ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι. Για τους φοιτητές του 1ου έτους Σχολών Πολυτεχνείου. Παναγιώτης Πετράκης MSc Φυσικός, Ε.ΔΙ.Π στο Πολυτεχνείο Κρήτης

Transcript

1 Πολυτεχνείο Κρήτης Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι Για τους φοιτητές του 1ου έτους Σχολών Πολυτεχνείου Παναγιώτης Πετράκης MSc Φυσικός, Ε.ΔΙ.Π στο Πολυτεχνείο Κρήτης Δρ. Ελευθερία Σεργάκη Φυσικός, Ε.ΔΙ.Π στο Πολυτεχνείο Κρήτης 0η έκδοση Χανιά 01

2

3 Εργαστήριο Δομής της ύλης & Φυσικής Λέιζερ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Γενική εισαγωγή - Θεωρία τυχαίων σφαλμάτων άμεσων μετρήσεων.(σελ. Εισ.1-Εισ.6) - Σφάλματα έμμεσων μετρήσεων. (σελ. Εισ.7-Εισ.9) - Όργανα μέτρησης διαστάσεων (σελ. Εισ.10-Εισ.14) - Γραφικές παραστάσεις..(σελ. Εισ.15-Εισ.4) 1. Μετρήσεις Σφάλματα Άσκηση 1: Σφάλματα μετρήσεων.(σελ ). Υπολογισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας με διάφορες μεθόδους Άσκηση Α & B: Απλό εκκρεμές. & Αντιστρεπτό εκκρεμές (σελ..αβ.1-.αβ.1) Άσκηση Γ: Ελεύθερη πτώση στο πεδίο βαρύτητας..(σελ. Γ.1-Γ.6) 3. Στροφικές ταλαντώσεις Άσκηση 3Α: Ροπή αδράνειας ράβδου.(σελ. 3Α.1-3Α.7) Άσκηση 3Β: Εύρεση του μέτρου στρέψης σύρματος...(σελ. 3Β.1-3Β.8) 4. Μέτρηση ισχύος Άσκηση 4: Μέτρηση ισχύος περιστροφικής κίνησης (σελ ) 5. Θερμική διαστολή Άσκηση 5: Θερμική διαστολή μεταλλικών σωμάτων.(σελ ) 6. Μηχανικές ταλαντώσεις Άσκηση 6Α: Απλή αρμονική κίνηση ελατηρίου (σελ. 6Α.1-6Α.8) Άσκηση 6Β: Συζευγμένο εκκρεμές...(σελ. 6Β.1-6Β.6) 7. Θερμιδομετρία Άσκηση 7Α: Ειδική θερμότητα στερεών (σελ. 7Α.1-7Α.11) Άσκηση 7Β: Λόγος C P / C V αερίων.(σελ. 7Β.1-7Β.7) 8. Κινηματική Άσκηση 8: Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση (σελ ) 9. Θερμοδυναμική Άσκηση 9: Μέτρηση θερμικής ακτινοβολίας..(σελ ) 10. Ηλεκτρισμός Άσκηση 10: Βαλλιστικό Γαλβανόμετρο.. (σελ ) 11. Υδροδυναμική Άσκηση 11: Ιξώδες υγρών. (σελ ) Π.1

4 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Π.

5 Θεμελιώδεις μονάδες ηοσ Διεθνούς Σσζηήμαηος (SI) Μέγεθος Μονάδα μέηρηζης Όνομα Σύμβολο Μήκος Μέτρο (meter) m Μάδα Χιλιόγραμμο (Kilogram) Kg Χρόνος Δεστερόλεπτο (second) s Έντασε ελεκτρικού ρεύματος Αμπέρ (Ampere) A Θερμοκρασία Κέλβιν (Kelvin) K Ποσότετα οσσίας Μολ (mol) mol Έντασε υωτεινής ακτινοβολίας Καντέλα (candela) cd Προθέμαηα ηοσ Διεθνούς Σσζηήμαηος (SI) Πολλαπλάζια Υποπολλαπλάζια deca da 10 1 deci d 10-1 hecto H 10 centi c 10 - kilo K 10 3 milli m 10-3 mega M 10 6 micro μ 10-6 giga G 10 9 nano n 10-9 tera T 10 1 pico p 10-1 peta P femto f exa E atto a zetta Z 10 1 zepto z 10-1 yotta Y 10 4 yocto y 10-4

6

7 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΑΓΧΓΗ ΕΙΑΓΧΓΗ Ζ Φπζηθή είλαη κηα επηζηήκε πνπ ζηεξίδεηαη θαη εμνρήλ ζην πείξακα. Ο ζρεδηαζκόο ελόο ειεγρόκελνπ πεηξάκαηνο ζην εξγαζηήξην έρεη ζαλ ζθνπό ηελ επαιήζεπζε θάπνηαο ππάξρνπζαο ζεσξίαο ή θαη ηελ δηεξεύλεζε λέσλ θαηλνκέλσλ. Ζ αλάπηπμε κηαο ζεσξίαο ζηελ Φπζηθή είλαη πάληα ακθίδξνκε δηαδηθαζία, πνπ αξρίδεη θαη ηειεηώλεη κε πεηξάκαηα. θνπόο ηνπ εξγαζηεξίνπ Φπζηθήο Η είλαη λα δώζεη κηα πεηξακαηηθή εκπεηξία ζηνλ θνηηεηή ώζηε απηόο λα εμαζθεζεί πξαθηηθά ζην ηξόπν δηεμαγσγήο πεηξακάησλ, λα εμνηθεησζεί κε ηελ ιεηηνπξγία θαη ηε ρξήζε νξγάλσλ κέηξεζεο, κε κεζόδνπο αλάιπζεο πεηξακαηηθώλ δεδνκέλσλ, θαη λα εκβαζύλεη ζε ζπγθεθξηκέλα ζέκαηα ηεο ύιεο πνπ δηδάζθεηαη ζηελ Φπζηθή Η (ΦΤ 101). ΜΕΣΡΗΗ - ΦΑΛΜΑΣΑ Μέηρεζε ελόο θπζηθνύ κεγέζνπο είλαη ε δηεξγαζία ζύγθξηζήο ηνπ κε έλα νκνεηδέο κέγεζνο πνπ απζαίξεηα ην νξίδνπκε ζαλ κνλάδα. Απνηέιεζκα απηήο ηεο δηεξγαζίαο είλαη ε αξηζκεηηθή ηηκή ηνπ κεγέζνπο, πνπ ζπλνδεύεηαη από ηηο θαηάιιειεο κνλάδεο (π.ρ. 3 Kg, 5.5 m, 8 s). Ζ αθρίβεηα (accuracy) κηαο κέηξεζεο είλαη απηή πνπ ραξαθηεξίδεη ην πόζν αμηόπηζηε είλαη. Ζ αθξίβεηα απηή εμαξηάηαη από δηάθνξα ζθάικαηα ηα νπνία ππεηζέξρνληαη θαηά ηε κέηξεζε, είηε όηαλ απηή είλαη άκεζε, είηε όηαλ απηή είλαη έκκεζε δειαδή όηαλ ε ηηκή ηνπ κεηξνύκελνπ κεγέζνπο είλαη απνηέιεζκα αιγεβξηθνύ ζπλδπαζκνύ ηηκώλ, πνπ έρνπλ πξνθύςεη από άκεζεο κεηξήζεηο. Όηαλ κεηξάκε έλα κέγεζνο απηό πνπ πξνζέρνπκε λα δνύκε είλαη αλ βξίζθνπκε ην ίδην πεξίπνπ απνηέιεζκα θάζε θνξά. Απηό γίλεηαη γηαηί ε πξαγκαηηθή ηηκή ελόο κεγέζνπο, είλαη απνηέιεζκα πνιιώλ κεηξήζεσλ, κε ηελ πξνϋπόζεζε όηη νη κεηξήζεηο δίλνπλ θνληηλέο ηηκέο. Μπνξνύκε λα ππνζηεξίμνπκε όηη βξήθακε ηελ πεηξακαηηθή ηηκή ελόο κεγέζνπο ην νπνίν κεηξάκε αλ επαλαιάβνπκε ηε κέηξεζε ηνπ πνιιέο θνξέο, θάησ πάληα από ηηο ίδηεο ζπλζήθεο θαη νη αξηζκεηηθέο ηηκέο πνπ βξίζθνπκε δηαθέξνπλ πνιύ ιίγν κεηαμύ ηνπο. Πεηρακαηηθό ζθάικα νξίδνπκε ηελ δηαθνξά κεηαμύ ηεο «πξαγκαηηθήο» ηηκήο ελόο κεγέζνπο από ηελ ηηκή πνπ πξνθύπηεη πεηξακαηηθά. ΔΗΓΖ ΦΑΛΜΑΣΩΝ Σα ζθάικαηα ηα δηαθξίλνπκε ζηηο παξαθάησ θαηεγνξίεο : 1) Αθνύζηα ζθάικαηα ή ιάζε. ) πζηεκαηηθά ζθάικαηα. 3) ηαηηζηηθά ή ηπραία ζθάικαηα. 1) Τα αθούζηα ζθάικαηα κπνξεί λα νθείινληαη ζε ιαλζαζκέλε αλάγλσζε ησλ απνηειεζκάησλ θαη θαηαγξαθή ησλ παξαηεξήζεσλ - κεηξήζεσλ ή ζηε θαθή ηνπο επεμεξγαζίαο. Ζ απνθπγή ηνπο ζηεξίδεηαη ζηελ ηδηαίηεξε πξνζνρή ηνπ πεξακαηηδόκελνπ. ) Τα ζσζηεκαηηθά ζθάικαηα είλαη εθείλα πνπ επηδξνύλ ζην απνηέιεζκα ζπλήζσο θαηά ηελ ίδηα θνξά, όζεο θνξέο θαη αλ επαλαιάβνπκε ηε κέηξεζε θάησ από ηηο ίδηεο ζπλζήθεο. Σα ζθάικαηα απηά νθείινληαη θπξίσο: Δηο.1

8 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ Με ζσζηή βαζκνλόκεζε (calibration) ησλ νξγάλσλ. (α) Καθόο ζρεδηαζκόο ηεο θιίκαθαο ηνπ νξγάλνπ. (β) Μεηάζεζε ηνπ κεδελόο ηνπ νξγάλνπ. Σε κέζνδν κέηξεζεο πνπ ρξεζηκνπνηνύκε ή από "απξόβιεπηεο πεξηζηάζεηο" πνπ δεκηνπξγνύληαη θαηά ηε δηεμαγσγή ηνπ πεηξάκαηνο θαη δελ έρνπλ ιεθζεί ππόςε. Γηα παξάδεηγκα, κέηξεζε ηεο αληίζηαζεο ελόο πελίνπ κεηξώληαο ξεύκα θαη ηάζε (ζηηγκηαία ππεξζέξκαλζε ηνπ ζύξκαηνο), αιιαγή ζεξκνθξαζίαο, πίεζεο θιπ. Από πξνζεγγίζεηο ζηηο εμηζώζεηο ή ζηηο ζρέζεηο πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη, πξνθεηκέλνπ λα αληηθαηαζηήζνπκε πνιύπινθνπο ηύπνπο κε απινύζηεξεο εμηζώζεηο θαη λα θαηαιήμνπκε ζε έλα πξνζεγγηζηηθό απνηέιεζκα. Γηα παξάδεηγκα, γηα λα κεηξήζνπκε ηελ πεξίνδν ηνπ απινύ εθθξεκνύο, l ρξεζηκνπνηνύκε ηελ πξνζεγγηζηηθή ζρέζε: T γηα κηθξέο γσλίεο ζ g (ζ sinζ), ελώ ε αθξηβήο ζρέζε δίλεηαη από ηε ζεηξά: T l sin sin... g 4 64 Ζ εμάιεηςή ησλ ζπζηεκαηηθώλ ζθαικάησλ εμαξηάηαη από ηελ ηθαλόηεηα θαη ηελ κεγάιε εξγαζηεξηαθή πείξα ηνπ πεηξακαηηζηή. 3) Τα ησταία ζθάικαηα νθείινληαη ζε δηάθνξα αίηηα πνπ δελ ειέγρεη ν πεηξακαηηδόκελνο (π.ρ. ε εθηίκεζε αλάγλσζεο ελόο αλαινγηθνύ νξγάλνπ, αθαζόξηζηεο κεηαβνιέο ζε δηάθνξεο πεηξακαηηθέο ζπλζήθεο πνπ ππνηίζεηαη όηη δελ αιιάδνπλ θ.α.), ζπκβαίλνπλ ηπραία θαη δελ επαλαιακβάλνληαη αλαγθαζηηθά, όηαλ επαλαιεθζεί ε κέηξεζε. Δίλαη παξόληα αθόκα θη όηαλ ηα αθνύζηα θαη ηα ζπζηεκαηηθά ζθάικαηα απαιεηθζνύλ. Παξόηη ηα ζπζηεκαηηθά ζθάικαηα είλαη πεξηζζόηεξν ζνβαξά κπνξνύκε λα ηα απνθύγνπκε. Σα ηπραία κπνξνύκε κόλν λα ηα πεξηνξίζνπκε. ην εμήο όηαλ ζα κηιάκε γηα ζθάικαηα ζα ελλννύκε ηα ηπραία. Δπεηδή ε πξαγκαηηθή ηηκή κηαο κέηξεζεο παξακέλεη άγλσζηε, ε αθρίβεηα (accuracy) ππνδειώλεη ηα όξηα κέζα ζηα νπνία θπκαίλεηαη ε πξαγκαηηθή ηηκή. Γηα παξάδεηγκα κηα δπγαξηά κε αθξίβεηα ± 1% επί ηεο κεηξνύκελεο ηηκήο, ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ κέηξεζε κηαο κάδαο. ηελ θιίκαθα ηεο δπγαξηάο δηαβάδεηαη ε ηηκή 1 gr. Ζ πξαγκαηηθή κάδα κπνξεί λα θπκαίλεηαη ζηελ πεξηνρή από 11,88 gr κέρξη 1,1 gr. Ζ αθξίβεηα ζηε κέηξεζε ελόο κεγέζνπο κπνξεί λα εθθξαζζεί κε ηξεηο ηξόπνπο: α) Πνζνζηηαία (%) ζηελ κεηξνύκελε ηηκή. Π.ρ. Αληίζηαζε 680Ω ± 5%, πνπ ζεκαίλεη όηη ε πξαγκαηηθή ηηκή θπκαίλεηαη από 646 Ω κέρξη 714 Ω. β) Απόιπηα πάλσ ζηε κεηξνύκελε ηηκή. Π.ρ. Μάδα 50 ± gr, πνπ ζεκαίλεη όηη ε πξαγκαηηθή ηηκή θπκαίλεηαη από 48 gr κέρξη 5 gr. γ) Μηθηά ζηελ πεξίπησζε ςεθηαθώλ νξγάλσλ. Γηα παξάδεηγκα πελίν 560 mh ± (0,1% + counts) ζεκαίλεη όηη ε πξαγκαηηθή ηηκή θπκαίλεηαη θαηά ± (0,56 mh + mh) ή ±,56 mh γύξσ από ηελ ηηκή ησλ 560 mh. Δηο.

9 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ ΗΜΑΝΣΙΚΑ ΦΗΦΙΑ Ο όξνο ζημανηικά τηθία ζε έλα αξηζκεηηθό απνηέιεζκα αλαθέξεηαη ζηνλ αξηζκό ησλ ςεθίσλ γηα ηα νπνία ν πεηξακαηηζηήο έρεη εκπηζηνζύλε όηη είλαη αθξηβή. εκαληηθά ςεθία (significant digits) ελόο αξηζκνύ, νλνκάδνληαη όια ηα ςεθία ηνπ αξηζκνύ, εθηόο από ηα κεδεληθά ζηην απσή ηος, πνπ δειώλνπλ ηελ ηάμε ησλ ππόινηπσλ ςεθίσλ. Π.ρ. ζηνλ αξηζκό , ηα ηξία πξώηα δεν είλαη ζεκαληηθά ςεθία θαη ρξεζηκεύνπλ γηα λα ππνδειώζνπλ ηελ ηάμε ησλ άιισλ ςεθίσλ. Αληίζεηα ην 0 κεηαμύ ηνπ 7 θαη ηνπ 4 θαζώο θαη ην 0 ζην ηέινο ηνπ αξηζκνύ είναι ζεκαληηθά ςεθία. Δπίζεο ην 0 ζην ηέινο ηνπ αξηζκνύ είλαη απαξαίηεην, δηόηη ζπκβάιιεη ζηνλ πξνζδηνξηζκό ηεο αθξίβεηαο ηνπ. Δπνκέλσο ν παξαπάλσ αξηζκόο έρεη 4 ζεκαληηθά ςεθία. ηελ πεξίπησζε κεγάισλ αθέξαησλ αξηζκώλ είλαη πξνηηκόηεξν ν αξηζκόο λα γξάθεηαη ζε εθζεηηθή κνξθή, ώζηε λα είλαη εκθαλή ηα ζεκαληηθά ςεθία, επεηδή ηα κεδεληθά ζην ηέινο ρξεζηκεύνπλ είηε γηα λα δειώζνπλ ηελ ηάμε ησλ άιισλ ςεθίσλ είηε γηα λα δειώζνπλ ζεκαληηθά ςεθία. Π.ρ. ν αξηζκόο πξέπεη λα γξάθεηαη 5.7 x 10 5 ζηελ πεξίπησζε πνπ έρεη 3 ζεκαληηθά ςεθία ή 5.70 x 10 5 αλ έρεη 4 ζεκαληηθά ςεθία. Ζ δηαθρηηηθόηεηα (resolution) ελόο νξγάλνπ είλαη ε κηθξόηεξε δπλαηή δηαθνξά ζηε κέηξεζε ηνπ κεγέζνπο πνπ κπνξεί λα κεηξεζεί από ην όξγαλν. Π.ρ. έλα ςεθηαθό ξνιόη κε έλδεημε 3 ςεθίσλ, ζηελ θιίκαθα ησλ 100 s ( κέγηζηε έλδεημε 99.9 s) έρεη δηαθξηηηθόηεηα 0.1 s ( όζε είλαη ε κνλάδα ηνπ ηειεπηαίνπ ςεθίνπ ηεο απεηθόληζεο ). Γειαδή κπνξεί λα απεηθνλίζεη έλα ρξόλν ίζν κε 7.3 ή κηα άιιε 7.4 αιιά δελ κπνξεί λα κεηξήζεη ελδηάκεζε ηηκή. Ζ ζσλέπεηα (consistency) ελόο νξγάλνπ είλαη κηα έλδεημε ηνπ πόζν πξνζεγγίδνπλ ε αθξίβεηα θαη ε δηαθξηηηθόηεηα ηνπ νξγάλνπ. Π.ρ. γηα έλα ςεθηαθό ρξνλόκεηξν ησλ 3 ςεθίσλ, δίλεηαη αθξίβεηα ζηελ θιίκαθα ησλ 1000 s ίζε κε ± 1%. ηελ θιίκαθα ησλ 1000 s ( κέγηζηε έλδεημε 999 s) ε κεγαιύηεξε δηαθξηηηθόηεηα ηνπ νξγάλνπ είλαη 1 s. Ζ αθξίβεηα ζε θάζε κέηξεζε είλαη 1000 s x (± 1%) = ±10 s. Δπνκέλσο ην ηειεπηαίν ςεθίν ηεο απεηθόληζεο δελ έρεη θαλέλα νπζηαζηηθό λόεκα θαη ην όξγαλν ραξαθηεξίδεηαη αζπλεπέο. Αλ ην ίδην όξγαλν έρεη αθξίβεηα ± 0.001% ε δηαθύκαλζε ηεο πξαγκαηηθήο ηηκήο ζα είλαη: 1000 s x (± 0.001%) = ± 0.01 s, ελώ νη δηαθνξέο ησλ ελδείμεσλ δελ κπνξνύλ λα δηαθέξνπλ κεηαμύ ηνπο ιηγόηεξν από 1 s. Καη ζε απηή ηελ πεξίπησζε ε πιενλάδνπζα αθξίβεηα ραξαθηεξίδεη ην όξγαλν ζαλ αζπλεπέο, δηόηη επηβαξύλεη άδηθα ην θόζηνο ηνπ. Καηά ηελ κέηξεζε ελόο κεγέζνπο, πνιιέο θνξέο απαηηείηαη ε εθηίκεζε (estimation) ηεο αλάγλσζεο, ηεο αξηζκεηηθήο ηνπ ηηκήο, επεηδή ην όξγαλν πνπ ρξεζηκνπνηείηαη δελ παξέρεη ηελ απαξαίηεηε δηαθξηηηθόηεηα. Π.ρ. ζην ζρήκα (1α) δείρλεηαη ε θιίκαθα ελόο πνιύκεηξνπ κε δηαθξηηηθόηεηα 0. ηεο κνλάδαο. Ζ βειόλα είλαη ηνπνζεηεκέλε κεηαμύ ησλ ραξαγώλ 0. θαη 0.3. Ζ ζέζε ζα κπνξνύζε λα εθηηκεζεί ζηα.3. Σν ηειεπηαίν ςεθίν, επεηδή πξνέξρεηαη από εθηίκεζε, ζεκεηώλεηαη ηδηαίηεξα. ην ζρήκα (1β) δείρλεηαη ε θιίκαθα ελόο πνιύκεηξνπ κε δηαθξηηηθόηεηα 0.5 ηεο κνλάδαο. Ζ βειόλα βξίζθεηαη κεηαμύ ησλ γξακκώλ θαη.5. Ζ κέηξεζε εθηηκάηαη ζηα.. Έλαο έκπεηξνο παξαηεξεηήο ζα κπνξνύζε λα ηελ εθηηκήζεη ζην.3. Δηο.3

10 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ ρήκα 1. Γηαθξηηηθόηεηα (resolution) νξγάλνπ. (α) Κιίκαθα νξγάλνπ κε δηαθξηηηθόηεηα 0.1 (β) Κιίκαθα νξγάλνπ κε δηαθξηηηθόηεηα 0.5 Πξνζνρή πξέπεη λα δίλεηαη θαηά ηελ εθηέιεζε αξηζκεηηθώλ πξάμεσλ πνπ πεξηέρνπλ εθηηκήζεηο. Π.ρ. γηα ηελ κέηξεζε ελόο εκβαδνύ κεηξήζεθαλ νη δηαζηάζεηο l 1 =1.37 mm θαη l =.56 mm. Σν εκβαδόλ ππνινγίδεηαη από ηελ ζρέζε s = l 1 l = 3.51 mm και όχι mm. Απηό ζεκαίλεη όηη κηα έκκεζε κέηξεζε δελ κπνξεί λα έρεη θαιύηεξε αθξίβεηα από ηηο κεηξήζεηο πνπ ηελ ζπληζηνύλ. ηελ πεξίπησζε ησλ ςεθηαθώλ νξγάλσλ, ηα ςεθία πνπ απνηεινύλ ηελ εθηίκεζε ηεο κέηξεζεο είλαη ηα ηειεπηαία ςεθία, πνπ αιιάδνπλ ζπλέρεηα. ΣΤΥΑΙΑ ΦΑΛΜΑΣΑ ΚΑΣΑ ΣΙ ΑΜΕΕ ΜΕΣΡΗΕΙ ΜΕΗ ΣΙΜΗ Αλ επαλαιάβνπκε κηα ζεηξά κεηξήζεηο κε ηνλ ίδην ηξόπν θαη θάησ από ηηο ίδηεο ζπλζήθεο, ηόηε κπνξνύκε λα κειεηήζνπκε από ζηαηηζηηθή άπνςε ηηο απνθιίζεηο ησλ ηηκώλ πνπ θαηαγξάςακε από ηε κέζε ηηκή ε νπνία είλαη ε θαιύηεξε εθηίκεζε πνπ έρνπκε ηεο πξαγκαηηθήο ηηκήο. Έζησ όηη πήξακε ηηο κεηξήζεηο ηνπ Πίλαθα 1. ΠΗΝΑΚΑ 1. n ηηκή ρξόλνπ i x i (s) Ο κέζος όρος ή κέζε ηηκή x avg (average, mean value) κηαο ζεηξάο n κεηξήζεσλ δίλεηαη από ηε ζρέζε: Δηο.4

11 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ x x... x 1 n (1) 1 n x xavg xi n n i 1 Οξίδνπκε σο απόθιηζε κηαο κέηξεζεο από ηε κέζε ηηκή ην κέγεζνο : d i x x () i θαη παίξλεη ζεηηθέο θαη αξλεηηθέο ηηκέο. Απνηειεί εθηίκεζε ηνπ ζθάικαηνο αθνύ ε κέζε ηηκή x είλαη ε πην αληηπξνζσπεπηηθή ηηκή ηνπ θπζηθνύ κεγέζνπο πνπ κεηξάκε. Γηα ηηο απνθιίζεηο ηζρύεη : n 1 d i 0 (3) Γηα ηε κέζε ηηκή ησλ απνθιίζεσλ ηζρύεη ε ζρέζε : d n 1 n d i (4) θαη ζα είλαη ην κέζο ζθάικα πνπ γίλεηαη ζηηο κεηξήζεηο. Γηα κεγάιν αξηζκό κεηξήζεσλ, έλα κέηξν ζθάικαηνο βξίζθεηαη από ην ησπηθό ζθάικα ηες κέζες ηηκής ( standard error in the mean) θαη ππνινγίδεηαη από ηελ ζρέζε: n 1 avg x xi x (5) ( n 1) n 1 όπνπ x i ε πεηξακαηηθή κεηξνύκελε ηηκή ηνπ κεγέζνπο x. Σν αποηέιεζκα ησλ κεηξήζεσλ ελόο κεγέζνπο x ζα γξάθεηαη κε ηε κνξθή: x = x ± ζ avg (6) Ολνκάδνπκε ζστλόηεηα επαλάιευες (class frequency) n j κηαο κέηξεζεο ην πιήζνο ησλ κεηξήζεσλ, ζηηο νπνίεο έρνπκε ίδηα ηηκή γηα ηε κέηξεζε x j. ηνλ Πίλαθα θαίλνληαη νη ζπρλόηεηεο επαλάιεςεο γηα ηηο αληίζηνηρεο κεηξήζεηο ηνπ Πίλαθα 1. ΠΗΝΑΚΑ. n τιμή συχνότητα x j n j Δηο.5

12 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ ρήκα (α) Γηάγξακκα ζπρλνηήησλ επαλάιεςεο κε ε = 10 (β) Γηάγξακκα ζπρλνηήησλ επαλάιεςεο κε ε Από ηηο ηηκέο ηνπ Πίλαθα, κπνξνύκε λα ζρεδηάζνπκε έλα θαηλνύξγην δηάγξακκα, έλα ηζηόγξακκα, όπνπ ζηνλ άμνλα ησλ ηεηαγκέλσλ ζέηνπκε ηε ζπρλόηεηα επαλάιεςεο ησλ απνθιίζεσλ ησλ ηηκώλ ηνπ σπόνος. ην ζρήκα (α ) δείρλεηαη όηη ζην δηάγξακκα απηό νη πεξηζζόηεξεο κεηξήζεηο βξίζθνληαη ζηελ ηηκή ησλ 0 s, ελώ νη ππόινηπεο κεηξήζεηο θαηαλέκνληαη γύξσ από ηελ θεληξηθή ηηκή. Γηα ηηκέο πάλσ θαη θάησ από ην κεδέλ ην ηζηόγξακκα ηείλεη πξνο ην κεδέλ. ην ρήκα (β) δείρλεηαη όηη, αλ απμήζνπκε ηνλ αξηζκό ησλ κεηξήζεσλ θαη ηηο νκαδνπνηήζνπκε ζε κηθξόηεξεο απνζηάζεηο, ηόηε ην δηάγξακκα έρεη κηα πεξηβάιινπζα θακπύιε πνπ ηείλεη λα γίλεη ζπλερήο, όπσο απηή ζην ζρήκα (β). Ζ θαηαλνκή ησλ ηπραίσλ ζθαικάησλ πεξηγξάθεηαη κε ηελ θαηαλοκή Gauss ή θαλνληθή θαηαλνκή. Ζ θαηαλνκή Gauss έρεη κεγάιε πξαθηηθή ζεκαζία θαη εθθξάδεηαη καζεκαηηθά κε ηελ ζρέζε: P 1 d e Όπνπ Ρ είλαη ε πηζαλόηεηα λα εκθαληζηεί απόθιηζε d από ηελ κέζε ηηκή θαη όπνπ ζ είλαη ην εύξνο ηεο θαηαλνκήο, νλνκάδεηαη ησπηθή απόθιηζε (standard deviation) θαη δίλεηαη από ηε ζρέζε: n 1 x i x (7) 1 n 1 Ζ θαηαλνκή ησλ ηπραίσλ ζθαικάησλ κεηαθέξεη ζε εηθόλα ην πεξηερόκελν ηνπ Πίλαθα όπσο θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα 3, όπνπ απεηθνλίδνληαη θαη ηα ραξαθηεξηζηηθά κεγέζε ηεο θαηαλνκήο Gauss. Δηο.6

13 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ ρήκα 3. Καηαλνκή ηεο πηζαλόηεηαο ησλ ηηκώλ ζεηξάο κεηξήζεσλ ζε ζρέζε κε ηελ ηππηθή απόθιηζε σ. Σν εκβαδόλ θάησ από ηελ θακπύιε κεηαμύ x - σ θαη x + σ είλαη ηζνύηαη κε ην 68.3% ηνπ εκβαδνύ όιεο ηεο επηθάλεηάο ηεο (από x = έσο x =+ ). Ζ πηζαλόηεηα πνπ έρεη κηα κέηξεζε λα δώζεη ηηκή κεηαμύ x - σ θαη x + σ είλαη 68.3%, ελώ κεηαμύ x -σ και x + σ είλαη 95.4%. Άξα ε ηππηθή απόθιηζε σ, κπνξεί λα δείμεη ην κέηξν ηεο δηαζπνξάο ησλ ηηκώλ ηνπ x πνπ πεξηιακβάλνληαη ζηελ θαηαλνκή, ελώ ε κέζε ηηκή x θαζνξίδεη ηε ζέζε ηεο θακπύιεο ζηνλ άμνλα ησλ x, δειαδή ηελ ηηκή ηνπ x, γύξσ από ηελ νπνία ε θακπύιε Gauss είλαη ζπκκεηξηθή. Έλαο πνιύ ζπλεζηζκέλνο ηξόπνο ζύγθξηζεο ησλ πεηξακαηηθώλ ηηκώλ είλαη ε επί ηνηο εθαηό (%) απόθιηζε, πνπ δίλεη ην ζρεηηθό ζθάικα ηεο πεηξακαηηθήο ηηκήο από ηε πξαγκαηηθή ηηκή x x % απόθιηζε ηεο πνζόηεηαο x 100% (8) x ΣΤΥΑΙΑ ΦΑΛΜΑΣΑ ΚΑΣΑ ΣΙ ΕΜΜΕΕ ΜΕΣΡΗΕΙ ηηο έκκεζεο κεηξήζεηο, ν σποιογηζκός ελόο κεγέζνπο x, είλαη αιγεβξηθή ζπλάξηεζε πνιιώλ άιισλ κεγεζώλ (q 1,q,,q n ) ηα νπνία κεηξνύληαη άκεζα. Γηα λα ππνινγίζνπκε ην νιηθό ζθάικα ηνπ κεγέζνπο x, ρξεηάδεηαη ε γλώζε ησλ επί κέξνπο ζθαικάησλ πνπ επηβαξύλνπλ ηηο κεηξήζεηο ησλ κεγεζώλ q 1,q,,q n. Σν κέγεζνο x Δίλαη κία ζπλάξηεζε ησλ q 1,q,,q n : x = f (q 1,q,, q n) Ζ κέζε ηηκή ηνπ x ζα είλαη: x = f (q 1,q,, q n ) Π.ρ. ε κέζε ηηκή ηνπ όγθνπ ελόο θύβνπ V l l l 1 3 θαη V f ( l1, l, l3 ) Με βάζε ηε ζεσξία δηάδοζες ζθαικάηφλ νξίδνπκε ζαλ πηζαλό ζθάικα (δχ) ην κέγεζνο πνπ δίλεηαη από ηε ζρέζε: Δηο.7

14 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ n x x x x x q... i q 1 q qn 1 qi q1 q qn (9) όπνπ x / qi είλαη ε κερηθή παράγφγος ηνπ κεγέζνπο x σο πξνο q i. Μεξηθή παξάγσγνο είλαη όηαλ παξαγσγίδνπκε ην κέγεζνο x σο πξνο ηε κεηαβιεηή q i, ζεσξώληαο ηηο ππόινηπεο κεηαβιεηέο ζηαθεπέρ. Γηα κηθξό αξηζκό κεηξήζεσλ ηα ζ q1, ζ q, είλαη νη ηππηθέο απνθιίζεηο ηεο κέζεο ηηκήο γηα ηηο πνζόηεηεο q 1, q, (βιέπε ζρέζε (7), ζει. Δηζ.6). Αλ έρνπκε κόλν κηα κέηξεζε γηα ην θαζέλα από ηα q 1, q, ζέηνπκε όπνπ ζ q1, ζ q, ηα κέγηζηα ζθάικαηα (ζθάικαηα νξγάλσλ κέηξεζεο) γηα ηα κεγέζε q 1, q, Αλ έρνπκε πξαγκαηνπνηήζεη έλα κεγάιν αξηζκό κεηξήζεσλ n> 30 γηα ηα κεγέζε q 1, q, ζέηνπκε όπνπ ζ q1, ζ q, ην ηππηθό ζθάικα ηεο κέζεο ηηκήο γηα ηα αληίζηνηρα κεγέζε, (βιέπε ζρέζε (5), ζει. Δηζ.5). n V ( l1l l3) ( l1l l3) ( l1l l3) Π.ρ. V l i l 1 l l3 1 li l1 l l3 V V V l l l V Καη 1 3 ημείυζη: Δίλαη πξνθαλέο όηη όηαλ ην x εμαξηάηαη κόλν από κία κεηαβιεηή q, ηόηε ε ζρέζε (9) γίλεηαη: x x x q q q q (9α) ηελ πεξίπησζε πνπ ε έκκεζε κέηξεζε πξνθύπηεη από ην αιγεβξηθό άζξνηζκα (πξόζζεζε ή αθαίξεζε), x= q 1 ± q ± Σόηε εθαξκόδνληαο ηε ζρέζε (9) πξνθύπηεη: x q q... 1 Σν πηζαλό ζτεηηθό ζθάικα δίλεηαη από ηελ έθθξαζε: x x 100% (10) Παπάδειγμα ςπολογιζμού έμμεζος ζθάλμαηορ και αναγπαθήρ αποηελέζμαηορ: Έζησ όηη δεηείηαη λα πξνζδηνξηζζεί ε ππθλόηεηα ελόο ζώκαηνο κε νγθνκέηξεζε θαη δύγηζε. Ζ ζρέζε πνπ ππνινγίδεη ηελ ππθλόηεηα είλαη: m d (11) V Δηο.8

15 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ όπνπ m ε κάδα θαη V ν όγθνο ηνπ ζώκαηνο. Γηα ηνλ πξνζδηνξηζκό ηεο κάδαο θαη ηνπ όγθνπ γίλνληαη πνιιέο κεηξήζεηο. Ζ ηηκή ηεο ππθλόηεηαο ζα ππνινγηζζεί από ηε ζρέζε (11) ρξεζηκνπνηώληαο ηηο κέζεο ηηκέο, ηεο ζεηξάο ησλ κεηξήζεσλ, ηεο κάδαο θαη ηνπ όγθνπ. Γειαδή ε ζρέζε (11) γίλεηαη: m d (1) V αλ ηα m θαη V έρνπλ ζθάικαηα ζ m θαη ζ V, κε βάζε ηε ζρέζε (9) γηα ην πηζαλό ζθάικα ζα ηζρύεη: 1 m d m V V V όπνπ ν πξώηνο θαη ν δεύηεξνο όξνο πξνθύπηνπλ κεηά από κεξηθή παξαγώγηζε σο πξνο m θαη V αληίζηνηρα ηεο ζρέζεο (11). Με βάζε ηε ζρέζε (10) γηα ην πηζαλό ζρεηηθό ζθάικα, ζα ηζρύεη: d m V d m V V m d Αλ ζηελ παξαπάλσ κέηξεζε έρνπκε 1% θαη 1% ηόηε ην ζθάικα είλαη V m d ηεο ηάμεο ηνπ 1% θαη ε ρξήζε ηνπ δπγνύ αθξηβείαο γηα λα πεηύρεη ζθάικα δύγηζεο 1% είλαη ηειείσο πεξηηηή. Ζ αλαγξαθή ηνπ απνηειέζκαηνο καδί κε ην ζθάικα γίλεηαη σο εμήο: Δπεηδή ε ηηκή ηνπ πεηξακαηηθνύ απνηειέζκαηνο γξάθεηαη κε ηόζα δεθαδηθά, όζα έρνπλ νη κεηξήζεηο ην ζθάικα, ζηελ παξαπάλσ πεξίπησζε ην ζθάικα γξάθεηαη κε ηον ίδιο απιθμό ζεκαληηθώλ ςεθίσλ. Σα ππόινηπα ςεθία ζηξνγγπινπνηνύληαη. Αλ ζην παξαπάλσ πείξακα πξνζδηνξηζκνύ ηεο ππθλόηεηαο νη ηηκέο ηεο κάδαο θαη όγθνπ είραλ δεθαδηθά ςεθία, ε ηηκή ηεο ππθλόηεηαο ππνινγίζηεθε d=6.384 gr/cm 3 θαη ην ζθάικα ππνινγίζηεθε δd = 0.3 gr/cm 3, ηνύην ζεκαίλεη όηη πηζαλό, ε ηηκή πνπ βξέζεθε gr/cm 3 δελ ζα δηαθέξεη ηεο πξαγκαηηθήο πεξηζζόηεξν ησλ 0.3 gr/cm 3 είηε πξνο κεγαιύηεξε, είηε πξνο κηθξόηεξε ηηκή. Ζ ηειηθή αλαγξαθόκελε πεηξακαηηθή ηηκή ζα είλαη : d δd = (6,38 0,3 ) gr/cm 3. Δηο.9

