Ειδικά Συστήματα Ελέγχου Πλοίου ( ) Ανασκόπηση Συστημάτων Ελέγχου. Δρ. Γεώργιος Παπαλάμπρου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ειδικά Συστήματα Ελέγχου Πλοίου (8.3.45.8) Ανασκόπηση Συστημάτων Ελέγχου. Δρ. Γεώργιος Παπαλάμπρου"

Transcript

1 Ειδικά Συστήματα Ελέγχου Πλοίου ( ) Ανασκόπηση Συστημάτων Ελέγχου Δρ. Γεώργιος Παπαλάμπρου 1

2 Δρ. Γεώργιος Παπαλάμπρου Λέκτορας ΕΜΠ Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ενημέρωση: 3/5/212 ΓΠ X L A TEX E Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 3 2 Μαθηματικά Μοντέλα 4 3 Προδιαγραφές Μεταβατικής Απόκρισης 5 4 Κλασσικός Έλεγχος 7 5 Βέλτιστος Έλεγχος Βέλτιστος Έλεγχος LQG Παρατηρητές και φίλτρα Kalman 13 7 Προσαρμοζόμενος Έλεγχος με Μοντέλο Αναφοράς Ιστορική Αναδρομή Εισαγωγή Απλά συστήματα Direct MRAC Σύστημα MRAC εισόδου-εξόδου, με n = Εύρωστος Προσαρμοζόμενος Έλεγχος Μεθόδος leakage Μέθοδος dead-zone Άσκηση Robust MRAC Αυτοπροσαρμοζόμενος Έλεγχος Tοποθέτηση πόλων Ελάχιστη μεταβλητότητα

3 1 Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο γίνεται ανασκόπηση της θεωρίας συστημάτων ελέγχου, ώστε να είναι κατανοητές οι διαφορετικές εφαρμογές συστημάτων ελέγχου πλοίων που θα παρουσιαστούν στη συνέχεια. Παραθέτονται στοιχεία από κλασσικό έλεγχο και ελεγκτές PID, βέλτιστο έλεγχο και ελεγκτές Linear Quadratic, παρατηρητές, αυτοπροσαρμοζόμενο έλεγχο (self-tuning) προσαρμοζόμενο έλεγχο με μοντέλο (MRAC). Επίσης παρουσιάζονται τα βασικά χαρακτηριστικά ψηφιακών συστημάτων ελέγχου. Ο σχεδιασμός συστημάτων ελέγχου με ανατροφοδότηση εξόδου (feedback control) έχει δύο στόχους. Ο πρώτος είναι να τροποποιήσει κατά κάποιο τρόπο την δυναμική απόκριση του συστήματος. Ο δεύτερος είναι να μειώσει την ευαισθησία της εξόδου του συστήματος σε διαταραχές. Για παράδειγμα, πολλές φορές είναι επιθυμητό η έξοδος να ακολουθεί το σήμα εισόδου με αποδεκτά γρήγορο τρόπο είτε σε μόνιμη κατάσταση, με σταθερή την είσοδο αναφοράς, η έξοδος να είναι ίση με την αναφορά, παρουσία διαταραχών. Η εικόνα 1 δείχνει τις διαφορετικές μεθόδους συστημάτων ελέγχου που έχουν υιοθετηθεί μέχρι σήμερα σε προσεγγίσεις προβλημάτων ναυπηγικής, όπως ship autopilots, trajectory tracking control, maneuvering, dynamic positioning, κλπ. Τα στοιχεία είναι από τον T. Fossen, [Fos11]. Σχήμα 1: Μέθοδοι συστημάτων ελέγχου που έχουν υιοθετηθεί στην ναυπηγική 3

4 2 Μαθηματικά Μοντέλα Ως μοντέλο εννοούμε τη μαθηματική περιγραφή δυναμικής μεταβολής του συστήματος που πρόκειται να ελεγχθεί. Τα μοντέλα μας ενδιαφέρουν από τη σκοπιά του σχεδιασμού των συστημάτων ελέγχου και για αυτό τον λόγο έχουν χαμηλή τάξη και μειωμένη πολυπλοκότητα. Τα μοντέλα προέρχονται από τις διαφορικές εξισώσεις που διέπουν το πρόβλημα, από εφαρμογή μεθόδων αναγνώρισης συστημάτων (system identi cation) ή και συνδιασμό τους. Τα μοντέλα έχουν τη μορφή συναρτήσεων μεταφοράς (transfer functions) ή εξισώσεων στο χώρο κατάστασης (state space). Βασική απαίτηση είναι η ικανότητα τους να περιγράφουν τη δυναμική του συστήματος. Στην περίπτωση συναρτήσεων μεταφοράς, περιγράφεται ο λόγος της εξόδου Y (s) πρός την είσοδο U(s), όπου s είναι ο τελεστής Laplace G(s) = Y (s) U(s) (1) Χρησιμοποιούνται τα διαγράμματα Bode, που παριστούν την μεταβολή του μέτρου και της φάσης σε συνάρτηση με την συχνότητα ω. Παράδειγμα Προκειμένου να διατηρείται η πορεία του πλοίου κατά την πλεύση σε επιθυμητή τιμή, χρησιμοποιείται αυτόματος πιλότος πορείας (course-keeping auto-pilot). Οι απλουστευμένες εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση ενός πλοίου στο επίπεδο προέρχονται από τον Nomoto [Fos94]. Η διαφορική εξίσωση είναι και η συνάρτηση μεταφοράς είναι T ψ + ψ = Kδ (2) ψ δ (s) = K s(1 + T s) (3) όπου Τ είναι η σταθερά χρόνου, Κ το κέρδος, ψ η γωνία διεύθυνσης με τον άξονα X (heading angle) και δ η γωνία του πηδαλίου (rudder angle). Η εικόνα 2 δείχνει την κίνηση του πλοίου στο οριζόντιο επίπεδο. Η εξίσωση 3 ισχύει για χαμηλές συχνότητες και μικρές τιμές δ (μέχρι 35 μοίρες). Ως είσοδο (μεταβλητή ελέγχου) θεωρούμε τη γωνία του πηδαλίου και ως έξοδο (ελεγχόμενη μεταβλητή) τη γωνία διεύθυνσης. Στην περίπτωση εξισώσεων στο χώρο κατάστασης, ẋ = Ax + Bu, y = Cx + Du (4) όπου x οι καταστάσεις (states), u η είσοδος(οι), y η έξοδος(οι). A είναι ο πίνακας συστήματος, B ο πίνακας εισόδου και C ο πίνακας εξόδου. 4

5 Σχήμα 2: Η κίνηση του πλοίου στο οριζόντιο επίπεδο Θεωρούμε ότι όλες οι καταστάσεις είναι διαθέσιμες από μετρήσεις. Στην πράξη κάτι τέτοιο είναι δύσκολο λόγω δαπάνης σε όργανα μέτρησης ή αδυναμίας μέτρησης του μεγέθους. Παράδειγμα Δίνεται ηλεκτρομηχανικό σύστημα, σε μορφή εξισώσεων χώρου κατάστασης, με είσοδο ελέγχου. Το διάνυσμα μεταβλητών κατάστασης είναι x(t) = [ταχύτητα επιτάχυνση]. Από τις μεταβλητές κατάστασης μετρούνται και οι δύο με αισθητήρια μοναδιαίου κέρδους, ενώ δεν υπάρχει απευθείας τροφοδότηση εισόδου στην έξοδο. A = [ ], B = [ ], C = [ 1 1 ] (5) Πλήρες σύστημα κλειστού βρόχου με ελεγκτή φαίνεται στην εικόνα 3. r Σ u ẋ = Ax + Bu x C y K Σχήμα 3: Δομικό διάγραμμα για το πλήρες σύστημα κλειστού βρόχου με ελεγκτή Θεωρούμε έλεγχο με μεταβλητές κατάστασης, με μορφή u = Kx. Οι τιμές του K υπολογίζονται με μέθοδο Ackermann ή βέλτιστο έλεγχο. 3 Προδιαγραφές Μεταβατικής Απόκρισης Σε μια συνάρτηση μεταφοράς, ως πόλοι (poles) ορίζονται οι ρίζες του παρονομαστή και ως μηδενιστές (zeroes) οι ρίζες του αριθμητή. Οι πόλοι του συστήματος καθορίζουν την ευστάθειά του και την μεταβατική του απόκριση. Περιγραφές 5

6 εφαρμογών με συστήματα πρώτης και δεύτερης τάξης καλύπτουν τις περισσότερες εφαρμογές συστημάτων ελέγχου. Για συστήματα πρώτης τάξης, με συνάρτηση μεταφοράς G(s) = f as + 1 όπου f το κέρδος και a η σταθερά χρόνου, η απόκριση σε βηματική είσοδο φαίνεται στο σχήμα 4. (6) Σχήμα 4: Προδιαγραφές μεταβατικής απόκρισης συστημάτων πρώτης τάξης Το αρχικό σύστημα έχει απόκριση σε βηματική είσοδο u(t) που σχετίζεται με τη σταθερά χρόνου α. Ζητούμενο από ένα σύστημα ελέγχου είναι να αυξηθεί η ταχύτητα απόκρισης σύμφωνα με την νέα επιθυμητή σταθερά χρόνου β. Για συστήματα δεύτερης τάξης, με συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου ω 2 n G(s) = s 2 + 2ζω n s + ωn 2 (7) όπου ω n είναι η φυσική συχνότητα και ζ ο λόγος απόσβεσης, η απόκριση σε βηματική είσοδο φαίνεται στο σχήμα 5. Σχήμα 5: Προδιαγραφές μεταβατικής απόκρισης συστημάτων δεύτερης τάξης Η απόκριση χαρακτηρίζεται από τα ακόλουθα μεγέθη. Ως χρόνος ανύψωσης (rise time), t r, θεωρείται ο χρόνος που απαιτείται για να ανέλθει η απόκριση από 1% σε 9%. Ο χρόνος κορυφής (peak time), t p, είναι ο χρόνος που απαιτείται για να φτάσει η απόκριση στην πρώτη κορυφή της καμπύλης. Η μέγιστη υπερακόντιση (maximum 6

