HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

Transcript

1 HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP GIẢI TÍCH Dùg cho sh vê hệ đào tạo đạ học từ a Lưu hàh ộ bộ HÀ NỘI - 6

2 HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP GIẢI TÍCH Bê soạ : Ts. VŨ GIA TÊ

3 LỜI GIỚI THIỆU GIAỈ TÍCH TOÁN CAO CẤP A là học phầ tếp tho các học phầ GIẢI TÍCH ĐẠI SỐ TOÁN CAO CẤP A A dàh cho sh vê ăm thứ hất thuộc các hóm gàh khố kĩ thuật. Gáo tìh à dùg làm tà lệu học tập cho sh vê đạ học vớ hìh thức đào tạo từ a. Gáo tìh được bê soạ tho chươg tìh qu địh ăm của Bộ Gáo dục- Đào tạo và tho đề cươg chươg tìh của Học vệ Côg ghệ Bưu chíh Vễ thôg phê duệt ăm 6 cho hệ đào tạo chíh qu. Ở Vệt am hìh thức đào tạo từ a tu đã tể kha và hâ ộg từ ăm a hưg vẫ cò khá mớ mẻ. Vớ cách học à đò hỏ gườ học phả làm vệc độc lập hều hơ lấ tự học tự ghê cứu là chíh. Do đó tà lệu học tập cụ thể là các gáo tìh phả được co là phươg tệ cơ bả và qua tọg hất. Các ếu tố tê được chúg tô chú ý kh vết gáo tìh à cụ thể là: Nộ dug được tìh bà gắ gọ chíh ác. Từ một số địh lí có chứg mh hằm è luệ tư du và củg cố kế thức cò hầu hết các địh lí đưa a được thừa hậ vớ mục đích áp dụg. Tươg ứg mỗ ộ dug kế thức đều có ví dụ mh họa hằm hướg gườ học hểu sâu sắc và bết cách áp dụg. Tog mỗ chươg đều có mục đích êu cầu và phầ tóm tắt ộ dug để gườ học dễ đọc dễ thuộc. Các câu hỏ mag tíh tắc ghệm cuố mỗ chươg là cơ sở đáh gá kế thức có được của gườ học về ộ dug chươg đó. Gáo tìh gồm 5 chươg tươg ứg vớ đơ vị học tìh 6 tết. Chươg.Phép tíh v phâ hàm số hều bế số. Chươg. Tích phâ bộ. Chươg. Tích phâ đườg và tích phâ mặt. Chươg. Lý thuết tườg. Chươg 5. Phươg tìh v phâ. Mặc dù cố gắg ất hều sog khôg táh khỏ các sơ suất về ộ dug cũg hư các lỗ về ấ loát chúg tô ất mog được sự góp ý kế và ất cám ơ về đều đó. Nhâ đâ chúg tô châ thàh cám ơ Ba Gám đốc Học vệ Côg ghệ Bưu chíh Vễ thôg Tug tâm Đào tạo Bưu chíh Vễ thôg đặc bệt Phòg Đào tạo Đạ học từ a và các bạ đồg ghệp đã tạo đều kệ độg vê gúp đỡ chúg tô hoà thàh gáo tìh à. Hà Nộ 7-6 Tác gả

4 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số CHƯƠNG. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ GIỚI THIỆU Phép tíh v phâ hàm số hều bế số là sự mở ộg một cách tự hê và cầ thết của phép tíh v phâ hàm số một bế số. Các bà toá thực tế thườg uất hệ sự phụ thuộc một bế số vào ha bế số hoặc hều hơ chẳg hạ hệt độ T của một chất lỏg bế đổ tho độ sâu và thờ ga t tho côg thức T t hệt lượg toả a tê dâ dẫ phụ thuộc vào đệ tở của dâ cườg độ của dòg và thờ ga dẫ đệ tho côg thức Q RI tv.v Vì vậ khảo sát hàm số hều bế số vừa mag tíh tổg quát vừa mag tíh thực tễ. Để học tốt chươg à goà vệc ắm vữg các phép tíh đạo hàm của hàm một bế số gườ học phả có các kế thức về hìh học khôg ga m [ ].Tog chươg à êu cầu gườ học ắm vữg các ộ dug chíh sau:. Các khá ệm chug của khôg ga chều. Mô tả được mề ác địh và đồ thị của hàm ha bế.. Phép tíh đạo hàm êg và v phâ toà phầ. Nắm vữg các qu tắc tíh đạo hàm êg tê cơ sở tíh đạo hàm của hàm một bế. Côg thức tíh đạo hàm êg của hàm số ẩ. Côg thức v phâ toà phầ và bết cách áp dụg vào phép tíh gầ đúg.. Nắm vữg khá ệm và cách tíh đạo hàm tho hướg. Gả thích được đạo hàm êg tho các bế chíh là đạo hàm tho hướg các tục O O O.. Bà toá tìm cực tị. Qu tắc tìm cực tị tự do phươg pháp hâ tử Lagag. NỘI DUNG.. Các khá ệm chug... Khôg ga chều * Ta đã bết mỗ đểm tog khôg ga chều được đặc tưg hoà toà bở bộ số là tọa độ Dscats của ó: là hoàh độ là tug độ và là cao độ. Tổg quát hư sau: Mỗ bộ có thứ tự số thực... gọ là một đểm chều. Kí hệu M... có ghĩa là đểm chều M có các toạ độ.... Tập các đểm M... gọ là khôg ga Eucld chều. Kí hệu tập à là. * Cho M... N.... Gọ khoảg cách gữa M và N kí hệu dm N là số thực tíh tho côg thức:

5 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số d M N... Tươg tự hư tog đểm A B C bất kỳ tog ta hậ được bất đẳg thức tam gác tog ta có: d A C d A B d B C * Cho M... và. Tức là vớ ε >. Tập Ω ε M { M :dmm <ε} gọ là ε - lâ cậ hoặc lâ cậ bá kíh ε của M hoặc hìh cầu mở tâm M bá kíh ε H..a. * Cho E. Đểm M E gọ là đểm tog của E ếu có Ω E ε > Ω ε M. Đểm N gọ là đểm bê của E ếu bất kỳ M đều chứa hữg đểm thuộc E và đểm ε khôg thuộc E >. Tập E gọ là mở ếu mọ đểm của ó đều là đểm tog gọ là đóg ếu ó chứa mọ đểm bê của ó. Tập các đểm bê của E kí hệu E E đóg ký hệu E và có E E E H..a. * Tập E gọ là bị chặ ha gớ ộ ếu hư tồ tạ số N sao cho E Ω N. ε. Bao đóg của E ha tập * Tập E gọ là lê thôg ếu mỗ cặp đểm M M tog E đều được ố vớ hau bở một đườg cog lê tục ào đó ằm tọ tog E. Tập lê thôg E gọ là đơ lê ếu ó bị gớ hạ bở một mặt kí một đườg cog kí tog ; một mặt cog kí tog H..a. Tập lê thôg E gọ là đa lê ếu ó bị gớ hạ bở từ ha mặt kí tở lê ờ hau từg đô một H..b. Ví dụ : Xét các tập sau tog Gả:. { : < } A { } B và A { : } - đườg tò tâm O bá kíh { : } tò kể cả bê. A là các tập lê thôg B khôg lê thôg gồm đểm ờ ạc. A - hìh

6 A B là các tập gớ ộ... Địh ghĩa hàm hều bế số Cho D. Gọ áh ạ: f : D R Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số khôg gớ ộ cả mặt phẳg. Ha là M... D u f M f... là một hàm số của bế số ác địh tê D. D gọ là mề ác địh của hàm số f; gọ là bế số phụ thuộc.... Mề ác địh của hàm hều bế số... là các bế số độc lập cò u Ngườ ta qu ước: Nếu cho hàm số u fm mà khôg ó gì về mề ác địh D của ó thì phả hểu ằg mề ác địh D của hàm số là tập hợp các đểm M sao cho bểu thức fm có ghĩa. Mề ác địh của hàm số thườg là tập lê thôg. Sau đâ là một số ví dụ về mề ác địh của hàm số bế số bế số. Ví dụ : Tìm mề ác địh của các hàm số sau và mô tả hìh học các mề đó: a Gả: b l c u 9 a. Mề ác địh là tập sao cho ha. Đó là hìh tò đóg tâm O bá kíh bằg H..a. Hìh tò đóg à có thể mô tả bở hệ bất phươg tìh: b. Mề ác địh là tập thoả mã > ha > -. Đó là ửa mặt phẳg có bê là đườg - H..b. Nửa mặt phẳg à được mô tả bở hệ bất phươg tìh: < < < < c. Mề ác địh là tập thoả mã < 9 bá kíh bằg H..c. Hìh cầu mở à mô tả bở hệ bất phươg tìh: < < Đó là hìh cầu mở tâm O 5

7 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số... Ý ghĩa hìh học của hàm ha bế số Cho hàm bế f vớ D. Tập các đểm 6 vớ f gọ là đồ thị của hàm số đã cho. Như thế đồ thị của hàm bế thườg là một mặt cog tog khôg ga chều. Đồ thị của hàm số mô tả một cách tực qua hàm số thể hệ được ý ghĩa hìh học của hàm số. Dướ đâ ta ét các mặt cog đặc bệt và đơ gả thôg dụg tog toá học và ứg dụg. A. Mặt phẳg: Mặt phẳg là đồ thị của hàm ha bế tuế tíh ó cách khác phươg tìh mặt phẳg có dạg: A B C D tog đó A B C >. Chẳg hạ C có D A B hàm số à ác địh tê. C B. Ellpsod Ellpsod là mặt cog phươg tìh chíh tắc của ó có dạg H.. a b c Đâ là hàm ha bế cho dướ dạg khôg tườg mh dạg ẩ. Hàm số là đa tị. Chẳg hạ co là bế phụ thuộc vào và thì mề ác địh là hìh llps có các bá tục a và b: a b

