Capitolul 6: Cuantizare

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Capitolul 6: Cuantizare"

Transcript

1 Prelucrarea semnalelor Capitolul 6: Cuantizare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi Calculatoare Universitatea Politehnica Bucureşti PS cap. 6: Cuantizare p. 1/59

2 Cuprins Cuantizare (scalară) Cuantizorul uniform: proprietăţi, performanţe etc. Proiectarea unui cuantizor Compandare Algoritmul Lloyd-Max Cuantizare vectorială PS cap. 6: Cuantizare p. 2/59

3 Cuantizare definiţii Fie C = {c 1,c 2,...,c N } o mulţime de N valori reale, numite coduri Mulţimea C este numită dicţionar (sau listă de coduri engl. codebook) Cuantizorul q asociază un cod fiecărei valori x R, i.e. q(x) = c k, subînţelegând prin aceasta că numărul real x este "aproximat" prin codul c k din dicţionarul C Aşadar, un cuantizor este o funcţie q : R C Presupunem, fără pierdere de generalitate, că dicţionarul este ordonat, adică c 1 < c 2 <... < c N PS cap. 6: Cuantizare p. 3/59

4 Celule Voronoi Fie q un cuantizor şi C dicţionarul asociat. Mulţimea A k = {x R q(x) = c k } se numeşte celulă Voronoi asociată codului c k De obicei, fiecare celulă este un interval: A k = (d k 1,d k ] Valorile d k se numesc puncte de decizie (de frontieră) Punem d 0 = şi d N =, dacă aceste valori nu sunt finite prin natura semnalului care se cuantizează d 0 c 1 d 1 c 2 d 2 c 3 d 3 d N 1 c N d N PS cap. 6: Cuantizare p. 4/59

5 Graficul unui cuantizor q(x) c N c N 1 d 1 d 2 x d N 2 d N 1 c 2 c 1 PS cap. 6: Cuantizare p. 5/59

6 Cuantizor = codor + decodor Cuantizorul poate fi privit ca fiind obţinut din compunerea a două funcţii: codor şi decodor Notăm N = 1 : N mulţimea primelor N numere naturale Un codor este o funcţie q c : R N şi asociază unei valori x R un indice în dicţionar Un decodor este o funcţie q d : N C, prin care un indice este transformat în codul corespunzător De multe ori, codorul este numit cuantizor Indicii produşi de codor sunt transmişi sau memoraţi (digital) Refacerea codului (decodarea) se face ulterior (eventual la distanţă) PS cap. 6: Cuantizare p. 6/59

7 Rezoluţia unui cuantizor Numărul de biţi necesar reprezentării numerelor din N (şi deci din dicţionarul C), i.e. r = log 2 N, este numit rezoluţie (sau rată de codare) a cuantizorului Rezoluţia nu poate descrie singură performanţele cuantizorului Acestea depind şi de proprietăţile semnalului cuantizat Presupunem că semnalul cuantizat x este caracterizat de o densitate de probabilitate p(x), i.e. are proprietăţi statistice cunoscute PS cap. 6: Cuantizare p. 7/59

8 Distorsiune Distorsiunea (eroarea pătratică) medie a unui cuantizor este D = (x q(x)) 2 p(x)dx Când celulele Voronoi sunt intervale: D = N k=1 dk d k 1 (x c k ) 2 p(x)dx Dacă interpretăm x ca pe un proces aleator: D = E { (x[n] q(x[n])) 2} Distorsiunea medie este uşor de calculat şi utilizat, dar poate să nu corespundă percepţiei subiective pentru anumite semnale (audio, imagini etc.) PS cap. 6: Cuantizare p. 8/59

9 Raportul semnal-zgomot Presupunem că semnalul (variabila aleatoare) x are medie nulă Raportul semnal-zgomot (SNR signal to noise ratio) asociat unui cuantizor SNR = 10log 10 E{x 2 } D [db] Dacă semnalul nu are medie nulă, se foloseşte varianţa în loc de E{x 2 } În general, despre cuantizoarele cu SNR > 10dB se spune că au rezoluţie înaltă; pentru acestea sunt valabile rezultatele asimptotice prezentate mai departe PS cap. 6: Cuantizare p. 9/59

