A A i j, i i. Ta kiểm chứng lại rằng giá trị này không phụ thuộc vào cách biểu diễn hàm f thành tổ hợp tuyền tính những hàm ñặc trưng. =, = j A B.

Transcript

1 Produced wth a Tral Verso o PDF otator - Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN LEESGUE 2.. ðịh ghĩa tích phâ Lebesgue 2... Tích phâ cho hàm ñơ gả hôg âm Cho hôg ga ñộ ño ( XF,, µ ). Gả sử là hàm ñơ ga hôg âm xác ñịh trê. Kh ñó hôg âm. = vớ c χ F, = ( j ) j, = và c là các số thực = Tổg c µ ñược gọ là tích phâ của trê theo ñộ ño µ là. Kí hệu dµ hoặc. Như vậy = dµ c µ Ta ểm chứg lạ rằg gá trị ày hôg phụ thuộc vào cách bểu dễ hàm thàh tổ hợp tuyề tíh hữg hàm ñặc trưg. Thật vậy, gả sử = vớ j j j = d µ =, = j j j = ( j ) = = j = ( j ) Tươg tự ta có. Do các tập j = j = ( ) c ( ) c µ = c µ = µ j j j = = j = ( ) = d ( ) d µ µ j j j j j = j = rờ hau ñô một ê j = thì ta có j c µ = d µ j = j j thì j ( x ) = c trê và ( ) = j x d trê j. Suy ra c = d trê j j. Vậy c µ = d µ j = j j Trag 33

2 Produced wth a Tral Verso o PDF otator - Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Tích phâ cho hàm hôg âm, ño ñược Cho là hàm ño ñược hôg âm trê. Theo ñịh lí về cấu trúc hàm ño ñược, tồ tạ dãy hữg hàm ñơ gả ( ) sao cho 0 < + và lm = trê. Ta ñịh ghĩa tích phâ của hàm ño ñược hôg âm trê là lm d µ. Kí hệu là dµ và do ñó dµ = lm d µ Ta phả chứg mh gớ hạ lm dµ tồ tạ và ñược xác ñịh một cách duy hất hôg phụ thuộc vào cách chọ dãy hàm( ). Khẳg ñịh ày dựa vào 2 bổ ñề sau: ổ ñề Cho g, là ha hàm ñơ gả trê và 0 g. Kh ñó ổ ñề 2 Gả sử ( ),( ) lm =, dµ gdµ. g là ha dãy hàm ñơ sao cho 0 <, 0 g < g và + + lmg =. Kh ñó lm Tích phâ cho hàm ño ñược bất ì Cho là hàm ño ñược bất ì trê. sự phâ tích dµ = lm gdµ = vớ + = max {,0}, = m {,0 } hệu số dµ d µ có ghĩa (hôg có dạg ) thì ta ñịh ghĩa hệu trê là tích phâ của trê và vết là dµ = + dµ dµ. dµ là hữu hạ thì ta ó là hả tích trê. Nhậ xét Hàm hả tích trê h và chỉ h Trog trườg hợp X =R, = L, gọ là tích phâ Lebesque của hàm trê. Kí hệu là ( L) ( x ) dx hoặc ( x ) dµ ( x ) + và hả tích trê. µ = µ thì tích phâ ñược ñịh ghĩa hư trê ñược Trag 34

3 Produced wth a Tral Verso o PDF otator - Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Ví dụ () Cho, X F, xét hàm χ ( x) ( ) ( ) = χ x dµ =. µ + 0. µ X\ = µ. X () Gả sử là hàm Drchlet trê R, ta có Từ ñịh ghĩa tích phâ, ta suy ra () cdµ = cµ () αχ dµ = αµ ( ) () α χ dµ = α µ ( ) 2..4 ðều ệ hả tích ðịh lí () µ = 0 và ño ñược trê thì = 0 0 eáu x eáu x R = χ Q. Kh ñó, d µ = µ ( ) = Q 0 () Gả sử là hàm ño ñược, bị chặ trê và µ < + thì hả tích trê Chứg mh () Chứg mh = 0 ước Hàm ñơ gả, hôg âm = c χ vớ F =, = ( j ) j, =. Kh ñó, = = dµ c µ Do 0 µ µ = 0 ê µ =0 vớ =,2,...,. Do ñó dµ = c µ = 0 ước 2 Hàm ño ñược, hôg âm. = lm vớ là hàm ñơ gả thỏa 0 < vàlm = + trê. Trag 35

4 Produced wth a Tral Verso o PDF otator - Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Theo bước, ta có d µ = 0 vớ mọ. Suy ra ước 3 Hàm là ño ñược = lm = 0 + 0, 0, bị chặ trê ê theo bước 2 ta có = = 0. Suy ra = 0 () Chứg mh hả tích trê ước Hàm ñơ gả, hôg âm = c χ vớ F =, = ( j ) = j,. Kh ñó, = = dµ c µ Do µ µ < + vớ =,2,..., ê c µ là hữu hạ hay hả tích trê ước 2 Hàm ño ñược, hôg âm. = lm vớ là hàm ñơ gả thỏa 0 < vàlm = + trê. Do bị chặ ê có K > 0 sao cho ( x ) K x. Kh ñó 0 K trê. Theo bổ ñề, ta có K K µ = < + vớ mọ Do ñó lm K µ ê dµ K µ < + hay hả tích trê ước 3 Hàm là ño ñược + 0, 0, bị chặ trê ê theo bước 2 thì ñó, hả tích trê Các tíh chất sơ cấp của tích phâ Tíh cộg tíh Cho, F, = và là hàm ño ñược trê + và. Kh ñó hả tích trê. Do dµ = dµ + d µ (mễ một trog ha vế có ghĩa) Tổg quát,,..., là ño ñược và rờ hau thì 2 Trag 36

5 Produced wth a Tral Verso o PDF otator - Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Chứg mh Gả sử vế trá có ghĩa = = dµ d µ = ước Hàm ñơ gả, hôg âm trê = c χ vớ = E E F, E E = ( j j ), = E. Kh ñó, ( ( )) c ( E ) ( E ) d µ = c µ E = c µ E = µ = c ( E ) ( E ) ( ) ( ) = µ + µ = c µ E + c µ E = dµ + d µ = ước 2 Hàm ño ñược, hôg âm trê = lm vớ là hàm ñơ gả thỏa 0 < vàlm = + trê. Do ñó = lm = lm + = lm + lm = + ước 3 Hàm ño ñược trê + = = + + = = + Hệ quả tồ tạ d µ và, thì ếu hả tích trê. Chứg mh = ( \ ) và ( \ ) = F thì tồ tạ d µ. Hơ ữa, ếu hả tích trê. Trag 37

6 Produced wth a Tral Verso o PDF otator - Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Do ñó ếu tồ tạ d µ thì tồ tạ d µ. Ta cũg có dµ = dµ + d µ ê ếu d µ < + thì d µ < + hay hả tích trê. Hệ quả 2 \ µ =0 thì dµ = d µ Chứg mh = thì dµ = dµ + dµ = d µ thì = ( \ ). Suy ra dµ = dµ + dµ = d µ (do 0 µ ( \ ) µ = 0 ) \ Tíh bảo toà thứ tự Cho và g là ha hàm ño ñược trê. Kh ñó () và g là ha hàm tươg ñươg trê và tồ tạ d µ thì d µ = gd µ ðặc bệt, ếu =0 h. thì d µ = 0 () ðặc bệt, ếu Chứg mh () Do g trê và tồ tạ d µ, gd µ thì d µ gd µ 0 trê thì g trê ê tồ tạ d µ 0, µ =0 ñể = g trê \. Kh ñó dµ = dµ + dµ = 0 + gdµ = gdµ + gdµ = gd µ \ \ \ Trườg hợp =0 h. ghĩa là 0 trê ê dµ = d µ = 0 0 () ước Hàm và g là ha hàm ñơ gả hôg âm trê Trag 38

7 Produced wth a Tral Verso o PDF otator - Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Kh ñó, theo bổ ñề, ta có dµ gd µ ước 2 Hàm và g là ha hàm ño ñược hôg âm trê Kh ñó, tồ tạ ( ),( ) g là ha dãy hàm ñơ sao cho 0 <, 0 g < g + + và Do lm =, lmg = g. g trê ê có thể chọ ( ), ( ) g ñể g vớ mọ N Suy ra g vớ mọ N. Cho, ta ñược dµ gd µ ước 3 Hàm và g là ha hàm ño ñược trê Do g trê ê + + g và g trê. Theo bước 2, ta có + + g và g. Suy ra dµ = g g = gd µ Hệ quả hàm hả tích trê thì hữu hạ h. hắp Chứg mh { } { } ðặt = x : ( x ) = +, C x : ( x ) = = Trê ta có ( x ) = + ê ( x ) vớ mọ dµ dµ = µ N. Do ñó Suy ra µ dµ vớ mọ N. Mà d µ < + ê µ =0 Tươg tự, ta có µ =0 Hệ quả 2 C. Vậy ( C ) µ = 0 0 trê và d µ = 0 thì =0 h. Trag 39

8 Produced wth a Tral Verso o PDF otator - Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Chứg mh { } ( ) = x : x 0 = x : x =. Kh ñó = = ( ) Suy ra µ = Tíh tuyế tíh 0 = = + = µ \ hay µ =0 vớ mọ N. Do ñó, µ =0 hay =0 h. Cho và g là ha hàm ño ñược trê, c là hằg số. Kh ñó () cdµ = c d µ () ( + ) µ = µ + µ g d d gd (mễ là vế phả có ghĩa) Tổg quát Vớ,,..., 2 là các hàm ño ñược trê, ta có d µ = d µ = Chứg mh () Chứg mh cdµ = c d µ ước Hàm là hàm ñơ gả hôg âm trê. Hể hê ta có cdµ = c d µ ước 2 Hàm là hàm ño ñược hôg âm trê = lm vớ là hàm ñơ gả thỏa 0 < vàlm = + trê. c 0 thì c cũg ñơ gả thỏa 0 c < c + vàlmc = c trê. Theo bước, ta có cd µ = c d µ. Qua gớ hạ ta ñược cdµ = cd µ. ước 3 Hàm là hàm ño ñược trê =. Kh ñó 0 c thì ( ) + c c + = và ( ) c c =. Kh ñó Trag 40

9 Produced wth a Tral Verso o PDF otator - Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu 0 cdµ c dµ c dµ c dµ dµ c dµ = ( ) ( ) = = c < thì ( ) + c c = và ( ) c c + =. Kh ñó cdµ c dµ c dµ c dµ dµ c dµ = ( ) ( ) = = () Chứg mh ( + ) µ = µ + µ Tíh hả tích g d d gd (mễ là vế phả có ghĩa) Xem [] () tồ tạ d µ và d µ d µ () Hàm hả tích trê h và chỉ h hả tích trê () g h. và g hả tích trê thì hả tích trê (v) bị chặ trê và g hả tích trê thì g. hả tích trê Chứg mh () d d d d d ( ) µ = µ µ µ + µ = + dµ = d µ () ( ) Do hả tích trê ê, hả tích trê. Suy ra dµ = dµ + d µ < + hay hả tích trê ( ) + dµ d µ < + và dµ d µ < +. Suy ra, hả tích trê. Do ñó, hả tích trê. () Do g h. ê tồ tạ, µ = 0 sao cho g trê \ Suy ra = + g + 0 = g + g = g < + hay hả tích trê. \ \ \ Suy ra hả tích trê. (v) Do bị chặ trê ê tồ tạ M >0 ñể M. Suy ra Trag 4

10 Produced wth a Tral Verso o PDF otator - Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu g. = M g < + Suy ra g. hả tích trê và do ñó g. hả tích trê 2.3. Chuyể gớ hạ qua dấu tích phâ ðịh lí Lev ( ) là dãy hàm ño ñược hôg âm và ñơ ñệu tăg trê và Chứg mh lm d µ = d µ ước Dãy ( ) ñơ gả, hôg âm Theo ñịh ghĩa tích phâ, ta có lm d µ = d µ ước 2 Dãy ( ) ño ñược, hôg âm lm = thì Kh ñó, vớ mỗ tồ tạ dãy hàm ( ) g ñơ gả, hôg âm sao cho m ( ) lmg =. m m Vì ê có thể chọ + ( ) g ñể m g ( ) g ( + ) m m. Do ñó, vớ, ta có ( ) ( ) g g và ( ) ( ) g g Cho ta ñược ( ) lmg và ( ) lmg lm Cho ta ñược ( ) lmg và lm ( ) lmg lm Suy ra ( ) lmg = và do ñó lm = Trag 42

11 Produced wth a Tral Verso o PDF otator - Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Hệ quả ( ) u là dãy hàm ño ñược hôg âm trê thì u d µ = ud µ. Hơ ữa, ếu µ Chứg mh ud < + thì chỗ hàm u ( x ) hộ tụ h.. ðặt = u thì ( ) là dãy hàm ño ñược hôg âm và ñơ ñệu tăg trê và = lm u. Theo ñịh lí Lev, ta có lm dµ = ud µ Mặt hác = u = u ê udµ = lm dµ = lm udµ = ud µ = ud µ < + thì µ ud < + hay h. hay chỗ hàm ( ) = u x hộ tụ h.. u hả tích trê. Do ñó, u hữu hạ ðịh lí về sự hộ tụ ñơ ñệu ( ) là dãy hàm ño ñược, ñơ ñệu trê, lm = và hả tích trê thì Chứg mh TH: ( ) ñơ ñệu tăg Kh ñó, ( ) lm d µ = d µ là dãy hàm ño ñược, hôg âm, ñơ ñệu tăg trê và lm = ( ) Theo ñịh lí Lev, ta có lm ( ) = ( ) dµ d µ. Do hả tích trê ê suy ra lm d µ = d µ Trag 43

12 Produced wth a Tral Verso o PDF otator - Chươg 2. Tích phâ Lebesgue TH2: ( ) ñơ ñệu gảm Kh ñó, ( ) ñơ ñệu tăg và lm ( ) Chú ý ( ) là dãy hàm ño ñược, ñơ ñệu tăg trê, thì ta vẫ có lm d µ = d µ ổ ñề Fatou 0 vớ mọ Chứg mh N trê thì ðặt g = {,,...,, }. ( ) tăg trê và Ta lạ có ê soạ: Nguyễ Trug Hếu =. Theo TH, suy ra lm d µ = d µ lm lm lmg = lm. Theo ñịh lí Le v, ta có g ê lm g vớ mọ lm = và hả tích trê g là dãy hàm ño ñược hôg âm và ñơ ñệu gdµ = lmd µ N. Suy ra lm g lm. Do ñó, lm g lm Vậy lm lm g lm Nhậ xét () g vớ mọ N và g hả tích trê thì ta vẫ có lm lm () () g vớ mọ N và g hả tích trê thì ta vẫ có lm lm ðịh lí Lebesgue về sự hộ bị chặ g vớ mọ N, g hả tích trê và lm = (hầu hắp hoặc theo ñộ ño µ ) thì lm d µ = d µ. Trag 44

13 Produced wth a Tral Verso o PDF otator - Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Chứg mh TH lm = hầu hắp Do g ê g g vớ mọ g vớ mọ g vớ mọ N thì N thì N. lm lm lm lm Vậy lm lm lm lm Do lm = hầu hắp ê lm = lm = h.. Suy ra lm lm. Do ñó, lm d µ = d µ TH2 lm = theo ñộ ño µ Xét Do lm. Kh ñó tồ tạ dãy co ( ) ( ) µ trê ê sao cho lm = lm µ trê. Kh ñó, tồ tạ ( ) ( ) lm = h.. Theo TH, ta có µ = µ lm d d Mặt hác, lm dµ = lm = lm Do ñó, lm = d µ Tươg tự, ta có lm = d µ Vậy lm = lm = d µ và do ñó lm d µ = d µ Tíh σ - cộg tíh và lê tục tuyệt ñố của tích phâ ñể Cho ( XF,, µ ) là một hôg ga ñộ ño và : X R là hàm ño ñược và có tích phâ trê X. Trag 45

14 Produced wth a Tral Verso o PDF otator - Chươg 2. Tích phâ Lebesgue Xét hàm tập :F λ R ñược xác ñịh hư sau λ ( ) = dµ vớ F ðịh lí (Tíh σ - cộg tíh của tích phâ) ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Hàm tập λ có tíh σ - cộg tíh, ghĩa là vớ bất ì ( ) F rờ hau ñô một và ếu có = dµ (chẳg hạ 0 ) thì ta có = = = dµ dµ. có các tích phâ dµ và dµ < + thì ta cũg có = = = = dµ dµ. Chứg mh Gả sử 0 ñ ñược. ðặt = và = = thì là dãy tăg và = = =. Do ñó, lm = (). Ta chứg mh lm = = χ + χ = χ (2) \ 0 χ χ vớ mọ N. Thật vậy, vớ x, ta có + x thì x + x. Do ñó ( χ )( x ) = ( x ) = ( χ )( x ) thì ( χ )( x ) ( x ).0 0 ( χ )( x ) Ta cũg có lm χ =. Thật vậy, vớ = =. + = x 0. Kh ñó, vớ thì ê x 0 Suy ralm χ = 0 + x = ê tồ tạ N sao cho 0. Do ñó ( x ) ( x ) χ =. Theo ñịh lí Lev ta có lm χ =. Theo (2) ta có lm = (3). Trag 46