8 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số Kh a b c R ta có mặt cầu tâm gốc toạ độ và bá kíh là R: R C. Paabolod llptc Phươg tìh chíh tắc của paabolod llptc có dạg H..: a b Mề ác địh của hàm số tê là. Kh a b tức là phươg tìh có dạg: a Gọ đó là paabolod tò oa. D. Mặt tụ bậc * Mặt tụ llptc H..5 có phươg tìh chíh tắc: a b * Mặt tụ hpbolc H..6 có phươg tìh chíh tắc: a b * Mặt tụ paabolc H..7 có phươg tìh chíh tắc: 7

9 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số E. Mặt ó bậc p Phươg tìh chíh tắc của mặt ó có dạg H..8 a b c..5. Gớ hạ của hàm số hều bế số Khá ệm gớ hạ của hàm số hều bế số cũg được đưa về khá ệm gớ hạ của hàm một bế số. Ở đâ một bế số đóg va tò là khoảg cách dm M gữa ha đểm M và M tog khôg ga. Để đơ gả tog cách vết chúg ta ét tog khôg ga chều. * Nó ằg dã đểm M dầ đế đểm M ; kí hệu M M kh lm ếu lmd M M ha là lm * Cho hàm f ác địh ở lâ cậ M có thể từ đểm M. Ta ó ằg hàm fm có gớ hạ là l kh M dầ đế M ếu mọ dã đểm M thuộc lâ cậ dầ đế M ta đều có: Thườg kí hệu lm M M lm f l f M l ha lm f l Sử dụg gô gữ " ε δ " có thể địh ghĩa hư sau: Hàm số fm có gớ hạ l kh M ếu ε > δ > : < d M M < δ f M l < ε M Chú ý:. Tất cả các khá ệm gớ hạ vô hạ hoặc các địh lí về gớ hạ: tổg tích thươg đều gốg hư hàm số một bế số.. Từ địh ghĩa ta hậ thấ: Gớ hạ l của hàm số f kh M M khôg phụ thuộc đườg đ của M tế đế M vì thế ếu chỉ a ha đườg đ của M tế đế M mà f M tế đế ha gá tị khác hau thì hàm số khôg có gớ hạ tạ M. Ví dụ : Tìm các gớ hạ a. lm b. lm c. lm Gả: a. Ta có d M O ε > δ ε kh < < δ < δ < δ ε 8

10 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số Vậ lm b. Cho M O tho đườg C C cost hằg số C thì C lm C C phụ thuộc vào C. Tho chú ý.su a hàm khôg có gớ hạ. chứg tỏ dã gá tị hàm có gớ hạ khác hau c... Tươg tự a. su a lm..6. Sự lê tục của hàm số hều bế số A. Địh ghĩa * Hàm số fm ác địh tê mề D và M D. Ta ó ằg hàm số fm lê tục tạ M ếu lm f M f M. M M * Hàm số fm ác địh tê mề D. Nó ằg hàm số lê tục tê mề D ếu ó lê tục tạ mọ đểm M D. * Hàm số fm lê tục tê mề đóg D ếu ó lê tục tê mề D và lê tục tạ mọ đểm N D tho ghĩa lm f M f N M D. M N * Nếu đặt Δ f f Δ Δ f gọ là số ga toà phầ của hàm số tạ thì hàm số f lê tục tạ ếu hư Δf kh Δ và Δ. B. Tíh chất Hoà toà tươg tự hư hàm một bế số ta có tíh chất qua tọg sau đâ: Địh lý.. Nếu f lê tục tog mề đóg D gớ ộ thì ó đạt gá tị lớ hất và gá tị bé hất tog mề D tức là:.. Đạo hàm và v phâ... Đạo hàm êg f M f M f M M D M D để có bất đẳg thức kép: M D Cho hàm số u f ác địh tog mề D và M D. Tha vào hàm số đã cho sẽ hậ được hàm số một bế số u f. Nếu hàm số à có đạo hàm tạ thì đạo hàm đó được gọ là đạo hàm êg của f đố vớ tạ M và kí hệu hư sau: u f u ha ha f ha 9

11 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số Đặt Δ f f Δ f gọ đó là số ga êg của hàm f tho bế tạ và ta có: f Δ lm f Δ Δ Tươg tự ta có địh ghĩa đạo hàm êg của hàm số đố vớ tạ M và ký hệu: u f u f Chú ý: Có thể chuể toà bộ các phép tíh đạo hàm của hàm một bế số: cộg từ hâ cha sag phép tíh đạo hàm êg. Ví dụ : Tíh đạo hàm êg sau: / a. u u u. b. u > u u. c. u actg u u u. Gả: a. u u 6 u u. b. u u l c. u actg u u actg actg... V phâ toà phầ A. Địh ghĩa * Cho hàm số u f ác địh tog mề D chứa. Nếu số ga toà phầ của hàm số tạ ứg vớ số ga Δ Δ của các đố số có dạg: Δ f A. Δ B. Δ α. Δ. Δ. β tog đó A B là hữg số chỉ phụ thuộc vào cò α β dầ đế kh M M tức là kh.

12 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số Δ Δ thì ó ằg hàm số f khả v tạ M cò bểu thức A. Δ B. Δ được gọ là v phâ toà phầ của hàm số tạ M và kí hệu là df ha du. Như vậ df D. A. Δ B. Δ * Hàm số u f được gọ là khả v tog mề D ếu ó khả v tạ mọ đểm của mề B. Đều kệ cầ của hàm số khả v Địh lý.. Nếu f khả v tạ thì lê tục tạ đó. Từ. su a Δf kh Δ Δ. Địh lý.. Nếu f khả v tạ thì hàm có các đạo hàm êg tạ và A f B f. Chứg mh: Từ. su a: Vậ Δ f Δ Δ f A α B β Δ f A f B chứg tỏ df f Δ f Δ. C. Đều kệ đủ của hàm số khả v Địh lý.. Nếu hàm số u f có các đạo hàm êg f f lê tục tạ M thì f khả v tạ M. Chứg mh: Ta có Δ f f Δ Δ f [ f Δ Δ f Δ ] [ f Δ f ] Áp dụg côg thức số ga hữu hạ côg thức Lagag cho hàm một bế số f tạ lâ cậ và f ở lâ cậ sẽ hậ được: f Δ Δ f Δ f Δ Δ Δ θ f Δ f f Δ Δ θ Tog đó < θ < < θ < Cũg tho gả thết f f lê tục tạ ê: f θ Δ Δ f α Δ Δ f θ Δ f β Δ Δ Tog đó α β kh Δ Δ. Từ đó hậ được:

13 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số Δf f f Δ Δ αδ βδ chứg tỏ hàm số khả v tạ. Nếu ét các hàm số h và g tog dh d. dg d. thì õ àg: Vậ v phâ toà phầ của hàm số f tạ có thể vết dướ dạg: df f d f d. D. Ý ghĩa của v phâ toà phầ Nếu hàm số f khả v tạ thì õ àg: Δf df αδ βδ αδ βδ Vì ằg α β Δ Δ kh Δ Δ. Su a df khác số ga toà phầ f một vô cùg bé có bậc cao hơ vô cùg bé ρ Δ Δ kh Δ Δ. Vậ vớ Δ Δ khá bé sẽ hậ được: Δ f df. Côg thức. thườg được sử dụg để tíh gầ đúg gá tị của hàm số. Chú ý: Tíh khả v của tổg tích thươg ha hàm cũg gốg hư hàm một bế số. Ví dụ 5: Thực hệ phép tíh v phâ các hàm số: a. Cho f cos tíh df π vớ Δ Δ. b. Cho f Gả:. Tíh df. π a. f cos s π f f s π f π π π df.... b. f f {[ ] d [ ] d} df.

14 Ví dụ 6: a. Tíh gầ đúg Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số 5 actg. 97 b. Một hìh tụ bằg km loạ có chều cao h cm và bá kíh đá cm. Kh óg lê h và ở thêm các đoạ Δh Δ cm. Hã tíh gầ đúg thể tích hìh tụ kh óg lê. Gả: a. Ta vết actg actg. Xét hàm số f actg 5 Rõ àg actg f Δ Δ tog đó Δ 5 và Δ-. 97 Áp dụg côg thức ấp ỉ. ta có: f Δ Δ f df f f.5 f. f f π f Δ Δ actg b. Ta có V Áp dụg côg thức.: π π h V πh Vh V Δ h Δh π h πhδ π Δh π.. π... π.. π.76 cm Chứg tỏ sa số tuệt đố khôg quá cm π 7π π và sa số tươg đố khôg quá.... Đạo hàm êg cấp cao Đạo hàm êg cấp ha của một hàm là đạo hàm êg các đạo hàm êg cấp một của ó. Hàm ha bế f có đạo hàm êg cấp ha sau đâ: f f f f f f f f f f f f ha Hoà toà tươg tự ta cũg có các địh ghĩa đạo hàm êg cấp cao hơ của hàm hều bế hơ. Ví dụ 7: Tíh các đạo hàm êg f f f bết f.

