Gi i tých c c hµm nhiòu biõn

Transcript

1 bé s ch to häc cao cêp - viö to häc ih ThÕ Lôc Ph¹m Huy ió T¹ Duy Ph îg Gi i tých c c hµm hiòu biõ Nh g guyª lý c b vµ týh to thùc hµh hµ uêt b ¹i häc quèc gia hµ éi

2 Héi åg biª tëp Hµ Huy Kho i (Chñ tþch) Ng«ViÖt Trug Ph¹m Huy ió (Th ký)

3 Gi i tých c c hµm hiòu biõ Nh g guyª lý c b vµ týh to thùc hµh ih ThÕ Lôc Ph¹m Huy ió T¹ Duy Ph îg Bé s ch To häc cao cêp - ViÖ To häc

4 Lời ói đầu C uố sách ày có thể em là tập tiếp theo của giáo trìh giải tích các hàm số một biế, đã được Nhà uất bả Giáo dục ấ hàh ăm 998, với tựa đề "Giải tích Toá học: Nhữg guyê lý cơ bả và tíh toá thực hàh" Trog giáo trìh đó chúg ta đã khảo sát dãy số, chuỗi số, hàm số và các phép tíh vi tích phâ trog khôg gia một chiều (trục số thực) Trog tập tiếp theo ày các đối tượg trê sẽ được khảo sát trog khôg gia hiều chiều, và đó chíh là sự khác biệt cơ bả giữa hai giáo trìh Để ây dựg các phép tíh vi tích phâ trog khôg gia hiều chiều, trước hết phải hiểu rõ cấu trúc của hữg khôg gia ày Chươg đề cập tới hai cấu trúc qua trọg hất của khôg gia hiều chiều, cấu trúc tuyế tíh và cấu trúc khoảg cách, thôg qua một ví dụ điể hìh là khôg gia Để giáo trìh mag tíh độc lập hất địh, khôg gia ày được ây dựg trực tiếp, mà khôg dựa vào khái iệm khôg gia tuyế tíh tổg quát trog giáo trìh Đại số tuyế tíh Để tráh cồg kềh, các khái iệm và kết quả của chươg ày được chọ lọc tới mức tối thiểu từ 3 mô Đại số tuyế tíh, Tôpô và Giải tích hàm, vừa đủ sử dụg cho hữg chươg sau, đồg thời dẫ dắt gười học làm que với hữg bộ mô qua trọg đó Các chươg từ đế 7 khôg chỉ thiết lập trog khôg gia hiều chiều hữg gì đã biết trog Giải tích một biế mà cò đưa ra hữg khái iệm mới chỉ uất hiệ trog khôg gia hiều chiều Chươg 8 trìh bày các kiế thức cơ bả về chuỗi Fourier và phép biế đổi tích phâ Fourier Chươg cuối cùg giới thiệu sơ lược về hệ phươg trìh vi phâ và phươg trìh đạo hàm riêg Hai chươg sau ày hằm mục đích củg cố hữg kiế thức về vi tích phâ đã học trog hữg chươg trước, rè luyệ kỹ ăg tíh toá thực hàh và trag bị kiế thức để học viê tìm hiểu các mô học khác hư Vật lý, Cơ học, Sih học, Nếu hư các khái iệm, kết quả chứg mih trog Giải tích một biế có tíh trực qua cao, dễ hiể thị, thì sag khôg gia hiều chiều tíh trừu tượg đã tăg lê rõ rệt Tuy hiê, cái đẹp của Toá học ằm trog sự trừu tượg và cái ích của Toá học ằm trog sự cụ thể Để hiểu rõ hai mặt ấy của Toá học đồg thời hằm rè luyệ phươg pháp suy luậ toá học cho sih viê, trog giáo trìh ày hai cách tiếp cậ thườg được sử dụg đa e hau: đó là cách đi từ cụ thể tới trừu tượg và gược lại, từ trừu tượg tới cụ thể tuỳ theo từg khái iệm, từg địh lý Mỗi khi các kết quả được phát biểu và chứg mih trog khôg gia tổg quát chiều, thì gười đọc có thể hạ chế trog trườg hợp = hoặc =3 để hiểu dễ dàg và thấu đáo hơ Trog tài liệu ày, chúg tôi cố gắg đưa vào các chứg mih đầy đủ của hữg địh lý lớ và hóc búa thườg bị é tráh trog các giáo trìh hiệ hàh Nhữg chứg mih ày là khó hưg chứa đựg các phươg pháp suy luậ điể hìh rất cầ cho việc rè luyệ tư duy (hất là đối với học sih cao học và hữg ai muố đi sâu hơ vào lĩh vực Giải tích Toá học) Người đọc i

5 khôg cầ hớ chi tiết, mà chỉ cầ hiểu được các chứg mih ày đã được em là đạt yêu cầu Việc mih hoạ và tíh toá trog khôg gia hiều chiều vố là một vấ đề khó vì khôg mấy khi có thể thực hiệ được bằg thủ côg, hất là về các chủ đề: Vẽ đồ thị trog khôg gia, tíh tích phâ bội, tíh vi phâ hàm ẩ vectơ hiều biế, tíh toá các biế đổi tích phâ Fourier, giải phươg trìh đạo hàm riêg, Cái khó ở đây bắt đầu gay từ việc tìm sao cho ra một ví dụ có thể ử lý được Chíh vì vậy, lĩh vực ày luô luô là mơ hồ đối với hầu hết mọi học viê (từ đại học đế cao học) Nhằm oá bỏ tìh trạg ày, chúg tôi mạh dạ đưa vào giáo trìh phầ hướg dẫ tíh toá thực hàh trê máy, gay sau mỗi chươg lý thuyết Qua đây gười đọc sẽ thấy rằg gày ay, với máy tíh và phầ mềm toá học thôg dụg (có sẵ trê thị trườg và trê Iteret), chỉ bằg hữg dòg lệh đơ giả tươg tự hư gô gữ toá học thôg thườg, gười ta có thể "sờ thấy được" hữg gì mà trước đây khôg thể ào hìh dug ra ổi Nếu chưa có sẵ các chươg trìh tíh toá trê máy cá hâ, gười đọc có thể truy cập tới một số trug tâm cug cấp dịch vụ tíh toá qua mạg (thườg là miễ phí) để có thể thực hàh tíh toá được gay (bạ đọc có hu cầu i liê hệ với các tác giả để biết thêm thôg ti chi tiết) Đối với gười học chưa có điều kiệ tiếp úc với máy tíh, việc đọc phầ ày vẫ rất có tác dụg, vì sẽ biết được cơ chế giao tiếp giữa gười với máy và biết được hữg gì máy tíh có thể thay thế co gười trog quá trìh tíh toá Qua trọg hơ, qua các ví dụ mih hoạ về tíh toá trê máy trìh bày trog sách, gười học sẽ ắm được kiế thức toá học một cách sâu sắc hơ, do tiếp cậ được tới hữg điều mà trước đây tưởg hư là khôg thể Khi khôg cò bị mặc cảm bởi hữg bài toá hóc búa, gười ta sẽ thấy toá học khôg cò là huyề bí và tự ti trog việc đó hậ hữg bài toá khó ảy sih từ thực tiễ sả uất Chúg tôi hy vọg rằg cuố sách ày sẽ là một cẩm ag tốt cho hữg ai muố hiểu sâu sắc về Giải tích toá học ói chug, và về giải tích các hàm số hiều biế ói riêg Do đó, ó sẽ là hữu ích đối với các học sih cao học, cũg hư thầy và trò các trườg Tổg hợp, Sư phạm, Kỹ thuật, Tập thể tác giả i châ thàh cảm ơ giáo sư Nguyễ Duy Tiế (ĐHQG Hà Nội) và giáo sư Đoà Quỳh (ĐHSP Hà Nội) đã đọc rất kỹ bả thảo và đã cho hữg hậ ét quý báu Việc trìh bầy một chủ đề phức tạp sẽ khôg thể tráh khỏi hữg sai sót, cho ê chúg tôi mog tiếp tục hậ được sự phê bìh, góp ý của các đồg ghiệp và học viê gửi về theo địa chỉ: Việ Toá học, Trug tâm Khoa học Tự hiê và Côg ghệ Quốc gia, 8-Đườg Hoàg Quốc Việt, Quậ Cầu Giấy, Hà Nội CÁC TÁC GIẢ ii

6 Chươg Khôg gia R & Khôg gia metric Khôg gia R Điểm trog khôg gia -chiều Vectơ trog khôg gia -chiều 3 3 Tích vô hướg 4 4 Chuẩ của vectơ 5 5 Áh ạ tuyế tíh 7 Khôg gia metric Địh ghĩa và các ví dụ Tập đóg và tập mở trog khôg gia metric 3 Hội tụ trog khôg gia metric 5 4 Tíh đầy đủ trog khôg gia metric 7 5 Tíh compact trog khôg gia metric 9 6 Áh ạ trog khôg gia metric 4 7 Khôg gia siêu metric 7 Khôg gia R Trog giáo trìh ày chúg ta sẽ làm việc trê khôg gia R - một ví dụ rất đặc biệt của khôg gia -chiều Để giáo trìh có được tíh độc lập hất địh, chúg tôi sẽ trìh bày lại một cách gắ gọ việc ây dựg khôg gia R Độc giả ào qua tâm đế lý thuyết khôg gia -chiều ói chug i em trog các giáo trìh Đại số tuyế tíh Độc giả ào đã học qua giáo trìh Đại số tuyế tíh có thể bỏ qua phầ ày

7 Giải tích các hàm hiều biế Điểm trog khôg gia -chiều Ta đã que thuộc với cách dùg một số để biểu diễ một điểm trê đườg thẳg (khi trê đườg thẳg đó cho sẵ đơ vị dài) Ta cũg đã biết việc dùg một cặp số (,y) để biểu diễ một điểm trog mặt phẳg có hệ tọa độ Descartes Tươg tự hư vậy, gười ta sử dụg một bộ 3 số (,y,z) để biểu diễ một điểm trog khôg gia Đườg thẳg cò được gọi là khôg gia -chiều, mặt phẳg cò được gọi là khôg gia -chiều, và khôg gia vật lý ug quah ta cò được gọi là khôg gia 3-chiều Như vậy, một số biểu diễ một điểm trog khôg gia -chiều, một cặp số biểu diễ điểm trog khôg gia -chiều, và một bộ 3 số biểu diễ một điểm trog khôg gia 3-chiều Tuy rằg, ta khôg thể cho được mih họa hìh học của cách biểu diễ điểm trog khôg gia có số chiều lớ hơ 3, hưg bằg cách khái quát hóa, gười ta có thể dùg một bộ số để biểu diễ một điểm trog khôg gia -chiều Khôg gia -chiều với 4 khôg phải chỉ là sự tưởg tượg và khái quát hóa của các hà toá học, mà chúg thật sự tồ tại trog vật lý, kih tế, ã hội Thí dụ để biểu diễ hiệt độ tại một điểm trog khôg gia ug quah ta thì goài 3-chiều thôg thườg ta phải thêm một chiều thời gia Hoặc để biểu diễ tìh trạg sức khỏe của một gười ào đó ta phải dùg bộ hiều số: chiều cao, trọg lượg, vòg gực, huyết áp, độ thíh, tầm hì Chíh ác hơ, với số tự hiê cho trước, ta có: Địh ghĩa Một điểm trog khôg gia -chiều là một bộ số có thứ tự (,,, ) Người ta thườg ký hiệu một điểm trog khôg gia -chiều bằg một chữ đậm, thí dụ hư, và viết = (,,, ) Số i trog bộ số ày được gọi là tọa độ thứ i của điểm Giả sử có điểm trog cùg một khôg gia -chiều là a = ( a, a,, a ) và b = ( b, b,, b ), ta địh ghĩa tổg của chúg (a+b) là một điểm trog khôg gia -chiều với các tọa độ là ( a + b, a + b,, a + b ), và ta địh ghĩa tích của điểm a với một số λ là một điểm với các tọa độ là ( λ, λ,, λ ) a a a Thí dụ Trog khôg gia 3-chiều, với a = (,3,5), b = (,,), λ = 7, ta có a+b = (3,3,6) và λa = (7,,35) Người ta ký hiệu là điểm (trog khôg gia -chiều) có tất cả các tọa độ bằg (tức là = (,,,)) và gọi ó là điểm gốc, cò -a là điểm (-)a (tức là điểm có các tọa độ gược dấu với các tọa độ điểm a) Khi ấy dễ dàg kiểm tra rằg các phép tíh trê thỏa mã các luật sau:

8 Chươg Khôg gia R và khôg gia metric 3 () (a + b) + c = a + (b + c) ; () a + b = b + a ; (3) λ(a + b) = λa + λb ; (4) (λ + µ)a = λa + µa và (λµ)a = λ(µa), với mọi số λ, µ; (5) + a = a + = a với mọi a ; (6) a = a và a + (-a) = Từ đây gười ta cũg quy ước viết a - b thay cho a +(- b) Chứg mih các đẳg thức trê là dễ dàg, gười đọc có thể tự làm hư các bài tập Để làm thí dụ, chúg ta chứg mih đẳg thức (3) Theo địh ghĩa a+ b = ( a+ b,, a + b), ê λ( a+ b) = ( λ( a + b ),, λ( a + b )) = ( λa + λb,, λa + λb ) = λa+ λb Vectơ trog khôg gia -chiều Người ta gọi mỗi cặp điểm a, b trog khôg gia -chiều là một vectơ buộc (hay vectơ địh vị) trog khôg gia -chiều Vectơ ác địh bởi cặp điểm a, b được ký b hiệu là ab Người ta gọi a là điểm đầu, b là a điểm cuối, và cò gọi ab là vectơ địh vị tại a b-a Hai vectơ ab và cd được gọi là tươg đẳg ếu chúg thỏa mã điều kiệ b a= d c Theo địh ghĩa đó, vectơ ab là tươg Hìh đẳg với vectơ địh vị tại gốc và có điểm cuối là b-a Rõ ràg, chỉ có duy hất một vectơ địh vị tại gốc tươg đẳg với một vectơ cho trước (vì dễ thấy rằg ếu vectơ tươg đẳg mà cùg địh vị tại gốc thì điểm cuối của chúg cũg trùg hau) Điều ày được mih họa trog trườg hợp -chiều hư hìh vẽ bê Vectơ địh vị tại gốc được ác địh hoà toà bởi điểm cuối của ó, cho ê trog khôg gia -chiều ta có mối tươg qua - giữa điểm và vectơ địh vị tại gốc Như vậy một bộ số có thể được em là tọa độ của một điểm a hay của một vectơ địh vị tại gốc a, và để cho thuậ tiệ gười ta viết vectơ ày một cách đơ giả là a hay thậm chí là a, trog trườg hợp khôg sợ ảy ra hầm lẫ Hai vectơ ab và cd được gọi là sog sog ếu tồ tại số λ sao cho b a= λ( d c ) Khi số λ là dươg thì ta ói rằg chúg cùg hướg (hay cùg chiều), và trog trườg hợp gược lại ta ói rằg chúg gược hướg (hay gược chiều) hau

9 4 Giải tích các hàm hiều biế Như vậy, hai vectơ là sog sog với hau khi và chỉ khi các vectơ địh vị tại gốc tươg đẳg với chúg sai khác hau một hệ số (khác ) Nghĩa là, khái iệm sog sog ở đây hoà toà phù hợp với hữg gì biết trog trườg hợp khôg gia -chiều hoặc 3-chiều (trog giáo trìh Hìh học giải tích) 3 Tích vô hướg Địh ghĩa Tích vô hướg của vectơ a = ( a, a,, a ) và b = ( b, b,, b ) là một số (ký hiệu là ab ) ác địh hư sau: ab := ab + a b + + ab (Trog một số giáo trìh, để phâ biệt tích vô hướg của vectơ với tích thôg thườg của số, gười ta cò ký hiệu tích vô hướg của vectơ a và b là (a,b) hay ab, Tuy hiê, trog giáo trìh ày, khi cầ phâ địh rõ sự khác biệt giữa các vectơ với các số thôg thườg, chúg ta sẽ dùg phôg chữ đậm để biểu diễ vectơ, cho ê sẽ khôg ảy ra sự lẫ lộ giữa khái iệm đã ói Vì vậy, chúg ta sẽ sử dụg cách ký hiệu đơ giả hư đã trìh bày trê, hư rất hiều tài liệu ước goài hiệ ay, và sẽ chỉ sử dụg ký hiệu <,> khi ào thấy cầ thiết) Tíh chất Từ địh ghĩa trê ta thấy tích vô hướg của vectơ có hữg tíh chất sau: ) ab = ba ; ) a( b+ c) = ab + ac = ( b+ c) a ; 3) ( α a) b= α( ab ), với mọi số α ; 4) aa, và aa = khi và chỉ khi a = Chứg mih Việc kiểm tra các Tíh chất và 3 là dễ dàg và dàh lại cho gười đọc Ta kiểm tra các tíh chất cò lại Đẳg thức đầu trog Tíh chất suy ra từ hậ ét sau a( b+ c) = a( b+ c) + a( b + c) + + a( b + c) = = ( ab + a b + + a b ) + ( ac + a c + + a c ) = ab + ac và đẳg thức sau suy ra từ Tíh chất Phầ uôi của Tíh chất 4 có gay từ địh ghĩa, cò phầ gược lại thì rút ra từ hậ ét rằg ếu trog bộ số ( a, a,, a ) có một phầ tử ào đó khác, thí dụ là a i, thì Các tíh chất đã được kiểm tra og i aa = a + a + + a a >

10 Chươg Khôg gia R và khôg gia metric 5 Để cho thuậ tiệ gười ta hay viết a thay cho aa Lưu ý rằg đây chỉ là quy ước mag tíh hìh thức và khôg có liê qua gì đế phép lũy thừa (hoà toà vô 3 ghĩa khi viết a ) Tuy hiê gười đọc có thể dễ dàg kiểm tra các hằg đẳg thức tươg tự sau đây: ( a+ b) = a + ab + b, ( a b) = a ab + b Hai vectơ a và b được gọi là vuôg góc với hau ếu ab = Trog trườg hợp khôg gia -chiều và 3-chiều khái iệm vuôg góc ở đây hoà toà trùg hợp với khái iệm vuôg góc thôg thườg 4 Chuẩ của vectơ Bổ đề sau đây có tê là bất đẳg thức Schwarz và sẽ đóg vai trò qua trọg trog lý thuyết vectơ Bổ đề (Schwarz) Với vectơ a, b ta luô có ( ab ) ( aa )( bb ) Chứg mih Với a= thì bất đẳg thức trê là hiể hiê Khi a từ Tíh chất 4 ta có ( ta+ b, ta+ b ), với mọi số t Suy ra a t + abt+ b, với mọi t Theo địh lý về dấu của tam thức bậc (biế t) ta có: ( ab) a b Đây chíh là điều cầ chứg mih Địh ghĩa Chuẩ (hay độ dài) của vectơ a, ký hiệu là a, là một số ác địh hư sau: a = aa Dưới dạg tọa độ thì côg thức trê có ghĩa là a = a + a + + a, và trog trườg hợp khôg gia -chiều hoặc 3-chiều thì ó hoà toà trùg hợp với côg thức tíh độ dài theo địh lý Pythagoras Rõ ràg vectơ có chuẩ bằg khi và chỉ khi tất cả các tọa độ của ó bằg Từ bổ đề Schwarz, sau khi lấy că vế, ta thu được côg thức rất hay được sử dụg sau ày là (ab) a b