10 Cuantizorul uniform Un cuantizor este uniform atunci când între codurile c k şi punctele de decizie d k există relaţiile c k+1 c k =, d k = c k + c k+1 2 unde > 0 este pasul de cuantizare Distanţa dintre punctele de decizie este tot d k+1 d k = De obicei se presupune că semnalul x[n] ia valori într-un interval [a,b] şi că d 0 = a, d N = b. Pasul de cuantizare este = b a N, PS cap. 6: Cuantizare p. 10/59

11 Cuantizorul uniform eroarea maximă Între cuantizoarele cu dicţionar conţinând N coduri, cuantizorul uniform minimizează eroarea maximă Dacă semnalul x ia valori în [a, b], atunci eroarea maximă de cuantizare este cel puţin b a 2N = 2, adică eroarea maximă a cuantizorului uniform PS cap. 6: Cuantizare p. 11/59

12 Cuantizorul uniform distorsiunea medie Presupunem că semnalul de intrare este uniform distribuit în intervalul [a, b] Densitatea de probabilitate asociată semnalului x este p(x) = 1/(b a) Eroarea de cuantizare ε = x q(x) este uniform distribuită în intervalul [ /2, /2], deci media sa este nulă: E{ε} = 0 Distorsiunea medie este D = = N k=1 N b a dk d k 1 (x c k ) 2 p(x)dx /2 /2 ε 2 dε = 1 ε 3 3 /2 /2 = 2 12 PS cap. 6: Cuantizare p. 12/59

13 Cuantizor uniform la rezoluţie înaltă (1) Presupunem acum că semnalul de intrare x este distribuit în intervalul [a, b] cu o densitate de probabilitate oarecare p(x) Ipoteză de rezoluţie înaltă: numărul N al nivelelor de cuantizare este mare p(x) este suficient de netedă Se poate considera că, pe fiecare interval de decizie (de lungime ), p(x) este constantă, mai precis p(x) = p k pentru x [d k 1,d k ] Se observă că N p k = k=1 b a p(x)dx = 1 PS cap. 6: Cuantizare p. 13/59

14 Cuantizor uniform la rezoluţie înaltă (2) Cu ipotezele precedente, distorsiunea medie este D = = N k=1 dk (x c k ) 2 p(x)dx = d k 1 N /2 N p k ξ 2 dξ = 3 12 k=1 /2 k=1 N dk p k k=1 p k = 2 12 d k 1 (x c k ) 2 dx Se obţine aceeaşi expresie a distorsiunii ca în cazul distribuţiei uniforme a semnalului de intrare PS cap. 6: Cuantizare p. 14/59

15 Cuantizorul uniform SNR la rezoluţie înaltă Presupunem că semnalul de intrare are medie zero şi varianţă σ 2, ceea ce nu este restrictiv Semnalul x ia valori în intervalul [ a, a] Densitatea de probabilitate p(x) este o funcţie pară şi constantă pe fiecare interval de decizie Deoarece N = 2 r, pasul de cuantizare este = 2a/2 r Raportul semnal-zgomot are forma σ SNR = 10log 2 10 D = 10log 10 12σ2 2 = 20r log ct 6r + ct = 10log 10 12σ 2 2 2r 4a 2 Concluzie: la rezoluţie înaltă, fiecare bit suplimentar utilizat la cuantizare (i.e. dublarea dimensiunii N a dicţionarului) conduce la creşterea cu 6dB a SNR a cuantizorului uniform PS cap. 6: Cuantizare p. 15/59

16 Implementarea unui cuantizor (1) Considerăm un cuantizor definit de codurile c k, k = 1 : N, şi punctele de decizie d k, k = 0 : N Ne punem problema modului de calcul al codului c k = q(x) (sau al indicelui k asociat), pentru o valoare oarecare (cunoscută) x a intrării Indicele k este cel pentru care d k 1 x < d k (În cazul în care x este chiar un punct de decizie, trebuie să evităm ambiguitatea alegerii, de aceea putem alege inegalităţile ca mai sus.) Căutarea secvenţială în 1 : N a indicelui k este ineficientă, deoarece implică N comparaţii în cazul cel mai defavorabil PS cap. 6: Cuantizare p. 16/59

