. Relaţiile îre fucţiile specifice fiabiliăţii []. F () R () f () z () Tabelul. F () R( ) f ( τ ) dτ exp z( τ ) dτ R () F( ) f ( τ ) dτ exp z( τ ) dτ df ( ) dr ( ) f () z( ) R( ) d d dr ( ) f ( ) f ( ) df( ) z () R( ) d R( ) F( ) d f (τ ) dτ Dacă se cosideră z() λ cosa, relaţiile îre fucţiile specifice de fiabiliae (prezeae î abelul.) se simplifică asfel: R ( ) exp ( λ ), (..) f ( ) λ exp( λ ), (..) m exp ( λ ) d. (..3) λ Peru a caraceriza u sisem care are impusă o aumiă duraă de viaţă sau duraă a misiuii se preferă esimarea fucţiei de fiabiliae sau a fucţiei de repariţie a impului de fucţioare pâă la defecare. Peru ale siseme ese preferabil să se esimeze media impului de fucţioare sau raa de defecare, ceilalţi idicaori urmâd a fi calculaţi î fucţie de ecesiăţi. O sieză a idicaorilor geerali de fiabiliae, simboluri, defiiţii maemaice uiăţi de măsură şi ierdepedeţa lor şi peru ei ese prezeaă î abelul. [34].

22 Simbol peru: Nr. Valoarea esimaă Idicaor Valoare Defiţie UM cr. eoreică Pucual îcredere Ierval de Probabiliaea ca u sisem (sau o compoeă a sisemului) să-şi îdepliească R Fucţia de fiabiliae R() if corec fucţiile prevăzue pe o perioadă de imp daă, î codiţii de uilizare Rˆ () R sup specificaă, respeciv : - p() P( < T) R() Fucţia de repariie a impului de fucţioare Desiaea de probabiliae a impului de fucţioare F() Raa (iesiaea) de defecare λ( ) Media impului de fucţioare: - MTTF - MTBF Fˆ () F if F sup f() fˆ () f if f sup z( ) m ẑ() mˆ z if z sup m if m sup Probabiliaea ca sisemul să se defeceze î iervalul (, ) : F() P( T) Frecveţa relaivă a defecărilor îr-u ierval de imp da şi se mai umeşe lege de repariţie a impului de fucţioare pâă la defecare. F ( + ) F ( ) df ( ) dr( ) lim o d d Descrie pericolul de defecare î jurul uui mome da al uui eleme compoe al uui sisem afla î sare de buă fucţioare pâă la acel mome. F( + ) F( ) f ( ) dr lim R( ) R( ) R( ) d Valoarea medie a impului de fucţioare (momeul cera de ordiul ): exp[ m f ( ) d R( ) d z( τ )] d - h - h - sau FIT h Dispersia impului de fucţioare Abaerea medie păraică a impului de fucţioare Cuaila impului de fucţioare D σ α Dˆ σˆ ˆ α D if D sup Fif Fsup Momeul cera de ordiul al impului de fucţioare: D ( m) f ( ) d σ if σ sup σ D h α, sau după Timpul î care u produs fucţioează cu o aumiă probabiliae care proporţia de compoee defece dir-u lo u depăşeşe valoarea α : P( T α ) α h h 3

23 A se observa că o valoare mică a raei de defecare ese caracerisică uui sisem fiabil; cu câ raa de defecare are valori mai mici cu aâ sisemul ese mai fiabil. Peru compoee elecroice o raă de defecare de ordiul -5 h - u recomadă compoea respecivă peru a fi uilizaă î siseme peru care su impuse ceriţe de securiae. La aceasă oră, compoeele elecroice profesioale au rae de defecare apropiae de - 9 h -... Idicaori peru fiabiliaea sofware O pare di idicaorii referiori la fiabiliaea sofware su similari cu cei peru orice sisem ehic cum su fucţia de fiabiliae, de ofiabiliae sau fucţia desiae probabiliae a impului de fucţioare fără defece iar raa de defecare ese îlocuiă de raa de maifesare a erorilor. Exisă îsă şi o serie de idicaori specifici, idirecţi ce vor fi prezeaţi mai î coiuare... Fucţia de fiabiliae, R(). Repreziă probabiliaea ca ici o eroare să u fie acivaă îr-u ierval de lucru preciza. Î oaţia R(, + ), ude repreziă iervalul de lucru, iar momeul de iiţializare al iervalului, care coicide de obicei cu sfârşiul esării. Fucţia de ofiabiliae ese F(), cu aeleaşi aribue ca şi la &... Argumeul imp di expresia fucţiei de fiabiliae poae fi ueori exprima î uiăţi caledarisice, dar ese de prefera să se cosidere impul de lucru al uiăţii cerale de procesare (CPU ime - Ceral Processig Ui ime), asfel, aâ câ şi semifică durae de execuţie. Ueori argumeul fucţiei de fiabiliae ( şi ) se exprimă î umăr de rulări. Peru, fucţia de fiabiliae repreziă probabiliaea uei rulări îcuuae de succes. De regulă, aceasa se evaluează pe baza a rulări aerioare î care u s-au deeca erori şi poară umele de coformiae... Raa de maifesare a erorilor sau desiaea de defecare, z(). Repreziă probabiliaea maifesării uei erori î iervalul raporaă la mărimea a acesui ierval. F ( + ) F ( ) z( ). (..) R( ) Raa de maifesare a erorilor, z(), se referă la o defecare oarecare, idifere de umărul ei de ordie. Uiaea de măsură peru z() ese iversa uiăţii de măsură a impului de execuţie. Exisă îsă şi idicaori specifici fiabiliăţii sofware care u-şi găsesc u corespode î eoria geerală a fiabiliăţii...3 Cuaila impului de execuţie, Repreziă duraa uei execuţii î care fucţia de fiabiliae are cel puţi valoarea după u ierval de esare. Se mai umeşe iversul fucţiei de fiabiliae, adică duraa de execuţie î care probabiliaea acivării uei erori ese limiaă la o valoare prescrisă egală cu Numărul de erori remaee, N(), rămase î program după o duraă de esare. 4

24 Dacă peru se cosideră valoarea, idicaorul va reprezea umărul oal de erori N N () rezidee î program. Raporâdu-se aces umăr la umărul mediu de liii de cod (LOC), rezulă desiaea erorilor exprimaă î KLOC - (umăr mediu de erori la o mie de liii de cod). Peru codul sursă se folosese KSLOC - (umăr mediu de erori la o mie de liii de cod sursă)...5 Duraa medie de fucţioare pâă la defecare (mmttf Media Time To Failure) Timpul mediu pâă la defecare se modifică după fiecare ierveţie exerioară, asfel îcâ el depide de impul de esare, recomadâdu-se oaţia m(). Spre deosebire de o largă clasă de siseme peru care duraa medie pâă la defecare coicide cu duraa medie îre defecări succesive (MTTF MTBF ), î cazul sisemelor sofware o asemeea egaliae ese exclusă...6. Idicaori idirecţi, specifici fiabiliăţii previzioale a programelor Majoriaea idicaorilor eumeraţi mai sus ecesiă ca, îaie ca ei să poaă fi evaluaţi, sisemul sofware să fie comple proieca şi implemea. Peru a evalua ivelul de fiabiliae îcă di faza de cocepere, de proiecare, câd se sabilesc ceriţele, specificaţiile, se face proiecarea simbolică, fiabiliaea se calculează î fucţie o serie de idicaori specifici care se umesc idicaori idirecţi sau chiar umai merici sofware (sofware merics). Aceşi idicaori permi previzioarea ivelului fiabiliăţii sofware di faza de proiecare [6]: a) Numărul de irări/ieşiri pe modul, Ipu/Oupu Number. Descrie arhiecura programului î faza de proiecare. Simplis, u modul ar rebui să aibă câe o irare şi o ieşire peru fiecare fucţie pricipală. Peru a raa erorile po fi ecesare îsă puce adiţioale de ieşire. Uilizâd aces idicaor se ideifică modulele care măresc impul de execuţie pri apelări frecvee ale alor module. Miimizarea umărului de irări/ieşiri ese o caracerisică a programării srucurae şi oferă posibiliaea de creşere a fiabiliăţii programului di faza de proiecare. b) Idicaori Halsead. Aceşi idicaori au fos propuşi de Maurice H. Halsead î 977 şi permi evaluarea dificulăţii uui aumi program, porid de la urmăoarele mărimi: umărul de operaori disicţi di program; umărul operazilor disicţi di program; N umărul oal de ierveţii î program ale operaorilor; N umărul oal de ierveţii ale operazilor î program; E eforul făcu peru dezvolarea programului; B umărul de ereguli (bugs, fauls) di program Cu ajuorul mărimilor de mai sus se po calcula urmăorii idicaori Halsead:. Lugimea vocabularul programului: + ; (..). Lugimea observaă a programului: 3. Lugimea esimaă a programului: N N + N ; (..3) 5

25 N log + log ; (..4) 4. Volumul programului: V N log ; (..5) 5. Dificulaea programului: N D ; (..6) 6. Nivelul programului: 7. Eforul meal ecesar implemeării codului: NP ; (..7) D V E V D; (..8) NP 8. Numărul de ereguli (Delivered Bugs) di program. Acesa se esimează uilizâd urmăoarea formulă empirică sabiliă de Halsead: /3 V E B. (..9) 3 3 Se poae observa că pri micşorarea volumului programului, respeciv pri scăderea eforului meal ecesar implemeăriii codului (a lui E), se reduce umărul de erori di program, deci fiabiliaea programului creşe. 9. Timpul de implemeare al uui program: E, (..) S ude S 8 umărul de operaţii elemeare de comparaţii/secudă (deermia de Halsead). Asamblul idicaorilor Halsead prezeaţi permie evaluarea dificulăţii programelor care u rebuie să depăşească u aumi prag peru ca fiabiliaea să u fie pericliaă. Aces prag ese specific limbajului de programare folosi. c) Idicaori de complexiae a sisemului sofware. Exisă paru idicaori ai complexiăţii bazaţi pe eoria grafurilor [6]: ) Complexiaea saică, C s Aces idicaor descrie programul ca pe o reţea de module (subprograme), iercoecae care po fi execuae îr-o aumiă succesiue, comada de execţie fiid sabiliă î program. Peru calculul complexiăţii se apelează la eoria grafurilor. Fiecare modul al programului repreziă u od al grafului iar fiecare arc repreziă o apelare a modulului şi o reveire îre module. Dacă E ese umărul de arce şi N ese umărul de oduri ale grafului, complexiaea saică ese daă de relaţia: C s EN+. (..) ) Complexiaea diamică C d Aces idicaor ţie seama de fapul că îreruperile daorae apelărilor şi reveirilor po modifica, î imp, umărul de arce di graf. Ca urmare, 6

26 complexiaea diamică se calculează folosid formula complexiăţii saice la diferie momee de imp: ( ) (..) O complexiae diamică medie pe ierval pue î evideţă frecveţele diferie de execuţie ale modulelor şi îreruperilor î impul execuţiei lor. 3) Complexiaea ciclomaică C c Se mai umeşe şi complexiae codiţioală şi a fos irodusă de Thomas J. McCabe, Sr. i 976. Aces idicaor poae fi uiliza peru esimarea fiabiliăţii programului la ivel de cod sursă. Programul ese reprezea prir-u graf care are ca oduri isrucţiuile (N) şi ca arce (E) recerile corolului de la o isrucţiue la ala. U od di care poresc mai mule arce se umeşe od bifurca (Spliig Nod). Numărul ieşirilor di program ese oa cu P. Dacă SN ese umărul odurilor simplu bifurcae (î cazul odurilor muliplu bifurcae se cosideră de că odul iervie de mai mule ori), iar RG ese umărul regiuilor (regiuea ese u domeiu mărgii de arce, care u se iersecează), complexiaea ciclomaică poae fi evaluaă î 3 moduri (evaluări echivalee): C c E N + P (..3) Peru programe care au o sigură ieşire, cum ese cazul celor mai mule programe si subprograme iar E N+ ca î cazul complexiăţii saice; C c C c RG (umărul de regiui); (..3 ) C c SN + (umărul de oduri bifurcae + ). (..3 ) O valoare rezoabilă peru C c ese cosideraă. Peru programele care au mai mule ieşiri: C c D P+ (..4) 4) Complexiaea saică geeralizaă, C g Aces idicaor cosideră, alăuri de modulele iercoecae - N, resursele - K (de memorie, de imp) alocae auci câd corolul rulării programului rece de la u modul la alul. Fie maricea resurselor R(K, E ) care î eoria grafurilor se umeşe maricea de adiaceţă, ce are elemeele r ik egale cu dacă resursa k ese ecesară pe arcul i şi î caz corar, ude: k,,..., K şi i,,..., E. Complexiaea saică geeralizaă ese daă de relaţia: E C c + d r, (..5) g i i E K i k ude: c i ese complexiaea legaă de apelarea şi reveirea pe arcul e i, i,,..., E; d k - o măsură a complexiăţii asociae cu alocarea resursei k (de exemplu complexiaea asociaă procedurii folosie peru a avea acces exclusiv la dae comue, ecesară pe arcul i); r - elemeele maricei resurselor. ik k ik 7

27 Cei paru idicaori de complexiae po fi calculaţi peru grafuri coecae, adică acele grafuri î care orice od ese accesibil di oricare al od. Aces lucru se poae realiza, adăugâd u arc suplimear îre modulul de irare şi modulul de ieşire. Fiabiliaea sisemelor sofware se poae îmbuăăţi pri reducerea complexiăţii diamice. Aceasa se poae obţie pri miimizarea frecveţei îreruperilor şi reluărilor î impul execuţiei programului. Evaluarea complexiăţii poae fi realizaă î eapele icipiee ale proiecării programului. Ea permie o îţelegere adecvaă a odului, eseţială î vederea uei meeaţe corece şi eficiee. Mule defece su iroduse î sisem î faza operaţioală, pri ierveţii eroae, cu aâ mai probabil, cu câ sisemul ese mai complex. Idicaorii complexiăţii oferă o măsură a dificulăţilor î îţelegerea, esarea şi meeaţa sofware-ului: cu câ valorile acesora su mai mici, cu aâ fiabiliaea poae fi mai mare. Păsrâd de la îcepu u corol asupra complexiăţii, se asigură coreciudiea ierveţiilor şi, de aici, fiabiliaea operaţioală..3. Merici ce descriu fiabiliaea sofware Mericii sof su caracerisici uui sisem sof ce po fi măsurae şi cuaificae ce permi deermiarea caiaivă a valorii uui aumie performaţe a sofului. Ei po fi obțiuţi pri măsurare direcă sau pri deducție şi po fi cuaificaţi. Î mod uzual peru a măsura performața și a evalua fiabiliaea sisemului sof su folosiți urmăorii merici: - Desiaea de defece oferă repreziă umărul de defece coțiue pe o mie de liii ale codului sursă (KSLOC Kilo Source Lies of Code) - Acoperirea codului ese u idicaor al riguroziății esării sofului, oferă o măsură a gradului î care codul sursă al uui program sof a fos esa sisemaic. Idică proceul de defece deecae î impul esării execuției codului; - Raa de îlăurare a defecelor repreziă umărul de defece deecae și corecae î sof îr-o perioadă de imp deermiaă sau pe duraa execuării sofului; permie sabilirea edițelor de îmbuăățire ale sofului. - Defecele reziduale di sof repreziă umărul esima de defece laee care au rămas î sof după esarea şi îlăurarea defecelor sesizae. - Timpul peru lasarea sofului repreziă impul esima peru graficul de lasare. Ese baza pe crieriile sabilie peru ivelul de accepare al defecelor laee rămase î sof. - Complexiaea sofului oferă o măsură a gradului de dificulae peru proiecarea și implemearea uei fucții sof sau sisem sof; ale măsuri bazae pe cocepul de complexiae su complexiaea sof-ului, complexiaea fucțioală, complexiaea operațioală; mericii legați de complexiae su uilizați ca dae de irare peru evaluarea fiabiliății și modele de previziue. Sadardele de specialiae oi recomadă şi alţi merici peru a fi uilizați Î fucţie de modul de colecare, î impul ciclului de viață al sofului, mericii sof po fi grupați î rei caegorii pricipale: mericii despre defece, mericii despre produsul sof, şi merici despre procesul de realizare a sofului i) Mericii despre defece colecează daele de raporare a problemei sof peru a măsura impacul defecelor și eficieța procesului de raporare a apariției defecelor. Se referă la: a) Probleme de raporare a daelor - Daa și momeul la care a fos deeca defecul - Descrierea defecului deeca 8