7 overshoot), M p, είναι η τιμή της μέγιστης κορυφής της καμπύλης απόκρισης μετρούμενης από τη μονάδα. Ο χρόνος αποκατάστασης (settling time), t s, είναι ο χρόνος που απαιτείται για να φτάσει και να παραμείνει η καμπύλη απόκρισης μέσα σε ορισμένα όρια γύρω από την τελική τιμή, π.χ. 2%. Σε αυτήν την περίπτωση ισχύει ότι Για τον χρόνο κορυφής t p ισχύει t s = 4τ = 4 ζω n, τ = 1/ζω n (8) π t p = ω n 1 ζ 2 (9) Επίσης στην περίπτωση που ισχύει.3 ζ.8, τότε ο χρόνος ανύψωσης t r είναι t r = 2.16ζ +.6 ω n (1) Περισσότερα στοιχεία για την μεταβατική απόκριση μπορούν να βρεθούν στα [DB1], [FPEN5], [WZ91]. 4 Κλασσικός Έλεγχος Σε πολλές περιπτώσεις η συμπεριφορά μιας εγκατάστασης σε μεταβατική ή μόνιμη απόκριση δεν είναι ικανοποιητική. Η τροποποίηση των χαρακτηριστικών γίνεται με την εισαγωγή κατάλληλης διάταξης ελέγχου που ονομάζεται κατευθυντής (controller). Ο πιο διαδεδομένος τύπος βιομηχανικού ελεγκτή είναι ο Αναλογικός-Ολοκληρωτικός-Διαφορικός (Proportional-Integral-Derivative/PID). Για ένα τέτοιο ελεγκτή, η σχέση μεταξύ εισόδου u και σφάλματος e είναι Η συνάρτηση μεταφοράς είναι u(t) = K c e(t) + K c T D de(t) dt + K c T i t e(t) dt (11) G c (s) = K c (1 + T D s + 1 T i s ) (12) όπου K c είναι το αναλογικό κέρδος, T D είναι ο χρόνος διαφόρισης και T i είναι ο χρόνος ολοκλήρωσης. Οι σταθερές μπορούν να προσαρμόζονται ώστε να επιτυγχάνεται η επιθυμητή απόκριση. Βλέπουμε από τη συνάρτηση μεταφοράς ότι ο ελεγκτής αυτού του τύπου περιλαμβάνει δύο μηδενιστές και ένα πόλο στο. Σύστημα PID φαίνεται στο Σχήμα 6. 7

8 Set Point r e u PID Plant y Output Σχήμα 6: Σύστημα κλειστού βρόχου με ελεγκτή PID Παράδειγμα PID Δίνεται σύστημα κεφαλής σκληρού δίσκου, με συνάρτηση μεταφοράς G(s) = 7 s s + 1 που συνδέει τη γωνιακή θέση (σε rad) με την εντολή στον κινητήρα θέσης (σε ma). Ζητείται να σχεδιαστεί ελεγκτής PID. Χρησιμοποιούμε ελεγκτή τύπου PI με συνάρτηση μεταφοράς K(s) = s + 11 s Οι αποκρίσεις ελεγκτών PI, PID φαίνονται στο σχήμα 7. Όπως φαίνεται στην απόκριση του συστήματος ανοιχτού βρόχου, η συμπεριφορά είναι έντονα ταλαντωτική, λόγω της πολύ χαμηλής απόσβεσης. Με χρήση της εντολής damp(den) προκύπτουν οι ιδιοτιμές, ο συντελεστήςς απόσβεσης και η φυσική συχνότητα. Έτσι εδώ έχουμε ζ = 2.37e 2, ω n = 3.16e + 2rad/s. Για το συγκεκριμένο παράδειγμα έχουμε τις παρακάτω εντολές. den=[1 15 1e5]; num=7; gg=tf(num,den); step(gg) % PI K1=tf([1 11],[1 ]) L=series(gg,K1) % series connection Gcl1=feedback(L,1); % closed-loop with negative feedback step(gcl) %PID K2=tf([ ],[1 ]) L2=series(gg,K2) Gcl2=feedback(L2,1); step(gc2) Στην περίπτωση ελεγκτή PID, ο χρόνος αποκατάστασης (settling time) είναι.25 sec, σε σύγκριση με τα.7 sec του συστήματος. Επίσης δεν υπάρχουν οι ταλαντώσεις υψηλής συχνότητας. Το διάγραμμα Bode για το σύστημα κλειστού βρόχου φαίνεται στο Σχήμα 8. Περισσότερα στοιχεία σχετικά με τα συστήματα κλασσικού ελέγχου υπάρχουν στα [DB1], [FPEN5]. (13) (14) 8

9 Step response of system Amplitude Time (sec) Step response of closed loop system with PI Amplitude Time (sec) Step response of closed loop system with PID Amplitude Time (sec) 5 Βέλτιστος Έλεγχος Σχήμα 7: Απόκριση ελεγκτή PI, PID Ο βέλτιστος έλεγχος εισήχθη το 196, ταυτόχρονα σε ΗΠΑ και πρώην Σοβιετική Ένωση, την εποχή που παρουσίαζε ενδιαφέρον η έρευνα για καθοδήγηση (guidance) και ελιγμούς (maneuvering). Ο Βέλτιστος Έλεγχος (Optimal control) επιδιώκει η απόδοση να είναι εκτός από αποδεκτή και βέλτιστη. Στον Κλασσικό έλεγχο προσπαθούμε να ελαχιστοποιήσουμε το σφάλμα σε καθορισμένα χρονικά σημεία, π.χ. σφάλμα μόνιμης κατάστασης. Στον Βέλτιστο έλεγχο ελαχιστοποιούμε το σφάλμα παντού. Συνάρτηση κόστους ή δείκτης λειτουργικής απόδοσης (ΔΛΑ-performance index) μπορεί να είναι το ολοκλήρωμα σφάλματος J 1 ή το ολοκλήρωμα απόλυτης τιμής σφάλματος J 2 J 1 = tf t i e 2 (t)dt, J 2 = tf t i e(t) dt (15) Για γραμμικό μοντέλο και τετραγωνική συνάρτηση σφάλματος, το πρόβλημα είναι 9

10 Bode Diagram 1 5 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Σχήμα 8: Το διάγραμμα Bode για το σύστημα κλειστού βρόχου γνωστό ως Γραμμικό Τετραγωνικό (Linear Quadratic-LQ). Η συνάρτηση κόστους ορίζεται ως J = 1 2 (x T Qx + u T Ru)dt (16) Ο βέλτιστος νόμος ελέγχου (Linear Quadratic Regulator-LQR) προκύπτει με ανατροφοδότηση κατάστασης u = Kx(t) (17) Το κέρδος του ελεγκτή δίνεται από K = R 1 B T P (18) όπου P είναι συμμετρική θετικά ημιορισμένη λύση της αλγεβρικής εξίσωσης Riccati A T P + P A P BR 1 B T P + Q = (19) Οι πίνακες βάρους Q,R αποτελούν επιλογή του μηχανικού και επιδρούν στις μεταβλητές x,u. Συνήθως έχουν διαγώνια μορφή (q ii, r ii ), και τα στοιχεία τους καθορίζουν τη συμμετοχή των μεταβλητών κατάστασης και εισόδων ελέγχου στη συνολική συνάρτηση κόστους. Η ενέργεια του συστήματος σχετίζεται με τον παράγοντα x T Qx. Κατά τη μεταβατική κατάσταση, πρέπει η ενέργεια να πέφτει γρήγορα στο μηδέν. Η μέγιστη τιμή της 1

11 σχετίζεται με την υπερακόντιση, ενώ ο χρόνος μείωσης της ενέργειας στο μηδέν σχετίζεται με τον χρόνο αποκατάστασης (settling time). Η ενέργεια ελέγχου σχετίζεται με τον παράγοντα u T Ru. Παράδειγμα LQR Δίνεται σύστημα διπλού ολοκληρωτή, με συνάρτηση μεταφοράς G(s) = 1/s 2. Θεωρούμε ότι x = [x 1 x 2 ]. Σε μορφή εξισώσεων χώρου κατάστασης έχουμε ẋ = Ax + Bu, y = Cx + Du (2) με A = [ 1; ]; B = [; 1]; C = [1 ]; D = []. Ζητείται να σχεδιαστεί βέλτιστος ελεγκτής LQR. Ο βέλτιστος ελεγκτής LQR στο MATLAB υλοποιείται με την εντολή [k,m,e]=lqr(a,b,q,r). k είναι το κέρδος του ελεγκτή, m είναι η λύση της εξίσωσης Riccati και e οι ιδιοτιμές του συστήματος κλειστού βρόχου. Q, R είναι πίνακες βαρών για τις καταστάσεις και τις εισόδους αντίστοιχα. Για το συγκεκριμένο παράδειγμα έχουμε τις παρακάτω εντολές. Q=[1 ; ] R=.16 %R=.16,.5,.5, 1 [k,m,e]=lqr(a,b,q,r) sys1=ss(a-b*k,zeros(2,1),c,zeros(1,1)) [y1,t1,x1]=initial(sys1,[1 ]'); u=k=-k*x1'; Οι αποκρίσεις και οι εντολές ελέγχου για διαφορετικές τιμές του R =.16,.5,.5, 1 φαίνονται στο Σχήμα 9. Για R =.16, το κέρδος K = [ ]. Για R =.5, το κέρδος K = [ ]. Για R =.5, το κέρδος K = [ ]. Τέλος, για R = 1, το κέρδος K = [ ]. 5.1 Βέλτιστος Έλεγχος LQG Στον Βέλτιστο Έλεγχο LQG θεωρούμε γραμμικό, χρονικά αμετάβλητο σύστημα, με εξισώσεις χώρου κατάστασης συνεχούς χρόνου ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + Ew(t), y(t) = Cx(t) + v(t) (21) όπου x είναι το διάνυσμα κατάστασης, u είναι το διάνυσμα εισόδων ελέγχου, y είναι το διάνυσμα μετρήσιμων εξόδων. w, v είναι τυχαία διαταραχή και τυχαίος θόρυβος στις μετρήσεις, με γνωστά στατιστικά χαρακτηριστικά. A, B, C, E είναι πίνακες με σταθερά στοιχεία. Ο βέλτιστος νόμος ελέγχου (Linear Quadratic Gaussian-LQG) προκύπτει με ανατροφοδότηση βέλτιστης εκτιμούμενης κατάστασης u = K ˆ x(t) (22) 11

12 2 r=.16, u( ) 1 r= r=.5 1 r= Σχήμα 9: Η μεταβολή των καταστάσεων και οι εντολές ελέγχου στον βέλτιστο έλεγχο, για διαφορετικές τιμές του R Το δίνεται από K = R 1 B T P (23) όπου P είναι συμμετρική θετικά ημιορισμένη λύση της αλγεβρικής εξίσωσης Riccati. Το ˆx δίνεται από φίλτρο Kalman και αποτελεί την εκτίμηση της κατάστασης. Το φίλτρο Kalman ονομάζεται παρατηρητής (observer) και παρέχει την εκτίμηση της κατάστασης. Δέχεται πληροφορίες από την είσοδο u και την παρατηρούμενη μεταβλητή y. Περισσότερα στοιχεία σχετικά με συστήματα βέλτιστου ελέγχου υπάρχουν στα [?], [DB1], [FPEN5], [?]. 12

13 6 Παρατηρητές και φίλτρα Kalman Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζονται πληροφορίες για τους παρατηρητές και τα φίλτρα Kalman Πολλές φορές οι νόμοι ελέγχου προυποθέτουν τη διαθεσιμότητα των καταστάσεων (states, x) του συστήματος προς έλεγχο. Στην πράξη δεν λαμβάνονται μετρήσεις από όλες τις μεταβλητές καταστάσεων, για λόγους κόστους (αισθητήρια και διατάξεις δειγματοληψίας) ή εφικτότητας, εφόσον μπορεί να μην υπάρχει πρόσβαση στα σημεία μέτρησης. Χρησιμοποιούνται τότε παρατηρητές (observers), όπου από μετρήσεις ορισμένων καταστάσεων μπορούν να ανακατασκευαστούν άλλες καταστάσεις που δεν είναι διαθέσιμες. Η εικόνα 2 δείχνει τη δομή συστήματος ελέγχου με παρατηρητή. Ο παρατηρητής δέχεται τα δεδομένα από την είσοδο ελέγχου u και την έξοδο y και παρέχει εκτίμηση x του διανύσματος κατάστασης. r Σ u ẋ = Ax + Bu x C y K ˆx Observer Σχήμα 1: Σύστημα ελέγχου με παρατηρητή Στην περίπτωση που οι μετρήσεις περιέχουν θόρυβο, τότε χρησιμοποιούνται φίλτρα Kalman. Περισσότερα στοιχεία για την εφαρμογή της μεθόδου αυτή υπάρχουν στο [Kri85]. 13

14 7 Προσαρμοζόμενος Έλεγχος με Μοντέλο Αναφοράς 7.1 Ιστορική Αναδρομή Η έρευνα στον προσαρμοζόμενο έλεγχο (adaptive control) έχει μακρά ιστορία έντονης δραστηριότητας και περιλαμβάνει διαφωνίες για τον ακριβή ορισμό του προσαρμοζόμενου ελέγχου, παραδείγματα με αστάθειες, αποδείξεις ευστάθειας και ευρωστότητας (robustness) καθώς και εφαρμογές. Ξεκινώντας στις αρχές του 195, ο σχεδιασμός αυτόματων πιλότων για αεροσκάφη υψηλών επιδόσεων δημιούργησε το κίνητρο για την έρευνα στον Προσαρμοζόμενο Έλεγχο. Σε τέτοια αεροσκάφη, κατά την πτήση από το ένα σημείο λειτουργίας στο άλλο η δυναμική του αεροσκάφους μεταβάλλεται σημαντικά και δεν καλύπτεται από ελεγκτές με σταθερές παραμέτρους (constant gain). Ένας ελεγκτής όπως ο προσαρμοζόμενος ελεγκτής μπορεί να αντιμετωπίσει τέτοιες αλλαγές. Στον προσαρμοζόμενο έλεγχο ό σχεδιασμός αποτελείται συνήθως από τρία στάδια: επιλογή του νόμου ελέγχου που θα περιλαμβάνει μεταβλητές παραμέτρους επιλογή του νόμου προσαρμογής των μεταβλητών παραμέτρων ανάλυση των ιδιοτήτων σύγκλισης του συστήματος ελέγχου που προκύπτει. Αυτο συνήθως γίνεται με χρήση συνάρτησης Lyapunov V, περιγράφοντας το συνολικό σφάλμα, και έλέγχοντας κατόπιν πότε η παράγωγος αυτής γίνεται αρνητική. Προσαρμοζόμενος έλεγχος με μοντέλο αναφοράς (Model Reference Adaptive Control-MRAC) προτάθηκε από τον Whitaker το 1958 με χρήση του νόμου ΜΙΤ (MIT rule) και τη μέθοδο ευαισθησίας (sensitivity), όπου η υλοποίηση του μοντέλου έγινε με αναλογικό υπολογιστή. Οι επιτυχίες συνεχίστηκαν μέχρι το 197, με διάφορες εφαρμογές. Ακολούθησε αμφισβήτηση της μεθόδου το 1979, καθώς παρατηρήθηκε ότι δημιουργείται αστάθεια με την παρουσία μικρών διαταραχών ή μη-μοντελοποιημένης δυναμικής. Έτσι τη δεκαετία του 198 μελετήθηκαν αλλαγές, οδηγώντας πλέον στη σημερινή μορφή του εύρωστου προσαρμοζόμενου ελέγχου (Robust Adaptive Control). Επιτυχή παραδείγματα MRAC είναι ο αυτόματος πιλότος πορείας πλοίου [va84]. Περισσότερα στοιχεία για συστήματα MRAC υπάρχουν στα [NA89], [IS96], [SL91]. 7.2 Εισαγωγή Στον προσαρμοζόμενο έλεγχο με μοντέλο αναφοράς (MRAC) οι παράμετροι κέρδους του ελεγκτή προσαρμόζονται αυτόματα προκειμένου να πλησιάζει η απόκριση του συστήματος την απόκριση του μοντέλου αναφοράς. Η δομή φαίνεται στο Σχ. 11. Η συνάρτηση μεταφοράς W m (s) του μοντέλου αναφοράς επιλέγεται έτσι ώστε για δεδομένη είσοδο αναφοράς r(t) η έξοδος y m (t) του μοντέλου αναφοράς παριστά την επιθυμητή απόκριση που θέλουμε να ακολουθήσει το σύστημα y p (t). Ο ελεγκτής C(θ c ) σχεδιάζεται έτσι ώστε όλα τα σήματα να είναι φραγμένα (bounded) και η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου από το r στο y είναι ίση με W m (s). Η ομοιότητα αυτή στη συνάρτηση μεταφοράς εγγυάται ότι για κάθε είσοδο αναφοράς r το σφάλμα e 1 = y p y m, που παριστά την απόκλιση της εξόδου του συστήματος από 14

15 r(t) Reference Model Controller u y m (t) Plant y p (t) + Σ e 1 (t) Adaptation law Σχήμα 11: Διάταξη Προσαρμοζόμενου Ελέγχου με Μοντέλο Αναφοράς. την επιθυμητή τροχιά της, συγκλίνει στο μηδέν με την πάροδο του χρόνου. Η ομοιότητα της συνάρτησης μεταφοράς είναι δυνατή με ακύρωση των μηδενιστών της συνάρτησης μεταφοράς (zeros cancellation) και αντικατάστασή τους με αυτούς της W m (s), μέσω του ελεγκτή C(θ c ). Η ακύρωση μηδενιστών δημιουργεί περιορισμό στον τύπο του συστήματος, ώστε αυτό να είναι ελάχιστης φάσης (minimum phase), έχοντας ευσταθείς μηδενιστές (stable zeros). Εάν το σύστημα είναι ασταθές, η ακύρωση θα οδηγήσει σε σήματα μη-φραγμένα. Ο σχεδιασμός του C(θ c ) απαιτεί την γνώση των συντελεστών του συστήματος G(s). Αν θ c είναι διάνυσμα που περιλαμβάνει όλους τους συντελεστές της G(s) = G(s, θ ), τότε το διάνυσμα παραμέτρων θ c υπολογίζεται λύνοντας την αλγεβρική εξίσωση θ c = F (θ ) (24) Διακρίνουμε δύο τύπους ελέγχου MRAC: τον ευθύ (direct), όπου το διάνυσμα παραμέτρων θ, του ελεγκτή C(θ) ενημερώνεται απευθείας από ένα νόμο προσαρμογής καθώς και τον έμμεσο(indirect), όπου το θ υπολογίζεται από σχέση που το συνδέει με τις εκτιμούμενες σε πραγματικό χρόνο παραμέτρους του συστήματος (plant parameters). Στο παρόν κεφάλαιο εξετάζεται η πρώτη περίπτωση, δηλ. direct MRAC. Υπάρχουν διάφορες περιπτώσεις MRAC, ανάλογα με τον τύπο του συστήματος. Η πιό απλή περιπτωση αφορά σύστημα πρώτης τάξης γραμμικό αλλά και μη γραμμικό. Γενικεύοντας εδώ, έχουμε περιπτώσεις συστήματος με πλήρες διανύσμα κατάστασης, με την προυπόθεση ότι αυτό μετράται. Κατόπιν έχουμε περιπτώσεις εισόδου-εξόδου, ανάλογα με τον σχετικό βαθμό (relative degree) n (διαφορά πόλων-μηδενιστών). 7.3 Απλά συστήματα Direct MRAC Θεωρούμε την απλή περίπτωση scalar adaptive tracking, δηλ. έλεγχο όπου σύστημα πρώτης τάξης προσπαθεί να ακολουθήσει την είσοδο. Θεωρούμε σύστημα πρώτης τάξης ẋ = αx + bu (25) 15

16 με α, b άγνωστες σταθερές, με γνωστό το πρόσημο της b. Στόχος του συστήματος ελέγχου είναι να καθορίσει νόμο ελέγχου u ώστε όλα τα σήματα στο σύστημα κλειστού βρόχου να είναι φραγμένα και το x να ακολουθεί την κατάσταση x m του μοντέλου αναφοράς που δίνεται από την ẋ m = α m x m + b m r x m = b m s + α m r (26) με τα α m >, b m γνωστά και τα x m (t), r(t) μετρημένα σε κάθε χρονική στιγμή t. Νόμος Ελέγχου (control law). Για να ακολουθεί το x την τιμή του x m για κάθε είσοδο αναφοράς r(t), τότε ο νόμος ελέγχου θα πρέπει να επιλεγεί έτσι ώστε η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου από την είσοδο r στην έξοδο x να είναι ίδια με αυτή του μοντέλου αναφοράς. Προτείνεται ως νόμος ελέγχου ο με τα k, l υπολογισμένα έτσι ώστε u = k x + l r (27) x(s) r(s) = bl s α + bk = b m = x m(s) s + a m r(s) (28) Η (28) ικανοποιείται αν θέσουμε l = b m b, k = a m + a b Εφόσον τα α, b είναι άγνωστα, τότε η (27) δεν μπορεί να υλοποιηθεί. Μπορούμε τότε να θέσουμε u = k(t)x + l(t)r (3) αντικαθιστώντας τα k, l με τις εκτιμήσεις τους k, l, αναζητώντας πλέον νόμο προσαρμογής για να τα υπολογιζει on-line. Νόμος Προσαρμογής (adaptation law). Θεωρούμε την εξίσωση σφάλματος που συνδέει τα σφάλματα παραμέτρων k = k k, l = l l με το σφάλμα εκτίμησης ϵ 1 = x, δηλ. ϵ 1 = α m ϵ 1 + b( kx + lr), ϵ 1 = e = x x m (31) Θεωρούμε τη συνάρτηση (29) V (ϵ 1, k, l) = ϵ k 2 2γ 1 b + l 2 2γ 2 b (32) με γ 1, γ 2 > ως συνάρτηση Lyapunov. Παραγωγίζοντας λαμβάνουμε την V ως V = α m ϵ 2 1 b kϵ 1 x + b lϵ 1 r + b k γ 1 f 1 + b l γ 2 f 2 (33) Επειδή b = b sgn(b), οι μη-ορισμένοι όροι της (33) φεύγουν αν επιλέξουμε f 1 = γ 1 ϵ 1 x sgn(b), f 2 = γ 2 ϵ 1 r sgn(b). 16

17 Έτσι για το νόμο πρσαρμογής k = γ 1 ϵ 1 x sgn(b), l = γ 2 ϵ 1 r sgn(b) (34) έχουμε V = α m ϵ 2 1 (35) Υλοποίηση Ο προσαρμοζόμενος ελεγκτής δίνεται από τις εξισώσεις (3), (34). Το δομικό του διάγραμμα φαίνεται στο Σχ. 12. x m bm s+am Σ ɛ = ɛ 1 r(t) l(t) u Σ 1 s a x + 1 s l() k(t) X γ 2 sgn(b) 1 s k() X γ 1 sgn(b) Σχήμα 12: Δομικό διάγραμμα που υλοποιεί τον προσαρμοζόμενο ελεγκτή των (3), (34). Τα προσαρμοζόμενα κέρδη γ 1, γ 2 είναι παράμετροι σχεδιασμού και επηρεάζουν την μεταβατική απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου. Επίσης επιλέγονται οι τιμές l(), k(). Αποτελέσματα προσομοίωσης συστήματος 1ης τάξης και μοντέλου αναφοράς ẋ = x + 3u (36) ẋ m = 4x m + 4r (37) για είσοδο αναφοράς r(t) = 4 και r(t) = 3 + 3sin(t) φαίνονται στα Σχ. 13 και 14 αντίστοιχα. Θεωρούμε γ 1 = γ 2 = Σύστημα MRAC εισόδου-εξόδου, με n = 1 Το δομικό διάγραμμα φαίνεται στο Σχ

18 Σχήμα 13: MRAC συστήματος 1ης τάξης με r(t) = Εύρωστος Προσαρμοζόμενος Έλεγχος Στην περίπτωση που υπάρχουν διαταραχές, σφάλματα στη μοντελοποίηση και μεταβολές παραμέτρων, οι ιδιότητες ευστάθειας που παρουσιάστηκαν ως τώρα παύουν να ισχύουν. Τη δεκαετία του 198 νέοι σχεδιασμοί προτάθηκαν και αναλύθηκαν, καταλήγοντας στο σημερινό εύρωστο προσαρμοζόμενο έλεγχο (robust MRAC). Οι αλλαγές στο νόμο προσαρμογής περιλαμβάνουν leakage, νεκρή ζώνη (dead zone), κ.α., και παρουσιάζονται παρακάτω. Πρώτα όμως ας δούμε πως μη-παραμετρικές ασάφειες (non-parametric uncertainties) οδηγούν ένα σύστημα MRAC σε αστάθεια, εξετάζοντας το γνωστό παράδειγμα του Rohr, από το [SL91]. Παράδειγμα Εδώ ένα σύστημα πρώτης τάξης που περιέχει μη-μοντελοποιημένη δυναμική και θόρυβο στις μετρήσεις έχει σύστημα ελέγχου MRAC. Το βασικό (nominal) μοντέλο του συστήματος θεωρείται ως H(s) = k p s + a p (38) 18

19 Σχήμα 14: MRAC συστήματος 1ης τάξης με r(t) = 3 + 3sin(t). Το μοντέλο αναφοράς, έχοντας SPR function, είναι M(s) = k m s + a m = 3 s + 3 Το πραγματικό σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς (39) y(s) = s + 1 s 2 + 3s u (4) οπότε βλέπουμε ότι είναι τρίτης τάξης σε αντίθεση με το βασικό μοντέλο που θεωρήσαμε ότι είναι πρώτης τάξης. Η μη-μοντελοποιημένη δυναμική προκύπτει ότι 229 είναι s 2 +3s+229, δηλ. πόλοι σε υψηλή συχνότητα με μικρή απόσβεση στα ( 15 +j) and ( 15 j). Επιπλέον υπάρχει θόρυβος στις μετρήσεις, n(t), ίσος με n(t) =.5 sin(16.1t). Το πλήρες σύστημα προσαρμοζόμενου ελέγχου φαίνεται στο Σχ. 16. Αποτελέσματα για είσοδο αναφοράς r = 2, φαίνoνται στο Σχ. 17. Η έξοδος y(t) αρχικά συγκλίνει στην περιοχή y = 2, κατόπιν εμφανίζεται μικρή ταλάντωση στο σφάλμα λόγω του θορύβου και τελικά αποκλίνει στο άπειρο. Σήμερα υπάρχουν αρκετοί μέθοδοι εύρωστου MRAC, όπως leakage, dead-zone, dynamic normalization, parameter projection. Στην συνέχεια παρουσιάζονται οι δύο πρώτοι. 19

20 r(t) k(t) Σ kmzm(s) Rm(s) kpzp(s) Rp(s) ym(t) yp(t) + Σ e1(t) Λ, l Λ, l θ T 1 ω1(t) ω2(t) θ T 2 θ T Σχήμα 15: Δομικό διάγραμμα που υλοποιεί τον προσαρμοζόμενο ελεγκτή εισόδουεξόδου, με n = 1. Σχήμα 16: MRAC με μη-μοντελοποιημένη δυναμική και θόρυβο στις μετρήσεις Μεθόδος leakage Εδώ η ιδέα είναι να τροποιηθεί η ο νόμος προσαρμογής ώστε η χρονική παράγωγος της συνάρτησης Lyapunov γίνεται αρνητική στο διάστημα εκτιμησης παραμέτρων, όταν οι παράμετροι αυτοί ξεπερνούν ορισμένα όρια. Θεωρούμε αρχικό νόμο προσαρμογής ως Κάνουμε αλλαγή του αρχικού νόμου προσαρμογής ως θ = γϵ 1 u, ϵ 1 = y θu (41) θ = γϵ 1 u γ wθ, ϵ 1 = y θu (42) όπου ο όρος wθ, με w >, μετατρέπει την αρχική ολοκληρωτική δράση του νόμου (41) σε δράση με διαρροή (leakage). Υπάρχουν διάφορες επιλογές για τον όρο w(t) ως εξής. 1. αλλαγή σ (σ-modi cation). Η πιό απλή μορφή είναι w(t) = σ >, t (43) 2

21 Σχήμα 17: Αστάθεια και απόκλιση των παραμέτρων. με σ μια μικρή σταθερά. Ο νόμος ελέγχου γίνεται θ = γϵ 1 u γ σθ (44) 2. εναλλαγή στο σ (switching σ). Η παράμετρος σ δεν θα είναι ενεργή όταν οι εκτιμούμενοι παράμετροι βρίσκονται εντος αποδεκτων ορίων. Έτσι τώρα το σ αλλάζει ως w(t) = σ s, {, θ < M σ s = σ, θ M 3. αλλαγή στο ϵ 1 (ϵ 1 -modi cation) Μέθοδος dead-zone Η μέθοδος dead-zone θεωρεί ότι μικρά σφάλματα στην έξοδο (tracking errors) περιέχουν τις πιο πολλές φορές θόρυβο και διαταραχές, οπότε μπορεί να σταματήσει ο μηχανισμός προσαρμογής όταν αυτά τα σφάλματα γίνουν μικρά. Αλλάζουμε τον νόμο προσαρμογής της μορφής â = γ v e (45) κατά με το μέγεθος της dead-zone. â = { γ v e, e >, e < Οπως φαίνεται και στο ακόλουθο παράδειγμα, αυτή η απλή μετατροπή μειώνει δραστικά την επίδραση διαταραχών. Παράδειγμα-συνέχ. Θεωρώντας πάλι το παράδειγμα του Rohr, αλλάζουμε τον νόμο προσαρμογής θέτοντας dead-zone =.7. Τα αποτελέσματα φαίνoνται στο Σχ. 18. Το σφάλμα εξόδου μένει κοντά στην ιδεατή απόκριση y = 2, με τάλαντωση λόγω του θορύβου μέτρησης. Οι παράμετροι τώρα δεν παρουσιάζουν ένδειξη απόκλισης. Η ταλάντωση είναι γρήγορη εφόσον η κλίμακα χρόνου στην εικόνα είναι μεγάλη και ο θόρυβος έχει υψηλή συχνότητα. 21

22 Σχήμα 18: Προσαρμοζόμενος έλεγχος με dead-zone. 7.6 Άσκηση Robust MRAC Θεωρούμε σύστημα ελέγχου διατήρησης ταχύητας οχήματος (cruise control). Η σχέση ταχύτητας οχήματος, V, και γωνίας πεντάλ γκαζιού, θ, είναι V = b θ + d, (46) s + α όπου d είναι διαταραχή λόγω φορτίου. Οι τιμές των α, b είναι άγνωστες. Εξετάζεται η χρήση ελέγχου MRAC, με μοντέλο αναφοράς όπου b m =.5, α m =.5. Ζητούνται: V m = b m s + α m V setpoint (47) 1. Σχεδιάστε σύστημα direct MRAC, με τις τιμές των α, b, d άγνωστες. 2. Κάντε προσομοίωση του συστήματος, με V setpoint =35 km/h, με τιμές (αʹ) α =.2, b = 1.3, d = 1 (βʹ) α =.2(2 + sin(.1t)), b = 1.3, d = 1sin(.2t) 3. Προσθέστε στο σύστημα (plant) καθυστέρηση ως Pade πρώτης τάξης.25 sec. Επαναλάβατε την προσομοίωση όπως πρίν, ρυθμίζοντας πάλι τα κέρδη του MRAC. 4. Αλλάξτε το αρχικό σύστημα ώστε τώρα να περιλαμβάνει δυναμική που δεν είχε αρχικά ληφθεί υπόψη (unmodeled dynamics), προκαλώνας έτσι αστάθεια κατά τον έλεγχο με MRAC. 5. Εφαρμόστε μεθόδους robust MRAC (leakage ή deadzone), κάνοντας το σύστημα κλειστού βρόχου ευσταθές. Δείξτε τα residuals και το ρυθμό προσαρμογής (adaptation rate). 22

23 8 Αυτοπροσαρμοζόμενος Έλεγχος Σε αντίθεση με τον κλασσικό έλεγχο, όπου όλες οι παράμετροι του ελεγκτή είναι σταθερές (χρονικά αμετάβλητες) και προεπιλεγμένες, στον αυτοπροσαρμοζόμενο έλεγχο (self-tuning control) οι παράμετροι προασαρμόζονται αυτόματα λαμβάνοντας υπόψη μετρήσεις σε πραγματικό χρόνο των μεταβλητών της διεργασίας ή των διαταραχών. Η ανάγκη για προσαρμογή των παραμέτρων του ελεγκτή προκύπτει σε περιπτώσεις μεγάλης μεταβολής του σημείου λειτουργίας. Ο κλασσικός ελεγκτής ρυθμίζεται μόνον για συγκεκριμένο σημείο λειτουργίας. Θεωρούμε τη διάταξη αυτοπροσαρμοζόμενου ελέγχου του Σχ. 19. Σε σχέση με ένα συμβατικό σύστημα ελέγχου, υπάρχουν δύο επιπλέον αλγόριθμοι υπολογισμού. Ο αλγόριθμος εκτίμησης (estimator) των παραμέτρων του συστήματος, χρησιμεύει στην αναγνώριση παραμέτρων του μοντέλου και λαμβάνει ως είσοδο την απόκριση του συστήματος και την εντολή ελέγχου. Σε κάθε χρονική στιγμή δειγματοληψίας, οι πιο πρόσφατες εκτιμούμενες παράμετροι δίνονται στον αλγόριθμο σχεδιασμού του ελεγκτή (controller synthesis), ο οποίος συνθέτει με ορισμένους κανόνες τις παραμέτρους του ελεγκτή. Οι ενημερωμένες παράμετροι του ελεγκτή δίνονται στον ελεγκτή και με βάση αυτές υπολογίζει την επόμενη εντολή ελέγχου. Η απλούστερη μέθοδος εκτίμησης παραμέτρων (system identi cation) είναι τα ελάχιστα τετράγωνα (least squares). Για τον σχεδιασμό του ελεγκτή, χρησιμοποιούνται κριτήρια ελαχιστοποίησης όπως ελάχιστη μεταβλητότητα (minimum variance-mv), ή γραμμικός τετραγωνικός νόμος ελέγχου (linear quadratic) ή και τοποθέτηση πόλων συστήματος κλειστού βρόχου σε επιιθυμητές θέσεις (pole assignment). Σχήμα 19: Διάταξη αυτοπροσαρμοζόμενου ελέγχου. Στα συστήματα αυτοπροσαρμοζόμενου ελέγχου χρησιμοποιείται συχνά μοντέλο εγκατάστασης σε διακριτό χρόνο, της μορφής CARMA: Controlled Auto Regressive Moving Average A(z 1 )y(t) = B(z 1 )u(t) + C(z 1 )e(t) (48) y(t) = B(z 1 ) A(z 1 ) u(t) + C(z 1 ) A(z 1 e(t) (49) ) 23

24 όπου A(z 1 ) = 1 + a 1 z a na z na (5) B(z 1 ) = b + b 1 z b nb z n b (51) Οι τιμές των πολυωνύμων A(z 1 ), B(z 1 ) προκύπτουν απο τον μετασχηματισμό Ζ της συνάρτησης μεταφοράς, περιέχοντας παράγοντα zero order hold (ZOH). 8.1 Tοποθέτηση πόλων Με τη μέθοδο τοποθέτησης πόλων (pole assignment), προσπαθούμε να πλησιάζουμε την μορφή χαρακτηριστικής εξίσωσης συστήματος κλειστού βρόχου. Θεωρούμε το σύστημα Ay(t) = Bz 1 u(t) + Ce(t) (52) όπου ο ελεγκτής έχει τη μορφή Οι δύο παραπάνω εξισώσεις δίνουν F u(t) = Hr(t) Gy(t) (53) (F A + z 1 BG)y(t) = z 1 BHr(t) + CF e(t) (54) Οι πόλοι συστήματος κλειστού βρόχου που αντιστοιχούν στις επιθυμητές θέσεις και ορίζονται από το πολυώνυμο T, προκύπτουν από τις τιμές των F, G απο την ισότητα (Diophantine) F A + z 1 BG = T C (55) Τα πολυώνυμα F, G, H ορίζονται ως F = 1 + f 1 z f nf z n f (56) G = g + g 1 z g ng z n g (57) H = h + h 1 z h nh z n h (58) Ο αντισταθμιστής (precompensator) H επιλέγεται ως [ ] T H = C B Κατά την τοποθέτηση πόλων συστήματος κλειστού βρόχου σε επιθυμητές θέσεις, λαμβάνονται συνήθως υπόψη συστήματα πρώτης και δεύτερης τάξης. Σε συστήματα πρώτης τάξης, η επιθυμητή θέση πόλων σχετίζεται με τον μηδενιστή του πολυωνύμου z=1 (59) T = 1 t 1 (z 1 ), t 1 = exp( τ s /b) (6) όπου β είναι η επιθυμητή σταθερά χρόνου. Στα συστήματα δεύτερης τάξης, οι τιμές επιθυμητών πόλων σχετίζεται με τους δύο μηδενιστές του πολυωνύμου T = 1 t 1 (z 1 ) + t 2 (z 1 ) (61) 24

25 όπου ( ) t 1 = 2 exp( ζω n τ s ) cos τ s ω n 1 ζ 2, t 2 = exp( 2ζω n τ s ) (62) με ω n τη φυσική συχνότητα και ζ το λόγο απόσβεσης. Παράδειγμα Για το ακόλουθο σύστημα διακριτού χρόνου σχεδιάζεται σύστημα αυτοπροσαρμοζόμενου ελέγχου με τοποθέτηση πόλων συστήματος κλειστού βρόχου σε επιιθυμητές θέσεις. με επιθυμητές θέσεις πόλων (1 +.5z 1 +.7z 2 )y(t) = (z 1 +.2z 2 )u(t) (63) T = 1.6(z 1 ) (64) Τυχαίες αρχικές τιμές δόθηκαν στις παραμέτρους του μοντέλου, ενώ οι αρχικές τιμές για τις παραμέτρους του ελεγκτή ήταν f 1 =.15, g = 1.25, g 1 =.525. Η έξοδος και το τετραγωνικό σήμα αναφοράς καθώς και το σήμα ελέγχου φαίνονται στο Σχ. 2, η αναγνώριση παραμέτρων φαίνονται στο σχήμα output & ref time steps 4 3 control input time steps Σχήμα 2: Εξοδος, σήμα αναφοράς και σήμα ελέγχου. 8.2 Ελάχιστη μεταβλητότητα Με τον ελεγκτή ελάχιστης μεταβλητότητας (MV), προσπαθούμε να θέσουμε την έξοδο ενός στοχαστικού συστήματος σε ένα σταθερό (μηδενικό) σημείο αναφοράς. Έτσι σε κάθε χρονική στιγμή, επιλέγουμε την είσοδο ελέγχου έτσι ώστε να μηδενίζεται η μεταβλητότητα της εξόδου J = E[y 2 (t + k)] (65) 25

26 1.5 parameter estimates 2 controller parameters b1 a2 1.5 a1 b2.5 f1 h.5 g1.5 1 g time steps time steps Σχήμα 21: Αναγνώριση παραμέτρων. με k την καθυστέρηση. Για ένα σύστημα της μορφής ο ελεγκτής MV έχει την μορφή y(t) = ay(t 1) + bu(t 1) + e(t) + ce(t) (66) u(t) = (a + c) y(t) (67) b Διάφορες μορφές αυτοπροσαρμοζόμενου ελέγχου μελετήθηκαν από τον Kalman το 1958, τους Astrom και Wittenmark το 1973, τους Clarke και Gawthrop το 1975 και τον Wellstead και την ομάδα του το Περισσότερα στοιχεία σχετικά με τα συστήματα αυτοπροσαρμοζόμενου ελέγχου υπάρχουν στα [WZ89], [WZ91], [AW73], [WEPZ79]. Αναφορές [AW73] [DB1] K. Astrom and B. Wittenmark. On self tuning regulators. Automatica, 9(1), R. Dorf and R. Bishop. Modern Control Systems. Ninth edition, Prentice Hall,

27 [Fos94] T. Fossen. Guidance and Control of Ocean Vehicles. John Wiley and Sons, [Fos11] T. Fossen. TTK 419 Guidance and Control. NTNU Lecture Notes, 211. [FPEN5] G. Franklin, D. Powel, and A. Enami-Naeimi. Feedback Control of Dynamic Systems. Addison Wesley Longman, 5th edition, 25. [IS96] P. Ioannou and J. Sun. Robust Adaptive Control. Prentice-Hall, [Kri85] [NA89] [SL91] [va84] N. Krikelis. Modeling and Optimal Control of Systems. (in greek) Plaisio, K. Narendra and A. Annaswammy. Stable Adaptive Control. Prentice Hall, Jean-Jacques Slotine and Weiping Li. Applied Nonlinear Control. Prentice Hall, J. van Amerongen. Adaptive steering of ships-a model reference approach. Automatica, 2(1), [WEPZ79] P.E. Wellstead, J. Edmunds, D. Prager, and P. Zanker. Self-tuning pole/zero assignment regulators. International Journal of Control, 3(1), [WZ89] P. Wellstead and P. Zanker. Application of self-tuning to engine control. Billings, S. and Harris, C. (Eds) Peter Peregrinus, [WZ91] P. Wellstead and M. Zarrop. Self-tuning systems. John Wiley,

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένα σύστηµα εκκρεµούς όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Πάνω στη µάζα Μ επιδρά µια οριζόντια δύναµη F l την οποία και θεωρούµε σαν είσοδο στο σύστηµα. Έξοδος του συστήµατος θεωρείται η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Συστήµατα Αυτοµάτου Ελέγχου (Σ.Α.Ε.)

Εισαγωγή στα Συστήµατα Αυτοµάτου Ελέγχου (Σ.Α.Ε.) ΚΕΣ 01 Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στα Συστήµατα Αυτοµάτου Ελέγχου (Σ.Α.Ε.) Νικόλας Τσαπατσούλης Λέκτορας Π..407/80 Τµήµα Επιστήµη και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Βιβλιογραφία

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών. Τμήμα Αυτοματισμού. Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακού Ελέγχου. Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου με χρήση MATLAB

Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών. Τμήμα Αυτοματισμού. Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακού Ελέγχου. Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου με χρήση MATLAB Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Αυτοματισμού Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακού Ελέγχου Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου με χρήση MATLAB Επιμέλεια: Ξανθή Παπαγεωργίου E-mail: xanthi.papageorgiou@gmail.com Τμήματα:

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση του Φαινομένου του Μικροφωνισμού σε Ακουστικά Βαρηκοΐας

Αφαίρεση του Φαινομένου του Μικροφωνισμού σε Ακουστικά Βαρηκοΐας Αφαίρεση του Φαινομένου του Μικροφωνισμού σε Ακουστικά Βαρηκοΐας Νιαβής Παναγιώτης Επιβλέπων: Καθ. Γ. Μουστακίδης Περιεχόμενα Εισαγωγή Μικροφωνισμός σε ακουστικά βαρηκοΐας Προσαρμοστική αναγνώριση συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

To SIMULINK του Matlab

To SIMULINK του Matlab ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Β ΧΗΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΘ. Κ. ΚΥΠΑΡΙΣΣΙΔΗΣ, ΛΕΚΤΟΡΑΣ Χ. ΧΑΤΖΗΔΟΥΚΑΣ Τ.Θ. 472 54 124 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Μάθημα: ΡΥΘΜΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ακαδ.

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Καθ. Εφαρμογών: Σ. Βασιλειάδου Εργαστήριο Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου για Ηλεκτρολόγους Μηχανικούς Εργαστηριακές Ασκήσεις Χειμερινό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ 3-1 Προσομοιωση και Βελτιστοποιηση Συστηματος (Haimes, 1977) ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΠΙΝΑΚΑΣ 3-1 Προσομοιωση και Βελτιστοποιηση Συστηματος (Haimes, 1977) ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 3.1 Εισαγωγη ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Τα συστηματα εφαρμοζονται σε αναπτυξιακα προγραμματα, σε μελετες σχεδιασμου εργων, σε προγραμματα διατηρησης ή προστασιας περιβαλλοντος και υδατικων πορων και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Κατηγοριοποίηση αισθητήρων. Χαρακτηριστικά αισθητήρων. Κυκλώματα διασύνδεσης αισθητήρων

Εισαγωγή. Κατηγοριοποίηση αισθητήρων. Χαρακτηριστικά αισθητήρων. Κυκλώματα διασύνδεσης αισθητήρων Εισαγωγή Κατηγοριοποίηση αισθητήρων Χαρακτηριστικά αισθητήρων Κυκλώματα διασύνδεσης αισθητήρων 1 2 Πωλήσεις αισθητήρων 3 4 Ο άνθρωπος αντιλαμβάνεται τη φύση με τα αισθητήρια όργανά του υποκειμενική αντίληψη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΕΛΕΓΚΤΕΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΕΛΕΓΚΤΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΕΛΕΓΚΤΕΣ Δρ. Κωνσταντίνος Αλαφοδήμος Οκτώβριος 010 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ 1.0 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman

Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman 1 Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman Το 1960, R.E. Kalman δημόσιευσε το διάσημο έγγραφό του περιγράφοντας μια επαναλαμβανόμενη λύση στο γραμμικό πρόβλημα φιλτραρίσματος διακριτών δεδομένων. Από εκείνη τη στιγμή,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα:

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα: ΦΙΛΤΡΑ 6.. ΦΙΛΤΡΑ Το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων. Στο Σχήμα 6.6 δείχνουμε την απόκριση συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) Άσκηση 1. Α) Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος την χρονική στιγμή t=0 sec ο διακόπτης κλείνει. Βρείτε τα v c και i c. Οι πυκνωτές είναι αρχικά αφόρτιστοι. Β)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων

Σύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: «Τεχνολογίες και Συστήματα Ευρυζωνικών Εφαρμογών και Υπηρεσιών» Μάθημα: «Επεξεργασία Ψηφιακού Σήματος και Σχεδιασμός Υλικού» Σύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Ανάκτηση Χρονισμού. Τρόποι Συγχρονισμού Συμβόλων. Συγχρονισμός Συμβόλων. t mt

Εισαγωγή. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Ανάκτηση Χρονισμού. Τρόποι Συγχρονισμού Συμβόλων. Συγχρονισμός Συμβόλων. t mt Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών Συγχρονισμός Συμβόλων Εισαγωγή Σε ένα ψηφιακό τηλεπικοινωνιακό σύστημα, η έξοδος του φίλτρου λήψης είναι μια κυματομορφή συνεχούς χρόνου y( an x( t n ) n( n x( είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 4 η : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Σφάλματα Μετρήσεων Συμβατικά όργανα μετρήσεων Χαρακτηριστικά μεγέθη οργάνων Παλμογράφος Λέκτορας Σοφία Τσεκερίδου 1 Σφάλματα μετρήσεων Επιτυχημένη μέτρηση Σωστή εκλογή

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR.

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR. Τα IIR φίλτρα είναι επαναληπτικά ή αναδροµικά, µε την έννοια ότι δείγµατα της εξόδου χρησιµοποιούνται από το σύστηµα για τον υπολογισµό τν νέν τιµών της εξόδου σε επόµενες χρονικές στιγµές. Για να επιτύχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ήχος. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 04-1

Ήχος. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 04-1 Ήχος Χαρακτηριστικά του ήχου Ψηφιοποίηση με μετασχηματισμό Ψηφιοποίηση με δειγματοληψία Κβαντοποίηση δειγμάτων Παλμοκωδική διαμόρφωση Συμβολική αναπαράσταση μουσικής Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές

Διαβάστε περισσότερα

Μετρολογικές Διατάξεις Μέτρησης Θερμοκρασίας. 4.1. Μετρολογικός Ενισχυτής τάσεων θερμοζεύγους Κ και η δοκιμή (testing).

Μετρολογικές Διατάξεις Μέτρησης Θερμοκρασίας. 4.1. Μετρολογικός Ενισχυτής τάσεων θερμοζεύγους Κ και η δοκιμή (testing). Κεφάλαιο 4 Μετρολογικές Διατάξεις Μέτρησης Θερμοκρασίας. 4.1. Μετρολογικός Ενισχυτής τάσεων θερμοζεύγους Κ και η δοκιμή (testing). Οι ενδείξεις (τάσεις εξόδου) των θερμοζευγών τύπου Κ είναι δύσκολο να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. παθητικά: προκαλούν την απώλεια ισχύος ενός. ενεργά: όταν τροφοδοτηθούν µε σήµα, αυξάνουν

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. παθητικά: προκαλούν την απώλεια ισχύος ενός. ενεργά: όταν τροφοδοτηθούν µε σήµα, αυξάνουν 1. Εισαγωγικά στοιχεία ηλεκτρονικών - Ι.Σ. ΧΑΛΚΙΑ ΗΣ διαφάνεια 1 1. ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ Ηλεκτρικό στοιχείο: Κάθε στοιχείο που προσφέρει, αποθηκεύει και καταναλώνει

Διαβάστε περισσότερα

Τελεστικοί Ενισχυτές-Ι.Σ. Χαλκιάδης διαφάνεια 1

Τελεστικοί Ενισχυτές-Ι.Σ. Χαλκιάδης διαφάνεια 1 Τελεστικοί Ενισχυτές-Ι.Σ. Χαλκιάδης διαφάνεια. ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΙ ΕΝΙΣΧΥΤΕΣ (Τ.Ε. ή OpAmps) ιαφορικοί Ενισχυτές: ενισχυτές που έχουν δυο εισόδους και µια έξοδο. Τελεστικοί Ενισχυτές (Τ.Ε.): διαφορικοί ενισχυτές

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές Γενικά Για Τη Βελτιστοποίηση Η βελτιστοποίηση µπορεί να χωριστεί σε δύο µεγάλες κατηγορίες: α) την Βελτιστοποίηση Τοπολογίας (Topological Optimization) και β) την Βελτιστοποίηση Σχεδίασης (Design Optimization).

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

1/3/2009. Τα ψηφιακά ηχητικά συστήματα πρέπει να επικοινωνήσουν με τον «αναλογικό» ανθρώπινο κόσμο. Φλώρος Ανδρέας Επίκ. Καθηγητής.

1/3/2009. Τα ψηφιακά ηχητικά συστήματα πρέπει να επικοινωνήσουν με τον «αναλογικό» ανθρώπινο κόσμο. Φλώρος Ανδρέας Επίκ. Καθηγητής. Από το προηγούμενο μάθημα... Μάθημα: «Ψηφιακή Επεξεργασία Ήχου» Δάλ Διάλεξη 2 η : «Βασικές Β έ αρχές ψηφιακού ήχου» Φλώρος Ανδρέας Επίκ. Καθηγητής Τα ψηφιακά ηχητικά συστήματα πρέπει να επικοινωνήσουν

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικά Στοιχεία και Κυκλώματα ΙΙ. Εισαγωγή σε Ενισχυτές

Ηλεκτρονικά Στοιχεία και Κυκλώματα ΙΙ. Εισαγωγή σε Ενισχυτές Ηλεκτρονικά Στοιχεία και Κυκλώματα ΙΙ Εισαγωγή στα Ολο. Κυκλ. Βασική Φυσική MO Ενισχυτέςενόςσταδίου Διαφορικοί Ενισχυτές Καθρέφτες Ρεύματος Απόκριση Συχνότητας Ηλεκτρικός Θόρυβος Ανατροφοδότηση Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ «Μελέτη Αναλογικών, Ψηφιακών και Προγραμματιζόμενων Ελεγκτών»

ΘΕΜΑ «Μελέτη Αναλογικών, Ψηφιακών και Προγραμματιζόμενων Ελεγκτών» ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΧΑΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΘΕΜΑ «Μελέτη Αναλογικών, Ψηφιακών και Προγραμματιζόμενων Ελεγκτών» Υπεύθυνος Καθηγητής: Φραγκιαδάκης Νικόλαος Όνομα φοιτητή:

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Όπως θα δούμε και παρακάτω το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων, δηλαδή «κόβουν» κάποιες ανεπιθύμητες

Διαβάστε περισσότερα

Hardware In The Loop (HIL) Έλεγχος Ενός Φυσικού Συστήματος Μαγνητικής Αιώρησης

Hardware In The Loop (HIL) Έλεγχος Ενός Φυσικού Συστήματος Μαγνητικής Αιώρησης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διπλωματική Εργασία Hardware In The Loop (HIL) Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής 3 Ενισχυτές Μετρήσεων 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής Πολλές φορές ένας ενισχυτής σχεδιάζεται ώστε να αποκρίνεται στη διαφορά µεταξύ δύο σηµάτων εισόδου. Ένας τέτοιος ενισχυτής ονοµάζεται ενισχυτής διαφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

γ. Για την απώλεια της ενέργειας αφαιρούμε την ενέργεια που είχε το σώμα τη χρονική στιγμή t 1, αυτή της

γ. Για την απώλεια της ενέργειας αφαιρούμε την ενέργεια που είχε το σώμα τη χρονική στιγμή t 1, αυτή της Βασικές ασκήσεις στις φθίνουσες ταλαντώσεις.. Μικρό σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με πλάτος που μειώνεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση =,8e,t (S.I.). Να υπολογίσετε: α. το πλάτος της ταλάντωσης τη

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 2 Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Γραμμικές Εξισώσεις Διαφορών με Σταθερούς Συντελεστές (Linear Constant- Coefficient

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ. Η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιείται στην άσκηση φαίνεται στην φωτογραφία του σχήματος 1:

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ. Η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιείται στην άσκηση φαίνεται στην φωτογραφία του σχήματος 1: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ 1. Πειραματική Διάταξη Η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιείται στην άσκηση φαίνεται στην φωτογραφία του σχήματος 1: Σχήμα 1 : Η πειραματική συσκευή για τη μελέτη της απόδοσης φωτοβολταϊκού

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Ακτομηχανική & Παράκτια Έργα 2/23/2012

Ακτομηχανική & Παράκτια Έργα 2/23/2012 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ A. Κανονικοί Κυματισμοί 1. Γραμμικοί και μη γραμμικοί κανονικοί κυματισμοί. Επανάληψη εννοιών. Προσομοίωση 2. Μετάδοση Κυματισμών μέσω μαθηματικών ομοιωμάτων. Ρήχωση

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο Μετασχηματισμός Z

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο Μετασχηματισμός Z ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο Μετασχηματισμός Z ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ Ποιός είναι ο DTFT της u(n)?? u(n) e πδ(ω πk) j ω k ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.-

Διαβάστε περισσότερα

Μια «ανώδυνη» εισαγωγή στο μάθημα (και στο MATLAB )

Μια «ανώδυνη» εισαγωγή στο μάθημα (και στο MATLAB ) Μια «ανώδυνη» εισαγωγή στο μάθημα (και στο MATLAB ) Μια πρώτη ιδέα για το μάθημα χωρίς καθόλου εξισώσεις!!! Περίγραμμα του μαθήματος χωρίς καθόλου εξισώσεις!!! Παραδείγματα από πραγματικές εφαρμογές ==

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε τις θέσεις που

Διαβάστε περισσότερα

Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 20 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2007), σελ 249-258 Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Μανώλης Μανατάκης Τμήμα Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακά Φίλτρα. Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα 20/5/2005 1 20/5/2005 2

Ψηφιακά Φίλτρα. Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα 20/5/2005 1 20/5/2005 2 Ψηφιακά Φίλτρα Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα 20/5/2005 1 Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα Στην επεξεργασία σήματος, η λειτουργία ενός φίλτρου είναι να απομακρύνει τα ανεπιθύμητα μέρη ενός σήματος, όπως ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ AR(p) Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

i C + i R i C + i R = 0 C du dt + u R = 0 du dt + u RC = 0 0 RC dt ln u = t du u = 1 RC dt i C = i R = u R = U 0 t > 0.

i C + i R i C + i R = 0 C du dt + u R = 0 du dt + u RC = 0 0 RC dt ln u = t du u = 1 RC dt i C = i R = u R = U 0 t > 0. Α. Δροσόπουλος 6 Ιανουαρίου 2010 Περιεχόμενα 1 Κυκλώματα πρώτης τάξης 2 1.1 Εκφόρτιση κυκλωμάτων RC πρώτης τάξης.................................. 2 1.2 Εκφόρτιση κυκλωμάτων RL πρώτης τάξης...................................

Διαβάστε περισσότερα

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του;

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Άσκηση Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Απάντηση Έστω R n η ακτίνα του κύκλου. Αφού η κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3: Ηχώ και Αντήχηση (Echo and Reverberation)

Άσκηση 3: Ηχώ και Αντήχηση (Echo and Reverberation) ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ / ΣΤΕΦ / ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Μάθημα: ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ (Εργαστήριο) Ε εξάμηνο Εξάμηνο: Χειμερινό 2014-2015 Άσκηση 3: Ηχώ και Αντήχηση (Echo and Reverberation) Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

Ήχος και φωνή. Τεχνολογία Πολυµέσων 04-1

Ήχος και φωνή. Τεχνολογία Πολυµέσων 04-1 Ήχος και φωνή Φύση του ήχου Ψηφιοποίηση µε µετασχηµατισµό Ψηφιοποίηση µε δειγµατοληψία Παλµοκωδική διαµόρφωση Αναπαράσταση µουσικής Ανάλυση και σύνθεση φωνής Μετάδοση φωνής Τεχνολογία Πολυµέσων 4-1 Φύση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΛΜΟΓΡΑΦΟΣ ΤΡΟΦΟ ΟΤΙΚΟ ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ

ΠΑΛΜΟΓΡΑΦΟΣ ΤΡΟΦΟ ΟΤΙΚΟ ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ ΟΡΓΑΝΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ 1 Εργαστήριο Κινητών Ραδιοεπικοινωνιών, ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες ΟΡΓΑΝΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΠΑΛΜΟΓΡΑΦΟΣ ΤΡΟΦΟ ΟΤΙΚΟ ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ 2 Εργαστήριο Κινητών Ραδιοεπικοινωνιών, ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007 ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΔΙΟΝΥΣΟΥ Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 157 80 Ζωγράφος Αθήνα Τηλ.: 210 772 2666 2668, Fax: 210 772 2670 ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μετασχηµατισµός Laplace ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 4 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας του µετασχηµατισµού Laplace

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. Διατάξεις Ημιαγωγών. Ηλ. Αιθ. 013. Αριθμητικές Μέθοδοι Διαφορικών Εξισώσεων Ηλ. Αιθ. 013

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. Διατάξεις Ημιαγωγών. Ηλ. Αιθ. 013. Αριθμητικές Μέθοδοι Διαφορικών Εξισώσεων Ηλ. Αιθ. 013 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Ακαδημαϊκό Έτος 2014-2015 Περίοδος Φεβρουαρίου 2015 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΩΡΑ 1ο-2ο ΕΞΑΜΗΝΟ 3ο-4ο ΕΞΑΜΗΝΟ 5ο-6ο

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομος οδηγός του μαθήματος

Σύντομος οδηγός του μαθήματος Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016 Σύντομος οδηγός του μαθήματος Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Γενικές πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Μοντελοποίηση Ηλεκτρικών και Υδραυλικών Συστημάτων

Δυναμική Μηχανών I. Μοντελοποίηση Ηλεκτρικών και Υδραυλικών Συστημάτων Δυναμική Μηχανών I Μοντελοποίηση Ηλεκτρικών και Υδραυλικών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2014 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D. Περιεχόμενα Μοντελοποίηση Ηλεκτρικών Συστημάτων Μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Δυσδιάστατη κινηματική ανάλυση. Τσιόκανος Αθανάσιος, Επ. Καθηγητής Βιοκινητικής

Δυσδιάστατη κινηματική ανάλυση. Τσιόκανος Αθανάσιος, Επ. Καθηγητής Βιοκινητικής Δυσδιάστατη κινηματική ανάλυση Τσιόκανος Αθανάσιος, Επ. Καθηγητής Βιοκινητικής Θέματα προς ανάλυση Αντικείμενο της κινηματικής ανάλυσης Καταγραφή της κίνησης Ψηφιοποίηση Υπολογισμός δεδομένων Η δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Άσκησης : ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE

Τίτλος Άσκησης : ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Α/Α ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ : ΑΣΚΗΣΗ 3 η Τίτλος Άσκησης : ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE Σκοπός Η κατανόηση της λειτουργίας και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

R 1. Σχ. (1) Σχ. (2)

R 1. Σχ. (1) Σχ. (2) Ηλ/κά ΙΙ, Σεπτ. 05 ΘΕΜΑ 1 ο (2,5 µον.) R 1 (Ω) R B Ρελέ R2 R3 Σχ. (1) Σχ. (2) Φωτεινότητα (Lux) Ένας επαγγελµατίας φωτογράφος χρειάζεται ένα ηλεκτρονικό κύκλωµα για να ενεργοποιεί µια λάµπα στο εργαστήριό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 06: Φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (Finite Impulse Response (F.I.R.) Filters)

Άσκηση 06: Φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (Finite Impulse Response (F.I.R.) Filters) ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ / ΣΤΕΦ / ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Μάθημα: ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ (Εργαστήριο) Ε εξάμηνο Εξάμηνο: Χειμερινό 2014-2015 Άσκηση 06: Φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (Finite

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Σχ.7.1. Σύµβολο κοινού τελεστικού ενισχυτή και ισοδύναµο κύκλωµα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Σχ.7.1. Σύµβολο κοινού τελεστικού ενισχυτή και ισοδύναµο κύκλωµα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 7. ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΙ ΕΝΙΣΧΥΤΕΣ Ο τελεστικός ενισχυτής εφευρέθηκε κατά τη διάρκεια του δεύτερου παγκοσµίου πολέµου και. χρησιµοποιήθηκε αρχικά στα συστήµατα σκόπευσης των αντιαεροπορικών πυροβόλων για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Εισαγωγή Ηεµφάνιση ηλεκτρονικών υπολογιστών και λογισµικού σε εφαρµογές µε υψηλές απαιτήσεις αξιοπιστίας, όπως είναι διαστηµικά προγράµµατα, στρατιωτικές τηλεπικοινωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 1: Αρχές Κινητών Επικοινωνιών

Εργαστήριο 1: Αρχές Κινητών Επικοινωνιών 1.1 Βασικές μετατροπές Εργαστήριο 1: Αρχές Κινητών Επικοινωνιών Όταν μας ενδιαφέρει ο υπολογισμός μεγεθών σχετικών με στάθμες ισχύος εκπεμπόμενων σημάτων, γίνεται χρήση και της λογαριθμικής κλίμακας με

Διαβάστε περισσότερα

Οι ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος ελαττώνεται με το χρόνο και τελικά μηδενίζονται λέγονται φθίνουσες

Οι ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος ελαττώνεται με το χρόνο και τελικά μηδενίζονται λέγονται φθίνουσες ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Φθίνουσες μηχανικές ταλαντώσεις Οι ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος ελαττώνεται με το χρόνο και τελικά μηδενίζονται λέγονται φθίνουσες ταλαντώσεις. Η ελάττωση του πλάτους (απόσβεση)

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 3: Διαλείψεις

Εργαστήριο 3: Διαλείψεις Εργαστήριο 3: Διαλείψεις Διάλειψη (fading) είναι η παραμόρφωση ενός διαμορφωμένου σήματος λόγω της μετάδοσης του σε ασύρματο περιβάλλον. Η προσομοίωση μίας τέτοιας μετάδοσης γίνεται με την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ η εξεταστική ερίοδος 05 Σελίδα ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ημερομηνία: 700 Διάρκεια: ώρες Ύλη: Ταλαντώσεις Καθηγητής: Ονοματεώνυμο: ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015 Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 215 Άσκηση 1: (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (ax+b)(x 2 +1) αν το a είναι ϑετικός αριθµός. (ϐ) Το µεσηµέρι, ένα σαλιγκάρι που ϐρίσκεται στο κέντρο ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΙ ΕΝΙΣΧΥΤΕΣ

ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΙ ΕΝΙΣΧΥΤΕΣ ΠΟΡΛΙ ΑΣ ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΙ ΕΝΙΣΧΥΤΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΙ 9 Πορλιδάς ηµήτριος www.porlidas.gr dporli@physics.auth.gr Τελεστικοί Ενισχυτές Κυκλώµατα Πειραµατικές Μετρήσεις και

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Παραδείγματα προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού ασχολούνται με καταστάσεις όπου ένας αριθμός πλουτοπαραγωγικών πηγών, όπως άνθρωποι,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΦΑΣΗΣ ΔΥΟ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΦΑΣΗΣ ΔΥΟ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 05 ΜΕΤΡΗΣΗ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΦΑΣΗΣ ΔΥΟ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Αντικείμενο της άσκησης αυτής είναι η μέτρηση της διαφοράς φάσης μεταξύ δύο κυματομορφών τάσης σε ένα κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Μέθοδος ανακατασκευής με χρήση χαρακτηριστικών δειγμάτων προβολής Αναστάσιος Κεσίδης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός Θέματα που θα αναπτυχθούν Εισαγωγή στις τομογραφικές μεθόδους

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα