Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16

Transcript

1 Lầ thứ 6

2 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Trg

3 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Mục lục Tỉh...Trg A Gig...(8) Bạc Liêu...() Bế Tre...() Cà Mu...6(9) Cầ Thơ...7() Đồg Tháp (TP.Co Lãh) (8) Đồg Tháp (S Đéc)...9() Hậu Gig...(6) Kiê Gig...() Log A...(6) Sóc Trăg...(6) Tiề Gig (Cái Bè)...(66) Tiề Gig...(7) Trà Vih...6(76) Vĩh Log...7(8) Trg

4 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 ĐỀ DỰ TUYỂN HSG TOÁN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG Tỉh A Gig Trườg THPT chuyê Thoại Ngọc Hầu Câu : ( điểm) Xác địh để hệ phươg trìh t y y si có ghiệm duy hất. Câu : ( điểm) Cho ABC, M là điểm thuộc miề trog tm giác. Gọi, y, z lầ lượt là hoảg cách từ M c đế cạh BC, CA, AB. Chứg mih y z. Dấu ằg ảy r hi R ào? BC; AC;c AB;R là á íh đườg trò goại tiếp ABC. Câu : ( điểm) Tìm tất cả các cặp số ; y với, y so cho: y y Câu : ( điểm) Cho dãy số u thỏ mã điều iệ Tìm lim u u u u ;,,,... Câu : ( điểm) Tìm giá trị hỏ hất củ số tự hiê so cho! tậ cùg đúg ằg 987 chữ số. Câu 6: ( điểm) Tìm các hàm f : thỏ: f 8, f 9 f y f y f.cos y,, y Câu 7: ( điểm) Cho hìh cầu tâm O, á íh R. Từ điểm S ất ỳ trê mặt cầu ẻ cát tuyế ằg hu cắt mặt cầu tại A, B,C và đôi một tạo với hu một góc. Gọi V là thể tích củ tứ diệ S.ABC. Địh để V lớ hất. Trg

5 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh Bạc Liêu SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU Câu : ( điểm ) Giải phươg trìh 8 Câu : ( điểm ) Trê các cạh củ tm giác ABC lấy các điểm M, N, P so cho mỗi đườg thẳg MM, NN, PP đều chi chu vi tm giác ABC thàh hi phầ ằg hu trog đó M, N, P tươg ứg là trug điểm củ các cạh BC, CA, AB. Chứg mih đườg thẳg MM, NN, PP đồg qui tại một điểm. Câu : ( điểm ) Cho số guyê tố p dạg. Chứg mih rằg hôg có số guyê ào thỏ điều iệ ( ) p. Câu : ( điểm ) Cho dãy số guyê dươg thỏ mã điều iệ Tíh lim.... N * Câu : ( điểm ) Xug quh ờ hồ hìh trò có 7 cây cu cảh. Người t dự địh chặt ớt cây so cho hôg có cây ào ề hu ị chặt. Hỏi có o hiêu cách thực hiệ hác hu? Câu 6: ( điểm ) Tìm tất cả các hàm số f liê tục trê R thỏ: f f ; R. Câu 7: ( điểm ) Cho 8 số thực,,c,d,, y, z, t. Chứg mih rằg trog 6 số su đây có ít hất một số hôg âm: c d, y, z t, c dy, cz dt, z yt. Trg

6 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh Bế Tre Trườg THPT chuyê Bế Tre Câu : ( điểm) Giải hệ phươg trìh: ( y z t) 7( y z t ) y z t 9 Câu : ( điểm) Cho một đườg trò với hi dây AB và CD hôg sog sog. Đườg vuôg góc với AB ẻ từ A cắt đườg vuôg góc với CD ẻ từ C và từ D lầ lượt tại M và P. Đườg vuôg góc với AB ẻ từ B cắt đườg vuôg góc với CD ẻ từ C và từ D lầ lượt tại Q và N. Chứg mih rằg các đườg thẳg AD, BC, MN đồg quy; các đườg thẳg AC, BD, PQ đồg quy. Câu : ( điểm) Tìm ghiệm guyê củ phươg trìh : y y y y y y 8 Câu : ( điểm) Cho dãy số Tìm lim u Câu : ( điểm) (u ) ác địh hư su: 8 u 9 u u,,,,... Cho hi số tự hiê, thỏ :. Chứg mih rằg : C.C ((C ) (C )... (C ) ) Câu 6: ( điểm) Cho, y, z là các số dươg thỏ mã điều iệ: y z. y yz z Tìm giá trị hỏ hất củ iểu thức: f. z y Câu 7: ( điểm) Cho hìh lập phươg ABCD.A B C D cạh.các điểm X,Y,Z lầ lượt di độg trê các cạh C D, AD, BB. Địh vị trí củ X,Y,Z để chu vi tm giác XYZ hỏ hất. Trg

7 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh Cà Mu Trườg THPT chuyê Ph Ngọc Hiể Câu : ( điểm) 6 Giải phươg trìh: log8. 6 Câu : ( điểm) Cho tm giác ABC có các cạh AB = c, CA =, BC =. Gọi I là tâm đườg trò ội tiếp IA IB IC tm giác đã cho. Chứg mih rằg:. c c Câu : ( điểm) Tìm số guyê tố liê tiếp hu so cho tổg ìh phươg củ số đó cũg là một số guyê tố. Câu : ( điểm) Xét dãy trog đó là ghiệm dươg duy hất củ phươg trìh: Dãy số y : y = ( ). Chứg mih rằg: y có giới hạ. Tìm lim y. Câu : ( điểm) Cho tập hợp A,,,..., ( ). Tìm số guyê dươg hỏ hất so cho tồ tại tập co B, B,, B củ A thỏ mã đồg thời các điều iệ su: i) Bi B j (i,; j,;i j) ; ii) B B... B A ; iii) tổg các phầ tử trog mỗi tập B i (i, ) ằg hu. Câu 6: ( điểm) Cho hàm số f liê tục trê và thoả mã: f ( y) f ().f (y) f (y) f () f (y);, y f (),f () Chứg mih rằg: f( + y) = f() + f(y), Câu 7: ( điểm), y. Cho hìh lập phươg ABCD.A B C D cạh. M, N là hi điểm di độg lầ lượt thuộc AD, DB thoả điều iệ: AM = DN = ( ).. Tìm để đoạ MN gắ hất.. Khi đoạ MN gắ hất, chứg mih rằg MN // A C. Trg 6

8 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Thàh phố Cầ Thơ Trườg THPT chuyê Lý Tự Trọg Câu : ( điểm ) Tìm các giá trị thực củ so cho tồ tại số thực hôg âm,,,, thỏ đồg thời các điều iệ. ;. ;. Câu : ( điểm ) Cho ABC họ, H là trực tâm củ tm giác. Gọi A, B, C lầ lượt là gio điểm củ HA, HB, HC với đườg trò goại tiếp ABC. Chứg mih HA ' HB' HC' HA HB HC Câu : ( điểm ) ) Chứg mih phươg trìh ) Chứg mih phươg trìh Câu : ( điểm ) 6 6 Chứg mih rằg dãy ( ) hội tụ. Cho dãy số ( ) ị chặ và z ( )(y ) () vô ghiệm với, y, z Z. z ( )(y ) 8 () có ghiệm với, y, z Z. Câu : ( điểm ) Cho ài toá trắc ghiệm, đáh số từ đế. Mỗi ài chỉ có hả ăg trả lời: Đúg hoặc Si. Có 6 thí sih thm gi thi, hưg hôg có i trả lời đúg ài liề hu.( Nếu em ài làm củ mỗi thí sih tươg ứg với một dãy phầ tử Đ, S thì hôg ài làm ào có dạg: ĐSĐĐSSSSSSĐSĐSS chữ đúg ề hu.) Chứg mih rằg có ít hất thí sih trả lời toà ộ ài giốg hệt hư hu. Câu 6 : ( điểm ) Tìm các hàm f: R R hả vi và thỏ điều iệ f ( f (y)) f (y f ()), y R Câu 7 : ( điểm ) Cho tứ diệ ABCD có các trug điểm các cạh đều thuộc một mặt cầu. AB.CD, AC.DB, AD.BC. Hãy tíh thể tích tứ diệ ABCD theo BC. Trg 7

9 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh Đồg Tháp Trườg THPT TP.Co Lãh Câu : ( điểm ) Giải ất phươg trìh: Câu : ( điểm ) Cho tm giác ABC ội tiếp đườg trò (O. Các tiếp tuyế với (O) tại B, C cắt hu tại M, AM cắt BC tại N. Chứg mih rằg : NB.AC NC.AB. Câu : ( điểm ) Tìm tất cả các cặp số guyê dươg (,) so cho + chi hết cho và + chi hết cho. Câu : ( điểm ) Tìm giới hạ củ dãy (u ) với u... (9 )( ) (7 8)(9 ) ( )( ) Câu : ( điểm ) Cho hìh hộp chử hật có độ dài ích thước là các số tự hiê. Các mặt củ hìh hộp được sơ màu h. Chi hìh hộp ày thàh các hối lập phươg đơ vị ằg các mặt phẳg sog sog với các mặt củ hìh hộp. Tìm các ích thước củ hìh hộp, iết rằg số các hối lập phươg đơ vị hôg có mặt ào màu h ằg tổg số các hối lập phươg đơ vị. Câu 6 : ( điểm ) Chứg mih rằg với mỗi số guyê dươg cho trước phươg trìh : có đúg một ghiệm số thực. Gọi ghiệm số thực ấy là. Hãy tìm lim. Câu 7 : ( điểm ) Cho đườg trò (O,R) và một đườg íh PQ cố địh củ đườg trò. Trê ti PQ t lấy một điểm S cố địh ( hác P và Q). Với mỗi điểm A thuộc đườg trò t dựg ti P vuôg góc với ti PA và ằm cùg phí với ó đối với đườg thẳg PQ. Gọi B là gio điểm củ P và SA. Tìm tập hợp điểm B, hi điểm A di độg trê đườg trò (O,R). Trg 8

