Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Μ α θ η μ α τ ι κ α Κ α τ ε υ θ υ ν σ η ς B Λ υ κ ε ι ο υ

Transcript

1 Κ Κ ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ ρ ρ ι ι Α Α λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! Α λ γ ε ρ Α Λ υ κ ε ι ο υ Μ θ η μ τ ι κ Κ τ ε υ θ υ ν σ η ς B Λ υ κ ε ι ο υ

2 Ε π ι μ ε λ ε ι Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς w w w d r m a t h s 5 8 b l o g s p o t c o m w w w m a t h s 5 8 w o r d p r e s s c o m e m a i l : d r m a t h s 5 8 g m a i l c o m

3 Δ ι ν υ σ μ τ Α σ κ η σ η - 0 Οι δυνμεις F, F, F 5 σκουντι στο F 4 σωμ Σ F 5 F Ποι δυνμη χρειζετι, ωστε ν μην φησει το σωμ Σ ν μετκινηθει πο τη θεση του; F Σ F F 4 E Δ F 5 Α F Β F Σ Γ F Θεωρουμε ΣΑ = F, ΑΒ = F, ΒΓ = F, ΓΔ = F 4 κι ΔΕ = F 5 Τοτε ΣΕ = F + F + + F 5 Αρ πρεπει ν εφρμοστει δυνμη ΣΕ ντιθετη της ΣΕ Α σ κ η σ η - 0 Δινετι τετρπλευρο ΑΒΓΔ κι εστω, θεσεως ως προς εν σημειο νφορς Ο Τι μπορειτε ν πειτε γι το τετρπλευρο ΑΒΓΔ ν: + γ (iii) γ = + γ = + γ = + δ + δ = + δ δ κι, γ = γ δ κι δ τ ντιστοιχ δινυσμτ ΟΑ + ΟΓ = ΟΒ + ΟΔ Α Β ΟΑ - ΟΒ = ΟΔ - ΟΓ ΒΑ = ΓΔ ρ ΑΒΓΔ πρλληλογρμμο Δ Γ γ = δ ΟΑ - ΟΓ = ΟΒ - ΟΔ ΓΑ = ΔΒ το ΑΒΓΔ εχει ισες διγωνιες (iii) Το ΑΒΓΔ εινι πρ/μμο με ισες διγωνιες, ρ εινι ορθογωνιο Ο Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

4 Δ ι ν υ σ μ τ Α σ κ η σ η - 0 Ν εκφρσετε το δινυσμ λλων δινυσμτων που δινοντι: i) ii) iii) γ σε κθεν πο τ πρκτω σχημτ, ως συνρτηση των γ ζ δ ε i) = + ii) = + iii) = ζ ε γ δ + γ Α σ κ η σ η Αν γι δυο τριγων ΑΒΓ κι ΑΔΕ ισχυει τετρπλευρο ΒΔΓΕ εινι πρλληλογρμμο ΑΒ + ΑΓ = ΑΔ + ΑΕ, ν δειξετε οτι το ΑΒ + ΑΓ = ΑΔ + ΑΕ ΑΒ ΑΔ ΔΒ = ΓΕ = ΑΕ ΑΓ Α (σημειο νφορς το Α) Β Δ ΒΔΓΕ πρλληλογρμμο Ε Γ Α σ κ η σ η Δινοντι τεσσερ σημει Α, Β, Γ, Δ κι εστω Ο το μεσο του τμημτος ΑΓ Ν ποδειξετε οτι : ΟΒ + ΟΔ = ΑΒ ΔΓ Εινι Α Β ΟΒ + ΟΔ = ΑΒ ΔΓ ΟΔ + ΔΓ = ΑΒ ΟΒ Ο Δ ΟΓ = ΒΟ ΒΑ Γ ΟΓ = ΑΟ που ληθευει, φου Ο μεσο του ΑΓ Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

5 Δ ι ν υ σ μ τ Α σ κ η σ η Δινετι κνονικο εξγωνο ΑΒΓΔΕΖ Αν δινυσμ ΓΔ ως συνρτηση των ΑΒ κι = κι ΒΓ =, ν εκφρσετε το Θεωρουμε σημειο νφορς το κεντρο Ο του εξγωνου Ε Δ Εινι Ζ Α Ο Γ Β ΟΔ = ΒΓ= κι πο πρλληλογρμμ Αλλ Αρ ΓΔ = ΟΔ ΟΓ ΓΔ = ΟΓ = ΑΒ = Α σ κ η σ η Γι εν τυχιο εξγωνο Ρ Ρ Ρ 4 Ρ 5 Ρ Ρ 6 ν ποδειξετε οτι ΡΡ + ΡΡ 4 + ΡΡ 5 + ΡΡ ΡΡ 5 + ΡΡ 6 = 0 Εινι ΡΡ + ΡΡ 4 + ΡΡ 5 + ΡΡ ΡΡ 5 + ΡΡ 6 = ( = ΡΡ ΡΡ = ΡΡ 5 ΡΡ 0 = + = ΡΡ 5 0 ) + ( ΡΡ 4 + ΡΡ ΡΡ 6 ) = Α σ κ η σ η 0 Αν εινι εν δινυσμ, τι μπορειτε ν πειτε γι το μετρο κι την κτευθυνση του δινυσμτος = ; Εινι = 0 Επειδη 0 = = = > 0, το δινυσμ θ εχει ιδι κτευθυνση με το Α σ κ η σ η 0 Ν ρειτε το δινυσμ σε κθε μι πο τις περιπτωσεις: ( + ) = ( + ) +( + ) = 4( ) Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

6 4 Δ ι ν υ σ μ τ ( + ) = = ( + ) ( + ) = ( = + ) + = + + ( + ) = 4( ) + + = = 7 = Α σ κ η σ η 0 Αν στο διπλνο σχημ εινι (ΒΜ) = (ΜΓ), ν ποδειξετε οτι = ( + γ ) Α Β γ Μ Γ Σημειο νφορς το Α Τ δινυσμτ ΒΜ, ΜΓ εχουν ιδι φορ, ρ η ισοτητ (ΒΜ) = (ΜΓ) γινετι: ΒΜ = ΜΓ ΑΜ ΑΒ = (ΑΓ ΑΜ ) ΑΜ ΑΒ = ΑΓ ΑΜ ΑΜ = ΑΓ + ΑΒ = + γ = ( + γ ) Α σ κ η σ η 0 4 Στο διπλνο σχημ εχουμε ΔΕ = ΕΒ, κι ΔΑ = ΑΒ =, ΔΓ = Ν εκφρσετε συνρτησει των κι τ δινυσμτ ΔΒ, ΕΒ, ΓΒ, ΑΕ κι ΕΓ Απο τις εκφρσεις των ΑΕ κι ΕΓ ποιο συμπερσμ προκυπτει γι τ σημει Α, Ε κι Γ ; Γ Β Ε Α Δ Εινι: ΔΒ = ΔΑ+ ΑΒ = + Τ δινυσμτ ΔΕ, ΕΒ εχουν ιδι φορ, ρ η ισοτητ ΔΕ = ΕΒ γινετι ΔΕ= ΕΒ Ακομη ΔΕ+ΕΒ = ΔΒ ΕΒ + ΕΒ = ΔΒ ΕΒ = + Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

7 Δ ι ν υ σ μ τ 5 ΕΒ = ( + ΓΒ = ΓΔ + ΔΑ + ΑΒ = + ΑΕ ΕΓ = ΑΒ = = + ΒΕ ) ΕΒ + ΒΓ = ( = ΕΒ ( = + + ) = + ( + ) ΓΒ (4 = = + ) = ( ) = ( ) = + ) ( ) = ( Απο τις εκφρσεις των ΑΕ κι ΕΓ που ρηκμε εινι ΕΓ = ΑΕ ) ( που σημινει οτι τ σημει Α, Ε, Γ εινι συνευθεικ ) Α σ κ η σ η 0 5 Στο πρκτω σχημ ν ποδειξετε οτι τ σημει Α, Γ κι Ε εινι συνευθεικ Α Β Γ Δ Ε Εινι ΑΓ= ΑΒ+ΒΓ = + ΓΕ = ΓΔ +ΔΕ = + = ( + ) Αρ ΓΕ = ΑΓ δηλδη τ σημεί Α, Γ κι Ε εινι συνευθεικ Α σ κ η σ η 0 6 Αν ΑΚ + ΒΚ συνευθεικ ΒΑ = ΒΛ + ΑΜ, ν ποδειξετε οτι τ σημει Κ, Λ κι Μ εινι Σημειο νφορς το Κ ΑΚ + ΒΚ ΒΑ = ΒΛ + ΑΜ ΚΑ ΚΒ (ΚΑ ΚΒ) = ΚΛ ΚΒ + (ΚΜ ΚΑ) ΚΑ ΚΒ ΚΑ+ ΚΒ = ΚΛ ΚΒ + ΚΜ ΚΑ ΚΑ ΚΒ ΚΑ + ΚΒ ΚΒ ΚΑ = ΚΛ + ΚΜ 0 = ΚΛ + ΚΜ Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

8 6 Δ ι ν υ σ μ τ ΚΛ ΚΛ = ΚΜ ΚΜ που σημινει οτι τ σημει Κ, Λ κι Μ εινι συνευθεικ Α σ κ η σ η 0 7 Αν ΑΔ, ΒΕ κι ΓΖ εινι διμεσοι του τριγωνου ΑΒΓ, ν ποδειξετε οτι ΑΔ + ΒΕ + ΓΖ = 0 Εινι ΑΔ + ΒΕ + ΓΖ = (ΑΒ + ΑΓ ) + (ΒΑ+ ΒΓ) + (ΓΒ + ΓΑ ) = Α = = (ΑΒ + ΑΓ +ΒΑ+ ΒΓ+ΓΒ + ΓΑ ) = (ΑΒ + ΑΓ -ΑΒ + ΒΓ-ΒΓ- ΑΓ ) = Ζ Ε = 0 = 0 Β Δ Γ Α σ κ η σ η 0 8 Αν Κ, Λ, Μ εινι τ μεσ των πλευρων ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ, ντιστοιχως, τριγωνου ΑΒΓ, ν ποδειξετε οτι γι οποιοδηποτε σημειο Ο ισχυει : ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ = ΟΚ + ΟΛ + ΟΜ Εινι Α ΟΚ + ΟΛ + ΟΜ = = (ΟΒ + ΟΓ ) + (ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ (ΟΑ + ΟΓ ) = ) + (ΟΑ + ΟΒ ) = Μ Λ = ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ Β Κ Γ Ο Α σ κ η σ η 0 9 Αν Μ κι Ν εινι τ μεσ των διγωνιων ΑΓ κι ΒΔ, ντιστοιχως, ενος τετρπλευρου ΑΒΓΔ, ν ποδειξετε οτι ΑΒ + ΑΔ + ΓΒ + ΓΔ = 4 ΜΝ Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