11 6 Giải tích các hàm hiều biế Ngoài ra độ dài cò có hữg tíh chất qua trọg sau: Địh lý Với số α và các vectơ a, b ta có Chứg mih Theo địh ghĩa ta có αa = α a ; a+b a + b αa = ( αa)( αa) = α ( aa ) = α a Lấy că vế ta được đẳg thức cầ chứg mih Tiếp theo, từ bổ đề Schwarz ta có ab a b Theo địh ghĩa của chuẩ dễ dàg suy ra bất đẳg thức trê tươg đươg với Điều ày có ghĩa là aa + ab + bb a + a b + b ( a+ b)( a+ b) ( a + b ) Sau khi khai că vế ta thu được điều cầ chứg mih Bất đẳg thức trog địh lý trê thườg được gọi là bất đẳg thức tam giác, vì về mặt hìh học ó khẳg địh một điều rất que thuộc là: độ dài của một cạh trog tam giác khôg thể vượt quá tổg độ dài của cạh cò lại Hệ quả (Địh lý Pythagoras) Nếu vectơ a và b vuôg góc với hau thì Chứg mih Ta có do ab = a+ b = a + b a + b = ( a + b) = a + ab + b = a + b, Ta địh ghĩa khoảg cách giữa vectơ a và b là chuẩ của hiệu vectơ đó, ghĩa là bằg a b = ( a b)( a b ) Các vectơ ói đế ở đây đều là vectơ địh vị tại gốc ê hoà toà được ác địh bởi điểm cuối Khoảg cách giữa vectơ cũg có thể được em hư khoảg cách giữa điểm cuối của chúg, và do đó ta cũg có khái iệm khoảg cách giữa điểm trog khôg gia -chiều

12 Chươg Khôg gia R và khôg gia metric 7 Với a = ( a, a,, a ), b = ( b, b,, b ) ta có thể viết lại côg thức địh ghĩa khoảg cách dưới dạg: a b = ( a b ) + ( a b ) + + ( a b ) Rõ ràg, khoảg cách giữa a và b là bằg khoảg cách giữa b và a, và hoà toà trùg hợp với khái iệm khoảg cách mà ta đã biết khi khôg gia là -chiều hoặc 3-chiều Từ các tíh chất của chuẩ, ta dễ dàg suy ra khoảg cách giữa vectơ ( điểm) có hữg tíh chất đặc trưg sau đây: () a b ; () a b = khi và chỉ khi a = b ; (3) a b = b a ; (4) a b a c + c b Chứg mih Các Tíh chất (),(),(3) là hiể hiê Tíh chất cuối cùg có gay từ bất đẳg thức tam giác, bởi vì a - b = (a - c) + (c - b) Nhậ ét Như vậy ta đã ây dựg được khôg gia các vectơ (các điểm) trê cơ sở các bộ số và trag bị trê đó các phép tíh cộg, hâ với số, tích vô hướg và khái iệm khoảg cách Khôg gia ày có tê gọi là khôg gia Euclid -chiều và được ký hiệu là R Đây là một khôg gia có hiều tíh chất thú vị và sẽ đóg vai trò ề tảg trog suốt giáo trìh Giải tích các hàm hiều biế Sau ày, khi đã làm việc que với khôg gia R và khôg cò sự hầm lẫ giữa số và bộ số, chúg ta có thể dùg chữ thườg để biểu thị bộ số hay điểm trog khôg gia hiều chiều (mà khôg hất thiết phải dùg chữ đậm hư trog mục ày) 5 Áh ạ tuyế tíh Phép ứg A từ khôg gia R vào khôg gia R m được gọi là một áh ạ tuyế tíh ếu ó có các tíh chất sau đây: (i) A( + y) = A( ) + A( y),, y R ; (ii) A( λ) = λa ( ), λ R, R Ta gọi các vectơ e = (,,,), e = (,,,),, e = (,,,) trog R là các vectơ trục đơ vị Dễ dàg thấy rằg một vectơ bất kỳ = (,,, ) được biểu diễ qua các vectơ trục đơ vị bằg côg thức sau = (,,,) + (,,, ) + + (,,, ) = e + e + + e

13 8 Giải tích các hàm hiều biế và do các tíh chất (i)-(ii) ta suy ra ảh của qua phép áh ạ tuyế tíh A sẽ được biểu diễ qua ảh của các vectơ trục đơ vị theo côg thức sau A( ) = A( e ) + A( e ) + + A ( e ) (*) Mỗi A ( e i ) là một phầ tử trog R m, cho ê ó sẽ là một bộ m số, ký hiệu là ( ai, ai,, a im) Ta thiết lập một ma trậ chữ hật A gồm m hàg và cột, với các cột là các bộ số A ( ), tức là A : = [ A( e ) A( e ) A ( e )], hay e i a a a a a a A : = am am a m Ma trậ ày được gọi là ma trậ của áh ạ tuyế tíh A Nếu ta coi mỗi vectơ hư là một ma trậ cột thì ta có thể viết = và, do côg thức (*), a + + a a + + a A ( ) = am+ + am Theo phép hâ các ma trậ thì côg thức (*) có thể được viết lại dưới dạg đơ giả là A ( )= A (**) Ngược lại, ếu có một ma trậ A (cỡ m ) thì ta thiết lập được một phép ứg từ khôg gia R vào khôg gia R m theo côg thức (**) Với các tíh chất của phép hâ và cộg các ma trậ (đã biết trog giáo trìh Đại số tuyế tíh), ta dễ thấy rằg phép ứg ày thỏa mã các điều kiệ (i)-(ii), cho ê ó là một áh ạ tuyế tíh Như vậy, ta có một phép tươg ứg giữa tập các áh ạ tuyế tíh (từ khôg gia R vào khôg gia R m ) và tập các ma trậ chữ hật (cỡ m ) Trog trườg hợp riêg, khi = m thì A là một ma trậ vuôg (cấp ) và áh ạ tươg ứg với ó là một áh ạ từ khôg gia R vào chíh ó (hay cò gọi là một phép biế đổi trog R ) Ta ói áh ạ tuyế tíh là khôg suy biế ếu hư ma trậ tươg ứg với ó là khôg suy biế, tức là có địh thức khác Từ giáo trìh Đại số tuyế tíh ta biết rằg một ma trậ vuôg khôg suy biế có ma trậ ghịch đảo, và dễ dàg kiểm tra rằg áh ạ tuyế tíh tươg ứg với ma trậ ghịch đảo ày là áh ạ gược của áh ạ ba đầu Cho ê, mỗi phép biế đổi khôg suy biế là một sog áh

14 Chươg Khôg gia R và khôg gia metric 9 Người ta địh ghĩa chuẩ của áh ạ tuyế tíh A, kí hiệu A, là số ác địh hư sau: A : = sup { A ( ) : B(,) }, trog đó ta kí hiệu B(,) là quả cầu đơ vị trog R, tức là tập hợp các vectơ có độ dài (chuẩ) khôg vượt quá Để ý rằg với = (,, ) B(,) thì i với mọi i =,,, cho ê từ côg thức (*) ta suy ra được A là một số hữu hạ (khôg vượt quá tổg của chuẩ các ảh của vectơ trục đơ vị) Với mọi vectơ, ta có ( / ) là vectơ ằm trog quả cầu đơ vị, và do tíh tuyế tíh của A ta có: hay là A( ) A ( ) = = A A, A( ) A Rõ ràg với = bất đẳg thức ày vẫ đúg, cho ê ó đúg với mọi Đây là một côg thức qua trọg, vì ó phả áh tíh liê tục của áh ạ tuyế tíh trog khôg gia hữu hạ chiều (hư sẽ thấy sau ày) Các áh ạ tuyế tíh là đối tượg được ghiê cứu kỹ trog giáo trìh Đại số tuyế tíh, cho ê trog giáo trìh ày ta sẽ khôg đi sâu Tuy hiê, do vai trò qua trọg trog rất hiều lĩh vực, chúg sẽ được đề cập đế hiều hơ về khía cạh thực hàh tíh toá Nhậ ét Khôg gia R là sự mở rộg của các khôg gia -chiều, 3-chiều và được thừa hưởg hiều thuộc tíh mà ta đã que biết từ hữg ăm phổ thôg Tuy hiê, đối tượg ghiê cứu của Toá học là vô cùg rộg rãi và rất hiều khôg gia mà ó đề cập (với các phầ tử khôg hất thiết là các bộ số) thườg khôg có được tất cả các tíh chất giốg hư của R Nhữg khôg gia chỉ được trag bị các phép tíh cộg, hâ với số (với các tíh chất giốg hư trog R ) được gọi là các khôg gia có cấu trúc tuyế tíh và được ghiê cứu kỹ trog giáo trìh Đại số tuyế tíh Nhữg khôg gia khôg có được cấu trúc tuyế tíh, hưg lại được trag bị khái iệm khoảg cách (với các tíh chất giốg hư trog R ) được gọi là khôg gia metric Khôg gia ày và các dạg tổg quát của ó được ghiê cứu kỹ trog lý thuyết Tôpô và là một phầ rất qua trọg của giáo trìh Giải tích hàm Tuy hiê, khôg gia metric cũg là một côg cụ tiệ lợi trog

15 Giải tích các hàm hiều biế ghiê cứu hàm hiều biế, cho ê chúg ta cầ biết một số khái iệm cơ bả về ó Khôg gia metric Địh ghĩa và các ví dụ Địh ghĩa Khôg gia metric là một tập hợp E được trag bị một phép ứg mỗi cặp điểm p,q E với một số thực d(p,q) sao cho () d( p, q), p, q E; () d( p, q) = p= q ; (3) d( p, q) = d( q, p), p, q E ; (4) d( pq, ) d( pr, ) + drq (, ), pqr,, E(bất đẳg thức tam giác) Như vậy khôg gia metric là một cặp (E,d), trog đó E là một tập hợp và d là một hàm số d : E E R thỏa mã các Tíh chất ()-(4) Thôg thườg, khi ói về một khôg gia metric ào đó với hàm d mà mọi gười đều hiểu là gì rồi thì gười ta chỉ dùg tập E để biểu thị thay cho cả cặp (E,d) Điều ày tuy khôg đúg về mặt logic, hưg lại thuậ tiệ cho ê được mọi gười chấp hậ Số d(p,q) được gọi là khoảg cách giữa điểm p, q, và hàm d được gọi là hàm khoảg cách hay là metric Thí dụ Với E = R và hàm d được địh ghĩa hư sau d( a,b) = a b = ( b a ) + + ( b a ) thì từ các tíh chất của khoảg cách trog R ta suy ra cặp (R,d) là một khôg gia metric Nó sẽ là một khôg gia metric điể hìh trog giáo trìh ày, và metric ác địh hư trê sẽ được coi là metric thôg thườg trê R Trog trườg hợp đặc biệt, khi =, ta có trục số thực R cũg là một khôg gia metric với địh ghĩa khoảg cách giữa hai số là giá trị tuyệt đối của hiệu của chúg Thí dụ Với E = R và hàm d được địh ghĩa hư sau d( ab, ) = b a + + b a

16 Chươg Khôg gia R và khôg gia metric thì cặp (R,d) cũg là một khôg gia metric (gười đọc tự kiểm tra hư một bài tập) Thí dụ 3 Với E = R ta địh ghĩa hàm d hư sau d( ab, ) = ma { b a, i=,,, } thì cũg dễ dàg thấy rằg cặp (R,d) là một khôg gia metric (gười đọc tự kiểm tra hư một bài tập) Thí dụ 4 Khi (E,d) là một khôg gia metric thì mỗi tập co E E cùg với thu hẹp của d trê E E cũg tạo thàh một khôg gia metric, được gọi là khôg gia metric co của E và thườg được ký hiệu là ( E,d) Thí dụ 5 Với E là một tập bất kỳ, ta địh ghĩa khi p = q, d( p, q) = khi p q Rõ ràg d thỏa mã mọi điều kiệ của một hàm khoảg cách và cặp (E,d) là một khôg gia metric Tuy hiê khôg gia ày có cấu trúc đơ giả tới mức chẳg cug cấp cho ta một thôg ti đág kể ào Cho ê phươg pháp ác địh hàm khoảg cách sẽ là yếu tố thực sự đem lại cấu trúc cho một khôg gia metric Mệh đề Với các điểm p, p,, p trog khôg gia metric E ta luô có i d( p, p ) d( p, p ) + d( p, p ) + + d( p, p ) 3 Chứg mih Suy từ việc áp dụg bất đẳg thức tam giác lặp lại - lầ d( p, p ) d( p, p ) + d( p, p ) d( p, p ) + d( p, p ) + d( p, p ) 3 3 Mệh đề Với các điểm p, p, p 3 trog khôg gia metric E ta luô có d( p, p ) d( p, p ) d( p, p ) 3 3 (Nghĩa là: Hiệu của cạh trog tam giác luô hỏ hơ cạh cò lại) Chứg mih Từ bất đẳg thức tam giác ta có d( p, p3) d( p, p) + d( p, p3) và d( p, p3) d( p, p) + d( p, p3) Các bất đẳg thức ày có thể viết lại thàh d( p, p3) d( p, p3) d( p, p) và d( p, p3) d( p, p3) d( p, p), chíh là điều cầ chứg mih i

17 Giải tích các hàm hiều biế Tập đóg và tập mở trog khôg gia metric Ta đã biết khái iệm về tập đóg và tập mở trog R Một cách tươg tự, ta có thể địh ghĩa khái iệm ày trog khôg gia metric (ói chug) và trog R (ói riêg) Trước hết ta đưa ra địh ghĩa quả cầu trog khôg gia metric Quả cầu mở trog khôg gia metric (E,d) với tâm tại p E và bá kíh r > là tập hợp B( p, r): = { q E: d( p, q) < r} Quả cầu đóg trog khôg gia metric (E,d) với tâm tại p E và bá kíh r > là tập hợp B( p, r): = { q E: d( p, q) r} Khi ta khôg chỉ rõ tâm và bá kíh thì ta chỉ cầ ói quả cầu thay cho việc ói quả cầu với tâm là một điểm ào đó và với bá kíh là một số dươg ào đó Thí dụ Với E = R 3 và với metric thôg thườg thì khái iệm quả cầu hư trê hoà toà trùg hợp với quả cầu theo gô gữ đời thườg, cò với metric hư trog Thí dụ 3 thì quả cầu sẽ là một hìh lập phươg (theo gô gữ đời thườg) Quả cầu thôg thườg khôg kể phầ mặt cầu thì là quả cầu mở, và ếu kể cả mặt cầu thì là quả cầu đóg Với E = R và với metric thôg thườg thì quả cầu là một hìh trò, cò với metric hư trog Thí dụ 3 thì quả cầu là một hìh vuôg (theo gô gữ thôg thườg) Hìh trò khôg kể vòg trò bao quah thì là hìh trò mở, và ếu kể cả vòg trò bao quah thì là hìh trò đóg Với E = R thì quả cầu mở chíh là một khoảg và quả cầu đóg chíh là một đoạ Ngược lại, một khoảg (a,b) bất kỳ luô có thể được em là một quả cầu mở với tâm tại điểm p = a+ b và bá kíh r = b a, vì a< < b a b < a + b < b a a + b < b a Tươg tự hư vậy đối với đoạ Địh ghĩa Tập co S trog khôg gia metric E được gọi là mở ếu, với mỗi p S, tập ày chứa cả một quả cầu tâm p (với bá kíh ào đó) Rõ ràg, khi E = R, khái iệm tập mở ở đây hoà toà trùg hợp với khái iệm tập mở mà ta đã đưa ra trước đây (trog giáo trìh Giải tích một biế) Khái

18 Chươg Khôg gia R và khôg gia metric 3 iệm tập mở (hay khôg mở) chỉ có ghĩa khi ó là một tập co trog khôg gia metric Mệh đề Trog khôg gia metric E bất kỳ ta luô có () Tập rỗg là mở ; () Cả khôg gia E là mở ; (3) Hợp của một họ (bất kỳ) tập mở là một tập mở ; (4) Giao của một họ hữu hạ tập mở là một tập mở Chứg mih Phầ () là hiể hiê, vì tập rỗg khôg chứa điểm ào ê ó chẳg phải chứa quả cầu ào Phầ () cũg là rõ ràg vì mọi quả cầu đều ằm trog E, ghĩa là E chứa mọi quả cầu với tâm ở bất kỳ điểm ào Phầ (3) dễ dàg suy ra từ địh ghĩa, vì một tập ào đó trog họ mà đã chứa một quả cầu thì hợp của cả họ ắt phải chứa quả cầu đó Ta chỉ cò phải chứg mih phầ cò lại Trườg hợp giao của họ các tập mở () cho ta điều cầ chứg mih S i (i=,,,n) là một tập rỗg thì Phầ Trườg hợp giao của họ các tập mở S i (i=,,,n) là một tập S khác rỗg thì với mỗi điểm N p S: = Si ta sẽ chỉ ra rằg tìm được quả cầu tâm p ằm gọ i= trog S Thật vậy, do mỗi tập S i là mở và p Si, ta tìm được quả cầu tâm p bá kíh r i ằm gọ trog S i Lấy r= mi{ r, r,, r N }, ta dễ dàg thấy rằg quả cầu tâm p với bá kíh r ằm trog quả cầu tâm p bá kíh r i (và do đó ằm gọ trog S i ), với mọi i=,,, N Điều ày chứg tỏ quả cầu tâm p bá kíh r ằm trog giao của tất cả các tập S i, ghĩa là ó ằm trog S và mệh đề đã được chứg mih og Nhậ ét Trog giáo trìh Giải tích một biế chúg ta đã biết tôpô trê trục số thực là một họ các tập co thỏa mã các điều kiệ tươg tự hư họ tập mở êu trog mệh đề trê Dễ dàg thấy rằg khái iệm tôpô ày có thể mở rộg ra cho tập bất kỳ, và một tập hợp có tôpô được gọi là một khôg gia tôpô Như vậy, mệh đề trê ói rằg khôg gia metric là một khôg gia tôpô (với tôpô là họ các tập mở) Để giải tỏa mối bă khoă về sự ug khắc có thể ảy ra giữa khái iệm mở (quả cầu mở và tập mở), ta có mệh đề sau Mệh đề Quả cầu mở trog khôg gia metric là một tập mở Chứg mih Cho quả cầu mở bất kỳ B(p,r) Lấy điểm q bất kỳ trog B(p,r), ta chỉ ra rằg tồ tại quả cầu có tâm tại q (với bá kíh ào đó) ằm gọ trog B(p,r) Thật vậy, do q ằm trog B(p,r) ê d(p,q) < r Lấy số dươg s < r d( p, q) ta có Bqs (, ) Bpr (, ), vì rằg

19 4 Giải tích các hàm hiều biế d( q, ) < s d( p, ) d( p, q) + d( q, ) < d( p, q) + s< r Mệh đề đã được chứg mih og Như vậy đối với quả cầu thì khái iệm mở thực chất chỉ là một Nhậ ét Từ mệh đề trê ta thấy rằg tập mở chíh là hợp của các quả cầu mở Thật vậy, hợp của các quả cầu mở cho ta một tập mở Ngược lại, một tập mở có thể em là hợp của tất cả các quả cầu ằm trog ó (mỗi điểm của tập mở đều ằm trog một quả cầu hư vậy, ê hợp của tất cả các quả cầu ày đươg hiê chứa tất cả các điểm của tập) Lưu ý Giao của một họ vô hạ các tập mở khôg hất thiết là một tập mở Thí dụ, trog khôg gia R, giao của họ các quả cầu mở B( p, ) với =,,3,, chỉ là một điểm p đơ độc và khôg phải là tập mở Địh ghĩa Một tập co S trog khôg gia metric E được gọi là đóg ếu hư phầ bù của ó là một tập mở Nhắc lại rằg phầ bù của một tập co S trog khôg gia E là C(S)=E \ S Để tráh ỗi bă khoă về sự ug khắc có thể ảy ra giữa khái iệm đóg đối với quả cầu (quả cầu đóg và tập đóg) ta có mệh đề sau đây khẳg địh rằg về thực chất chúg chỉ là một Mệh đề Quả cầu đóg trog khôg gia metric là một tập đóg Chứg mih Lấy quả cầu đóg bất kỳ B( p, r ), ta chứg mih rằg phầ bù của ó là một tập mở Rõ ràg phầ bù của ó là CB [ ( pr, )] = { E: d( p, ) > r} Nếu ó rỗg thì đươg hiê ó là mở Khi ó khác rỗg, ta lấy một điểm q bất kỳ trog CB [ ( pr, )] và chỉ ra rằg có quả cầu tâm tại q ằm hoà toà trog CB [ ( pr, )] Thật vậy, do q C[ B( p, r)] ê d( p, q) > r và ta tìm được số dươg s < d( p, q) r Dễ dàg kiểm tra rằg Bqs (, ) CB [ ( pr, )], bởi vì B( q, s) d( q, ) < d( p, q) r d( p, ) d( p, q) d( q, ) > r Mệh đề được chứg mih og Tươg tự hư đối với các tập mở, ta có Mệh đề Trog khôg gia metric E bất kỳ ta luô có () Cả khôg gia E là một tập đóg ; () Tập rỗg là một tập đóg ; (3) Giao của một họ (bất kỳ) tập đóg là một tập đóg ; (4) Hợp của một họ hữu hạ tập đóg là một tập đóg

20 Chươg Khôg gia R và khôg gia metric 5 Chứg mih Các phầ ()-() suy gay từ mệh đề tươg tự đối với tập mở Các phầ (3)-(4) cũg suy từ mệh đề ấy kết hợp với một kết quả đã biết trog lý thuyết tập hợp là: Phầ bù của hợp các tập là giao của các phầ bù của các tập ày; và phầ bù của giao các tập là hợp của các phầ bù của các tập ày Nhậ ét Dễ dàg thấy rằg phầ bù của một điểm là một tập mở, cho ê mỗi điểm là một tập đóg; và từ mệh đề trê suy ra tập hợp gồm hữu hạ điểm là một tập đóg Mặt cầu S( p, r): = { E: d( p, ) = r} có thể em là giao của quả cầu đóg với phầ bù của quả cầu mở (là một tập đóg) cho ê ó cũg là một tập đóg Một tập co trog khôg gia metric được gọi là giới ội ếu ó ằm trog một quả cầu ào đó Thí dụtrog R với metric thôg thườg, một tập là giới ội ếu tồ tại số r > để đoạ [-r,r] chứa trọ tập ấy Dĩ hiê toà bộ khôg gia R khôg phải là giới ội Thế hưg ếu ét E = R với metric hư trog Thí dụ 5 ở mục trước thì R lại là tập giới ội 3 Hội tụ trog khôg gia metric Sự hội tụ trog khôg gia metric ói chug cũg tươg tự hư sự hội tụ trê trục số thực mà ta đã que biết, ếu ta coi mỗi khoảg là một quả cầu và khoảg cách giữa số là trị tuyệt đối của hiệu của chúg Chíh ác hơ ta có địh ghĩa sau: Địh ghĩa Dãy các điểm p, p, p3, trog khôg gia metric E được gọi là hội tụ đế điểm p E ếu, với mỗi số ε >, tìm được số tự hiê N sao cho d( p, p ) < ε khi > N Khi ấy ta cũg ói rằg p là giới hạ của dãy { p }, hay dãy { p } có giới hạ là p Và viết lim p = p Một dãy được gọi là hội tụ ếu ó hội tụ đế một điểm ào đó Nếu ta gọi quả cầu tâm p bá kíh ε là một ε-lâ cậ của điểm p thì địh ghĩa trê có thể phát biểu hư sau: Dãy các điểm p, p, p3, trog khôg gia metric E được gọi là hội tụ đế điểm p E ếu, với mỗi số ε >, tìm được số tự hiê N để mọi p với > N đều ằm trog ε-lâ cậ của p

21 6 Giải tích các hàm hiều biế Lưu ý Trog địh ghĩa trê số tự hiê N được tìm sau khi đã cho ε, ê ói chug ó phụ thuộc vào ε và sẽ chíh ác hơ ếu viết N(ε) thay vì N Tuy hiê, để cho thuậ tiệ, và cũg để tráh gây sự hiểu lầm là có sự tươg ứg ào đó giữa ε và N, chúg ta sẽ khôg viết hư vậy khi thấy khôg cầ hấ mạh điều ày Trog thực tế, khi đã tìm được một số N hư trog địh ghĩa thì cũg có ghĩa là tồ tại vô số các số hư vậy (thí dụ: tất cả các số tự hiê lớ hơ ó) Nhậ ét Sự hội tụ của một dãy phải luô được hiểu trog qua hệ với một khôg gia metric ác địh ào đó Cùg một dãy có thể là hội tụ trog khôg gia metric ày, và khôg là hội tụ trog khôg gia metric khác Thí dụ: dãy số { } là hội tụ tới trê trục số thực với metric thôg thườg (khoảg cách điểm bằg trị tuyệt đối của hiệu của chúg) và khôg hội tụ trê trục số thực với metric tầm thưòg (khoảg cách giữa hai điểm khác hau là bằg, và chỉ bằg khi trùg hau) Sự hội tụ của một dãy tới một điểm giới hạ ào đó có ghĩa là các điểm của dãy càg về sau thì càg gầ đế điểm giới hạ, hưg khôg có ghĩa là tất cả các điểm phía sau phải gầ hơ tất cả các điểm phía trước Thí dụ dãy số a = ( )/ có điểm đầu tiê a = là gầ giới hạ của dãy hơ bất cứ phầ tử ào đứg sau ó (vì chíh ó là điểm giới hạ của dãy) Mệh đề Một dãy trog khôg gia metric chỉ có hiều hất là một điểm giới hạ Chứg mih Bằg phả chứg, giả sử gược lại rằg có điểm phâ biệt p và q cùg là giới hạ của một dãy{ p } Do d( p, q ) > ta tìm được số dươg ε < d( p, q)/ Do dãy { p } hội tụ đế p ê với số ε ày ta tìm được số tự hiê N sao cho d( p, p ) < ε, > N Mặt khác do { p } hội tụ đế q ta tìm được số tự hiê N sao cho dqp (, ) < ε, > N Như vậy khi > N: = ma{ N, N} ta sẽ có d( p, p ) < ε và dqp (, ) < ε Tổg hợp lại và kết hợp với bất đẳg thức tam giác ta suy ra d( p, q) d( p, p ) + d( p, q) < ε+ ε= ε< d( p, q) Đây là điều mâu thuẫ, cho ê mệh đề được chứg mih og Với p, p, p3, là một dãy điểm và,, 3, là một dãy số tự hiê tăg chặt (tức là < < 3 < ) thì dãy p, p, p, được gọi là dãy co của dãy 3 p, p, p 3, (Đôi khi, để tráh phải viết các chỉ số quá hỏ, ta sẽ viết các dãy co là p(), p(), p (3), ) Trog trườg hợp riêg, một dãy cũg là dãy co của chíh ó

22 Chươg Khôg gia R và khôg gia metric 7 Mệh đề Mỗi dãy co của một dãy hội tụ cũg là một dãy hội tụ và cùg có chug giới hạ với dãy ba đầu Chứg mih Mệh đề ày đã que thuộc với chúg ta trog trườg hợp dãy số Trog trườg hợp khôg gia metric ói chug việc chứg mih khôg có gì khác và i dàh lại cho gười đọc hư một bài tập Một dãy p, p, p 3, trog khôg gia metric được gọi là giới ội ếu tập điểm { p, p, p 3, } là giới ội Nhậ ét Mọi dãy hội tụ là giới ội Thật vậy, gọi p là điểm giới hạ của ó thì với một số dươg ε ào đó ta tìm được số tự hiê N để mọi điểm của dãy, kể từ phầ tử thứ N trở đi ằm cách điểm p một khoảg khôg quá ε, và hư vậy toà bộ dãy sẽ ằm hoà toà trog quả cầu tâm p với bá kíh là R ε dpp dpp dpp N : = ma{, (, ), (, ),, (, )} Địh lý Một tập S (trog khôg gia metric E) là đóg khi và chỉ khi mọi dãy hội tụ của S có giới hạ ằm trog S Chứg mih ( ) Ta chỉ ra rằg ếu S là một tập đóg và dãy { p } S là hội tụ đế một điểm p (trog E) thì phải có p S Thật vậy, ếu khôg hư thế thì p ằm trog phầ bù của S và đây là một tập mở ê tồ tại một quả cầu tâm p bá kíh ε ào đó ằm hoà toà trog phầ bù của S Do tíh chất của dãy hội tụ ê tồ tại số tự hiê N sao cho mọi p với > N đều ằm trog ε-lâ cậ của p, tức là ằm trog phầ bù của S Đây là điều mâu thuẫ vì khôg thể có các điểm vừa ằm trog S vừa ằm trog phầ bù của S ( ) Ta chỉ ra rằg ếu mọi dãy hội tụ { p } S có giới hạ ằm trog S thì S là một tập đóg Bằg phả chứg, giả sử gược lại S khôg đóg Khi ấy phầ bù của ó C(S) khôg phải là tập mở, tức là tồ tại điểm p CS ( ) mà khôg có quả cầu tâm p ào ằm gọ trog C(S) Suy ra, với mỗi số tự hiê, trog quả cầu B( p, ) có một điểm q ào đó khôg ằm trog C(S), cũg tức là q S Dễ dàg kiểm tra rằg lim q = p và theo giả thiết ta suy ra p S Như vậy p vừa ằm trog S vừa ằm trog C(S) Mâu thuẫ ày cho thấy địh lý được chứg mih 4 Tíh đầy đủ trog khôg gia metric Địh ghĩa Dãy các điểm p, p, p3, trog khôg gia metric được gọi là dãy Cauchy ếu, với mỗi số ε >, tìm được số tự hiê N sao cho khi m, > N thì d( p, p ) < ε m Lưu ý rằg số tự hiê N được tìm sau khi đã cho số ε cho ê ói chug ó phụ thuộc vào ε Vì số ε có thể cho bé bao hiêu tuỳ ý, cho ê dãy Cauchy có một đặc trưg hìh học rất cơ bả là các điểm càg về cuối thì càg gầ hau

23 8 Giải tích các hàm hiều biế Mệh đề Dãy hội tụ là dãy Cauchy Chứg mih Nếu dãy p, p, p 3, hội tụ đế điểm p thì, với mỗi số ε >, tìm được số tự hiê N sao cho khi > N ta có d( p, p ) < ε / Suy ra, với mọi km, > N, d( pk, pm) < d( pk, p) + d( p, pm) < ε + ε = ε, có ghĩa p, p, p 3, là dãy Cauchy Nhậ ét Điều gược lại ói chug là khôg đúg Thí dụ: Trục số thực mà bỏ đi điểm gốc thì vẫ là khôg gia metric (với hàm khoảg cách thôg thườg), hưg dãy số { } khôg phải là dãy hội tụ trog khôg gia ày, mặc dù ó là dãy Cauchy (dễ dàg kiểm tra điều ày theo địh ghĩa) Lý do khiế dãy ày khôg hội tụ là khôg gia bị thủg một lỗ ở gốc tọa độ Các khôg gia hư vậy được coi là khôg đầy đủ Trước khi bà đế việc làm đầy ó, ta lưu ý thêm một số tíh chất của dãy Cauchy Mệh đề Dãy co của một dãy Cauchy cũg là dãy Cauchy Chứg mih Suy gay từ địh ghĩa Mệh đề Dãy Cauchy là giới ội Chứg mih Với dãy Cauchy ta tìm được số tự hiê N để mọi điểm kể từ N trở đi cách hau khôg quá Lấy một điểm p m với m> N Khoảg cách giữa pm và mỗi điểm bất kỳ trog số (hữu hạ) N điểm đầu của dãy là bị chặ bởi một số dươg R ào đó Dễ dàg thấy rằg toà bộ dãy phải ằm trog quả cầu tâm p m với bá kíh là số lớ hơ trog số R và Mệh đề Nếu dãy Cauchy có một dãy co hội tụ thì ó cũg hội tụ (tới giới hạ của dãy co đó) Chứg mih Cho p, p, p 3, là dãy Cauchy và p(), p(), p(3), là dãy co hội tụ của ó Gọi p là điểm giới hạ của dãy co Với số dươg ε cho trước, do tíh chất của dãy Cauchy ta tìm được số tự hiê N sao cho khi m, > N thì d( p, pm) < ε / Do tíh chất của dãy hội tụ ta tìm được phầ tử trog dãy co là p k ( ) với k ( ) > N sao cho d( p, pk ( )) < ε / Khi ấy ta có d( p, p) d( p, p( k) ) + d( p( k), p) < ε + ε = ε Theo địh ghĩa của giới hạ ta có điều cầ chứg mih Địh ghĩa Khôg gia metric E được gọi là đầy đủ ếu mọi dãy Cauchy trog E có giới hạ (trog E)

24 Chươg Khôg gia R và khôg gia metric 9 Thí dụtrục số thực R với metric thôg thườg là một khôg gia metric đầy đủ Trục số thực R với metric hư trog Thí dụ 5 ở Mục cũg là một khôg gia metric đầy đủ vì các phầ tử của dãy Cauchy trùg hau khi các chỉ số đủ lớ và đó chíh là giới hạ của dãy Tuy hiê khi E là khoảg mở (,) trog R thì với metric thôg thườg ó khôg phải là khôg gia metric đầy đủ vì dãy Cauchy { } khôg có giới hạ trog E Mệh đề Mỗi tập đóg trog một khôg gia metric đầy đủ là một khôg gia metric đầy đủ Chứg mih Suy ra gay từ địh ghĩa Địh lý Khôg gia R là đầy đủ Chứg mih Trog giáo trìh Giải tích một biế ta đã biết rằg rằg mọi dãy số giới ội đều có một dãy co hội tụ Ta lại biết rằg mọi dãy Cauchy đều giới ội, cho ê ó có dãy co hội tụ, và theo mệh đề trê thì bả thâ ó cũg phải hội tụ (đế giới hạ của dãy co ày) Tổg hợp lại ta suy ra rằg trục số thực (với metric thôg thườg) là một khôg gia đầy đủ Tíh đầy đủ khôg gia R là hoà toà = dựa trê sự kiệ ày với hậ ét rằg, với p ( a, a,, a ) R và q = b b b (,,, ) R, ta luô có a b d( pq, ) a b + a b + + a b, với mọi i =,,, i i Thật vậy, bất đẳg thức trê cho thấy rằg một dãy trog R là dãy Cauchy khi và chỉ khi các dãy tọa độ của ó là dãy Cauchy, và một dãy trog R là hội tụ tới một điểm p trog R khi và chỉ khi các dãy tọa độ của ó hội tụ (tươg ứg) đế các tọa độ của điểm p Cho ê với dãy Cauchy bất kỳ trog R ta có các dãy tọa độ của chúg cũg là các dãy Cauchy, và do tíh đầy đủ của trục số thực ta suy ra chúg đều có giới hạ Các giới hạ ày là tọa độ của một điểm trog R Dễ dàg chứg mih rằg điểm ày chíh là giới hạ của dãy điểm ba đầu Địh lý đã được chứg mih og 5 Tíh compact trog khôg gia metric Chúg ta đã làm que với khái iệm compact trê trục số thực Khái iệm ày hoà toà có thể mở rộg cho khôg gia metric, tươg tự hư ta đã làm với tập mở, tập đóg, Để tiệ tra cứu, chúg ta hắc lại:

25 Giải tích các hàm hiều biế Một họ các tập mở (trog một khôg gia metric) được gọi là phủ mở của một tập S ếu hư hợp của chúg chứa toà bộ S Nếu có một họ co (trog họ các tập mở ày) là phủ mở của S thì ta gọi ó là phủ co Trog giáo trìh ày ta chỉ ét phủ lập thàh từ họ các tập mở, ê đôi khi ta ói gọ phủ thay cho phủ mở Nếu họ gồm một số hữu hạ tập mở thì phủ được gọi là phủ hữu hạ Một tập S (trog khôg gia metric E) được gọi là compact ếu trog mỗi phủ của ó ta tìm được một phủ co hữu hạ Bả thâ khôg gia E cũg được em hư một tập, ê khái iệm compact cũg có thể được áp dụg cho ó Khi ấy, khôg gia metric E là compact ếu hư từ mọi họ tập mở hợp thàh ó ta tìm được một số hữu hạ các tập mở hợp thàh ó Nhậ ét Trog thực tế việc kiểm tra tíh compact bằg phủ mở hư êu trog địh ghĩa là một côg việc hết sức khó khă Thay vào đó gười ta thườg khai thác hữg đặc điểm cơ bả của tíh compact và em đó hư các tiêu chuẩ để hậ biết ó Nguyê lý giao hữu hạ Trog giáo trìh Giải tích một biế chúg ta đã có guyê lý giao của tập compact trog R Bây giờ chúg ta sẽ mở rộg guyê lý ày trog khôg gia metric Cho { Aα : α I} là họ bất kỳ hữg tập khác rỗg trog khôg gia metric E Ta ói họ ày có tíh chất giao hữu hạ ếu với mọi bộ hữu hạ chỉ số α,, αk I ta có k A α i i= Bổ đề Mỗi tập đóg trog một khôg gia metric compact là một tập compact Chứg mih Lấy tập đóg S trog khôg gia compact E Giả sử có một phủ của S là họ các tập mở{ Vα, α K}, ghĩa là S V α Do C(S) (phầ bù của S ) là α K một tập mở và rõ ràg họ { Vα, α K} kết hợp với tập C(S) sẽ lập thàh một phủ của cả khôg gia E Do tíh compact của E ê ta tìm được một phủ co hữu hạ từ phủ ày, ghĩa là tìm được một tập hữu hạ I K sao cho E V C( S) Từ đây ta suy ra i I đề đã được chứg mih og = i i I S Vi, có ghĩa { Vi, i I} là một phủ (hữu hạ) của S Mệh

26 Chươg Khôg gia R và khôg gia metric Địh lý Giả sử E là khôg gia metric compact và { Aα : α I} là họ hữg tập co đóg khác rỗg trog E có tíh chất giao hữu hạ Khi ấy họ ày có điểm chug, tức là A α α I Chứg mih Đặt Uα = E \ Aα Vì A α đóg ê U α mở Giả thiết phả chứg là A α = Khi ấy { Uα : α I} tạo thàh phủ của E Vì E là compact ê tồ tại α I phủ co hữu hạ Uα,, U α, tức là k E= k U α i i=, hay k A α i i= = Đây là điều vô lý vì họ { Aα : α I} có tíh chất giao hữu hạ Địh lý được chứg mih đầy đủ Hệ quả Cho trước họ các tập compact khác rỗg lồg hau S S Khi ấy Si i= Chứg mih Hiể hiê họ { Si : i=,, } là một họ hữg tập đóg khác rỗg có tíh chất giao hữu hạ trog khôg gia compact S Vì thế, theo địh lý trê, giao của chúg khác rỗg Đây chíh là điều cầ chứg mih Các tíh chất cơ bả Để khảo sát các tập compact ta cầ một số khái iệm sau đây: Điểm p trog khôg gia metric E được gọi là điểm tụ của tập S Eếu mọi quả cầu có tâm tại p đều chứa vô hạ các phầ tử của S Với ε > và A là một tập co trog E, ta ói A là ε-lưới của E ếu với mọi trog E tồ tại a A để d(a,) < ε Tươg tự hư vậy ta địh ghĩa được ε-lưới của một tập bất kỳ B E Tập B E được gọi là hoà toà giới ội ếu B có ε-lưới hữu hạ với mỗi số dươg ε Thí dụ Trog R quả cầu tâm, bá kíh là tập hoà toà giới ội Thật vậy, với ε > bất kỳ, chọ số guyê N > Dễ thấy tập hữu hạ ε j {( i, yj) : i = i, yj =, i + yj, i, j=,, N} N N

