πολύεδρο είναι το ρομβικό τριακοντάεδρο. Πηγή: Απόδοση: Πάνος Γιαννόπουλος

Transcript

1

2 Εικοσιδωδεκάεδρον τεύχος 7, Απρίλιος 7 ISSN: -733 Μπορεί να αναπαραχθεί και να διανεμηθεί ελεύθερα Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο Ο δικτυακός τόπος mathmaticagr ανήκει και διευθύνεται σύμφωνα με τον κανονισμό του που υπάρχει στην αρχική του σελίδα από ομάδα Διευθυνόντων Μελών Συντακτική Επιτροπή Γιώργος Απόκης Φωτεινή Καλδή Σπύρος Καρδαμίτσης Νίκος Μαυρογιάννης Ροδόλφος Μπόρης Χρήστος Τσιφάκης Χρήστος Κυριαζής Εικοσιδωεκάεδρο φιλοτεχνημένο από τον Lonardo da Vinci Το εικοσιδωδεκάεδρο είναι ένα πολύεδρο (3-εδρο) με είκοσι τριγωνικές έδρες και δώδεκα πενταγωνικές Εχει 3 πανομοιότυπες κορυφές στίς οποίες συναντώνται δύο τρίγωνα και δύο πεντάγωνα και εξήντα ίσες ακμές που η κάθε μία τους χωρίζει ένα τρίγωνο από ένα πεντάγωνο Είναι αρχιμήδειο στερεό - δηλαδή ένα ημικανονικό κυρτό πολύεδρο όπου δύο ή περισσότεροι τύποι πολυγώνων συναντώνται με τον ίδιο τρόπο στις κορυφές του - και ειδικότερα είναι το ένα από τα δύο οιονεί κανονικά - quasirgular πολύεδρα που υπάρχουν, δηλαδή στερεό που μπορεί να έχει δύο τύπους εδρών οι οποίες εναλλάσσονται στην κοινή κορυφή (Το άλλο είναι το κυβο - οκτάεδρο) Το εικοσιδωδεκάεδρο έχει εικοσιεδρική συμμετρία και οι συντεταγμένες των κορυφών ενός εικοσαέδρου με μοναδιαίες ακμές είναι οι κυκλικές μεταθέσεις των (,, ± ϕ ), ϕ + ϕ + 5 ±, ±, ±, όπου ϕ ο χρυσός λόγος ενώ το δυαδικό του πολύεδρο είναι το ρομβικό τριακοντάεδρο Πηγή: Απόδοση: Πάνος Γιαννόπουλος Η επιλογή και η επιμέλεια των ασκήσεων αυτού του τεύχους οφείλεται στον Χρήστο Τσιφάκη ( rtsi@gmailcom ) Το εξώφυλλο φιλοτέχνησε ο Γρηγόρης Κωστάκος ( grigkost@gmailcom )

3 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 Επιλύοντας με τη συνήθη μεθοδολογία τη διαφορική ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η μη σταθερή συνάρτηση :, παραγωγίσιμη στο με (), για την οποία ισχύει: y ( y) ()(y) α) Δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο β) Να βρείτε τον τύπο της Αν (), τότε: γ) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα δ) Να αποδείξετε ότι () ( 3) ε) Αν F είναι μια αρχική της με F(), να υπολογίσετε το I F()d Προτείνει: Γιώργης Καλαθάκης Σύνδεσμος: cphp?=55&t=57858 (Αποστόλης Κουρδουκλάs) α), β) Θα αποδείξουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο Ενεργοποιούμε τον ορισμό της παραγώγου και κατά συνέπεια / που προέκυψε πάνω, έχουμε ότι () c Αν () τότε c και άρα η είναι σταθερή άτοπο, αφού η εκφώνηση δίδει ότι η δεν είναι σταθερή Άρα () και κατά συνέπεια () / γ) Η είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο / και κατά συνέπεια είναι γνήσια () αύξουσα στο [, ) ενώ γνήσια φθίνουσα στο (,] Επίσης είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με δεύτερη παράγωγο και άρα η είναι κυρτή () / δ) Η εφαπτομένη της στο είναι η ευθεία με εξίσωση y () ()( ) η οποία παίρνει τη τελική της μορφή και είναι η ευθεία με εξίσωση y y 6 3 ( h) () () lim h h h ()(h) () lim h h h () (h) lim h h Η αρχική σχέση δίδει για () () () () () () () () () και επειδή η είναι κυρτή το γράφημά της θα βρίσκεται πάνω από αυτό της εφαπτομένης με εξαίρεση το σημείο επαφής Η ανισότητα πλέον έπεται ε) Τι πιο προφανές από το να εφαρμόσουμε παράγοντες Τότε έχουμε: I F()d ()' F()d / F() F ()d d /

4 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 Β τρόπος (Στάθης Κούτρας) α) h h u y y y y h,hu lim lim h h h h διότι αν πράγμα άτοπο, και Είναι, σταθερή, lim h lim h h h h lim h h h lim h h h h h h lim h h h h h h lim : h h h Με lim h h lim h h β) Από την u * lim h u h lim h h, :, c, cc c η οποία εύκολα επαληθεύει τα δεδομένα της εκφώνησης για την και μάλιστα γ) Είναι οπότε για, : 3 o ( ) u h,hu h u lim lim h u γνησίως αύξουσα στο και για o ( )

5 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 γνησίως φθίνουσα στο, I F d F d Η είναι προφανώς παραγωγίσιμη στο (πράξεις με παραγωγίσιμες) με '' ' ' ' άρα η κυρτή στο 3,, δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση h 3 F d F d F F I και όλα τα ζητούμενα έχουν βρεθεί και αποδειχθεί Σχόλιο (Σταύρος Παπαδόπουλος) Έχει ενδιαφέρον ότι η συναρτησιακή οδηγεί σε μία πολύ γνωστή Βάζοντας yπαίρνουμε () (()) (προφανώς παραγωγίσιμη στο παραγωγίσιμες)) με και με h h h, (πράξεις με Επειδή αν ( ) παίρνουμε από την αρχική ότι η συνάρτηση είναι σταθερή συμπεραίνουμε ότι () Ετσι μπορούμε να λογαριθμήσουμε και να πάρουμε Θέτοντας γίνεται ln ln( y) y ln() ln(y) g() ln() ln, (μεμονωμένο σημείο) και άρα h γνησίως αύξουσα με μοναδική επομένως ρίζα την προφανή και h Θέτοντας g( y) y g() g(y) h() g() ενώ h, η προηγούμενη δίνει h( y) h() h(y) () άρα η h έχει ολικό ελάχιστο το h h, 3 όπου είναι ln() h() ln πχ Αν δοθεί ότι η είναι φραγμένη άνω σε ένα ε) Έχουμε: 3

6 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 διάστημα τότε μέσω της () μπορούμε να δείξουμε ότι η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη παντού και () ln, φυσικά να την βρούμε ΑΣΚΗΣΗ Β Η είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων και από Έστω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει για κάθε Β Να δείξετε ότι () (), () ln Β Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία, την κυρτότητα, τις ασύμπτωτες και να βρείτε το σύνολο τιμών της Β3 Να δείξετε ότι ( ) ( ) για κάθε, με Β Να υπολογίσετε το και το () d I ln d Προτείνει: Καλαθάκης Γιώργης Σύνδεσμος: cphp?=55&t=5835 (Κακαβάς Βασίλης) Β Είναι () () () () () ( ) () () ( ) () ln ln ln( ) παραγωγίζοντας έχουμε ότι ln( ) (), άρα η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα στο Τώρα είναι (), ( ) επομένως είναι και κοίλη στο Ακόμη επειδή το lim lim () lim ln επομένως η ευθεία y, δηλαδή ο, είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο και επειδή το lim lim () lim ln άρα το σύνολο τιμών της είναι

7 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 ( ) lim (), lim () (, ) d ln( ) Επίσης επειδή η είναι συνεχής στο δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες και στο είναι ln( ) ln και () ln( ) lim lim και το I ln d ()d lim () lim ln( ) επομένως η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της της γραφικής παράστασης της στο Β3 Από ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () και σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει στο διάστημα που ορίζουν τα, και από που ισχύει Β Είναι και από άρα με που ( ) ( ) ( ) () ( ) () d () () () () () () () ()d () () d () () ln( ) ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο n m * () ln,m,n N ) Nα βρεθεί το σύνολο τιμών της ) Να βρεθεί το πλήθος των θετικών ριζών της εξίσωσης 3) Αν δείξτε ότι n ln n I(n, m) ()d n m I(n,m) I(n,m ) n n και να βρεθεί το I(3,) ) Nα υπολογιστεί το lim και το ln 7 sin 3 5

8 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 8 ln 7 γνησίως αύξουσα στο, lim tan Τώρα υπολογίζουμε το Προτείνει: rmr Σύνδεσμος: cphp?=55&t=5775 (Σταμάτης Γλάρος) ) Είναι α) Για m,n έχουμε D A (, ) n m () (ln) (nln m) β) Για n,m έχουμε m () (ln) (ln m) γ) Για m,n έχουμε δ) Για m,n έχουμε n () (nln ) () ln Τώρα διακρίνω τις εξής περιπτώσεις: i) Για m: άρτιο, από την (α),(β) έχουμε Άρα n m () (ln) ln(nln m) () ή m n () n (ln) m ln(nln m) m, n, () n (ln) m ln(nln m) m n, Από τα παραπάνω προκύπτει: γνησίως αύξουσα στο m, n, γνησίως φθίνουσα στο m n, και (ln) m n m lim () lim ln lim m (Απροσδιόριστη μορφή, κανόνας d L' Hospital) Άρα έχουμε: m(ln) lim () lim n m n m m(m )(ln) m(ln) lim lim n ( n)( n) m n n m(m )(ln) lim n ( n) m(m ) ( n) m n lim m Επίσης εύκολα προκύπτει lim (), m n m m ( ) ( ) Συνεπώς (A) (, ) m και () n ii) Για m: περιττό από την (α), (γ) και (δ) έχουμε Άρα n m () (ln) (nln m) () ή m n () n (ln) m ln(nln m) m, n () 6

9 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 n m (ln) ln(nln m) g n m n n,, Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Από τα παραπάνω προκύπτει: i) Για n, η εξίσωση έχει μοναδική λύση την m γνησίως φθίνουσα στο, n και γνησίως αύξουσα στο Άρα ολικό ελάχιστο το: m n,, αφού είναι συνεχής m m m m m m n n n Στην περίπτωση αυτή έχουμε ) Θεωρώ την με m m (A), n g() n ln, n g () (nln ) από όπου με πινακάκι κατά τα γνωστά προκύπτει: g (), n Άρα g γνησίως φθίνουσα στο, n Επίσης g () n, Άρα g γνησίως αύξουσα στο n, n ii) Για n, η εξίσωση έχει λύσεις, μία στο, n και την άλλη στο n,, αφού 3) Είναι n n n m I(n, m) ()d (ln) d n n m n (ln) m d n n n m I(n,m ) n n Αντικαθιστώντας υπολογίζουμε και το I(3,) ) Τώρα για το πρώτο όριο έχουμε: αφού 7 7 ln ln lim lim, sin sin lim ln, όπως απεδείχθη προηγουμένως και Επίσης ισχύουν: sin lim Επιπλέον η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το: 7

10 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος lim (tan), lim, 7 lim ln ln 7 (Βαγγέλης Κορφιάτης) ) Είναι () ln ln Άρα Ομοίως προκύπτει ότι και το Άρα ln 7 8 lim tan ln 7 8 lim tan ln 7 8 lim tan ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση (), ) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ) Να δειχθεί ότι 3) Nα υπολογιστεί το 3 3 ()d 8 lim () ) Nα αποδειχθεί οτι η εξίσωση () ln έχει δυο θετικές λύσεις στο διάστημα (,) Προτείνει: rmr Σύνδεσμος: cphp?=55&t=57697 ln Ισχύει ότι: Για Για ln ln () ( ln )' ( ln ) ln () < ln () Επομένως, η παρουσιάζει ολικό μέγιστο για το () ) Ισχύει ότι: Στο διάστημα ()d ()d ()d [,] ισχύει ότι: < () () ()d () ()d Στο διάστημα, ισχύει ότι: () () () () ()d () 8

11 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 ()d ) Ισχύει ότι: ln ln y lim ln lim lim Προσθέτοντας τις παραπάνω κατά μέλη προκύπτει ότι: y y 3 ()d y lim y Ισχύει η ισοδυναμία: Άρα lim () Θεωρούμε την συνάρτηση g : (, ) με η οποία είναι αληθής διότι 3 3) Για ισχύει ότι: Ισχύει ότι: g() () ln 5 (ln ) ln (ln ) ln ln [()] Για τον εκθέτη έχουμε ότι: ( ln ) ( ln ) ln ln 5 Υπολογίζουμε τα επιμέρους όρια: και ln 9 lim lim lim lim ln και lim g() g() () Άρα η g έχει σημείο μηδενισμού στο (,) Ισχύει ότι g() () 6 ln ln 6 3 ln 6 ln g() Επομένως lim lim ( ln ) 5 ( ln ) 5 ln (ln ) ln lim Άρα η g έχει σημείο μηδενισμού στο (,) Β τρόπος (Κακαβάς Βασίλης) ) Είναι η ln ln (), παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων με 9