28 - Defecul deeca î zoa programului - Persoaa care a deeca defecul - Simpomul defecului și sauul - Severiaea și prioriaea Daele colecae di proiecele sof vor fi folosie peru raporarea problemelor de ideificare. b) Acțiui corecive - Daa corecării defecului - Persoaa care a coreca defecul - Acțiuile de meeață efecuae - Descrierea modificării - Ideificarea modulelor modificae - Timpul ecesar peru corecarea defecului - Daa verificării corecării defecului - Persoaa care a verifica corecția c) Defece cumulae deecae şi corecae uilizae peru cuoașerea defecelor care ecesiă acțiui corecive și urmărirea efeciviății acțiuilor de corecare e) Raa de deecare a defecelor f) Raa de corecare a defecelor peru a sabili prioriățile peru acțiuile de meeață g) Defece pe locație peru ideificare a ariei specifice a codului ese se maifesă mai mulee eroare. h) Criiciaea defecelor, umăr și proce de defece severe i) Complexiaea srucurală şi fucțioală pe locație. ii) Mericii despre proces colecează iformațiile despre procesul de realizare a sofului și codițiilele fucţioale la momeul deecării și îlăurării defecului. Se referă la: a) Număr și proce de module care realizează mai mul decâ o fucție: Ese u idicaor al coeziuii folosi peru calcululul complexiăţii b) Număr și proce de module care au o srucură foare complexă se urmăreşe reducerea lor pri reproiecare peru a reduce complexiaea e) Număr și proce de module care au exac o irare și o ieșire: Idică u proiecului coeziv ce poae fi uiliza ca bază peru deyvolarea sofului; f) Număr și proce de module care su documeae î cocordață cu sadardele uiliza peru a deermia dacă codul coție oae cerițele. g) Număr și proce de defece care su găsie î codul refolosi ese u idicaor al o-fiabiliății codului reuiliza. iii) Mericii despre produs colecează iformațiile despre produsul sof clasificâd după mărime, fucțioaliae, complexiae, locația uilizaorului și ale caracerisici peru a facilia uilizarea daelor colecae experimeal ca dae de irare î scopul dezvolării de oi produse: Defece iroduse î ciclul de viață idică câd și î ce sadiu au fos iroduse defecele peru a adopa măsurile adecvae Defece deecae î ciclul de viață idică câd și î ce sadiu au fos deecae defecele și jusifică îârzierile acțiuilor corecive peru elimiarea defecelor. Timpul oal cosuma î aaliză idică impul ecesar de aaliză peru ideificarea problemelor și izolarea lor peru acțiuile corecive precum și resursele cosumae Timpul oal cosuma î proiecare iclusiv resursele cosumae Timpul oal cosuma î codificare iclusiv resursele cosumae. Timpul oal cosuma î esarea uiății iclusiv resursele cosumae 9

29 Timpul oal cosuma î esarea sisemului Idică impul cosuma de esarea sisemului și resursele cosumae. Timpul oal de meeață Idică iclusiv resursele cosumae Timpul mediu de meeață - admiisrare impul îaie și după corecarea defecului, iclusiv impul perecu cu asigurarea persoalului de meeață, scoaerea î evideță a corecțiilor îr-o versiue ouă. Timpul mediu de acțiui corecive iclusiv resursele cosumae care cosul aciviăților de meeață. Moivul acțiuii corecive peru a descoperi sursa defecelor. Moive ipice su: - acțiui de meeață recue - cerițe oi - schimbări de cerițe - cerițe ierpreae greși - cerițe lipsă - cerițe ambigue - schimbări î mediul sof - schimbări î mediul hard - erori de cod/logice - erori de performață. Cosul acțiuilor corecive iclusiv peru izolarea defecelor, rezolvarea problemei și peru acțiui de meeață propriu-zise. Proceul de fucții esae și verificae Idică acoperirea eselor, eficieța eselor și iegraliaea. Proceul de căi idepedee esae și verificae Idică acoperirea eselor srucurale și iegraliaea Proceul de liii sursă ale codului esa și verifica Idică acoperirea esărilor codului sof și iegraliaea. Dae despre isoricul familiei de sofuri dezvolae î imp peru a ideifica problemel de proiecare, proces și producție. Colecarea de merici ese ecesară peru a deermia edițele î fiabiliae, frecveța si impul ecesare peru meeața sofului, impul de răspus peru apelurile de serviciu, refacerea performațelor degradae și cerițele peru suporul de meeață. Caiaea și ipurile de merici rebuie să fie relaiv simplu de coleca, ușor de ierprea peru aalizare și folosioare peru evaluarea, îmbuăățirea și creșerea fiabiliății sofului..4. Meeaţa Meeaţa defieşe asamblul uuror aciviăţilor ehice şi orgaizaorice desfăşurae peru a meţie sau resabili sarea de buă fucţioare a uui sisem ehic reparabil [48]. Meeaţa poae fi: - Meeaţă preveivă, auci câd se referă la supravegherea buei fucţioări şi la revizii periodice efecuae î scopul reducerii probabiliăţii de defecare sau de degradare a performaţelor uui sisem. Se efecuează la iervale de imp predeermiae sau corespuzăor uor crierii presabile, pe baza uui program de meeaţă, porid de la ideea că ese mai iefi să previi decâ să corecezi o defecţiue. Meeața preveivă poae fi sisemaică, codițioală şi previzioară. Meeața sisemaică ese realizaă pri aciviăți de îrețiere, reparații curee, revizii și reparații capiale. Se face pe baza uui pla ehic orma de 3

30 ierveții, specific fiecărui ip de sisem. Meeață codițioală se realizează pri urmărirea paramerilor de uzură ai elemeelor sau subasamblurilor cheie, cu ajuorul uor isrumeee specifice urmâd ca îervețiile de meeață să fie realizae îaie de apariția defecului iar meeața previzioară se realizează pe baza aalizei de evoluție uor parameri semificaivi peru degradare sisemului. Timpul de meeaţă preveivă cupride exclusiv impul î care su efecuae observaţiile şi aciviăţile impuse î programul de meeaţă preveivă şi u iclude impul ecesar reparării uui modul (compoeă) care a fos îlocui. - Meeaţă corecivă repreziă asamblul de aciviăți realizae după defecarea sisemului sau după degradarea fucției sale î mod eprevăzu. Ese efecuaă după apariţia uei defecări, î scopul resabilirii sării de buă fucţioare a sisemului. Acese aciviăți cosau î localizarea defecelor și diagosicul acesora, repuerea î fucțiue cu sau fără modificări și corolul buei fucțioări. Meeața corecivă poae fi meeață curaivă sau meeață paliaivă. Meeaţă curaivă repriziă aciviăți de meeață corecivă ce au ca obieciv repuerea uui sisem îr-o sare specifică de fucioare cu îdepliirea uuror fucțiilor sale. Aciviățile de meeaţă curaivă po fi reparații, modificări sau ameajări care au ca obiec elimiarea defecțiuilor; Meeaţă paliaivă presupue aciviăți de meeață peru a permie uui sisem, î mod provizoriu, îdepliirea îegrală sau parțială a fucțiilor sale. Termeul curre peru aceaă meeaţă ese depaare. Timpul de meeaţă corecivă ese imp de efucţioare şi ese forma di suma impilor alocaţi peru: - pregăirea aciviăţilor de meeaţă; - verificarea deficieţei; - localizarea defecului; - procurarea pieselor de schimb, dacă ese cazul şi - impul efeciv cosuma peru reparare sau resabilire a sării de buă fucţioare. Fiecare acţiue de meeaţă cosă, beeficiarul aalizeză cosurile şi alege odeaua ţiâd co de raporul cos/beeficiu, ueori ese mai avaajos a îlocuieşi sisemul sau păţi ale sisemului cu alul ou sau a face u up-grade plaifica Meeabiliaea repreziă probabiliaea ca u sisem să fie repus î sare de fucţioare îr-o perioadă de imp presabiliă. Meeabiliaea cuaifică caliaea acţiuilor de meeaţă şi peru aceasa ese evoie să se deermie probabiliăţile de desfăşurare a aciviăţilor de meeaţă şi disribuţia impilor ecesari peru efecuarea acesor aciviăţi şi aume: - impul mediu peru efecuarea aciviăţilor de meeaţă, meţioae mai sus; - frecveţa de apariţie a ecesiăţii uor acţiui de meeaţă. Exisă siseme peru care capaciaea de a îdeplii o aumiă misiue poae fi realizaă prir-o recodiţioare oală sau parţială, prir-o reîoire. Se cosideră că orice reîoire a uui sisem se face î momeul defecării lui iar impul ecesar peru reîoire ese eglijabil. Procesul de reîoire ese u 3

31 proces aleaor discre peru care se po calcula fucţiile de repariţie ale reîoirilor dir-u ierval de imp. Exisă cel puţi două moduri de abordare a reîoirii sisemelor: a) se cosideră că sisemul ese comple rasforma pri reîoire asfel îcâ după fiecare reîoire sisemul ese ou di puc de vedere al fiabiliăţii. Acese su reîoiri propriu-zise, caracerisice sisemelor fără uzură; b) se cosideră că reîoirea u schimbă oal caracerisicile sisemului, ci umai îl aduce di sarea de defecare î cea de fucţioare dar u aulează efecul acumulării uzurii. Î aces caz fiabiliaea sisemului ese fie îmbuăăţiă, fie îrăuăţiă, î fucţie de performaţele aciviăţii de reîoire. Meeabiliaea depide de fiabiliaea iiţială a sisemului, a îregii lui srucuri. Meeabiliaea se poae deermia î două moduri: a) experimeal - pri simularea î laboraor, pe plaforma de probe (îcecări) a diferielor caegorii de defece şi îregisrarea impilor de ierveţie peru remedierea defecelor sau b) pri urmărirea comporării sisemelor la beeficiari sau grupuri ţiă şi orgaizare de aşa umie băci peru dae ehice, cele mai bue pracici pe baza cărora se sabileşe programul de meeaţă. 3

32 Capiolul 3. PRINCIPALELE LEGI DE DISTRIBUŢIE STATISTICĂ SPECIFICE FIABILITĂŢII 3.. Tipuri de disribuţie saisică Descrierea fiabiliăţii sisemelor pri iermediul uei legi de disribuţie şi a caracerisicilor umerice aferee cosiuie o abordare saisică a fiabiliăţii. Legile de repariţie sudiae î saisica maemaică su adopae î eoria fiabiliăţii î măsura î care ele implică o fucţie de fiabiliae de formă adecvaă căreia să i se poaă asocia o aumiă ierpreare fizică. Momeele de imp la care se maifesă defecţiuile î cazul uui lo de elemee ideice se reparizează porivi uei legi de disribuţie saisică, evideţiaă pri iermediul expresiei fucţiei de disribuţie F ( ) sau a fucţiei desiae de disribuţie (frecveţă), f ( ). După cum variabila aleaoare (impul î cazul sudiilor de fiabiliae) ia valori discree sau coiui, disribuţia ese discreă sau coiuă [, 8, 7, 8, 39]. Dacă variabila aleaoare ia u umăr fii de valori discree,,..., cu probabiliăţile p, p,..., p, disribuţia saisică se poae oa schemaic asfel:... k T.... (3..) p p pk Dacă p i ese probabiliaea de realizare a eveimeului i, iar probabiliaea de erealizare a eveimeului i ese q i, legăura dire acese două probabiliăţi ese de complemeariae, adică: p q. (3..) i + i Peru o disribuţie discreă, fucţia de disribuţie are expresia: k F( ) P( T < ) p( ), (3..3) ude p ( i ) ese probabiliaea ca variabila aleaoare să ia valoarea i. Graficul acesei disribuţii are forma prezeaă î figura 3.. Fucţia de disribuţie discreă ese o fucţie crescăoare, adică peru două valori oarecare ale variabilei ( a< b), exisă relaţia F ( a) < F( b), aşa cum apare şi î graficul di figura 3.. i i 35

33 Figura 3.. Fucţia de disribuţie peru variabile aleaoare discree Valoarea medie a variabilei aleaoare discree ese, pri defiiţie: m M ( T ) T p i i. (3..4) i Dispersia variabilei T se defieşe pri relaţia: [( T M ( T )) ] p ( ). D ( T ) σ M i i m (3..5) Î cazul variabilei aleaoare coiui u ieresează probabiliaea ca aceasa să ia o valoare bie deermiaă, ci probabiliaea ca să ia valori cuprise îr-u aumi ierval. Fiid daă o variabilă coiuă T, probabiliaea realizării eveimeului (a < T < b ) o vom oa pri P (a < T < b ). P (a < T < b ) depide de a şi b, ese deci o fucţie de două variabile. Fucţia de disribuţie a variabilei coiui, T, ese de forma: F( ) P( T ), (3..6) şi ese o fucţie de o sigură variabilă. Peru orice variabilă T, discreă sau coiuă, se poae scrie: ( T ) ( T < ) U ( T ), (3..7) adică peru a avea saisfăcuă relaţia T, rebuie să fie saisfăcuă cel puţi ua di relaţiile de icompaibiliae: T < şi T. De aici rezulă: P ( T ) P( T < ) + P( T ). (3..8) Peru variabilele aleaoare coiui, T, peru care P ( T ), oricare ar fi, se poae scrie: sau P ( T ) F( ), (3..9) 36