17 Implementarea unui cuantizor (2) Algoritmul cel mai eficient este cel bazat pe dihotomie Dacă x < d N/2, soluţia este în mulţimea 0 : N/2 1; altfel, soluţia se află în N/2 : N 1 Căutarea continuă asemănător, până când înjumătăţirea repetată reduce la un singur indice mulţimea în care se caută Numărul de comparaţii este r = log 2 N Implementarea cuantizorului uniform cu x 0 = a, x N = b, este extrem de simplă, indicele k având expresia k = x a b a N + 1 (Pentru x = b formula dă valoarea incorectă k = N + 1, ceea ce se poate corecta uşor la implementare.) PS cap. 6: Cuantizare p. 17/59

18 Cuantizor neuniform distorsiune Semnal de intrare cu densitatea de probabilitate constantă pe fiecare interval de decizie: p(x) = p k, x [d k 1,d k ] Se consideră un cuantizor oarecare (neuniform) punctele de decizie d k, k = 0 : N, sunt date codurile sunt plasate (optim) la mijlocul intervalului de decizie c k = (d k 1 + d k )/2 Distorsiunea medie este D = N dk p k (x c k ) 2 dx x=ξ+c k N k /2 = p k d k 1 k=1 k=1 k /2 ξ 2 dξ = 1 12 N p k 3 k k=1 (Pentru cuantizorul uniform se obţine D = 2 /12) PS cap. 6: Cuantizare p. 18/59

19 De ce cuantizare neuniformă? Pentru distribuţie uniformă a semnalului de intrare, cuantizorul uniform este optim, în sensul că are distorsiune medie minimă Dacă însă distribuţia este neuniformă, este posibil ca alte cuantizoare, neuniforme, să fie optime Intuitiv, codurile trebuie să fie mai dese acolo unde probabilitatea intrării este mai mare şi mai rare acolo unde probabilitatea e mică PS cap. 6: Cuantizare p. 19/59

20 Exemplu (1) Fie un semnal de intrare cu densitatea de probabilitate p(x) = { α, dacă x [0,1/2] β, dacă x [1/2,1] Două cuantizoare, cel uniform şi unul neuniform p(x) p(x) x x d 1 d 2 d 3 1 d 1 d 2 d 3 1 PS cap. 6: Cuantizare p. 20/59

21 Exemplu (2) Pentru cuantizorul uniform, = 1/4 şi D 1 = 2 12 = = Cuantizorul neuniform are punctele de decizie d 0 = 0, d 1 = 1/6, d 2 = 1/3, d 3 = 1/2, d 4 = 1 Codurile sunt plasate optim la mijlocul intervalelor de decizie Avem 1 = 2 = 3 = 1/6, 4 = 1/2 şi p 1 = p 2 = p 3 = α, p 4 = β = 2 α Distorsiunea medie este D 2 (α) = k=1 p k 3 k = 9 4α 432 PS cap. 6: Cuantizare p. 21/59

22 Exemplu (3) Se obţine D 2 (α) = D 1 pentru α = , deci D 2 (α) D 1 pentru α [1.6875,2] La limită, se obţine D 2 (2) = , adică o valoare mult mai mică decât D 1 Exemplul arată că un cuantizor neuniform poate fi mai bun decât cel uniform Atenţie: acest cuantizor nu este neapărat cel optim! PS cap. 6: Cuantizare p. 22/59

23 Proiectarea unui cuantizor Date de proiectare: distribuţia semnalului de intrare, în formă analitică, sau prin date obţinute experimental dimensiunea dicţionarului (N) sau rezoluţia r Rezultatul proiectării: dicţionarul C (codurile c k, k = 1 : N) punctele de decizie d k, k = 0 : N PS cap. 6: Cuantizare p. 23/59

24 Compandare Semnalul x, cu densitate de probabilitate (neuniformă) p(x), este transformat prin funcţia g(x), în încercarea de a obţine un semnal y cu distribuţie uniformă Proiectarea unui compandor se rezumă la găsirea funcţiei g COMPresie expandare x y Cuantizor ŷ g(x) g 1 q(x) (ŷ) uniform Densitate de probabilitate p(x) Distribuţie uniformă PS cap. 6: Cuantizare p. 24/59