12 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 ln () ( ln ) ()ln, d ()d d με και () () ln () () ln άρα η είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα (,] και () () ln άρα η είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα [, ) επομένως στο σημείο παρουσιάζει μέγιστο το () ) Στο διάστημα [, ] (σύμφωνα με το ()) η έχει μέγιστη τιμή την (), είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα [,] και γνήσια φθίνουσα στο διάστημα [, ] με ( ) και και επειδή που ισχύει αφού () 3 3 3, , η έχει ελάχιστη τιμή την () επομένως ισχύει ότι () 3) Είναι και επειδή το αφού άρα ()d (() ()) ( ) ()d ( ) 3 3 ()d 8 lim () ln (ln ) ln ln ln lim lim ln lim lim ln ln ln ) Η εξίσωση lim 5 ( ln) ln lim 5 5 (ln ) ln ln lim () lim () ln () ln Τώρα η συνάρτηση g() () ln, (, ] 5 και ολοκληρώνοντας ισχύει

13 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 είναι συνεχής στο (, ] και σύμφωνα με το Θ Bolzano η g() έχει δύο ρίζες Επειδή το άρα το ln lim (ln) lim lim DLH lim( ln), και, a, Σχόλιο: (Παπαδόπουλος Σταύρος) Να σημειώσω ότι η συνάρτηση είναι κοίλη στο, Οπότε ()d (() ( )) και το ln lim() lim και το κάτω φράγμα βελτιώνεται ΑΣΚΗΣΗ 5 lim g() άρα υπάρχει όπου g( ) Επίσης g() () Θεωρούμε μια συνάρτηση ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο [, ) με () και () Δίνεται επιπλέον ότι για κάθε [, ) () () και γιατί και και g() () 6 ln 6 ln 6 ln ln g() ln Nα δείξετε ότι: α Για κάθε ισχύει β Η συνάρτηση g με τύπο () () g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) και ότι για κάθε (, ) ισχύει () γ Η συνάρτηση h με τύπο είναι κυρτή στο [, ) h Οπότε g( )g(), g()g() δ ισχύει () () Προτείνει: Τσιφάκης Χρήστος

14 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 Σύνδεσμος: () () () cphp?=55&t=539&start=8 άρα η h είναι κυρτή στο [, ) δ) Θέλουμε ότι (Κακαβάς Βασίλης) α Είναι η συνάρτηση t() () (), [, ) συνεχής στο [, ) και παραγωγίσιμη με () () () () () h() h() h() h() h() () t () () (), (, ) λόγω υπόθεσης, άρα είναι γνήσια αύξουσα στο [, ) επομένως για ισχύει ότι β) Η συνάρτηση t() t() () () () () g() () είναι συνεχής στο [, ) και παραγωγίσιμη με g() () () ( () ()), (, ), λόγω του (α) άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) επομένως ισχύει για ότι Τώρα σύμφωνα με το ΘΜΤ για την h στο [, ] υπάρχει (, ) ώστε h() h() h ( ) h() h() οπότε από () αρκεί Είναι () h ( ) h() ( ) ( ) () : () ( ) ( ) ( λόγω (α)), άρα ισχύουν ότι ( ) (), ( ) () και πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε ότι ( ) ( ) () γ) Η g() g() () () άρα ( ) ( ) () () h() () είναι συνεχής στο [, ) και δύο φορες παραγωγίσιμη στο (, ) με και h () () () h () ( () () () ()) ( ()) () () γιατί από υπόθεση και (α), (β) ισχύει ότι που είναι αυτό που θέλαμε (Rmpsks) Διαφορετικά για το δ), Εφαρμόζοντας το και MT για την h στα διαστήματα h() h(), : h ( ) h() h(), : h ( ) h'( ) h'( ) h() h() h()

15 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 () 5 5 () () () (),8 7 ΑΣΚΗΣΗ 6 Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης: 6 Προτείνει: Μιχάλης Σουλάνης Σύνδεσμος: cphp?=55&t=55399 (Θάνος Μάγκος) Ξεκινάμε με το Λήμμα: Ισχύει Απόδειξη : 6ln(3 ) (3 ) Θέλουμε να αποδείξουμε ότι όπου 6ln a a 3, 3 a 3 6, Λόγω του διαστήματος στο οποίο βρίσκεται ο αριθμός a, αρκεί να αποδειχθεί ότι δηλαδή ότι δηλαδή ότι Αυτό ισχύει, αφού 3 6ln 6 3, 3ln 6 5, Πάμε στην εξίσωση! Καταρχάς τη μετασχηματίζουμε διαδοχικά ως εξής: 6 ( )( ) 6 ( )( ) 6 Θεωρούμε τη συνάρτηση Είναι 6 3 () 6 3, () 6 ( 6 ) Εύκολα βρίκουμε ότι η παράγωγος έχει μοναδική ρίζα την ln3 και ότι πριν από αυτή τη θέση είναι αρνητική, ενώ μετά είναι θετική Το ελάχιστο της συνάρτησης είναι το ( ) 3 6ln(3 ) (το αυτό είναι του αρχικού λήμματος) Επειδή τώρα ισχύει και () 6 () 8, συνάρτηση έχει από μία ακριβώς ρίζα σε κάθε ένα από τα διαστήματα (, ), (,), άρα συνολικά ακριβώς δύο ρίζες και 3

16 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 ΑΣΚΗΣΗ 7 Η, ως συνεχής στο, από το θεώρηµα Έστω οι συναρτήσεις,g :,, µε δύο φορές παραγωγίσιµη και ''( ) ''( ) ίνεται επίσης ότι η έχει δεύτερη παράγωγο συνεχή και ότι: g() '() () '( ), Να αποδείξετε ότι:, i υπάρχει τουλάχιστον ένα, ώστε να ισχύει ii g'( ) g'( ) '( ) '( ) ''( ) iii Υπάρχει τουλάχιστον ένα c, ώστε να ισχύει c (c) ( ) c '(c) ''(c) Czar Lupu Προτείνει: Βασίλης Μαυροφρύδης Σύνδεσμος: topicphp?=7&t=757 Bolzano, θα έχει τουλάχιστον µία ρίζα στο,, o, άτοπο Οπότε o '( ) '( ) k( ) ''( ) Ορίζουµε την συνάρτηση '( ) '( ) ''( ) '() '( ),, h() ''( ), Η h είναι συνεχής στο, ως πηλίκο συνεχών Έχουμε ότι '() '( ) lim h() lim ''( ) h( ), άρα είναι συνεχής και στο α Συνεπώς είναι συνεχής στο, Η h είναι παραγωγίσιµη ως πηλίκο παραγωγίσιµων συναρτήσεων στο, µε (Βασίλης Μαυροφρύδης) i) Έστω ότι η '() '( ) k() ''(),, δεν έχει ρίζα στο,, τότε ως συνεχής σε αυτό (είναι παραγωγίσιµη ως πράξεις παραγωγίσιµων άρα και συνεχής) θα διατηρεί πρόσηµο Ας υποθέσουµε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι είναι θετική Αν στο β είναι αρνητική, τότε στο τυχαίο, είναι θετική και θα ισχύει ( o) ( ) o '() '( ) ''() k() h'() για κάθε, Συνεπώς η h είναι γνησίως αύξουσα στο, ως συνεχής σε αυτό Άρα άτοπο Συνεπώς η h< h( ) h( ) '( ) '( ) ''( ) ''( ) ''( ) '( ) '( ) ''( ),

17 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 '() '( ) k() ''(),, ΑΣΚΗΣΗ 8 έχει τουλάχιστον µία ρίζα, στο, Οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα, ώστε να ισχύει Θεωρούμε την συνάρτηση : για την οποία για κάθε ισχύει: () 3( ) '( ) '( ) ''( ) ii Η g ως πράξεις παραγωγίσιµων στο,, είναι παραγωγίσιµη µε,, g'() ''() '() '( ) Άρα g'( ) ''( ) '( ) '( ) g'( ) ''( ) '( ) '( ) (i) i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή ii) Να δείξετε ότι () iii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της iv) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε 9 v) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει Άρα '( ) '( ) '( ) '( ) g'( ) g'( ) '() () vi) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I () d iii Η g' ικανοποιεί τις προϋποθέσεις που ικανοποιεί η '' στο (i) υποερώτηµα, στο διάστηµα,, άρα σύµφωνα µε το (i) θα υπάρχει τουλάχιστον ένα c,, ώστε να ισχύει g(c) g( ) g'(c) c c ''(c) '(c) '( ) c '(c) c '( ) '(c) '( ) c c (c) ( ) c '(c) ''(c) Προτείνει: Θωμάς Ραικόφτσαλης Σύνδεσμος: cphp?=55&t=657 (Νίκος Κ) i Θέτοντας όπου το ) στην σχέση: έχουμε ότι: () 3( ) ( ) 3() ( () () Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις () και () παίρνουμε ότι:, άρα 5

18 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 5( ) 5() ( ) (), Άρα το ζητούμενο σύνολο τιμών είναι το δηλαδή η είναι περιττή ii Αφού ( ) () από την () έχουμε ότι, iv Έστω, Έχουμε () 3() () () () () (),, η οποία επαληθεύει την αρχική iii Το πεδίο ορισμού της είναι A Για το σύνολο τιμών της, αναζητούμε τις τιμές του y για τις οποίες η εξίσωση () y έχει λύση, ως προς, στο Έχουμε A () y y y( ) ( y) y (3) - Για y η (3) γίνεται, αδύνατη Δηλαδή για y δεν έχει λύση, άρα το - Για y έχουμε y y Επομένως η (3) έχει λύση ως προς, στο Α, αν και μόνο αν: y y και y y και (y )( y) - y ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) (γιατί η συνάρτηση είναι - ) Άρα η συνάρτηση είναι - στο Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση () = y έχει μοναδική λύση, ως προς, στο τιμών της για κάθε y από το σύνολο (Αν για κάποιο y (Α), η εξίσωση () = y είχε δυο λύσεις, δηλαδή υπήρχαν,, με τέτοια ώστε ( ) y και ( ) y η δεν θα ήταν -, άτοπο) Επειδή τώρα 9 ( ) (,) και η είναι -, έχουμε ότι υπάρχει μοναδικό τέτοιο, ώστε 9 9 ( ) 9( ) ( ) v Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με () ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6

19 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 ( ) () d ( ) ( ) ( ) Επίσης είναι ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) για κάθε ( ) ( ) ( ) Άρα πράγματι '() () για κάθε vi Έχουμε () d () d ()d () d () () ()d () ()d () d () ( ) d () d () d d (() ) d (() ) ln( ) (() ) ln ln ln ln ln ln Σχόλιο: Ένας πιο κομψός τρόπος υπολογισμού του ολοκληρώματος: () d () d ()d () d () () ()d () ()d () d () d () ln ln ln ln 7

20 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 Β τρόπος (Παύλος) i) Έχουμε αρχικά ότι για κάθε vi) I ισχύει ότι d d 3 () d d Αν θέσουμε όπου το, έχουμε: d 3 () Θέτουμε u οπότε Με πρόσθεση κατά μέλη των δύο σχέσεων προκύπτει du (3), du d ud δηλαδή d u άρα η είναι περιττή ii) Από τις σχέσεις () και (3) με αντικατάσταση Αν τότε u έχουμε Αν τότε u 3 Επομένως u iii) Για κάθε Rέχουμε d du uu u u du du uu u u, άρα η είναι γνησίως αύξουσα Το σύνολο τιμών της, η οποία είναι και συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων, είναι το lim, lim Όμως lim και lim lim άρα, iv) Επειδή, ώστε (DLH), 9, υπάρχει τέτοιο, v) Για κάθε, Άρα ln u ln u ln I ln ln Α Δίνεται η συνάρτηση ΑΣΚΗΣΗ 9 3 g() i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g αντιστρέφεται ii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g iii) Να λύσετε την εξίσωση g () iv) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g και g έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο Β Αν για την συνεχή συνάρτηση : ισχύει ότι 8

21 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 () 3 () () () είναι ισοδύναμες για κάθε A (A) για κάθε, να δείξετε ότι: Απόδειξη i) ii) () g () 9 ()d Προτείνει: Θωμάς Ραικόφτσαλης Σύνδεσμος: cphp?=55&t=657 (Χρήστος Τσιφάκης) Α i) Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο συναρτήσεων με για κάθε Άρα η g είναι < στο υπάρχει η g ii) H g είναι συνεχής στο τιμών της είναι, ως άθροισμα παραγωγισίμων g'() 3, οπότε είναι - και άρα και <, άρα το σύνολο g lim g(), lim g(), Άρα η g ορίζεται στο iii) Η εξίσωση γίνεται μοναδική ρίζα g () g g () g g, iv) Θα αποδείξουμε πρώτα το Θεώρημα Αν μια συνάρτηση : A είναι γνησίως αύξουσα και : (A) η αντίστροφή της με A (A), οι εξισώσεις () () και 9 Έστω o A (A) για το οποίο ισχύει η ( o) ( o) Τότε θα είναι ( o) Έστω τώρα ότι ( ), αλλά όχι και η ( ) ή ( ) Αφού η είναι < τότε έχουμε o < o o o o o ( ) ( ) ( ) ( ), Άτοπο Όμοια προκύπτει αν ( ) Άρα Αντίστροφα, o o o ( ) ( ) ( ) o o o o o Έστω ότι για κάθε A (A) ισχύει Β τρόπος ά () () () () () o o Έστω η συνάρτηση g με τύπο g() (), A (A) Αφού η είναι < τότε και η g (εύκολα αποδεικνύεται) είναι <, άρα η g είναι Έτσι για κάθε A (A) έχουμε () () () () () () () () o o o

22 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 g g () g() () () Πάμε τώρα για την άσκηση: Η εξίσωση γίνεται 3 g() Άρα tg(t) t g'(t)dt g(t)dt 9 Θεωρούμε την συνάρτηση Η οποία είναι < στο 3 h(), και έχει σύνολο τιμών το άρα τέμνει τον ' σε ένα μόνο σημείο εξίσωση h() έχει μοναδική ρίζα Β i) για κάθε, ισχύει o και άρα η () 3 () () g(()) g< g(()) g g () g ii) Οι συναρτήσεις και οπότε ** χωρίς απόδειξη πλέον g είναι συνεχείς στο, () () g ()d g ()d Θα υπολογίσουμε το Θέτουμε Για έχουμε g ()d g(t) οπότε d g'(t)dt και g g(t) g(t) g() t Για έχουμε Έτσι έχουμε g g(t) g(t) g() t g ()d g (g(t))g'(t)dt 9 ()d ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση : a,b παραγωγίσιμη στο a,b Αν δύο φορές () [a,b], (a) (b) τότε δείξτε ότι η συνάρτηση έχει μέγιστο έστω σε κάποιο μοναδικό c (a, b) Αν και (a) k m με g() k( a) (a) m(b a) (b) (a) δείξτε τότε ότι οι γραφικές παραστάσεις των,g έχουν μοναδικό κοινό σημείο στο (a,b], έστω (d,(d)) Τέλος να δείξετε ότι θα ισχύει ενώ αντίστροφα στο () g(), (a, ), d,b (Αξίζει να ερμηνεύσετε γεωμετρικά) Προτείνει: Ροδόλφος Μπόρης Σύνδεσμος: cphp?=55&t=558 (Γιώργος Ροδόπουλος) H ' είναι γνησίως φθίνουσα στο [a,b] και έχει σύνολο τιμών το [ '(b), '(a)] (προφανώς '(a) και '(b) )

23 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 Συνεπώς η εξίσωση '() έχει μοναδική ρίζα h'() '() k, c (a, b) Χρησιμοποιώντας την μονοτονία της ' βρίσκουμε ότι '() για κάθε [a,c) και '() για h''() ''() για κάθε [a, b] οπότε η h' είναι γνησίως φθίνουσα κάθε (c,b] Προκύπτει τώρα ότι η στο c παρουσιάζει μέγιστο Θεωρούμε την συνάρτηση h() () g() h() () (a) k( a) που είναι παρ/μη (άρα και συνεχής) στο [a,b] Είναι h(a) Αν η εξίσωση h() είχε δύο διαφορετικές ρίζες d,d ( d d) στο (a,b) τότε εφαρμόζοντας διαδοχικά το ΘRoll στα διαστήματα [a,d ],[d,d ] βρίσκουμε ότι η h' έχει δύο διαφορετικές ρίζες που αντιβαίνει στο γεγονός ότι η h' είναι γνησίως φθίνουσα Συνεπώς η εξίσωση h() () g() Είναι (b) (a) m ba έχει μοναδική ρίζα την d και έτσι οι γραφικές παραστάσεις των, g έχουν μοναδικό κοινό σημείο το d,(d) Επίσης (b) (a) k m k ba k(b a) (b) (a) (b) (a) k(b a) h(b) () (a) lim k '(a) k a a, συνεπώς υπάρχει ώστε o o (a,b) (το o ''κοντά'' στο a) ( o) (a) k a ( o) (a) k(o a) h( o) Ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος του Bolzano για την h στο [ o,b] και συνεπώς η εξίσωση h() έχει ρίζα ( o,b) (a,b) Βρίσκουμε Η h' έχει μοναδική ρίζα (a,d) (από ΘRoll) και από την μονοτονία της προκύπτει ότι h'() αν [a, ) και h'() αν (,d] Δεδομένου ότι d (, ] εύκολα τώρα βρίσκουμε ότι h(), (a,d) και h(), (d,b], δηλαδή () g(), ( a,d) και () g(), ( d,b] Για την γεωμετρική ερμηνεία: Έστω A(a,(a)), B(b,(b)) Η εφαπτομένη (ε) της γρπαρ της στο Α έχει συντ διεύθυνσης ίσο με '(a) και βρίσκεται πάνω από αυτή στο a,b αφού η στρέφει τα κοίλα κάτω Ακόμη AB (b) (a) ba

24 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 Η g είναι ευθεία που διέρχεται από το Α και έχει συντ Τελικά δύο φορές παραγωγίσιμη διεύθυνσης μικρότερο από αυτόν της (ε) και μεγαλύτερο από της ΑΒ Παραγωγίζοντας την δοσμένη προκύπτει Επομένως η g θα τέμνει την γρ παράσταση της σε μοναδικό σημείο (ήδη την τέμνει στο Α) πριν από το οποίο θα βρίσκεται κάτω από την C και μετά πάνω από αυτή () '() '() ''() και επειδή '(), τελικά () ''() γ) () () ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται μία συνάρτηση με συνεχή παράγωγο στο και () και Να αποδείξετε ότι: [ ()] (), α) Η είναι αντιστρέψιμη β) Η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με γ) Να βρείτε τον τύπο της () () δ) Να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης της ε) Να υπολογίσετε το 3 ()d Προτείνει: Χρήστος Κυριαζής Σύνδεσμος: cphp?=55&t=97 (Τσόπελας Γιάννης) α) ( ) (()) () και επειδή ' συνεχής, άρα διατηρεί πρόσημο και επειδή '(), έχουμε '(), άρα η γνησίως αύξουσα στο R, άρα - και άρα αντιστρέψιμμη β) () () () και επειδή παραγωγίσιμη, άρα και το ο μέλος της () παραγωγίσιμη άρα και ' παραγωγίσιμη () () () () () () () () () () c για έχουμε (), '() άρα c Τελικά () () () () () () c () c για προκύπτει c, άρα: () δ) εύκολα προκύπτει ότι το σύνολο τιμών της (που είναι και πεδίο ορισμού της αντίστροφης) είναι το γιατί () y y y y y y ε) θέτουμε y και τελικά y y, y ln y y,y

25 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 y () ln ' ' I ln y (y)dy το οποίο είναι υπολογίσιμο με ολοκλήρωση κατά παράγοντες Αποτέλεσμα 3ln Β τρόπος (Στάθης Κούτρας) i) Είναι iii) από την σχέση Και επειδή η 'είναι συνεχής θα διατηρεί το πρόσημό της και με δεδομένο ότι, γνησίως αύξουσα άρα αντιστρέψιμη ii) Από τον τύπο Θεωρούμε τις συναρτήσεις g και h Επειδή h είναι παραγωγίσιμη στο παραγωγίσιμες) και h, και η g είναι παραγωγίσιμη στο, (πράξεις με άρα και στις τιμές της h συμπεραίνουμε ότι goh είναι παραγωγίσιμη στο με iv) Επειδή ' c,c, c c ' ' c c c, η είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα και 3

26 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος y ()d ln( d v) y y y y y y y y y, y R y ln y y 3 I d ln( ) t d t dt t t Για t t Για ln( ) ΑΣΚΗΣΗ 3 ln 8 Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση : (, ) με () έχει την ιδιότητα : (), () α) Να αποδείξετε ότι () ln, β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα a ln I d,a a γ) Αν a b,a b και b a αποδειχθεί ότι a b και ab ln d, να I t t dt 3 3 t t dt 3 3 t t t dt dt Προτείνει: Μπάμπης Στεργίου Σύνδεσμος: cphp?=55&t=5 (Γιώργος Ροδόπουλος) α) Για κάθε > έχουμε: '() () () '() '() () () ' ( ln )' () () () ln c () () ln () Θεωρούμε την συνάρτηση g()

27 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 που είναι ορισμένη στο και - (εύκολο) a ln ln d d Για κάθε > έχουμε: β) Θέτουμε () g(()) g(ln ) () ln, u u a ln d a τότε u και d du, u a u u a a a u u I ln u du u u a ln d I I a γ) Αν αφού ln τότε ln d για κάθε a, (το ίσον ισχύει μόνο αν ) ln Αν τότε d αφού ln για κάθε a, (το ίσον ισχύει μόνο αν ) Επομένως < α < < β Τώρα 5 αφού αν τότε ln ln d ή d a γιατί Παρατήρηση : Υπήρχε και εδώ με μία πολύ ωραία επεξήγηση του Μιχάλη a ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση :[, ) με την ιδιότητα (o)() για κάθε Να αποδείξετε ότι : α) ( ) (), β) Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και έχει σύνολο τιμών το [, ) γ) Αν η συνάρτηση g είναι μια παράγουσα της στο [, ) με g() τότε είναι κυρτή και ισχύει g(a) g(b) a b για κάθε a, b με a b δ) Αν η είναι επιπλέον παραγωγίσιμη, τότε ( )()d Προτείνει: Μπάμπης Στεργίου Σύνδεσμος: cphp?=55&t=568

28 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 (( )) ( ) (Κακαβάς Βασίλης) α) Είναι (()), () και λόγω της αρχικής σχέσης ( ) άτοπο Όμοια και αν () καταλήγουμε σε άτοπο, άρα οπότε και ((()) ( ) ([, )) [, ) Β τρόπος (Γιώργος Ροδόπουλος) επίσης επειδή λόγω της () αφού ορίζεται στο [, ) η () και με το () προκύπτει επομένως ισχύει β) Για έχουμε ((()) (()) () ( ), Αν () το (()) () και λόγω της αρχικής () και επειδή η γνήσια μονότονη και () () θα είναι γνήσια φθίνουσα οπότε για () (), άτοπο γιατί () όπως εξηγήσαμε στο () Αρα () από () () έχουμε () ή (), δεκτή η () αφού η λόγω μονοτονίας είναι και - έτσι () (), άρα γνήσια αύξουσα Τώρα έστω ότι υπάρχει ώστε τότε (), (, ) (), (, ) και επειδή είναι συνεχής θα έχει σταθερό πρόσημο στο (, ) άρα: Αν () θα ισχύει και ( ), άρα λόγω μονοτονίας Για το σύνολο τιμών, τώρα,μπορούμε και ως εξής: (η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο,, (), lim (), γιατί θα είναι lim () lim () Αν δεχθούμε ότι lim () τότε παίρνοντας όρια στην δοσμένη σχέση καταλήγουμε σε άτοπο αφού το όριο του πρώτου μέλους είναι πραγματικός αριθμός ενώ το όριο του δεύτερου μέλους είναι Συνεπώς lim () γ) Η g() (t)dt είναι παραγωγίσιμη με g () () και επειδή η είναι γνήσια αύξουσα θα είναι και η g άρα η g κυρτή στο [, ) Τώρα θεωρώντας την είναι παραγωγίσιμη με g() F(), (, ) () g() F () και επειδή από ΘΜΤ για την g στο [, ], υπάρχει (, ) ώστε g() g() g() g ( ) ( ) ( ) g(), 6

29 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 θα είναι (() (t))dt () ( ) () ( ) F () F () γιατί και γνήσια αύξουσα, άρα η g() F() και επειδή t και η γνήσια αύξουσα είναι (t) () άρα () (t) και άρα γνήσια αύξουσα, άρα για a (Κώστας Ρεκούμης) Για το (δ) αλλιώς: b ισχύει το ζητούμενο ( )()d ( (()) ' )()d ( (()) '()d ()d [(())()] ( (()) '()d ()d (u)du ()d (Βασίλης Κακαβάς) γ) Η g() (t)dt είναι παραγωγίσιμη με g () () και επειδή η είναι γνήσια αύξουσα θα είναι και η g άρα η g κυρτή στο [, ) Τώρα θεωρώντας την g() F(), (, ), η οποία είναι παραγωγίσιμη με ή αλλιώς () g() F () () (t)dt ()dt (t)dt (() (t))dt για, επομένως F (), επομένως η g() F() γνήσια αύξουσα άρα για a b ισχύει το ζητούμενο Δίνεται η συνάρτηση ΑΣΚΗΣΗ () , 9 ) Να αποδείξετε ότι () ) Να αποδείξετε ότι () 9 8 3) Να βρείτε το είδος μονοτονίας της ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της 5) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: 6 7 () d Προτείνει: Χρήστος Κυριαζής Σύνδεσμος: cphp?=55&t=38 (Γιώργος Ρίζος) ) Είναι: 7

30 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος ) Είναι 3) Για οπότε , είναι γνησίως φθίνουσα lim οπότε lim lim A, 8 5) (Βασίλης Μαυροφρύδης) () d d 6 3 d u 7 du d u 3 u 9 u 3 u du 8 u u 6 du 8 u 7 u 6 du 8 u3 9 u Οπότε 9 (αφού είναι φθίνουσα, 9, ), οπότε γνησίως 7 3 9ut 6 du 3 9 u 8 du t3 dt 9 9 t3 t dt t 3ln t 9 3ln 8 ) Είναι 8 9 και μια άλλη λύση για το ) (Κουτσούκος Γιάννης) 8

31 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 για 9 () Προτείνει: Γιώργος Κ77 Σύνδεσμος: cphp?=55&t=75 (Γιώργος Απόκης) Η δοσμένη για γίνεται που ισχύει για κάθε (Γιώργος Euklidis) Έστω πως υπάρχει 9 τέτοιο ώστε άτοπο Άρα ( ) ,,, 9 ΑΣΚΗΣΗ 5 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση :[,] τέτοια, ώστε για κάθε [,] να ισχύει : Να δείξετε ότι 7 () 6() 7 () και () Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται, να βρείτε το πεδίο ορισμού της και τον τύπο της 3 Να δείξετε ότι ()d ()d Αν () (), για κάθε [,], να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των και 9 (αφού 7 () 6() 6 ()[ () 6] () 6 () 6 ) Oμοίως, για έχουμε Θέτοντας () 7 () 6() 7 k έχουμε 7 k 6k 7, η οποία έχει προφανή ρίζα k που είναι μοναδική, αφού η συνάρτηση έχει 7 (k) k 6k 7 6 '(k) 7k 6 άρα η g είναι γνησίως αύξουσα άρα και Παραγωγίζοντας τα μέλη της δοσμένης, έχουμε: 6 7 () '() 6 '() 7 7 '() 6 7 () 6 δηλαδή η είναι γνησίως αύξουσα άρα και στο, To πεδίο ορισμού της αντίστροφης θα είναι το σύνολο τιμών της που είναι το [(),()] [,] αφού η συνεχής (ως παραγωγίσιμη) και γνησίως αύξουσα Θέτουμε y () και λύνουμε ως προς, άρα

