AD AB và M là một điểm trên cạnh DD ' sao cho DM = a 1 +.

Transcript

1 SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI PTTH NĂM HỌC ĐỀ CHO BẢNG A VÀ BẢNG B Bài : 4 4 Cho phươg trìh: si + ( si ) = m. Giải phươg trìh với m = 8. Với hữg giá trị ào của m thì phươg trìh đã cho có ghiệm Bài : Bài 3: Bài 4:. Cho a, b, c là ba cạh của một tam giác, cò, y, z là ba số thoả mã: a + by + cz = 0 Chứg mih rằg: y + yz + z 0. Cho 0. Chứg mih rằg: log ( + ) > log 3(3 + ( ) ) Cho a; a;...; a ( > 3) là các số thực thoả mã: a ; a i i= i= i Chứg mih rằg: { } ma a ; a ;...; a. Với 3 thì kết luậ cò đúg khôg? Cho hìh hộp chữ hật ABCD. A' B ' C ' D ' có AA' = AB = 8 a, E là trug điểm của cạh AD AB và M là một điểm trê cạh DD ' sao cho DM = a +. F là một điểm di AC độg trê cạh AA '. a. Tìm điểm F trê cạh AA ' sao cho CF + FM có giá trị hỏ hất b. Với F thoả mã điều kiệ ở câu a, hãy tíh góc tạo bởi hai mặt phẳg ( D, E, F ) và mặt phẳg ( D, B ', C ') c. Với giả thiết F thoả mã điều kiệ câu a và các đườg thẳg AC ' và FD vuôg góc với hau, Tíh thể tích của hìh hộp ABCD. A' B ' C ' D ' Bài 5: ( Học sih bảg B khôg phải làm bài ày) Tìm các số guyê dươg a, b, c, k thoả mã: c > b > a () ab + bc + ca + a + b + c = kabc ()

2 SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI PTTH NĂM HỌC ĐỀ CHO BẢNG A VÀ BẢNG B Bài : Cho bất phươg trìh: cos3 + ( m ) cos + 0cos + m > 0 (). Giải bất phươg trìh khi m = 5 π. Tìm m để bất phươg trìh () thoả mã với mọi 0; 3 Bài : Giải phươg trìh: log ( cos si) + log ( cos + cos ) = 0 Bài 3: Giải phươg trìh sau với (0;) : Bài 4: Biết đa thức a = 4 f ( ) = + a a + a có 00 ghiệm thực phâ biệt và = 996; a = 998. Chứg mih rằg: a 997 > 997 Bài 5:. Cho tứ diệ OABC có góc tam diệ đỉh O vuôg, đườg cao OH = h, OA = a, OB = b, OC = c. Chứg mih rằg: acota + bcotb + ccotc 3h. Có thể chia một đa giác lồi đã cho thàh một số tứ giác khôg lồi được khôg? Hãy chứg mih điều khẳg địh của mìh. Chú ý: Học sih thi bảg B khôg phải làm bài 5.

3 SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI PTTH NĂM HỌC ĐỀ CHO BẢNG A Bài ( 4 điểm): Cho hệ phươg trìh: log (3 + ay) = log (3 y + a) =. Giải hệ khi a =. Tìm tất cả các giá trị của a để hệ có ba ghiệm phâ biệt y Bài ( 4 điểm): + Cho hàm số y = + a. Với a = chứg mih rằg luô tìm được điểm và chỉ có hai điểm trê đườg cog sao cho tiếp tuyế tại đó sog sog với đườg thẳg có phươg trìh: y + = 0.. Tìm giá trị lớ hất của a để tập giá trị của hàm số đa cho chứa đoạ [0; ] Bài 3: ( 4 điểm):. Giải phươg trìh: 0 0 cos( 45 ) cos( 45 )si 3si + 4 = 0. Cho tam giác ABC. O là một điểm trog tam giác sao cho: OCA = OAB = OBC = α Chứg mih rằg: cotα = cota + cotb + cotc Bài 4 ( điểm): Với kπ là góc cho trước. Tìm giới hạ: lim ( ta + ta ta ) + Bài 5 ( 6 điểm): Cho tứ diệ ABCD có CD vuôg góc với ( ABC ), CD = CB, tam giác ABC vuôg tại A. Mặt phẳg qua C vuôg góc với DB cắt DB, DA lầ lượt tại M, I. Gọi T là giao điểm của hai tiếp tuyế tại A và C của đườg trò đườg kíh BC trog mặt phẳg ( ABC ).. Chứg mih bố điểm C, T, M, I đồg phẳg. Chứg mih IT là tiếp tuyế của mặt cầu đườg kíh CD và mặt cầu đườg kíh CB 3. Gọi N là trug điểm của AB, K là điểm trê CD sao cho CK = CD. Chứg mih rằg 3 khoảg cách giữa hai đườg thẳg BK và CN bằg khoảg cách giữa hai đườg thẳg AM và CN

4 SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI PTTH NĂM HỌC ĐỀ CHO BẢNG B Bài ( 6 điểm ): π 3π. Cho đườg cog (C ) có phươg trìh: y = + si với ;. Tìm giá trị hỏ hất của hoàh độ giao điểm của tiếp tuyế với (C ) và trục hoàh. Cho hàm số: y = ( m + ) 3m 4m +, với m là tham số. Xác địh m để hàm + + số chỉ có một cực trị duy hất Bài ( 5 điểm): Giải các phươg trìh:. si + si + si + cos = log = log ( + ). 7 3 Bài 3 ( 5 điểm): π. Xác địh số ghiệm 0; của phươg trìh: si cos + = π. Khôg dùg máy tíh, hãy so sáh log và log Bài 4 ( 4 điểm): Cho góc tam diệ Oyz. A là một điểm trê Oz sao cho OA = 5a ( a > 0). Khoảg cách từ A đế O và Oy tươg ứg là 7a và a. Tíh khoảg cách từ A đế mp(oy), biết góc Oy = Cho 0 Oy = yoz = zo = 60. Điểm A ( khác O) cố địh trê Oz với OA = d khôg đổi. M, N là hai điểm chuyể độg trê O và Oy sao cho + = OM ON d Chứg mih đườg thẳg MN luô đi qua một điểm cố địh

5 SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI PTTH NĂM HỌC ĐỀ CHO BẢNG A Bài ( 6 điểm ): π 3π. Cho đườg cog (C ) có phươg trìh: y = + si với ;. Tìm giá trị hỏ hất của hoàh độ giao điểm của tiếp tuyế với (C ) và trục hoàh. Cho hàm số: y = ( m + ) 3m 4m +, với m là tham số. Xác địh m để + + hàm số chỉ có một cực trị duy hất Bài ( 3 điểm): Tìm tất cả các giá trị của a để hệ phươg trìh sau có đúg hai ghiệm: = 0 ( a ) + a( a 4) = 0 Bài 3 ( 5 điểm): π. Xác địh số ghiệm 0; của phươg trìh: si cos + = π. Cho < a + < b + < c. Chứg mih : log ( c + a) < log c Bài 4 ( 4 điểm): Cho góc tam diệ Oyz. A là một điểm trê Oz sao cho OA = 5a ( a > 0). Khoảg cách từ A đế O và Oy tươg ứg là 7a và a. Tíh khoảg cách từ A đế mp(oy), biết góc Oy = Cho 0 Oy = yoz = zo = 60. Điểm A ( khác O) cố địh trê Oz với OA = d khôg đổi. M, N là hai điểm chuyể độg trê O và Oy sao cho + = OM ON d Chứg mih đườg thẳg MN luô đi qua một điểm cố địh c c b