25 Proiectarea unui compandor (1) Funcţia cumulativă de probabilitate este f(x 0 ) = Prob(x x 0 ) = x0 p(x)dx, cu f : R [0,1] 1 f(x) x d 0 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 d 7 d 8 PS cap. 6: Cuantizare p. 25/59

26 Proiectarea unui compandor (2) Împărţim intervalul [0, 1] de pe axa verticală în N intervale egale (N = 8 în figură), separate de punctele y k = k/n, k = 0 : N Pe axa orizontală, definim punctele corespondente d k R, f(d k ) = y k, k = 0 : N Se observă că Prob(d k 1 x d k ) = dk d k 1 p(x)dx = f(d k ) f(d k 1 ) = 1 N Alegând d k drept puncte de decizie pentru un cuantizor al semnalului x, atunci probabilitatea ca x să aparţină unei celule Voronoi [d k 1,d k ] este aceeaşi indiferent de celulă PS cap. 6: Cuantizare p. 26/59

27 Proiectarea unui compandor (3) Concluzie: în schema de compandare alegem funcţia g de compresie identică cu funcţia de probabilitate f Semnalul y = g(x) nu va avea neapărat distribuţie uniformă, dar faptul că Prob(y k 1 y y k ) = 1/N asigură o bună aproximaţie a distribuţiei uniforme Compandorul obţinut prin procedeul de mai sus nu este neapărat optim, deoarece densitatea de probabilitate în fiecare interval de decizie nu este constantă Compandorul realizează însă o bună aproximaţie a cuantizorului optim, în special la rezoluţie înaltă PS cap. 6: Cuantizare p. 27/59

28 Compandoare practice În cazul frecvent în care funcţia de probabilitate f(x) nu este cunoscută analitic, dacă semnalul de intrare este staţionar, se poate estima experimental f(x) Când estimarea este imposibilă din considerente de timp real, se utilizează compresoare g(x) simple şi robuste Graficul funcţiei g(x) are de obicei celule Voronoi mai mari pentru valori mari (şi mai puţin frecvente) ale semnalului şi celule mici pentru valori în preajma lui zero Un exemplu este legea-µ utilizată în telefonia digitală g µ (x) = a ln(1 + µ x /a) sgn(x) [ 1,1] ln(1 + µ) Se presupune că semnalul este limitat la valori x [ a,a] PS cap. 6: Cuantizare p. 28/59

29 Condiţii de optimalitate Presupunem cunoscute p(x) densitatea de probabilitate a semnalului de intrare N dimensiunea dicţionarului Studiem relaţiile dintre codurile c k şi punctele de decizie d k pentru cuantizorul optim, cel pentru care distorsiunea medie este minimă PS cap. 6: Cuantizare p. 29/59

30 Puncte de decizie optime pentru coduri date Presupunem fixate codurile c k, k = 1 : N Dorim să aflăm punctele de decizie optime pentru aceste coduri Datorită formei cumulative a distorsiunii medii, putem reduce studiul la un singur interval [c k,c k+1 ] Distorsiunea este minimizată dacă, pentru orice x [c k,c k+1 ], valoarea q(x) este codul cel mai apropiat de x Aşadar punctul de decizie d k se află la mijlocul intervalului [c k,c k+1 ], i.e. d k = (c k + c k+1 )/2, k = 1 : N 1 PS cap. 6: Cuantizare p. 30/59

31 Coduri optime pentru puncte de decizie date Presupunem fixate punctele de decizie d k, k = 0 : N Dorim să aflăm codurile optime pentru aceste puncte de decizie Din nou, putem reduce studiul la o singură celulă Voronoi (dată) [d k 1,d k ], pentru care căutăm codul optim, anume valoarea c k care minimizează distorsiunea D k = dk d k 1 (x c k ) 2 p(x)dx (1) PS cap. 6: Cuantizare p. 31/59

32 Lemă Fie ξ o variabilă aleatoare Constanta α care minimizează eroarea pătratică medie E{(ξ α) 2 } este α = E{ξ}, adică media variabilei Demonstraţie: notăm µ = E{ξ} media variabilei aleatoare Observăm că avem E{(ξ α) 2 } = E{(ξ µ+µ α) 2 } = E{(ξ µ) 2 }+(µ α) 2, deoarece E{(ξ µ)} = 0 În dreapta expresiei de mai sus, primul termen este constant, deci minimul se obţine luând α = µ PS cap. 6: Cuantizare p. 32/59