9 Δ ι ν υ σ μ τ 7 Εινι ΑΒ+ ΑΔ = ΑΝ Β ΓΒ + ΓΔ Ετσι: = ΓΝ ΑΒ + ΑΔ + ΓΒ + ΓΔ Ομως ΝΑ Η () +ΝΓ () = ΝΜ = (ΑΝ ΑΝ +ΓΝ ΑΒ + ΑΔ + ΓΒ + ΓΔ +ΓΝ ) () = ΜΝ = 4 ΜΝ () Α Μ Γ Δ Ν Α σ κ η σ η 0 Δινετι το μη μηδενικο δινυσμ κι ΒΓ = μ ΑΒ Ν ποδειξετε οτι λ μ = ΑΒ κι σημειο Γ τετοιο ωστε ν ισχυει ΑΓ = λ ΑΒ Εινι (-) ΒΓ = μ ΑΒ ΓΒ = - μ ΑΒ ΓΒ - ΓΑ = - μ ΑΒ + λ ΑΒ ΑΓ = λ ΑΒ ΓΑ = - λ ΑΒ ΑΒ 0 ΑΒ = - μ ΑΒ + λ ΑΒ ΑΒ =(λ - μ) ΑΒ ΑΒ =(μ-λ) ΑΒ =λ-μ Α σ κ η σ η Δινετι τριγωνο ΑΒΓ Αν ΑΔ = κ ΑΒ + λ ΑΓ κι ΑΕ = λ ΑΒ + κ ΑΓ ν ποδειξετε οτι ΔΕ ΒΓ Σημειο νφορς το Α Εινι ΔΕ = ΑΕ ΑΔ = = λαβ + καγ (καβ+ λαγ) = = λαβ + καγ καβ λαγ = = (λ κ) ΑΒ (λ κ) ΑΓ = = (λ κ) (ΑΒ ΑΓ) = = (λ κ) ΓΒ = = (κ λ ) ΒΓ Αρ ΔΕ ΒΓ Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

10 8 Δ ι ν υ σ μ τ Α σ κ η σ η 0 Β Εστω κι δυο συγγρμμικ δινυσμτ i) Αν + = 0, ν δειξετε οτι = = 0 ii) Aν + = +, ν δειξετε οτι = κι = iii) Ν ρειτε γι ποιες τιμες του τ δινυσμτ u = ( - )a + κι ν = ( + )a - εινι συγγρμμικ i) Eινι + = 0 = - Aν 0, τοτε = - που σημινει οτι, που εινι τοπο Ετσι, = 0, οποτε - = 0 = 0 ii) Eινι - = 0 = + = + ( - ) + ( - ) = 0 - = 0 = iii) Τ δινυσμτ u κι ν εινι συγγρμμικ, ν κι μονο ν u = κ ν ( - ) + = κ[( + ) - ] - + = κ + κ - κ ( i) = κ - κ = 0 ( - - κ - κ) + ( + κ) = 0 + κ = 0 κ = - Α σ κ η σ η 0 Β Θεωρουμε εν πρλληλογρμμο ΑΒΓΔ κι δυο σημει Ε κι Ζ τετοι, ωστε = κ ΑΔ κι = λ ΑΒ, με κλ 0 Αν + =, ν ποδειξετε οτι τ σημει κ λ Ε, Γ κι Ζ εινι συνευθεικ ΑΕ Εστω ΑΒ = ΑZ ΓΕ = ΑΕ ΑΓ = κ ( = (κ ) κι ΑΔ = τοτε ΑΓ= () ΕZ = ΑZ ΑΕ = λ κ = = κ κ - [ (κ ) ] = κ κ - + ) = κ κ κ - κ = + = Ε [ (κ ) ] () Δ Α Γ κ + = λ= κ λ κ - Β Ζ Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

11 Δ ι ν υ σ μ τ 9 Απο (), (): ΕZ = κ κ - ΓΕ Αρ Ε, Γ, Ζ συνευθεικ ΕZ ΓΕ Α σ κ η σ η 0 Β Ν ποδειξετε οτι, ν ισχυουν δυο πο τις σχεσεις ΚΑ + ΚΒ + zκγ = 0, ΛΑ + ΛΒ + z ΛΓ = 0, + + z = 0, τοτε θ ισχυει κι η τριτη (Το σημειο Κ εινι διφορετικο πο το Λ) Αν: ΚΑ + ΚΒ + zκγ = 0 κι ΛΑ + ΛΒ + z ΛΓ= 0 Τις φιρουμε κτ μελη κι πιρνουμε : (ΚΑ ΛΑ ) + (ΚΒ ΛΒ ) + z(κγ ΛΓ ) = 0 (ΚΑ +ΑΛ ) + (ΚΒ +ΒΛ ) + z(κγ +ΓΛ ) = 0 ΚΛ + ΚΛ +zκλ = 0 ( + + z)κλ = 0 ΚΛ z = 0 Αν: ΚΑ + ΚΒ + zκγ = 0 κι + + z = 0 ΛΑ + ΛΒ + z ΛΓ= ( ΛK+ΚΑ) + ( ΛK+ΚΒ) + z( ΛK+ΚΓ ) = = ΛK + ΚΑ+ ΛK + ΚΒ+ z ΛK + z ΚΓ = = ( + + z) ΛK + (ΚΑ + ΚΒ + zκγ ) = = 0 ΛK Αν: ΛΑ + ΛΒ + z ΛΓ= 0 ΚΑ + ΚΒ + zκγ + 0 = = 0 κι + + z = 0 = (ΚΛ + ΛΑ ) + (KΛ + ΛΒ ) + z(κλ + ΛΓ ) = = ΚΛ + ΛΑ+ KΛ + ΛΒ+ zkλ + z ΛΓ = = ( + + z)κλ + ( ΛΑ + ΛΒ + z ΛΓ ) = = 0 ΚΛ + 0 = = 0 Α σ κ η σ η 0 4 Β Αν, κι r εινι οι δινυσμτικες κτινες των σημειων Α, Β κι Μ ντιστοιχως κι MA MB = κ, ν ποδειξετε οτι, λ λ + κ ν το Μ εινι εσωτερικο σημειο του ΑΒ, τοτε r =, Α Μ Β λ + κ λ - κ r ενω ν το Μ εινι εξωτερικο σημειο του ΑΒ,τοτεr = λ - κ Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom Ο Ο r Α Β Μ

12 0 Δ ι ν υ σ μ τ Αν Μ εινι εσωτερικο σημειο του ΑΒ: MA MB = λ λr κ λ ΜΑ = κ λ = κ + κr ΜΒ ΜΑ = λ + κ = κr Αν Μ εινι εξωτερικο σημειο του ΑΒ: MA MB = λ λr κ λ ΜΑ = = κ - κr κ λ ΜΒ ΜΑ = λ - κ κ λ ΜΒ κ λ ΜΒ = λr + λr - κr ΟΑ ΟΜ (κ + λ) r ΟΑ ΟΜ (λ - κ) r = = κ λ = λ κ λ = λ (ΟΒ ΟΜ + κ (ΟΒ ΟΜ - κ r ) r ) = = λ + κ λ + κ λ - κ λ - κ Α σ κ η σ η 0 5 Β Δινετι τριγωνο ΑΒΓ κι εν σημειο Σ Βρισκουμε τ συμμετρικ Δ, Ε κι Ζ του Σ ως προς τ μεσ Κ, Λ κι Μ των πλευρων ΒΓ, ΑΓ κι ΑΒ ντιστοιχως Αν G κι G τ ρυκεντρ των τριγωνων ΑΒΓ κι ΔΕΖ, ν ποδειξετε οτι τ σημει Σ, G κι G εινι συνευθεικ Αρκει ν δειξουμε οτι ΣG ΣG' Αν Ο εινι εν σημειο νφορς, τοτε: ΣG = OG- OΣ = (OA+ OB+ OΓ) - OΣ ΣG = OG - OΣ = (OΔ+ OE+ OZ) - OΣ = = (OK- OΣ+ OΛ- OΣ+ OM- OΣ) - OΣ = = (OK+ OΛ+ OM) -OΣ = = (OK+ OΛ+ OM) - OΣ = (OG- OΣ) = ΣG ( * ) Σ Μ Ζ Α G Λ Β Κ Γ G Ο Δ Ε Επομενως ΣG ΣG κι τ Σ, G κι G εινι συνευθεικ ΟΔ + ΟΣ (*) : ΟΚ = ΟΚ = ΟΔ + ΟΣ ΟΔ = ΟΚ - ΟΣ Ομοι, ΟΕ = ΟΛ - ΟΣ κι ΟΖ = ΟΜ - ΟΣ Α σ κ η σ η 0 6Β Δινετι τετρπλευρο ΑΒΓΔ κι εστω Μ κι Ν τ μεσ των διγωνιων του ΑΓ κι ΒΔ ντιστοιχως Ν ποδειξετε οτι ν 4 MN = AΔ- BΓ, τοτε το τετρπλευρο υτο εινι Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

13 Δ ι ν υ σ μ τ υτο εινι πρλληλογρμμο Αν προυμε ως σημειο νφορς μι κορυφη του τετρπλευρου, εστω την Α, τοτε: 4MN = AΔ- BΓ 4(AN- AM) = AΔ- (AΓ- AB) 4 (AB+ AΔ) - AΓ = AΔ- AΓ + AB AB+ AΔ- AΓ = AΔ- AΓ+ AB AB+ AΔ = AΓ AB+ AΔ = AB+ BΓ AΔ = BΓ Αρ, το ΑΒΓΔ εινι πρλληλογρμμο Δ Α Ν Μ Β Γ Α σ κ η σ η 0 7 Β Αν G κι G εινι τ ρυκεντρ δυο τριγωνων ΑΒΓ κι Α Β Γ, ν ποδειξετε οτι AA+ BB + ΓΓ = GG Αν προυμε ως σημειο νφορς το σημειο Ο: AA + BB + ΓΓ = OA- OA+ OB- OB+ OΓ - OΓ = = (OA + OB + OΓ ) - (OA+ OB+ OΓ) = = OG -OG = = (OG- OG) = GG Α σ κ η σ η 0 8 Β Δινοντι τ σημει Α, Β κι Γ Ν ποδειξετε οτι γι οποιοδηποτε σημειο Μ το δινυσμ MA - 5 MB + MΓ εινι στθερο Αν προυμε ως σημειο νφορς το σημειο Α: MA- 5 MB+ MΓ = -AM- 5(AB- AM) + (AΓ- AM) = = -AM+ 5AM-AM- 5 AB+ AΓ = = AΓ- 5 AB που εινι στθερο δινυσμ Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

14 Α σ κ η σ η 0 9 Β Στο διπλνο σχημ εχουμε εν τριγωνο ΑΒΓ κι τον εγγεγρμμενο του κυκλο που εφπτετι των πλευρων στ σημει Δ, Ε κι Ζ Ν υπολογισετε τ τμημτ ΑΖ =, ΒΔ = κι ΓΕ = z, συνρτησει των πλευρων, κι γ Δ ι ν υ σ μ τ Γ Α Ο Β Δ r 5 Ε Εινι r = OB+ BE = + AB = + ( - ) κι r = OΓ+ ΓE = 5 + ΓΔ = 5 + ( - 5) Επομενως, + ( - ) = 5 + ( - 5) ( + -) = ( + 5-5) () Τ δινυσμτ κι δεν εινι συγγρμμικ, οποτε η () ληθευει μονο ν + - = 0 κι = 0 Ετσι εχουμε το συστημ = - = - = - = 5 = = = - 4 = Ετσι r= + 5( - ) η r = Α σ κ η σ η 4 0 Ποι εινι η θεση στο κρτεσινο επιπεδο των σημειων M(,) γι τ οποι ισχυει: = < (iii) > (iv) = = = - η = < - < < - O - O (iii) > < - η > (iv) = = η = - =- = O - O Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

15 Δ ι ν υ σ μ τ Α σ κ η σ η 4 0 Ν ρειτε τις ποστσεις των πρκτω σημειων πο τους ξονες ' Α(-,), Β(,4), Γ(-5,-6), Δ( -, + ), M(,) κι ' : Η ποστση ενος σημειου K(μ,ν) πο τους ξονες στοιχ Ετσι : Γι το Α : κι Γι το Β : 4 κι Γι το Γ : 6 κι 5 Γι το Δ : + κι - Γι το Μ : κι ν O μ κι μ K(μ,ν) v εινι ν κι μ ντι- Α σ κ η σ η 4 0 Δινετι το δινυσμ = 0 ; = (λ - 4, λ - λ+ ), λ 0 κι ' ; Γι ποι τιμη του λ εινι: Γι ν εινι = 0 ρκεί οποτε λ = λ - 4 = 0 κι Γι ν εινι 0 κι ' ρκει οποτε λ = λ -λ + = 0, λ κι λ -λ + = 0, Α σ κ η σ η Δινοντι τ δινυσμτ = (λ - λ+, λ - λ- ) κι Ν ρειτε το λ, ωστε ν εινι = Γι ν ισχυει = ρκει ν εινι Ετσι λ -λ + = λ -5λ + 6 κι λ - λ + = λ - 5λ + 6 λ = 4 λ = λ - λ - = -λ + 7λ - 5λ - 0λ = 0 5λ(λ - ) = 0 λ = λ = 0 λ = η λ = = (λ - 5λ+ 6, - λ + 7λ- ) λ -λ - = -λ + 7λ - Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

16 4 Δ ι ν υ σ μ τ Α σ κ η σ η Ν ρειτε τον πργμτικο ριθμο, ωστε τ δινυσμτ = (,) εινι ομορροπ κι = (4,) ν Εχουμε = = 0-4 = 0 = η = - 4 Γι = εινι = (,) κι = (4,) = (,) =, δηλδη Γι = - εινι = (-,) κι = (4,-) = -(-,) = -, δηλδη Ετσι η ζητουμενη τιμη του εινι η = Α σ κ η σ η Αν u = (,4), ποιο δινυσμ εινι συγγρμμικο με το u κι εχει διπλσιο μετρο π το u ; Εν δινυσμ συγγρμμικο με το u μετρο πρεπει λu = u Επομενως λ u = u Αρ λ = λ = ± Γι λ = το ζητουμενο δινυσμ εινι το (6,8) Γι λ = - το ζητουμενο δινυσμ εινι το (- 6,- 8) θ εχει τη μορφη λu κι φου θ εχει κι διπλσιο Α σ κ η σ η Στο πιο κτω συστημ συντετγμενων εινι ΟΑ = i ΟΒ = j Ν εκφρσετε ως συνρτηση την i κι j : κι ) Τ δινυσμτ θεσης των σημειων Γ, Δ, Ε, Ζ, Κ κι Η ) Τ δινυσμτ ΓΔ, ΚΑ, ΗΔ, ΚΔ, ΗΘ, ΖΑ κι ΚΖ Ζ B j O Ε Γ i Δ Θ Η Κ A () OΓ = i () ΓΔ = i + j,, OΔ = i + j KZ = - i + j KA = - i - j, OE = i + j, HΔ = - i, OZ = j, KΔ = - i + j,, OK = i + j HΘ = - i, OH = i + j, ZA = i -j, Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

17 Δ ι ν υ σ μ τ 5 Α σ κ η σ η Δινοντι τ σημει Α(-,6) κι Β(- 9,- ) Ν ρειτε Το σημειο του ξον που ισπεχει πο τ A κι B Το σημειο του ξον που ισπεχει πο τ A κι B Eστω M(,0) το σημειο του ξον που ισπεχει πο τ σημει Α κι Β Τοτε: (MA) = (MB) MA = MB MA = MB MA = MB ( + ) + 6 = ( + 9) + 6 = - 48 = - Αρ το ζητουμενο σημειο εινι το M(-,0) Εστω N(0, ) το σημειο του ξον που ισπεχει πο τ σημει Α κι Β Τοτε: (ΝA) = (ΝB) ΝA = ΝB ΝA = ΝB ΝA = ΝB + ( - 6) = 9 + ( +) 6 = - 48 = - Αρ το ζητουμενο σημειο εινι το N(0,- ) Α σ κ η σ η 4 0 Β Αν τ σημει Κ(, ), Λ(, ), Μ(4, ), Ν(,) κι Ξ(, ) εινι τ μεσ των πλευρων ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ κι ΕΑ, ντιστοιχως, του πεντγωνου ΑΒΓΔΕ, ν ρεθουν οι συντετγμενες των κορυφων του πεντγωνου Αν A(, ), B(, ), Γ(, ), Δ(, ) κι E(, ) εινι οι κορυφες του πεντγωνου, τοτε εχουμε τ συστημτ + = + = 5 + = 6 + = 7 Σ : + = 8 κι Σ : 4 + = = 6 + = = + = 5 5 Με προσθεση των εξισωσεων του Σ κτ μελη ρισκουμε = 4 5 Ομως + = 6 κι + = 6, επομενως + = = κι 4 5 διδοχικ ρισκουμε =, = 4, = 4, = 4 5 Με νλογο τροπο επιλυουμε το συστημ Σ κι ρισκουμε =, = 4, =, =, = Ετσι οι κορυφες του πεντγωνου εινι τ σημει A(,), B(,4), Γ(4,), Δ(4,) κι E(,0) Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

18 6 Δ ι ν υ σ μ τ Α σ κ η σ η 4 0 Β Σ εν συστημ συντετγμενων οι τετμημενες δυο σημειων Α, Β εινι οι ριζες της - (λ - 4λ + ) - 7 = 0 Ν ρειτε την τιμη του λ τμημτος ΑΒ ν εχει τετμημενη ιση με 4 Αν A(, ) κι εξισωσης B(, ) εινι τ σημει, τοτε τ - (λ - 4λ + ) -7 = 0 Η τετμημενη του μεσου του τμημτος ΑΒ εινι ιση με 4 Ετσι + λ - 4λ + = 4 = 4 λ - 4λ - 5 = 0 λ - 5λ + λ - 5 = 0 κι, ωστε το μεσον του λ = - λ(λ - 5) + (λ - 5) = 0 (λ + )(λ - 5) = 0 λ = 5 εινι οι ριζες της Α σ κ η σ η 4 0 Β Δινοντι τ σημει Μ (κ,λ ), Μ (κ,λ ), Μ (κ,λ ) κι Μ (κ,λ ) Ν εξετσετε ποτε τ σημει υτ εινι τ μεσ των διδοχικων πλευρων τετρπλευρου Τ σημει M,M,M κι M 4 εινι μεσ διδοχικων πλευρων τετρπλευρου, οχι κτνγκη κυρτου, ν κι μονο ν M M = M M 4 Πργμτι Αν τ M,M,M, M 4 εινι μεσ διδοχικων πλευρων τετρπλευρου, τοτε το M M M M θ εινι πρλληλογρμμο, οποτε M M = M M 4 4 Αντιστροφ, ν M M = M M, τοτε τ M,M,M, M θ εινι μεσ διδοχικων 4 4 πλευρων τετρπλευρου Εστω Α εν σημειο εκτος της ευθεις M M, Β το συμμετρικο του Α ως προς το M, Γ το συμμετρικο του Β ως προς το M κι Δ το συμμετρικο του Γ ως προς το M Αν M ' εινι το μεσο της πλευρς ΑΔ,τοτε 4 M M = M M M M = M M ρ τ M κι M ' θ συμπιπτουν κι το M εινι το μεσο του ΔΑ, οποτε το ζητουμενο τετρπλευρο θ εινι το ΑΒΓΔ Εινι: M M = M M (κ -κ, λ - λ ) = (κ -κ, λ - λ ) κ +κ = κ +κ κι λ + λ = λ + λ, που εινι ζητουμενη συνθηκη 4 4 Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

19 Δ ι ν υ σ μ τ 7 Α σ κ η σ η Β Γι οποιουσδηποτε πργμτικους ριθμους,,,,, ν ποδειξετε οτι: ( - ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) ( - ) + ( - ) Θεωρουμε τ σημει A(, ), B(, ) Απο την τριγωνικη νισοτητ εχουμε: (ΓA) + (ΓB) (AB) κι Γ(, ) ( - ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) ( - ) + ( - ) Α σ κ η σ η Β Δινοντι δυο μη συγγρμμικ δινυσμτ κι ενος επιπεδου Ν ποδειξετε οτι ο- ποιοδηποτε δινυσμ r του επιπεδου υτου μπορει ν εκφρστει ως γρμμικος συνδυσμος των κι κτ μονδικο τροπο Σχεδιζουμε τ, κι r κι εστω OA =, OB = Απ το περς Ρ του r με κοινη ρχη Ο κι OP = r φερνουμε πρλληλες Δ A P προς τους φορεις των OA κι OB μτιζουμε το πρλληλογρμμο ΟΓΡΔ κι σχη- Θ εινι OΔ = OA = κι OΓ = OB =, οπου, O Γ Β Απ τον κνoν του πρλληλoγρμμου OP = OΔ+ OΓ, δηλδη r = +, που εινι κι το ζητουμενο Θ δειξουμε οτι οι ριθμοι κι εινι μονδικοι Εστω οτι ισχυει κι r = + Τοτε : + = + ( - ) = ( - ) Αν - 0, δηλδη, τοτε - = - Επομενως =, κι = που εινι τοπο Ετσι το r εκφρζετι κτ μονδικο τροπο ως γρμμικος συνδυσμος των κι Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

20 8 Δ ι ν υ σ μ τ Α σ κ η σ η 5 0 Αν = (-,) κι = (,5), τοτε Ν ρειτε τ εσωτερικ γινομεν, () (-) κι ( - ) ( + ) Ν ρειτε τη σχεση που συνδεει τους κ,λ, ωστε το εσωτερικο γινομενο των δινυσμτων u = (κ,λ) κι ν εινι ισο με μηδεν Ποι η σχεση ολων των δινυ- σμτων u στην περιπτωση υτη ; Εινι = (- ) + 5 = = () (-) = -6 = -6 = -78 ( -) ( + ) = = ( + ) - - ( + 5 ) = Εινι =0-6-9 = - 5 u = 0 (κ,λ)(,5) = 0 κ + 5λ = 0 Τ δινυσμτ u εινι κθετ στο κι μετξυ τους συγγρμμικ Α σ κ η σ η 5 0 Αν u = (,), v = (4,) κι w = (6,0), ν υπολογισετε τις πρστσεις: u (7v + w), u (v w), (u v) w κι ( u v) w Εινι u (7v + w) = 7u v + u w = 7(4 + 4) + (6 + 0) = = 6 u (v w) = 5 4 = 4 5 (u v)w = 8w = 8 w = 8 6 = 48 ( u v) w = u (v w) = 5 4 = 4 5 Α σ κ η σ η 5 0 Αν = (,0) κι = (,), ν ρειτε τον λ, ωστε: Τ δινυσμτ κι + λ ν εινι κθετ Τ δινυσμτ κι + λ ν εινι κθετ Πρεπει ( + λ) = 0 Εινι ( + λ) = + λ = + λ = λ + Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

21 Δ ι ν υ σ μ τ 9 Επομενως λ + = 0 λ = - Πρεπει ( + λ) = 0 + λ = 0 + λ = 0 λ = - Α σ κ η σ η Ν ρειτε τ δινυσμτ που εινι κθετ στο u = (,- ) κι εχουν μετρο ισο με Εστω v = (, ) το ζητουμενο δινυσμ Τοτε θ εινι: = = = = u v = 0 - = 0 = v = + = = ± + = = 9 = - = - Αρ, v =, ή v = -,- Α σ κ η σ η Αν =, = κι u = - κι v=κ + ν εινι κθετ Εινι διδοχικ u v u v = 0 ( -) (κ + ) = 0 κ κ - = 0 π (, ) =, υπολογισετε τον κ, ωστε τ δινυσμτ κ κ - 9 = 0 κ = 0 Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