32 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 7 (y 6y) 7 ()d ()d άρα :[,] [,] 7 ()d ( 6)d 7 και 3 Για το 7 7 () ( 6) ()d θέτουμε (u) d (u) 'du και για : u () ενώ για : u () Επομένως το ολοκλήρωμα γίνεται: ()d (u) (u) 'du Β τρόπος (Λευτέρης Πρωτοπαπάς) Για στην αρχική σχέση βρίσκουμε ότι: 7 () 6() 6 ()( () 6) () u (u) 'du [u (u)] (u)du Θέτω 7 g() 6 7 () (u)du ()d και προκύπτει η ζητούμενη Αφού και () (), [,] () (), () () οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται μόνο στα (,), (,) Έτσι, 3 E ()d ()d 3 η οποία είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο 6 g () 7 6, οπότε η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Αφού το είναι προφανής ρίζα της g και αυτή είναι γνησίως αύξουσα στο μοναδική Για στην αρχική βρίσκουμε ότι: με, η ρίζα αυτή είναι και 7 () 6() 7 7 () 6() 7 g(()) g() () Έστω, με ( ) ( ) Τότε:

33 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος ( ) ( ) και () ( ) για κάθε, 6( ) 6( ) Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε ότι: ( ) 6( ) ( ) 6( ) 7 7 άρα από την υπόθεση: 7 7, οπότε η είναι ένα προς ένα, άρα αντιστρέφεται Θέτουμε στην αρχική y Όμως: Τότε: () και έχουμε: 7 y 6y y 6y 7 (I) * 7 y 6y 6 y(y 6) y (II) και * 7 y 6y 7 β Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g :, με τύπο έχει μέγιστο g() ()( ) γ Να λύσετε ως προς, ()d την εξίσωση δ Να αναφέρετε παράδειγμα μιας τέτοιας συνάρτησης Γ Μπαιλάκης Προτείνει: Γιάννης Στάμου Σύνδεσμος: cphp?=55&t=393 (Διονύσης Βουτσάς) ) Aρχικά η δοθείσα γίνεται : ()' ( ( ))' 7 y 6y 7 g(y) g() y (III) Επομένως από τις (I),(II),(III) προκύπτει ότι: (A) [,], χωρίς παραγωγισιμότητα ΑΣΚΗΣΗ 6 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση :, και για ) () ( ) c,c () ( ) g() ()( ) ()( ()) για την οποία για κάθε, ισχύει () (()) () () ( ) α Να αποδείξετε ότι : 3 [(()) () (() ) με την ισότητα για, άρα έχει μέγιστο το

34 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 3) την σχέση του ) την διαιρώ με g() () () και ολοκληρώνω () ( ) () () () g() ()d ( )d d a a a a a Οπότε η g παρουσιάζει μέγιστο για το g() άρα με κάποιες πράξεις έχουμε a c) Από την σχέση του α) ερωτήματος πάλι έχουμε: και να πώ ότι υπολόγισα ένα ολοκλήρωμα ως a ( )d a για t, το προηγούμενο ισούται με a (t)dt ) μια συνάρτηση που επαληθεύει είναι η (), Β τρόπος (Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης) a) Η δοσμένη σχέση γράφεται ως εξής: ( ())' ( ( ))', (, ) () ( ) c,c Για στην δοσμένη σχέση βρίσκω () όποτε αντικαθιστώντας στην παραπάνω βρίσκω c Οπότε: () ( ), (, ) b) Πολλαπλασιάζοντας με() την σχέση του α) ερωτήματος έχω: () ()( ) () () g() () a ()d ( )d d a a a a a a Και αν στο δεύτερο ολοκλήρωμα κάνουμε μια αλλαγή μεταβλητής όπου όταν u du d τότε u a και όταν a a είναι a a u a a ()d (u)du a a a a ln a ()d ()d lna lna a a ()d lna lna a ΑΣΚΗΣΗ 7 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση :,, για την οποία ισχύει:,, 3

35 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 i) Να αποδείξετε ότι η είναι δύο φορές οπότε θα ισχύει και παραγωγίσιμη () ln ln ii) Να αποδείξετε ότι: a),, και () ln () b) iii) Να αποδείξετε ότι: a),, b) και, c) Υπάρχει,, ώστε: οπότε παραγωγίσμη στο [,] ως σύνθεση παραγωγίσμων ii) a) Έστω ότι υπάρχει [,] ώστε τότε θα είναι ( ), ( ) d ή ( ), ( ) iv) Να αποδείξετε ότι: a) η συνάρτηση έχει (ολικό) μέγιστο και (ολικό) ελάχιστο και b) αν τότε ισχύει:,, Προτείνει: Στάθης Κούτρας Σύνδεσμος: cphp?=55&t=6 (Κακαβάς Βασίλης) i) Από έχουμε ότι ισχύει και επειδή θα είναι και,, () (), [, ] (), [,] και στην πρώτη περίπτωση θα είναι άτοπο λόγω υπόθεσης και στην δεύτερη περίπτωση άτοπο λόγω υπόθεσης άρα θα ισχύει ότι () (), [,] b) Θεωρώντας την συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με λόγω του (α) g() (), [,] g () () () και σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής θ στο [,] θα υπάρχει (,) ώστε g() g() g ( ) () () και επειδή g ( ) θα ισχύει ότι 33

36 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 () () () () (() ())d () () iii) a) Αν υπάρχει [,] ώστε τότε ()d ()d ()d () () και λόγο του ότι θα ισχύει ότι ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) που είναι άτοπο άρα θα είναι b) Από έχουμε ότι οπότε για την () (), [,] () (), [,] () () () h() () από ΘΜΤ στο [,] υπάρχει (,) ώστε g() g() g ( ) () () και επειδή h ( ) θα ισχύει ότι () () () () c) Από () (), [,] έχουμε ολοκληρώνοντας ότι ισχύει και από ΘΜΤ για την στο [, ] υπάρχει (,) ώστε () () ( ) () () άρα υπάρχει (,) ώστε ()d ( ) iv) a) Από θεώρημα μεγίστης και ελάχιστης τιμής θα υπάρχουν, [, ] ώστε να ισχύει ( ) () ( ), [, ] b) Για την h() () από το iii)(b) που ισχύει h (), [,] στα διαστήματα [, ], [, ] με σύμφωνα με το ΘΜΤ θα υπάρχουν (, ), (, ) ώστε και επειδή h() h() h ( ) και h() h() h ( ) h() () και h() h() () θα είναι h ( ) h() και h ( ) και αφού h (), [,] 3

37 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 θα ισχύουν ότι Σύνδεσμος: cphp?=55&t=86 h() h ( ) h() () () και h() h ( ) h() h() () () επομένως τελικά (), (,) άρα αφού () () (), [,] την δεύτερη παράγωγο δεν την χρειάστηκατο ΘΜΕΤ επίσης ΑΣΚΗΣΗ 8 Εστω η συνάρτηση () / D [,] και σύνολο τιμών (A) [,], δυο φορές παραγωγίσιμη με δεύτερη παράγωγο συνεχή στο Θεωρούμε την συνάρτηση D και (),() () g() (), [,] ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δυο διαφορετικά,, (,) : '( ) '( ) ) Yπάρχει o(,) : g'( o) 3) Aν η ''() είναι στο (, ) και αυτά του ) ερωτήματος νδο: 3a) Υπάρχει (, ) : '( ) 3b) () ''()d Προτείνει : Διονύσης Βουτσάς (Πρωτοπαπάς Λευτέρης) ) H συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο,, άρα και συνεχής σε αυτό Ως συνεχής συνάρτηση σε κλειστό διάστημα παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή και δεδομένου του συνόλου τιμών, η μέγιστη τιμή είναι το και η ελάχιστη το, οπότε υπάρχουν, [,] τέτοια ώστε ( ),( ) Όμως (),(), οπότε, (,) Επομένως η παραγωγίσιμη συνάρτηση στο, παρουσιάζει ακρότατα σε δύο εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της,, οπότε από το θεώρημα του Frmat ισχύει ( ) ( ) ) Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι H συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο (, ) (,) ως γινόμενο των παραγωγίσιμων συναρτήσεων (πολυωνυμική) και () () (παραγωγίσιμη στο [,]) ενώ και η είναι παραγωγίσιμη στο (, ) (,) ως σύνθεση των παραγωγίσιμων συναρτήσεων () (παραγωγίσιμη στο, ) και εκθετική, οπότε παραγωγίσιμη είναι και η () g() () στο (, ) (,) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με, () g () () () () * H συνάρτηση () είναι συνεχής στο [, ] [,] ως γινόμενο των συνεχών συναρτήσεων (πολυωνυμική) και () (η είναι () δύο φορές παραγωγίσιμη στο, ) ενώ και η είναι συνεχής στο [, ] [,] ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων () (παραγωγίσιμη στο 35

38 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 (), ) και εκθετική, η () είναι συνεχής αφού και ( ()), [, ] χωρίς να ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων, οπότε συνεχής () είναι και η g () () () () στο [, ] [,] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων, *** g ( ) g ( ), αφού ( g ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) και ( g ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ), δηλαδή g ( )g ( ) Συνεπώς από το θεώρημα Bolzano υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε g ( ) 3a) Έστω ότι δεν υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε ( ), οπότε () για κάθε (, ) Αυτό σημαίνει ότι η είναι σταθερή στο [, ], είναι παντού μηδέν, οπότε Δίνεται η συνάρτηση ( ()) d ΑΣΚΗΣΗ 9 ln (), ) Nα βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο (,()) ) Nα εξετάσετε την μονοτονία και να βρείτε τις ασύμπτωτες της 3) Aν θεωρήσουμε την συνάρτηση g() () να βρεθεί το πρόημο της και η σχετική θέση των και εφαπτομένης του πρώτου ερωτήματος ) Να δείξετε ότι C έστω () c, [, ] Τότε g () c και κατά συνέπεια αφού g ( ), προκύπτει ότι c, οπότε και (), [, ], που είναι άτοπο, αφού ( ),( ) Συνεπώς υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε ( ) 3b) () ()d () () () ()d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ()) d ( ()) d, ( ) (t)dt (), 8 Προτείνει: rmr Σύνδεσμος: cphp?=55&t=83 (Κακαβάς Βασίλης) ) Η είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων με ln ln (), οπότε η εφαπτομένη της στο σημείο (, ()) είναι ) Είναι y () ()( ) y () ln 36

39 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 ln και h() ln () ln ln και επειδή είναι παραγωγίσιμη με άρα η είναι γνήσια αύξουσα στο (, ] και () ln ln άρα η είναι γνήσια φθίνουσα στο Επίσης [, ) ln lim () lim lim ln αφού lim και lim(ln ) άρα η είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της και επειδή είναι συνεχής στο (, ) δεν έχει άλλη κατακόρυφη Ακόμη ln lim () lim DLH lim lim που σημαίνει ότι η y δηλαδή ο είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο 3) Είναι g() και Τώρα για την ισχύουν ότι g () (), (, ) άρα ln ln g () h() ln, ή 3 h() ln, h () 3, η h είναι γνήσια αύξουσα στο (, ) επομένως για θα ισχύει ότι h() h() έτσι και η h() g (), άρα g γνήσια φθίνουσα στο (, ] και για θα ισχύει ότι h() h() έτσι και η h() g (), άρα g γνήσια αύξουσα στο [, ) οπότε στο παραουσιάζει η g ολικό ελάχιστο το g() επομένως Άρα g(), () (), που σημαίνει ότι τα σημεία της είναι κάτω από τα σημεία της εφαπτομένης της στο (, ()) εκτός του σημείου επαφής που είναι το (, ) ) Αν F είναι μία αρχική της στο (, ) τότε είναι (t)dt F( ) F() επομένως αρκεί να δείξουμε ότι ( ) F( ) F() (), 8 και επειδή από ΘΜΤ για την F στο [, ] θα υπάρχει (, ) ώστε 37

40 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 F( ) F() Σύνδεσμος: F ( ) cphp?=55&t=937 ( ) F( ) F() αρκεί να ισχύει ( ) ( ) (), 8 που ισχύει γιατί η είναι γνήσια φθίνουσα στο [, ) ( 8 το έχω δείξει και το έχω δημοσιεύσει παλαιότερα εδώ &t=68) και ΑΣΚΗΣΗ (Κακαβάς Βασίλης) Α) Είναι () ()(ln ()), (, ) οπότε θα ισχύει () ()(ln ()) () Αν υπάρχει (, ) ώστε ( ) τότε άτοπο αφού ( ) ( ) ( ), άρα (), (,) (), (,) Δίνεται η :[,] [,] συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο (,) για την οποία ισχύουν: και επομένως ln(()), (,) () () (), (,) Ετσι από () έχουμε ότι ισχύει ()(ln ()) () () ()(ln ()), (,) A) Να βρεθεί η B) Να εξετασθεί ως προς την μονοτονία,την κυρτότητα,και να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο (,( )) άρα () ln(()) ()ln (()) ln (()) ln, (, ) ln(()) Γ) Να δειχθεί ότι Δ) Να υπολογισθεί το ()d lim Προτείνει: Μηνάς Χάτζος ln(t) dt t Οπότε ln c ln(()) και ισοδύναμα ln(()) ln c ln c (), (, ) () 38

41 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 Έχουμε τώρα ότι lim(ln ) άρα (ln ) (), (,), ln ln c lim και lim ln c άρα η κυρτή στο [,] και αφού συνεχής lim() () άρα από () έχουμε ότι () και λόγω υπόθεσης () Η εφαπτομένη της στο (, ( )) ( ) είναι η y με ( ) και Επομένως αφού θα είναι lim lim ln c c ln c c και c και λόγω () αφού συνεχής lim() () θα είναι c άτοπο, άρα αναγκαία c ln επομένως είναι (), (, ) και (), () ln Β) Από () ln(()) ln και παραγωγίζοντας προκύπτει ότι () () ln ln () (), (,) άρα η είναι γνήσια φθίνουσα στο [, ] Επίσης παραγωγίζοντας την έχουμε ότι () ln ()(ln ln ) () ( ln ) () ()(ln ln) άρα ln ln ln () () Γ) Επειδή η κυρτή στο [,] θα είναι πάνω από κάθε εφαπτομένη της και άρα εδώ θα ισχύει ότι () με το ίσο να ισχύει μόνο στο σημείο επαφής, οπότε ολοκληρώνοντας θα ισχύει ότι ( )d ()d [ ] ()d ()d Τώρα ισχύει ότι (), [,] (και από την γεωμετρία του θέματος κάθε σημείο της κυρτής είναι κάτω από τα σημεία της χορδής) Και μία απόδειξη είναι αν θεωρήσουμε την h() (), [,] με h() h() και h () () και h ( ) και h () (), (,) η h γνήσια αύξουσα οπότε για θα ισχύει ότι 39

42 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 h () h ( ) ΑΣΚΗΣΗ άρα η h γνήσια φθίνουσα στο [, ] και για για θα ισχύει ότι h () h ( ) άρα η h γνήσια αύξουσα στο [, ] επομένως έχει ολικό μέγιστο η h το h() h() Τώρα ολοκληρώνοντας την () έχουμε ότι Δ) Είναι και επειδή ()d d [ ] ln((t)), άρα lnt ln((t)) dt dt t tln t (ln t) dt [ln ln t ] ln t ln( ) ln ln( ) ln ln ln ln Δίνεται η συνεχής στο 7 συνάρτηση, για την οποία ισχύει y y y για κάθε,y R Α Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη για κάθε R Β Αν () να βρείτε την συνάρτηση Προτείνει: Κώστας Τηλέγραφος Σύνδεσμος: cphp?=55&t=398 (Νίκος Μαυρογιάννης) Εύκολα προκύπτει ότι () H ισότητα h lim h lim h h h μας εξασφαλίζει ότι αν η είναι συνεχής σε ένα σημείο τότε είναι συνεχής στο και επομένως παντού Ολοκληρώνοντας την ως προς y βρίσκουμε y y y άρα άρα το το lim ln lim και lim ln( ) ln ln( ) lim ln ln( ) lim ln ln m m m y y dy y dy dy και με μία αλλαγή μεταβλητής βρίσκουμε: m m m u du ydy οπότε για κατάλληλο m και επομένως m m m u du y dy

43 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 m m (Άλκης Μπεντεβής) Για y έχω ότι () udu udu ydy Είναι (), οπότε m () () () από την οποία προκύπτει η παραγωγισιμότητα της lim lim Είναι h lim h h lim h h h h h h h h h h lim lim Έστω τότε h ( h) () (h) ()( ) lim lim h h h h οπότε h (h) lim () () h h () () για κάθε h και επομένως Λύνοντας την διαφορική όπως προτείνει το σχολικό (προσωπικά την παράγραφο την διδάσκω πάντα) βρίσκουμε (Μιχάλης Λάμπρου) Θέτουμε Η υπόθεση γράφεται () F() F( y) F() F(y) Η F είναι παντού συνεχής διότι από την συνέχεια στο 7 έχουμε για κάθε a, ότι limf() lim(f( a 7) F(a 7)) a a F(7) F(a 7) F(a) Από την συναρτησιακή εξίσωση του Cauchy έπεται (είναι άλλωστε απλό) ότι F() c, οπότε () c Η παραγωγισιμότητα είναι τώρα άμεση και η συνθήκη () δίνει c Τελικά () Εύκολα πλέον βρίσκουμε ότι () για κάθε Η συνέχεια σε ένα σημείο πιστεύω ότι δεν ήταν απαραίτητο να δοθεί (Ροδόλφος Μπόρης) Για το ο Αν παραγωγίσουμε πρώτα με y ct και μετά με ct παίρνουμε: άρα οπότε η y () (y) y () (y) ( y) () () (y) (y) y () () ct c ακόμη έχουμε '(),() από τον αρχικό τύπο για y συνεπώς c και η ΔΕ γίνεται τότε : () ()

44 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 () () () ή k ydy tdt ydy με k αφού () οπότε η () γίνεται δηλαδή (), R y dy y dy y dy (Κώστας Τηλέγραφος) α Αφού η συνεχής στο 7ισχύει lim() (7) 7 Για τυχαίο o έχουμε lim() o lim h 7 h7 lim 7 h h 7 h Άρα η συνεχής στο R Θέσαμε o 7 h, οπότε h 7 και ισχύει h 7 όταν και επειδή τα όρια υπάρχουν εφαρμόσαμε ιδιότητες ορίων Ολοκληρώνοντας ως προς y, από το στο με έχουμε y y dy dy y dy y y dy dy y dy y dy y dy y dy Θέτουμε άρα y t t y dt d( y) dt dy t y y dy y dy y dy το δεύτερο μέλος της σχέσης είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ως προς (η y dy y dy y dy παραγωγίσιμη ως σύνθεση των παραγωγίσιμων,, y dy για κάθε,k R ), άρα και το πρώτο, δηλαδή η () παραγωγίζεται για κάθε R β Για y στην έχουμε y y y Παραγωγίζοντας την ως προς έχουμε Για έχουμε y y y y y y y y y

45 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 όμως άρα ln,, y y y y y y y y y y y y y y c Για y έχουμε c Δίνεται η συνάρτηση y, άρα y ΑΣΚΗΣΗ y οπότε () ( )ln( ) α) Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο της και τη μονοτονία της '' β) Να λύσετε την εξίσωση () γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της δ) Να εξετάσετε αν η αντιστρέφεται και αν ναι, να βρείτε το πεδίο ορισμού της, καθώς και τη μονοτονία της ε) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τον άξονα ' και την ευθεία με εξίσωση Προτείνει: Μπάμπης Στεργίου Σύνδεσμος: cphp?=55&t=3887 (Στάθης Κούτρας) α) Με πεδίο ορισμού της A, (εξαιτίας του προφανώς το λογαρίθμου) και με δεδομένο ότι η είναι A, παραγωγίσιμη στο (πράξεις με παραγωγίσιμες) έχουμε: ln (πράξεις με παραγωγίσιμες) έχουμε: ln,, η οποία είναι προφανώς παραγωγίσιμη στο A, (πράξεις με παραγωγίσιμες) με 3,, 3 οπότε η '' είναι γνησίως αύξουσα στο A, και το πρώτο ζητούμενο έχει απαντηθεί β,γ) Επειδή '' συνεχής και γνησίως αύξουσα στο A,, lim, lim lim ( o lim, lim, lim ( lim,,,, ) ( o lim, lim,, και με '' συνεχή και γνησίως μονότονη η εξίσωση, την θα έχει μοναδική ρίζα στο προφανή Για 3

46 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 < lim Είναι και o,, και < o, <, άρα oo min,, o, <,, lim, lim lim u, u lim ln lim ulnu και lim lim και ln lim όπως lim lim ln και άρα lim και τελικά ln,d LHospital ln lim lim, D LHospital lim ln lim Άρα είναι lim lim Προφανώς η εξίσωση,, (λόγω της μονοτονίας της (γνησίως αύξουσα) έχει το πολύ μια ρίζα η οποία είναι η προφανής ln u lim u, D LHospital lim u u lim u οπότε

47 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 Έστω ότι υπάρχουν y,y A με y y y y y y ώστε: y, y A, < y yy y άτοπο άρα για κάθε y,y A με δ) Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα θα είναι «-» άρα αντιστρέφεται και η αντίστροφή της έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών της, δηλαδή D, και το ίδιο είδος μονοτονίας με την (δηλαδή είναι γνησίως αύξουσα στο, y y y y < A Ομοίως αν η είναι γνησίως φθίνουσα προκύπτει ότι και η αντίστροφή της είναι γνησίως φθίνουσα ε) Είναι, E d <,, Λήμμα Αν μια συνάρτηση : A R είναι γνησίως μονότονη τότε (γνωστό ) θα είναι «-» άρα αντιστρέψιμη και η αντίστροφή της : A R θα έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την Απόδειξη Ας είναι η γνησίως αύξουσα Θα δείξουμε ότι και είναι γνησίως αύξουσα 5 E d ln d d ln d ln d ln d udu d,u, u ulnudu u ln udu u u ln u du u

48 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 ln udu u ln 5 E ln ΑΣΚΗΣΗ 3 Βρείτε το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 () 8 3, και την εφαπτομένη της που εφάπτεται την ακριβώς διαφορετικά σημεία C σε δύο = Προτείνει: Θανάσης Κοντογιώργης Σύνδεσμος: cphp?=55&t=7877 (Απόστολος Τιντινίδης) Έχουμε 3 3 Άρα η εφαπτομένη είναι η y και τα σημεία B 3, επαφής τα A,, Το ζητούμενο εμβαδό είναι 3 E d 3 6 τμ d 5 ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση που είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο (, ), ώστε να ισχύει ότι n n () () (n ),,n {,} ) Nα δειχθεί οτι η C διέρχεται απο τα σημεία (, ), (, ) και να βρεθεί ο τύπος της ) Nα μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα καθώς και να βρεθεί το σύνολο τιμών της 3) Να βρεθεί το σημείο M(, y) της C που απέχει απο την αρχή των αξόνων την μικρότερη απόσταση και καθώς και η απόσταση αυτή 6 ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης () k,k και να εξεταστεί αν αντιστρέφεται (στα ευρύτερα δυνατά υποσύνολα)

49 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 5) Αν (,) να λυθεί η εξίσωση () () ln,, 3 ln 3 6 6) Nα συγκριθούν οι αριθμοί ln,ln 7) Αν (,] και η είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτο, να δείξετε οτι οι εφαπτομένες των C,C στα σημεία (, ),(,) αντίστοιχα είναι παράλληλες με τον αξόνα συμμετρίας των C,C 8) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περιέχεται απο την C τον αξόνα ' και τις ευθείες, ln, όπου η αντίστροφη συνάρτηση του προηγούμενου ερωτήματος Προτείνει: rmr Σύνδεσμος: cphp?=55&t=33775 (Κακαβάς Βασίλης) ) Είναι από n n () () (n ),,n {,} ισοδύναμα ότι απ όπου έχουμε ότι () n n () (n ) () n, () n c (χρησιμοποίησα ότι η διέρχεται από τα σημεία) και αφού () c c ) Είναι () με () άρα γνήσια αύξουσα στο (, ] και () άρα γνήσια φθίνουσα στο [, ) άρα στο παίρνει την μέγιστη τιμή της () ln Και αφού lim() lim(ln ) το σύνολο τιμών της θα είναι το (, ln ] 3) Αν M(,y) τυχαίο σημείο της C τότε η απόσταση από το O(, ) είναι d() (()), με () () d () d() () (), d() Αν για η απόσταση γίνεται ελάχιστη τότε από Frmat, αναγκαία d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δηλαδή OM ( ) που σημαίνει ότι η εφαπτομένη στο M είναι κάθετη στην OM και άρα n () n Παρατηρούμε ότι για το M(, ) είναι OM και () άρα το σημείο M(, ) απέχει την μικρότερη απόσταση από το O(, ) και 7

50 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 αυτή είναι ) Σύμφωνα με το σύνολο τιμών της αν k (ln ) η εξίσωση είναι αδύνατη Eπειδή δεκτή η 6) Είναι 6 6 αν k (ln ) έχει μία λύση την και αν k (ln ) έχει δύο μοναδικές μία στο (, ) και μία στο (, ) λόγω μονοτονίας σε κάθε ένα από αυτά Και αφού στο A (, ] είναι γνήσια αύξουσα αντιστρέφεται σε αυτό και επίσης στο A [, ) που είναι γνήσια φθίνουσα αντιστρέφεται και σε αυτό 5) Η εξίσωση 3 ln 3 6 και επειδή γνήσια αύξουσα στο (, ] θα ισχύει ότι ( ) ( ) ln ln ln ln 7) Αφού () είναι () και από (g()), (, ln ] 6 ln(3 ) ln( ) ln(3 ) (3 ) ln( ) όπου g παραγωγίζοντας έχουμε (g())g (), άρα (g( ))g ( ) τελικά 6 (3 ) 6 3 ln(3 ) (3 ) 3 3 ln( ) και επειδή έχουμε () g( ) ()g ( ) g ( ) που σημαίνει ότι οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στην y 3 (3 ) ( ) Συνεχίζοντας λιγάκι επειδή η είναι γνήσια αύξουσα και - στο (,] έχουμε οτι 8) Λόγω συμμετρίας ως προς την y το ζητούμενο εμβαδό είναι ίσο με το εμβαδό που περικλείεται από τον yy τις ευθείες y, y ln και την C