34 Îr-adevăr, eveimeul sigur, E, se poae scrie: P ( T > ) F( ) R( ). (3..) E ( T > ) U ( T ), (3..) P( T > ) U P( T ), (3.. ) adică R ( ) + F( ), relaţie cuoscuă, ideică cu relaţia (..3) di capiolul al acesei cărţi. Dacă P (T a ) u îseamă că eveimeul T a ese imposibil, ci umai că probabiliaea sa de realizare ese ulă. Touşi u eveime imposibil are probabiliaea de apariţie. Fucţia de disribuţie are urmăoarele proprieăţi: a) F ( ) F( ) dacă <, adică ese crescăoare; (3..) b) F ( ), deoarece eveimeul T < ese imposibil; (3.. ) c) F ( + ), deoarece eveimeul T <+ ese sigur. (3.. ) Orice fucţie de disribuţie se poae cosidera defiiă pe R (R mulţimea umerelor reale, u fucţia de fiabiliae) chiar dacă variabila aleaoare ia valori umai îr-u ierval (a, b ), î resul iervalului avâd valorile: F( ), F( ), peru a, peru > b. (3..3) Desiaea de disribuţie (sau de probabiliae) a variabilei coiui care are fucţia de disribuţie F, ese: df f ( ). (3..4) d Orice desiae de repariţie f ( ) are urmăoarele proprieăţi: a) f ( ) peru orice, (3..5) deoarece ese derivaa îâi a uei fucţii crescăoare. b) f ( ) d, (3..5 ) b b c) f ( ) d F( ) F( b) F( a). (3..5 ) a a Dacă fucţia f ( ) u are oae acese rei proprieăţi, ea u poae fi desiae de probabiliae. De asemeea, şi desiaea de disribuţie se poae cosidera defiiă pe R, chiar dacă variabila aleaoare ia valori umai îr-u aumi ierval, î afara iervalului fiid. Î figura 3. su prezeae graficele fucţiilor F ( ) şi f ( ) peru o disribuţie coiuă oarecare: 37

35 ude: sau a) b) Figura 3.. Fucţia de disribuţie şi desiaea fucţiei de disribuţie peru variabile coiui F ( ) corespude ariei haşuraă de sub curba f ( ) di figura 3., b. Valoarea medie a uei variabile aleaoare coiui se defieşe pri relaţia: m M ( T ) f ( ) d. (3..6) Dispersia uei variabile aleaoare coiui ese defiiă pri relaţia: Dσ ( m) f ( ) d. (3..7) O formulă pracică de calcul a dispersiei ese [47, 5]: D T) M M, (3..7 ) ( M m M( ) valoarea mediei sau momeul cera de ordiul, T M momeul cera de ordiul. Momeul cera de ordiul r se calculează cu formulele: r M ( m) f ( x ) peru variabile discree, (3..8) r M i i i r ( m) f ( d peru variabile coiui. (3..9) r ) Peru r se obţie momeul de ordiul, iar peru r se obţie momeul de ordiul. Î fiabiliae, peru disribuţia impului de fucţioare se uilizează ambele ipuri de disribuţii, respeciv: 38

36 disribuţii discree: biomială, poliomială, Poisso, hipergeomerică ec.; disribuţii coiui: ormală, expoeţială, Weibull, log-ormală ec.; disribuţii specifice: χ (Hi-păra, Pearso), Γ (gama), (Sude), Fischer, de amesec ec. Î aces capiol se vor face scure cosideraţii asupra pricipalelor legi de disribuţie folosie î eoria fiabiliăţii, îrucâ exisă lucrări clasice de eoria fiabiliăţii şi de saisică, î care su prezeae amăuţi proprieăţile legilor de disribuţie uilizae cure î eoria fiabiliăţii [7,8]. 3.. Disribuţia biomială Ese umiă şi "schema lui Beroulli", deoarece se asociază cu experimeul care cosă î exrageri idepedee ua de ala a uei bile de o aumiă culoare dir-o ură, care coţie u umăr da de bile de două culori diferie, dar î res ideice. Bila exrasă ese reirodusă î ură după oarea culorii peru asigurarea idepedeţei exragerilor. Fie exracţii succesive dir-u lo de produse, reiroducâdu-se î lo produsele exrase, după verificare; fiecare di produsele verificae poae fi defec, cu probabiliaea p (eveimeul A ), sau corespuzăor, cu probabiliaea q (eveimeul A ega, oa A ); umărul de apariţii ale eveimeului A î cele experimee ese k, ude k ese o variabilă aleaoare, care poae lua valorile,,,..., ; probabiliaea ca eveimeul A să se producă de k ori ese: k k k k P( A ) P ( k) C p q (3.3.) iar disribuţia variabilei aleaoare va avea urmăorul ablou: q C... k... k k k. (3.3.)... C p q... p pq 39 Se observă că probabiliăţile P (k) su ocmai ermeii dezvolării biomului ( p+ q), de ude deumirea de disribuţie biomială. Valoarea medie ese, coform defiiţiei: k k k m kc p q p. (3.3.3) k Peru a efecua calculul se ţie seama de ideiaea: k k k k k ( px+ q) C p x q. (3.3.4) Dacă derivăm relaţia (3.3.4) î rapor cu x, se obţie:

37 p ( px+ q) k C p x q. (3.3.5) k k k k k Dacă se alege x şi se ţie seama că p + q, relaţia (3.3.5) devie: k k k k k C p q p m p. (3.3.6) Dispersia se calculează uilizâd relaţia (3..7 ). Peru a calcula valoarea momeului de ordiul se uilizează relaţia (3..8), procedâd î mod asemăăor ca la calculul valorii medii: Dσ pq p( p). (3.3.7) Desiaea de disribuţie a disribuţiei biomiale ese daă de probabiliaea realizării eveimeului A de k ori şi are u sigur parameru, pe k : Fucţia de disibuţie ese daă de relaţia: k k k f ( ; k) P ( k) C p q. (3.3.8) k k k F( ; k) f ( ; p) C p q. (3.3.9) k Ţiâd seama de formula lui Sirlig: k u π! e π e e, (3.3.) ude < < ; cele două fucţii (desiaea de disribuţie şi fucţia de disribuţie) se po scrie: k k k! k k f ( ; k) C p q p q, (3.3.) k!( k)! x! k k! k k F( ; k) p q p ( p). (3.3.) k!( k)! k!( k)! k k Graficul fucţiei de repariţie a disribuţiei biomiale are repe, corespuzăoare celor + puce de discoiuiae. Exisă abele care dau valorile probabiliăţilor P (k) şi ale repariţiei F (x) peru, k, p şi x cuoscue [46, 9, 93]. Aceasă disribuţie ieresează î special peru a calcula probabiliaea exragerii uor bile/umere dir-o ură sau î cazurile î care se urmăreşe a se cuoaşe câe produse dir-u lo (sau ce proceaj) se găsesc î fucţiue la u mome da, observaţiile făcâdu-se la iervale de imp egale. Î aces ulim caz, variabila ese umărul de produse î sare de fucţioare. 4

38 Disribuţia Poisso Dacă o variabilă ia valori discree, respeciv,,, 3,..., k, auci probabiliaea ca variabila să ia valoarea k ese de forma:,! ) ; ( a k e k a a k T P (3.3.) auci variabila discreă are disribuţia Poisso. Paramerul a se umeşe paramerul disribuţiei Poiso. Tabloul disribuţiei acesei variabile ese:....!... 3!!! a a a a a e k a e a e a e a e k (3.3.) Desiaea de disribuţie depide de u sigur parameru, a, şi are forma:.! ) ; ( a k e k a a f (3.3.3) Fucţia de disribuţie corespuzăoare are expresia:.! ) ; ( a k k e k a a F (3.3.4) Valoarea medie se calculează cu formula de defiiţie (..4):.! a e ae e k a k m a a a k k (3.3.5) Dispersia se calculează cu urmăoarea formulă: [ ]! ) ( ) ( a e k a k T M M T D a. ) ( a a a a ae e a e a a a + + (3.3.6) După cum se poae observa, aâ valoarea medie câ şi dispersia au valori egale cu paramerul disribuţiei. Disribuţia Poisso ese u caz limiă al disribuţiei biomiale, obţiâdu-se câd ese foare mare, iar probabiliaea de apariţie a eveimeului k examia, ese mică. Auci câd ese foare mare î rapor cu k, se po aproxima cu oae valorile:, ec., iar desiaea de probabiliae a disribuţiei biomiale se poae scrie: k k k k p k p p p k a k f ) (! ) ( ) (! ), ; (.!! a k k e k a a k a (3.3.7)

39 Fucţia descrisă de relaţia (3.3.7) ese ocmai desiaea de probabiliae a disribuţiei Poisso, avâd ca parameru pe a p. Ese o disribuţie de ip discre, deumiă şi disribuţia eveimeelor rare şi ese foare uilă î sudiul fiabiliăţii producţiilor omogee, de serie mare, auci câd probabiliaea de apariţie a defecelor ese foare mică. Auci câd paramerul a creşe, disribuţia Poisso ide să se suprapuă cu valorile disribuţiei ormale, ceea ce î pracică are loc peru a > 3. Tabelarea valorilor fucţiilor Poisso şi biomială ese daă î lieraura de specialiae [46, 5] Disribuţia ormală (Gauss-Laplace) Fucţia de disribuţie ormală Variabila aleaoare coiuă, T, are o disribuţie ormală de parameri m şi σ, dacă desiaea sa de disribuţie ese de forma: ( m) f ( ; m, σ ) e σ. (3.5.) σ π ude > şi σ >. Graficul fucţiei f ( ; m, σ ) ese da î figura 3.3, depide de doi parameri, m şi σ, şi are urmăoarele proprieăţi: Figura 3.3. Variaţia î imp a desiăţii de repariţie f ( ) î cazul disribuţiei ormale ese simerică faţă de axa m : ( m+ αm) f ( m+ α; m, σ ) e σ e σ π σ π f ( mα; m, σ ) e σ π ( mαm) σ are u maxim peru m a cărui valoare ese: e σ π α σ α σ, ; (3.5.) (3.5. ) 4

40 pucele m± σ su puce de iflexiue. Î acese puce valoarea fucţiei ese: f f ( m; m, σ ) ; (3.5.3) σ π ( m± σ ; m, σ ) e. (3.5.4) σ π Îre limiele m + σ şi m σ se îcadrează 63,7% di valorile saisice. Idifere de valorile paramerilor m şi σ graficul acesei fucţii are forma de clopo (clopoul lui Gauss ). Paramerul m defieşe axa de simerie, iar σ sabileşe îălţimea graficului î pucul de maxim. Cu câ σ ese mai mic, cu aâ ordoaa pucului de maxim al curbei ese mai mare, clopoul ese mai îal, dispersia (împrăşierea) valorilor variabilelor aleaoare ese mai mică. Î figura 3.4, a su dae graficele uor fucţii f ( ; m, σ) peru aceeaşi valoare a lui σ şi peru rei valori diferie ale lui m (m < m < m 3 ), iar î figura 3.4, b su dae graficele peru aceeaşi valoare a lui m şi rei valori diferie ale lui σ (σ < σ < σ 3 ). Figura 3.4. Graficul desiăţii de disribuţie î fucţie de paramerii m (a) şi σ (b) Disribuţia ormală ese o lege deosebi de imporaă î saisică, deoarece foare mule feomee î care iervie îâmplarea, urmează aceasă disribuţie. Cu ajuorul disribuţiei ormale po fi aproximae şi ale disribuţii saisice (de exemplu: disribuţiile biomială şi Poisso). Î fiabiliae disribuţia ormală caracerizează feomeele de îmbărâire mecaică, elecrică, ermică ec. a elemeelor şi sisemelor. Fucţia de repariţie a uei variabile cu disribuţie aleaoare ormală, T, ese: 43

41 44 d f T P T F ) ( ) ( ) ( τ τ π σ )., ; ( ) ( σ τ π σ σ τ m F d e m (3.5.5) Graficul acesei fucţii ese da î figura 3.5. Figura 3.5. Fucţia disribuţiei ormale Disribuţia ormală ormaă Î relaţia (3.5.5) se poae face o schimbare de variabilă, folosid variabila aleaoare ormaă, u, care ese [46, 5]:, σ m u (3.5.6) di care rezulă că σ u + m iar d σd u. (3.5.6 ) Dacă variabila T are o disribuţie ormală, cu paramerii m şi σ, auci şi variabla aleaoare ormaă u ese ormal disribuiă. Porid de la relaţia 3.5.5, fucţia de disribuţie a variabilei aleaoare ormale ormae se poae scrie: σ σ π σ m u du e u F,) ; (, ), ; ( du u N du e m m u σ σ π (3.5.7)

42 u e ude cu N (u;,) s-a oa fucţia, care corespude valorilor m π şi σ, şi se umeşe legea ormală ormaă sau repariţia ormală redusă (repariţie sadard ). Desiaea de disribuţie a repariţiei ormale ormae ese de forma: u f ( u;,) e. π (3.5.8) Îrucâ disribuţia ormală ormaă ese simerică faţă de axa ordoaelor, se poae scrie: + N( u;,) du N( u;,) du N( u;,) du, (3.5.9) de ude rezulă că: N ( u;,) du N( u;,) du. (3.5.9 ) Se poae scrie urmăoarea egaliae: α N( u;,) du N( u;,) du+ Fucţia α + N ( u;,) du + φ ( α). (3.5.) α u e φ( α) du π (3.5.) se umeşe fucţia iegrală a lui Laplace, iar α cuaila fucţiei Laplace. e u Deoarece primiiva fucţiei u se poae exprima cu ajuorul fucţiilor elemeare, valorile fucţiei φ (α ) su abelae şi dae î cărţile de saisică [34, 46, 47, 5]. Î coiuare vor fi eumerae câeva dire proprieăţile fucţiei Laplace: φ( α ) φ( α), φ(), 45

43 Reprezearea desiăţii de probabiliae a disribuţiei ormale ormaă ese daă î figura 3.6, peru (, ); (valoarea maximă a acesei fucţii se obţie î pucul m, şi ese / π,3989). Figura 3.6. Desiaea de probabiliae a disribuţiei ormale ormae Fucţia de repariţie (relaţia 3.5.7) se poae scrie cu ajuorul fucţiei Laplace,, : pe iervalul [ ] m ude α. σ Peru σ, se obţie m F ( ) φ Φ( α), (3.5.) σ α m. (3.5. ) Valoarea medie şi dispersia uei variabile cu disribuţie ormală Fie variabila ormală T, cu paramerii m şi σ. Media ei ese daă de relaţia: ( m) M ( T ) e σ d. (3.5.3) σ π Peru a calcula valoarea mediei se recurge la o schimbare de variabilă: m y σ σ ym d σ dy. (3.5.4) Cu aceasă schimbare de variabilă se obţie: 46

44 u σy m+ M ( T ) e σdy σ π m π e y σ dy+ y e. π dy y (3.5.5) Dar: şi deci y π e + dy N( y;,), y y y e dy e, (3.5.6) M ( T ) m. (3.5.7) Valoarea medie a variabilei T cu disribuţie ormală ese ocmai paramerul m al disribuţiei. Dispersia ese daă de relaţia: D( T ) ( m) σ π e ( m) σ d σ. (3.5.8) Apelâd la aceeaşi schimbare de variabilă, se poae scrie: D( T ) σ π y e y dy. (3.5.9) Se face o iegrare pri părţi, luâd de ude: Relaţia se scrie: u y y, π v y e u' si v e. π, y (3.5.) y y D( T ) ye σ σ + e dy. (3.5.) π π 47

45 Dacă se ţie seama că: şi e π lim y ± y e y y dy N( y;,) dy, (3.5.) relaţia (3.3.) devie: D ( T) σ, (3.5.3) adică, abaerea medie păraică a disribuţiei ormale ese ocmai paramerul σ al acesei disribuţii. Variaţia idicaorilor de fiabiliae, î cazul disribuţiei ormale, ese daă î figura 3.7. Figura 3.7. Idicaorii (caracerisicile) de fiabiliae î cazul legii ormale 3.5. Disribuţia expoeţială Aceasă lege de disribuţie se mai umeşe şi expoeţial egaivă şi ese caracerizaă pri aceea că raa de defecare ese cosaă ( z( ) λ cosa). Graficul fucţiei z () ese o paralelă la axa impului; maifesarea legii are loc ocmai pe duraa vieţii uile a produsului, adică î zoa II (perioada de mauriae), di figura.4. Desiaea de disribuţie ese daă de relaţia: λ f ( ) λ e peru. (3.6.) Fucţia de repariţie a disribuţiei expoeţiale ese daă de relaţia: λ iar fucţia de fiabiliae ese daă de relaţia: F( ) e peru, (3.6.) 48