22 0 Δ ι ν υ σ μ τ Α σ κ η σ η Αν = (κ,) = 0 κι = (4,), ν ρειτε τον κ π (, ) = 4 (iii) ωστε ν ισχυει: Eινι = 0 4κ + = 0 κ = - 4 π 5 κ + = 4κ + 4 συν = 4κ + κ = 4κ + κ + 5 = 8κ + 6 ( κ + 5 ) = (8κ + 6) 50κ + 50 = 64κ + 96κ + 6 4κ + 96κ -4 = 0 7κ + 48κ - 7 = 0 (iii) κ = - 7 (δεν επληθευει την εξισωση) δεκτη κ= 7 κ = 0 κ - 4 = 0 κ= 4 4 Α σ κ η σ η Αν = = κι π (, ) =, ν υπολογισετε τη γωνι των δινυσμτων u = + 4 κι v = a - Αν φ εινι η γωνι των δινυσμτων u κι v, τοτε συνφ = u v u v Ομως u v = ( + 4) ( -) = = = = = - u = ( + 4) = = = u = v = ( -) = - + = = v =, Επομενως - συνφ = = - κι π φ= Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

23 Δ ι ν υ σ μ τ Α σ κ η σ η Αν τ δινυσμτ a κι ( - ) συν(, ) = εινι μη μηδενικ, ν ποδειξετε οτι: Εινι διδοχικ ( - ) ( - ) = 0 - = 0 = συν(,) συν(,) = Α σ κ η σ η Ν ποδειξετε οτι τ δινυσμτ u = + κι v = - εινι κθετ Εινι u v = ( + )( - ) = = - = = - = = 0 Α σ κ η σ η 5 0 Ν ποδειξετε οτι γι δυο μη μηδενικ δινυσμτ κι, το δινυσμ v= - ( ) εινι κθετο στο Εινι v = ( - ( ) ) = = ( ) - ( ) = = 0 Α σ κ η σ η 5 Δινοντι τ σημει Α(,- ), Β(6,- 4), Γ(,5), Δ(-,) Ν υπολογισετε Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

24 Δ ι ν υ σ μ τ Το εσωτερικο γινομενο ΑΒ ΓΔ Τι συμπερινετε γι τ δινυσμτ ΑΒ κι ΓΔ ; Εινι AB = (6 -,- 4 + ) = (,- ) κι ΓΔ = (- -, - 5) = (-,- ) Επομενως ABΓΔ = (,- ) (-,- ) = = 0 Αφου AB ΓΔ = 0, τ δινυσμτ AB κι ΓΔ εινι κθετ Α σ κ η σ η 5 Δινοντι τ δινυσμτ = (,- 4) κι = (- 8,5) Ν νλυσετε το συνιστωσες, πο τις οποιες η μι ν εινι πρλληλη προς το σε δυο κθετες Εστω = λ + p, οπου p Εινι = λ + p = λ (- 8) + (- 4) 5 = λ 0-6 = 0λ 6 9 λ = - = Ετσι = - + p () 5 Ομως 9 9 p= + = (- 8,5) + (,- 4) = -, Τελικ η (): = - + -, Α σ κ η σ η 5 Ν υπολογισετε τ μηκη των διγωνιων ενος πρλληλογρμμου που κτσκευζετι με τ δινυσμτ 5 + κι -, ν =, = κι 0 (, ) = 45 Η μι διγωνιος του πρλληλογρμμου θ εχει μηκος (5 + ) + ( - ) κι η λλη (5 + ) - ( - ) Εινι (5 + ) + ( - ) = 6 -, Οποτε η μι διγωνιος εχει μηκος: Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

25 Δ ι ν υ σ μ τ 6 - = (6 -) = = = Ομοι ρισκουμε: = = = 5 (5 + ) - ( - ) = = 59 Α σ κ η σ η 5 4 Γι τ δινυσμτ του πρκτω σχημτος ν υπολογισετε την πρστση ΑΒ ΑΓ + ΑΒ ΓΔ B Γ Α Δ Εινι AB AΓ + AB ΓΔ = AB (AΓ + ΓΔ) = AB AΔ = Αλλιως: =AΔΠρο AB = 5 (- ) = - 5 AΔ AB AΓ + AB ΓΔ = AB AΔ = (-,4) (5,0) = - 5 Α σ κ η σ η 5 5 Ν εξετσετε ποτε ισχυει: + = + - = + + = + + = ( + ) ( + ) = ( + ) + + = = + + = συν(,) = συν(,) = - = + ( - ) = ( +) + - = + + = - συν(,) = - συν(,) = - Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

26 4 Δ ι ν υ σ μ τ Α σ κ η σ η 5 0 Β Τ δινυσμτ κι εινι μη μηδενικ κι μη συγγρμμικ Ν ποδειξετε οτι γι ολους τους πργμτικους ριθμους λ κι μ ισχυει: Ποτε ισχυει το " = " ; Εινι λ + λμ( ) + μ 0 λ + λ μ ( ) + μ 0 (λ + μ ) 0, που ισχυει Το " = " ισχυει, ν κι μονο ν λ + μ = 0 η ισοδυνμ, λ = - μ Δικρινουμε περιπτωσεις - μ Αν λ 0, τοτε = λ, που εινι τοπο Αν λ = 0, τοτε μ = 0 κι μ = 0 Αρ το " = " ισχυει, ν κι μονο ν λ = μ = 0 Α σ κ η σ η 5 0 Β Ν ποδειξετε οτι: u + v + u -v = u + v u v = u + v - u -v 4 4 Εινι u + v + u - v = (u + v) + (u - v) = = u + v u +u v + v + u -u v + v = u + v - u - v = (u + v) - (u - v) = = (u + u v + v ) - (u - u v + v ) = 4 4 = u v + u v = u v u +v = Α σ κ η σ η 5 0 Β Δινοντι τ μη μηδενικ κι μη συγγρμμικ δινυσμτ κι Ν ποδειξετε οτι: Ο φορες του δινυσμτος u = + a διχοτομει τη γωνι των δινυσμτων κι Ο φορες του δινυσμτος v = - διχοτομει την πρπληρωμτικη γωνι των δινυσμτων κι Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

27 Δ ι ν υ σ μ τ 5 Αν ω εινι η γωνι των γωνι φ, τοτε: u = + κι u συνφ = + κι το u σχημτιζει με το u = + ( ) συνω συνφ = ( + συνω) () u Ομοι: u = + u = ( ) + u συνφ = συνω + γωνι u συνφ = ( + συνω) συνφ = ( + συνω) () u Απ τις () κι () εχουμε συνφ = συνφ φ = φ u v = ( + )( - ) = Επομενως u φορες των v v κι επειδη ο φορες των u φ κι με το u συνφ = ( + συνω) - = - = 0 διχοτομει τη γωνι των διχοτομει την πρπληρωμτικη γωνι των κι κι, ο Α σ κ η σ η Β Αν =, =, γ = κι + + γ = 0, ν υπολογισετε το θροισμ + γ + γ Εινι: + + γ = 0 = - () + = - γ = γ = 9 Ανλογ, ρισκουμε οτι: + + γ = 0 + γ = + γ + γ = γ = 4 4 γ = 6 γ = () + + γ = 0 + γ = 4 + γ + 4 γ = γ = 4 γ = - 4 γ = - 6 () Ετσι, λογω των (), () κι (), εχουμε + γ + γ = = - 5 Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

28 6 Δ ι ν υ σ μ τ Α σ κ η σ η Β Αν τ δινυσμτ = (κ,λ) εινι κθετ κι εχουν μετρ ισ με τη μονδ, ν δειξετε οτι (κν - λμ) = κι = (μ,ν) Αφου εινι Αφου τ μετρ των κ + λ = () Ομως μ + ν = () = 0 κι κι κμ + λν = 0 () (,,) (κ + λ )(μ + ν ) - (κμ + λν) = (κν - λμ) Αλλιως: Εινι εινι ισ με τη μονδ εινι: (κν - λμ) =[(κ,λ) (ν,-μ)] = ( κ + λ ν + μ συνω) οπου ω εινι η γωνι των δινυσμτων (κ, λ) Ομως τ δινυσμτ (κ, λ) Επομενως, θ εινι συν ω = κι - 0 = (κν - λμ) (κν - λμ) = κι (ν,- μ) = συν ω, κι (ν,-μ) εινι πρλληλ, φου κ λ = -(κμ + λν) = 0 ν -μ (κν - λμ) = Α σ κ η σ η Β γ + δ Ν ποδειξετε οτι - + γ + δ Θεωρουμε τ δινυσμτ = (,) κι = (γ,δ) Eινι = συν(,) = + γ + δ συν(,) = γ + δ Ετσι συν(,) = Ομως + - συν(,) Τελικ γ + δ γ + δ γ + δ - + γ + δ Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

29 Δ ι ν υ σ μ τ 7 Α σ κ η σ η Β Σε ημικυκλιο με διμετρο ΑΒ κι κεντρου Ο πιρνουμε σημειο Μ Ν εκφρσετε τ δινυσμτ ΜΑ κι κι MB ως συνρτηση των Ν ρειτε το γινομενο ΜΑ ΜΒ Τι συμπερινετε γι τη γω- νι των δινυσμτων ΜΑ κι MB ; Ποι προτση της Ευκλειδεις Γεωμετρις εχει ποδειχτει; Εινι MA = OA- OM = - - κι ΜΒ = ΟΒ- ΟΜ = - ΜΑ ΜΒ = - ( + )( -) = - = - = 0 Αφου ΜΑ ΜΒ = 0, εινι ΜΑ ΜΒ Γεωμετρικ υτο σημινει οτι : γωνι εγγεγρμμενη σε ημικυκλιο εινι ορθη Μ Α Ο Β Α σ κ η σ η Β Σε τριγωνο ΑΒΓ τ δυο υψη του ΒΕ κι ΓΖ τεμνοντι στο Η Α Εστω ΗΑ =, ΗΒ = κι ΗΓ = γ Ν εκφρσετε τ δινυσμτ ΑΒ, AΓ ρτηση των, κι γ κι BΓ Ν ποδειξετε οτι γ = γ κι γ = (iii) Απο το προηγουμενο ερωτημ προκυπτει οτι γ ως συν- = Με τη οηθει της ισοτητς υτης δειξτε οτι AH BΓ Ποι προτση της Ευκλειδεις Γεωμετρις εχει ποδειχτει; Β Ζ Ε γ Γ AB = HB - HA = - ΑΓ = ΗΓ -ΗΑ = γ - ΒΓ = ΗΓ - ΗΒ = γ - γ = γ γ ( -) = 0 ΗΓ ΒΑ = 0 που ληθευει, φου ΓΖ ΑΒ γ = (γ - ) = 0 ΑΓ ΗΒ = 0 που ληθευει, φου ΒΕ ΑΓ (iii) γ - = 0 (γ -) = 0 (ΗΓ - ΗΒ) ΗΑ = 0 ΒΓ ΗΑ = 0 ΒΓ ΗΑ Ετσι ΑΗ ΒΓ Γεωμετρικ: οι φορεις των υψων ενος τριγωνου διερχοντι π το ιδιο σημειο (ορθοκεντρο) Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