16 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ ΚΑΝΟΝΕ ΣΡΟΓΓΤΛΟΠΟΙΗΗ ΑΡΙΘΜΧΝ Οη θαλόλεο πνπ θαζνξίδνπλ ηε ζηξνγγπινπνίεζε ελόο αξηζκνύ είλαη: ύκθσλα κε ηνπο θαλόλεο ησλ ζεκαληηθώλ ςεθίσλ, θαζνξίδνπκε πνηα ζα πξέπεη λα είλαη ε δεθαδηθή ζέζε ηνπ ηειεπηαίνπ ςεθίνπ Αθνύ θαζνξίδνπκε ηε δεθαδηθή ζέζε ηνπ ηειεπηαίνπ ςεθίνπ, θνηηάκε αλ ην ςεθίν πνπ βξίζθεηαη δεμηά από ην ηειεπηαίν απηό ζεκαληηθό ςεθίν είλαη κηθξόηεξν από ην πέληε (<5). ηε πεξίπησζε απηή απνξξίπηνπκε όια ηα ςεθία πνπ είλαη ζηα δεμηά από απηό. Αλ ην ςεθίν πνπ βξίζθεηαη δεμηά από ην ηειεπηαίν απηό ζεκαληηθό ςεθίν είλαη κεγαιύηεξν από πέληε (>5), ηόηε απμάλνπκε ην ηειεπηαίν απηό ζεκαληηθό ςεθίν θαηά κία κνλάδα θαη απηή απνξξίπηνπκε όια ηα ςεθία πνπ είλαη ζηα δεμηά ηνπ. Αλ ην ςεθίν πνπ βξίζθεηαη δεμηά από ην ηειεπηαίν απηό ζεκαληηθό ςεθίν είλαη ίζν κε ην πέληε (=5), ηόηε αλ ην ηειεπηαίν ζεκαληηθό ςεθίν είλαη πεξηηηόο αξηζκόο ζηξνγγπινπνηνύκε πξνζζέηνληαο κηα κνλάδα ελώ αλ είλαη άξηηνο αξηζκόο ην αθήλνπκε όπσο είλαη. Παξάδεηγκαηα: α) Έζησ όηη κεηά ηελ εθαξκνγή ησλ θαλόλσλ ησλ ζεκαληηθώλ ςεθίσλ ζέινπκε λα ζηξνγγπινπνηήζνπκε ηνλ αξηζκό ζην πξώην δεθαδηθό ςεθίν. Σν ηειεπηαίν ζεκαληηθό ςεθίν είλαη ην 4. Σν ςεθίν δεμηά από ην 4 είλαη ην 6, (δειαδή κεγαιύηεξν από ην 5). Άξα ζύκθσλα κε ηνπο θαλόλεο ζηξνγγπινπνίεζεο ην 4 ζα απμεζεί θαηά κία κνλάδα θαη ν αξηζκόο ζα γξαθηεί 3.5. β) Έζησ όηη ζέινπκε λα ζηξνγγπινπνηήζνπκε ηνλ αξηζκό ζην δεύηεξν δεθαδηθό ςεθίν. Σν ηειεπηαίν ζεκαληηθό ςεθίν είλαη ην 7. Σν ςεθίν δεμηά από ην 7 είλαη ην 5. Άξα ζύκθσλα κε ηνπο θαλόλεο ζηξνγγπινπνίεζεο επεηδή ην 7 είλαη πεξηηηόο αξηζκόο ζα απμεζεί θαηά κία κνλάδα θαη ν αξηζκόο ζα γξαθηεί ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΣΡΗΗ ΔΙΑΣΑΕΧΝ Μέηπηζη μήκοςρ : Α. ΚΑΝΟΝΑ : Με έλα θαλόλα κπνξνύκε λα κεηξήζνπκε ην κήθνο ζώκαηνο κε αθξίβεηα όρη κηθξόηεξε ηνπ 0.5 mm. Σνπνζεηνύκε ην ζώκα έηζη, ώζηε ε πξνο κέηξεζε δηάζηαζή ηνπ λα εθάπηεηαη ζηνλ θαλόλα θαη ην έλα άθξν ηνπ ζώκαηνο λα βξίζθεηαη ζηε ραξαγή ηνπ θαλόλα κε ηελ έλδεημε κεδέλ. Σόηε δηαβάδνπκε ηελ έλδεημε ηνπ θαλόλα ζην άιιν άθξν ηνπ ζώκαηνο. ρήκα 4. Δηο.10

17 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ Β. ΓΗΑΣΖMΟMΔΣΡΟ ΜΔ ΒΔΡΝΗΔΡΟ (Caliper Vernier) Σν δηαζηεκόκεηξν κε βεξληέξν είλαη έλα όξγαλν, πνπ ην ρξεζηκνπνηνύκε γηα λα κεηξήζνπκε κήθε εζσηεξηθώλ ή εμσηεξηθώλ δηαζηάζεσλ θαη βάζνπο, κε κεγαιύηεξε αθξίβεηα από απηή πνπ πεηπραίλνπκε κε ηνπο θνηλνύο ράξαθεο (θαλόλεο). Ζ αθξίβεηα απηή είλαη πεξίπνπ 0.1 mm (γηα βεξληέξν κήθνπο 9 mm) θαη θζάλεη κέρξη 0.0 mm (γηα βεξληέξν κήθνπο 49 mm). ρήκα 5. Γηαζηεκόκεηξν (παρύκεηξν) Σν δηαζηεκόκεηξν κε βεξληέξν, πνπ απεηθνλίδεηαη ζην ζρήκα 5, απνηειείηαη από έλα ζηαζεξό κέξνο «Α», ην νπνίν είλαη ε θύρηα θιίκαθα, θαη ην θηλεηό κέξνο «Β», ζην νπνίν ππάξρεη ε θιίκαθα ηνπ βερληέροσ. Ζ θύξηα θιίκαθα είλαη ππνδηαηξεκέλε ζε mm. ην άθξν ηνπ ζηαζεξνύ κέξνπο «Α» ππάξρνπλ δπν αληηδηακεηξηθά «ξάκθε» «Γ» θαη «Γ», ελώ ζην άθξν ηνπ θηλεηνύ κέξνπο «Β» ππάξρνπλ δπν αληίζηνηρα αληηδηακεηξηθά «ξάκθε» «Γ» θαη «Γ». Γηα λα κεηξήζνπκε εζσηεξηθέο δηαζηάζεηο ρξεζηκνπνηνύκε ηα ξάκθε «Γ» θαη «Γ», ελώ γηα ηε κέηξεζε εμσηεξηθώλ δηαζηάζεσλ ρξεζηκνπνηνύκε ηα ξάκθε «Γ» θαη «Γ».. Σέινο, ην θηλεηό κέξνο «Β» θέξεη επάλσ ηνπ, εθηόο από ηελ θιίκαθα ηνπ βεξληέξνπ «Δ», θαη ηε ξάβδν «Ε» γηα κεηξήζεηο βάζνπο. Σξόπνο ρξήζεο ηνπ δηαζηεκόκεηξνπ πνπ θέξεη βεξληέξν : ρήκα 6. Μέηξεζε κήθνπο κε βεξληέξν αθξίβεηαο mm (απνηέιεζκα: 6.45 mm) Δηο.11

18 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ Έζησ όηη ζέινπκε λα κεηξήζνπκε ην κήθνο ελόο δνθηκίνπ. Σνπνζεηνύκε ην δνθίκην αλάκεζα ζηα ξάκθε ώζηε λα ππάξρεη απόιπηε επαθή κε απηό θαη δηαβάδνπκε ηελ ραξαγή (έλδεημε) ηεο θύξηαο θιίκαθαο πνπ βξίζθεηαη αξηζηεξά ηνπ κεδελόο ηνπ βεξληέξνπ. Απηό είλαη ην ακέπαιο κέξνο ηνπ απνηειέζκαηνο ηεο κέηξεζεο ηε ζπλέρεηα παξαηεξνύκε πνηα γξακκή ηεο θιίκαθαο ηνπ βεξληέξνπ ζπκπίπηεη κε θάπνηα γξακκή ηεο θύξηαο θιίκαθαο (δείρλεη ζα λα είλαη πξνέθηαζή ηεο) θαη απηόο ν αξηζκόο ηεο ραξαγήο ηεο θιίκαθαο ηνπ βεξληέξνπ δίλεη ην δεκαδικό κέξνο ηνπ απνηειέζκαηνο ηεο κέηξεζεο. Γειαδή αλ γηα παξάδεηγκα, (ρήκα 6.) ε γξακκή ηεο θύξηαο θιίκαθαο αξηζηεξά από ην κεδέλ ηνπ βεξληέξνπ αληηζηνηρεί ζηα 6 mm,θαη ε 4.5 ραξαγή ηνπ βεξληέξνπ ζπκπίπηεη κε κηα γξακκή ηεο θύξηαο θιίκαθαο, ηόηε ην δεηνύκελν κήθνο είλαη L = 6.45 mm. Σν δεθαδηθό ινηπόλ κέξνο ηνπ απνηειέζκαηνο καο ην δείρλεη ν αξηζκόο ηεο ραξαγήο ζηελ θιίκαθα ηνπ βεξληέξνπ θαη ε ηηκή απηή πξνζηίζεηαη ζηελ ηηκή ηεο θύξηαο θιίκαθαο, πνπ βξίζθεηαη αθξηβώο πξηλ ην κεδέλ ηνπ βεξληέξνπ. Έηζη πξνθύπηεη ε αθξηβήο ηειηθή ηηκή γηα ην κήθνο πνπ ζέινπκε λα κεηξήζνπκε. ε πεξίπησζε πνπ θακία ραξαγή ηεο θιίκαθαο ηνπ βεξληέξνπ δελ ζπκπίπηεη κε θάπνηα ραξαγή ηεο θύξηαο θιίκαθαο, ηόηε θαη εθηίκεζε θνηηάκε πηα ραξαγή ηεο θιίκαθαο ηνπ βεξληέξνπ είλαη πην θνληά ζε κία ραξαγή ηεο θύξηαο θιίκαθαο θαη ε έλδεημε απηήο ηεο ραξαγήο ζηελ θιίκαθα ηνπ βεξληέξνπ καο δείρλεη ην δεθαδηθό κέξνο ηνπ απνηειέζκαηνο καο. Σόηε έρνπκε απνηέιεζκα αλάγλσζεο θαη εθηίκεζε κε αθξίβεηα όζε ε αθξίβεηα κέηξεζεο ηνπ βεξληέξνπ, (0.05 mm ζην παξαπάλσ παξάδεηγκα). Γηα λα απνθύγεηε θαηά ην δπλαηό ηα ζπζηεκαηηθά ζθάικαηα, ζα πξέπεη λα ειέγμεηε αλ ζην κηθξόκεηξό ζαο ην κεδέλ ηεο θιίκαθαο ηνπ βεξληέξνπ θαη ην κεδέλ ηεο θύξηαο θιίκαθαο ζπκπίπηνπλ όηαλ νη ζηαγόλεο είλαη θιεηζηέο. Αλ απηό δε ζπκβαίλεη, ηόηε ην όπγανο παροσζηάδεη κεηάζεζε ηοσ κεδελός. Γ. ΜΗΚΡΟΜΔΣΡΟ Υξεζηκόηεηα ηνπ νξγάλνπ : Σν κηθξόκεηξν ρξεζηκνπνηείηαη όηαλ ζέινπκε λα κεηξήζνπκε κηθξά κήθε κε κεγαιύηεξε αθξίβεηα από απηήλ πνπ καο δίλεη ην δηαζηεκόκεηξν κε βεξληέξν γηαηί καο δίλεη ηε δπλαηόηεηα λα κεηξήζνπκε κήθε κέρξη 5 mm, κε αθξίβεηα πεξίπνπ ίζε κε έλα εθαηνζηό ηνπ ρηιηνζηνκέηξνπ, δειαδή ίζε κε 10 κηθξόκεηξα (0.01 mm = 10 κ). Λεηηνπξγία ηνπ κηθξνκέηξνπ : ην ρήκα 7, θαίλεηαη ε αξρή ιεηηνπξγίαο ηνπ κηθξόκεηξνπ πνπ ζηεξίδεηαη ζην γεγνλόο όηη ν θνριίαο θηλείηαη πάληα ζε ζρέζε κε ην πεξηθόριην. ηα όξγαλα πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη ζην εξγαζηήξην, κηα πιήξεο ζηξνθή ηνπ ηύκπαλνπ πξνθαιεί αμνληθή κεηαθνξά ηνπ θνριία ίζε κε 0.5 mm. ρήκα 7. Αξρή ιεηηνπξγίαο ηνπ κηθξόκεηξνπ Δηο.1

19 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ ρήκα 8. Μηθξόκεηξν Πεξηγξαθή ηνπ κηθξνκέηξνπ: Σν κηθξόκεηξν ηνπ ζρήκαηνο 8 απνηειείηαη από : Έλαλ πεηαινεηδή ζθειεηό Α πνπ ζην έλα άθξν ηνπ ππάξρεη έλαο ζηαζεξόο επαυέαρ (πέικα) "Γ" θαη ην άιιν ηνπ άθξν θαηαιήγεη ζην ζηαζεξό πεξηθόριην πνπ βξίζθεηαη ζην εζσηεξηθό ηνπ θνίινπ θπιίλδξνπ "Β". Μηα θπιηλδξηθή ξάβδν πνπ ζην έλα άθξν ηεο είλαη πξνζαξηεκέλν ζηνλ θνριία θαη ην άιιν θαηαιήγεη ζηνλ επαυέα "Δ" θαη Από έλα βαζκνλνκεκέλν ηύκπαλν "Ζ". Σα ζπεηξώκαηα ηνπ θνριία θαη ηνπ πεξηθνριίνπ θαηαζθεπάδνληαη κε ιείαλζε αθξηβείαο, ώζηε λα δηαζθαιίδεηαη ε απξόζθνπηε θίλεζε ηνπ επαυέα "Δ". Γηα λα δηαηεξήζνπκε κηα κέηξεζε, ρξεζηκνπνηνύκε ην πεξηθόριην αζθαιείαο "Θ". Όηαλ πεξηζηξέςνπκε ηνλ θνριία, πεξηζηξέθεηαη αληίζηνηρα θαη ην ηύκπαλν "Ζ" θαη έηζη απμάλεηαη ή κεηώλεηαη ε απόζηαζε ΓΔ (δειαδή ην κεηξνύκελν κήθνο) αλάκεζα ζην ζηαζεξό επαυέα "Γ" θαη ζηνλ επαυέα "Δ". ην άθξν ηνπ ηύκπαλνπ ππάξρεη έλαο κεραληζκόο "I" πνπ ειέγρεη ηελ αζθνύκελε πίεζε ζηηο επηθάλεηεο ησλ ζσκάησλ πνπ κεηξνύκε ηηο δηαζηάζεηο ηνπο θαη ζηηο επηθάλεηεο ησλ δπν επαθέσλ. Ο κεραληζκόο απηόο απνηειείηαη από ειαηήξην θαη ζπκπιέθηε ηξηβήο ή θαζηάληα θαη ειαηήξην θαη ρξεζηκεύεη γηα ηελ πξνζηαζία ηνπ νξγάλνπ από ηπρόλ παξακνξθώζεηο πνπ ζα κπνξνύζαλ λα πξνθιεζνύλ από άζθεζε ππεξβνιηθήο πίεζεο από θάπνηνλ ρξήζηε. Έηζη ε πίεζε είλαη πιένλ αλεμάξηεηε από ην ρξήζηε θαη ηαπηόρξνλα πεξηνξίδνληαη ηα ζθάικαηα κέηξεζεο. Δηο.13

20 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ ρήκα 9. Μεηξηθό κηθξόκεηξν κε 50 ππνδηαηξέζεηο θάιπθα, (αθξίβεηαο 0.01 mm) ην ρήκα 9, θαίλεηαη ν ηξόπνο βαζκνλόκεζεο ελόο κηθξνκέηξνπ. Ζ ηειηθή έλδεημε είλαη ε έλδεημε ηεο θύξηαο θιίκαθαο, πνπ ππάξρεη ζην αθίλεην κέξνο ηνπ νξγάλνπ, πνπ είλαη ην βαζκνλνκεκέλν κέξνο ηνπ θνίινπ θπιίλδξνπ "Β" ζςν ε έλδεημε ηεο θιίκαθαο ηνπ ηύκπαλνπ "Ζ". Ζ θύξηα θιίκαθα ζα καο δώζεη κεηξήζεηο κε αθέξαηα ρηιηνζηά ζηελ επάλσ πιεπξά ηεο θαη κε κηζά ρηιηνζηά ζηελ θάησ πιεπξά ηεο θαη ε έλδεημε ζηελ θιίκαθα ηνπ ηύκπαλνπ ζα καο δώζεη ηα εθαηνζηά ηνπ ρηιηνζηνύ (ε πεξηθέξεηα ηνπ ηύκπαλνπ είλαη ππνδηαηξεκέλε ζε 50 ίζα κέξε). Αλ ην ηύκπαλν θάλεη κηα πιήξε ζηξνθή, ηόηε ν επαυέαρ "Δ" κεηαθηλείηαη θαηά απόζηαζε ίζε κε ην βήκα ηνπ θνριία ηνπ ηύκπαλνπ, δειαδή θαηά 0.50 mm. Γειαδή αλ ην ηύκπαλν πεξηζηξαθεί θαηά κηα γξακκή ηεο ππνδηαίξεζήο ηνπ, ν θνριίαο ζα κεηαηνπηζζεί θαηά 0.01 mm, πνπ είλαη θαη ε κηθξόηεξε απόζηαζε, πνπ κπνξεί λα κεηξεζεί κε ην κηθξόκεηξν. Παξάδεηγκα κέηξεζεο κήθνπο κε ηε ρξήζε ηνπ κηθξνκέηξνπ : ην ρήκα 9, ην κεηξνύκελν κήθνο είλαη: 5 mm (επάλσ ηκήκα ηεο θύξηαο θιίκαθαο) mm(θάησ ηκήκα ηεο θύξηαο θιίκαθαο) + 9X 0.01 mm (ε έλαηε γξακκή ηεο θιίκαθαο ηνπ ηύκπαλνπ ζπκπίπηεη κε ηε βνεζεηηθή γξακκή αλαθνξάο "Κ" ηεο θύξηαο θιίκαθαο). Άξα ην ζπλνιηθό κεηξνύκελν κήθνο είλαη : L= 5.00 mm mm mm = 5.59 mm Οδεγίεο ρξήζεο ηνπ κηθξόκεηξνπ : Σνπνζεηνύκε ην αληηθείκελν πνπ πξόθεηηαη λα κεηξήζνπκε κεηαμύ ησλ επαθέσλ "Γ"θαη "Δ", ρσξίο λα ην ζθίμνπκε δπλαηά (γηαπηό ρξεζηκνπνηνύκε ην κεραληζκό "I", πνπ ήδε έρνπκε πεξηγξάςεη παξαπάλσ). Πξνζέρνπκε ώζηε ην αληηθείκελν λα εθάπηεηαη ζηνπο δπν επαθείο θαη λα είλαη κελ είλαη ηνπνζεηεκέλν ζηηο άθξεο. Οη κεηξήζεηο καο πξέπεη λα δηαβάδνληαη κεησπηθά σο πξνο ηηο θιίκαθεο θαη όρη πιάγηα, ώζηε λα πεξηνξηζηεί ην ζθάικα θαηά ηελ παξαηήξεζε. εκείσζε: όηαλ δελ ζπκπίπηεη θακηά γξακκή ηνπ θάιπθα κε θάπνηα γξακκή ηεο θύξηαο θιίκαθαο, ζεσξνύκε ηε ζέζε ηεο ραξαγήο ηεο θιίκαθαο ηνπ ηύκπαλνπ πνπ βξίζθεηαη πιεζηέζηεξα ζηελ νξηδόληηα γξακκή ηεο θπξίαο θιίκαθαο. Δηο.14

21 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ ΓΡΑΦΙΚΕ ΠΑΡΑΣΑΕΙ πλήζσο ηα απνηειέζκαηα ελόο πεηξάκαηνο παξνπζηάδνληαη ζε κηα γξαθηθή παξάζηαζε. Ζ γξαθηθή παξάζηαζε καο δίλεη ηε δπλαηόηεηα λα δηεξεπλήζνπκε ηελ εμάξηεζε κεηαμύ ησλ πνζνηήησλ (κεηαβιεηώλ). Αλ ζε έλα πείξακα έρνπκε δπν κεηαβιεηέο x θαη y, πνπ ε κηα εμαξηάηαη από ηελ άιιε (αλεμάξηεηε κεηαβιεηή x θαη εμαξηεκέλε κεηαβιεηή y), ηόηε κπνξνύκε λα ηηο ζπλδέζνπκε κεηαμύ ηνπο κε κηα ζπλάξηεζε y = f(x). Τπνζέηνπκε γηα ιόγνπο απινύζηεπζεο όηη ε εμαξηεκέλε κεηαβιεηή y ππόθεηηαη ζε ζθάικαηα, θαη αγλννύκε ηα ζθάικαηα ζηελ αλεμάξηεηε κεηαβιεηή x. Όπνπ είλαη δπλαηόλ, ρξεζηκνπνηνύκε γξαθηθή παξάζηαζε πνπ απνδίδεη κηα γξακκηθή ζπκπεξηθνξά (επζεία γξακκή), ηεο κνξθήο y = α + b x. Απηή είλαη πην αθξηβήο ζην ζρεδηαζκό θαη ηα ζπκπεξάζκαηα είλαη πην αμηόπηζηα από όηη ζε κηα γξαθηθή παξάζηαζε πνπ είλαη θακπύιε. Οη ζηαζεξέο α θαη b πξέπεη λα είλαη θαιά επηιεγκέλεο, ώζηε λα έρνπκε ηηο θαιύηεξεο πξνζεγγίζεηο. Γηα λα κειεηήζνπκε κηα ζπλάξηεζε κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ θιίζε «b» ηεο θακπύιεο πνπ αληηζηνηρεί ζηε ζπλάξηεζε ζε θάπνην ζεκείν x. Ζ θιίζε «b» ζε έλα ζεκείν x νξίδεηαη σο ε ηηκή ηεο παξαγώγνπ ηεο ζπλάξηεζεο, πνπ αληηπξνζσπεύεη ε θακπύιε, ζην ζεκείν x, δειαδή : b dy dx lim x0 y x x yx x Ζ θιίζε ηεο επζείαο ΑΒ ζην ρήκα 10, αληηπξνζσπεύεηαη από ην θιάζκα : y x x yx x. ρήκα 10. Κιίζε θακπύιεο. Όηαλ Δx 0, ε εθαπηνκέλε (Δ) ηεο θακπύιεο ζην ζεκείν x ηζνύηαη κε ηελ θιίζε «b» ηεο θακπύιεο ζε απηό ην ζεκείν. Πξέπεη λα έρνπκε ππόςε όηη ε θιίζε δελ ηαπηίδεηαη γεληθά κε ηελ εθαπηόκελε ηεο γσλίαο (tanυ). Καη απηό, δηόηη ε εθαπηόκελε κηαο γσλίαο υ είλαη αδηάζηαην κέγεζνο, θαζαξόο αξηζκόο, ελώ ε θιίζε επζείαο έρεη κνλάδεο. Ζ κόλε πεξίπησζε, πνπ ε tanυ ζπκπίπηεη κε ηελ αξηζκεηηθή ηηκή ηεο θιίζεο επζείαο, είλαη όηαλ έρνπκε ηζνδηάζηαηεο κνλάδεο ζηνπο δπν νξζνγώληνπο άμνλεο. Δηο.15

22 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ ΜΕΘΟΔΟ ΣΧΝ ΕΛΑΥΙΣΧΝ ΣΕΣΡΑΓΧΝΧΝ (LEAST SQUARES FIT) Γηα λα ηηο πξνζδηνξίζνπκε όζν ην δπλαηό πην αμηόπηζηα θαη γηα λα πεξηνξίζνπκε ηελ επίδξαζε ησλ ζθαικάησλ, ρξεζηκνπνηνύκε ηε κέζνδν ησλ Διαρίζησλ Σεηξαγώλσλ. Ζ κέζνδνο ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ, είλαη ε αιγεβξηθή κέζνδνο, πνπ ειαρηζηνπνηεί ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ θαηαθόξπθσλ απνθιίζεσλ ησλ ζεκείσλ από ηελ επζεία. Γειαδή ειαρηζηνπνηεί ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ απνθιίζεσλ : Δy i =Σ( y i - α - bx I ) ρήκα 11. Μέζνδνο Διαρίζησλ Σεηξαγώλσλ. Ζ εμίζσζε, y = b x + α πεξηέρεη ηηο ζηαζεξέο α θαη b, πνπ πξέπεη λα ηθαλνπνηνύλ όζν ην δπλαηό θαιύηεξα όιεο ηηο εμηζώζεηο κεηαμύ ησλ δεπγώλ ησλ ηηκώλ. Αλ πξαγκαηνπνηήζνπκε Ν κεηξήζεηο γηα ηηο κεηαβιεηέο x θαη y, θαη θάζε ηηκή y i ηεο πνζόηεηαο y αληηζηνηρίδεηαη ζηελ πνζόηεηα x i (όπνπ ην i είλαη έλαο δείθηεο, πνπ παίξλεη ηηκέο από 1 έσο Ν),ηόηε ζην ηέινο ηνπ πεηξάκαηνο έρνπκε ηα δεύγε ησλ κεηξήζεσλ (x i, y i ) θαη έρνπκε Ν εμηζώζεηο ηεο κνξθήο : y i = bx i + α όπνπ i = 1,,...Ν. (13) Με πξόζζεζε όισλ ησλ εμηζώζεσλ (13), έρνπκε : N N yi Na b xi (14) i1 i1 Πνιιαπιαζηάδνπκε ηελ (13) επί x i x i y i = b x i + α x i (15) Πξνζζέηνπκε όιεο ηηο (15) θαη έρνπκε : Δηο.16

23 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ N i1 x i y i a N i1 x i b N i1 x i (16) Οη εμηζώζεηο (14) θαη (16) ιέγνληαη κανονικέρ εξισώσειρ τηρ εςθείαρ ελασίστων τετπαγώνων. Αλ επηιύζνπκε ην ζύζηεκα σο πξνο α θαη b, παίξλνπκε. x i yi xi x i y i (17) όπνπ α ε ηεηαγκέλε επί ηελ αξρή (ε ηεηαγκέλε, ηνπ ζεκείνπ ηνκήο ηεο επζείαο κε ηνλ άμνλα y) x N xi yi y i i b (18) θαη b ε θιίζε ηεο επζείαο i N x i x (19) Σα ζθάικαηα ζ α θαη ζ b ζηηο ηηκέο ησλ α θαη b αληίζηνηρα δίλνληαη από ηηο αθόινπζεο ζρέζεηο: 1 N y i bx s i s x s x i i (0) b Ns b Ns (1) ΚΑΣΑΚΕΤΗ ΣΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΑΗ Αθνύ έρνπκε βξεη ηηο ηηκέο ησλ ζηαζεξώλ α θαη b γλσξίδνπκε πνηα είλαη αθξηβώο ε εμίζσζε y = b x + α πνπ ζπλδέεη ηηο δύν κεηαβιεηέο. Γειαδή γηα παξάδεηγκα αλ έρνπκε βξεη όηη α=0.40 θαη b=.50 ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ ζέινπκε λα ζρεδηάζνπκε είλαη ε y=.50x Από ηελ παξαπάλσ εμίζσζε βξίζθνπκε δύν ζεκεία ηεο επζείαο ηα νπνία αξθνύλ γηα λα ηελ ζρεδηάζνπκε. Δηο.17

24 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ Γειαδή γηα δύν ηπραίεο ηηκέο ηνπ x από ηελ παξαπάλσ εμίζσζε βξίζθνπκε ηηο αληίζηνηρεο ηηκέο ηνπ y. πλήζσο ρξεζηκνπνηνύκε ηηο ηηκέο x=0 θαη y=0, νπόηε βξίζθνπκε ηα ζεκεία κε ζπληεηαγκέλεο (0,y) θαη (x,0). π.σ. για ηην εξίζυζη ηος παπαπάνυ παπαδείγμαηορ έσοςμε: για x=0 ηόηε y =0.40 και για y=0 ηόηε x= - 0.4/.5 = Άπα γνυπίζοςμε ηα ζημεία ηηρ εςθείαρ με ζςνηεηαγμένερ (0, 0.4) και (-0.16, 0). Βξίζθνπκε ηα δύν απηά ζεκεία πάλσ ζηε γξαθηθή θαη γλσξίδνληαο όηη ε επζεία πεξλάεη από απηά ηα δύν ζεκεία ηελ ζρεδηάδνπκε. ηε ζπλέρεηα, ηοποθεηούμε ηα πειπαμαηικά ζημεία [όια ηα δεύγε (x ι, y i )] από ηηο κεηξήζεηο καο πάλσ ζηε γξαθηθή. Απηά ζα πξέπεη λα είλαη δηαζπαξκέλα πάλσ θαη γύξσ από ηελ δηεύζπλζε ηεο επζείαο, όπσο θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα. ρήκα κε ζσζηό ππνινγηζκό ηεο επζείαο. ρήκα κε ιάζνο ππνινγηζκό ηεο επζείαο. ε πεξίπησζε πνπ δελ ζπκβαίλεη απηό θαη ηα πεηξακαηηθά ζεκεία είλαη δηαζπαξκέλα ζε δηαθνξεηηθή δηεύζπλζε από απηή ηεο επζείαο (όπσο θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα) ηόηε έρνπκε θάλεη ιάζνο ζηνλ ππνινγηζκό ησλ α θαη b θαη ζα πξέπεη λα ειέγμνπκε μαλά ηνπο ππνινγηζκνύο καο. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΠΟΛΟΓΙΜΧΝ ΣΗ ΜΕΘΟΔΟ ΣΧΝ ΕΛΑΥ. ΣΕΣΡΑΓΧΝΧΝ Αο ζεσξήζνπκε ηνλ Πίλαθα Α, πνπ πεξηέρεη ηα πεηξακαηηθά δεδνκέλα κέηξεζεο, ηεο κεηαβνιήο ηεο δύλακεο F πνπ εθαξκόδεηαη ζην ειαηήξην ζαλ ζπλάξηεζε ηεο κεηαηόπηζεο Γx ηνπ ειαηεξίνπ. Γηα ηελ επθνιόηεξε εθαξκνγή ηεο κεζόδνπ ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ, θαηαζθεπάδνπκε ηνλ παξαθάησ πίλαθα: ΠΗΝΑΚΑ Α α/α Μεηαηόπηζε Γύλακε x i x i.y i Γx i x i (cm) F i y i (N) Δηο.18

25 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ x i = 5 y i = 01 x i = 165 x i.y i =133 i N x i x = =00 x i yi xi xi yi N xi yi x y i i Γηα ηνλ πξνζδηνξηζκό ησλ ζθαικάησλ ζ α θαη ζ b θαηαζθεπάδνπκε ηνλ επόκελν πίλαθα: ΠΗΝΑΚΑ Β α/α Μεηαηόπιζη Δύναμη α+bx i Δy i =y i -(α+bx i ) Δy i (cm) Δx i x i (Ν) F i y i Σx i = 5 Σy i = s yi bxi N 3 s x i = , ζ α = ± ~ ± 1.36 Ns b , ζ b = ± ~± 0.4 α ± ζ α = (0.4 ± 1.4) Ν b ± ζ b =(7.95± 0.4) Ν/cm ην παξαθάησ δηάγξακκα γξάθνληαη ηα δεδνκέλα έηζη, ώζηε λα θαίλεηαη ε ζρέζε κεηαμύ ηεο δύλακεο θαη ηεο κεηαηόπηζεο. Ζ κεηαηόπηζε Δx είλαη αλεμάξηεηε κεηαβιεηή θαη ε δύλακε F είλαη εμαξηεκέλε από ηε κεηαηόπηζε. Έηζη, ε δύλακε F i ζρεδηάδεηαη θαηά κήθνο ηνπ άμνλα y θαη ε κεηαηόπηζε Δx i ζηνλ άμνλα x. Δηο.19

26 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ ΖΜΑΝΣΗΚΖ ΖΜΔΗΩΖ Πνιιέο θνξέο ε ζρέζε κεηαμύ δύν κεγεζώλ (κεηαβιεηώλ) δελ είλαη γξακκηθή. ε απηή ηελ πεξίπησζε κπνξνύκε λα πάξνπκε ηε γξαθηθή παξάζηαζε πνπ απνδίδεη κηα γξακκηθή ζπκπεξηθνξά (επζεία γξακκή), αλ πάξνπκε ζηνπο άμνλεο δπλάκεηο ηεο κηαο ή ηεο άιιεο (ή θαη ησλ δύν) κεγεζώλ. Παξάδεηγκα: ηε πεξίπησζε ηνπ απινύ εθθξεκνύο, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ρξόλνπ t ζπλαξηήζεη ηνπ κήθνπο l είλαη παξαβνιή. Όκσο ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ρξόλνπ t ζπλαξηήζεη ηνπ κήθνπο l είλαη επζεία γξακκή. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΣΑ ΥΕΗ ΔΤΝΑΜΗ ε νξηζκέλεο πεξηπηώζεηο δύν κεηαβιεηέο x θαη y ζπλδένληαη κε κηα ζρέζε ηεο κνξθήο : y = A x b όπνπ y είλαη ε εμαξηεκέλε θαη x είλαη ε αλεμάξηεηε κεηαβιεηή ελώ Α είλαη κηα ζηαζεξά θαη b είλαη έλαο εθζέηεο. Λνγαξηζκίδνληαο ηε παξαπάλσ ζρέζε έρνπκε: lny = lna + blnx Σώξα αλ ζέζνπκε lny = y, lna = a θαη lnx = x ηόηε ε ζρέζε απηή γξάθεηαη y = a + b x Όπσο κπνξνύκε εύθνια λα θαηαιάβνπκε ε παξαπάλσ ζρέζε είλαη γξακκηθή. Μπνξνύκε λα παξαζηήζνπκε γξαθηθά ην y = lny ζε ζπλάξηεζε κε ην x = lnx ζε δεθαδηθό ζύζηεκα αμόλσλ ( κηιηκεηξέ ραξηί), ή ην lny ζε ζπλάξηεζε κε ην lnx ζε ινγαξηζκηθνύο άμνλεο (ινγαξηζκηθό ραξηί) αιιά ζηε πεξίπησζε απηή ζα πξέπεη λα Δηο.0

27 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ πξνζέμνπκε όηη ζην ινγαξηζκηθό ραξηί ηνπνζεηνύκε ζηνπο άμνλεο απεπζείαο ηηο ηηκέο ησλ κεγεζώλ x, y θαη όρη ησλ lnx θαη lny. Ο εθζέηεο b είλαη ε θιίζε ηεο επζείαο ζην ινγαξηζκηθό ραξηί θαη ππνινγίδεηαη από ηε ζρέζε: ln y b ln x ln y ln x 1 1 Παξάδεηγκα: ε κηα αδηαβαηηθή κεηαβνιή κηαο ζπγθεθξηκέλεο πνζόηεηαο αεξίνπ ηζρύεη: PV c () όπνπ c κηα ζηαζεξά, P ε πίεζε θαη V ν όγθνο ηνπ αεξίνπ. Δπίζεο ηζρύεη όηη, γ=c p /C v όπνπ C p είλαη ν εηδηθή ζεξκόηεηα ππό ζηαζεξή πίεζε θαη C v είλαη ε εηδηθή ζεξκόηεηα ππό ζηαζεξό όγθν ηνπ αεξίνπ. Έζησ ζε έλα πείξακα θαηά ην νπνίν ζέινπκε λα ππνινγίζνπκε ην ιόγν γ γηα ην αέξην He, θαηά ηελ αδηαβαηηθή ζπκπίεζε 1 mole αξαηνύ He κεηξήζακε ηελ πίεζε P ζε ζπλάξηεζε κε ηνλ όγθν V ηνπ αεξίνπ. Σα δεύγε ηηκώλ (V,P) πνπ πήξακε θαίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα. V(x10 - m 3 ) P(x10 5 N/m ) lnv lnp Λνγαξηζκίδνληαο ηελ (), ε ζρέζε πνπ ζπλδέεη ηνλ όγθν κε ηελ πίεζε γίλεηαη: lnp= - γlnv + lnc ηε ζπλέρεηα παξαζέηνπκε ηξεηο ηξόπνπο παξάζηαζεο ηεο ίδηαο νηθνγέλεηαο κεηξήζεσλ. ε έλα δεθαδηθό δηάγξακκα, ε ζρέζε αλάκεζα ζηελ πίεζε P θαη ζηνλ όγθν V δελ είλαη γξακκηθή θαη ε εμάξηεζή ηνπο γξαθηθά θαίλεηαη ζην παξαθάησ δηάγξακκα: Δηο.1

28 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ ε έλα δεθαδηθό δηάγξακκα, ε ζρέζε αλάκεζα ζηνλ lnp θαη ζηνλ lnv είλαη γξακκηθή θαη ε εμάξηεζή ηνπο γξαθηθά θαίλεηαη ζην παξαθάησ δηάγξακκα: Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο θιίζεο b ηεο επζείαο ζην δηπιαλό δεθαδηθό δηάγξακκα, επηιέγνπκε ηα ζεκεία: x 1 = lnv 1 = -4.5 y 1 = lnp 1 = 1.8 θαη x = lnv = -3.5 Δηο.