33 Codul optim: centroidul celulei Voronoi (1) Valoarea c k care minimizează distorsiunea este centrul de masă (centroidul) celulei Voronoi A k = [d k 1,d k ], i.e. Demonstraţie. Notăm c k = E{x x A k } = dk d k 1 xp(x)dx dk d k 1 p(x)dx (2) p k = Prob(x A k ) = dk d k 1 p(x)dx probabilitatea ca semnalul de intrare să ia valori în celula Voronoi considerată PS cap. 6: Cuantizare p. 33/59

34 Codul optim: centroidul celulei Voronoi (2) Distorsiunea pe [d k 1,d k ] poate fi scrisă în forma D k = p k dk d k 1 (x c k ) 2p(x) p k dx = p k E{(x c k ) 2 x A k }, deoarece p(x)/p k are semnificaţie de densitate de probabilitate a semnalului x, atunci când considerăm doar valorile din celula Voronoi A k Folosind Lema, obţinem c k = E{x x A k } = dk d k 1 x p(x) p k dx, de unde rezultă imediat (2) PS cap. 6: Cuantizare p. 34/59

35 Observaţii Condiţiile (1) şi (2) sunt necesare pentru optimalitate, dar nu neapărat suficiente Ele sunt satisfăcute şi de minime locale ale distorsiunii medii, nu doar de minimul global Pentru o densitate uniformă de probabilitate a intrării în intervalul [a, b], cuantizorul uniform satisface condiţiile de optimalitate. Relaţia (1) este evident adevărată, iar (2) devine c k = dk d k 1 dk x b a dx d k 1 1 b a dx = dk d k 1 xdx d k d k 1 = d2 k d2 k 1 2(d k d k 1 ) = d k 1 + d k 2 PS cap. 6: Cuantizare p. 35/59

36 Algoritmul Lloyd-Max 0. Se dă numărul de nivele de cuantizare N. Se alege un dicţionar iniţial C = {c 1,...,c N }. Se alege o toleranţă ǫ. Se iniţializează pasul de iterare i = 0 1. Se calculează punctele de decizie optime d k, k = 1 : N 1, pentru codurile c k, conform relaţiei (1) 2. Se calculează codurile optime c k, k = 1 : N, pentru punctele de decizie d k, conform relaţiei (2) 3. Calculează distorsiunea medie curentă N dk D (i) = (x c k ) 2 p(x)dx d k 1 4. Dacă k=1 D (i 1) D (i) D (i) < ǫ, atunci stop. Altfel, se pune i i + 1 şi se reia de la pasul 1 PS cap. 6: Cuantizare p. 36/59

37 Algoritmul Lloyd-Max comentarii Distorsiunea scade la fiecare pas: pentru e.g. puncte de decizie date, noile coduri minimizează distorsiunea, aşadar produc o distorsiune mai mică decât codurile de la iteraţia anterioară Algoritmul converge către un punct staţionar, care este un minim local (nu neapărat cel global) Iniţializări diferite ale algoritmului pot produce rezultate diferite PS cap. 6: Cuantizare p. 37/59

38 Exemplu (1) Studiem evoluţia algoritmului Lloyd-Max pentru intrare uniform distribuită x [0, 1] dimensiunea dicţionarului N = 2 Singurul punct de decizie care se modifică în algoritm este d 1 (celelalte sunt d 0 = 0, d 2 = 1) Pentru coduri date, punctul optim de decizie este d 1 = (c 1 + c 2 )/2 Pentru d 1 dat, ţinând seama de distribuţia uniformă, codurile optime sunt c 1 = d 1 /2, c 2 = (d 1 + 1)/2 PS cap. 6: Cuantizare p. 38/59

39 Exemplu (2) Evoluţia algoritmului Lloyd-Max este următoarea Iniţializare c 1 = 0.3, c 2 = 0.7 c 1 = 0.2, c 2 = 0.7 Iteraţia 1 d 1 = 0.5 d 1 = 0.45 c 1 = 0.25, c 2 = 0.75 c 1 = 0.225, c 2 = Iteraţia 2 idem d 1 = c 1 = , c 2 = Iteraţia 3 d 1 = etc. Pentru ambele iniţializări, algoritmul converge la codurile optime; cuantizorul optim este cel uniform Prima iniţializare: convergenţă într-o singură iteraţie A doua iniţializare: convergenţă asimptotică PS cap. 6: Cuantizare p. 39/59

40 Proiectare utilizând date empirice În forma dată anterior, algoritmul Lloyd-Max se bazează pe cunoaşterea densităţii de probabilitate p(x) a semnalului de intrare Presupunem acum că dispunem doar de M eşantioane ale semnalului de intrare, anume x l, l = 1 : M; notăm X mulţimea acestor eşantioane Numărul M este suficient de mare în raport cu N Structura algoritmului Lloyd-Max rămâne aceeaşi, dar calculul codurilor trebuie adaptat structurii discrete a celulelor Voronoi PS cap. 6: Cuantizare p. 40/59

41 Condiţii de optimalitate pentru date empirice Pentru coduri fixate, o celulă Voronoi care respectă condiţia de optimalitate (1) este mulţimea finită A k = {x l X, l = 1 : M x l c k x l c i, i = 1 : N,i k} (3) Aşadar celula asociată codului c k conţine eşantioanele din X care sunt mai aproape de acest cod decât de oricare altul Centrul de masă al unei celule se calculează în mod natural prin media eşantioanelor din celula respectivă c k = 1 A k x l A k x l (4) PS cap. 6: Cuantizare p. 41/59

42 Algoritmul Lloyd-Max date empirice 0. Se dau M eşantioane ale semnalului de intrare, x l, l = 1 : M. Se alege un dicţionar iniţial C = {c 1,...,c N } 1. Se stabilesc celulele Voronoi discrete conform relaţiei (3) 2. Se recalculează codurile c k, k = 1 : N, conform relaţiei (4) 3. Se repetă paşii 1 şi 2 până când distorsiunea D = 1 M N k=1 x l A k (x l c k ) 2 nu mai scade semnificativ PS cap. 6: Cuantizare p. 42/59

43 Exemplu (1) Studiem evoluţia algoritmului Lloyd-Max atunci când se cunosc M = 6 eşantioane ale intrării X = {0,0.2,0.4,0.6, 0.8,1} Presupunem că, atunci când un eşantion este egal depărtat de două coduri, el face parte din celula Voronoi a codului mai mare PS cap. 6: Cuantizare p. 43/59

44 Exemplu (2) Iniţializare c 1 = 0.3, c 2 = 0.7 c 1 = 0.2, c 2 = 0.5 Iteraţia 1 A 1 = {0,0.2,0.4} A 1 = {0,0.2} A 2 = {0.6,0.8,1} A 2 = {0.4,0.6,0.8,1} c 1 = 0.2, c 2 = 0.8 c 1 = 0.1, c 2 = 0.7 Iteraţia 2 idem idem Pentru ambele iniţializări, algoritmul converge într-o iteraţie, dar la cuantizoare diferite Pentru a doua iniţializare, după iteraţia 1, eşantionul 0.4 este egal depărtat de codurile c 1 = 0.1, c 2 = 0.7. Dacă schimbăm regula adoptată şi includem acest eşantion în celula A 1 (a codului mai mic), atunci rezultatul se schimbă şi obţinem aceleaşi coduri ca pentru prima iniţializare PS cap. 6: Cuantizare p. 44/59

45 Cuantizare vectorială definiţii (1) Un cuantizor vectorial este o funcţie q : R n C, unde C R n este un dicţionar cu N elemente Spre deosebire de cuantizarea scalară, unde fiecare element al intrării este cuantizat separat, acum se cuantizează simultan n valori ale intrării, sub forma unui vector în R n Codul q(x) = c k, k = 1 : N, este şi el un vector de dimensiune n Pentru reprezentarea unui cod sunt necesari log 2 N biţi. Deoarece un cod reprezintă n valori ale intrării, rezoluţia unui cuantizor vectorial este r = (log 2 N)/n PS cap. 6: Cuantizare p. 45/59