46 Valoarea medie ese: R( ) e λ. (3.6.3) m, (3.6.4) λ iar dispersia ese daă de relaţia: D. (3.6.5) λ Variaţia idicaorilor de fiabiliae ese prezeaă î figura 3.8. Figura 3.8. Variaţia idicaorilor de fiabiliae î cazul legii expoeţiale Peru m se obţie R ( m ),37, iar f (m ),37/m, aşa cum se poae vedea î figura 3.9, ude su dae depedeţele de imp ale pricipalilor idicaori de fiabiliae, î cazul legii expoeţiale, cu evideţierea valorilor acesora î pucul m. Figura 3.9. Idicaorii de fiabiliae, î cazul legii expoeţiale, cu evideţierea valorilor acesora î pucul m. a) R ( ) şi F ( ); b) f ( ); c) z ( ) Valorile fucţiei expoeţiale y exp( x ) su abelae, de exemplu, î [34]. 49

47 Legea disribuţiei expoeţiale se poae aplica cu rezulae bue î cazul produselor elecroice şi a uor siseme ehice complexe. Tabelul 3. Idicaor f() Legea de disribuţie expoeţială Normală Weibull λexp(-λ) m exp σ π σ β θ ( exp θ β β ) ( ) z () λ β m ( ) Φ exp R() exp(-λ) σ θ F() - exp(-λ) β m ( ) Φ exp σ θ f ( ) β m β ) Φ σ θ m /λ m + θ β Γ( + ) β D /λ σ θ β Γ( + ) Γ ( + ) β β Observaţii: * Φ( u) e π u du m σ ese fucţia Laplace, ude u. (3.7.6) α ** Γ( α ) e d fucţia Gama sau iegrala Euler de speţa II, fucţie cu valori abelae î cărţile de saisică. (3.7.7) 3.6. Disribuţia log-ormală Ese o disribuţie uilizaă, mai ales, peru maşii, uilaje şi compoee elecroice, care se degradează, î pricipal, daoriă feomeului de oboseală ermică. Desiaea de disribuţie are forma: Fucţia de disribuţie are expresia: l m f ( ) exp. (3.8.) σ π σ 5

48 l m F ( ) φ. (3.8.) σ Valoarea medie : M ( T ) f ( ) d σ π Făcâd schimbarea de variabilă : l m u, σ σ m+ se obţie: M ( T ) e. Dispersia ese: e ( m) σ d. (3.8.3) (3.8.3 ) m+ σ D ( T) ( M ( T)) f ( ) d e ( σ ). (3.8.4) Î figura 3. su prezeae depedeţele de imp peru fucţiile de desiae de disribuţie, de fiabiliae şi raa de defecare [, 8,], ale disribuţiei log-ormale. f ( ) F ( ),5 a) 3,5 3,5 m b) z ( ),5 3 c) Figura 3.. Idicaorii de fiabiliae î cazul disribuţiei log-ormale a) f ( ); b) R ( ); c) z ( ) 5 Disribuţia log-ormală preziă două avaaje majore î fiabiliae:

49 . Dacă, auci F ( ), proprieae pe care u o are disribuţia ormală. Disribuţia log-ormală ese avaajos să se folosească auci câd ese evoie de valorile paramerilor la momeul.. Produsul uor variabile aleaoare cu disribuţie log-ormală ese o o variabilă aleaoare cu disribuţie log-ormală. Exisă umeroase ale fucţii saisice care po fi uiliyae î fiabiliae, de exemplu disribuţia uiformă, disribuţia Weibul, disribuţia Γ (Gama), χ (Hipăra), sude, Fisher ec. care po fi sudiae de cei ieresaţi î cărţile de specialiae [,7]. 5

50 Capiolul 4. STUDIUL FIABILITĂŢII SISTEMELOR PE BAZA BLOCURILOR LOGICE DE FIABILITATE 4.. Defiirea sisemelor complexe Problemele privid fiabiliaea su asemăăoare di mai mule puce de vedere peru orice sisem ehic. Di aces moiv, peru produsele complexe vom uiliza ermeul geeralizaor de "siseme ehice" sau umai "siseme. U sisem are bie defiie irările şi ieşirile. Î caegoria sisemelor ehice iră iclusiv sisemele hardware, siseme sofware şi compoee elecroice. Sisemele de sofware au câeva pariculariăţi, de aceea aumie aspece specifice umai fiabiliăţii sofware vor fi raae îr-u capiol separadi aceasă care, capiolul 5. Pri sisem îţelegem (î coexul acesei cărţi) u asamblu de elemee legae fucţioal îre ele care realizează a aumiă fucţie ehică cocreă. Pri eleme vom îţelege o pare compoeă a sisemului. Peru sudii de fiabiliae u sisem se poae diviza îr-u umăr de elemee compoee, î fucţie de ecesiăţile de calcul, divizare efecuaă asfel îcâ peru fiecare eleme să se poaă ideifica fucţia pe care o realizează î cadrul sisemului şi defii irările şi ieşirile. Aceasă divizare are u caracer coveţioal peru că elemeele compoee ale uui sisem, o daă precizae, po fi di ou divizae î elemee de ragul al doilea ş.a.m.d. Î mod cure, elemeele sisemului se umesc "subasamble", "blocuri", "uiăţi" "module", diviziuea de ragul cel mai mic fiid "compoea" sau "liia de cod" peru sofware. Bua fucţioare a produsului complex ese rezulaa fucţioării corece a uuror subasamblelor compoee. La râdul lor subasamblele se compu di blocuri, module ş.a.m.d. pâă câd procesul de divizare ideifică compoeele, elemeele de legăură, reperele şi oae celelale elemee, care deermiă fucţioarea corecă şi fiabiliaea sisemului. Pri fiabiliae previzioală se îţelege fiabiliaea exprimaă pri idicaori de fiabiliae care au rezula di calcule de progoză efecuae pe baza daelor de fiabiliae ale uuror elemeelor compoee. Fiabiliaea sisemului depide de fiabiliaea uuror elemeelor compoee (sau subsisemelor), de legăurile cauzale sabilie îre ele şi de mediul î care fucţioează [,8,, 47, 5]. Dacă u eleme se defecează, fucţioarea sisemului ese afecaă oal sau parţial şi po apare urmăoarele siuaţii: - defecarea are u caracer mior, sisemul coiuă să fucţioeze (ex. o lampă de semalizare); - defecarea are u caracer major dacă îreaga fucţioare a sisemului ese afecaă (ex. defecarea oală a uor subsiseme compoee); - o defecare are u caracer major iar fucţiile subsisemului respeciv po fi supliie de u subsisem ideic, afla î rezervă (redudaţă), fucţiile 53

51 respecive po preluae de sisemul reduda pâă la ermiarea acţiuii de reparare. Vom revei asupra redudaţei. Peru sudiul fiabiliăţii uui sisem ese ecesar să se defiească vecorul de irare U u, u..., u ), vecorul de ieşire Y y, y,..., y ) şi vecorul de (, ( p sare S ( s, s,..., sm) pri iermediul cărora se maifesă iflueţa variabilelor de irare asupra celor de ieşire, propriu fiecărui sisem. Toţi aceşi vecori fiid mărimi fizice aleaoare. Î figura 4. su evideţiaţi acese 3 vecori peru u sisem descompus î două subsiseme, variabilele de sare fiid ieşiri peru primul subsisem şi irări peru cel de-al doilea. u u s s y y u s m y p Figura 4.. Reprezearea simplă a uui sisem, cu evideţierea vecorilor de irare, de ieşire şi de sare Î codiţii geerale, u sisem poae fi descris maemaic cu ajuorul ecuaţiilor caoice de sare [8]: S & B( S, U ), (4.., a) Y C( S, U ). (4.., b) Exisă o largă posibiliae de alegere a vecorului de sare, oricâd se poae alege u vecor de sare asfel îcâ subsisemul, care repreziă relaţia sare-ieşire, să fie simplu. Vecorul de ieşire ese comple deermia de vecorul de sare, care iclude şi maifesarea vecorului de irare. Relaţia 4.., b se poae scrie: Y D(S). (4..) Toae modelele de aaliză previzioală a fiabiliăţii sisemelor se bazează pe relaţia geerală dire performaţele sisemului şi paramerii compoeelor acesuia, relaţie care poae fi scrisă explici asfel: ude: i,..., p şi l,...,. l l y f ( y, y,..., y, y, y,..., y,..., y, y,..., y ), (4..3) i i Relaţiile (4..) şi (4..3) exprimă modelul fucţioal al sisemului. Cosiderâd că depedeţa paramerilor compoeelor de soliciare se exprimă pri idicaorii de fiabiliae şi fucţiile de disribuţie specifice se realizează calculul idicaorilor de fiabiliae ai sisemelor porid de la idicaorii de fiabiliae ai compoeelor, elaborâd asfel modele srucurale. p p l p 54

52 Aaliza srucurală a fiabiliăţii are drep scop sabilirea uei relaţii îre fucţia de fiabiliae a sisemului şi fucţiile de fiabiliae ale elemeelor compoee. Aaliza ese precedaă de o evaluare realisă a fucţiilor de fiabiliae idividuale ale elemeelor compoee {R j, j,,..., }, care rebuie să ţiă seama de crieriile de defecare reale, impuse de srucura sisemului şi de defiirea corecă a defecţiuii elemeelor şi sisemului. Dacă se cuosc caracerisicile de fiabiliae ale elemeelor cosiuee (deermiae experimeal î prealabil şi socae îr-o bacă de dae, prezeae î caaloage sau exisee î abele) şi dacă se ţie seama de rolul şi soliciarea acesora î sisem, se po esima caracerisicile de fiabiliae ale sisemelor, uilizâd modele srucurale adecvae, arbori de defecare sau de fucţioare, aaliză pe baza laţurilor Markov sau ale modele specifice. O serie de meode de evaluare a fiabiliăţii sisemelor şi compoeelor acesora au fos prezeae î cărţile di bibliografiee[, 8, ]. 4.. Dezvolarea modelului diagrame bloc de fiabiliae Fucţia de fiabiliae a uui sisemul rebuie calculaă î fucţie de fiabiliaea compoeelor sale: R s Ψ R, R,..., R ). (4..) ( Scopul modelelor bazae pe blocuri logice de fiabiliae (BLF) ese ca, porid de la fucţia de srucură S a sisemului să se obţiă o relaţie îre fucţia de fiabiliae a sisemului şi cea a elemeelor compoee. Peru elaborarea schemei cu blocuri logice de fiabiliae se procedează asfel: - se defieşe sare de buă fucţioare/de defecare a sisemului; - se ideifică modulele di sisem porid de la schema bloc a sisemului asfel îcâ fiecare bloc să fie idepede di puc de vedere saisic de celelale. Ese de prefera ca fiecare bloc să u coţiă ici o redudaţă. Î schema logică de fiabiliae modulul repreziă elemeul peru care se poae ideifica clar vecorul de irare şi cel de ieşire; - se ideifică căile şi direcţiile de rasmiere a iformaţiei de buă fucţioare; - se coecează modulele pri liii şi se realizează schema logică de fiabiliae asfel îcâ acesea să formeze o "cale reuşiă". Diferiele căi reuşie dire pucele de irare şi ieşire ale diagramei, rec pri acele combiaţii de blocuri care rebuie să fucţioeze peru ca sisemul să fucţioeze. - se defieşe sarea de buă fucţioare (succes) şi cea de defec (efucţioare) peru fiecare modul compoe şi peru îregul sisem. Numărul de sări posibile ale uui sisem ese, ude ese umărul de module cosiuee. Se sabileşe asfel expresia logică a fiabiliăţii sisemului, î fucţie de modul de coecare al elemeelor compoee. 55

53 Peru cele mai mule siseme complexe o asemeea aaliză coduce la ideificarea grafului de arboresceţă a fabricării, asamblării, îreţierii şi reparării produsului. La grafuri de arboresceţă vom revei. 4.3 Tpuri de coexiui Siseme de ip serie Sisemele de ip serie se caracerizează pri aceea că defecarea uui eleme deermiă ieşirea di fucţiue a îregului sisem. Reprezearea uui asfel de sisem cu compoee poae fi urmăriă î figura 4.. irare R( ) R( ) R3( ) R( ) 3 Figura 4.. Sisem de ip serie ie]ire Se cosideră că peru fiecare eleme se cuoaşe: λ i - raa de defecare a compoeei i ; R i ( )- fucţia de fiabiliae, respeciv probabiliaea de buă fucţioare a compoeei i. Sisemul ese caraceriza de λ s şi R s () care su raa de defecare şi, respeciv, probabiliaea de buă fucţioare a sisemului. Raa de defecare a sisemului, idifere de fucţia de disribuţie a impului de buă fucţioare a sisemului respeciv, se calculează cu formula: λ. (4.3.) s λ i i Probabiliaea de buă fucţioare a acesui sisem, de ip serie, se calculează coform relaţiei: i i R ( ) R ( ) R ( )... R R ( ). (4.3.) s Exemplu de calcul : Fie u sisem alcăui di i 4 elemee cu raele de defecare: 6 λ, h, λ, h, λ λ,5 h. 6 Fucţia de disribuţie a impului de buă fucţioare a sisemului ese cosideraă a fi expoeţială. Probabiliaea de buă fucţioare a sisemului realiza cu acese paru compoee ese fiid produsul probabiliăţilor de buă fucţioare a compoeelor. Ese o o fucţie expoeţială, fiid de forma: R s ( ) exp(, 6 exp(,5 ) exp(, 6 6 ) exp(,3 ) exp(,5 6 ). 6 )

54 Peru u imp de misiue de h rezulă o probabiliaea de buă fucţioare: R s ( ) exp(,3),75. Peru u imp de misiue mai mic, de exemplu h, rezulă o valoare mul mai mare, respeciv: R s ( ) exp(,3),878. Cocluzia ese evideă: probabiliaea de buă fucţioare a uui sisem ese cu aâ mai mare cu câ duraa de fucţioare ese mai mică. Î mod evide probabiliaea de fucţioare, la momeul iiţial, ese maximă, R s () şi după u imp de fucţioare suficie de mare (specific fiecărui sisem) probabiliaea de buă fucţioare ide spre, R s ( ). Peru u sisem complex, fiabiliaea sa scade cu câ sisemul ese mai complex, valoarea idicaorului λ s creşe cu aâ mai mul cu câ ermeii sumei cosiuive (relaţia 4.3.) su î umăr mai mare. Di relaţia 4.3. se observă că fiabiliaea sisemului ese mai mică decâ fiabiliaea oricăreia di compoeele sale. Dacă o compoeă are o fiabiliae mul iferioară celorlale, aceasa deermiă fiabiliaea sisemului şi repreziă veriga cea mai slabă. Ese, deci, coraidicaă realizarea uui sisem de ip serie cu elemee eomogee di puc de vedere al fiabiliăţii Siseme de ip paralel Sisemele de ip paralel su caracerizae pri fapul că defecarea ueia dire compoeele sisemului u provoacă defecarea sisemului, la defecarea uei compoee irâd î fucţiue compoea legaă î paralel cu cea defecaă, aşa umia compoeă de rezervă, redudaă. Rezervele se difereţiază î fucţie de duraa de coecare î sisem auci câd se defecează elemeul de bază şi de sarea î care se află elemeul de rezervă î perioada de asepare, asfel: - rezervă acivă - elemeul rezervă şi cel de bază su soliciae la fel î perioada de fucţioare, iar coecarea rezervei acive se face imeedia ce elemeul di sisem s-a defeca, î imp pracic egal cu zero; - rezervă semiacivă - elemeul de rezervă ese mai puţi solicia decâ elemeul de bază, iar impul de coecare al rezervei ese mic, dar u zero; - rezervă pasivă - elemeul de rezervă u ese pregăi peru îlocuirea imediaă a elemeului de bază, soliciarea acesora ese eglijabilă î perioada de rezervă. Cazul cel mai favorabil de redudaţă, di puc de vedere al fucţioării sisemului (u şi al cosurilor) ese cel î care u eleme ese dubla de u alul ideic, afla î rezervă acivă. Î cazul geeral se cosideră u sisem forma di elemee legae î paralel, cu rae de defecare λ i (peru compoea i ), µ i - raa de reparare a compoeei i şi R i () - fucţia de fiabiliae, respeciv probabiliaea de fucţioare a compoeei i. Fucţie de srucură a acesui sisem ese ipul SAU logic: S x U x U x... U x. (4.3.3) 3 57

55 Reprezearea uui sisem forma di elemee coecae î paralel ese î figura 4.3. irare ie]ire Figura 4.3. Sisem de ip paralel Aaliza fiabiliăţii sisemului u ese imediaă ca î cazul sisemului de ip serie. Peru sisem de ip paralel se cosideră fucţia de sare S egaă, respeciv sarea de defecare a sisemului: 58 S x U x U... U x x I x I... I x. (4.3.4) Probabiliaea de defecare a sisemului ese egală cu produsul probabiliăţilor de defecare ale elemeelor sisemului: F P( S ) P( x ) F, (4.3.5) s i i i ude F i ese probabiliaea de defecare a elemeului i. Aşa cum se cuoaşe deja, probabiliaea de buă fucţioare a uui sisem ese complemeara fucţiei de defecare a acesuia. Deci probabiliaea de buă fucţioare a uui sisem ese cu elemee legae î paralel, R, ese complemeul fucţiei de defecare a sisemului. Se poae scrie: R ( ) F ( R ( )), (4.3.6) p s ude R i ese probabiliaea de buă fucţioare a elemeului compoe, i. O asfel de schemă se mai umeşe şi schemă redudaă, fiid folosiă î siuaţiile, î care u eleme al schemei ese rezerva pri al eleme ideic. Exemplu de aplicare : Fie o schemă redudaă cu două elemee î paralel: elemeul cu fiabiliaea R ( ), 9, care, la defecare, ese îlocui de rezerva sa, elemeul, ideic cu primul, deci cu aceaşi valoare a fucţiei de fiabiliae R ( ),9. i Fiabiliaea asamblului celor două elemee ese: i i

56 R p ( ) ( R ) ( R ) (,9) (,9),99>,9. (4.3.7) Se cosaă că fiabiliaea sisemlui paralel ese mai buă decâ fiabiliaea elemeelor sale, ceea ce face ca u asfel de sisem să fie prefera uuia serie. 4.4 Arbori de eveimee Cocepe de bază referior la arbori de eveimee Sudiul fiabiliăţii sisemelor pri meoda arborilor de defecare ese o meodă deducivă de aaliză care se desfăşoară de sus î jos şi care permie ideifica cauzelor care po duce la eveimeul de vârf defii. U arbore de defecare ese o reprezeare grafică orgaizaă a uor codiţii sau facori care cauzează sau coribuie la apariţia uei defecări a sisemului, deumiă eveime de vârf. Eveimeul de vârf ese o coseciţă a combiaţiilor uuror eveimeelor de irare [, 5]. Ese umi şi eveime fial sau coseciţă de vârf Reprezearea uui arbore de defec se face sub o formă care poae fi uşor îţeleasă şi aalizaă peru a permie ideificarea: facorilor care afecează eveimeul de vârf cosidera; facorilor care afecează caracerisicile de fiabiliae şi performaţă ale uui sisem, de exemplu, deficieţe î proiecare, soliciări de mediu sau de fucţioare, moduri de defecare a compoeelor, greşeli ale operaorilor, defece ale pacheelor sofware; eveimeelor care afecează fucţioarea mai mulor compoee, aulâd beeficiile uor redudaţelor sau a uor părţi ale uui sisem. Î cosrucţia arborelui de defecare se poreşe de la eveimeul de vârf şi se lucrează cu urmăoarele elemee: - poară logică - simbol care ese folosi peru a sabili legăuri simbolice îre eveimeul de ieşire şi irările corespuzăoare; reflecă ipul de relaţie logică (booleeaă) îre eveimeele de irare peru ca eveimeul de ieşire să se poaă produce. - eveime- apariţia uei codiţii sau o acţiue care duce la defecarea sisemului; - eveime primar - eveime care să la baza arborelui de defec; poae fi u eveime care u mai poae fi dezvola î arborele aaliza sau u eveime care a fos dezvola î ală pare pe baza uui grup de eveimee şi porţi şi care ese irodus ca eveie deja sudia; - defecare pri eveime uic - eveime de defecare care poae cauza defecarea geerală a sisemului sau care, idepede de ale eveimee sau de combiaţiile acesora, poae cauza eveimeul de vârf - cauză comuă - cauză de apariţie a mai mulor eveimee; - eveime repea eveime care ese o irare peru mai mule eveimee de ivel superior. Auci câd eveimeul sudia ese defecarea, Meoda arborilor de eveimee devie Meoda arborilor de defecare, sau de defece. 59

57 Meoda arborilor de defecare ese adecvaă peru aaliza sisemelor care cuprid mai mule subsiseme fucţioale sau depedee. Ese aplicaă î mod uzual la proiecarea de cerale de eergie ucleară, siseme de raspor, siseme de comuicaţie, procese chimice sau idusriale, siseme de cale feraă, siseme medicale, şi u î ulimul râd a sisemelor iformaice Arborii de defecare permi aâ aalize caliaive câ şi caiaive. Scopul primar al aalizei caliaive ese ideificarea seului de ăieuri miimal peru a deermia modul î care eveimeele de bază iflueţează eveimeul de vârf. Aaliza caiaivă poae fi uilizaă peru calculul probabiliăţile de apariţie a eveimeului de vârf şi eveimeelor iermediare auci câd su cuoscue probabiliăţile eveimeelor primare. O aaliză bazaă pe arbori de defecare are ca obiecive: ideificarea cauzelor sau a combiaţiilor acesor cauze care duc la eveimeul de vârf; deermiarea modului î care o caracerisică de fiabiliae a uui sisem paricular îdeplieşe o ceriţă specificaă; deermiarea modurilor sau facorilor poeţiali de defecare care coribuie cel mai mul la probabiliaea de defecare sau idispoibiliaea sisemuluie reparabil, peru a ideifica îmbuăăţirile posibile ce po fi aduse fiabiliăţii uui sisem; aaliza şi compararea diverselor aleraive de proiecare peru a îmbuăăţi fiabiliaea sisemului; demosrarea valabiliăţii ipoezelor făcue î ale aalize (de exemplu laţuri Markov şi FMEA); ideificarea modurilor poeţiale de defecare care po cauza o problemă de securiae,evaluarea probabiliăţii corespuzăoare de apariţie a eveimeelor de securiae şi a posibiliăţii de reducere; ideificarea eveimeelor comue; căuarea uui eveime sau a uei combiaţii de eveimee care su cauza cea mai probabilă a apariţiei eveimeului de vârf; evaluarea impacului apariţiei uui eveime primar asupra probabiliăţii eveimeului de vârf; calculul probabiliăţilor eveimeului; calculul dispoibiliăţilor şi al raelor de defecare ale sisemului sau compoeelor sale reprezeae î arborele de defec, dacă se poae declara o sare ca fiid sabilă, iar eveualele reparaţii su idepedee uele de celelale (aceeaşi limiare ca şi peru diagrama căii de succes/diagrama-bloc de fiabiliae). Meoda arborilor de defecare folosiă î sudiul fiabiliăţii sisemelor poreşe de la ideea că procesul de defecare poae fi cuaifica la ivel srucural, asfel că orice defecţiue a sisemului ese rezulaul uei secveţe cuaificae de sări ale procesului de defecare. Î figura 4.4 ese daă reprezearea cea mai simplă a uui arbore de defecare, alcăui di eveimee primare, iercoecae pri iermediul uei srucuri logice booleee, care idică posibiliăţile, î care eveimeele se po combia peru a produce avaria sisemului. Dacă sisemul are mai mule codiţii de avarie, peru fiecare dire ele rebuie cosrui u arbore de defecare separa. 6

58 Arborele de defecare se cosruieşe porid de la eveimeul di vârf (defecarea sisemului) pâă câd se ajuge la eveimeele primare (defecarea compoeelor sau subsisemelor) sudiid ieracţiuile logice dire acese eveimee ale sisemului [8, 36, 37, 5]. Î faza de proiecare, meoda arborilor de defecare permie evideţierea uor deficieţe de cocepţie, a locurilor şi elemeelor vulerabile di sisem. Di puc de vedere srucural, arborelui de defecare i se asociază urmăoarele cocepe: - elemeele primare - compoeele sau elemeele care se găsesc la ivelul de bază; - defecări de bază - defecările elemeelor primare; - eveimeul edori - sarea de defec; - modul de defecare - seul de elemee defece simulae, care coduc la defecarea sisemului; - modul miim de defecare - cel mai mic se de compoee primare, care coduc la defecarea sisemului; - ivelul ierarhic - oaliaea elemeelor care su echivalee srucural, care ocupă poziţii echivalee î alcăuirea arborelui de defecare. Defecare sisem Defecare sisem... x Logica booleea` complex`, realiza` di rela\iile logice NU, }I, SAU x x 5 x 3 x 4 x 6 Eveimee de baz` Figura 4.4. Reprezearea simplă a uui arbore de defece Coseciţa fială a uui arbore de defecare (eveime de vârf) poae fi o defecare î sie sau u eveime. Aici, arborele de defecare descrie u defec sau u eveime care rezulă di eveimeele coribuioare sau di ale defece. Î aaliza arborelui de defecare aumie combiaţii de eveimee po fi sări sau eveimee, î imp ce alele rebuie să se porivească coseciţei. 6

59 4.4.. Descrierea şi srucura grafică a arborelui de defecare Compoeele uui arbore de defecare su urmăoarele: Porţi logice Simboluri care preziă relaţia logică dire eveimeele de irare şi eveimeul de ieşire. Ele po fi saice sau diamice. porţi saice coseciţa u depide de ordiea de apariţie a irărilor, porţi diamice coseciţa depide de ordiea de apariţie a irărilor. Eveimee: Cel mai mic ivel de irări îr-u arbore de defec. Compoeele grafice ale uui arbore de defec su: a) simboluri logice ale porţilor arborelui de defecare; b) liii de coecare a irărilor î poară; c) descrieri ale eveimeelor iermediare; d) simboluri de rasfer de irare sau de ieşire; e) simboluri ale eveimeelor primare. Toae eveimeele relevae ar rebui să fie icluse î arborele de defecare. Asemeea eveimee ar rebui să icludă efecele codiţiilor de mediului şi ale alor soliciări la care poae fi supus elemeul, iclusiv sofware-ul, comezile şi moiorizarea sărilor; acelea care su posibile î impul fucţioării, chiar şi î afara specificaţiilor proiecului. Ar rebui meţioae î rapor chiar şi eveimeele pe care aalisul le-a cosidera iiţial, dar au fos excluse di aaliza ulerioară peru că u pueau fi aplicae şi care u au fos icluse î arborele fial de defec. Dacă arborele de defecare aeţioează asupra a două sau mai mule probleme de performaţă a sisemului cauzae de u defec exise, auci eveimeul care descrie defecul rebuie iclus î arborele de defec î mai mule locuri şi marca ca eveime comu. Î aaliza caiaivă eveimeul comu ese iclus î calcule umai o daă, dar ar rebui să fie aplicae oae crieriile de disjucţie. Peru a evia icluderea accideală a eveimeelor comue î calcule muliple, rebuie sabiliă şi uilizaă eichearea coveţioală a eveimeelor. Aces ip de eicheare rebuie să fie cosecve. Dacă ese uiliza pacheul sofware peru asisarea evaluării arborelui de defec, rebuie uilizae coveţii şi seări adecvae. Auci câd su creaţi arborii de defec, ei po fi prezeaţi î formă vericală, de sus î jos sau î formă orizoală de la sâga la dreapa. Câd arborele de defecare ese reprezea pe orizoală, oae simbolurile prezeae su roie la 9 î sesul ivers al acelor de ceasoric. Arborii de defecare po fi de asemeea ciiţi sau sudiaţi î direcţii opuse, de exemplu, î raarea accideelor şi defecărilor produse ec. De exemplu, îr-o poară SAU ude coseciţa ese o sare sau u eveime, irările po fi sări sau eveimee. Toae irările îr-o poară ŞI î care coseciţa ese u eveime rebuie să fie eveimee, iar dacă coseciţa ese o sare, oae irările rebuie să fie sări. Sarea poae fi caracerizaă pri probabiliaea exiseţei sale la momeul, iar eveimeul poae fi caraceriza, fie pri raa sau frecveţa de defecare, fie pri probabiliaea de apariţie a eveimeului la momeul. 6

60 Meoda are la bază logica booleeaă ude cele două valori su Defec (D), corespuzâd lui şi Fucţioal (F ), corespuzâd lui. După cum se cuoaşe, î sisemul biar di variabile, se po forma combiaţii biare. Peru orice aplicaţie pracică, orice fucţie logică poae fi obţiuă pri folosirea umai a celor rei fucţii logice de bază fucţii fudameale ale algebrei booleee [, 5]: fucţia egaţie (NU), produsul logic (ŞI) şi suma logică (SAU). Aşa cum spu maemaicieii acese rei fucţii logice defiesc u sisem comple. Peru fiecare eveime care apare î arborele de defecare se recomadă să se realizeze o lisă cu umele sau descrierea eveimeului, să se codifice eveimee şi să se calculeze probabiliaea de apariţie. Dacă u eveime repreziă u eveime repea sau di cauză comuă, el ese prezea î arborele de defec î mod repea, dar cu u seguleţ de aeţioare. Toae eveimeele repeae sau di cauză comuă di arbore rebuie să aibă acelaşi cod şi rebuie marcae cu u simbol rasfer-irare sau cu u al simbol ales special peru u aumi arbore de defecare. Aceasă regulă se aplică uuror eveimeelor repeae sau cu cauză comuă cu excepţia eveimeului de cel mai mic ivel di asamblu, care ese marca cu u simbol rasfer-ieşire. Î uele diagrame ale arborilor de defec, simbolurile peru eveimeele primare repeae sau de ivel mai mare su aceleaşi. Dacă u eveime a fos dezvola îr-o ală pare sau pagiă a arborelui de defec rebuie idica aces fap cu o poară de rasfer, de exemplu o poară ŞI PRIORITAR Evaluarea fiabiliăţii sisemului uilizâd arbori de defecare O evaluare rapidă, dar aproximaivă a fiabiliăţii sisemelor se poae face uilizâd proprieăţile porţilor î reprezearea arborilor de defecare, făcâd urmăoarele aproximaţii: - eveimeele de bază su idepedee; - eveimeele de bază su rare, probabiliaea de apariţie ese mai mică de,%. Evaluarea probabiliăţii de defecare foloseşe proprieăţile porţilor logice. - ieşirea porţilor NU: ieşirea probabiliaea (A să NU fie defec): - ieşirea porţilor ŞI : Ieşirea ese probabiliaea (A defec ŞI B defec): P( A) P( A). (4.4.) P( AI B) P( A / B) P( B) P( B / A) P( A). (4.4.) Dacă eveimeele A şi B su idepedee (u se codiţioează reciproc), se obţie: P( AI B) P( A) ( B). (4.4.3) -ieşirea porţilor SAU Ieşirea ese probabiliaea (A defec SAU B defec) 63

61 64 P( AU B) P( A) + P( B) P( AI B). (4.4.4) Dacă eveimeele A şi B su idepedee se obţie: P( AU B) P( A) + P( B) P( A) P( B). (4.4.5) Evaluarea raei de defecare se face pe baza uor ipoeze similare. - ieşirea porţilor SAU : Cosiderăm că cele două eveimee su idepedee şi la ieşire urmărim raa de defecare echivaleă λ s. Noâd cu P( A) FA( ) - probabiliaea ca A să se defeceze î iervalul (, ) şi cu P( B) FB ( ) probabiliaea ca B să se defeceze î iervalul (, ). Probabiliaea ca u sisem cu o poară logică SAU să se defeceze î iervalul (, ) se calculează cu relaţia: F s ( ) P( AU B) P( A) + P( B) P( A) P( B) F ( ) + F ( ) F ( ) F ( ). (4.4.6) A B Probabiliaea de buă fucţioare î iervalul (, ) a sisemului cosidera, R S (), ese: auci: Exemplu: Dacă: R ( ) F ( ) F ( ) F ( ) + F ( ) F ( ) S S A [ F ( ) ] [ F ( ) ] R ( ) R ( ). A B A B A B (4.4.7) S A λa A λ B R ( ) e şi R ( ) e, (4.4.8) λ Di relaţia de mai sus rezulă că: λ B B ( λ + λ ) λ A B A B S R ( ) e e e e. (4.4.9) λ λ + λ (4.4.) s A - ieşirea porţilor ŞI : Cosiderâd elemee idepedee la irarea porţii ŞI, raa de defecare a sisemului se deermimă reluâd, corespuzăor, raţioameul de la poara SAU, şi rezulă: N B. λi ( αi ) λ S i N, (4.4.) α i ude α i, i [, N]. (4.4.) exp( λi) Î cazul logicii paralel (redudaţă), cu N elemee ideice i B

62 N λ λ S N, (4.4.3) α i ude αi. e λ i (4.4.3 ) Peru cele mai mule siseme, o aaliză a fiabiliăţii sisemului, ţiâd seama de bua fucţioare a uuror elemeelor compoee coduce la realizarea grafului de arboresceţă [5]. Graful de arboresceţă ese u graf fii cu urmăoarele proprieăţi: - graful u coţie bucle sau cicluri orieae; - exisă u sigur vârf, umi rădăcia arboresceţei, care u repreziă exremiaea ermială a ici uui arc; - oricare di vârfuri cosiuie exremiaea a câe uui sigur arc; - vârfurile, care u su exremiăţi iiţiale ale uor arce, su vârfuri suspedae. Figura 4.5 ilusrează o arboresceţă, rădăcia P fiid sisemul ehic a cărui srucură a fos reprezeaă. Pri S s-au simboliza subsisemele compoee, idicii precizâd apareeţa la srucură, ivel ierarhic şi umăr de ordie. i P S S S S S 3 S S S 3 S 4 Figura 4.5. Sisem ehic aaliza ca graf de arboresceţă Arboresceţa poae fi raaă şi uilizâd sisemul biar de codificare sau marici booleee. U aumi produs complex, î procesul sudierii fiabiliăţii, se poae descompue î subsiseme de diferie iveluri (subasamble, blocuri, elemee ec.). Î fucţie de scopul aalizei, fiecare asemeea asamblu (la orice ivel) poae fi cosidera ca u îreg, care se supue cerceării de sie săăor. Deci orice subsisem, sau chiar sisemul î asamblul său, poae fi cosidera ca obiec de sudiu al fiabiliăţii, care se realizează după aceeaşi meodologie ca şi sudiul uei compoee elemeare. Exemplu: Fie u sisem de calcul olera la defece compus di două uiăţi hardware ideice (H şi H ), care execuă aceeaşi versiue de program (V ). 65

63 Îaie de afişarea rezulaului, ieşirea ese suspusă uui modul de decizie (D), care cosă îr-u es de accepare. Dacă î rezulaul, oferi de prima uiae hardware, se deecează o eroare, rezulaul va fi cel oferi de cea de-a doua uiae. Elemeele de bază repreziă defecările compoeelor hard şi sof. Fiecare defecare sofware se poae daora fie (logică SAU): - versiuii greşie (V ), - deciziei greşie (D ), - defecării sofware, daoriă uei specificaţii icomplee (G ). Fiecare defecare hardware se poae daora defecării ambelor uiăţi hard (H ) (logică ŞI ). Arborele de defecare corespuzăor acesui sisem ese da î figura 4.6. Defecare sisem SAU SOFT HARD V D G H H Figura 4.6. Arbore de defecare peru u sisem de calcul olera la defec Tabelul 4. Simboluri uilizae frecve peru u arbore de defecare Simbol Nume Descriere Corelaţia cu fiabiliaea EVENIMENT DE BAZĂ EVENIMENT CONDIŢIONAT Eveimeul de cel mai mic ivel peru care su dispoibile iformaţii referioare la probabiliaea de apariţie sau fiabiliaea sa Eveime care ese o codiţie de producere a uui al eveime, Mod de defecare a compoeei sau cauza modului de defecare Eveime care se produce peru ca u al eveime să se Numărul de irări 66

64 Simbol Nume EVENIMENT ÎN AŞTEPTARE" EVENIMENT NEDEZVOLTAT Descriere auci câd peru a apărea o ieşire rebuie să aibă loc ambele eveimee U eveime primar care repreziă o defecare î adormire ; u eveime care u ese deeca imedia dar ar puea să fie deeca prir-o ispecţie sau aaliză suplimeară U eveime primar care repreziă o pare a uui sisem care u ese îcă dezvola Corelaţia cu fiabiliaea producă Probabiliae codiţioaă Mod de defecare al uei compoee iacive sau cauză a defecării î aşepare U coribuior la probabiliaea de defecare. Srucura acesei părţi di sisem u ese îcă defiiă Numărul de irări Trasfer IEŞRE Trasfer INTRARE POARTĂ DE TRANSFER Poară OR (SAU) Poară care idică evoluţia acesei părţi a sisemului î ală pare sau pagiă a diagramei Eveimeulde ieşire apare dacă apare orice eveime la irare O diagramă pare a arborelui de defecare prezeaă î ală pare a sisemului oal; INTRARE îseamă că poara de dezvolare se află î ală pare. IEŞIRE îseamă că aceeaşi poară dezvolaă î aces loc va fi uilizaă î ală pare Defecarea sisemului se produice dacă se defecează oricare compoeă a sisemului sisem serie 67

65 m Simbol Nume Descriere Corelaţia cu fiabiliaea Poară VOT MAJORITY Eveimeulde ieşire apare dacă eveimeul de irare apare la m sau mai mule irări di oalul de irări Redudaţă k di, ude m k + Numărul de irări 3 Poară OR EXCLUSIVE Eveimeulde ieşire apare dacă eveimeul de irare apare la o sigură irare Defecarea sisemului apare dacă se defecează o sigură compoeă a sisemului Poară AND (ŞI) Eveimeulde ieşire apare umai dacă eveimeul de irare apare la oae irările Redudaţă paralel Poară PRIORITY AND (PAND) Eveimeulde ieşire (defecarea) apare umai dacă eveimeele de irare apar îr-o aumiă secveţă, de la sâga la dreapa Buă peru reprezearea defecelor secudare sau peru secveţe de eveimee Poară INHIBIT Eveimeulde ieşire apare dacă aparambele eveimee la irare, uul dire ele fiid codiţioa Eveimeului fial are o probabilise de apariţie codiioaă Poară NOT Eveimeulde ieşire apare dacă u apare eveimeul de irare Eveime exclusiv sau măsură preveivă peru ca eveimeul să u apară 68

66 Capiolul 5. METODA LANŢURILOR MARKOV PENTRU FIABILITATEA SISTEMELOR 5.. Defiirea laţului Markov Di cele prezeae pâă acum s-a văzu că peru sisemele cu resabilire impii de fucţioare pâă la defecare, respeciv pâă la reparare au o disribuţie saisică, aleaoare. Sarea sisemului la u mome da,, poae fi cosideraă o + variabilă aleaoare { x ( ) S, R }, ude S ese spaţiul sărilor sisemului. Aaliza Markov ese folosiă auci câd se presupue că sarea viioarea sisemului depide umai de sarea prezeă, u şi se cea di recu, presupue că Laţul Markov (Markov Chai) ese u proces probabilisic { x ()}, care preziă proprieaea lui Markov şi aume, fapul că sarea cureă a sisemului capează îregul isoric al acesuia, iar sarea lui viioare va depide umai de sarea lui prezeă [,8,, 6]: P{ X ( ) x / X ( ) x, X ( ) x, X ( x } ) { X ) x / X ( ) x }, (5..) ( ude: > >. Trecerea sisemului dir-o sare i îr-o sare j se umeşe raziţie. Fiecărei raziţii i se asociază o probabiliae de raziţie (iesiae de raziţie) peru a desema probabiliaea ca sisemul să fie î sarea j la momeul +, codiţioaă de fapul că a fos î sarea i la momeul θ: p ij (, θ ) P{ X ( ) j / X ( θ ) i}. (5..) Di defiiţie rezulă că esimarea sării viioare a sisemului ese comple deermiaă (î ses probabilisic) de cuoaşerea sării lui prezee. Aaliza Markov ese o ehică caiaivă şi poae fi disică (uilizâd probabiliăţi de schimbare îre sări) sau coiuă (uilizâd rae de schimb îre sări). Deşi aaliza Markov poae fi efecuaă şi de mâă, aura ehicilor o face adecvaă uilizării pe programe iformaice, mule exisâd î mod cure pe piaţă. Ipoezele care sau la baza sudiului fiabiliăţii uui sisem, uilizâd laţuri Markov su:. fiabiliaea sisemului se poae esima î fucţie de fiabiliaea uuror elemeelor sale;. perioada de imp î care ese aaliza sisemul ese cea de mauriae, caracerizaă pri λ cosa; 3. raziţiile dir-o sare î ala se po produce î orice mome;. defecarea sau repararea uui eleme al sisemului ese idepedeă de sarea celorlale elemee; 7

67 5. defecarea uui eleme al sisemului ese u eveime, a cărui probabiliae de realizare îr-u ierval de imp,, ese λ, probabiliae care depide umai de mărimea iervalului, u şi de impul aerior de fucţioare; 6. repararea uui eleme al sisemului ese u eveime a cărui probabiliae de realizare îr-u ierval de imp ese µ ; 7. probabiliaea defecării şi reparării uui eleme al sisemului î iervalul ese (λ µ ) adică î aces ierval poae să aibă loc o sigură raziţie, fie defecare, fie reparare. Cosiderâd că î mod sigur (cu ceriudie) îr-u ierval de imp foare mic, d, sisemul u poae decâ să-şi păsreze sarea i de la momeul iiţial sau să razieze îr-o sare j, se poae scrie: i p ij sau qij. (5..3) Laţul Markov ese omoge, î rapor cu impul, dacă probabiliaea de recere u depide de valoarea iiţială a impului de observare, ci umai de duraa + raziţiei (d ) şi că i, j S, Pij R, asfel îcâ: Eveimeele { X ( ) j}, j S, poae scrie: P P Iroducâd oaţia: j + ) P{ X ( + i / X ( ) j}. (5..4) ij ( formâd u sisem comple, se { x( d) i} S{ x( + d ) i / x( ) j} P{ x( ) j}. + j S (5..5) P i + { x( ) i}, R, i, ( ) P S (5..6) relaţia (5..4) se poae scrie: ude { } Pi ( + d) Pj ( ) aijd+ P X ( + d) i x( ) j Pi ( ) j S{} i Pj ( ) aijd + ahid Pi ( ). j S{} i h S{} i a ij lim p ( ) ese raa de raziţie di sarea i î sarea i (de fap meţierea aceleiaşi sări i ). 7 ij (5..7) (5.. 7 ) repreziă raa de raziţie di sarea i î sarea j cu i j, la momeul + d. Î mod similar a ii lim p ( ) ii (5..7 )

68 Ţiâd seama că se poae scrie: Relaţia 5..9 devie: j S p, (5..8) ij a. (5..9) ij a ji j S j i P i ( + d) Pj ( ) d+ (+ aij ) d Pi ( ). (5..) j S j i Peru d ecuaţia 5.. devie o ecuaţie difereţială, de fap u sisem de ecuaţii difereţiale mariciale: dpi ( ) ai j Pj ( ). (5.. ) d j S Soluţia acesui sisem ese dificil de obţiu peru cazul geeral. Î caz dp saţioar, câd (peru u imp de observare suficie de mare), lim i, d rezolvarea sisemului ese mai simplă. Dacă se adaugă şi codiţia de ormare, sisemul de ecuaţii (5.. ) se reduce la u sisem de ecuaţii liiare: j S j S a P, ij P ( ). j j (5..) Laţul Markov admie soluţie saţioară care ese uică dacă ese u laţ ireducibil. Aceasa îseamă că mulţimea sărilor S formează o clasă îchisă, care u poae fi părăsiă, adică, fiecare sare poae fi aisă, dacă se poreşe di oricare ală sare, dar umai di mulţimea sărilor sisemului. 5.. Maricea sărilor de raziţie Sisemul de ecuaţii difereţiale (5.. ) se poae scrie şi sub forma mariceală asfel: ude: - [ ) ] ( a ) ( ij dp d [ A( ) ] [ P( ) ], A ese maricea Markov, maricea raelor de raziţie; (5...) -[P ( )] ese vecorul coloaă al probabiliăţii de sare ale sisemului; dp - ese vecorul coloaă al derivaei vecorului probabiliăţii de sare. d Maricea [ A ()] ese o marice păraă de dimesiue, cu i, j S, ude ermeii diagoalei ( a ii ) repreziă suma cu sem schimba a raziţiilor care 73

69 poresc di sarea i, iar ermeii ediagoali ( a ij ), cu i j, repreziă iesiaea raziţiilor di sarea desemaă de umărul coloaei î cea desemaă de umărul liiei. Peru că a, rezulă că suma ermeilor fiecărei liii a maricei ii a ki k S k Markov ese ulă. Soluţia ecuaţiei mariceale (5..) ese o marice de forma [, 8, 6]: ude: - [ ()] [ ( ) ] [ () ] [ A ] T P P e, P ese maricea sărilor iiţiale; T - [ A ] ese maricea raspusă a raelor de raziţie. (5..) Aceasă formă a soluţiei ese elegaă, dar soluţia ese dificil de evalua, fiid T evoie de scrierea maricei [ A ]. Peru ca maricea (5..) să exprime soluţia sisemului (5..), ese ecesară diagoalizarea maricei raspuse a raelor de raziţie. T Dacă valorile proprii ale maricei [ A ] su disice şi ea ese diagoalizaă (are vecori proprii idepedeţi), auci se poae scrie: [ ] [ V] [ D] [ V ], ude: - maricea D ese o marice diagoală de forma: A T (5..3) σ D... σ ,... σ (5..4) iar maricea D k ese de forma: k σ... k k σ... D k... σ Valorile proprii σ,..., σ se obţi ca soluţii ale ecuaţiei: ([ ] [ T] ). (5..5) de A T σ (5..6) - [ V ] repreziă maricea formaă di vecorii proprii [ V ] [ V ],...,[ ] T maricii [ A ], adică: [ ] [ V ][ V ]...[ V ], V ai V [ ], (5..7) 74

70 ude vecorul propriu [ V i] ese o marice coloaă, obţiu ca soluţie a ecuaţiei: T [ ] [ I] [ V ]. A σ (5..9) i Maricea sub forma: [ D] e se poae scrie, pri dezvolare î serie Taylor î jurul lui, σ + σ+! M e D! D 3! [ D] [ ] [ ] [ ] [ ] I + D σ + σ +! M M... 3 M σ + σ +! +... σ e M σ e M M... M σ e. (5..8) Cu acesea, soluţia (5..) se poae aduce, î fial, sub forma elegaă: [ D] [ P( ) ] [ V] e [ V ] [ P() ]. (5..9) Dacă modelul Markov admie soluţie saţioară, aceasa va fi de forma uei marici coloaă [P ] [P i ] care se obţie ca soluţie a ecuaţiei: [ ] [ P] [ ]. A T (5..) Peru a ridica edeermiarea, la ecuaţiile (5..) rebuie adăugaă codiţia ca sările sisemului să formeze u comple de eveimee. P i i S 5.3. Exemplu de calcul Fie u sisem cu resabilire, cu două sări, S { F, D}, ude F corespude sării fucţioale şi D - celei de defec. Raele de defecare şi cele de reparare su cosae, egale cu λ şi, respeciv cu µ. Probabiliăţile de raziţie di sarea de fucţioare î cea de defec şi ivers (di sarea de defec î sare de fucţioare) su a λ şi, respeciv a µ. Celelale probabiliăţi, de meţiere î aceaşi sare, de fucţioare sau de defec su: a λ şi a. Graful de raziţie al sărilor ese da î figura 5.. µ 75

71 a F a D a a Figura 5.. Graful de raziţie al sărilor uui sisem simplu cu două sări Maricea raziţiilor şi raspusa sa su: λ λ λ µ A, (5.3.) µ µ λ µ T [ ] [ A ]. Ecuaţia di care se află valorile proprii ese: adică λ σ µ ([ ] σ[ I] ), de A T (5.3.) λ µ σ ( λ σ)( µ σ) λµ σ( λ+ µ + σ). (5.3.3) Di rezolvarea ecuaţiei de mai sus se obţie: σ şi (5.3.4) 76 σ ( λ+ µ ). (5.3.5 Maricea diagoală a valorilor proprii ese: [ D ]. ( ) λ+ µ (5.3.6) [ D] Se poae scrie imedia şi maricea [ e ] Vecorii proprii se obţi î felul urmăor: [ D [ ] e ] ( + ). (5.3.7) λ µ e [ ] [ I] ( )[ V ], de A T σ (5.3.8) λ λ µ x, µ y (5.3.9) λx + µ y [ V] λ. (5.3.) µ [ ] [ I] ( )[ V ]. de A T σ (5.3.)

72 77, λ λ µ µ y x (5.3.) + +,, y x y x λ λ µ µ (5.3.3) [ ]. V (5.3.4) Maricea vecorilor proprii ese: [ ], µ λ V (5.3.4) iar iversa sa: [ ] µ λ µ µ λ λ µ λ µ µ λ µ V (5.3.5) Se obţie î fial, coform (5..), vecorul de sare al sisemului: [ ]. ) ( ) ( ) ( ) ( e e e P µ λ µ λ µ λ µ λ λ µ λ λ µ λ λ µ λ µ µ λ µ µ λ λ µ λ µ µ λ µ µ λ (5.3.6) 5.4. Eapele aplicării meodei laţurilor Markov Eapele aplicării acesei meode peru evaluarea fiabiliăţii uui sisem su: I. Sabilirea daelor de irare: - srucura sisemului aaliza, - sarea iiţială a sisemului, - raele de defecare,, i λ şi de reparare, i µ ale fircărui eleme.. II. Îocmirea abelului de sări şi raziţii posibile, luâd î cosiderare oae sările pri care po rece oae elemeele sisemului (fucţioal - F, defec - D, de rezervă - Rz sau revizie -Rv). Trecerea sisemului dir-o sare î ala ese deermiaă de defecarea sau repararea uui sigur eleme al sisemului, dar poae fi deermiaă şi de efecuarea uor operaţii de căuare, ca urmare a uei revizii programae

73 (meeaţă preveivă) sau a recerii sisemului de pe elemeul de rezervă pe cel de bază. Î fucţie de srucura sisemului aaliza, po apare urmăoarele raziţii: - recere de la sarea de fucţioare la cea de defec; - recere de la sarea de fucţioare la cea de defec şi apoi la rezervă; - recere de la sarea de fucţioare la cea de defec, la cea de rezervă şi apoi la revizie; - recerea de la sarea de defec la cea de fucţioare, direc sau pri sarea de rezervă. Î abelul 5. su prezeae sările caracerisice ale uui sisem forma di două elemee, care poae avea umai sări, fucţioal (F) şi defec (D). Î figura 5. au fos prezeae raziţiile îre acese sări (fucţioal/defec), iar î figura 5. su prezeae rei sări caracerisice ale uui eleme: fucţioal (F) - defec (D) - rezervă (Rz), cu probabiliăţile de raziţie î fiecare sare. Nr. sare F D Tabelul 5. Sarea sisemului, - F D D 3 -, D Traziţiile marcae cu liie pucaă idică fapul că acesea u apar, dacă elemeul de bază u ese dispoibil: dacă el a fos repara ese pus imedia î fucţiue, u ese păsra î rezervă. Rz F D Comuare auoma`/maual` Rz Rz R z Figura 5.. Trei sări caracerisice ale uui eleme de sisem: F, D, R z Noaţiile di figura de mai sus au urmăoarea semificaţie: - λ, λ Rz şi λ Rz raele de defecare ale uui eleme, care marchează raziţiile dire urmăoarele sări (F D ), (F Rz ) şi respeciv (Rz D); - µ - raa de reparare a uui eleme. III. Trasarea grafului sărilor: 78

74 Graful sărilor se formează pe baza abelului de sări. Aces graf oferă o imagie asupra sărilor şi raziţiilor dire sări, faciliâd scrierea maricei raelor de raziţie şi sabilirea expresiei de calcul a uor idicaori de fiabiliae.graful sărilor se orgaizează pe iveluri, u ivel cuprizâd sările, care au acelaşi umăr de defece. Trecerile sisemului dir-o sare î ala îseamă o recere dir-u ivel î 3 ivelul imedia urmăor sau aerior, î fucţie de eveimeul, care are loc (defecare sau reparare). Îre sările aceluiaşi ivel u exisă raziţii. 4 Fie u sisem forma di paru compoee, coform schemei di figura 5.3. Figura 5.3. Sisemul aaliza Tabelul de sări peru aces sisem ese da î abelul 5.5. Nr. sare Elemee fucţioale Elemee defece Sarea sisemului,, 3, 4 - F, 3, 4 D, 3, 4 D 3,, 4 3 F 4,, 3 4 F 5, 4 3, D 6, 4 3, D 7, 3, 4 D 8, 3 4, D 9, 3 4, D Peru 3 elemee defece, oricare ar fi, sisemul ese defec (urmăoarele 7sări).Graful sărilor raziţiilor acesui sisem ese prezea î figura F 4 Nivel cu defece F D D 4 F Nivel cu defec 5 D D 7 D 8 D 9 D Nivel cu defece Figura 5.4. Graful sărilor sisemului aaliza 79

75 Îrucâ sisemul ese caraceriza de elemee biare (F - D sau - ), graful sărilor ese simeric. IV. Scrierea maricei lui Markov [ A ) ] ( a ) ( ij Maricea raziţiilor se scrie uşor pe baza grafului sărilor, respecâd regulile de formare ale acesora. Coreciudiea ei se verifică urmărid dacă: - ordiul maricei ese egal cu umărul ivelelor sărilor sisemului; - suma iesiăţilor de raziţie de pe fiecare liie ese egală cu (zero). V. Deermiarea probabiliăţilor de ocupare a sărilor Dacă se urmăreşe comporarea sisemului pe erme limia, se vor calcula probabiliăţile de ocupare a sărilor î fucţie de imp, P( ), di sisemul (5..) sau ecuaţia (5..), cosiderâd P i () cuoscue. Dacă se urmăreşe comporarea sisemului pe o duraă îdelugaă (puâd aproxima ), se vor calcula probabiliăţile absolue de ocupare a sărilor pri rezolvarea sisemului (5..). VI. Calculul idicaorilor de fiabiliae Dacă se cuosc probabiliăţile de ocupare a sărilor sisemului P i şi se uilizează imagiea grafului sărilor, se po deermia idicaorii de fiabiliae peru sisemul aaliza. Î rezolvarea mulor probleme de fiabiliae uilizarea proceselor Markov ese mul prea complicaă şi se apelează auci la procese semi-markov [45, 58]. Procesul semi-markov ese u proces Markov î care se fac aumie simplificări, care uşurează ideificarea sărilor sisemului. Î cazul sisemelor de programare, acese simplificări po fi: - se cosideră că la u mome da se execuă doar uul di modulele programului; - raziţia corolului de la u modul la alul ese aleaoare, asfel îcâ probabiliaea de a fi apela modulul j după execuarea modulului i depide umai de cele două module i şi j, u şi de resul modulelor di program. Peru duraa de execuţie a modulelor se admie orice lege de disribuţie care descrie fucţioarea acesui modul. Capiolele 6 si 7 di carea Fiabiliaea sisemelor iformaice u fac pare di modulul de curs. 8

76 Capiolul VIII. METODE DE ESTIMARE ŞI VALIDARE A INDICATORILOR DE FIABILITATE 8.. Valori esimae ale idicaorilor de fiabiliae 8... Valori eoreice (adevărae) şi esimae Valorile eoreice ale idicaorilor de fiabiliae, care caracerizează o mulţime omogeă de produse idusriale sau compoee ale uor siseme, se po deermia pri îcercări pe oae elemeele mulţimii sisemelor (produselor) sau compoeelor sisemelor respecive. Relaţiile de calcul prezeae î abelul 8., prelua di STAS 37/75 Fiabiliaea produselor idusriale - Idicaori de fiabiliae [49], se referă la impul de fucţioare pâă la defecare, î cazul produselor ereparabile, sau pâă la prima defecare, î cazul produselor reparabile, valorile asfel obţiue se umesc valori adevărae sau î populaţie. Valorile esimae ale idicaorilor de fiabiliae se deermiă pri prelucrarea saisică a daelor experimeale, obţiue pri observaţii efecuae asupra uui eşaio preleva di mulţimea de produse/compoee cosideraă şi supus uor îcercări de fiabiliae [,, 39]. Precizia esimării ese cu aâ mai mare, cu câ caiaea de iformaţii dispoibilă ese mai mare. Peru produsele ale căror parameri au asociae plaje de oleraţă (isrumee de măsură, aparaură de auomaizare ec.), peru care se poae urmări evoluţia uui parameru faţă de care se poae deermia momeul de apariţie al defecului, esimarea fiabiliăţii se face urmărid evoluţia î impul îcercării a uuia sau mai mulor parameri caracerisici peru u eleme sau sisem. Se cosideră că u produs ese defec auci câd uul sau mai mulţi parameri caracerisici s-au modifica î imp, ieşid di limiele ormale, sabilie peru fucţioarea corespuzăoare de căre proieca, deşi produsul poae coiua să fucţioeze (exemplu: codesaoarele, care îşi modifică valoarea capaciăţii, sisemul ese defec, fără ca aceasă defecţiue să fie caasrofică). Valorile esimae su corece umai dacă eşaioul ese reprezeaiv peru populaţia sudiaă, iar iformaţiile deţiue u provi di îcercări realizae î codiţii diferie sau pe eşaioae diferie. 8

77 Tabelul 8. Idicaor F () f (, + ) R () z(, + ) m D σ α Valoare eoreică N F( ) N ( ) ( + ) f (, + ) N ( ) R( ) N ( ) ( + ) z(, + ) ( ) D N σ m N N i N i i ( i m) N ( i m) N i Timpul pâă la care se defeceazău aumi proce α di umărul oal de α N elemee di loul esa Noă: Simbolurile uilizae î abel au urmăoarele semificaţii: N -umărul oal de produse la momeul iiţial (volumul eşaioului supus îcercărilor); ( ) -umărul de produse, î buă sare, la momeul ; i -impul de fucţioare a produsului i (i,,..., N); -ierval de imp coveabil ales. Peru f ( ) şi z ( ) se po deermia umai valorile medii, u şi cele isaaee. Valorile idicaorilor de fiabiliae po fi esimae pucual sau cu ierval (limie) de îcredere pri meode specifice, care vor fi prezeae î aces capiol. Coform ermiologiei saisice, esimarea uui parameru ese pucuală dacă rezulă di calculul uei valori orieaive a paramerului pe baza uei relaţii maemaice folosid rezulaelor experimeale. Peru ca valoarea esimaă pucual să fie că mai apropiaă de cea adevăraă se folosesc meode adecvae, ce vor fi prezeae î aces capiol. Limiele de îcredere defiesc, î jurul esimaorului pucual, u ierval de îcredere care iclude valoarea adevăraă a idicaorului de fiabiliae, cu o aumiă probabiliae, umiă ivel de îcredere. Iervalul de îcredere ese cu aă mai mic (deci esimaţia ese mai precisă) cu câ peru calcul su dispoibile de u volum mai mare de iformaţii, rezulae di observaţii (fie di îcercărcări î laboraor, fie di exploaare). Iervalul de îcredere poae fi uilaeral sau bilaeral. 8

78 Î cazul uui ierval uilaeral peru aumiţi idicaori şi aumie legi de repariţie saisică se dă limia iferioară (if), peru alţi idicaori sau ale legi de repariţie saisică se dă limia superioară (sup). Dacă se dă o sigură limiă şi u se specifică felul ei, ese vorba de limia iferioară. Î cazul uui ierval bilaeral, se dă, î acelaşi imp, o limiă iferioară şi o limiă superioară. Iervalul de îcredere iclude valorile adevărae ale idicaorilor de fiabiliae, cu o aumiă probabiliae. Aceasă probabiliae ese daă î geeral î fucţie de α sau β, care au urmăoarea semificaţie: -α repreziă probabiliaea de a respige o ipoeză, deşi ea ese adevăraă. Aceasa ese cosideraă o eroare de ordiul I. Î saisica referioare la fiabiliae, la fel ca şi î caliae, α se mai umeşe şi riscul furizorului şi repreziă probabiliaea de a respige u lo de produse/compoee, deşi el ese bu; -β repreziă probabiliaea de a admie o ipoeză deşi ea ese falsă. Aceasa ese cosideraă o eroare de ordiul II. Î saisica referioare la fiabiliae β se mai umeşe riscul beeficiarului şi repreziă probabiliaea de a accepa u lo de produse/compoee, deşi el u ese bu Calculul valorilor esimae ale idicaorilor de fiabiliae Esimarea valorilor idicaorilor de fiabiliae se poae face pri meode eparamerice, a căror aplicare u ecesiă ideificarea legii de repariţie a impului de fucţioare, sau pri meode paramerice, a căror aplicare ecesiă î prealabil idicarea legii de repariţie a impului de fucţioare. Observaţiile asupra eşaioului se po efecua uilizâd u pla ruchia de îcercări, câd observaţiile se îcheie după u imp sabili iiţial, sau pla cezura de îcercări, câd observaţiile se îcheie după apariţia uui umăr de defecări sabili iiţial, sau plauri care uilizează îcercări combiae, ruchiae şi cezurae sau secveţiale. Î abelul 8., prelua o di [39], su prezeae relaţiile peru calculul valorilor esimae pucual (coloaele şi 3) sau cu ierval de îcredere bilaeral simeric, cu ivel de îcredere impus -α (coloaele 4 şi 5), pri meode paramerice, peru cazul î care legea de repariţie a impului de fucţioare ese cuoscuă. 83

79

80 8 Tabelul 8. Idicaor pucual, peru: cu ierval de îcredere, peru: produse ereparabile produse reparabile produse ereparabile produse reparabile ) ( ˆ F (*) N r q r' ) ( sup sup α r K K K K F F C ) ( if if α r K K K K F F C ) ( ' sup sup α r K K q K K q F F C ) ( ' if if α q r K K q K K q F F C (**) + N r ), ( f + N + ) ( ) ( ) ( ˆ R (*) N N r q r q ' ) ( if if α r K K K K R R C ) ( sup sup α r K K K K R R C ) ( ' if if α r K K K q K q R R C ) ( ' sup sup α q r K K K q K q R R C (**) + + N r N ), ( z + ) ( ) ( ) ( + mˆ r T Σ p j j p ' ˆ ) ( N m i i

81 Dˆ Idicaor i ( i mˆ ) N produse ereparabile j pucual, peru: ( ' mˆ ) j p cu ierval de îcredere, peru: produse reparabile produse ereparabile produse reparabile σˆ i ( i mˆ ) N p ˆ ( ' jm) j p ˆ F Timpul pâă la care se defecează F N produse Duraa fiecăreia di cele q misiui iiţiae, di care F q su raae 8

82 Observaţii:. Simbolurile uilizae au urmăoarele semificaţii: N () - umărul de produse/compoee supuse esului, la momeul, respeciv volumul eşaioului; () - umărul de produse/compoee di eşaio, aflae î buă sare la momeul ; r - umărul de defecări observae pâă la u mome da; i - momeul apariţiei uei defecări (i,,..., r); T S - duraa cumulaă de îcercare a produselor pâă la pucul de decizie: T Σ r i i D - ierval de imp coveabil ales; + ( r) ; q - umărul de misiui de duraă, iiţiae asupra produsului; r - umărul de misiui, di cele iiţiae, î care produsul s-a defeca; p - umărul de îcercări efecuae asupra uui produs pâă la defecarea acesuia j - duraa îcercării (j,,..., p ).. Relaţiile oae cu (**) su valabile î cazul î care ulima defecare coicide, î imp, cu sfârşiul iervalului de observare ( r ), iar cele oae cu (*) su valabile î caz corar r. 3. Peru f ( ) şi z ( ) se po esima umai valorile medii, u şi cele isaaee Caracerisicile esimărilor pucuale Esimarea pucuală a uui parameru cosă î calculul uei valori orieaive a paramerului respeciv, pe baza rezulaelor experimeale. Esimaţia pucuală θˆ a uui parameru ese ea îsăşi o variabilă aleaoare, cu o disribuţie f ( ˆ/ θ θ), codiţioaă de valoarea adevăraă a paramerului θ şi caracerizaă de mărimi specifice esimărilor [8]: a) deplasarea O esimaţie ese edeplasaă, dacă valoarea sa medie coicide cu valoarea paramerului de esima. Relaţia maemaică, care descrie aceasă afirmaţie, ese: ˆ ˆ θ ˆ θ f θ θ. θ d (8..) b) cosiseţa O esimaţie ese cosiseă dacă ide spre valoarea adevăraă a paramerului o daă cu creşerea volumului observaţiilor. c) precizia Precizia esimării repreziă măsura apropierii valorii esimae pucual de valoarea adevăraă a paramerului. Precizia se exprimă, de obicei, cu ajuorul abaerii medii păraice a esimaorului sau al dispersiei esimaorului. Esimaţia pucuală, care are dispersia miimă, se umeşe esimaţieeficieă. Precizia uei esimări pucuale se mai defieşe cu ajuorul abaerii ormale, egală cu modulul difereţei dire esimaţia pucuală şi valoarea adevăraă a paramerului, raporaă la valoarea adevăraă: ˆ θθ θ. (8..3) θ 8

83 Î figura 8. su reprezeae repariţii f (θˆ ), asociae mai mulor esimări ale aceluiaşi parameru θ. Se observă că esimaorii ˆ θ şi ˆ θ su edeplasaţi, iar esimaorul ˆθ 3 ese deplasa. Esimaorul θ are o dispersie mai mică (curba ese mai srâsă), coduce la valori mai apropiae de valoarea reală a paramerului θ. g ( ) 3 Figura 8.. Precizia esimării pucuale d) fucţia de pierderi Fucţia de pierderi ese defiiă ca medie a păraului difereţei dire valoarea esimaă pucual şi valoarea adevăraă a paramerului: L s ( θ ) ( ˆ θθ) f ( θ ) d ˆ. θ (8..4) Peru esimaţii edeplasae, fucţia de pierderi coicide cu abaerea medie păraică a esimaorului. e) caiaea de iformaţii Caiaea de iformaţie poae fi defiiă ca medie a logarimului repariţiei esimaorului: I S f ( ˆ) θ log f ( ˆ) θ d ˆ. θ (8..5) Precizia esimaţiei depide de caiaea de iformaţii referioare la esimaorul respeciv şi iformaţie. f) eergia iformaţiei ese defiiă ca iegrala păraului disribuţiei esimaorului. E f ( ˆ) θ dθ. (8..6) Cu câ eergia iformaţiei ese mai mare cu aâ localizarea paramerului ese mai precisă. 8

84 8.. Meode de esimare pucuală a paramerilor saisici specifici fiabiliăţii 8... Meoda verosimiliăţii maxime (maximum likelihood mehod) Ua dire cele mai uilizae meode de esimare pucuală ese meoda verosimiliăţii maxime, coform căreia valoarea esimaă pucual ese aceea care maximizează probabiliaea de apariţie a rezulaelor experimeale [9, 6, 6]. Probabiliaea asociaă rezulaelor experimeale se umeşe fucţie de verosimiliae şi se oează cu L, ude ese vecorul rezulaelor θ experimeale iar θ ese paramerul de esima. Meoda verosimiliăţii maxime ese o meodă uzuală peru esimarea pucuală a paramerilor uei disribuţii saisice, serveşe la esimarea uui idicaor de fiabiliae fără a face ipoeze privid aura legii de repariţie a impului de fucţioare; ese deci o meodă eparamerică. Dezavaajul meodelor eparamerice ese lega de fapul că valorile esimae u po fi exrapolae dicolo de iervalul de imp î care se desfăşoară experimeul. Se cosideră că desiaea de probabiliae ese cuoscuă şi depide de s parameri θ, θ,..., θ s, adică ese de forma f ( i, θ k ) (i,..., ; k,..., s). Fucţia de verosimiliae L (θ ) se defieşe ca fucţia de desiae de probabiliae reuiă a variabilelor aleaoare,,..., : L( θ ) f (, θ ). (8..) k i i Valoarea cea mai verosimilă (cea mai probabila a fi obţiuă) a paramerului θ ese aceea peru care fucţia L( θ k ) are valoarea maximă. Dupa cum se şie de la Aaliza maemaică, aceasă ceriţă se îdeplieşe dacă derivaa parţială a fucţiei î rapor cu parameul respeciv se aulează. Esimarea de maximă verosimiliae peru θˆ k (semul pus deasupra simbolului desemează, aşa cum am mai specifica valoare esimaă a lui θ; se mai oează şi ca valoare medie a esimaorului θ k ) se obţie pri maximizarea fucţiei de verosimiliae Lθ ( k ), î rapor cu θ k. Valorile paramerilor θ, θ,..., θ se deermiă rezolvâd sisemul de ecuaţii de verosimiliae, respeciv sisemul de derivaele parţiale ale fucţiei de verosimiliae î rapor cu paramerii de ieres. Ecuaia (8..) î pracica se dovedese dificil de aplica, pracic ese mai uzual a se deriva logarimul aural al fucţiei Lθ ( k )(peru că fucţia logarimică ese sric crescăoare), respeciv: k ll( θk ). θ k (8..) 83

85 Soluţiile sisemului de ecuaţii (8..) se umesc esimaţii de verosimiliae maximă. Exemple: ) Să se esimeze valorile raei de defecare, λ, pe baza duraelor de defecare (,,..., ) peru sisem peru care, peru impul dire defecării ese valabilă disribuţia expoeţială. Rezolvare: Esimaorul (paramerul) î aces caz, ese λ. Fucţia de verosimiliae ese: L λ λ (8..3) i λi i (, ) λe λ e, i Valoarea maximă a esimaorului se obţie di egalarea cu a derivaei L,λ î rapor cu esimaorul λ logarimului fucţiei ( ) Soluţia ecuaţiei 8..4 ese: ( ) lλλ i, l Lλ (8..3 ) ll( λ ) λ λ i i i. (8..4) λ. (8..5) i i ) Peru cazul disribuţiei biomiale (Beroulli), se cosideră θ k variabilă aleaoare care poae lua valorile şi, cu probabiliăţile p şi respeciv q p. Să se esimeze probabiliaea p pe baza uei selecţii repeae θ,..., θ k,..., θ. k k q Probabiliaea ca θ x,..., θ x ese egală cu Ψ ( x,..., x ) p, dacă k dire valorile x,..., x su egale cu, iar k su egale cu. Ecuaţia verosimiliăţii maxime se poae scrie: lψ k l( p q p p k ) k p k, q (8..6) k p k q k k p p (8..7) p k Aşadar, valoarea medie a selecţiei, verosimiliae maximă a probabiliăţii p. x x x x i i (8..8) (8..8 ) ese o esimaţie de 84

86 8... Meoda liiarizării Ese o o meodă de esimare pucuală, care cosă î reprezearea grafică a fucţiei de disribuţie empirică îr-u sisem de coordoae coveabil ales asfel îcâ reprezearea fucţiei de disribuţie eoreică să fie o dreapă. Meoda liiarizării se uilizează u umai peru esimarea paramerilor disribuţiei, dar şi peru sabilirea ipului de fucţie de repariţie saisică, auci câd aceasa u ese cuoscuă. Peru fiecare ip de disribuţie se uilizează hârie de probabiliae specială, deumirea sadardizaă fiid reţea probabilisică [, 43, 45]. Paramerii fucţiei eoreice (ecuoscuţi) rezulă di paramerii drepei empirice (paa, ermeul liber, iersecţii cu aumie drepe). a) Î cazul disribuţiei expoeţiale (prezeae la paragraful 3.5, λ F( ) e ), se poae scrie: drepe: Iroducâd oaţia l[ F( ) ], care rece pri origie şi are paa λ. Valoarea empirică a fucţiei F() ese [ F( )]. λ l (8..9) y ecuaţia (8..9) devie ecuaţia uei y λ, (8..) F ˆ ( ) i. (8..) + Fucţia care rebuie reprezeaă grafic şi care să fie o dreapă ese: + yˆ i l. (8..) + i Dacă pucele obţiue di experime se aliiază pe o dreapă, auci se cofirmă caracerul expoeţial al disribuţiei. Paramerul λ se poae esima di paa drepei reprezeaă. y g Figura 8.. Meoda liiarizării (peru disribuţia expoeţială) 85

87 c) Disribuţia ormală Paramerii disribuţiei ormale su m şi σ, după cum s-a prezea î capiolul 3 al acesei cărţi. Liiarizarea disribuţiei ormale se obţie porid de la forma exprimaă pri fucţia Laplace, formula 3.5. di capiolul 3: m F ( ; m, σ ) Φ. (8..8) σ Iversa fucţiei Laplace, peru o aumiă valoare i, ese: i m m Φ [ F( i, m, σ )] i. (8..9) σ σ σ Coordoaele care liiarizează disribuţia ormală su: - aaliice: (y i, i ); - empirice ( y ˆ, ˆ i i ), ude: m yi i şi yˆ ( ˆ i Φ F). (8..) σ σ (După cum am meţioa î capiolul, valorile fucţiei Laplace şi ale iversei sale su abelae [, 7]. Paramerii drepei su: - iersecţia la origie: a ; σ (8.. ) m - paa: b. σ (8.. ) Î plaul (y, ) se repreziă pucele P i( yˆ i, i), care, dacă se aliiază după o dreapă, validează ipoeza disribuţiei ormale. Şi peru disribuţia ormală exisă o hârie specială de probabiliae, prezeaă î figura 8.3 [43]. Reţeaua probabilisică ormală (Gauss) ese asfel cocepuă îcâ fucţia de repariţie cumulaă a impilor pâă la defecare, care urmează o disribuţie ormală, să se reprezie prir-o dreapă, coform figurii 8.6. Axele acesei reţele su: -abscisa -valorile impilor ( i ) obţiuţi pri îcercări, i -ordoaa -valorile F ( ), ude valorile P 5( i) se calculează cu P ( ) 5 i relaţia:, (8..), Poae fi uilizaă şi peru îcercările î care u s-au defeca oae elemeele di loul supus îcercărilor. Dacă îcercarea ese îrerupă îaie de defecarea uuror elemeelor eşaioului de es, se repreziă umai valorile mediaei pâă 86

88 la i r. Î exemplul di figura 8.3. eşaioul de es are elemee, iar îcercarea a fos opriă după r 8 defecări. Esimaorul impului mediu pâă la defecare, mˆ F ese egal cu abscisa pucului de pe dreapa de ordoaă egală cu 5%. Esimaorul abaerii medii păraice σˆ ese egal cu difereţa dire abscisa pucului de pe dreapa de ordoaă, egală cu 84% şi m ˆ F, aşa cum se poae urmări î figura 8.3. Figura 8.3. Reţeaua probabilisică peru disribuţia ormală Meoda momeelor Cosă î compararea momeelor empirice de diferie ordie (k) cu momeele corespuzăoare ale disribuţiei eoreice luae ca ipoeză. Momeele empirice, cosiderae ca esimaţii ale şirului (,,..., ), se deermiă cu relaţia: 87