51 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 d Προτείνει: Παύλος Σταυρόπουλος Σύνδεσμος: cphp?=55&t=3367 (Θάνος Μάγκος) α) Επειδή είναι (),, από τη δοθείσα έχουμε ln() () Οπότε ή E (ln )d (() )d E (ln ) (ln )d ln [ln ] [ ] ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίνεται η παραγωγίσιμη στο, συνάρτηση, για την οποία ισχύει : ln, α) Να δείξετε ότι για κάθε β) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο, γ) Να δείξετε ότι ισχύει: για κάθε δ) Να βρείτε τους, για τους οποίους ισχύει:, ε) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα β) Έστω a,b με a b Θα αποδείξουμε ότι (a) Πράγματι, αν (a) άτοπο (b) (b) θα ήταν και ln(a) (a)ln(a) ln(b), άρα (b)ln(b) a b, a b Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ) γ) () (()) () ln(()) ln() ()(()) () και η ζητούμενη έπεται δ) Είναι ( ) ln( ) οπότε από την αρχική έχουμε και ομοίως βρίσκουμε ε) Είναι κλασικό αποτέλεσμα ότι 9

52 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 b (b) Β τρόπος (Στράτης Αντωνέας) Έστω - ()d + ()d = b(b) a(a) a (a) F() (t)dt, [,] Εν προκειμένω, εύκολα βλέπουμε ότι οπότε ( ) ( ) (), ln ()d ( ) ( ) ln Η F είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα, και για κάθε (,) είναι: F () () Από το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει άρα και επειδή ()d ln(ln )d d ln(ln()) ln, ln [ ] το ζητούμενο ολοκλήρωμα ισούται με ΑΣΚΗΣΗ 6 ln Έστω συνάρτηση :[,] R παραγωγίσιμη και κυρτή Να δειχθεί ότι ()d () Προτείνει: bboybast Σύνδεσμος: cphp?=55&t=3837 (Χρήστος Κυριαζής) Άμεση συνέπεια της ανισότητας -- Hrmit-Hadamard Αφού ειναι κυρτή θα ισχύει: () () ( ) (), [,] (Είναι πάνω από την εφαπτομένη στο (,()) με την ισότητα να ισχύει στο σημείο επαφής Μία ολοκλήρωση τελειώνει την άσκηση 5 Άρα και, ώστε () ( ) F () ( ) ( ) επειδή η είναι κυρτή ( ) αφού Άρα η F είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, Επομένως F() F() (t)dt () ()d () (Κώστας Ζερβός) Το συμπέρασμα της άσκησης (και γενικότερα η ανισότητα Hrmit Hadamard που

53 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 αναφέρει ο Χρήστος) έχουν μια πολύ όμορφη για κάθε γεωμετρική ερμηνεία στην περίπτωση που (), y, και h() για κάθε [,] β) Έστω h, h οι παραπάνω συναρτήσεις με Θεωρούμε τη συνάρτηση h () h () () h () h (), [,] i) Να αποδεχτεί ότι υπάρχει η και να βρεθεί Στο παραπάνω σχήμα η DC είναι εφαπτόμενη της στο M(,()) Η MN είναι διάμεσος στο τραπέζιο OBCD Το εμβαδόν του τραπεζίου είναι ίσο με (BC OD) OB MN E () Το εμβαδόν αυτό, αφού η είναι κυρτή, είναι μικρότερο από το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από C,,, Άρα Με παρόμοια λογική είναι ()d () ()d (ZEBO) (OZ BE) OB () () ΑΣΚΗΣΗ 7 α) Να αποδειχτεί ότι υπάρχουν δύο ακριβώς συναρτήσεις h με πεδίο ορισμού το A [,] που ικανοποιούν τις σχέσεις h(sin )h(cos y) h(sin y)h(cos ) sin( y) C ii) Να βρεθούν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των, iii) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης sin g() (t)dt,, cos iv) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης P () (y) ( y) για A και y (A) Αν κάποιος δυσκολευτεί στο (α) οι συναρτήσεις είναι: h (), h () Προτείνει: Κώστας Ζερβός Σύνδεσμος: cphp?=55&t=38635 (Αχιλλέας Συννεφακόπουλος) α) Mε y παίρνουμε h(sin )h() h()h(cos ) sin (*) για κάθε [, ] Αν t sin με [, ], 5 τότε t [,] και cos t

54 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 Αντίστροφα, y [,] με y, τότε αν t [,], τότε υπάρχει [, / ] ώστε t sin Συνεπώς, για κάθε t [,] ισχύει y κι άρα υψώνοντας στο τετράγωνο, μετά από κάποιες πράξεις βρίσκουμε h(t)h() h()h( t ) t (**) Με στην (*) παίρνουμε h()h(), ενώ με παίρνουμε h () h () Αφού η h είναι μη αρνητική θα είναι (Α) h() και h() ή (Β) h() και h() Στην περίπτωση (Α), η (**) μας δίνει h(t) h( t ) t, δηλ t για κάθε t [,] με διακρίνουσα Αφού, θα είναι Άρα υπάρχει η y (y ) ( y ) y y :[,] [,] με y y (y) για κάθε y [,] (βλ σχήμα παρακάτω, όπου με g είναι η ) Στην περίπτωση (Β), η (**) μας δίνει h(t) t για κάθε t [,] Εύκολα βλέπουμε ότι οι δυο παραπάνω συναρτήσεις επαληθεύουν την αρχική σχέση για κάθε,y [, ] (i) Από το (α) είναι () για κάθε [,] Αφού οι συναρτήσεις h και h είναι γνησίως φθίνουσες, και η ως το άθροισμά τους είναι γν φθίνουσα Συνεπώς, () () () για κάθε [,], δηλ () για κάθε [,] (ii) Αν κι άρα () (), τότε (()), () () Λόγω συνέχειας της είναι ([,]) [,] Συνεπώς, Τώρα αν () (), οπότε 5

55 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 (), β) Να λυθεί η εξίσωση κι αφού (), δηλ και () (), είναι, απ'όπου εύκολα παίρνουμε 5 5 Συνεπώς, το μοναδικό κοινό τους σημείο είναι το 5 5 (, ) 5 5 (iii) H συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με κι έτσι g () cos(sin) ( sin)(cos) cos(cos sin) sin(sin cos) sincos, g() cos c Εφ'οσον g( / ), παίρνουμε c, κι άρα g() cos για κάθε, (iv) Οι γραφικές παραστάσεις των και είναι συμμετρικές ως προς την y Η μεγαλύτερη τιμή του P είναι η απόσταση μεταξύ του A (,) και του A(, ), δηλ Pma ( βλ σχήμα παρακάτω, όπου με g είναι η ΑΣΚΗΣΗ 8 ) () ( ) ( ) γ) Αν για τη παραγωγίσιμη συνάρτηση g στο διάστημα a,b ισχύει a(og)(b) b(og)(a) να δείξετε ότι υπάρχει k (a,b) τέτοιο ώστε kg (k) Προτείνει: Αποστόλης Κουρδουκλάς Σύνδεσμος: cphp?=55&t=39888 (Παπαπέτρος Βαγγέλης) α) Για κάθε είναι () Έτσι, για, έχουμε () () d β) α τρόπος Έστω λύση της δοσμένης εξίσωσης Τότε, () ( ) ( ) Δίδεται η συνάρτηση : με () α) Να δειχθεί ότι: () d 53 Εύκολα βλέπουμε ότι το επαληθεύει την εξίσωση και άρα, είναι η μοναδική λύση αυτής Β τρόπος Για, y έχουμε

56 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 y y y () (y) ) είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων στο a,b Επομένως, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο ) είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων Για, y και c είναι, συναρτήσεων στο a,b με y c y c c y c Έτσι, η συνάρτηση c: είναι γνησίως φθίνουσα στο για κάθε c Η εξίσωση () ( ) ( ), είναι ισοδύναμη με την h(),, όπου h() () ( ) ( ), Η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα στο άθροισμα τέτοιων και άρα είναι - Επειδή έπεται ότι h() () () (), h() h() h() ως ΥΓ : Ο πρώτος τρόπος μου αρέσει περισσότερο διότι είναι πιο γρήγορος και χρησιμοποιεί μόνο άλγεβρα β λυκείου Ωστόσο, έβαλα και τον δεύτερο για ποικιλία γ) Επειδή (),, από την σχέση b g(a) a g(b) συμπεραίνουμε ότι a,b, Τότε, η συνάρτηση K : a,b με τύπο g() K() είναι καλώς ορισμένη και ικανοποιεί τις υποθέσεις του a,b διότι Θεωρήματος Roll στο 3) K(a) K(b) g () g() g() K () Επομένως, υπάρχει k a,b K'(k), δηλαδή τέτοιο, ώστε kg'(k) ' g(k) g(k) g(k) g(k) kg'(k) kg'(k), μιας και g() (g()), a,b ΑΣΚΗΣΗ 9 Έστω η συνάρτηση με τύπο ln ln () α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της, να δείξετε ότι η μπορεί να γραφεί ως ln () και να τη μελετήσετε ως προς τα ακρότατα β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης h() () γ) Δείξτε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό k η εξίσωση h() k k ln έχει ακριβώς μία λύση στο (, ) 5

57 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 δ) Ας υπολογιστεί το όριο h () και 3 lim () sin cos h () και Προτείνει: Αποστόλης Κουρδουκλάς Σύνδεσμος: cphp?=55&t=3953 h () (Κακαβάς Βασίλης) α) Για να ορίζεται πρέπει και αρκεί, που ισχύουν προφανώς όταν και από ln ln () ln ln που είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων με ( ln) () ln ln Τώρα επειδή ισχύει ότι ln, (από την κυρτότητα της ln ) θα είναι άρα θα ισχύει και ln ln, ln (), R άρα η είναι γνήσια αύξουσα στο (, ) β) Είναι με h() () ln, h () και άρα η h είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα A (, ] και γνήσια αύξουσα στο A [, ) έτσι έχει ολικό ελάχιστο το και αφού ln h( ) lim h() lim( ln ) και h είναι γνήσια φθίνουσα και συνεχής στο A (, ] το ln h(a ) [h( ), lim h()) [, ) που είναι και το σύνολο τιμών της h γ) Αφού ισχύει για να έχει λύση η εξίσωση αρκεί να δείξουμε ότι ln h(), h() k k ln ln k k ln k k ln ln 55

58 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 cosu cosu usin u sin u k k k k lim lim u 3u 3 u u 3 k k 3 (k ) άρα θα είναι που ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό k δ) Εστω άρα Τώρα επειδή 3 g() () sin cos h() sin cos ln g() ( ) sin cos ln lim lim lim DLC ln είναι lim ( ) Ακόμη επειδή lim sin cos sin lim cos το lim sin cos u u sin cos u sin u cosu lim lim u u sin u ucosu lim u u 3 DLH lim g() ln lim ( ) sin cos Δ Εστω η συνάρτηση ΑΣΚΗΣΗ 3 g() k,k i) Nα βρεθεί το ελάχιστο της, και να βρεθεί ο γτόπος του ακρότατου ii) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του k ισχύει g() iii) Nα αποδείξετε ότι για k,g() έτσι ώστε να Δ Εστω η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, () και για κάθε [ '() ()] ( ) '() () i) Να βρείτε την ii) Nα λύσετε την ανίσωση m m 3 m Δ3 I) Nα βρείτε τα A,B R ώστε '() () A B II) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d Προτείνει: Διονύσης Βουτσάς Σύνδεσμος: cphp?=55&t=3953 (Κακαβάς Βασίλης) Δ i) Είναι 56

59 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 g () k άρα και επειδή και έχουμε από την () ότι και ακόμη g () lnk g () lnk, η g είναι γνήσια αύξουσα στο [ln k, ), g () lnk, η g είναι γνήσια φθίνουσα στο (, ln k] άρα ()( ) ()( ) ( ) () () ' c άρα στο Αν τώρα το lnk παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το g(lnk) k klnk lnk και y k klnk οι συντεταγμένες του σημείου του χαμηλότερου σημείου της καμπύλης επειδή k θα ισχύει και με άρα () : c c () y άρα η εικόνα του ακρότατου σημείο της γραφικής παράστασης της ii) Επειδή από (i) ισχύει ότι y g() k klnk, R θέλουμε την μέγιστη τιμή του k ώστε k klnk k( lnk) ln k k άρα η μέγιστη τιμή που συμβαίνει αυτό είναι kma iii) με k η g έχει ελάχιστη τιμή την g() άρα θα ισχύει ότι g() Δ i)είναι από την δοθείσα σχέση () ()( ) ()( ) και επειδή από (ΔIII) είναι 57 ii) Είναι ισοδύναμα η ανισότητα m 3 m (m 3) (m ) και επειδή είναι (m 3) (m ) () δηλαδή η είναι γνήσια αύξουσα στο [, ) έχουμε ισοδύναμα ότι m 3 m m m, m Δ3 (i) Είναι () () A B A B λόγω ισότητας πολυωνύμων είναι A, B Για το (ii) (Βασίλης Μαυροφρύδης) d d

60 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 ln = Άρα, η ως γνησίως αύξουσα, θα παρουσιάζει ακρότατα μόνο στα σημεία και ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :[,], ', '() και η εφαπτομένη στο, είναι η y ) Nα βρείτε τα ακρότατα της στο, ) Να αποδείξετε ότι () 3 3) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( 3)() ( ), έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,) ) Nα αποδείξετε ότι 5) Να αποδείξετε ότι () 3 ()d (() ) ()d () Προτείνει: Διονύσης Βουτσάς Σύνδεσμος: cphp?=55&t=35658 (Βαγγέλης Παπαπέτρος) ) Η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο (,()) του γραφήματος της, έχει αναλυτική εξίσωση την, y () '() '() y () Οπότε, συγκρίνοντας με την y βρίσκουμε '() και () Για κάθε, είναι, () '() '() '() και μάλιστα ελάχιστο στο το () μέγιστο στο το () και ) Η ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα, και άρα υπάρχει y, τέτοιο, ώστε 3) Η συνάρτηση '(y) () () () y '() '(y) '() () () 3,, g() ( 3)() ( ) είναι συνεχής στο, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων στο διάστημα αυτό και ικανοποιεί την συνθήκη g()g() αφού g() () () () και g() () () () 3 Από το Θεώρημα του BOLZANO έχουμε το ζητούμενο ) (Σάκης) H είναι κοίλη στο, Άρα βρίσκεται πάνω από την χορδή που ορίζουν τα (,),(,()) Η εξίσωση της χορδής αυτής είναι y (() ) Η απόδειξη γίνεται με ΘΜΤ στα, και, Το εμβαδόν του τραπεζίου που ορίζει η χορδή αυτή είναι Άρα () 3 3 ()d 58