46 Cuantizare vectorială definiţii (2) Celula Voronoi asociată codului c k este A k = {x R n q(x) = c k } R n Un cuantizor ale cărui celule Voronoi sunt convexe se numeşte regulat Distorsiunea medie a unui cuantizor vectorial este D = R n x q(x) 2 p(x)dx = N k=1 A k x c k 2 p(x)dx, unde p(x) este densitatea de probabilitate a seturilor de n valori ale intrării. Norma utilizată este cea euclidiană PS cap. 6: Cuantizare p. 46/59

47 Cuantizor 2D cu coduri aleatoare Celulele Voronoi sunt optime! (vom vedea mai târziu condiţiile de optimalitate) PS cap. 6: Cuantizare p. 47/59

48 Comparaţie între cuantizarea vectorială şi cea scalară Cuantizarea vectorială permite obţinerea unor distorsiuni mai mici decât cea scalară, la rezoluţii egale Ilustrăm această afirmaţie în cazul n = 2, pentru cazul simplu în care semnalul de intrare este uniform distribuit Comparăm două cuantizoare cuantizor uniform 2D cuantizor cu celule hexagonale PS cap. 6: Cuantizare p. 48/59

49 Două cuantizoare 2D PS cap. 6: Cuantizare p. 49/59

50 Celule Voronoi pentru cuantizoare 2D x 2 /2 a 3/2 x 2 /2 /2 x 1 a/2 a x 1 /2 PS cap. 6: Cuantizare p. 50/59

51 Cuantizorul uniform 2D (1) Cuantizorul scalar uniform este optim Cuantizând câte două valori simultan (dar independent) cu acest cuantizor, obţinem un cuantizor 2D Celulele Voronoi sunt pătrate Notăm cu distanţa dintre două coduri, care este şi latura celulei Voronoi Presupunem că toate celulele, inclusiv cele de la margine, au aceeaşi formă Deoarece fiecare celulă are arie 2, rezultă că p(x) = 1/(N 2 ) PS cap. 6: Cuantizare p. 51/59

52 Cuantizorul uniform 2D (2) Forma identică a celulelor permite limitarea studiului la o singură celulă, cea din jurului codului c k = 0 Distorsiunea medie este D uni = N (x c k ) 2 1 A k N 2dx = 1 /2 /2 2 (x x 2 2)dx 1 dx 2 = 2 6 /2 /2 Valoarea de două ori mai mare decât cea a cuantizorului uniform scalar se explică prin lipsa normalizării cu n a distorsiunii PS cap. 6: Cuantizare p. 52/59

53 Cuantizorul cu celule hexagonale Considerăm o celulă Voronoi cu latura a (egală cu raza cercului circumscris) Aria acestei celule este A = a2 Densitatea de probabilitate uniformă are valoarea p(x) = 1/(NA) Presupunând celula centrată în origine, putem calcula distorsiunea pe cele 6 triunghiuri echilaterale formate de două raze (ale cercului circumscris) şi o latură Distorsiunea medie este D hex = 6N a 3/2 0 x2 / 3 x 2 / 3 (x x 2 2) 1 NA dx 1dx 2 = 5a2 12 PS cap. 6: Cuantizare p. 53/59

54 Comparaţie Pentru a compara distorsiunile cuantizoarelor hexagonal şi uniform, este necesar ca ariile celulelor Voronoi să fie egale, i.e. Raportul distorsiunilor este 2 = a2 D hex D uni = 5a a = = Cuantizorul hexagonal oferă un câştig de aproape 4% în distorsiune În 2D, cuantizorul hexagonal este optim! Pentru n mai mare, cuantizarea vectorială oferă îmbunătăţiri mai mari PS cap. 6: Cuantizare p. 54/59

55 Implementarea unui cuantizor vectorial Implementarea unui cuantizor vectorial este mai dificilă decât cea a unuia scalar Dihotomia nu mai este posibilă şi, pentru un dicţionar oarecare, doar căutarea exhaustivă poate produce codul cel mai apropiat de intrarea x R n Dacă însă dicţionarul are o structură regulată, precum în cazul celulelor hexagonale, atunci se pot concepe algoritmi eficienţi de căutare În general, cuantizoarele vectoriale utilizate în practică folosesc o structură a codurilor care le face neoptimale, dar (relativ) uşor de utilizat PS cap. 6: Cuantizare p. 55/59