27 Giải tích các hàm hiều biế tạo thàh ε-lưới của quả cầu ói trê Chú ý Nếu hư tập B E là hoà toà giới ội thì ó cũg là giới ội Thật vậy, giả sử {,, } B là một ε-lưới (với ε > ) của B Lấy B và đặt r = ma { d(, ) : i=,, } Vì B là hoà toà giới ội, với mọi B tìm được chỉ số i để d( i, ) d(, ) d(, ) + d(, ) r + ε i i i < ε Do đó Như vậy B ằm trog quả cầu tâm bá kíh r + ε, tức là B giới ội Thí dụ sau cho ta biết điều gược lại của điều trog chú ý trê là khôg đúg Thí dụ Xét khôg gia E các dãy số { } với tíh chất giữa hai dãy là d( { },{ }) ( ) y = y = = < Khoảg cách Dễ kiểm tra rằg khôg gia E với khoảg cách trê là một khôg gia metric Chúg ta khẳg địh rằg quả cầu đơ vị B trog khôg gia ày khôg phải là hoà toà giới ội Thật vậy, hậ ét rằg B chứa các điểm a k có các thàh phầ bằg trừ thàh phầ thứ k bằg, k=,, và da ( k, a l) = ếu k l Vì thế, ếu lấy ε = 4thì mọi ε-lưới của B phải là vô hạ (một điểm bất kỳ đã cách a k một khoảg hỏ hơ ε thì khôg thể cách a l, với l k một khoảg hỏ hơ ε được) Chứg tỏ B khôg có ε-lưới hữu hạ và do đó ó khôg phải là tập hoà toà giới ội Địh lý Cho E là một khôg gia metric Nhữg khẳg địh sau là tươg đươg: Chứg mih (i) E là compact ; (ii) Mọi tập co vô hạ trog E có điểm tụ trog E; (iii) Mọi dãy co trog E có dãy co hội tụ trog E; (iv) E là đầy đủ và hoà toà giới ội (i) (ii) Cho S là tập co vô hạ của E Nếu S khôg có điểm tụ thì với mọi p E tồ tại quả cầu tâm p chỉ chứa hữu hạ điểm của S Nhữg quả cầu ày phủ E và theo tíh compact, ta có thể trích một phủ co hữu hạ Phủ co ày chỉ chứa hữu hạ phầ tử của S và do đó S chỉ có hữu hạ phầ tử, điều ày vô lý (ii) (iii) Giả sử { p } là dãy trog E Nếu tập { p : =,, } chỉ có hữu hạ phầ tử thì có ít hất một điểm được lặp lại vô số lầ Chíh hữg phầ tử lặp

28 Chươg Khôg gia R và khôg gia metric 3 ày tạo thàh dãy co hội tụ (tới chíh điểm ấy) Nếu tập trê vô hạ, theo ii), có điểm tụ p E thì, theo địh ghĩa điểm tụ, với mỗi k bất kỳ tìm được (k) để p k ( ) B( p, ) Cho k=,, ta thu được dãy co k { p k ( )} với tíh chất d( p, p k ( )) k Vậy { k ( )} p hội tụ tới p và (iii) đúg (iii) (iv) Trước hết ta chỉ ra rằg E là đầy đủ Thật vậy cho trước dãy Cauchy bất kỳ Theo (iii) tồ tại dãy co hội tụ Theo tíh chất dãy Cauchy bả thâ dãy ba đầu hội tụ Chứg tỏ E là đầy đủ Hơ ữa, E là hoà toà giới ội, vì ếu gược lại thì tồ tại ε > để khôg tìm được một ε lưới hữu hạ trog E, tức là tồ tại vô hạ điểm,, E sao cho d( i, j) ε với mọi i j Dãy { } khôg thể có dãy co hội tụ, trái với tíh chất iii) (iv) (i) Bằg phả chứg, giả sử tồ tại phủ V = { Vα : α I} mà khôg có phủ co hữu hạ Khi ấy với mỗi số k ta tìm được ( k) -lưới hữu hạ k k trog E:,, k ( ) Với k =, tồ tại số để quả cầu đóg B tâm bá kíh khôg thể phủ bởi hữu hạ phầ tử của phủ V Vì B là compact ta tìm được quả cầu đóg B B tâm bá kíh / mà khôg thể phủ bởi hữu hạ phầ tử của V Tiếp tục quá trìh ày ta có họ quả cầu compact B k lồg hau, bá kíh dầ tới Theo guyê lý giao hữu hạ, chúg có giao khác rỗg Do bá kíh dầ tới ê giao ày chỉ gồm một điểm, thí dụ p E Khi ấy tìm được chỉ số α I để p V α Với k đủ lớ, rõ ràg B Điều ày mâu thuẫ với tíh chất của k V α B k là khôg thể phủ bởi hữu hạ phầ tử của V Địh lý được chứg mih og Áp dụg địh lý trê ta có một tiêu chuẩ qua trọg để kiểm tra tíh compact trog khôg gia R Hệ quả Một tập trog R là compact khi và chỉ khi tập đó là đóg và giới ội Chứg mih Nếu E R là compact thì theo địh lý trê ó hoà toà giới ội, do đó E là giới ội Ngoài ra, giả sử { p k } E hội tụ tới p R thì theo phầ iii) của địh lý, { p k } có giới hạ p E Sử dụg địh lý về tíh đóg ta kết luậ E là tập đóg Ngược lại, giả thiết E R là tập đóg, giới ội và { p k } là một dãy bất kỳ k k trog E Gọi,, là các tọa độ của p k Khi ấy i=,, Chứg tỏ { k k },,{ } là hữg dãy số giới ội, vì { } k i p với mọi k, mọi p k giới ội do E giới ội Theo kết quả đã biết trog trườg hợp khôg gia chiều, ta trích dãy co k

29 4 Giải tích các hàm hiều biế k () hội tụ { } của dãy{ k }, hội tụ tới k () k() k { } của dãy co { } { }, hội tụ tới ki () k ày cho tới chúg ta thu được dãy co { i } { i } k( ) k( ) Khi ấy pk( ) (,, ) chẳg hạ Tiếp theo, ta trích dãy co chẳg hạ Tiếp tục quá trìh hội tụ tới, i=,,, = tạo thàh dãy co của { p k } hội tụ tới(,, ) Vì E đóg ê giới hạ ày ằm trog E Chứg tỏ { p k } có dãy co hội tụ trog E Theo địh lý, E là tập compact Thí dụ Từ hệ quả trê ta hậ thấy gay rằg quả cầu đóg và mặt cầu trog R là hữg tập compact Nếu R được trag bị metric tầm thườg (khoảg cách giữa hai điểm khác hau bất kỳ đều bằg ) thì một tập là compact khi và chỉ khi ó hoặc là rỗg, hoặc gồm hữu hạ điểm 6 Áh ạ trog khôg gia metric Trog giáo trìh Giải tích một biế chúg ta đã địh ghĩa hàm số hư một phép ứg từ trục số thực vào trục số thực Địh ghĩa ày có thể mở rộg trực tiếp cho các khôg gia metric bất kỳ và các khái iệm về giới hạ, liê tục vẫ giữ guyê ý ghĩa ếu ta coi khoảg cách giữa số hư là trị tuyệt đối của hiệu của chúg và coi các khoảg hư là các quả cầu mở (với tâm tại điểm giữa của khoảg) Một áh ạ (hay phép ứg) từ khôg gia metric (E,d) vào khôg gia metric (E,d ) thườg được viết dưới dạg f : E E' và giá trị của mỗi điểm p E cũg thườg được viết là f ( p) E' Địh ghĩa Áh ạ f : E E' được gọi là liê tục tại điểm p E ếu, với mỗi ε > cho trước, tồ tại số δ > sao cho ếu p E và d( p, p) < δ thì d'( f( p ), f( p)) < ε Việc cho trước một số ε > cũg có ghĩa là cho trước một quả cầu mở (với bá kíh ε và tâm tại f ( p ) ) và việc tồ tại số δ > cũg có thể được em hư sự tồ tại của một quả cầu mở (bá kíh δ và tâm tại p ) Cho ê, địh ghĩa trê có thể viết lại dưới dạg sau đây: Địh ghĩa Áh ạ f : E E' được gọi là liê tục tại điểm p E ếu, với mỗi quả cầu mở tâm tại f ( p ), ta tìm được quả cầu mở tâm tại p, sao cho ảh của ó qua f ằm hoà toà trog quả cầu trước Có một quả cầu mở với tâm tại một điểm ào đó cũg tức là ta có một tập mở chứa điểm đó Ngược lại, có một tập mở chứa một điểm ào đó thì ta cũg có một i

30 Chươg Khôg gia R và khôg gia metric 5 quả cầu mở hậ ó làm tâm Từ hậ ét ày ta dễ dàg suy ra địh ghĩa trê là tươg đươg với địh ghĩa sau đây: Địh ghĩa 3 Áh ạ f : E E' được gọi là liê tục tại điểm p E ếu, với mỗi tập mở chứa điểm f ( p ) ta tìm được tập mở chứa p sao cho ảh của ó qua f ằm hoà toà trog tập mở trước Khi f : E E' liê tục tại mọi điểm trog E thì ta ói ó liê tục trê E Địh ghĩa 4 Nếu f liê tục trê E và có áh ạ gược từ tập ảh Y : = f( E) vào E cũg liê tục, thì ta ói f là một phép đồg phôi lê ảh Khi ấy ta cũg ói hai tập E và Y là đồg phôi với hau Mệh đề Áh ạ f : E E' là liê tục trê E khi và chỉ khi, với mỗi tập mở U E', tập ghịch ảh của ó f ( U): = { p E: f( p) U} là một tập mở trog E Chứg mih ( ) Với f liê tục, ta chỉ ra rằg với tập mở U E' ta có f ( U ) là mở trog E Lấy điểm p bất kỳ trog f ( U ), ta có f ( p) U và, do U là mở, từ Địh ghĩa 3 ta tìm được tập mở V chứa p sao cho f ( V) U Điều ày có ghĩa là V f ( U) và hư vậy ghĩa là có cả một lâ cậ của p ằm trog trog f ( U ) ( ) Ngược lại ta có, với mỗi tập mở U E', tập f ( U ) là mở trog E Ta chỉ ra rằg f là liê tục tại mỗi điểm p E bất kỳ Thật vậy, giả thiết cho thấy rằg ghịch ảh của mỗi quả cầu mở tâm tại f ( p ) (với bá kíh ε > cho trước) sẽ là một tập mở V (trog đó có điểm p ), cho ê tồ tại một quả cầu tâm tại p (với bá kíh δ ào đó) ằm hoà toà trog V Như vậy, với mỗi ε > cho trước tồ tại δ > sao cho f( B( p, δ)) B( f( p), ε), và điều ày có ghĩa là f liê tục tại p Mệh đề đã được chứg mih og Nhậ ét ) Vì f ( E \ U) = E \ f( U) cho ê mệh đề trê đúg ếu thay mở bằg đóg, tức là f liê tục trê E khi và chỉ khi ảh gược của tập đóg là tập đóg ) Nếu f liê tục trê E thì ảh của tập đóg (mở) khôg hất thiết là đóg (mở) Thí dụ cho U = {(, ) : > } là tập đóg trog R Phép chiếu (, ) là áh ạ liê tục từ R vào R và ảh của U là tập khôg đóg Ta có thể đưa vào khái iệm giới hạ của áh ạ trog khôg gia metric tươg tự hư đã làm trog trườg hợp hàm số Cụ thể là

31 6 Giải tích các hàm hiều biế Điểm q E' được gọi là giới hạ của áh ạ f tại điểm tụ p E ếu, với mỗi ε > cho trước, tồ tại số δ > sao cho ếu p E\ p và d( p, p) < δ thì d'( q, f( p)) < ε Tíh duy hất của giới hạ (ếu tồ tại) được chứg mih hoà toà tươg tự hư trườg hợp hàm số trước đây, và gười ta cũg ký hiệu giới hạ của f tại p là lim f ( p ) (Lưu ý rằg khi lấy giới hạ của f tại p ta khôg đòi hỏi hàm f p p phải ác địh tại điểm ày, mà chỉ cầ p là một điểm tụ của miề ác địh) Khi f là liê tục tại điểm tụ p thì ó phải ác địh tại p và lim f ( p) = f( p ) p p Hầu hết các tíh chất cơ bả về giới hạ và hàm liê tục (mối qua hệ giữa giới hạ của hàm và giới hạ của dãy, tíh liê tục của hàm hợp, tíh bị chặ và tíh liê tục đều của hàm liê tục trê tập compact,vv) được chứg mih trước đây cho trườg hợp hàm số (ác địh trê trục số) vẫ cò đúg cho các áh ạ trê khôg gia metric Với áh ạ (ác địh trê khôg gia metric) hậ giá trị trê trục số thì tíh chất của các phép toá trê giới hạ và trê các hàm liê tục vẫ giữ guyê hiệu lực, cũg hư tíh đạt giá trị lớ hất và hỏ hất của hàm liê tục trê tập compact (Phươg pháp chứg mih trước đây đã được lựa chọ để hoà toà có thể áp dụg được cho trườg hợp tổg quát, cho ê gười đọc có thể tự mìh chứg mih lại các địh lý ày hư các bài tập) Để đơ cử chúg ta chứg mih kết quả qua trọg sau đây: Địh lý Giả thiết f là áh ạ liê tục từ khôg gia metric (E,d) vào khôg gia metric (E,d ) và A là tập compact trog E Khi ấy f(a) là tập compact Hơ ữa, ếu E = R thì f đạt các giá trị cực đại và cực tiểu trê tập A Chứg mih Lấy y f( A) bất kỳ Ta phải chỉ ra rằg { y } có dãy co hội tụ trog f(a) Thật vậy, chọ A sao cho f ( ) = y Vì A là compact ê dãy { } hội tụ tới ( ) hội tụ tới có dãy co { k ( )} f Vậy { k ( )} thuộc A Do f là liê tục ê { f ( k ( ))} y hội tụ tới f ( ) f( A) Chứg tỏ f(a) là compact Trog trườg hợp E là khôg gia -chiều thì tập compact f(a) có phầ tử lớ hất và hỏ hất, và ảh gược của chúg chíh là các điểm cực đại và cực tiểu của áh ạ f trê A Một ví dụ điể hìh về áh ạ liê tục trog khôg gia hiều chiều được cho bởi mệh đề sau: Mệh đề Mọi áh ạ tuyế tíh A : R R m là liê tục Chứg mih Đối với áh ạ tuyế tíh A ta có

32 Chươg Khôg gia R và khôg gia metric 7 A ( ) A ( ) = A ( ) A Cho ê khi thì từ địh lý kẹp ta suy ra gay điều ày có ghĩa là lim A ( ) A ( ) = và lim A ( ) = A ( ) Mệh đề đã được chứg mih 7 Khôg gia siêu metric Trog hậ dạg ta thườg có một số hìh mẫu hất địh Muố em một hìh cho trước thuộc mẫu ào ta chỉ cầ đặt ó lê các mẫu và em sự sai lệch ào ít hất thì có thể cho kết luậ được Tuy hiê cầ chíh ác hóa sự sai lệch giữa các hìh Thí dụ trog khôg gia metric (E,d) hai điểm trùg hau khi và chỉ khi khoảg cách giữa chúg bằg Nếu hư cho hai tập A, B E thì liệu khi sử dụg khoảg cách có thể kết luậ chúg trùg hau hay khôg? Rõ ràg cách hiểu khoảg cách thôg thườg khôg cho được kết luậ đúg Thí dụ ta biết khoảg cách giữa Việt Nam và Trug Quốc bằg vì hai ước có chug biê giới, hưg hai ước ày khôg trùg hau Trog mục ày chúg ta sẽ đưa ra một khái iệm khoảg cách giữa hai tập trog khôg gia metric hằm đáh giá sự khác hau giữa chúg và hậ biết khi ào chúg bằg hau Khoảg cách mới ày được gọi là khoảg cách Hausdorff, hay siêu metric Cho A là một tập co khác rỗg trog khôg gia metric (E,d) Khoảg cách từ điểm p E tới A là đại lượg d( p, A) = if d( p, ) A Nhậ ét rằg d(p,) là một hàm số ác địh (khôg âm) trê A ê d( p, A ) là một số hữu hạ (do A là tập khác rỗg) Thí dụ ) E = R với metric thôg thườg, A là hìh trò đơ vị tâm Khi ấy khi p d( p, A) = p khi p > ) E= C[,] (tập các hàm số liê tục trê đoạ [,]), với metric { } d(, y): = ma ( t) y( t) : t Cho họ hàm tuyế tíh A= { α: t α } và hàm p(t)=t Khi ấy ( { α } ) α d( p, A) = if ma t t : t = Bổ đề Điểm p E là một điểm thuộc A hay điểm tụ của A khi và chỉ khi d(p,a) = Nếu A đóg thì p A khi và chỉ khi d(p,a) =

33 8 Giải tích các hàm hiều biế Chứg mih Nếu p A thì hiể hiê d(p,a) d(p,p) = Nếu p là điểm tụ của A thì tồ tại dãy { p } A hội tụ tới p Khi ấy d( p, p ) dầ tới và do đó d( p, A ) = Trái lại, giả sử d( p, A ) = Theo địh ghĩa, tồ tại dãy { p } A để d( p, p ) dầ tới Khi ấy, mỗi quả cầu tâm p bá kíh ε > chứa mọi điểm p với đủ lớ Nếu p = p, với ào đó, thì p là điểm thuộc A; ếu p p với mọi thì p là điểm tụ của A Phầ hai của bổ đề suy trực tiếp từ phầ đầu Bây giờ cho A và B là hai tập compact khác rỗg trog E Độ lệch của A đối với B là đại lượg eab (, ) = sup db (, ) A Tươg tự, độ lệch của B đối với A là đại lượg eba (, ) = sup d( ya, ) y B Lưu ý rằg độ lệch của A đối với B khác độ lệch của B đối với A Thí dụ A B và A B thì e(a,b) = trog khi đó e(b,a) (vì tồ tại y B để y A Do A đóg ê theo bổ đề d(y,a) >, suy ra e(b,a) ) Bổ đề Độ lệch e(a,b) là hữu hạ và tồ tại điểm a A sao cho e(a,b) = d(a,b) Chứg mih Vì A là compact ê giới ội Do đó với y B cố địh, tìm được α > để d(, y) α với mọi A Khi ấy d(, B) α với mọi A, cho ê e(a,b) là hữu hạ Theo địh ghĩa của e(a,b) tồ tại A để eab (, ) = lim d (, B) Do A compact ê { } có dãy co hội tụ tới a A (và khôg làm mất tổg quát ta có thể em dãy co ày chíh là { }) Khi ấy dab (, ) eab (, ) lim ( d (, a) + dab (, )) = dab (, ) cho ê e(a,b) = d(a,b), điều cầ chứg mih Khoảg cách Hausdorff (hay cò gọi siêu metric) giữa A và B là đại lượg hab (, ) = ma { eab (, ), eba (, )} Ký hiệu E là tập hợp mà các phầ tử của ó là các tập co compact, khác rỗg trog E Hiể hiê E chứa mọi điểm của E vì điểm trog E cũg là tập compact Dưới đây ta sẽ chỉ ra rằg h là một metric trê E và do đó khôg gia (E,h) được gọi là khôg gia siêu metric

34 Chươg Khôg gia R và khôg gia metric 9 Địh lý Siêu metric h có hữg tíh chất sau đây (v) (vi) h(a,b) là số khôg âm với mọi A,B E; h(a,b) = khi và chỉ khi A=B; (vii) h(a,b) = h(b,a) với mọi A,B E ; (viii) h(a,b) h(a,c) + h(c,b) với mọi A,B,C E ; (i) h({},{y}) = d(,y) ếu,y E Chứg mih Các tíh chất (i), (ii), (iii) và (v) suy gay từ địh ghĩa Ta chỉ cò chứg mih (iv) Từ Bổ đề suy ra với mọi A, tồ tại c C để d(, B) d(, c) + d( c, B) d(, C) + d( c, B) với d(,c) = d(,c) Suy ra eab (, ) eac (, ) + ecb (, ) Tươg tự eba (, ) ebc (, ) + eca (, ) Tiếp theo, do (iii), ta có hab (, ) = ma { eab (, ), eba (, )} ma { eac (, ) + ecb (, ), ebc (, ) + ec (, A) } ma { h( A, C) + h( C, B), h( B, C) + h( C, A) } h( A, C) + h( C, B) Địh lý được chứg mih og Từ địh lý trê chúg ta có thể khảo sát (E,h) hư một khôg gia metric bìh thườg Khôg gia siêu metric được dùg để ghiê cứu tíh hội tụ của các tập, của các áh ạ và tíh ổ địh trog hiều lĩh vực qua trọg của Toá học ứg dụg

35 3 Giải tích các hàm hiều biế Chươg Kh g gia R & Kh g gia metric Khôg gia R Điểm trog khôg gia -chiều Vectơ trog khôg gia -chiều 3 3 Tích vô hướg 4 4 Chuẩ của vectơ 5 5 Áh ạ tuyế tíh 7 Khôg gia metric Địh ghĩa và các ví dụ Tập đóg và tập mở trog khôg gia metric 3 Hội tụ trog khôg gia metric 5 4 Tíh đầy đủ trog khôg gia metric 7 5 Tíh compact trog khôg gia metric 9 6 Áh ạ trog khôg gia metric 4 7 Khôg gia siêu metric 7 Trag cuối cùg là 9

36 Bài tập và tíh toá thực hàh Chươg Khôg gia R 3 Điểm và vectơ trog khôg gia -chiều 3 Áh ạ tuyế tíh 3 Khôg gia metric 3 Các thí dụ về khôg gia metric 3 Tập đóg và tập mở trog khôg gia metric 33 3 Hội tụ trog khôg gia metric 34 4 Tíh đầy đủ trog khôg gia metric 34 5 Tíh compact trog khôg gia metric 35 6 Áh ạ liê tục trog khôg gia metric 35 3 Thực hàh tíh toá36 3 Khai báo vectơ và ma trậ 37 3 Tíh chuẩ của vectơ và khoảg cách giữa điểm Các phép toá trê vectơ Các phép toá trê ma trậ 4 Khôg gia R Điểm và vectơ trog khôg gia -chiều Bài Cho ba điểm a= (,4,,4,); b= (6,4,4,4,6), c = (5,7,5,7,) trog R 5 Hãy tìm các vectơ b a, c b, a c, và kiểm tra các tíh chất tổg của hai điểm và tích của một điểm với một số theo địh ghĩa Bài Góc giữa hai vectơ khác khôg và y là góc α (trog đoạ từ đế π mà cosα ác địh bởi: cosα = y y Hãy tìm độ dài các cạh và góc trog của tam giác có đỉh là các điểm được ác địh bởi các tọa độ: a= (,4,,4,); b= (6,4,4,4,6), c = (5,7,5,7,)

37 Bài tập và tíh toá thực hàh Chươg 3 Bài 3 Cho bố điểm a, b, c, d trog khôg gia R Ta ói abcd là một hìh bìh hàh ếu các cặp vectơ ab, cd và bc, da sog sog (em địh ghĩa trog ) từg đôi một Dùg địh ghĩa góc giữa hai vectơ, hãy chứg mih địh lý: Tổg bìh phươg đườg chéo của hìh bìh hàh bằg tổg bìh phươg các cạh của ó Bài 4 Chứg mih địh lý hàm số cos trog khôg gia R : Bìh phươg độ dài một cạh của tam giác bằg tổg bìh phươg độ dài hai cạh cò lại trừ đi tích của hai cạh ấy hâ với côsi của góc e giữa Bài 5 Hai vectơ gọi là vuôg góc với hau khi tích vô hướg của chúg bằg Tập hợp các vectơ vuôg góc với tất cả các vectơ trog tập A gọi là phầ bù trực giao của ó và thườg được ký hiệu là A Hãy chứg mih rằg A lập thàh một khôg gia co, tức là có hữg tíh chất sau: (i) a A, b A a+ b A ; (ii) α R, a A αa A Áh ạ tuyế tíh Bài Cho áh ạ A từ khôg gia R 3 vào chíh ó sao cho A( yz,, ) = (( a+ ) + y+ z, + ( a+ ) y+ z, + y+ ( a+ ) z), trog đó a là một số thực ào đó Chứg tỏ A là một áh ạ tuyế tíh Với giá trị ào của a thì A là khôg suy biế và với giá trị ào của a thì A suy biế? Bài Cho áh ạ A từ khôg gia R 4 vào R 3 : A( ) = ( +, +, + ), với mọi = (,, 3, 4) Chứg tỏ A là một áh ạ tuyế tíh Tìm A Bài 3 Chứg tỏ rằg phép chiếu vuôg góc A từ khôg gia R 3 uốg R : A( ) (, ) là một áh ạ tuyế tíh Tìm A =, với mọi = 3 (,, ) Bài 4 Ta đưa vào khái iệm tích vô hướg tổg quát hơ trog lý thuyết hư sau:

38 3 Giải tích các hàm hiều biế Áh ạ ϕ từ R R vào R được gọi là dạg sog tuyế tíh đối ứg ác địh dươg trê R ếu ó thỏa mã các tíh chất: ϕ(, y) = ϕ( y, ) với mọi, y R ; ϕ(, y + z) = ϕ(,y) + ϕ(,z ) với mọi, y,z R ; 3 ϕα (, y) = αϕ (, y ) với mọi, y R và α R 4 ϕ(, ) với mọi R ; ϕ (, ) = khi và chỉ khi = Số thực ϕ(, y ) được gọi là tích vô hướg của và y và được ký hiệu là y Hãy chứg mih rằg: ếu = (,, ), y = ( y,, y ) là hai vectơ trog R thì y = iyi là dạg sog tuyế tíh đối ứg ác địh i= dươg, tức là tích vô hướg theo địh ghĩa trê Khôg gia metric Các thí dụ về khôg gia metric Bài Tập hợp các điểm trê mặt phẳg với khoảg cách giữa hai điểm M(, y ) và M (, y ) được tíh theo côg thức rm (, M ) = + y y có phải là khôg gia metric khôg? Bài Tập hợp các số thực, với khoảg cách giữa hai số và y được tíh theo côg thức ry= (, ) y có phải là khôg gia metric khôg? Bài 3 Tập hợp các số thực, với khoảg cách giữa hai số và y được tíh theo côg thức ry (, ) = arcta( y ) có phải là khôg gia metric khôg? Bài 4 Tập hợp các số thực, với khoảg cách giữa hai số và y được tíh theo côg thức ry (, ) = si ( y) có phải là khôg gia metric khôg? Bài 5 Chứg mih rằg tập tất cả các dãy số thực vô hạ bị chặ lập thàh một khôg gia metric, ếu khoảg cách giữa hai dãy = (,,,,) và y = ( y, y,, y,) được tíh theo côg thức: r(, y ) = sup i yi i=,, Bài 6 Chứg mih rằg tập tất cả các dãy số thực vô hạ = (,,,,) có chuỗi i hội tụ lập thàh một khôg gia metric, ếu khoảg cách giữa i=

39 Bài tập và tíh toá thực hàh Chươg 33 hai dãy = (,,,,) và y = ( y, y,, y,) được tíh theo côg thức r(, y ) = i yi i= Bài 7 Tập tất cả các hàm số liê tục trê đoạ [ ab, ] với khoảg cách giữa hai hàm số bất kì ( t) và yt ( ) được tíh theo côg thức b r(, y ) = ( ( t) y( t)) dt có phải là khôg gia metric khôg? a Bài 8 Chứg mih rằg tập tất cả các hàm số liê tục trê đoạ [ ab, ] lập thàh một khôg gia metric, ếu khoảg cách giữa hai hàm số bất kì ( t) và yt () được tíh theo côg thức r(, y ) = () t y() t dt Bài 9 Chứg mih rằg tập Cab [, ] tất cả các hàm số liê tục trê đoạ [ ab, ] lập thàh một khôg gia metric, ếu khoảg cách giữa hai hàm số bất kì () t và yt () được tíh theo côg thức ry (, ) = ma t () yt () t [ a, b] Bài Chứg mih rằg tập tất cả các hàm số bị chặ trê đoạ [ ab, ] lập thàh một khôg gia metric, ếu khoảg cách giữa hai hàm số bất kì = ( t) và y = yt () được tíh theo côg thức r(, y ) = sup ( t) y( t) t [ a, b] Tập đóg và tập mở trog khôg gia metric Bài Chứg mih trực tiếp (khôg dùg luật đối gẫu E \ A = E \ A b a i i ) rằg, i I i I hợp của một số hữu hạ các tập đóg trog khôg gia metric là tập đóg i i ) rằg, i I i I Bài Chứg mih trực tiếp (khôg dùg luật đối gẫu E \ A = E \ A giao của một tập tuỳ ý các tập đóg trog khôg gia metric là tập đóg Bài 3 Cho một dãy các đườg trò đồg tâm trog mặt phẳg có các bá kíh r< r < < r < Hợp của chúg có phải là một tập đóg khôg? Bài 4 Cho một dãy các hìh trò đồg tâm trê mặt phẳg có các bá kíh r> r > > r > Hợp của chúg có phải là một tập đóg khôg?

40 34 Giải tích các hàm hiều biế Bài 5 Cho một dãy các hìh trò đồg tâm trê mặt phẳmg có các bá kíh r< r < < r < Hợp của chúg có phải là một tập đóg khôg? Có phải là một tập mở khôg? 3 Hội tụ trog khôg gia metric Bài Cho M là một tập ào đó trê mặt phẳg Biết rằg cậ dưới đúg của mọi khoảg cách giữa các điểm khác hau thuộc tập hợp ày là một số dươg Chứg mih rằg tập hợp M khôg có điểm tụ Bài Cho M là một tập ào đó trog khôg gia metric E Tập tất cả hữg điểm tụ của M được gọi là tập dẫ uất của M và ký hiệu là M ' Tập tất cả hữg điểm giới hạ của M ' được gọi là tập dẫ uất thứ hai của M và ký hiệu là M '' Hãy ây dựg một tập M mà tập dẫ suất M ' của ó khác trốg hưg tập dẫ uất thứ hai M '' là tập trốg Bài 3 Cho M là một tập ào đó trog khôg gia metric E Điểm E được gọi là điểm biê của M ếu trog lâ cậ bất kỳ của điểm ày có chứa hữg điểm thuộc M và hữg điểm khôg thuộc M Hãy tìm các ví dụ về tập hợp trê mặt phẳg khôg có điểm biê Hãy tìm một ví dụ về tập hợp trê mặt phẳg có điểm biê hưg mọi điểm biê khôg thuộc tập hợp ày 3 Tìm một ví dụ về tập hợp trê mặt phẳg chứa một phầ các điểm biê của ó 4 Hãy tìm một ví dụ về tập hợp khôg đếm được trê mặt phẳg gồm toà điểm biê 4 Tíh đầy đủ trog khôg gia metric Bài Cho E là khôg gia metric (đủ hoặc khôg đủ) và X là một tập co khôg đóg của ó Chứg mih rằg X khôg phải là khôg gia metric đủ Bài Chứg mih rằg khôg gia C[ a, b ] các hàm số liê tục trê đoạ [ ab, ] b với khoảg cách ry (, ) = t ( ) yt ( ) dtlà một khôg gia metric khôg đầy đủ Bài 3 Chứg mih rằg Cab [, ] là một khôg gia metric đầy đủ a

41 Bài tập và tíh toá thực hàh Chươg 35 5 Tíh compact trog khôg gia metric Bài Cho một tập đếm được M = {,,,,,} Phủ lê M một hệ thốg các 4 khoảg: ( ε, + ε),( ε, + ε ),,( ε, + ε ), với < ε < Từ phủ ày có thể trích ra một phủ co hữu hạ hay khôg? Bài Cho một tập đếm được N = {,,3,,, } Phủ lê N một hệ thốg các khoảg: ( ε, + ε),( ε, + ε),,( ε, + ε), với < ε < Từ phủ ày có thể trích ra một phủ co hữu hạ hay khôg? Bài 3 Cho một tập đóg đếm được M = {,,,,,,} Phủ lê tập ày một 4 hệ thốg các khoảg: ( ε, + ε),( ε, + ε ),,( ε, + ε ) và ( εε, ), ở đây < ε < Hãy trích từ phủ ày một phủ co hữu hạ Bài 4 Chứg mih rằg mọi tập compact là đóg và bị chặ Hãy ây dựg một tập đóg bị chặ trog khôg gia Cab [, ] khôg phải là tập compact Bài 5 Xét một hìh trò mở C bá kíh đơ vị và tâm ở điểm Vẽ một đườg trò đồg tâm bá kíh Lấy mỗi điểm của C làm tâm, dựg một họ tất cả 3 các hìh trò mở bá kíh 3 Các hìh trò mở bá kíh 3 và ày lập 3 thàh một phủ của C Chứg mih rằg từ phủ ày khôg thể lấy ra được một phủ co hữu hạ Hãy lấy ra một phủ đếm được 6 Áh ạ liê tục trog khôg gia metric Bài Chứg mih rằg phép chiếu hìh học từ mặt phẳg (khôg gia R ) lê một đườg thẳg (ằm trog mặt phẳg ấy) theo một phươg (đườg thẳg) (trog mặt phẳg ấy, khôg sog sog với đườg thẳg đã cho) là một áh ạ liê tục Bài Hìh chiếu của một tập phẳg mở lê một đườg thẳg (ằm trog mặt phẳg ấy) có là tập mở trê đườg thẳg ấy khôg? Bài 3 Hìh chiếu liê tục của tập phẳg đóg lê một đườg thẳg (ằm trog mặt phẳg ấy) có phải bao giờ cũg là tập đóg khôg? Bài 4 Tạo ảh của một tập đóg bị chặ trog áh ạ liê tục có thể là một tập khôg bị chặ hay khôg?

42 36 Giải tích các hàm hiều biế Bài 5 Hãy chỉ ra ví dụ áh ạ gược của một áh ạ liê tục - từ một tập E đóg khôg bị chặ lê tập E khôg phải là liê tục Bài 6 Cho f là áh ạ liê tục - từ một tập E đóg bị chặ trog R lê tập E R Chứg mih rằg áh ạ gược từ tập E lê tập E là liê tục Bài 7 Chứg mih rằg ếu các tạo ảh của mọi hìh trò mở trog áh ạ f từ khôg gia R lê mặt phẳg R là các tập mở, thì áh ạ là liê tục Bài 8 Cho hàm f : R R, f (, ) = ( y, y) được ác địh theo côg thức: arcta, khi y= π, khi = ; > π, khi = ; < y = + Tìm tạo ảh của hìh chữ hật π y π, a y b Bài 9 Hàm f ( ) ác địh trê tập A của khôg gia metric ( Ed, ) vào tập số thực R được gọi là liê tục đều trê A ếu với mỗi ε > bất kì, tồ tại một số δ > sao cho với bất kì, thuộc A ta có bất đẳg thức: f( ) f( ) < ε Chứg mih địh lý: Nếu hàm số liê tục trê tập compact A thì ó liê tục đều trê tập ấy Bài Chứg mih rằg khôg tồ tại sog áh liê tục từ đoạ [,] lê hìh vuôg đóg [,] [,] 3 Thực hàh tíh toá Phầ thực hàh tíh toá trê máy trog giáo trìh ày hằm mục đích trước hết là để gười đọc thấy rằg mọi thứ ta đã học được thì ta đều có thể làm được Bạ đọc khôg cầ có kiế thức về máy tíh hoặc lập trìh cũg có thể dễ dàg ắm được phầ ày, bởi vì các lệh tíh toá trê máy rất gầ với gô gữ toá học thôg thườg Chươg trìh tíh toá giới thiệu ở đây là Maple, hiệ đag được sử dụg phổ biế ở các các trườg đại học trê thế giới Muố tìm hiểu rộg hơ về lĩh vực ày, gười đọc có thể tham khảo tài liệu Tíh toá, Lập trìh và Giảg dạy Toá học trê Maple, do chúg tôi biê soạ và đã được Nhà uất bả Khoa học kỹ thuật ấ hàh thág 4 ăm Ngay cả với bạ đọc chưa có điều kiệ tiếp úc với máy tíh, phầ ày vẫ rất hữu ích vì sẽ biết được máy tíh làm việc

43 Bài tập và tíh toá thực hàh Chươg 37 hư thế ào và đặc biệt các kết quả tíh toá trê máy trìh bầy ở đây sẽ giúp chúg ta hiểu sâu hơ các chủ đề lý thuyết đã học Chủ đề thực hàh tíh toá trog Chươg là tíh toá trê các vectơ, cho ê ta sẽ phải sử dụg thư việ (gói) côg cụ đại số tuyế tíh (lialg) Sau khi khởi độg chươg trìh Maple, ta gọi thư việ ày ra bằg lệh: [> with(lialg): (ếu khôg có lệh ày, một số lệh tiếp theo có thể khôg được thực hiệ) Các lệh đưa vào máy sẽ được i chữ đậm (hư dòg lệh trê), cò kết quả của ó sẽ được hiể thị gay dòg dưới 3 Khai báo vectơ và ma trậ Muố khai báo vectơ, thí dụ, u = (,,3, a ) ta có thể dùg một trog các lệh sau: Địh ghĩa vectơ: [> u:=[,,3,a^3]; 3 u: = [,,3, a ] [> u:= vector[,,3,a^3]; 3 u: = [,,3, a ] Tạo mảg (4 phầ tử): [> array(4,[,,3,a^3]); 3 [,,3, a ] 3 Coi vectơ hư một ma trậ và tạo ó hư một ma trậ cấp (vectơ hàg), trog đó hai chỉ số đầu là số dòg và số cột của ma trậ: [> matri(,4,[,,3,a^3]); 3 [,,3, a ] Muố tạo một vectơ cột ta khai báo ó hư là ma trậ chiều: [> matri(4,,[,,3,a^3]); 3 3 a Muố chuyể vectơ hàg thàh vectơ cột ta dùg lệh chuyể vị (traspose): [> u:=[,,3,a^3]: traspose(u); 3

44 38 Giải tích các hàm hiều biế 3 3 a 3 Tíh chuẩ của vectơ và khoảg cách giữa điểm Tíh chuẩ (độ dài) của vectơ Muố tíh chuẩ (độ dài) của một vectơ ta dùg lệh orm(u,c), trog đó u là vectơ, c là loại chuẩ Có mấy loại chuẩ quy ước sau đây: (i) Chuẩ vô cùg (ifiity) của vectơ u là số lớ hất trog các trị tuyệt đối của các tọa độ của u, tức là ếu u= ( u,, u ) thì { } u = ma u, i=,, i (ii) Chuẩ bậc k của vectơ u được địh ghĩa bằg côg thức u k = k ui i= Thí dụ: [> orm([,-,],ifiity); [> orm([,-,],3); 3 Khi k = thì chuẩ thườg gọi là chuẩ Euclid (hay là chuẩ Frobeius) Thí dụ: [> orm([,-,],); 6 [> orm([,-,],frobeius); Tíh khoảg cách giữa hai điểm Để tíh khoảg cách giữa hai điểm A và B ta cầ gọi gói côg cụ studet: [> with(studet): Sau khi khai báo tọa độ của A và B theo cú pháp [> A:=[,a,5,,]; B:=[,b,6,y,]; ta tíh khoảg cách của chúg bằg lệh distace [> distace(a,b); 6

45 Bài tập và tíh toá thực hàh Chươg 39 ( b a) + y + Có thể khai báo vectơ và tíh khoảg cách của chúg trog cùg một lệh, hư: [> distace([a,b,c,d],[,3,4,5]); ( a ) + ( b 3) + ( c 4) + ( d 5) 33 Các phép toá trê vectơ Nhâ một số với một vectơ Muố hâ một số với một vectơ, ta khai báo vectơ ấy và thực hiệ phép hâ bằg lệh * Thí dụ, muố hâ số 3 với vectơ v = [ m,,3, d] ta làm hư sau: Khai báo v: [> v:=[m,,3,d]; v: = [ m,,3, d] Thực hiệ phép hâ số 3 với v: [> 3*v; [3 m,6,9,3 d ] Cũg có thể chỉ cầ thực hiệ một lệh trực tiếp: [> 3*[m,,3,d]; [3 m,6,9,3 d ] Cộg trừ hai vectơ Muố cộg trừ hai hay hiều vectơ, trước tiê ta khai báo chúg, sau đó dùg lệh + hoặc thôg thườg Thí dụ: [> u:=[3,-,,]: v:=[,-4,-3,a]: w:=[-,,,5]: [> u+v+w; [> *u-3*v-5*w; [4, 4,,5 + a+ ] [5,,, 5 3a+ ] Tíh độ dài của "vectơ trê", với lưu ý rằg Maple ký hiệu "biểu thức trê" là (%): [> orm((%),); a+

46 4 Giải tích các hàm hiều biế 3 Tíh tích vô hướg của hai vectơ Tíh tích vô hướg của hai vectơ bằg lệh ierprod hoặc lệh dotprod Thí dụ, muố tíh tích vô hướg của u = [,, -] và v = [6, -3, ], trước tiê ta khai báo vectơ ày: [> u:=[,,-]; v:=[6,-3,]; Sau đó tíh tích vô hướg của hai vectơ u và v bằg lệh ierprod: [> ierprod(u,v); hoặc lệh dotprod: [> dotprod(u,v); 4 Tíh tích vectơ của hai vectơ 4 4 Tích vectơ của hai vectơ u = ( u, u, u3) và v = ( v, v, v3) trog khôg gia R 3 là một vectơ có tọa độ được tíh theo côg thức: ( uv uv, uv uv, uv uv) Muố tíh tích vectơ của hai vectơ ta dùg lệh crossprod(u,v) Thí dụ: [> u:=vector([,,-]); v:=vector([6,-3,]); [> crossprod(u,v); [,, 8] 34 Các phép toá trê ma trậ Tìm hạg của ma trậ (bằg lệh rak ) Thí dụ: [>A:=matri(3,3,[,,,,,,*y,y,]): [>rak(a); Tíh địh thức và ma trậ gược của ma trậ Thí dụ: Sau khi địh ghĩa ma trậ bằg lệh [>A:=matri(3,3,[/,-/3,,-5,4/3,9,,,5/6]): Ta tíh địh thức của ma trậ bằg lệh

47 Bài tập và tíh toá thực hàh Chươg 4 [>det(a); -88/8 và tíh ma trậ gược bằg lệh iverse: [>iverse(a);

48 Chươg Hàm hiều biế Hàm số và phép tíh vi phâ 4 Hàm trog khôg gia R 4 Đạo hàm riêg 44 3 Tíh khả vi và gradiet 46 4 Quy tắc dây ích 49 5 Đạo hàm theo hướg 5 Côg thức Taylor 5 Đạo hàm riêg lặp 5 Côg thức Taylor 53 3 Toá tử vi phâ 54 3 Ứg dụg của đạo hàm 57 3 Điều kiệ của cực trị 57 3 Hàm lồi và cực trị của ó Bài toá cực trị có điều kiệ và guyê lý Lagrage Vi phâ toà phầ 6 Hàm số và phép tíh vi phâ Hàm trog khôg gia R Khái iệm Việc ghiê cứu các khôg gia metric tổg quát và các hàm trê đó cho ta một cách hì bao quát, cho ê dễ ắm bắt các phươg pháp cơ bả của Giải tích toá học Tuy hiê cấu trúc đơ giả của khôg gia (khôg có các phép toá) làm cho lớp các hàm trê đó cũg trở ê ghèo à và việc ghiê cứu chúg khôg thể đi được a (vì thiếu côg cụ) Đó chíh là lý do khiế gười ta qua tâm ghiê cứu các khôg gia có cấu trúc đặc biệt hư R và thiết lập các côg cụ sắc bé cho việc ghiê cứu các hàm số trê đó Một điều đág lưu ý rằg chíh việc

49 4 Giải tích các hàm hiều biế ghiê cứu trê các khôg gia cụ thể (và các lớp hàm cụ thể) đã làm ảy sih hữg ý tưởg mới, cho phép gười ta mở rộg tầm ghiê cứu trê các khôg gia trừu tượg (tổg quát) Chíh vì vậy, trog giáo trìh ày, chúg ta đặt trọg tâm là ghiê cứu các hàm trê R Nếu ắm được các phươg pháp làm việc cơ bả trê khôg gia R thì gười đọc sẽ khôg gặp khó khă trog việc mở rộg ó cho hữg trườg hợp tổg quát hơ Như vậy, với S là một tập trog R, hàm số (ác địh trê S) là một phép ứg từ S vào trục số thực R Lưu ý rằg biế số ở đây là các phầ tử của R ê ó có thàh phầ (tọa độ) và mỗi thàh phầ có thể được em hư một biế độc lập (cho ê gười ta hay gọi hàm ác địh trê R là hàm hiều biế) Thí dụ Trog R ta có thể ác địh một hàm số biế bằg phép ứg mỗi điểm (,y) R bằg côg thức với một số bằg + y Một cách gắ gọ hơ, ta ói hàm được cho f ( y, ) = + y Thôg thườg, khi khôg chỉ địh rõ tập S và hàm được cho bằg một côg thức ào đó thì gười ta luô hiểu gầm rằg S là tập tất cả hữg điểm tại đó biểu thức có ghĩa y Thí dụ Khi cho hàm bằg côg thức f(, y) = chúg ta hiểu rằg hàm + y khôg ác địh tại điểm = (,) Việc tìm miề ác địh của một hàm số thườg được quy về việc giải hệ bất phươg trìh (hiều ẩ) và sẽ được đề cập hiều hơ trog phầ tíh toá thực hàh Đồ thị của hàm hiều biế Người ta địh ghĩa đồ thị của hàm số biế là một tập điểm trog khôg gia (+)-chiều ác địh hư sau Gf : = {(,,,, f(,,, )) (,,, ) S}, trog đó S là miề ác địh của hàm số Khi = đồ thị của f có thể được biểu diễ một cách tườg mih trê mặt phẳg (khôg gia - chiều) và ta đã làm điều ày một cách kỹ lưỡg trog Giải tích một biế

50 Chươg Hàm hiều biế 43 Khi = thì vấ đề khó khă hơ vì trê mặt phẳg (tờ giấy, mà hìh,) khôg dễ gì biểu diễ vật thể 3 chiều Nếu khôg có ăg khiếu hất địh về đồ họa thì gười ta chỉ cò cách dựa vào sự trợ giúp của các côg cụ kỹ thuật, trước hết là máy tíh Bằg một lệh đơ giả (sẽ được giới thiệu và thực hàh kỹ trog phầ thực hàh tíh toá ở cuối chươg), máy sẽ vẽ cho ta đồ thị của hàm biế trog khôg gia 3 chiều một cách khôg mấy khó khă Thí dụ Đồ thị của hàm f(, y) = ( ) + ( y ) được máy mô tả hư trog Hìh Tuy hiê, goài phươg pháp biểu diễ trực tiếp hư trê, gười ta cò có một phươg pháp khác để hìh dug về đồ thị của hàm, mặc dù khôg đầy đủ, hưg cũg khá trực qua Với mỗi số c, phươg trìh f ( y, ) = c cho Hìh tập hợp ghiệm là một đườg cog trog mặt phẳg Đườg cog ày được gọi là đườg mức c và dễ biểu diễ hơ hẳ các điểm trog khôg gia 3 chiều (có thể vẽ trê máy tíh bằg lệh vẽ đồ thị hàm ẩ mà ta đã biết trog giáo trìh Giải tích một biế Nếu vẽ được hiều đườg mức khác hau, ta sẽ có được một hìh dug tổg thể về đồ thị của hàm Thí dụ, bức trah các đườg mức của hàm f ( y, ) ói trê là hư hìh vẽ bê (phầ tíh toá thực hàh trê máy sẽ giúp gười đọc tìm hiểu sâu hơ về vấ đề ày) Khi 3 ta khôg có phươg tiệ biểu diễ đồ thị một cách trực tiếp, mà chỉ có thể Hìh hìh dug về ó qua các thôg ti về mặt mức (trog khôg gia 3 chiều) 3 Tíh liê tục của hàm hiều biế Vì R là khôg gia metric (với metric thôg thườg) cho ê khái iệm liê tục của hàm hiều biế đã được địh ghĩa trog chươg trước (Mục 5) Để tiệ lợi chúg ta hắc lại rằg hàm f là liê tục tại điểm a ếu với mọi ε >, tìm được δ > sao cho a < δ kéo theo f( ) f( a) < ε (*) Nhiều tíh chất của hàm liê tục một biế đã khảo sát ở Chươg 5 vẫ cò đúg cho hàm liê tục hiều biế Dưới đây là một số tíh chất đặc trưg mà bạ đọc có thể kiểm tra dễ dàg: ) Cho f và g là hai hàm liê tục tại a Khi ấy các hàm f + g, f g, f / g (ếu ga ( ) ) là hữg hàm liê tục tại a

51 44 Giải tích các hàm hiều biế ) Cho f là hàm liê tục tại a và ϕ là hàm một biế liê tục tại f ( a ) Khi ấy hàm hợp ϕ f liê tục tại a 3) Cho f là hàm liê tục tại a và ϕ,, ϕ là hữg hàm một biế liê tục tại α R Khi ấy hàm một biế f ( ϕ ( t),, ϕ ( t)) liê tục tại α Lưu ý rằg trog địh ghĩa tíh liê tục, côg thức (*), đại lượg δ phụ thuộc vào ε và a Nếu hư δ khôg phụ thuộc vào điểm a S, thì ta có khái iệm hàm liê tục đều trê S Chíh ác hơ, f được gọi là liê tục đều trê S ếu hư với mọi ε >, tìm được δ > sao cho, y S và a < δ kéo theo f( ) f( y) < ε Hiể hiê là một hàm liê tục đều trê S thì liê tục trê đó Điều gược lại khôg đúg, hư ta đã từg biết gay cả khi f là hàm một biế Tuy vậy địh lý Cator vẫ cò đúg đối với hàm hiều biế Cụ thể là một hàm liê tục trê tập compact thì liê tục đều trê tập đó (cách chứg mih hoà toà tươg tự hư trườg hợp hàm một biế) Một kết quả qua trọg ữa đã trìh bày ở chươg trước là một hàm liê tục trê tập compact bao giờ cũg có cực đại và cực tiểu trê tập đó Ngoài ra, do đặc thù của khôg gia R gười ta đưa thêm vào khái iệm liê tục theo từg biế Cụ thể là: ta ói hàm f (,,, ) là liê tục theo biế i tại điểm a = ( a, a,, ai,, a) ếu hàm biế h ( i) = f( a, ai, i, ai+,, a) là liê tục tại điểm a i Dễ thấy rằg hàm liê tục thì liê tục theo từg biế Điều gược lại ói chug là khôg đúg Thí dụ Hàm biế y + y khi y /( ) (, ) (,) f(, y) = khi (, y) = (,) là hàm liê tục theo từg biế hưg khôg liê tục tại điểm (,y) = (,) Thật vậy, dễ kiểm tra rằg với (, y) = (, ) ta có lim f(, ) y = f(,) Đạo hàm riêg Khái iệm Cho f là một hàm số hiều biế ác địh trê tập mở U R và (,,, ) là một điểm trog U Khi ấy với mọi số h đủ hỏ, điểm = ( + h,,, ) cũg ằm trog U và ta có thể thiết lập đại lượg

52 Chươg Hàm hiều biế 45 f ( + h,,, ) f(,,, ) h Nếu đại lượg trê có giới hạ khi h tiế đế thì ta gọi giới hạ ày là đạo hàm riêg của f theo biế thứ hất (tại điểm ), và ký hiệu là f ( ) hay Df(,,, ) hay Df ( ) Tươg tự hư trê ta địh ghĩa đạo hàm riêg theo biế thứ i Như vậy đạo hàm riêg của hàm hiều biế thu được bằg cách lấy đạo hàm của hàm một biế khi coi các biế cò lại là cố địh Thí dụ Với 3 f ( y, ) = y thì ta có f(, y) 3 f(, y) = y và = 3 y y Khi đạo hàm riêg theo một biế i ào đó là tồ tại ở mọi điểm thì ó cũg là một hàm số, và hàm số ày thườg được ký hiệu là D i f Như vậy Df ( ) chíh là ( Df )( ) và khôg ê viết hầm là D ( f( )), vố khôg có ý ghĩa gì Khi đạo hàm riêg theo mọi biế đều tồ tại thì ta thiết lập vectơ f( ) f( ) f( ),,,, hay ( Df ( ), Df( ),, D f( )), và gọi ó là gradiet của f tại Để cho gọ hơ gười ta hay ký hiệu ó là grad f ( ) Muố chíh ác hơ thì phải viết là (grad f )( ), hưg gười ta thườg bỏ qua dấu goặc bao quah grad f Trog thí dụ trê ta có 3 grad f ( y, ) = ( y,3 y) Như vậy gradiet là một phép ứg mỗi điểm với một vectơ Mệh đề Cho c là một số và f, g là hai hàm số ác địh và có đạo hàm riêg tại mọi điểm trê tập mở U R Khi ấy: (i) grad ( f + g) = grad f + gradg ; (ii) grad( cf ) = cgrad f; (iii) grad( f g) = ggrad f + fgrad g Chứg mih Suy ra gay từ các côg thức tíh đạo hàm của tổg hàm số và của tích một hàm với một số (đã biết trog giáo trìh Giải tích một biế)

53 46 Giải tích các hàm hiều biế Ý ghĩa hìh học của đạo hàm riêg f ( y, ) f ( y, ) Giả sử f ( y, ) với đạo hàm riêg là và Đồ thị của f là y một mặt trog khôg gia R 3 Nếu cố địh y= b thì đồ thị của f cắt mặt phẳg y= b theo một giao tuyế mà ếu chiếu thẳg góc vào mặt phẳg Oz thì sẽ là đồ thị của hàm ( biế) z = g ( ) = f( b, ) trê mặt phẳg ày, và hư vậy f(, b) = g ( ) chíh là hệ số của góc tạo bởi tiếp tuyế với đồ thị hàm g và trục O Rõ ràg, đây cũg là hệ số của góc tạo bởi giao tuyế của mặt phẳg Oy với mặt phẳg y= b và tiếp tuyế với đườg giao giữa đồ thị hàm số f và mặt phẳg ày f ( ay, ) Tươg tự ta cũg có chíh là hệ số góc của góc tạo bởi giao tuyế y của mặt phẳg Oyz với mặt phẳg = a và tiếp tuyế của đườg giao giữa đồ thị hàm f với mặt phẳg ày Trog phầ cuối của Mục 4, sau khi thiết lập quy tắc dây ích, chúg ta sẽ chỉ ra ý ghĩa hìh học của gradiet là vectơ vuôg góc với đườg mức 3 Tíh khả vi và gradiet Ta hớ rằg một hàm f : R R là khả vi tại điểm trog R khi và chỉ khi ó có đạo hàm tại và đại lượg g( h): = f( + h) f( ) f '( ) h là một vô cùg bé bậc cao hơ khi h, tức là chiều ta có địh ghĩa sau: gh ( ) lim = Mở rộg ra trog khôg gia - h h Hàm f ác địh trê tập mở U R được gọi là khả vi tại điểm U ếu hư ó có đạo hàm riêg tại điểm ày và đại lượg f( + h) f( ) grad f( ) h là một vô cùg bé bậc cao hơ h khi h, ghĩa là f( + h) f( ) grad f( ) h lim =, (*) h h trog đó ta sử dụg ký hiệu h = ( h, h,, h ) và f( ) f( ) f( ) grad f ( ) h = h + h + + h Lưu ý Trog trườg hợp hàm số một biế ta biết rằg ếu hàm số có đạo hàm thì ó là khả vi (ghĩa là khi ấy đẳg thức (*) tự độg thỏa mã) Điều ày khôg cò

54 Chươg Hàm hiều biế 47 đúg với hàm hiều biế, ghĩa là việc hàm số có đạo hàm riêg (theo mọi biế) khôg đảm bảo cho đẳg thức (*) ghiệm đúg, cho ê đẳg thức ày tham gia vào địh ghĩa khái iệm khả vi hư một điều kiệ độc lập Sau đây ta sẽ thấy một hàm có đạo hàm riêg khắp ơi mà khôg phải là khả vi (tại điểm gốc tọa độ) Thí dụ Xét hàm số biế y + y y /( ) khi (, ) (,), f(, y) = khi( y, ) = (,) Dễ dàg kiểm tra được rằg, ếu cố địh một biế thì hàm là khả vi theo biế cò lại (tại mọi điểm, kể cả tại gốc) Như vậy hàm có đạo hàm riêg tại mọi điểm Tuy hiê, ó khôg phải là khả vi tại gốc, bởi vì giới hạ lim ( hk, ) f ( + h, + k) f(,) grad f(,)( h, k) ( hk, ) khôg tồ tại Thậm chí, ta có thể chỉ ra rằg với số a,b bất kỳ, giới hạ sau khôg tồ tại f ( + h, + k) f(,) ( ah + bk ) lim ( hk, ) ( hk, ) Thật vậy, hk ah bk f( h, k) ( ah + bk ) = h + k, ( hk, ) h + k cho ê ó khôg thể có giới hạ, vì có dãy co h cùg (gười đọc dễ dàg kiểm tra trực tiếp) = k = làm cho ó tiế ra vô Nhậ ét Người ta có thể địh ghĩa tíh khả vi mà khôg sử dụg tới gradiet Cụ thể là: hàm f là khả vi tại điểm ếu hư tồ tại vectơ a = ( a, a,, a ) sao cho f( + h) f( ) ah lim = (**) h h Khi ấy, có thể chỉ ra rằg hàm f có đạo hàm riêg (theo mọi biế) tại và grad f ( ) = a Thật vậy, với vectơ h có dạg đặc biệt là h= ( h,,,) thì từ đẳg thức trê ta suy ra đạo hàm riêg của f theo biế là tồ tại và bằg a Tươg tự đối với các biế cò lại Cho ê, đôi khi gười ta địh ghĩa tíh khả vi một cách trực tiếp khôg cầ qua khái iệm đạo hàm riêg: Người ta ói hàm f khả vi tại điểm ếu hư tồ tại vectơ a sao cho đẳg thức (**) ghiệm đúg, và khi ấy gười ta cũg gọi vectơ a là gradiet của f tại cò đại lượg ah là vi phâ của hàm f tại điểm

55 48 Giải tích các hàm hiều biế Hàm số được gọi là khả vi trê tập U ếu ó khả vi tại mọi điểm trê tập đó Địh lý Hàm f ác địh trê tập mở U R là khả vi ếu hư ó có các đạo hàm riêg tại mọi điểm và các đạo hàm ày là liê tục trê U Chứg mih Để cho dễ hìh dug ta chứg mih cho trườg hợp hàm biế (hàm hiều biế hơ được chứg mih tươg tự) Như vậy, ta có hàm biế f(,y) với các đạo hàm riêg Df(, y), Df(, y ) là các hàm liê tục trê U Ta ét hiệu f ( + h, y+ k) f(, y) và có thể viết lại ó dưới dạg f ( + h, y+ k) f(, y+ k) + f(, y+ k) f(, y) Theo địh lý giá trị trug bìh (đối với biế thứ hất) ta tìm được điểm s (giữa và +h) sao cho f ( + h, y+ k) f(, y+ k) = D f( s, y+ k) h, và tươg tự đối biế thứ hai ta tìm được điểm t (giữa y và y+k) sao cho Cho ê đại lượg f ( y, + k) f( y, ) = Df( t, ) k g( yhk, ;, ): = f( + hy, + h) f( y, ) [ Df( y, ) h+ Df( y, ) k] có thể viết lại dưới dạg g(, y; h, k): = [ D f( s, y+ k) D f(, y)] h+ [ D f(, t) D f(, y)] k= Ah + Bk ; trog đó A = Df (, sy+ k) Df (, y) và B= Df(, t) Df(, y) là các đại lượg tiế tới khi h,k cùg tiế tới (do tíh liê tục của các hàm Df (,) và D f (,) và do s, t y khi h,k cùg tiế đế ) Nhớ rằg ( hk, ) = h + k cho ê h/ ( h, k ) và k/ ( h, k ) là các đại lượg bị chặ (bởi ), và vì vậy từ đẳg thức trê ta suy ra gyhk (, ;, ) lim lim h k = A B ( hk, ) ( hk, ) + = ( hk, ) ( hk, ) ( hk, ) Đây chíh là điều cầ chứg mih Nhậ ét Thí dụ ở phầ trê cho thấy rằg các điều kiệ của địh lý là cốt yếu Mệh đề Giả thiết rằg f khả vi tại điểm Khi ấy (i) f liê tục tại ; (ii) gradiet của f tại là duy hất

56 Chươg Hàm hiều biế 49 Chứg mih Suy trực tiếp từ địh ghĩa Chú ý Hàm có đạo hàm riêg khôg hất thiết là liê tục (em thí dụ trê và hậ ét về tíh liê tục của hàm hiều biế ở cuối mục trước) 4 Quy tắc dây ích Cho hàm số f ác địh trê tập mở U và ϕ,, ϕ là các hàm số một biế ác địh trê khoảg I R sao cho vectơ ( t) : = ( ϕ ( t),, ϕ( t)) U với mọi t I Phép ứg t () t cò gọi là hàm vectơ mà sau ày chúg ta sẽ khảo sát kỹ hơ Côg thức sau cho ta cách tíh đạo hàm của hàm một biế f ( ( t)) thôg qua gradiet của f và đạo hàm của các hàm ϕ,, ϕ Địh lý (Quy tắc dây ích) Giả thiết hàm số f ác địh và khả vi trê tập mở U, các hàm một biế ϕ,, ϕ ác địh và khả vi trê khoảg I R sao cho vectơ ( t) : = ( ϕ ( t),, ϕ ( t)) U với mọi t I Khi ấy hàm một biế f ( ( t)) là khả vi trê I và đạo hàm của ó được tíh theo côg thức: df ( ( t)) = [grad f ( ( t))] ( t), dt trog đó (): t = ( ϕ (),, t ϕ ()) t Chứg mih Đặt k: = k( th, ) : = ( t+ h) ( t) Ta có f ( ( t+ h)) f( ( t)) f( ( t) + k) f( ( t)) = h h Do tíh khả vi của hàm f ta biết rằg f( + k) f( ) = grad f( ) k+ k g(,k ), trog đó lim g(,k ) = Thay k vào biểu thức ày và chia vế cho h ta có k f( ( t+ k)) f( ( t)) ( t+ h) ( t) ( t+ h) ( t) = grad f( ( t)) ± g(,k ) h h h Khi h tiế dầ đế thì ( t+ h) ( t) ϕ( t+ h) ϕ( t) ϕ( t+ h) ϕ( t) = (,, ) ( ϕ ( t),, ϕ ( t)) h h h và k tiế tới, cho ê số hạg thứ của vế phải sẽ tiế đế Khi ấy ta có df ( ( t)) = [grad f ( ( t))] '( t) dt Đây chíh là điều cầ chứg mih

57 5 Giải tích các hàm hiều biế Thí dụ Lấy a = ( a,, a ) U và h = ( h,, h ) R sao cho a+ th U với mọi t (,) và địh ghĩa các hàm ϕ theo côg thức: ϕ ( t) = a + th, i=,, i i i Khi ấy ( t) = a+ th và F(): t = f( ()) t = f( a+ th ) có F'( t) = grad f( a+ th) h, bởi vì ϕ ( t) = h, i=,, i i Lưu ý Côg thức hậ được cò có tê gọi là quy tắc đổi biế (trog phép lấy đạo hàm) Côg thức ày có thể viết lại dưới dạg cụ thể hơ là df ( ( t)) f ( ) dϕ f ( ) dϕ f ( ) dϕ = dt dt dt dt Trog chươg tới chúg ta sẽ có quy tắc dây ích tổg quát hơ khi ϕ,, ϕ cũg là hữg hàm hiều biế Nhậ ét Khi f là một hàm khả vi, cò c là một số thực, thì tập tất cả hữg điểm (vectơ) thỏa mã f ( ) = c được gọi là mặt mức ứg với giá trị c (trog trườg hợp ằm trog khôg gia chiều thì gười ta que gọi là đườg mức) Nếu ( t) là một đườg cog khả vi ằm trê mặt mức (ghĩa là mọi điểm của ó ằm trê mặt ày), thì ta có f ( ( t)) = c, với mọi t, và bằg cách lấy đạo hàm cả vế và áp dụg quy tắc dây ích ta có grad f( ( t)) ( t) = Với P là một điểm ằm trê mặt mức mà đườg cog đi qua đó thì có số t sao cho ( t) = P Và hư vậy grad f( P) ( t ) = Lưu ý rằg () t là vectơ tiếp úc của đườg cog () t, cho ê côg thức trê có ghĩa là vectơ vuôg góc với tất cả các vectơ grad f ( P ) tiếp úc của các đườg cog (ằm trê mặt mức) đi qua điểm P Trog trườg hợp chiều thì mặt mức cũg chíh là đườg mức và khi ấy ta có thêm một hìh ảh hìh học về gradiet: ó là vectơ vuôg góc với đườg mức 5 Đạo hàm theo hướg Cho hàm f ác địh và khả vi trê tập mở U và a là một điểm ằm trog tập ày Với vectơ đơ vị e (tức là e = ), ta có đườg thẳg đi qua a theo phươg e, với phươg trìh là ( t) = a+ te Như trog thí dụ ở mục trước chúg ta đã tíh đạo hàm là:

58 Chươg Hàm hiều biế 5 df ( a+ te) = grad f ( a + te) e dt Khi t = thì đạo hàm ày trở thàh grad f ( ae ) và được gọi là đạo hàm theo hướg e tại điểm a của hàm f Nhậ ét Rõ ràg đạo hàm theo hướg (tại một điểm đã cho) là lớ hất khi hướg trùg với gradiet của hàm, và là hỏ hất khi hướg gược với gradiet của hàm Vì đạo hàm theo hướg phả áh tốc độ biế thiê của hàm theo hướg đó, ê hàm tăg hah hất theo hướg gradiet và giảm hah hất theo hướg gược với gradiet Khi f là hàm phâ bố hiệt trog khôg gia thì một chất điểm lạh muố trở thàh ấm hơ (một cách hah hất) sẽ phải chuyể độg theo hướg gradf, cò chất điểm óg muố trở ê mát hơ sẽ phải chuyể độg theo hướg -gradf Côg thức Taylor Đạo hàm riêg lặp Để dễ ắm được bả chất vấ đề, trước hết ta ét trườg hợp hàm biế Cho hàm f ác địh và khả vi trog miề mở U trog khôg gia chiều Khi f ( y, ) ấy, D f (hay cò được viết là ) cũg là hàm ác địh trê U Như vậy ta có thể ét đế đạo hàm riêg của ó D Df, DDf (ếu tồ tại) Tươg tự hư vậy đối với D f, ta cũg có thể thiết lập các đạo hàm riêg DDf và DDf (ếu tồ tại) Các đạo hàm riêg hư vậy được gọi là các đạo hàm riêg lặp của hàm f Thí dụ Nếu f ( y, ) = si( y) thì ta có các đạo hàm riêg f(, y) f(, y) D f(, y) = = ycos( y) và D f(, y) = = cos( y) y Chúg là các hàm khả vi ê ta thiết lập được các đạo hàm riêg lặp, và dễ thấy rằg DD f (, y) = ysi( y) + cos( y), DD f (, y) = ysi( y) + cos( y) Như vậy chúg bằg hau! Điều ày khôg phải lúc ào cũg ảy ra, hưg địh lý sau đây cho ta thấy rằg trog thực tế các đạo hàm lặp của một hàm số thườg hay bằg hau

59 5 Giải tích các hàm hiều biế Địh lý Cho hàm biế f ác địh trê tập mở U (trog khôg gia chiều), và giả sử rằg ó có các đạo hàm riêg Df, Df, DD f, DDf liê tục Khi ấy Chứg mih Cho (, y) D D f = D D f U Với h, k khác và đủ bé ta ét hàm g( ) = f( y, + k) f( y, ) và áp dụg địh lý giá trị trug bìh ta tìm được điểm s ằm giữa và +h sao cho ghĩa là g( + h) g( ) = g'( s ) h, f ( + h, y+ k) f( + h, y) f(, y+ k) + f(, y) = [ D f( s, y+ k) D f( s, y)] h Sử dụg địh lý giá trị trug bìh cho thàh phầ trog goặc vuôg ở vế phải (theo biế thứ ) ta tìm được điểm s ằm giữa y và y+k sao cho f ( + h, y+ k) f( + h, y) f(, y+ k) + f(, y) = D D f( s, s ) k h Tươg tự hư vậy ta ét hàm q( y) = f( + h, y) f(, y) và tìm được các số t giữa và +h, t giữa y và y+k sao cho qy ( + k) qy ( ) = DDft (, t) hk Chú ý rằg q( y+ k) q( y) = f( + h, y+ k) f( + h, y) f(, y+ k) + f(, y), cho ê ta có DDf ( s, s) kh = DD f( t, t) hk, và do h,k khác ta suy ra D Df( s, s) = DD f( t, t) Cho h,k cùg tiế tới ta có ( s, s) (, y) và ( t, t) (, y), từ tíh liê tục của các hàm DDf và DDf ta suy ra điều cầ chứg mih Nhậ ét Địh lý trê cho thấy rằg khi các đạo hàm riêg lặp là liê tục thì chúg khôg phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm Điều ày dễ dàg mở rộg cho các đạo hàm riêg cấp cao hơ (ếu chúg tồ tại và liê tục), vì đạo hàm cấp cao thu được từ việc lấy liê tiếp các đạo hàm của các đạo hàm cấp thấp hơ liề kề Một điều cũg dễ hậ thấy là điều ày cũg đúg với các hàm có số biế hiều hơ (vì khi ta ét đạo hàm riêg lặp theo cặp biế ào đó thì các các biế cò lại coi hư cố địh và khôg gây ảh hưởg đế việc lấy đạo hàm, và khi đã đổi

60 Chươg Hàm hiều biế 53 được vị trí cho phép lấy đạo hàm kề hau thì sẽ đổi được vị trí cho phép lấy đạo hàm bất kỳ, khôg kề hau) Do việc lấy đạo hàm riêg lặp khôg phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm (khi ó liê tục), cho ê gười ta có thể dồ các đạo hàm riêg theo mỗi biế vào một hóm (đi liề hau) Thí dụ DDDDDD 3 f có thể được viết thàh 3 DDDDDDf, 3 và để cho gọ hơ gười ta viết DDD 3 f Côg thức Taylor Cho hàm f ác địh trê tập mở U, a là một điểm trog U và h là một vectơ trog R sao cho a+ th U với mọi t [,] Ký hiệu F( t): = f( a+ th ) Đây là hàm một biế, ác địh trê đoạ [,] Côg thức sau cho phép tíh giá trị f ( a+ h ) dựa vào f ( a) và các đạo hàm của F Địh lý (Côg thức Taylor) Cho f là hàm số ác địh trê miề mở U và có các đạo hàm riêg liê tục tới cấp m Nếu a là điểm trog U và h là một vectơ sao cho với mọi t [,] ta có a+ th U, thì tồ tại số τ (,) thỏa mã ( m ) ( m) F'() F () F () F ( τ) f( a+ h) = f( a ) !! ( m )! m! Chứg mih Nhậ ét rằg F( t ) là hàm một biế khả vi liê tục tới cấp m trê đoạ [,] cho ê ta có thể áp dụg côg thức Taylor trê khoảg (,) và thu được ( m ) ( m) F'() F"() F () F ( τ) F() = F() ,!! ( m )! m! trog đó τ là một số trê khoảg (,) Thay F() = f( a+ h ) và F() = f ( a ) vào đẳg thức trê ta thu được điều cầ chứg mih Hệ quả (Địh lý giá trị trug bìh) Cho f là hàm số ác địh và có các đạo hàm riêg liê tục trê miề mở U, a và b là các điểm trog U sao cho đoạ thẳg ối điểm ày cũg ằm hoà toà trog U Khi ấy tồ tại điểm c ằm trog đoạ ấy (khôg trùg với đầu mút) sao cho f( b) f( a) = grad f( c)( b a ) Chứg mih Dùg quy tắc dây ích ta tíh được F'( t) = grad f( a+ t( b a))( b a ) Đặt c= a+ τ( b a ) và thay đạo hàm F '( t ) vào côg thức Taylor sẽ có gay điều cầ chứg mih

61 54 Giải tích các hàm hiều biế Nhậ ét Trog côg thức Taylor các đạo hàm của hàm F có thể viết tườg mih thôg qua các đạo hàm riêg lặp của f hờ vào quy tắc dây ích hư trog hệ quả vừa êu Thí dụ với = và h = ( uv, ) thì ta có: f( a, a ) f( a, a ) F '() = u+ v f( a, a) f( a, a) f( a, a) F () = u + uv+ v Bằg phươg pháp quy ạp dễ dàg kiểm tra côg thức sau: k ( k) q f( a, a) q k q () = k q k q q k ( ) ( ) F C u v Thí dụ Khai triể Taylor đế bậc 4 của hàm biế si(+y) tại điểm (,) là 3 Toá tử vi phâ y y y y 6 6 Như đã thấy trog mục trê, côg thức Taylor sẽ trở ê rất cồg kềh khi chúg ta biểu diễ tườg mih đạo hàm cấp m của F thôg qua các đạo hàm riêg lặp của f Để đơ giả hoá các côg thức liê qua đế đạo hàm riêg lặp, gười ta thườg dùg đế khái iệm toá tử vi phâ Khi hàm số biế f có các đạo hàm riêg lặp đế cấp k ào đó và chúg đều liê tục trog một miề mở U thì khi ói tới đạo hàm riêg lặp gười ta chỉ qua tâm đế khía cạh: đạo hàm theo biế ào và cấp mấy (mà khôg cầ cầ qua tâm đế thứ tự thực hiệ phép lấy đạo hàm riêg), Ta đã biết rằg phép lấy đạo hàm của f theo biế i cấp m i i là D f Với m+ m + + m k, phép lấy đạo hàm lặp m i được ký hiệu m m m D D D, hay m m m, được gọi là toá tử vi phâ đơ cấp m= m+ m + + m, và được ký hiệu là m D : = m m m Đây là toá tử cho ứg mỗi hàm f (thỏa mã điều kiệ trê) với hàm g Lưu ý Cầ phâ biệt sự khác hau giữa biểu thức sau đây = Df

62 Chươg Hàm hiều biế 55 ( ) f = f và f Chúg, ói chug, là khác hau Thí dụ, khi f = ( y) = 4 y f ( y, ) = y thì f = y cò Các toá tử vi phâ đơ có thể cộg với hau và hâ với số theo các địh ghĩa thôg thườg Cụ thể, ếu D và D là các toá tử vi phâ đơ thì ta địh ghĩa tổg của chúg là toá tử (ký hiệu là D+D ) cho ứg mỗi hàm f (có các tíh chất đã êu) với một hàm ác địh hư sau: Tươg tự hư vậy ta địh ghĩa tích của một toá tử vi phâ đơ D với một số thực c là một toá tử (ký hiệu là cd) cho ứg mỗi hàm f với một hàm ác địh hư sau ( cd) f : = c( Df ) Rõ ràg tổg của các toá tử vi phâ đơ và tích của toá tử vi phâ đơ với một số khôg cò là một toá tử vi phâ đơ, và gười ta gọi chúg là toá tử vi phâ Vì toá tử vi phâ đơ là tuyế tíh, cho ê toá tử vi phâ cũg là tuyế tíh Nghĩa là, ếu D là một toá tử vi phâ, c là một số, cò f và g là hữg hàm số (có các tíh chất đã êu), thì D( f + g) = Df + Dg, D( cf) = cdf Nếu D và D là các toá tử vi phâ, thì gười ta địh ghĩa tích của toá tử ày hư phép lấy hợp của toá tử Nghĩa là tích của chúg, ký hiệu là DD, là một toá tử ác địh hư sau: ( D D') f : = D( D' f) Rõ ràg ó cũg là một toá tử vi phâ (tức là bằg tổg của các thàh phầ là toá tử vi phâ đơ hoặc tích của toá tử vi phâ đơ với một số) Từ địh lý ở mục trê ta suy ra phép hâ toá tử vi phâ có tíh giao hoá, ghĩa là D D' = D' D Dễ dàg thấy rằg phép hâ các toá tử vi phâ cũg có tíh kết hợp Nghĩa là, với các toá tử vi phâ D, D', D " ta luô có

63 56 Giải tích các hàm hiều biế D( D' + D") = DD ' + DD " Từ đây, ta thấy rằg phép hâ các toá tử vi phâ cũg hoà toà tươg tự hư hâ các đa thức Và hư vậy, các toá tử vi phâ cũg đa dạg hư các đa thức Người ta ói toá tử vi phâ được viết dưới dạg chuẩ tắc ếu hư ó là tổg của các số hạg có dạg toá tử vi phâ đơ hâ với một hệ số Thí dụ Toá tử vi phâ ( ) y y là có dạg chuẩ tắc Cò toá tử vi phâ y y là chưa ở trog dạg chuẩ tắc m m m Người ta coi cấp của thàh phầ cd D D là m= m+ m + + m Khi toá tử vi phầ là tổg của các thàh phầ có cùg cấp m thì được gọi là thuầ hất cấp m Cho h = ( h, h,, h ) là một vectơ cố địh trog R Xét toá tử vi phâ sau đây D: = h + h + + h Chúg ta đã biết đạo hàm của hàm F trog côg thức Taylor có thể viết dưới dạg F () t = Df( a+ th ) Lấy đạo hàm lầ ữa ta sẽ có = + = + F ( t) D( Df)( a th) D F( a th ) Bằg phươg pháp quy ạp ta dễ dàg chứg mih côg thức tổg quát là k ( F ) () t = D f( a+ th ) Lưu ý rằg biểu thức chi tiết của vế phải là D k f ( a t ) h h + h = + + f ( + t ) a h Với ký hiệu toá tử D ở trê, côg thức Taylor có thể viết dưới dạg m Df ( a) D f ( a) D f ( a) D f ( a+ τh) f( a+ h) = f( a ) !! ( m )! m! k k m

64 Chươg Hàm hiều biế 57 Dĩ hiê đây cũg chỉ là côg thức mag tíh hìh thức, và khi muố tíh toá cụ k thể thì lại phải dùg đế biểu thức chi tiết của D f 3 Ứg dụg của đạo hàm 3 Điều kiệ của cực trị Giả sử f là hàm số ác địh trê tập mở U R Ta ói rằg f đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) địa phươg tại U ếu tồ tại ε > sao cho f ( ) f( ) (hoặc f( ) f ( ) ) với mọi U mà < ε Địh lý (Điều kiệ cầ) Giả thiết f là hàm ác địh trê tập mở U R và khả vi tại U Nếu là điểm cực trị địa phươg của f thì grad f( ) = Chứg mih Giả thiết là điểm cực tiểu địa phươg của f (trườg hợp cực đại địa phươg được chứg mih tươg tự) Giả sử grad f ( ) khác và bằg vectơ ( a,,a ) với toạ độ ào đó khác, thí dụ là a i < chẳg hạ Lấy e i là vectơ có các tọa độ bằg goại trừ tọa độ thứ i bằg Theo địh ghĩa tíh khả vi: f ( + tei) f( ) grad f( )( tei) f( + tei ) f( ) = lim = lim ai t t t t Nếu a i <, thì khi t đủ hỏ ta thu được f( + tei ) f( ) <, t và suy ra f ( + tei ) < f( ) với t > đủ hỏ Nếu a i > thì ta cũg có bất đẳg thức ày với t < và đủ gầ Điều ày trái với tíh cực tiểu địa phươg của Vậy grad f( ) = và địh lý được chứg mih Nhữg điểm U thỏa mã grad f( ) = được gọi là điểm tới hạ (hay điểm dừg) của f Chú ý Theo địh lý trê, mọi điểm cực trị là tới hạ hưg cũg hư trog trườg hợp hàm biế, điều gược lại khôg đúg Thí dụ Cho f (, y) = siy là hàm biế khả vi tại mọi điểm của R Để tìm điểm tới hạ của f ta viết phươg trìh grad f (,y) = (si y, cos y ) = (, ) Suy ra các điểm ( ),k, với k =,,, là hữg điểm tới hạ Trog số điểm tới hạ ày khôg có điểm ào là cực trị địa phươg Thật vậy, với k =,, bất kỳ,

65 58 Giải tích các hàm hiều biế ta có f (,k ) = và, với y đủ gầ kπ sao cho si y >, ta luô chọ được đủ gầ sao cho f(,y ) < hoặc f(,y ) > Đối với một số hàm có cấu trúc đặc biệt thì mọi điểm tới hạ cũg là điểm cực trị Lớp hàm đặc trưg hất có tíh chất ày là lớp hàm được ét dưới đây 3 Hàm lồi và cực trị của ó Hàm f ác địh trê R được gọi là lồi ếu với mọi,y R và t ta có f ( t+ (-t) y) tf( ) + (-t) f( y ) Thí dụ Hàm f (,) = + là hàm lồi trê R Thật vậy, với mọi = (, ), y= ( y,y ) và t, ta có Do đó f là hàm lồi ( ) ( ) f ( t+ ( t) y) = ( t + ( t) y ) + ( t + ( t) y ) t + t y + t + t y tf ( ) + ( t) f ( y) Mệh đề Giả thiết f là hàm lồi trê R, khả vi tại R Khi ấy là điểm cực tiểu của f khi và chỉ khi grad f( ) = Chúg mih Theo địh lý, chúg ta chỉ cầ chứg mih vế khi Giả sử grad f( ) = và khôg phải là cực tiểu của f, tức là tồ tại R để f ( ) < f( ) Do f lồi, với < t < ta có f ( + t( )) < tf( ) + ( t) f( ) Suy ra f( + t( )) f( ) < f ( ) f( ), t và hư vậy f( + t( )) f( ) grad f( )( ) = lim < t t Điều ày mâu thuẫ với grad f( ) = Vậy phải là cực tiểu của f Thí dụ Điểm (,) là cực tiểu của hàm f (, ) = + Thật vậy, ta có grad f (, ) = (, ) và hư ta đã biết f là hàm lồi Áp dụg mệh đề ta có gay điều cầ chứg mih

66 Chươg Hàm hiều biế 59 Nhậ ét Mệh đề trê cho thấy một tíh chất rất qua trọg của hàm lồi, đó là các điểm cực tiểu địa phươg (của hàm lồi) thì cũg là hữg điểm cực tiểu toà cục Thật vậy, hữg điểm cực tiểu địa phươg phải thoả mã điều kiệ grad f( ) = (theo địh lý về điều kiệ cầ cực trị), và do mệh đề trê chúg phải là cực tiểu toà cục Cũg hư trog trườg hợp chiều, đạo hàm của hàm lồi có hữg ét đặc trưg rất thú vị Tuy hiê, hư ta thấy, đạo hàm của hàm lồi hiều biế là một hàm vectơ và vì vậy việc ghiê cứu ó sẽ được dàh lại cho chươg sau 33 Bài toá cực trị có điều kiệ và guyê lý Lagrage Bài toá cực trị hay gặp trog thực tiễ thườg là hữg bài toá cực trị có điều kiệ, ở đó gười ta tìm cực trị của một hàm trê một tập điểm thoả mã một số điều kiệ ào đó Đây là một trog hữg chủ đề cơ bả trog lý thuyết tối ưu Một trườg hợp đặc biệt, khi tập điểm là một mặt cog, thì ta có bài toá tìm cực trị của hàm số f trê tập tất cả các điểm = (,,, ) thoả mã phươg trìh biểu diễ mặt cog đó Bài toá tìm cực tiểu của hàm f trê mặt cog với phươg trìh biểu diễ g (,,, ) = thườg được mô tả hư sau (P) mi f(,,, ) g (,,, ) = Cho = (,,, ) là một lời giải của bài toá và giả sử rằg grad g( ) (CQ) Khi ấy, với mọi đườg cog khả vi p ( t) ằm trọ trê mặt cog g (ghĩa là thoả mã g( p ( t )) = với mọi t) và đi qua điểm (tức là có p() = ), hàm số f ( p ( t)) sẽ đạt cực tiểu tại điểm t = Điều ày có ghĩa ó có đạo hàm bằg tại điểm t=, và theo quy tắc dây ích, ta có grad f( p()) p'() = grad f( ) p '() = Như vậy, grad f ( ) vuôg góc với vectơ tiếp tuyế của đườg cog p ( t) tại điểm và, do điều ày ảy ra với mọi đườg cog khả vi ằm trê mặt cog và đi qua điểm, cho ê grad f ( ) vuôg góc với mặt phẳg tiếp úc của mặt cog g tại điểm Suy ra, theo hậ ét ở cuối Mục 4, grad f ( ) phải sog sog với vectơ grad g( ), ghĩa là tồ tại một số thực λ sao cho grad f( ) = λ grad g( ) (*) Ký hiệu L(, λ): = f( ) λg( ) và gọi ó là hàm Lagrage của bài toá (P), từ đẳg thức trê, ta suy ra kết quả sau đây Địh lý (Nguyê lý hâ tử Lagrage) Nếu là một lời giải của bài toá (P) và thoả mã điều kiệ (CQ) thì tồ tại số thực λ sao cho

67 6 Giải tích các hàm hiều biế grad L(, λ ) =, (**) (trog đó grad có ghĩa là gradiet theo biế ) Số λ có tê gọi là hâ tử Lagrage đối với điểm cực trị Chứg mih Địh lý được suy ra gay từ đẳg thức (*), vì rằg grad L (, λ ) = grad f ( ) λ grad g ( ) Nhậ ét Địh lý trê cho thấy rằg sự tồ tại của hâ tử Lagrage chíh là điều kiệ cầ cho tíh cực trị của điểm Như vậy, muố tìm được điểm cực trị của bài toá (P), trước hết ta cầ tìm ra hữg điểm của mặt cog g thoả mã điều kiệ (**) với một hâ tử λ ào đó Điều ày cũg tươg tự hư việc muố tìm cực trị (khôg điều kiệ) của một hàm số thì trước hết phải tìm ra hữg điểm thoả mã điều kiệ cầ (có gradiet bằg ), hư đã ét trog Mục 3 Thí dụ Tìm cực trị của hàm số f ( yz,, ) = + y + z trê mặt cog ác địh bởi phươg trìh + y z = Từ địh lý về hâ tử Lagrage kết hợp với điều kiệ ràg buộc (điểm cực trị ằm trê mặt cog) ta suy ra điểm cực trị phải thoả mã các điều kiệ sau: (a) = λ, (b) y= λ4y, (c) z = λ( z), (d) + y z = Giả sử rằg (, y, z ) là một ghiệm Nếu z thì từ (c) ta có λ = và từ (a)-(b) rút ra và điều ày mâu thuẫ với (d) Cho ê, z = Từ đây ta dễ dàg tìm ra 4 điểm khả ghi là (,,) và (,,), ứg với hâ tử λ = ; (,/,) và (, /,), ứg với hâ tử λ = / Nếu cầ tìm điểm cực tiểu thì ta thấy rằg chỉ có điểm sau là đág qua tâm (vì tại đó giá trị của hàm mục tiêu hỏ hơ) Tíh toá trực tiếp cho thấy rằg chúg thực sự là hữg điểm cực tiểu Nhậ ét Trườg hợp tổg quát hơ, khi tập ràg buộc khôg chỉ là một mặt cog mà là giao của một số (hữu hạ) mặt cog, bài toá được mô tả hư sau mi f(,,, ) gi(,,, ) =, i=,, k Khi đó phươg pháp ghiê cứu và kết quả thu được cũg hoà toà tươg tự hư trê, hưg để làm được điều ày ta cầ tíh được khôg gia tiếp tuyế đối với

68 Chươg Hàm hiều biế 6 tập giao của các mặt cog, mô tả bởi hệ phươg trìh gi(,,, ) =, i=,, k Đây là chủ đề sẽ được ét trog các chươg sau Với một điều kiệ hất địh (khôg quá chặt, tươg tự hư điều kiệ (CQ)) gười ta chỉ ra được rằg khôg gia tiếp tuyế của tập giao các mặt cog cũg chíh là giao của của các khôg gia tiếp tuyế đối với các mặt, và từ tíh vuôg góc của vectơ grad f ( ) đối với khôg gia tiếp tuyế ày gười ta rút ra guyê lý hâ tử Lagrage cho bài toá tổg quát dưới dạg tươg tự hư đã phát biểu ở trê, trog đó hàm Lagrage được địh ghĩa bằg côg thức L(, µ ) = f( ) < µ, g( ) >, trog đó g( ) là hàm vectơ ác địh bởi g( ) : = ( g( ),, g k ( )), µ = ( µ,, µ k ) là một vectơ k chiều, cò <,> là ký hiệu tích vô hướg Dĩ hiê, khi ấy hâ tử Lagrage cũg khôg cò là một số, mà là một bộ số (vectơ k chiều) Bạ đọc có hu cầu tìm hiểu sâu hơ về lĩh vực ày i tham khảo các giáo trìh về quy hoạch toá học, hay rộg hơ ữa là lý thuyết các bài toá cực trị 34 Vi phâ toà phầ Cũg hư trog trườg hợp hàm một biế, ếu ký hiệu : = (,, ) là số gia của biế, và ếu f khả vi tại, thì số gia của hàm số f ( ): = f( + ) f( ) là f ( ) = grad f( ) + ε, trog đó ε là một đại lượg vô cùg bé của Biểu thức grad f ( ) được gọi vi phâ (toà phầ) của f tại ứg với số gia, và được ký hiệu là df ( ) Người ta cũg ký hiệu i = di Khi ấy f( ) f( ) df = d + + d ( ) Như vậy, ếu d,, d đủ hỏ, thì df ( ) là ấp ỉ của số gia f ( ) Nhậ thấy rằg các tíh chất của vi phâ hoà toà được ác địh bởi đạo hàm, cho ê trog hữg phầ tới, chúg ta chỉ cầ tập trug vào khảo sát tíh chất của đạo hàm

69 Bài tập và tíh toá thực hàh Chươg Các bài tập về hàm hiều biế6 Tập ác địh của hàm hiều biế 6 Đườg mức của hàm hiều biế 63 3 Vẽ đồ thị hàm hai biế 63 4 Giới hạ của hàm hiều biế 64 5 Vi phâ của hàm hiều biế 65 6 Cực trị của hàm hiều biế 66 Thực hàh tíh toá67 Vẽ đồ thị hàm số 67 Giới hạ của hàm hiều biế 7 3 Vi phâ của hàm hiều biế 77 4 Tíh gradiet của hàm hiều biế 8 5 Cực trị của hàm hiều biế 8 6 Côg thức Taylor cho hàm hiều biế 8 Các bài tập về hàm hiều biế Tập ác địh của hàm hiều biế Hãy tìm tập ác địh của các hàm hiều biế sau: Bài a) z = 9 y ; b) z = ( + y 4)(5 y ) Bài a) y z = ; b) a b z = + + y y Bài 3 a) z = l y ; b) z = l( y+ ) Bài 4 z arcta y =

70 Bài tập và tíh toá thực hàh Chươg 63 Đườg mức của hàm hiều biế Vẽ đườg mức hoặc mặt mức của các hàm hiều biế sau: Bài a) z = + y ; b) z = y Bài a) y z = ; b) z = + y Bài 3 a) z = + y ; b) z = + y Bài 4 a) z = e y ; b) u= + y+ z Bài 5 a) u= + y z ; b) u= + y + z + t Bài 6 Hãy vẽ trê mặt phẳg tập tất cả hữg điểm (, y ) mà + > y 3 Vẽ đồ thị hàm hai biế Chọ các giá trị cụ thể của tham số abc,, rồi vẽ đồ thị các hàm hai biế sau đây: y z Bài Vẽ mặt ellipsoid + + = a b c Bài Vẽ mặt paraboloid elliptic y + = z a b Bài 3 Vẽ mặt paraboloid hyperbolic (mặt yê gựa) y z Bài 4 Vẽ mặt hyperboloid một tầg + = a b c Bài 5 Vẽ mặt hyperboloid hai tầg y + z = a b c Bài 6 Vẽ mặt trụ elliptic y + = a b Bài 7 Vẽ mặt trụ hyperbolic y = a b Bài 8 Vẽ mặt trụ parabolic Bài 9 Vẽ mặt ó bậc hai y = a y z + = a b c y z = a b

71 64 Giải tích các hàm hiều biế 4 Giới hạ của hàm hiều biế Cho hàm số z = f(, y) Cố địh một biế, thí dụ biế y, khi ấy ta được một hàm một biế của Giả sử, với y cố địh, giới hạ của hàm số f ( ykhi, ) tồ tại Như vậy, ta được một hàm của một biế y Cho y y, ta được giới hạ lặp: Tươg tự, ta có giới hạ lặp: lim lim f ( y, ) y y lim lim f ( y, ) y y Ta ói z = f(, y) có giới hạ bằg L khi (, y ) tiế tới (, y) và viết lim f ( y, ) = L y y ếu với mỗi số ε > tồ tại số δ > sao cho f(, y) L < ε với mọi (, y ) mà ( y, ) (, y) < δ Khi hoặc y (hay cả hai) bằg vô cùg thì địh ghĩa cũg tươg tụ Bài Tìm giới hạ của hàm số z= + khi tiế tới và y tiế tới vô cùg y y Bài Chứg mih rằg hàm số z = có tíh chất: + y y y lim lim = và lim lim =, y + y y + y y do đó khôg tồ tại lim + y Bài 3 Cho hàm số: tuy hiê khôg tồ tại y + y f(, y) = Hãy chỉ ra rằg + y + ( y) lim lim f(, y) = lim lim f(, y) = ; y y lim f ( y, ) y Bài 4 Tíh các giới hạ lặp và giới hạ của các hàm số sau đây: y a) khi và y tiế tới + y b) + y y + y khi và y tiế tới

72 Bài tập và tíh toá thực hàh Chươg 65 c) d) e) si + ysi khi và y tiế tới y + y y khi và y tiế tới vô cùg ( y) ( + y ) e + khi và y tiế tới vô cùg y f) ( + y ) khi và y tiế tới vô cùg g) h) i) j) k) l) y + y khi và y tiế tới ta( y) khi và y tiế tới ( ) + + y y khi và y tiế tới + y ( + ) khi tiế tới vô cùg và y tiế tới y l( + e ) + y khi tiế tới và y tiế tới si( y) khi tiế tới và y tiế tới 5 Vi phâ của hàm hiều biế Tíh đạo hàm riêg Bài (Thi vào giai đoạ, hệ tại chức, ĐHBK Hà Nội) Cho u= Tíh y u u u,, y y Bài (Thi vào giai đoạ, hệ tại chức, ĐHBK Hà Nội) Cho z = y y + 6y Tíh u u u,, y y Bài 3 (Thi vào giai đoạ, hệ tại chức, ĐHBK Hà Nội) Cho Bài 4 Cho hàm số z= 3 y + y 8+ 8 Tíh u u u,, y y

73 66 Giải tích các hàm hiều biế y y khi + y f(, y) = + y khi = y = Đẳg thức sau đây có đúg khôg f ( y, ) f( y, ) = y y Bài 5 Tìm một hàm hai biế và y hai lầ khả vi liê tục theo từg biế trog miề và khôg có đạo hàm hỗ hợp Tíh gradiet của hàm hiều biế { (, ): } U = y + y < f ( y, ) y và f ( y, ) tại điểm (,) y Bài Tìm gradiet của hàm số Bài Tìm gradiet của hàm số 3 + yz y z tại điểm M ( 9,,) Bài 3 (Thi mô Giải tích, học kỳ, 999-, ĐHBK Hà Nội) Cho y 3 P( y, ) = y +, Qy (, ) = y y+ y + Chứg mih rằg tồ tại hàm uy (, ) có du = P(, y) d + Q(, y) dy Tìm hàm uy (, ) thỏa mã: du = P(, y) d + Q(, y) dy 3 Đạo hàm theo hướg Bài (Thi mô Giải tích, học kỳ, 999-, ĐHBK Hà Nội) 3 Tíh đạo hàm của hàm số u= y z, tại điểm M(,,-) theo hướg ác địh bởi MN với N(,4,-3) Bài (Thi mô Giải tích, học kỳ, 999-, ĐHBK Hà Nội) Cho hàm số u= + y 6 z 5 Tíh u e tại M (,,) theo hướg e= MM với M (,,3) 6 Cực trị của hàm hiều biế Bài Tìm cực trị địa phươg của các hàm sau đây:

74 Bài tập và tíh toá thực hàh Chươg 67 a) c) y + y ; b) y y y ; y y ; d) y 3 (6 y) Bài Tìm giá trị lớ hất và bé hất của hàm z = y + y với ; y Bài 3 (Thi vào giai đoạ, hệ chíh qui, ĐHBK Hà Nội, 99) Tìm cực trị của hàm z = y y Bài 4 (Thi vào giai đoạ, hệ chíh qui, ĐHBK Hà Nội, 993) Tìm cực trị của hàm z = y + y Thực hàh tíh toá Bằg thủ côg, chúg ta hầu hư khôg thực hiệ được các tíh toá và vẽ đồ thị của các hàm hiều biế (gay cả trog trườg hợp hai hoặc ba biế) Vì vậy, cũg dễ hiểu tại sao trog các giáo trìh từ trước tới ay, vấ đề tíh toá và biểu diễ đối với hàm hiều biế thườg ít được qua tâm và luô tồ tại hư một "lĩh vực mơ hồ" đối với hầu hết mọi học sih Nhờ máy, chúg ta có thể dễ dàg đi sâu vào vấ đề ày và sẽ thấy được đây là một lĩh vực có hiều điều thú vị Ta có thể thực hiệ các tíh toá cực kỳ phức tạp hoặc vẽ được đồ thị của hữg hàm rất "hiểm hóc" hờ một vài lệh đơ giả Vẽ đồ thị hàm số Trước hết chúg ta cầ ạp các gói chuyê dụg cho vẽ đồ thị, bằg lệh: [> with(plots): [> with(plottools): Vẽ đồ thị hàm một biế a Vẽ đồ thị hàm thôg thườg Muố vẽ đồ thị hàm thôg thườg y= f( ) ta dùg lệh: [> plot(f(),=ab); trog đó, f()là hàm cầ vẽ đồ thị, [ ab, ] là khoảg thay đổi của biế số Thí dụ Vẽ đồ thị hàm số si trog khoảg 3π đế 3π [> plot(*si(),=-3*pi3*pi);

75 68 Giải tích các hàm hiều biế Hìh 3 b Vẽ đồ thị một số dạg hàm khôg thôg thườg Nhiều hàm số khôg biểu diễ được thôg qua các hàm cơ bả, thí dụ hư guyê hàm của một số hàm thườg gặp hư si Việc vẽ đồ thị của chúg thườg rất khó khă Với lệh plot của Maple, ta có thể vẽ đồ thị của hữg hàm ày một cách dễ dàg Thí dụ Địh lý Newto-Leibitz cho biết guyê hàm của si có thể biểu diễ dưới dạg tích phâ ác địh với cậ biế Si = sit dt Ta cho máy vẽ đồ thị t hàm ày trog khoảg [,] [> plot(si(),=-); c Vẽ đồ thị hàm cho dưới dạg ẩ Hìh 4 Muố vẽ đồ thị hàm ẩ f(, y ) = ta dùg lệh implicitplot:

76 Bài tập và tíh toá thực hàh Chươg Thí dụ Vẽ lá Descartes + y 3y= [> implicitplot(^3+y^3-3**y=,=-33,y=-33); Vẽ đồ thị hàm hai biế Hìh 5 (i) Muố vẽ đồ thị hàm hai biế z = f(, y) khi và y thay đổi trog khoảg [ ab, ], y [ c, d] ta dùg lệh [> plot3d(f(,y),=ab,y=cd); Thí dụ Vẽ mặt paraboloid hyperbolic (mặt yê gựa) z = y khi và y thay đổi trog khoảg [,], y [,] : [> plot3d(^-y^,=-,y=-); Hìh 6 (ii) Vẽ đồ thị hàm ẩ (ba biế) ta dùg lệh [> implicitplot3d(f(,y,z)=,=ab,y=cd,z=m); Chú ý: Khi dùg lệh implicitplot3d cầ khai báo miề thay đổi của cả ba biế =ab,y=cd,z=m, ếu thiếu miề thay đổi z=m của biế z thì máy sẽ báo lỗi Thí dụ Vẽ mặt hyperboloid một tầg y + z = a b c

77 7 Giải tích các hàm hiều biế [> implicitplot3d(^+y^-z^/4=,=-,y=-,z=- ); 3 Vẽ đườg mức Hìh 7 Một trog hữg phươg pháp khảo sát các hàm số hiều biế là ét các đườg mức của đồ thị, tức là hữg đườg cog f ( y, ) = c Với mỗi c ta được một đườg mức, khi cho c thay đổi ta được một họ các đườg mức (trog mặt phẳg chiều) Muố vẽ các đườg mức, ta dùg lệh cotourplot Thí dụ Vẽ đườg mức của si( y ) khi và y thay đổi trog miề [ 3,3] [ 3,3] [> cotourplot(si(*y),=-33,y=-33); Hìh 8