ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI OLYMPIC TOÁN QUỐC TẾ CỦA VIỆT NAM TỪ NĂM 2005 ĐẾN NĂM 2010

Transcript

1 ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GI DỰ THI OLYMPIC TOÁN QUỐC TẾ CỦ VIỆT NM TỪ NĂM 005 ĐẾN NĂM 00

2 PHẦN I ***** ĐỀ BÀI

3 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GI DỰ THI IMO 005 *Ngày thi thứ hất Bài Cho tam giác BC có (I) và (O) lầ lượt là các đườg trò ội tiếp, goại tiếp Gọi D, E, F lầ lượt là tiếp điểm của (I) trê các cạh BC, C, B Gọi ω, ωb, ω C lầ lượt là các đườg trò tiếp xúc với hai đườg trò (I) và (O) lầ lượt tại các điểm D, K (với đườg trò ω ); tại E, M (với đườg trò ω B) và tại F, N (với đườg trò ω C) Chứg mih rằg: Các đườg thẳg DK, EM, FN đồg quy tại P Trực tâm của tam giác DEF ằm trê đoạ OP Bài Trê một vòg trò có chiếc ghế được đáh số từ đế Người ta chọ ra chiếc ghế Hai chiếc ghế được chọ gọi là ề hau ếu đó là hai chiếc ghế được chọ liê tiếp Hãy tíh số cách chọ ra chiếc ghế sao cho giữa hai chiếc ghế ề hau, hôg có ít hơ chiếc ghế hác Bài Tìm tất cả các hàm số f : Z Z thỏa mã điều iệ: f ( x + y + z ) = ( f ( x)) + ( f ( y)) + ( f ( z)) *Ngày thi thứ hai Bài 4 Chứg mih rằg: trog đó a, b, c là các số thực dươg a) b) a b c + + a b b c c a ( + ) ( + ) ( + ) 8 Bài 5 Cho số guyê tố p ( p> ) Tíh: p S = = p p ếu p (mod 4) p S = ếu p (mod 8) = p Bài 6 Một số guyê dươg được gọi là số im cươg 005 ếu trog biểu diễ thập phâ của ó có 005 số 9 đứg cạh hau liê tiếp Dãy ( a), =,,, là dãy tăg gặt các số guyê dươg thỏa mã a < C (C là hằg số thực dươg ào đó) Chứg mih rằg dãy số ( a), =,,, chứa vô hạ số im cươg 005

4 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GI DỰ THI IMO 006 * Ngày thi thứ hất Bài Cho tam giác BC có H là trực tâm Đườg phâ giác goài của góc BHC cắt các cạh B, C lầ lượt tại D và E Đườg phâ giác trog của góc BC cắt đườg trò goại tiếp tam giác DE tại điểm K Chứg mih rằg đườg thẳg HK đi qua trug điểm của BC Bài Hãy tìm tất cả các cặp số tự hiê ( ; ) với là số guyê hôg âm và là số guyê lớ hơ sao cho số : = có thể phâ tích được thàh tích của số guyê dươg liê tiếp Bài Trog hôg gia cho 006 điểm mà trog đó hôg có 4 điểm ào đồg phẳg Người ta ối tất cả các điểm đó lại bởi các đoạ thẳg Số tự hiê m gọi là số tốt ếu ta có thể gá cho mỗi đoạ thẳg trog các đoạ thẳg đã ối bởi một số tự hiê hôg vượt quá m sao cho mỗi tam giác tạo bởi ba điểm bất ì trog số các điểm đó đều có hai cạh được gá bởi hai số bằg hau và cạh cò lại gá bởi số lớ hơ hai số đó Tìm số tốt có giá trị hỏ hất * Ngày thi thứ hai Bài 4 Chứg mih rằg với mọi số thực x, y, z [;], ta luô có bất đẳg thức sau : ( x+ y+ z)( + + ) 6( x + y + z ) x y z y+ z z+ x x+ y Hỏi đẳg thức xảy ra hi và chỉ hi ào? Bài 5 Cho tam giác BC là tam giác họ, hôg câ, ội tiếp trog đườg trò tâm O bá íh R Một đườg thẳg d thay đổi sao cho d luô vuôg góc với O và luô cắt các tia B, C Gọi M, N lầ lượt là giao điểm của đườg thẳg d và các tia B, C Giả sử các đườg thẳg BN và CN cắt hau tại K; giả sử đườg thẳg K cắt đườg thẳg BC Gọi P là giao của đườg thẳg K và đườg thẳg BC Chứg mih rằg đườg trò goại tiếp của tam giác MNP luô đi qua một điểm cố địh hi d thay đổi Gọi H là trực tâm của tam giác MN Đặt BC = a và l là hoảg cách từ điểm đế HK Chứg mih rằg đườg thẳg HK luô đi qua trực tâm của tam giác BC Từ đó suy ra: l 4R a Đẳg thức xảy ra hi và chỉ hi ào? Bài 6 Cho dãy số thực ( a ) được xác địh bởi: a0 =, a+ = ( a+ ) với mọi =,,, a Chứg mih rằg với mọi số guyê, số = là một số chíh phươg và ó có ít a hất ước guyê tố phâ biệt 4

5 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GI DỰ THI IMO 007 *Ngày thi thứ hất Bài Cho hai tập hợp,b là tập hợp các số guyê dươg thỏa mã = B = (với là số guyê dươg) và có tổg các phầ tử bằg hau Xét bảg ô vuôg Chứg mih rằg ta có thể điề vào mỗi ô vuôg của bảg một số guyê hôg âm thỏa mã đồg thời các điều iệ: i/ Tổg của các phầ tử ở mỗi hàg là các phầ tử của tập ii/ Tổg của các phầ tử ở mỗi cột là các phầ tử của tập B iii/ Có ít hất ( ) + số 0 trog bảg với là số các phầ tử chug của và B Bài Cho tam giác họ BC với đườg trò ội tiếp I Gọi ( a ) là đườg trò có tâm ằm trê đườg cao của góc, đi qua điểm và tiếp xúc trog với đườg trò (I) tại Các điểm B, C xác địh tươg tự / Chứg mih, BB, CC đồg qui tại P / Gọi ( J a ),( Jb),( J c ) lầ lượt là các đườg trò đối xứg với đườg trò bàg tiếp các góc, B, C của tam giác BC qua trug điểm BC, C, B Chứg mih P là tâm đẳg phươg của đườg trò ói trê Bài Cho tam giác BC Tìm giá trị hỏ hất của biểu thức sau: B B C C cos cos cos cos cos cos S = + + C B cos cos cos *Ngày thi thứ hai Bài 4 Tìm tất cả các hàm số liê tục f : x R R thỏa mã: f ( x) = f ( x + + ) với mọi x R 9 Bài 5 Cho là tập co chứa 007 phầ tử của tập:{,,,, 40, 404} thỏa mã với mọi a, b thì a hôg chia hết cho b Gọi m là phầ tử hỏ hất của Tìm giá trị hỏ hất của m với thỏa mã các điều iệ trê Bài 6 Cho đa giác 9 cạh đều (H) Xét ba tam giác với các đỉh là các đỉh của đa giác (H) đã cho sao cho hôg có hai tam giác ào có chug đỉh Chứg mih rằg có thể chọ được từ mỗi tam giác cạh sao cho cạh ày bằg hau 5

6 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GI DỰ THI IMO 008 *Ngày thi thứ hất Bài Trog mặt phẳg cho góc xoy Gọi M, N lầ lượt là hai điểm lầ lượt ằm trê các tia Ox, Oy Gọi d là đườg phâ giác góc goài của góc xoy và I là giao điểm của trug trực MN với đườg thẳg d Gọi P, Q là hai điểm phâ biệt ằm trê đườg thẳg d sao cho IM = IN = IP= IQ, giả sử K là giao điểm của MQ và NP Chứg mih rằg K ằm trê một đườg thẳg cố địh Gọi d là đườg thẳg vuôg góc với IM tại M và d là đườg thẳg vuôg góc với IN tại N Giả sử các đườg thẳg d, d cắt đườg thẳg d tại E, F Chứg mih rằg các đườg thẳg EN, FM và OK đồg quy Bài Hãy xác địh tất cả các số guyê dươg m sao cho tồ tại các đa thức với hệ số thực P( x), Q( x), R( x, y) thỏa mã điều iệ: Với mọi số thực a, b mà m a b = 0, ta luô có P( R( a, b)) = a và Q( R( a, b)) = b Bài Cho số guyê > Kí hiệu T là tập hợp gồm số guyê dươg đầu tiê Một tập co S của T được gọi là tập huyết trog T ếu S có tíh chất: Tồ tại số guyê dươg c hôg vượt quá sao cho với s, slà hai số bất ì thuộc S ta luô có s s c Hỏi tập huyết trog T có thể có tối đa bao hiêu phầ tử? *Ngày thi thứ hai Bài 4 Cho m, là các số guyê dươg Chứg mih rằg (m+ ) + chia hết cho 6m hi và chỉ hi + chia hết cho 4m Bài 5 Cho tam giác BC họ, hôg câ có O là tâm đườg trò goại tiếp Gọi D, BE, CF là các đườg phâ giác trog của tam giác Trê các đườg thẳg D, BE, CF lầ lượt lấy các điểm L, M, N sao cho L = BM = CN = ( là một hằg số dươg) D BE CF Gọi (O),(O),(O) lầ lượt là các đườg trò đi qua L, tiếp xúc với O tại ; đi qua M, tiếp xúc với OB tại B và đi qua N, tiếp xúc với OC tại C Chứg mih rằg với =, ba đườg trò (O),(O),(O) có đúg hai điểm chug và đườg thẳg ối hai điểm chug đó đi qua trọg tâm tam giác BC Tìm tất cả các giá trị sao cho đườg trò (O),(O),(O) có đúg hai điểm chug Bài 6 Kí hiệu M là tập hợp gồm 008 số guyê dươg đầu tiê Tô tất cả các số thuộc M bởi ba màu xah, vàg, đỏ sao cho mỗi số được tô bởi một màu và mỗi màu đều được dùg để tô ít hất một số Xét các tập hợp sau: S = {( x, y, z) M, trog đó x, y, z có cùg màu và ( x+ y+ z) 0 (mod 008)} ; S = {( x, y, z) M, trog đó x, y, z đôi một hác màu và ( x+ y+ z) 0 (mod 008)} Chứg mih rằg S > S (Kí hiệu M là tích Đề - các M M M ) 6

7 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GI DỰ THI IMO 009 *Ngày thi thứ hất Bài Cho tam giác họ BC ội tiếp đườg trò (O) Gọi, B, C và, B, C lầ lượt là các châ đườg cao của tam giác BC hạ từ các đỉh, B, C và các điểm đối xứg với, B, Cqua trug điểm của các cạh BC, C, B Gọi, B, C lầ lượt là các giao điểm của đườg trò goại tiếp các tam giác BC, BC, C B với (O) Chứg mih rằg:, BB, CC đồg quy Bài Cho đa thức Xét dãy số ( a ) xác địh hư sau: P( x) = rx + qx + px+ trog đó p, q, r là các số thực và r > 0 a =, a = p, a = p q a+ = p a+ q a+ r a, 0 Chứg mih rằg: ếu đa thức P( x ) có một ghiệm thực duy hất và hôg có ghiệm bội thì dãy số ( a) có vô số số âm Bài Cho các số guyê dươg a, b sao cho a, b và ab đều hôg phải là số chíh phươg Chứg mih rằg trog hai phươg trìh sau: ax ax by = by = có ít hất một phươg trìh hôg có ghiệm guyê dươg *Ngày thi thứ hai Bài 4 Tìm tất cả các số thực r sao cho bất đẳg thức sau đúg với mọi a, b, c dươg: a b c r+ r+ r+ r+ b+ c c+ a a+ b Bài 5 Cho đườg trò (O) có đườg íh B và M là một điểm bất ì ằm trog (O), M hôg ằm trê B Gọi N là giao điểm của phâ giác trog góc M của tam giác MB với đườg trò (O) Đườg phâ giác goài góc MB cắt các đườg thẳg N, NB lầ lượt tại P, Q Đườg thẳg M cắt đườg trò đườg íh NQ tại R, đườg thẳg MB cắt đườg trò đườg íh NP tại S và R, S hác M Chứg mih rằg: đườg trug tuyế ứg với đỉh N của tam giác NRS luô đi qua một điểm cố địh hi M di độg phía trog đườg trò Bài 6 Một hội ghị toá học có tất cả hà toá học phải họp với hau đúg Mỗi lầ họp, họ gồi quah một cái bà 4 chỗ và cái bà 6 chỗ, các vị + lầ ( ) trí gồi chia đều hắp mỗi bà Biết rằg hai hà toá học đã gồi cạh hoặc đối diệ hau ở một cuộc họp ày thì sẽ hôg được gồi cạh hoặc đối diệ hau ở một cuộc họp hác a/ Chứg mih rằg Ba tổ chức có thể xếp được chỗ gồi ếu = b/ Hỏi rằg Ba tổ chức có thể sắp xếp được chỗ gồi được hay hôg với mọi >? 7

8 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GI DỰ THI IMO 00 * Ngày thi thứ hất Bài Cho tam giác BC hôg vuôg tại có đườg trug tuyế M Gọi D là một điểm di độg trê đườg thẳg M Gọi ( O ), ( O ) là các đườg trò đi qua D, tiếp xúc với BC lầ lượt tại B và C Gọi P, Q lầ lượt là giao điểm của đườg thẳg B với đườg trò ( O ), đườg thẳg C với đườg trò ( O ) Chứg mih rằg: Tiếp tuyế tại P của ( O ) và tiếp tuyế tại Q của ( O ) phải cắt hau tại một điểm Gọi giao điểm đó là S Điểm S luô di chuyể trê một đườg thẳg cố địh hi D di độg trê M Bài Với mỗi số guyê dươg, xét tập hợp sau : { ( ) 0( h ), 0} T = + h + + h Tìm tất cả giá trị của sao cho hôg tồ tại a, b T ; a b sao cho ( a b) chia hết cho 0 Bài Gọi một hìh chữ hật có ích thước là hìh chữ hật đơ và một hìh chữ hật có ích thước, bỏ đi ô ở góc chéo hau (tức là có 4 ô vuôg hỏ) là hìh chữ hật ép Người ta ghép hít các hìh chữ hật đơ và hìh chữ hật ép ày lại với hau được một bảg hìh chữ hật có ích thước là Tìm số bé hất các hìh chữ hật đơ có thể dùg để ghép * Ngày thi thứ hai Bài 4 Cho a, b, c là các số thực dươg thỏa mã điều iệ: 6( a+ b+ c) + + a b c Chứg mih rằg: ( a+ b+ ( a+ c)) ( b+ c+ ( b+ a)) ( c+ a+ ( c+ b)) 9 Hỏi đẳg thức xảy ra hi ào? Bài 5: Trog một hội ghị có ước tham gia, mỗi ước có đại diệ ( ) > > Người ta chia gười ày thàh hóm, mỗi hóm có gười sao cho hôg có hai gười ào cùg hóm đế từ cùg một ước Chứg mih rằg có thể chọ ra một hóm gồm gười sao cho họ thuộc các hóm hác hau và đế từ các ước hác hau Bài 6: Gọi S là tổg bìh phươg các hệ số trog hai triể của hị thức ( + x), trog đó là số guyê dươg; x là số thực bất ì Chứg mih rằg: S + hôg chia hết cho với mọi 8

9 PHẦN II ***** LỜI GIẢI 9

10 LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GI DỰ THI IMO 005 Bài Cho tam giác BC có (I) và (O) lầ lượt là các đườg trò ội tiếp, goại tiếp Gọi D, E, F lầ lượt là tiếp điểm của (I) trê các cạh BC, C, B Gọi ω, ωb, ω C lầ lượt là các đườg trò tiếp xúc với hai đườg trò (I) và (O) lầ lượt tại các điểm D, K (với đườg trò ω ); tại E, M (với đườg trò ω B ) và tại F, N (với đườg tròω C ) Chứg mih rằg: Các đườg thẳg DK, EM, FN đồg quy tại P Trực tâm của tam giác DEF ằm trê đoạ OP Trước hết, ta sẽ chứg mih bổ đề sau: B Cho ba đườg trò (O ), (O ), (O ) có bá íh đôi một hác hau;, B, C lầ lượt là tâm vị tự của các cặp đườg trò (O ) và (O ), (O ) và (O ), (O ) và (O ) Chứg mih rằg ếu trog các tâm vị tự đó, có ba tâm vị tự goài hoặc hai tâm vị tự trog, một O tâm vị tự goài thì, B, C thẳg hàg O *Chứg mih: R, R, R lầ lượt là bá íh của các đườg Gọi trò ( O ),( O ),( O ), các giá trị R, R, R ày đôi một hác hau O R Theo tíh chất về tâm vị tự, ta có: ( ) a O = R BO R Tươg tự: ( ) b BO = R, CO R ( ) c CO = R, trog đó, mỗi số a, b, c hậ giá trị là 0 (hi ó là tâm vị tự goài) hoặc (hi ó là tâm vị tự trog) Theo giả thiết trog a, b, c có ba giá trị là 0 hoặc hai giá trị 0, một giá trị Từ đó: O BO CO O BO CO =, theo địh lí Meelaus đảo cho tam giác OO O, ta có:, B, C thẳg hàg O C Bổ đề được chứg mih *Trở lại bài toá: Gọi P là tâm vị tự trog của hai đườg trò (O) và (I) Dễ thấy: D là điểm tiếp xúc goài của ω và (I) ê cũg chíh là tâm vị tự trog của hai đườg trò ày; K là điểm tiếp xúc trog của hai đườg trò ω và (O) ê là tâm vị tự goài của hai đườg trò ày Theo bổ đề trê thì P ', D, K thẳg hàg hay đườg thẳg DK đi qua P Tươg tự, các đườg thẳg EM và FN cũg đi qua P ; tức là ba đườg thẳg DK, EM, FN đồg quy và điểm P chíh là điểm P của đề bài 0