29 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ y = lnp = 11.1 Οπόηε ε θιίζε είλαη: b = y x y1 x 1 = ( 3.5) ( 4.5) = -1.6 δειαδή γ = 1.6 ε έλα ινγαξηζκηθό δηάγξακκα, ε ζρέζε αλάκεζα ζηελ πίεζε P θαη ζηνλ όγθν V είλαη γξακκηθή θαη ε εμάξηεζή ηνπο γξαθηθά θαίλεηαη ζην παξαθάησ δηάγξακκα: ην ινγαξηζκηθό δηάγξακκα, από ηα ζεκεία: V 1 = 0.9 x 10 - m 3 P 1 =5.0 x 10 5 N/m θαη V =3.7 x 10 - m 3, P =0.5 x 10 5 N/m ππνινγίδσ ηελ θιίζε b: b= ln P lnv ln P1 lnv 1 = δειαδή γ=1.60 Δηο.3

30 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Γεληθή εηζαγσγή γηα ηελ δηεμαγσγή εξγαζηεξηαθώλ πεηξακάησλ ΟΔΗΓΙΕ ΓΙΑ ΣΟΝ ΧΣΟ ΥΕΔΙΑΜΟ ΓΡΑΦΙΚΧΝ ΠΑΡΑΣΑΕΧΝ Ο ζρεδηαζκόο ησλ γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ ζα πξέπεη λα γίλεηαη ζε ραξηί ρηιηνζηνκεηξηθό (κηιιηκεηξέ), γηα λα δηεπθνιύλεηαη ε εύξεζε ησλ πεηξακαηηθώλ ζεκείσλ πάλσ ζην δηάγξακκα. ηνπο άμνλεο ζεκεηώλνπκε πάληα ηα θπζηθά κεγέζε κε ηα ζύκβνιά ηνπο θαη ηηο κνλάδεο κέηξεζήο ηνπο, κέζα ζε παξέλζεζε. Γηα παξάδεηγκα: δύλακε F(N), ρξόλνο t (sec). Οη πεηξακαηηθέο ηηκέο ησλ κεγεζώλ, καο θαζνξίδνπλ ηελ εθινγή ηεο κνλάδαο θιίκαθαο ζηνπο άμνλεο, έηζη ώζηε λα βξίζθνληαη εύθνια ηα δεθαδηθά θιάζκαηα ηεο κνλάδαο, π.ρ. δέθαηα, εθαηνζηά, ρηιηνζηά. Όιεο νη ηηκέο ησλ κεγεζώλ πξέπεη λα απεηθνλίδνληαη ζην δηάγξακκα. Γειαδή ε ειάρηζηε θαη ε κέγηζηε ηηκή θάζε άμνλα θαζνξίδεηαη από ηελ ειάρηζηε θαη ηε κέγηζηε πεηξακαηηθή ηηκή. Ζ επηινγή ηεο θιίκαθαο πξέπεη λα είλαη ηέηνηα, ώζηε ε γξαθηθή παξάζηαζε λα εθηείλεηαη ζε όζν ην δπλαηό κεγαιύηεξν κέξνο ηνπ ραξηηνύ. Οη άμνλεο x θαη y δελ είλαη αλαγθαίν λα έρνπλ ηελ ίδηα βαζκνλόκεζε. Γελ είλαη αλαγθαίν ην ζεκείν ηνκήο ησλ αμόλσλ λα είλαη ην (0,0). Σηο πεηξακαηηθέο ηηκέο δελ ηηο γξάθνπκε πάλσ ζηνπο άμνλεο. Απηέο απιά πξνζδηνξίδνληαη κε ηε βνήζεηα ησλ θιηκάθσλ ζηνπο αληίζηνηρνπο άμνλεο. Κάζε πεηξακαηηθό ζεκείν παξηζηάλεηαη κε κηα θνπθθίδα ώζηε λα θαίλεηαη θαζαξά πάλσ ζηε γξαθηθή παξάζηαζε. Δηο.4

31 Εξγαζηήξην Δνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 1 Σθάικαηα κεηξήζεσλ Α Κ Η Η 1 ΦΑΛΜΑΣΑ ΜΕΣΡΗΕΩΝ Απαπαίηηηερ γνώζειρ Δηαζηεκόκεηξν κε βεξληέξν, ηπραία ζθάικαηα άκεζσλ θαη έκκεζσλ κεηξήζεσλ. κοπόρ ηος πειπάμαηορ Η εθκάζεζε - πξαθηηθή ηεο ρξήζεο νξγάλσλ αθξηβείαο γηα ηελ κέηξεζε ηνπ κήθνπο θαη ε ρξήζε ζθαικάησλ ζηελ επεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ. Απαπαίηηηα όπγανα για ηη διεξαγωγή ηος πειπάμαηορ Σηεξεά ζώκαηα δηαθόξσλ ζρεκάησλ. Δηαζηεκόκεηξν κε βεξληέξν. Θεωπία (Η ζεσξία ηεο εηζαγσγήο ησλ Εξγαζηεξηαθώλ Σεκεηώζεσλ). Πίνακαρ 1.1 Όγκοι ζηεπεών ζωμάηων 1.1

32 Εξγαζηήξην Δνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 1 Σθάικαηα κεηξήζεσλ Οδηγίερ για ηην εκηέλεζη ηος πειπάμαηορ Σηνλ πάγθν εξγαζίαο ζαο ππάξρνπλ δηάθνξα ζηεξεά ζώκαηα. Γηα θάζε ζηεξεό ζώκα: 1. Μεηξήζηε κε ην παρύκεηξν (δηαζηεκόκεηξν κε βεξληέξν) ηηο απαξαίηεηεο δηαζηάζεηο πνπ ρξεηάδεζηε ώζηε λα κπνξείηε λα ππνινγίζεηε ηνλ όγθν ηνπ.. Κάληε έλα ζρήκα ηνπ ζηεξενύ θαη ζεκεηώζηε επάλσ ζε απηό (ρξεζηκνπνηώληαο κεηαβιεηέο x, y, z,...) ηηο δηαζηάζεηο πνπ κεηξάηε. 3. Μεηξήζηε ηελ θάζε δηάζηαζε από 3 θνξέο ην θάζε κέινο ηεο Οκάδαο. Επεηδή ην θάζε ζώκα δελ έρεη ηδαληθό ζρήκα, λα κεηξάηε ηελ θάζε δηάζηαζε ζε δηαθνξεηηθέο ζέζεηο θάζε θνξά. 4. Τα απνηειέζκαηα λα θαηαρσξεζνύλ ζε πίλαθεο ηεο κνξθήο: Δηαθξηηηθόηεηα βεξληέξνπ: + Δηαθξηηηθόηεηα παρύκεηξνπ: + Προζοτή: Τα δεκαδικά υηθία ηφν μεηρήζεφν να είναι ζσνεπή με ηην διακριηικόηηηα ηοσ οργάνοσ μέηρηζης. Σώμα:... 1 η μέτρηση η μέτρηση 3 η μέτρηση μέση τιμή x x = y y = z z = Επεξεπγαζία ηων μεηπήζεων Γηα θάζε ζηεξεό ζώκα: 1. Υπνινγίζηε ηελ μέση τιμή θάζε δηάζηαζεο θαη το τυπικό συάλμα της μέσης τιμής σ avg [από ηελ ζρέζε (6) ηεο εηζαγσγήο]. Σηνλ ππνινγηζκό ηνπ ηππηθνύ ζθάικαηνο ηεο κέζεο ηηκήο σ avg ηεο θάζε δηάζηαζεο, ζα ζαο βνεζήζεη έλαο πίλαθαο ηεο κνξθήο: x i (mm) x i (m) xi x (m) xi x (m) Σ xi x = Τα απνηειέζκαηα λα γξαθνύλ σο εμήο: 1.

33 Εξγαζηήξην Δνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 1 Σθάικαηα κεηξήζεσλ x 1 ± σ χ avg = ± (m) y ± σ y avg = ± (m) z ± σ z avg = ± (m). Με ηελ βνήζεηα ηνπ Πίλαθα 1.1 «Όγθνη ζηεξεώλ ζσκάησλ» γξάςηε ηελ καζεκαηηθή ζρέζε πνπ δίλεη ηνλ όγθν ηνπ ζηεξενύ ζώκαηνο. V Να ππνινγίζεηε ηελ μέση τιμή ηνπ όγθνπ (ζηηο δηαζηάζεηο ρξεζηκνπνηήζηε ηηο κέζεο ηηκέο πνπ ππνινγίζαηε) θαη ην πιθανό συάλμα [ζρέζε (9) ζηελ εηζαγσγή]. Γξάςηε ην απνηέιεζκα: V = ±... (κνλάδεο) (ηηκή) (ζθάικα) Σεκείσζε: Πξνζέρηε ώζηε λα εθαξκόζεηε όινπο ηνπο θαλόλεο κέηξεζεο θαη επεμεξγαζίαο, (δει. ζεκαληηθά ςεθία, δεθαδηθά ςεθία, ζηξνγγπινπνίεζε, θ.ι.π.) όπσο πεξηγξάθνληαη ζηελ εηζαγσγή ησλ Εξγαζηεξηαθώλ Σεκεηώζεσλ). Απαληήζηε ζηηο παξαθάησ (ππνρξεσηηθέο) εξσηήζεηο: 1. Αλ ε αθξίβεηα ηνπ κέηξνπ ζαο είλαη mm πνηεο από ηηο παξαθάησ κεηξήζεηο ζαο είλαη ζσζηέο: α) 8 mm β) 8.0 mm, γ) 8.00 mm, δ) 8.Μ mm όπνπ Μ είλαη ην ηειεπηαίν λνύκεξν από ηνλ αξηζκό ηνπ θνηηεηηθνύ ζαο κεηξώνπ.. Πνην είλαη ην ζθάικα ζ ρ ηνπ κήθνπο ρ=α-β, όπνπ ην ζθάικα ησλ κεθώλ α θαη β είλαη: ζ α =+(Μ+1)/10 mm, ζ β =+(Μ-)/10 mm), όπνπ Μ είλαη ην ηειεπηαίν λνύκεξν από ηνλ αξηζκό ηνπ θνηηεηηθνύ ζαο κεηξώνπ. 3. Πνην είλαη ην ζθάικα ζ ρ ηνπ κήθνπο ρ=α+β, όπνπ ε δηαθξηηηθόηεηα (resolution) ηνπ κέηξνπ ζαο είλαη +0.Μ mm, όπνπ Μ είλαη ην ηειεπηαίν λνύκεξν από ηνλ αξηζκό ηνπ θνηηεηηθνύ ζαο κεηξώνπ. 4. Να ππνινγίζεηε κε ηελ κέζνδν ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ ηελ θιίζε b ηεο επζείαο y=bx+α, πνπ ηθαλνπνηεί ηα δεύγε ηηκώλ (y,x: 0,0 4, 9,3 0,5) 5. Να ζρεδηάζεηε ζε ραξηί millimetre ηελ επζεία πνπ έρεη εμίζσζε y=bx+α, όπνπ b= ms - θαη α=1 m. Bάιηε κνλάδεο ζηνπο άμνλεο y θαη x. 1.3

34 Εξγαζηήξην Δνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 1 Σθάικαηα κεηξήζεσλ 1.4

35 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Α Σ Κ Η Σ Η A & B ΑΠΛΟ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΕΠΤΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ Σκοπός του Πειράματος Ο υπολογισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας g, χρησιμοποιώντας: α) ένα Απλό Εκκρεμές, β) ένα Αντιστρεπτό Εκκρεμές μεταβλητού κέντρου βάρους, Κ.Β. Α. Απλό Εκκρεμές Απαραίτητες γνώσεις Απλή αρμονική ταλάντωση, απλό εκκρεμές, επιτάχυνση της βαρύτητας. Απαραίτητα όργανα Απλό εκκρεμές Βάση στήριξης Μετροταινία 1.50 m, διακριτικότητας +1 mm Φωτοδιακόπτης Ηλεκτρονικό χρονόμετρο 4 Καλώδια ηλεκτρικών συνδέσεων Μέθοδος Η επιτάχυνση της βαρύτητας g υπολογίζεται μετρώντας την περίοδο της ταλάντωσης ενός απλού εκκρεμούς για γνωστά διαφορετικά μήκη ταλάντωσης l. Επειδή το τετράγωνο της περιόδου ταλάντωσης εξαρτάται ανάλογα από το μήκος ταλάντωσης l, ενώ το g δεν αλλάζει με αυτό, από την κλίση και το σφάλμα της κλίσης της γραφικής παράστασης της ευθείας l, υπολογίζεται έμμεσα επιτάχυνση της βαρύτητας g και το σφάλμα έμμεσης μέτρησης δ g. Περιγραφή των οργάνων Στο πείραμα αυτό χρησιμοποιείται το απλό εκκρεμές το οποίο αποτελείται από μια μικρή σφαίρα, εξαρτημένη με ένα θεωρητικά αβαρές μη εκτατό νήμα από κάποιο σταθερό σημείο. Θεωρούμε η μάζα της σφαίρας είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο βάρους της οπότε το εκκρεμές αυτό μπορεί να θεωρηθεί σαν εκκρεμές σημειακής μάζας. Ο φωτοδιακόπτης και το ηλεκτρονικό χρονόμετρο περιγράφονται στο Πείραμα 8. A-B.1

36 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους Θεωρία Η κίνηση ενός απλού εκκρεμούς, για μικρές γωνίες εκτροπής από τη θέση ισορροπίας, είναι ένα παράδειγμα απλής αρμονικής κίνησης. Σαν απλό εκκρεμές ορίζεται ένα ιδανικό σύστημα, που περιλαμβάνει μια σημειακή μάζα m η οποία είναι εξαρτημένη από ένα σημείο Ο με ένα μη εκτατό αβαρές νήμα μήκους l και αμελητέας μάζας (Σχήμα.1) Αν εκτρέψουμε το εκκρεμές από τη θέση ισορροπίας του, έτσι ώστε το νήμα να σχηματίζει γωνία θ ο με την κατακόρυφο και κατόπιν το αφήσουμε ελεύθερο, αυτό θα ταλαντωθεί σε κατακόρυφο επίπεδο. Η εξίσωση κίνησης της σημειακής μάζας θα μας προσδιορίσει τη φύση της ταλάντωσης. Η σημειακή μάζα κινείται πάνω σ' ένα τόξο ακτίνας l = ΟΑ. Οι δυνάμεις που ασκούνται σε αυτή είναι το βάρος της mg και η δύναμη Τ του νήματος. Η εφαπτομενική συνιστώσα της δύναμης του βάρους, F T, όπως φαίνεται και στο Σχήμα.1 είναι η δύναμη επαναφοράς που δρα πάνω στην μάζα m. Ισχύει: F T = - mgημθ [.1] Σχήμα.1 Οι δυνάμεις στη σφαίρα ενός απλού εκκρεμούς. (το πρόσημο μείον δηλώνει ότι αυτή είναι αντίθετης φοράς από την απομάκρυνση S = CA. Για την εφαπτομενική κίνηση θα ισχύει η εξίσωση: F T = mα Τ [.] όπου α Τ είναι η εφαπτομενική επιτάχυνση και ισούται με: a T l d dt [.3] A-B.

37 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους Από τις εξισώσεις [.1], [.] και [.3] προκύπτει: d g sin 0 dt l [.4] Για μικρή γωνία θ (δηλαδή μικρό μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης θ max =θ ο ) μπορούμε να θέσουμε όπου sinθ = θ, με τη θ εκφρασμένη σε ακτίνια, και η [.4] γίνεται: d dt g l 0 [.5] Η διαφορική εξίσωση [.5] δείχνει ότι η γωνιακή ταλάντωση ενός απλού εκκρεμούς είναι απλή αρμονική κίνηση με γωνιακή συχνότητα ω: [.6] g l Η λύση της εξίσωσης [.5] μας δίνει την γωνιακή μετατόπιση : θ = θ ο sin(ωt + α ) Όταν το πλάτος της ταλάντωσης είναι μικρό, sinθ~θ και η κίνηση του εκκρεμούς είναι προσεγγιστικά απλή αρμονική. Από την εξίσωση [.6] παίρνουμε την περίοδο του απλού εκκρεμούς: T o 1 f l g [.7] Στη περίπτωση που το πλάτος της ταλάντωσης δεν είναι μικρό ισχύει sinθ θ. Τότε ο τύπος που μας δίνει την περίοδο του απλού εκκρεμούς εξαρτάται από τη μέγιστη γωνιακή μετατόπιση θ ο, και υπολογίζεται από μια απειροσειρά, όπως φαίνεται από την παρακάτω σχέση: l 1 9 T g 4 64 o 4 o (1 sin sin...) [.8] Σχήμα. Καμπύλη απόκλισης της περιόδου ενός απλού εκκρεμούς συναρτήσει του μέγιστου πλάτους ταλάντωσης θ ο. A-B.3

38 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους Το διάγραμμα της καμπύλης απόκλισης της περιόδου ενός απλού εκκρεμούς συναρτήσει του πλάτους θ ο απεικονίζεται στο Σχήμα... Η περίοδος υπολογίζεται από την σχέση [.7] για πολύ μικρά πλάτη ταλάντωσης (θ ο <3 ο ). Σημείωση: μόνο για πολύ μεγάλα πλάτη η περίοδος διαφέρει από την Τ ο. Όταν θ ο < 3 ο η περίοδος διαφέρει από την Τ ο λιγότερο από 1%. Στο πείραμα αυτό, αν δεχτούμε ότι το νήμα εξάρτησης είναι αβαρές και η μάζα της σφαίρας είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο βάρους της, τότε για μικρές γωνίες εκτροπής (θ ο <5 ο ), η περίοδος του εκκρεμούς δίνεται από την σχέση [.7] από όπου προκύπτει ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας g/4π είναι η κλίση της ευθείας y=bx: l g T 4 τα l και T έχουν γραμμική σχέση της μορφής y bx, g όπου y l, b, x T 4 [.9] Όμως σε πραγματικές συνθήκες το νήμα έχει βάρος καθώς επίσης η ύπαρξη ενός κάποιου συστήματος εξάρτησης έχει σαν αποτέλεσμα να διαφέρει το κέντρο βάρους (Κ.Β.) της σφαίρας από το γεωμετρικό της κέντρο. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα το μήκος l να μην αντιστοιχεί στην απόσταση του σημείου στήριξης από το γεωμετρικό κέντρο της σφαίρας. Επομένως τόσο η θέση του Κ.Β. του εκκρεμούς, όσο και το μήκος l του ισοδύναμου του απλού εκκρεμούς είναι άγνωστα. Για να ξεπεράσουμε την δυσκολία στον προσδιορισμό του l ακολουθούμε την εξής τεχνική: Δένουμε κόμπο σε κάποιο σημείο Α του νήματος. Ονομάζουμε ψ την απόσταση του Α από το σημείο εξάρτησης και β την απόσταση του Α από το Κ.Β. της σφαίρας (Σχήμα.3). Σχήμα.3 Πειραματική διάταξη απλού εκκρεμούς, l =ψ+β. A-B.4

39 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους Ισχύει ότι : l =ψ + β [.10] Λόγω της [.10] η [.9] γίνεται: g T 4 [.11] g T 4 γραμμική σχέση μεταξύ T g y bx a, όπου y, b, 4 Η εξίσωση αυτή περιγράφει μια γραμμική σχέση ανάμεσα στο ψ και το Τ. Άρα η τιμή του g προσδιορίζεται πια από την κλίση b= g /4π, της ευθείας ψ = f (Τ ), που προκύπτει από μετρήσεις της περιόδου Τ για διάφορα μήκη ψ. Επίσης η απόσταση β του κόμπου από το Κ.Β. της σφαίρας προσδιορίζεται από την "τεταγμένη επί την αρχή" της ευθείας ψ = f (Τ ), (δηλ. το σημείο που η ευθεία τέμνει τον κάθετο άξονα). της μορφής Οδηγίες για την εκτέλεση του πειράματος 1. Κάνετε την συνδεσμολογία του φωτοδιακόπτη με το ηλεκτρονικό χρονόμετρο. Επειδή ο ίδιος φωτοδιακόπτης δίνει το σήμα έναρξης και παύσης μέτρησης του χρονόμετρου (βλέπε Σχήμα.4), η είσοδος start και η είσοδος stop του ηλεκτρονικού χρονόμετρου συνδέονται με διαφορετικά καλώδια πάνω στην μοναδική έξοδο ausgang του φωτοδιακόπτη. Η υποδοχή 5V του φωτοδιακόπτη συνδέεται με καλώδιο με την αντίστοιχη υποδοχή των 5V του χρονόμετρου. Τέλος η υποδοχή της γείωσης του φωτοδιακόπτη συνδέεται με καλώδιο με την αντίστοιχη υποδοχή γείωσης Σχήμα.4 Μέτρηση περιόδου Τ. του χρονόμετρου. Οδηγίες για την λειτουργία του χρονόμετρου και φωτοδιακόπτη που υπάρχουν στο Πείραμα 8.. Ρυθμίστε το μήκος ψ από τον κόμπο μέχρι το σημείο εξάρτησης του εκκρεμούς (βλέπε Σχήμα.3) ώστε ψ =15cm. Ρυθμίστε κατάλληλα τη θέση του φωτοδιακόπτη σε σχέση και την θέση ανάρτησης του νήματος του εκκρεμούς ώστε το νήμα να «κόβει» την υπέρυθρη φωτεινή δέσμη του φωτοδιακόπτη. Προσπαθήστε να ρυθμίσετε το φωτοδιακόπτη έτσι, ώστε η σφαίρα να είναι όσο το δυνατόν πιο συμμετρικά μέσα σ αυτόν. 3. Εκτρέψτε το απλό εκκρεμές κατά μία μικρή γωνία και μετρήστε με το ηλεκτρονικό χρονόμετρο τον χρόνο μιας περιόδου, Τ. Η περίοδος μετράται σαν το A-B.5

40 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους άθροισμα των ημιπεριόδων δεξιά και αριστερά της φωτεινής δέσμης του φωτοδιακόπτη. Στο σχήμα.4 η Τ 1 συμβολίζει την ημιπερίοδο αριστερά και Τ δεξιά, Τ=Τ αρ +Τ δ. Η διαδικασία είναι η εξής: Απομακρύνετε την σφαίρα κατά μικρή γωνία από την θέση ισορροπίας της και αφήστε την να εκτελέσει ταλαντώσεις. Κατά την διάρκεια των ταλαντώσεων μηδενίζετε το χρονόμετρο που είναι συνδεδεμένο με τον φωτοδιακόπτη πρώτα την στιγμή που η σφαίρα βρίσκεται από την πλευρά (Ι ) του φωτοδιακόπτη (βλέπε Σχήμα.4.). Μόλις το νήμα της σφαίρας περάσει από την θέση (Γ) ενεργοποιεί το χρονόμετρο που αρχίζει να μετρά τον χρόνο μέχρι να ξαναπεράσει το νήμα από την θέση (Γ). Έτσι το χρονόμετρο μετράει τον χρόνο Τ 1 που χρειάζεται η σφαίρα για να κάνει την διαδρομή (ΓΒΓ). Στην συνέχεια και κατά την διάρκεια των ίδιων ταλαντώσεων μηδενίζετε το χρονόμετρο την στιγμή που η σφαίρα βρίσκεται από την πλευρά (ΙΙ) του φωτοδιακόπτη. Τώρα το χρονόμετρο μετράει τον χρόνο Τ δ που χρειάζεται η σφαίρα για να κάνει την διαδρομή (ΓΑΓ). Η περίοδος Τ της ταλάντωσης είναι το άθροισμα των δύο χρόνων Τ αρ και Τ δ. (Δηλαδή Τ = Τ αρ + Τ δ ). Προσοχή: το χρονόμετρο το ρυθμίζετε να έχει διακριτική ικανότητα μέτρησης s. 4. Εκτελέστε τις οδηγίες (1) και () για 8-10 διαφορετικά μήκη ψ, μετρώντας τον χρόνο 3 φορές ο καθένας σας. Φροντίστε ώστε αυτά να διαφέρουν μεταξύ τους ~ 5 cm. 5. Καταχωρείστε τις μετρήσεις σας σε πίνακα της μορφής: Ψ (cm) Τ = Τ αρ +Τ δ (s) T=( Τ + Τ + Τ )/3 (s) T (s ) Ψ 1 = Τ αρ =. Τ δ =. Τ = Τ αρ +Τ δ = Τ αρ =. Τ δ =. Τ = Τ αρ +Τ δ = Τ αρ =. Τ δ =. Τ = Τ αρ +Τ δ = Τ 1= Τ 1 = =... Ψ =. Επεξεργασία των μετρήσεων 1. Κάνετε την γραφική παράσταση της ψ = f(τ ) με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Η σχέση των ψ και T είναι γραμμική και η καμπύλη σας θα έχει την μορφή ευθείας, y=α+bx. Τις τιμές των α και b τις υπολογίζεται από τις σχέσεις (17) και (18) της εισαγωγής, καθώς και τα σφάλματα αυτών σ a και σ b από τις σχέσεις (0) και (1) της εισαγωγής στις σελίδες Εις.16-Εις.17 των Εργαστηριακών Σημειώσεων. Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί σε χαρτί μιλλιμετρέ με τον τρόπο που περιγράφεται στις σελίδες Εις.17 και Εις.18. Από την κλίση της ευθείας της σχέσης [.11] να υπολογίσετε την επιτάχυνση της βαρύτητας g. Επίσης από τον σταθερό όρο της σχέσης [.11] υπολογίσετε την απόσταση του κόμπου του νήματος του εκκρεμούς από το Κ.Β. της σφαίρας του πειράματος και σημειώστε το πάνω στην γραφική παράσταση ψ = f(τ ). A-B.6

41 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους 3 Υπολογίστε το σφάλμα σ β του μήκους του νήματος μεταξύ κόμπου και Κ.Β. της σφαίρας β, από το σφάλμα της κλίσης σ b της ευθείας g f ( b) (σχέση (1) σελ. Εις.17). 3 3 Υπολογίστε το ολικό πιθανό σφάλμα δ g του g από τη σχέση (1) της σελίδας Εις.17 σε συνδυασμό με την σχέση (9α) της σελ. Εις.8 (το g υπολογίζεται έμμεσα από την κλίση της ευθείας [.11], g f ( b) ). Αναλυτικότερα : g b g b4, g f ( b) 4 [.1] ( g) g b b και το σφάλμα του μήκους β. Τελικά το σφάλμα του σ g υπολογίζεται από τη σχέση [.1]. Γράψτε τα αποτέλεσματα: g= ±... (μονάδες) (τιμή) (σφάλμα) β= ±... (μονάδες) (τιμή) (σφάλμα) Σημείωση: Προσέχτε ώστε να εφαρμόσετε όλους τους κανόνες μέτρησης, επεξεργασίας, γραφικών παραστάσεων, σύγκρισης και αναγραφής αποτελέσματος (δηλ. σημαντικά ψηφία, δεκαδικά ψηφία, στρογγυλοποίηση, κλίμακες στους άξονες των γραφικών παραστάσεων κ.λ.π.) όπως περιγράφονται στην εισαγωγή. Β. Αντιστρεπτό Εκκρεμές Απαραίτητες γνώσεις Φυσικό εκκρεμές, απλό εκκρεμές, γωνιακή αρμονική ταλάντωση, ροπή αδράνειας, θεώρημα του Steiner, ανηγμένο μήκος εκκρεμούς. Απαραίτητα όργανα Αντιστρεπτό εκκρεμές μεταβλητού Κ.Β και σταθερών σημείων ανάρτησης Ηλεκτρονικό Χρονόμετρο Φωτοδιακόπτης 4 καλώδια ηλεκτρικών συνδέσεων Μετροταινία 1.50 m, διακριτικότητας +1 mm Περιγραφή των οργάνων Η πειραματική διάταξη του δίπλα Σχήματος έχει ύψος m Το στέλεχος του εκκρεμούς, πάνω στο οποίο μπορεί να ολισθαίνουν A-B.7

42 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους δύο μάζες, έχει μήκος 1.65 m και φέρει δυο σταθερά σημεία ανάρτησης του εκκρεμούς (αιχμηρές ακμές). Η μία αιχμή τοποθετείται σε μια άρθρωση, που βρίσκεται στο πάνω μέρος ενός σταθερού μεταλλικού στύλου, στο οποίο στηρίζεται το εκκρεμές. Οι δυο μεταλλικές πλάκες, μια με μάζα 1400 gr ανάμεσα στις δυο ακμές και μια άλλη με μάζα 1000 gr έξω από τις δυο αιχμηρές ακμές, αποτελούν την μάζα του εκκρεμούς, με την δυνατότητα ρύθμισης διαφορετικού Κ.Β. πάνω στη ράβδο του εκκρεμούς. Η περίοδος ταλάντωσης του εκκρεμούς εξαρτάται από την απόσταση που έχει το Κ.Β. της μάζας του από το σημείο ανάρτησης. Το αντιστρεπτό εκκρεμές παρουσιάζει την ίδια περίοδο ταλάντωσης όταν αναρτηθεί από τις δύο διαφορετικές θέσεις ανάρτησης του μόνο για μια συγκεκριμένη κατανομή της μάζας του, δηλ. μόνο για μια συγκεκριμένη θέση του Κ.Β. του. Για όλες τις άλλες διαφορετικές θέσεις Κ.Β. του έχει διαφορετικές περιόδους ταλάντωσης. Θεωρία Φυσικό εκκρεμές ονομάζουμε κάθε στερεό σώμα, που έχει κάποια κατανομή μάζας, και το οποίο έχει τη δυνατότητα να ταλαντώνεται και να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος δεν περνά από το κέντρο βάρους του. Το S είναι το κέντρο βάρους. Ο Άξονας περιστροφής ΖΖ είναι οριζόντιος και περνάει από το σημείο Α. Το σώμα, που απεικονίζεται στο Σχήμα.6, έχει τη δυνατότητα να περιστραφεί γύρω από τον σταθερό οριζόντιο άξονα Σχήμα.6 ΖΖ, που περνά από το σημείο Α (σημείο Φυσικό εκκρεμές εξάρτησης Α) και εκτελεί γωνιακή ταλάντωση. Εμείς θα μελετήσουμε τη χρονική μεταβολή της γωνίας εκτροπής φ, που σχηματίζει η γραμμή ΑS με την κατακόρυφο. Το βάρος του εκκρεμούς προκαλεί ροπή επαναφοράς - m g s A sinφ a και το σώμα αποκτά γωνιακή επιτάχυνση Από το ο Νόμο του Newton της δυναμικής για την περιστροφική κίνηση του στερεού σώματος θα ισχύει η σχέση : d I A mgs sin A [.13] dt Στη σχέση αυτή η Ι Α είναι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον οριζόντιο άξονα ΖΖ, m είναι η μάζα του εκκρεμούς, g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας και SA είναι η απόσταση μεταξύ του άξονα Α και του κέντρου βάρους S. Επειδή η ροπή επαναφοράς αντιτίθεται στην αύξηση της γωνίας φ, έχει αρνητικό πρόσημο. Για ταλαντώσεις μικρού πλάτους θεωρούμε ότι sinφ ~ φ και η εξίσωση της κίνησης γίνεται: d dt A-B.8

43 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους d mgs [.14] dt A 0 la Από τη διαφορική εξίσωση [.14] προκύπτει ότι η γωνιακή συχνότητα είναι : m g s A = [.15] I A δηλαδή η γωνιακή αρμονική ταλάντωση είναι απλή αρμονική κίνηση με γωνιακή συχνότητα ω. Η περίοδος του φυσικού εκκρεμούς δίνεται από τον τύπο : T A 1 f I m g s A A [.16] Αν ονομάσουμε Ι S τη ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο βάρους S, τότε η ροπή αδράνειας Ι Α ως προς το κέντρο της κίνησης Α θα δίνεται, σύμφωνα με το θεώρημα του Steiner, από τη σχέση : Ι Α = Ι S + ms A [.17] Ανηγμένο μήκος του φυσικού εκκρεμούς : ονομάζουμε το μήκος l A ενός απλού εκκρεμούς, που έχει την ίδια περίοδο με το φυσικό εκκρεμές, όταν αυτό έχει κέντρο κίνησης το Α. Δίνεται από τη σχέση : I A la [.18] ms A Αν προεκτείνουμε την ευθεία, που ενώνει το κέντρο της κίνησης Α με το κέντρο βάρους S προς το μέρος του S κατά ίσο μήκος με l A, τότε βρίσκουμε ένα νέο σημείο Μ Α, που ονομάζεται κέντρο αιώρησης του εκκρεμούς, επίσης ως προς τον άξονα Α. Στο σημείο αυτό (Μ Α ) θα μπορούσε να θεωρηθεί συγκεντρωμένη ολόκληρη η μάζα του φυσικού εκκρεμούς, χωρίς η περίοδός του να αλλάξει. Αντικαθιστώντας στη μαθηματική έκφραση [.1 8], που δίνει το ανοιγμένο μήκος του φυσικού εκκρεμούς, τη ροπή αδράνειας από την [.17] προκύπτει ότι : l A I S sa [.19] msa Αν τώρα θεωρήσουμε το κέντρο αιώρησης Μ Α σαν το σημείο εξάρτησης, στην περίπτωση αυτή, το ανηγμένο μήκος του εκκρεμούς θα είναι : A-B.9

44 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους l M I S l A s A [.0] ml A s A Από την [.18] έχουμε : l A I S s A [.1] m s A και αντικαθιστώντας την [.1] στην [.0] βρίσκουμε τελικά ότι l M = l A. Επομένως, αν ένα φυσικό εκκρεμές είναι εξαρτημένο από το σημείο Α και κατόπιν εξαρτηθεί από το κέντρο αιώρησης Μ Α, η περίοδός του δεν θα αλλάξει. Αυτό το γεγονός χρησιμοποιείται στην περίπτωση του αντιστρεπτού εκκρεμούς. Σκοπός του πειράματος Ο σκοπός του πειράματος αυτού είναι να υπολογίσουμε την τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας g χρησιμοποιώντας ένα αντιστρεπτό εκκρεμές. Μέθοδος του πειράματος Μεταβάλλουμε την κατανομή των μαζών μέχρι να βρεθεί μια συγκεκριμένη θέση στην οποία οι περίοδοι ταλάντωσης για τα δυο διαφορετικά προκαθορισμένα σημεία ανάρτησης του εκκρεμούς θα γίνουν ίσες. Από την σχέση [.16] υπολογίζουμε το g ως εξής: g 4 la TA [.] Από την εξίσωση [.] μπορούμε να βρούμε την επιτάχυνση της βαρύτητας g, αν ξέρουμε την περίοδο Τ Α και το ανοιγμένο μήκος του φυσικού εκκρεμούς l A. Το ανοιγμένο μήκος εκκρεμούς l A του αντιστρεπτού ισούται με το διάστημα ανάμεσα στα δυο αιχμηρά σημεία εξάρτησης του και μπορεί να μετρηθεί με ακρίβεια με μια μετροταινία. Tο σφάλμα του σ g του g υπολογίζεται από την θεωρία υπολογισμού σφάλματος έμμεσων μετρήσεων με την εφαρμογή της σχέσης (9) της σελίδας Εις.8 στην συνάρτηση g=f(l A,T) της σχέσης [.]. Το σφάλμα σ la του l A είναι η διακριτικότητα της μετροταινίας και το σφάλμα σ Τ υπολογίζεται από την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής των μετρήσεων του Τ Α (Τ Α είναι η περίοδος ταλάντωσης του αντιστρεπτού εκκρεμούς που είναι ίδια και για τα δύο διαφορετικά σημεία ανάρτησης του αντιστρεπτού εκκρεμούς). A-B.10

45 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους Οδηγίες για την εκτέλεση του πειράματος 1. Μετακινήστε τις δυο ολισθαίνουσες μεταλλικές μάζες ώστε να έλθουν πολύ κοντά, και έτσι ώστε η μία αιχμηρή ακμή του αντιστρεπτού εκκρεμούς να είναι μεταξύ αυτών. Η απόσταση μεταξύ των δύο μαζών πρέπει να είναι τέτοια ώστε να είναι δυνατόν το εκκρεμές να εξαρτηθεί από αυτή την αιχμηρή ακμή.. Ονομάζουμε αυτήν την θέση ταλάντωσης ως πάνω θέση ταλάντωσης. Εκτρέψτε το εκκρεμές κατά μικρή γωνία από τη θέση ισορροπίας του και μετρήστε με το ηλεκτρονικό χρονόμετρο το χρόνο μιας ημιπεριόδου, π.χ. ταλάντωσης προς τα δεξιά του φωτοδιακόπτη. Στη συνέχεια μετρήστε και την ημιπερίοδο προς τα αριστερά του φωτοδιακόπτη. Η περίοδος για την πάνω θέση ταλάντωσης Τ πάνω υπολογίζεται από το αλγεβρικό άθροισμα των ημιπεριόδων δεξιά και αριστερά. Προσοχή: το χρονόμετρο το ρυθμίζετε να έχει διακριτική ικανότητα μέτρησης s. 3. Ξεκρεμάστε το εκκρεμές και αναρτήστε το από την άλλη αιχμηρή ακμή του. Ονομάζουμε αυτήν την θέση ταλάντωσης ως κάτω θέση ταλάντωσης. Επαναλάβετε την παραπάνω διαδικασία μέτρησης της περιόδου ταλάντωσης Τ κάτω 4. Συγκρίνετε τους χρόνους Τ πάνω και Τ κάτω. Εάν οι δυο περίοδοι Τ πάνω και Τ κάτω δεν συμπίπτουν και στο ο δεκαδικό ψηφίο, απομακρύνετε λίγο την μια από τις δυο κινητές μάζες και επαναλάβετε τις μετρήσεις μέχρις ότου επιτύχετε την ελάχιστη δυνατή διαφορά μεταξύ των Τ πάνω και Τ κάτω. 5. Στη συνέχεια επαναλάβετε τρεις φορές την μέτρηση της Τ Α για να υπολογίσετε την μέση τιμή της. 6. Μετρήστε την απόσταση μεταξύ των αιχμηρών ακμών, που είναι ίση με το ανοιγμένο μήκος l A του εκκρεμούς. Επεξεργασία των μετρήσεων 1. Υπολογίστε τη μέση τιμή της περιόδου Τ Α και το σφάλμα της απόκλισης από την μέση τιμή σ ΤΑ.. Από τη σχέση [.] υπολογίστε την επιτάχυνση της βαρύτητας g και το σφάλμα δ g. 3. Γράψτε τα αποτέλεσματα με την μορφή: g= ±... (μονάδες) (τιμή) (σφάλμα) Συγκρίνετε την πειραματικά ευρεθείσα τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας g, με την τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας g= 9,80 m/sec, που αντιστοιχεί στο γεωγραφικό πλάτος των Χανίων (35 0 Ν) καθώς και με το g του 1 ου μέρους του πειράματος (χρησιμοποιήστε τη σχέση [8] της σελ. Εις.8). A-B.11

46 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους Σημείωση: Να εφαρμόσετε όλους τους κανόνες μέτρησης, επεξεργασίας, σύγκρισης και αναγραφής αποτελέσματος (δηλ. σημαντικά ψηφία, δεκαδικά ψηφία, στρογγυλοποίηση, κ.λ.π.) όπως περιγράφονται στην Εισαγωγή των Εργαστηριακών Σημειώσεων. A-B.1

47 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε Υπνινγηζκόο ηεο Δπηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κε δηάθνξνπο κεζόδνπο Α Κ Η Η Γ ΔΛΔΤΘΔΡΗ ΠΣΩΗ ΣΟ ΠΔΓΙΟ ΒΑΡΤΣΗΣΑ Απαπαίηηηερ γνώζειρ Δπζύγξακκε, νκαιά κεηαβαιιόκελε θίλεζε, ειεύζεξε πηώζε, πεδίν βαξύηεηαο θαη επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο. κοπόρ ηος πειπάμαηορ Ο ππνινγηζκόο ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο g, ρξεζηκνπνηώληαο ηελ κέζνδν ηεο ειεύζεξεο πηώζεο ζην πεδίν βαξύηεηαο. Μέθοδορ ηος πειπάμαηορ Αθήλνπκε κηα ζθαίξα λα πέζεη από δηάθνξα ύςε θαη κεηξνύκε ην ρξόλν πηώζεο ηεο. Η θίλεζε ηεο ζθαίξαο είλαη πξνζεγγηζηηθά ειεύζεξε πηώζε. Από ηελ θιίζε θαη ην ζθάικα ηεο θιίζεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο h t, ππνινγίδνπκε εύθνια ην g θαη ην ζθάικα ηνπ. Απαπαίηηηα όπγανα για ηη διεξαγωγή ηος πειπάμαηορ Σθαίξα. Βαζκνλνκεκέλνο θαλόλαο. Ηιεθηξνληθό ρξνλόκεηξν αθξηβείαο sec. Γπν θσηνδηαθόπηεο. (Ο θωηοδιακόπηης και ηο ηλεκηρονικό τρονόμεηρο περιγράθονηαι ζηο πείραμα 8.) Η πεηξακαηηθή δηάηαμε θαίλεηαη ζην ζρήκα.7 Σρήκα.7 Γ.1

48 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε Υπνινγηζκόο ηεο Δπηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κε δηάθνξνπο κεζόδνπο Θεωπία Η Γε εμαηηίαο ηεο κάδαο ηεο Μ δεκηνπξγεί γύξσ ηεο πεδίν βαξύηεηαο θαη επεξεάδεη θάζε ζώκα κάδαο m πνπ βξίζθεηαη κέζα ζην πεδίν απηό (θαη θνληά ζηελ επηθάλεηά ηεο), αζθώληαο ζε απηό ειθηηθή δύλακε, F, κε κέηξν : Mm F G [.1] R όπνπ : R =6370 Km, ε αθηίλα ηεο Γεο. G = 6.67 x Nt m Kgr -, ε ζηαζεξά ηεο παγθόζκηαο έιμεο. H ειθηηθή απηή δύλακε κε δηέπζπλζε πξνο ην θέληξν ηεο Γεο θαη, όπσο είλαη πξνθαλέο, είλαη ην βάξνο ηνπ ζώκαηνο, δειαδή, F= B = mg [.] GMm R άξα ηζρύεη όηη : mg g G [.3] To g είλαη κηα ζηαζεξά πνπ ιέγεηαη έληαζε ηνπ πεδίνπ βαξύηεηαο. Έρεη κνλάδεο επηηάρπλζεο, γη απηό θαη ιέγεηαη θαη επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο : M R g B 1 m 1 Nt Kgr Kgr msec 1 Kgr m 1 sec Όηαλ έρνπκε έλα ζώκα κε κάδα m ζε ύςνο h από ηελ επηθάλεηα ηεο Γεο, ηόηε ηζρύνπλ : F Mm G θαη ( R h ) g M G [.4] R h Αλ ην ύςνο h είλαη κηθξό ζε ζρέζε κε ηελ αθηίλα ηεο Γεο, δειαδή h<<r, πξνζεγγηζηηθά κπνξνύκε λα γξάςνπκε : M g G [.5] R θαη λα ρξεζηκνπνηνύκε απηόλ ηνλ ηύπν γηα ηα ζώκαηα πνπ βξίζθνληαη ζε κηθξά ύςε από ηελ επηθάλεηα ηεο Γεο. Δπίζεο ην g εμαξηάηαη από ην γεσγξαθηθό πιάηνο. Σηνλ Ιζεκεξηλό θαη ζηνπο Πόινπο ην g έρεη ηηκέο αληίζηνηρα : Γ.

49 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε Υπνινγηζκόο ηεο Δπηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κε δηάθνξνπο κεζόδνπο g m 9,78 sec m 9,83 sec, g Σηα ελδηάκεζα γεσγξαθηθά πιάηε ην g έρεη ελδηάκεζεο ηηκέο. Γςναμικό και Έπγο Ολνκάδνπκε δπλακηθό U A ζε έλα ζεκείν Α ηνπ πεδίνπ βαξύηεηαο ην έξγν W, πνπ απαηηείηαη, γηα λα κεηαθεξζεί κηα κάδα m από ην ζεκείν Α κέρξη ην άπεηξν, δηα ηεο κάδαο απηήο. Γειαδή : W U A [.6] m Ολνκάδνπκε d ηελ απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ην θέληξν ηεο Γεο. Αλ Μ ε κάδα ηεο Γεο θαη G ε ζηαζεξά ηεο παγθόζκηαο έιμεο, ηόηε ην έξγν πνπ απαηηείηαη γηα κηα ζηνηρεηώδε κεηαηόπηζε dr κηαο κάδαο m ζα είλαη : dw F dr G Mm cos180 r 0 dr W 0 dw d GMm dr r W GMm d dr r GMm r d GMm d W M U A G [.7] m d Aλ ζεσξήζνπκε ζεκεία, ησλ νπνίσλ ε απόζηαζε από ηελ επηθάλεηα ηεο Γεο είλαη πνιύ κηθξόηεξε από ηελ αθηίλα ηεο, δειαδή αλ h<<r, ηόηε ην δπλακηθό ζε απηά ηα ζεκεία ζα δίλεηαη από ηε ζρέζε: M U G. [.8] R Με απηή ηελ πξνϋπόζεζε, δειαδή αλ h<<r, είλαη πξνθαλέο όηη ζα ηζρύεη ε ζρέζε : Γ.3

50 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε Υπνινγηζκόο ηεο Δπηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κε δηάθνξνπο κεζόδνπο GM g. [.9] R Αλ αθήζνπκε έλα ζώκα λα πέζεη κε ηελ επίδξαζε ηνπ βάξνπο ηνπ από ύςνο H, ζεσξώληαο όηη ε αληίζηαζε ηνπ αέξα είλαη ακειεηέα, ηόηε, κε βάζε ην δεύηεξν λόκν ηνπ Newton : Δύναμη = Μάζα Επιηάτσνζη, ζα έρνπκε ηηο παξαθάησ ζρέζεηο : u t du mg m du gdt du gdt dt 0 0 u gt [.30] Γειαδή: dh u gt dh gtdt dt h t 1 dh g tdt h g t 0 0 [.31] Οδηγίερ για ηην εκηέλεζη ηος πειπάμαηορ 1. Κάλεηε ηελ ζπλδεζκνινγία ησλ δύν θσηνδηαθνπηώλ κε ην ειεθηξνληθό ρξνλόκεηξν. Δπεηδή ν έλαο θσηνδηαθόπηεο δίλεη ην ζήκα έλαξμεο θαη ν άιινο ηεο παύζεο κέηξεζεο ηνπ ρξνλόκεηξνπ (βιέπε Σρήκα.8), ε είζνδνο start θαη ε είζνδνο stop ηνπ ειεθηξνληθνύ ρξνλόκεηξνπ ζπλδένληαη κε δηαθνξεηηθά θαιώδηα πάλσ ζην βίζκα εμόδνπ ausgang ηνπ αληίζηνηρνπ θσηνδηαθόπηε. Η ππνδνρή 5V ηνπ θάζε θσηνδηαθόπηε ζπλδέεηαη κε θαιώδην πάλσ ζηελ ίδηα ππνδνρή ησλ 5V ηνπ ρξνλόκεηξνπ. Τέινο ε ππνδνρή ηεο γείσζεο ηνπ θάζε θσηνδηαθόπηε ζπλδέεηαη κε θαιώδην κε ηελ αληίζηνηρε ππνδνρή γείσζεο ηνπ ρξνλόκεηξνπ. Οδεγίεο γηα ηελ ιεηηνπξγία ηνπ ρξνλόκεηξνπ θαη θσηνδηαθόπηε πνπ ππάξρνπλ ζην Πείξακα 8. Σρήκα.8 Μέηξεζε ρξόλνπ πηώζεο 1. Τνπνζεηείζηε νξηδόληηα θαη παξάιιεια κεηαμύ ηνπο ηνπο δύν θσηνδηαθόπηεο ζε απόζηαζε h 1 = 15cm κεηαμύ ηνπο. Τελ απόζηαζε ηελ κεηξάηε από ηελ επάλσ επηθάλεηα ηνπ ελόο θσηνδηαθόπηε έσο ηελ επάλσ ηνπ άιινπ (ή από ηελ θάησ ηνπ ελόοέσο ηελ θάησ ηνπ άιινπ).. Αθήζηε ηε ζθαίξα αθξηβώο πάλσ από ηελ λνεηή γξακκή πνπ ελώλεη ηηο δύν κηθξέο νπέο ηνπ θσηνδηαθόπηε (ώζηε απηή λα κελ έρεη αξρηθή ηαρύηεηα) θαη Γ.4

51 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε Υπνινγηζκόο ηεο Δπηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κε δηάθνξνπο κεζόδνπο θξνληίζηε λα πέζεη ώζηε λα «θόςεη» ηελ θσηεηλή ππέξπζξε δέζκε ηνπ δεύηεξνπ θσηνδηαθόπηε, Σρήκα Μεηξήζηε κε ην ρξνλόκεηξν ην ρξόλν t 1. Απηόο είλαη ν ρξόλνο πνπ ρξεηάδεηαη ε ζθαίξα, γηα λα δηαλύζεη ηελ απόζηαζε h Δπαλαιάβαηε ηελ κέηξεζε ηνπ ρξόλνπ t 1, γηα ην ύςνο h 1, 3 θνξέο ην θάζε κέινο ηεο νκάδαο ζαο. 5. Δπαλαιάβεηε ηα βήκαηα 1 έσο 4 γηα ελλέα αθόκε δηαθνξεηηθέο (θαη κεγαιύηεξεο) ηηκέο ηνπ ύςνπο (h, h 3,,h 10 ). Γειαδή γηα 10 δηαθνξεηηθά ύςε ζα κεηξήζεηε ζπλνιηθά 9 θνξέο ηνλ ρξόλν γηα θάζε ύςνο. Δπεξεπγαζία ηων μεηπήζεων 1. Βξείηε ηελ κέζε ηηκή ηνπ ρξόλνπ t i γηα θάζε ύςνο h i.. Σρεδηάζηε ηελ γξαθηθή παξάζηαζε (ηνπνζεηώληαο ηα πεηξακαηηθά ζεκεία) ηνπ h t 3. Με ηελ κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ ππνινγίζηε ηελ θιίζε θαη ηνλ ζηαζεξό όξν ηεο επζείαο h bt a,, όπνπ y h, b g /, 0 θαη ζρεδηάζηε ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζρέζεο h t, (δείηε ζρέζε [.31]). Η γξαθηθή παξάζηαζε λα γίλεη κε ηνλ ηξόπν πνπ πεξηγξάθεηαη ζηηο ζειίδεο Δηο.17-Δηο Από ηελ θιίζε b ηεο επζείαο (ζρέζε (18) ζει. Δηζ.17) θαη ην ζθάικα ζ b (ζρέζε (1) ζει. Δηζ.17) ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο h t, ππνινγίζηε ην g θαη ην πηζαλό ζθάικα έκκεζεο κέηξεζεο δ g (ζρέζε (9α) ηεο ζει. Δηο. 8). 5. Γξάςηε ην απνηέιεζκα: g= ±... (κνλάδεο) (ηηκή) (ζθάικα) 6. Σπγθξίλεηε ηελ πεηξακαηηθά επξεζείζα ηηκή ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο g, κε ηελ ηηκή ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο g= 9,80 m/sec, πνπ αληηζηνηρεί ζην γεσγξαθηθό πιάηνο ησλ Φαλίσλ (35 0 Ν). Δθαξκόζηε ηελ ζρέζε [8] ηεο εηο.8 ηεο Δηζαγσγήο). Σεκείσζε: Να εθαξκόζεηε όινπο ηνπο θαλόλεο κέηξεζεο, επεμεξγαζίαο, γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ, ζύγθξηζεο θαη αλαγξαθήο απνηειέζκαηνο (δει. ζεκαληηθά ςεθία, δεθαδηθά ςεθία, ζηξνγγπινπνίεζε, θιίκαθεο ζηνπο άμνλεο ησλ γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ θ.ι.π.) όπσο πεξηγξάθνληαη ζηελ Δηζαγσγή. Βιβλιογπαθία Γ.5

52 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε Υπνινγηζκόο ηεο Δπηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κε δηάθνξνπο κεζόδνπο 1. Halliday-Resnick, Φπζηθή, Μέξνο Α, θεθ. 15. Alonso- Finn, Θεκειηώδεο Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή, ηόκνο Ι, Μεραληθή, θεθ.1 3. Μαζήκαηα Φπζηθήο, Παλεπ. Berkeley, ηόκνο Ι, Μεραληθή, θεθ HUGH D. YOUNG, Φπζηθή, Μέξνο Α, θεθ. 13. Γ.6

53 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις ΣΤΡΟΦΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Α Σ Κ Η Σ Η 3 A ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΡΑΒΔΟΥ Απαραίτητες γνώσεις Ροπή αδράνειας, αρμονική ταλάντωση, περίοδος και πλάτος ταλάντωσης. Σκοπός του πειράματος Υπολογισμός της ροπής αδράνειας ράβδου ως προς τον άξονα τον κάθετο στην ράβδο που περνά από το κ.β. της ράβδου. Μέθοδος Η ροπή αδράνειας Ι ράβδου υπολογίζεται μετρώντας την περίοδο της οριζόντιας στροφικής ταλάντωσης της ράβδου για γνωστά μήκη ταλάντωσης l και τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της ράβδου (μάζα m και μήκος d). Επειδή το τετράγωνο της περιόδου ταλάντωσης εξαρτάται ανάλογα από το μήκος ταλάντωσης l, ενώ η ροπή αδράνειας δεν αλλάζει με αυτό, από την κλίση και το σφάλμα της κλίσης της γραφικής παράστασης της ευθείας l, υπολογίζεται έμμεσα η ροπή αδράνειας Ι και το σφάλμα έμμεσης μέτρησης δ Ι. Για την ελάττωση των σφαλμάτων μέτρησης της περιόδου ταλάντωσης: (α) μετρείται ο χρόνος μεγάλου αριθμού ταλαντώσεων, (β) οι μετρήσεις αυτές επαναλαμβάνονται για περισσότερες από μια φορές. Θεωρία Ορισμός ροπής αδράνειας Η ροπή αδράνειας σημειακής μάζας m ως προς κάποιο καθορισμένο άξονα γύρω από τον οποίο περιστρέφεται, ορίζεται από το γινόμενο της μάζας επί το τετράγωνο της απόστασης r της μάζας, από τον άξονα. Δηλαδή: I = m r Η ροπή αδράνειας όπως φαίνεται από τον ορισμό αλλάζει τιμή ανάλογα με την επιλογή του άξονα περιστροφής του σώματος άρα δεν είναι μονόμετρο μέγεθος, αλλά ούτε και διανυσματικό μέγεθος αφού η μάζα και το διάνυσμα θέσης στο τετράγωνο είναι μονόμετρα μεγέθη. (Το r είναι το εσωτερικό γινόμενο r r που έχει σαν αποτέλεσμα μονόμετρο μέγεθος.). Το μέγεθος αυτό ονομάζεται τανυστικό. Η μονάδα μέτρησης της ροπής αδράνειας στο SI είναι 1Kg m. 3A.1

54 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις Σχήμα 3.1 Στο Σχήμα 3.1 φαίνεται ότι η ροπή αδράνειας μιας σημειακής μάζας ως προς δύο διαφορετικούς άξονες περιστροφής τους z 1 και z είναι διαφορετική γιατί mr 1 mr. Για ένα σύστημα n διακριτών υλικών σημείων, που το καθένα έχει μάζα m i, η ροπή αδράνειας ως προς έναν καθορισμένο άξονα είναι ίση με το άθροισμα των ροπών αδράνειας όλων των επί μέρους σημείων ως προς τον άξονα στον οποίο αναφέρεται το σύστημα. n I m r i1 i i Όταν η κατανομή μάζας είναι συνεχής, όπως στην περίπτωση υλικού σώματος, θεωρούμε ότι το σώμα διαιρείται σε στοιχειώδεις μάζες dm, που όλα τα σημεία, σε μια συγκεκριμένη στοιχειώδη μάζα dm απέχουν σχεδόν την ίδια απόσταση r από τον άξονα περιστροφής. Το άθροισμα, στην παραπάνω εξίσωση γίνεται ολοκλήρωμα, κι έτσι η ροπή αδράνειας υπολογίζεται από τη σχέση I r r dm r 1 Σχήμα 3.. Τιμές ροπής αδράνειας διαφόρων ομογενών σωμάτων 3A.

55 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις Θεώρημα των παραλλήλων αξόνων (Steiner). Ο Steiner απέδειξε το εξής θεώρημα. Η ροπή αδράνειας Ι, για οποιοδήποτε άξονα περιστροφής ενός σώματος είναι ίση προς τη ροπή αδράνειας Ι κμ του σώματος ως προς άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας (κ.μ.) και είναι παράλληλος στον άξονα που αναφερόμαστε, συν τη ροπή αδράνειας που θα είχε το σώμα αν ήταν υλικό σημείο στο κέντρο μάζας του σώματος (δηλαδή αν όλη η μάζα του σώματος ήταν συγκεντρωμένη στο κ.μ.. Για το στερεό του Σχήματος 3.3, η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα που είναι παράλληλος ως προς τον z και απέχει απόσταση x από τον z, η ροπή αδράνειας εκφράζεται με τη σχέση Ι = Ι κμ + mx όπου x είναι η απόσταση του κ.μ. από τον ζητούμενο άξονα περιστροφής. Σχήμα 3.3 Θεώρημα του Steiner Κινητική ενέργεια σώματος που στρέφεται γύρω από καθορισμένο άξονα. Σχήμα 3.4 Στερεό που περισττρέφεται ως προς άξονα που περνά από το κ.μ. του. 3A.3

56 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις Όταν ένα σώμα περιστρέφεται γύρω από ένα άξονα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, (Σχήμα 3.4), οι γραμμικές ταχύτητες των σημείων του σώματος είναι ανάλογες των αποστάσεων r 1, r, r 3 αυτών από τον άξονα. Δηλαδή ισχύει: υ 1 = ω r 1, υ = ω r, υ 3 = ω r 3 Η κινητική ενέργεια δίνεται από την σχέση: E Γενικά ανάμεσα στις σχέσεις που εκφράζουν αντίστοιχα μεγέθη της μεταφορικής και της περιστροφικής κίνησης υπάρχει μια αντιστοιχία. Για να γίνει αντιληπτή η αντιστοιχία αυτή δίνεται ο παρακάτω πίνακας: Αντιστοίχηση μεγεθών Μεταφορικής και Περιστροφικής κίνησης Μεταφορική κίνηση Περιστροφική κίνηση Μετατόπιση x Γωνιακή θ μετατόπιση Ταχύτητα u=dx/dt Γωνιακή ταχύτητα ω=dθ/dt Επιτάχυνση a =dv/dt Γωνιακή α=dω/dt Επιτάχυνση Μάζα m Ροπή αδράνειας I Δύναμη F=m a Ροπή τ=ia Έργο W=Fdx W= τdθ Κινητική ενέργεια ½ mu ½ Ιω Ισχύς P=Fv P=τω Ορμή mu Στροφορμή Ιω Θεωρία πειράματος 1 1 m1 1 m 1 m1 r mr 1 1 mr I 1 m r Έστω μια ράβδος μάζας Μ και ροπής αδράνειας Ι, που κρέμεται από δύο παράλληλα νήματα AC και BD μήκους l που απέχουν μεταξύ τους απόσταση d, (Σχήμα 3.5). Η τάση του νήματος σε κάθε ένα από αυτά είναι Mg/. Σχήμα 3.5 Στροφική ταλάντωση ράβδου σε οριζόντιο επίπεδο, περί το κ.μ. 3A.4

57 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις Η ράβδος ταλαντώνεται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο περί των κατακόρυφο άαξονα που περνά από το κέντρο μάζας της. Αν στρέψουμε τη ράβδο κατά μικρή γωνία θ γύρω από τον οριζόντιο άξονα, και αν φ είναι η γωνία απόκλισης των νημάτων από την κατακόρυφη θέση τους, τότε για μικρές γωνίες ισχύει d l [3.1] Οι συνιστώσες των τάσεων των νημάτων προκαλούν δυνάμεις επαναφοράς στα σημεία C' και D' μέτρου Mg sin Mg Mgd 4l [3.] Η ροπή του ζεύγους των δυνάμεων επαναφοράς, που δρα στη ράβδο είναι M g d 4 l d [3.3] Η εξίσωση κίνησης της ράβδου είναι d Mgd I dt 4l d Mgd li dt 4 Η κίνηση που εκτελεί η ράβδος είναι απλή αρμονική ταλάντωση και η περίοδος υπολογίζεται από τη σχέση 16 T I l [3.5] Mgd Οδηγίες για την εκτέλεση του πειράματος [3.4] 0 Σχήμα 3.6 3A.5

58 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις 1. Ζυγίστε την ράβδο και μετρήστε το μήκος της L, στην αρχή ή στο τέλος του πειράματος.. Κρεμάστε την ράβδο οριζόντια, όπως δείχνεται στο Σχήμα 3.6, με τη βοήθεια αλφαδιού, από νήματα ίσου μήκους και μετρήστε το μήκος l των νημάτων. Πρώτα ρυθμίζεται το μήκος του ενός νήματος και μετά με την βοήθεια του αλφαδιού ρυθμίζεται και το άλλο νήμα στο ίδιο ύψος. Παρακάτω περιγράφεται αναλυτικά η σωστή διαδικασία ρύθμισης σύμφωνα με το Σχήμα 3.6: Από τους κοχλίες Κ ελευθερώνετε τα νήματα και με τη χρήση ενός «μέτρου» ρυθμίζεται αυτά να έχουν το ίδιο μήκος l που επιλέξατε. Με τη βοήθεια αλφαδιού Λ, ρυθμίζετε την ράβδο ώστε αυτή να είναι σε εντελώς οριζόντια θέση. Η οριζόντια θέση της ράβδου επιτυγχάνεται μετακινώντας έναν από τους δύο συνδέσμους Σ, πάνω ή κάτω. Με την διαδικασία αυτή δεν αλλάζουμε τα μήκη των νημάτων. Ρυθμίστε η γωνία μου σχηματίζουν τα νήματα με την ράβδο να είναι περίπου Αυτό επιτυγχάνεται αλλάζοντας τη απόσταση ανάμεσα στις δύο βάσεις Β. 3. Μετρήστε το μήκος d της ράβδου μεταξύ των νημάτων από τα οποία κρέμεται. 4. Εκτρέψετε τη ράβδο κατά μια μικρή γωνία γύρω από τον κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο βάρους της (δείτε σχήμα 3.5) και αφήστε την ώστε αυτή να αρχίσει να εκτελεί στροφική ταλάντωση. 5. Όταν ομαλοποιηθεί η ταλάντωση μετρήστε το χρόνο ταλάντωσης 10 διαδοχικών πλήρων ταλαντώσεων, δηλαδή 10 περιόδων. Χωρίς να διακόψετε την ταλάντωση της ράβδου να επαναλάβει το κάθε μέλος της ομάδας αυτή την μέτρηση. 6. Αλλάξετε το μήκος ταλάντωσης l των νημάτων, ελέγξτε ότι η ράβδος παραμένει οριζόντια και επαναλάβετε τα βήματα 4 και 5 για άλλα 7 τουλάχιστον διαφορετικά μήκη l. Οι μετρήσεις σας να γραφούν σε πίνακα της μορφής: Πίνακας μετρήσεων Μάζα ράβδου, Μ = ( Kg,) Μήκος ράβδου L=..(m) α/α Μήκος ταλάντωσης l (νήματος) (m) Χρόνος 10 ταλαντώσεων t=10 T (s) t =(t 1 +t )/ (s) T= t/10 (s) 1η μετρ. (t 1 ) η μετρ. (t ) 3A.6

59 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις Επεξεργασία των μετρήσεων 1. Υπολογίστε για κάθε μήκος l το μέσο χρόνο στη συνέχεια την περίοδο Τ ( T μετρήσεων). t 10 t t t 1 των 10 ταλαντώσεων και ) της ταλάντωσης, (δείτε πίνακα 16. Επειδή από την σχέση [3.5] ισχύει l I T, σχεδιάστε σε χαρτί Mgd Millimetre, είτε ηλεκτρονικά πχ στο excell, την γραφική παράσταση του l T, υπολογίζοντας τους συντελεστές της εξίσωσης της μορφής ευθείας y=bx+a με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. 3. Από την κλίση της ευθείας b και το σφάλμα της κλίσης σ b υπολογίστε την ροπή 16 αδράνειας Ι και το σφάλμα της δ Ι. Ισχύει b I Επειδή η Ι υπολογίζεται Mgd από έμμεσες μετρήσεις των b, Μ και d, Ι=f(b,M,d), για τον υπολογισμό του σφάλματος δ Ι χρησιμοποιήστε την σχέση (9α) της σελ. Εις. 8. Σαν σφάλματα σ M, και σ d χρησιμοποιήστε την διακριτικότητα (resolution) των συσκευών μέτρησης που χρησιμοποιήσατε. 4. Υπολογίστε το ολικό πιθανό σφάλμα της I. Το σφάλμα της I υπολογίζεται από τη σχέση (9) της εισαγωγής, γνωρίζοντας το σ b. Το σφάλμα της μάζας Μ και της απόστασης d είναι αυτά που μας δίνουν τα αντίστοιχα όργανα μέτρησης. Το g και το π είναι σταθερές. 5. Γράψτε το αποτέλεσμα: Ι= ±... (μονάδες) (τιμή) (σφάλμα) ML 6. Από τη σχέση I, υπολογίστε την θεωρητική τιμή I θεωρ. της ροπής αδράνειας Με την βοήθεια της σχέσης (8) σελ. Εις.7, συγκρίνετε την θεωρητική τιμή με την πειραματική του ερωτήματος 6. Γράψτε το αποτέλεσμα: Σημείωση: Προσέχτε ώστε να εφαρμόσετε όλους τους κανόνες μέτρησης, επεξεργασίας, γραφικών παραστάσεων, σύγκρισης και αναγραφής αποτελέσματος (δηλ. σημαντικά ψηφία, δεκαδικά ψηφία, στρογγυλοποίηση, κλίμακες στους άξονες των γραφικών παραστάσεων κ.λ.π.) όπως περιγράφονται στην εισαγωγή. Βιβλιογραφία 1. Halliday-Resnick, Φυσική, Μέρος Α, κεφ. 1. HUGH D. YOUNG, Φυσική, Μέρος Α, κεφ. 9, A.7

60 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις 3A.8

61 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις Α Σ Κ Η Σ Η 3 B ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ ΣΤΡΕΨΗΣ ΣΥΡΜΑΤΟΣ Σκοπός του πειράματος Μέτρηση της περιόδου στροφικής ταλάντωσης δίσκου, φορτισμένου και αφόρτιστου, εξαρτημένου από σύρμα. Υπολογισμός της κατευθύνουσας ροπής του σύρματος και του μέτρου στρέψεως. Απαραίτητες γνώσεις Στροφική αρμονική ταλάντωση, ροπή επαναφοράς, ροπή αδράνειας, στρέψη, στρέψη σύρματος, μέτρο στρέψεως, κατευθύνουσα ροπή σύρματος. Θεωρία Θεωρούμε σώμα, στρεπτό περί άξονα, πάνω στο οποίο δρα επίπεδο σπειροειδές ελατήριο, ώστε να ισορροπεί σε ορισμένη θέση. Αν στρέψουμε το σώμα κατά ορισμένη γωνία φ, θα ασκηθεί σ' αυτό μια ροπή Μ, όπου το μέτρο της είναι ανάλογο της γωνίας φ. Δηλαδή : Μ = - D φ Η σταθερά D ονομάζεται κατευθύνουσα ροπή του ελατηρίου, και ορίζεται, από την εξίσωση αυτή, ως το αρνητικό πηλίκο της ροπής Μ, που προκαλεί την γωνία φ, δια την γωνία φ: D M [3.7] Η ροπή Μ ονομάζεται ροπή επαναφοράς, γιατί τείνει πάντοτε να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας του. Υπό την επίδραση αυτής της ροπής, το σώμα θα επανέλθει στην αρχική του θέση (φ=0), αλλά, λόγω αδράνειας, θα την υπερβεί και, έτσι θα εκτελέσει μια ελεύθερη στροφική ταλάντωση. Κατά την ταλάντωση αυτή η γωνία φ θα μεταβάλλεται περιοδικώς μεταξύ των τιμών ± φ ο. Εφ' όσον η ροπή επαναφοράς είναι ανάλογη προς τη γωνία, το σώμα θα εκτελεί στροφική αρμονική ταλάντωση, όπου η γωνία θα μεταβάλλεται αρμονικά με τον χρόνο. Δηλαδή: φ = φ ο ημωt [3.8] Η σταθερά ω της εξίσωσης είναι η κυκλική ιδιοσυχνότητα της ταλάντωσης. Αν Ι είναι η ροπή αδράνειας του σώματος με βάση το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης, 3B.1

62 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις Μ = Ι ω [3.9] όπου ω = είναι η γωνιακή επιτάχυνση του σώματος Έτσι προκύπτει ότι: M d I dt ή I d D dt *. d I D dt Άρα: [3.10] 0 Η εξίσωση [3.10] είναι η τυπική διαφορική εξίσωση της στροφικής αρμονικής ταλάντωσης. Η λύση της, είναι της μορφής: φ = φ ο ημωt. Aν διαφορίσουμε ως προς το χρόνο θα πάρουμε την γωνιακή ταχύτητα Ω = : d t dt o [3.10α] Αν την εξίσωση αυτή την διαφορίσουμε ως προς το χρόνο, θα πάρουμε την γωνιακή επιτάχυνση ω : d dt d o t dt [3.10β] Την τιμή της κυκλικής συχνότητας ω, την βρίσκουμε αν αντικαταστήσουμε στην εξίσωση [3.10] την τιμή του φ, την οποία παίρνουμε από την εξίσωση [3.8] και την τιμή του d φ/dt από την εξίσωση [3.10β] οπότε προκύπτει: -Ι ω φ ο ημωt + D* φ ο ημωt = 0. Από την εξίσωση αυτή με απλοποίηση παίρνουμε: D I [3.11] και την περίοδος Τ της ταλάντωσης από τη σχέση: T a I D [3.1] 3B.

63 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις Στροφική ταλάντωση εκτελεί, υπό την επίδραση σπειροειδούς ελατηρίου, ο αιωρητής των ρολογιών τσέπης. Όμοια, στροφική αρμονική ταλάντωση εκτελεί και ο δίσκος που είναι εξαρτημένος από σύρμα (σχήμα 3.6α). Aν στρέψουμε τον δίσκο κατά γωνία φ και τον αφήσουμε ελεύθερο, θα αρχίσει να ταλαντώνεται, γιατί το σύρμα λόγω της στρέψης εξασκεί στο δίσκο μια ροπή επαναφοράς, ανάλογη προς τη γωνία, οπότε η ταλάντωση είναι αρμονική. Σχήμα 3.6 Αν προσθέσουμε στο δίσκο δυο κυλινδρικά σώματα σε ίσες αποστάσεις από τον άξονα, (σχήμα 3.6β), η τιμή της περιόδου θα είναι: T I I D [3.13α] όπου Ι Σ είναι η ροπή αδράνειας των δυο σωμάτων ως προς τον άξονα περιστροφής. Με βάση το θεώρημα των παραλλήλων αξόνων (θεώρημα Steiner) ισχύει ότι: Ι Σ = (Ι ο + m x ) [3.13β] όπου Ι ο η ροπή αδράνειας κάθε σώματος ως προς τον γεωμετρικό του άξονα, m η μάζα του και x η απόσταση του άξονα καθενός κυλινδρικού σώματος από το σύρμα. Για να διερευνήσουμε τον τρόπο με τον οποίο διαδίδεται η στρεπτική ροπή Μ από το ένα άκρο του σύρματος στο άλλο, πρέπει να θεωρήσουμε εγκάρσια διατομή, που χωρίζει το σύρμα σε δυο μέρη. Οι δυνάμεις, που ασκεί το ένα τμήμα στο άλλο, έχουν διευθύνσεις παράλληλες προς τη θεωρούμενη επιφάνεια της διατομής και ονομάζονται διατμητικές δυνάμεις. Αν θεωρήσουμε ένα στοιχειώδες τμήμα της 3B.3

64 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις διατομής (π.χ. το S 1 σχήμα 3.7) και σχηματίσουμε το πηλίκο της διατμητικής δύναμης που ασκείται σ' αυτό, δια το εμβαδόν, θα λάβουμε ένα μέγεθος, που λέγεται διατμητική τάση τ: F S [3.14] Σχήμα 3.7 Υπό την επίδραση των διατμητικών δυνάμεων το ελεύθερο άκρο του σύρματος στρέφεται κατά γωνία φ, οπότε το σημείο Α μετακινείται στη θέση Β. Έτσι η γενέτειρα, η διερχόμενη από το σημείο Α, σχηματίζει γωνία ζ με την αρχική διεύθυνση. Την γωνία ζ την ονομάζουμε γωνία διάτμησης. Πειραματικά βρίσκεται ότι η γωνία διάτμησης ζ είναι ανάλογη με την διατμητική τάση τ, που την προκαλεί : τ = G ζ [3.15] Η σταθερά G ονομάζεται μέτρο δίατμησης, ή μέτρο στρέψεως και εξαρτάται από το υλικό του σωλήνα. Η εξίσωση αυτή είναι η διατύπωση του νόμου του Hooke για την περίπτωση της στρέψεως, ανάλογη με την εξίσωση σ = Ε ε στην περίπτωση του ελκυσμού. Αν στην εξίσωση [3.15] θέσουμε ζ=1, θα πάρουμε τ = G. Επομένως το μέτρο στρέψης είναι η διατμητική τάση, η αναγκαία να προκαλέσει γωνία διάτμησης ίση με 1 ακτίνιο, υπό την προϋπόθεση ότι η παραμόρφωση είναι ελαστική. Επειδή η γωνία ζ είναι καθαρός αριθμός, το μέτρο στρέψεως G έχει διαστάσεις τάσεως. Για να υπολογίσουμε την κατευθύνουσα ροπή D* ενός σύρματος, μήκους l, που είναι στερεωμένο από το πάνω άκρο του, εφαρμόζουμε στρεπτική ροπή Μ. Αυτή μεταδίδεται στο σωλήνα, ως το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων F 1, F, που είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες στην επιφάνεια μιας διατομής του σύρματος. Αν κάθε δύναμη F i που δρα σε στοιχειώδες τμήμα επιφάνειας εμβαδού S i, έχει τη διεύθυνση της εφαπτόμενης και ισχύει: 3B.4

65 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις Μ = Σ F i r i =Στ i S i r i Η διατμητική τάση τ, λόγω της ομοιόμορφης κατανομής των δυνάμεων είναι σταθερή, οπότε έχουμε: M = τ r Σ Si = τ r S όπου S το εμβαδόν μιας διατομής του σύρματος. Με βάση τη σχέση [3.15], αν αντικαταστήσουμε το τ, θα έχουμε: Μ = ζ G r S. H γωνία διάτμησης ζ, συνδέεται με τη γωνία στρέψης φ: ΑΒ = φ r Ομοίως, ΑΒ = ζ l, επομένως έχουμε: M r G r S l G r S l [3.16] Aν θεωρήσουμε ότι το σύρμα αποτελείται από λεπτούς χιτώνες πάχους dr, για να στραφεί ο χιτώνας κατά γωνία φ, χρειάζεται να ασκηθεί σ' αυτό στοιχειώδη ροπή dm, ίση προς: r dr dm G r l Για όλους τους χιτώνες, η γωνία στρέψεως φ, έχει την ίδια τιμή, οπότε η ολική ροπή Μ, η αναγκαία για την στρέψη του σύρματος θα είναι: M dm G r l r 0 3 dr Όπου r ακτίνα του σύρματος. Η ολοκλήρωση της εξίσωσης δίνει: M G r l 4 [3.17] και η κατευθύνουσα ροπή του σύρματος D* παίρνει την τιμή : D G r l * Επομένως το μέτρο στρέψεως θα δίνεται από τη σχέση: 4 [3.18] 3B.5

66 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις G ld 4 r * [3.19] Εκτέλεση του πειράματος 1. Ζυγίστε το ένα από τα δυο σώματα (θεωρούμε ότι και το άλλο έχει την ίδια μάζα, m 1 = m ). Εκτιμήστε το σφάλμα σ m στον προσδιορισμό της μάζας του ενός σώματος που είναι το σφάλμα του οργάνου μέτρησης. m σ m =... (gr) Μετρήστε τα μήκη που αναφέρονται παρακάτω και εκτιμήσετε το σφάλμα τους που είναι το σφάλμα του οργάνου μέτρησης. Χρησιμοποιήστε παχύμετρο για τη μέτρηση του R και του d και «μέτρο» για τη μέτρηση του l και του x. R σ R = (m), R η ακτίνα κάθε κυλίνδρου r σ r = (m), r= d/ η ακτίνα του σύρματος l σ l = (m), l το μήκος του σύρματος x σ x = (m), x η απόσταση κάθε κυλίνδρου από tον άξονα περιστροφής. Σχήμα 3.7. Στρέψτε τον αφόρτιστο δίσκο κατά μικρή γωνία από τη θέση ισορροπίας και αφήστε τον ώστε αυτός να αρχίσει να εκτελεί στροφική ταλάντωση. 3. Όταν ομαλοποιηθεί η ταλάντωση μετρήστε το χρόνο ταλάντωσης 0 διαδοχικών πλήρων ταλαντώσεων, δηλαδή 0 περιόδων, καταγράφοντας τα αποτελέσματα σε πίνακα της παρακάτω μορφής. a/a t a =0Τ α (sec) ΑΦΟΡΤΙΣΤΟΣ ΔΙΣΚΟΣ Τ α =t a /0 (sec) T a (sec) ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΔΙΣΚΟΣ Τ φ =t φ /0 (sec) t φ = 0Τ φ (sec) T (sec) 3B.6

67 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις 4. Επαναλάβετε άλλες 7 φορές τις διαδικασίες και 3 και καταχωρήστε τις τιμές στον πίνακα μετρήσεων. 5. Τοποθετήστε και τα δυο σώματα στο δίσκο ( υπάρχουν γι' αυτό το σκοπό κατάλληλες υποδοχές) και επαναλάβετε τις διαδικασίες, 3 και 4. Επεξεργασία μετρήσεων (Στη συγγραφή της αναφορά σας θα σας βοηθήσουν σημαντικά οι βασικοί κανόνες που περιγράφονται στις σελίδες 4, 5 και 6 της εισαγωγής). 1. Από κάθε μέτρηση σας υπολογίστε τη μέση τιμή των περιόδων Τ α και Τ φ και τα τυπικά σφάλματα της μέσης τιμής, και T (από τη σχέση [5] της εισαγωγής) : T T......, (sec) (sec) T. Υπολογίστε τη ροπή αδράνειας Ι ο των κυλίνδρων ως προς τον άξονα συμμετρίας τους (διαλέξτε την κατάλληλη σχέση από το σχήμα 3. της άσκησης 3Α) και στη συνέχεια από το θεώρημα των παραλλήλων αξόνων(που περιγράφεται στη θεωρία της άσκησης 3Α) από τη σχέση [3.13β], υπολογίστε τη ροπή αδράνειας Ι Σ ως προς τον άξονα περιστροφής του συστήματος. Ta T Ι ο =... (μονάδες) και Ι Σ =... (μονάδες) 3. Από τους τύπους (3.1) και (3.13α) υπολογίστε τη ροπή αδράνειας Ι του αφόρτιστου δίσκου και την κατευθύνουσα ροπή D του σύρματος. Ι=... (μονάδες) και D =... (μονάδες) 4. Με τη βοήθεια του τύπου (3.19) υπολογίστε το μέτρο στρέψεως G του σύρματος. 5. Με τη θεωρία διάδοσης σφαλμάτων από τη σχέση [9] της εισαγωγής, υπολογίστε το σφάλμα σ G στη μέτρηση του G θεωρώντας ότι η τιμή της κατευθύνουσας ροπής D είναι σταθερή χωρίς σφάλμα. Γράψτε το αποτέλεσμα: G= ±... (μονάδες) (τιμή) (σφάλμα) Σημείωση: Προσέχτε ώστε να εφαρμόσετε όλους τους κανόνες μέτρησης, επεξεργασίας, και αναγραφής αποτελέσματος (δηλ. σημαντικά ψηφία, δεκαδικά ψηφία, στρογγυλοποίηση, κλίμακες κ.λ.π.) όπως περιγράφονται στην εισαγωγή. 3B.7

68 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις Βιβλιογραφία Αλεξόπουλος. Τόμος Ι Μηχανική-Ακουστική εκδ.1960 σελ , B.8

69 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Πείραμα 4 Μέτρηση ισχύος κινητήρα Α Σ Κ Η Σ Η 4 ΜΕΤΡΗΣΗ ΙΣΧΥΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑ (Χαλυνός του Prony) Απαραίτητες γνώσεις Τριβή ολίσθησης, ροπή δύναμης ως προς άξονα, περιστροφική κίνηση, έργο, ισχύς μηχανής. Σκοπός του πειράματος Υπολογισμός της ισχύος ενός κινητήρα. Περιγραφή της διάταξης Σχήμα 4.1 Μια εφαρμογή του φαινομένου της τριβής ολίσθησης είναι η διάταξη που ονομάζεται χαλυνός του Prony, και χρησιμεύει για την μέτρηση της ισχύς στρεφομένων μηχανών. Πάνω στον άξονα της μηχανής που στρέφεται προσαρμόζεται κύλινδρος Κ, που μπορεί να συμπιεσθεί με δυο δοκούς Δ 1 και Δ, που φέρουν κυλινδρικές εσοχές, με τη βοήθεια των κοχλιών k 1 και k. Η δοκός Δ 1 καταλήγει κατά το ένα άκρο της στον βραχίονα Μ, ο οποίος φέρει δίσκο ζυγαριάς. Στο άλλο άκρο της, η δοκός φέρει βραχίονα Μ', πάνω στον οποίο μπορεί να μετακινείται το μεταθετό βάρος Β', που χρησιμεύει για την εξισορρόπηση της δοκού, όταν δεν λειτουργεί ο κινητήρας και ηρεμεί ο άξονας. Όταν ο κινητήρας λειτουργεί και περιστρέφεται ο κύλινδρος Κ, κατά την φορά που δείχνεται στο σχήμα, αν με τους κοχλίες k 1 και k κατεβάζουμε την δοκό Δ 1 και συμπιέσουμε τον στρεφόμενο κύλινδρο, τότε λόγω τριβής ο βραχίονας Μ ανέρχεται και αγγίζει πάνω στο μικρό στέλεχος Σ 1. Τοποθετώντας όμως βάρος Β πάνω στον δίσκο ζυγαριάς μπορούμε να 4.1

70 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Πείραμα 4 Μέτρηση ισχύος κινητήρα πετύχουμε ώστε ο βραχίονας Μ να ταλαντεύεται στο μέσο στελεχών Σ 1 και Σ. Σε αυτήν την περίπτωση η δρώσα τριβή Τ στην περιφέρεια του κυλίνδρου Κ, είναι ίση με την ασκούμενη δύναμη F από την μηχανή πάνω στην περιφέρεια του κυλίνδρου, F Τότε η ροπή της τριβής, ως προς τον άξονα περιστροφής του κυλίνδρου, ισούται με την ροπή του βάρους Β. Δηλαδή: T [4.1] όπου r : η ακτίνα του κυλίνδρου l: η απόσταση του βάρους από τον άξονα του στρεφόμενου κυλίνδρου. Επειδή r T l B rt lb T F T, έπεται ότι: l F B [4.] r Η ισχύς της μηχανής δίδεται, από τη σχέση: P F S t FS t όπου S το διάστημα που διανύεται από την περιφέρεια του κυλίνδρου. Αν η συχνότητα του κυλίνδρου είναι ν στρ./sec, τότε: BlS rt l B r [4.3] και η [4.3] γίνεται: S = πrνt [4.4] P = πνβl [4.5] Εάν τα Β και l δίνονται σε Κp (kilopond) και m (μέτρα) αντίστοιχα, η ισχύς εκφράζεται σε Kpm/s. Εκτέλεση πειράματος 1. Να τεθεί σε λειτουργία ο κινητήρας ξεκινώντας από μια μικρή τάση τροφοδοσίας του. Μεταβάλλοντας την τάση τροφοδοσίας να καταγράψετε την ένδειξη του στροφομέτρου (στροφές/min), περιμένοντας για κάθε μέτρηση 5 min για να σταθεροποιούνται οι στροφές. Η τελική τιμή της τάσης να είναι 0 V. Τα ζεύγη τάσης, στροφές/ min, να καταχωρηθούν στον πίνακα Α. Πίνακας Α Τάση τροφοδοσίας V (Volt) Ένδειξη στροφόμετρου (στροφές/min) 4.

71 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Πείραμα 4 Μέτρηση ισχύος κινητήρα. Τοποθετήστε μία μάζα m 1 =... gr στον βραχίονα Μ (σχήμα 4.1) και στη συνέχεια αρχίστε να βιδώνετε τους κοχλίες k 1 και k μέχρι να πετύχετε ταλάντωση του βραχίονα Μ μεταξύ των στελεχών Σ 1 και Σ. Καταγράψτε την τιμή των στροφ./min.του κινητήρα. Επαναλάβατε το βήμα () και για μάζες m =... gr, m 3 =... gr, m 4 =... gr Οι τιμές αυτές να καταχωρηθούν στον πίνακα Β. Πίνακας Β Τριβή Τ ( Κp) Ένδειξη στροφόμετρου (στροφές/min) 3. Να μετρηθεί το μήκος l που δείχνεται στο σχήμα 4.1 l = (m) και η ακτίνα r του κυλίνδρου r =.. (m) Επεξεργασία των μετρήσεων 1. Να σχεδιαστεί διάγραμμα της μεταβολής των στροφ./min συναρτήσει της τάσης τροφοδοσίας του κινητήρα (τιμές πίνακα Α).. Να σχεδιαστεί διάγραμμα με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων, των τιμών των βαρών Β, των οποίων η ροπή ισούται με την ροπή της τριβής Τ, σαν συνάρτηση του 1/ν όπου ν είναι οι στροφές / min. 3. Να υπολογιστεί η ισχύς του κινητήρα από την κλίση της γραφικής παράστασης Β=f(1/ν), με τη βοήθεια της σχέσης [4.5]. 4.3

72

73 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 5 Θεξκηθή δηαζηνιή κεηαιιηθώλ ζσκάησλ Α Κ Η Η 5 ΘΔΡΜΙΚΗ ΓΙΑΣΟΛΗ ΜΔΣΑΛΛΙΚΩΝ ΩΜΑΣΩΝ Απαξαίηεηεο γλώζεηο Θεξκνθξαζία, ζεξκόηεηα, ζεξκηθή δηαζηνιή ησλ ζηεξεώλ, γξακκηθή ζεξκηθή δηαζηνιή, όξγαλα κέηξεζεο ηεο ζεξκνθξαζίαο. θνπόο ηνπ πεηξάκαηνο Μειέηε ηεο γξακκηθήο δηαζηνιήο κεηαιιηθήο ξάβδνπ ζε ζηαζεξή εμσηεξηθή πίεζε θαη ππνινγηζκόο ηνπ ζπληειεζηή γξακκηθήο δηαζηνιήο. Μέζνδνο Η κέζνδνο είλαη θαζώο ζεξκαίλνπκε ή ςύρνπκε κηα κεηαιιηθή ξάβδν (δηαζηνιή ή ζπζηνιή) λα κεηξάκε ηαπηόρξνλα κε ηελ κεηαβνιή ηεο ζεξκνθξαζίαο ηεο ηελ αληίζηνηρε κεηαβνιή ησλ γεσκεηξηθώλ ραξαθηεξηζηηθώλ ηεο (δηαζηάζεηο κήθνπο θαη δηακέηξνπ). Δπεηδή ε ζρέζε κεηαμύ ηεο κεηαβνιήο κήθνπο θαη ζεξκνθξαζίαο ηεο ξάβδνπ είλαη γξακκηθή, l f( ), ηεο κνξθήο y=bx+α, από ηελ θιίζε απηήο ηεο επζείαο θαη ην ζθάικα ηεο θιίζεο ηεο ππνινγίδνπκε ηνλ ζπληειεζηή γξακκηθήο δηαζηνιήο θαη ην ζθάικα ηνπ. Η δπζθνιία ζην πείξακα απηό είλαη λα γίλεηαη νκνηόκνξθε κεηαβνιή ηεο ζεξκνθξαζίαο ζε όιν ην κήθνο ηεο ξάβδνπ θαη λα έρεη αθξίβεηα ε κέηξεζε ηεο κεηαβνιήο κήθνπο ηεο, γηαηί είλαη ηεο ηάμεο ηνπ εθαηνζηνύ ηνπ ρηιηνζηνύ (0.01 mm ή 1 κm). Γηα απηό ηα κεηαιιηθά δνθίκηα πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη ζην πείξακα έρνπλ ηελ κνξθή κηαο ζηελόκαθξεο ξάβδνπ θνύθηαο πνπ ζηα δύν άθξα ηεο έρεη αλνίγκαηα γηα λα κπνξεί λα παξνρεηεύεηαη αηκόο θαη λα ηελ ζεξκαίλεη. Οη κεηαιιηθέο ξάβδνη παθηώλνληαη ζηαζεξά πάλσ ζε θαηάιιειε βάζε κε ηξόπν ηέηνην ώζηε ε κηα άθξε ηνπο λα αθνπκπά ζε αλαινγηθό θαζεηόκεηξν πνπ ε κηθξόηεξε κεηαβνιή κήθνπο πνπ κεηξά (resolution) είλαη 1 κm. Η θάζε κεηαβνιή ηνπ κήθνπο ησλ ξάβδσλ, δηαζηνιή ή ζπζηνιή, κεηαηνπίδεη ην θηλεηό ζηέιερνο ηνπ θαζεηόκεηξνπ πνπ κεηξά. Η κέηξεζε ηεο κεηαβνιήο ηεο ζεξκνθξαζίαο γίλεηαη ειεθηξνληθά κε έλα αηζζεηήξα ζεξκνθξαζίαο πνπ αθνπκπά εθαπηνκεληθά ηελ επηθάλεηα ηεο ξάβδνπ. Απαξαίηεηα όξγαλα γηα ηε δηεμαγσγή ηνπ πεηξάκαηνο Μεηαιιηθέο ξάβδνη δνθίκηα (Al, Fe, νξεηράιθνπ, κήθνπο 60 cm) Καηάιιειε βάζε γηα ηελ πάθησζε ησλ δνθηκίσλ Καζεηόκεηξα αθξίβεηαο κέηξεζεο 1 κm (0.01 mm) Αηζζεηήξεο κέηξεζεο ζεξκνθξαζίαο Φεθηαθό ζεξκόκεηξν Μνλάδα παξαγσγήο αηκνύ (ειεθηξηθή εζηία, δνρείν κε ζθέπαζκα, ιαζηηρέληνο ζσιήλαο θαη ζθηγθηήξεο, λεξό) 5.1

74 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 5 Θεξκηθή δηαζηνιή κεηαιιηθώλ ζσκάησλ Πεξηγξαθή ηεο πεηξακαηηθήο δηάηαμεο ρήκα 5.1. Η πεηξακαηηθή δηάηαμε. (1) Καζεηόκεηξα, () Μεηαιιηθά δνθίκηα κνξθήο ξάβδσλ κήθνπο 60 cm, (3) Μνλάδα παξαγσγήο αηκνύ, (4) Βάζε ζηήξημεο, (5) Φεθηαθό πνιύκεηξν. Θεσξία Όηαλ κεηαβάιιεηαη ε ζεξκνθξαζία ησλ πιηθώλ ζε ζπλζήθεο ζηαζεξήο εμσηεξηθήο πίεζεο, ηόηε ζπκβαίλνπλ κεηαβνιέο ζηηο δηαζηάζεηο θαη κεηαβνιέο ζηελ θαηάζηαζε ηνπο (ζηεξεά πγξά αέξηα). Καηά ηελ ζέξκαλζε ηα πεξηζζόηεξα ζηεξεά δηαζηέιινληαη νκαιά θαη πνιύ ιίγα ζπζηέιινληαη. Οη κεηαβνιέο ζηηο δηαζηάζεηο ηνπ πιηθνύ κεηξώληαη κέζσ ηνπ ζπληειεζηή ζεξκηθήο δηαζηνιήο α. Σν λεξό ζηελ πγξή ηνπ κνξθή είλαη ραξαθηεξηζηηθό παξάδεηγκα αλώκαιεο δηαζηνιήο. Έρεη αξλεηηθό ζπληειεζηή δηαζηνιήο από ηνπο 0 C έσο ηνπο C γηα απηό ζε απηή ηελ πεξηνρή ζεξκνθξαζηώλ ζπζηέιιεηαη θαη ε ππθλόηεηα ηνπ κεγαιώλεη, κε απνηέιεζκα ην λεξό λα έρεη κεγαιύηεξε ππθλόηεηα από ηνλ πάγν. Δπεηδή ν πάγνο επηπιέεη ζην λεξό ζηε θύζε δηαηεξείηαη ε πδξόβηα δσή. ε απηό ην πείξακα ζα κειεηήζνπκε ηηο κεηαβνιέο ησλ δηαζηάζεσλ πνπ ζπκβαίλνπλ κε ηελ αιιαγή ηεο ζεξκνθξαζίαο, ρσξίο λα έρνπκε κεηαβνιή θαηαζηάζεο ηεο ύιεο. 5. ρήκα 5.. Κακπύιε ηεο κεηαβνιήο ηεο ελέξγεηαο κεηαμύ δύν γεηηνληθώλ αηόκσλ ζε θξπζηαιιηθό πιηθό ζαλ ζπλάξηεζε ηεο κεηαμύ ηνπο απόζηαζεο. Σν αζύκκεηξν ηεο θακπύιεο δείρλεη όηη όηαλ απμάλεηαη ε ελέξγεηα απμάλεηαη θαη ε απόζηαζε κεηαμύ ησλ γεηηνληθώλ αηόκσλ άξα παξαηεξείηαη δηαζηνιή.

75 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 5 Θεξκηθή δηαζηνιή κεηαιιηθώλ ζσκάησλ Γηα λα θαηαλνήζνπκε πνηνηηθά ην θαηλόκελν ηεο ζεξκηθήο δηαζηνιήο, θάλνπκε ηελ παξαδνρή όηη νη δπλάκεηο ειεθηξηθήο θύζεσο, πνπ ζπγθξαηνύλ κεηαμύ ηνπο ηα άηνκα ζε θαλνληθή δηάηαμε ζε έλα θξπζηαιιηθό ζηεξεό, είλαη όκνηεο κε απηέο πνπ ζα αζθνύληαλ αλ απηά ηα άηνκα ήηαλ ζπλδεκέλα κεηαμύ ηνπο κε ειαηήξηα πνπ είλαη επθνιόηεξν λα επηκεθπλζνύλ παξά λα ζπκπηεζζνύλ. ε νπνηαδήπνηε ζεξκνθξαζία ππάξρεη ηαιάλησζε θάζε αηόκνπ ηνπ ζηεξενύ γύξσ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ (πιάηνο ηαιάλησζεο είλαη πεξίπνπ 10-9 cm θαη αληίζηνηρεο ζπρλόηεηαο ηεο ηάμεο Ηz). Όηαλ απμάλεηαη ε ζεξκνθξαζία ηνπ ζηεξενύ, απμάλνληαη ε αληίζηνηρε ελέξγεηα ηαιάλησζεο. Όπσο δείρλεη ε θακπύιε ηεο δπλακηθήο ελέξγεηαο κεηαμύ δύν γεηηνληθώλ αηόκσλ ζε έλα θξπζηαιιηθό ζηεξεό σο ζπλάξηεζε ηεο απόζηαζεο κεηαμύ ησλ ππξήλσλ ηνπο ζην ρήκα 5., νη απόζηαζε κεηαμύ ησλ γεηηνληθώλ αηόκσλ απμάλεη. Όηαλ ε απόζηαζε κεηαμύ δπν γεηηνληθώλ αηόκσλ γίλεη κηθξόηεξε από ηελ ηηκή ηεο απόζηαζεο ηζνξξνπίαο r o, ηόηε έρνπκε ηελ εκθάληζε ηζρπξώλ απσζηηθώλ δπλάκεσλ, κε απνηέιεζκα λα αλεβαίλεη απόηνκα ε θακπύιε δπλακηθήο ελέξγεηαο (F=-dU/dr). Όηαλ ε απόζηαζε κεηαμύ δπν γεηηνληθώλ αηόκσλ γίλεη κεγαιύηεξε από ηελ ηηκή ηεο απόζηαζεο ηζνξξνπίαο r o, ηόηε εκθαλίδνληαη ειθηηθέο δπλάκεηο, πνπ είλαη αζζελέζηεξεο, θαη απηό έρεη σο απνηέιεζκα λα αλεβαίλεη νκαιόηεξα ε θακπύιε δπλακηθήο ελέξγεηαο. Όηαλ αλεβαίλεη ε ζεξκνθξαζία, απμάλεηαη ε ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο θαη κεγαιώλεη ε κέζε απόζηαζε κεηαμύ ησλ αηόκσλ ηνπ ζηεξενύ, κε ζπλέπεηα λα απνκαθξύλνληαη ηα άηνκα κεηαμύ ηνπο θαη λα κεγαιώζνπλ όιεο νη δηαζηάζεηο ηνπ ζώκαηνο, αθόκα θαη ηα θελά δηαζηήκαηα. Έηζη ην ζηεξεό σο ζύλνιν δηαζηέιιεηαη. ηελ θακπύιε ηνπ ρήκαηνο 5. θαίλεηαη όηη ε κέζε απόζηαζε (r 1, r ) κεηαμύ δπν γεηηνληθώλ αηόκσλ ηνπ θξπζηαιιηθνύ ζηεξενύ κεγαιώλεη όηαλ αλεβαίλεη ε ζεξκνθξαζία (Τ >Τ 1 ), δειαδή όηαλ απμάλεηαη ε ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο (Ε >Ε 1 ). Θεηηθόο θαη αξλεηηθόο ζπληειεζηήο γξακκηθήο κεηαβνιήο Γξακκηθή ζεξκηθή δηαζηνιή ελόο ζηεξενύ ιέγεηαη ε κεηαβνιή νπνηαζδήπνηε γξακκηθήο ηνπ δηάζηαζεο, δειαδή γηα παξάδεηγκα ηνπ κήθνπο, ηνπ πιάηνπο ή ηνπ πάρνπο ηνπ, όηαλ απμάλεηαη ε ζεξκνθξαζία ηνπ. Αλ έρνπκε κηα ηέηνηα γξακκηθή δηάζηαζε ηνπ ζηεξενύ θαη απηή έρεη κήθνο l 1 ζε ζεξκνθξαζία θ 1 ο C, ηόηε γηα κεηαβνιή ηεο ζεξκνθξαζίαο θαηά ΔΤ = (73+θ ) (73+θ 1 )=Δθ (σε ο C ή Κ), ε κεηαβνιή ηνπ κήθνπο είλαη Δl = l - l 1 όπνπ l είλαη ην κήθνο ηνπ ζηεξενύ ζε ζεξκνθξαζία θ. Η ζρέζε πνπ ηζρύεη είλαη: Δl = αl 1 Δθ = l - l 1 = αl 1 (θ θ 1 ) [5.1] ή l = l 1 [1+ α (θ -θ 1 )] [5.] a 1 l 1 l [5.3] 5.3

76 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 5 Θεξκηθή δηαζηνιή κεηαιιηθώλ ζσκάησλ Η ζρέζε αλαινγίαο [5.1] ηζρύεη κόλν πξνζεγγηζηηθά γηα κηθξέο κεηαβνιέο ηεο ζεξκνθξαζίαο Δθ. Ο ζπληειεζηήο γξακκηθήο δηαζηνιήο, α, έρεη δηαζηάζεηο Κ -1 ή C -1 θαη εθθξάδεη ηε ζρεηηθή κεηαβνιή ηνπ κήθνπο αλά βαζκό ζεξκνθξαζίαο. Η ηηκή ηνπ εμαξηάηαη από ηε θύζε ηνπ πιηθνύ θαη από ην εύξνο κεηαβνιήο ηεο ζεξκνθξαζίαο ζε πεξίπησζε πνπ απηό είλαη πνιύ κεγάιν. Η ηηκή ηνπ α είλαη ζπλήζσο ζεηηθή, αιιά ππάξρνπλ θαη ιίγα πιηθά κε αξλεηηθό α. Αξλεηηθόο ζπληειεζηήο δηαζηνιήο Αξλεηηθό ζπληειεζηή δηαζηνιήο παξνπζηάδνπλ θάπνηα πιηθά. Αλ απηά αλακηρζνύλ κε πιηθά ζεηηθνύ ζπληειεζηνύ δεκηνπξγνύληαη πιηθά κε ειεγρόκελν ζπληειεζηή δηαζηνιήο, πρ κεδεληθό. Παξαδείγκαηα ηέηνησλ πιηθώλ είλαη ην Cubic Zirconium Tungstate (ZrWO8), ην CaCO 3, ν πάγνο όηαλ έρεη ζεξκνθξαζία κηθξόηεξε από - 00 C (ζηελ εμαγσληθή θπβηθή κνξθή ηνπ). Σα πιηθά κε ειεγρόκελν ζπληειεζηή δηαζηνιήο έρνπλ κεγάιε πξαθηηθή εθαξκνγή, π.ρ. ζηελ θαηαζθεπή νδνληηαηξηθώλ εθαξκνγώλ, θεξακηθώλ εζηηώλ, θιπ. Σν θαηλόκελν αξλεηηθνύ ζπληειεζηή δηαζηνιήο εμεγείηαη κε έλα αξηζκό ησλ θπζηθώλ δηεξγαζηώλ πνπ κπνξεί λα πξνθαιέζεη ζπζηνιή κε αύμεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ πιηθνύ, όπσο εγθάξζηνπο ηξόπνπο ηαιάλησζεο, κεηαβάζεηο θάζεσλ, ηελ ύπαξμε ηεο πςειήο πίεζεο ζε θαηαζηάζεηο κηθξνύ όγθνπ θαη κεγάιεο εληξνπίαο. Σν α είλαη γεληθά έλαο πνιύ κηθξόο αξηζκόο. Γηα κηα κεηαβνιή ζεξκνθξαζίαο 100 ο C, ε ηάμε κεγέζνπο ηεο δηαζηνιήο αλά κέηξν κήθνπο είλαη 1 mm, δειαδή ε πνζνζηηαία κεηαβνιή ηνπ κήθνπο ηνπ ζηεξενύ, Δl /l 1, είλαη ηεο ηάμεο ηνπ 1/1000. ρήκα 5.3. Η κνξθή ηεο κεηαβνιήο ηνπ κήθνπο εμαξηάηαη από ην εύξνο ηεο κεηαβνιήο ηεο ζεξκνθξαζίαο. Όηαλ θ 1 = 0 ο C, θαη l 1 = l 0 ηόηε ε αληίζηνηρε γξαθηθή παξάζηαζε παξηζηάλεηαη από επζεία γξακκή, όπσο θαίλεηαη ζην ρήκα 5.3 (α). Αλ ην εύξνο ηεο κεηαβνιήο ηεο ζεξκνθξαζίαο είλαη κεγάιν, ηόηε ην α εμαξηάηαη από ηε ζεξκνθξαζία θ θαη ε ζρέζε πνπ ζπλδέεη ην κήθνο κε ην α θαη ηε ζεξκνθξαζία είλαη ε αθόινπζε: l T l1 1 a( T1 ) d [5.4] όπνπ l 1 είλαη ην κήθνο ζε κηα ζεξκνθξαζία αλαθνξάο θ 1. Η πεηξακαηηθή θακπύιε πνπ πξνθύπηεη θαίλεηαη ζην ρήκα 5.3 (β). Όπσο βξέζεθε πεηξακαηηθά, ν ζπληειεζηήο γξακκηθήο δηαζηνιήο α ησλ πεξηζζνηέξσλ πιηθώλ ειαηηώλεηαη όηαλ ειαηηώλεηαη ε ζεξκνθξαζία θαη κεδελίδεηαη ζηε ζεξκνθξαζία ηνπ απνιύηνπ κεδελόο (-73 ο C ). Η θακπύιε ηνπ ζρήκαηνο πεξηιακβάλεη έλα νξηδόληην ηκήκα 5.4

77 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 5 Θεξκηθή δηαζηνιή κεηαιιηθώλ ζσκάησλ ζηελ πεξηνρή ησλ πνιύ ρακειώλ ζεξκνθξαζηώλ, πξάγκα πνπ ζεκαίλεη όηη εθεί έρνπκε κεδεληζκό ηνπ dl d. Κπβηθή ζεξκηθή δηαζηνιή Η αύμεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο ζε έλα ζώκα, πγξό ή ζηεξεό, πξνθαιεί θαη αύμεζε όγθνπ. ηα πγξά ζπλήζσο ε δηαζηνιή ηνπ όγθνπ είλαη πεξίπνπ δεθαπιάζηα από ηε δηαζηνιή ηνπ όγθνπ ησλ ζηεξεώλ γηα ηηο ίδηεο ζπλζήθεο. Αο ππνζέζνπκε όηη έρνπκε έλα ηζόηξνπν ζηεξεό. ε απηό ην ζηεξεό, γηα κηα δνζκέλε κεηαβνιή ζεξκνθξαζίαο, ε επί ηνηο εθαηό κεηαβνιή ηνπ κήθνπο είλαη ίδηα γηα όιεο ηηο δηεπζύλζεηο ηνπ ζηεξενύ. Σόηε πξνζεγγηζηηθά ε ζρεηηθή κεηαβνιή ηνπ εκβαδνύ S αλά βαζκό κεηαβνιήο ηεο ζεξκνθξαζίαο ζα δίλεηαη από ηνλ ηύπν : ΔS= α Α Δθ [5.5] θαη ε ζρεηηθή κεηαβνιή ηνπ όγθνπ V αλά βαζκό κεηαβνιήο ηεο ζεξκνθξαζίαο ζα δίλεηαη πξνζεγγηζηηθά από ηελ ζρέζε: ΔV = 3α V Δθ [5.6] ρέζε αλάκεζα ζην ζπληειεζηή θπβηθήο δηαζηνιήο θαη ην ζπληειεζηή γξακκηθήο δηαζηνιήο Θεσξνύκε έλα ηζόηξνπν ζηεξεό πξηζκαηηθό ζώκα από ην πιηθό, κε αξρηθό όγθν V ο θαη κε αθκέο δηαζηάζεσλ x ο, y ο, z ο, δειαδή, V ο = x ο y ο z ο. Όηαλ απμήζνπκε ηε ζεξκνθξαζία θαηά Δθ, ν όγθνο απηνύ ζα γίλεη V θ θαη ζα ηζρύεη ε ζρέζε: V θ = x ο (1+αΔθ) y ο (1+αΔθ) z ο (1+αΔθ) = x ο y ο z ο ( 1+ α Δθ ) 3 = V 0 ( 1+ 3a Δθ + 3α (Δθ) + α 3 (Δθ) 3 ) Οη όξνη πνπ πεξηέρνπλ ην α θαη ην α 3 κπνξνύλ λα απαιεηθζνύλ ρσξίο λα έρνπκε ζεκαληηθό ζθάικα: V θ = V ο (1+3α Δθ) = V ο (1+β Δθ) β = 3α [5.7] Οδεγίεο γηα ηελ εθηέιεζε ηνπ πεηξάκαηνο Πξνζνρή!! Τπάξρεη θίλδπλνο εγθαπκάησλ. Καηά ηελ δηάξθεηα ηνπ πεηξάκαηνο νη ζεξκνθξαζίεο ησλ ξάβδσλ θαη ηνπ βξαζηήξα είλαη πςειέο. Υξεζηκνπνηήζηε ηα θαηάιιεια κνλσηηθά γάληηα. Να θάζεζηε ζε ζθακπό κε ξόδεο ώζηε αλ παξαζηεί αλάγθε λα κπνξείηε λα απνκαθξπλζείηε γξήγνξα από ηνλ πάγθν εξγαζίαο. Γηαηεξείηαη ηελ επηθάλεηα ηνπ πάγθνπ εξγαζίαο ηαρηνπνηεκέλε θξαηώληαο κόλν ηα απαξαίηεηα. Ο βξαζηήξαο είλαη ζπλδεκέλνο πάλσ ζε πνιύκπξηδν. Θεξκαίλεη όζε ώξα έρεηε ην πνιύκπξηδν "αλνηρηό", power on θαη ηνλ δηαθόπηε πάλσ ζηνλ βξαζηήξα αλνηρηό. 5.5

78 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 5 Θεξκηθή δηαζηνιή κεηαιιηθώλ ζσκάησλ 1. Δηζαγσγή: Οη κεηξήζεηο ηηο κεηαβνιήο ηνπ κήθνπο ησλ ξάβδσλ ζε ζπλάξηεζε κε ηηο αληίζηνηρεο κεηαβνιέο ζεξκνθξαζίαο ηνπο ζα γίλνπλ θαηά ηελ δηαδηθαζία ηεο θπζηθήο ςύμεο ησλ ξάβδσλ ζηε ζεξκνθξαζία δσκαηίνπ από ηελ ζεξκνθξαζία πνπ αξρηθά ζεξκάλζεθαλ. Η ξάβδνο πνπ κειεηάηε θάζε θνξά, ζεξκαίλεηαη κε ηνπο αηκνύο πνπ παξάγνληαη από έλα βξαζηήξα θαη δηνρεηεύνληαη κε έλα ιάζηηρν, κέζα ζηε ξάβδν πνπ είλαη θνύθηα. Οη ξάβδνη ζεξκαίλνληαη αξρηθά ζε κηα ηπραία ζεξκνθξαζία κεγαιύηεξε ησλ 60 o C.. Πξηλ θάζε ζέξκαλζε ηεο ξάβδνπ ειέγρεηε ηελ ζηάζκε ηνπ λεξνύ κέζα ζηνλ βξαζηήξα. Πξέπεη λα είλαη κέρξη ηε κέζε. Αλ βάιεηε πεξηζζόηεξν λεξό, απηό θαζώο θνριάδεη θαηά ηνλ βξαζκό πεξλά κέζα ζηνλ ιαζηηρέλην ζσιήλα θαη έηζη δπζθνιεύεη ηελ παξνρή θαζαξώλ αηκώλ. 3. Αζθαιίδεηε ην θαπάθη ηνπ βξαζηήξα ζθίγγνληαο ηηο θαηάιιειεο βίδεο κε δύλακε ηόζε, ώζηε λα μεβηδώλεη κε ην ρέξη ζαο. Οδεγείηε ην ιάζηηρν πνπ βγαίλεη από ην θαπάθη ηνπ βξαζηήξα ζηελ θαηάιιειε ππνδνρή πνπ έρεη ζηελ άθξε ηεο ε ξάβδνο πνπ ζα ζεξκάλεηε. Φξνληίδεηε ην ιάζηηρν λα είλαη όζν γίλεηαη ππεξπςσκέλν ηνπ βξαζηήξα, ώζηε λα δπζθνιεύεηαη ην λεξό λα πεξάζεη θαη λα αλεβαίλνπλ κόλν αηκνί. 4. Η ειεύζεξε άθξε ηεο ξάβδνπ εθάπηεηαη ζε έλα θαζεηόκεηξν (δηαζηεκόκεηξν). Πηέζηε κε ην ρέξη ζαο ην θηλεηό ζηέιερνο ηνπ θαζεηόκεηξνπ θαη παξαηεξήζηε ηελ βειόλα ηνπ πεξηζηξέθεηαη ζην ξνιόη ηνπ θαζεηόκεηξνπ. Γείηε όηη κηα πεξηζηξνθή 360 ν ηνπ δείθηε ηεο βειόλαο ηνπ αληηζηνηρεί ζε 1 mm. Ρπζκίζηε ην ξνιόη ηνπ θαζεηόκεηξνπ ώζηε ν δείθηεο λα δείρλεη ηελ έλδεημε 0 κm. 5. Παξαηεξήζηε πάλσ ζην ξνιόη ηελ βαζκνλόκεζε ηνπ ξνινγηνύ (αξηζκό ππνδηαηξέζεσλ πνπ έρεη δηαηξεζεί ε πεξίκεηξνο) θαη βξείηε ηελ δηαθξηηηθόηεηα ηνπ θαζεηόκεηξνπ. Γξάςηε ζην ηεηξάδηό ζαο ηελ δηαθξηηηθόηεηα ηνπ θαζεηόκεηξνπ ζε mm θαη ζε κm: + mm ή + κm Σν ζεξκόκεηξν πνπ ρξεζηκνπνηείηε γηα ηελ κέηξεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο ηεο ξάβδνπ είλαη ςεθηαθό. Έλα πνιύκεηξν ζπλδέεηαη κε έλα αθξνδέθηε κε ηνλ αηζζεηήξα ζεξκνθξαζίαο. Πξνζνρή: νη αθξνδέθηεο ηεο πξίδαο ηνπ αηζζεηήξα λα είλαη ζπλδεκέλνη κε ηελ ζσζηή πνιηθόηεηα (+ -) πάλσ ζηελ ππνδνρή ηνπ πνιύκεηξνπ. 6. Ο αηζζεηήξαο ζεξκνθξαζίαο ζηεξεώλεηαη πάλσ ζηελ εμσηεξηθή επηθάλεηα ηεο ξάβδνπ. Αλνίμεηε (power on) ην πνιύκεηξν ξπζκίζηε ην λα κεηξά ζεξκνθξαζία. Γξάςηε ζην ηεηξάδηό ζαο ηελ αξρηθή ζεξκνθξαζία ζεξκάλεηαη: ζ ν = + ζ ν ηεο ξάβδνπ πνπ ζα 7. Μεηξήζηε κε ηελ κεηξνηαηλία ην κήθνο ηεο ξάβδνπ θαη κε βεξληέξν ηελ δηάκεηξό ηεο. Γξάςηε ζην ηεηξάδηό ζαο ηηο παξαπάλσ ηηκέο ζηελ κνξθή: L ζν = mm + D ζ0 = mm + 8. Θέζεηε ηελ δηαθξηηηθόηεηα ηνπ ςεθηαθνύ ρξνλόκεηξνπ λα είλαη +1 s. 5.6

79 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 5 Θεξκηθή δηαζηνιή κεηαιιηθώλ ζσκάησλ 9. Γηαδηθαζία ζέξκαλζεο ηεο ξάβδνπ ζε κηα ζεξκνθξαζία από 60 C έσο κέγηζηε ζεξκνθξαζία 90 C: Αλνίμεηε ηνλ δηαθόπηε ηνπ πνιύκπξηδνπ (power on) πνπ ηξνθνδνηεί ηνλ βξαζηήξα θαη ηνλ δηαθόπηε ηνπ βξαζηήξα. Μεηά από ιίγα ιεπηά ην λεξό έρεη βξάζεη θαη παξάγνληαη αηκνί. Οη αηκνί παξνρεηεύνληαη κέζσ ιαζηηρέληνπ ζσιήλα ζην εζσηεξηθό ηεο ξάβδνπ θαη ηελ ζεξκαίλνπλ νκνηόκνξθα. Η ζεξκνθξαζία ηεο απμάλεηαη θαη αξρίδεη λα δηαζηέιιεηαη. Δπεηδή ε παξνρή αηκώλ είλαη κεγάιε, ε ξάβδνο δηαζηέιιεηαη πνιύ γξήγνξα θαη δελ πξνιαβαίλεηε λα κεηξάηε ηα δεύγε ηηκώλ ζεξκνθξαζίαο ζ C θαη επηκήθπλζεο Δl μm. Γη απηό, κεηξήζεηο ζα πάξεηε θαηά ηελ θπζηθή ςύμε ηεο ξάβδνπ, πνπ γίλεηαη κε αξγό ξπζκό. Θεξκαίλεηαη ηελ ξάβδν ζε κηα ζεξκνθξαζία από 60 C έσο κέγηζηε ζεξκνθξαζία 90 C. Κιείsηε ηνλ δηαθόπηε ηνπ πνιύκπξηδνπ θαη ηνπ βξαζηήξα γηα λα δηαθνπή ν βξαζκόο θαη επνκέλσο ε παξνρή αηκώλ ζηε ξάβδν. Tόηε, ηo ξνιόη ηνπ θαζεηόκεηξνπ δείρλεη ηελ ζπλνιηθή επηκήθπλζε ηεο ξάβδνπ. Γξάςηε ζην ηεηξάδηό ζαο ηελ λέα ζεξκνθξαζία ηεο ξάβδνπ θαη κεηξήζηε ηελ λέα ηηκή ηεο δηακέηξνπ ηεο ζηελ κνξθή: L ζ max = mm + D ζ max = mm Γηαδηθαζία κεηξήζεσλ θαηά ηελ ςύμε: Καζώο ε δηαδηθαζία ηεο θπζηθήο ςύμεο ηεο ξάβδνπ έρεη αξρίζεη ζέζεηε ην ρξνλόκεηξν ζε ιεηηνπξγία. Γηα λα κεηξήζηε ηηο ηηκέο κήθνπο Δl ζην θαζεηόκεηξν, ηεο ξάβδνπ ζε ζπλάξηεζε κε ηηο αληίζηνηρεο ηηκέο ζεξκνθξαζίαο ζην πνιύκεηξν θαη ρξόλνπ ζην ρξνλόκεηξν ρξεηάδεηαη θαιόο ζπληνληζκόο θαη ησλ ηξηώλ κειώλ ηεο εξγαζηεξηαθήο νκάδαο. Έλα κέινο ηεο νκάδαο αλαιακβάλεη λα παξαηεξεί ην ξνιόη ηνπ θαζεηόκεηξνπ θαη λα γξάθεη ηελ ηηκή πνπ παξαηεξεί. Τελ ζηηγκή πνπ απνθαζίδεη λα θαηαγξάςεη κηα ηηκή, ηαπηόρξνλα ηα ππόινηπα άιια δύν κέιε ζεκεηώλνπλ ηηο ππόινηπεο κεηξήζεηο. Πάξεηε κεηξήζεηο γηα ηνπιάρηζηνλ 10 κεηαβνιέο ζεξκνθξαζίαο. Καηαλέκεηαη ην εύξνο ησλ κεηξήζεσλ ζαο θαηά ηελ θξίζε ζαο, κέρξη λα πιεζηάζεη ε ξάβδνο ηελ ηηκή δσκαηίνπ. Γξάςηε ζην ηεηξάδηό ζαο ηελ ζεηξά κεηξήζεσλ ζηελ κνξθή Πίλαθα: Έλδεημε θαζεηόκεηξνπ έλδεημε ζεξκόκεηξνπ έλδεημε ρξνλόκεηξνπ (x10 - mm) ( 0 C) (s) Δπαλαιάβεηε ηε παξαπάλσ δηαδηθαζία ζέξκαλζεο θαη ςύμεο γηα δύν ζπλνιηθά δηαθνξεηηθνύ πιηθνύ ξάβδνπο. Πξνζνρή: Πξηλ θάζε λέα ζέξκαλζε λα ειέγρεηε ηε ζηάζκε ηνπ λεξνύ κέζα ζηνλ βξαζηήξα. Γηα λα ζεξκάλεηε ηελ λέα ξάβδν λα απνζπλδέζεηε ην ιάζηηρν από ηελ πξνεγνύκελε θαη λα ην ζπλδέζεηε ζην άθξν ηεο λέαο. Γξάςηε ηνλ λέν Πίλαθα κεηξήζεσλ, όκνηα κε ηνλ πξνεγνύκελν. 1. Πξνζνρή: Να ειέγμεηε όηη είλαη θιεηζηόο (power off) ν δηαθόπηεο πάλσ ζηνλ βξαζηήξα θαη ζην πνιύκπξηδν. Να θιείζεηε θαη ην πνιύκεηξν. 5.7

80 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 5 Θεξκηθή δηαζηνιή κεηαιιηθώλ ζσκάησλ Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ 1. Από ηνλ Πίλαθα κεηξήζεώλ ζαο, γηα θάζε ζεξκνθξαζία κεγαιύηεξε ηνπ δσκαηίνπ, λα ππνινγίζηε ηελ κεηαβνιή κήθνπο κήθνπο Γl (L ζ -L 0 )θαη ηελ κεηαβνιή ζεξκνθξαζίαο Γζ (ζ ζ -ζ 0 )πνπ αληηζηνηρεί.. Γηα θάζε ξάβδν λα ζρεδηάζεηε, ηελ επζεία Δl = f(δθ), κε ηε κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ. 3. Από ηελ θιίζε ηεο θάζε επζείαο θαη ην ζθάικα ηεο θιίζεο ηεο ππνινγίδνπκε ηνλ ζπληειεζηή γξακκηθήο δηαζηνιήο α θαη ην νιηθό πηζαλό ζθάικα δα (ζρέζεηο (1) ζει. Δηο. 17, (9α) ζει. Δηο.8). Γξάςηε ηα απνηέιεζκαηα κε ηελ κνξθή: a Al = ±... (κνλάδεο) (ηηκή) (ζθάικα) a Fe = ±... (κνλάδεο) (ηηκή) (ζθάικα) a ορειχ = ±... (κνλάδεο) (ηηκή) (ζθάικα) 4. Από ηελ βηβιηνγξαθία (π.ρ. HUGH D. YOUNG "Φπζηθή", ηόκνο Α', ζειίδα 41, πίλαθαο 15-1) βξείηε ηηο ζεσξεηηθέο ηηκέο ησλ ζπληειεζηώλ γξακκηθήο δηαζηνιήο ησλ πιηθώλ πνπ κεηξήζαηε θαη ζπγθξίλαηε ηηο κε απηέο πνπ ππνινγίζαηε. (ζρέζε (8) ζει. Δηο.7 ηεο εηζαγσγήο). 5. Από ηα πεηξακαηηθά ζεκεία ζρεδηάζηε ην δηάγξακκα θ= f(t) θαη ζρνιηάζηε ηε κνξθή ηεο θακπύιεο. 6. Ση ζπκπέξαζκα βγάδεηε από ηε κέηξεζε ηεο δηακέηξνπ ηεο ξάβδνπ ζε δπν δηαθνξεηηθέο ζεξκνθξαζίεο; εκείσζε: Πξνζέρηε ώζηε λα εθαξκόζεηε όινπο ηνπο θαλόλεο κέηξεζεο, επεμεξγαζίαο, γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ, ζύγθξηζεο θαη αλαγξαθήο απνηειέζκαηνο (δει. ζεκαληηθά ςεθία, δεθαδηθά ςεθία, ζηξνγγπινπνίεζε, θιίκαθεο ζηνπο άμνλεο ησλ γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ θ.ι.π.) όπσο πεξηγξάθνληαη ζηελ εηζαγσγή. Βηβιηνγξαθία 1. Halliday-Resnick, "Φπζηθή", Μέξνο Α',Κεθ.1. HUGH D. YOUNG "Φπζηθή", ηόκνο Α', Κεθ Κ. Γ. Αιεμόπνπινπ ΘΔΡΜΟΣΗΣΑ 5.8

81 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Α Σ Κ Η Σ Η 6 A ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ Απαραίτητες γνώσεις Περιοδική κίνηση, Νόμος του Hooke - ελαστικότητα, κινητική και δυναμική ενέργεια ελατηρίου, απλή αρμονική ταλάντωση, περίοδος, δύναμη επαναφοράς. Σκοπός του πειράματος 1. Eπιβεβαίωση του νόμος του Hooke πειραματικά. Η μέτρηση της σταθερής του ελατηρίου Μέθοδος Η μέτρηση της σταθερής του ελατηρίου γίνεται με δύο μεθόδους: (α) Μετρώντας τις επιμηκύνσεις του ελατηρίου με γνωστά βάρη, (β) Μετρώντας την περίοδο ταλάντωσης του ελατηρίου όταν έχει επιμηκυνθεί με ένα γνωστό βάρος. Και στις δύο περιπτώσεις γίνεται γραφική παράσταση των μεγεθών που μεταβάλλονται επιλέγοντας κατάλληλα μεγέθη στους άξονες ώστε η καμπύλη της παράστασης να είναι ευθεία. Με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων υπολογίζεται η κλίση της ευθείας σε κάθε περίπτωση και στη συνέχεια υπολογίζεται η σταθερή του ελατηρίου. Απαραίτητα όργανα - 1 ελικοειδές ελατήριο - Διάφορα βάρη - 1μετροταινία - 1 ζυγαριά Θεωρία Μια κίνηση που επαναλαμβάνεται σε κανονικά διαστήματα γύρω από μια θέση ισορροπίας, ονομάζεται ταλάντωση. Για παράδειγμα, μια μάζα δεμένη σ' ένα ελατήριο ταλαντώνεται αν εκτραπεί από τη θέση ισορροπίας της. Το ελατήριο είναι ένα ελαστικό σώμα Ελαστικό ονομάζεται ένα σώμα στο οποίο η προκαλούμενη παραμόρφωση εξαφανίζεται, μόλις πάψει να ενεργεί η δύναμη που την προκαλεί, και έτσι το σώμα επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση. Αυτή η παραμόρφωση προκαλεί μεταβολή στο μέγεθος ή στο σχήμα του ελατηρίου ή και στα δυο. Έτσι όταν μια δύναμη εφαρμόζεται στο άκρο ενός ελατηρίου προκαλεί μια επιμήκυνση ή συμπίεση του ελατηρίου. Το ελατήριο λόγω ελαστικότητας εξασκεί μια δύναμη που τείνει πάντοτε να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας και ονομάζεται δύναμη επαναφοράς. Εάν η μεταβολή στο μήκος x του ελατηρίου δεν είναι πολύ μεγάλη (δεν ξεπερνά δηλαδή το όριο ελαστικότητας) τότε η δύναμη επαναφοράς F είναι ανάλογη του x : 6A.1

82 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις F kx [6.1] Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή σα νόμος του Hooke.Ο συντελεστής αναλογίας k είναι η σταθερά του ελατηρίου, είναι πάντοτε θετική και έχει μονάδες Ν/m. Μπορούμε να θεωρούμε το k σαν το μέτρο της δύναμης ανά μονάδα επιμήκυνσης. Έτσι τα πολύ σκληρά ελατήρια έχουν μεγάλες τιμές του k. Η δύναμη F και η μετατόπιση x έχουν πάντα αντίθετα πρόσημα, ανεξάρτητα αν το σώμα βρίσκεται δεξιά ή αριστερά από τη θέση ισορροπίας. Όταν το ελατήριο τεντώνεται, το x > 0 και η F είναι αρνητική. Όταν το ελατήριο συμπιέζεται, το x < 0 και η F είναι θετική. Έστω ένα ελατήριο με σταθερά k και μήκος l (Σχήμα 6.1α). Όταν στο ελατήριο αυτό κρεμάσουμε στο κάτω άκρο του μια μάζα m, τότε αυτό επιμηκύνεται και το σώμα ισορροπεί σε μια θέση όπου η δύναμη επαναφοράς k Δl είναι ίση κατά μέτρο και αντίθετης φοράς με το βάρος mg, (Σχήμα 6.1β). Αν το σώμα μάζας m το τραβήξουμε λίγο προς τα κάτω και το αφήσουμε ελεύθερο, το σύστημα αρχίζει να ταλαντώνεται. Σχήμα 6.1 Έστω ότι το σώμα βρίσκεται σε μια απόσταση x πάνω από τη θέση ισορροπίας όπως στο Σχήμα 6.1γ. Η επιμήκυνση του ελατηρίου είναι Δl - x, η δύναμη επαναφοράς είναι: k( Δl- x) και σύμφωνα με τον ο νόμο του Νεύτωνα η εξίσωση κίνησης κατά τον κατακόρυφο άξονα θα είναι: mα = k( Δl- x) - mg [6.] m α = - k x [6.3] 6A.

83 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις η διαφορική εξίσωση κίνησης του ελατηρίου είναι d x dt k x 0 m [6.4] Η λύση αυτής της εξίσωσης είναι : x = A sin(ωt+φ) [6.5] Από την [6.5] φαίνεται ότι στην απλή αρμονική ταλάντωση, η θέση x είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου, όπου A είναι το πλάτος της ταλάντωσης, δηλαδή το μέγιστο μέτρο της μετατόπισης από τη θέση ισορροπίας. Το πλάτος είναι πάντοτε θετικό και η μονάδα μέτρησης στο SI είναι το 1 m. Μια πλήρη ταλάντωση, ή κύκλος είναι μια "διαδρομή μετ' επιστροφής", όπως από το A στο - A και πίσω στο A, ή από τη θέση ισορροπίας, Θ.Ι., στο A, μετά στο - A και πάλι πίσω στη Θ.Ι. Η γωνιακή συχνότητα ω, είναι το γινόμενο του π επί τη συχνότητα f ω = π f όπου η ω εκφράζει τον ρυθμό μεταβολής ενός γωνιακού μεγέθους που μετριέται σε ακτίνια. Άρα οι μονάδες της ω είναι rad/sec. Η σταθερά φ ονομάζεται γωνία φάσης (αρχική φάση). Δείχνει σε ποιο σημείο και με πια ταχύτητα άρχισε η κίνηση. Η περίοδος της ταλάντωσης δίνεται από την σχέση: T m k ή T 4 k m [6.6] Η κινητική ενέργεια του σώματος, που είναι δεμένο στην άκρη του ελατηρίου είναι, 1 1 K m, και η δυναμική ενέργεια είναι, U kx. Η εξίσωση της ενέργειας είναι K+U =E = σταθερή. Η ολική ενέργεια εξαρτάται απευθείας από το πλάτος της κίνησης Α. Όταν μελετούμε το ελατήριο σαν απλό αρμονικό ταλαντωτή, εκτός από την προσαρτημένη μάζα m στο κατώτερο άκρο του ελατηρίου, ταλαντώνεται επίσης το ίδιο το ελατήριο μάζας m s. Όμως η μάζα του ταλαντούμενου συστήματος δεν είναι απλά m + m s, γιατί όλα τα μέρη του ελατηρίου δεν ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος. Για παράδειγμα το 6A.3

84 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις κατώτερο άκρο ταλαντώνεται με το ίδιο πλάτος όπως και η μάζα m, ενώ το ανώτερο άκρο παραμένει ακίνητο. Ο διορθωτικός όρος που πρέπει να προστεθεί στη μάζα m υπολογίζεται ως εξής: Έστω L το μήκος του ελατηρίου όταν η μάζα θα ισορροπεί. Θα υπολογίσουμε την κινητική ενέργεια του ελατηρίου σε μια χρονική στιγμή όταν η ταχύτητα του κατώτερου άκρου ή της μάζας m, είναι υ. Θεωρούμε ένα στοιχειώδες κομμάτι του ελατηρίου μήκους dx, σε απόσταση x από το ανώτερο ακίνητο άκρο του. Τότε η μάζα του στοιχειώδους κομματιού του ελατηρίου, dm s, είναι: dm s m s L dx [6.7] Έστω ότι η ταχύτητα μεταβάλλεται γραμμικά από το κατώτερο προς το ανώτερο άκρο του ελατηρίου. Τότε η ταχύτητα υ ς του στοιχειώδους κομματιού θα είναι: s x L [6.8] Η κινητική ενέργεια του στοιχειώδους κομματιού μήκους dx θα είναι : 1 1 m x de dms dx L L 1 x de m dx 3 s L s s [6.9] Και η ολική κινητική ενέργεια του ελατηρίου είναι: L L E de m dx 0 0 s 3 1 x L E m s [6.10] Από την εξίσωση [6.10] φαίνεται ότι η κινητική ενέργεια του ελατηρίου ισούται με την κινητική ενέργεια ενός σώματος που έχει μάζα ίση με το 1/3 της μάζας του ελατηρίου και κινείται με την ίδια ταχύτητα που κινείται και η μάζα m s. Δηλαδή η ισοδύναμη μάζα του συστήματος ταλάντωσης ισούται με την μάζα του εξαρτημένου σώματος συν το ένα τρίτο της μάζας του ελατηρίου (m+ 1/3 m s ). 6A.4

85 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις Εκτέλεση του πειράματος 1η Μέθοδος έμμεσης μέτρησης της σταθερής ελατηρίου 1. Ζυγίστε το ελατήριο (Α), και τη βάση στήριξης των βαρών (Β). Γράψτε τις μετρήσεις στην μορφή m ελατ = (gr) m Β = (gr). Μετρήστε το φυσικό μήκος του ελατηρίου. Γράψτε τις μετρήσεις στην μορφή L o = (mm) 3. Στερεώστε σταθερά το ελατήριο στην άκρη της οριζόντιας ράβδου και στη συνέχεια ρυθμίστε τον δείκτη του ελατηρίου έτσι ώστε αυτός να ακουμπά μόλις πάνω στον κανόνα μέτρησης και να δείχνει μηδέν 0. Η ρύθμιση αυτή επιτυγχάνεται ολισθαίνοντας τον κανόνα πάνω στον κατακόρυφο στηλίσκο, ή μετακινώντας τον σύνδεσμο (Σ) αριστερά ή δεξιά και την οριζόντια ράβδο (Ρ) μέσα έξω. Γράψτε στο τετράδιο μετρήσεων την ένδειξη Δl o =0. 4. Διαδικασία φόρτισης του ελατηρίου: Κρεμάστε διαδοχικά στο ελατήριο 6 διαφορετικά βάρη μάζας m i. (Τα βάρη τοποθετούνται πάνω στο στήριγμα (Β) το οποίο κρέμεται από το ελατήριο.) Καταγράψτε κάθε φορά τη ένδειξη του δείκτη Δl i πάνω στον κανόνα. Προσοχή: ότι η συνολική μάζα m tot, η οποία είναι κρεμασμένη στο ελατήριο κάθε φορά υπολογίζεται από το βάρος των κρεμασμένων βαρών m i, την μάζα της βάσης Β m Β και του 1/3 της μάζας του ελατηρίου 1/3 m ελατ.. m tot, = m i + m Β + 1/3 m ελατ. Σχήμα 6. Πειραματική διάταξη. 6A.5

86 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις Συνδυάστε τα βάρη που σας έχουν δοθεί έτσι ώστε οι τιμές του m i που θα χρησιμοποιήσετε να είναι: 50gr - 70gr - 90gr - 110gr - 130gr - 150gr. Γράψτε τις μετρήσεις στην μορφή Ένδειξη δείκτη πάνω στον χάρακα Βάρος κρεμασμένης μάζας m i (mm) (gr) Διαδικασία φόρτισης του ελατηρίου: Στη συνέχεια και αφού η μάζα των 150 gr είναι τοποθετημένη πάνω στο στήριγμα και αναρτημένη στο ελατήριο αρχίστε να αφαιρείτε διαδοχικά τις μάζες έτσι ώστε να επιστρέφετε στην προηγούμενη τιμή του m i. Κάθε φορά που ξεκρεμάτε μια μάζα καταγράφετε την νέα ένδειξη Δl i του δείκτη. Γράψτε τις μετρήσεις στην μορφή Ένδειξη δείκτη πάνω στον χάρακα Δl i Βάρος κρεμασμένης μάζας m i (mm) (gr) Από τις παραπάνω μετρήσεις να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω Πίνακα. Πίνακας Ι Μάζα m tot m tot = m i + m Β + 1/3 m ελατ. (x10-3 kgr) Δύναμη F =mg (Ν) Επιμήκυνση Φόρτισης Δ l φ (x10-3 m) Επιμήκυνση Αποφόρτισης Δ l α (x10-3 m) Μέση τιμή επιμήκυνση x=( Δ l φ +Δ l α )/ (x10-3 m) η Μέθοδος έμμεσης μέτρησης της σταθερής ελατηρίου 1. Για κάθε μία από τις μάζες m tot που χρησιμοποιήσατε στην 1 η μέθοδο, ακολουθήστε την παρακάτω διαδικασία. Κρεμάστε τη μάζα (με το στήριγμα) στο άκρο του ελατηρίου, τεντώστε το ελατήριο προς τα κάτω, κατά μικρή απόσταση (< 1cm), και αφήστε το κατόπιν ελεύθερο. Αν η ταλάντωση είναι ομαλή σε κατακόρυφο επίπεδο, μετρήστε το χρόνο ταλάντωσης 10 διαδοχικών πλήρων ταλαντώσεων, δηλαδή 10 περιόδων. Επαναλαμβάνετε την κάθε μέτρηση όλα τα μέλη της ομάδας. Γράψτε τις μετρήσεις στην μορφή 6A.6

87 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις Χρόνος t=10τ (s) Βάρος κρεμασμένης μάζας m tot + (x10 - kgr) 1)... ).. 3) )... ).. 3) )... ).. 3) Επαναλάβετε το στάδιο 1 της εκτέλεσης του πειράματος και για τις υπόλοιπες μάζες. 6. Aπό τις παραπάνω μετρήσεις να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω Πίνακα. Μάζα m tot m tot = m i + m Β + 1/3 m ελατ (x10-3 kgr) t 10T 1 1 (s) Πίνακας ΙI t 10T (s) t 10T 3 3 (s) Μέση Περίοδος Ταλάντωσης T ( t t t ) 30 (s) 1 3 Επεξεργασία των μετρήσεων 1η Μέθοδος 1. Από τις τιμές του Πίνακα Ι, σχεδιάστε με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων την γραφική παράσταση της δύναμης F που εφαρμόζεται στο ελατήριο σαν συνάρτηση της επιμήκυνσης Δl που προκαλεί στο ελατήριο. Η γραφική παράσταση να γίνει με τον τρόπο που περιγράφεται στις σελίδες 17 και 18 της εισαγωγής.. Επειδή η σχέση F l είναι γραμμική της μορφής y=bx+α, όπου α~0, ο υπολογισμός της κλίσης της ευθείας και του σφάλματος της κλίσης επιτρέπει τον έμμεσο υπολογισμό της σταθεράς ελατηρίου k και του σφάλματός της δk (σχέσεις (1) σελ. Εις. 17, (9α) σελ. Εις.8). Γράψτε τα αποτέλεσματα με την μορφή: k= ±... (μονάδες) (τιμή) (σφάλμα) 6A.7

88 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις η Mέθοδος 1. Αp;o τις τιμές του Πίνακα IΙ, σχεδιάστε με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων την γραφική παράσταση m tot =f(τ ) της μάζας που εφαρμόζεται στο ελατήριο σαν συνάρτηση της περιόδου ταλάντωσης του ελατηρίου. Η γραφική παράσταση να γίνει με τον τρόπο που περιγράφεται στις σελίδες 17 και 18 της εισαγωγής.. Από την σχέση [6.6] φαίνεται ότι η συνάρτηση mtot T είναι γραμμική της 1 μορφής y=bx+α, όπου y m, x T, b (4 / k). O υπολογισμός της κλίσης της ευθείας και του σφάλματος της κλίσης επιτρέπει τον έμμεσο υπολογισμό της σταθεράς ελατηρίου k και του σφάλματός της δk (σχέσεις (1) σελ. Εις. 17, (9α) σελ. Εις.8). Γράψτε τα αποτέλεσματα με την μορφή: k= ±... (μονάδες) (τιμή) (ολικό πιθανό σφάλμα) Σχολιάστε ποια από τις παραπάνω μεθόδους υπολογισμού του k είναι πιο αξιόπιστη. Βιβλιογραφία 1. Halliday-Resnick, Φυσική, Μέρος Α, κεφ. 15. Alonso- Finn, Μηχανική Ι, κεφ.1 3. Μαθήματα Φυσικής, Πανεπ. Berkeley, Μηχανική Ι 4. HUGH D. YOUNG, Φυσική, Μέρος Α, κεφ. 6. 6A.8

89 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις Α Σ Κ Η Σ Η 6 Β ΣΥΖΕΥΓΜΕΝΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ Θεωρία Συζευγμένο εκκρεμές ονομάζουμε το σύστημα δυο εκκρεμών, που ανάμεσά τους δρουν δυνάμεις εξαρτώμενες από την εκτροπή που έχουν τα εκκρεμή. Σχήμα 6.3 Συζευγμένο εκκρεμές Αν συνδέσουμε μεταξύ τους με ένα λεπτό ελατήριο δυο όμοια εκκρεμή Ε 1 και Ε, (σχήμα 6.3) τότε στην κατάσταση ηρεμίας του συστήματος τα Ε 1 και Ε βρίσκονται σε θέση, που σχηματίζει γωνία φ 0 ελαφρώς προς τα μέσα σε σχέση με την κατακόρυφο. Αυτή η θέση λέγεται «μηδενική». Η ροπή Μ F που εμφανίζεται λόγω του ελατηρίου F δίνεται από τη σχέση : Μ F = - D F y 0 l [6.11] όπου D F η σταθερά του ελατηρίου και y 0 η επιμήκυνση του ελατηρίου σε σχέση με την κατάσταση ηρεμίας του. 6B.1

90 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις Λόγω της βαρύτητας ασκείται και η ροπή Μ Β που είναι αντίθετη της ροπής Μ F. Η συνολική ροπή που δρα στο σύστημα, αν κρατήσουμε ακίνητο το εκκρεμές Ε 1 και απομακρύνουμε το εκκρεμές Ε από την αρχική κατάσταση ηρεμίας («μηδενική» θέση) κατά μια γωνία φ, δίνεται από τη σχέση : Μ = - mgl(φ φ 0 ) - D F (y 0 + l φ ) l = = - mglφ - D F l φ [6.1] Στη συνέχεια απομακρύνουμε το εκκρεμές Ε 1 από τη θέση του κατά γωνία φ 1. Η συνολική ροπή που ασκείται τότε δίνεται από τη σχέση : Μ = - mglφ 1 + D F l (φ φ 1 ) [6.13] Από δυο οποιεσδήποτε θέσεις φ 1 και φ αφήνουμε τα εκκρεμή Ε 1 και Ε ελεύθερα. Οι αντίστοιχες επιταχύνσεις που αποκτούν, λόγω των ροπών Μ και Μ, δίνονται από τις σχέσεις : d 1 M dt d dt M [6.14] όπου Ι η ροπή αδράνειας της μάζας m ως προς άξονα περιστροφής κάθετο στο σημείο στήριξης του εκκρεμούς, που είναι ίδια για τα δύο εκκρεμή. Με βάση τα προηγούμενα, θα ισχύουν οι ακόλουθες εξισώσεις : d 1 I M mgl 1 DF l ( 1) dt [6.15] d I M mgl DFl ( 1) dt [6.16] Αν θέσουμε : mgl 0 και D F [6.17] l I τότε οι παραπάνω εξισώσεις γίνονται : 6B.

91 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις d 1 01 ( 1 ) [6.18] dt d 0 ( 1 ) [6.19] dt Για τρεις διαφορετικές αρχικές συνθήκες προκύπτουν τρεις διαφορετικοί τύποι ταλαντώσεων: ταλάντωση κατά την ίδια φορά, ταλάντωση κατά την αντίθετη φορά και περίπτωση διακροτήματος beat case. 1.Ταλάντωση με την ίδια φορά. Αρχικά απομακρύνουμε τα δυο εκκρεμή από την αρχική θέση ηρεμίας τους κατά την ίδια γωνία φ. Τη χρονική στιγμή t = 0 τα δυο εκκρεμή αφήνονται ελεύθερα και εκτελούν ταλαντώσεις με την ίδια κυκλική συχνότητα gl 0 και ίδια φάση. Δηλαδή οι αρχικές συνθήκες έχουν την ακόλουθη μαθηματική διατύπωση : t = 0 : 1, d dt d [6.0] dt 1 0 και η επίλυσή τους έχει ως εξής : 1( 0 t ) ( t ) cos t [6.1] Η ένταση της σύζευξης δεν επηρεάζει αυτόν τον τύπο ταλάντωσης..ταλάντωση κατά την αντίθετη φορά. Απομακρύνουμε τα δυο εκκρεμή Ε 1 και Ε από τις αρχικές θέσεις ηρεμίας τους κατά αντίστοιχες γωνίες φ 1= - φ και φ = + φ. Τη χρονική στιγμή t = 0 τα δυο εκκρεμή αφήνονται ελεύθερα να ταλαντώνονται. Οι ταλαντώσεις τους γίνονται με την ίδια κυκλική συχνότητα ω geg, αλλά με αντίθετη φορά. Σε αυτήν την περίπτωση ταλάντωσης, που το ελατήριο διαδοχικά συμπιέζεται και τεντώνεται, η διάρκεια της ταλάντωσης επηρεάζεται δραστικά από παράγοντες όπως η σταθερά του ελατηρίου και άλλες ιδιότητές του. Εδώ οι αρχικές συνθήκες έχουν την ακόλουθη μαθηματική διατύπωση : d1 d t = 0 : 1, 0 [6.] dt dt και η επίλυσή τους έχει ως εξής : 1(t ) cos 0 t και 6B.3

92 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις ( t ) cos 0 t [6.3] Είναι προφανές ότι η συχνότητα, geg 0 t [6.4] έχει μεγάλη εξάρτηση από το Ω. 3. Beat case. Σε αυτήν την περίπτωση εκτρέπουμε από τη θέση ισορροπίας του μόνο το εκκρεμές Ε 1 κατά μια γωνία φ 1 = φ, ενώ το εκκρεμές Ε παραμένει σταθερό στη δική του θέση ισορροπίας. Τη χρονική στιγμή t = 0 αφήνουμε ελεύθερα και τα δυο εκκρεμή. Αρχικά μόνο το εκκρεμές Ε 1 εκτελεί ταλάντωση, αλλά, όσο περνάει ο χρόνος, το ελατήριο F μεταφέρει ενέργεια στο εκκρεμές Ε, που αρχίζει να ταλαντώνεται. Η ενέργεια, που είχε αρχικά το E 1, τελικά μεταφέρεται στο εκκρεμές Ε και τότε η κίνηση του Ε 1 σταματά. Το ίδιο φαινόμενο της μεταφοράς ενέργειας από το ένα εκκρεμές στο άλλο επαναλαμβάνεται με μεταφορά ενέργειας από το Ε στο Ε 1 αυτή τη φορά. Οι αρχικές συνθήκες, που ισχύουν σε αυτήν την περίπτωση, έχουν την ακόλουθη μαθηματική διατύπωση : t = 0 1, d1 d 0 0 [6.5] dt dt Οι λύσεις είναι οι εξής : ( t ) cos t cos t [6.6] ( t ) sin t sin t [6.7] Για όχι πολύ ισχυρή σύζευξη, δηλαδή για ω 0 >>Ω : [6.8] Η ω 1 είναι σχετικά μικρή συχνότητα ως προς την ω : [6.9] 0 Ως βαθμό σύζευξης Κ για ταλάντωση κατά την ίδια φορά ορίζoυμε : 6B.4

93 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις DFl K mgl D F l 0 [6.30] Από τις εξισώσεις [6.8] και [6.4] προκύπτει το Κ για ταλάντωση κατά την αντίθετη φορά: K geg gl ) ( [6.31] geg gl όπου, ω geg είναι το ω για ταλάντωση με αντίθετη φορά ω gl είναι το ω για ταλάντωση με ίδια φορά. Για την τρίτη περίπτωση ταλάντωσης (beat case) ο βαθμός σύζευξης Κ προκύπτει από τις εξισώσεις [6.8] και [6.9] : 1 K [6.3] 1 Για περίπτωση ταλάντωσης κατά την ίδια φορά, η περίοδος είναι : T gl gl Για την περίπτωση ταλάντωσης κατά την αντίθετη φορά, προκύπτει (από τις σχέσεις [6.30] και [6.31]) : D A geg 0 l mgl και η περίοδος δίνεται από τη σχέση : 0 T geg [6.33] geg ενώ για την περίπτωση ταλάντωσης beat case από τις σχέσεις [8.3] και [8.33] προκύπτει : D 1 A 0 l και D A 0 l 0 mgl mgl [6.34] T, όπου Τ S είναι ο χρόνος μεταξύ δυο διαδοχικών T με και S 1 καταστάσεων, δηλαδή μέχρι να ηρεμήσει το ένα από τα δύο εκκρεμή. 6B.5

94 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις Εκτέλεση του πειράματος : (Στη συγγραφή της αναφορά σας θα σας βοηθήσουν σημαντικά οι βασικοί κανόνες που περιγράφονται στις σελίδες 5 και 6 της εισαγωγής). 1. Να μετρήσετε την περίοδο ταλάντωσης Τ 0, ίδια και για τα δυο εκκρεμή, αφού αποσυνδέστε το ελατήριο που τα συνδέει μεταξύ τους.. Να συνδέσετε το ελατήριο στο ίδιο ύψος l και για τα δυο εκκρεμή. 3. Να προκαλέσετε στο σύστημα ταλαντώσεις κατά την ίδια φορά, αντίθετη φορά και beat case και να βρείτε για πολλά διαφορετικά μήκη l τις αντίστοιχες περιόδους Τ gl, Τ geg, Τ και Τ S των ταλαντώσεων. 4. Να συγκρίνετε τις Τ 0 και Τ gl (είναι ίδιες;). Επεξεργασία των μετρήσεων : 1. Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα για κάθε μήκος l και για κάθε είδος ταλάντωσης το βαθμό σύζευξης Κ, καθώς και τη μέση τιμή της περιόδου ταλάντωσης. Να καταχωρήσετε τις αντίστοιχες τιμές σε πίνακες.. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων geg geg ( l ), S S ( l ) και 1 1 ( l ), υπολογίζοντας τις εξισώσεις των ευθειών y = Α + Β x. 6B.6

95 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 7 Θεξκηδνκεηξία ΘΔΡΜΙΓΟΜΔΣΡΙΑ Α Κ Η Η 7Α ΔΙΓΙΚΗ ΘΔΡΜΟΣΗΣΑ - ΘΔΡΜΟΥΩΡΗΣΙΚΟΣΗΣΑ ΣΔΡΔΩΝ Απαξαίηεηεο γλώζεηο Θεξκόηεηα, ζεξκνθξαζία κίγκαηνο, Νόκνο Dulong-Petit, εζσηεξηθή ελέξγεηα, ζεσξία Debye γηα ηε ζεξκνρσξεηηθόηεηα ησλ ζηεξεώλ, ζεξκηθή αγσγηκόηεηα ζηεξενύ. θνπόο ηνπ πεηξάκαηνο 1. Τπνινγηζκόο ηεο ζεξκνρσξεηηθόηεηαο ηνπ ζεξκηδόκεηξνπ.. Τπνινγηζκόο ηεο εηδηθήο ζεξκνρσξεηηθόηεηαο, θαη ηεο κνξηαθήο ζεξκνρσξεηηθόηεηαο ηνπ ραιθνύ. Μέζνδνο Όηαλ ζεξκά δείγκαηα ζηεξενύ ή πγξνύ, ηνπνζεηνύληαη κέζα ζε ζεξκηδόκεηξν, ην νπνίν είλαη γεκάην κε λεξό δηαθνξεηηθήο ζεξκνθξαζίαο, ε ζεξκνρσξεηηθόηεηα ησλ δεηγκάησλ κπνξεί λα πξνζδηνξηζηεί από ηε κεηαβνιή ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ λεξνύ. Απαξαίηεηα όξγαλα Θεξκαληηθή ζπζθεπή Ζιεθηξηθή εζηία ζέξκαλζεο Θεξκηδόκεηξν (δνρείν Dewar ) Θεξκόκεηξν Επγαξηά Πεξηγξαθή ηωλ νξγάλωλ Θεξκηδόκεηξν Με ην ζεξκηδόκεηξν κπνξεί λα ππνινγηζζεί ε θερμοχωρητικότητα θαη θπξίσο ε ειδική θερμότητα, ζηεξεώλ ζσκάησλ θαη πγξώλ, ζύκθσλα κε ηνλ ν λόκν ηεο ζεξκνδπλακηθήο. Όηαλ εθαξκόδεηαη ν λόκνο απηόο ζην ζύζηεκα ηνπ ζεξκηδόκεηξνπ ζα πξέπεη λα ιεθζεί ππόςε θαη ε ζεξκνρσξεηηθόηεηα ηνπ ζεξκηδόκεηξνπ, πνπ νθείιεηαη ζηα κέξε ηεο ζπζθεπήο ηα νπνία έξρνληαη ζε επαθή κε ην λεξό. Απηά είλαη: ηα ηνηρώκαηα ηνπ δνρείνπ, ν αλαδεπηήξαο, ην ζεξκόκεηξν. Δπίζεο ππάξρεη δηαξξνή ζην πεξηβάιινλ από ην ζθέπαζκα. ην ρήκα 7.1 δείρλεηαη έλα ζεξκηδόκεηξν, όπνπ: (1) Πιαζηηθή βάζε. () Γνρείν Dewar 50 ml, έρεη γπάιηλα ηνηρώκαηα, επαξγπξσκέλα εζσηεξηθά, κεηαμύ ησλ νπνίσλ ππάξρεη πςειό θελό. (3) θέπαζκα. 7A.1

96 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 7 Θεξκηδνκεηξία (4) Γπν εθηαηά ειαηήξηα γηα λα ζηεξεώλνπλ ην ζθέπαζκα. (5) 'Άλνηγκα ζην νπνίν ηνπνζεηείηαη ην ζεξκόκεηξν. (6) Αλαδεπηήξαο κε πιέγκα πάλσ ζηνλ νπνίν ηνπνζεηείηαη ην δείγκα. ΠΡΟΟΥΖ! λα θξαηάηε ην ζεξκηδόκεηξν από ην δνρείν (), γηαηί κε ηε ζέξκαλζε κπνξεί λα απνθνιιεζεί από ηε βάζε. ρήκα 7.1 Θεξκηδόκεηξν Θεωξία Μεηάδνζε ζεξκόηεηαο. Ζ ζεξκόηεηα είλαη κηα κνξθή ελέξγεηαο ε νπνία κπνξεί λα κεηαθεξζεί από έλα ζώκα ζε θάπνην άιιν κε δηάθνξνπο κεραληζκνύο. Οη κεραληζκνί απηνί είλαη: (i) Αγωγή είλαη ε κεηαθνξά κεραληθήο ελέξγεηαο κεηαμύ δύν ζσκάησλ. Όηαλ ηα δύν ζώκαηα έιζνπλ ζε επαθή, ιόγσ ηεο δηαθνξάο ζεξκνθξαζίαο αλάκεζά ηνπο, ηα δύν ζώκαηα ηείλνπλ λα έιζνπλ ζε ζεξκηθή ηζνξξνπία, (ii) Μεηαθνξά όηαλ κηα κάδα κεηαθηλείηαη ζην ρώξν κηαο άιιεο, (iii) Αθηηλνβνιία όπνπ ε δηάδνζε ελέξγεηαο γίλεηαη κε ειεθηξνκαγλεηηθά θύκαηα. Ζ ζεξκνθξαζία ελόο ζώκαηνο κπνξεί λα αιιάμεη πξνζθέξνληαο ή απάγνληαο ζεξκόηεηα από απηό. Θερμοχωρητικότητα C ελόο ζώκαηνο, νξίδεηαη ε αλαγθαία πνζόηεηα ηεο ζεξκόηεηαο δq πνπ απνξξνθάηαη από ην ζώκα γηα λα κεηαβάιιεη ηε ζεξκνθξαζία ηνπ θαηά 1 ο C. Δθθξάδεηαη ζην S.I. ζε Joule ανά Kelvin (JK -1 ) C= δq/dt [7.1] (δq και ότι dq) 7A.

97 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 7 Θεξκηδνκεηξία ηνλ 1 ν Νόκν ηεο ζεξκνδπλακηθήο, du = δq-δw, όπνπ U είλαη ε εζσηεξηθή ελέξγεηα. Οη "Q" θαη "W" είλαη πνζόηεηεο, όρη ηδηόηεηεο θαη δελ ραξαθηεξίδνπλ κηα νξηζκέλε θαηάζηαζε ηνπ ζπζηήκαηνο. Q είλαη ε πνζόηεηα απνξξνθεκέλεο ή απνδηδόκελεο ζεξκόηεηαο Ζ ηηκή ηνπο εμαξηάηαη από ηε δηαδξνκή πνπ αθνινύζεζε ην ζύζηεκα γηα λα θζάζεη ζηε ζπγθεθξηκέλε θαηάζηαζε. Ζ νινθιήξσζε ηεο "δq" θαη ηεο " δw" δίλεη κηα πεπεξαζκέλε πνζόηεηα θαη όρη ηελ δηαθνξά δπν ηηκώλ. Ζ ζεξκόηεηα αληηζηνηρεί πάληνηε ζε κεηαθνξά ελέξγεηαο ιόγσ δηαθνξάο ζεξκνθξαζίαο. Γελ έρεη λόεκα λα ιέκε "ε πνζόηεηα ζεξκόηεηαο ζην ζώκα". Ο όξνο ζεξκνρσξεηηθόηεηα είλαη αηπρήο γηαηί δίλεη ηε ιαζεκέλε εληύπσζε όηη ην ζώκα πεξηέρεη θάπνην πνζό ζεξκόηεηαο. Δηδηθή ζεξκόηεηα (ή εηδηθή ζεξκνρωξεηηθόηεηα) c ελόο ζώκαηνο είλαη ε απαηηνύκελε πνζόηεηα ζεξκόηεηαο γηα λα κεηαβιεζεί ε ζεξκνθξαζία 1 Kg ζώκαηνο θαηά 1 Ο C, δειαδή είλαη ε ζεξκνρσξεηηθόηεηα αλά Kg ηνπ ζώκαηνο. C 1 Q c [7.] m m T εθθξάδεηαη ζε Joule ανά Kelvin ανά Kg (J K -1 Kg -1 ) ζην S.I. Γξακκνκνξηαθή ζεξκνρωξεηηθόηεηα (ή γξακκνκνξηαθή εηδηθή ζεξκόηεηα) C m ελόο ζώκαηνο, είλαη ην πνζό ηεο ζεξκόηεηαο πνπ ρξεηάδεηαη θάζε mole ηνπ ζώκαηνο, γηα λα κεηαβιεζεί ε ζεξκνθξαζία ηνπ θαηά 1 Ο C, δειαδή είναι ηο γινόμενο ηης ειδικής θερμόηηηας επί ηο μοριακό βάρος (κνλάδα κάδαο ζεσξείηαη ην κνξηαθό βάξνο). C m = cmβ = cal mole -1 K -1 [7.3] ηε ζεξκνρσξεηηθόηεηα ησλ ζηεξεώλ ζπλεηζθέξνπλ πνιινί παξάγνληεο. Ο θπξηόηεξνο παξάγνληαο είλαη νη ηαιαληώζεηο πιέγκαηνο ησλ θξπζηαιιηθώλ ζηεξεώλ. ηα παξακαγλεηηθά άιαηα, πνπ είλαη ζύζηεκα καγλεηηθώλ δίπνισλ, ζπλεηζθέξεη ν βαζκόο πξνζαλαηνιηζκνύ ησλ δίπνισλ. ηα κέηαιια ζπλεηζθέξνπλ ηα ειεθηξόληα αγσγηκόηεηαο. Απηνί νη παξάγνληεο κπνξνύλ λα κειεηεζνύλ ρσξηζηά γηαηί αιιειεπηδξνύλ αζζελέζηαηα κεηαμύ ηνπο. Ζ πνζόηεηα ηεο απνξξνθεκέλεο ή απνδηδόκελεο ζεξκόηεηαο δq, θαζώο κεηαβάιιεηαη ε ζεξκνθξαζία, εμαξηάηαη θαη δηαθνξνπνηείηαη αλάινγα κε ηηο ζπλζήθεο ηνπ πεξηβάιινληνο: ζε ζπλζήθεο κε ζηαζεξό όγθν ζε C v, ζε ζπλζήθεο κε ζηαζεξή πίεζε ζε C p. ηα ζηεξεά ηζρύεη: C p = C v [7.4] Καηά ηνλ ζεσξεηηθό ππνινγηζκό ηεο γξακκνκνξηαθήο ζεξκνρσξεηηθόηεηαο C m, εθαξκόδνληαη ζηαηηζηηθέο κέζνδνη. ηελ Κιαζηθή ηαηηζηηθή Μεραληθή, ην ζεώξεκα ηεο ηζνθαηαλνκήο ηεο ελέξγεηαο νδεγεί ζηε ζηαζεξή ηηκή "3R" ζε όιεο ηηο 7A.3

98 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 7 Θεξκηδνκεηξία ζεξκνθξαζίεο, θαηά παξάβαζε ησλ πεηξακάησλ θαη ηνπ ηξίηνπ Νόκνπ ηεο ζεξκνδπλακηθήο. C v = 3R (Dulong-Petit) [7.5] Σν βαζηθό βήκα γηα ηελ άξζε απηήο ηεο αζπκθσλίαο, κεηαμύ Κιαζηθήο Θεσξίαο θαη πεηξάκαηνο, έθαλε ν Einstein, ην 1907, ν νπνίνο κειέηεζε ηηο ηαιαληώζεηο πιέγκαηνο ζύκθσλα κε ηελ Κβαληηθή Θεσξία. Βειηηώζεηο ζηε ζεσξία ηνπ Einstein έγηλαλ από ηνλ Debye: 3 D / T 4 x dq de T x e dx C 3 3 V NK x dt V dt V [7.6] D 0 e 1 όπνπ: x = hf/κτ, θαη "f" ε ζπρλόηεηα ησλ πιεγκαηηθώλ ηαιαληώζεσλ. Θ D = ζεξκνθξαζία Debye, h = ζηαζεξά ηνπ Plank, k = R / N, ζηαζεξά ηνπ Boltzmann R = 8,317 Joule / Kelvin, ζηαζεξά ησλ αεξίσλ, Ν = 6, μόρια (αξηζκόο Avogadro). ην όξην ησλ πςειώλ ζεξκνθξαζηώλ (Τ>>Θ D ), ε ζρέζε [7.6] παίξλεη ηε κνξθή ηνπ λόκνπ ησλ Dulong-Petit: C v = 3R = 3NK [7.7] ην όξην ησλ ρακειώλ ζεξκνθξαζηώλ (Τ<<Θ D ), ε ζρέζε [7.6] παίξλεη ηελ κνξθή: C v = 1/5 π 4 ΝΚ(Τ/ Θ D ) [7.8] ην ρήκα 7., θαίλνληαη νη γξακκνκνξηαθέο ζεξκνρσξεηηθόηεηεο C v κεξηθώλ πιηθώλ. Ζ γξακκή Η εθθξάδεη ην λόκν ησλ Dulong-Petit, ε θακπύιε ΗΗ ηελ ζεσξία ησλ Debye. ην δηάγξακκα θαίλνληαη κεξηθά εθιεγκέλα ζεκεία κόλν. 7A.4

99 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 7 Θεξκηδνκεηξία ρήκα 7. Γξακκνκνξηαθέο ζεξκνρσξεηηθόηεηεο ζαλ ζπλάξηεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο Μεηάδνζε ζεξκόηεηαο κε αγωγή. Όηαλ δπν ζώκαηα δηαθνξεηηθήο ζεξκνθξαζίαο έξζνπλ ζε επαθή θαη είλαη ζεξκηθά κνλσκέλα από ην πεξηβάιινλ ηνπο, κε βάζε ηνλ 0 Νόκν ηεο ζεξκνδπλακηθήο, κεηαθέξεηαη ζεξκόηεηα από ην ζεξκόηεξν ζην ςπρξόηεξν ζώκα, κέρξη λα απνθηήζνπλ ηελ ίδηα ζεξκνθξαζία. Ζ ζρέζε πνπ πεξηγξάθεη ην θαηλόκελν είλαη: c 1 m 1 (θ 1 -θ m ) = c m (θ m -θ ) [7.9α] ή κε ηε βνήζεηα ηεο [7.], c 1 m 1 (θ 1 -θ m ) = C (θ m -θ ) [7.9β] όπνπ c 1, c : νη εηδηθέο ζεξκόηεηεο ησλ ζσκάησλ, C : ε ζεξκνρσξεηηθόηεηα ηνπ ελόο ζώκαηνο m 1, m : νη κάδεο ησλ ζσκάησλ, θ 1, θ : νη αξρηθέο ζεξκνθξαζίεο ησλ ζσκάησλ θ m : ε κέγηζηε ζεξκνθξαζία πνπ παξαηεξείηαη θαηά ηελ ζεξκηθή ηζνξξνπία ηνπ ζπζηήκαηνο (ε ηειηθή ζεξκνθξαζία ηνπ ζπζηήκαηνο).. Θεξκηθέο απώιεηεο. ηα πεηξάκαηα κε ην ζεξκηδόκεηξν, πάληα δηαξξέεη έλα πνζό ζεξκόηεηαο ζην πεξηβάιινλ. ηα απιά πεηξάκαηα κε ην ζεξκηδόκεηξν, όηαλ ηα πιηθά είλαη θαινί αγσγνί ηεο ζεξκόηεηαο ην κίγκα θζάλεη ζηελ ηειηθή ηνπ ζεξκνθξαζία πνιύ γξήγνξα. Έηζη ν ρξόλνο γηα δηαξξνέο ζεξκόηεηαο είλαη κηθξόο θαη ην πνζό ηεο ζεξκόηεηαο πνπ δηαξξέεη είλαη πνιύ κηθξό. Αληίζεηα όηαλ ηα πιηθά είλαη θαθνί αγσγνί ηεο ζεξκόηεηαο, απνδίδνπλ ηε ζεξκόηεηά ηνπο πνιύ αξγά θαη ν ρξόλνο είλαη αξθεηόο γηα λα ππάξρεη κεγάιε δηαξξνή ζεξκόηεηαο. Όηαλ απαηηείηαη κεγάιε αθξίβεηα ζην πείξακα, πξέπεη λα ιακβάλεηαη ππόςε ε δηαξξνή ζεξκόηεηαο. 7A.5

100 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 7 Θεξκηδνκεηξία Ο Newton ππνιόγηζε όηη ην πνζό ηεο ζεξκόηεηαο πνπ ράλεηαη ζην πεξηβάιινλ, είλαη αλάινγν ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ πεξηβάιινληνο. Οδεγίεο γηα ηελ εθηέιεζε ηνπ πεηξάκαηνο Σν Πέηξακα πεξηιακβάλεη ζηάδηα, ηα Α θαη Β. Μεηξήζεηο πεηξάκαηνο ζην Β ζηάδην ην Α ζηάδην γίλνληαη κεηξήζεηο γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο ζεξκνρσξεηηθόηεηαο ηνπ ζεξκηδόκεηξνπ. Σα ζώκαηα κεηαμύ ησλ νπνίσλ γίλεηαη αληαιιαγή ζεξκόηεηαο είλαη ην ζεξκηδόκεηξν θαη ην λεξό, όπνπ ην λεξό είλαη ζεξκόηεξν ηνπ ζεξκηδόκεηξνπ. m θερμ/ηροσ = + gr m θερμ/ηροσ+νερού = + gr θ αρτ θερμι/ηροσ = + 0 C θ αρτ νερού = + 0 C θ ηελ θερμ/ηροσ+νερού = + 0 C m νερού = (m θερμιδόμεηροσ +νερού ) (m θερμιδόμεηροσ )= + gr ρήκα 7.3 Μεηξήζεηο πεηξάκαηνο ζην Β ζηάδην ην Β ζηάδην γίλνληαη κεηξήζεηο γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο εηδηθήο ζεξκόηεηαο ηνπ ραιθνύ. Σα ζώκαηα κεηαμύ ησλ νπνίσλ γίλεηαη αληαιιαγή ζεξκόηεηαο είλαη ην ζύζηεκα ζεξκηδόκεηξνπ λεξνύ κε ηνλ ραιθό, όπνπ ν ραιθόο είλαη ζεξκόηεξνο ηνπ ζεξκηδόκεηξνπ. m θερμ/ηροσ+νερού = + gr m Cu = + gr θ αρτική, θερμιδ. + νερού = + 0 C θ Cu = + 0 C θ ηελ, θερμιδ.+ νερού + Cu = + 0 C ρήκα 7.4 7A.6

101 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 7 Θεξκηδνκεηξία Α ζηάδην: Τπνινγηζκόο ηεο ζεξκνρωξεηηθόηεηαο ηνπ ζεξκηδόκεηξνπ 1. Αληηγξάςηε ζην ηεηξάδην κεηξήζεσλ ζαο ην ρήκα 7.3 γηα λα ζπκπιεξώζεηε πάλσ ζε απηό ηηο κεηξήζεηο πνπ δεηνύληαη. Ο ηξόπνο πνπ ζα πάξεηε ηηο κεηξήζεηο πεξηγξάθεηαη ζηε ζπλέρεηα.. Αλνίμηε ηελ ζέξκαλζε ζηελ δεμακελή ηνπ λεξνύ θαη ηνπνζεηήζηε ηνλ δηαθόπηε ζηνπο κεηαμύ 40 θαη 50 0 C. Όηαλ ν ιακπηήξαο ηεο ζπζθεπήο ζβήζεη ην λεξό έρεη απνθηήζεη επηιεγκέλε ζεξκνθξαζία πνπ επηιέμαηε. Καηά ηε δηάξθεηα ζέξκαλζεο ηνπ λεξνύ ζηελ ζπζθεπή ζέξκαλζεο εθηειέζηε ηα παξαθάησ θαη 3 βήκαηα ηεο εθηέιεζεο. 3. Να δπγηζηεί ην ζεξκηδόκεηξν άδεην θαη θιεηζηό καδί κε ην θαπάθη θαη ηνλ αλαδεπηήξα. Αλ ρξεηάδεηαη πξηλ ηε δύγηζε, ζθνππίζεηε ην ζεξκηδόκεηξν κε δηεζεηηθό ραξηί. πκπιεξώζηε ηελ κέηξεζε ζην ηεηξάδην ζαο (ρήκα 7.3). m θερμιδόμεηροσ = + gr 4. Σνπνζεηήζηε ηνλ αηζζεηήξα ηνπ ςεθηαθνύ ζεξκόκεηξνπ ζηελ θαηάιιειε ππνδνρή ηνπ ζεξκηδνκέηξνπ (ζέζε [5] ζην ρήκα 7.1). Ο αηζζεηήξαο ηνπνζεηείηαη όινο κέζα ζην ζεξκηδόκεηξν έηζη ώζηε ην άθξν ηνπ λα είλαη ιίγν πην πάλσ από ηνλ ππζκέλα ηνπ ζεξκηδνκέηξνπ. Μεηξήζηε ηελ αξρηθή ζεξκνθξαζία ηνπ ζεξκηδόκεηξνπ. πκπιεξώζηε ηελ κέηξεζε ζην ηεηξάδην ζαο (ρήκα 7.3). θ αρτική θερμιδόμεηροσ = + 0 C Σν ζεξκηδόκεηξν παξακέλεη θιεηζηό (αζθαιηζκέλν) κε ην ζεξκόκεηξν λα παξακέλεη κέζα ζην ζεξκηδόκεηξν. 5. Μεηξήζηε κε ζεξκόκεηξν ηελ ζεξκνθξαζία ηνπ λεξνύ κέζα ζηελ δεμακελή δεζηνύ λεξνύ θαη ακέζσο κεηά κε έλα βνεζεηηθό δνρείν κεηαθέξεηαη πνζόηεηα δεζηνύ λεξνύ κέζα ζην ζεξκηδόκεηξν. Σν λεξό ην βάδεηε κέζα ζην ζεξκηδόκεηξν αθνύ πξώηα απαζθαιίζεηε ην θαπάθη ηνπ ζεξκηδνκέηξνπ θαη γεκίζηε ην θαηά ηα /3 κε ην δεζηό λεξό. Αζθαιίζηε μαλά ην θαπάθη ηνπ ζεξκηδνκέηξνπ. Ζ δηαδηθαζία απηή πξέπεη λα γίλεη γξήγνξα ώζηε λα κελ ειαηησζεί ε ζεξκνθξαζία ηνπ δεζηνύ λεξνύ πξηλ κπεη ζην ζεξκηδόκεηξν. πκπιεξώζηε ηελ κέηξεζε ζην ηεηξάδην ζαο (ρήκα 7.3). θ αρτική ζεζηού νερού = + 0 C 6. Αλαδεύεηε, κε ηελ βνήζεηα ηνπ αλαδεπηήξα (6) ζην ρήκα 7.1, ζπλέρεηα ην λεξό γηα 1 πεξίπνπ ιεπηό, ρσξίο λα βξαρεί ην θαπάθη, θαη ζηε ζπλέρεηα δηαβάζηε ηελ ηειηθή ζεξκνθξαζία πνπ δείρλεη ην ζεξκόκεηξν θαη είλαη ε ζεξκνθξαζία ηνπ ζπζηήκαηνο ζεξκηδόκεηξν λεξό. πκπιεξώζηε ηελ κέηξεζε ζην ηεηξάδην ζαο (ρήκα 7.3). θ ηελική ζσζηήμαηος = + 0 C 7A.7

102 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 7 Θεξκηδνκεηξία 7. Αθαηξέζηε ηνλ αηζζεηήξα από ην ζεξκηδόκεηξν θαη δπγίζηε ην ζεξκηδόκεηξν καδί κε ην λεξό. πκπιεξώζηε ηελ κέηξεζε ζην ηεηξάδην ζαο (ρήκα 7.3). m θερμιδόμεηροσ + νερού = + gr Τπνινγίζηε ηε κάδα ηνπ λεξνύ θαη ζπκπιεξώζηε ηελ κέηξεζε ζην ηεηξάδην ζαο (ρήκα 7.3). m νερού = (m θερμιδόμεηροσ +νερού ) (m θερμιδόμεηροσ )= + gr Β. Τπνινγηζκόο ηεο εηδηθήο ζεξκόηεηαο ζηεξεώλ (Cu). 1. Αληηγξάςηε ζην ηεηξάδην κεηξήζεσλ ζαο ην ρήκα 7.4 γηα λα ζπκπιεξώζεηε πάλσ ζε απηό ηηο κεηξήζεηο πνπ δεηνύληαη. Ο ηξόπνο πνπ ζα πάξεηε ηηο κεηξήζεηο πεξηγξάθεηαη ζηε ζπλέρεηα.. Μεηά ην ζηάδην Α κπνξείηε λα ρξεζηκνπνηήζεηε ην ζεξκηδόκεηξν κε ην ίδην λεξό. 3. Να δπγηζηεί ην δείγκα ηνπ ραιθνύ. πκπιεξώζηε ηελ κέηξεζε ζην ηεηξάδην ζαο (ρήκα 7.4). m ταλκού = + gr 4. Σνπνζεηήζηε ην δείγκα ηνπ ραιθνύ κέζα ζε δνρείν πνπ πεξηέρεη λεξό κέρξη ηε κέζε θαη βξίζθεηαη πάλσ ζε εζηία ζέξκαλζεο. Σν δείγκα είλαη αλεξηεκέλν πάλσ από ην δνρείν ηνπ λεξνύ έηζη ώζηε λα βξίζθεηαη όιν κέζα ζην λεξό αιιά λα κελ αθνπκπάεη ηνλ ππζκέλα ηνπ δνρείνπ. Αλνίγεηαη ηελ εζηία ζέξκαλζεο. Όηαλ αξρίζεη λα βξάδεη ην λεξό αθήλνπκε ην δείγκα ηνπ ραιθνύ λα ζεξκαλζεί κέζα ζην λεξό πνπ βξάδεη γηα 10 min. Σόηε, ιόγσ ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο ηνπ πιηθνύ ηνπ ραιθνύ, ε ζεξκνθξαζία ηνπ ζα είλαη πεξίπνπ θ Cu C. πκπιεξώζηε ηελ κέηξεζε ζην ηεηξάδην ζαο (ρήκα 7.4). Καηά ηε δηάξθεηα ζέξκαλζεο ηνπ λεξνύ ζηελ ζπζθεπή ζέξκαλζεο εθηειέζηε ην παξαθάησ 4 θαη 5 βήκαηα ηεο εθηέιεζεο. Πξνζνρή: λα πξνζέρεηε ηνλ βξαζηήξα. Τπάξρεη θίλδπλνο ΔΓΚΑΤΜΑΣΟ. 5. Αλ δελ ρξεζηκνπνηήζεηε ην ζεξκηδόκεηξν κε ην ίδην λεξό ηνπ ζηάδηνπ Α, λα γεκίζηε εθ λένπ ην ζεξκηδόκεηξν, ιίγν πην πάλσ από ηε κέζε, κε θξύν λεξό θαη θιείζηε ην θαπάθη ηνπ (αζθαιίζηε ην). Επγίζηε ην ζεξκηδόκεηξν καδί κε ην λεξό, γηα λα ππνινγηζηεί ε κάδα ηνπ λεξνύ. πκπιεξώζηε ηελ κέηξεζε ζην ηεηξάδην ζαο (ρήκα 7.4). m θερμιδόμεηροσ +νερού = + gr Άξα, m νερού = (m θερμιδόμεηροσ +νερού ) (m θερμιδόμεηροσ )= + gr 6. Σνπνζεηήζηε ηνλ αηζζεηήξα ηνπ ςεθηαθνύ ζεξκόκεηξνπ ζηελ θαηάιιειε ππνδνρή ηνπ ζεξκηδνκέηξνπ, όπσο πεξηγξάθηεθε πξηλ. 7A.8

103 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 7 Θεξκηδνκεηξία 7. Αθνύ ν ραιθόο έρεη ζεξκαλζεί γηα 10 min κέζα ζην λεξό πνπ βξάδεη είλαη έηνηκνο γηα λα ηνλ κεηαθέξνπκε κέζα ζην ζεξκηδόκεηξν λεξό. Από ην ζεξκόκεηξν δηαβάζηε ηελ αξρηθή ζεξκνθξαζία ηνπ ζπζηήκαηνο ζεξκηδόκεηξνπ/λεξνύ πξηλ αθξηβώο ξίμνπκε κέζα ην δείγκα ηνπ ραιθνύ. πκπιεξώζηε ηελ κέηξεζε ζην ηεηξάδην ζαο (ρήκα 7.4). θ αρτική, θερμιδ. + νερού = + 0 C 8. εθώζηε ιίγν ην θαπάθη ηνπ ζεξκηδνκέηξνπ θαη θξαηώληαο ην δείγκα ηνπ ραιθνύ, πνπ βξίζθεηαη κέζα ζην λεξό πνπ βξάδεη, από ην λήκα πνπ θξέκεηαη, βπζίζηε ην γξήγνξα κέζα ζην ζεξκηδόκεηξν, ώζηε ε αληαιιαγή ζεξκόηεηαο κε ην πεξηβάιινλ λα είλαη κηθξή (ην λήκα ζα κείλεη έμσ από ην ζεξκηδόκεηξν). ηε ζπλέρεηα λα αζθαιίζηε ην θαπάθη. 9. Αλαδεύεηε ζπλέρεηα ην λεξό ρσξίο λα βξαρεί ην θαπάθη γηα 1 min θαη ζηε ζπλέρεηα δηαβάζηε ηελ ηειηθή ζεξκνθξαζία ηνπ ζπζηήκαηνο ζεξκηδόκεηξνπ/ λεξνύ/ ραιθνύ. πκπιεξώζηε ηελ κέηξεζε ζην ηεηξάδην ζαο (ρήκα 7.4). θ ηελική, θερμιδ.+ νερού + Cu = + 0 C. Eπεμεξγαζία κεηξήζεωλ Α. Τπνινγηζκόο ηεο ζεξκνρωξεηηθόηεηαο ηνπ ζεξκηδόκεηξνπ 1. ην πξώην κέξνο ηνπ πεηξάκαηνο γίλεηαη αληαιιαγή ζεξκόηεηαο κεηαμύ δπν ζσκάησλ: α) ζεξκηδόκεηξνπ (ςπρξόηεξν ζώκα) θαη β) λεξνύ (ζεξκόηεξν ζώκα). Υξεζηκνπνηώληαο θαηάιιεια ηηο κεηξήζεηο ζαο από ηελ ζρέζε [7.9β], ππνινγίζηε ηελ ζεξκνρωξεηηθόηεηα ηνπ ζεξκηδόκεηξνπ, C θερμιδ.. Από ηελ ζρέζε (9) ζει. Δηο.7, ππνινγίζηε ην νιηθό πηζαλό ζθάικα ηεο ζεξκνρσξεηηθόηεηαο ηνπ ζεξκηδόκεηξνπ, ζ Cθερμιδ.. Β. Τπνινγηζκόο ηεο εηδηθήο ζεξκνρωξεηηθόηεηαο ηνπ Cu 1. ην δεύηεξν κέξνο ηνπ πεηξάκαηνο γίλεηαη αληαιιαγή ζεξκόηεηαο κεηαμύ ησλ ζσκάησλ: α) ζπζηήκαηνο ζεξκηδόκεηξνπ/λεξνύ (ςπρξόηεξν ζώκα) θαη β) ραιθνύ (ζεξκόηεξν ζώκα). Ο ραιθόο δίλεη ζεξκόηεηα ίζε κε: Q mcuc Cu ( Cu ) [7.10] Όπνπ, θ ηελ = θ ηελική, ζσηήμαηος: θερμιδ.+νερού + Cu Σελ ζεξκόηεηα απηή ηελ παίξλεη ην ζύζηεκα ζεξκηδόκεηξνπ/ λεξνύ: Q C ( ) m. c ( ) ό ύ ύ ό 7A.9

104 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 7 Θεξκηδνκεηξία Q ( C mύ. cύ).( ό ) [7.11] (Την θ Cu ηην θεωρούμε περίποσ ίζη με C) (*) : c νερού : ε εηδηθή ζεξκόηεηα λεξνύ (J/g.K) m νερού : κάδα λεξνύ ( gr ) m Cu : κάδα δείγκαηνο ραιθνύ ( gr ) θ θερμ.-νερό : αξρηθή ζεξκνθξαζία ζεξκηδνκέηξνπ-λεξνύ ( ο C) θ Cu : αξρηθή ζεξκνθξαζία δείγκαηνο ραιθνύ κεηά ηελ ζέξκαλζε ηνπ ( ο C) θ ηελ. : ηειηθή ζεξκνθξαζία ζπζηήκαηνο ζεξκηδόκεηξνπ-λεξνύ-cu ( ο C) C θερμιδ. : ε ζεξκνρσξεηηθόηεηα ηνπ ζεξκηδόκεηξνπ (J/K) Ζ εηδηθή ζεξκόηεηα ηνπ λεξνύ είλαη: c νερού = 4,187 Joule / gr K = 1 cal / gr K = 1 Kcal /Kg Κ.. Δμηζώλνληαο ηηο ζρέζεηο [7.10] θαη [7.11] θαη ιύλνληαο σο πξνο c Cu, ππνινγίζηε ηελ εηδηθή ζεξκόηεηα ηνπ δείγκαηνο ηνπ ραιθνύ πνπ κειεηήζεθε ζην πείξακα. 3. Να ππνινγηζηεί ε εηδηθή ζεξκόηεηα c cu θαη ε γξακκνκνξηαθή ζεξκνρωξεηηθόηεηα (γξακκνκνξηαθή εηδηθή ζεξκόηεηα) ηνπ ραιθνύ από ηηο ζρέζεηο [7.] θαη [7.3] αληίζηνηρα. 4. Από ηελ ζρέζε (9) ζει. Δηο.7, ππνινγίζηε ην νιηθό πηζαλό ζθάικα ηεο εηδηθήο ζεξκόηεηαο ηνπ ραιθνύ, ζ Ccu.. 5. Από ηελ βηβιηνγξαθία (π.ρ. HUGH D. YOUNG, Φπζηθή, Μέξνο Α, ζειίδα 47, πίλαθαο 15-3) βξείηε ηηο ζεσξεηηθέο πξνζεγγηζηηθέο ηηκέο γηα ηελ εηδηθή ζεξκόηεηα θαη ηελ γξακκνκνξηαθή ζεξκνρωξεηηθόηεηα ηνπ Cu θαη ζπγθξίλαηε ηηο κε ηηο αληίζηνηρεο ηηκέο πνπ ππνινγίζαηε ζην πείξακα. πγθξίλεηε ηηο ηηκέο κε ηελ βνήζεηα ηεο ζρέζεο (8), ζει. Δηο. 7 ηεο εηζαγσγήο. Παξάξηεκα (*) Ζ αθξηβήο ζεξκνθξαζία θ Cu ηεο ζρέζεο [7.10] ππνινγίδεηαη σο εμήο: Ζ ζεξκνθξαζία ησλ δεηγκάησλ, κεηά ηελ ζέξκαλζή ηνπο, είλαη ίδηα κε ηελ ζεξκνθξαζία βξαζκνύ ηνπ λεξνύ. Ζ ζεξκνθξαζία βξαζκνύ ηνπ λεξνύ εμαξηάηαη από ηελ αηκνζθαηξηθή πίεζε θαη ππνινγίδεηαη από ηελ ζρέζε: θ δ = 100+0,076(p-1013mbar)-0,000017(p-1013mbar) [7.11] όπνπ : p είλαη ζε mbar θ δ είλαη ζε ο C. Ζ πίεζε p είλαη ε πίεζε ζην ρώξν πνπ γίλεηαη ην πείξακα. ηαζεξέο 7A.10

105 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 7 Θεξκηδνκεηξία Κ = R / N = 3, Kcal / K R = 1,986 Kcal/ Kmole K=8,313 Joule / mole K N L =6, Βηβιηνγξαθία 1. Halliday-Resnick, Φπζηθή, Μέξνο Α, θεθ. 1-, -, -3, -4, 3-7, HUGH D. YOUNG, Φπζηθή, Μέξνο Α, θεθ. 15-5, 15-6, 15-7, A.11

106 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 7 Θεξκηδνκεηξία 7A.1

107 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 7 Θεξκηδνκεηξηα Α Σ Κ Η Σ Η 7 Β ΛΟΓΟΣ C P / C V ΤΩΝ ΑΕΡΙΩΝ Απαπαίηηηερ γνώζειρ Δηδηθή ζεξκόηεηα, ζεξκνρσξεηηθόηεηα, αδηαβαηηθή κεηαβνιή, ζεξκνδπλακηθνί βαζκνί ειεπζεξίαο, αξκνληθή ηαιάλησζε, νο Νόκνο ηνπ Newton. Σκοπόρ ηος πειπάμαηορ Μέηξεζε ηνπ αδηάζηαηνπ ιόγνπ Cp/Cv ηνπ αέξα. Μέθοδορ Η κέζνδνο πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζεί ζηεξίδεηαη ζηελ ηδέα ηνπ Ruckhardt θαη βαζίδεηαη ζηελ αδηαβαηηθή ζπκπίεζε αεξίνπ. Απαπαίηηηα όπγανα Α) Γπάιηλνο ζσιήλαο αθξηβείαο, κήθνπο 60 cm θαη δηακέηξνπ 16 mm. Β) Αηζάιηλε ζθαίξα δηακέηξνπ 16 mm. Γ) Γπάιηλν δνρείν 10 lt, κε δπν αλνίγκαηα, πνπ θιείλνπλ αεξνζηεγώο κε δπν ιαζηηρέληα πώκαηα. Η κεηαιιηθή ζθαίξα πξέπεη λα εθάπηεηαη ζηα εζσηεξηθά ηνηρώκαηα ηνπ γπάιηλνπ ζσιήλα αθξηβείαο.όηαλ ν γπάιηλνο ζσιήλαο θξαηηέηαη ζε θαηαθόξπθε ζέζε θαη ην θάησ άθξν ηνπ θιείζεη (π.ρ. κε ην δάρηπιν) πξηλ αθήζνπκε ηε ζθαίξα λα πέζεη κέζα ζ' απηόλ, ηόηε ε ζθαίξα ζα βπζηζηεί πνιύ αξγά. Ο ρξόλνο πνπ ρξεηάδεηαη γηα λα δηαζρίζεη ε ζθαίξα ηνλ ζσιήλα είλαη αξθεηόο, γηαηί ν αέξαο πνπ είλαη θιεηζκέλνο κεηαμύ ηνπ δαρηύινπ θαη ηεο ζθαίξαο βγαίλεη πνιύ αξγά από ην πέξαζκα, κεηαμύ ησλ ηνηρσκάησλ ηνπ ζσιήλα θαη ηεο ζθαίξαο. Οηαλ αληί γηα ην θάησ άθξν ηνπ ζσιήλα, θιείζνπκε ην πάλσ άθξν ε ζθαίξα ζα βπζηζζεί ην ίδην αξγά. Απηό ηζρύεη γηαηί ν αέξαο πάλσ από ηελ ζθαίξα είλαη αξαηόο θαη ε αηκνζθαηξηθή πίεζε είλαη κεγαιύηεξε από ηελ πίεζε κέζα ζηνλ εζώθιεηζην ρώξν, κε απνηέιεζκα λα ζηεξίδεη ηελ ζθαίξα. Όηαλ είλαη αλνηρηά θαη ηα δπν άθξα ηνπ ζσιήλα ε ζθαίξα πέθηεη γξήγνξα κέζα ζ' απηόλ. Αλ ην έλα άθξν ηνπ ζσιήλα θιείζεη μαθληθά, ε ζθαίξα ζα θξελάξεη απόηνκα θαη ζα ηαιαλησζεί κεξηθέο θνξέο πξηλ ζπλερίζεη λα βπζίδεηαη ζηγά πξνο ηα θάησ. Θεωπία Αδιαβαηική μεηαβολή Σαλ αδηαβαηηθή κεηαβνιή ραξαθηεξίδνληαη νη κεηαβνιέο ηεο θαηάζηαζεο ηνπ ζπζηήκαηνο ζην νπνίν απνθιείνληαη ηπρόλ αληαιιαγέο ελέξγεηαο κε ην πεξηβάιινλ, (κέζσ ησλ ηνηρσκάησλ). 7B.1

108 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 7 Θεξκηδνκεηξηα Δπεηδή δελ ζπκβαίλεη πξόζιεςε ή απνβνιή ζεξκόηεηαο ΔQ, δειαδή ΔQ = 0 ηόηε ν 1 νο λόκνο ηεο ζεξκνδπλακηθήο, ΔU = ΔQ-ΔW, παίξλεη ηελ κνξθή: ΔU = - ΔW ΔQ = 0 Η ζρέζε κεηαμύ πίεζεο θαη όγθνπ θαηά ηελ αδηαβαηηθή κεηαβνιή, δίλεηαη από ηελ εμίζσζε: PV γ = ζηαθερό Όπνπ γ είλαη ζηαζεξή, πνπ εμαξηάηαη από ηελ θύζε ηνπ αεξίνπ. Σην Σρήκα 7.5 θαίλεηαη ην δηάγξακκα P V αδηαβαηηθήο κεηαβνιήο. Σρήκα 7.5 Αδηαβαηηθή κεηαβνιή. Γεληθά ε αδηαβαηηθή κεηαβνιή απνηειεί ζεσξεηηθή κεηαβνιή, γηαηί πξαθηηθά είλαη αδύλαην λα επηηύρνπκε ηειείσο ζεξκηθέο κνλώζεηο. Πξαθηηθά κηα αδηαβαηηθή κεηαβνιή επηηπγράλεηαη, όηαλ γίλεηαη κε κεγάιε ηαρύηεηα, κε ηξόπν ώζηε λα δηαξθεί ιίγν ρξόλν θαη λα κελ γίλεηαη αληαιιαγή ζεξκόηεηαο κε ην πεξηβάιινλ. Τα παξαπάλσ απνδεηθλύνληαη κε ην αεξηθό πύξεην Σρήκα 7.6 Η ζπζθεπή είλαη γπάιηλνο θύιηλδξνο, πνπ θέξεη έκβνιν πνπ εθαξκόδεη αεξνζηεγώο. Μέζα ππάξρεη εύθιεθηε ύιε. Ωζώληαο γξήγνξα ην έκβνιν, κπνξνύκε λα ζπκπηέζνπκε απόηνκα ηνλ αέξην ρώξν. Τν έξγν πνπ θαηαλαιώλεηαη γηα ηελ ζπκπίεζε κεηαηξέπεηαη ζε ζεξκόηεηα. Λόγσ ηεο κεγάιεο ηαρύηεηαο κε ηελ νπνία ζπκπηέδνπκε ην αέξην, δελ πξνθηαίλεη λα κεηαδνζεί ε ζεξκόηεηα πξνο ηα έμσ, έηζη πξνθαιείηαη αύμεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο κέρξη ηέηνηνπ βαζκνύ πνπ γίλεηαη αλάθιεμε ηεο εύθιεθηεο νπζίαο. Σ' απηό ην θαηλόκελν ζηεξίδεηαη ε αλάθιεμε ηνπ θαπζίκνπ ζηνπο θηλεηήξεο Diesel. 7B.

109 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 7 Θεξκηδνκεηξηα Σρήκα 7.6 Αεξηθό πύξεην Eιδική θεπμόηηηα αεπίων Eηδηθή ζεξκόηεηα ππό ζηαζεξή πίεζε (C p ): Δίλαη ίζε αξηζκεηηθά κε ηελ ζεξκόηεηα, πνπ πξέπεη λα δνζεί ζε κάδα 1 gr ηνπ αεξίνπ, γηα λα απμήζεη ηελ ζεξκνθξαζία ηνπ θαηά 1 ο C, δηαηεξώληαο ηελ πίεζή ηνπ ζηαζεξή, όζε ώξα ζεξκαίλεηαη. Eηδηθή ζεξκόηεηα ππό ζηαζεξό όγθν (C v ): Δίλαη ίζε αξηζκεηηθά κε ηελ ζεξκόηεηα, πνπ πξέπεη λα δνζεί ζε κάδα 1 gr ηνπ αεξίνπ, γηα λα απμήζεη ηελ ζεξκνθξαζία ηνπ θαηά 1 ο C, δηαηεξώληαο ηνλ όγθν ηνπ ζηαζεξό, όζε ώξα ζεξκαίλεηαη. Η ζρέζε πνπ ηζρύεη κεηαμύ ησλ εηδηθώλ ζεξκνηήησλ είλαη: C p > C v.η εηδηθή ζεξκόηεηα ππό ζηαζεξή πίεζε (C p ) κπνξεί λα κεηξεζεί άκεζα από ην πείξακα, γηα παξάδεηγκα κε ην ζεξκηδόκεηξν όπσο είδακε πξηλ, ελώ ε εηδηθή ζεξκόηεηα ππό ζηαζεξό όγθν (C v ) κπνξεί λα κεηξεζεί έκκεζα από ην ιόγν γ = C p / C v, πνπ έρεη ηηκή κεγαιύηεξε ηεο κνλάδαο εθόζνλ C p > C v. Η ηηκή ηνπ γ εμαξηάηαη από ηνλ αξηζκό ησλ αηόκσλ πνπ πεξηέρνληαη ζηα κόξηα. Σηα κνλναηνκηθά είλαη κεγαιύηεξε από ηα δηαηνκηθά. Πίλαθαο Ι- Γξακκνκνξηαθέο ζεξκνρσξεηηθόηεηεο αεξίσλ ζε ρακειέο πηέζεηο. Αέριο Cp (J/mol.K) Cσ (J/mol.K) γ = Cp / Cv He 0,8 1,5 1,67 Ar 0,8 1,5 1,67 H 8,8 0,4 1,41 N 9,1 0,8 1,40 O 9,4 1,1 1,40 CO 37,0 8,5 1,30 7Β.3

110 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 7 Θεξκηδνκεηξηα Θεωπία πειπάμαηορ Σχήμα 10.7 Πειραματική διάταξη Τνπνζεηνύκε ην ζσιήλα αθξηβείαο θαηαθόξπθα κε ηε βνήζεηα ελόο ιαζηηρέληνπ πώκαηνο, Σρήκα 7.7, πάλσ από έλα γπάιηλν θιεηζηό δνρείν πνπ πεξηέρεη έλα αέξην. Αθήλνπκε λα πέζεη κέζα ζην ζσιήλα κηα ζθαίξα, πνπ ζα θάλεη αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ζηνλ αέξα, εμ' αηηίαο ηνπ εζώθιεηζηνπ όγθνπ αέξα. Λόγσ ηεο απώιεηαο ελέξγεηαο από ηηο ηξηβέο νη ηαιαληώζεηο είλαη θζίλνπζεο. Aλ ε πίεζε p κέζα ζην γπάιηλν δνρείν είλαη ίζε κε ην άζξνηζκα ηεο αηκνζθαηξηθήο πίεζεο θαη ηεο πίεζεο πνπ νθείιεηαη ζην βάξνο ηεο ζθαίξαο, ε ζθαίξα είλαη ζε ηζνξξνπία: p p o mg A [7.1] όπνπ m: ε κάδα ηεο ζθαίξαο p o: ε αηκνζθαηξηθή πίεζε Α: ην εκβαδόλ ηεο δηαηνκήο ηνπ γπάιηλνπ ζσιήλα g : ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο. Όηαλ ε ζθαίξα δηαλύζεη κηα απόζηαζε x θάησ από ηελ ζέζε ηζνξξνπίαο ε πίεζε αιιάδεη θαηά dp. Tόηε κηα δύλακε Αdp αζθείηαη πάλσ ζηελ ζθαίξα, δίλνληαο ηεο επηηάρπλζε d x/dt. Λόγσ ηνπ νπ αμηώκαηνο ηνπ Newton: A d d p x m d t [7.13] Απηή ε πνξεία κπνξεί λα ζεσξεζεί ζαλ κηα αδηαβαηηθή κεηαβνιή θαη ηζρύεη: PV γ = ζηαθερά [7.14] Γηαθνξίδνληαο ηελ ζρέζε [10.14] πξνθύπηεη: V γ dp + pγv (γ-1) dv=0 [7.15] p dp dv V [7.16] 7Β.4

111 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 7 Θεξκηδνκεηξηα Αλ ε ζθαίξα δηαλύεη κηα απόζηαζε x κέζα ζηνλ γπάιηλν ζσιήλα, πξνθαιείηαη κηα κεηαβνιή ηνπ όγθνπ: dv = A x [7.17] Aπό ηηο ζρέζεηο [10.16] θαη [10.17] πξνθύπηεη: Από ηηο ζρέζεηο [10.18] θαη [10.13] έρνπκε: pax dp [7.18] V d x pa 0 x dt mv [7.19] Απηή είλαη ε δηαθνξηθή εμίζσζε κηαο αξκνληθήο ηαιάλησζεο ηεο νπνίαο ε πεξίνδνο δίδεηαη από ηελ ζρέζε: T mv pa [7.0] Aπό ηε ζρέζε [10.0] ππνινγίδεηαη ν ιόγνο γ = Cp/Cv, 4 mv A pt [7.1] Όιεο νη πνζόηεηεο ζην δεμηό κέξνο ηεο [7.1] είλαη άκεζα κεηξήζηκεο, επνκέλσο ην γ κπνξεί λα ππνινγηζζεί από ηελ ζρέζε απηή. Αλ αθαηξεζεί ν αέξαο από ην γπάιηλν ζσιήλα, ν αξηζκόο ησλ κνξίσλ ηνπ αεξίνπ ζα ειαηησζεί θαη ε ειεύζεξε δηαδξνκή κεηαμύ ησλ κνξίσλ ζα απμεζεί. Απηό πξνθαιεί κηα αύμεζε ηεο ηαρύηεηαο ηεο ζθαίξαο πνπ πέθηεη κέζα ζηνλ ζσιήλα. Η αύμεζε ηεο ειεύζεξεο δηαδξνκήο πξνθαιεί κείσζε ηεο ηξηβήο ζηα αέξηα. Αλ ην κήθνο ηεο ειεύζεξεο δηαδξνκήο ησλ κνξίσλ ηνπ αεξίνπ πάξεη κηα ηηκή πεξίπνπ ίζε κε ηελ απόζηαζε κεηαμύ ηεο ζθαίξαο θαη ησλ ηνηρσκάησλ ηνπ γπάιηλνπ ζσιήλα, ε ηξηβή κεηαμύ ζθαίξαο θαη γπαιηνύ ζα κεησζεί. Αλ ε πίεζε δηαηεξεζεί ίδηα, ε ηαρύηεηα ηεο ζθαίξαο ζα απμεζεί μαθληθά (Σρήκα 7.8). 7Β.5

112 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 7 Θεξκηδνκεηξηα Σρήκα 7.8 Ο ρξόλνο πηώζεο ηεο ζθαίξαο ζαλ ζπλάξηεζε ηεο πίεζεο Εκηέλεζη ηος πειπάμαηορ Η ζθαίξα πνπ ρξεζηκνπνηείηε δπγίδεη gr. Ο όγθνο ηνπ αεξίνπ, πνπ πθίζηαηαη αδηαβαηηθή ζπκπίεζε θαη εθηόλσζε, είλαη ην άζξνηζκα ηνπ όγθνπ ηνπ ζσιήλα θαη ηνπ δνρείνπ. ( Σηνηρεία δίλνληαη παξαπάλσ.) Σην πείξακα απηό ζπκβαίλνπλ ζσμπιέζεις θαη εκηονώζεις ζηνλ αέξα, πνπ πεξηέρεηαη ζηνλ θιεηζηό ρώξν ηεο δηάηαμεο ηνπ πεηξάκαηνο. Σπκπίεζε έρνπκε, όηαλ ε ζθαίξα θαηεβαίλεη θαη εθηόλσζε όηαλ αλεβαίλεη. Αλ ε ζθαίξα θάλεη π.ρ. 5 ηαιαληώζεηο ζε ρξόλν 5 s, ηόηε ε θάζε κεηαβνιή δηαξθεί 1 s. Δπεηδή ν ρξόλνο απηόο είλαη πνιύ κηθξόο, ζεσξείηαη όηη δελ αληαιιάζζεηαη ζεξκόηεηα κεηαμύ δηάηαμεο θαη πεξηβάιινληνο θαη έηζη νη κεηαβνιέο ζεσξνύληαη αδιαβαηικές. Καηά ηελ αδηαβαηηθή κεηαβνιή αιιάδεη ε πίεζε, ν όγθνο θαη ε ζεξκνθξαζία. 1. Δπεηδή ην πείξακα απαηηεί λα είλαη ε ζθαίξα θαζαξή από ζθόλε θαη πγξαζία, πιέλεηε ηα ρέξηα ζαο θαη ηα ζθνππίδεηε.. Με πξνζνρή θιείλεηε ηελ ζηξόθηγγα ηνπ κεγάινπ δνρείνπ. 3. Βγάδεηε κε πξνζνρή ην ζσιήλα θαη, αλαπνδνγπξίδνληάο ηνλ ζην ραξηνλέλην θνπηί πνπ έρεηε κπξνζηά ζαο, ζα έρεηε ηε κεηαιιηθή ζθαίξα θαζαξή κέζα ζην θνπηί. 4. Τνπνζεηείηε ην ζσιήλα όζν γίλεηαη πην θαηαθόξπθα θαη πξνζέρεηε ην ιαζηηρέλην δαρηπιίδη, πνπ ηνλ ζπγθξαηεί, λα εθάπηεηαη θαιά ζην ζηόκην ηνπ κεγάινπ δνρείνπ, ώζηε λα κελ δηαξξέεη αέξαο. 5. Αλ λνκίδεηε όηη ε ζθαίξα δελ είλαη απόιπηα θαζαξή, ηε ζθνππίδεηε κε κηα θαλέια. Με ρέξηα θαζαξά, ρσξίο πγξαζία, πηάλεηε ηελ ζθαίξα θαη ηελ ξίρλεηε κέζα ζηνλ ζσιήλα, ελώ ζύγρξνλα αξρίδεηε λα ρξνλνκεηξείηε. Μεηξάηε ην ρξόλν όζν ην δπλαηό πεξηζζόηεξσλ ηαιαληώζεσλ. Σην ζπίηη ζαο βξίζθεηε ηελ ηηκή ηνπ 7Β.6

113 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 7 Θεξκηδνκεηξηα ρξόλνπ ηεο κηαο ηαιάλησζεο, πνπ είλαη ν ρξόλνο πνπ δηαξθεί κηα αδηαβαηηθή κεηαβνιή. 6. Δπαλαιακβάλεηε ην πείξακα 5θνξέο γηα λα έρεηε κηα κέζε ηηκή. 7. Πξηλ θύγεηε, λα ηνπνζεηήζεηε ην ζσιήλα θαηαθόξπθα ζην δνρείν θαη λα ηνλ θιείζεηε κε ην θειιό, γηα λα κε κπαίλνπλ ζθόλεο. 8. Κιείζεηε ην ρξνλόκεηξν. Πξνζνρή: Σηηο πξάμεηο πνπ ζα θάλεηε πξέπεη λα είλαη όια ηα κεγέζε ζην S.I., γη απηό αιιάδεηε ηελ πίεζε από Atm ζε Nt m -. Επεξεπγαζία ηων μεηπήζεων Να ππνινγηζζεί ν κέζνο όξνο ηεο πεξηόδνπ Τ θαη λα ρξεζηκνπνηεζεί απηή ε ηηκή γηα ηελ πεξίνδν ζηελ ζρέζε [7.1]. Από ηελ ζρέζε απηή λα ππνινγίζεηε ην γ. Η πίεζε p κέζα ζην δνρείν ζεσξείηαη ίζε κε ηελ αηκνζθαηξηθή πίεζε. Βιβλιογπαθία 1. Halliday-Resnick, Φπζηθή, Μέξνο Α, θεθ. 3,θεθ HUGH D. YOUNG, Φπζηθή, Μέξνο Α, θεθ.15. 7Β.7

114 Δξγαζηήξην Γνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 7 Θεξκηδνκεηξηα 7Β.8

115 Εξγαζηήξην Δνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 8 Επζύγξακκε νκαιά επηηαρπλόκελε θίλεζε Α Κ Η Η 8 ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΣΑΥΤΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΗ Απαπαίηηηερ γνώζειρ oο λόκνο ηνπ Newton, επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο, επζύγξακκε νκαιά επηηαρπλόκελε θίλεζε, Σαρύηεηα, επηηάρπλζε, δύλακε ηξηβήο. κοπόρ ηος πειπάμαηορ Τπνινγηζκόο ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο g. ελόο θηλεηνύ θαη ζηε ζπλέρεηα ν ππνινγηζκόο ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο. Μέθοδορ Μεηξνύκε ηνλ ρξόλν θίλεζεο t θηλεηνύ ζε γλσζηά δηαζηήκαηα s πάλσ ζε θεθιηκέλν επίπεδν, ρσξίο ηξηβέο, κε κεδεληθή αξρηθή ηαρύηεηα. Η ζρέζε πνπ ζπλδέεη ην s κε ην t είλαη γξακκηθή ηεο κνξθήο y=bx. Από ηελ θιίζε b ηεο επζείαο θαη ην ζθάικα ηεο θιίζεο ζ b (ζρέζεηο (18) θαη (1) ζει. Εηο.17), κπνξεί λα ππνινγηζηεί έκκεζα ην g θαη ην ζθάικα ηνπ δ g ζρέζε (9α) ζει.εηο.8). Απαπαίηηηα όπγανα 1. Αεξόδξνκνο κήθνπο m. Αιθάδη 3. Φπζεηήξαο αέξα 4. Δύν θσηνδηαθόπηεο 5. Ηιεθηξνληθό ρξνλόκεηξν 6. Kηλεηό Πεπιγπαθή οπγάνων ρήκα 8.1 Αεξόδξνκνο Ο αεξόδξνκνο (1) πνπ ρξεζηκνπνηείηαη ζην πείξακα είλαη θαηαζθεπαζκέλνο από αινπκηλέλην ζσιήλα ηεηξαγσληθήο εγθάξζηαο δηαηνκήο θαη ε θαηαζθεπή ηνπ επηηξέπεη ειεπζεξία ηξηβήο πάλσ ζηελ επηθάλεηα ηνπ, (ρήκα 8.1). Σν έλα από ηα δύν άθξα ηνπ είλαη ζπλδεδεκέλν κέζσ ελόο ειαζηηθνύ ζσιήλα () κε ηνλ θπζεηήξα αέξα (5). Μέζα από ηηο νπέο δηακέηξνπ 0.1 mm, πνπ ππάξρνπλ ζηηο πιεπξηθέο 8.1

116 Εξγαζηήξην Δνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 8 Επζύγξακκε νκαιά επηηαρπλόκελε θίλεζε επηθάλεηεο ηνπ αεξόδξνκνπ, θπζάεη αέξαο ν νπνίνο ηξνθνδνηείηαη από ηνλ θπζεηήξα. Ο αέξαο έρεη ζαλ απνηέιεζκα λα ειαρηζηνπνηεί ηελ ηξηβή αλάκεζα ζηνλ αεξόδξνκν θαη ζην θηλεηό ην νπνίν νιηζζαίλεη πάλσ ηνπ. ηελ θάζε πιεπξά ηνπ αεξόδξνκνπ ππάξρεη θιίκαθα κέηξεζεο, αθξίβεηαο 1 mm, ε νπνία ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ κέηξεζε ηνπ δηαζηήκαηνο πνπ δηαλύεη έλα θηλεηό. Σα κινηηά (3) είλαη θαηαζθεπαζκέλα από αινπκίλην. Ο θσζηηήρας αέρα (5) θέξεη ηνπο εμήο δηαθόπηεο: 1. Δηαθόπηε ON OFF.. Ρπζκηδόκελν δηαθόπηε γηα ηελ επηινγή ηεο παξνρήο ηνπ αέξα. Η δπλακηθή πίεζε ε νπνία είλαη δπλαηόλ λα αλαπηπρζεί, είλαη 1 mbar. Οη θωηοδιακόπηες ζπλδένληαη κε ην ειεθηξνληθό ρξνλόκεηξν θαη δίλνπλ ζήκα έλαξμεο ή παύζεο ηεο ρξνλνκέηξεζεο ηεο θίλεζεο ηνπ θηλεηνύ (start ή stop ). Ο θσηνδηαθόπηεο θέξεη ζηηο δύν απέλαληη εζσηεξηθέο ηνπ επηθάλεηεο από κηα νπή. Από ηελ κηα νπή εθπέκπεηαη ζηελ απέλαληη ππέξπζξε αθηηλνβνιία κήθνπο θύκαηνο 950 nm, ώζηε ν θσηηζκόο ηνπ ρώξνπ λα κελ πξνθαιεί παξεκβνιέο. Όηαλ απηή ε θσηεηλή δέζκε δηαθνπή από ην θηλεηό, ηόηε ελεξγνπνηείηαη ην start ή ην stop ηνπ ρξνλόκεηξνπ. Μέζα ζηνλ θσηνδηαθόπηε ππάξρεη θσηνδίνδνο κε εληζρπηή ε νπνία ελεξγνπνηείηαη από ηελ ππέξπζξε αθηηλνβνιία έηζη ώζηε λα επηηπγράλεηαη θσηνειεθηξηθόο έιεγρνο ηνπ ειεθηξνληθνύ ρξνλνκέηξνπ. ην πείξακα ην αληηθείκελν πνπ αληρλεύεηαη από ηνλ θσηνδηαθόπηε είλαη έλαο θωηοθράκηης (4) ζην ρήκα 8.1, δειαδή κία επίπεδε επηθάλεηα ή κηα αθίδα κηθξώλ δηαζηάζεσλ, πνπ είλαη ηνπνζεηεκέλνο πάλσ ζηα θηλεηά. ρήκα 8. Φσηνδηαθόπηεο. Δηαζέηεη κηα έμνδν ζήκαηνο Ausgang, θαη έλα δεπγάξη ππνδνρώλ εηζόδνπ ηξνθνδνζίαο ειεθηξηθήο ηάζεο. ςνδεζμολογία θωηοδιακόπηη με σπονόμεηπο. Ο θσηνδηαθόπηεο θέξεη ηελ έμνδν ζήκαηνο Ausgang πνπ ζπλδέεηαη κε θαιώδην κε ηελ είζνδν start (5) ή stop (6) ηνπ ρξνλόκεηξνπ (βιέπε ρήκα 8.3). Σελ είζνδν +5 V θαη ηελ είζνδν γείσζεο γηα λα ζπλδεζεί κε ηηο αληίζηνηρεο (11) ηνπ ρξνλόκεηξνπ (βιέπε ρήκα 8.3). Σν ηλεκηρονικό τρονόμεηρο θαίλεηαη ζην ρήκα 8.3 θαη θέξεη ηνπο αθόινπζνπο δηαθόπηεο: 1. Δηαθόπηεο ON OFF.. Είζνδνο ζήκαηνο ηνπ νπνίνπ πξόθεηηαη λα κεηξεζεί ε ζπρλόηεηα 3. Σν ίδην κε ην () αιιά γηα νκναμνληθό θαιώδην. 8.

117 Εξγαζηήξην Δνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 8 Επζύγξακκε νκαιά επηηαρπλόκελε θίλεζε 4. Ρπζκηδόκελνο δηαθόπηεο γηα ηελ επηινγή ηνπ κεηξνύκελνπ κεγέζνπο θαη ηεο αθξίβεηαο ηνπ. 5. Είζνδνο ζήκαηνο ην νπνίν ζέηεη ζε ιεηηνπξγία ην Start ηνπ ρξνλνκέηξνπ. 6. Είζνδνο ζήκαηνο ην νπνίν ζέηεη ζε ιεηηνπξγία ην Stop ηνπ ρξνλνκέηξνπ. 7. Δηαθόπηεο ν νπνίνο ζέηεη ζε ιεηηνπξγία ην Start ηνπ ρξνλνκέηξνπ. 8. Δηαθόπηεο ν νπνίνο ζέηεη ζε ιεηηνπξγία ην Stop ηνπ ρξνλνκέηξνπ. 9. Δηαθόπηεο γηα ηνλ κεδεληζκό ηνπ ρξνλνκέηξνπ. 10. Όηαλ νη δηαθόπηεο δελ έρνπλ πηεζζεί, ην Start ή ην Stop ηίζεηαη ζε ιεηηνπξγία όηαλ αξρίδεη ην ζήκα πνπ εηζέξρεηαη ζηηο εηζόδνπο (5) θαη (6). Όηαλ νη δηαθόπηεο πηεζηνύλ, ην Start ή ην Stop ηίζεηαη ζε ιεηηνπξγία όηαλ ζηακαηήζεη ην ζήκα πνπ εηζέξρεηαη ζηηο εηζόδνπο (5) θαη (6). 11. Έμνδνο ζήκαηνο 5 V. ρήκα 8.3 Ηιεθηξνληθό ρξνλόκεηξν. Θεωπία Ο δεύηεξνο λόκνο ηνπ Newton καο ιέεη όηη όηαλ κηα δύλακε ελεξγεί ζ' έλα ζώκα, απηό απνθηά κηα επηηάρπλζε πνπ είλαη αλάινγε ηεο εθαξκνδόκελεο δύλακεο. Η αλαινγία απηή εθθξάδεηαη από ηελ ζρέζε: F ma [8.1] (ην ζύκβνιν Σ, πνπ ζεκαίλεη άζξνηζκα, επηζεκαίλεη όηη αλ ελεξγνύλ πεξηζζόηεξεο από κηα δπλάκεηο ζην ζώκα, ηόηε πξέπεη λα ρξεζηκνπνηείηαη ην δηαλπζκαηηθό άζξνηζκα ησλ δπλάκεσλ απηώλ). Όηαλ έλα ζώκα ειεπζεξώλεηαη από κηα θαηάζηαζε εξεκίαο θνληά ζηελ επηθάλεηα ηεο Γεο, επηηαρύλεηαη πξνο ηα θάησ κε ζηαζεξή επηηάρπλζε, εθ' όζνλ ε αληίζηαζε ηνπ αέξα είλαη ακειεηέα θαη ην ζώκα δηαλύεη κηα απόζηαζε πνπ είλαη κηθξή ζε ζύγθξηζε κε ηελ αθηίλα ηεο Γεο. Σν κέηξν ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κεηαβάιιεηαη κε ην γεσγξαθηθό πιάηνο θαη γηα ηα κέζα πιάηε ιακβάλεηαη πεξίπνπ ίζν κε g=9.80 m/s. Αλ ηώξα έλα ζώκα ηνπνζεηεζεί πάλσ ζε θεθιηκέλν επίπεδν κε γσλία θιίζεο θ, ρσξίο ηξηβή (ρήκα 8.5), νη δπλάκεηο πνπ δξνπλ ζε απηό είλαη ην βάξνο ηνπ mg θαη 8.3

118 Εξγαζηήξην Δνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 8 Επζύγξακκε νκαιά επηηαρπλόκελε θίλεζε ε αληίδξαζε ηνπ επηπέδνπ Ν. Αλ αλαιύζνπκε ην βάξνο ζε δύν ζπληζηώζεο όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα, είλαη πξνθαλέο όηη ε κόλε δύλακε πνπ θηλεί ην ζώκα είλαη ε ζπληζηώζα mgsinφ. (Η αληίδξαζε ηνπ επηπέδνπ Ν θαη ε ζπληζηώζα mgcosφ αιιεινεμνπδεηεξώλνληαη). Επνκέλσο ην ζώκα αξρίδεη λα θηλείηαη πάλσ ζην θεθιηκέλν επίπεδν πξνο ηα θάησ, ρσξίο αξρηθή ηαρύηεηα, κε επηηάρπλζε πνπ δίδεηαη από ηε ζρέζε: α = gsinφ [8.] ρήκα 8.4 Αλάιπζε δπλάκεσλ βάξνπο πάλσ ζε θεθιηκέλν επίπεδν. Επεηδή ην θηλεηό δελ έρεη αξρηθή ηαρύηεηα ε απόζηαζε S πνπ δηαλύεη κπνξεί λα πξνζδηνξηζζεί θαη κε ηε βνήζεηα ηεο εμίζσζεο: 1 1 S a t g sin t [8.3] όπνπ S είλαη ην δηάζηεκα πνπ δηαλύεη ην ζώκα, πνπ εθηειεί επζύγξακκε νκαιά επηηαρπλόκελε θίλεζε, όηαλ ηελ ρξνληθή ζηηγκή t o =0, ε αξρηθή ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο είλαη σ ο =0 θαη ην αξρηθό δηάζηεκα είλαη S o =0. Από ηε εμίζσζε [8.3] βιέπνπκε όηη ε ζρέζε αλάκεζα ζην δηάζηεκα S θαη ην ηεηξάγσλν ηνπ ρξόλνπ t είλαη γξακκηθή. Η γπαθική παπάζηαζη S = f( t ), είναι μια εςθεία γπαμμή ηηρ μοπθήρ y=bx, ηηρ οποίαρ η κλίζη είναι Οδηγίερ για ηην εκηέλεζη ηος πειπάμαηορ b = gsinφ/ [8.4] ΠΡΟΟΥΗ: ΜΗΝ ΜΕΣΑΚΙΝΕΙΣΕ ΣΟ ΚΙΝΗΣΟ ΠΑΝΩ ΣΟΝ ΑΕΡΟΔΡΟΜΟ ΟΣΑΝ ΑΤΣΟ ΔΕΝ ΣΡΟΦΟΔΟΣΕΙΣΑΙ ΜΕ ΑΕΡΑ. 1. Μειεηήζηε ηνπο δηαθόπηεο ηνπ ρξνλόκεηξνπ ζύκθσλα κε ηελ πεξηγξαθή πνπ δίλεηαη ζην ρήκα 8.3. Επηιέμεηε λα κεηξάκε δηαθξηηηθόηεηα s.. Παξαηεξήζηε ηνπο θσηνδηαθόπηεο θαη ζπγθξίλεηε κε ηελ πεξηγξαθή ηνπο πνπ δίλεηαη ζην ρήκα

119 Εξγαζηήξην Δνκήο ηεο Ύιεο & Φπζηθήο Λέηδεξ Άζθεζε 8 Επζύγξακκε νκαιά επηηαρπλόκελε θίλεζε 3. Ειέγμηε ρξεζηκνπνηώληαο ην αιθάδη όηη ν αεξόδξνκνο είλαη ζε νξηδόληηα ζέζε. Αλ δελ είλαη ξπζκίζηε ηνλ ώζηε λα είλαη νξηδόληηνο από ηα πόδηα ησλ νπνίσλ ην ύςνο απμνκεηώλεηαη. 4. Σν θεθιηκέλν ζα δεκηνπξγεζεί ηνπνζεηώληαο έλα ηαθάθη θάησ από ην έλα πόδη ηνπ αεξόδξνκνπ. Αθνύ πξώηα κεηξήζεηε κε ην παρύκεηξν ην πάρνο h πνπ έρεη ην ηαθάθη, ηνπνζεηήζηε ην έηζη ώζηε λα ππεξπςσζεί ην έλα άθξν ηνπ, (ρήκα 8.5). ρήκα 8.5. Πεηξακαηηθή δηάηαμε θεθιηκέλνπ αεξόδξνκνπ. Η κηα βάζε ηνπ έρεη αλπςσζεί θαηά ύςνο h. 5. Κάλεηε ηελ ζπλδεζκνινγία ησλ δπν θσηνδηαθνπηώλ κε ην ειεθηξνληθό ρξνλόκεηξν, ζύκθσλα κε ην ρήκα Μεηξήζηε πάλσ ζηελ θιίκαθα ηνπ αεξόδξνκνπ ηελ ππνηείλνπζα ηνπ νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ πνπ ζρεκαηίδεηαη. Απηή είλαη ε απόζηαζε l αλάκεζα ζηα πόδηα ζηήξημεο ηνπ αεξόδξνκνπ, (ρήκα 8.5). Τπνινγίζεηε ηε γσλία θιίζεο θ ηνπ θεθιηκέλνπ από ηε ζρέζε: sinφ = h / l [8.5] ρήκα 8.6 Ο θσηνδηαθόπηεο θέξεη ηελ έμνδν ζήκαηνο Ausgang πνπ ζπλδέεηαη κε θαιώδην κε ηελ είζνδν start ή stop ηνπ ρξνλόκεηξνπ. Η είζνδνο +5 V θαη ε είζνδνο γείσζεο ζπλδέεηαη κε ηηο αληίζηνηρεο ηνπ ρξνλόκεηξνπ. 8.5