1.1. Locul şi rolul fizicii în cadrul ştiinţei, în general, şi al ştiinţelor naturii în special

Transcript

1 Intoducee 9 INTRODUCERE Locul şi olul iicii în cadul ştiinţei în geneal şi al ştiinţelo natuii în special Fiica ca oice disciplină poate i înţeleasă şi abodată în dieite modui Impotanţa iicii eidă în pimul ând în aptul că este o ştiinţă undamentală a natuii al căei studiu nu pesupune cu necesitate decât anumite cunoştinţe de matematică Celelalte ştiinţe ale natuii nu se pot dispensa de apotul iicii chia dacă ele nu pot i eduse la aceasta În ceea ce piveşte ştiinţele tehnice nu numai că acestea se baeaă pe conceptele şi legile iicii ci în genee ele epeintă pactic aplicaţii ale capitolelo iicii (de eemplu temotehnica electotehnica etc) Datoită devoltăii aplicaţiilo pactice acestea s-au despins omându-şi popiul limbaj uşo modiicat mai adecvat caacteului tehnologic da ele nu pot i abodate în aaa cunoştinţelo geneale ale iicii Mai mult pin anumite diecţii mai de devoltae (ca de eemplu iica nucleaă iica copului solid electodinamica cuantică) ganiţa dinte iică şi tehnologie a început să se ştegă activitatea de cecetae din cadul iicii devenind insepaabilă de devoltaea tehnologică stel iica asiguă atât scheletul ahitectua de ansamblu a cunoaşteii univesului mateial cât şi caacteul unita al cunoaşteii ştiinţiice Fiica epeintă însă devoltaea unei ome speciice de gândie ea tebuind pivită în mod necesa în cadul cultual geneal În momentul de aţă nu se mai poate sepaa cultua geneală de cea ştiinţiică pima înglobând-o pesupunând-o necesa pe a doua ca o pate a sa stel speciicitatea gândiii iicii modene ne apae dept esenţială omăii omului contempoan Consideaţiile de mai sus se vo un ăspuns la întebaea Ce este iica? Temenul povine de la istotel de la gecescul phsis (natua) Fiica (deci cunoaşteea natuii) împeună cu metaiica omeaă phlossophia (phlos pieten sophia înţelepciune) Fiica se eeă deci la cunoaşteea natuii în geneal ia cunoaşteea eaemului adânc al eistenţei (adică poblema iinţei ) evine metaiicii Ca ştiinţă undamentală a natuii iica studiaă mişcaea mateiei inete pecum şi omele de oganiae ale acesteia

2 0 Intoducee Volumul de aţă se doeşte a i un ecus intoductiv în iică El este completat cu pobleme eolvate şi ca atae este util celo cae doesc să-şi însuşească înt-un mod accesibil elementele undamentale necesae înţelegeii şi studiului oicăui enomen iic Măimi iice Măsuae şi unităţi Fiica ae dept scop identiicaea şi descieea adecvată a enomenelo din lumea mateială Pentu a putea ace acest lucu este nevoie să se lucee cu măimi măsuabile O măime este măsuabilă atunci când pentu două entităţi de acelaşi tip se pot deini egalitatea şi adunaea Rapotul a două măimi de acelaşi tip se deineşte pint-un numă cae epimă de câte oi una din măimi este cupinsă în cealaltă În geneal pentu a masua o măime iică oaecae aceasta nu se compaă cu oice altă măime iică de acelaşi tip ci se apoteaă la o măime paticula aleasă de acelaşi tip cu măimea consideată numită unitate Pin deiniţie număul cae epeintă eultatul opeaţiei de măsuae a unei măimi este dat de apotul dinte măimea dată şi măimea aleasă ca unitate Legile iicii omulate matematic pin ecuaţii aată cum depinde o măime iică de alte măimi Măimile sunt epimate pin simbolui cae poată cu ele în ecuaţie atât valoile numeice cât şi unităţile olosite pentu măsuaea acestoa O lege iică scisă pint-o ecuaţie iind eultatul obsevăii compotăii unui sistem dat este independentă de alegeea unităţilo olosite pentu măsuaea măimilo implicate Da pin intoduceea valoilo numeice ale măimilo însoţite obligatoiu de unităţile de măsuă ecuaţia este veiicată ia unităţile olosite ac pate dint-un sistem coeent de unităţi Un sistem coeent de unităţi se compune din unităţi undamentale şi unităţi deivate Unităţile deivate sunt obţinute din unităţile undamentale conom uno omule convenabil alese şi în concodanţă cu legile iicii Desigu că măimile iice sunt şi ele clasiicate în măimi undamentale şi măimi deivate Unităţile undamentale sunt deinite cu ajutoul uno etaloane adecvate cae sunt impuse de alegeea uno standade oate pecise ce tebuie iguos îndeplinite Sistemul de unităţi cel mai lag acceptat şi olosit în majoitatea ţăilo lumii este sistemul metic intenaţional pescutat SI cest sistem intoduce unităţile a şapte măimi undamentale pe baa căoa se obţin toate unităţile deivate necesae în pactică Măimile şi unităţile undamentale ale SI sunt: lungimea cu unitatea metu (m) masa cu unitatea kilogam (kg) timpul cu unitatea secunda (s)

3 Intoducee tempeatua cu unitatea kelvin (K) intensitatea cuentului electic cu unitatea ampe () intensitatea luminoasă cu unitatea candelă (cd) şi cantitatea de substanţă cu unitatea mol (mol) Unităţile de măsuă pentu lungime masă şi timp sunt unităţi undamentale în mecanică Denumiea măimilo mecanice deivate unităţile lo de măsuă pecum şi epimaea acestoa pin unităţile undamentale sunt peentate în tabelul de mai jos Măime Unitate SI Epesia în unităţi undamentale SI Fecvenţă het (H) H s - Foţă newton (N) N kgms - Pesiune pascal (Pa) Pa Nm - kgm - s - Enegie joule (J) J Nm kgm s - Putee watt (W) W Js - kgm s -3 Toate unităţile măimilo electice şi magnetice sunt unităţi deivate cae se epimă cu ajutoul celo patu unităţi undamentale: m kg s Denumiile elaţiilo de deiniţie şi epesiile acestoa în uncţie de unităţile undamentale SI sunt peentate în tabelul de mai jos Măime Unitate Epesii în unităţi undamentale SI deivată (SI) Sacina electică coulomb (C) C s Potenţialul electic volt (V) V W - kgm s -3 - Reistenţa electică ohm (Ω) Ω V - kgm s -3 - Capacitatea aad (F) F CV - kgm - s 4 electică Fluul magnetic webe (Wb) WbVskgm s - - Inducţia magnetică tesla (T) TWbm - kgs - - Inductanţa hen (H) HWb - kgm s - - În ceea ce piveşte enomenele optice o nouă măime undamentală este intodusă şi anume intensitatea luminoasă Unitatea SI pentu aceasta candela (cd) este deinită ca iind intensitatea luminoasă a unei suse măsuată pe diecţia nomalei la supaaţă cae emite o adiaţie monocomatică cu ecvenţa de H având puteea de /683 W s Menţionăm că steadianul (s) este unitatea de unghi solid olosită în SI şi este deinit ca unghiul solid cae având vâul în centul unei see delimiteaă pe supaaţa acesteia o aie egală cu aia unui pătat de latuă egală cu aa seei Ca atae el epeintă un numă ia unghiul solid este o măime adimensională Două unităţi deivate sunt olosite în optică: lumenul (lm) pentu luul luminos şi lu-ul (l) pentu iluminae Pentu cantitatea de substanţă este mol-ul Un mol este cantitatea de substanţă a unui sistem cae conţine tot atâtea entităţi elementae (atomi molecule

4 Intoducee etc) câţi atomi eistă în 00kg de cabon ( ) acest numă este dat de număul lui vogado N 60 0 C pu Tebuie menţionat că naliă dimensională Oice măime iică ae o dimensiune cae se epimă cu ajutoul măimilo undamentale cae apa în epesia acesteia Măimilo undamentale li se ataşeaă simbolui convenabil alese cele mai uitate iind: [ L ] pentu lungime [ M] pentu masă [ T ] pentu timp [ θ ] pentu tempeatuă [ I ] pentu cuentul electic etc Ponind de la ecuaţia de deiniţie omula dimensională a oicăei măimi iice se obţine pin înlocuiea măimilo undamentale cae apa în epesia ei cu simboluile lo Ca eemplu ecuaţia dimensională a unei măimi mecanice se va scie: [ ] [ L] α [ M] β [ T] γ unde α β γ sunt puteile la cae apa măimile undamentale în epesia măimii Măimile cae se epimă pint-un numă nu au dimensiune adică sunt adimensionale şi ca atae acestea nu apa în nici o ecuaţie dimensională Dacă pentu măimile undamentale se alege un sistem de unităţi de măsuă atunci din ecuaţia dimensională a unei măimi obţinem unitatea acesteia în sistemul de unităţi consideat Ca eemplu dacă măimea este o oţă atunci unitatea acesteia în SI este newtonul dat de: N kg m s Ecuaţiile iicii epeintă o egalitate înte cei doi membi ai ecuaţiei cae tebuie să aibă aceeaşi dimensiune epimată cu ajutoul măimilo undamentale ltel spus măimile undamentale tebuie să apaă la aceleaşi putei în ambii membii ai ecuaţiei această aimaţie constituind aşa numitul pincipiu al omogenităţii În mecanică aceasta înseamnă că înt-o ecuaţie dimensională scisă sub oma: tebuie ca: [ ] α [ M] β [ T] γ [ L] ξ [ M] η [ T] δ L α ξ β η γ δ

5 Intoducee 3 adică temenii ecuaţiei tebuie să ie omogeni din punct de vedee dimensional stel pe baa pincipiului omogenităţii se poate veiica valabilitatea tutuo ecuaţiilo obţinute pin calcul sau se pot stabili ecuaţii noi cae să descie un poces iic studiat epeimental atunci când se constată că o măime anume depinde de alte măimi da nu se cunoaşte cae este oma matematică eplicită a acestei dependenţe În inal tebuie menţionat că unctiile matematice cae pot i devoltate ca seii de putei pecum sin cos tg ctg sinh cosh e etc unde este o uncţie de una sau mai multe măimi tebuie să aibă agumentul adimensional ceasta deoaece temenii de putei dieite ai devoltăii în seie tebuie să aibă o aceeaşi dimensiune altel ne putând să ie satisăcut citeiul de omogenitate al ecuaţiilo iicii 4 Elemente de calcul al eoilo Legile iicii sunt legi cae tebuie veiicate epeimental ceasta implică necesitatea eectuăii uno măsuătoi cât mai pecise asupa măimilo iice Pentu a putea i luat în consideaţie eultatul unei măsuătoi asupa unei măimi iice tebuie dat întotdeauna împeună cu un estimat al eoii de măsuă asupa măimii espective Măimile iice măsuate sunt aectate de eoi aleatoii cae ţin atât de peciia instumentelo de măsuă utiliate cât şi de calitatea iiologică a ochiului obsevatoului Cea mai bună metodă de apeciee a eoii de măsuă a unei măimi cae este diect măsuabilă se baeaă pe epetaea în aceleaşi condiţii a măsuăii acesteia obţinându-se un şi de valoi n Se poate calcula astel valoaea medie a eultatelo obţinute: n n Pentu a se apecia eoaea cae aecteaă eultatul măsuăii cel mai indicat este să se calculee abateea medie a eultatelo obţinute în uma măsuătoilo eectuate asupa măimii : i i Δ n

6 4 Intoducee Reultatul măsuătoilo asupa măimii se poate da atunci sub oma: ± Δ Desigu că dacă se măeşte număul de măsuătoi asupa unei măimi atunci peciia de măsuă a acesteia se îmbunătăţeşte adică se micşoeaă eoaea de măsuă a maimii espective În apt peciia cu cae este masuată o maime este dată de eoaea elativă de măsuă a acesteia dată de: Δ ε Un alt paametu olosit pentu caacteiaea eoilo aleatoae este abateea pătatică medie sau abateea standad s cae pentu măimi măsuabile cae vaiaă continuu este deinită ca: ( i ) i s n n ( ) Distibuţia valoilo obţinute pentu o măime măsuată este descisă în geneal de o uncţie de distibuţie ( ) Funcţia de distibuţie ( ) epeintă pobabilitatea de apaiţie a unei valoi oaecae deinită pe intevalul [ ] dacă se eectueaă o singuă măsuae asupa măimii date Măimile cae vaiaă continuu se supun distibuţiei Gauss ia cele cae vaiaă discontinuu se supun distibuţiei Poisson Fiind deinită ca o densitate de pobabilitate ( ) tebuie să veiice elaţia: ( ) d Cu ajutoul uncţiei de distibuţie valoaea medie şi abateea standad pentu o măime măsuată distibuită continuu se calculeaă ca: ( ) d

7 Intoducee 5 s ( ) ( ) d Dacă măimea a căei eoae de măsuă tebuie stabilită nu este diect măsuabilă ci ea depinde de alte măimi cae sunt diect măsuabile atunci ae loc popagaea eoilo aleatoii ale acestoa asupa maimii cae depinde de ele stel pentu o măime ( n ) în condiţiile uno abatei standad mici ale vaiabilelo i abateea standad a măimii S se calculeaă cu omula: S S i i 5 Sisteme de coodonate Pentu peciaea poiţiei unui punct mateial în spaţiu este necesa să se aleagă un sistem de coodonate cu ajutoul căuia se stabileşte poiţia punctului geometic în cae este plasat punctul mateial Eistă mai multe sisteme de coodonate posibil a i alese teceea de la unul la altul ăcându-se pin elaţii de tansomae adecvate Sistemul de coodonate cateiene este un sistem detogi constituit din tei ae pependiculae înte ele În acest sistem iecăui punct din spaţiu îi coespunde un ansamblu de tei numee eale notate cu cae epeintă coodonatele poiecţiilo punctului geometic pe aele sistemului (Fig ) Poiţia punctului P poate i indicată şi cu ajutoul vectoului de poiţie Fig deinit ca iind vectoul cu oiginea în oiginea sistemului de coodonate O si cu vâul în punctul consideat P Intoducând vectoii unitate pentu aele de coodonate ca iind vectoii de modul unitate având diecţia şi sensul aelo de coodonate vectoul de poiţie se scie:

8 6 Intoducee Vectoul de poiţie mai poate i scis şi ca: unde epeintă măimea sau modulul vectoului ia este vectoul unitate pentu diecţia lui ceasta poate i peciată cu ajutoul unghiuilo pe cae vectoul le ace cu aele OOO (Fig ) pin cosinuşii diectoi daţi de: Ţinând cont că: Fig cos α cosβ cos γ cosinuşii diectoi veiică elaţia: cos α cos β cos γ Poiţia elativă a unui punct ( ) aceasta este dată de: P aţă de un punct P ( ) ( ) ( ) Distanţa dinte două puncte din spaţiu ( ) calculeaă cu teoema lui Pitagoa: ( ) ( ) ( ) l i j i j i j ea constituind metica spaţiului i i i i ( ) P şi P ( ) j j j j se

9 Intoducee 7 Sistemul de coodonate cilindice ataşeaă iecăui punct geometic tei coodonate: ρ ϕ şi (Fig 3) Fomulele de tecee de la coodonatele cateiene la coodonate cilindice şi elaţiile ecipoce sunt: ρ ϕ actg unde ϕ 0 π [ ] ρ cos ϕ ρ sin ϕ Fig 3 Sistemul de coodonate seice ataşeaă iecăui punct din spaţiu coodonatele ϕ şi θ (Fig 4) Fomulele de tecee de la coodonatele cateiene la cele seice şi ecipoc sunt date de elaţiile: ϕ actg θ actg cos ϕ sin θ sin ϕ sin θ cos θ unde ϕ [ 0 π] si θ [ 0 π] Dacă se tece de la un sistem de coodonate cateiene ( ) coodonate cateiene ( S' ) vectoii de poiţie ai unui punct P aţă de cele două sisteme ( ) (Fig 5) eistă elaţia: R ' Fig 4 S la un alt sistem de obţinut pint-o tanslaţie de vecto R atunci înte S şi ( S ') espectiv ' Dacă se tece de la un sistem de coodonate cateiene ( S ) la un alt sistem de ( S' ) obţinut pint-o otaţie a aelo sistemele având oiginea coodonate cateiene comună (Fig 6) atunci înte coodonatele punctului P aţă de cele două sisteme eistă elaţiile:

10 8 Intoducee ' cos ' cos ' cos Fig 5 Fig 6 ( ' ) ' cos( ' ) ' cos( ) ' ( ' ) ' cos( ' ) ' cos( ' ) ( ' ) ' cos( ' ) ' cos( ' ) În ecuaţiile de mai sus doa tei dinte unghiui sunt independente ia estul se calculeaă în uncţie de acestea 6 Elemente de calcul vectoial Măimile iice sunt ie măimi scalae caacteiate doa de o valoae numeică aşa cum sunt: masa sacina enegia densitatea ie măimi vectoiale caacteiate pe lângă valoaea numeică şi de o diecţie pe cae acţioneaă acestea pecum şi de sensul în cae sunt oientate pe diecţia espectivă Măimi vectoiale sunt: vectoul de poiţie vitea acceleaţia oţa momentul oţei câmpul electic câmpul magnetic etc Oice măime vectoială poate i epeentată pint-un segment de deaptă având lungimea popoţională cu valoaea numeică a măimii espective şi sensul şi diecţia coinciând cu sensul şi diecţia măimii tunci oice maime vectoială se poate scie ca: unde sunt vesoii aelo de coodonate OOO ale sistemului de eeinţă cateian ales pentu epeentaea lui ia sunt poiecţiile

11 Intoducee 9 lui pe aele sistemului numite componente ale vectoului Vectoul peciat pin coodonatele sale se mai scie concentat astel: ( ) este vectoul dat de: Suma a doi vectoi ( ) şi ( ) ( ) ( ) ( ) Dieenţa a doi vectoi şi este vectoul dat de: ( ) ( ) ( ) Fig 7 Vectoii sumă şi dieenţă pot i obţinuţi şi gaic pin metoda paalelogamului Conom acesteia paalelo-gamul omat cu şi ae dept diagonală mae vectoul sumă şi dept diagonală mică vectoul dieenţă (Fig 7) cu sensuile din iguă Conom egulii paalelogamului cae nu epeintă altceva decât aplicaea teoemei lui Pitagoa genealiate modulul lui este: cos ( ) În caul dieenţei deoaece epeintă suma notând α ( ) şi obsevând că: ( ) ( o 80 ) şi cos ( 80 α) cos α avem:

12 0 Intoducee cos α Înmulţiea unui vecto cu un scala a conduce la vectoul acelaşi sens cu dacă a > 0 şi opus dacă a < 0 Podusul scala a doi vetoi este un scala dat de: cos α unde α ( ) Podusul scala este comutativ: şi distibutiv: ( C) C Podusul vectoial a doi vectoi şi este un vecto C : C a cae ae al căui modul este dat de: C sin α unde α ( ) Vectoul podus vectoial este pependicula pe planul vectoilo şi având sensul dat de egula bughiului dept conom căeia sensul vectoului coincide cu sensul de înaintae al unui bughiu al caui mâne eectueaă o otaţie de unghi minim în planul vectoilo şi pentu a-l aduce pe peste (Fig 8) Se poate obseva că podusul vectoial este Fig 8 anticomutativ: da este distibutiv: C ( ) C

13 Intoducee Ţinând cont de deiniţiile podusului vectoial şi podusului scala acestea se pot calcula uşo pentu vectoii unitai ai aelo cateiene obţinându-se: 0 0 unde s-a ţinut cont că cum sciind vectoii şi cu ajutoul componentelo cateiene podusul scala se scie: ia podusul vectoial va i dat de deteminantul: ( ) ( ) ( ) Fiind daţi tei vectoi şi C dublul podus vectoial al acestoa se calculeaă cu elaţia: ( ) ( ) ( ) C C C cae poate i pobată aplicând egulile de calcul vectoial peentate anteio Un vecto cu popietăţi speciale lag utiliat în iică este vectoul (nabla) ale căui componente sunt opeatoii de deivae stel acesta ae epesia:

14 Intoducee Oice opeaţie cu vectoul pesupune espectaea egulilo de calcul vectoial şi în plus a celo de calcul dieenţial asupa măimilo cae igueaă în deapta sa stel podusul ϕ unde ϕ este un scala conduce la un vecto numit gadientul lui ϕ dat de: gad ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Dacă se eectueaă podusul scala dinte opeatoul şi un vecto se obţine un scala numit divegenţa lui : div Podusul vectoial dinte şi un vecto este un vecto cae se numeşte otoul lui cae conom egulilo de calcul peentate este dat de: ot După cum vom vedea în cele ce umeaă intepetaea eultatelo opeăii cu opeatoul vectoial asupa măimilo iice unieaă date semniicative asupa măimilo espective stel pentu o măime iică ( ) calculând şi înmulţinâd apoi cu deplasaea elementaă d d d d se obţine dieenţiala uncţiei : ( ) d d d d d d d d

15 Intoducee 3 De aici sciind d dη obsevăm că vitea de vaiaţie a lui pe o diecţie dată se obţine poiectând diecţie (Fig 9): η pe aceea η d dη Fig 9 Tebuie emacat că ne dă diecţia după cae vitea de vaiaţie a uncţiei este maimă pecum şi valoaea viteei maime de vaiaţie În ceea ce piveşte intepetaea eultatelo ce pot i obţinute pin calculaea divegenţei unui vecto să luăm ca eemplu vectoul şi să calculăm divegenţa acestuia Dacă 0 atunci eultă că const sau ( ) ceasta înseamnă că în oice punct ne-am situa de-a lungul diecţiei O const adică avem de-a ace cu un câmp vectoial constant de-a lungul aei O (Fig 0) Dacă însă 0 cea mai simplă dependenţă pe cae o putem considea pentu este cea lineaă a tunci Fig 0 a astel că pentu a < 0 < 0 şi inves pentu a > 0 > 0 Fig Fig În pimul ca în iecae punct al aei O câmpul vectoial poate i pivit ca supapuneea dinte un câmp vectoial constant şi un câmp vectoial convegent în acel punct (Fig ) ia în caul al doilea peste un câmp constant în iecae punct de pe aa O se supapune un câmp divegent (Fig )

16 4 Intoducee Se poate deci spune că punctele de divegenţă nenulă sunt suse adiale de câmp convegent dacă < 0 şi suse adiale de câmp divegent dacă > 0 Cele de mai sus pot i mai bine înţelese cu ajutoul teoemei lui Gauss dată de ecuaţia: dv n da V Σ a) b) Fig 3 În această ecuaţie membul dept epeintă luul vectoului pin supaaţa închisă Σ cae măgineşte volumul V stel conom teoemei lui Gauss dacă > 0 atunci n > 0 ceea ce înseamnă că liniile câmpului vectoial ies din volumul V adică sunt divegente (Fig 3a) ia dacă < 0 atunci n < 0 ceea ce înseamnă că este oientat spe inteioul volumului V adică liniile de câmp sunt convegente (Fig 3b) Să discutăm în inal semniicaţia otoului unui vecto Pentu simplitate să pesupunem că şi nu depinde de tunci Dacă const sau independent de atunci 0 În acest ca vectoul epeintă un câmp vectoial neotaţional pe cae l-am epeentat în igua 4 Dacă Fig 4 însă a în acest ca a şi în uncţie de semnul lui a va i oientat în sens opus lui pentu a > 0 şi în acelaşi sens pentu a < 0 În ambele caui măimea epeintă un câmp vectoial eultat pin supapuneea unui câmp otaţional în planul pependicula pe aa O peste un câmp vectoial constant alat tot în acest plan cele două caui iind epeentate în iguile 5 şi espectiv 6

17 Intoducee 5 Fig 7 Fig8 La modul geneal se poate spune că toate punctele pentu cae 0 sunt suse de câmp otaţional Cele discutate anteio pot i mai bine înţelese cu ajutoul teoemei lui Stokes cae aimă că ciculaţia unui vecto pe un contu închis Γ se poate calcula cu ajutoul luului otoului lui pint-o supaaţă deschisă S cae se spijină pe contuul Γ : ( ) d l n da Γ S Conom teoemei lui Stokes în juul oicăui punct în cae 0 eistă un câmp otaţional al vectoului Cu alte cuvinte otoul unui vecto epeintă susă de câmp otaţional În inal iată câteva elemente de calcul cu opeatoul : ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( λ) λ ( λ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) Epesia opeatoului Δ (laplaceian) în coodonate seice: sin θ sin θ θ θ sin θ ϕ ia în coodonate cilindice este: θ