11 Ta chứg mih bổ đề sau: Cho tam giác BC có (O), (I) lầ lượt là tâm đườg trò goại tiếp, ội tiếp của tam giác BC Đườg trò (I) tiếp xúc với các cạh BC, C, B lầ lượt tại D, E, F Chứg mih rằg trực tâm H của tam giác DEF ằm trê đườg thẳg OI B F H N M I D P E O C * Chứg mih: Gọi M, N, P lầ lượt là trug điểm của các đoạ EF, FD, DE Dễ thấy I là trug trực của đoạ EF ê M thuộc đườg thẳg I hay, M, I thẳg hàg Tươg tự: B, N, I và C, P, I cũg thẳg hàg Xét phép ghịch đảoφ tâm I, phươg tích r với r là bá íh đườg trò (I) Dễ thấy: tam giác IE vuôg tại E có EM là đườg cao ê: IM I= IE = r, suy ra: Φ : M Tươg tự: Φ : N B, P C Do đó: Φ : MNP BC Gọi E là tâm đườg trò goại tiếp của tam giác MNP thì Φ : E O, suy ra: E, I, O thẳg hàg Hơ ữa, I là tâm đườg trò goại tiếp tam giác DEF, E là tâm đườg trò goại tiếp tam giác MNP cũg chíh là tâm đườg trò Euler của tam giác DEF ày ê E, I, H thẳg hàg Từ đó suy ra H, I, O thẳg hàg Bổ đề được chứg mih * Trở lại bài toá: Gọi H là trực tâm tam giác DEF thì theo bổ đề trê: H, I, O thẳg hàg Theo câu /, điểm P ằm trê đoạ OI Suy ra: 4 điểm H, I, P, O thẳg hàg Từ đó suy ra trực tâm H của tam giác DEF ằm trê đườg thẳg OI Ta có đpcm N B F I P H K D E O M C

12 Bài Trê một vòg trò có chiếc ghế được đáh số từ đế Người ta chọ ra chiếc ghế Hai chiếc ghế được chọ gọi là ề hau ếu đó là hai chiếc ghế được chọ liê tiếp Hãy tíh số cách chọ ra chiếc ghế sao cho giữa hai chiếc ghế ề hau, hôg có ít hơ chiếc ghế hác *Trước hết, ta chứg mih bổ đề sau: Cho điểm phâ biệt ằm trê đườg thẳg được tô một trog hai màu, xah hoặc đỏ thỏa mã các điều iệ sau: - Có đúg điểm được tô màu xah - Giữa hai điểm màu xah liê tiếp có ít hất p điểm được tô màu đỏ (tíh từ trái sag) - Ở bê phải điểm màu xah cuối cùg có ít hất p điểm được tô màu đỏ Khi đó, số cách tô màu là: C p *Chứg mih: Đáh số các điểm đã cho là,,,, Đặt tươg ứg mỗi cách tô màu với một bộ các số guyê dươg ( i, i,, i ) trog đó i, i,, i là các điểm được tô màu xah Dễ thấy tươg ứg ói trê chíh là một sog áh từ tập các cách tô màu đế tập hợp T sau: T = {( i, i,, i ) i {,,, p}, s=, ; i i > p, i=, } s s+ s Xét áh xạ sau: T T ' = {( j, j,, j ) j {,,, p}, j > j, t=, } t t+ t Ta sẽ chứg mih áh xạ ày là một sog áh Thật vậy: *Xét một bộ ( j, j,, j ) T ' Khi đó, ta xét tiếp bộ: ( j, j+ p, j+ p,, j + ( ) p) Do jt p ê phầ tử lớ hất của bộ ày là j + ( ) p có giá trị hôg vượt quá p+ ( ) p= p Từ đó suy ra: j + ( t ) p {,,, p}, t j + tp j + ( t ) p = ( j j ) + p> p Hơ ữa: [ ] [ ] t+ t t+ t t Từ đó suy ra bộ ( j, j+ p, j+ p,, j + ( ) p) T Do đó, tươg ứg ày là một toà áh *Xét bộ ( i, i,, i ) T Khi đó, hoà toà tươg tự trê, ta cũg chứg mih được bộ ( i, i p, i p,, i ( ) p) T ' Ta sẽ chứg mih rằg ếu có hai bộ hác hau ( i, i,, i ),( i ', i ',, i ' ) T thì các bộ tươg ứg thuộc T= T ' của chúg cũg phải hác hau Nhưg điều ày là hiể hiê do hai bộ ày là hác hau ê tồ tại chỉ số s sao cho i i ', hi đó i ( s ) p i ' ( s ) p Suy ra, tươg ứg ày cũg là một đơ áh Vậy tươg ứg T T ' là một sog áh Nhậ xét trê được chứg mih Do đó: T = T ' = C p Bổ đề được chứg mih s s s s

13 *Trở lại bài toá: Ta xét tổg quát giá trị trog đề bài bởi giá trị p tươg ứg với bổ đề trê Đáh số các ghế trog đề bài theo chiều im đồg hồ là,,, (xem hư là các điểm ằm trê một vòg trò) ; mỗi ghế được chọ xem hư được tô màu xah và hôg được chọ xem hư được tô màu đỏ; gọi X là tập hợp tất cả các cách tô màu điểm trog điểm đã cho thỏa mã đề bài trog đó Xét phâ hoạch: X = X ' X '' X = X ' + X " X ' là cách tô màu thỏa mã có một điểm được tô màu xah thuộc {,,,, p } và X '' = X \ X ', hi đó rõ ràg, với mọi phầ tử thuộc X " thì hôg có điểm ào được tô màu xah thuộc {,,,, p }, tức là mọi điểm trog tập ày đều được tô màu đỏ Ta cắt đườg trò gay tại điểm p, p + thì rõ ràg sẽ tạo được một đườg thẳg thỏa mã tất cả điều iệ của bổ đề đã êu ở trê, suy ra: Xét tập hợp X '' = Ta chỉ cò cầ tíh số phầ tử của X ' C p X ' i trog đó mỗi phầ tử của X ' i có đúg một điểm i được tô màu xah, i=, p ; hi đó rõ ràg X ' i X ' j =, i j và X ' i = X ' Với mỗi i=, p, theo bổ đề trê, ta thấy: C p ( ) p p Do đó: = C, tức là các tập X ' i ày có cùg số phầ tử Suy ra: X = X ' + X '' = C + pc p p Thay p=, ta được số cách chọ ghế tươg ứg trog đề bài là Vậy số cách chọ ghế thỏa mã tất cả các điều iệ của đề bài là: p i= C X ' = C + C pc p C +

14 Bài Tìm tất cả các hàm số f : Z Z thỏa mã điều iệ: f ( x + y + z ) = ( f ( x)) + ( f ( y)) + ( f ( z)) * Trước hết, ta sẽ chứg mih bổ đề sau: Với mọi số guyê dươg lớ hơ 0, lập phươg của ó đều có thể biểu diễ được dưới dạg tổg của 5 lập phươg của các số guyê hác có giá trị tuyệt đối hỏ hơ ó * Thật vậy: Ta cầ tìm mối liê hệ đó với số > 0 trog từg trườg hợp chẵ và lẻ - Với là số lẻ, đặt = + Ta cầ tìm một đẳg thức đúg với mọi mà trog đó + là biểu thức có giá trị tuyệt đối lớ hất, các biểu thức cò lại phải là hị thức bậc hất có hệ số của lớ hất là Khi đó để hử 8 xuất hiệ ở trog ( ) +, ta chọ ( ) ; ta thấy vẫ cò số hạg chứa bậc hai trog đó, ta chọ tiếp hai biểu thức hác có chứa cùg hai hằg số bằg cách dùg tham số hư sau: Giả sử hai biểu thức cầ tìm có dạg ( a+ b),( a b); a, b Z và hai số cầ tìm là c, d Z, tức là: (+ ) ( ) = ( a+ b) ( a b) + c + d ( 4 ) ( 6a b b ) ( c d ) + = a b + b c d = (4 6 ) ( ) 0 Ta cầ chọ a, b, c, d sao cho Dễ thấy a vì ếu a= thì từ a=, b= 4, suy ra: c Do đó: a b a b= 4, b + c + d = trog đó a = 4 b=, trùg với biểu thức cầ đáh giá; do đó, + d = 6, ta chọ được c= 5, d = ( ) ( ) ( 4) (4 ) ( 5) ( ) + = () Thử lại, ta thấy biểu thức ày đúg với mọi - Với là số chẵ, đặt = + Lập luậ hoà toà tươg tự, ta có được đẳg thức sau: ( ) ( ) ( 8) (8 ) ( 0) ( ) + = () Bổ đề được chứg mih *Trở lại bài toá: Trog đẳg thức đã, thay x= y= z= 0, ta được: Do hàm ày chỉ lấy giá trị trê f : f (0) = f (0) f (0) = 0 f (0) = Z Z ê hôg thể có f (0) =, tức là f (0) = 0 4

15 - Thay y= z= 0, ta có: - Lại thay y= z, ta có: f ( x ) = ( f ( x)) + ( f (0)) + ( f (0)) = ( f ( x)) f ( x ) ( f ( x)) ( f ( y)) ( f ( y)) ( f ( y)) ( f ( y)) 0 f ( y) f ( y), y = = = Z Ta sẽ chứg mih rằg: Z : f ( ) = f () bằg quy ạp (*) *Thật vậy: - Với =, trog giả thiết, thay x=, y= z= 0, ta có - Với =, trog giả thiết, thay x= y=, z= 0, ta có - Với =, trog giả thiết, thay x= y= z=, ta có - Thay x=, y= z= 0, ta có - Thay x=, y=, z= 0, ta có - Thay x=, y= z=, ta có: - Thay x=, y=, z= 0, ta có: - Thay x=, y= z=, ta có: f f f f () = () ( ) = () f f f f () = () ( ) = () f f f f () = () ( ) = () f (8) = f () = ( f ()) = 8 f () f ( 8) = 8 f () f (9) = f () + f () = 9 f () f ( 9) = 9 f () f (0) = f () + f () = 0 f () f ( 0) = 0 f () f (7) = f () f () = 7 f () f ( 7) = 7 f () f (6) = f () f () = 6 f () f ( 6) = 6 f () - Trog đẳg thức () của bổ đề trê, ta thay =, suy ra: 5 = ( 5) + ( ) hay f (5 5 ) f ( 6 ) + + = + + f (5) + f ( ) = f () + f (6) + f () f (5) = 5 f () f ( 5) = 5 f () - Trog đẳg thức () của bổ đề trê, ta thay =, suy ra: 4 = ( 0) + ( ) hay f (4 0 ) f (9 7 0 ) + + = + + f (4) + f (0) + f () = f (9) + f (7) + f (0) f (4) = 4 f () f ( 4) = 4 f () Như thế, ta đã chứg mih được (*) đúg với mọi 0 Với > 0, xét > 0 thì theo bổ đề ở trê, lập phươg của đều có thể biểu diễ được dưới dạg tổg của 5 lập phươg hác có giá trị tuyệt đối hỏ hơ ó Hơ ữa, dễ thấy rằg với a, b, c, d, e, f Z thỏa f ( b) = bf (), f ( c) = cf (), f ( m) = mf (), f ( ) = f (), f ( p) = pf () thì Từ đó, suy ra Với < 0 thì f ( ) = f (), > 0 f ( ) = f ( ) = ( f ()) = f () Do đó, theo guyê lí quy ạp (*) được chứg mih Mặt hác, trog giả thiết đã cho, thay x=, y= z= 0, ta có: - Nếu f () = thì f ( ) =, Z, thử lại thấy thỏa - Nếu f () = 0 thì f ( ) = 0, Z, thử lại thấy thỏa - Nếu f () = thì f ( ) =, Z, thử lại thấy thỏa a + b + c = m + + p và ta đã có: f a ( ) af () = f () = f () f () =± f () = 0 Vậy tất cả hàm số cầ tìm là f ( ) =, Z ; f ( ) =, Z và f ( ) = 0, Z 5

16 Bài 4 Chứg mih rằg: trog đó a, b, c là các số thực dươg a b c + + a b b c c a ( + ) ( + ) ( + ) 8 *Trước hết, ta sẽ chứg mih bổ đề sau: Nếu a, b, c, d là các số thực dươg có tích bằg thì: ( + a) ( + b) ( + c) ( + d) Thật vậy: Ta thấy với hai số thực dươg tùy ý thì: + ( + x) ( + y) + xy ( x+ ) + ( y+ ) ( ) + (*) ( x+ ) + ( y+ ) ( + xy) ( xy+ x+ y+ ) xy x y xy (*) x + y + x+ y+ + xy xy+ x+ y + xy+ x+ y + ( )( ) ( ) ( ) x + y + x+ y+ + x y+ xy+ x y+ xy + xy ( ) ( ) x y + x + y + x y+ xy + xy + xy+ x+ y + ( ) ( ) + xy( x + y ) xy+ x y xy( x y) + ( xy) 0 Do đó: + ab+ cd + ab+ cd = = = ( + a) ( + b) ( + c) ( + d) + ab + cd + ab+ cd+ abcd + ab+ cd Do đó bổ đề được chứg mih Đẳg thức xảy ra hi và chỉ hi a= b= c= d = Trog bổ đề trê, thay a= x, b= y, c= z, d =, ta có ết quả sau: Với x, y, z là các số thực dươg và xyz= thì: + + ( + x) ( + y) ( + z) 4 Đẳg thức xảy ra hi và chỉ hi x= y= z= *Trở lại bài toá đã cho: b c a Đặt x=, y=, z= x, y, z> 0; xyz= a b c BĐT đã cho ba đầu tươg đươg với: b c a ( + ) ( + ) ( + ) 8 ( + x) ( + y) ( + z) 8 a b c Theo BĐT Cauchy cho các số dươg, ta có: 6

17 + + = 6 ( + x) ( + x) 8 8( + x) ( + x) ( + x) 4 ( + x) 6 Hoà toà tươg tự:, ( + y) 4 ( + y) 6 ( + z) 4 ( + z) 6 Cộg từg vế các BĐT ày lại, ta được: Ta cầ chứg mih: ( x) ( y) ( z) 4 ( x) ( x) ( x) ( + x) ( + x) ( + x) ( + x) ( + x) ( + x) 4 với x, y, z thỏa mã các điều iệ đã êu (**) Theo bổ đề trê thì (**) đúg Vậy ta có đpcm Dấu đẳg thức xảy ra hi và chỉ hi x= y= z= a= b= c 7

18 Bài 5 Cho số guyê tố p( p> ) Tíh: a b p S = = p p ếu p (mod 4) p P= ếu = p p (mod8) *Trước hết, ta sẽ chứg mih hai bổ đề sau: () Bổ đề : Với p là số guyê tố thỏa p (mod 4) thì mỗi số tự hiê a với: sẽ tồ tại duy hất số tự hiê b thỏa p + b p và: a + b 0(mod p) a p *Chứg mih: Theo địh lí Wilso: ( p )! (mod p) Với mỗi p =,,,,, ta thấy: p (mod p) ( p ) (mod p) p Kết hợp với giả thiết p (mod 4), ta được: p p p p ( p )! ( )!! (mod p) Đặt ϕ =! ϕ (mod p ) Với mỗi a hất Khi đó: p, ta chọ a b a p p + b p thỏa b a ϕ (mod p), dễ thấy b tồ tại và duy + ( + ϕ ) 0(mod ) Bổ đề được chứg mih () Bổ đề : Với x là số thực bất ì thì [ x] [ x] *Chứg mih: Ta có: x= [ x] + { x} Suy ra: bằg ếu { x} < và bằg 0 ếu [ x] [ x] [ [ x] { x} ] [[ x] { x} ] [ { x} ] [{ x} ] [ { x} ] = + + = = Do đó: -Nếu { x} { x} < { x} = x x = - Nếu 0 { x} < thì 0 { x} < [ { x} ] = 0 [ x] [ x] = 0 Bổ đề được chứg mih *Trở lại bài toá: < thì [ ] [ ] [ ] 0 { x} < 8

19 p Ta thấy tổg đã cho là: S = = p p có đúg p số hạg Theo bổ đề thì mỗi số hạg trog tổg đó hậ hai giá trị là 0 hoặc () p Theo bổ đề thì với mỗi số tự hiê a thỏa a thì tồ tại duy hất số tự hiê b thỏa p + b p sao cho a + b 0(mod p) a + ( p b) 0(mod p) ; do đó, tồ tại duy hất p số tự hiê a ' thỏa a ' sao cho a + a ' 0(mod p) p p Gọi x, y lầ lượt là số các số dư của phép chia cho p ( ) có giá trị lớ hơ p p p và hỏ hơ Theo hậ xét trê thì x= y, hơ ữa x+ y= x= y= () 4 p Từ () và (), ta có: S = x + y0= 4 p Do đó, tổg cầ tìm là 4 Do p (mod8) ê tồ tại a sao cho (ta cũg thấy rằg p (mod8) p (mod 4) ) a (mod p) p p p p Ta có: P= = = S = p = p p = p p = p p Ta cầ tíh: p p p p p = = = p p = p p = p p = p = p p trog đó p (mod8), Theo hậ xét trê thì tập hợp các số dư hi chia dư hi chia p, cho p, tức là: p p p = = p p p 4 = = Vậy p p ( p )( p 5) P= = p = p, = 0, suy ra: p p cho p trùg với tập hợp các số 9

20 Bài 6 Một số guyê dươg được gọi là số im cươg 005 ếu trog biểu diễ thập phâ của ó có 005 số 9 đứg cạh hau liê tiếp Dãy ( a), =,,, là dãy tăg gặt các số guyê dươg thỏa mã a < C (C là hằg số thực dươg ào đó) Chứg mih rằg dãy số ( a), =,,, chứa vô hạ số im cươg 005 Trước hết, ta sẽ chứg mih các bổ đề sau: () lim =+ i= () Nếu trog hệ cơ số m ( m N, m> ) : dãy số ( a ) tăg và trog dãy đó hôg có số hạg ào có chứa chữ số m thì tổg sau i= a hội tụ hi tiế tới vô cực *Chứg mih bổ đề (): Ta cầ chứg mih BĐT: x> l( x+ ), x> 0 Thật vậy: x Xét hàm số: f ( x) = x l( x+ ), x> 0 f ( x) = = > 0, x> 0 x+ x+ Do đó, hàm số f ( x ) đồg biế trê (0; + ) Suy ra: f ( x) > f (0) = 0 x> l( x+ ), x> 0 Trog BĐT ày, thay x bởi > 0, ta cũg có: x x+ > l( + ) > l( ) > l( x+ ) l x, x> 0 Áp dụg vào tổg cầ chứg mih: x x x x x > [ l( + ) l( ) ] = l( + ) l= l( + ), mà lim[ l( ) ] i= i= lim i= =+ Bổ đề được chứg mih i + =+ ê: *Chứg mih bổ đề (): Đặt s = là tổg các số tự hiê có chứa chữ số viết trog hệ cơ số m và hôg có chứa chữ số m ào Giả sử một số hạg có chữ số ào đó có dạg: bb b b, chữ số thứ phải hác 0 và hác m ê có m cách chọ, các chữ số cò lại phải hác m ê có m cách chọ Do đó, có đúg ( m )( ) m số có chữ số mà trog biểu diễ trog hệ cơ số m hôg có chứa chữ số m, mà mỗi số trog đó đều lớ hơ chúg sẽ bé hơ ( m )( m ) m m ê tổg ghịch đảo tươg ứg của 0

21 Hơ ữa: s = là tổg các số hạg có chứa chữ số trog hệ số m và hôg có chứa chữ số m ào ê ó hôg vượt quá tổg của tất cả các số tự hiê có cùg dạg đó mà ta vừa đáh giá được, suy ra: Do đó: s ( )( ) m m < m ( m )( m ) m m m i= ai = = m = m lim = lim s < lim = lim ( m )( ) = = m( m ) m Tức là tổg ày hội tụ hi tiế tới vô cực Bổ đề () được chứg mih *Trở lại bài toá: 005 Đặt m= 0 m là số tự hiê có chứa đúg 005 số 9 liê tiếp hi viết trog hệ thập phâ Ta cầ chứg mih trog dãy đã cho, có vô số số hạg chứa chữ số m Giả sử trog dãy ày hôg có chứa số hạg ào có chữ số m Khi đó, theo bổ đề () ở trê: lim a là hữu hạ i= i Hơ ữa, theo giả thiết: a < C, ê lim > lim = lim a C C Theo bổ i= i i= i= đề (), giới hạ ày tiế tới vô cực Hai điều ày mâu thuẫ với hau chứg tỏ điều giả sử ở trê là sai, tức là dãy đã cho có ít hất một số hạg chứa chữ số m, giả sử đó là: a 0 Ta lại xét dãy co của dãy ba đầu: a, a, a, Dãy ày có đầy đủ tíh chất của dãy đã cho ê cũg chứa ít hất một số hạg có chứa chữ số m hác với số ở trê (do đây là dãy tăg) a 0 Lập luậ tươg tự hư thế, dãy co ày có thêm một số hạg có chứa chữ số m Từ đó suy ra dãy đã cho có vô số số hạg chứa chữ số m Vậy dãy số ( a), =,,, chứa vô hạ số im cươg 005 Đây chíh là đpcm

22 LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GI DỰ THI IMO 006 Bài Cho tam giác BC có H là trực tâm Đườg phâ giác goài của góc BHC cắt các cạh B, C lầ lượt tại D và E Đườg phâ giác trog của góc BC cắt đườg trò goại tiếp tam giác DE tại điểm K Chứg mih rằg đườg thẳg HK đi qua trug điểm của đoạ BC Trước hết ta sẽ chứg mih DE câ tại Thật vậy: Vì HD là phâ giác góc goài của BHC ê: 0 DHB= ( HBC+ HCB) = (90 BC) + (90 CB) = BC Do đó: 0 0 DE= DBH+ DHB= 90 BC+ BC= 90 BC Tươg tự, ta cũg có: ED= 90 BC, suy ra: DE = ED, tức là tam giác DE câ tại B D C' H P K Q B' 0 tam giác BC Theo địh lí Thalès: DP // HC E Mặt hác K là phâ giác DE ê cũg là trug trực của đoạ DE, do đó K chíh là đườg íh của đườg trò goại tiếp DE Từ đó, ta có: KD B, tươg tự ta cũg có: KE C Gọi P là giao điểm của KD và HB, Q là giao điểm của KE và HC Ta có: KP B, QH B KP // QH Tươg tự, ta cũg có: KQ // PH Suy ra: KPHQ là hìh bìh hàh, tức là HK đi qua C trug điểm của PQ Gọi BB, CC là các đườg cao của PB DB PH = DC ', QE // HB QC EC QH = EB ' DB HB EC HC Theo tíh chất đườg phâ giác: =, = DC ' HC ' EB ' HB ' Vì B, C, B, C cùg thuộc đườg trò đườg íh BC ê theo tíh chất phươg tích: HB HC HB HB ' = HC HC ' HC ' = HB ' Từ các điều ày, ta được: PB QC = PQ // BC PH QH Vì HK đi qua trug điểm của PQ ê cũg đi qua trug điểm của BC Ta có đpcm

23 Bài Hãy tìm tất cả các cặp số tự hiê ( ; ) với là số guyê hôg âm và là số guyê lớ hơ sao cho số : = có thể phâ tích được thàh tích của số guyê dươg liê tiếp Trước hết ta thấy rằg tích của 4 số tự hiê liê tiếp phải chia hết cho 8 vì trog 4 số đó có số chia hết cho 4 và một số chia 4 dư Từ = , suy ra : - Nếu là số chẵ, ta có : (mod 8), 47 4 (mod 8), (mod 8) Suy ra : 4(mod 8), tức là hôg chia hết cho 8 - Nếu là số lẻ, cũg tươg tự : (mod 8), 47 4 (mod 8), (mod 8) Suy ra : 0 (mod 8), tức là cũg hôg chia hết cho 8 Tức là trog mọi trườg hợp luô có hôg chia hết cho 8 Suy ra ếu thỏa mã đề bài thì < 4 {,} Xét từg trườg hợp : - Nếu = : tồ tại x tự hiê sao cho = x( x+ ) + Nếu = 0 thì =, x =, thỏa mã đề bài Nếu > 0 thì rõ ràg 7 > Ta thấy : = x( x+ ) = > 7, suy ra x( x ) > + >, mâu thuẫ 00 x> 7 hưg Do đó, trog trườg hợp ày hôg có thỏa mã đề bài - Nếu = : tồ tại x tự hiê sao cho = x( x )( x+ ), x ; dễ thấy x phải là số chẵ (vì ếu gược lại thì chia hết cho 8, mâu thuẫ) Ta thấy : ( ) ( ) (mod 5) trog hi x( x )( x+ ) = x( x ) 0, ± (mod 5), mâu thuẫ Do đó, trog trườg hợp ày hôg có thỏa mã đề bài Vậy tất cả các cặp số thỏa mã đề bài là ( ; ) = (0; )

24 Bài Trog hôg gia cho 006 điểm mà trog đó hôg có 4 điểm ào đồg phẳg Người ta ối tất cả các điểm đó lại bởi các đoạ thẳg Số tự hiê m gọi là số tốt ếu ta có thể gá cho mỗi đoạ thẳg trog các đoạ thẳg đã ối bởi một số tự hiê hôg vượt quá m sao cho mỗi tam giác tạo bởi ba điểm bất ì trog số các điểm đó đều có hai cạh được gá bởi hai số bằg hau và cạh cò lại gá bởi số lớ hơ hai số đó Tìm số tốt có giá trị hỏ hất Do trog các điểm đã cho hôg có bố điểm ào đồg phẳg ê ba điểm bất ì trog chug luô tạo thàh một tam giác Gọi S() là giá trị hỏ hất của số tốt ứg với điểm trog hôg gia ( là số tự hiê), ta sẽ xác địh giá trị của S(006) Ta chỉ xét các giá trị 4 - Với = 4 thì thử trực tiếp, ta thấy S(4) = Bởi vì S(4) = hôg thỏa mã ê S(4), ta sẽ chỉ ra rằg S(4) = thỏa mã Cụ thể ta có thể gá các đoạ thẳg hư sau : gá 4 đoạ bất ì bởi số và đoạ cò lại bởi số, rõ ràg các tam giác tạo thàh đều thỏa mã đề bài - Với một giá trị > 4 bất ì, ta sẽ chứg mih rằg : S( ) + S + Gọi a là số hỏ hất được gá cho các đoạ thẳg trog trườg hợp có điểm Trog trườg hợp tối thiểu, hôg mất tíh tổg quát, ta giả sử rằg a =, ta gọi hai đầu mút của đoạ thẳg ào đó được gá số là X và Y Trog điểm cò lại, ếu có một điểm được ối với X và Y bởi một đoạ thẳg gá bởi số thì điểm đó cùg với X và Y sẽ tạo thàh một tam giác đều hôg thỏa mã đề bài Do đó, ếu gọi là tập hợp tất cả các điểm ối với X bởi một đoạ thẳg gá số (có tíh luô điểm Y) và B là tập hợp tất cả các điểm ối với Y bởi một đoạ thẳg gá số (có tíh luô điểm X) thì giữa và B hôg có phầ tử ào chug hay + B = *Ta có các hậ xét sau : - Nếu lấy một điểm bất ì trog tập và một điểm bất ì trog B thì hai điểm đó cũg phải được ối bởi đoạ thẳg gá số vì ếu hôg thì hai điểm đó sẽ cùg với X sẽ tạo thàh một tam giác hôg thỏa mã đề bài (tam giác đó hoặc hôg có hai số được gá trê hai cạh bằg hau hoặc có hai cạh bằg hau hưg cạh cò lại gá số hỏ hơ) - Hai điểm bất ì trog được ối với hau bởi một đoạ thẳg gá số lớ hơ bởi ếu hôg thì hi chọ thêm một điểm trog B, ta sẽ có một tam giác hôg thỏa mã đề bài (tam giác đó đều) Tươg tự với tập hợp B Tức là trog các tập và B đều có chứa các số lớ hơ Tiếp theo, ta lại thấy trog mỗi tập, B hư vậy đều cầ thêm S( ), S( B ) số ữa để gá cho các đoạ thẳg Giả sử B thì + + = 4

25 ữa là Ta hoà toà có thể gá các số ở tập trùg với các số ở tập B ê các số cầ có thêm S +, tíh thêm số hỏ hất đã được gá cho đoạ XY ba đầu, ta được: S( ) + S + Từ đó, áp dụg liê tiếp ết quả ày, ta có: (chú ý rằg S(4) = ) S(006) + S(00) + S(50) 9 + (4) = Tiếp theo, ta sẽ chứg mih rằg giá trị ày thỏa mã đề bài * Thật vậy : Ta xây dựg cách gá các điểm từ thấp đế cao bằg cách ghép các bộ điểm ít hơ lại Cụ thể hư sau : - Đầu tiê ta xây dựg cho bộ 4 điểm Cách gá tươg tự hư ở trê, hưg trog trườg hợp ày gá 4 đoạ bởi số và đoạ bởi số 0 - Ghép bộ ày lại và tách ra từ một trog hai bộ đó ra điểm, gá cho đoạ thẳg ối điểm đó bởi số 0, ta đã có tất cả 8 điểm - Tiếp tục ghép tươg tự hư vậy theo thứ tự hư sau : (Các trườg hợp từ đế 6 hoặc tươg tự ta phải bỏ đi điểm ào đó ở một trog hai bộ ra goài) Mỗi lầ ghép hai bộ điểm lại thì số gá trê đoạ được tách ra lại giảm đi đơ vị, đế hi ghép được 006 điểm thì số đó chíh là Dễ thấy cách gá số cho các đoạ thẳg ày thỏa mã đề bài Vậy giá trị hỏ hất của số tốt cầ tìm là 5

26 Bài 4 Chứg mih rằg với mọi số thực x, y, z [ ;], ta luô có bất đẳg thức sau : Hỏi đẳg thức xảy ra hi và chỉ hi ào? Trước hết ta thấy rằg : ( x y) ( x y z)( ) 9 x y z xy =, Ta cầ chứg mih : ( x+ y+ z)( + + ) 6( x + y + z ) x y z y+ z z+ x x+ y x y z ( x y) 6( + + ) 9= y+ z z+ x x+ y ( y+ z)( z+ x) x y z ( x y) ( x y) ( x+ y+ z)( + + ) 6( + + ) x y z y+ z z+ x x+ y xy ( y+ z)( z+ x) với mọi số thực x, y, z thuộc đoạ [ ; ] Đặt S x =, S y =, yz ( x+ y)( x+ z) zx ( y+ x)( y+ z) Bất đẳg thức đã cho viết dưới dạg tươg đươg là: x( ) y ( ) z ( ) 0 S y z + S z x + S x y Khôg mất tíh tổg quát, ta giả sử x y z Ta sẽ chứg mih rằg S, S 0 Thật vậy: x 0 0 S x + xy+ xz yz, đúg x y y ( ) + ( + ) 0(do,, [ ;] S y yx yz zx x y z z z y x - Nếu Sz 0, ta có đpcm - Nếu S z < 0, ta chứg mih được rằg Sx+ Sz 0, S y + Sz 0 Khi đó dễ dàg thấy rằg vì: S z = xy ( z+ x)( z+ y) x y z ê y+ z x 0 ) ( x y) ( y z) + ( z x) và S 0 z < ê x( ) + y ( ) + z ( ) ( x+ z )( ) + ( y+ z )( ) 0 S y z S z x S x y S S y z S S z x Vậy trog mọi trườg hợp, ta luô có đpcm Đẳg thức xảy ra hi x = y = z hoặc y = z =, x = và các hoá vị của chúg 6

27 Bài 5 Cho tam giác BC là tam giác họ, hôg câ, ội tiếp trog đườg trò tâm O bá íh R Một đườg thẳg d thay đổi sao cho d luô vuôg góc với O và luô cắt các tia B, C Gọi M, N lầ lượt là giao điểm của đườg thẳg d và các tia B, C Giả sử các đườg thẳg BN và CN cắt hau tại K; giả sử đườg thẳg K cắt đườg thẳg BC Gọi P là giao của đườg thẳg K và đườg thẳg BC Chứg mih rằg đườg trò goại tiếp của tam giác MNP luô đi qua một điểm cố địh hi d thay đổi Gọi H là trực tâm của tam giác MN Đặt BC = a và l là hoảg cách từ điểm đế đườg thẳg HK Chứg mih rằg đườg thẳg HK luô đi qua trực tâm của tam giác BC Từ đó suy ra: l 4R a Đẳg thức xảy ra hi và chỉ hi ào? N M K O Q B P I C Khôg mất tíh tổg quát, giả sử B < C (trườg hợp cò lại hoà toà tươg tự) Do tam giác BC hôg câ ê O hôg vuôg góc với BC và MN hôg sog sog với BC, do đó MN phải cắt đườg thẳg BC tại một điểm, giả sử là Q; gọi I là trug điểm BC N MB QB Theo địh lí Meelaus cho ba điểm Q, M, N thẳg hàg: NC M QC = N MB PB Mặt hác, theo địh lí Céva cho các đoạ P, BN, CM đồg quy, ta có: NC M PC = Từ đó, suy ra: PB PC Do I là trug điểm BC ê = QB hay Q, B, P, C là một hàg điểm điều hòa, suy ra: QC OI BC QI BI = OQ OB, do đó: QI QP= QI QI PI = QI IB = OQ OB = QB QC IP IQ= IB = IC (do theo tíh chất phươg tích của Q đối với (O) thì OQ OB = OQ R = QB QC ) Mà tứ giác BMNC cũg ội tiếp vì có Suy ra QM QN = QB QC NCB = xb = MN (với x là tia tiếp tuyế của (O)) 7

28 Từ đó suy ra QM QN = QP QI, suy ra tứ giác MNIP ội tiếp hay đườg trò goại tiếp tam giác MNP luô đi qua điểm I cố địh Ta có đpcm Gọi BD, CE là hai đườg cao của tam giác BC, L là trực tâm của tam giác BC; gọi MF, NG là hai đườg cao của tam giác MN, H là trực tâm của tam giác MN Ta cầ chứg mih rằg H, K, L thẳg hàg E G H F D N L M K O Q B P I C Xét đườg trò (O ) đườg íh BN và (O ) đườg íh CM Ta thấy: KMKC = KB KN ê K có cùg phươg tích đế (O ), (O ), tức là K thuộc trục đẳg phươg của hai đườg trò ày Đồg thời, dễ thấy rằg các điểm D, G thuộc (O ) và M, F thuộc (O ) Do H, L là trực tâm của tam giác BC và MN ê LB LD = LC LE, HN HG = HE HM; tức là H, L cùg thuộc trục đẳg phươg của hai đườg trò (O ), (O ) Từ đó suy ra H, K, L cùg thuộc trục đẳg phươg của (O ), (O ) ê chúg thẳg hàg Từ đó suy ra l Do đó L Mặt hác do tam giác BC họ ê L l 4R a = Đây chíh là đpcm Đế đây, ta sẽ tìm vị trí của d sao cho đẳg thức xảy ra BC L= OI = R = 4R a 4 N M Giả sử d cắt B, C tại M và N thỏa mã = = MN = BC B C 8

29 Gọi R, S lầ lượt là trug điểm của BN và CM; suy ra R, S cũg chíh là tâm của hai đườg trò (O ), (O ) Ta thấy hi đẳg thức xảy ra thì L vuôg góc với trục đẳg phươg của (O ), (O ), tức là L sog sog với đườg ối tâm RS của hai đườg trò ày, mà L vuôg góc với BC ê RS phải vuôg góc với BC Ta có: RS = BC+ NM, mà RS BC = 0 ( BC+ NM ) BC = 0 Do góc tạo bởi MN và BC chíh là MQB = NM CB = BC CB ê từ đẳg thức trê suy ra: BC = BC MN = BC BCcos( B C) = cos( B C) Vậy đẳg thức xảy ra hi và chỉ hi C tại N sao cho N M = = B C cos( B C) =, tức là đườg thẳg d cắt B tại M, cos( B C) 9

30 Bài 6 Cho dãy số thực ( a ) được xác địh bởi: a0 =, a+ = ( a+ ) với mọi =,,, a Chứg mih rằg với mọi số guyê, số = là một số chíh phươg và ó có ít a hất ước guyê tố phâ biệt Trước hết, ta sẽ chứg mih rằg + = 4 ( + ) với mọi guyê dươg (*) Thật vậy: Ta có: Mặt hác: 9a + = + = a a ê ( ) = = = a + ( a ) ( a ) + a 9a 08a 4 ( + ) = 6 = a a 08a Do đó: (*) được chứg mih, tức là + = 4 ( + ) với mọi guyê dươg Hơ ữa, ta tíh được: = 9 ê dễ dàg thấy rằg chia hết cho với mọi Tiếp theo, ta sẽ chứg mih bằg quy ạp rằg: + là số chíh phươg với mọi (**) - Với =, + = 4 là một số chíh phươg ê (**) đúg - Giả sử với =, (**) cũg đúg, tức là tồ tại số tự hiê p sao cho + = p + 4 ( + ) Ta có: + = + = 4 ( + ) + = 4 p ( p ) + = ( p ) cũg là 9 một số chíh phươg Suy ra (**) cũg đúg với = + Do đó, (**) được chứg mih Từ + = 4 ( + ) + = 4 ( + ) và (**), ta cũg dễ dàg chứg mih được bằg quy ạp rằg là số chíh phươg với mọi Cuối cùg, ta sẽ chứg mih rằg có ít hất ước guyê tố đôi một hác hau cũg bằg phươg pháp quy ạp (***) - Với =, rõ ràg (***) đúg - Giả sử (***) đúg với =, tức là có ít hất ước guyê tố hác hau Ta xét hai trườg hợp: 0

31 + Nếu có ít hất + ước guyê tố hác hau thì rõ ràg (***) đúg + Nếu có đúg ước guyê tố đôi một hác hau, giả sử đó là p, p, p,, p Khi đó: (, p ), i=, là hoặc i Giả sử + chỉ có đúg ước guyê tố đôi một hác hau là các giá trị ở trê thì cầ phải có m *,, + = m N m Nhưg hi đó thì (mo d 9) hôg phải là số chíh phươg, mâu thuẫ Từ đó dẫ đế + phải có một ước guyê tố ào hác ước đã có, tức là có ít hất + ước guyê tố đôi một hác hau hay (***) đúg với = + Do đó (***) được chứg mih Vậy với mọi guyê dươg, số = là một số chíh phươg và ó có ít hất a ước guyê tố phâ biệt, bài toá được giải quyết hoà toà

32 Bài LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GI DỰ THI IMO 007 Cho hai tập hợp,b là tập hợp các số guyê dươg thỏa mã = B = (với là số guyê dươg) và có tổg các phầ tử bằg hau Xét bảg ô vuôg Chứg mih rằg ta có thể điề vào mỗi ô vuôg của bảg một số guyê hôg âm thỏa mã đồg thời các điều iệ: i/ Tập hợp tổg các số ở mỗi hàg là tập ii/ Tập hợp tổg các số ở mỗi cột là tập B iii/ Có ít hất ( ) + số 0 trog bảg với là số các phầ tử chug của và B i 0 0 i Trước hết, ta thấy rằg ếu một giá trị sao cho tồ tại phầ tử bằg hau ở mỗi tập là a = b = t thì ta điề số t vào ô vuôg ằm ở hàg thứ và cột thứ, các ô cò lại của hàg thứ và cột thứ đều điề vào số 0; hư thế thì tổg các số ở hàg và cột ày thỏa mã đề bài và hôg ảh hưởg đế các hàg và cột hác Do đó, hôg mất tíh tổg quát, ta xét trườg hợp B= (trườg hợp có các phầ tử chug thì điề thêm vào các hàg và cột theo cách tươg tự hư trê), tức là số phầ tử chug của hai tập là = 0 Ta sẽ chứg mih bài toá ày bằg quy ạp Gọi Τ là tập hợp các điều iệ i/, ii/, iii/ hư trê (điều iệ iii/ tươg ứg với trườg hợp xét số guyê dươg ) Với =, bài toá hiể hiê đúg Giả sử bài toá đúg với mọi số tập hợp có phầ tử Ta sẽ chứg mih rằg với hai tập, B có phầ tử, ta cũg có thể xây dựg một bảg thỏa mã điều iệ Τ Thật vậy, xét hai tập hợp = { a, a, a,, a}, B= { b, b, b,, b} trog đó: a < a < a < < a, b < b < b < < b (hai tập ày hôg có phầ tử ào chug) Giả sử a < b Do tổg các phầ tử ở hai tập bằg hau ê tồ tại một chỉ số i thỏa mã a > b > b a a ( b a ) > 0 Ta xét hai tập hợp *, B* hư sau: i i * { a, a,, a, a b a,, a } = i i +, B* = { b, b,, b }

33 - Hai tập hợp ày có cùg số phầ tử là ê theo giả thiết quy ạp, tồ tại một bảg có ích thước ( ) ( ) thỏa mã điều iệ Τ (trog bảg ày có ít hất ( ) số 0) i Ta thêm vào bê trái bảg một cột và bê trê bảg một hàg ữa hư hìh vẽ Ở ô góc bê trái và phía trê, ta điề số a, ở hàg thứ i của bảg ba đầu (hàg có tổg các phầ tử bằg ai b + a ), ta điề số b a ; cò tất - cả các ô cò lại của hàg và cột vừa thêm vào, ta điề vào các số 0 Khi đó, bảg ày có tổg các phầ tử ở mỗi hàg là tập và tổg các phầ tử ở mỗi cột là tập B, số các số 0 ở bảg vừa lập được hôg hỏ hơ ( ) ( ) ( ) + = và do đó ó thỏa mã điều iệ Τ Do đó, bài toá cũg đúg với mọi tập hợp có phầ tử Theo guyê lí quy tạp, bài toá ày đúg với mọi số guyê dươg Vậy ta có đpcm

34 Bài Cho tam giác họ BC với đườg trò ội tiếp I Gọi ( a ) là đườg trò có tâm ằm trê đườg cao của góc và tiếp xúc trog với đườg trò (I) tại Các điểm B, C xác địh tươg tự / Chứg mih, BB, CC đồg qui tại P / Gọi ( J a ),( Jb ),( J c ) lầ lượt là các đườg trò đối xứg với đườg trò bàg tiếp các góc, B, C của tam giác BC qua trug điểm BC, C, B Chứg mih P là tâm đẳg phươg của đườg trò ói trê / Trước hết, ta sẽ chứg mih bổ đề sau: Cho tam giác BC goại tiếp đườg trò (I) có D là tiếp điểm của đườg trò bàg tiếp góc lê BC Gọi M, N là giao điểm của D với (I) (N ằm giữa và M) Giả sử IM cắt đườg cao H tại K Chứg mih rằg: K = KM * Thật vậy: Gọi E là tiếp điểm của (I) lê BC Giả sử IE cắt (I) tại điểm thứ hai là N hác E Qua N vẽ đườg thẳg N B' C' sog sog với BC cắt B và C lầ lượt tại B và C Dễ thấy tồ tại một K I phép vị tự biế tam giác B C thàh M tam giác BC Phép vị tự đó cũg biế D tiếp điểm N của đườg trò bàg tiếp B C (I) của B C lê B C thàh tiếp H E điểm D của đườg trò bàg tiếp (J) của BC lê BC Suy ra, N, D thẳg hàg hay N trùg với N Khi đó, tam giác IMN đồg dạg với KM (do IN // K), mà IMN câ tại I ê KM câ tại K hay K = KM Ta có đpcm Từ đây suy ra: đườg trò có tâm J thuộc đườg cao góc, đi qua và tiếp xúc với (I) tại M thì M thuộc D Dễ thấy đườg trò đó là duy hất *Trở lại bài toá: Gọi D, E, F lầ lượt là tiếp điểm của đườg trò bàg tiếp các góc, B, C của tam giác BC lê các cạh BC, C, B Theo bổ đề trê, ta thấy: D, B CF, C BE Suy ra:, BB, CC đồg quy hi và chỉ hi D, BE, CF đồg quy () 4

35 C B F C I P B E D C B Mặt hác: ếu ta đặt BC = a, C= b, B= c, B+ BC+ C = p thì có thể dễ dàg tíh được: DB= EC = p c DC = F = p b E= BF = p a DB EC F Suy ra: DC E FB =, theo địh lí Ceva đảo, ta có D, BE, CF đồg quy () Từ () và (), ta có, BB, CC đồg quy Ta có đpcm / Gọi, B lầ lượt là trug điểm của BC, C;, B, C lầ lượt là tâm đườg trò bàg tiếp các góc, B, C của BC Gọi D, E lầ lượt là tiếp điểm của (I) lê BC, C Dễ thấy D đối xứg với D qua trug điểm của BC, đối xứg với J a qua ê J a D // D, mà D BC J D BC a ' C Do đó: (J a ) tiếp xúc với BC tại D Hoà toà tươg tự: (J b ) tiếp xúc với C tại E Ta có: CD' = CE ' ê phươg tích từ C đế (J a ) và (J b ) bằg hau, tức là C thuộc trục đẳg phươg của hai đườg trò ày J b B F I D' J a ' E' B' P C B 5

36 Ta sẽ chứg mih rằg CP, cũg chíh là CF, vuôg góc với đoạ ối tâm J a J b của hai đườg trò (J a ), (J b ) Theo cách xác địh các điểm J a, J b, ta thấy là trug điểm của J a, B là trug điểm của B J b Do đó: ' B ' = B+ JaJb hay JaJb = ' B ' B = B B Ta cũg có: CF = CC+ CF Ta có: ( )( ) JaJb CF = B B CC+ CF = BCC+ BCF B CC B CF = = BCC B C F (do C F vuôg góc với B, B vuôg góc với CC ) () Mặt hác, ta thấy, B, C chíh là châ các đườg cao của tam giác B C ê rõ ràg: C B CB, mà C F là đườg cao của C B, C C là đườg cao của CB ê: CF CC = CF B = B CC Cũg từ hai tam giác C B, CB đồg dạg; ta có: B B ( B, CC) = ( B, CF) Do đó: BCC = B CF () Từ () và (), suy ra: J 0 ajb CF = hay CF J a Jb Do đó C F chíh là trục đẳg phươg của hai đườg trò (J a ), (J b ), tức là P thuộc trục đẳg phươg của hai đườg trò (J a ), (J b ) Hoà toà tươg tự, ta cũg có P thuộc trục đẳg phươg của hai đườg trò (J c ), (J b ) Từ đó suy ra P chíh là tâm đẳg phươg của (J a ), (J b ), (J c ) Đây chíh là đpcm 6

37 Bài Cho tam giác BC Tìm giá trị hỏ hất của biểu thức sau: B B C C cos cos cos cos cos cos S = + + C B cos cos cos * Trước hết, ta sẽ chứg mih bổ đề: Với mọi a, b, c hôg âm và hôg đồg thời bằg 0, ta có: ( a+ b) ( b+ c) ( c+ a) 4( ab+ bc+ ca) Dấu đẳg thức xảy ra hi a = b = c hoặc a = b, c = 0 và các hoá vị * Chứg mih: Quy đổg và hai triể BĐT trê, ta cầ chứg mih rằg: sym (4a b a b a b ) + ( a bc a b c+ a b c ) 0 sym (*) sym Theo BĐT Schur cho các số hôg âm a, b, c, ta có: a( a b)( a c) 0, hâ vào hai vế cho số abc hôg âm và hai triể, ta có: 4 ( a bc a b c+ a b c ) 0 () sym Hơ ữa, theo BĐT Cauchy, ta có: (4a b a b a b ) = ( a b a b ) + ( a b a b ) 0 sym sym sym () Cộg từg vế các BĐT () và () lại, ta có BĐT (*) Đẳg thức xảy ra trog (*) hi và chỉ hi đẳg thức xảy ra trog () và (), tức là hi a = b = c hoặc a = b, c = 0 và các hoá vị Bổ đề được chứg mih * Trở lại bài toá: Ta có: cos = ta + Tươg tự với cos B,cos C 7

38 Thay các biế đổi ày vào biểu thức đã cho, ta được: x + B C S =, trog đó x= ta, y= ta, z= ta ; x, y, z> 0 y z ( + )( + ) (Ở đây í hiệu x là tổg đối xứg lấy theo các biế x, y, z) Do đó: Mặt hác, trog tam giác BC, ta luô có: B B C C ta ta + ta ta + ta ta = xy+ yz+ zx= x + ( x + xy) ( x+ y)( x+ z) ( y + )( z + ) ( y + xy)( z + xy) ( y+ z)( y+ x)( z+ x)( z+ y) S = = = = = ( x+ y) Áp dụg bổ đề ở trê, ta được: 9 9 S = 4( xy+ yz+ zx) 4 Vậy giá trị hỏ hất của S là 9 4 đạt được hi và chỉ hi x= y= z hay BC là tam giác đều 8

39 Bài 4 Tìm tất cả các hàm số liê tục f : x R R thỏa mã: f ( x) = f ( x + + ) với mọi x R 9 x Ta có: x + + = ( x+ ) + f ( x) = f (( x+ ) + ), x R Đặt y= x+ x= y Thay vào giả thiết đã cho, ta có: f ( y ) = f ( y + ) (*) Xét hàm số: g( x) : R R thỏa mã: g( x+ ) = f ( x) f ( x ) = g( x), x R () 6 6 Từ (*), ta được: g( x) = g( x + ), x R, rõ ràg g( x) cũg liê tục 4 Ta sẽ xác địh hàm số g( x ) thỏa mã điều iệ trê Ta thấy: x R, g( x) = g( x + ) = g(( x) + ) = g( x) ê g( x) là hàm số chẵ 4 4 Ta chỉ cầ xét x 0 Ta có hai trườg hợp: - Với x0 : Xét dãy số: u = x0, u+ = u +, Khi đó: u ( ) 0 4 u = + u ê dãy ( u ) tăg Mặt hác, bằg quy ạp, ta chứg mih được u,, tức là dãy ày bị chặ trê Từ đó suy ra ó có giới hạ Gọi t là giới hạ đó thì t= t + t= 4 Do đó: ( ) ( ), g x = g x0 0; - Với x 0 > : Tươg tự hư trê, xét dãy số v = x0, v+ = v 0, 4 ( v ) Khi đó: v + v = v v = < 0 ê dãy đã cho là dãy giảm Cũg bằg quy 4 v + v 4 ạp, ta chứg mih được v >, tức là dãy đã cho bị chặ dưới, suy ra ó có giới hạ Gọi là giới hạ đó thì = = 4 Do đó: g( x) = g( ), x0 ( ; + ) Đặt g( ) = a R Từ đó suy ra: g( x) = a, x 0 hay g( x) = a, x R () Từ () và (), ta có: f ( x) = a, x R Đây là tất cả hàm số cầ tìm 9

40 Bài 5 Cho là tập co chứa 007 phầ tử của tập:{,,,, 40, 404 } thỏa mã với mọi a, b thì a hôg chia hết cho b Gọi m là phầ tử hỏ hất của Tìm giá trị hỏ hất của m với thỏa mã các điều iệ trê Chia tập hợp {,,,, 40, 404} thàh 007 phầ P P P007 (mỗi tập hợp chứa ít hất một phầ tử của {,,,, 40, 404 } ) thỏa mã tập hợp P a chứa tất cả các số guyê dươg có dạg (a ), trog đó là một số hôg âm Khi đó, tập hợp co của {,,,, 40, 404 } hôg thể chứa hai phầ tử cùg thuộc một trog 007 tập hợp đó vì ếu hôg thì rõ ràg có một số sẽ chia hết cho số cò lại, mâu thuẫ Mặt hác, lại có đúg 007 phầ tử ê chứa đúg phầ tử của mỗi tập P a ói trê Gọi α i là một phầ tử của với αi Pi, i=,007 Xét các phầ tử α, α, α5, α 094 lầ lượt có các dạg 7,,,,, ; rõ ràg mỗi phầ tử đó chỉ có hai ước guyê tố là và Ta cũg thấy rằg lũy thừa lớ hất của trog α phải lớ hơ lũy thừa lớ hất của trog α vì ếu gược lại thì α α, mâu thuẫ Hoà toà tươg tự với các phầ tử hác trog dãy α, α, α5, α 094, tức là ếu i< j thì lũy thừa của trog α i phải lớ hơ lũy thừa của trog α j Do đó, lũy thừa của trog dãy α, α, α5, α 094 là một dãy giảm thực sự Do có 8 phầ tử trog dãy trê (tươg ứg với lũy thừa của thay đổi từ 0 đế 7) ê giá trị của α ít hất là 7 = 8 Hơ ữa, các phầ tử của dãy có giá trị của lũy thừa tăg dầ (ếu gược lại, giá trị của lũy thừa giảm mà lũy thừa cũg giảm ê có một số chia hết cho số hác, mâu thuẫ) Suy ra: α chíh là giá trị hỏ hất trog dãy trê i i Hoà toà tươg tự với các số guyê tố hác, ta cũg xét số có dạg α = p, trog đó,,, p là các ước guyê tố hôg vượt quá 404 Từ đó suy ra α cũg chíh là phầ tử hỏ hất trog các phầ tử của tập Do đó phầ tử hỏ hất m của tập chíh là α, hư chứg mih ở trê α 8 hay m 8 Ta sẽ chứg mih rằg 8 chíh là giá trị hỏ hất của m bằg cách chỉ ra một tập hợp co của {,,,, 40, 404 } thỏa mã điều iệ đề bài f ( i) f ( i) Xét tập hợp: { αi (i ) 8 (i ) 404} = = i 40

41 Rõ ràg tập hợp ày có đúg 007 phầ tử thuộc {,,,, 40, 404 } Ta sẽ chứg mih rằg α x hôg chia hết cho α y, với x Thật vậy, giả sử gược lại tồ tại x, y thỏa mã α x α y, hi đó: tức là f ( x) f ( y) và (x ) (y ) > y (tức là tập hợp ày thỏa mã đề bài), f ( x) f ( y) (x ) (y ) Từ cách xác địh các giá trị u, v; ta có: (x ) (y ) x ( y ), đồg thời f ( y) + f ( x) f ( x) + (y ) 404 (x ) (y ) f ( y) f ( x) > > Mâu thuẫ ày chứg tỏ tất cả các phầ tử của đều thỏa mã với mọi a, b thì a hôg chia hết cho b Vậy 8 chíh là giá trị hỏ hất của m cầ tìm 4

42 Bài 6 Cho đa giác 9 cạh đều (H) Xét ba tam giác với các đỉh là các đỉh của đa giác (H) đã cho sao cho hôg có hai tam giác ào có chug đỉh Chứg mih rằg có thể chọ được từ mỗi tam giác cạh sao cho cạh ày bằg hau 8 9 a a 4 a a 4 Kí hiệu hìh (H) đã cho là đa giác hư hìh vẽ Trước hết, ta thấy 8 9 rằg độ dài các cạh và các đườg chéo của hìh (H) chỉ thuộc 4 giá trị hác hau (ếu gọi R là bá íh đườg trò goại tiếp của (H) thì ta dễ dàg tíh được các giá trị đó là Rsi π π π 4π, R si, R si, R si ) ta đặt chúg là a, a, a, a 4 theo thứ tự tăg dầ của độ dài Rõ ràg các tam giác có đỉh thuộc các đỉh của (H) sẽ có cạh có độ dài thuộc trog 6 dạg sau: ( a, a, a ),( a, a, a4),( a, a, a4), ( a, a, a ),( a, a, a ),( a, a, a ) Xét các trườg hợp sau: Giả sử tam giác được lấy ra là,, - Nếu trog các tam giác đó có một tam giác đều, rõ ràg, tam giác ày phải có độ dài các π cạh là Rsi ; hôg mất tíh tổg quát, giả sử đó là tam giác 4 7 Do các tam giác 9,, hôg có hai đỉh ào trùg hau ê ta sẽ lập một tam giác có các đỉh là một trog hai đỉh của các tập hợp {, },{ 4, 5 },{ 7, 8} Ta sẽ chứg mih rằg tam giác đó phải có ít hất cạh có độ dài là π Rsi, tức là hai đỉh có chỉ số có cùg số dư hi chia cho Giả sử 9 gược lại, trog hai tam giác cầ lập, hôg có tam giác ào có cạh là π Rsi, hi đó đỉh 9 phải ối với 4 và 4 phải ối với 8, hưg hi đó 8 được ối với là hai đỉh có chỉ số chia cho cùg dư là, mâu thuẫ Do đó, trog hai tam giác lập được, luô có một cạh có độ π dài là Rsi Suy ra trườg hợp ày luô có tam giác thỏa mã đề bài 9 4

43 - Nếu trog các tam giác đó, hôg có tam giác ào đều Khi đó các tam giác được xét hôg có ba đỉh cùg thuộc một trog ba tập hợp sau: α = {, 4, 7 }, α = {, 5, 8 }, α = {,, } Ta thấy một đoạ thẳg ối hai điểm bất ì thuộc hai tập hác hau sẽ hậ 6 9 trog giá trị là a, a, a 4 Hơ ữa, hôg có tam giác ào có độ dài cạh là ( a, a, a4) ê ta có hai hậ xét: () Một tam giác có các đỉh thuộc cả ba tập α, α, α ói trê thì sẽ có hai cạh ào đó có độ dài bằg hau (các cạh của ó có thể là ( a, a, a ), ( a, a, a 4), ( a4, a4, a ) ) tức là ó phải câ () Một tam giác có hai trog ba đỉh thuộc cùg một tập thì tam giác đó các cạh có độ dài là ( a, a, a4) hoặc là ( a, a, a 4 ), tức là tam giác đó hôg câ * Ta xét tiếp các trườg hợp (các tam giác xét dưới đây là câ hưg hôg đều): + Có hai tam giác câ và một tam giác hôg câ: hi đó theo hậ xét (), hai tam giác câ đó phải có đỉh thuộc các tập hợp hác hau trog ba tập α, α, α ; hi đó, rõ ràg tam giác cò lại cũg phải có đỉh thuộc các tập hợp hác hau, tức là ó phải câ, mâu thuẫ Vậy trườg hợp ày hôg tồ tại + Có một tam giác câ và hai tam giác hôg câ: hi đó theo hậ xét (), hai tam giác hôg câ đó phải có hai đỉh thuộc cùg một tập hợp và đỉh cò lại thuộc tập hợp hác, giả sử một tam giác có hai đỉh thuộc α và một đỉh thuộc α ; rõ ràg tam giác hôg câ cò lại phải có hai đỉh thuộc α, một đỉh thuộc α, suy ra tam giác cò lại có hai đỉh thuộc α, một đỉh thuộc α ê ó là tam giác câ, mâu thuẫ Vậy tươg tự hư trê, trườg hợp ày hôg tồ tại + Cả ba tam giác đều hôg câ: hi đó theo hậ xét (), tam giác đó thuộc một trog hai dạg ( a, a, a4) hoặc là ( a, a, a 4 ), tức là các tam giác ày luô chứa cạh có độ dài là a Trog trườg hợp ày, bài toá được giải quyết + Cả ba tam giác đều câ: hi đó, các tam giác có độ dài là ( a, a, a ), ( a, a, a 4), ( a4, a4, a ) Rõ ràg hôg tồ tại trườg hợp có độ dài các cạh lầ lượt hậ cả ba giá trị hư ba bộ trê ê phải có hai bộ trùg hau, tức là có ít hất hai tam giác câ bằg hau và một tam giác câ hậ một trog ba giá trị thuộc một trog các bộ trê làm cạh, hi đó luô có thể chọ từ tam giác ày một cạh bằg với cạh đáy hoặc cạh bê của hai tam giác câ bằg hau ia Trog trườg hợp ày, bài toá cũg được giải quyết Vậy trog mọi trườg hợp, ta luô có đpcm 4

44 LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GI DỰ THI IMO 008 Bài Trog mặt phẳg cho góc xoy Gọi M, N lầ lượt là hai điểm lầ lượt ằm trê các tia Ox, Oy Gọi d là đườg phâ giác góc goài của góc xoy và I là giao điểm của trug trực MN với đườg thẳg d Gọi P, Q là hai điểm phâ biệt ằm trê đườg thẳg d sao cho IM = IN = IP= IQ, giả sử K là giao điểm của MQ và NP Chứg mih rằg K ằm trê một đườg thẳg cố địh Gọi d là đườg thẳg vuôg góc với IM tại M và d là đườg thẳg vuôg góc với IN tại N Giả sử các đườg thẳg d, d cắt đườg thẳg d tại E, F Chứg mih rằg các đườg thẳg EN, FM và OK đồg quy x J M d E Q K I O N y P F Xét trườg hợp các điểm M, Q và N, P ằm cùg phía với hau so với trug trực của MN Khi đó giao điểm K của MP và NQ thuộc các đoạ ày: Gọi I là giao điểm của d với đườg trò goại tiếp MON Do d là phâ giác goài của MON ê I chíh là trug điểm của cug MON, do đó: I M = I N hay I chíh là giao điểm của trug trực MN với d Từ đó, suy ra: I I ' hay tứ giác MION ội tiếp Ta được: NIO = NMO Mặt hác: do IM = IN = IP = IQ ê tứ giác MNPQ ội tiếp trog đườg trò tâm I, đườg íh PQ PIN = PMN (góc ội tiếp và góc ở tâm cùg chắ cug PN ) Từ các điều trê, ta có: NMO = PMN MP là phâ giác trog của OMN 44

45 Tươg tự, ta cũg có: NQ là phâ giác trog của ONM Do K là giao điểm của MP và NQ ê K chíh là tâm đườg trò ội tiếp của thuộc phâ giác trog của xoy, tức là K thuộc một đườg thẳg cố địh (đpcm) MON, suy ra K - Nếu giao điểm K ằm goài các đoạ MP và NQ: ta cũg có lập luậ tươg tự và có được K là tâm đườg trò bàg tiếp MON của tam giác trog của xoy, là một đườg thẳg cố địh Trog mọi trườg hợp, ta luô có đpcm MON, tức là K cũg thuộc phâ giác Gọi J là giao điểm của d và d Ta thấy tứ giác MINJ ội tiếp trog đườg trò đườg íh IJ Hơ ữa: MION cũg là tứ giác ội tiếp ê 5 điểm M, N, I, J, O cùg thuộc một đườg trò Do đó: phâ giác trog góc MON đi qua trug điểm của cug MJN Rõ ràg M, N đối xứg hau qua trug trực của MN ê JM = JN, tức là J cũg là trug điểm của cug MON Từ đó suy ra: J thuộc phâ giác trog của MON hay O, K, J thẳg hàg Ta cầ chứg mih các đoạ JO, EN và MF trog JEF đồg quy OE SOEJ JO JEsi OJE JE si OJE Thật vậy: = = = OF S JO JFsi OJF JF si OJF OFJ JE si JFE OM si ONM Trog JEF và MON, ta có : =, = JF si JEF ON si OMN Mặt hác : si OJE, si ONM OJE = OJN = ONM OJF = OJM = OMN si OJF = si OMN si si si Kết hợp lại, ta được : OE = JFE OM = OFN OM = OFN OM OF si JEF ON si OEM ON si OEM ON si si = OFN OM MOE = ME ONsi NOF si OEM NF OE FN OE NF MJ Do đó : = = OF EM OF NJ ME Theo địh lí Ceva đảo, ta có OI, EN và MF đồg quy Đây chíh là đpcm 45

46 Bài Hãy xác địh tất cả các số guyê dươg m sao cho tồ tại các đa thức với hệ số thực P( x), Q( x), R( x, y) thỏa mã điều iệ: Với mọi số thực a, b mà m a b = 0, ta luô có ( (, )) P R a b = a và Q( R( a, b)) = b Với m là một số guyê dươg, ta xét các trườg hợp : - Nếu m là số chẵ, đặt m=, N * Suy ra : m a b 0 b a sao cho các đa thức P( x), Q( x), R( x, y ) thỏa mã cả hai điều iệ : () P( R( x, x )) = x, Q( R( x, x )) = x, x R () P( R( x, x )) = x, Q( R( x, x )) = x, x R = =± Khi đó cầ tìm Xét đa thức một biế T(x) thỏa mã : R( x, x ) = T ( x), x Theo giả thiết thì P( T ( x)) = P( R( x, x )) = x, x Từ đó suy ra : deg P( x)deg T ( x ) = hay deg P( x) = deg T ( x) = Giả sử T ( x) = ux+ v, u, v R, u 0, P( x) = u ' x+ v ', u ', v ' R, u ' 0 thì u '( ux+ v) + v ' = x, x u u ' =, u ' v+ v ' = 0 hay v x v u ' =, v ' = P( x) = u u u x u Mặt hác : Q( R( x, x )) = Q( T ( x)) = Q( ux+ v) = x Q( x) = = P ( x), x u Suy ra : Q( R( a, b)) = P ( R( a, b)) b= a, a, b thỏa đầu thì b cũg có thể là thỏa mã đề bài - Nếu m là số lẻ Đặt m a b = 0 Nhưg theo điều iệ ba a Mâu thuẫ ày cho thấy các giá trị m trog trườg hợp ày hôg m P( x, x ) = S( x) Suy ra : P( S( x)) = x, x R deg P( x)deg S( x) = Nếu hư degs(x) = thì deg Q( S( x )) là số chẵ, trog hi đó : deg Q( S( x)) = deg x m = m với m là số lẻ, mâu thuẫ Suy ra : degs(x) =, degp(x) = Mặt hác, trog đa thức m deg R( x, x ) deg S( x) m R( x, x ), bậc của ó có thể đạt giá trị hỏ hất là mi(, ) = = ê m = m mà Ta sẽ chứg mih rằg giá trị m = ày thỏa mã đề bài bằg cách chỉ ra các đa thức P(x), Q(x), R(x, y) thỏa mã đề bài Thật vậy : Xét các đa thức P( x) x, Q( x) x, R( x, y) y = = = Khi đó với m = thì ta có qua hệ của a với b chíh là : R( a, b) = b, P( R( a, b)) P( b) b a a = b Suy ra : = = =, Q( R( a, b)) = P( b) = b, thỏa mã đề bài Vậy tất cả các giá trị m thỏa mã đề bài là m = 46

47 Bài Cho số guyê > Kí hiệu T là tập hợp gồm số guyê dươg đầu tiê Một tập co S của T được gọi là tập huyết trog T ếu S có tíh chất: Tồ tại số guyê dươg c hôg vượt quá sao cho với s, s là hai số bất ì thuộc S ta luô có s s c Hỏi tập huyết trog T có thể có tối đa bao hiêu phầ tử? Trước hết ta thấy rằg: Nếu S là tập huyết trog T thì tập S ' = { x x S} cũg là một tập huyết trog T Thật vậy: Giả sử gược lại S hôg phải là tập huyết, hi đó tồ tại hai số guyê dươg s ', s ' S ' sao cho s ' s ' = c với c là một số guyê dươg ào đó hôg vượt quá, Khi đó xét tươg ứg hai phầ tử s = s ', s = s ' thì rõ ràg s, s S và s s = ( s ' ) ( s ' ) = s ' s ' = c, tức là tồ tại hai phầ tử s, s S và s s = c trog hi S là tập huyết Mâu thuẫ ày suy ra hậ xét trê được chứg mih Hơ ữa, do S = S ' ê hi S có số các phầ tử là lớ hất thì tươg ứg cũg có tập S có số phầ tử lớ hất bằg với S Từ đó, ta thấy có thể xét các tập huyết S có số các số phầ tử hôg vượt quá hôg ít hơ số các số phầ tử lớ hơ Xét hai tập hợp sau: = { x x S, x }, B= { x x S, x> } thì B=, B= S và theo cách xác địh S hư trê thì B Khi đó với c là một số guyê dươg ào đó hôg vượt quá, ta xét tập hợp: C= { x+ c x } Ta có: = C Do S ê cũg là một tập huyết và hi đó rõ ràg C =, B C = (vì ếu gược lại thì tồ tại hai phầ tử thuộc S mà hiệu của chúg là c, mâu thuẫ) Suy ra tất cả các phầ tử thuộc tập hoặc B hoặc C đều là một số guyê dươg hôg vượt quá, tức là ( B C) T + B + C T = Kết hợp các điều ày lại, ta được: + B Do đó: Hơ ữa: B=, B= S và S là số guyê ê Do đó số phầ tử của tập huyết S trog T luô hôg vượt quá 4 + B + B S = + B 47

48 *Ta sẽ chỉ ra một tập huyết thỏa mã đề bài có đúg phầ tử Thật vậy, xét hai tập hợp, B hư sau:,,,, + =, B=,,, + + và S= B Chọ + c= Ta thấy: - Hiệu hai phầ tử bất ì trog hôg vượt quá + + < + - Hiệu hai phầ tử bất ì trog B hôg vượt quá ( + ) = < - Hiệu một phầ tử bất ì thuộc B với một phầ tử bất ì thuộc hôg hỏ hơ: ( ) = > Khi đó, rõ ràg S= B là một tập huyết trog T ứg với giá trị + c= Ta sẽ chứg mih rằg S = Từ cách xác địh, B, ta có: + =, B= + Ta cầ có: + =, N (*) *Xét các trườg hợp: - Nếu chia hết cho, tức là có dạg m, m N Suy ra: + m + m 6 m m m m + = + = + = = = - Nếu chia dư, tức là có dạg m+, m N Suy ra: + m + m m m m m m + + = + = + = = = = - Nếu chia dư, tức là có dạg m+, m N Suy ra: + m+ m m m m+ m+ + = + = + + = = = Từ đó suy ra (*) được chứg mih hay tập hợp S đã cho là tập huyết có Vậy giá trị lớ hất của số phầ tử của tập huyết S trog T là 48

49 Bài 4 Cho m, là các số guyê dươg Chứg mih rằg (m+ ) + chia hết cho 6m hi và chỉ hi + chia hết cho 4m Theo hai triể hị thức Newto thì: = (m+ ) = ( m) + + C ( m) ( m) + (mod 6m) Do đó, 6 m (m+ ) + 6 m ( m) + + m ( + ) và ( m ) + Cầ chứg mih rằg: m ( + ) và ( m ) + () 4 m + () Xét các trườg hợp: * Nếu m là số chẵ: - Xét điều iệ (): + hôg chia hết cho 4m vì + (mod8) hoặc + 4(mod8), trog hi 4m 8, tức là hôg thể có điều iệ () - Xét điều iệ (): từ m là số chẵ, suy ra + 4 là số lẻ Ta biết rằg: số có dạg + chỉ có ước guyê tố lẻ đồg dư với modu 4 Từ đó, suy ra m thỏa mã: m ( + ) phải có dạg m= (+ ), Z Suy ra: ( m) + = (+ ) + (mod ) ( m) + hôg chia hết cho, tức là điều iệ () cũg hôg tồ tại * Nếu m là số lẻ: - Xét điều iệ (): từ m ( + ) suy ra m hôg chia hết cho, từ ( m ) + suy ra phải là số lẻ vì ếu gược lại thì ( m ) + (mod ), mâu thuẫ Mà là số lẻ thì + 4, ết hợp với ( m, 4) =, ta được 4 m +, đây chíh là điều iệ () Do đó: () () - Xét điều iệ (): từ 4 m + (4 + ) ( m + ) suy ra là số lẻ và m có dạg +, Z Suy ra: ( m) + = m + + 0(mod ) ( m) + ; từ () ta cũg trực tiếp có m ( + ) Do đó: () () Kết hợp các điều trê lại, ta được: () () Vậy (m+ ) + chia hết cho 6m hi và chỉ hi + chia hết cho 4m Đây chíh là đpcm 49

50 Bài 5 Cho tam giác BC họ, hôg câ có O là tâm đườg trò goại tiếp Gọi D, BE, CF lầ lượt là các đườg phâ giác trog của tam giác Trê các đườg thẳg D, BE, CF lầ lượt lấy các điểm L, M, N sao cho L = BM = CN = ( là hằg số dươg) D BE CF Gọi (O ), (O ), (O ) lầ lượt là các đườg trò đi qua L, tiếp xúc với O tại ; đi qua M tiếp xúc với OB tại B và đi qua N tiếp xúc với OC tại C Chứg mih rằg với =, ba đườg trò (O ), (O ), (O ) có đúg hai điểm chug và đườg thẳg ối hai điểm đó đi qua trọg tâm tam giác BC Tìm tất cả các giá trị sao cho đườg trò (O ), (O ), (O ) có đúg hai điểm chug Trước hết, ta êu 4 bổ đề sau: () Cho ba đườg thẳg đôi một phâ biệt a, b, c và hai đườg thẳg phâ biệt d, d Các đườg thẳg d, d theo thứ tự cắt a, b, c tại, B, C;, B, C thỏa mã điều iệ: B B B B CC = = Các điểm, B, C thuộc a, b, c sao cho: = = C B B C C C Khi đó,, B, C thẳg hàg và B C = () Cho ba đườg thẳg phâ biệt a, b, c và ba đườg thẳg phâ biệt hác a, b, c Các đườg thẳg a, b, c theo thứ tự cắt a, b, c tại, B, C;, B, C;, B, C (các điểm ày đôi một phâ biệt) Khi đó ếu một sog sog B B B = = thì hoặc C C C B B C C = = hoặc a, b, c đôi B B C C () Cho tam giác BC và M bất ì Các tia M, BM, CM lầ lượt cắt BC, C, B ở, B, C Các đườg thẳg B, B C, C cắt các đườg thẳg B, BC, C lầ lượt ở, B, C Các điểm, B, C theo thứ tự ằm trê các đườg thẳg BC, C, B sao cho B B CC = = =, 0 Khi đó,, B, C thẳg hàg hi và chỉ hi = hoặc B B C C = (4) Cho tam giác BC hôg câ goại tiếp đườg trò (I) Đườg trò (I) tiếp xúc với các cạh BC, C, B lầ lượt tại D, E, F Đườg thẳg EF cắt BC tại M, đườg thẳg D cắt (I) tại N (hác D) Chứg mih rằg: MN tiếp xúc với (I) Các bổ đề (), () có thể chứg mih dễ dàg bằg các biểu diễ theo vectơ Dưới đây trìh bày các chứg mih cho bổ đề (), (4) 50

51 *Chứg mih bổ đề () + Điều iệ đủ: B - Với =, ta có, B, C theo thứ tự trùg với, B, C Vì, BB, CC đồg quy ê theo địh lí B BC C Meelaus thì C B C B = Vì, B, C thẳg B BC C hàg ê C B C B = Suy ra: B B = C C BC BC C C Tươg tự: =, = B B C B C B Nhâ từg vế các đẳg thức trê, B BC C B BC C = = C B CB C B CB B Tức là, B, C thẳg hàg hay, B, C thẳg hàg - Với =,, B, C theo thứ tự là trug điểm của C, B B, C C Theo chứg mih trê, ta đã có: B B = Theo tíh chất tỉ lệ thức thì: C C B B B+ B B B B B = = = = = C C C C C+ C C C Suy ra: C M B B B = = Tươg tự: C C C BC BC C C =, = B B CB CB Nhâ từg vế các đẳg thức trê, ta được: B C C B BC C B BC C = = Do đó,, B, C th ẳg hàg C B CB C B CB + Điều iệ cầ: Khi, ta í hiệu ( ), B( ), C( ) thay cho, B, C Giả sử tồ tại số B C C M B C B B đồg thời hác và mà ( ), B( ), C( ) thẳg hàg Khi đó, các điểm: ( ), B( ), C ( ) và (/), B(/), C (/) đôi một hác hau Dễ thấy: (/) BB(/) CC(/) / = = = B B C C ( ) ( ) ( ) 5

52 Theo chứg mih ở điều iệ đủ thì hai bộ điểm, B, C và (/), B(/), C(/) thẳg hàg, mà theo điều giả sử ở trê thì ( ), B( ), C ( ) cũg thẳg hàg ê theo bổ đề (), hoặc đườg thẳg B C và (/) B(/) C(/) sog sog hoặc + Nếu B B (/) (/) = thì chú ý rằg: C C (/) (/), B, C thẳg hàg, mâu thuẫ B C *Chứg mih bổ đề (4) Gọi H là giao điểm của EF và I Ta thấy: I EF Tam giác IF vuôg tại F có đườg cao FH ê : IF = IH I ID = IH I Suy ra: IDH ID( c g c) Do đó: IHD = ID Mặt hác: tam giác IDN câ tại I ê IND = IDN = ID Từ đó, ta được: IND = IHD C (/) M B C () B C B B (/) (/) = C C (/) (/) (/) B B(/) CC(/) = =, theo bổ đề () thì B B C C B (/) B () (/) () + Nếu B C và (/) B(/) C(/) sog sog với hau thì chú ý rằg (/), B(/), C(/) theo thứ tự là trug điểm của, BB, CC Ta có: (/) B(/) = ( B + B ), (/) C(/) = ( C+ C ) Suy ra: B sog sog với B và (/) B (/), C sog sog với C và (/) C (/) Từ đó suy ra,, B, C cũg thẳg hàg, mâu thuẫ Do đó chỉ có = và = thỏa mã Vậy bổ đề () được chứg mih Tứ giác IDNH ội tiếp Hơ ữa, tứ giác IDMH cũg ội tiếp vì có 0 IDM = IHM = 90 Do đó: 5 điểm, I, D, M, N, H cùg thuộc một đườg trò Suy ra: IMNH ội tiếp hay 0 INM = IHM = 90 MN IN Vậy MN là tiếp tuyế của (I) Bổ đề (4) được chứg mih C B F I H D N E C M 5

53 *Trở lại bài toá Khi = thì L, M, N lầ lượt là trug điểm của các đoạ D, BE, CF Gọi H là trực tâm của BC vàδ là phươg tích của H đối với đườg trò Euler đi qua châ đườg cao của BC Gọi K là giao điểm của đườg thẳg O với đườg thẳg BC Ta sẽ chứg mih rằg K ằm trê (O ) Thật vậy: Do BC là tam giác họ ê O ằm trog tam giác Ta có: 0 OB= CB OB= 90 CB O F M L E O N H C K B D Khôg mất tíh tổg quát, giả sử tia D ằm giữa hai tia O và B Khi đó: 0 BC 0 BC OD= OB DB= 90 CB KD= 90 OD= CB+ Mặt hác: DB= DC+ DC= BC + CB ê KD = KD Ta cũg có O = OL OL câ tại O ê O L= OL Từ đó suy ra: O L= KD hay O L // KD, mà L là trug điểm của D ê O là trug điểm của K hay K thuộc đườg trò (O ) Do đó (O ) cắt BC tại châ đườg cao của ra phươg tích của H đối với đườg trò (O ) chíh là δ Hoà toà tươg tự với các đườg trò (O ), (O ) BC Từ đó suy 5

54 Do H có cùg phươg tích đế các đườg trò (O ), (O ), (O ) ê H chíh là tâm đẳg phươg của đườg trò (O ), (O ), (O ) Hơ ữa: do O là tiếp tuyế của (O ) tại ê phươg tích của O đối với (O ) chíh là O Tươg tự hư vậy, phươg tích của O đối với đườg trò (O ) và (O ) lầ lượt là OB, OC, mà O là tâm đườg trò goại tiếp của BC ê O = OB = OC hay O có cùg phươg tích đế các đườg trò (O ), (O ), (O ), suy ra: O cũg là tâm đẳg phươg của đườg trò (O ), (O ), (O ) Giả sử của đườg trò (O ), (O ), (O ) có trục đẳg phươg hác hau thì chúg phải đồg quy tại tâm đẳg phươg, mà O và H cùg là tâm đẳg phươg của chúg ê O phải trùg với H hay BC đều, mâu thuẫ với giả thiết BC hôg câ Do đó, điều giả sử trê là sai và đườg trò đã cho phải có trục đẳg phươg chug, trục đẳg phươg đó chíh là đườg thẳg đi qua O và H Ta cũg thấy rằg O ằm goài cả đườg trò, H thì ằm giữa các đườg cao của BC ê ó ằm trog cả đườg trò Suy ra đườg thẳg OH cắt cả đườg trò tại điểm ào đó Vậy đườg trò (O ), (O ), (O ) có đúg điểm chug, hơ ữa, đườg thẳg đi qua hai điểm chug đó chíh là đườg thẳg OH và do đó, ó cũg sẽ đi qua trọg tâm của tam giác (đườg thẳg Euler) Ta có đpcm Ta sẽ chứg mih rằg ba đườg trò (O ), (O ), (O ) có đúg hai điểm chug hi và chỉ hi = 0 hoặc = Thật vậy: *Điều iệ đủ: - Khi =, hẳg địh đã chứg mih ở câu / - Ta sẽ tiếp tục chứg mih rằg với =, ba đườg trò (O ), (O ), (O ) lầ lượt đi qua L, tiếp xúc với O tại ; đi qua M tiếp xúc với OB tại B và đi qua N tiếp xúc với OC tại C cũg có đúg hai điểm chug Thật vậy: - Khi =, các điểm L, M, N tươg ứg trùg với các điểm D, E, F Theo chứg mih ở câu /, đườg trò (K, K) đi qua D và tiếp xúc với O tại ê chíh là đườg trò (O ) đag được xét Gọi d, d, d là tiếp tuyế của đườg trò (O) lầ lượt tại, B, C Gọi X, Y, Z theo thứ tự là giao điểm của d, d; d, d; d, d Vì O thuộc đườg thẳg BC và O tiếp xúc với (O ) tại ê O thuộc d, từ đó suy ra O chíh là giao điểm của BC và d Tươg tự: O, O lầ lượt chíh là giao điểm của C và d, B và d Qua các điểm O, O, O vẽ các tiếp tuyế tới đườg trò (O) lầ lượt là OT, OT, OT (trog đó T, T, T là các tiếp điểm) Ta có: OT = O, OT = OB, OT = OC, tức là T, T, T cũg tươg ứg thuộc các đườg trò (O ), (O ), (O ) 54

55 Theo bổ đề (4) ở trê, (xét tam giác XYZ có (O) là đườg trò ội tiếp) các đườg thẳg T, BT, CT tươg ứg trùg với các đườg thẳg X, BY, CZ Hơ ữa, XB = XC, YC = Y, Z = Z ê: Y BZ CX = X, BY, CZ đồg quy (theo địh lí Ceva đảo trog tam giác XYZ) Z BX CY Do đó: T, BT, CT đồg quy Đặt điểm chug của ba đườg thẳg đó là S, rõ ràg S ằm trog (O) Do T, T, T ằm trê (O) ê theo tíh chất phươg tích: S ST = SB ST = SC ST PS /( O ) = PS /( O ) = PS /( O ) Tươg tự câu /, ta có: P = P = P, tức là OS là trục đẳg phươg chug của ba O/( O ) O/( O ) O/( O ) đườg trò O ), (O ), (O ) Mặt hác, S ằm trog cả ba đườg trò, O ằm goài cả ba đườg trò ê đườg thẳg OS cắt cả ba đườg trò tại hai điểm, tức là (O ), (O ), (O ) có đúg hai điểm chug Vậy trog trườg hợp =, ba đườg trò (O ), (O ), (O ) cũg có đúg hai điểm chug Điều iệ đủ của hẳg địh trê được chứg mih O Z T O S T Y B C O T X O 55

56 *Điều iệ cầ: Với một giá trị > 0,, gọi O( ), O( ), O ( ) lầ lượt là tâm của các đườg trò đi qua L, tiếp xúc với (O) tại ; đi qua M, tiếp xúc với (O) tại B, đi qua N, tiếp xúc với (O) tại N Giả sử các đườg trò Z ( ( )),( ( )),( ( )) O O O ói trê có đúg hai điểm chug, tức là ba tâm của chúg là O( ), O( ), O ( ) thẳg hàg () Gọi d, d, d là tiếp tuyế của đườg trò (O) lầ lượt tại, B, C Gọi X, Y, Z theo thứ tự là giao điểm của d, d ; d, d ; d, d Chứg mih tươg tự hư trê, X, BY, CZ đồg quy () Đặt O, O, O là giao điểm của BC với YZ, C với ZX, B với XY Dễ thấy rằg: O, O, O lầ lượt thuộc các ( ) ( ) ( ) đoạ thẳg O, BO, CO O và O CO = L BO BM, D BO = BE, ( ) ( ) CN CF ( ) CO = Suy ra: O( ) BO( ) CO( ) = = = () O BO CO Từ (), (), (), áp dụg bổ đề, ta có = hoặc = Do đó, ếu các đườg trò (O ), (O ), (O ) có đúg hai điểm chug thì = hoặc Điều iệ cầ của hẳg địh được chứg mih Vậy tất cả các giá trị cầ tìm là = và Bài toá được giải quyết hoà toà B O X S C O () Y O O () O = O () O = 56

57 Bài 6 Kí hiệu M là tập hợp gồm 008 số guyê dươg đầu tiê Tô tất cả các số thuộc M bởi ba màu xah, vàg, đỏ sao cho mỗi số được tô bởi một màu và mỗi màu đều được dùg để tô ít hất một số Xét các tập hợp sau: S = x y z M trog đó x, y, z có cùg màu và ( x+ y+ z) 0 (mod 008)} ; {(,, ), S = x y z M trog đó x, y, z đôi một hác màu và ( x+ y+ z) 0 (mod 008)} {(,, ), Chứg mih rằg S > S (Kí hiệu M là tích Đề các M M M ) *Trước hết ta sẽ chứg mih bổ đề sau: Với là số guyê dươg, xét tập hợp M = {,,,, } Tô màu các phầ tử của S bởi màu xah hoặc đỏ Xét các tập hợp sau: S = {( x, y, z) M, trog đó x, y, z cùg màu và ( x+ y+ z) 0 (mod )} ; S = {( x, y, z) M, trog đó x, y, z hác màu và ( x+ y+ z) 0 (mod )} Giả sử rằg trog M có a số được tô màu đỏ và b số được tô màu xah (với a + b = ) thì S = a ab+ b, S = ab Thật vậy: Ta chọ một số x được tô màu đỏ, một số y được tô màu xah, x y Giả sử z là một số thuộc S mà ( x+ y+ z), rõ ràg z tồ tại và duy hất (z có thể trùg với x hoặ y) Khôg mất tíh tổg quát, giả sử z được tô màu đỏ, cùg màu với x Xét hai trườg hợp: - Nếu z hác cả x và y Khi đó cả ba số x, y, z là phâ biệt Khi đó, ta có tất cả 6 bộ ba thuộc tập S chứa cả x và y là: ( x, y, z); ( x, z, y); ( y, x, z); ( y, z, x); ( z, x, y); ( z, y, x ) Nếu hôg tíh đế thứ tự của x và y thì chỉ có bộ trog các bộ trê thuộc S Thật vậy: hi xét x đứg trước z trog các bộ trê, ta có bộ ba là: ( x, y, z);( x, z, y);( y, x, z ) Tươg tự, lại xét các bộ hôg tíh đế thứ tự của z và y (chú ý rằg ở trêm, ta giả sử x và x cùg màu), xét x đứg sau z trog các bộ ày, ta cũg có bộ ba ữa là: ( z, x, y);( z, y, x);( y, z, x ) Do đó, trog trườg hợp ày, ta có tất cả bộ thuộc S - Nếu z bằg x hoặc z bằg y Khôg mất tíh tổg quát, giả sử z = x (trườg hợp z = y hoà toà tươg tự, hôg qua tâm đế màu của chúg ữa) Khi đó, ta cũg có các bộ thuộc tập S chứa cả x và y là: ( x, x, y);( x, y, x);( y, x, x ) (chỉ xét các bộ hôg tíh đế thứ tự của x, y) Do đó, trog cả hai trườg hợp, mỗi bộ hôg tíh đế thứ tự (x, y) với x, y hác màu hau cho ta đúg phầ tử trog tập T và mỗi phầ tử hư vậy xuất hiệ đúg một lầ Suy ra giá trị của S bằg lầ số bộ hôg tíh đế thứ tự (x, y) đã êu Mặt hác: có a số được tô màu đỏ, b số được tô màu xah ê số bộ (x, y) ói trê chíh là ab, từ đó ta được: S = ab Với x, y cho trước thì số z thỏa mã ( x+ y+ z) là duy hất Cả x và y được chọ đúg lầ ê S S = = ( a+ b), hơ ữa: S S = ê S + S = ( a+ b) S = ( a+ b) ab= a ab+ b Bổ đề được chứg mih 57

58 *Trở lại bài toá: Giả sử số các số được tô màu xah, vàg, đỏ lầ lượt là a, b, c thì : a+ b+ c= 008; a, b, c N * - Xét tập hợp: = {( x, y, z) M x, y, z được tô cùg màu xah và x+ y+ z 0 (mod 008)} Các tập B, C địh ghĩa tươg tự, ứg với các màu vàg và đỏ - Xét tập hợp: B= {( x, y, z) M x, y, z được tô bởi hai màu xah, vàg và x+ y+ z 0 (mod 008)} Các tập BC, C được địh ghĩa tươg tự, ứg với các cặp màu vàg, đỏ và đỏ, xah - Xét tập hợp : BC= {( x, y, z) M x, y, z được tô bởi cả ba màu xah, vàg, đỏ và x+ y+ z 0 (mod 008)} Tiếp theo, ta sẽ dùg bổ đề trê đáh giá số phầ tử của các tập hợp trê: Gọi c là màu đại diệ cho hai màu xah và vàg, hi đó: số bộ ba được tô cùg màu chíh là: B C B và số bộ ba tô hác màu chíh là: BC BC C Ta có: + B + C + B = ( a+ b) c( a+ b) + c, BC + BC + C = c( a+ b) Hoà toà tươg tự, ta có: + B + C + BC = ( b+ c) a( b+ c) + a, BC + C + B = ( a( b+ c) B C C ( c a) b( c a) b, BC B BC b( c a) = = + Theo cách xác địh hư trê thì: S = B C S = + B + C, S = BC S = BC Cộg từg vế tươg ứg của hóm thứ hất rồi hâ với hai, ta được: 6( + B + C ) + ( B + BC + C ) = ( a + b + c ) Cộg từg vế tươg ứg của hóm thứ hai, ta được: BC + ( B + BC + C ) = 6( ab+ bc+ ca) Suy ra: 6( + B + C ) BC = ( a b) + ( b c) + ( c a) 0 Do đó: S S 0 Đẳg thức hôg xảy ra vì hôg tồ tại a= b= c guyê dươg và a+ b+ c= 008 Vậy bất đẳg thức ở trê là thực sự, tức là S S > 0 S > S Đây chíh là đpcm 58

59 LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GI DỰ THI IMO 009 Bài Cho tam giác họ BC ội tiếp đườg trò (O) Gọi, B, C và, B, C lầ lượt là các châ đườg cao của tam giác BC hạ từ các đỉh, B, C và các điểm đối xứg với, B, C qua trug điểm của các cạh BC, C, B Gọi, B, C lầ lượt là các giao điểm của đườg trò goại tiếp các tam giác BC, BC, C B với (O) Chứg mih rằg:, BB, CC đồg quy C C B B O Ta sẽ chứg mih các đườg thẳg, BB, CC cùg đi qua trọg tâm của tam giác BC Thật vậy: Gọi M là trug trực của BC, là điểm đối xứg với qua trug trực của BC Ta sẽ chứg mih rằg trùg với hay đườg trò (B C ) cắt (O) tại B B Ta có:, đối xứg hau qua trug trực của BC ê: B = C, C = B Do, B và C, C cùg đối xứg với hau qua trug điểm của B ê BC = C Tươg tự: CB = B Suy ra: BC C C ' B = = = CB B B ' C Kết hợp với C B' = B C' ( cùg chắ cug ) C ta được: C B' B C' ( c g c) BC ' = CB ' C ' = B ' Do đó, tứ giác C B là tứ giác ội tiếp hay trùg với Gọi G là giao điểm của G trug tuyế M với Do // M ê: = = G là trọg tâm của tam giác GM M BC hay đườg thẳg đi qua trọg tâm G của tam giác BC Tươg tự: BB, CC cũg đi qua G C Vậy các đườg thẳg, BB, CC đồg quy Ta có điều phải chứg mih B C C B G M ' B C 59

60 Bài Cho đa thức Xét dãy số sau: P( x) = rx + qx + px+ trog đó p, q, r là các số thực và r > 0 a =, a = p, a = p q a+ = p a+ q a+ r a, 0 Chứg mih rằg: ếu đa thức P( x) có một ghiệm thực duy hất và hôg có ghiệm bội thì dãy số ( a) có vô số số âm * Giả sử là một ghiệm (thực hoặc phức) của đa thức: Q( x) x px qx r = + + +, do r > 0 ê p q r = 0 (*) Theo giả thiết, đa thức P( x) = rx + qx + px+ có đúg một ghiệm thực ê ó cò có thêm hai ghiệm phức liê hợp ữa, đồg thời chíh là ghiệm của P(x) do: r+ q+ p + P( ) = r + q + p + = = 0 Xét dãy số (u ) xác địh bởi côg thức: r u+ = a+ + ( p+ ) a+ a+ (**) Mặt hác, theo giả thiết: a = pa qa ra, = 0,,, Ta có: r q+ r u = pa qa ra + ( p+ ) a a = a a ra q+ r r = ( a+ a + a) q+ r Từ (*) ( q+ r) = p + = p+, do đó: r u+ = ( a+ + ( p+ ) a+ a) = u, = 0,,, Trog (**), cho = -, ta có: r r p + q+ r u0 = a+ ( p+ ) a a0 = p q ( p+ ) p = = = + r + Suy ra: u = a+ + ( p+ ) a+ a =, = 0,,, (***) 60

61 Giả sử z là ghiệm phức của phươg trìh P(x) = 0 và ρ, θ lầ lượt là modu và argumet của z trog đó: ρ, θ R, ρ > 0 iθ Ta có: z= ρe = ρ(cosθ + i si θ ) và P( x) R [ x] ê: P( z) = 0 P( z) = 0 P( z) = 0 do đó: iθ z= ρe = ρ(cosθ i si θ ) cũg là ghiệm của P(x) r + r + Từ (***), ta được: a+ + ( p+ z) a+ a = ( z), a+ + ( p+ z) a+ a = ( z) z z Theo côg thức Moavre, ta có: (cos si ) z= ρ θ+ i θ z = ρ (cos θ + i si θ ) ê: + ( ) ρ [ cos( ) θ si( ) θ] ρ [ cos( ) θ si( ) θ] + + z ( z + ) i ρ si [( + ) θ] si [( + ) θ] z z i i = = [ ] + + = i ρ si ( + ) θ = = ρ z z i ρ siθ siθ Trừ từg vế hai đẳg thức: + ( z z) a+ r( ) a = ( z) ( z) z z [ + θ] + + z z + + r z ( z) ( z z) a+ r( ) a = z ( z) a+ + a = z z ρ ( z z) r a+ + a = ρ ρ si ( ) siθ + + Do ρ > 0 ê xét 0 là một giá trị guyê dươg sao cho: [ + θ] [ + θ] si ( 0 ) 0+ si ( 0 ) r < 0 ρ < 0 a 0+ + a 0 < 0 siθ siθ ρ r Vì 0 ρ > ê a, 0+ a trái dấu với hau Do đó, trog hai giá trị ày có một số âm 0 Ta thấy hi tiế tới vô cực, tồ tại vô số giá trị 0 sao cho [ + θ] si ( ) 0 < 0, mà ứg với siθ mỗi giá trị 0 hư thế ta lại tìm được một số hạg âm của dãy đã cho, tức là dãy (a ) có vô số số âm Đây chíh là điều phải chứg mih 6

62 Bài Cho các số guyê dươg a, b sao cho a, b và a b đều hôg là số chíh phươg Chứg mih rằg trog hai phươg trìh sau: ax ax by = by = có ít hất một phươg trìh hôg có ghiệm guyê dươg * Trước hết ta sẽ chứg mih bổ đề sau: Cho, B là các số guyê dươg và, B, B đều hôg là các số chíh phươg Khi đó: ếu gọi (a, b) là ghiệm guyê dươg hỏ hất của phươg trìh Pell x By = (do B hôg là số chíh phươg ê phươg trìh Pell ày luô có ghiệm guyê dươg, ghĩa là (a, b) tồ tại) và (x 0, y 0 ) là ghiệm guyê dươg hỏ hất của phươg trìh x By = thì ta luô có hệ thức liê hệ sau: *Chứg mih: Do (x 0,y 0 ) là ghiệm của x By Đặt u= x + By, v= x y ; hi đó, ta có: a= x + By b = x0 y0 = ê x ( 0 0) ( 0 0) ( 0 0) 0 0 By = 0 0 u Bv = x + By B x y = x By = Do đó, (u; v) là một ghiệm của x By = Mà (a, b) là ghiệm guyê dươg hỏ hất của phươg trìh Pell Ta sẽ chứg mih rằg u = a, v = b Thật vậy, giả sử gược lại, u > a, v > b Ta có: ( )( ) ( )( ) < + = = a b B a b B a b B a Bb a b B x + B y < x + B y ( ) ax Bby + ( ay bx ) B < x + B y x By = ê u a, v b Mặt hác: ( ) Do đó: a+ b B < u+ v B = x + By + x y B = x + B y ( ax0 Bby0) ( ay0 bx0 ) B = ( a+ b B)( x0 y0 B) < ( x y B)( x + y B) = ( x By )( x + y B) = ( x + y B) s + t B < x0 + y0 B = =, ta được: s t B < x0 + y0 B Đặt s ax0 Bby0, t ay0 bx0 () () 6

63 Hơ ữa: s Bt ( ax Bby ) B( ay bx ) ( a Bb )( x By ) Ta thấy s > 0 vì: = = 0 0 = = s> 0 ax Bby > 0 ax > Bby a x > B b y a x > Bb ( x ) ( a Bb ) x > Bb x > Bb, đúg do B > Ta cũg thấy t 0 bởi vì ếu t = 0 thì: ay bx = 0 ay = bx a y = b x y ( Bb + ) = b ( By + ) y = b Điều ày mâu thuẫ do hôg là số chíh phươg -Nếu t > 0 thì (s; t) là một ghiệm dươg của phươg trìh x By =, từ đó: s a, t b, suy ra: s + t B > x0 + y0 B, điều ày mâu thuẫ với () -Tươg tự, ếu t < 0 thì (s; -t) là một ghiệm dươg của phươg trìh x By s a, t b, suy ra: s t B > x0 + y0 B, điều ày mâu thuẫ với () Do đó, điều giả sử là sai, ghĩa là u = a, v = b Bổ đề được chứg mih * Trở lại bài toá: Giả sử gược lại, cả hai phươg trìh: ax ax by = (*) by = (**) =, từ đó: đều có ghiệm guyê dươg Gọi (m, ) là ghiệm guyê dươg hỏ hất của phươg trìh x aby = ; (x ; y ) là ghiệm guyê dươg hỏ hất của (*); (x ; y ) là ghiệm guyê dươg hỏ hất của (**) Theo bổ đề trê, ta có các hệ thức sau: m= ax + by = x y Từ (*) ax = by +, từ (**) ay và m= bx + ay = x y = bx, so sáh các đẳg thức ở trê, ta cũg có: ( ) ax + by = bx + ay by + = bx b y x = Nhưg do b là số guyê dươg, hôg phải là số chíh phươg ê b >, ghĩa là đẳg thức trê hôg thể xảy ra Suy ra điều giả sử ở trê là sai Vậy trog hai phươg trìh (*) và (**) đã cho có ít hất một phươg trìh hôg có ghiệm guyê dươg Đây chíh là điều phải chứg mih 6

64 Bài 4 Tìm tất cả các số thực r sao cho bất đẳg thức sau đúg với mọi số a, b, c dươg: a b c r+ r+ r+ r+ b+ c c+ a a+ b Ta sẽ xét điều iệ cầ và đủ để tìm các giá trị r thỏa đề bài c * Điều iệ cầ: Xét trườg hợp a= b> 0 Đặt t= > 0 Ta có: a a b c r+ r+ r+ r+ b+ c c+ a a+ b a c c r+ r+ r+ r+ r+ r+ a c a c + + a a r+ r+ r+ r + + r+ r+ + t t+ t+ t t t + r + + r 0 + t+ ( t+ ) t+ 4 t+ 8 t r t Cho t 0, từ bất đẳg thức trê, suy ra: r 5 r + r 4 5 r (*) * Điều iệ đủ: Ta sẽ chứg mih rằg với giá trị r thỏa mã (*) thì bất đẳg thức đã cho đúg với mọi số dươg a, b, c Thật vậy: Đặt: x= a, y= b, z= c, x, y, z> 0 Ta có: b+ c c+ a a+ b a b b c c a a b c xy+ yz+ zx+ xyz= = b+ c c+ a c+ a a+ b a+ b b+ c b+ c c+ a a+ b ab( a+ b) + bc( b+ c) + ca( c+ a) + abc ( a+ b)( b+ c)( c+ a) = = ( a+ b)( b+ c)( c+ a) ( a+ b)( b+ c)( c+ a) Ta sẽ chứg mih các bất đẳg thức sau: () x+ y+ z ( xy+ yz+ zx) a b c ab bc ca b+ c c+ a a+ b ( a c )( b c ) ( b a )( c a ) ( c b )( a b ) a( a+ b)( a+ c) + b( b+ c)( b+ a) + c( c+ a)( c+ b) ab( a+ b) + bc( b+ c) + ca( c+ a) ( a+ b)( b+ c)( c+ a) ( a+ b)( b+ c)( c+ a) 64

65 a + b + c + ab( a+ b) + bc( b+ c) + ca( c+ a) + abc ab( a+ b) + bc( b+ c) + ca( c+ a) a + b + c + abc ab( a+ b) + bc( b+ c) + ca( c+ a) a a + bc ab ac + b b + ca ba bc + c c + ab ca cb ( ) ( ) ( ) 0 a( a b)( a c) + b( b a)( b c) + c( c a)( c b) 0 Bất đẳg thức ày chíh là bất đẳg thức Schur với các số dươg a, b, c () xy+ yz+ zx 4 ab bc ca + + ( a+ c)( b+ c) ( b+ a)( c+ a) ( c+ b)( a+ b) 4 ab( a+ b) + bc( b+ c) + ca( c+ a) ( a+ b)( b+ c)( c+ a) 4 4 ab( a+ b) + bc( b+ c) + ca( c+ a) ab( a+ b) + bc( b+ c) + ca( c+ a) + 6abc [ ] [ ] ab( a+ b) + bc( b+ c) + ca( c+ a) 6abc a b c b c a c a b ( ) + ( ) + ( ) 0 Bất đẳg thức cuối đúg ê () đúg với mọi số dươg a, b, c Đặt t= xy+ yz+ zx t Bất đẳg thức đã cho chíh là: 4 ( r+ x)( r+ y)( r+ z) ( r+ ) r + ( x+ y+ z) r + ( xy+ yz+ zx) r+ xyz r + r + r+ 4 8 ( x+ y+ z ) r + ( xy+ yz+ zx ) r+ xyz Do x+ y+ z ( xy+ yz+ zx) và xy+ yz+ zx+ xyz= xyz= ( xy yz zx) ê để chứg mih bất đẳg thức trê, ta chứg mih bất đẳg thức sau: ( xy+ yz+ zx) r + ( xy+ yz+ zx ) r+ ( xy yz zx) ( t ) r + ( t ) r+ ( t) t( r + r ) r + r 4 8 4r + r (4r + r ) t (4r + r ) t Bất đẳg thức cuối đúg do (*) và () ê bất đẳg thức đã cho là đúg Vậy điều iệ của r cầ tìm là 5 r hoặc 4 5 r 4 65

66 Bài 5 Cho đườg trò (O) có đườg íh B và M là một điểm bất ì ằm trog (O), M hôg ằm trê B Gọi N là giao điểm của phâ giác trog góc M của tam giác MB với đườg trò (O) Đườg phâ giác goài góc MB cắt các đườg thẳg N, NB lầ lượt tại P, Q Đườg thẳg M cắt đườg trò đườg íh NQ tại R, đườg thẳg MB cắt đườg trò đườg íh NP tại S và R, S hác M Chứg mih rằg: đườg trug tuyế ứg với đỉh N của tam giác NRS luô đi qua một điểm cố địh hi M di độg phía trog đườg trò R C S I Q D P M O B N * Qua R ẻ đườg thẳg sog sog với PQ cắt N tại C, qua S ẻ đườg thẳg sog sog với PQ cắt NB tại D Gọi I là trug điểm của CD Ta sẽ chứg mih rằg CD // B Thật vậy, do N ằm trê đườg trò đườg íh B ê: 0 NB= 90 N BN, suy ra BN là tiếp tuyế của đườg trò đườg íh PN Do đó: BMN BNS( g g) Vì PQ là đườg phâ giác góc goài của MN ê: SMP = MP = QMR = BMQ Mặt hác: SMP = SNP (góc ội tiếp cùg chắ cug PS của đườg trò đườg íh PN), QMR = QNR ( góc ội tiếp cùg chắ cug QR của đườg trò đườg íh QN) Do đó: SNP = QNR SNP + SNR = QNR + SNR CNR = SNB Xét hai tam giác BNS và RNC có: CNR = SNB và ê: BNS RNC( g g) Suy ra các tam giác đồg dạg: BMN BNS RNC RCN = MPN = NSM = NSB 66

67 Tươg tự, ta cũg có: DSN RN NM * Ta thấy, từ: NB NS BNS RNC NB NC NR NS NR = NC = NS ND DSN RN N ND NR NS N = NR = N NC Suy ra: N ND = NB NC NB = ND B // CD Trug điểm của B, trug điểm của CD và N là ba điểm thẳg hàg Tức là N, O, I thẳg hàg () MN BN NB NC * Hơ ữa: BMN RNC = RC = NC RC MN DN DS N ND DSN NM = DS = MN N MN Kết hợp các điều trê, ta được: RC = DS, mà RC // DS (cùg sog sog với PQ) ê tứ giác RCSD là hìh bìh hàh Do đó, hai đườg chéo CD và RS của tứ giác cắt hau tại trug điểm của mỗi đườg Suy ra I là trug điểm của CD cũg là trug điểm của RS Khi đó: NI chíh là đườg trug tuyế của tam giác NRS () Từ () và (), suy ra: trug tuyế NI của tam giác NRS luô đi qua O Vậy trug tuyế ứg với đỉh N của tam giác NRS luô đi qua I là điểm cố địh hi M di độg hắp phía trog đườg trò (O) Đây chíh là điều phải chứg mih 67

68 Bài 6 Một hội ghị toá học có tất cả hà toá học phải họp với hau đúg + Mỗi lầ họp, họ gồi quah một cái bà 4 chỗ và cái bà 6 chỗ, các vị trí gồi lầ ( ) chia đều hắp mỗi cái bà Biết rằg hai hà toá học đã gồi cạh hoặc đối diệ hau ở một cuộc họp ày thì sẽ hôg được gồi cạh hoặc đối diệ hau ở một cuộc họp hác a/ Chứg mih rằg Ba tổ chức có thể xếp được chỗ gồi ếu = b/ Hỏi rằg Ba tổ chức có thể sắp xếp được chỗ gồi được hay hôg với mọi >? a Với =, ta có bài toá hư sau: một hội ghị toá học có 0 hà toá học, họ phải họp với hau đúg lầ và trog mỗi lầ họp hư thế, họ phải gồi quah một cái bà 4 chỗ và một cái bà 6 chỗ, các vị trí gồi chia đều hắp bà; đồg thời, hai gười đã gồi ề hau hoặc đối diệ hau trog cuộc họp ày thì hôg được gồi ề hau hoặc đối diệ hau trog một cuộc họp hác Đáh số thứ tự cho 0 hà toá học đag xét là (), (), (), (0) Ta sẽ chỉ ra một cách sắp xếp thỏa mã đề bài trog trườg hợp ày Ta có các sơ đồ sau: -Buổi họp thứ : Buổi họp thứ : Buổi họp thứ :

69 b Ta sẽ chứg mih rằg trog trườg hợp tổg quát, Ba tổ chức luô có thể xếp chỗ gồi cho các hà toá học trog các cuộc họp Ta chia hà toá học thàh + hóm Một hóm chỉ gồm gười luô gồi ở một vị trí cố địh tại bà 4 chỗ, đặt gười ày là X 0 ; + hóm cò lại chia ra từ 6 + hà toá học, mỗi hóm có hà toá học Đặt các hóm đó là X, X, X,, X + Các hóm ày sẽ lầ lượt gồi vào các vị trí cò lại của bà 4 chỗ cùg với X 0, mỗi hóm gồi đúg một lầ * Với các bà 6 chỗ, ta có cách sắp xếp hư sau: Ở bước thứ, +, với hai hóm bất ì X, X trog đó: i+ j (mod + ), i, j +, i j thì các hà toá học thuộc hai hóm X i, X j sẽ gồi vào họp cùg hau ở một bà 6 chỗ ào đó; đồg thời, hữg hà toá học thuộc cùg một hóm thì gồi ở các vị trí tạo thàh một tam giác đều trê các bà 6 chỗ, ghĩa là họ sẽ hôg rơi vào trườg hợp gồi đối diệ hau hoặc gồi cạh hau i j X j X i * Với bà 4 chỗ, ta có cách sắp xếp hư sau: - Nếu là số chẵ thì ở bước ày, chỉ có một hóm có chỉ số là hôg được gồi chug bà 6 chỗ với hóm ào, hư thế hóm ày sẽ gồi vào bà 4 chỗ cùg với X Nếu là số lẻ, ở bước ày; tươg tự trê, chỉ có một hóm có chỉ số là hôg được chug bà 6 chỗ với hóm ào, hóm ày sẽ gồi vào bà 4 chỗ cùg với X 0 Dễ dàg thấy rằg cách sắp xếp hư thế thỏa mã mọi yêu cầu của bài toá Vậy Ba tổ chức có thể sắp xếp được chỗ gồi mọi > 69

70 Bài LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GI DỰ THI IMO 00 Cho tam giác BC hôg vuôg tại có đườg trug tuyế M Gọi D là một điểm di độg trê đườg thẳg M Gọi ( ),( ) O O là các đườg trò đi qua D, tiếp xúc với BC lầ lượt tại B và C Gọi P, Q lầ lượt là giao điểm của đườg thẳg B với đườg trò (O ), đườg thẳg C với đườg trò (O ) Chứg mih rằg: Tiếp tuyế tại P của ( O ) và tiếp tuyế tại Q của ( O ) phải cắt hau tại một điểm Gọi giao điểm đó là S Điểm S luô di chuyể trê một đườg thẳg cố địh hi D di độg trê M Q O P S D O x B M C Vì M là trug điểm của BC ê đườg trò ( ), ( ) M = MB, suy ra M có cùg phươg tích đế hai O O hay M thuộc trục đẳg phươg của Hơ ữa, hai đườg trò cắt hau tại D ê D cũg ằm trê trục đẳg phươg của chúg Từ đó, suy ra DM chíh là trục đẳg phươg của ( ),( ) DM ê có cùg phươg tích đế hai đườg trò ( O ),( O ) Suy ra: P B= Q C hay tứ giác BPQC ội tiếp O O, mà thuộc đườg thẳg Từ hệ thức trê ta cũg thấy rằg ếu P trùg với thì Q cũg trùg với, ếu P thuộc đoạ B thì Q cũg thuộc đoạ C và gược lại 70

71 Khôg mất tíh tổg quát, giả sử góc BC họ, gọi Px là tia tiếp tuyế của đườg trò (O ) sao cho góc xpb họ Theo tíh chất tiếp tuyế, ta có: xpb = PBC, mà PBC = QP ê xpb = QB Px cũg là tiếp tuyế của đườg trò (PQ) Do đó: (O ) tiếp xúc với đườg trò (PQ) Hoà toà tươg tự: ta cũg có (O ) cũg tiếp xúc với đườg trò (PQ) Suy ra: tiếp tuyế tại P của ( O ) và tiếp tuyế tại Q của ( O ) cũg chíh là hai tiếp tuyế của (PQ) tại các điểm P, Q Hơ ữa, theo giả thiết: 0 PQ 90 ê hai tiếp tuyế đó hôg sog sog và do đó chúg phải cắt hau (đpcm) Theo chứg mih ở trê, ta có: S thuộc tiếp tuyế của (O ) và (O ), SP = SQ ê S có cùg phươg tích đế hai đườg trò ( ),( ) O O ê S thuộc trục đẳg phươg của hai đườg trò ày, ghĩa là S ằm trê M Vậy hi D thay đổi trê M thì S cũg di chuyể trê M là đườg thẳg cố địh Ta có đpcm 7

72 Bài Với mỗi số guyê dươg, xét tập hợp sau : { ( ) 0( h ), 0} T = + h + + h Tìm tất cả giá trị của sao cho hôg tồ tại a, b T ; a b sao cho ( a b) chia hết cho 0 h Đặt f (, h, ) = ( + h) + 0( + ),, h, N Ta có: f (, h, ) = f ( h,, ) ê hôg mất tíh tổg quát, ta giả sử h Nếu m (mod) thì : h h f (, h, m) f (, h, ) = ( + h) + 0( m + m ) ( + h) + 0( + ) = h h = 0 ( m ) + ( m ) 0 f (, h, m) f (, h, ) (mod0) Từ đó, ta chỉ cầ xét các giá trị thỏa Xét hiệu: 5 f (6,6, ) f (,, ) = 0+ 0 ( ) Nếu 5 0 ( ) chia hết cho 0 thì giá trị tươg ứg sẽ hôg thỏa Từ đó, ta loại đi các giá trị =,,4,5,9, Ta cũg có f (8,, ) f (6,4, ) = 0( + ) = 0 ( ) ( + ), với = 0 thì 0 ( ) ( + ) 0 ê giá trị ày cũg hôg thỏa Ta sẽ chứg mih rằg các giá trị =,6,7,8 thỏa mã Thật vậy: h Tíh toá trực tiếp, ta thấy rằg với =,6,7,8 thì (mod) với h (mod) Giả sử gược lại, với các giá trị êu trê, tồ tại hai bộ (, h) ( ', h ') (giả sử > ' ) sao cho: h ' h' f (, h, ) f ( ', h ', ) Khi đó: ( + h ' h') + 0( + ) 0 (mod0) Suy ra: h h h ' h' ' ' h h' h ' ' (mod0), + + (mod) ( ) ( ) (mod) Do là số guyê tố ê theo địh lí Fermat hỏ thì: (mod) ' h' h Dễ thấy: 0 (mod) ê từ đẳg thức trê, suy ra: ' h ' h ' h (mod) ' h = Do đó: = h' hay (, h) ( ', h'), mâu thuẫ Suy ra các giá trị =,6,7,8 đều thỏa mã yêu cầu của đề bài Vậy tất cả các giá trị cầ tìm là:,6,7,8 (mod) 7

73 Bài Gọi một hìh chữ hật có ích thước là hìh chữ hật đơ và một hìh chữ hật có ích thước, bỏ đi ô ở góc chéo hau (tức có có 4 ô vuôg co) là hìh chữ hật ép Người ta ghép hít các hìh chữ hật đơ và hìh chữ hật ép ày lại với hau được một bảg hìh chữ hật có ích thước là Tìm số hỏ hất các hìh chữ hật đơ có thể dùg để ghép Ta sẽ chứg mih rằg số hìh chữ hật đơ hỏ hất thỏa mã đề bài là 006 Thật vậy: *Điều iệ cầ: Ta xét một cách phủ hìh chữ hật thỏa mã đề bài (chú ý rằg 008 chỉ số hàg và 00 chỉ số cột) Gọi x, y, z, t là số các hìh chữ hật,,, trog cách phủ đó (ở đây thực ra các hìh chữ hật, đều là các hìh chữ hật đơ của đề bài, chỉ phâ biệt ở cách phủ dọc hay gag, trog đó được đặt gag, được đặt dọc; tươg tự với cách phâ biệt, ) Tô màu trắg cho các hàg lẻ, tô màu đe cho các hàg chẵ Ở tất cả các ô của hàg thứ i, i 00, ta đáh số tươg ứg các số tự hiê i Ta sẽ chứg mih các hậ xét sau: - Nhậ xét : ta luô có đẳg thức: ( x+ y) + 4( z+ t) = Mỗi hìh chữ hật hoặc có chứa hai ô vuôg, mỗi hìh chữ hật hoặc có chứa bố ô vuôg Tổg các ô vuôg ày bằg số ô vuôg của cả hìh chữ hật lớ ê ( x+ y) + 4( z+ t) = Nhậ xét : Giá trị x, y là chẵ Ta thấy trê toà bảg, các hìh chữ hật, đều có số ô trắg bằg số ô đe; các hìh chữ hật được đặt dọc ê cũg có số ô trắg bằg số ô đe Suy ra, số hìh chữ hật ở các hàg được tô màu trắg bằg số hìh chữ hật ở các hàg được tô đe Hơ ữa, tổg số các hàg là 00 là chẵ ê giá trị x phải là chẵ Từ hậ xét, ta thấy y cũg phải chẵ Trở lại bài toá, ta xét tươg ứg Φ đi từ tập hợp các hìh chữ hật đag xét đế các số guyê là hiệu giữa tổg các số ở ô vuôg được tô đe với tổg các số ở ô vuôg được tô trắg ghi trê ó Dễ dàg thấy rằg: Φ ( ) = 0; Φ ( ) =± ; Φ ( ) =± Từ đó suy ra: Φ ( ) = 0; Φ ( ) z; Φ ( ) y (í hiệu Φ ( ) là tổg tíh trê tất cả các hìh chữ hật được dùg, địh ghĩa tươg tự với các hìh chữ hật hác) Ta cũg thấy rằg, tổg các số ghi trê x hìh chữ hật ; 008, là một số chẵ thuộc [ ] x mà x là số chẵ (hậ xét ), ta có đáh giá sau: Φ ( ) ( 008 ) 7

74 Ta có: Φ (008 00) = 00 [ i (i ) ] = 00 i= i= i= Mặt hác: Φ (008 00) = Φ ( ) + Φ ( ) + Φ ( ) + Φ ( ) x Từ các điều trê, suy ra: (008 ) + y+ z x+ y+ z Tiếp theo, ta xét hìh chữ hật (tươg tự hư trê hưg có 00 hàg và 008 cột), bắt đầu lại các lập luậ về số các hìh chữ hật,,, được dùg Ta xây dựg được bất đẳg thức sau: y+ x+ t Cộg hai bất đẳg thức ày lại, ta có: (009y+ x+ t) + (007x+ y+ z) = 008x+ 00y+ ( z+ t) Hơ ữa, theo hậ xét thì: = ( x+ y) + ( z+ t) Từ đó ta được: x+ 009y 009( x+ y) 008 Suy ra: x+ y 005 > 004, mà x+ y là số chẵ ê x+ y Do đó, tổg các hìh chữ hật đơ cầ dùg ít hất là 006 Điều iệ cầ được chứg mih *Điều iệ đủ: Ta sẽ chỉ ra một cách ghép hìh chữ hật dùg đúg 006 hìh chữ hật đơ Khối Khối Khối Khối 4 74

75 Hìh trê mô tả cách ghép một hìh chữ hật 0 6, trog đó: các hìh chữ hật huyết được tô bằg 5 màu hác hau (đỏ, hồg, xah lam, xah lá cây, xah đậm) để dễ dàg phâ biệt; trê hìh các hối được tô màu xah lá mạ là các hìh chữ hật đơ chắc chắ phải dùg, các hối màu vàg thì tùy trườg hợp, có thể là hìh chữ hật đơ mà cũg có thể là hìh chữ hật huyết * Hìh chữ hật có thể được tạo thàh từ hìh trê bằg quy tắc sau: - Thêm các dòg bằg cách chè vào giữa mỗi hối ở trê các hìh có dạg: Mỗi lầ ghép hư thế thì ta có thêm được hai hàg mới, do 00 chia hết cho ê hi thực hiệ việc ày liê tiếp một cách thích hợp thì hối ày sẽ tăg về chiều dài, tạo thàh các hối mới có ích thước 00 4 và ở mỗi hối hư vậy, ta chỉ dùg đúg hìh chữ hật màu xah lá mạ - Thêm cột bằg cách lặp lại các hối,,, 4 ở trê hìh (chú ý tíh tuầ hoà giữa các hối: () tươg ứg với (), () tươg ứg với (4)) Như thế thì ta cầ phải có tất cả 50 hối dàh cho 008 cột Đồg thời, ở hối đầu tiê và hối cuối cùg, ta cầ dùg thêm một hìh chữ hật đơ màu vàg, các hối ở giữa thì dùg các hìh chữ hật huyết màu vàg Tức là: ở hai hối đầu tiê và cuối cùg, ta cầ dùg hìh chữ hật đơ, các hối ở giữa chỉ cầ dùg hìh chữ hật đơ thôi Khi đó, tổg số hìh chữ hật đơ cầ dùg là: 500+ = 006 Xoay hìh chữ hật lại, ta được hìh chữ hật cầ phải ghép, hìh chữ hật đó có đúg 006 hìh chữ hật đơ thỏa mã đề bài Do đó, điều iệ đủ được chứg mih Vậy giá trị hỏ hất các hìh chữ hật đơ cầ dùg là 006 Bài toá được giải quyết hoà toà 75

76 Bài 4 Cho a, b, c là các số thực dươg thỏa mã điều iệ: 6( a+ b+ c) + + a b c Chứg mih rằg: ( a+ b+ ( a+ c)) ( b+ c+ ( b+ a)) ( c+ a+ ( c+ b)) 9 Hỏi đẳg thức xảy ra hi ào? Theo bất đẳg thức Cauchy, ta có: a+ c a+ c a c ( a b)( a c) a b ( a c) ( a b) ( a b) = = ( ) 7( a+ b)( a+ c) ( a+ b+ a+ c ) Tươg tự với hai biểu thức cò lại Do đó: 4( a+ b+ c) = cyc a+ b+ ( a+ c) sym 7( a+ b)( a+ c) 7( a+ b)( b+ c)( c+ a) ( ) Hơ ữa, ta thấy với mọi a, b, c dươg: 9( a+ b)( b+ c)( c+ a) 8( a+ b+ c)( ab+ bc+ ca) = a( b c) 0 8 ( a+ b)( b+ c)( c+ a) ( a+ b+ c)( ab+ bc+ ca) 9 Do đó: cyc a+ b+ ( a+ c) 6( ab+ bc+ ca) () ( ) Mặt hác, ta cũg có: sym ( ab ca ca) abc( a b c) ê theo giả thiết: ab+ bc+ ca ( a+ b+ c) 6( a+ b+ c) + + = ab+ bc+ ca () a b c abc ab+ bc+ ca 6 8 Từ () và (), suy ra: + + ( a+ b+ ( a+ c)) ( b+ c+ ( b+ a)) ( c+ a+ ( c+ b)) 9 Ta có đpcm Đẳg thức xảy ra hi dấu bằg ở tất cả các bất đẳg thức trê xảy ra hay: a, b, c> 0 a = b = c a = b = c = 4 6( a+ b+ c) = + + a b c 76

77 Bài 5 Trog một hội ghị có ước tham gia, mỗi ước có đại diệ ( > > ) Người ta chia gười ày thàh hóm, mỗi hóm có gười sao cho hôg có hai gười ào cùg hóm đế từ cùg một ước Chứg mih rằg có thể chọ ra một hóm gồm gười sao cho họ thuộc các hóm hác hau và đế từ các ước hác hau Ta gọi một ước X và một hóm Y ào đó có liê hệ với hau ếu trog hóm Y có gười của ước X Khi đó, một ước X bất ì có gười đại diệ ê có liê hệ với ước và một hóm Y bất ì có chứa gười đại diệ hác hau của các ước hác hau ê có liê hệ với đúg ước Do đó, một tập hợp bất ì m ước ào đó trog ước đã cho sẽ có liê hệ với m ít hất = m hóm hác hau Gọi a, i=, là hóm đã cho và X,, là tập hợp các hóm có liê hệ với ước thứ i i Theo điều vừa chứg mih ở trê, ta thấy với mọi: i, i, i,, i {,,,, }, thì: i X i (*) j j= Ta sẽ chứg mih rằg tồ tại ( a, a, a,, a) X X X X và ai a j, i j Thật vậy, ta bắt đầu bỏ đi phầ tử thuộc mỗi tập X i sao cho (*) vẫ được thỏa mã Cuối cùg thu được các tập hợp mới X ', X ', X ',, X ' (với X ' i X i ) vẫ thỏa điều iệ (*) có số phầ tử hỏ hất mà ếu bỏ đi thêm bất cứ phầ tử thuộc tập hợp X ' i,, thì điều iệ (*) sẽ hôg cò được thỏa Ta chứg mih rằg X ' =, i=, i Thật vậy, hôg mất tíh tổg quát giả sử X ' có chứa phầ tử hác hau là α, β Do ếu bỏ thêm một trog hai phầ tử α hoặc β thì điều iệ (*) hôg cò thỏa mã ê sẽ có hai tập chỉ số P, Q sao cho: Với M ( X ' \{ α}) X ' i =, i P M < P +, N < Q + M P, N Q Ta có: N = ( X ' \{ β}) X ' i hôg thỏa mã điều iệ (*), tức là: M N = (( X ' \{ α}) ( X ' \{ β})) ( X ' X ' ) = X ' X ' i P Q X M N ' i i Q i i i i P i Q i P Q 77

78 Từ hai điều ày suy ra: M N P Q +, M N P Q Theo guyê lí bù trừ, ta có: P + Q M + N = M N + M N P Q + P Q + = P + Q + Điều vô lí ày dẫ đế hẳg địh X ' =, i=, Rõ ràg các tập hợp ày hôg giao hau vì ếu tồ tại i j,( X ' X ' ) X ' X ' = <, mâu thuẫ với điều iệ (*) i j i j Giả sử mỗi phầ tử của a ' X ' X và a a, i j i i i i i X ' i chíh là a ' i thì tập hợp sau: ( a ', a ', a ',, a ' ) thỏa mã j Vậy ta đã chỉ ra rằg tồ tại hóm hác hau tươg ứg liê hệ với ước hác hau, mỗi hóm đó liê hệ với đúg một ước và mỗi ước liê hệ đúg một hóm ê gười đại diệ mà mỗi ước liê hệ với mỗi hóm tươg ứg rõ ràg thỏa mã đề bài Ta có đpcm 78

79 Bài 6 Gọi S là tổg bìh phươg các hệ số trog hai triể của hị thức ( + x), trog đó là số guyê dươg; x là số thực bất ì Chứg mih rằg: S + hôg chia hết cho với mọi Ta sẽ chứg mih bổ đề sau (địh lí Lucas): Cho m, là hai số tự hiê và p là một số guyê tố Giả sử: m= m p + m p + + m p + m p+ m 0 = p + p + + p + p+ 0 Khi đó: m mi a C C (mod p) (quy ước rằg C = 0, a> b ) i= 0 i b *Chứg mih: Khôg mất tíh tổg quát, giả sử m Trước hết, ta thấy rằg: ( p, i) =, i=, p ê C 0 (mod p), =, p p > (ếu m= thì bổ đề hiể hiê đúg) p! ( p )! C p = = p p, tức là:!( p )!!( p )! Ta có: p p p i p i p p i= ( x+ ) = x + + C x x + (mod p) (*) Ta sẽ chứg mih hậ xét: j j p p * + + N bằg quy ạp Thật vậy: ( x ) x (mod p), j - Với j=, hậ xét đúg theo (*) - Giả sử hậ xét ày đúg với j= h Ta sẽ chứg mih rằg ó cũg đúg với j= h+ h p p Ta có: ( x+ ) x + (mod p) h Suy ra: ( ) ( ) h h h h h+ h+ p p p p ( x+ ) x + (mod p) ( x+ ) x + (mod p) Do đó hậ xét đúg với j= h+ Theo guyê lí quy ạp, hậ xét được chứg mih Ta xét hai triể sau: 79

80 i i m 0 ( ) m m p i i i i= mi + x = ( + x) ( + x p ) C j j p m x (mod p) i i= 0 i= 0 j= 0 Hệ số của x ở vế ( hất ê hệ số của + x) m là x ở vế C m ; do biểu diễ mi i j j p Cm x là i i= 0 j= 0 = p + p + + p + p+ là duy mi C i i= 0 0 Từ đó ta được: i= 0 m mi C C (mod p) Bổ đề được chứg mih i *Trở lại bài toá: Ta có: i i i i i i ( + x) = ( + x) ( + ) C x = C x C x i= i= 0 i= 0 Đồg hất hệ số của x ở hai vế, ta có: Do đó, với mọi tự hiê thì S = C i i i = = ( ) i= 0 i= 0 C C C C Như thế ta cầ chứg mih rằg: C + hôg chia hết cho với mọi 4 Giả sử: i = ai, ai N, i=, Xét hai trườg hợp: i= 0 - Nếu a {0;}, i=, thì a {0;}, i=, và tổg a {0;}, i=, là số chẵ, đặt i ai i= 0 t t ai = t, t N = = 4 (mod ) ; ta cũg có: i= 0 i ai ai ai i= 0 Theo bổ đề trê thì C + C (mod ) 4 ai i= 0 i= 0 i i 4= ai, ai N, i=, i= 0 - Nếu tồ tại một giá trị a j = ; hôg mất tíh tổg quát, giả sử đây là số hỏ hất trog tập hợp a, i= 0, Khi đó: hệ số tươg ứg tại vị trí j ở hai triể theo lũy thừa của 4 là Mà C = 0 ê i ai 4 ai 4 i= 0 C C 0 (mod) C + (mod) Vậy trog mọi trườg hợp, ta đều có S + hôg chia hết cho Đây chíh là đpcm 80

81 PHẦN ***** HÌNH ẢNH CỦ ĐỘI TUYỂN QU CÁC NĂM 8

82 *Năm 005 *Đội tuyể Việt Nam thi IMO 005: Trầ Trọg Đa Phạm Kim Hùg Nguyễ Nguyê Hùg 4Đỗ Quốc Kháh 5Trầ Chiêu Mih 6Nguyễ Trườg Thọ 8

83 *Năm 006 *Đội tuyể Việt Nam dự thi IMO 006: Đặg Bảo Đức Hoàg Mạh Hùg Nguyễ Duy Mạh 4 Lê Hồg Quý 5 Nguyễ Xuâ Thọ 6 Lê Nam Trườg 8

84 *Năm 007: *Đội tuyể Việt Nam dự thi IMO 007: Đỗ Xuâ Bách Nguyễ Xuâ Chươg Lê Ngọc Sơ 4 Phạm Thàh Thái 5 Đỗ Ngọc Thah 6 Phạm Duy Tùg 84

85 *Năm 008: *Đội tuyể Việt Nam dự thi IMO 008: Lê Ngọc h Nguyễ Phạm Đạt Dươg Trọg Hoàg 4 Đỗ Thị Thu Thảo 5 Đặg Trầ Tiế Vih 6 Hoàg Đức Ý 85

86 *Năm 009: *Đội tuyể Việt Nam thi IMO 009: Hà Khươg Duy Nguyễ Xuâ Cươg Nguyễ Hoàg Hải 4 Phạm Hy Hiếu 5 Phạm Đức Hùg 6 Tạ Đức Thàh 86

87 *Năm 00: *Đội tuyể Việt Nam thi IMO 00: Phạm Việt Cườg Nguyễ Kiều Hiếu Nguyễ Mih Hiếu 4 Trầ Thái Hưg 5 Vũ Đìh Log 6 Nguyễ Ngọc Trug 87