15 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số Gả: f f f f f f 8 Nhậ ét: Tog ví dụ tê có f f. Địh lý.5schwa. Nếu f có các đạo hàm êg hỗ hợp f và f tog lâ cậ Ω M và lê tục tạ M thì các đạo hàm hỗ hợp bằg hau tạ M : δ f M f. M Chứg mh: Lấ t s đủ bé. Lập các hàm số sau đâ tog lâ cậ M : g f t f h f s f Rõ àg g s g h t h Áp dụg địh lý Lagag cho hàm g tạ hậ được: g s g s. g θ s s [ f t θ s f θ s] Tếp tục áp dụg địh lý Lagag cho hàm θ s tạ hậ được: f g s g stf θ t θ s Hoà toà tươg tự cũg có: h t h stf γ t γ s Cho t s do tíh lê tục hậ được f f Chú ý: Địh lý tê cũg mở ộg cho các đạo hàm cấp cao hơ và hàm hều bế hơ.... V phâ cấp cao Ta hậ thấ df f d f d cũg là một hàm số của ê có thể ét v phâ của ó. Nếu df khả v thì v phâ của ó gọ là v phâ cấp ha của f kí hệu d f d df và ó ằg f khả v đế cấp tạ. Tổg quát v phâ cấp ếu có sẽ kí hệu: d f d d f Côg thức v phâ cấp hư sau: d f f f f f d df d d d d d f d f f f dd d

16 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số Gả sử các đạo hàm êg hỗ hợp lê tục tho địh lý Schwa ta có: d f f f f d d dd. Ngườ ta dùg kí hệu luỹ thừa tượg tưg để vết gọ hư sau: df d d f Tổg quát có d f d d f Đạo hàm của hàm số hợp Cho D và các áh ạ :D f: D Áh ạ tích f : D cụ thể là u f M M D M Để cho đơ gả sau đâ ta ét m kh đó hàm hợp f Địh lý.6. Cho u f vớ s t; s t thoả mã: m m gọ là hàm số hợp. Các bế tug ga s t s t có các đạo hàm êg cấp tạ a b f khả v tạ đểm a b a b. ác địh tê mề phẳg D Kh đó hàm hợp u us t có đạo hàm êg cấp tạ a b tíh tho côg thức: u u u s s s u u u t t t Côg thức.6 có thể vết dướ dạg ma tậ: s s t t u u u u s t s t s t.6 được gọ là ma tậ Jacob của đố vớ t s; cò địh thức của ma tậ à gọ là địh thức Jacob của đố vớ t s ha Jacoba của đố vớ t s và ký hệu: 5

17 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số 6 t s t s t D s D.7 Ví dụ 8: Tíh các đạo hàm êg l t s st u. Gả: l... l t s s t s t s t s u st l... l t s t t s s t s t u st. Ví dụ 9: Cho u. Chứg mh Δ u u u u. Gả: Nhậ ét: hàm số u đố ứg vớ. Do đó ta chỉ cầ tíh u sau đó tha bở và... u u 5.. u Su a 5 Δ u. Chú ý: Nếu u f kh đó u là hàm số hợp của một bế. Do vậ gườ ta đưa a khá ệm đạo hàm toà phầ và côg thức tíh sẽ là: f f d du V phâ của hàm hợp Xét hàm hợp u f s t s t. Nếu hàm hợp có các đạo hàm êg t u s u lê tục thì ó khả v và ta có: dt t u ds s u du Bâ gờ ta bểu dễ du qua bế tug ga tho côg thức.6 có: dt t u t u ds s u s u du

18 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số u u ds dt ds dt s t s t u u d d. Như vậ dạg của côg thức v phâ cấp khôg đổ dù là các bế độc lập ha là hàm của các bế s t. Tíh chất à gọ là tíh chất bất bế dạg của v phâ cấp. Chú ý: Cũg hư hàm một bế số v phâ cấp cao khôg có tíh bất bế dạg...7. Đạo hàm của hàm số ẩ A. Hàm ẩ một bế Cho một hệ thức gữa ha bế dạg: F.8 tog đó F là hàm ha bế ác địh tog mề mở D chứa và F. Gả sử ằg δ δ sao cho D và F. Hàm số gọ là hàm ẩ của ác địh bở phươg tìh.8. Địh lý.7. Nếu F thoả mã các đều kệ: F lê tục tog lâ cậ Ω M và FM. Các đạo hàm êg δ F F F lê tục và tog lâ cậ Ωδ M thì phươg tìh.8 ác địh một hàm ẩ khả v lê tục tog khoảg ε và ta có: d d F F 7 ε.9 Chú ý: Để hậ được côg thức.9 chúg ta chỉ vệc lấ v phâ vế của.8 tog đó có và áp dụg tíh bất bế của dạg v phâ cấp. có: Thật vậ df ha F d Fd ha F. F. Từ đó su a.9. Ví dụ : Tíh bết s π Gả: Lấ đạo hàm toà phầ ha v phâ và co là hàm của ha vế của phươg tìh đã cho s cos. Tha vào phươg tìh hàm ẩ hậ được: π s. Dùg phươg pháp đồ thị gả phươg tìh à hậ được ghệm Vậ π sπ cosπ. Ví dụ : Tíh π. bết actg π.

19 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số Gả: Lấ đạo hàm toà phầ ha vế co Lấ đạo hàm tếp ta có B. Hàm ẩ ha bế. 5 Địh lý.8. Cho phươg tìh hàm ẩ F và F thoả mã các đều kệ: F lê tục tog hìh cầu mở Ω M và FM F ; Các đạo hàm êg δ F F F lê tục và F tog hìh cầu Ω M δ Kh đó phươg tìh hàm ẩ ác địh một hàm ẩ có các đạo hàm êg lê tục tog lâ cậ Ω đồg thờ: ε F F. F F Tươg tự hư địh lý.7. ta khôg chứg mh địh lý à. Cũg hư tog tườg hợp hàm ẩ một bế để tíh các đạo hàm êg cũg hư v phâ của hàm ẩ ta lấ v phâ toà phầ ha vế của phươg tìh hàm ẩ sau đó đ tìm d Ví dụ : Cho. Co là hàm số ẩ hã tíh Gả: Lấ v phâ toà phầ phươg tìh hàm ẩ sẽ có: d d d d d d d d d - d - d d [ d d]. d. 8

20 ..8. Đạo hàm tho hướg. Gađê Gadt Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số A. Địh ghĩa: Cho u ác địh tê mề D và 9 M D một hướg được đặc tưg bở véc tơ có véc tơ đơ vị cosα cosβ cosγ tức là: α O β O γ O. Ngườ ta gọ cos α cos β cosγ là các côs chỉ phươg của. Rõ àg cos α cos β cos γ. H..9 Lấ M D sao cho M M ρ lập tỉ số Δu u M u M ρ ρ Nếu tỉ số tê có gớ hạ hữu hạ kh ρ thì gớ hạ ấ được gọ là đạo hàm của hàm u um tho hướg tạ M và kí hệu là M tức là: u M u M u lm M ρ ρ Chú ý:. Cũg gốg hư ý ghĩa của đạo hàm có thể co ằg đạo hàm tho hướg bểu thị tốc độ bế thê của hàm um tho hướg.. Nếu có hướg của tục O thì. Gả sử M thì M ρ kh đó: u u ρ u u M lm M ρ ρ Chứg tỏ các đạo hàm êg O O. B. Côg thức tíh u u u là đạo hàm của hàm u tho hướg của các tục O

21 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số Địh lý.9. Nếu hàm số u khả v tạ M và bất kỳ có các côs chỉ phươg cos α cosβ cosγ thì: Chứg mh: u u u u M M cosα M cosβ M cosγ Tho ý ghĩa của hàm khả v ta có: Δ u u M u M u M Δ u M Δ u M Δ o ρ tog đó o ρ là VCB bậc cao hơ ρ kh ρ. Mặt khác Δ ρ cos α Δ ρ cosβ Δ ρ cosγ su a: u o ρ u Mcos α u Mcos β u Mcosγ. ρ ρ Chuể qua gớ hạ kh ρ sẽ có. C. Gađê Cho u có các đạo hàm êg tạ M D.. Gọ véc tơ u M u M u là gađê của hàm u tạ M và kí hệu là gad um. M gad u M u M u M u M u M u M j u M k. tog đó j k là các véc tơ đơ vị của các tục O O O. D. Lê hệ gữa gađê và đạo hàm tho hướg. Địh lý.. Nếu um khả v tạ M thì tạ đó có: u ch gadu.. Chứg mh: Ta có cosα cosβ j cosγ k ê. có thể vết hư sau: u M gad u M. gad u M cosθ tog đó θ là góc gữa ha véc tơ và gad um mà gad u cosθ ch gad u. Vậ hậ được côg thức. M M

22 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số u Chú ý: Từ. su a ma M gad u M kh cos θ tức là cùg phươg vớ gad um chứg tỏ gad um cho ta bết phươg tho ó tốc độ bế thê của u tạ M có gá tị tuệt đố cực đạ. Ví dụ : Cho u M - -. u Tíh gad um và M. Gả: u u u Vậ gad u u Cực tị của hàm hều bế... Cực tị tự do A. Địh ghĩa và đều kệ cầ của cực tị Đểm M gọ là đểm cực đạ địa phươg của hàm fm ếu có lâ cậ đủ bé của M để tog lâ cậ đó từ M ả a bất đẳg thức fm < fm đâ. Tươg tự ta có khá ệm đểm cực tểu địa phươg của hàm số fm. Đểm M tog các tườg hợp tê gọ chug là đểm cực tị. Tươg tự hư địh lý Fmat đố vớ hàm một bế số ta có đều kệ cầ của cực tị dướ Địh lý.. Nếu f đạt cực tị tạ M và có các đạo hàm êg tạ đó thì các đạo hàm êg bằg. Chứg mh: Gả sử f đạt cực tị tạ. Tho địh ghĩa su a hàm một bế f đạt cực tị tạ f đạt cực tị tạ. Tho địh lý Fmat ta có: df d df d f ha f ha Chú ý: Đểm mà tạ đó các đạo hàm êg bằg khôg gọ là đểm dừg của hàm số. Như vậ đểm dừg chưa chắc là đểm cực tị. Chẳg hạ u có đểm dừg là hưg tog bất kỳ lâ cậ ào của gốc toạ độ đều có các đểm và để f > và f < lấ > > <. f B. Đều kệ đủ của cực tị > f

23 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số Tog thực tế thườg gặp hàm ha bế f và để tìm cực tị của ó gườ ta thườg sử dụg địh lí sau đâ co hư là đều kệ đủ để hàm đạt cực tị. Ta khôg chứg mh địh lý à. Địh lý.. Gả sử f có đạo hàm êg cấp ha lê tục tạ lâ cậ đểm dừg và gọ: f f f A B C và Δ B AC Nếu Δ > thì hàm số khôg đạt cực tị tạ Nếu Δ thì chưa kết luậ gì được về Nếu Δ < thì hàm số đạt cực tị tạ Cụ thể đạt cực đạ ếu A < đạt cực tểu ếu A >. Ví dụ : Xét cực tị của hàm số Gả:. Nhậ ét: Hàm số khả v mọ cấp tê * Tìm đểm dừg: * Nhậ được ba đểm dừg: A Δ 6 Δ Nhậ thấ. 6 ta có thể áp dụg địh lý.. B C Vớ thì < vớ > Vớ - thì >.. Như vậ tog bất kỳ lâ cậ ào của gốc toạ độ ta luô tìm được các đểm tìm được để hàm đổ dấu chứg tỏ hàm khôg đạt cực tị tạ Δ Δ < và A A- - >. Vậ hàm đạt cực tểu tạ và - - Gá tị cực tểu là