10 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh Đồg Tháp Trườg THPT chuyê Nguyễ Đìh Chiểu Câu : ( điểm ) Giải phươg trìh 6 log 8 6 Câu : ( điểm ) Cho tm giác ABC có si A, si B, si C lập thàh một cấp số cộg và có tổg si A si B si C. Đườg co ẻ từ A và đườg phâ giác trog góc B cắt hu tại I, iết I thuộc miề trog tm giác ABC. Chứg mih rằg: S IAC SIBC Câu : ( điểm ) Tìm phâ số tối giả ; ; c tạo thàh cấp số cộg iết : d d d c ; d d Câu : ( điểm ) Cho dãy (U ), iết U =, và dãy (V ) với V = U + - U, =,. Lập thàh cấp số cộg, trog đó V = ; d =. Tíh : S U U U Câu : ( điểm ) Trog thư việ có ộ sách gồm ộ sách Toá giốg hu, ộ sách Vật lý giốg hu, ộ sách Hó học giốg hu và ộ sách Sih học giốg hu được ếp thàh một dãy so cho hôg có ộ ào cùg một mô đứg ề hu. Hỏi có o hiêu cách ếp hư vậy? Câu 6 : ( điểm ) Cho, y, z thỏ điều iệ y z z( y) 8 Tìm giá trị lớ hất củ iểu thức A z(y ) Câu 7 : ( điểm ) Cho tm giác ABC đều có cạh ằg và (d) là đườg thẳg tùy ý cắt các đườg thẳg BC, CA, AB. Gọi, y, z tươg ứg là các góc giữ đườg thẳg (d) và các đườg thẳg BC, CA, AB. Chứg mih si.si y.si z cos.cos y.cos z. 6 Trg 9

11 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh Hậu Gig SỞ GD&ĐT HẬU GIANG Bài : Cho hệ: y u yv 8 u v 6 Tìm ghiệm củ hệ để iểu thức A u đạt giá trị lớ hất. Bài : Cho tm giác ABC. Gọi A, B, C là các điểm ất ý trê cạch BC, AC, AB so cho các đườg thẳg AA, BB CC đồg qui. Tìm giá trị lớ hất củ iểu thức: T = AB.CA.BC. Bài : Tìm ghiệm guyê dươg củ phươg trìh su: 9( y z t) 89yzt 8 Bài : Cho. Tìm GTNN củ hàm số y cos si. Bài : Cho dãy số u với u, u u u...u Đặt S.... Hãy tíh lims. u u u Bài 6: Tìm tất cả các hàm số f() ác địh trê R và thỏ mã các điều iệ su đây: và f 8.. f 969. f y 9f ( y) f ().cos y, với mọi, y R. Bài 7: Cho hìh ó có góc ở đỉh củ thiết diệ qu trục là, mặt cầu S ội tiếp trog hìh ó. V. Tíh tỉ số V trog đó V, V lầ lượt là thể tích hìh cầu S và hìh ó.. Gọi S là hìh cầu tiếp úc với tất cả các đườg sih củ ó và với S ; S là hìh cầu tiếp úc với tất cả các đườg sih củ ó và với S ;... ; S 9 là hìh cầu tiếp úc với tất cả các đườg sih củ ó và với S 8. Gọi V,V,..., V 9 lầ lượt à thể tích củ các hìh cầu S,S,...,S 9. Chứg mih rằg : V V... V9 V. Trg

12 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh Kiê Gig Trườg THPT Huỳh Mẫ Đạt Câu : ( điểm ) Tìm tất cả các số guyê tố,y thoả mã phươg trìh: [ ] [ ] [ ]... [ ] y Câu : ( điểm ) Cho hìh vuôg cạh ằg. Có hi tm giác đều cạh lớ hơ vuôg. Chứg mih rằg hi tm giác ấy có điểm chug. ằm ê trog hìh Câu : ( điểm ) Giải phươg trìh ghiệm guyê: y y y () Câu : ( điểm ) Dãy số u ác địh hư su : u =, ở đây chỉ phầ guyê củ số (là số guyê lớ hất hôg vượt quá ). Chứg mih rằg, thì u là số lẻ. Câu : ( điểm ) Cho A là tập tất cả các phầ tử,,..., 6 với,,..., 6,. Một chươg trìh máy tíh chọ gẫu hiê 8 phầ tử từ tập A ( các phầ tử hác hu ) được một dãyu. Tìm số tự hiê hỏ hất so cho lấy ất ì số hạg củ dãy u t luô tìm được 6 số hạg mà số hạg ất ì trog 6 số hạg đó có ít hất là thàh phầ hác hu. Câu 6 : ( điểm ) Cho i, i R,i,.., 8 và Chứg mih rằg Câu 7 : ( điểm ) Một hìh chóp tứ giác đều S.ABCD có cạh đáy AB =, cạh ê SB = với. Có một mặt cầu tiếp úc với mặt đáy ABCD tại A và tiếp úc với đườg thẳg SB tại K. Hãy tíh á íh củ mặt cầu ày. Trg

13 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh Log A Trườg THPT Lê Quý Đô Câu : ( điểm) Giải phươg trìh: 8 y y y y 8 z z z z 8 Câu : ( điểm) Trê đườg trò tâm O, á íh R lấy sáu điểm D, E, F, G, H, K theo thứ tự đó so cho DE = FG = HK = R. Gọi M, N, P lầ lượt là trug điểm củ EF, GH và KD. Chứg mih rằg tm giác MNP là tm giác đều. Câu : ( điểm) Giải phươg trìh su trog tập hợp các số guyê dươg : y 9 Câu : ( điểm) 6 Cho dãy số ( ) ác địh hư su :,, Chứg mih rằg dãy số ( ) có giới hạ hữu hạ hi và tìm giới hạ củ ó. Câu : ( điểm) ( =,,, ) Cho đ giác đều A A A A 6 ( guyê dươg) ội tiếp trog đườg trò á íh R. Xét các đ giác lồi có các đỉh là các điểm trog 6 điểm A, A,, A 6 và các cạh củ đ giác đều hác R. Biết rằg trog số các đ giác ấy số các đ giác với số cạh lớ hất ằg 768, hãy tìm. Câu 6 : ( điểm) Tìm tất cả các hàm số liê tục f : R R thỏ mã điều iệ: y f (y) f ( y), y R Câu 7 : ( điểm) y Trog mặt phẳg với hệ toạ độ Đềcác vuôg góc Oy, cho elip (E): và đườg thẳg ( ): + y =. Xét điểm M chuyể độg trê. Các tiếp tuyế củ (E) ẻ từ M tiếp úc với (E) tại A và B. Chứg mih rằg hi M chuyể độg trê thì đườg thẳg AB luô qu một điểm cố địh. Xác địh điểm cố địh ấy. Trg

14 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh Sóc Trăg SỞ GD&ĐT SÓC TRĂNG Câu : ( điểm) Giải hệ phươg trìh: log ( ) log (y y ) y y Câu : ( điểm) Cho đườg trò (O) goại tiếp tm giác ABC. Đườg phâ giác trog củ góc A cắt đườg trò tại D (D hác A). Chứg mih AB + AC < AD. Câu : ( điểm) Tìm các ghiệm guyê củ phươg trìh y 8z Câu : ( điểm) Cho dãy số (u ) ác địh ởi u u u u Chứg mih rằg dãy số (u ) có giới hạ hữu hạ và tìm giới hạ củ dãy số. Câu : ( điểm) Phươg trìh + y + z + t = 9 có o hiêu ghiệm guyê dươg? (Nghiệm (, y, z, t) với, y,z, t là các số guyê dươg) Câu 6: ( điểm) Tìm tất cả các đ thức P() có ậc hỏ hơ 9 và thỏ mã điều iệ: P( ) P() 6 6 R Câu 7: ( điểm) Trog mặt phẳg với hệ tọ độ Oy cho hi đườg trò: (C ) : y 6y (C ) : y Một đườg thẳg (d) đi qu gio điểm củ (C ) và (C ) lầ lượt cắt lại (C ) và (C ) tại M và N. Tìm giá trị lớ hất củ đoạ MN. Trg

15 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh Tiề Gig Trườg THPT Trươg Địh Câu : ( điểm ) Giải phươg trìh : Câu : ( điểm ) A Cho tm giác ABC hôg câ tại A thỏ điều iệ si B.si C si. Gọi H, I, M lầ lượt là châ đườg co, đườg phâ giác trog, đườg trug tuyế dựg từ A. Chứg mih rằg I là trug điểm củ đoạ HM Câu : ( điểm ) Cho,, c là số guyê so cho hi phươg trìh ậc hi + + c = và + c = đều có ghiệm hữu tỉ. Chứg mih rằg tích..c chi hết cho Câu : ( điểm ) Cho dãy số u = 9, u u u (,,...) Tìm phầ guyê củ số hạg u 9? Câu : ( điểm ) Trê mặt phẳg cho đườg thẳg sog sog và 9 đườg thẳg cát tuyế đôi một cắt hu. Biết rằg hôg có đườg thẳg ào đồg quy. Hỏi mặt phẳg được chi thàh mấy phầ? Câu 6 : ( điểm ) Tìm hàm số liê tục y = f () thỏ mã : f ( ).f () = 9 với mọi Câu 7 : ( điểm ) Cho hìh chóp tứ giác đều S.ABCD có cạh đáy ằg, cạh ê ằg ; Gọi N là điểm trê cạh SC so cho CN = SC ; mặt phẳg ( ) thy đổi đi qu AN và cắt SB, SD tại M, P. Tìm giá trị hỏ hất củ diệ tích thiết diệ AMNP hi mặt phẳg ( ) thy đổi Trg

16 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh Tiề Gig Trườg THPT chuyê Tiề Gig Câu : ( điểm ) Giải phươg trìh : Câu : ( điểm ) Gọi I và O lầ lượt là tâm các đườg trò ội tiếp và goại tiếp củ tm giác ABC. Các ti AI, BI, CI cắt lại đườg trò tâm O tươg ứg tại A,B,C. Gọi r,r, r c lầ lượt là á íh đườg trò àg tiếp củ tm giác ABC ứg với các góc A,B,C.Gọi r ',r ', r c ' lầ lượt là á íh đườg trò àg tiếp củ tm giác A B C ứg với các góc A, B,C. Chứg mih rằg: r ' r ' r c ' r r rc Câu : ( điểm ) Cho số guyê dươg,, c đôi một hôg có cùg số dư trog phép chi cho. Đặt A = + + c B = + + c C = + + c Chứg mih rằg trog số A, B, C có một và chỉ một số chi hết cho. Câu : ( điểm ) Cho dãy số u được ác địh ởi * u...!!! ) Chứg mih tồ tại giới hạ hữu hạ lim u ) Đặt lim u. Chứg mih là số vô tỉ. Câu : ( điểm ) Trog chiế dịch vậ độg ầu cử tổg thốg Mỹ ăm 8 có N các Đảg phái chíh trị hác hu ( N > ), mỗi Đảg đề cử r gười để trh cử tổg thốg với các Đảg hác. Mỗi gười r ứg cử phải êu một số lời hứ hẹ sẽ thực hiệ ếu được ầu làm tổg thốg. Biết rằg có tất cả lời hứ hẹ ởi tất cả hữg ứg viê trh cử tổg thốg và tất cả các ứg viê đều hứ rằg sẽ đư ề ih tế Mỹ thoát hỏi tìh trạg hủg hoảg hiệ y. Do các Đảg phái có qu điểm chíh trị hác hu ê các lời hứ đư r củ ứg viê ất ì hôg hoà toà giốg hu hưg có chug ít hất là lời hứ. Chứg mih : N Câu 6 : ( điểm ) Cho, y, z là các số thực hôg âm thỏ mã : + y + z + yz =. Chứg mih : y yz z yz Câu 7 : ( điểm ) Cho tứ diệ SABC, M là điểm ất ì ằm trog tứ diệ. Một mặt phẳg tùy ý qu M cắt các cạh SA, SB, SC lầ lượt tại A ', B',C'. Đặt V, V A, V B, V C lầ lượt là thể tích củ các tứ diệ SABC, SMBC, SMCA, SMAB. VA VB VC Chứg mih : V SA' SB' SC' Trg

17 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh Trà Vih Trườg THPT chuyê Trà Vih Câu : ( điểm) Giải phươg trìh: 6 6 (). Câu : ( điểm) Cho tm giác ABC có BC = ; AC =. Gọi I là tâm đườg trò ội tiếp ABC. IA IB IC Chứg mih rằg: Đẳg thức ảy r hi ào? c Câu : ( điểm) Tìm tất cả các ghiệm guyê dươg (,y) củ phươg trìh: (y ) y! () Câu : ( điểm) Cho dãy số ( U ) ác địh ởi: Tìm lim U U U log U, Câu : (điểm) Trog hìh vuôg ABCD có cạh ằg, t vẽ một số đườg trò có tổg các chu vi ằg. Chứg mih rằg tồ tại một đườg thẳg cắt ít hất đườg trò trog các đườg trò trê. Câu 6 : ( điểm) Cho số thực dươg,y,z thy đổi thỏ mã điều iệ: y z 9 9 y z 9 z Tìm giá trị lớ hất củ iểu thức: P y z Câu 7 : ( điểm) Cho hìh chóp tm giác đều S.ABC có cạh đáy AB =, cạh ê SA =. Gọi M,N lầ lượt là trug điểm AB và SC. Một mặt phẳg thy đổi quy ug quh MN cắt các cạh SA và BC theo thứ tự ở P và Q hôg trùg với S. ) Chứg mih rằg AP BQ ) Xác địh tỉ số AP so cho diệ tích MPNQ hỏ hất AS Trg 6

18 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh Vĩh Log Trườg THPT chuyê Nguyễ Bỉh Khiêm Bài : ( điểm) Giải phươg trìh log log () Bài : ( điểm) Tứ giác lồi ội tiếp ABCD có đườg trò ội tiếp tâm I. Gọi P là gio điểm củ AC và AP AI BD. Chứg mih rằg. CP CI Bài : ( điểm) Tìm các số guyê tố p,q, r thỏ mã các điều iệ su: q r 9. Bài : ( điểm) Cho dãy số U được ác địh ởi : Tíh p q r; p r 9 và u u u u 9 ; N ;. Đặt v ; N ; u lim v Bài : ( điểm) Cho hi hàm số 6 f m 6 m h 6 Tìm m để hàm số tích h.f có giá trị hỏ hất là với mọi ;. Bài 6: ( điểm) Xác địh tất cả các hàm số f : thỏ mã điều iệ f 8 9 và với mọi, y, t luô có: f y yf y f y. Bài 7: ( điểm) Trê cạh AD củ hìh vuôg ABCD cạh, lấy một điểm M so cho AM ( ) và trê ử đườg thẳg A vuôg góc với mặt phẳg ABCD tại A, lấy một điểm S với SA y y. Giả sử y. Xác địh vị trí củ M để hìh chóp S.ABCM có thể tích lớ hất. Trg 7

19 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh A Gig Trườg THPT chuyê Thoại Ngọc Hầu Câu : (. điểm) Nhậ ét: Nếu Thy ĐÁP ÁN ; y là ghiệm củ hệ thì ; y cũg là ghiệm.. điểm Điều iệ cầ để hệ có ghiệm có ghiệm duy hất là. y vào hệ, t được Từ t có * Xét y y si, hệ trở thàh t y có vô số ghiệm là, y y si * Xét, hệ trở thàh t y Dễ dàg & có ghiệm là Giả sử ; y là một ghiệm ất ỳ củ. điểm. điểm ;.. điểm &. Khi đó: y t y.. điểm Mặt hác y si y Vậy ; là ghiệm duy hất. Đáp số:. điểm Câu : (. điểm) A h h z M y h c B C Trg 8

20 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Gọi h, h, h lầ lượt là đườg co ABC ẻ từ A, B, C và S, S, S, S lầ lượt là diệ c tích tm giác MBC, MCA, MAB, ABC. T có: S S S y z S S S S. điểm S S S h h h c h h h c y z h h h h h h y z c c y z h h h c y z sic c sia si B Dấu ằg ảy r Câu : (. điểm) c c R. điểm. điểm c c c. điểm R R h h h c y z y z M là trọg tâm tm giác đềuabc.. điểm c c T có y y y y Mặt hác y y y y. điểm y y y hoặc y Vậy ếu y hoặc y thì phươg trìh vô ghiệm. điểm Với y 8 Với y Với y. điểm Vậy phươg trìh có ghiệm ; ; ; ; ;. điểm Câu : (. điểm) Áp dụg ất đẳg thức Cuchy cho hi số dươg u ; u, t có u u u. u.. điểm u u, Như vậy, dãy số u là dãy đơ điệu tăg. điểm Ngoài r dãy số u ị chặ ởi.. điểm Tồ tại giới hạ lim u u. u, Mặt hác. điểm Trg 9

21 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 lim u. u.. điểm. điểm Vậy lim u Câu : (. điểm) Giá trị củ phải thỏ mã việc hi phâ tích! r thừ số guyê tố thì thừ số uất hiệ 987 lầ. Khi đó hữg số chẵ hâ với thì cho thừ số.. điểm Gọi là phầ guyê củ. T có lũy thừ củ lớ hất chi hết! được cho ởi. h.... điểm Trog đó là số lớ hất mà. Số hỏ hất so cho h 987 rõ ràg là ội củ và ó có thể viết dưới dạg i trog đó ;;;;. điểm i i i i Từ đó: h h i i Trog đó h... Thì h h h h h. điểm, 6, ; 6, 78.. điểm T có thể ết luậ rằg thỏ mã h 987 Vậy giá trị hỏ hất củ là 796 Câu 6: (. điểm) * Cho ; y t, t có: f t f t f cos t f sit * Cho t ; y, t có: f t f t. điểm. điểm. điểm Trg

22 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 * Cho, y t, t có: f t f t f cos t f cost Lấy cộg với : f t f t f t f.sit Từ và, t có: f t f.cost f sit. điểm. điểm. điểm Suy r: f 8 cos 9 si. điểm Câu 7: (. điểm) * Dễ dàg chứg mih ABC đều.. điểm * Đặt SA ; H là hìh chiếu củ S trê ABC. T tíh được BC si. điểm si ; si AH SH. điểm Mặt hác SH R. điểm ; t có : R si BC V 6R.. SH.si Thy vào, t được : V Áp dụg ất đẳg thức Côsi : V 8R 8R Vm 7 7 hi và chỉ hi Đáp số : 6 8 R si si. điểm si 6. điểm Trg

23 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh Bạc Liêu SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU Câu : ( điểm ) Giải phươg trìh 8 () T thấy hôg là ghiệm củ phươg trìh (). (,đ) 8 Với, () 8 () (,đ) 8 Do ê áp dụg ất đẳg thức Côsi cho số: ; ; ; t có: (đ) 8 Do đó () ãy r hi và chỉ hi: ( do ) Vậy phươg trìh đã cho có một ghiệm duy hất. (đ) Câu : ( điểm ) Khôg mất tíh tổg quát t giả sử: AB AC BC. Gọi K MM ' NN ' và I là gio điểm củ đườg thẳg PK với BC. T chứg mih M ' AC : Thật vậy giả sử M ở goài đoạ AC thì M ' AB : Nê BM BM ' BC BM ' BC BA BC AB AB AB BC CA B P A N' M' M N I P' C Tươg tự t cũg chứg mih được N ' BC : (đ) T lại có: CM ' AB BC CA CM AB CA Suy r CM ' CN CM ' CA AB M ' N AB MN (,đ) Tươg tự MN ' AB MN suy r tm giác MNM câ tại N, tm giác NMN câ tại M (,đ) MNN ' MN ' N mà NMM ' NM ' M giác trog củ tm giác MNP. KNP MN ' N s. l. t KMP NM ' M s. l. t ê MK, NK là các phâ (,đ) Trg

24 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Suy r MPI IPN MIP do NP // MI IMP câ tại M MI MP AC BP BI BP BM MI AB BC AC P ' I Vậy MM, NN, PP đồg qui tại một điểm. (đpcm). (,đ) Câu : ( điểm ) Giả sử có số guyê để p p t có: mod p (,đ) ( ) p Suy r mod p hy: p mod p p Nhưg theo địh lí Fhec-m thì: mod p p Nê mod p p (,đ) (,đ) (*) mà p là số guyê tố dạg ê: (*) mod p (,đ) Điều vô lí trê suy r ài toá được chứg mih. Câu : ( điểm ) T có dãy là một dãy tăg thực sự, (,đ) (,đ) Thật vậy: ếu tồ tại số tự hiê so cho thì do giả thiết t thu được (do N *) và cứ hư thế t được một dãy số guyê dươg giảm thực sự, điều ày hôg thể ãy r vì dãy là dãy vô hạ. (đ) Do ê theo phươg pháp quy ạp t có gy, N *. Suy r:... (,đ) Đặt... u thì Vậy lim... u (,đ) (theo guyê lí ẹp) (,đ) Câu : ( điểm ) Chọ cây ất ì trog hàg cây, đáh dấu là cây A. Có hi trườg hợp su ãy r: Trườg hợp : Cây A hôg ị chặt. Khi đó ét hàg cây gồm 6 cây cò lại. T sẽ chặt cây trog số 6 cây đó so cho hôg có hi cây ào ề hu ị chặt. (,đ) Giả sử đã chặt được cây thỏ yêu cầu ói trê, lúc ày hàg cây cò lại cây (hôg ể cây A). Việc phục hồi lại hàg cây là đặt cây đã chặt vào vị trí đã chặt, số cách làm ày ằg với số cách đặt cây vào trog số vị trí e ẽ giữ cây (ể cả đầu), ê: Số cách chặt cây ở trườg hợp là: (đ) C 7 (cách). Trg

25 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Trườg hợp : Cây A ị chặt. Khi đó hàg cây cò lại 6 cây. T sẽ chặt cây trog số 6 cây cò lại so cho hôg có hi cây ào ề hu ị chặt ( hi cây ở hi phí củ cây A cũg hôg được chặt).,đ) Giả sử đã chặt được cây thỏ yêu cầu ói trê, lúc ày hàg cây cò lại cây. Do hi cây ở hi phí cây A vừ chặt hôg được chặt ê t ét hàg cây gồm cây cò lại. Lập luậ tươg tự hư trườg hợp, t có số cách chặt cây là: C (cách). Suy r: số cách chặt cây thỏ yêu cầu đề ài là: 7 9(cách). (đ) Câu 6: ( điểm ) R t có: f f Từ () t có: f. f f f f () (,đ) Đặt g( ) f, t có: (,đ) g, g() liê tục trê R và g( ) g, R (do()). (,đ) Suy r: g g g... g với N, mà g() liê tục trê R, g ê: g, R. (,đ) Suy r: f, R. (,đ) Thử lại, t thấy f thỏ (), vậy có duy hất một hàm số thỏ yêu cầu đề ài (,đ) Câu 7: ( điểm ) Trog mặt phẳg Oy, đặt u, u c d, u y, u z t ; ; ; ; (,đ) T có: u. u c d, u. u y, u. u z t, u. u c dy, u. u cz dt, u. u z yt. (đ) Vì trog góc tạo ởi vectơ u, u, u, u có ít hất một góc hôg vượt quá 9 ê tồ u. tại cặp vectơ ui, u j i j so cho i u j cos ui; u j (đ) ui. u j Suy r u. u vì vậy t có điều phải chứg mih. (,đ) i j. Trg

26 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh Bế Tre Trườg THPT chuyê Bế Tre Câu : ( điểm) ( y z t) 7( y z t ) () y z t 9 () Áp dụg ất đẳg thức Buhicopi cho ộ số: (; ; ; ) và (; y; z; t). T có: ( y z t) 7( y z t ). ( đ ) Đẳg thức ảy r hi : y z t. y z t Vậy hệ đã cho ( đ ) y z t 9 Bằg cách đặt : y z t y, t suy r : z t Thy vào (), t được: 9 9. Vậy hệ đã cho chỉ có một ghiệm : (; y; z; t) (;; ;). ( đ ) Câu : ( điểm) D Q I N B C M A P Gọi gio điểm củ MN với BC và AD lầ lượt là I và J. T có: MC.BC.si MCB SMBC IN S NBC NB.BC.si NBC (,) MC.cos BCD. NB.cos ABC (,) Tươg tự, AM.cos BAD. JN ND.cos ADC (,) Nhưg do BCD BAD, ABC ADC, AMC DNB (,) Trg

27 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tức là AM MC MI MJ, suy r hy I J. (,) ND NB IN JN Lập luậ tươg tự đối với PQ. (,) Câu : ( điểm) Pt (y )[y ( )y 8] Nếu y = - thì guyê tuỳ ý. (,) Nếu y thì y ( )y 8 là phươg trìh ẩ y, có ( 8) ( )( ) Phải có là số chíh phươg. (,) Có các trườg hợp : y ) y (,) y ) ; ;. ( ) hoâg thoû. ( ) hoâg thoû Vậy phươg trìh đã cho có ghiệm (;), (;), (-;), và (m;-) với m guyê tùy ý. (,đ) Câu : ( điểm) u T có : u u u Xét hàm số : f () f '() T có : u u u 8 Vậy : thì u (, ) u u u Gọi là ghiệm củ : ( ( ;)) (,) T có : u f (u ) f () u Trg 6

28 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Theo địh lí L-grăg : f(u ) f () f '(). u Do f '() f (u ) f () u (,) u u u... u (,) Mà lim lim (u ) lim u Vậy : lim u (,) Câu : ( điểm) Do (+).( ) ( ) (C ) (C )... (C ) C (đ) Mặt hác : với cố địh thì u C C! Là dãy số giảm theo, suy r : u u (C ) (đ) Vậy C.C ((C ) (C )... (C ) ) Đẳg thức ảy r hi =. Câu 6: ( điểm) y yz z T có : f (y z ). z y ( đ ) Áp dụg ất đẳg thức: A B C AB BC CA T thu được: f (y z ) (y z ) (y z ). ( đ ) y yz z Đẳg thức ảy r y z. z y Vậy mi f đạt được hi y z. ( đ ) Câu 7: ( điểm) Trg 7

29 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Chọ hệ trục toạ độ hư hìh vẽ : A(;;), B(;;), D(;;),A (;;), X(;;), Y(;y;) Z(;;z) (,y,z > ). T có chu vi tm giác XYZ là : P = XY+YZ+ZX P ( y) y z ( ) ( z) (,) 6P 6 ( y) 6 y z 6 ( ) ( z) (,) ( ) ( y) 6 y z 6 ( ) ( z) (,) ( y) y z z 9 Buhicopi) Vậy : (,) 9 6 P 6 Dấu ằg ảy r hi và chỉ hi (,) y y z y z z ( ất đẳg thức Trg 8

30 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh Cà Mu Trườg THPT chuyê Ph Ngọc Hiể Câu : ( điểm) Điều iệ: () log log log 8 log8 (,đ) f ( t) log t t Đặt 8 ', t ; f ( t) t ; (,đ) t l 8 f ( t) ; >, tăg trê 6 () (,đ) 6 () u Đặt g( u) u u Chứg mih g(u) = chỉ có ghiệm u ; (đ) Đặt u = cost t () cost cos. (,đ) 9 Câu : ( điểm) Cách (phươg pháp vectơ) Vì I là tâm đườg trò ội tiếp tm giác ABC ê t có hệ thức su: IA IB cic (*),đ Bìh phươg hi vế củ (*), t có: IA IB c IC IA. IB cib. IC cic. IA (**),đ Mặt hác t có: IA IB BA IA IB IA. IB BA c IA. IB IA IB c (),đ Tươg tự: IB. IC IB IC () IC. IA IC IA (),đ Thy (), (), () vào hệ thức (**), t được hệ thức: IA IB c IC ( IA IB c ) c( IB IC ) c( IA IC ) ( c) IA ( c ) IB ( c c c) IC c c c ( c) IA IB cic c( c),đ Trg 9

31 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 IA IB IC.,đ c c Cách (phươg pháp lượg giác) T có: B r IA A K,đ si r A C I r(cot cot ),đ r A B A C c r(cot cot ) J,đ IA c A A C A B A C A B si (cot cot )(cot cot ) si( ) si( ) A si.. A C A B si.si si.si Tươg tự: Câu : ( điểm) B C si.si B C t. t B C cos.cos đ IB C A t. t c ; IC t A.t B,đ IA IB IC A B B C C A t. t t. t t. t.,7đ c c Gọi số guyê tố liê tiếp hu cầ tìm là, y, z và < y < z. Khi đó:, y lẻ và z lẻ.,đ + Nếu > thì y l với, l, m (vì, y, z guyê tố ê chúg hôg chi hết z m cho ).,đ Khi đó: 9( ) 6( ).,đ y z l m l m Vậy với >, hôg tìm được, y, z thỏ đề. + Nếu = thì y =, z =. Khi đó y z 8. Vậy với =, hôg tìm được, y, z thỏ đề.,đ + Xét = thì y =, z = 7. Khi đó y z 8 là số guyê tố. Trg

32 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Vậy ộ số (,,7) là ộ số guyê tố liê tiếp cầ tìm.,đ Câu : ( điểm) Chứg mih được: < = ( ) Côsi (*) (,đ) Từ giả thiết là ghiệm dươg duy hất củ phươg trìh:,,. Từ đó, chứg mih được: 6,,. (**) Vậy từ (*) và (**) lim. (đ) Vì l y (,đ) l và lim (,đ) l lim y l. (,đ) Câu : ( điểm) Giả sử tồ tại số guyê dươg so cho tập hợp A được phâ thàh tập co B, B,, B thỏ các điều iệ đề ài, tức là: đôi một hôg gio hu, B B... B A, đồg thời tổg các phầ tử củ mỗi tập B i ( i, ) ằg hu. T có tổg tất cả các phầ tử củ tập A là: ( ) =.,đ Do tổg các phầ tử củ mỗi tập B i ( i, ) ằg hu ê 6,.,đ Khi đó tổg các phầ tử củ mỗi tập B i ( i, ) là.,đ Với 6 thuộc ít hất một tập B i ào đó,đ.,đ Khi = = : A,,,...7.,đ Xét các tập B i (, i ): B i, 9 i i, ( i, ).,đ Dễ thấy: B,7, B,, B,,..., B,,đ Trg

33 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 là tập co củ A thỏ mã yêu cầu đề ài. Vậy số guyê dươg hỏ hất cầ tìm là: =.,đ Câu 6: ( điểm) * = y = f() = (,đ) * = y = f() = (,đ) * = y = f () f () f () f () Xét f() = f() = (vô lý ) Xét f() = f( + ) = f() +, u u * v y u (,đ) (,đ) * v v v f u f ( u) f f ( v) f ( u) f u u u u u v y u () (,đ) v v v f ( u ) f ( u) f f ( v u) f ( u) f u u u v v v f u f ( u) f f ( u) f ( v u) f ( u) f u u u v v v f u f ( u) f f ( v u) f u u u * Từ () và () f ( u v) f ( u) f ( v), u, v () (,đ) f ( y) f ( ) f ( y),, y. (,đ) Câu 7: ( điểm) Chọ hệ trục Oyz hư hìh vẽ, với A(;;), B(;;), C(;;), D(;;), A (;;), B (;;), C (;;), D (;;).,đ Trg

34 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Khi đó M ( M ; ym ; z M ) thỏ,đ y z M M M và N( N; yn ; z N ) thỏ N yn zn. Tìm để đoạ MN gắ hất T có:,đ MN ( ) ( y y ) ( z z ) N M N M N M ( ) ( ) ( ),đ 9 9 ( ),đ MN. Vậy MN mi (; ).,đ. Khi MN gắ hất, chứg mih rằg MN // A C MN mi,đ Khi đó M (; ; ), N ( ; ;) MN ( ; ; ).,đ Mặt hác A' C ( ; ; ). Do đó A' C. MN A' C cùg phươg MN MN // A' C.,đ Trg

35 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Trg Thàh phố Cầ Thơ Trườg THPT chuyê Lý Tự Trọg Bài. ( điểm) Giả sử hệ có ghiệm hôg âm với mỗi giá trị ào đó củ. Khi đó ) ( () là trườg hợp ảy r dấu ằg củ ất đẳg thức Bouiovsi. Do đó t có các trườg hợp su: + i = với i =,,,,. () + trog số i ằg, số cò lại hác. () + Số các số hác lớ hơ hoặc ằg. () () hôg ảy r. () suy r =. Từ () t có các trườg hợp,, 9, 6,, Với = i với ;;;;; i. Hệ có ghiệm hôg âm là ;,. ; j i j i i j i. Vậy các giá trị cầ tìm củ là ;;;9;6;. Bài. ( điểm) + Dễ dàg chứg mih được HA = HA, HB = HB, HC = HC. +Áp dụg Erdoss t có HA + HB + HC (HA + HB + HC ) = HA + HB + HC.(*) + Xét phép ghịch đảo cực H, phươg tích là. Khi đó: A, B, C, A, B, C lầ lượt là ảh củ A, B, C, A, B, C. Chứg mih được các ộ (C, A, B ), (B, C, A ), (A, B, C ) thẳg hàg. Khi đó, trog tm giác A B C, áp dụg (*) t có HC HB HA HC HB HA HC HB HA HC HB HA HC HB HA HC HB HA HC HB HA HC HB HA ' ' ' ' ) ( H C C A B A B A B C A C B A B C

36 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Trg Bài. ( điểm) ) Xét theo modul 8 thì,, (mod 8),, (mod 8) y (mod 8),,,, (mod 8) y ),, (mod 8 ) )( ( y Mà ) (mod 8 ) (mod 8,,7 ) )( ( y Trog hi ) (mod 8,, z. Do đó phươg trìh () vô ghiệm. ) 9 () y y z Xét phươg trìh ) ( 9 y. Nếu () có ghiệm, thì () có ghiệm =, y = y, z = y. Vậy t chứg mih () có ghiệm ằg cách chỉ r một ộ, y thỏ (). Thấy y có tậ cùg ằg 9 ê tậ cùg củ ), ( y chỉ có thể là (;9), (;). Nghĩ là tậ cùg củ (; y) chỉ có thể là (;); (;7); (;); (8;) (Do vi trò, y là hư hu). Bằg cách thử trực tiếp t có một ghiệm củ () là = 8, y =. Vậy phươg trìh () có ghiệm. Bài. ( điểm) Đặt 6. T có ị chặ do ị chặ. Và,. Suy r hội tụ. Gọi = lim. T chứg mih rằg lim với 6 Vì lim =, với >, N:, 6 ) ( Vậy T có Với 6 với đủ lớ với đủ lớ. Suy r lim. Bài. ( điểm)

37 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 - Với giả thiết đã cho, số phầ tử Đ trog các ài làm củ các thí sih tối đ là 8. - Với mỗi : 8 t tìm số dãy có chữ Đ, số chữ si là -. Các chữ S ày tạo thàh - + hoảg trốg, ể cả hoảg trốg đầu mút. T cầ đặt chữ Đ vào - + hoảg trốg ày. Có C cách hư vậy. Vậy có C 6 ài có chữ Đ. - Số tất cả các ài làm có thể là: 8 C Điều ày chứg tỏ phải có ít hất thí sih có ài làm giốg hệt hu. Bài 6. ( điểm) Từ điều iệ đề ài, lầ lượt đạo hàm hi vế theo, y t được f '( f ( y)) f '( y f ( )). f '( ) () f '( f ( y)). f '( y) f '( y f ( )) () Nhâ hi vế củ () với f (y), và cộg với () vế theo vế t được f '( y f ( ))( f '( ). f '( y)) () Trườg hợp : Nếu tồ tại R f '( ) : Từ () suy r f '( y f ( )), y. Do đó f() = c = cost Trườg hợp : Nếu f '( ), R Từ () suy r f '( ). f '( y),, y. Do đó f () = c = cost hy f() = c + d c, d R. Với f () = c, f (y) = c. T có c = hy c = ±. Từ điều iệ ài toá chỉ hậ c =. Thử lại các hàm số f() = c; f() = + d với c, d R là các hàm số cầ tìm. Bài 7. ( điểm) Tứ diệ ABCD có các trug điểm các cạh đều thuộc một mặt cầu. Dễ dàg chứg mih được ABCD là tứ diệ trực tâm. Dựg hìh hộp AB CD.A BC D goại tiếp tứ diệ. Khi đó, hìh hộp có các mặt đều là hìh thoi. D C A B D C A B Hơ ữ, do AB. CD, AC. DB, AD. BC ê các mặt hìh hộp đều là hìh thoi ằg hu có góc 6. Trg 6

38 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Trog đó các góc phẳg tại đỉh C củ hìh hộp đều ằg 6 ê BC = BD = DC. Tươg tự, các góc phẳg tại đỉh A củ hìh hộp đều ằg 6 ê AD = AB = AC =.BC. Suy r hìh chóp A.BCD là hìh chóp đều. Thật vậy, AB' AC D' B' DB D' B' D' B' AB' D' B' Khi đó VABCD S BCD. h Với h là hoảg cách từ A đế (BCD). 6 Dễ dàg tíh được h BC, S BCD BC VABCD BC 6 Trg 7

39 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh Đồg Tháp Trườg THPT TP.Co Lãh Câu : ( điểm ) Điều iệ. Khi đó: ( ) ( ) (6 ) () (6 ) 9 6 ( ) 9 6 ( ( )( ) ( )( 8 )(8 8 ) ( )( 8 ) 8 8 Giải hệ trê t được Câu : ( điểm ) A O K B H N C Gọi H, K lầ lượt là hìh chiếu củ B, C lê AM. Theo địh lý T-lét, t có M Trg 8

40 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 BH.AM BA.BM.si ABM NB BH SAMB NC CK S CK.AM AMC CA.CM si ACM Theo giả thiết : MB MC; si ABM si(b A) si C; si ACM si(c A) si B Vậy NB BA si C AB. NB.CA NC.AB NC CA si B CA (đpcm Câu : ( điểm ) Giả sử, guyê dươg và * ( )( ) ( )() Suy r,, đều lẻ. Vì, ( )( ) () Kết hợp với () suy r ) Với, từ () t suy r. Rõ ràg thỏ mã và ) Với, giả sử, t có. Rõ ràg, thỏ mã và ) Với, giả sử, t có hoặc hoặc + Với, đẳg thức trở thàh vô lý + Với, t có 6 7. Rõ ràg ; 7 thỏ mã điều iệ ; + Với, t có (loại) Với lý lưậ tươg tự t được, 7 thỏ mã điều iệ ; Tóm lại : Có cặp (,) thỏ mã yêu cầu ài toá là (,);(,);(;);(;7);(7;) Câu : ( điểm ) T có: S Vậy lim S lim 6.. Trg 9

41 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Câu : ( điểm ) Giả sử độ dài cạh hìh hộp chử hật (hhc) là Từ đt, suy r y z và yz y z. y z Vì ê hi 7 y z t có y z yz 7 Do đó 6, suy r =, =, = hoặc = 6. ) Nếu = thì ( y )(z ) = yz, điều ày hôg thể ảy r. ) Nếu =, t có ( y )(z ) = yz (y 6)(z 6) = Lúc đó (,y,z)= (,7,) ; (,8,8) ; (,9,) ; (,,) ) Nếu =, t có (y )(z ) = yz (y 9)(z 9) = Lúc đó (,y,z) = (,,7) ; (,6,) ; (,7,9) ) Nếu = 6 thì (y )(z -) = yz (y -)(z ) = 8. T có ghiệm duy hất (6,6,8) Tóm lại, có 8 ết quả cho ích thước hhc là: (,7,) ; (,8,8) ; (,9,) ; (,,) ; (,,7) ; (,6,) ; (,7,9) ; (6,6,8). Câu 6 : ( điểm ) T thấy hôg phải là ghiệm củ phươg trìh. Thật vậy Nếu. Vế trái âm. Nếu < < thì cò + >. Nếu thì. Xét hàm f ( ) có f '( ) ( ) với > mà f() = - < ê tồ tại duy hất < để f ( ) =. Theo BĐT Cuchy : Vì mà lim ê : lim Câu 7 : ( điểm ) d B' O' P O Q S A B Trg

42 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Gọi B là gio điểm thứ hi củ P với đườg trò (O), hi đó AB là đườg íh củ (O). Gọi d là đườg thẳg qu B và d // AB, O là gio điểm củ d và PQ. T thấy hi tm giác OPB và O PB đồg dạg, mà tm giác OPB câ tại O, ê tm giác O PB câ tại O. Từ đẳg thức SP Suy r SO ' SO (*) t đặt = SO R được viết lại dưới dạg SO' O' B SO' O' P SO' SO' SP SO OA SO R SO R SO' SO (**). SP, là một số hôg đổi và (*) SO R Hệ thức (**) chứg tỏ O là ảh củ O qu phép vị tự tâm S, hệ số vị tự = Do đó O cố địh. Mặt hác từ SB SA SP SO R, SO', t suy r SB SA và B là ảh củ A qu phép vị tự đó. SO Vậy tập hợp điểm B là một đườg trò (O ) ảh củ đườg trò (O) qu phép vị tự V S, với = SP SO R. Trg

43 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh Đồg Tháp Trườg THPT chuyê Nguyễ Đìh Chiểu Câu : ( điểm ) 6 8 ) ( ).8 ( ).8 () ( T có hàm số f 8 ( ). tăg trê R ê 6 () 6 6 Phươg trìh u u ( u ) () phươg trìh ày chỉ có ghiệm trog (,) ê đặt u cost ( t ) () cos t cost cost t 9 Suy r phươg trìh có ghiệm cos 9 Câu : ( điểm ) Dựg đườg co AH, phâ giác trog BD cắt hu tại I Gọi M là gio điểm củ CI và AB Đặt BC =, CA =, AB = c. Vì I thuộc miề trog tm gác ABC, ê các góc B, C đều họ. Từ giả thiết, t suy r si B si B cos B si A si C si A cos C Theo địh lý Cêv t có MA HB DA MA HC DC.cos C c si B.cosC.... MB HC DC MB HB DA C.cos B cos B.si A do đó M là trug điểm AB Từ đó suy r S S Câu : ( điểm ) IAC IBC Trg

44 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Trg T có: c d c d d ; ;, (*) ; ). ( ; () d d c d Lấy () () c (). Do (*) c = () ) )( ( Nếu = thì từ (); (); (*) = = c = d (vô lý) Nê 6 Đặt 6 t do,, c guyê t hữu tỉ 6 t t Do guyê ê t + phải là số chíh phươg t t t t Chỉ có số hỏ hất thỏ phươg trìh là: = 9 t = 8 8 t Vậy: = = 6 c = d = Thế vào trê t chọ. ; ; Câu : ( điểm ) d V V. Vì U U U U U U V Nê U có dạg + + c c c - (đồg hất). c U Chọ = c =. Vậy U. Nê ) ( 6 ) )( ( S Câu : ( điểm ) Gọi A là tập hợp các cách ếp ộ thàh một dãy tùy ý Gọi A là tập hợp các cách ếp ộ sách Toá đứg ề hu Gọi A là tập hợp các cách ếp ộ sách Lý đứg ề hu

45 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Trg Gọi A là tập hợp các cách ếp ộ sách Hó đứg ề hu Gọi A là tập hợp các cách ếp ộ sách Sih đứg ề hu Gọi * A là tập hợp các cách ếp thỏ yêu cầu đề ài T có * * \ i i i i A A A A A A Mà 696 (!)! A 696 (!)! (!) 6! (!) 8! (!)! C C C C A i i * A Câu 6 : ( điểm ) Từ điều iệ suy r yz z z y 6 z y z Đặt ; z y z u hi đó 6 u y v ; hi đó 8 v T có A y z z y z y v u ) (. Vậy A= 8.. v u v u Dấu = ãy r hi v u, cùg hướg, tức là ) ( z z y z z y y z Khi đó y y y Giá trị lớ hất củ A là Câu 7 : ( điểm )

46 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Chọ hệ trục tọ độ so cho A( ; ), B( ;), C( ;). Khi đó AB ( ; ), CA ( ; ), BC ( ;). Gọi u u ; u ) là véc tơ chỉ phươg củ đườg thẳg (d). T có : cos ( u u si u u u u u u u u y y cos ( u u ) si ( u u ) u u cos z ( u u ) si u u z ( u u ) S si u.si y.si z cos.cos y.cos 6 6 u u u u u u u u u u u 6u u 6u u 6 z Trg

47 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh Hậu Gig SỞ GD&ĐT HẬU GIANG Bài : Đặt cos, y si ; u cos, v si với, ; Khi đó: u yv 8 8cos.cos 8si.si 8 8cos 8 cos Vậy A u u u 6cos 8cos Suy r A đạt giá trị lớ hất hi cos Suy r:, y ; u, v Bài Bài : Gọi M, N, P lầ lượt là trug điểm BC, AC, AB. T có AB ' B ' C AB '. B ' C AN AB '. B ' C AN Tươg tụ t có: CA'. A' B CM ; BC '. C ' A BP ( AB '. CA'. BC ')( B ' C. A' B. C ' A) ( AN. CM. BP) Th eo địh lí Cev thị: AB ' CA' BC '.. AB '. CA'. BC ' B ' C. A' B. C ' A B ' C A' B CA' c Vậy: AB '. CA'. BC ' AN. CM. BP 8 Vì, y, z, t có vi trò hư hu ê t có thể giả sử: y z t 9 y z t 8 89yzt yz yzt zt yt yzt t t 788 t t ( do 89 Với t = : Khi đó: 9 y z 89yz t Z ) y yz z yz z 788 z z z ( do 89 z Z ). Trg 6

48 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Bài : z =: t có: 9 y 98 89y y y y y ( do y Z ). Khi y = : : hôg có ghiệm guyê dươg trog trườg hợp ày Vậy phươg trìh đã cho hôg có ghiệm guyê dươg. Theo giả thiết ê hàm số có miề ác địh R. Vì f() ê f() đạt GTNN cùg một lúc với f () f () cos si (si cos ) si cos Đặt t cos si thì t si cos và t T có g(t) f () t t t Để tìm GTNN củ f() trê R t tìm GTNN củ g(t) trê đoạ, g(t) t t Nếu = thì ymi hi t Nếu > hi đó g(t) có đạo hàm với mọi t và g '(t) T có : g () > (t ) t t (t ) t t t t t t (t ) t t t t Vậy g (t) > t t (t ) t t t * Nếu thì g (t) > hi t > -. Chứg tỏ hàm g(t) đồg iế trê đoạ, Suy r g mi (t) g( ) * Nếu Trg 7

49 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Bài : Bài 6: t g'(t) - + g(t) Từ ảg iế thiê Kết luậ : Nếu thì Nếu g mi (t) g( ) f mi () thì f mi () u u u... u u u u... u. u uu... u u u u u S... u u u u u u lim S Với, y t : theo tíh chất, t có: f ( t ) 9 f ( t) 696.cos( t ) 969. cost () Với, y t : theo tíh chất, được: f ( t) 9 f ( t) 8.cos( t ) 8. si t () Với t, y : theo tíh chất, t có: f ( t) 9 f ( t ) f ( t ).cos () Từ (), () cho t: f ( t) f ( t ) 969.cos t 8. si t 9 Kết hợp với (), t được: f ( t) 969cos t 8si t 9 Như vậy hàm số cầ tìm là f ( ) 969cos 8si Trg 8

50 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Bài 7: ) Gọi ABC là thiết diệ qu trục củ hìh ó => ABC là tm giác đều. Thiết diệ cắt hìh cầu S theo đườg trò ội tiếp ABC tâm O á íh r, tiếp úc BC tại H. Tíh được BH r ; AH r. Tíh được V r, V V. r.r r V 9 ) T chứg mih cho trườg hợp có hìh cầu. mp(abc) cắt hìh cầu Stheo đườg trò gio tuyế tâm O, có á íh r mp(abc) cắt hìh cầu Stheo đườg trò gio tuyế tâm CM được r r và r r V V,..., V V T được cấp số hâ V ; V ;...; V với côg ội q O, có á íh r 8 r 8 V V V V r r V V... V 8 r 6 V. r V Hy V V... V ; N vậy ất đẳg thức cũg đúg với = 9 Tức là : V V... V9 V Trg 9

51 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh Kiê Gig Trườg THPT Huỳh Mẫ Đạt Câu : ( điểm ) Với là số guyê dươg t có: [ ] [ ] [ ]... [ ] = [ ] [ ] [ ]... [ ( ) ], [ ] [ ] [ ]... [ ( ) ] =..., = ( +) = +, Cho =,,,,- rồi lấy tổg từg vế củ các dẳg thức thu dược t có: [ ] [ ]... [ ] ( + + +(-) ) +++ +(-), ( )( ) ( ) = 6, ( )( ) ( ) =, = ( )( ) y 6, => ( )( ) 6 là số guyê y Do y là số guyê tố => y là ước củ một trog số:, -, +, M ;( );( ) = + => y => 6= ( )( ) ( ), y => -6 Do là số guyê tố => = v =, Với = => y = Với = => y =, Vậy t có các ghiệm guyê tố củ phươg trìh là: =, y = và =, y =, Câu : ( điểm ) T sẽ chứg mih mọi tm giác đều, cạh lớ hơ ằm trog hìh vuôg có cạh ằg đều chứ tâm hìh vuôg ở ê trog. Thật vậy, giả sử tồ tại một tm giác đều ABC với cạh = ằm ê trog hìh vuôg cạh mà hôg chứ tâm O củ hìh vuôg. (.) Khi đó tồ tại một cạh, chẳg hạ cạh AB so cho điểm O và tm giác ằm về hi phí củ cạh AB (em hìh vẽ). (.) Vẽ qu O đườg thẳg d sog sog với AB và từ C ẻ CK vuôg góc với d. Trg

52 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Gọi H là gio điểm củ CK và AB, t có CH < CK CO () (.) Vì C ằm trog hìh vuôg ê CO ). Do CH là đườg co củ tm giác đều cạh (độ dài ử đườg chéo hìh vuôg cạh là ê CH =. (.) Kết hợp với () suy r <, vô lý. (.) Vậy mọi tm giác đều, cạh lớ hơ ằm trog hìh vuôg có cạh ằg đều chứ tâm hìh vuôg ở ê trog. Tức là hi tm giác đề ài cho có điểm chug là tâm củ hìh vuôg. Câu : ( điểm ) Viết lại phươg trìh ày trog dạg y y y và áp dụg địh lí trê t có PT () có ghiệm guyê PT () su có ghiệm guyê y y y v () (.) PT () tươg đươg với v y () v y = (v y )(v + y) = (.) v y v y 7 (.) v y 7 v y Hi hệ phươg trìh trê vô ghiệm guyê, suy r PT () vô ghiệm, ê PT () hôg có ghiệm guyê. Áp dụg các địh lý su: Địh lí : Phươg trìh c với các hệ số guyê có ghiệm guyê hi c là số chíh phươg củ một số guyê ( là số chíh phươg). Địh lí : Phươg trìh hệ số gyuyê y cy d ey f có ghiệm guyê hi và chỉ hi cy d y ey f Câu : ( điểm ) là ìh phươg củ một số guyê.) C (. đ) o C (. đ) Vậy C () (. đ) Chú ý rằg ếu lẻ thì (. đ) Trg

53 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Cò ếu chẵ (= m) thì đ) Như thế từ() suy r đ) là số guyê dươg thì m. (. là số chẵ (. =,, (. đ) T có Lại có () (. đ) Do < < Vậy theo địh ghĩ phầ guyê từ () suy r Vì u = là số chẵ =,, ;do vậy từ () suy r () (. đ) =,, thì là số lẻ đó là đ.p.c.m. (. đ) Câu : ( điểm ) Trước hết t chứg mih hôg là giá trị cầ tìm. T phâ hoạch A thàh các lớp rời hu so cho các phầ tử trog mỗi tập hợp có thàh phầ cuối hư hu. Như vậy A được phâ hoạch thàh lớp mà mỗi lớp có phầ tử. Dãy u có 8 số hạg, t có 8 ê theo guyê lý Dirichlet trog dãy u có số hạg (hác hu) A, A cùg thuộc trog một lớp. T có 6 ê theo guyê lý Dirichlet trog 6 số hạg cò lại củ dãy u có số hạg (hác hu) A, A cùg thuộc trog một lớp. Thực hiệ tươg tự lầ mỗi lầ t thu được ết quả là số hạg cùg thuộc trog một lớp ( t có thể thực hiệ được vì 8 * ). T có số hạg hác hu củ dãy u : A, A, A, A,..., A, A. Lấy 6 phầ tử ất ì trog các số hạg trê, theo guyê lý Dirichlet có ít hất hi phầ tử cùg chug một lớp, mà theo cách ây dựg các lớp, hi phầ tử đó hôg thể có quá thàh phầ hác hu. Vậy hôg là giá trị cầ tìm. T chứg mih là số cầ tìm. 6 T tiếp tục phâ hoạch A thàh lớp rời hu: Bi : A i mod i,. Thấy rằg mỗi lớp ày đều có số phầ tử ằg hu và ằg 8, hơ ữ trog mỗi lớp hi phầ tử hác hu đều có ít hất hi thàh phầ hác hu. Theo guyê lý Dirichlet, với số hạg ất ì củ dãy u có ít hất 6 số hạg thuộc cùg một lớp. T thấy rằg hi số hạg ất ì trog số 6 số hạg ày đều có ít hất là hi thàh phầ hác hu. Vậy là số cầ tìm. Câu 6 : ( điểm ) Trg

54 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Mệh đề..7 Gọi f,..., , T chứg mih: () Nếu và thì f,..., 8 f,,,..., () Nếu.7 i i i i f,..., f,,,..., 8 8 thì () Nếu, thì f,..., mi{ f,,,...,, f,,,,..., } 8 8 i 8 T có f,..., 8 f,,,..., Theo BĐT Côsi, T chứg mih og được (). () Từ đẳg thức trê cho =, t có f,..., f,,,..., () Xét hi trườg hợp 8 8 thì sử dụg ết quả () t được 8 8 TH. Nếu.7 i i i i,...,,,,..., f f TH. Nếu.7 i i i i 8.7 i, i i i thì vì ê (thật vậy, 8 8 8, i i i i i i i i ) Do đó sử dụg ết quả () t có f,..., f,,...,,..., 8 i 8 Mệh đề được chứg mih og. Nó sẽ cho phép t đư ài toá về iế. Trg

55 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Mệh đề. T sẽ luô đư được ài toá về trườg hợp có 7 iế ằg hu và hôg lớ hơ. Thật vậy, Đư về trườg hợp có 7 iế hôg lớ hơ. Giả sử cò có hiều hơ iế lớ hơ, giả sử rằg đó là,. Khi đó sử dụg mệh đề,..., ởi ộ hác, vẫ có tích ằg () t luô có thể thy ộ 8 f f f,..., mi{,,,...,,,,,,..., } Su hữu hạ lầ 8 8 i 8 thy (hôg quá 7 lầ) t sẽ có được ài toá 7iế hôg lớ hơ. Đư 7 iế hôg lớ hơ về ằg hu. Giả sử... 7 là 7 iế có trug ìh hâ là. Nếu 7 iế ày chư ằg hu thì 7 và sử dụg mệh đề t có thể thy toà ộ 7 f,..., 8 f,,..., 8 Khi đó f hôg giảm và số iế tăg lê ít hất iế. 7 Và (vì là số dươg hỏ hất trog số,..., 7 ê ) do đó việc thy thế ày vẫ đảm ảo 7 iế hôg lớ hơ, điều đó cho phép việc thy thế đc thực hiệ liê tiếp. Su hữu hạ lầ thy thế t sẽ có 7 iế đuề ằg hu Đặt g( ) f,...,, g '( ) 7. T có 7 7 Cuối cùg, t giải ài toá iế, tức chứg mih f,,...,, f,..., 7 7 với (;] T thấy gy g( ) với (;] ê g( ) g() suy r điều phải chứg mih. Câu 7 : ( điểm ) Goïi J lø tâm mët càu, O lø tâm cuû hìh vuoâg ñùy. T coù JA (ABCD) SO (ABCD) Suy r SO // JA Goïi I lø hìh chieáu cuû J treâ SO thì : JI// AO vø AO (SBD) eâ : JI (SBD) møjk SB IK SB Goïi R lø ù íh mët càu tâm J treâ thì : JK = JA = R với Trg

56 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Trg Chöùg mih treâ cho :JA = IO =R; JI = OA = (.ñ) Tm giùc SBD cho : SO = BO SB Tm giùc SIK vø SBO ñoàg dïg eâ : SI IK SB BO SI IK (.ñ) T coù cùc hû êg su: / Neáu I thuoäc ñoï SO thì : SI = SO- OI = R (.ñ) / Neáu I ôû treâ phà oái døi veàphí S cuû OS thì : SI = OI OS = R (.ñ) / Neáu I ôû treâ phà oái døi veà phí O cuû OS thì : SI = OI + OS = R ()(.ñ) Tm giùc IKJ vuoâg tïi I cho : R = JK = JI +IK = SI (.ñ) Väy : Neáu I thuoäc ñoï SO hy I ôû treâ phà oái døi veà phí S cuû SO, t coù : () R R hy.r. )R ( Töø ñoù t ñöôïc : R = ) ( ) ( (.ñ) Neáu I thuoäc phà oái døi veà phí O cuû SO,t coù : () R R Töø ñoù t ñöôïc : R = ) ( ) ( (.ñ)

57 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh Log A Trườg THPT Lê Quý Đô Câu : ( điểm) Đặt f(t) = t + t -8 và g(t) = t + t thì hệ phươg trìh được viết lại: f ( ) g( y) f ( y) g( z) f ( z) g( ) Giả sử = m(, y, z) thì y g( ) g( y) (do hàm số g đồg iế ) z g( ) g( z) (điểm) g( ) f ( ) 8 g( z) f ( z) z z z z 8 ( điểm) ( )( 9) ( z )( z z 9) z Từ đó suy r: z z. Thế vào hệ phươg trìh t được y (, điểm) Thử lại t thấy: = y = z = thoả hệ phươg trìh. (, điểm) Kết luậ: Hệ phươg trìh có ghiệm duy hất = y = z = Câu : ( điểm) Đặt: EOF, GOH, KOD thì: OM R. cos, ON R.cos, OP R. cos. Do DOE FOG HOK 6, ê điểm O thuộc miề trog củ lục giác DEFGHK. Từ đó suy r: 9. (, điểm) Áp dụg địh lý hàm số cosi, t được: PM R cos R cos R cos.cos.cos 6 PM R cos R cos R cos.si( ).cos NP R cos R cos R cos.cos.cos 6 Suy r: NP R R cos R cos R cos.si( ).cos cos cos si( ). cos = cos cos si( ).si( ).cos( ) cos.cos( ( điểm) ) R ( điểm) Do đó PM = NP và chứg mih tươg tự t được NP = MN. Vì vậy tm giác MNP là tm giác đều. (, điểm) Câu : ( điểm) Trg 6

58 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Từ phươg trìh, t suy r : > 9 và y > 9 () y 9 y 7. 7 y y 7 y 7 y 9. y 9.y y (*) (,điểm) Nếu hôg là số chíh phươg thì là số vô tỉ. Khi đó (*) hôg thỏ. Do đó là số chíhphươg, suy r =, với N * Tươg tư : y =, với N *. (,điểm) Phươg trìh () trở thàh: 7 () Từ phươg trìh (), t suy r:, > 7. Đặt : = 7+m và = 7+ với m,n * Phươh trìh () được viết lại: 7 m 7 7 () () 7(+m+) = (7+m).(7+) m. = 7 (,điểm) Suy r: m =, = 7 = 8, = 6 = 6, y = 876 m = 7, = 7 =, = = 86, y = 86 m = 7, = = 6, = 8 = 876, y = 66 Thử lại, t được ghiệm trê đều thỏ phươg trìh đã cho. (,điểm) Câu : ( điểm) Xét phươg trìh 6 6 u u 6 Xét dãy số ( u) được ác địh hư su: u, u (,,,...) Chứg mih u, N Với = t có u (, điểm) u u 6 Giả sử u thì u Suy r: u, N (, điểm) Chứg mih u u, N Vậy u u, N u u 6 u u Dãy ( u) tăg và ị chặ trê ê có giới hạ hữu hạ. Gọi l limu thì: Trg 7

59 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 l l l 6 l (, điểm) l Chứg mih: u mi(, ) N Với = thì u mi(, ) Giả sử mệh đề đúg với =, tức là: u và u. Khi đó: 6 u u 6 u 6 u u 6 u u 6 u u mi(, ) Vậy Suy r: u mi(, ) N (, điểm) Xét dãy số ( v ) được ác địh hư su: Chứg mih tươg tự t được dãy ( ) v v 6 v, v (,,,...) v giảm và ị chặ dưới ởi ê có giới hạ và lim v. Bằg phươg pháp tươg tự t có: v m(, ) (, điểm) u v Từ các ết quả trê, t có: u v Vì limu limv ê lim lim lim (, điểm) Câu : ( điểm) T chi các điểm A, A,, A 6 thàh tập hợp hư su: B A, A, A, A, A, A B A, A, A, A, A, A B A, A, A, A, A, A i i i i i i i B A, A, A, A, A, A 6 ( điểm) T hậ thấy: +Với XBi và YB j, i j thì độ dài đoạ XY hác R +Số điểm tối đ có thể chọ r trog mỗi tập hợp B i so cho hoảg cách giữ hi điểm ất ỳ trog chúg hác R là. Vì thế số điểm tối đ có thể chọ r trog các điểm A, A,,A 6 để thàh lập đ giác với số cạh lớ hất là. ( điểm) Trg 8

60 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Bây giờ t ác địh số các tập hợp có phầ tử thoả mã yêu cầu ài toá. Do số cách chọ điểm trog mỗi B i là, ê số cách chọ điểm là. Từ đó, t được: = 768 ( điểm) Câu 6 : ( điểm) Cho y = thì: f ( ) f ( ) f ( ) f Đặt: g( ) f ( ) thì g( ) g Do g là hàm số chẵ ê t ét trê ;. Với t ét hi trườg hợp: i) Xét dãy số ( ) hư su: Gọi lim. () thì g liê tục. (, điểm) ; (,,, ) Vì, ằg qui ạp t được N T lại có: ( ) Từ đó suy r ( ) tăg và ị chặ trê ê có giới hạ hữu hạ l thì l l l Vậy lim Từ đó thế ởi,,, vào phươg trìh () t được ( điểm) g( ) g( ) g =g( )= g =g( )= =g( ). (, điểm) g()= lim g( ) g() ii) Xét dãy số ( ) ác địh hư su :, Sử dụg phươg pháp củ dãy truy hồi t được lim Do, ê thế ởi,,, vào phươg trìh () t được: Trg 9

61 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 g( ) g( ) g =g( )= g =g( )= =g( ). g()= lim g( ) g(). Từ đó suy r g( ) C, ; và do hàm số g chẵ ê g( ) C, R (, điểm) Suy r f ( ) C Thử lại hàm số f ( ) C thoả ài toá (, điểm) Câu 7 : ( điểm) Đặt M( m, m) Δ. Phươg trìh tiếp tuyế củ (E) tại A: A y A y hy A + y A y 6 = Tiếp tuyế ày qu M, ê: A ( m) + y A.m 6 = Tươg tự t cũg có: B ( m) + y B m 6 = ( điểm) Từ đó t được phươg trìh đườg thẳg AB là: ( m) + my 6 = ( điểm) Gọi K( o ; y o ) là điểm cố địh mà đườg thẳg AB luô đi qu thì: ( m) o + my o 6 = (y o - o )m + 8 o 6 = y Vậy đườg thẳg AB luô qu điểm cố địh K ; ( điểm) Trg 6

62 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Tỉh Sóc Trăg SỞ GD&ĐT SÓC TRĂNG Câu : ( điểm) Đặt u, v = y y (u,v ) log ( u ) Hệ phươg trìh trở thàh: (II) log ( v ) Giả sử (u ; v ) là một ghiệm củ hệ (II). Giả sử u v log ( u ) log ( v ) v u v u u v Tươg tự u v v u u v u log ( u ) v Do đó: (II) log ( v ) u v Đặt f ( ) log ( ), D=[;+ ) f '( ) l ( )l T lập ảg iế thiê củ f (): f "( ) l D v u ( ) l, đ, đ, đ + f () + f'() + l l Suy r phươg trìh f () = có ghiệm duy hất =. T lập được ảg iế thiê củ f() + f'() - + f(), đ Suy r phươg trìh f ( ) log ( ) () có hiều hất hi ghiệm, đ Mặt hác, t hậ thấy =, = là ghiệm củ phươg trìh (). Vậy phươg trìh () có đúg hi ghiệm là =, =.. đ Trg 6 f()

63 Tuyể tập các đề dự tuyể HSG Toá ĐBSCL lầ thứ 6 Suy r hệ (II) có hi ghiệm là (;) và (;) Suy r hệ phươg trìh đã cho có ghiệm: (; ), (; ), (; ), (; ), (; ), đ, đ Câu : ( điểm) A E I K O J B C Cách : Kẻ dây cug DE//AB T có BAD ADE, đ BD = AE, đ BE = AD, đ T cũg có ADE DAB DAC CD = AE, đ AC = DE, đ Gọi I, J lầ lượt là trug điểm củ AB và DE; K là gio điểm củ AD và BE. ABDE là hìh thg câ hoặc hìh chữ hật ê t có: I, J, K thẳg hàg, đ IJ vuôg góc với AB và DE, đ T có AD = AK + KD > AI + DJ = ½(AB+AC),7 đ AD > AB + AC, đ Cách : Gọi R là á íh đườg trò goại tiếp: A A Tá có: AD Rsi( B ) Rsi( C ) AB = RsiC, AC = RsiB A A B C AD R si( B ) R si( C ) R cos( ) B C B C AB AC R si C R si B R si cos Suy r AD > AB + AC D Câu : ( điểm) Giả sử ộ số guyê ( ; y ; z ) là ghiệm củ phươg trìh. Trg 6