30 8 Δ ι ν υ σ μ τ Α σ κ η σ η Β Δινετι τριγωνο ΑΒΓ κι εξωτερικ υτου κτσκευζουμε τ τετργων ΑΒΕΖ κι ΑΓΗΘ Ν εκφρσετε τ δινυσμτ ΒΘ κι ΖΓ ως συνρτηση των,, γ, γ κι ν υπολογισετε το εσωτερικο γινομενο Τι συμπερινετε γι τ τμημτ ΒΘ κι ΓΖ; ΒΘ ΖΓ Ε Ζ B A γ γ Θ Γ Η Εινι ΒΘ = ΑΘ - ΑΒ = γ - ΓΖ = ΑΖ- ΑΓ = - γ Ετσι ΒΘ ΓΖ = (γ - ) ( - γ ) = γ - γ γ - + γ = Αρ ΒΘ = γ + γ = γ συνzaθ + γ συνβαγ = =(ΑΓ) (ΑΒ) συν(π - Α) + (ΑΒ) (ΑΓ) συνα = = - (ΑΒ) (ΑΓ) συνα+ (ΑΒ) (ΑΓ) συνα = 0 ΓΖ Α σ κ η σ η 5 0 Β Δινετι πρλληλογρμμο ΑΒΓΔ κι κυκλος κεντρου Ο που διερχετι πο την κορυφη Α κι τεμνει τις ευθειες ΑΒ, ΑΓ κι ΑΔ στ Β, Γ κι Δ ντιστοίχως B B O Γ Γ Ν ποδειξετε οτι ΑΒ ΑΒ + ΑΔ ΑΔ = ΑΓ ΑΓ A Δ Δ Φερνουμε τη διμετρο ΑΑ Οποτε οι γωνιες Β', Γ', Δ' εινι ορθες Ετσι B Α AB = Προ ΑΑ B ΑΒ O ΑΔ = Προ ΑΑ ΑΔ Γ ΑΓ = Προ ΑΑ, Αρ ΑΓ ΑΒ ΑΒ + ΑΔ ΑΔ = ΑΒ Προ ΑΑ + ΑΔ Προ ΑΑ = ΑΒ ΑΔ = ΑΒ ΑΑ + ΑΔ ΑΑ = (ΑΒ + ΑΔ) ΑΑ = = ΑΓ ΑΑ = ΑΓ Προ ΑΑ = ΑΓ ΑΓ ΑΓ Α Δ Δ Γ ν = Προ ν Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

31 Δ ι ν υ σ μ τ 9 Α σ κ η σ η 5 Β Δινετι κυκλος (O,R) κι σημειο Μ του επιπεδου του Αν μετλητη ευθει που διερχετι πο το Μ τεμνει τον κυκλο στ Α κι Β, ποδειξτε οτι το γινομενο Μ ως προς τον κυκλο Ο) ΜΑ ΜΒ εινι στθερο (Το γινομενο υτο λεγετι δυνμη του σημειου Αν Β εινι το ντιδιμετρικο του Β, τοτε 0 ΒΑΒ = 90 κι Εινι ΜΑ = Προ ΜΒ ΜΒ Α Μ MAMB = MBMA = MBMB = = (OB- OM) (OB- OM) = B R O B = (OB- OM) (- OB- OM) = = (OB+ OM) (OM- OB) = = OM - OB που εινι στθερο = OM - ρ, B Μ O Α B Α σ κ η σ η Γ 0 Αν υπρχουν πργμτικοι ριθμοι κ, λ, μ με κ + λ + μ 0, τετοιοι, ωστε κ + λ+ μ = 0 κι κ ΟΑ + λ ΟΒ + μ ΟΓ = 0, ν ποδειξετε οτι τ σημει Α, Β κι Γ εινι συνευθεικ κι ντιστροφως Τ σημει Α, Β κι Γ εινι συνευθεικ, ν AB κι AΓ εινι συγγρμμικ Αφου κ + λ + μ 0 ενς τουλχιστον π τους κ, λ, μ, εινι διφορος του μηδενος (εστω ο λ) Ετσι κ ΟΑ+ λ ΟΒ+ μ ΟΓ = 0 λ ΑΒ + μ ΑΓ - (κ + λ + μ) ΑΟ = 0 μ ΑΒ = - ΑΓ, που σημινει οτι τ AB λ τ σημει Α, Β κι Γ εινι συνευθεικ Αντιστροφ - κ AΟ + λ(αβ- ΑΟ) + μ (ΑΓ- ΑΟ) = 0 λ ΑΒ + μ ΑΓ = 0 κι AΓ λ ΑΒ = - μ ΑΓ εινι συγγρμμικ, οποτε Αν τ σημει Α, Β κι Γ εινι συνευθεικ, τοτε υπρχει πργμτικος ριθμος ρ τετοι- Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

32 0 Δ ι ν υ σ μ τ ος, ωστε ΑΒ = ρ ΑΓ Ετσι ΟΒ- ΟΑ = ρ(ογ- ΟΑ) (ρ -) ΟΑ+ ΟΒ+ (-ρ) ΟΓ = 0 () ΟΒ- ΟΑ- ρ ΟΓ+ ρ ΟΑ = 0 Αν θεσουμε στην () ρ - = κ, =λ κι -ρ = μ, υτη γρφετι κ ΟΑ + λ ΟΒ + μ ΟΓ με κ + λ + μ = ρ ρ = 0 κι με ενν τουλχιστον π τους κ, λ κι μ διφορο του μηδενος ( λ = 0) Α σ κ η σ η Γ 0 Αν γι το σημειο Μ του επιπεδου τριγωνου ΑΒΓ ισχυουν οι σχεσεις ΑΜ = λ ΑΒ+ μ ΑΓ κι ΒΜ = λ ΑΓ + μ ΒΑ, ν ποδειξετε οτι το Μ εινι το μεσον της πλευρς ΒΓ Αρκει ν δειξουμε οτι Εινι ΑΒ = ΜΒ- ΜΑ Ετσι = ΑΜ- ΒΜ = ΑΒ = (λ + μ) ΑΒ+ (μ - λ) ΑΓ ΑΜ = (ΑΒ+ ΑΓ) λ ΑΒ+ μ ΑΓ- λ ΑΓ- μ ΒΑ = ( - λ - μ) ΑΒ = (μ - λ) ΑΓ () (λ + μ) ΑΒ + (μ - λ) ΑΓ Τ δινυσμτ ΑΒ κι ΑΓ δεν εινι συγγρμμικ, οποτε η () ισχύει μονο ν -λ - μ = 0 κι μ - λ = 0, δηλδη μ = λ = που σημινει οτι το Μ εινι το μεσο της πλευ- Αρ ΑΜ = ΑΒ+ ΑΓ = (ΑΒ+ ΑΓ) ρς ΒΓ Α σ κ η σ η Γ 0 Εστω Ο κι Α δυο στθερ σημει του επιπεδου με ΟΑ = σημει Μ του επιπεδου γι τ οποι εινι ΟΜ ( ΟΜ- ΟΑ ) = 7 ; Με σημειο νφορς το Α η δοσμενη σχεση δινει: ΟΜ (ΟΜ - ΟΑ) = 7 (ΑΜ - ΑΟ) (ΑΜ - ΑΟ - ΟΑ) = 7 (ΑΜ - ΑΟ) (ΑΜ + ΑΟ) = 7 ΑΜ - ΑΟ = 7 ΑΜ - 9 = 7 ΑΜ = 4 ΑΜ - ΑΟ = 7 Ποι γρμμη γρφουν τ Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

33 Δ ι ν υ σ μ τ Απ την τελευτι ισοτητ προκυπτει οτι το Μ πεχει π το στθερο σημειο Α στθερη ποστση ιση με 4 Αρ το Μ κινειτι σε κυκλο με κεντρο το Α κι κτιν ρ = 4 Α σ κ η σ η Γ 0 4 Δινοντι δυο μη μηδενικ δινυσμτ κι Αν υπρχει λ, τετοιος, ωστε + λ =, ν ποδειξετε οτι το εμδον του πρλληλογρμμου ΟΑΓΒ με ΟΑ = κι ΟΒ = εινι μικροτερο η ισο του Αν ω η γωνι των κι τοτε (ΟΑΓΒ) = υ = ημω Αρκει ν δειξουμε ημω ημω Απ τη δοσμενη σχεση: + λ = + λ = ( + λ) = + λ + (λ ) = λ + ( ) λ + ( -) = 0 () Γι ν εχει η () λυση ως προς λ, πρεπει: Δ 0 4( ) - 4 ( -) 0 συν ω - ( - ) 0 συν ω ημ ω + 0 ημ ω ημω φου ημω > 0 Αλλιως Εινι (ΟΑΓΒ) = (ΟΒ) (ΟΔ) () Ομως (ΟΒ) = κι (ΟΔ) (ΟΣ) = + λ = Επομενως, λογω της (), εινι (ΟΑΓΒ) (ΟΒ) = Ο Ο λ Β Β ω υ a Δ Α Γ Α Σ Γ Α σ κ η σ η Γ 0 5 Εστω Ο το περικεντρο τριγωνου ΑΒΓ (δηλδη το σημειο γι το οποιο ισχυει ΟΑ=ΟΒ=ΟΓ) κι εστω,, κι γ τ δινυσμτ θεσεως των κορυφων Α, Β κι Γ ντιστοιχως με σημειο νφορς το Ο Ν δειξετε οτι το σημειο Η με δινυσμ θεσεως ΟΗ = + + γ εινι το ορθοκεντρο του τριγωνου ΑΒΓ Ν ρειτε το δινυσμ θεσεως του ρυκεντρου του τριγωνου ΑΒΓ με σημειο ν- Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

34 Δ ι ν υ σ μ τ φορς το Ο (iii) Ν ποδειξετε οτι το περικεντρο Ο, το ρυκεντρο G κι το ορθοκεντρο Η ενος τριγωνου ΑΒΓ εινι συνευθεικ σημει κι οτι G διιρει το τμημ ΟΗ σε λογο Γι ν εινι το Η το ορθοκεντρο του τριγωνου ρκει ν δειξουμε οτι ΑΗ ΒΓ = 0, ΒΗ ΑΓ = 0 κι ΓΗ ΑΒ = 0 Εινι: ΑΗ ΒΓ = (ΟΗ- ΟΑ)(ΟΓ- ΟΒ) = =( + + γ - )(γ -) =( + γ)(γ -) = γ - = ΟΓ - ΟΑ = 0 Ομοι δειχνουμε οτι ΒΗ ΑΓ = 0 κι ΓΗ ΑΒ = 0 Ισχυει γι το ρυκεντρο G: GA+ GB+ GΓ = 0 OG = OA+ OB+ OΓ (iii) Eχουμε ΟΗ = + + γ OA- OG+ OB- OG+ OΓ- OG = 0 κι OG = ( + + γ) ΟG = ( + + γ) Ετσι ΟΗ = ΟG OH- OG = OG GH = OG OG = GH που σημινει οτι τ O, G κι Η εινι συνευθεικ σημει κι οτι το G διιρει το τμημ ΟΗ σε λογο / Α Η G O Α σ κ η σ η Γ 0 6 Τ δινυσμτ,, γ κι Ν ποδειξετε οτι ( - )( ) = γ Αν, ν εκφρσετε το δινυσμ Η δοσμενη σχεση δινει του επιπεδου ικνοποιουν τη σχεση ( ) = γ + ως συνρτηση των, κι γ ( ) = γ + (( )) = (γ + ) ( )( ) = γ + ( )( ) - = γ ( )( -) = γ () Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