24 ... Cực tị có đều kệ A. Địh ghĩa và đều kệ cầ Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số Đểm M gọ là đểm cực đạ của hàm số f vớ àg buộc hoặc có đều kệ ếu thoả mã M đồg thờ tồ tạ lâ cậ đủ bé của M tê đườg cog àg buộc tog lâ cậ đó có bất đẳg thức fm<fm hư sau: Tươg tự ta có khá ệm đểm cực tểu của hàm số vớ àg buộc Để đơ gả bà toá tìm cực tị của hàm ha bế vớ đều kệ được kí hệu tf Tog đó t là vết tắt của từ tmum ghĩa là cực tị..5.6 Địh lý.. Gả sử M là đểm cực tị có đều kệ của hàm số f vớ đều kệ.6 và thoả mã: Các hàm f và có các đạo hàm êg cấp lê tục tog lâ cậ của M của đườg cog àg buộc.6 M khôg phả là đểm dừg của hàm. Kh đó tồ tạ số thực λ thoả mã hệ phươg tìh: f f λ λ.7 Chú ý: Hàm số L λ f λ được gọ là hàm Lagag và λ được gọ là hâ tử Lagag. Như vậ vớ đều kệ cho phép ta sẽ đ tìm đểm dừg λ của hàm Lagag do đều kệ tê quết F λ tếp tho m ét một số các λ đều kệ của bà toá.5 để có kết luậ chíh ác m đểm có phả là đểm cực tị có đều kệ ha khôg. Ví dụ 5: Tìm cực tị của hàm số vớ àg buộc a b c c Gả: a b >.

25 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số c b H.. Về hìh học đâ là bà toá tìm cực tị của bìh phươg khoảg cách từ gốc toạ độ đế các đểm tê đườg thẳg H... Vậ bà toá có du hất cực tểu đó là châ đườg vuôg góc hạ từ O tớ đườg thẳg. c a b Lập hàm Lagag: L λa b c Tìm đểm dừg của L: Tha L L L λ λa λb a b c λa λb vào phươg tìh cuố hậ được: λ c a b c λ a b ac a b bc a b Đểm dừg du hất M ac bc là đểm cực tểu và gá tị cực tểu bằg a b a b. B. Đều kệ đủ Địh lý.. Gả sử f và có đạo hàm êg cấp lê tục ở lâ cậ và λ là đểm dừg của hàm Lagag. Kh đó: d L * Nếu c a λ L λ d L λ dd L λ d ác địh dấu đố vớ d d tog mề thoả mã àg buộc: d d d d d thì f đạt cực tị có àg buộc tạ. Đạt cực đạ ếu d L λ > và đạt cực tểu ếu d L λ <.

26 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số * Nếu d L λ khôg ác địh dấu tog mề ó tê thì hàm khôg đạt cực tị àg buộc tạ. t Ví dụ 6: Gả bà toá > > > Gả: * Hàm Lagag: Lλ λ - * Tìm đểm dừg: / L λ / L λ / L λ Nhâ vế của phươg tìh thứ hất vớ và để ý đế phươg tìh thứ tư sẽ hậ được λ và * Xét dấu của d L- vớ d d d thoả mã d và d d d Ta có L L L L L Su a d L dd dd dd L Mặt khác d d d d d d d Su a d - d d d L dd d d d d d d > kh d d d > Vậ hàm số đạt cực tểu có àg buộc tạ và m TÓM TẮT CHƯƠNG. Gớ hạ : lm M M f M l ha lm f l dmm ếu ε > δ > : < d M M < δ f M l < ε Sự lê tục của hàm số: Hàm số fm ác địh tê mề D và số fm lê tục tạ M ếu lm f M f M M M M D. Ta ó ằg hàm 5

27 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số 6 Đạo hàm êg: Đặt f f f Δ Δ gọ đó là số ga êg của hàm f tho bế tạ và ta có: f f Δ Δ Δ lm f Tươg tự ta có địh ghĩa đạo hàm êg của hàm số đố vớ tạ M và ký hệu: u u f f Có thể chuể toà bộ các phép tíh đạo hàm của hàm một bế số: cộg từ hâ cha sag phép tíh đạo hàm êg. V phâ toà phầ của hàm số f tạ : d f d f df f df Δ ha f f df Δ Δ Đạo hàm êg cấp cao f f f f f f f f ha f f f f Côg thức Schwa : M f M f. V phâ cấp cao d f dd f d f f d Ngườ ta dùg kí hệu luỹ thừa tượg tưg để vết gọ hư sau: d f d d f Đạo hàm của hàm số hợp s u s u s u t u t u t u Đạo hàm của hàm ẩ F F d d F F F F Đạo hàm tho hướg. Nếu hàm số u khả v tạ M và bất kỳ có các côs chỉ phươg γ β α cos cos cos thì: γ β α cos cos cos M u M u M u M u

28 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số Gađê: gad u M u M u M u M u M u M j u M k tog đó j k là các véc tơ đơ vị của các tục O O O. u ch Cực tị: Gả hệ gadu / f / f f f f A B C Gọ Δ B AC Nếu Δ > thì hàm số khôg đạt cực tị tạ Nếu Δ thì chưa kết luậ gì được về Nếu Δ < thì hàm số đạt cực tị tạ Cụ thể: đạt cực đạ ếu A < đạt cực tểu ếu A > Cực tị có đều kệ. Phươg pháp hâ tử Lagag Tìm λ thoả mã hệ phươg tìh: CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG f λ f λ.. Mề lê thôg D là mề có bê chỉ là một đườg cog kí. Đúg.. Nếu tồ tạ Đúg Sa lm f thì tồ tạ Sa lm f và chúg bằg hau... Hàm số f có đạo hàm êg tạ thì khả v tạ đó. Đúg Sa.. Hàm số f khả v tạ thì lê tục tạ đó. Đúg Sa.5. Hàm số f khả v tạ thì có các đạo hàm êg tạ đó. Đúg.6. Tồ tạ Đúg Sa f f thì // // Sa f f // // 7

29 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số.7. Nếu f có đạo hàm êg lê tục đế cấp ha và t t khả v đế cấp ha thì d f f d f d. d f d Đúg // // // Sa.8. Hàm số f đạt cực tị và khả v tạ thì các đạo hàm êg tệt têu tạ đó. Đúg Sa.9. Các đạo hàm êg tệt têu tạ thì hàm số đạt cực tị tạ đó Đúg Sa.. Hàm số đạt gá tị lớ hất tạ D thì đạt cực tị tạ đó Đúg Sa.. Tìm mề ác địh của các hàm số sau: a. l b. 9 c. d.... Tíh đạo hàm êg các hàm số sau: a. c. l b. > d. s actg... Chứg mh các hệ thức sau đâ vớ các đều kệ tươg ứg a. vớ / / l. b. vớ / / f ft khả v... Tíh đạo hàm của các hàm số hợp sau: a. u v u cosv. b. u v u v l..5. Tíh v phâ toà phầ của các hàm số sau: a. l tg. b. os c s..6. Tíh đạo hàm của các hàm số ẩ ác địh bở các phươg tìh tươg ứg a. a a cost tíh /. 8

30 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số b. c. actg a c ost tíh a a tíh / / /. d. tíh. / /.7. Chứg mh các hệ thức sau đâ vớ các đều kệ tươg ứg // // // a. vớ f ft khả v lê tục đế cấp ha. b. c.. u u u u vớ vớ u l. u l. d. u u u vớ u. um.8. Cho u M M. Tíh M M..9. Cho u. Tíh a b c um Kh ào gadu.. Cho u um Kh ào l... Tìm cực tị của các hàm số a.. l cos αcos βcos γ.tíh um gọ là véc tơ bá kíh. um l? b.. c. a b ab. d. l l... 9

31 Chươg. Phép tíh v phâ hàm số hều bế số f.. 5 g. vớ > >. h.... Tíh khoảg cách từ gốc toạ độ đế mặt phẳg... Cho llps thẳg. tìm các đểm tê đó có khoảg cách gầ hất đế đườg 9

32 Chươg. Tích phâ bộ CHƯƠNG. TÍCH PHÂN BỘI GIỚI THIỆU Ta đã bết ứg dụg của tích phâ ác địh từ hìh học cơ học đế vật lý kỹ thuật là ất đa dạg. Tu hê các đạ lượg đề cập đế chỉ phụ thuộc vào một bế số đó là sự hạ chế đág kể. Sự mở ộg tự hê của hàm một bế kéo tho sự mở ộg của tích phâ đơ tích phâ ác địh đã làm tăg khả ăg ứg dụg chẳg hạ tíh khố lượg của vật thể ha chều ba chều từ đó có thể tíh được khố tâm các mô m quá tíh của vật thể v.v...chươg à cho chúg ta phươg pháp tíh tích phâ bộ ha bộ ba và tê guê tắc có thể mở ộg cho tích phâ bộ lớp. Các khá ệm về tích phâ bộ cũg gốg hư tích phâ ác địh đều dựa tê sơ đồ v phâ tíh ếu tố v phâ ồ lấ tổg. Sự tồ tạ cũg hư tíh chất của tích phâ bộ gốg hư tích phâ ác địh. Chíh vì thế để học tốt chươg à chúg ta cầ ắm vữg các phươg pháp tíh tích phâ ác địh và mô tả được mề ác địh của hàm hều bế. Tog chươg à êu cầu ắm vữg các ộ dug chíh sau đâ:. Tích phâ bộ ha. Mô tả được mề lấ tích phâ bộ ha bằg hìh học và hệ các bất phươg tìh. Từ đó su a các cậ của các tích phâ đơ. Tog một số tườg hợp ê thực hệ phép đổ bế số để tíh dễ dàg hơ đặc bệt thườg chuể sag tọa độ cực.. Tích phâ bộ ba. Tươg tự hư tích phâ bộ ha phả mô tả được mề lấ tích phâ bộ ba. Tê cơ sở đó tìm được các cậ của các tích phâ đơ. Tù từg hàm dướ dấu tích phâ và mề lấ tích phâ có thể thực hệ phép đổ bế số đặc bệt thườg chuể sag tọa độ cầu hoặc tọa độ tụ để tíh toá cho đơ gả. NỘI DUNG. Tích phâ bộ ha Tích phâ kép.. Bà toá mở đầu Bà toá: Cho vật thể V gớ hạ bở các mặt sau đâ: mặt phẳg O mặt tụ có đườg sh sog sog vớ tục O và đườg chuẩ L là bê của mề đóg hữu hạ D và mặt cog cho bở phươg tìh f D tog đó f lê tục và khôg âm tê mề D. Hã tíh thể tích vật thể V thườg gọ V là hìh tụ cog. Cách tíh:

33 Chươg. Tích phâ bộ f ΔS Cha hìh tụ cog V thàh hìh tụ cog bằg cách cha mề D thàh mảh khôg dẫm lê hau bở một lướ các đườg cog tog mặt phẳg O. Gọ tê và dệ tích các mảh đó là Δ S. Dựg các hìh tụ cog có các đá dướ là Δ S ; đá tê là phầ của mặt phẳg cog f đườg sh sog sog vớ tục O. Gọ tê và thể tích các hìh tụ cog thàh phầ là Δ. V Như vậ V Δ V Nhậ ét: Lấ tuỳ ý M tục ê tê mề ΔS Δ S ê gá tị f khác f vậ V f d Sup Gọ d là đườg kíh của mảh { d P Q } P E Q E. Vì mề Δ S là hỏ và hàm f lê S ất ít do đó Δ V f Δ S Δ S. Như Δ ta gọ đườg kíh của mề E là số Rõ àg sự ấp ỉ tho côg thức tê của V càg chíh ác ếu ta cha càg hỏ mề D. Vậ thể tích V sẽ bằg gớ hạ ếu có của tổg ở vế phả kh sao cho ma d. Δ S ma d V lm f Chú ý: Ý tưởg tíh thể tích hìh tụ cog hoà toà hư tíh dệ tích hìh thag cog ở đó dẫ đế khá ệm tích phâ ác địh cò ở đâ sẽ dẫ đế khá ệm tích phâ kép... Địh ghĩa tích phâ kép. là s Cho hàm f ác địh tê mề đóg D * Cha mề D thàh mề hỏ bở một lướ các đườg cog gọ tê và dệ tích các mề Δ đồg thờ kí hệu d là đườg kíh mảh thứ

34 Chươg. Tích phâ bộ * Lấ tuỳ ý M Δs. * Gọ I f hoạch và một cách chọ các đểm M M...M. Kh về I khôg phụ thuộc vào phâ hoạch phâ kép của f tê mề D và kí hệu là D Như vậ f ds lm D Δ S là tổg tích phâ cuả f tê mề D ứg vớ một phâ ma d ΔS và cách chọ M ΔS f ds. sao cho mad mà I hộ tụ thì số I gọ là tích f ΔS. Có được côg thức tê thì ó ằg f khả tích tê mề D; f là hàm dướ dấu tích phâ cò là các bế tích phâ ds là ếu tố dệ tích. Chú ý: a. Vì tích phâ kép khôg phụ thuộc vào cách cha mề D ê có thể cha D bở một lướ các đườg thẳg sog sog vớ các tục toạ độ O O. Kh đó Δ S Δ Δ su a ds d.d. Do đó là tích phâ kép thườg kí hệu là: D f dd b. Cũg hư tích phâ ác địh kí hệu bế lấ tích phâ kép cũg khôg làm tích phâ kép tha đổ tức là: f dd f u v dudv D D c. Nếu f tê D thì thể tích hìh tụ cog đã ét tog phầ.. được tíh tho côg thức V f dd. d. Nếu f tê D thì số đo dệ tích mề D tíh tho côg thức f dd. S D... Đều kệ khả tích Tươg tự hư tích phâ ác địh ta có: * Nếu hàm số f khả tích tê mề D thì f bị chặ tê mề D đều kệ cầ của hàm khả tích. * Nếu hàm số f lê tục tê mề D tổg quát hơ: ếu hàm số f chỉ có gá đoạ loạ tê một số hữu hạ cug cog của mề D thì khả tích tê mề D.... Tíh chất của tích phâ kép. sau: Từ địh ghĩa của tích phâ kép tươg tự hư tích phâ ác địh su a được các tíh chất

35 Chươg. Tích phâ bộ a. Nếu D được cha thàh mề D D mà D D φ thì f khả tích tê D kh và chỉ kh ó khả tích tê D và D đồg thờ. dd f dd D f f dd. D D b..nếu f khả tích tê D và k là hằg số thì: k. f dd k. f dd.5 D c.nếu f g khả tích tê D thì D [ f g ] dd f dd g dd D.6 D d. Nếu f g cùg khả tích tê D và f g D thì: f dd g dd.7 D. Nếu f khả tích thì f khả tích và D D f dd f dd.8 D f. Nếu f khả tích tê D và thoả mã m f M D thì ms D f dd MS.9 tog đó S là dệ tích mề D... Tíh tích phâ kép.... Côg thức tíh tích phâ kép tog tọa độ đề các Dscats. Địh lí.. Nếu hàm số f lê tục tê mề D cho bở hệ bất phươg tìh a b thì f dd d D b a f d D.

36 Chươg. Tích phâ bộ S a b H.. Chứg mh: Tước hết ét f và lê tục tê mề D : a b Tog đó lê tục tê [ab]. Tho ý ghĩa hìh học ta có: D V f dd Tog đó V là thể tích hìh tụ cog. Mặt khác ứg dụg tích phâ ác địh ta lạ có: b V S d Tog đó S là dệ tích thết dệ của hìh tụ cog do mặt phẳg vuôg góc vớ a tục tạ đểm tạo a. H...Từ hìh. ta thấ S là dệ tích hìh thag cog ằm tê mặt phẳg O bằg phép tịh tế gớ hạ bở tục các đườg và đườg cog f vớ cố địh. Tho ý ghĩa tích phâ ác địh ta có: Su a f dd D b a f d d Tích phâ lặp tê được qu ước vết tho dạg: b b d f d a f d d a Bâ gờ ét f lê tục và có dấu bất kỳ tê mề D. Xét các hàm số phụ sau: S f d 5

37 Chươg. Tích phâ bộ 6 < < f f f f f f f f Các hàm số f f lê tục và khôg âm tê mề D đồg thờ f f f. Tho tíh chất c. của tích phâ bộ và kết quả tê ta được: [ ] b a b a b a b a D D D d f d d f f d d f d d f d dd f dd f dd f Vậ ta hậ được côg thức.. Như vậ để tíh tích phâ kép ta đưa về tíh tích phâ lặp. Côg thức. thể hệ tíh tích phâ tho bế tog kh tíh co là hằg số tước và tho bế sau Chú ý: a. Nếu mề D cho bở hệ bất phươg tìh: c d ψ ψ thì hậ được côg thức tíh tích phâ kép tươg tự là: d c D d f d dd f ψ ψ. b. Côg thức tha đổ thứ tự lấ tích phâ ha gọ là côg thức Fub. Tog tườg hợp à mề D có tíh chất: Mỗ đườg thẳg sog sog vớ các tục toạ độ cắt mề D hều hất ở ha đểm. Kh đó tồ tạ hìh chữ hật: d c b a có cạh tếp úc vớ bê của mề D H.. Gả sử ADB ACB có phươg tìh là: b a CAD CBD có phươg tìh là: d c ψ ψ Từ côg thức.. hậ được côg thức Fub sau đâ:

38 Chươg. Tích phâ bộ b d f d a d c d ψ ψ f d. c. Kh mề D khôg có tíh chất đã êu tê thì có thể cha mề D thàh một số hữu hạ các mề D D... D có tíh chất mô tả ở hìh H.. sau đó áp dụg tíh chất a. của tích phâ kép. d. Kh mề D là hìh chữ hật a b c d và hàm f h. h thườg gọ f là hàm có bế số phâ l thì côg thức. tở thàh: b d h d. h a c dd D f d Ví dụ : Tíh tích phâ sau: dd D tog đó D là mề gớ hạ bở các đườg và a a> Gả: Để có hệ phươg tìh mô tả mề D tước hết phả vẽ mề D H... Vậ D: a D dd 5 hoặc D: 5 a a a a a d d d 5 a a 5 d 7

39 Chươg. Tích phâ bộ 8 a a H.. Ví dụ : Tíh tích phâ: dd I vớ D gớ hạ bở các đườg và. Gả: Vẽ mề D H..5 Để vẽ được mề D tước hết phả tìm gao của các đườg bằg cách gả hệ phươg tìh: Ta su a: 8 8 Ta mô tả mề D hư sau: D D

40 D: vớ D : Chươg. Tích phâ bộ hoặc D D D D 8 : Tog tườg hợp à ê áp dụg côg thức. tức là lấ tích phâ lặp tho bế tước và tho bế sau: các đườg : I d d. d 8 6 d Ví dụ : Hã tha đổ thứ tự lấ tích phâ sau: I d f d Gả: Vẽ mề D tê cơ sở đã bết các cậ của tích phâ. tho đầu bà mề D gớ hạ bở. Đườg có phươg tìh chíh là ửa đườg tò : D D Do tíh khôg tơ của bê mề D ê ta mô tả: D D D 9

41 Chươg. Tích phâ bộ D : D : tog đó: Vậ I d f d d f d d f d Ví dụ : Tíh thể tích V của vật thể gớ hạ bở các mặt R Gả: Vật thể được mô tả bở hìh H..7. Vật thể đố ứg qua mặt tọa độ và. ta ét phầ vật thể tog góc phầ tám thứ hất phầ vật thể à được gớ hạ bở các mặt R và. Vậ V dd tog đó D là phầ tư hìh tò R. D R Rõ àg D : R R R R R R R V d d R d Đổ bế R cos t d R s tdt

42 Chươg. Tích phâ bộ R V s s R tdt R π π!! πr!! Xm côg thức Walls T.9 Toá cao cấp A... Côg thức tíh tích phâ kép tog toạ độ cực Tước kh đưa a côg thức tíh tích phâ kép tog toạ độ cực ta thừa hậ địh lý sau lê qua đế phép đổ bế tích phâ kép. Địh lý.: Gả sử f lê tục tê mề u v thoả mã : u v * là sog áh tử D lê Δ π tdt D đồg thờ tồ tạ các hàm số D * có đạo hàm êg lê tục tog mề Δ uv và địh thức Jacob D u v tog mề Δ hoặc chỉ bằg ở một số đểm cô lập kh đó: f D dd f [ u v u v ]. dudv. D u v D Δ a. Hệ toạ độ cực Để ác địh vị tí của các đểm tog mặt phẳg goà hệ toạ độ Dscats gườ ta cò dùg hệ toạ độ cực được địh ghĩa hư sau: Chọ đểm tuỳ ý gọ là cực và một tục gọ là tục cực. Vị tí của đểm M bất kỳ được ác bở ha số: góc gữa tục và véctơ M gọ là góc cực và M gọ là bá kíh véctơ. Cặp gọ là toạ độ cực của M và kí kệu M. Tất cả các đểm tê mặt phẳg sẽ ứg vớ bế thê từ đế π hoặc bế thê từ - π đế và bế thê từ đế. Nếu chọ hệ tục toạ độ Dscats tức là tùg vớ cực tục hoàh tùg vớ tục cực thì ta hậ được lê hệ sau đâ gữa các toạ độ Dscats và toạ độ cực của đểm M m H..8:

43 Chươg. Tích phâ bộ M M và gược lạ: cos s tg b. Phươg tìh đườg cog tog hệ toạ độ cực cùg dấu vớ cos hoặc cùg dấu vớ s. Hệ thức F hoặc ha gọ là phươg tìh đườg cog tog toạ độ cực chẳg hạ a là phươg tìh đườg tò bá kíh bằg a và tâm ở gốc toạ độ là phươg tìh ửa đườg thẳg uất phát từ gốc toạ độ và lập vớ tục cực một góc là. c. Côg thức tích phâ kép tog toạ độ cực Ta thực hệ phép đổ bế số: Do đó: cos s D cos D s Từ côg thức. su a: D Δ s cos f dd f cos s dd.

44 Chươg. Tích phâ bộ Thườg gặp mề Δ được gớ hạ bở ha ta và đườg cog H..9 tức là tog hệ toạ độ cực mề D được mô tả bở hệ bất phươg tìh: D : Kh đó côg thức.5 sẽ có dạg: f dd D d f cos s d.5 Chú ý: * Mố qua hệ gữa các địh thức Jacôb của phép bế đổ thoả mã D Du v. Du v D * Nếu cực là đểm tog của mề D và mọ bá kíh cực cắt bê mề D tạ một đểm có bá kíh thì Ví dụ 5: Tíh D f dd D π d f cos s d dd I tog đó D là hìh tò R R Gả: Đườg tò R R chuể sag toạ độ cực có phươg tìh: cos R s R Tươg tự đườg tò R s π H.. ha π π Rcos R R chuể sag toạ độ cực có phươg tìh

45 Chươg. Tích phâ bộ Rs R cos Vậ mề D tog hệ toạ độ cực được mô tả: π π Rcos Tho côg thức.5 sẽ có: π π Rcos I d.cos..d π π R cos 5 cos d 8R cos d π Ví dụ 6: Tíh!!. 6R 5!!.5 5 8R 8R. Xm côg thức WallsT9 Toá cao cấp A I dd tog đó D là mề gớ hạ bở các đườg thẳg: D.

46 Chươg. Tích phâ bộ - H.. Gả: Phươg tìh các đườg thẳg tạo a mề D vết lạ dướ dạg: m H.. Đổ bế u v D u v kh đó D Su a u Δ : v u I u. dudv udu. dv. Δ Nhậ ét: Nếu gả ví dụ tê bằg cách tực tếp dùg côg thức tíh tích phâ kép tog hệ toạ độ đề các thì phả cha mề D thàh các mề thàh phầ ồ áp dụg tíh chất a của tích phâ kép. Như vậ sẽ phức tạp hơ. Ta có thể kểm ta lạ kết quả bằg cách dùg côg thức. hoặc.... Tích phâ bộ ba Tích phâ lớp... Bà toá mở đầu: Tíh khố lượg vật thể. Bà toá: Cho vật thể V khôg đồg chất bết khố lượg êg là Hã tíh khố lượg của vật thể V. ρ ρ V Cách tíh: Tươg tự hư tích phâ bộ ha ta cha V tuỳ ý làm phầ khôg dẫm lê hau bở một hệ thốg các mặt cog. Gọ tê và thể tích các phầ đó là Δ V. Tog mỗ phầ thứ lấ đểm P tuỳ ý và gọ đườg kíh của phầ đó là d. Khố lượg ấp ỉ của vật thể là : m ρ P ΔV ρ ΔV. 5

47 Chươg. Tích phâ bộ Nếu tồ tạ gớ hạ lm ρ ΔV thì đó chíh là khố lượg của vật thể đã ma d cho. Tog thực tế hều bà toá dẫ đế vệc tìm gớ hạ hạ của tổg dạg tê. Chíh vì thế cầ phả có địh ghĩa toá học tích phâ bộ ba.... Địh ghĩa tích phâ bộ ba. Cho hàm số f ác địh tê mề V * Cha V tuỳ ý thàh mảh hỏ. Gọ tê và thể tích các mảh đó là Δ V ký hệu đườg kíh mảh Δ V là d. * Lấ tuỳ ý P ΔV * Lập tổg I f ΔV gọ đó là tổg tích phâ bộ ba của hàm f lấ tê mề V ứg mớ một phâ hoạch và các đểm P ΔV Kh sao cho ma d mà I hộ tụ về I khôg phụ thuộc vào phâ hoạch Δ V và cách chọ đểm P ΔV thì số I gọ là tích phâ bộ ba của f tê mề V ký hệu là V Như vậ: f dv. V f dv lm f ΔV.6 ma d Tươg tự ta cũg ó ằg f khả tích tê mề V. Chú ý: * Gốg hư tích phâ kép ếu tố thể tích dv được tha bằg ddd và kh đó thườg ký hệu tích phâ bộ ba là: f ddd. V * Tươg tự hư tích phâ kép tích phâ bộ ba khôg phụ thuộc vào ký hệu bế lấ tích phâ: f ddd f u v ωdudvd ω. V V * Ý ghĩa cơ học: Nếu f tê mề V thì f ddd là khố lượg của vật thể V kh vật thể đó có khố lượg êg mật độ ha tỉ khố là f. * Rõ àg thể tích V của vật thể V tíh tho côg thức: V ddd.7 * Đều kệ khả tích và tíh chất của tích phâ bộ ba tươg tự hư tích phâ kép. V V 6

48 Chươg. Tích phâ bộ.. Tíh tích phâ bộ ba... Côg thức tíh tích phâ bộ ba tog hệ toạ độ đề các Địh lý.: Nếu f lê tục tog mề V cho bở hệ bất phươg tìh: thì a b ddd V b.8 f d d f d.9 a Hệ bất phươg tìh.8 mô tả mề V là một hìh tụ cog gớ hạ phía tê bở mặt gớ hạ phía dướ bở mặt và gớ hạ ug quah bở mặt tụ có đườg sh sog sog vớ tục đườg chuẩ là bê của mề D mề D là hìh chếu của V tê mặt phẳg H.. cụ thể mề D cho bở hệ bất phươg tìh: a b Côg thức.9 chứg tỏ để tíh tích phâ bộ ba ta đưa về tíh tích phâ lặp. Kh tíh tích phâ tho bế ta co là hằg số. Kh tíh tích phâ tho bế co là hằg số. Cuố cùg tíh tích phâ tho bế. Chú ý: a. Từ côg thức. su a côg thức.9 có thể vết lạ hư sau: 7

49 Chươg. Tích phâ bộ ba: f ddd V D dd f d.9 b. Tha đổ va tò của các bế ta cũg có côg thức tha đổ thứ tự lấ tích phâ bộ dd f d D D dd f d.9 tog đó D là hìh chếu của mề V lê mặt phẳg cò và là các mặt cog dướ và tê tho hướg để tạo a mề V. Tươg tự: dd f d D Ví dụ 7: Tíh V ddd I phẳg. D dd f d.9 tog đó mề V được cho gớ hạ bở các mặt Gả: Vẽ mề V H... V là hìh chóp tứ gác có đỉh là gốc toạ độ đá là hìh chữ hật ABCD. Mặt tê của V tam gác OCD là mặt phẳg có phươg tìh. Mặt dướ của V tam gác OAB là mặt phẳg có phươg tìh. Chếu V lê mặt phẳg O được tam gác OAB cho bở hệ bất phươg tìh: Từ đó tho côg thức.9 có: 8

50 Chươg. Tích phâ bộ 9 d d d d d I d d d d d l l 8 6 l l. Ví dụ 8: Tíh V ddd I vớ V cho bở hệ bất phươg tìh: Gả: Mề V cho bở H... Ta thấ mặt tê của V là mặt dướ là paabolod tò oa. Hìh chếu D của V lê mặt O là phầ tư hìh tò: Do đó:

51 Chươg. Tích phâ bộ I D dd d D dd d d d d 5 6 d đâ. Tươg tự hư tích phâ kép ta cũg có côg thức đổ bế số tog tích phâ bộ ba dướ Địh lý.: Cho hàm f lê tục tê mề V O đồg thờ tồ tạ các hàm số: thoả mã các đều kệ: - là sog áh từ V lê Ω uvw uvw uvw u v w Ω - có các đạo hàm êg lê tục tog mề Ω uvw và địh thức Jacob D tog mề Ω hoặc chỉ bằg ở một số đểm cô lập. Kh đó: D u v w f ddd f [ u v w u v wu v w ] dudvdw. V Ω D Du v w... Côg thức tíh tích phâ bộ ba tog toạ độ tụ a. Toạ độ tụ : Toạ độ tụ của đểm M là bộ ba số sắp thứ tự tog đó là toạ độ cực của đểm M hìh chếu của M lê mặt phẳg H..5. Vậ vớ mọ đểm của khôg ga ta có: < π < <. 5

52 Chươg. Tích phâ bộ Gữa toạ độ đề các và toạ độ tụ của đểm M có mố lê hệ: cos s cos s D Tog tườg hợp à s cos D. b. Phươg tìh mặt cog tog toạ độ tụ Hệ thức F hoặc gả a được đố vớ các bế số hoặc gọ là phươg tìh mặt cog tog toạ độ tụ. Các tườg hợp đặc bệt thườg gặp sau đâ: là phươg tìh mặt tụ tò oa bá kíh là và tục đố ứg là O Tog hệ toạ độ O mặt tụ à có phươg tìh. là phươg tìh ửa mặt phẳg lập vớ mặt phẳg O một góc là tươg ứg tog O phươg tìh là tg. vớ. cos. là phươg tìh mặt phẳg sog sog vớ mặt phẳg O cắt tục O tạ đểm có toạ độ. Như vậ mặt cog được mô tả tog hệ toạ độ tụ đô kh có phươg tìh ất đơ gả so vớ tog hệ toạ độ Đề các. c. Côg thức tíh tích phâ bộ ba tog toạ độ tụ Từ côg thức. và. ta hậ được: V f ddd f cos s ddd. Ω Thôg thườg mề Ω tog toạ độ tụ mô tả bở hệ bất phươg tìh: 5

53 Chươg. Tích phâ bộ 5 Kh đó. tở thàh: s cos V d f d d ddd f. Ví dụ 9: Tíh V ddd I tog đó V gớ hạ bở các mặt a > a R. Gả: Mề V ằm tog góc phầ tám thứ hất được cho tê hìh H..6 được gớ hạ bở mặt mặt ó mặt tụ. Các mặt ó và mặt tụ có phươg tìh vết tog toạ độ tụ là: R a hậ được bằg cách tha s cos vào phươg tìh các mặt cog đã cho. Như vậ mề Ω cho bở hệ bất phươg tìh: a R π Su a 5 5 R a d a d d d I R a R π π π

54 Chươg. Tích phâ bộ Chú ý: Kh mề V có dạg hìh tụ và hàm dướ dấu tích phâ chứa các bểu thức thì thườg tíh tích phâ tog toạ độ tụ sẽ đơ gả hơ tog toạ độ đề các.... Côg thức tíh tích phâ bộ ba tog toạ độ cầu a. Toạ độ cầu: Toạ độ cầu của một đểm M là bộ ba số θ tog đó OM θ là góc gữa tục và M và là góc gữa tục và M ' ở đâ M là hìh chếu của M tê H..7. Vậ vớ mọ đểm của khôg ga sẽ có: θ π < π. Dễ thấ gữa các toạ độ đề các và toạ độ cầu có mố qua hệ: Và hư vậ sθ cos sθ s cosθ sθ cos cosθ cos sθ s D sθ s cosθ cos sθ cos sθ. D θ cosθ sθ θ M H..7 M ' b. Phươg tìh mặt cog tog toạ độ cầu Hệ thức F θ hoặc gả a được đố vớ các bế số θ ; θ θ ; θ gọ là một phươg tìh mặt cog tog toạ độ cầu. Các tườg hợp đặc bệt thườg gặp sau đâ: mô tả mặt cầu tâm gốc toạ độ và bá kíh tog hệ toạ độ mặt cầu à có phươg tìh. θ θ là phươg tìh của mặt ó tò oa đỉh và tục đố ứg là có góc mở là θ mặt ó à tog hệ có phươg tìh tgθ.. là phươg tìh ửa mặt phẳg lập vớ mặt phẳg một góc ửa mặt phẳg à tog hệ toạ độ có phươg tìh tg. vớ cos. 5

55 Chươg. Tích phâ bộ c. Côg thức tíh tích phâ bộ ba tog toạ độ cầu Từ côg thức. và. ta hậ được: V f ddd f sθ cos sθ s cosθ sθddθd Ω Ta ha gặp mề Ω tog toạ độ cầu mô tả bở hệ bất phươg tìh: θ θ θ θ < θ Kh đó côg thức.5 tở thàh:.5 θ θ f ddd d s θdθ f s θcos s θs cos θ d.6 V θ θ Ví dụ : Tíh I V cầu và ddd tog đó V là mề gớ hạ bở ha mặt Gả: Chuể sag toạ độ cầu ha mặt cầu đã cho có phươg tìh lầ lượt là. Gốc toạ độ là đểm tog của mề V ê mề Ω cho bở hệ bất phươg tìh: Do đó : π θ π π π I d sθd θ. d π cos θ 6 π. Ví dụ : Tíh R và hìh cầu V I ddd R. π tog đó V là mề goà gữa hìh tụ Gả: Một thết dệ của mề V cho tê hìh H..8. Xét tog hệ toạ độ cầu mặt cầu có phươg tìh vào phươg tìh R mặt tụ có phươg tìh của mặt cầu và mặt tụ: R tha sθ cos sθ s sθ R sẽ hậ được kết quả tê. Để tìm sự bế thê của θ ta ét gao R π 5π R. Su a sθ θ θ sθ 6 6 5

56 Chươg. Tích phâ bộ π 6 Vì V là vật thể tò oa hậ O làm tục đố ứg hậ mặt phẳg O làm mặt phẳg đố ứg và hàm dướ dấu tích phâ chẵ đố vớ cho ê I π π 5 d sθdθ s θd πr 5 π 6 R R sθ π π 6 s 5 s θ θdθ π π 5 πr sθ θ θ 5 cos d π π 6 6 dθ πr s θ 5 5 cosθ cos θ cot gθ π π 6 R. 5 π 5 Chú ý: Kh mề V có dạg hìh cầu hàm dướ dấu tích phâ chứa các bểu thức dạg hoặc ê chuể sag toạ độ cầu hoặc toạ độ tụ để tíh toá cho đơ gả hơ.ta có thể kểm ta lạ kết quả của ví dụ tê bằg cách dùg toạ độ tụ. TÓM TẮT CHƯƠNG. Tíh tích phâ kép tog toạ độ đề các Nếu hàm số f lê tục tê mề D cho bở hệ bất phươg tìh a b thì f dd d Tíh tích phâ kép tog toạ độ cực Nếu hàm số f lê tục tê mề Δ cho bở hệ bất phươg tìh 55 D b a f d

57 Chươg. Tích phâ bộ 56 thì d f d dd f D s cos Tha đổ thứ tự lấ tích phâ côg thức Fub d c b a d f d d f d ψ ψ Tíh tích phâ bộ ba tog toạ độ đề các Nếu f lê tục tog mề V cho bở hệ bất phươg tìh: b a thì b a V d f d d ddd f Tíh tích phâ bộ ba tog toạ độ tụ Nếu f lê tục tog mề Ω mô tả bở hệ bất phươg tìh: thì s cos V d f d d ddd f CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG... Dùg tích phâ bộ ha có thể ác địh được dệ tích hìh phẳg D Đúg Sa.. Kh hàm dướ dấu tích phâ bộ ha có dạg bế số phâ l thì tích phâ bộ ha sẽ là tích của ha tích phâ ác địh. Đúg Sa.. Kh gốc toạ độ là đểm tê bê của mề D thì chuể sag toạ độ cực ta có bế thê từ đế π. Đúg Sa.. Kh gốc toạ độ là đểm tog của mề D thì chuể sag toạ độ cực ta có bế thê từ đế π. Đúg Sa.5. Có thể tíh khố lượg vật thể kh bết hàm mật độ ρ hờ vào tích phâ bộ. Đúg Sa

58 Chươg. Tích phâ bộ.6. Có thể tíh thể tích vật thể hờ tích phâ bộ Đúg Sa.7. Có thể bểu dễ tích phâ bộ qua tích phâ lặp gồm tích phâ ác địh tích phâ bộ. Đúg Sa.8. Hìh chếu mề V lê mặt phẳg O hậ gốc toạ độ là đểm tog thì chuể sag toạ độ tụ hoặc toạ độ cầu sẽ có π Đúg Sa.9. Hìh chếu mề V lê tục O hậ gốc toạ độ là đểm tog thì chuể sag toạ độ cầu sẽ có θ π. Đúg Sa.. Đổ thứ tự tích phâ các tích phâ sau: a. d f d b. d f d c. π π d cos f d d. d f d... Tíh các tích phâ bộ ha sau: D dd :. a. D { } b. dd D { } D c. l dd d. D :. D là mề gớ hạ bở các đườg. D dd D là mề gớ hạ bở các đườg.. Tíh các tích phâ bộ ha sau: a. b. D dd D là mề gớ hạ bở các đườg tò D dd D là mề gớ hạ bở đườg 57. a a a >

59 Chươg. Tích phâ bộ c. dd D là gao của ha hìh tò D d. ddd { } D :... Tíh dệ tích hìh phẳg gớ hạ bở các đườg: a. b c. d Tíh thể tích vật thể gớ hạ bở các mặt: a. b...5. Tíh các tích phâ bộ ba sau: a. V ddd V : b. dddv { : } V c. ddd V { : a } V d. V a a ddd V : a>. 58

60 Chươg : Tích phâ đườg và tích phâ mặt CHƯƠNG. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT GIỚI THIỆU Tích phâ đườg và tích phâ mặt là sự mở ộg của tích phâ hều lớp tê ha phươg dệ: lấ tích phâ tê các cug cog tha cho tê đoạ thẳg tích phâ tê mặt cog tha cho mề phẳg đặc bệt để ý đế vệc địh hướg của đườg cog và mặt cog. Chíh vì thế ý ghĩa thực tễ của tích phâ đườg tích phâ mặt là ất lớ. Hầu hết các bà toá kỹ thuật lê qua đế tườg véctơ đều lê qua đế tích phâ đườg tích phâ mặt: tíh côg của lực tíh thôg lượg của tườg. Tíh tích phâ đườg dẫ đế tíh tích phâ ác địh tíh tích phâ mặt dẫ đế tíh tích phâ bộ ha vậ một lầ ữa êu cầu gườ học phả có kĩ ăg tíh tích phâ ác địh. Tog chươg à êu cầu ắm vữg các ộ dug chíh sau đâ:. Tích phâ đườg loạ Tước hết hớ lạ côg thức v phâ cug m côg thức.6 mục..toán CAO CẤP A và để ý ằg cậ tê luô luô lớ hơ cậ dướ.. Tích phâ đườg loạ Kh tíh phả lưu ý đế hướg của đườg cog tù tho hướg đã địh mà tìm cậ tê cậ dướ của tích phâ ác địh. Tườg hợp đườg cog kí ê vậ dụg côg thức G ếu các đều kệ của địh lí được thỏa mã tổg quát hơ phả sử dụg côg thức Xtốc.. Tích phâ mặt loạ Chú ý đế côg thức tíh ếu tố dệ tích của mặt cog cho bở phươg tìh dạg tườg mh chẳg hạ để từ đó đưa về tíh tích phâ bộ ha tê hìh chếu của mặt cog lê mặt phẳg tọa độ tươg ứg mặt phẳg tọa độ O.. Tích phâ mặt loạ Để tíh tích phâ mặt loạ ha tước hết phả ác địh các phía của mặt cog đã địh hướg thôg qua các côs chỉ phươg của véctơ pháp tuế. Tếp tho tìm hìh chếu của mặt cog lê các mặt phẳg tọa độ. Kh mặt cog kí thườg sử dụg côg thức Ôtôgatk. 59

61 Chươg : Tích phâ đườg và tích phâ mặt NỘI DUNG... Tích phâ đườg loạ một.... Địh ghĩa A M A Δ Δ Cho hàm số f ác địh tê một cug phẳg AB H.. * Cha cug AB là cug hỏ bở các đểm cha A A A... A A... A B gọ độ dà cug A A là Δ s * Lấ tuỳ ý M A A * Lập tổg I f Δs gọ là tổg tích phâ đườg loạ một của hàm f lấ tê cug AB ứg vớ một phâ hoạch và một cách chọ tuỳ ý các đểm M A A. Nếu kh sao cho ma Δs I hộ tụ về số I khôg phụ thuộc cách cha cug AB và cách chọ M A A thì số I gọ là tích phâ đườg loạ một của f dọc tho cug AB và ký hệu Vậ AB f ds. ma Δs AB I lm f Δ s f ds Nếu có tích phâ. thì ó ằg f khả tích tê AB.Tog tích phâ. ds ký hệu độ dà ếu tố của cug AB ha v phâ của cug AB. Mở ộg: Nếu f khả tích tê cug AB thì tích phâ đườg loạ một của f tê cug AB ký hệu là 6

62 Chươg : Tích phâ đườg và tích phâ mặt Chú ý: I f ds. AB a. Từ địh ghĩa tê ta thấ chều đ của cug AB khôg đóg va tò gì cả vì I khôg phụ thuộc vào hướg của cug AB. Vậ f ds f ds. AB BA b. Rõ àg ếu gọ l là độ dà cug AB thì l ds. AB c. Nếu một dâ vật chất có dạg cug AB và mật độ khố lượg là ρ thì khố lượg của dâ vật chất đó tíh tho côg thức: m ρ ds.5 AB d. Ngườ ta đã chứg mh được: ếu cug AB là cug tơ tếp tuế của cug bế thê lê tục hoặc tơ từg khúc cha cug AB thàh hữu hạ các cug thàh phầ các cug thàh phầ là các cug tơ và f lê tục tê cug AB thì f khả tích tê cug AB.. Vì địh ghĩa tê tươg tự vớ tích phâ ác địh tích phâ bộ ê tích phầ đườg loạ một có các tíh chất gốg hư tích phâ ác địh.... Côg thức tíh tích phâ đườg loạ một Địh lý.. Gả sử cug AB tơ cho bở phươg tìh: a b và hàm số f lê tục tê cug AB. Kh đó: b f ds f ' d.6 AB a Chứg mh: Thực hệ phép cha cug AB bở các đểm A hư địh ghĩa đã tìh bà. Gọ Δ Δ m H... Vớ Δ Δ khá bé thì: Tho côg thức Lagag ta có Δ Δ s Δ Δ. Δ Δ Δ ξ ξ Δ '... / Su a Δs ξ Δ ξ Sau kh thực hệ phép cha cug AB ta chọ M ξ ξ A A 6

63 Chươg : Tích phâ đườg và tích phâ mặt Vậ tổg tích phâ tươg ứg sẽ là: Cho I f ξ ξ Δs f ξ ξ ' ξ Δ sao cho ma ha ma s thì do sự tồ tạ của tích phâ đườg loạ một ê vế tá dầ đế AB Δ Δ f ds cò vế phả chíh là tích phâ ác địh của hàm số f ' tê [ab] ghĩa là ta hậ được côg thức.6. Nếu cug AB cho bở phươg tìh tham số: t t t t t ' t thì ' d ' t dt ' ' t ' t ' t ' t Vì a b và t t ê côg thức.6 tở thàh : t f ds ft [ t ] ' t ' tdt.7 AB t Đặc bệt kh AB cho tog toạ độ cực. Ta có thể co ằg AB cho dướ dạg tham số: cos s Kh đó. Su a.6 có dạg: fds f[ cos s] d.8 AB t Tổg quát cug AB cho bở phươg tìh tham số t t t t t và ếu f khả tích tê cug đó thì: AB t f ds f t t t t t tdt S.9 t Ví dụ : Tíh ds C là bê tam gác vớ các đỉh O A B. C Gả: Đườg C cho bở H. 6

64 Chươg : Tích phâ đườg và tích phâ mặt Tho tíh chất của tích phâ ta có: C OA AB BO Đoạ OA có phươg tìh OA ds d Đoạ AB có phươg tìh: AB ds d Đoạ BO có phươg tìh: BO ds d Sử dụg côg thức.6 tog đó tha đổ va tò các bế và cho hau C ds. Ví dụ : Tíh I Gả: Đườg tò L cho bở H.. L ds L là đườg tò. L H.. 6

65 Chươg : Tích phâ đườg và tích phâ mặt.8 thì: Tog toạ độ cực phươg tìh đườg L có dạg π π cos. Tho côg thức π π I cos cos s d 8 cos d 8s 8. π π Bạ đọc có thể gả ví dụ bằg cách vết phươg tìh đườg tò cost tham số: π t π. st dướ dạg.. Tích phâ đườg loạ ha... Bà toá mở đầu: Tíh côg của lực bế đổ Bà toá: Một chất đểm M d chuể dọc tho một cug phẳg AB từ đểm A đế đểm B dướ tác dụg của lực F M P M Q M j P Q M AB. Hã tíh côg W của lực đó sh a. Cách tíh: Cha cug AB làm cug hỏ bở các đểm cha A... A A. Gọ s dà cug A A và các thàh phầ của véc tơ A A là Δ Δ ; H. Δ là độ B A A M Δ A Δ a b H.. Lấ tuỳ ý M A A. Nếu cug A A khá hỏ có thể co ó ấp ỉ dâ cug A A và FM khôg đổ cả chều và độ lớ tê cug đó. Vì thế có thể co ằg côg của lực sh a kh chất đểm d chuể từ A - đế A tho cug A A sẽ ấp ỉ bằg F M. A A P M Δ Q M Δ Su a côg W của lực sh a sẽ ấp ỉ là: 6

66 Chươg : Tích phâ đườg và tích phâ mặt W P Δ Q Δ Như vậ gớ hạ của tổg tê kh W lm sao cho ma s chíh là côg của lực: ma Δs P Δ Δ Q Δ Ý tưởg tíh côg của lực dẫ đế khá ệm tích phâ đườg loạ ha.... Địh ghĩa Cho ha hàm số P Q ác địh tê cug L ha cug AB * Cha cug L thàh cug hỏ bở các đểm cha: A A... A A... A B A Gọ tọa độ của vctơ A A là Δ Δ và độ dà cug A A là Δ s. * Lấ tuỳ ý M A A. * Lập tổg I P M Δ Q M Δ gọ đó là tổg tích phâ đườg loạ ha của hàm số P Q dọc tho L đ từ A đế B ứg vớ một phâ hoạch của L và một cách chọ M A A. * Kh sao cho ma Δs ha ma và ma Δ mà I hộ tụ về số I khôg phụ thuộc cách cha cug L và cách chọ tuỳ ý M A A thì số I gọ là tích phâ đườg loạ ha của các hàm PQ dọc tho cug AB đ từ A đế B và ký hệu là Pd Qd. AB * Như vậ AB 65 Δ Pd Qd lm P Δ Q Δ. AB Δ Δ Chú ý: a. Khác vớ tích phâ đườg loạ một ở tích phâ đườg loạ ha hướg lấ tích phâ của L là qua tọg. Nếu ta dọc tho cug AB đ từ B đế A thì các vctơ A A đổ hướg tức là các thàh phâ của vctơ đó là Δ Δ. Vậ tổg tích phâ sẽ đổ dấu su a: Pd Qd Pd Qd. b. Côg sh a do lực F P Qj để chất đểm dịch chuể từ A đế B tho cug AB sẽ là: W Pd Qd. AB BA