15 Produced wth a Tral Verso o PDF otator - Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Từ () và (3) ta có = dµ dµ = Trườg hợp tổg quát là hàm ño ñược bất ì trê. = = = = = = = = Chú ý () là hàm hôg âm trê thì λ là một ñộ ño trê F () Hàm tập λ ñược gọ là tích phâ bất ñịh của hàm () λ là một ñộ ño trê F thì ó là một ñộ ño sh bở hàm Ví dụ Cho E = 0, +), ( ) x x e =. Tíh E dµ E = 0,),2 )..., + )... =, + ) vớ, + ) hau ñô một. Do 0 trê E ê = 0 e dµ = dµ = e dµ = e = = 0 ) = 0 ) = 0 e + + là các tập rờ E,, ðịh lí (Tíh lê tục tuyệt ñố của tích phâ) là hàm hả tích trê thì vớ mỗ ε > 0, tồ tạ δ > 0 µ E < δ thì E Chứg mh dµ < ε Do 0 ê ta chỉ cầ chứg mh cho trườg hợp 0 sao cho vớ mọ E, Kh ñó, tồ tạ dãy hàm ( ) hữg hàm ñơ gả, hôg âm, ñơ ñệu tăg và lm = trê. Khôg mất tíh tổg quát, ta có thể chọ ( ) sao cho vớ mọ N. lm d µ = d µ. Do ñó vớ mỗε > 0, tồ tạ 0 N ñể ( ) ε < 0 2 Trag 47

16 Produced wth a Tral Verso o PDF otator - Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Vớ E, ta có ( ) ( ) ε = + + < + µ E E E E E Chọ δ = ε 2 0. Kh ñó ếu µ E < δ thì µ E < ε. Do ñó, 0 2 E ε ε < + = ε So sáh tích phâ Rema và tích phâ Lebesgue ðịh lí Cho : R vớ R là hìh hộp chữ hật ñóg và bị chặ Kh ñó, hàm hả tích Rema h và chỉ h là hàm bị chặ và lê tục h. ðịh lí Cho là hả tích Rema hìh hộp chữ hật ñóg và bị chặ. Kh ñó, hả tích Lebesgue trê và ( R ) ( ) = ( ) ( ) Chứg mh x dx L x dx Xét =, = Cha ñoạ = thàh 2 ñoạ bằg hau bở các ñểm cha = 0,,..,2. ( ) b a x = a + vớ 2 Kh ñó, tổg Darboux trê và Darboux dướ của hàm ứg vớ phâ hoạch trê là 2 b a Ω = M và 2 = 2 b a = m 2 = trog ñó M = sup và m = trê x, x 2 2 hay Ω = M ( x x ) và = m ( x x ) = Kh ñó lm lm ( R ) ( ) Ω = = x dx = I ðặt ( x ) = M và ( x ) m b a = = ếu x, ) x x Trag 48

17 Produced wth a Tral Verso o PDF otator - Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu Tạ x = b các hàm ày hậ gá trị β R tùy ý = Ω, =, + và + vớ mọ N Kh ñó, tồ tạ lm = và lm = trê Vì vớ mọ N ê h. Theo ñịh lí về sự hộ tụ ñơ ñệu, ta có lm = và lm = Cả ha gớ hạ trê tồ tạ và bằg I ê ( ) Do ñó = 0 h. Vậy = = = I = ( R ) ( ) Ví dụ Cho ( x) = = 0. Suy ra = = h.. b a x dx x + cos x eáu xlaøsoá voâ tæ =. 0 eáu xlaøsoá höõutæ Xét sự hả tích (L) và (R) của hàm ( ) tồ tạ ðặt ( ) x trê 0;. Tíh các tích phâ trog trườg hợp g x = x+ cosx, x 0; ta có g trê 0; Dog hả tích (R) ê hả tích (L). Suy ra hả tích (L) trê 0; L dx= L gdx= R gdx= x+ x dx= + s 2 ( ) ( ) ( ) ( cos ) 0; 0; 0; Hàm hôg hả tích (R) trê 0; vì tập các ñểm gá ñoạ của ó chứa tập các số vô tỉ thuộc 0;, tập ày có ñộ ño bằg 0 Trag 49