35 Δ ι ν υ σ μ τ Διιρουμε τ μελη της () με - 0 κι προκυπτει: Απ τη δοσμενη σχεση : γ γ = γ + = - γ - - γ = - Α σ κ η σ η Γ 0 7 Τετρπλευρου ΑΒΓΔ οι πλευρες ΑΒ κι ΓΔ τεμνοντι B στο Ε κι οι πλευρες ΒΓ κι ΑΔ τεμνοντι στο Ζ Αν ΕΑ =, ΕΒ = κ κι ΕΔ =, ΕΓ = λ, τοτε Ν εκφρσετε ως συνρτηση των,, κ κι λ τις δινυσμτικες κτινες ως προς το Ε των σημειων Κ, Λ κι Μ, που εινι μεσ των ΒΔ, ΑΓ κι ΕΖ ντιστοιχως Δειξτε οτι τ σημει Κ, Λ κι Μ εινι συνευθεικ Ε A Δ M Κ Λ Γ Ζ EK = ( EB + EΔ) = (κ +) ΔZ AΔ = ( - ) τοτε κι EΛ = ( EA+ EΓ ) = ( + λ) EM = EZ = (EΔ+ ΔZ) = + ( - ) BZ BΓ = λ - κ τοτε EM = EZ = ( EB + BZ ) = κ + (λ -κ) Επομενως, + ( - ) = κ + (λ -κ) ( + - λ) = ( +κ -κ) () Τ κι δεν εινι συγγρμμικ κι η () ληθευει ν: + - λ = 0 = λ - = λ - κ(λ -) κ - = κι = +κ-κ = 0 λ - + κ - κ = 0 (κ - λ) = κ - κ - λ κ - λ Αρ κ - EM = [κ + (λ - κ )] κ - λ Απ το προηγουμενο ερωτημ εινι: KΛ = EΛ - EK = ( + λ ) - (κ +) = [( -κ) + (λ -) ] κ - κ KM = EM- EK = [κ + (λ -κ ) -κ -] = [( -κ) + (λ -) ] κ - λ κ - λ Αρ κ KM = KΛ, που σημινει οτι τ σημει Κ, Λ κι Μ εινι συνευθεικ κ - λ Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

36 4 Δ ι ν υ σ μ τ Α σ κ η σ η Γ 0 8 Δινετι τριγωνο ΑΒΓ κι τ σημει Δ, Ε κι Ζ των πλευρων του ΒΓ, ΓΑ κι ΑΒ ντιστοιχως, ωστε ν ισχυει ΒΔ ΓΕ ΑΖ μ = = = ΔΓ ΕΑ ΖΒ ν Ν ποδειξετε οτι τ τριγων ΑΒΓ κι ΔΕΖ εχουν το ιδιο ρυκεντρο Συμφων με την σκηση 04 Β, ν,, γ εινι οι δινυσμτικες κτινες των κορυφων Α, Β κι Γ ντιστοιχ του Δ ABΓ κορυφων Δ, Ε κι Ζ ντιστοιχ του ν + μγ δ= μ + ν, νγ + μ ε= μ + ν κι Το κεντρο ρους G του Το κεντρο ρους G του κι δ, ε, ζ Δ ΔΕΖ ν + μ ζ= μ + ν εινι οι δινυσμτικες κτινες των ως προς την ιδι ρχη Ο, τοτε: Δ ABΓ εχει δινυσμτικη κτιν την Δ ΔΕΖ ν + μγ νγ + μ ν + μ OG = + + μ + ν μ + ν μ + ν εχει δινυσμτικη κτιν την Επομενως OG = OG, που σημινει οτι τ G κι G OG = ( + + γ) (μ + ν)( + + γ) = = ( + + γ) μ + ν συμπιπτουν Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

37 E υ θ ε ι 5 Α σ κ η σ η 0 Ν ρειτε το συντελεστη διευθυνσης: Της ευθεις, η οποι διερχετι πο τ σημει Α(-,4) κι Β(,6) Της ευθεις, η οποι τεμνει τους ξονες στ σημει Γ(-,0) κι Δ(0,) (iii) Της ευθεις, η οποι διερχετι πο το Ο κι εινι κθετη στην ΓΔ Ο συντελεστης διευθυνσης της ευθεις ΑΒ εινι: ) Ο συντελεστης διευθυνσης της ευθεις ΓΔ εινι: (iii) 6-4 λ = = = - (-) - 0 λ = = = 0 - (-) Ο συντελεστης διευθυνσης λ κθε ευθεις κθετης προς την ΓΔ εχει με τον συντελεστη διευθυνσης της ΓΔ γινομενο ισο με - Αρ θ εινι λ = - Α σ κ η σ η 0 Ν ρειτε τη γωνι, που σχημτιζουν με τον ξον τ σημει: Α(-,4) κι Β(,6) Α(-,) κι Β(0,4) (iii) Α(,) κι Β(,-) (iv) Α(,) κι Β(-,) Εστω ω η γωνι που σχημτιζει η ΑΒ με τον ξον 6-4 Η ευθει ΑΒ εχει συντελεστη διευθυνσης λ = = = - (-) Αρ, θ ισχυει εφω = οποτε θ εινι Η ευθει ΑΒ εχει συντελεστη διευθυνσης Αρ κι στην περιπτωση υτη θ εχουμε (iii) 0 ω = λ = = = 0 - (-) 0 ω = 45 οι ευθειες που διερχοντι πο Επειδη τ Α, Β εχουν την ιδι τετμημενη, η ευθει ΑΒ θ εινι κτκορυφη κι κτ συνεπει θ εινι (iv) 0 ω = 90 Επειδη τ Α, Β εχουν ιδι τετμημενη, η ευθει ΑΒ θ εινι οριζοντι κι κτ συνεπει θ εινι 0 ω = 0 Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

38 6 Ε υ θ ε ι Α σ κ η σ η 0 Ν ρειτε την εξισωση της ευθεις που διερχετι πο το σημειο Α(,- ) Εινι πρλληλη προς το δινυσμ δ = (,- ) Εινι πρλληλη προς το δινυσμ δ = (0,) (iii) Σχημτιζει με τον ξον γωνι ω = π / 4 κι Το δινυσμ δ = (,- ) εχει συντελεστη διευθυνσης ευθει, που εινι πρλληλη με το δ λ = -, οποτε η ζητουμενη θ εχει τον ιδιο συντελεστη διευθυνσης Επειδη, επιπλεον, διερχετι πο το σημειο A(,-), η εξισωση της θ εινι: - (-) = - ( -) Το δινυσμ δ(0,) = - - εχει τετμημενη ιση με το μηδεν, ρ εχει διευθυνση κτκορυφη Ετσι η ζητουμενη ευθει θ εινι κι υτη κτκορυφη κι επειδη διερχετι π το A(,- ), θ εχει εξισωση = 4 (iii) Αν λ ο συντελεστης διευθυνσης της ζητουμενης ευθεις, θ εχουμε Αρ, η εξισωση της ευθεις θ εινι: + = ( -) = - π λ = εφ = 4 Α σ κ η σ η 0 4 Θεωρουμε τριγωνο ΑΒΓ με κορυφες Α(-,0), Β(,) κι Γ(-,4) Ν ρειτε: Τις εξισωσεις των υψων του Τις εξισωσεις των μεσοκθετων των πλευρων του 4 - Εινι λ = = = -, οποτε το υψος ΑΔ, που εινι κθετο στην ΒΓ, θ εχει BΓ συντελεστη διευθυνσης λ AΔ = Επειδη, επιπλεον, το A(-,0) εινι σημειο του υψους, η εξισωση του θ εινι - 0 = ( - (- )) = + Ομοι ρισκουμε οτι η εξισωση του υψους ΒΕ εινι ΓΖ εινι = - - = + κι η εξισωση του υψους Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

39 E υ θ ε ι 7 Α σ κ η σ η 0 5 Ν δειξετε οτι το τετρπλευρο ΑΒΓΔ με κορυφες Α(,), Β(5,5), Γ(,) Δ(-,- ) εινι ρομος Ποιες εινι οι εξισωσεις των διγωνιων του; κι Εινι λ = = λ ρ ΑΔ ΒΓ AΔ ΒΓ λ = = λ ρ ΑΒ ΓΔ AB ΓΔ Ετσι, φου το τετρπλευρο ΑΒΓΔ εχει τις πενντι πλευρες του πρλληλες θ εινι πρλληλογρμμο Ακομη εινι οι ΑΓ κι ΒΔ εινι κθετες λ = - AΓ κι Αρ το πρλληλογρμμο ΑΒΓΔ εινι ρομος λ = BΔ, οποτε λ λ = - κι συνεπως AΓ BΔ Η ΑΓ εχει συντελεστη διευθυνσης λ = - κι διερχετι πο το σημειο A(,) Αρ, θ εχει εξισωση - = -( -) = Ομοι η ΒΔ εχει συντελεστη διευθυνσης λ = κι διερχετι π το B(5,5) Αρ, θ εχει εξισωση: - 5 = ( - 5) = Α σ κ η σ η 0 6 Ν δειξετε οτι τ σημει Α(,- ), Β(,0) κι Γ(-,- ) εινι συνευθεικ Εινι 0 - (- ) λ = = - AB - - (- ) λ = = - - AΓ Επομενως, λ = λ, οποτε οι ευθειες ΑΒ κι ΑΓ εινι πρλληλες κι εφοσον εχουν AB AΓ κοινο το σημειο Α, θ τυτιζοντι Αρ, τ σημει Α, Β, Γ θ εινι συνευθεικ Α σ κ η σ η 0 7 Ν ρειτε την εξισωση της ευθεις που διερχετι πο τ σημει Α( συνθ, ημθ) κι Β(- ημθ, συνθ) Αν 0 κι π θ κπ -, κ, τοτε ο συντελεστης διευθυνσης της ευθεις ΑΒ ει- 4 νι (συνθ - ημθ) ημθ - συνθ λ = = - (συνθ + ημθ) ημθ + συνθ Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

40 8 Ε υ θ ε ι Επομενως, η εξισωση της ΑΒ εινι: ημθ - συνθ -ημθ = ( - συνθ) ημθ + συνθ ημθ - συνθ ημ θ + ημθσυνθ + συν θ - ημθσυνθ = + ημθ + συνθ ημθ + συνθ ημθ - συνθ = + ημθ + συνθ ημθ + συνθ Αν 0 κι π θ = κπ - 4, κ, τοτε εινι κτκορυφη κι ρ εχει εξισωση : = - η = ημθ - συνθ συνθ -ημθ = + ημθ + συνθ ημθ + συνθ ημθ + συνθ συνθ = - ημθ = ±, οποτε η ευθει ΑΒ Αν = 0, τοτε τ σημει Α, Β τυτιζοντι, οποτε υπρχουν πειρες ευθειες που διερχοντι πο υτ Α σ κ η σ η 0 8 Δινοντι τ σημει Α(,), Β(- 4,5) κι Γ(,- 4) Ν ρειτε την εξισωση της ευθεις που διερχετι πο την κορυφη Α κι το κεντρο ρους G του τριγωνου ΑΒΓ Αν (, ) εινι οι συντετγμενες του κεντρου ρους G του τριγωνου ΑΒΓ, τοτε θ εινι: = = κι = = 4 Επομενως, η ευθει που διερχετι πο τ σημεί A(,) κι G =, εχει συντελεστη διευθυνσης λ = = = κι κτ συνεπει η εξισωση της θ εινι : = ( - ) = + Α σ κ η σ η 0 Β Ν ρειτε τις εξισωσεις των ευθειων, που διερχοντι πο το σημειο Α(-,) κι σχημτιζουν με τους ξονες ισοσκελες τριγωνο Η ζητουμενη ευθει, επειδη σχημτιζει με τους ξονες τριγωνο κι περνει πο το σημειο A(-, ), θ εχει εξισωση : - = λ( +) =λ + λ +, με λ -,0 Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

41 E υ θ ε ι 9 Το σημειο τομης της ευθεις με τον, εστω Β, εχει συντετγμενες το σημειο τομης της με τον ξον, εστω Γ, εχει συντετγμενες (0, λ + ) λ + -, 0, ενω λ Αφου λ + (OB) = - λ κι (OΓ) = λ +, το τριγωνο ΟΒΓ εινι ισοσκελες, ν : λ + λ + - = λ + = λ + = λ = λ = η λ λ λ = -, Γι λ = : η ζητουμενη εξισωση εινι : Γι λ = - : η ζητουμενη εξισωση εινι : = + = - + Α σ κ η σ η 0 Β Ν ρειτε τις εξισωσεις των πλευρων κι τις συντετγμενες των κορυφων Β κι Γ του τριγωνου ΑΒΓ, που τ δυο υψη εχουν εξισωσεις κι = - + ντιστοιχως κι η κορυφη Α εχει συντετγμενες (,4) = + Διπιστωνουμε οτι οι συντετγμενες του Α δεν επληθευουν τις δοσμενες εξισωσεις Αρ οι εξισωσεις, υτες ντιστοιχουν στ υψη ΒΕ κι ΓΖ Εστω οτι η = + εινι η εξισωση του ΒΕ κι η = - + του ΓΖ Τοτε, επειδη AΓ BE κι AB ΓZ, θ εχουμε: λ λ = - λ λ = - κι AΓ BE AB ΓZ, οποτε λ = - κι λ = AΓ AΓ Αρ οι εξισωσεις των ΑΓ κι ΑΒ θ εινι, ντιστοιχως, οι = = - ( -) κι - 4 = ( -) = +, Επομενως, οι συντετγμενες του Γ εινι η λυση του συστημτος AΓ : = ΓZ : = - + (, ) = (4,- ) κι οι συντετγμενες του Β εινι η λυση του συστημτος AB : = + (, ) = (-,0) BE : = Τελος, επειδη λ = =, η εξισωση της ΒΓ θ εινι BΓ 4 - (- ) = ( + ) 7 6 = Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

42 40 Ε υ θ ε ι Α σ κ η σ η 0 Β Ν ρειτε την εξισωση της ευθεις που διερχετι πο το σημειο Μ(,) κι τεμνει τις ευθειες = + κι = - + στ σημει Α κι Β ντιστοιχως, ετσι ωστε το Μ ν εινι μεσο του ΑΒ Οι ευθειες που διερχοντι πο το σημειο Μ(,) εινι η κτκορυφη με εξισωση = κι οι μη κτκορυφες με εξισωσεις - = λ( - ), λ Η ευθει = τεμνει την = + στο σημειο Β(,) κι την = - + στο σημειο Γ(,-) Το ΒΓ εχει μεσο το σημειο με συντετγμενες (,), που εινι οι συντε- τγμενες του σημειο Μ Αρ, η κτκορυφη = εινι μι πο τις ζητουμενες ευθειες Η ευθει - = λ( - ), λ, τεμνει τις = + κι = - + στ σημει Β κι Γ ντιστοιχως, που οι συντετγμενες τους εινι οι λυσεις των συστημτων: λ λ = + = = λ - = - + κι λ +, λ - = λ( - ) λ - - = λ( - ) - λ - = = λ - λ + Ετσι το Μ(,) θ εινι μεσο του ΒΓ, ν κι μονο ν λ λ + = λ + λ + λ - λ =4 λ = λ - λ - λ + λ - κι λ - - λ λ + λ - λ - - λ + λ - = + = λ + 4λ - = λ - λ - λ + λ - Οι εξισωσεις ομως υτες δεν συνληθευουν γι κμι τιμη του λ, φου η πρωτη εινι δυντη γι κθε λ Ετσι η μονη λυση του προλημτος μς, εινι η κτκορυφη ευθει = Α σ κ η σ η 0 4 Β Δινοντι τ σημει P(κ, κ) κι Q(λ, λ) Ν ρεθει η εξισωση της ευθεις PQ Αν η ευθει PQ τεμνει τους ξονες κι στ σημει Α κι Β ντιστοιχως, ν δειξετε οτι ΑP = ΒQ Η εξισωση της ευθεις που οριζετι πο τ σημει Ρκ, κι κ Qλ,, με κ λ κι κ,λ 0, εχει συντελεστη διευθυνσης: λ - λ κ - = λ - κ κλ Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

43 E υ θ ε ι 4 Αρ η εξισωση της εινι Απο την (), γι = 0, εχουμε - = - ( - κ) κ κλ κ + λ = κλ κ + λ κλ = - + κλ () κι, γι = 0, εχουμε =κ + λ Αρ τ σημει τομης της PQ με τους ξονες κ + λ B0, κι A(κ + λ, 0) κλ Ετσι θ εχουμε: (AP) = (κ - κ - λ) = λ + κι κ κ κι ντιστοιχως, εινι τ: (BQ) = (λ - 0) + - = λ + Αρ AP = BQ κ + λ λ κλ κ Α σ κ η σ η 0 5 Β Ν δειξετε οτι η εξισωση της ευθεις που τεμνει τους ξονες στ σημει Α(,0) κι Β(0,), εινι η + = Η ευθει που διερχετι πο τ σημει A(,0) κι B(0,) εχει συντελεστη διευθυνσης - 0 λ = = - 0-, οποτε η εξισωση της θ εινι η: - 0 = - ( - ) = = + = με 0 Α σ κ η σ η 0 6 Β Ν ρειτε την εξισωση της ευθεις που εινι πρλληλη στην ευθει = - - κι τεμνει τους ξονες κι στ σημει Α κι Α, ωστε το θροισμ της τετμημενης του Α κι της τετγμενης του Β ν εινι ισο με 5 Απο τ δεδομεν προκυπτει οτι η ζητουμενη ευθει θ εχει εξισωση της μορφης = - +, 0 Απο την εξισωση υτη γι = 0 τοτε = Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

44 4 Ε υ θ ε ι γι = 0 τοτε = Τ σημει Α κι Β θ εχουν συντετγμενες τ ζευγη οποτε θ εινι: + = 5 + = 5 5 = 0 = 6 A B Αρ, η εξισωση της ζητουμενης ευθεις εινι η :, 0 κι (0, ) ντιστοιχως, = Α σ κ η σ η 0 Ν ποδειξετε οτι γι κθε πργμτικη τιμη του μ η εξισωση (μ - ) + μ + μ = 0 πριστνει ευθει γρμμη Ποτε η ευθει υτη εινι πρλληλη προς τον ξον ποτε προς τον κι ποτε διερχετι πο την ρχη των ξονων;, Επειδη οι συντελεστες μ - κι μ των κι δεν μηδενιζοντι συγχρονως γι κμι τιμη του μ, η δοθεισ εξισωση πριστνει γι κθε μ ευθει γρμμη Εστω ε η ευθει υτη Τοτε: ε μ - = 0 μ = κι ε μ = 0 Τελος, η ε διερχετι πο το Ο(0,0), ν κι μονο ν οι συντετγμενες του Ο επληθευουν την εξισωση της, δηλδη, ν κι μονο ν ισχυει: (μ -)0 + μ 0 + μ = 0 μ = 0 μ = 0 Α σ κ η σ η 0 Ν ρειτε την εξισωση της ευθεις η οποι διερχετι πο το σημειο Α(-,) κι εινι κθετη στην ευθει = 0 Ποιο εινι το σημειο τομης των δυο ευθειων; Η ευθει = 0 εχει συντελεστη διευθυνσης Η ζητουμενη ευθει, που εινι κθετη σ υτην, εχει συντελεστη διευθυνσης - κι, φου διερχετι πο το σημειο Α(-,), θ εχει εξισωση - = - ( + ) = - Οι συντετγμενες του σημειου τομης των δυο ευθειων εινι η λυση του συστημτος 8 = - = = - = = 0 - (- ) + 6 = = - = - Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

45 E υ θ ε ι 4 Α σ κ η σ η 0 Ν ρειτε την εξισωση της ευθεις η οποι διερχετι πο το σημειο τομης των ευθειων = 0 κι - -7 = 0 κι εινι κθετη στην ευθει 4 + = Οι συντετγμενες του σημειου τομης των δυο ευθειων εινι η λυση του συστημτος = 0 ( + 7) = 0 = - 7 = = 0 = + 7 = (- 7) + 7 = - 44 Η ευθει 4 + = εχει συντελεστη διευθυνσης - 4 Αρ, η ζητουμενη θ εχει συντελεστη διευοθυνσης σημειο A(- 44,- 7), θ εχει εξισωση : 4 κι, επειδη διερχετι πο το + 7 = ( + 44) = Α σ κ η σ η 0 4 Τ σημει Α(- 4,6) κι Γ(-,) εινι οι πενντι κορυφες ενος πρλληλογρμμου ΑΒΓΔ Οι πλευρες ΒΓ κι ΓΔ του πρλληλογρμμου νηκουν στις ευθειες με εξισωσεις + = κι - + = 0 ντιστοιχως Ν υπολογισετε: Τις συντετγμενες της κορυφης Δ Το συνημιτονο της οξεις γωνις των διγωνιων του πρλληλογρμμου Επειδη ΑΔ ΒΓ, θ εινι λ = λ = - ΑΔ BΓ 4 Αρ η εξισωση της ΑΔ θ εινι - 6 = - ( + 4) = - + Επομενως, οι συντετγμενες του Δ θ εινι η λυση του συστημτος 4 4 = AΔ : = - + = - + = - + = 4 = 4 ΓΔ : - + = = 0 4 = 8 = Ο συντελεστης διευθυνσης της διγωνιου ΑΓ εινι λ = =, οποτε η ΑΓ εινι πρλληλη προς το δινυσμ: δ = (, - 5) Αν Κ το σημειο τομης των διγωνιων ΑΓ, ΒΔ με Κ, = Κ, κι λ = λ = = = =, οποτε η ΒΔ θ εινι πρλληλη προς το δινυσμ ΒΔ ΔΚ Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

46 44 Ε υ θ ε ι δ = (9, ) Αρ, η οξει γωνι των ΑΓ κι ΒΔ θ εινι ιση η πρπληρωμτικη με τη γωνι φ των δινυσμτων δ, δ γι την οποι εχουμε: δ δ συνφ = = = = 0, 46 δ δ (- 5) Ετσι, η οξει γωνι των ΑΓ κι ΒΔ θ εινι περιπου ιση με 0 65 Α σ κ η σ η 0 5 Ν ρειτε την τιμη του λ λ λ = 0 ν εινι κθετες, ωστε οι ευθειες (λ - ) + λ + 8 = 0 κι Η ευθει με εξισωση (λ -) + λ + 8 = 0 εινι πρλληλη προς το δινυσμ δ = (λ, - λ), ενω η ευθει με εξισωση λ + + -λ = 0 εινι πρλληλη προς το δ = (, - λ) Ετσι, οι δυο ευθειες εινι κθετες, ν κι μονο ν Ομως: δ δ δ δ δ δ = 0 λ - λ( - λ) = 0 λ + λ = 0 λ(λ + ) = 0 λ = 0 η λ = - Α σ κ η σ η 0 6 Ν ρειτε την τιμη του κ, ωστε η ευθει + + κ = 0 ν διερχετι πο το σημειο τομης των ευθειων = 0 κι = 0 Οι συντετγμενες του σημειου τομης των ευθειων = 0 κι = 0 εινι η λυση του συστημτος = 0 (-) = = 0 = -7 = = = = 0 6 = 44 =-7 Ετσι η ευθει + +κ = 0 διερχετι πο το σημειο + (-7) + κ = κ = 0 κ = - (+), - 7, ν κι μονο ν Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

47 E υ θ ε ι 45 Α σ κ η σ η 0 B Ν σχεδισετε τις γρμμες τις οποιες πριστνουν οι εξισωσεις: = = 0 Εινι = 0 - ( - ) = 0 ( - + )( + - ) = = 0 η + - = 0 Οι τελευτιες εινι εξισωσεις των ευθειων που πεικονιζοντι στο διπλνο σχημ Εινι = 0 ( ) -( - +) = 0 ( -) - ( -) = 0 ( -- +)( - + -) = 0 ( - -)( + -) = = 0 η + - = 0 Οι τελευτιες εινι εξισωσεις των ευθειων που πεικονιζοντι στο διπλνο σχημ - O O - Α σ κ η σ η 0 B Ν ποδειξετε οτι ολες οι ευθειες της μορφης ( + + ) + ( - + ) + ( + ) = 0, διερχοντι πο το ιδιο σημειο Γι ν πριστνει η εξισωση ( + +) + ( - +) + ( +) = 0 () ευθει γρμμη, γι τις διφορες τιμες του, πρεπει οι συντελεστες των κι ν μην εινι τυτοχρον μηδεν Αυτο συμινει, φου ο συντελεστης του δεν μηδενιζετι γι κμι πργμτικη τιμη του Στη συνεχει θεωρουμε δυο τιμες του (εστω = 0 κι = ) κι τις εξισωσεις των ευθειων που προκυπτουν: + + = 0 = - - = - - = - (- ) - = = = 0 = - = - = Αρ οι ευθειες υτες τεμνοντι στο σημειο A(-,) Η εξισωση () επληθευετι πο τις συντετγμενες του σημειου Α, φου ( + +)(-) + ( - +) + + = = 0 Ολες οι ευθειες της οικογενεις () διερχοντι πο το σημειο Α(-, ) Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

48 46 Ε υ θ ε ι Α σ κ η σ η 0 B Ν ποδειξετε οτι οι ευθειες + 4 = 5, - = κι = 0 διερχοντι πο το ιδιο σημειο Οι συντετγμενες του σημειου τομης των ευθειων + 4 = 5 κι - = εινι η λυση του συστημτος: + 4 = 5 = 5-4 = 5-4 = 5-4 = - = (5-4) - = - 4 = - 4 = = Η τριτη ευθει = 0 επληθευετι γι =, = φου = 0 Ετσι οι τρεις ευθειες διερχοντι πο το σημειο με συντετγμενες (, ) Α σ κ η σ η 0 4 B Ν ρειτε την οξει γωνι που σχημτιζουν οι ευθειες =μ κι ( + μ) = ( - μ) Εχουμε τις ευθειες μ - = 0 κι ( + μ) + (μ -) = 0, που εινι ντιστοιχ πρλληλες με τ δινυσμτ: δ = (, μ) κι δ = ( - μ, + μ) Γι την γωνι φ των δυο υτων δινυσμτων ισχυει: δ δ ( - μ) + μ ( + μ) -μ + μ + μ + μ συνφ = = = = = δ δ +μ ( - μ) + ( + μ) + μ ( + μ ) ( + μ ) Αρ = +μ ( + μ ) = = π φ= 4, οποτε η οξει γωνι των δυο ευθειων θ εινι ιση με π 4 Α σ κ η σ η 0 5 B Ν ρειτε την εξισωση της ευθεις η οποι διερχετι πο την ρχη των ξονων κι πο το σημειο τομης των ευθειων + = κ ι + = Οι συντετγμενες του σημειου τομης των δυο ευθειων ε : + = + = + = εινι η λυση του συστημτος : + = + = κι ε : + = Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

49 E υ θ ε ι 47 Το συστημ υτο, ν = - 0, δηλδη, ν ±, εχει τη λυση (, ) =, + + Επομενως, ν, 0 Αν = η = - οι ε κι ± κι ε, η ζητουμενη εξισωση εινι η = δεν τεμνοντι Συγκεκριμεν, ν = οι ευθειες συμπιπτουν, ενω, ν = - οι ευθειες εινι πρλληλες Α σ κ η σ η 0 6 B Δινετι η ευθει + = κι το σημειο Α(,) Ν ρειτε τις συντετγμενες της προολης του Α στην ευθει υτη Η ευθει + = εχει συντελεστη διευθυνσης - Επομενως, η κθετη στην ευθει υτη πο το σημειο Α(, ) θ εχει εξισωση - = ( -) Αρ, οι συντετγμενες της προολης του Α στην ευθει + =, θ εινι η λυση του συστημτος : + = = - = - = - = 5 - = ( -) ( - ) - 6 = = - 0 = 4 9 = 5 Α σ κ η σ η 0 7 B Δινετι η ευθει ε : + = Ν ρειτε την εξισωση της ευθεις η οποι εινι κθετη στην ε στο σημειο που υτη τεμνει τον ξον Γι = 0, πο την εξισωση της ευθεις ε : + =, εχουμε = Αρ, το σημειο τομης της ε με τον ξον εινι το Α(, 0) Η ε εχει συντελεστη διευθυνσης λ = - Αρ, η εξισωση της κθετης στην ε στο σημειο Α(, 0) θ εινι - 0 = ( - ) - - = 0 Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

50 48 Ε υ θ ε ι Α σ κ η σ η 0 Ν ρειτε την ποστση του σημειου Α(-,) + + = 0 = - (iii) + = (iv) = 0 πο την ευθει Οι ποστσεις του Α(-,) πο τις δοσμενες ευθειες, εινι: = = + (- ) = = 5 + (- ) 5 (iii) = = = (iv) 5(- ) = = Α σ κ η σ η 0 Δινοντι οι ευθειες ε : = 0 κι ε : = 0 Ν δειξετε οτι ε ε Ν υπολογισετε τις ποστσεις της ρχης των ξονων πο τις ε κι ε (iii) Ν υπολογισετε την ποστση των ε κι ε Εχουμε λ ε 5 = κι 8 5 λ = Αρ ε ε 8 ε Η ποστση του Ο(0, 0) πο την ε εινι ιση με =, 5 + (- 8) 89 ενω η ποστση του O(0,0) πο την ε εινι ιση με = 5 + (- 8) 89 Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

51 E υ θ ε ι 49 (iii) Επειδη το Ο(0, 0) ρισκετι μετξυ των ευθειων ε κι ε, η ποστση τους θ εινι ιση με το θροισμ των ποστσεων του Ο π υτες, δηλδη θ εινι ιση με: = Α σ κ η σ η 0 Δινοντι οι ευθειες ε : = 0 κι ε : = 0 Ν δειξετε οτι ε ε Ν ρειτε εν σημειο της κι ε ε κι στη συνεχει ν υπολογισετε την ποστση των ε Εχουμε 4 λ = ε κι 4 λ = ε Αρ ε ε Γι = 0, πο την εξισωση Αρ το A(0, - ) νηκει στην Η ποστση των ε κι ε (- ) = = 4 + (- ) 5 ε, εχουμε = - ε, θ ισουτι με την ποστση του Α πο την ε, δηλδη με: Α σ κ η σ η 0 4 Ποιο σημειο της ευθεις - = 0 ισπεχει πο τ σημει Α(,) κι Β(7,9) ; Το ζητουμενο σημειο θ εινι το σημειο τομης της μεσοκθετου του ΑΒ κι της ευθεις - = 0, εστω Μ Οι συντετγμενες του σημειου Μ εινι : , = (4, 6) 9-6 Ο συντελεστης διευθυνσης της ΑΒ εινι : λ = = = ΑΒ 7-6 Αν ε η μεσοκθετη του ΑΒ, τοτε : λ λ = - λ = - λ = - ΑΒ ε ε ε Ετσι η εξισωση της μεσοκθετης του ΑΒ εινι - 6 = (- )( - 4) = - +0 Αρ, οι συντετγμενες του Μ εινι η λυση του συστημτος - = 0 - (- + 0) = 0 5 = 60 = Μ(,- ) = = = = - Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

52 50 Ε υ θ ε ι Α σ κ η σ η 0 5 Ν ρειτε την εξισωση της ευθεις η οποι εχει συντελεστη διευθυνσης λ = - κι πεχει πο την ρχη των ξονων ποστση ιση με 5 μονδες Η ζητουμενη εξισωση θ εινι της μορφης = = 0 Επομενως, θ εινι: = 5 = 5 0 = ± Αρ υπρχουν δυο ευθειες που ικνοποιουν τις πιτησεις του προλημτος με εξισωσεις: = 0 κι = 0 Α σ κ η σ η 0 6 Η ευθει ε : - + = 0 εινι μεσοπρλληλη δυο πρλληλων ευθειων που πεχουν 8 μονδες Ν ρειτε τις εξισωσεις των ευθειων υτων ε κι ε, Οι ευθειες ε, ε, επειδη εινι πρλληλες προς την ε, θ εχουν εξισωσεις της μορφης - + = 0 Αφου, ομως, η ε εινι μεσοπρλληλη των ε, ε κι υτες πεχουν μετξυ τους 8 μονδες, η ποστση οποιουδηποτε σημειου Α της ε πο κθε μι θ εινι 4 μονδες Εν σημειο της ε εινι το A0, Επομενως, θ εχουμε = 4 = 4 - = 4 = ± 4 + (- ) Αρ, οι ζητουμενες ευθειες θ εινι οι: ε : = 0 κι ε : = 0 Αλλιως: Εν σημειο M(, ) νηκει σε μι πο τις ευθειες ε, ε, ν κι μονο ν πεχει πο την ε ποστση ιση με 4, δηλδη, ν κι μονο ν - + = = = = 4 + (- ) - + ( + 4 ) = 0 (ε ) - + ( - 4 ) = 0 (ε ) Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom

53 E υ θ ε ι 5 Α σ κ η σ η 0 7 Ν ρειτε το εμδον του τριγωνου με κορυφες: Α(0,0), Β(6,0), Γ(4,) Α(-,4), Β(,- 6), Γ(5,4) (iii) Α(,), Β(,4), Γ(- 5,- 4) Εινι AB = (6, 0) κι AΓ = (4, ), ετσι (ABΓ) = det(ab,aγ) 6 0 = = 8 = 9 4 μονδες AB = (4, - 0) κι AΓ = (7, 0), ετσι 4-0 (ABΓ) = = 70 = 5 μονδες 7 0 (iii) AB = (, ) κι AΓ = (- 6, - 6), ετσι (ABΓ) = = 0 = Δεν σχημτιζετι τριγωνο με κορυφες τ σημει A(, ), B(, 4) κι Γ(- 5,- 4) Α σ κ η σ η 0 8 Δινοντι τ σημει Α(5,) κι Β(,) Ν ρειτε το σημειο Μ του ξον οποιο το εμδον του τριγωνου ΜΑΒ εινι ισο με 7, γι το Αφου το Μ εινι σημειο του ξον θ εχει συντετγμενες της μορφης (, 0), οποτε θ εινι AM = ( - 5, -) Επομενως: κι AB = (- 4, ) (MAB) = 7 = 7-4 = = 4 = 4 η η -4 = -4 = 0 Αρ, το ζητουμενο σημειο θ εινι το Μ(4, 0) η το Μ(0, 0) Τκης Τσκλκος wwwdrmaths58blogspotcom wwwmaths58wordpresscom