riptografie şi Securitate
|
|
|
- Ἀκύλας Ζαχαρίου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 riptografie şi Securitate - Prelegerea Sistemul de criptare ElGamal Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti
2 Cuprins 1. Scurt istoric 2. Sistemul de criptare ElGamal 3. Securitate Criptografie şi Securitate 2/19,
3 Sistemul de criptare ElGamal Diffie şi Hellman definesc conceptul de criptografie asimetrică; Criptografie şi Securitate 3/19,
4 Sistemul de criptare ElGamal Diffie şi Hellman definesc conceptul de criptografie asimetrică; R.Rivest, A.Shamir şi Leonard Adleman introduc sistemul RSA; Criptografie şi Securitate 3/19,
5 Sistemul de criptare ElGamal Diffie şi Hellman definesc conceptul de criptografie asimetrică; R.Rivest, A.Shamir şi Leonard Adleman introduc sistemul RSA; T.ElGamal propune un nou sistem de criptare. Criptografie şi Securitate 3/19,
6 Sistemul de criptare ElGamal Se bazează pe DLP... Criptografie şi Securitate 4/19,
7 Sistemul de criptare ElGamal Se bazează pe DLP sau mai exact pe dificultatea problemei DDH... Criptografie şi Securitate 4/19,
8 Sistemul de criptare ElGamal Se bazează pe DLP sau mai exact pe dificultatea problemei DDH şi pe următoarea observaţie simplă: Criptografie şi Securitate 4/19,
9 Sistemul de criptare ElGamal Se bazează pe DLP sau mai exact pe dificultatea problemei DDH şi pe următoarea observaţie simplă: Observaţie Fie G un grup finit şi m R G. Dacă g R G, atunci g = m g rămâne aleator în G: Pr[m g = g ] = 1/ G unde probabilitatea este dată de alegerea aleatoare a lui g. Criptografie şi Securitate 4/19,
10 Sistemul de criptare ElGamal Dacă emitătorul şi receptorul folosesc g drept cheie secretă, atunci un mesaj m G se criptează ca: g = m g Criptografie şi Securitate 5/19,
11 Sistemul de criptare ElGamal Dacă emitătorul şi receptorul folosesc g drept cheie secretă, atunci un mesaj m G se criptează ca: Receptorul decriptează: g = m g m = g g 1 Criptografie şi Securitate 5/19,
12 Sistemul de criptare ElGamal Dacă emitătorul şi receptorul folosesc g drept cheie secretă, atunci un mesaj m G se criptează ca: Receptorul decriptează: g = m g m = g g 1 Abordarea este asemănătoare cu OTP, unde se folosea grupul secvenţelor de lungime fixată împreună cu operaţia XOR; Criptografie şi Securitate 5/19,
13 Sistemul de criptare ElGamal Dacă emitătorul şi receptorul folosesc g drept cheie secretă, atunci un mesaj m G se criptează ca: Receptorul decriptează: g = m g m = g g 1 Abordarea este asemănătoare cu OTP, unde se folosea grupul secvenţelor de lungime fixată împreună cu operaţia XOR; O astfel de construcţie este deci perfect sigură (dacă g este total aleator!). Criptografie şi Securitate 5/19,
14 Sistemul de criptare ElGamal În criptografia cu cheie publică, se foloseşte g pseudoaleator, deci se pierde securitatea perfectă; Criptografie şi Securitate 6/19,
15 Sistemul de criptare ElGamal În criptografia cu cheie publică, se foloseşte g pseudoaleator, deci se pierde securitatea perfectă; Ideea de bază este alegerea lui g astfel încât la recepţie să poată fi calculat pe baza cheii secrete... Criptografie şi Securitate 6/19,
16 Sistemul de criptare ElGamal În criptografia cu cheie publică, se foloseşte g pseudoaleator, deci se pierde securitatea perfectă; Ideea de bază este alegerea lui g astfel încât la recepţie să poată fi calculat pe baza cheii secrete dar g să pară aleator pentru un adversar; Criptografie şi Securitate 6/19,
17 Sistemul de criptare ElGamal În criptografia cu cheie publică, se foloseşte g pseudoaleator, deci se pierde securitatea perfectă; Ideea de bază este alegerea lui g astfel încât la recepţie să poată fi calculat pe baza cheii secrete dar g să pară aleator pentru un adversar; Pentru aceasta se foloseşte prezumţia DDH, construcţia fiind imediată din schimbul de chei Diffie-Hellman. Criptografie şi Securitate 6/19,
18 Sistemul de criptare ElGamal Definim sistemul de criptare ElGamal pe baza ideii prezentate anterior; 1. Se generează (G, q, g), se alege x R Z q şi se calculează h = g x ; Cheia publică este: (G, q, g, h); Cheia privată este (G, q, g, x); 2. Enc: dată o cheie publică (G, q, g, h) şi un mesaj m G, alege y R Z q şi întoarce c = (c 1, c 2 ) = (g y, m h y ); 3. Dec: dată o cheie secretă (G, q, g, x) şi un mesaj criptat c = (c 1, c 2 ), întoarce m = c 2 c x 1. Criptografie şi Securitate 7/19,
19 Securitate - Problema 1 Problema 1: Determinismul Întrebare: Este sistemul ElGamal determinist? Criptografie şi Securitate 8/19,
20 Securitate - Problema 1 Problema 1: Determinismul Întrebare: Este sistemul ElGamal determinist? Răspuns: NU! Sistemul este nedeterminist, datorită alegerii aleatoare a lui y la fiecare criptare. Criptografie şi Securitate 8/19,
21 Securitate - Problema 1 Problema 1: Determinismul Întrebare: Este sistemul ElGamal determinist? Răspuns: NU! Sistemul este nedeterminist, datorită alegerii aleatoare a lui y la fiecare criptare. Un acelaşi mesaj m se poate cripta diferit, pentru y y : c = (c 1, c 2 ) = (g y, m h y ) c = (c 1, c 2) = (g y, m h y ) Criptografie şi Securitate 8/19,
22 Securitate - Problema 1 Problema 1: Determinismul Întrebare: Este sistemul ElGamal determinist? Răspuns: NU! Sistemul este nedeterminist, datorită alegerii aleatoare a lui y la fiecare criptare. Un acelaşi mesaj m se poate cripta diferit, pentru y y : c = (c 1, c 2 ) = (g y, m h y ) c = (c 1, c 2) = (g y, m h y ) În caz contrar, sistemul NU ar putea fi CPA-sigur. Criptografie şi Securitate 8/19,
23 Securitate - Problema 2 Problema 2: Dificultatea DLP Întrebare: Rămâne ElGamal sigur dacă problema DLP este simplă? Criptografie şi Securitate 9/19,
24 Securitate - Problema 2 Problema 2: Dificultatea DLP Întrebare: Rămâne ElGamal sigur dacă problema DLP este simplă? Răspuns: NU! Se determină x a.î. h = g x, apoi se decriptează orice mesaj pentru că se cunoaşte cheia secretă. Criptografie şi Securitate 9/19,
25 Securitate - Problema 3 Problema 3: Proprietatea de homomorfism Fie m 1, m 2 2 texte clare şi c 1 = (c 11, c 12 ), c 2 = (c 21, c 22 ) textele criptate corespunzătoare; Criptografie şi Securitate 10/19,
26 Securitate - Problema 3 Problema 3: Proprietatea de homomorfism Fie m 1, m 2 2 texte clare şi c 1 = (c 11, c 12 ), c 2 = (c 21, c 22 ) textele criptate corespunzătoare; Atunci: c 1 c 2 = (c 11 c 21, c 12 c 22 ) = (g y1 g y 2, m 1 h y1 m 2 h y 2 ) Criptografie şi Securitate 10/19,
27 Securitate - Problema 3 Problema 3: Proprietatea de homomorfism Fie m 1, m 2 2 texte clare şi c 1 = (c 11, c 12 ), c 2 = (c 21, c 22 ) textele criptate corespunzătoare; Atunci: c 1 c 2 = (c 11 c 21, c 12 c 22 ) = (g y1 g y 2, m 1 h y1 m 2 h y 2 ) Întrebare: Dacă un adversar cunoaşte c 1 şi c 2 criptările lui m 1, respectiv m 2, ce poate spune despre c 1 c 2? Criptografie şi Securitate 10/19,
28 Securitate - Problema 3 Problema 3: Proprietatea de homomorfism Fie m 1, m 2 2 texte clare şi c 1 = (c 11, c 12 ), c 2 = (c 21, c 22 ) textele criptate corespunzătoare; Atunci: c 1 c 2 = (c 11 c 21, c 12 c 22 ) = (g y1 g y 2, m 1 h y1 m 2 h y 2 ) Întrebare: Dacă un adversar cunoaşte c 1 şi c 2 criptările lui m 1, respectiv m 2, ce poate spune despre c 1 c 2? Răspuns: c 1 c 2 este criptarea lui m 1 m 2 folosind y = y 1 + y 2 : c 1 c 2 = (g y 1+y 2, m 1 m 2 h y 1+y 2 ) Criptografie şi Securitate 10/19,
29 Securitate - Problema 3 Problema 3: Proprietatea de homomorfism Fie m 1, m 2 2 texte clare şi c 1 = (c 11, c 12 ), c 2 = (c 21, c 22 ) textele criptate corespunzătoare; Atunci: c 1 c 2 = (c 11 c 21, c 12 c 22 ) = (g y1 g y 2, m 1 h y1 m 2 h y 2 ) Întrebare: Dacă un adversar cunoaşte c 1 şi c 2 criptările lui m 1, respectiv m 2, ce poate spune despre c 1 c 2? Răspuns: c 1 c 2 este criptarea lui m 1 m 2 folosind y = y 1 + y 2 : c 1 c 2 = (g y 1+y 2, m 1 m 2 h y 1+y 2 ) Un sistem de criptare care satisface Dec s k(c 1 c 2 ) = Dec sk (c 1 ) Dec sk (c 2 ) se numeşte sistem de criptare homomorfic. (homomorfismul este deseori o proprietate utilă în criptografie) Criptografie şi Securitate 10/19,
30 Securitate - Problema 4 Problema 4: Utilizarea multiplă a parametrilor publici Este comun în practică pentru un administrator să fixeze parametrii publici (G, q, g), apoi fiecare utilizator să îşi genereze doar cheia secretă x şi să publice h = g x ; Criptografie şi Securitate 11/19,
31 Securitate - Problema 4 Problema 4: Utilizarea multiplă a parametrilor publici Este comun în practică pentru un administrator să fixeze parametrii publici (G, q, g), apoi fiecare utilizator să îşi genereze doar cheia secretă x şi să publice h = g x ; Întrebare: Este corect să se utilizeze de mai multe ori aceiaşi parametrii publici (G, q, g)? Criptografie şi Securitate 11/19,
32 Securitate - Problema 4 Problema 4: Utilizarea multiplă a parametrilor publici Este comun în practică pentru un administrator să fixeze parametrii publici (G, q, g), apoi fiecare utilizator să îşi genereze doar cheia secretă x şi să publice h = g x ; Întrebare: Este corect să se utilizeze de mai multe ori aceiaşi parametrii publici (G, q, g)? Răspuns: Se consideră că DA. Cunoaşterea parametrilor publici pare să nu conducă la rezolvarea DDH. Criptografie şi Securitate 11/19,
33 Securitate - Problema 4 Problema 4: Utilizarea multiplă a parametrilor publici Este comun în practică pentru un administrator să fixeze parametrii publici (G, q, g), apoi fiecare utilizator să îşi genereze doar cheia secretă x şi să publice h = g x ; Întrebare: Este corect să se utilizeze de mai multe ori aceiaşi parametrii publici (G, q, g)? Răspuns: Se consideră că DA. Cunoaşterea parametrilor publici pare să nu conducă la rezolvarea DDH. Atenţie! Acest lucru nu se întâmpla şi la RSA, unde modulul NU trebuie utilizat de mai multe ori. Criptografie şi Securitate 11/19,
34 Securitate - teoremă Teoremă Dacă problema decizională Diffie-Hellman (DDH) este dificilă în grupul G, atunci schema de criptare ElGamal este CPA-sigură. Criptografie şi Securitate 12/19,
35 Securitate - teoremă Teoremă Dacă problema decizională Diffie-Hellman (DDH) este dificilă în grupul G, atunci schema de criptare ElGamal este CPA-sigură. Notăm cu Π schema de criptare ElGamal. E suficient să arătăm că schema este sigură la interceptare simplă; Criptografie şi Securitate 12/19,
36 Securitate - teoremă Teoremă Dacă problema decizională Diffie-Hellman (DDH) este dificilă în grupul G, atunci schema de criptare ElGamal este CPA-sigură. Notăm cu Π schema de criptare ElGamal. E suficient să arătăm că schema este sigură la interceptare simplă; Fie A un adversar PPT; notăm cu ɛ(n) = Pr[PubKA,Π eav (n) = 1] probabilitatea ca A să câstige experimentul de mai jos folosit pentru a defini securitatea la interceptare simplă. Criptografie şi Securitate 12/19,
37 Demonstraţie Criptografie şi Securitate 13/19,
38 Demonstraţie Considerăm schema modificată Π care diferă de schema Π prin faptul că algoritmul de criptare alege aleator y, z Z q şi întoarce textul criptat (g y, g z m) Criptografie şi Securitate 13/19,
39 Demonstraţie A doua componentă a textului criptat din Π este un element uniform distribuit din G şi independent de m; Criptografie şi Securitate 14/19,
40 Demonstraţie A doua componentă a textului criptat din Π este un element uniform distribuit din G şi independent de m; Prima componentă este şi ea independentă de m; rezultă că Pr[PubK eav A, Π (n) = 1] = 1 2 Criptografie şi Securitate 14/19,
41 Demonstraţie A doua componentă a textului criptat din Π este un element uniform distribuit din G şi independent de m; Prima componentă este şi ea independentă de m; rezultă că Pr[PubK eav A, Π (n) = 1] = 1 2 Deşi Π nu e o schemă de criptare (nu se poate decripta), experimentul PubK eav (n) este bine-definit pentru că foloseşte A, Π doar algoritmul de criptare; Criptografie şi Securitate 14/19,
42 Demonstraţie A doua componentă a textului criptat din Π este un element uniform distribuit din G şi independent de m; Prima componentă este şi ea independentă de m; rezultă că Pr[PubK eav A, Π (n) = 1] = 1 2 Deşi Π nu e o schemă de criptare (nu se poate decripta), experimentul PubK eav (n) este bine-definit pentru că foloseşte A, Π doar algoritmul de criptare; Aratăm că A poate fi folosit de un algoritm D ca o subrutină pentru a rezolva problema DDH cu probabilitate ɛ(n); Criptografie şi Securitate 14/19,
43 Demonstraţie Algoritmul D primeşte la intrare tuplul (G, q, g, g 1, g 2, g 3 ), unde g 1 = g x, g 2 = g y şi g 3 = g xy sau g 3 = g z pentru x, y, z aleatoare, după care: Criptografie şi Securitate 15/19,
44 Demonstraţie Algoritmul D primeşte la intrare tuplul (G, q, g, g 1, g 2, g 3 ), unde g 1 = g x, g 2 = g y şi g 3 = g xy sau g 3 = g z pentru x, y, z aleatoare, după care: 1. Alege pk = (G, q, g, g 1 ) şi execută A(pk) şi obţine două mesaje m 0 şi m 1 ; Criptografie şi Securitate 15/19,
45 Demonstraţie Algoritmul D primeşte la intrare tuplul (G, q, g, g 1, g 2, g 3 ), unde g 1 = g x, g 2 = g y şi g 3 = g xy sau g 3 = g z pentru x, y, z aleatoare, după care: 1. Alege pk = (G, q, g, g 1 ) şi execută A(pk) şi obţine două mesaje m 0 şi m 1 ; 2. Alege un bit aleator b şi notează c 1 = g 2 şi c 2 = g 3 m b ; Criptografie şi Securitate 15/19,
46 Demonstraţie Algoritmul D primeşte la intrare tuplul (G, q, g, g 1, g 2, g 3 ), unde g 1 = g x, g 2 = g y şi g 3 = g xy sau g 3 = g z pentru x, y, z aleatoare, după care: 1. Alege pk = (G, q, g, g 1 ) şi execută A(pk) şi obţine două mesaje m 0 şi m 1 ; 2. Alege un bit aleator b şi notează c 1 = g 2 şi c 2 = g 3 m b ; 3. Îi dă textul criptat (c 1, c 2 ) lui A şi obţine de la el un bit b. Dacă b = b, D întoarce 1, altfel întoarce 0. Criptografie şi Securitate 15/19,
47 Demonstraţie Algoritmul D primeşte la intrare tuplul (G, q, g, g 1, g 2, g 3 ), unde g 1 = g x, g 2 = g y şi g 3 = g xy sau g 3 = g z pentru x, y, z aleatoare, după care: 1. Alege pk = (G, q, g, g 1 ) şi execută A(pk) şi obţine două mesaje m 0 şi m 1 ; 2. Alege un bit aleator b şi notează c 1 = g 2 şi c 2 = g 3 m b ; 3. Îi dă textul criptat (c 1, c 2 ) lui A şi obţine de la el un bit b. Dacă b = b, D întoarce 1, altfel întoarce 0. În continuare, analizăm comportamentul lui D considerând două cazuri: Criptografie şi Securitate 15/19,
48 Demonstraţie Cazul 1: Să presupunem că tuplul pe care D îl primeşte la intrare este generat alegând aleator x, y, z Z q şi calculând g 1 = g x, g 2 = g y şi g 3 = g z. Criptografie şi Securitate 16/19,
49 Demonstraţie Cazul 1: Să presupunem că tuplul pe care D îl primeşte la intrare este generat alegând aleator x, y, z Z q şi calculând g 1 = g x, g 2 = g y şi g 3 = g z. Atunci D execută A cu cheia publică pk = (G, q, g, g x ) şi textul criptat construit (c 1, c 2 ) = (g y, g z m b ); Criptografie şi Securitate 16/19,
50 Demonstraţie Cazul 1: Să presupunem că tuplul pe care D îl primeşte la intrare este generat alegând aleator x, y, z Z q şi calculând g 1 = g x, g 2 = g y şi g 3 = g z. Atunci D execută A cu cheia publică pk = (G, q, g, g x ) şi textul criptat construit (c 1, c 2 ) = (g y, g z m b ); În acest caz, A nu poate distinge între cele două situaţii: atunci când este executat ca o subrutină a lui D interacţionând cu el sau atunci când efectuează experimentul PubK eav A, Π (n) Criptografie şi Securitate 16/19,
51 Demonstraţie Cazul 1: Să presupunem că tuplul pe care D îl primeşte la intrare este generat alegând aleator x, y, z Z q şi calculând g 1 = g x, g 2 = g y şi g 3 = g z. Atunci D execută A cu cheia publică pk = (G, q, g, g x ) şi textul criptat construit (c 1, c 2 ) = (g y, g z m b ); În acest caz, A nu poate distinge între cele două situaţii: atunci când este executat ca o subrutină a lui D interacţionând cu el sau atunci când efectuează experimentul PubK eav A, Π (n) Cum D întoarce 1 exact atunci când output-ul b al lui A este egal cu b, rezultă că: Criptografie şi Securitate 16/19,
52 Demonstraţie Pr[D(G, q, g, g x, g y, g z ) = 1] = Pr[PubK eav A, Π (n) = 1] = 1 2 Criptografie şi Securitate 17/19,
53 Demonstraţie Pr[D(G, q, g, g x, g y, g z ) = 1] = Pr[PubK eav A, Π (n) = 1] = 1 2 Cazul 2: Să presupunem că tuplul pe care D îl primeşte la intrare este generat alegând aleator x, y Z q şi calculând g 1 = g x, g 2 = g y şi g 3 = g xy. Criptografie şi Securitate 17/19,
54 Demonstraţie Pr[D(G, q, g, g x, g y, g z ) = 1] = Pr[PubK eav A, Π (n) = 1] = 1 2 Cazul 2: Să presupunem că tuplul pe care D îl primeşte la intrare este generat alegând aleator x, y Z q şi calculând g 1 = g x, g 2 = g y şi g 3 = g xy. Atunci D execută A cu cheia publică pk = (G, q, g, g x ) şi textul criptat construit (c 1, c 2 ) = (g y, g xy m b ) = (g y, (g x ) y m b ) Criptografie şi Securitate 17/19,
55 Demonstraţie Pr[D(G, q, g, g x, g y, g z ) = 1] = Pr[PubK eav A, Π (n) = 1] = 1 2 Cazul 2: Să presupunem că tuplul pe care D îl primeşte la intrare este generat alegând aleator x, y Z q şi calculând g 1 = g x, g 2 = g y şi g 3 = g xy. Atunci D execută A cu cheia publică pk = (G, q, g, g x ) şi textul criptat construit (c 1, c 2 ) = (g y, g xy m b ) = (g y, (g x ) y m b ) În acest caz, A nu poate distinge între următoarele două situaţii: atunci când este executat ca o subrutină a lui D sau atunci când efectuează experimentul PubK eav A,Π (n) Criptografie şi Securitate 17/19,
56 Demonstraţie Cum D întoarce 1 exact atunci când output-ul b al lui A este egal cu b, rezultă că: Pr[D(G, q, g, g x, g y, g xy ) = 1] = Pr[PubKA,Π eav (n) = 1] = ɛ(n) Criptografie şi Securitate 18/19,
57 Demonstraţie Cum D întoarce 1 exact atunci când output-ul b al lui A este egal cu b, rezultă că: Pr[D(G, q, g, g x, g y, g xy ) = 1] = Pr[PubKA,Π eav (n) = 1] = ɛ(n) Dar cum problema DDH este dificilă, rezultă că există o funcţie neglijabilă negl a.î. negl(n) Pr[D(G, q, g, g x, g y, g z ) = 1] Pr[D(G, q, g, g x, g y, g xy ) = 1] = 1 2 ɛ(n) Criptografie şi Securitate 18/19,
58 Demonstraţie Cum D întoarce 1 exact atunci când output-ul b al lui A este egal cu b, rezultă că: Pr[D(G, q, g, g x, g y, g xy ) = 1] = Pr[PubKA,Π eav (n) = 1] = ɛ(n) Dar cum problema DDH este dificilă, rezultă că există o funcţie neglijabilă negl a.î. negl(n) Pr[D(G, q, g, g x, g y, g z ) = 1] Pr[D(G, q, g, g x, g y, g xy ) = 1] = 1 2 ɛ(n) Adică ɛ(n) negl(n). Criptografie şi Securitate 18/19,
59 Important de reţinut! Sistemul de criptare ElGamal Proprietatea de homomorfism Criptografie şi Securitate 19/19,
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Criptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Criterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Curs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
![Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].](/thumbs/72/67648751.jpg "Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].")
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Prelegerea 11. Securitatea sistemului RSA Informaţii despre p şi q
Prelegerea 11 Securitatea sistemului RSA Vom trece în revistă câteva modalităţi de atac ale sistemelor de criptare RSA. Ca o primă observaţie, RSA nu rezistă la un atac de tipul meet-in-the middle, strategia
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Conice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Capitolul 2. Integrala stochastică
Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală
CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
VII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Prelegerea 10. Sistemul de criptare RSA Descrierea sistemului RSA
Prelegerea 10 Sistemul de criptare RSA 10.1 Descrierea sistemului RSA Sistemul de criptare RSA (Rivest - Shamir - Adlema este în acest moment cel mai cunoscut şi uzitat sistem cu cheie publică 1. Aceasta
SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Sisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία
- Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,
Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
V O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Principiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Câmp de probabilitate II
1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente
2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
prin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară
Curs 7 II.3 Grupuri II.3.1 Definiţie. Exemple Definiţia II.3.1.1. Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară pe G, notată : G G G, (x, y) x y, astfel încât: (G1) (Asociativitate) (x y) z =
Acesta este capitolul 6 Metode şi protocoale criptografice al ediţiei
Acesta este capitolul 6 Metode şi protocoale criptografice al ediţiei electronică a cărţii Reţele de calculatoare, publicată la Casa Cărţii de Ştiinţă, în 2008, ISBN: 978-973-133-377-9. Drepturile de autor
Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey
Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey Mihai Suciu Facultatea de Matematică și Informatică (UBB) Departamentul de Informatică Mai, 16, 2018 Mihai Suciu (UBB) Algoritmica
Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice
Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională
Sistemul electronic de plată Brands
83 Prelegerea 7 Sistemul electronic de plată Brands 7.1 O scurtă prezentare a sistemelor de plată electronice off-line Prima şi cea mai simplă schemă a fost definită de Chaum, Fiat şi Naor. Prezentăm,
Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
7 Distribuţia normală
7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare
Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.
Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele
Programarea dinamica I
Programarea dinamica I Principiile programării dinamice Programarea dinamică, ca și metoda divide et impera, rezolvă problemele combinând soluţiile subproblemelor. După cum am văzut, algoritmii de divide
Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI
V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele
Definiţia 1.1 Fiind date mulţimile A (alfabetul sursă) şi B (alfabetul cod), o codificare
Prelegerea 1 Codificare şi decodificare 1.1 Codificare Definiţia 1.1 Fiind date mulţimile A (alfabetul sursă) şi B (alfabetul cod), o codificare este o aplicaţie injectivă K : A B. Elementele mulţimii
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT. x 4
FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT Se numeşte reţea de transport un graf în care fiecărui arc îi este asociat capacitatea arcului şi în care eistă un singur punct de intrare şi un singur punct de ieşire.
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/