6 SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI PTTH NĂM HỌC ĐỀ CHO BẢNG A Bài ( 5 điểm) 4 Cho hàm số y = Khảo sát sự biể thiê và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số. Cho điểm M thuộc ( C ) có hoàh độ là a. Tìm tất cả các giá trị của a để tiếp tuyế của ( C ) tại M cắt ( C ) ở hai điểm phâ biệt khác M. Bài ( 5 điểm):. Tíh đạo hàm cấp của hàm số:. Tíh tích phâ: 0 + m d y = + si Bài 3 ( 4 điểm):. Xác địh m để phươg trìh sau có bố ghiệm phâ biệt: = m. Xác địh m để phươg trìh sau có ba ghiệm phâ biệt m + 4 log ( + 3) + log ( m + ) = 0 Bài 4 ( 4 điểm): Cho đườg trò ( C) : + y 0 y + 5 = 0 và đườg trò ( C ) : + y 4 + 4y + 4 = 0 Hãy viết phươg trìh các đườg thẳg tiếp úc với cả hai đườg trò trê. Bài 5 ( điểm): Goi α, β, γ là ba góc tạo bởi đườg thẳg d theo thứ tự với ba đườg thẳg chứa ba cạh BC, CA, AB của tam giác đều ABC. Chứg mih rằg: 6( si α. si β. si γ + cos α. cos β. cos γ ) =

7 SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI PTTH NĂM HỌC ĐỀ CHO BẢNG B Bài ( 5 điểm) 4 Cho hàm số y = Khảo sát sự biể thiê và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số. Cho điểm M thuộc ( C ) có hoàh độ là a. Tìm tất cả các giá trị của a để tiếp tuyế của ( C ) tại M cắt ( C ) ở hai điểm phâ biệt khác M. Bài ( 5 điểm):. Tíh đạo hàm cấp của hàm số: y = +. Tìm họ guyê hàm của hàm số: f ( ) = si Bài 3 ( 4 điểm):. Xác địh m để phươg trìh sau có bố ghiệm phâ biệt: = m. Xác địh m để phươg trìh sau có ba ghiệm phâ biệt m + 4 log ( + 3) + log ( m + ) = 0 Bài 4 ( 4 điểm): Cho đườg trò ( C) : + y 0 y + 5 = 0 và đườg trò ( C ) : + y 4 + 4y + 4 = 0 Hãy viết phươg trìh các đườg thẳg tiếp úc với cả hai đườg trò trê. Bài 5 ( điểm): Goi α, β, γ là ba góc tạo bởi đườg thẳg d theo thứ tự với ba đườg thẳg chứa ba cạh BC, CA, AB của tam giác đều ABC. Chứg mih rằg: 6( si α. si β. si γ + cos α. cos β. cos γ ) =

8 SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI PTTH NĂM HỌC ĐỀ CHO BẢNG B Bài ( điểm): Khảo sát sự biế thiê và vẽ đồ thị hàm số: y = Bài ( điểm): m + Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = có cực đại, cực tiểu và khoảg cách + từ hai điểm cực trị đó của đồ thị hàm số đế đườg thẳg + y + = 0 bằg hau. Bài 3 ( điểm): log + log4 y + log 4 z = Giải hệ phươg trìh: log3 y + log9 z + log9 = log 4 z + log6 + log6 y = Bài 4 ( điểm): Tìm m để phươg trìh sau có ghiệm: + 3m = m Bài 5 ( điểm): Chứg mih rằg ếu trog tam giác ABC thoả mã hệ thức: C taa + tab = cot thì tam giác đó câ Bài 6 ( điểm): y Cho Elíp ( E ) : + = và điểm I (;). Hãy lập phươg trìh đườg thẳg đi qua I và 9 4 cắt ( E ) tại hai điểm A, B sao cho I là trug điểm của AB. Bài 7 ( điểm): Cho hìh lập phươg ABCD. A' B ' C ' D ' có cạh bằg. Điểm M ằm trê cạh AA '. Tìm vị trí của điểm M để tam giác BMD ' có diệ tích bé hất. Tíh diệ tích bé hất đó. Bài 8 ( điểm): Viết phươg trìh đườg trò ( C ) có tâm I ằm trê đườg thẳg d : = 0 và tiếp úc với hai đườg thẳg a, b có phươg trìh lầ lượt là: y + = 0 và y = 0 Bài 9 ( điểm): Tíh tích phâ: I π 4 = 0 d cos Bài 0 ( điểm): Cho > 0, chứg mih rằg: si

9 SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI THPT NĂM HỌC Ngày thi: Câu ( 7 điểm): + +. Khảo sát sự biế thiê và vẽ đồ thị hàm số: y = () +. Tìm k để đườg thẳg: ( k) y + = 0 cắt đồ thị hàm số () tại hai điểm phâ biệt A, B sao cho cá tiếp tuyế với dồ thị hàm số () tại A và B sog sog với hau 3. Chứg mih rằg phươg trìh: Câu ( 5 điểm):. Áp dụg khai triể hị thức Niutơ của + + = ( + ) 9 có đúg hai ghiệm 00 ( + ), chứg mih rằg: C 0 C C + 00C = 0 si. Cho tích phâ I = d, N. Tìm a sao cho I006, I007, I 008 theo thứ tự a cos ấy lập thàh một cấp số cộg. Câu 3 ( 7 điểm):. Trog mặt phẳg với hệ toạ độ Oy cho đườg trò : ( C) : + y 4 + 6y 3 = 0 có tâm I và đườg thẳg : + by = 0. Chứg mih rằg ( C ) và luô cắt hau tại hao điểm phâ biệt P, Q với mọi b. Tìm b để tam giác PIQ có diệ tích lớ hất.. Trog khôg gia với hệ toạ độ Oyz cho các điểm A(; 0;0), B(0;8; 0), C (0; 0;3) và N là điểm thoả mã: ON = OA + OB + OC. Một mặt phẳg ( P ) thay đổi cắt các đoạ OA, OB, OC, OD lầ lượt tại các điểm A, B, C, N. Hãy ác địh toạ độ điểm N OA OB OC sao cho: + + = 007. OA OB OC Câu 4 ( điểm): Tìm tập hợp các điểm M trog khôg gia có tổg bìh phươg các khoảg cách đế các mặt của một tứ diệ đều ABCD cho trước bằg một số dươg k khôg đổi.

10 SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI THPT NĂM HỌC Ngày thi: Bµi ( 5 ióm): Cho hµm sè y = (C) +. Kh o s t sù biõ thiª vµ vï å thþ (C ) cña hµm sè. X c Þh ióm M thuéc å thþ ( C ) cña hµm sè sao cho tæg c c kho g c ch tõ M Õ c c trôc to¹ é lµ sè há hêt Bµi (4 ióm):. Cho hµm sè y = + m X c Þh m=? Ó y 0 trª tëp c Þh cña ã y. Trog mæt ph¼g Oycho hypebol (H) cã ph g tr h + =. BiÕt t m sai e=; H h a b ch hët c së cña ã c¾t O; Oy t¹i A;C vµ B;D. êg trß éi tiõp h h thoi ABCD cã b kýh b»g T m ph g tr h (H) Bµi 3 (4 ióm). Gi I ph g tr h 4cos 4coscos 6si cos + = 0. Cho a 0. Gi i vµ biö luë bêt ph g tr h sau theo a : 3 4 a + 6a + 9a Gi i hö ph g tr h sau: 3 + y = y y = y Bµi 4 (6 ióm) Trog kh«g gia víi hö to¹ é Oyz cho h h lëp ph g ABCD.A B C D BiÕt A (0;0;0); B (a;0;0); D (0;a;0); A (0;0;a). Gäi M; N lç l ît trug ióm c c c¹h AB; B C.. ViÕt ph g tr h mæt ph¼g (P) i qua M vµ sog sog víi hai êg th¼g AN; BD. TÝh thó tých tø diö ANBD 3. TÝh gãc vµ kho g c ch gi a c c êg th¼g AN vµ BD Bµi 5 ( ióm) a =,,3... T m lim + b = + Cho ( ) a b