61 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 5) (Κακαβάς Βασίλης) Η εφαπτόμενες της γραφικής (() )(() ) παράστασης της στα σημεία A(, ()), B(,) είναι αντίστοιχα οπότε αρκεί να δείξουμε ότι y () και y που τέμνονται στο σημείο ((), () 3)) Τώρα επειδή η είναι κοίλη στο [,] η εφαπτομένη της σε κάθε σημείο θα είναι πάνω από τα σημεία της γραφικής της παράστασης,επομένως και εδώ λόγω αυτού τα σημεία της B:y θα είναι πάνω από τα σημεία της C στο [,], άρα θα ισχύει ότι το εμβαδό του τραπεζίου OB E θα είναι μεγαλύτερο από το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την C τον, yy, (() ) (() )(() ) () και επειδή () αρκεί () () (() ) που ισχύει, αφού () 3 () ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται συνάρτηση δις παραγωγίσιμη στο και - ώστε () Eπίσης, και, με ισχύει η σχέση ( ) ( ) d () d ( ()) 3 Δ) Nα εξεταστεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση () g(), Δ) Aφού αποδειχθεί η σχέση () () να βρεθεί το είδος της μονοτονίας της στο Δ3) Ποιο το πρόσημο της στο Επομένως θα ισχύει ότι () OB E ()d (OB E) OE () 3 (() ) επομένως θα ισχύει ότι () () ()d (() ) 59 Δ) () 3 ()d Δ5) (,) : ( ) 3 ()d Δ6) Αν η τυχαία εφαπτομένη της στο a διέρχεται απο το σημείο a A(,) 5 Να δειχθούν τα ακόλουθα: και ισχύει ότι ()

62 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 () Επίσης, έστω i) η συνάρτηση h(), είναι σταθερή, τέτοια, ώστε 5 5 και () g( ) g( ) ii) () 5 iii) να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου μεταξύ των {C,y 5, 3} Προτείνει: rmr Σύνδεσμος: cphp?=55&t=3997 (Βαγγέλης Παπαπέτρος) Έστω ( ) I d ( ) () Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο και -, με την αντικατάσταση (t) λαμβάνουμε '(t) '() I dt d (t) Συνεχίζοντας με ολοκλήρωση κατά παράγοντες, έχουμε () I () d 3 ( ) ( ) () d Από την δοσμένη σχέση προκύπτει ότι,,,, ( ) ( ) (I) Πάμε τώρα στα ερωτήματα Δ) Η συνάρτηση g είναι συνεχής σε κάθε ένα από τα διαστήματα,,, συναρτήσεων ως πηλίκο συνεχών 6 Αν, τότε η g( ) g( ) οδηγεί σε άτοπο λόγω της (I) Ομοίως, αν Συνεπώς, η g είναι - στο, Με όμοιο τρόπο δείχνουμε ότι η g είναι - στο, Άρα, η g είναι γνησίως μονότονη στα διαστήματα,,, Αφού και (I), g( ) g( ) (I), g( ) g( ), έπεται ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα,,, Δ) Είναι '() () g'(), Υποθέτουμε ότι υπάρχει y τέτοιο, ώστε Αν ) y οπότε g'(y) g() g(y) g (y) lim y y g() g(y) lim, y y

63 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 g() g(y) y,y, () () 3 y d ()d () g() g(y) y,y,, y Έτσι, για t y έπεται ότι g(t) g(y) και για z y Δ5) Η ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα, και άρα υπάρχει, με την ιδιότητα θα έχουμε g(z) g(y) Αυτά όμως δεν μπορούν να συμβαίνουν διότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο, Ομοίως δουλεύουμε στην περίπτωση όπου y και πάλι καταλήγουμε σε άτοπο Άρα, g'() '() () Για έχουμε () '() Αν υποθέσουμε ότι (y) για κάποιο y, τότε θα είχαμε (k) (y) για κάποιο k διότι η είναι συνεχής Όμως τότε, y k, άτοπο Άρα, (y),y και άρα '(), Συμπεραίνουμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ3) Έχει απαντηθεί στο Δ) Επειδή η είναι -, συμπεραίνουμε ότι () Δ) Με τη βοήθεια του Δ) είναι ()d ()d () () '( ) '( ) () 3 ()d Δ6) Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο της Ba,(a) δίνεται από τη σχέση y (a) '(a) a a Γνωρίζουμε ότι το σημείο A, 5 ικανοποιεί την πιο πάνω εξίσωση και συνεπώς a (a) '(a) a '(a) 5(a) 5 Επομένως, για κάθε ισχύει i) Για είναι Άρα, άρα για είναι '() 5() 5 '() 5 () h'() '() 5() 9 () 5 c, 5 c, () c, 6 () 5 και

64 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 ''() 5 Επειδή Ao ',, θα ισχύει ότι z Ao ', Η σχέση προκύπτει από την ιδιότητα της εφαπτομένης σε γράφημα κυρτής συνάρτησης Εν προκειμένω, () () '()( ) 5, με την ισότητα μόνο για iii) Το ζητούμενο εμβαδόν είναι 3 E () 5 d d 6 ΑΣΚΗΣΗ 33 Έστω η συνάρτηση : (, ) με () και A (, ) Αν ισχύει ( ()) ( ) 3 δηλαδή, z και '(z) Επίσης, είναι A, και άρα z A Με αυτά, έχουμε δείξει την εξής συνεπαγωγή : A, (), γεγονός που αποδεικνύει ότι η συνάρτηση είναι A, γνησίως αύξουσα στο β) Η ως γνησίως αύξουσα στο A, είναι και - σε αυτό Έτσι, για κάθε είναι, '() '() Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση ' είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της Επομένως, για κάθε έχουμε, α) να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία β) να βρεθεί ο τύπος της ' και της γ) Να υπολογιστεί το όριο: lim (t)dt Προτείνει: Αποστόλης Κουρδουκλάς Σύνδεσμος: cphp?=55&t=3938 και t '() '(t)dt t dt (), αφού '(t)dt (t) () () () t t t t t dt td t dt (Βαγγέλης Παπαπέτρος) α) Είναι, A : A '() Ας είναι z, : '() γ) Πρώτος τρόπος t Εκμεταλλευόμενοι την μονοτονία της, έχουμε () (t) () 6

65 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 ()dt (t)dt ()dt lim lim () (t)dt () Είναι, και lim () lim lim () lim έπεται ότι lim lim (t)dt Β τρόπος (Κακαβάς Βασίλης) α) Αφού : (, ) για να ορίζεται η Από το κριτήριο παρεμβολής, θα είναι lim Β τρόπος Για είναι, (t)dt t (t)dt t dt t t t t dt t dt t πρέπει απαραίτητα δηλαδή (), ( ()), () (, ) άρα η είναι γνήσια αύξουσα στο(, ) β) Επειδή είναι γνήσια αύξουσα στο (, ) θα είναι και ' άρα από και από άρα ( ()) ( ) () () () () ( ), (, ) () c Επειδή,,, lim DLH lim και επειδή () έχουμε άρα () c c (), (, ) γ) Επειδή είναι γνήσια αύξουσα στο(, ) θα ισχύει για t ότι 63

66 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 () (t) () () cos( ) i) Το όριο lim sin( ) άρα Τώρα επειδή ()dt (t)dt ()dt () (t)dt () () () και lim το lim () επομένως λόγω () έχουμε lim (t)dt ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: ii) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης F με F() (), τον άξονα ' και την ευθεία με εξίσωση Προτείνει: Στάθης Κούτρας Σύνδεσμος: cphp?=55&t=89 (Χρήστος Τσιφάκης) α) i) Η g είναι παραγωγίσιμη στο με g'() '() () Άρα η g είναι σταθερή στο ii) Αφού g() για κάθε c για κάθε και g() () c τότε () () iii) Θεωρούμε την συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο '() () (), για κάθε α) Να δείξετε ότι: i) η συνάρτηση g με τύπο g() () είναι σταθερή στο ii) ισχύει: () για κάθε iii) η εξίσωση () έχει μοναδική ρίζα στο iv) ισχύει: β) Να βρείτε: () για κάθε h() Η h είναι παραγωγίσιμη στο με h'() με για κάθε Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο το πολύ μία ρίζα Αφού lim () και lim h() και θα έχει η εξίσωση h() θα έχει μοναδικη ρίζα στο iv) Θεωρούμε την συνάρτηση Q() με Παρατηρούμε ότι: Q() και Q'() h() 6

67 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 άρα Q''() h'() Δηλαδή η Qστρέφει τα κοίλα άνω στο και η γραφική της παράσταση θα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της σε κάθε σημείο της, άρα και στο Από εκεί προκύπτει το ζητούμενο o β) i) lim () cos( ) sin( ) DLH '() sin( ) lim cos( ) ii) η F() () για κάθε και συνεχής στο, άρα έχουμε (Σταμάτης Γλάρος) ) Τα δύο μέλη της δοθείσας είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις Συνεπώς, παραγωγίζοντας, έχουμε: () () () () () Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι η είναι γνησίως αύξουσα ) Η ' είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση και πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων Επομένως E F()d ()d ()d '()d () ()d () ΑΣΚΗΣΗ 35 Δίνεται παραγωγίσμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι () (),(), ) Nα δείξετε ότι είναι γνήσια αύξουσα ) Να δείξετε ότι είναι δυο φορες παραγωγίσμη και κοίλη 3) () (), ) Aν E είναι το εμβαδό του χωρίου μεταξύ C,,, τότε ποιο το πρόσημο της παράστασης ( ) E Προτείνει: rmr Σύνδεσμος: cphp?=55&t= Άρα η είναι κοίλη () () () () 3) Θεωρώ συνάρτηση g() (), παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με () g () (), () αφού για είναι () () επειδή η είναι γνησίως αύξουσα () () Άρα, οπότε Συνεπώς η g είναι γνησίως αύξουσα στο (,], οπότε για είναι g() g(), δηλαδή () Επίσης θεωρώ συνάρτηση h() () (), παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με

68 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 h () (), (,) ΑΣΚΗΣΗ 36 αφού για είναι () Συνεπώς η h είναι γνησίως αύξουσα στο (,], οπότε για είναι h() h(), δηλαδή () () ) Η είναι κοίλη Επίσης η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο αυτής (,) είναι y Συνεπώς ισχύει (), [,] Το τελευταίο μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η C βρίσκεται κάτω από τον ' στο [,], εκτός από το Άρα έχουμε E ()d Τώρα από την τελευταία ανισότητα () προκύπτει : ()d ()d () ( ( )) ()d () Θεωρούμε τη συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, για την οποία () και για κάθε, y ισχύει: () (y) y α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής και άρτια στο β) Να αποδείξετε ότι ( )d 3 γ) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο με τετμημένη δ) Αν η συνάρτηση είναι κυρτή στο, τότε να προσδιορίσετε τις τιμές των πραγματικών αριθμών, ώστε: Προτείνει: Μάριος Σ Βωβός Σύνδεσμος: cphp?=55&t=587 (Αρμενιάκος Σωτήρης) α) Έστω: () (y) y () Άρα έχουμε ()d ( ) ()d ( ) ( ) E θέτω στην () όπου y : τυχαίο Ισοδύναμα έχω: () ( ) Από κριτήριο παρεμβολής προκύπτει εύκολα: lim(() ( )) lim () ( ) Άρα συνεχής επί του πεδίου ορισμού της Θέτω στην () όπου το πάλι ισοδύναμα: και όπου y το Έχω 66

69 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 ( ) ( ) () Από κριτήριο παρεμβολής έχω : lim(( ) ( )) lim ( ) ( ) ( ) ( ) όπου χρησιμοποιήθηκε ότι η συνεχής β) Θέτω στην () όπου y το μηδέν και έχω: () () () (() )d ()d 3 Ομοίως δουλεύοντας με την αριστερή ανισότητα: ()d 3 Συναληθεύοντας τις δύο σχέσεις: Αφού άρτια ()d ( )d 3 3 γ) Θέτω στην αρχική όπου y το και έχω: () () () () () () Από κριτήριο παρεμβολής : () και αφού () η εφαπτομενη είναι είναι ο άξονας των δ) Αφού η συνάρτηση είναι κυρτή βρίσκεται <<πάνω>> από την εφαπτομένη στο άρα: με την ισότητα μόνο όταν που σε συνδιασμό με την δοσμένη δίνει: που με μελέτη των : a b a, b g(),h() Προκύπτει: (a,b) (,) (Παπαδόπουλος Σταύρος) Το α) έχει την εξής απλή λύση Στην Θέτοντας y έχουμε Οπότε προκύπτει ότι () (y) y () ( ) () ( ) ΑΣΚΗΣΗ 37 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύουν:,, Δείξτε ότι η C έχει μοναδικό σημείο καμπής και προσδιορίστε τα διαστήματα στα οποία η είναι κυρτή ή κοίλη Βρείτε τον τύπο της 3 Υπολογίστε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C, την διχοτόμο του πρώτου τεταρτημόριου και τις ευθείες, Προτείνει: rmr Σύνδεσμος: cphp?=55&t=5759 (Αποστόλης Κουρδουκλάς) α) Εφόσον ισχύει η σχέση 67

70 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 () () () () () () συμπεραίνουμε ότι η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη () Παραγωγίζοντας βγάζουμε () () () () () () () () () () () () Ο παρανομαστής είναι τετριμμένα θετικός ενώ ο αριθμητής μηδενίζει στο Τώρα () () ) ( () () () () () διότι από τη δοσμένη σχέση έχουμε () () () () () () δηλ η είναι γνήσια αύξουσα Διότι η ποσότητα κάθε () ln, είναι αρνητική για γ) Η συνάρτηση είναι κοίλη στο [, ) και η εφαπτομένη στο σημείο είναι η ευθεία y Κατά συνέπεια η εφαπτομένη θα είναι πάνω από το γράφημα της άρα το εμβαδόν (που αρχικά ζητείτο) θα είναι ίσο με E () d () d ln d ln ΑΣΚΗΣΗ 38 Συνεπώς για είναι () ενώ για είναι () Κατά συνέπεια η έχει σημείο καμπής στο, είναι κυρτή στο (,] και κοίλη στο [, ) β) Έχουμε διαδοχικά: () () () () () () c () () c () () () () () () Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση :[, ) (),() και : για κάθε, () ln( ()) ln Δ) Να αποδειχθεί ότι (), Δ) Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, τα κοίλα και να βρεθεί το σύνολο τιμών της Δ3) Να αποδειχθεί ότι: ( ) ( ) για κάθε, με με 68

71 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 και με αντικατάσταση των () και (3) Δ) Να υπολογιστεί το όριο lim c, οπότε c Δ5) Να αποδειχθεί ότι για κάθε (t)dt ( ( )) Προτείνει: Γιώργης Καλαθάκης Σύνδεσμος: cphp?=55&t=5777 Άρα () Δ) Είναι, συνεπώς (), () Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο, και παρουσιάζει στο, ολικό ελάχιστο το () (Σταμάτης Γλάρος) Δ) () ln( ()) ln ()) ln ln( ()) ln ln ln ()) ln ()) ln Επίσης, () ( ) Άρα η είναι κυρτή στο, Ακόμα lim () είναι το,, άρα το σύνολο τιμών της (Η ln είναι ) Άρα από πόρισμα συνεπειών ΘΜΤ υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε Δ3) Θεωρώ g(), Τώρα θεωρούμε () Οπότε () c () u lim () () (), επειδή συνεχής ως παραγωγίσιμη στο [, ) Άρα Επίσης Από την () έχουμε : lim () lim u u lim c c (3) () lim lim( c) Είναι παραγωγίσιμη με όπου Είναι ( ) h() g (), με h() ( ) h () ( 3, Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο, Άρα για είναι h() h(), οπότε και g () άρα και g είναι γνησίως αύξουσα Συνεπώς g(a) g( ) Δ) Εφαρμόζοντας κανόνα d L' Ηospital έχουμε: 69

72 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 lim lim lim (Αντώνης Λουτράρης) Μία προσέγγιση για το Δ5 Λόγω κυρτότητας της στο [, ] έχουμε ότι Θέτω στην () όπου το '() οπότε για κάθε έχουμε: () ' '() '() ' '() () ' '() () ( ) (), [, ] H ποσότητα στο δεξί μέλος της παραπάνω ανισότητας είναι η ευθεία που ενώνει τα σημεία M(,) και N(,( )) Συνεπώς ( ) (t)dt tdt ( ) ΑΣΚΗΣΗ 39 Δίνεται : (, ) δύο φορές παραγωγίσιμη με ( ()) () και () Να βρεθεί ο τύπος της Προτείνει: Thodoros6 Σύνδεσμος: cphp?=55&t=533 (Γιώργος Ροδόπουλος) '() () () και () Προκύπτει ότι '(), συνεπώς η είναι ως γνησίως αύξουσα () '() ( ) '() 7 Παραγωγίζοντας την () παίρνουμε: () ' '() ''() '() ''() '() '() ' οπότε ισχύει άρα '() c,c '() c '() () ln c,c () c, () ln,, δεκτή αφού επαληθεύει τα δεδομένα ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται συνεχής συνάρτηση : ώστε () 9 () ) Nα βρεθεί ο τύπος της ) Αν g() ln() τότε: με () i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και να εξεταστεί αν αντιστρέφεται ii) Να βρεθεί ο τύπος της αντίστροφης συνάρτησης 3) Αποδείξτε ότι

73 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 ) Nα υπολογίσετε τα 6, Προτείνει: rmr () lim και ln 3 lim () sin cos Σύνδεσμος: cphp?=55&t=58 (alandrosvts) α) Είναι () 9 () για κάθε Άρα O g Επίσης g () 6 Άρα η g() είναι γνησίως αύξουσα, άρα και, άρα υπάρχει η ii) g () y ln( 6) y y 6 ( ) 6 Θέτω () 8 () () () 6 (() ) 6 () 6, () h() (), Άρα y y y 6 6 y 6 g (), (Το ΣΤ της g() είναι το από την γνωστή ln( )) Όμως () h() 6 () 6 για κάθε Άρα η h() και επειδή είναι συνεχής διατηρεί σταθερό πρόσημο Επειδή h(), τότε h(), Από την () h() 6 () 6, γ) 3 3 d 6 d ( 6)'d 6 5 δ) Για το πρώτο όριο: καθώς () lim ln lim () 6, lim, lim ln() β) i) Είναι 7

74 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 Άρα 6 6 ( ) 6 6 Και το άλλο συνοπτικά που ισχύει, 3 lim () αν τότε: () sin cos Β τρόπος (Χρήστος Λοΐζος) ) Έχουμε ότι: () 9 () () 8 () Σε κάθε περίπτωση, () για κάθε που είναι πραγματικός, άρα το πεδίο ορισμού της g είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών Επίσης () () 8 () () 6 και εφόσον η συνάρτηση συνεχής μπορούμε να θεωρήσουμε ως τριώνυμο ως προς () το προηγούμενο και έχουμε: ( ) ( 6) 6 Συνεπώς θα έχουμε: () g () () αφού 6 () για κάθε 6 άρα η g αντιστρέφεται 3) Θέτουμε () 6 6 και εφόσον () η μόνη δεκτή λύση είναι: () 6, ) Έχουμε τη συνάρτηση: g() ln(()) ο περιορισμός που θα μας οδηγήσει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι (), πρέπει δηλαδή 6 Διακρίνουμε περιπτώσεις : Αν τότε: αν τότε: 6 που ισχύει, 7 με y g() y ln( 6) y y 6 6 y που ισχύει Συνεπώς, υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε: Άρα ) Είναι: y y 6 y y 6 6 g (), y 6 y 3 3 d 6d ( 6)'d 6d

75 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος d 6d 5 αφού η cos είναι γνησίως φθίνουσα πριν το 5) Υπολογίζουμε αρχικά: lim () ln προσθέτωντας κατά μέλη έχουμε: sin cos sin cos Όμως συνεπώς lim( ln) ( ) lim ln και εφόσον η συνεχής lim () (), δηλαδή το όριο είναι ίσο με Το δεύτερο οριο είναι: Όμως και Αλλά 3 () lim sin cos lim (sin cos ) 3 3 lim ( ()) ( 6) sin sin sin αφού ηsin γνησίως αύξουσα πριν το και cos cos cos cos συνεπώς το ζητούμενο όριο μας δίνει: (Χρήστος Ντάβας) Για την πολυφωνία στην αντίστροφη: g() ln 6 6 ln g() y y 6 y y y y y 6 8 8, ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση : (, ) η οποία είναι συνεχής στο (, ) με () ln, και για κάθε (,) (, ) ισχύουν τα εξής: η είναι παραγωγίσιμη () ( ) () () Να δείξετε ότι () Να δείξετε ότι οι εφαπτομένες των συναρτήσεων F() ( )() και G() ln είναι παράλληλες σε όλα τα σημεία με ίδια τετμημένη (,) (, ) 3 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης και να εξετάσετε την παραγωγισιμότητά της στο 73

76 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 ln limg και limg Αν είναι (), τότε: Αλλά η g είναι συνεχής στο, οπότε θα είναι Να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ) και ότι () για κάθε 5 Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων () και () με (), τέμνονται σε ένα και μόνο σημείο στο διάστημα [, ) Προτείνει: Αλέξανδρος Συγκελάκης Σύνδεσμος: cphp?=55&t=8 limg limg g και άρα g, οπότε g και συνεπώς Η σχέση, με βάση τα παραπάνω, δίνει ότι: Για, είναι (Βαγγέλης Μουρούκος) Θεωρούμε τη συνάρτηση g :, με g για κάθε Η g είναι συνεχής στο, ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων Επειδή g για κάθε,,, η συνάρτηση g θα διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα, Αφού και, και g ln ln ln ln ln g, θα είναι g για κάθε, g για κάθε, Επομένως, θα είναι και 7 οπότε και g, Για, είναι οπότε και g, Επομένως, για κάθε,, έχουμε διαδοχικά ότι: F G Έτσι, για κάθε,, οι εφαπτομένες των C F και C G στα σημεία τους με τετμημένη έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης F G, άρα είναι παράλληλες

77 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 3 Επειδή, όπως είδαμε παραπάνω, ισχύει F G για κάθε,,, θα lim ln DLH υπάρχουν σταθερές c και c τέτοιες, ώστε lim και F G c για κάθε, F G c για κάθε, lim, οπότε η είναι παραγωγίσιμη στο, με Αλλά οι F και G είναι συνεχείς στο, με F G, οπότε και F lim F lim G c limg c G c c c F lim F lim G c limg c G c c c Επομένως, έχουμε ότι ή, ισοδύναμα, F G, ln ln για κάθε,, Τελικά, ο τύπος της είναι: ln,,,, Για την παράγωγο της στο έχουμε, με χρήση του κανόνα L'Hôpital, ότι: ln lim lim (Γιώργος Βισβίκης) Συνεχίζω με τα υπόλοιπα ερωτήματα Είναι ( ) ln ln (), ( ) ( ) και από το προηγούμενο ερώτημα () Ο παρονομαστής του κλάσματος είναι θετικός, άρα το πρόσημο της παραγώγου εξαρτάται από το πρόσημο του αριθμητή Θέτω h() ln, (, ) Η h είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με h () ln ln Έχουμε λοιπόν ότι η συνάρτηση h είναι: γνησίως αύξουσα στο (,]: h() h() γνησίως φθίνουσα στο [, ) : h() h() Άρα για κάθε, είναι h(), οπότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ) Λόγω της μονοτονίας της είναι () () () 75

78 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 5 Είναι προφανώς () () Σχόλιο: Όπως πολύ σωστά παρατηρεί ο Γιώργος (αν και δεν ζητείται στην άσκηση), η λύση είναι μοναδική Θα δείξουμε ότι η εξίσωση () () δεν έχει στο (, ) και η παραπάνω λύση (εκτός από τη λύση άλλη πραγματική ρίζα του Γιώργου) προσαρμόζεται εύκολα και για Πράγματι, για κάθε, είναι: ln () () ln ( ) ( ) ( ) (ln ) ( ) ( ) Ο αριθμητής του κλάσματος είναι πάντοτε αρνητικός γιατί ln ln, καθώς () και () ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : (, ) για την οποία ισχύουν: και η εφαπτομένη της έχει εξίσωση y () 3 C στο σημείο της (,()) οπότε, ( ) (ln ) ( ), Επίσης θεωρούμε τη συνάρτηση g : (, ) με: g() και G μια αρχική της ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση για κάθε Οι γραφικές παραστάσεις λοιπόν των συναρτήσεων έχουν το μοναδικό σημείο τομής A(,) h() () είναι η μηδενική συνάρτηση για κάθε ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C 3) Να αποδείξετε ότι ) Να δείξετε ότι Προτείνει: rmr t dt, t G( ) G( ) G() Για το τελευταίο ερώτημα 5 η ιδέα της κατασκευής ήταν να παρατηρήσει ο μαθητής ότι για ισχύει () (το ζητάει στο αμέσως προηγούμενο ερώτημα) ενώ () (κατασκευαστικά είναι πολύ απλό) Έτσι μοναδική λύση για είναι η Σύνδεσμος: cphp?=56&t=5753 (Σταμάτης Γλάρος) ) Είναι 76

79 wwwmathmaticagr Εικοσιδωδεκάεδρον Τεύχος 7 Απρίλιος 7 το οποίο ισχύει διότι h () () και η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ), οπότε 3 () h () 3 Άρα h () c και επειδή η εφαπτομένη της C στο σημείο της (,()) έχει εξίσωση y συμπεραίνουμε ότι () Άρα h () c, οπότε και h() c και επειδή (), ισχύει h() ) Είναι: () g(t) g(), t Επίσης η t συνεπώς ισχύει το ζητούμενο ) Είναι δεν μηδενίζεται παντού στο, G( ) G( ) G() G( ) G() G( ) G( ) () Εφαρμόζοντας ΘMT στην G στα διαστήματα [, ] και [, ] έχουμε Θέτω u Είναι u Άρα εφαρμόζοντας κανόνα D L' Hospital u u u lim () lim lim δηλ G ( ) G ( ), () g( ) g( ) το οποίο ισχύει αφού g γνησίως αύξουσα Συνεπώς η y είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της CΕπίσης Επί πλέον () lim lim lim (() ) lim ( ) lim u u u Άρα η y είναι πλάγια ασύμπτωτη της C στο 3) Είναι dt dt dt t t t t t ( )dt, t 77

80 Τα προηγούμενα τεύχη του Εικοσιδωδεκαέδρου

81