18 Produced wth a Tral Verso o PDF otator - Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu ÀI TẬP CHƯƠNG 2 { ε } 2. Cho là hàm hả tích trê, vớ mỗ ε > 0 ñặt x : ( x ε ) mh rằg µ ε < + =. Chứg 2.2 Cho g là hàm hả tích trê và hàm ño ñược trê thỏa ( ), Chứg mh rằg tồ tạ γ α, β sao cho E g = γ g 2.3 Cho là hàm ño ñược trê và = 0 vớ mọ E, E F = 0 h Cho là hàm ño ñược trê và µ ( ) <+. Chứg mh rằg ếu x α β h... Chứg mh rằg 2 hả tích trê thì hả tích trê.tìm ví dụ chứg tỏ rằg ếu bỏ gả thết µ ( ) <+ thì hẳg ñịh trê hôg ñúg. 2.5 Cho E = ( 0,), ñặt ( x) hưg lm 0 E 2.6 Cho ( x) 2.7 Cho ( ) eáu 0 < x < = 0 eáu x < µ. Chứg mh rằg 0 eáu x µ =. Chứg mh rằg 0 hưg lm 0 0 eáu x > R, là dãy hữg hàm ño ñược trê, ( ) µ <+. Gả sử ( ) ñều về trê.chứg mh rằg hả tích trê và lm d µ = dµ 2.8 Cho ( ) ( ) hộ tụ là dãy hữg hàm hả tích, hữu hạ trê, hộ tụ ñều về trê và µ <+. Chứg mh rằg hả tích trê và lm d µ = dµ 2.9 Cho ( ) là dãy hữg hàm ño ñược trê, µ < +. Chứg mh rằg µ 0 trê vớ 2.0 Tíh các gớ hạ sau N h và chỉ h lm = 0 + (a) 2 lm x dx Trag 50

19 Produced wth a Tral Verso o PDF otator - Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu (b) lm x+ xe + e x x dx { } 2.9 Cho là hàm hả tích trê, ñặt : ( ) lmµ = 0 2. Xét sự tồ tạ tích phâ và tíh các tích phâ (ếu có) = x x. Chứg mh rằg (a) ( x) s x eáu s x laø soá höõu tæ = cos x eáu cos xlaøsoá voâtæ. Tíh ( ) ( ) L x dx π 0; 2 (b) ( x) (c) ( x) x + eáu xlaøsoá voâ tæ = x + e eáuxlaøsoá höõutæ. Tíh ( ) ( ) L x dx 2 x eáu xlaøsoá voâ tæ > 3 3 = x eáuxlaøsoá voâ tæ < höõutæ. Tíh ( L) 3 ( x) dx 0, 0 eáuxlaøsoá höõutæ C sπ x eáu x 0, D 2 C x = cosπ x eáux, D trog ñó D là tập Cator. 2 0 eáux D (d) ( ) Tíh ( ) ( ) L x dx 0, 0, Trag 5

20 Produced wth a Tral Verso o PDF otator - Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu TÀI LIỆU THM KHẢO [] Lươg Hà, Gáo trìh lý thuyết ñộ ño và tích phâ, NX ðà Nẵg, 2004 [2] Nguyễ ðịh, Nguyễ Hoàg, Hàm số bế số thực, NX Gáo dục, 999 [3] Nguyễ Vă Khuê, Lê Mậu Hả, Cơ sở lý thuyết hàm và Gả tích hàm, NX Gáo dục, 998, [4] Hoàg Tụy, Hàm thực và Gả tích hàm, NX ðhqg Hà Nộ, Vệ Toá [5] Nguyễ ðịh, Nguyễ Ngọc Hả, Các ñịh lí và bà tập hàm thực, NX Gáo dục, 999 [6] ù ðắc Tắc, Nguyễ Thah Hà, à tập hôg ga tôpô - ðộ ño - Tích phâ, NX ðhqg Hà Nộ, 999 Trag 52