56 Celule Voronoi optime pentru coduri date Presupunând că dicţionarul este cunoscut, distorsiunea este minimizată dacă, pentru x R n dat, valoarea q(x) este codul cel mai apropiat de x Celula Voronoi optimă asociată codului c k este A k = {x R n x c k x c i, i = 1 : N} Celulele Voronoi optime au formă poliedrală Dacă A k şi A i sunt celule vecine, atunci graniţa dintre ele este hiperplanul ortogonal pe mijlocul segmentului ce uneşte codurile c k şi c i Celulele Voronoi sunt evident convexe PS cap. 6: Cuantizare p. 56/59

57 Coduri optime pentru celule Voronoi date Presupunem acum că celulele Voronoi sunt cunoscute şi vrem să determinăm codurile optime corespunzătoare Similar cu cazul scalar, codul optim asociat celulei A k este centrul de masă (centroidul) celulei respective, i.e. c k = 1 vol A k A k xp(x)dx = E{x x A k } PS cap. 6: Cuantizare p. 57/59

58 Algoritmul Lloyd generalizat date empirice 0. Se dau M eşantioane ale semnalului de intrare, x l, l = 1 : M. Se alege un dicţionar iniţial C = {c 1,...,c N } 1. Se stabilesc celulele Voronoi discrete A k = {x l X, l = 1 : M x l c k x l c i, i = 1 : N,i k} 2. Se recalculează codurile c k, k = 1 : N, ca fiind centrele de masă ale celulelor Voronoi c k = 1 A k x l A k x l 3. Se repetă paşii 1 şi 2 până când distorsiunea nu mai scade N D = 1 M k=1 x l A k x l c k 2 PS cap. 6: Cuantizare p. 58/59

59 Comentarii Algoritmul converge, dar şansa de a se termina într-un minim local este mult mai mare decât în cazul scalar Pentru evitarea acestei situaţii se folosesc diverse stratageme Algoritmul Linde-Buzo-Gray: se porneşte cu un număr mic de coduri, iar celulele Voronoi cu multe elemente sunt "sparte" în două pe măsură ce iteraţiile avansează PS cap. 6: Cuantizare p. 59/59

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

prin egalizarea histogramei

prin egalizarea histogramei Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7

Statisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 Statisticǎ - curs 3 Cuprins 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2 2 Teorema limitǎ centralǎ 5 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 4 Estimarea punctualǎ a unui parametru; intervalul

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

9 Testarea ipotezelor statistice

9 Testarea ipotezelor statistice 9 Testarea ipotezelor statistice Un test statistic constă în obţinerea unei deducţii bazată pe o selecţie din populaţie prin testarea unei anumite ipoteze (rezultată din experienţa anterioară, din observaţii,

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Zgomotul se poate suprapune informaţiei utile în două moduri: g(x, y) = f(x, y) n(x, y) (6.2)

Zgomotul se poate suprapune informaţiei utile în două moduri: g(x, y) = f(x, y) n(x, y) (6.2) Lucrarea 6 Zgomotul în imagini BREVIAR TEORETIC Zgomotul este un semnal aleator, care afectează informaţia utilă conţinută într-o imagine. El poate apare de-alungul unui lanţ de transmisiune, sau prin

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Câmp de probabilitate II

Câmp de probabilitate II 1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1 FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

V O. = v I v stabilizator

V O. = v I v stabilizator Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument: Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu

Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER

2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER 2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 21.2 - Sistemul de criptare ElGamal Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Scurt istoric

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011 Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Integrale cu parametru

Integrale cu parametru 1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc = GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Algebră (1)

Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Algebră (1) Universitatea din ucureşti.7.4 Facultatea de Matematică şi Informatică oncursul de admitere iulie 4 omeniul de licenţă alculatoare şi Tehnologia Informaţiei lgebră (). Fie x,y astfel încât x+y = şi x +

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0 Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea Nr. 5 Circuite simple cu diode (Aplicaţii)

Lucrarea Nr. 5 Circuite simple cu diode (Aplicaţii) ucrarea Nr. 5 Circuite simple cu diode (Aplicaţii) A.Scopul lucrării - Verificarea experimentală a rezultatelor obţinute prin analiza circuitelor cu diode modelate liniar pe porţiuni ;.Scurt breviar teoretic

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα