Ειδικά Συστήματα Ελέγχου Πλοίου ( ) Ανασκόπηση Συστημάτων Ελέγχου. Δρ. Γεώργιος Παπαλάμπρου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ειδικά Συστήματα Ελέγχου Πλοίου (8.3.45.8) Ανασκόπηση Συστημάτων Ελέγχου. Δρ. Γεώργιος Παπαλάμπρου"

Transcript

1 Ειδικά Συστήματα Ελέγχου Πλοίου ( ) Ανασκόπηση Συστημάτων Ελέγχου Δρ. Γεώργιος Παπαλάμπρου 1

2 Δρ. Γεώργιος Παπαλάμπρου Λέκτορας ΕΜΠ Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ενημέρωση: 3/5/212 ΓΠ X L A TEX E Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 3 2 Μαθηματικά Μοντέλα 4 3 Προδιαγραφές Μεταβατικής Απόκρισης 5 4 Κλασσικός Έλεγχος 7 5 Βέλτιστος Έλεγχος Βέλτιστος Έλεγχος LQG Παρατηρητές και φίλτρα Kalman 13 7 Προσαρμοζόμενος Έλεγχος με Μοντέλο Αναφοράς Ιστορική Αναδρομή Εισαγωγή Απλά συστήματα Direct MRAC Σύστημα MRAC εισόδου-εξόδου, με n = Εύρωστος Προσαρμοζόμενος Έλεγχος Μεθόδος leakage Μέθοδος dead-zone Άσκηση Robust MRAC Αυτοπροσαρμοζόμενος Έλεγχος Tοποθέτηση πόλων Ελάχιστη μεταβλητότητα

3 1 Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο γίνεται ανασκόπηση της θεωρίας συστημάτων ελέγχου, ώστε να είναι κατανοητές οι διαφορετικές εφαρμογές συστημάτων ελέγχου πλοίων που θα παρουσιαστούν στη συνέχεια. Παραθέτονται στοιχεία από κλασσικό έλεγχο και ελεγκτές PID, βέλτιστο έλεγχο και ελεγκτές Linear Quadratic, παρατηρητές, αυτοπροσαρμοζόμενο έλεγχο (self-tuning) προσαρμοζόμενο έλεγχο με μοντέλο (MRAC). Επίσης παρουσιάζονται τα βασικά χαρακτηριστικά ψηφιακών συστημάτων ελέγχου. Ο σχεδιασμός συστημάτων ελέγχου με ανατροφοδότηση εξόδου (feedback control) έχει δύο στόχους. Ο πρώτος είναι να τροποποιήσει κατά κάποιο τρόπο την δυναμική απόκριση του συστήματος. Ο δεύτερος είναι να μειώσει την ευαισθησία της εξόδου του συστήματος σε διαταραχές. Για παράδειγμα, πολλές φορές είναι επιθυμητό η έξοδος να ακολουθεί το σήμα εισόδου με αποδεκτά γρήγορο τρόπο είτε σε μόνιμη κατάσταση, με σταθερή την είσοδο αναφοράς, η έξοδος να είναι ίση με την αναφορά, παρουσία διαταραχών. Η εικόνα 1 δείχνει τις διαφορετικές μεθόδους συστημάτων ελέγχου που έχουν υιοθετηθεί μέχρι σήμερα σε προσεγγίσεις προβλημάτων ναυπηγικής, όπως ship autopilots, trajectory tracking control, maneuvering, dynamic positioning, κλπ. Τα στοιχεία είναι από τον T. Fossen, [Fos11]. Σχήμα 1: Μέθοδοι συστημάτων ελέγχου που έχουν υιοθετηθεί στην ναυπηγική 3

4 2 Μαθηματικά Μοντέλα Ως μοντέλο εννοούμε τη μαθηματική περιγραφή δυναμικής μεταβολής του συστήματος που πρόκειται να ελεγχθεί. Τα μοντέλα μας ενδιαφέρουν από τη σκοπιά του σχεδιασμού των συστημάτων ελέγχου και για αυτό τον λόγο έχουν χαμηλή τάξη και μειωμένη πολυπλοκότητα. Τα μοντέλα προέρχονται από τις διαφορικές εξισώσεις που διέπουν το πρόβλημα, από εφαρμογή μεθόδων αναγνώρισης συστημάτων (system identi cation) ή και συνδιασμό τους. Τα μοντέλα έχουν τη μορφή συναρτήσεων μεταφοράς (transfer functions) ή εξισώσεων στο χώρο κατάστασης (state space). Βασική απαίτηση είναι η ικανότητα τους να περιγράφουν τη δυναμική του συστήματος. Στην περίπτωση συναρτήσεων μεταφοράς, περιγράφεται ο λόγος της εξόδου Y (s) πρός την είσοδο U(s), όπου s είναι ο τελεστής Laplace G(s) = Y (s) U(s) (1) Χρησιμοποιούνται τα διαγράμματα Bode, που παριστούν την μεταβολή του μέτρου και της φάσης σε συνάρτηση με την συχνότητα ω. Παράδειγμα Προκειμένου να διατηρείται η πορεία του πλοίου κατά την πλεύση σε επιθυμητή τιμή, χρησιμοποιείται αυτόματος πιλότος πορείας (course-keeping auto-pilot). Οι απλουστευμένες εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση ενός πλοίου στο επίπεδο προέρχονται από τον Nomoto [Fos94]. Η διαφορική εξίσωση είναι και η συνάρτηση μεταφοράς είναι T ψ + ψ = Kδ (2) ψ δ (s) = K s(1 + T s) (3) όπου Τ είναι η σταθερά χρόνου, Κ το κέρδος, ψ η γωνία διεύθυνσης με τον άξονα X (heading angle) και δ η γωνία του πηδαλίου (rudder angle). Η εικόνα 2 δείχνει την κίνηση του πλοίου στο οριζόντιο επίπεδο. Η εξίσωση 3 ισχύει για χαμηλές συχνότητες και μικρές τιμές δ (μέχρι 35 μοίρες). Ως είσοδο (μεταβλητή ελέγχου) θεωρούμε τη γωνία του πηδαλίου και ως έξοδο (ελεγχόμενη μεταβλητή) τη γωνία διεύθυνσης. Στην περίπτωση εξισώσεων στο χώρο κατάστασης, ẋ = Ax + Bu, y = Cx + Du (4) όπου x οι καταστάσεις (states), u η είσοδος(οι), y η έξοδος(οι). A είναι ο πίνακας συστήματος, B ο πίνακας εισόδου και C ο πίνακας εξόδου. 4

5 Σχήμα 2: Η κίνηση του πλοίου στο οριζόντιο επίπεδο Θεωρούμε ότι όλες οι καταστάσεις είναι διαθέσιμες από μετρήσεις. Στην πράξη κάτι τέτοιο είναι δύσκολο λόγω δαπάνης σε όργανα μέτρησης ή αδυναμίας μέτρησης του μεγέθους. Παράδειγμα Δίνεται ηλεκτρομηχανικό σύστημα, σε μορφή εξισώσεων χώρου κατάστασης, με είσοδο ελέγχου. Το διάνυσμα μεταβλητών κατάστασης είναι x(t) = [ταχύτητα επιτάχυνση]. Από τις μεταβλητές κατάστασης μετρούνται και οι δύο με αισθητήρια μοναδιαίου κέρδους, ενώ δεν υπάρχει απευθείας τροφοδότηση εισόδου στην έξοδο. A = [ ], B = [ ], C = [ 1 1 ] (5) Πλήρες σύστημα κλειστού βρόχου με ελεγκτή φαίνεται στην εικόνα 3. r Σ u ẋ = Ax + Bu x C y K Σχήμα 3: Δομικό διάγραμμα για το πλήρες σύστημα κλειστού βρόχου με ελεγκτή Θεωρούμε έλεγχο με μεταβλητές κατάστασης, με μορφή u = Kx. Οι τιμές του K υπολογίζονται με μέθοδο Ackermann ή βέλτιστο έλεγχο. 3 Προδιαγραφές Μεταβατικής Απόκρισης Σε μια συνάρτηση μεταφοράς, ως πόλοι (poles) ορίζονται οι ρίζες του παρονομαστή και ως μηδενιστές (zeroes) οι ρίζες του αριθμητή. Οι πόλοι του συστήματος καθορίζουν την ευστάθειά του και την μεταβατική του απόκριση. Περιγραφές 5

6 εφαρμογών με συστήματα πρώτης και δεύτερης τάξης καλύπτουν τις περισσότερες εφαρμογές συστημάτων ελέγχου. Για συστήματα πρώτης τάξης, με συνάρτηση μεταφοράς G(s) = f as + 1 όπου f το κέρδος και a η σταθερά χρόνου, η απόκριση σε βηματική είσοδο φαίνεται στο σχήμα 4. (6) Σχήμα 4: Προδιαγραφές μεταβατικής απόκρισης συστημάτων πρώτης τάξης Το αρχικό σύστημα έχει απόκριση σε βηματική είσοδο u(t) που σχετίζεται με τη σταθερά χρόνου α. Ζητούμενο από ένα σύστημα ελέγχου είναι να αυξηθεί η ταχύτητα απόκρισης σύμφωνα με την νέα επιθυμητή σταθερά χρόνου β. Για συστήματα δεύτερης τάξης, με συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου ω 2 n G(s) = s 2 + 2ζω n s + ωn 2 (7) όπου ω n είναι η φυσική συχνότητα και ζ ο λόγος απόσβεσης, η απόκριση σε βηματική είσοδο φαίνεται στο σχήμα 5. Σχήμα 5: Προδιαγραφές μεταβατικής απόκρισης συστημάτων δεύτερης τάξης Η απόκριση χαρακτηρίζεται από τα ακόλουθα μεγέθη. Ως χρόνος ανύψωσης (rise time), t r, θεωρείται ο χρόνος που απαιτείται για να ανέλθει η απόκριση από 1% σε 9%. Ο χρόνος κορυφής (peak time), t p, είναι ο χρόνος που απαιτείται για να φτάσει η απόκριση στην πρώτη κορυφή της καμπύλης. Η μέγιστη υπερακόντιση (maximum 6

7 overshoot), M p, είναι η τιμή της μέγιστης κορυφής της καμπύλης απόκρισης μετρούμενης από τη μονάδα. Ο χρόνος αποκατάστασης (settling time), t s, είναι ο χρόνος που απαιτείται για να φτάσει και να παραμείνει η καμπύλη απόκρισης μέσα σε ορισμένα όρια γύρω από την τελική τιμή, π.χ. 2%. Σε αυτήν την περίπτωση ισχύει ότι Για τον χρόνο κορυφής t p ισχύει t s = 4τ = 4 ζω n, τ = 1/ζω n (8) π t p = ω n 1 ζ 2 (9) Επίσης στην περίπτωση που ισχύει.3 ζ.8, τότε ο χρόνος ανύψωσης t r είναι t r = 2.16ζ +.6 ω n (1) Περισσότερα στοιχεία για την μεταβατική απόκριση μπορούν να βρεθούν στα [DB1], [FPEN5], [WZ91]. 4 Κλασσικός Έλεγχος Σε πολλές περιπτώσεις η συμπεριφορά μιας εγκατάστασης σε μεταβατική ή μόνιμη απόκριση δεν είναι ικανοποιητική. Η τροποποίηση των χαρακτηριστικών γίνεται με την εισαγωγή κατάλληλης διάταξης ελέγχου που ονομάζεται κατευθυντής (controller). Ο πιο διαδεδομένος τύπος βιομηχανικού ελεγκτή είναι ο Αναλογικός-Ολοκληρωτικός-Διαφορικός (Proportional-Integral-Derivative/PID). Για ένα τέτοιο ελεγκτή, η σχέση μεταξύ εισόδου u και σφάλματος e είναι Η συνάρτηση μεταφοράς είναι u(t) = K c e(t) + K c T D de(t) dt + K c T i t e(t) dt (11) G c (s) = K c (1 + T D s + 1 T i s ) (12) όπου K c είναι το αναλογικό κέρδος, T D είναι ο χρόνος διαφόρισης και T i είναι ο χρόνος ολοκλήρωσης. Οι σταθερές μπορούν να προσαρμόζονται ώστε να επιτυγχάνεται η επιθυμητή απόκριση. Βλέπουμε από τη συνάρτηση μεταφοράς ότι ο ελεγκτής αυτού του τύπου περιλαμβάνει δύο μηδενιστές και ένα πόλο στο. Σύστημα PID φαίνεται στο Σχήμα 6. 7

8 Set Point r e u PID Plant y Output Σχήμα 6: Σύστημα κλειστού βρόχου με ελεγκτή PID Παράδειγμα PID Δίνεται σύστημα κεφαλής σκληρού δίσκου, με συνάρτηση μεταφοράς G(s) = 7 s s + 1 που συνδέει τη γωνιακή θέση (σε rad) με την εντολή στον κινητήρα θέσης (σε ma). Ζητείται να σχεδιαστεί ελεγκτής PID. Χρησιμοποιούμε ελεγκτή τύπου PI με συνάρτηση μεταφοράς K(s) = s + 11 s Οι αποκρίσεις ελεγκτών PI, PID φαίνονται στο σχήμα 7. Όπως φαίνεται στην απόκριση του συστήματος ανοιχτού βρόχου, η συμπεριφορά είναι έντονα ταλαντωτική, λόγω της πολύ χαμηλής απόσβεσης. Με χρήση της εντολής damp(den) προκύπτουν οι ιδιοτιμές, ο συντελεστήςς απόσβεσης και η φυσική συχνότητα. Έτσι εδώ έχουμε ζ = 2.37e 2, ω n = 3.16e + 2rad/s. Για το συγκεκριμένο παράδειγμα έχουμε τις παρακάτω εντολές. den=[1 15 1e5]; num=7; gg=tf(num,den); step(gg) % PI K1=tf([1 11],[1 ]) L=series(gg,K1) % series connection Gcl1=feedback(L,1); % closed-loop with negative feedback step(gcl) %PID K2=tf([ ],[1 ]) L2=series(gg,K2) Gcl2=feedback(L2,1); step(gc2) Στην περίπτωση ελεγκτή PID, ο χρόνος αποκατάστασης (settling time) είναι.25 sec, σε σύγκριση με τα.7 sec του συστήματος. Επίσης δεν υπάρχουν οι ταλαντώσεις υψηλής συχνότητας. Το διάγραμμα Bode για το σύστημα κλειστού βρόχου φαίνεται στο Σχήμα 8. Περισσότερα στοιχεία σχετικά με τα συστήματα κλασσικού ελέγχου υπάρχουν στα [DB1], [FPEN5]. (13) (14) 8

9 Step response of system Amplitude Time (sec) Step response of closed loop system with PI Amplitude Time (sec) Step response of closed loop system with PID Amplitude Time (sec) 5 Βέλτιστος Έλεγχος Σχήμα 7: Απόκριση ελεγκτή PI, PID Ο βέλτιστος έλεγχος εισήχθη το 196, ταυτόχρονα σε ΗΠΑ και πρώην Σοβιετική Ένωση, την εποχή που παρουσίαζε ενδιαφέρον η έρευνα για καθοδήγηση (guidance) και ελιγμούς (maneuvering). Ο Βέλτιστος Έλεγχος (Optimal control) επιδιώκει η απόδοση να είναι εκτός από αποδεκτή και βέλτιστη. Στον Κλασσικό έλεγχο προσπαθούμε να ελαχιστοποιήσουμε το σφάλμα σε καθορισμένα χρονικά σημεία, π.χ. σφάλμα μόνιμης κατάστασης. Στον Βέλτιστο έλεγχο ελαχιστοποιούμε το σφάλμα παντού. Συνάρτηση κόστους ή δείκτης λειτουργικής απόδοσης (ΔΛΑ-performance index) μπορεί να είναι το ολοκλήρωμα σφάλματος J 1 ή το ολοκλήρωμα απόλυτης τιμής σφάλματος J 2 J 1 = tf t i e 2 (t)dt, J 2 = tf t i e(t) dt (15) Για γραμμικό μοντέλο και τετραγωνική συνάρτηση σφάλματος, το πρόβλημα είναι 9

10 Bode Diagram 1 5 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Σχήμα 8: Το διάγραμμα Bode για το σύστημα κλειστού βρόχου γνωστό ως Γραμμικό Τετραγωνικό (Linear Quadratic-LQ). Η συνάρτηση κόστους ορίζεται ως J = 1 2 (x T Qx + u T Ru)dt (16) Ο βέλτιστος νόμος ελέγχου (Linear Quadratic Regulator-LQR) προκύπτει με ανατροφοδότηση κατάστασης u = Kx(t) (17) Το κέρδος του ελεγκτή δίνεται από K = R 1 B T P (18) όπου P είναι συμμετρική θετικά ημιορισμένη λύση της αλγεβρικής εξίσωσης Riccati A T P + P A P BR 1 B T P + Q = (19) Οι πίνακες βάρους Q,R αποτελούν επιλογή του μηχανικού και επιδρούν στις μεταβλητές x,u. Συνήθως έχουν διαγώνια μορφή (q ii, r ii ), και τα στοιχεία τους καθορίζουν τη συμμετοχή των μεταβλητών κατάστασης και εισόδων ελέγχου στη συνολική συνάρτηση κόστους. Η ενέργεια του συστήματος σχετίζεται με τον παράγοντα x T Qx. Κατά τη μεταβατική κατάσταση, πρέπει η ενέργεια να πέφτει γρήγορα στο μηδέν. Η μέγιστη τιμή της 1

11 σχετίζεται με την υπερακόντιση, ενώ ο χρόνος μείωσης της ενέργειας στο μηδέν σχετίζεται με τον χρόνο αποκατάστασης (settling time). Η ενέργεια ελέγχου σχετίζεται με τον παράγοντα u T Ru. Παράδειγμα LQR Δίνεται σύστημα διπλού ολοκληρωτή, με συνάρτηση μεταφοράς G(s) = 1/s 2. Θεωρούμε ότι x = [x 1 x 2 ]. Σε μορφή εξισώσεων χώρου κατάστασης έχουμε ẋ = Ax + Bu, y = Cx + Du (2) με A = [ 1; ]; B = [; 1]; C = [1 ]; D = []. Ζητείται να σχεδιαστεί βέλτιστος ελεγκτής LQR. Ο βέλτιστος ελεγκτής LQR στο MATLAB υλοποιείται με την εντολή [k,m,e]=lqr(a,b,q,r). k είναι το κέρδος του ελεγκτή, m είναι η λύση της εξίσωσης Riccati και e οι ιδιοτιμές του συστήματος κλειστού βρόχου. Q, R είναι πίνακες βαρών για τις καταστάσεις και τις εισόδους αντίστοιχα. Για το συγκεκριμένο παράδειγμα έχουμε τις παρακάτω εντολές. Q=[1 ; ] R=.16 %R=.16,.5,.5, 1 [k,m,e]=lqr(a,b,q,r) sys1=ss(a-b*k,zeros(2,1),c,zeros(1,1)) [y1,t1,x1]=initial(sys1,[1 ]'); u=k=-k*x1'; Οι αποκρίσεις και οι εντολές ελέγχου για διαφορετικές τιμές του R =.16,.5,.5, 1 φαίνονται στο Σχήμα 9. Για R =.16, το κέρδος K = [ ]. Για R =.5, το κέρδος K = [ ]. Για R =.5, το κέρδος K = [ ]. Τέλος, για R = 1, το κέρδος K = [ ]. 5.1 Βέλτιστος Έλεγχος LQG Στον Βέλτιστο Έλεγχο LQG θεωρούμε γραμμικό, χρονικά αμετάβλητο σύστημα, με εξισώσεις χώρου κατάστασης συνεχούς χρόνου ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + Ew(t), y(t) = Cx(t) + v(t) (21) όπου x είναι το διάνυσμα κατάστασης, u είναι το διάνυσμα εισόδων ελέγχου, y είναι το διάνυσμα μετρήσιμων εξόδων. w, v είναι τυχαία διαταραχή και τυχαίος θόρυβος στις μετρήσεις, με γνωστά στατιστικά χαρακτηριστικά. A, B, C, E είναι πίνακες με σταθερά στοιχεία. Ο βέλτιστος νόμος ελέγχου (Linear Quadratic Gaussian-LQG) προκύπτει με ανατροφοδότηση βέλτιστης εκτιμούμενης κατάστασης u = K ˆ x(t) (22) 11

12 2 r=.16, u( ) 1 r= r=.5 1 r= Σχήμα 9: Η μεταβολή των καταστάσεων και οι εντολές ελέγχου στον βέλτιστο έλεγχο, για διαφορετικές τιμές του R Το δίνεται από K = R 1 B T P (23) όπου P είναι συμμετρική θετικά ημιορισμένη λύση της αλγεβρικής εξίσωσης Riccati. Το ˆx δίνεται από φίλτρο Kalman και αποτελεί την εκτίμηση της κατάστασης. Το φίλτρο Kalman ονομάζεται παρατηρητής (observer) και παρέχει την εκτίμηση της κατάστασης. Δέχεται πληροφορίες από την είσοδο u και την παρατηρούμενη μεταβλητή y. Περισσότερα στοιχεία σχετικά με συστήματα βέλτιστου ελέγχου υπάρχουν στα [?], [DB1], [FPEN5], [?]. 12

13 6 Παρατηρητές και φίλτρα Kalman Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζονται πληροφορίες για τους παρατηρητές και τα φίλτρα Kalman Πολλές φορές οι νόμοι ελέγχου προυποθέτουν τη διαθεσιμότητα των καταστάσεων (states, x) του συστήματος προς έλεγχο. Στην πράξη δεν λαμβάνονται μετρήσεις από όλες τις μεταβλητές καταστάσεων, για λόγους κόστους (αισθητήρια και διατάξεις δειγματοληψίας) ή εφικτότητας, εφόσον μπορεί να μην υπάρχει πρόσβαση στα σημεία μέτρησης. Χρησιμοποιούνται τότε παρατηρητές (observers), όπου από μετρήσεις ορισμένων καταστάσεων μπορούν να ανακατασκευαστούν άλλες καταστάσεις που δεν είναι διαθέσιμες. Η εικόνα 2 δείχνει τη δομή συστήματος ελέγχου με παρατηρητή. Ο παρατηρητής δέχεται τα δεδομένα από την είσοδο ελέγχου u και την έξοδο y και παρέχει εκτίμηση x του διανύσματος κατάστασης. r Σ u ẋ = Ax + Bu x C y K ˆx Observer Σχήμα 1: Σύστημα ελέγχου με παρατηρητή Στην περίπτωση που οι μετρήσεις περιέχουν θόρυβο, τότε χρησιμοποιούνται φίλτρα Kalman. Περισσότερα στοιχεία για την εφαρμογή της μεθόδου αυτή υπάρχουν στο [Kri85]. 13

14 7 Προσαρμοζόμενος Έλεγχος με Μοντέλο Αναφοράς 7.1 Ιστορική Αναδρομή Η έρευνα στον προσαρμοζόμενο έλεγχο (adaptive control) έχει μακρά ιστορία έντονης δραστηριότητας και περιλαμβάνει διαφωνίες για τον ακριβή ορισμό του προσαρμοζόμενου ελέγχου, παραδείγματα με αστάθειες, αποδείξεις ευστάθειας και ευρωστότητας (robustness) καθώς και εφαρμογές. Ξεκινώντας στις αρχές του 195, ο σχεδιασμός αυτόματων πιλότων για αεροσκάφη υψηλών επιδόσεων δημιούργησε το κίνητρο για την έρευνα στον Προσαρμοζόμενο Έλεγχο. Σε τέτοια αεροσκάφη, κατά την πτήση από το ένα σημείο λειτουργίας στο άλλο η δυναμική του αεροσκάφους μεταβάλλεται σημαντικά και δεν καλύπτεται από ελεγκτές με σταθερές παραμέτρους (constant gain). Ένας ελεγκτής όπως ο προσαρμοζόμενος ελεγκτής μπορεί να αντιμετωπίσει τέτοιες αλλαγές. Στον προσαρμοζόμενο έλεγχο ό σχεδιασμός αποτελείται συνήθως από τρία στάδια: επιλογή του νόμου ελέγχου που θα περιλαμβάνει μεταβλητές παραμέτρους επιλογή του νόμου προσαρμογής των μεταβλητών παραμέτρων ανάλυση των ιδιοτήτων σύγκλισης του συστήματος ελέγχου που προκύπτει. Αυτο συνήθως γίνεται με χρήση συνάρτησης Lyapunov V, περιγράφοντας το συνολικό σφάλμα, και έλέγχοντας κατόπιν πότε η παράγωγος αυτής γίνεται αρνητική. Προσαρμοζόμενος έλεγχος με μοντέλο αναφοράς (Model Reference Adaptive Control-MRAC) προτάθηκε από τον Whitaker το 1958 με χρήση του νόμου ΜΙΤ (MIT rule) και τη μέθοδο ευαισθησίας (sensitivity), όπου η υλοποίηση του μοντέλου έγινε με αναλογικό υπολογιστή. Οι επιτυχίες συνεχίστηκαν μέχρι το 197, με διάφορες εφαρμογές. Ακολούθησε αμφισβήτηση της μεθόδου το 1979, καθώς παρατηρήθηκε ότι δημιουργείται αστάθεια με την παρουσία μικρών διαταραχών ή μη-μοντελοποιημένης δυναμικής. Έτσι τη δεκαετία του 198 μελετήθηκαν αλλαγές, οδηγώντας πλέον στη σημερινή μορφή του εύρωστου προσαρμοζόμενου ελέγχου (Robust Adaptive Control). Επιτυχή παραδείγματα MRAC είναι ο αυτόματος πιλότος πορείας πλοίου [va84]. Περισσότερα στοιχεία για συστήματα MRAC υπάρχουν στα [NA89], [IS96], [SL91]. 7.2 Εισαγωγή Στον προσαρμοζόμενο έλεγχο με μοντέλο αναφοράς (MRAC) οι παράμετροι κέρδους του ελεγκτή προσαρμόζονται αυτόματα προκειμένου να πλησιάζει η απόκριση του συστήματος την απόκριση του μοντέλου αναφοράς. Η δομή φαίνεται στο Σχ. 11. Η συνάρτηση μεταφοράς W m (s) του μοντέλου αναφοράς επιλέγεται έτσι ώστε για δεδομένη είσοδο αναφοράς r(t) η έξοδος y m (t) του μοντέλου αναφοράς παριστά την επιθυμητή απόκριση που θέλουμε να ακολουθήσει το σύστημα y p (t). Ο ελεγκτής C(θ c ) σχεδιάζεται έτσι ώστε όλα τα σήματα να είναι φραγμένα (bounded) και η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου από το r στο y είναι ίση με W m (s). Η ομοιότητα αυτή στη συνάρτηση μεταφοράς εγγυάται ότι για κάθε είσοδο αναφοράς r το σφάλμα e 1 = y p y m, που παριστά την απόκλιση της εξόδου του συστήματος από 14

15 r(t) Reference Model Controller u y m (t) Plant y p (t) + Σ e 1 (t) Adaptation law Σχήμα 11: Διάταξη Προσαρμοζόμενου Ελέγχου με Μοντέλο Αναφοράς. την επιθυμητή τροχιά της, συγκλίνει στο μηδέν με την πάροδο του χρόνου. Η ομοιότητα της συνάρτησης μεταφοράς είναι δυνατή με ακύρωση των μηδενιστών της συνάρτησης μεταφοράς (zeros cancellation) και αντικατάστασή τους με αυτούς της W m (s), μέσω του ελεγκτή C(θ c ). Η ακύρωση μηδενιστών δημιουργεί περιορισμό στον τύπο του συστήματος, ώστε αυτό να είναι ελάχιστης φάσης (minimum phase), έχοντας ευσταθείς μηδενιστές (stable zeros). Εάν το σύστημα είναι ασταθές, η ακύρωση θα οδηγήσει σε σήματα μη-φραγμένα. Ο σχεδιασμός του C(θ c ) απαιτεί την γνώση των συντελεστών του συστήματος G(s). Αν θ c είναι διάνυσμα που περιλαμβάνει όλους τους συντελεστές της G(s) = G(s, θ ), τότε το διάνυσμα παραμέτρων θ c υπολογίζεται λύνοντας την αλγεβρική εξίσωση θ c = F (θ ) (24) Διακρίνουμε δύο τύπους ελέγχου MRAC: τον ευθύ (direct), όπου το διάνυσμα παραμέτρων θ, του ελεγκτή C(θ) ενημερώνεται απευθείας από ένα νόμο προσαρμογής καθώς και τον έμμεσο(indirect), όπου το θ υπολογίζεται από σχέση που το συνδέει με τις εκτιμούμενες σε πραγματικό χρόνο παραμέτρους του συστήματος (plant parameters). Στο παρόν κεφάλαιο εξετάζεται η πρώτη περίπτωση, δηλ. direct MRAC. Υπάρχουν διάφορες περιπτώσεις MRAC, ανάλογα με τον τύπο του συστήματος. Η πιό απλή περιπτωση αφορά σύστημα πρώτης τάξης γραμμικό αλλά και μη γραμμικό. Γενικεύοντας εδώ, έχουμε περιπτώσεις συστήματος με πλήρες διανύσμα κατάστασης, με την προυπόθεση ότι αυτό μετράται. Κατόπιν έχουμε περιπτώσεις εισόδου-εξόδου, ανάλογα με τον σχετικό βαθμό (relative degree) n (διαφορά πόλων-μηδενιστών). 7.3 Απλά συστήματα Direct MRAC Θεωρούμε την απλή περίπτωση scalar adaptive tracking, δηλ. έλεγχο όπου σύστημα πρώτης τάξης προσπαθεί να ακολουθήσει την είσοδο. Θεωρούμε σύστημα πρώτης τάξης ẋ = αx + bu (25) 15

16 με α, b άγνωστες σταθερές, με γνωστό το πρόσημο της b. Στόχος του συστήματος ελέγχου είναι να καθορίσει νόμο ελέγχου u ώστε όλα τα σήματα στο σύστημα κλειστού βρόχου να είναι φραγμένα και το x να ακολουθεί την κατάσταση x m του μοντέλου αναφοράς που δίνεται από την ẋ m = α m x m + b m r x m = b m s + α m r (26) με τα α m >, b m γνωστά και τα x m (t), r(t) μετρημένα σε κάθε χρονική στιγμή t. Νόμος Ελέγχου (control law). Για να ακολουθεί το x την τιμή του x m για κάθε είσοδο αναφοράς r(t), τότε ο νόμος ελέγχου θα πρέπει να επιλεγεί έτσι ώστε η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου από την είσοδο r στην έξοδο x να είναι ίδια με αυτή του μοντέλου αναφοράς. Προτείνεται ως νόμος ελέγχου ο με τα k, l υπολογισμένα έτσι ώστε u = k x + l r (27) x(s) r(s) = bl s α + bk = b m = x m(s) s + a m r(s) (28) Η (28) ικανοποιείται αν θέσουμε l = b m b, k = a m + a b Εφόσον τα α, b είναι άγνωστα, τότε η (27) δεν μπορεί να υλοποιηθεί. Μπορούμε τότε να θέσουμε u = k(t)x + l(t)r (3) αντικαθιστώντας τα k, l με τις εκτιμήσεις τους k, l, αναζητώντας πλέον νόμο προσαρμογής για να τα υπολογιζει on-line. Νόμος Προσαρμογής (adaptation law). Θεωρούμε την εξίσωση σφάλματος που συνδέει τα σφάλματα παραμέτρων k = k k, l = l l με το σφάλμα εκτίμησης ϵ 1 = x, δηλ. ϵ 1 = α m ϵ 1 + b( kx + lr), ϵ 1 = e = x x m (31) Θεωρούμε τη συνάρτηση (29) V (ϵ 1, k, l) = ϵ k 2 2γ 1 b + l 2 2γ 2 b (32) με γ 1, γ 2 > ως συνάρτηση Lyapunov. Παραγωγίζοντας λαμβάνουμε την V ως V = α m ϵ 2 1 b kϵ 1 x + b lϵ 1 r + b k γ 1 f 1 + b l γ 2 f 2 (33) Επειδή b = b sgn(b), οι μη-ορισμένοι όροι της (33) φεύγουν αν επιλέξουμε f 1 = γ 1 ϵ 1 x sgn(b), f 2 = γ 2 ϵ 1 r sgn(b). 16

17 Έτσι για το νόμο πρσαρμογής k = γ 1 ϵ 1 x sgn(b), l = γ 2 ϵ 1 r sgn(b) (34) έχουμε V = α m ϵ 2 1 (35) Υλοποίηση Ο προσαρμοζόμενος ελεγκτής δίνεται από τις εξισώσεις (3), (34). Το δομικό του διάγραμμα φαίνεται στο Σχ. 12. x m bm s+am Σ ɛ = ɛ 1 r(t) l(t) u Σ 1 s a x + 1 s l() k(t) X γ 2 sgn(b) 1 s k() X γ 1 sgn(b) Σχήμα 12: Δομικό διάγραμμα που υλοποιεί τον προσαρμοζόμενο ελεγκτή των (3), (34). Τα προσαρμοζόμενα κέρδη γ 1, γ 2 είναι παράμετροι σχεδιασμού και επηρεάζουν την μεταβατική απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου. Επίσης επιλέγονται οι τιμές l(), k(). Αποτελέσματα προσομοίωσης συστήματος 1ης τάξης και μοντέλου αναφοράς ẋ = x + 3u (36) ẋ m = 4x m + 4r (37) για είσοδο αναφοράς r(t) = 4 και r(t) = 3 + 3sin(t) φαίνονται στα Σχ. 13 και 14 αντίστοιχα. Θεωρούμε γ 1 = γ 2 = Σύστημα MRAC εισόδου-εξόδου, με n = 1 Το δομικό διάγραμμα φαίνεται στο Σχ

18 Σχήμα 13: MRAC συστήματος 1ης τάξης με r(t) = Εύρωστος Προσαρμοζόμενος Έλεγχος Στην περίπτωση που υπάρχουν διαταραχές, σφάλματα στη μοντελοποίηση και μεταβολές παραμέτρων, οι ιδιότητες ευστάθειας που παρουσιάστηκαν ως τώρα παύουν να ισχύουν. Τη δεκαετία του 198 νέοι σχεδιασμοί προτάθηκαν και αναλύθηκαν, καταλήγοντας στο σημερινό εύρωστο προσαρμοζόμενο έλεγχο (robust MRAC). Οι αλλαγές στο νόμο προσαρμογής περιλαμβάνουν leakage, νεκρή ζώνη (dead zone), κ.α., και παρουσιάζονται παρακάτω. Πρώτα όμως ας δούμε πως μη-παραμετρικές ασάφειες (non-parametric uncertainties) οδηγούν ένα σύστημα MRAC σε αστάθεια, εξετάζοντας το γνωστό παράδειγμα του Rohr, από το [SL91]. Παράδειγμα Εδώ ένα σύστημα πρώτης τάξης που περιέχει μη-μοντελοποιημένη δυναμική και θόρυβο στις μετρήσεις έχει σύστημα ελέγχου MRAC. Το βασικό (nominal) μοντέλο του συστήματος θεωρείται ως H(s) = k p s + a p (38) 18

19 Σχήμα 14: MRAC συστήματος 1ης τάξης με r(t) = 3 + 3sin(t). Το μοντέλο αναφοράς, έχοντας SPR function, είναι M(s) = k m s + a m = 3 s + 3 Το πραγματικό σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς (39) y(s) = s + 1 s 2 + 3s u (4) οπότε βλέπουμε ότι είναι τρίτης τάξης σε αντίθεση με το βασικό μοντέλο που θεωρήσαμε ότι είναι πρώτης τάξης. Η μη-μοντελοποιημένη δυναμική προκύπτει ότι 229 είναι s 2 +3s+229, δηλ. πόλοι σε υψηλή συχνότητα με μικρή απόσβεση στα ( 15 +j) and ( 15 j). Επιπλέον υπάρχει θόρυβος στις μετρήσεις, n(t), ίσος με n(t) =.5 sin(16.1t). Το πλήρες σύστημα προσαρμοζόμενου ελέγχου φαίνεται στο Σχ. 16. Αποτελέσματα για είσοδο αναφοράς r = 2, φαίνoνται στο Σχ. 17. Η έξοδος y(t) αρχικά συγκλίνει στην περιοχή y = 2, κατόπιν εμφανίζεται μικρή ταλάντωση στο σφάλμα λόγω του θορύβου και τελικά αποκλίνει στο άπειρο. Σήμερα υπάρχουν αρκετοί μέθοδοι εύρωστου MRAC, όπως leakage, dead-zone, dynamic normalization, parameter projection. Στην συνέχεια παρουσιάζονται οι δύο πρώτοι. 19

20 r(t) k(t) Σ kmzm(s) Rm(s) kpzp(s) Rp(s) ym(t) yp(t) + Σ e1(t) Λ, l Λ, l θ T 1 ω1(t) ω2(t) θ T 2 θ T Σχήμα 15: Δομικό διάγραμμα που υλοποιεί τον προσαρμοζόμενο ελεγκτή εισόδουεξόδου, με n = 1. Σχήμα 16: MRAC με μη-μοντελοποιημένη δυναμική και θόρυβο στις μετρήσεις Μεθόδος leakage Εδώ η ιδέα είναι να τροποιηθεί η ο νόμος προσαρμογής ώστε η χρονική παράγωγος της συνάρτησης Lyapunov γίνεται αρνητική στο διάστημα εκτιμησης παραμέτρων, όταν οι παράμετροι αυτοί ξεπερνούν ορισμένα όρια. Θεωρούμε αρχικό νόμο προσαρμογής ως Κάνουμε αλλαγή του αρχικού νόμου προσαρμογής ως θ = γϵ 1 u, ϵ 1 = y θu (41) θ = γϵ 1 u γ wθ, ϵ 1 = y θu (42) όπου ο όρος wθ, με w >, μετατρέπει την αρχική ολοκληρωτική δράση του νόμου (41) σε δράση με διαρροή (leakage). Υπάρχουν διάφορες επιλογές για τον όρο w(t) ως εξής. 1. αλλαγή σ (σ-modi cation). Η πιό απλή μορφή είναι w(t) = σ >, t (43) 2

21 Σχήμα 17: Αστάθεια και απόκλιση των παραμέτρων. με σ μια μικρή σταθερά. Ο νόμος ελέγχου γίνεται θ = γϵ 1 u γ σθ (44) 2. εναλλαγή στο σ (switching σ). Η παράμετρος σ δεν θα είναι ενεργή όταν οι εκτιμούμενοι παράμετροι βρίσκονται εντος αποδεκτων ορίων. Έτσι τώρα το σ αλλάζει ως w(t) = σ s, {, θ < M σ s = σ, θ M 3. αλλαγή στο ϵ 1 (ϵ 1 -modi cation) Μέθοδος dead-zone Η μέθοδος dead-zone θεωρεί ότι μικρά σφάλματα στην έξοδο (tracking errors) περιέχουν τις πιο πολλές φορές θόρυβο και διαταραχές, οπότε μπορεί να σταματήσει ο μηχανισμός προσαρμογής όταν αυτά τα σφάλματα γίνουν μικρά. Αλλάζουμε τον νόμο προσαρμογής της μορφής â = γ v e (45) κατά με το μέγεθος της dead-zone. â = { γ v e, e >, e < Οπως φαίνεται και στο ακόλουθο παράδειγμα, αυτή η απλή μετατροπή μειώνει δραστικά την επίδραση διαταραχών. Παράδειγμα-συνέχ. Θεωρώντας πάλι το παράδειγμα του Rohr, αλλάζουμε τον νόμο προσαρμογής θέτοντας dead-zone =.7. Τα αποτελέσματα φαίνoνται στο Σχ. 18. Το σφάλμα εξόδου μένει κοντά στην ιδεατή απόκριση y = 2, με τάλαντωση λόγω του θορύβου μέτρησης. Οι παράμετροι τώρα δεν παρουσιάζουν ένδειξη απόκλισης. Η ταλάντωση είναι γρήγορη εφόσον η κλίμακα χρόνου στην εικόνα είναι μεγάλη και ο θόρυβος έχει υψηλή συχνότητα. 21

22 Σχήμα 18: Προσαρμοζόμενος έλεγχος με dead-zone. 7.6 Άσκηση Robust MRAC Θεωρούμε σύστημα ελέγχου διατήρησης ταχύητας οχήματος (cruise control). Η σχέση ταχύτητας οχήματος, V, και γωνίας πεντάλ γκαζιού, θ, είναι V = b θ + d, (46) s + α όπου d είναι διαταραχή λόγω φορτίου. Οι τιμές των α, b είναι άγνωστες. Εξετάζεται η χρήση ελέγχου MRAC, με μοντέλο αναφοράς όπου b m =.5, α m =.5. Ζητούνται: V m = b m s + α m V setpoint (47) 1. Σχεδιάστε σύστημα direct MRAC, με τις τιμές των α, b, d άγνωστες. 2. Κάντε προσομοίωση του συστήματος, με V setpoint =35 km/h, με τιμές (αʹ) α =.2, b = 1.3, d = 1 (βʹ) α =.2(2 + sin(.1t)), b = 1.3, d = 1sin(.2t) 3. Προσθέστε στο σύστημα (plant) καθυστέρηση ως Pade πρώτης τάξης.25 sec. Επαναλάβατε την προσομοίωση όπως πρίν, ρυθμίζοντας πάλι τα κέρδη του MRAC. 4. Αλλάξτε το αρχικό σύστημα ώστε τώρα να περιλαμβάνει δυναμική που δεν είχε αρχικά ληφθεί υπόψη (unmodeled dynamics), προκαλώνας έτσι αστάθεια κατά τον έλεγχο με MRAC. 5. Εφαρμόστε μεθόδους robust MRAC (leakage ή deadzone), κάνοντας το σύστημα κλειστού βρόχου ευσταθές. Δείξτε τα residuals και το ρυθμό προσαρμογής (adaptation rate). 22

23 8 Αυτοπροσαρμοζόμενος Έλεγχος Σε αντίθεση με τον κλασσικό έλεγχο, όπου όλες οι παράμετροι του ελεγκτή είναι σταθερές (χρονικά αμετάβλητες) και προεπιλεγμένες, στον αυτοπροσαρμοζόμενο έλεγχο (self-tuning control) οι παράμετροι προασαρμόζονται αυτόματα λαμβάνοντας υπόψη μετρήσεις σε πραγματικό χρόνο των μεταβλητών της διεργασίας ή των διαταραχών. Η ανάγκη για προσαρμογή των παραμέτρων του ελεγκτή προκύπτει σε περιπτώσεις μεγάλης μεταβολής του σημείου λειτουργίας. Ο κλασσικός ελεγκτής ρυθμίζεται μόνον για συγκεκριμένο σημείο λειτουργίας. Θεωρούμε τη διάταξη αυτοπροσαρμοζόμενου ελέγχου του Σχ. 19. Σε σχέση με ένα συμβατικό σύστημα ελέγχου, υπάρχουν δύο επιπλέον αλγόριθμοι υπολογισμού. Ο αλγόριθμος εκτίμησης (estimator) των παραμέτρων του συστήματος, χρησιμεύει στην αναγνώριση παραμέτρων του μοντέλου και λαμβάνει ως είσοδο την απόκριση του συστήματος και την εντολή ελέγχου. Σε κάθε χρονική στιγμή δειγματοληψίας, οι πιο πρόσφατες εκτιμούμενες παράμετροι δίνονται στον αλγόριθμο σχεδιασμού του ελεγκτή (controller synthesis), ο οποίος συνθέτει με ορισμένους κανόνες τις παραμέτρους του ελεγκτή. Οι ενημερωμένες παράμετροι του ελεγκτή δίνονται στον ελεγκτή και με βάση αυτές υπολογίζει την επόμενη εντολή ελέγχου. Η απλούστερη μέθοδος εκτίμησης παραμέτρων (system identi cation) είναι τα ελάχιστα τετράγωνα (least squares). Για τον σχεδιασμό του ελεγκτή, χρησιμοποιούνται κριτήρια ελαχιστοποίησης όπως ελάχιστη μεταβλητότητα (minimum variance-mv), ή γραμμικός τετραγωνικός νόμος ελέγχου (linear quadratic) ή και τοποθέτηση πόλων συστήματος κλειστού βρόχου σε επιιθυμητές θέσεις (pole assignment). Σχήμα 19: Διάταξη αυτοπροσαρμοζόμενου ελέγχου. Στα συστήματα αυτοπροσαρμοζόμενου ελέγχου χρησιμοποιείται συχνά μοντέλο εγκατάστασης σε διακριτό χρόνο, της μορφής CARMA: Controlled Auto Regressive Moving Average A(z 1 )y(t) = B(z 1 )u(t) + C(z 1 )e(t) (48) y(t) = B(z 1 ) A(z 1 ) u(t) + C(z 1 ) A(z 1 e(t) (49) ) 23

24 όπου A(z 1 ) = 1 + a 1 z a na z na (5) B(z 1 ) = b + b 1 z b nb z n b (51) Οι τιμές των πολυωνύμων A(z 1 ), B(z 1 ) προκύπτουν απο τον μετασχηματισμό Ζ της συνάρτησης μεταφοράς, περιέχοντας παράγοντα zero order hold (ZOH). 8.1 Tοποθέτηση πόλων Με τη μέθοδο τοποθέτησης πόλων (pole assignment), προσπαθούμε να πλησιάζουμε την μορφή χαρακτηριστικής εξίσωσης συστήματος κλειστού βρόχου. Θεωρούμε το σύστημα Ay(t) = Bz 1 u(t) + Ce(t) (52) όπου ο ελεγκτής έχει τη μορφή Οι δύο παραπάνω εξισώσεις δίνουν F u(t) = Hr(t) Gy(t) (53) (F A + z 1 BG)y(t) = z 1 BHr(t) + CF e(t) (54) Οι πόλοι συστήματος κλειστού βρόχου που αντιστοιχούν στις επιθυμητές θέσεις και ορίζονται από το πολυώνυμο T, προκύπτουν από τις τιμές των F, G απο την ισότητα (Diophantine) F A + z 1 BG = T C (55) Τα πολυώνυμα F, G, H ορίζονται ως F = 1 + f 1 z f nf z n f (56) G = g + g 1 z g ng z n g (57) H = h + h 1 z h nh z n h (58) Ο αντισταθμιστής (precompensator) H επιλέγεται ως [ ] T H = C B Κατά την τοποθέτηση πόλων συστήματος κλειστού βρόχου σε επιθυμητές θέσεις, λαμβάνονται συνήθως υπόψη συστήματα πρώτης και δεύτερης τάξης. Σε συστήματα πρώτης τάξης, η επιθυμητή θέση πόλων σχετίζεται με τον μηδενιστή του πολυωνύμου z=1 (59) T = 1 t 1 (z 1 ), t 1 = exp( τ s /b) (6) όπου β είναι η επιθυμητή σταθερά χρόνου. Στα συστήματα δεύτερης τάξης, οι τιμές επιθυμητών πόλων σχετίζεται με τους δύο μηδενιστές του πολυωνύμου T = 1 t 1 (z 1 ) + t 2 (z 1 ) (61) 24

25 όπου ( ) t 1 = 2 exp( ζω n τ s ) cos τ s ω n 1 ζ 2, t 2 = exp( 2ζω n τ s ) (62) με ω n τη φυσική συχνότητα και ζ το λόγο απόσβεσης. Παράδειγμα Για το ακόλουθο σύστημα διακριτού χρόνου σχεδιάζεται σύστημα αυτοπροσαρμοζόμενου ελέγχου με τοποθέτηση πόλων συστήματος κλειστού βρόχου σε επιιθυμητές θέσεις. με επιθυμητές θέσεις πόλων (1 +.5z 1 +.7z 2 )y(t) = (z 1 +.2z 2 )u(t) (63) T = 1.6(z 1 ) (64) Τυχαίες αρχικές τιμές δόθηκαν στις παραμέτρους του μοντέλου, ενώ οι αρχικές τιμές για τις παραμέτρους του ελεγκτή ήταν f 1 =.15, g = 1.25, g 1 =.525. Η έξοδος και το τετραγωνικό σήμα αναφοράς καθώς και το σήμα ελέγχου φαίνονται στο Σχ. 2, η αναγνώριση παραμέτρων φαίνονται στο σχήμα output & ref time steps 4 3 control input time steps Σχήμα 2: Εξοδος, σήμα αναφοράς και σήμα ελέγχου. 8.2 Ελάχιστη μεταβλητότητα Με τον ελεγκτή ελάχιστης μεταβλητότητας (MV), προσπαθούμε να θέσουμε την έξοδο ενός στοχαστικού συστήματος σε ένα σταθερό (μηδενικό) σημείο αναφοράς. Έτσι σε κάθε χρονική στιγμή, επιλέγουμε την είσοδο ελέγχου έτσι ώστε να μηδενίζεται η μεταβλητότητα της εξόδου J = E[y 2 (t + k)] (65) 25

26 1.5 parameter estimates 2 controller parameters b1 a2 1.5 a1 b2.5 f1 h.5 g1.5 1 g time steps time steps Σχήμα 21: Αναγνώριση παραμέτρων. με k την καθυστέρηση. Για ένα σύστημα της μορφής ο ελεγκτής MV έχει την μορφή y(t) = ay(t 1) + bu(t 1) + e(t) + ce(t) (66) u(t) = (a + c) y(t) (67) b Διάφορες μορφές αυτοπροσαρμοζόμενου ελέγχου μελετήθηκαν από τον Kalman το 1958, τους Astrom και Wittenmark το 1973, τους Clarke και Gawthrop το 1975 και τον Wellstead και την ομάδα του το Περισσότερα στοιχεία σχετικά με τα συστήματα αυτοπροσαρμοζόμενου ελέγχου υπάρχουν στα [WZ89], [WZ91], [AW73], [WEPZ79]. Αναφορές [AW73] [DB1] K. Astrom and B. Wittenmark. On self tuning regulators. Automatica, 9(1), R. Dorf and R. Bishop. Modern Control Systems. Ninth edition, Prentice Hall,

27 [Fos94] T. Fossen. Guidance and Control of Ocean Vehicles. John Wiley and Sons, [Fos11] T. Fossen. TTK 419 Guidance and Control. NTNU Lecture Notes, 211. [FPEN5] G. Franklin, D. Powel, and A. Enami-Naeimi. Feedback Control of Dynamic Systems. Addison Wesley Longman, 5th edition, 25. [IS96] P. Ioannou and J. Sun. Robust Adaptive Control. Prentice-Hall, [Kri85] [NA89] [SL91] [va84] N. Krikelis. Modeling and Optimal Control of Systems. (in greek) Plaisio, K. Narendra and A. Annaswammy. Stable Adaptive Control. Prentice Hall, Jean-Jacques Slotine and Weiping Li. Applied Nonlinear Control. Prentice Hall, J. van Amerongen. Adaptive steering of ships-a model reference approach. Automatica, 2(1), [WEPZ79] P.E. Wellstead, J. Edmunds, D. Prager, and P. Zanker. Self-tuning pole/zero assignment regulators. International Journal of Control, 3(1), [WZ89] P. Wellstead and P. Zanker. Application of self-tuning to engine control. Billings, S. and Harris, C. (Eds) Peter Peregrinus, [WZ91] P. Wellstead and M. Zarrop. Self-tuning systems. John Wiley,

Μάθημα: Ειδικά Συστήματα Ελέγχου Πλοίου(8.3.45.8) Κεφάλαιο: Συστήματα Ελέγχου Πλοίου

Μάθημα: Ειδικά Συστήματα Ελέγχου Πλοίου(8.3.45.8) Κεφάλαιο: Συστήματα Ελέγχου Πλοίου Μάθημα: Ειδικά Συστήματα Ελέγχου Πλοίου(8.3.45.8) Κεφάλαιο: Συστήματα Ελέγχου Πλοίου Δρ.ΓεώργιοςΠαπαλάμπρου 1 Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται συστήματα ελέγχου πλοίων, όπως αυτόματοι πιλότοι

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink Δυναμική Μηχανών I 5 6 Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένα σύστηµα εκκρεµούς όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Πάνω στη µάζα Μ επιδρά µια οριζόντια δύναµη F l την οποία και θεωρούµε σαν είσοδο στο σύστηµα. Έξοδος του συστήµατος θεωρείται η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΠΟΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Δρ Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Οκτώβριος 011 MATLAB

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Σημαντική πληροφορία για τη συμπεριφορά και την ευστάθεια ενός γραμμικού συστήματος, παίρνεται, μελετώντας την απόκρισή του

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 3 η : ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 201314 (Ιούνιος 2014) ΘΕΜΑ 1 Ο (3,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό λειτουργικό διάγραμμα που περιγράφει ένα αναγνωριστικό αυτοκινούμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε Πτυχιακή εργασία ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΕΣΗΣ ΓΡΑΦΙΔΑΣ ΕΚΤΥΠΩΤΗ ΕΚΠΟΝΗΣΗ: ΚΟΛΙΩΤΣΑ ΜΑΡΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΤΣΙΡΙΓΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές Διδακτικές Σημειώσεις Τμήματος Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τομέας Αρχιτεκτονικής Υπολογιστικών και Βιομηχανικών εφαρμογών Δρ. Βολογιαννίδης Σταύρος email:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID. Ελεγκτής τριών όρων Η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή είναι η ακόλουθη:

ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID. Ελεγκτής τριών όρων Η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή είναι η ακόλουθη: ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID Εισαγωγή Αυτό το βοήθημα θα σας δείξει τα χαρακτηριστικά καθενός από τους τρεις ελέγχους ενός PID ελεγκτή, του αναλογικού (P), του ολοκληρωτικού (I) και του διαφορικού (D) ελέγχου, καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Βιομηχανικής Πληροφορικής Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών, ΤΕΙ Σερρών

Εργαστήριο Βιομηχανικής Πληροφορικής Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών, ΤΕΙ Σερρών ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένας εργοστασιακός φούρνος. Το αν οι αντιστάσεις του φούρνου λειτουργούν ή όχι, εξαρτάται από μια μεταβλητή C η οποία παίρνει τιμές από 0 μέχρι και 10. Με μηδέν σημαίνει ότι δεν περνάει καθόλου

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 2014

Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 2014 Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 204 ΘΕΜΑ Ο (2,0 μονάδες) Η διαδικασία διεύθυνσης ενός αυτοκινήτου κατά την οδήγησή του μπορεί να περιγραφεί με ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου κλειστού βρόχου.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Συστηµάτν Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η χρονική απόκριση μπορεί να ληφθεί από αναλυτικά μέσα όπως η μέθοδος μετασχηματισμού Laplace, εναλλακτικά δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί εξομοίωση από Η/Υ. Η προσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace

Μετασχηματισμοί Laplace Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Βιομηχανικοί Ελεγκτές

Βιομηχανικοί Ελεγκτές Βιομηχανικοί Ελεγκτές Σημειώσεις Εργαστηρίου Έλεγχος Στάθμης Δοχείου με P.I.D. Ελεγκτή Περιεχόμενα 1. Τρόπος Εισαγωγής στο πρόγραμμα εξομοίωσης. 2. Τρόπος λειτουργίας εξομοιωτή. 3. Αναγνώριση ιδιοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

NETCOM S.A. ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΛΜΟΜΕΤΑΤΡΟΠΕΩΝ DIGITAL CONTROL OF SWITCHING POWER CONVERTERS

NETCOM S.A. ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΛΜΟΜΕΤΑΤΡΟΠΕΩΝ DIGITAL CONTROL OF SWITCHING POWER CONVERTERS NETCOM S.A. ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΛΜΟΜΕΤΑΤΡΟΠΕΩΝ DIGITAL CONTROL OF SWITCHING POWER CONVERTERS Αρχή λειτουργίας των Αναλογικών και ψηφιακών Παλμομετατροπεων Ο παλμός οδήγησης ενός παλμομετατροπέα, με αναλογική

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ψηφιακός Έλεγχος Συστημάτων Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Συστήµατα Αυτοµάτου Ελέγχου (Σ.Α.Ε.)

Εισαγωγή στα Συστήµατα Αυτοµάτου Ελέγχου (Σ.Α.Ε.) ΚΕΣ 01 Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στα Συστήµατα Αυτοµάτου Ελέγχου (Σ.Α.Ε.) Νικόλας Τσαπατσούλης Λέκτορας Π..407/80 Τµήµα Επιστήµη και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Βιβλιογραφία

Διαβάστε περισσότερα

6. ΑΡΧΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

6. ΑΡΧΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ 6. ΑΡΧΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΚΟΠΟΣ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΚΑΙ ΜΑΘΗΣΙΑΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιαστούν απλοποιημένα τα βασικά σημεία της θεωρίας των Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου. Θα παρουσιαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 3 Καθηγητής Χ. Χαμζάς Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα.3- ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ένα διακριτό discree ή ψηφιακό digial σύστημα είναι μία διαδικασία προσδιορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 3, Ενότητες 3. 3.8 Παρασκευόπουλος [5]:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τίτλος Μαθήματος Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 1: Βασικές έννοιες Μπλόκ διαγράμματα Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr Επ. Καθηγητής Τμήματος Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 7. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 7. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 7 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Επανάληψη 1 ου μέρους μαθήματος: Μοντελοποίηση & Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Εισαγωγή 2 ου μέρους μαθήματος:

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση του Φαινομένου του Μικροφωνισμού σε Ακουστικά Βαρηκοΐας

Αφαίρεση του Φαινομένου του Μικροφωνισμού σε Ακουστικά Βαρηκοΐας Αφαίρεση του Φαινομένου του Μικροφωνισμού σε Ακουστικά Βαρηκοΐας Νιαβής Παναγιώτης Επιβλέπων: Καθ. Γ. Μουστακίδης Περιεχόμενα Εισαγωγή Μικροφωνισμός σε ακουστικά βαρηκοΐας Προσαρμοστική αναγνώριση συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. 9o Εργαστήριο Σ.Α.Ε. Ενότητα : Έλεγχος Υδραυλικού Συστήματος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. 9o Εργαστήριο Σ.Α.Ε. Ενότητα : Έλεγχος Υδραυλικού Συστήματος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 9o Εργαστήριο Σ.Α.Ε Ενότητα : Έλεγχος Υδραυλικού Συστήματος Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα αυτομάτου ελέγχου (ΙΙ) Modern Control Theory

Συστήματα αυτομάτου ελέγχου (ΙΙ) Modern Control Theory Σ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Συστήματα αυτομάτου ελέγχου (ΙΙ) Modern Control Theory (Προσομοίωση δυναμικών συστημάτων) Διδάσκων : Αναπληρωτής Καθηγητής 1 Προσομοίωση δυναμικών συστημάτων Θα

Διαβάστε περισσότερα

Σύστημα. Θόρυβος. Σχήμα 1.1 Παράσταση ενός ανοιχτού συστήματος

Σύστημα. Θόρυβος. Σχήμα 1.1 Παράσταση ενός ανοιχτού συστήματος Ενότητα1: Εισαγωγή Σύστημα Σύστημα είναι ένα σύνολο φυσικών στοιχείων, πραγμάτων, ατόμων, μεγεθών ή εννοιών, που σχηματίζουν μιαν ενότητα και λειτουργούν ως μια ενότητα. Ένα σύστημα που επικοινωνεί με

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ GNSS/INS: ΑΠΟ ΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ GNSS/INS: ΑΠΟ ΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ Δορυφορική Γεωδαισία Σύγχρονα Συστήματα και Εφαρμογές Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών, Τμήμα Τοπογραφίας ΤΕΙ Αθήνας, 26 Μαΐου 2010 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ GNSS/INS: ΑΠΟ ΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΣΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο 2013-2014

Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο 2013-2014 Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο 2013-2014 Δρ. Γεώργιος Παπαλάμπρου Λέκτορας ΕΜΠ Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας george.papalambrou@lme.ntua.gr ΕΜΠ/ΣΝΜΜ Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας Περιεχόμενα Οργάνωση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Κατηγοριοποίηση αισθητήρων. Χαρακτηριστικά αισθητήρων. Κυκλώματα διασύνδεσης αισθητήρων

Εισαγωγή. Κατηγοριοποίηση αισθητήρων. Χαρακτηριστικά αισθητήρων. Κυκλώματα διασύνδεσης αισθητήρων Εισαγωγή Κατηγοριοποίηση αισθητήρων Χαρακτηριστικά αισθητήρων Κυκλώματα διασύνδεσης αισθητήρων 1 2 Πωλήσεις αισθητήρων 3 4 Ο άνθρωπος αντιλαμβάνεται τη φύση με τα αισθητήρια όργανά του υποκειμενική αντίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών. Τμήμα Αυτοματισμού. Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακού Ελέγχου. Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου με χρήση MATLAB

Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών. Τμήμα Αυτοματισμού. Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακού Ελέγχου. Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου με χρήση MATLAB Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Αυτοματισμού Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακού Ελέγχου Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου με χρήση MATLAB Επιμέλεια: Ξανθή Παπαγεωργίου E-mail: xanthi.papageorgiou@gmail.com Τμήματα:

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Συστήματα Ελέγχου Πλοίου 2012

Ειδικά Συστήματα Ελέγχου Πλοίου 2012 Ειδικά Συστήματα Ελέγχου Πλοίου 2012 Εισαγωγή Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών-ΕΜΠ Δρ. Γ. Παπαλάμπρου 20 Μαρτίου 2012 Πλαίσιο Μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι να περιγράψει τα σύγχρονα συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

To SIMULINK του Matlab

To SIMULINK του Matlab ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Β ΧΗΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΘ. Κ. ΚΥΠΑΡΙΣΣΙΔΗΣ, ΛΕΚΤΟΡΑΣ Χ. ΧΑΤΖΗΔΟΥΚΑΣ Τ.Θ. 472 54 124 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Μάθημα: ΡΥΘΜΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ακαδ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΕΛΕΓΚΤΕΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΕΛΕΓΚΤΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΕΛΕΓΚΤΕΣ Δρ. Κωνσταντίνος Αλαφοδήμος Οκτώβριος 010 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ 1.0 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Καθ. Εφαρμογών: Σ. Βασιλειάδου Εργαστήριο Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου για Ηλεκτρολόγους Μηχανικούς Εργαστηριακές Ασκήσεις Χειμερινό

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

y 1 Output Input y 2 Σχήµα 1.1 Βασική δοµή ενός συστήµατος ελέγχου κλειστού βρόγχου

y 1 Output Input y 2 Σχήµα 1.1 Βασική δοµή ενός συστήµατος ελέγχου κλειστού βρόγχου Τ.Ε.Ι. ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜHΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓIΑΣ Σηµειώσεις για το εργαστήριο του µαθήµατος ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ I ΓΑΥΡΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΚΟΖΑΝΗ 2008 Κεφάλαιο 1 ο Ορισµός Συστηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ 3-1 Προσομοιωση και Βελτιστοποιηση Συστηματος (Haimes, 1977) ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΠΙΝΑΚΑΣ 3-1 Προσομοιωση και Βελτιστοποιηση Συστηματος (Haimes, 1977) ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 3.1 Εισαγωγη ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Τα συστηματα εφαρμοζονται σε αναπτυξιακα προγραμματα, σε μελετες σχεδιασμου εργων, σε προγραμματα διατηρησης ή προστασιας περιβαλλοντος και υδατικων πορων και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Ο τελεστικός ενισχυτής είναι ένα προκατασκευασμένο κύκλωμα μικρών διαστάσεων που συμπεριφέρεται ως ενισχυτής τάσης, και έχει πολύ μεγάλο κέρδος, πολλές φορές της τάξης του 10 4 και 10 6. Ο τελεστικός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας Δυναμική Μηχανών I Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο 7 4 Πεδίο της Συχνότητας 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής ver. 0.2 10/2012 Εισαγωγή στο Simulink Το SIMULINK είναι ένα λογισµικό πακέτο που επιτρέπει τη µοντελοποίηση, προσοµοίωση οίωση

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι µελέτης και βελτίωσης της ευστάθειας συστηµάτων. Συχνοτικά διαγράµµατα

Μέθοδοι µελέτης και βελτίωσης της ευστάθειας συστηµάτων. Συχνοτικά διαγράµµατα Μέθοδοι µελέτης και βελτίωσης της ευστάθειας συστηµάτων. Συχνοτικά διαγράµµατα Εισαγωγή Μελέτη συστήµατος αιώρησης µαγνητικού τρένου. Τις προηγούµενες δύο δεκαετίες, κατασκευάστηκαν πρωτότυπα µαγνητικά

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ D.C. ΚΙΝΗΤΗΡΑ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ D.C. ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ. ΓΕΝΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ D.C. ΚΙΝΗΤΗΡΑ Σε ένα ανοιχτό σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς G η έξοδος Υ και είσοδος Χ συνδέονται με τη σχέση: Y=G*Χ

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών

Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος []: Εφαρµογές, Κεφάλαιο 9: Ενότητες 9.-9.4

Διαβάστε περισσότερα

Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman

Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman 1 Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman Το 1960, R.E. Kalman δημόσιευσε το διάσημο έγγραφό του περιγράφοντας μια επαναλαμβανόμενη λύση στο γραμμικό πρόβλημα φιλτραρίσματος διακριτών δεδομένων. Από εκείνη τη στιγμή,

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 4 η : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ θεωρία και ασκήσεις. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ θεωρία και ασκήσεις. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ θεωρία και ασκήσεις Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ένα ηλεκτρικό κύκλωμα αποτελείται από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Τοποθετήστε τη δισκέτα στο drive B και σε περιβάλλον MS-DOS πληκτρολογήστε: B:

Τοποθετήστε τη δισκέτα στο drive B και σε περιβάλλον MS-DOS πληκτρολογήστε: B: Συστήματα floppy disk Τοποθετήστε τη δισκέτα στο drive B και σε περιβάλλον MS-DOS πληκτρολογήστε: B: Συστήματα σκληρού δίσκου Οι χρήστες σκληρού δίσκου θα πρέπει να δημιουργήσουν ένα directory με το όνομα

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρικά Κυκλώματα & Δίκτυα ΙΙ. Ανασκόπηση Κεφαλαίου «Τελεστικοί Ενισχυτές»

Ηλεκτρικά Κυκλώματα & Δίκτυα ΙΙ. Ανασκόπηση Κεφαλαίου «Τελεστικοί Ενισχυτές» Ηλεκτρικά Κυκλώματα & Δίκτυα ΙΙ Εισαγωγή στα Ολο. Κυκλ. Βασική Φυσική MOS Ενισχυτές ενός σταδίου Διαφορικοί Ενισχυτές Καθρέφτες Ρεύματος Απόκριση Συχνότητας Ηλεκτρικός Θόρυβος Ανατροφοδότηση Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο της επεξεργασίας σήματος αλλά και συχνή αιτία πονοκεφάλου για όσους πρωτοασχολούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Σφάλματα Μετρήσεων Συμβατικά όργανα μετρήσεων Χαρακτηριστικά μεγέθη οργάνων Παλμογράφος Λέκτορας Σοφία Τσεκερίδου 1 Σφάλματα μετρήσεων Επιτυχημένη μέτρηση Σωστή εκλογή

Διαβάστε περισσότερα

, και. είναι σταθερές (χρονικά αμετάβλητες), προκύπτει το χρονικά αμετάβλητο φίλτρο Kalman (Time Invariant Kalman Filter):

, και. είναι σταθερές (χρονικά αμετάβλητες), προκύπτει το χρονικά αμετάβλητο φίλτρο Kalman (Time Invariant Kalman Filter): 1 ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟ ΦΙΛΤΡΟ KALMAN Για το χρονικά αμετάβλητο μοντέλο, όπου οι μήτρες F( k 1, k) F, H( k 1) H, Q( k) Q και R( k 1) R είναι σταθερές (χρονικά αμετάβλητες), προκύπτει το χρονικά αμετάβλητο

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΔYNAMIKH ΜΗΧΑΝΩΝ Ι. Δρ. Ιωάννης Αντωνιάδης, Καθηγητής Δ/ντής, Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών

ΔYNAMIKH ΜΗΧΑΝΩΝ Ι. Δρ. Ιωάννης Αντωνιάδης, Καθηγητής Δ/ντής, Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών ΔYNAMIKH ΜΗΧΑΝΩΝ Ι Εισαγωγή στην Δυναμική Μηχανών, Δομών και Συστημάτων 5 ο εξάμηνο Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών, Ε.Μ.Π. Δρ. Ιωάννης Αντωνιάδης, Καθηγητής Δ/ντής, Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR.

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR. Τα IIR φίλτρα είναι επαναληπτικά ή αναδροµικά, µε την έννοια ότι δείγµατα της εξόδου χρησιµοποιούνται από το σύστηµα για τον υπολογισµό τν νέν τιµών της εξόδου σε επόµενες χρονικές στιγµές. Για να επιτύχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων

Σύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: «Τεχνολογίες και Συστήματα Ευρυζωνικών Εφαρμογών και Υπηρεσιών» Μάθημα: «Επεξεργασία Ψηφιακού Σήματος και Σχεδιασμός Υλικού» Σύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικά Στοιχεία και Κυκλώματα ΙΙ. Εισαγωγή σε Ενισχυτές

Ηλεκτρονικά Στοιχεία και Κυκλώματα ΙΙ. Εισαγωγή σε Ενισχυτές Ηλεκτρονικά Στοιχεία και Κυκλώματα ΙΙ Εισαγωγή στα Ολο. Κυκλ. Βασική Φυσική MO Ενισχυτέςενόςσταδίου Διαφορικοί Ενισχυτές Καθρέφτες Ρεύματος Απόκριση Συχνότητας Ηλεκτρικός Θόρυβος Ανατροφοδότηση Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ιπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών

ιπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ιπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΞΑΝΘΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙΙ

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 445 Έλεγχος παραγωγής ΙΙ

ΗΜΥ 445 Έλεγχος παραγωγής ΙΙ ΗΜΥ 445 Έλεγχος παραγωγής ΙΙ Δρ. Ηλίας Κυριακίδης Επίκουρος Καθηγητής ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ 007 Ηλίας Κυριακίδης, Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

15/3/2009. Ένα ψηφιακό σήμα είναι η κβαντισμένη εκδοχή ενός σήματος διάκριτου. χρόνου. Φλώρος Ανδρέας Επίκ. Καθηγητής

15/3/2009. Ένα ψηφιακό σήμα είναι η κβαντισμένη εκδοχή ενός σήματος διάκριτου. χρόνου. Φλώρος Ανδρέας Επίκ. Καθηγητής 15/3/9 Από το προηγούμενο μάθημα... Ένα ψηφιακό σήμα είναι η κβαντισμένη εκδοχή ενός σήματος διάκριτου Μάθημα: «Ψηφιακή Επεξεργασία Ήχου» Δάλ Διάλεξη 3 η : «Επεξεργαστές Ε ξ έ Δυναμικής Περιοχής» Φλώρος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) Άσκηση 1. Α) Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος την χρονική στιγμή t=0 sec ο διακόπτης κλείνει. Βρείτε τα v c και i c. Οι πυκνωτές είναι αρχικά αφόρτιστοι. Β)

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα:

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα: ΦΙΛΤΡΑ 6.. ΦΙΛΤΡΑ Το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων. Στο Σχήμα 6.6 δείχνουμε την απόκριση συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Αρχές Επ. Καθηγήτρια Τζόγια Χ. Καππάτου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Ψηφιακή Επεξεργασία Ήχου

Μάθημα: Ψηφιακή Επεξεργασία Ήχου Τμήμα Τεχνών Ήχου και Εικόνας Ιόνιο Πανεπιστήμιο Μάθημα: Ψηφιακή Επεξεργασία Ήχου Εργαστηριακή Άσκηση 1 «Διαχείριση και Δημιουργία Βασικών Σημάτων, Δειγματοληψία και Κβαντισμός» Διδάσκων: Φλώρος Ανδρέας

Διαβάστε περισσότερα