Referenţi ştiinţifici Conf.univ.dr.ing. Radu CENUŞĂ Prof.univ.dr.ing. Norocel Valeriu NICOLESCU

Transcript

1

2 Referenţ ştnţfc Conf.unv.dr.ng. Radu CEUŞĂ Prof.unv.dr.ng. orocel Valeru ICOLESCU Descrerea CIP a Bblotec aţonale a Române HORODIC, SERGIU ADREI Elemente de bostatstcă foresteră / Sergu Horodnc. - Suceava: Edtura Unverstăţ dn Suceava, 004 Bblogr. ISB Tehnoredactare computerzată: Sergu HORODIC Tparul eecutat la Tpografa S.C. ROF S.A. Suceava str. Mărăşeşt 7A, tel.: ; GSM: 0745/585954

3 SERGIU HORODIC ELEMETE DE BIOSTATISTICĂ FORESTIERĂ

4 Prn partculartăţle obectulu de studu, bostatstca utlzează o gamă de noţun specfce proprlor metode de culegere, prelucrare, analză ş nterpretare a datelor epermentale. Cunoaşterea semnfcaţe ş mportanţe acestora asgură fondul necesar pentru înţelegerea în profunzme a modulu de aplcare a algortmlor de calcul statstc. Lucrarea nu tratează ehaustv problematca abordată, c urmăreşte în prmul rând cuprnderea acelor aspecte care-ş găsesc o largă utlzare în actvtatea practcă dn domenul forester. Prn conţnutul sntetc ş modern, lucrarea se adresează celor care doresc să cunoască ş să aplce corect metodele de cercetare statstcă ş ma ales studenţlor facultăţlor cu profl forester ş personalulu de specaltate care îş desfăşoară actvtatea în slvcultură. Autorul 3

5 CUPRIS. OŢIUI ITRODUCTIVE...7. SCURT ISTORIC...8. LOCALIZAREA STATISTICII TERMIOLOGIE...0. ÎREGISTRAREA ŞI PRELUCRAREA PRIMARĂ A OBSERVAŢIILOR.... SUCCESIUEA OPERAŢIILOR DE FORMARE A UEI SERII DE DISTRIBUŢIE.... REPREZETAREA GRAFICĂ A SERIILOR DE DISTRIBUŢIE EMPIRICE AALIZA DISTRIBUŢIILOR EXPERIMETALE MOMETELE IDICATORII TEDIŢEI CETRALE Medle Medana Cuartlele Modul Relaţ între ndc de pozţe IDICATORII VARIABILITĂŢII (DISPERSIEI) Varanţa Abaterea standard Coefcentul de varaţe IDICATORII FORMEI DISTRIBUŢIILOR EXPERIMETALE Indcele asmetre Indcele ecesulu CRITERII DE ELIMIARE A OBSERVAŢIILOR EXTREME DISTRIBUŢII TEORETICE FRECVET FOLOSITE Î AALIZA STATISTICĂ A FEOMEELOR DI SILVICULTURĂ DISTRIBUŢIA TEORETICĂ ORMALĂ (GAUSS-LAPLACE) DISTRIBUŢIA TEORETICĂ CHARLIER (TIP A) DISTRIBUŢIA BIOMIALĂ DISTRIBUŢIA POISSO DISTRIBUŢIA BETA ALTE FUCŢII DI SISTEMUL DISTRIBUŢIILOR LUI PEARSO DISTRIBUŢIA GAMMA DISTRIBUŢIA WEIBULL ALTE DISTRIBUŢII DESCRESCĂTOARE TEHICA SODAJULUI

6 5. METODA SELECTIVĂ METODA SECVEŢIALĂ VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE TESTE STATISTICE REPARTIŢII UTILIZATE PETRU TESTĂRI Repartţa normală Repartţa t (Student) Repartţa F (Fsher) Repartţa χ VERIFICAREA COCORDAŢEI DITRE DISTRIBUŢIA EXPERIMETALĂ ŞI CEA TEORETICĂ EXAMIAREA SEMIFICAŢIEI DIFEREŢEI DITRE DISPERSII Compararea une dspers epermentale (s ) cu o dsperse teoretcă cunoscută (σ ) Verfcarea semnfcaţe dferenţe dntre două dspers epermentale Verfcarea omogentăţ ma multor dspers TESTE DE COFORMITATE. COMPARAREA MEDIILOR Intervalul de încredere al mede artmetce Compararea a două med artmetce COMPARAREA EFECTULUI A DOUĂ TRATAMETE PRI METODA CUPLURILOR EXAMIAREA SEMIFICAŢIEI DIFEREŢEI DITRE DOUĂ PROPORŢII COMPARAREA MAI MULTOR PROBE PRI AALIZA VARIAŢEI ECUAŢIA AALIZEI VARIAŢEI AALIZA SIMPLĂ A VARIAŢEI AALIZA CORELAŢIEI TIPURI DE LEGĂTURI ÎTRE VARIABILE COEFICIETUL DE CORELAŢIE Propretăţle coefcentulu de corelaţe Determnarea coefcentulu de corelaţe pentru corelaţa smplă Determnarea semnfcaţe coefcentulu de corelaţe Coefcentul de corelaţe a rangurlor AALIZA Î COMPOETE PRICIPALE (ACP) COSIDERAŢII ISTORICE PRICIPII DE BAZĂ ITERPRETAREA ALGEBRICĂ A ACP ESTIMAREA UMĂRULUI DE COMPOETE PRICIPALE...6 5

7 9.5 ITERPRETAREA GEOMETRICĂ A ACP DEZAVATAJE ALE ACP COCLUZII SITETICE ASUPRA ACP AALIZA REGRESIEI SUCCESIUEA ETAPELOR PETRU AALIZA REGRESIEI METODE AALITICE DE DETERMIARE A PARAMETRILOR ECUAŢIILOR DE REGRESIE ITERVALUL DE ÎCREDERE PETRU ECUAŢIA DE REGRESIE REGRESIA MULTIPLĂ LIIARĂ TIPURI DE ECUAŢII DE REGRESIE ŞI LIMITĂRILE ACESTORA RAPORTUL DE CORELAŢIE Determnarea raportulu de corelaţe Semnfcaţa raportulu de corelaţe AALIZA SERIILOR DE TIMP AJUSTAREA UEI SERII CROOLOGICE Ajustarea grafcă prn procedeul punctelor medane Procedeul medlor centrate Procedeul medlor moble Analza componentelor serlor cronologce DETERMIAREA FAZEI DE CORELAŢIE Cazul în care cele două caracterstc sunt eprmate în ssteme dferte de untăţ de măsură Cazul în care cele două caracterstc sunt eprmate în aceleaş untăţ de măsură AUTOCORELAŢIA AALIZA ARMOICĂ A SERIILOR CROOLOGICE FUCŢII DE CREŞTERE ŞI DEZVOLTARE...49 AEXE

8 . OŢIUI ITRODUCTIVE Fenomenele smple sunt acele fenomene unvoc determnate, adcă au la bază o sngură cauză. Fenomenele de masă sunt rezultatul nfluenţe comune a unu număr mare de cauze; în cazul acestora, fecare ndvd dn cadrul une populaţ se manfestă dfert în funcţe de modul în care se asocază factor sstematc cu ce aleator (întâmplător), ce obectv cu ce subectv. Se manfestă, dec, la nvelul untăţlor ndvduale, o mare varabltate în tmp ş în spaţu. Conceptul de statstcă Statstca este ştnţa care se ocupă cu descrerea ş analza numercă a fenomenelor de masă, dezvălund partculartăţle lor de volum, structură, dnamcă, coneune, precum ş legle ce le guvernează. Fenomenelor de masă le sunt specfce leg, sub formă de tendnţă, în care abaterle întâmplătoare, într-un sens sau în altul, se compensează recproc pentru un număr mare de cazur ndvduale luate în studu. Aceste leg sunt leg statstce. Statstca studază aspectele caltatve ale fenomenelor de masă, fenomene ce sunt supuse leglor statstce, care se manfestă în condţ concrete varable în tmp ş spaţu. Legle statstce eprmă meda stărlor unu ansamblu de evenmente, cu luarea în consderare a nfluenţe factorlor întâmplător. Aceasta reprezntă, dec, o tendnţă predomnantă ce poate f pusă în evdenţă numa dacă se observă un număr sufcent de mare de elemente ale ansamblulu studat. 7

9 . Scurt storc Termenul statstcă dervă dn latnă (status stare) ş a fost folost pentru prma oară de profesorul german Gottfred Achenwall; eplcaţa aceste etmolog este faptul că în secolele XVII ş XVIII s-a creat, în Germana ma ales, un curent de gândre care îş propunea să descre stuaţa demografcă, ndustrală, comercală ş fnancară a dfertelor state dn acea vreme. În evoluţa statstc de-a lungul vrem s-au produs numeroase modfcăr ale obectulu acestea ş ale metodelor foloste în funcţe de necestăţle practce ale momentulu ş de baza teoretcă de care se dspunea. Dacă până ş screrle storce ale Egptulu antc, ale Grece antce sau ale Rome antce conţn rudmente de lucrăr statstce cu caracter descrptv (ma ales recensămnte), totuş, prma analză statstcă a unor date culese în prealabl este datorată lu John Graunt (60-674) în Angla, secondat de Wllam Petty. Acesta dn urmă este consderat creatorul artmetc poltce care reprezntă studul fenomenelor socal-economce prn ntermedul cfrelor, al măsurlor ş al greutăţlor. În sprtul şcol statstc descrptve se înscre, în ţărle române, lucrarea lu Dmtre Cantemr, Descrpto Moldavae. Începutul statstc moderne se consderă debutul secolulu XX ş este marcat de momentul aparţe lucrărlor lu Karl Pearson ( ) ş ale lu Ronald Aylmer Fsher (890-96). K.Pearson a pus bazele statstc nductve prn elaborarea testelor prvtoare la semnfcaţa dferenţelor dntre valorle calculate ş cele emprce (epermentale). R.A.Fsher a elaborat teora rguroasă a sntetzăr concluzlor dn datele observate ş a enunţat prncple planfcăr epermentelor.. Localzarea statstc Statstca a pătruns în toate domenle ştnţelor natur ş ale ştnţelor socale ca un comple de metode ce permt obţnerea unor concluz fundamentate teoretc, pe baza observaţlor sau a epermentelor efectuate. Metodele matematce foloste în statstcă nu reprezntă un scop în sne, c ajută la prelucrarea datelor ş nterpretarea fenomenelor naturale sau socale studate. 8

10 S-au format, astfel, unele dscplne de granţă, cum ar f: statstca matematcă, statstca fzcă, statstca bologcă (sau bostatstca) etc. În slvcultură, statstca este folostă pentru fundamentarea celor ma mportante probleme specfce. ALGEBRĂ SOCIAL Organzarea munc etc. AALIZÃ MATEMATICĂ STATISTICĂ ECOOMIC Econome foresteră TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞTIIŢE ALE ATURII Slvcultură, Genetcă, Împădurr, Ecologe etc. Fgura Localzarea statstc ş domen de aplcabltate în slvcultură Bostatstca foresteră reprezntă un comple al metodelor statstc matematce utlzate pentru surprnderea, nvestgarea ş analza fenomenelor ş proceselor bologce specfce pădur. Motvaţa utlzăr acestor metode este dată de faptul că pădurea, arboretele cu fenomenele ce au loc în nterorul lor, reprezntă colectvtăţ de volum mare ce nu pot f sufcent de bne cercetate în ansamblul lor. Se recurge, aşadar, la reducerea numărulu observaţlor, consttundu-se colectvtăţ ma mc, ndcator statstc rezultaţ fnd etrapolaţ, după regulle bostatstc, la întreaga populaţe nţală studată. Folosrea metodelor statstc matematce în slvcultură: înlesneşte trecerea de la observaţ la concluz ştnţfc fundamentate; contrbue la o analză rguroasă a fenomenelor studate; permte obţnerea unor nformaţ sufcent de precse cu efort ş cheltuală mnme; dă posbltatea prelucrăr obectve ş efcente a datelor rezultate dn observaţ ş epermente. 9

11 .3 Termnologe Colectvtatea statstcă (populaţa) reprezntă o mulţme fntă sau nfntă formată dn untăţ statstce caltatv omogene (cu una sau ma multe însuşr comune). Eemple: arbor dntr-un arboret; totaltatea semnţelor dntr-un arbore; numărul eemplarelor de vânat dn aceeaş spece aflate pe un tertoru dat etc. În funcţe de volumul observaţlor (numărul observaţlor), colectvtatea poate f generală sau de selecţe (probă, sondaj, eşanton). Colectvtatea de selecţe reprezntă o parte dn populaţe etrasă după anumte crter, în vederea cercetăr unea sau a ma multor caracterstc. Elementele colectvtăţ sunt untăţle statstce. O untate statstcă reprezntă cea ma mcă enttate luată în consderare în raport cu scopul cercetăr; aceasta poate f smplă (de eemplu, un arbore) sau compleă (un lot de arbor, de eemplu). Partculartăţle colectvtăţ statstce sunt determnate de însuşrle esenţale comune tuturor untăţlor componente. Acestea formează obectul cercetăr ş sunt denumte caracterstc (de eemplu, dametrul de bază al arborelu, înălţmea arborelu). După natura lor, caracterstcle pot f caltatve sau canttatve. Caracterstcle caltatve (atrbutve) nu se pot eprma numerc decât prntr-o codfcare adecvată (culoarea rtdomulu, starea de vegetaţe, gradul de uscare etc.). Caracterstcle canttatve se eprmă prn valor numerce obţnute prn măsurător (dametru, înălţme) sau prn numărare (număr de arbor). Valoarea cu care s-a înregstrat caracterstca une untăţ statstce reprezntă valoarea observată sau varanta. În slvcultură, caracterstcle canttatve varază în lmte destul de mar, fluctuaţe denumtă varaţe, varabltate sau împrăştere. Caracterstcle canttatve supuse varabltăţ poartă denumrea de varable. Varablele sunt contnue, atunc când pot lua orce valoare dntr-un nterval dat, sau dscontnue (dscrete), când pot lua numa anumte valor dn ntervalul respectv (de eemplu, numa valor întreg). Probabltatea producer unu evenment este raportul dntre numărul de cazur favorable (n) ş numărul total de cazur posble (): n P( E ) (.) 0

12 Probabltatea unu evenment mposbl este 0, ar probabltatea unu evenment sgur este. Dacă se notează cu p probabltatea realzăr unu evenment ş cu q, probabltatea nerealzăr lu (probabltatea realzăr evenmentulu contrar), se pot scre relaţle: p + q (00%) (.) p q (.3) q p (.4) Etapele cercetăr statstce Prvtă ca un proces comple, cercetarea statstcă se realzează în tre etape: observarea sau măsurarea (culegerea datelor dn teren), prelucrarea nformaţlor prn dferte procedee statstcomatematce în vederea obţner unor ndcator, analza ş nterpretarea rezultatelor ş desprnderea unor concluz. Evdent, înante de efectuarea cercetăr trebue clarfcate scopul ş obectul cercetăr. Obectul cercetăr se stableşte în funcţe de scop ş trebue delmtat nu numa ca volum (număr de untăţ ce urmează a f cercetate), c ş în tmp ş spaţu. Aceasta presupune stablrea mărm colectvtăţ, a loculu de efectuare a lucrărlor, a peroade de cercetare, a modulu de culegere ş prelucrare a observaţlor. Se stablesc, dec, crter untare de selectare, de măsurare ş de notare. Se mpune întocmrea unu plan de organzare a întreg cercetăr care consttue metodologa cercetăr.

13 . ÎREGISTRAREA ŞI PRELUCRAREA PRIMARĂ A OBSERVAŢIILOR Datele obţnute pe baza observaţlor sau a măsurătorlor efectuate se înregstrează în fşe de observare sau pe formulare-lstă. Aceasta consttue evdenţa prmară. Fşa reprezntă înregstrarea une sngure untăţ dn colectvtate cu toate caracterstcle prevăzute în planul observăr. În formularele-lstă sunt înregstrate ma multe untăţ. Se optează pentru una dntre aceste forme de înregstrare în funcţe de numărul caracterstclor urmărte ş de varabltatea acestora. Totaltatea valorlor observate (pentru o anumtă caracterstcă) în cadrul colectvtăţ cercetate, centralzate tabelar, consttue şrul statstc. Materalul cfrc al unu şr statstc se poate înregstra în ordnea observăr sau în ordne crescătoare sau descrescătoare. În cadrul valorlor observate, prn eamnarea şrulu statstc se pot dentfca: o valoare mnmă ş una mamă. Dferenţa dntre valoarea mamă ( ma ) ş cea mnmă ( mn ) se numeşte ampltudnea de varaţe a şrulu statstc: w ma mn. (.). Succesunea operaţlor de formare a une ser de dstrbuţe Consderente legate de nevoa obţner une magn de ansamblu asupra colectvtăţ studate conduc la gruparea valorlor observate în clase ş reprezentarea lor tabelară (tabelul ). Ca efect al grupăr rezultă sera de dstrbuţe sau de repartţe. O sere de dstrbuţe este formată dn două şrur statstce: - valorle observate redate prn lmtele claselor sau prn centrul lor, - frecvenţele absolute (smple sau cumulate) sau frecvenţele relatve (smple sau cumulate). Elementele sere de dstrbuţe sunt: lmtele clase: nferoară ş superoară. Toate valorle observate cuprnse între lmte se trec în clasa respectvă. Astfel, fecăre valor ndvduale se atrbue o sngură valoare (centrul clase). Datortă aceste rotunjr se produc eror, denumte eror de grupare în clase, cu atât ma mar cu cât ampltudnea clase este ma mare.

14 ampltudnea une clase (mărmea clase) calculată ca dferenţă dntre lmte. ampltudnea de varaţe: dferenţa dntre valoarea mamă ş valoarea mnmă dn şrul statstc. frecvenţa absolută (n ) a clase: numărul untăţlor statstce corespunzătoare une clase. volumul colectvtăţ (): numărul total de untăţ cercetate (Σn ). frecvenţa relatvă: raportul dntre frecvenţa absolută ş volumul colectvtăţ, eprmat în valor absolute sau în procente (f n /). Frecvenţele absolute sau cele relatve pot f cumulate dn aproape în aproape, ajungându-se la stablrea dstrbuţe frecvenţelor cumulate. Dstrbuţle de frecvenţă pot f emprce (epermentale) sau teoretce. Cele emprce rezultă dn cercetărle epermentale, ar cele teoretce corespund unor leg de probabltate cunoscute. Sera de dstrbuţe formată în raport cu o caracterstcă canttatvă se numeşte sere de varaţe, ar cea formată în raport cu tmpul, sere dnamcă sau cronologcă. Succesunea operaţlor de formare a une ser de dstrbuţe este următoarea: calculul ampltudn w a şrulu statstc; determnarea grupelor de valor, dec a numărulu de clase, în funcţe de omogentatea colectvtăţ ş de natura fenomenulu studat. Farea ntervalelor de grupare nclude segmentarea ma mult sau ma puţn arbtrară a câmpulu de varaţe a caracterstc studate. Astfel, o scară greşt aleasă poate schmba complet aspectul repartţe. Pentru un număr ma mc de 50 de untăţ în cadrul probe, nu este ndcată gruparea în clase. umărul de clase (k) poate f determnat cu relaţa emprcă a lu Sturges: 0 k + lg, (.) 3 fnd volumul probe. Cu notaţle anteroare, se poate aplca ş relaţa: k 5 lg, (.3) sau pot f utlzate tabele de corespondenţă de tpul celu de ma jos, cu valor determnate, de asemenea, epermental: k

15 Pentru stuaţle dn slvcultură s-a dovedt corespunzător un număr de 0 5 clase. Un număr mc de clase mplcă o mcşorare a precze, ar un număr prea mare duce la prelucrăr greoae ş nu permte dferenţerea cu clartate a caracterstclor dstrbuţe emprce. determnarea mărm clase (ntervalul clase, ampltudnea clase); trebue echlbrate următoarele două cernţe: se recomandă ca ntervalele să nu fe prea larg, pentru că ar produce o perdere de nformaţe ş ar dsmula unele partculartăţ ale repartţe (mcşorează precza rezultatelor); mărmea clase nu trebue să fe prea mcă pentru că nu se elmnă, astfel, regulartăţle accdentale ş, în plus, se complcă fără folos calculele. w ma mn a. (.4) k k Dacă numărul de clase nu este cunoscut, se folosesc relaţ emprce, de eemplu: ma mn a sau a f ( ma mn ), (.5) lg 3 în care f este un factor emprc care depnde de. Pentru comodtatea calculelor se adoptă, pentru o clasă, un nterval rotunjt, ceea ce duce la modfcarea numărulu de clase stablt anteror. Intervalele claselor pot f egale sau negale (mărmea clase poate f constantă sau, respectv, varablă). Este preferablă repartţa pe o scară cu ntervale egale, frecvenţele dfertelor clase fnd astfel comparable între ele ş adecvate calculelor ulteroare. Gruparea pe clase negale este ma smplă, dar acestea nu sunt caracterstce colectvtăţ studate ş, în plus, presupun prelucrăr statstce ulteroare specale. Cu cât se măreşte ampltudnea claselor, cu atât se smplfcă ma mult calculele, dar se deformează ma accentuat dstrbuţa. Ca un eemplu de alegere a mărm claselor, pentru caracterstca dametru al arborlor, a cm pentru lucrăr de cercetare (ma pretenţoase) ş a 4 cm pentru lucrăr curente de producţe. 4

16 În cazul unu arboret echen de mold în vârstă de 70 an s-a măsurat caracterstca dametru de bază pentru 44 arbor. Prn gruparea valorlor epermentale în clase cu ampltudnea de 4 cm, a rezultat dstrbuţa epermentală dn tabelul următor. Tabelul. Dstrbuţa epermentală pentru caracterstca dametru de bază r. crt. Valor observate lmtele clase centrul clase Frecvenţe absolute (n ) Frecvenţe absolute cumulate (Σn ) Frecvenţe relatve (f n /) Frecvenţe relatve cumulate (Σf ). 6,-30, ,08 0,08. 30,-34, ,063 0, ,-38, ,5 0, ,-4, , 0, ,-46, ,46 0, ,-50, ,46 0, ,-54, ,8 0, ,-58, ,076 0, ,-6, ,035 0, ,-66, ,08 0, ,-70, ,04,000 TOTAL 44,000. Reprezentarea grafcă a serlor de dstrbuţe emprce Pentru a pune în evdenţă caracterul varaţe fenomenulu studat, serle de dstrbuţe se reprezntă grafc. Se obţne, astfel, o prmă magne a forme ş structur colectvtăţ studate. Pentru dstrbuţa epermentală dn eemplul anteror, se pot realza (fgurle, 3 ş 4): hstograma, polgonul de frecvenţă ş curba frecvenţelor cumulate (ogva). Fgura. Polgonul frecvenţelor absolute 5

17 Fgura 3. Hstograma frecvenţelor absolute Fgura 4. Ogva frecvenţelor absolute cumulate Br: 5% Mo: 5% Fa: 50% Mo: 5% Br: 5% Fa: 50% Fgura 5. Dagrame de structură Dagramele de structură reprezntă o formă specală de grafce, foarte lustratvă, în care frecvenţele sunt reprezentate prn dreptunghur sau sectoare de cerc, ale căror înălţm, respectv unghur la centru, sunt proporţonale cu frecvenţele respectve. 6

18 De eemplu, structura pe spec a unu arboret poate f redată grafc în modaltatea prezentată în fgura 5. Dstrbuţle dscontnue se reprezntă, de obce, prn hstograme. Pentru dstrbuţle contnue se poate folos orce mod de reprezentare grafcă. Grafcele pot avea scăr unforme sau scăr funcţonale (neunforme). Scara artmetcă (naturală) traduce proporţonaltatea între numerele, y ş lungmle abscselor ş ordonatelor în reprezentare rectangulară. Scara logartmcă, scară funcţonală, traduce proporţonaltatea dntre logartm numerelor ş y ş lungmle abscselor ş ordonatelor. În prmul caz, ntervalul corespunzător une untăţ rămâne acelaş pe întreaga lungme a scăr; în celălalt caz, ntervalele grafce (segmentele dntre punctele cotate) sunt negale. Frecvent foloste în cercetare sunt grafcele cu reţele semlogartmce. Reţelele funcţonale se folosesc, în general, pentru transformarea une curbe într-o dreaptă (anamorfoză grafcă), procedeu ce prezntă unele avantaje: dreapta se poate constru ma uşor; dreapta permte o nterpolare sau o etrapolare grafcă ma uşoară. Reţelele funcţonale se folosesc în următoarele stuaţ: când se compară două fenomene cu nvelur foarte dferte de manfestare; când se reprezntă un fenomen al căru nterval de varaţe este foarte mare. 7

19 3. AALIZA DISTRIBUŢIILOR EXPERIMETALE Pentru caracterzarea fenomenelor de masă, statstca a elaborat metodolog ş tehnc specfce. Propretatea prncpală a fenomenelor de masă o reprezntă varabltatea formelor ndvduale ş de manfestare în tmp ş în spaţu. Indcatorul statstc este epresa numercă a unor fenomene, procese, actvtăţ sau categor economce sau socale. Acesta este purtător de nformaţ cu conţnut real, obectv determnat. Indcator statstc sunt utlzaţ pentru caracterzarea volumulu ş structur unor procese ş fenomene de masă. Funcţle ndcatorlor statstc sunt: funcţa de măsurare a aspectelor canttatve ale fenomenelor; funcţa de comparare utlzată pentru cunoaşterea modfcărlor de volum, structură ş dnamcă ale fenomenelor; funcţa de analză folostă pentru aprecerea conţnutulu real al analze statstce, depstând ş elmnând cazurle care se îndepărtează semnfcatv de la legtatea de varaţe; funcţa de snteză, legată de necestatea sntetzăr valorlor ndvduale într-o sngură eprese numercă; funcţa de estmare; funcţa de verfcare a potezelor ş de testare a parametrlor utlzaţ. 3. Momentele Momentele sunt valor care sntetzează o repartţe ş, cu toate că nu reprezntă ndcator statstc de sne stătător, permt preczarea anumtor caracterstc ale repartţe; aceste valor odată calculate, facltează determnarea unor ndcator statstc de bază. Termenul momente a fost împrumutat dn mecancă unde este folost pentru a descre dstrbuţa de mase. Momentul de ordnul p al varable X în raport cu o valoare 0 reprezntă meda artmetcă a dferenţelor - 0, rdcate la puterea p: p n ( 0 ) m p. (3.) n În practcă se utlzează aproape eclusv momentele în raport cu orgnea ( 0 0) ş momentele în raport cu meda artmetcă ( 0 ). 8

20 ' Momentul smplu ( ) reprezntă momentul calculat în raport cu m p orgnea măsurătorlor ( 0 0): p m ' p. (3.) n n Momentul centrat (μ p ) este momentul calculat în raport cu meda artmetcă a repartţe ( 0 ): ( ) n μ p. (3.3) n p Momentele uzuale, atât cele smple cât ş cele centrate, sunt cele de ordnele,, 3 ş 4. În partcular, momentul smplu de ordnul se confundă cu meda artmetcă, momentul centrat de ordnul este nul (vez propretăţle mede artmetce) ş momentul centrat de ordnul apromează varanţa. Prmele patru momente ale repartţe de frecvenţe sunt, în cea ma mare parte a cazurlor, sufcente pentru a descre caracterstcle prncpale ale acestea. Dn aceste momente sunt dervaţ ş ndcator asmetre ş ecesulu. Între momentele smple ş cele centrate uzuale estă relaţle: μ 0 ; (3.4) m ' ' μ m ; (3.5) 3 ' ' ' ' μ 3 m 3m m + m ; (3.6) ' ' ' ' ' ' μ 4 m 4m m + 6m m m. (3.7) În cazul momentelor calculate pentru repartţ pe clase de valor, pentru a corecta eroarea sstematcă ntrodusă prn substturea valorlor reale ale caracterstc studate prn centrele de clasă, trebue să se aplce corecţle lu Sheppard. Formulele de calcul pentru momentele corectate pornnd de la momentele brute calculate anteror sunt: ' μ μ a ; (3.8) ' 7 4 μ 4 μ 4 μ a + a, (3.9)

21 în care a reprezntă ampltudnea, presupusă egală, a claselor. Relaţle anteroare pot f aplcate în cazul une repartţ unmodale ( în clopot ) cu ntervalul de clasă constant, frecvenţa tnzând către zero în ambele drecţ. Corecţle lu Sheppard nu sunt aplcable: repartţlor pe valor dstncte (negrupate în clase), pentru că dspare motvaţa corecţlor; repartţlor în formă de J sau U sau char formelor puternc asmetrce (oblce); momentelor centrate de ordn mpar, deoarece alternărle de semne duc la compensarea erorlor; în partcular, în repartţle perfect smetrce, momentele de ordn mpar sunt nule. Momentele centrate de ordn par sunt, în general, supraestmate atunc când se calculează pentru repartţ pe clase de valor, de unde ş necestatea corecţe în sensul menţonat. 3. Indcator tendnţe centrale Aceşt ndcator (denumţ ş ndc de pozţe) sntetzează valorle centrale ale dstrbuţe ş oferă o reprezentare smplfcată a une dstrbuţ emprce de frecvenţe prn determnarea une tendnţe centrale (zona dn ntervalul de varaţe al caracterstc studate în care tnd să se concentreze valorle ncluse în şrul statstc). Valorle med sau valorle centrale se determnă pentru colectvtăţ statstce omogene (este necesar, în prealabl, un test de omogentate); aceste valor med se modfcă odată cu modfcarea valor orcăru element al sere statstce. Meda este denumtă ş speranţă matematcă ş reprezntă valoarea cu care s-ar putea înlocu toţ termen une ser de dstrbuţe dacă aceşta nu ar f supuş unor factor complecş de nfluenţă care- dferenţază. Pentru caracterzarea une dstrbuţ se pot calcula, teoretc, multe tpur de med. În domenul forester se folosesc numa câteva, ma mportante. 3.. Medle După modul de calcul, medle pot f smple sau ponderate (atunc când utlzează produsele dntre frecvenţe ş valorle observate). Relaţle de calcul dferă, astfel, după cum valorle observate sunt grupate sau nu în clase. Meda artmetcă este cel ma utlzat ndce al tendnţe centrale. 0

22 Relaţle de calcul sunt: - pentru valor negrupate - pentru valor grupate în clase n k n k (3.0) relaţ în care: este meda artmetcă a une probe (eşanton), valorle ndvduale ale caracterstc, în prmul caz, sau centrul clase, în cel de-al dolea; n frecvenţa absolută a clase ; k numărul de clase. Tabelul. Calculul mede artmetce pentru valor grupate în clase Centrul clase n n (cm) TOTAL Pentru eemplul de dstrbuţe epermentală consderat anteror (tabelele ş ) meda artmetcă este: ,8 cm. (3.) 44 Meda artmetcă a întreg populaţ se notează cu μ ş se poate calcula cu eacttate numa după determnarea valorlor caracterstc studate pentru toţ ndvz dn colectvtatea generală. Propretăţ ale mede artmetce: - suma algebrcă a dferenţelor dntre fecare observaţe în parte ş meda artmetcă este egală cu 0;

23 - suma pătratelor abaterlor valorlor ndvduale faţă de mede reprezntă un mnm (este ma mcă decât suma pătratelor abaterlor faţă de orcare altă valoare dfertă de meda artmetcă). Aceste propretăţ sunt utlzate pentru numeroase aplcaţ în statstcă. Meda artmetcă este cu atât ma reprezentatvă cu cât dferenţa dntre aceasta ş medană (un alt ndce de pozţe) este ma mcă. Meda artmetcă este ma puţn stablă, fnd foarte mult nfluenţată de valorle etreme ale dstrbuţe. Atunc când se calculează ma multe med artmetce,, 3,..., pentru probe etrase dn aceeaş populaţe, volumele probelor fnd,, 3,..., se poate calcula, în condţ bne preczate statstc, meda generală: (3.) Calculul ş folosrea mede generale este admsă numa după ce s-a verfcat dacă medle probelor ( ) reprezntă estmaţ ale aceleaş med generale, μ, a populaţe. Meda armoncă ( h ) se determnă cu relaţle: - pentru valor negrupate - pentru valor grupate în clase n h h (3.3) k n Este folostă, de eemplu, în economa foresteră pentru calculul randamentulu. Meda geometrcă ( g ) este valoarea poztvă a rădăcnlor de ordnul dn produsul a valor observate: - pentru valor negrupate - pentru valor grupate în clase g k k n g (3.4) Se foloseşte atunc când valorle observate sunt aranjate într-o progrese geometrcă sau au un rtm eponenţal de varaţe (de eemplu, în economa foresteră, pentru determnarea rtmurlor med de creştere a producţe).

24 Medle de ordn superor ( p ): - pentru valor negrupate - pentru valor grupate în clase p p p p p k k n n p (3.5) Reprezntă rădăcnle de ordn p ale raportulu dntre suma valorlor observate, rdcate la puterea p, ş numărul acestora ; pentru p,3,... se obţn: meda pătratcă ( ), meda cubcă ( 3 ),. În relaţ s-a notat numărul de clase cu k. Se utlzează atunc când se acordă o mportanţă ma mare nvelurlor ma rdcate ale sere statstce. Relaţe între med! h g 3 Deoarece meda une caracterstc se determnă pentru un număr lmtat de observaţ, valoarea e este afectată de o eroare de estmaţe a adevărate med μ a populaţe întreg. Pentru meda artmetcă: s s, (3.6) în care s reprezntă eroarea (abaterea) standard a mede artmetce, s este abaterea standard a caracterstc studate, ar, volumul colectvtăţ. Pentru un număr mare de valor observate, s va f ma mcă, ar meda calculată pe baza probelor se va apropa ma mult de meda μ a întreg populaţ. 3.. Medana În afara medlor propru-zse nteresează, dn punct de vedere statstc, ş calcularea unor med de structură (medana, cuartlele, modul ş valoarea centrală). Acestea se utlzează ma ales pentru dstrbuţ asmetrce. Medana (Me) este valoarea dntr-o sere statstcă ce împarte volumul populaţe () în două părţ egale. 3

25 Pentru şrurle statstce (valor negrupate în clase), estă două stuaţ: şrul statstc are un număr mpar de termen (); în acest caz medana + corespunde varante de rangul, rangul fnd numărul ce ndcă pozţa une observaţ în cadrul unu şr ordonat în raport cu un anumt crteru. De eemplu pentru şrul statstc 8,9,0,,3,4,6, 7 + rangul medane este 4, dec medana are valoarea Me; şrul statstc are un număr par de termen (); medana se calculează ca mede artmetcă a valorlor de rangul k ş k+ (unde k ): + + k Me k. (3.7) Pentru serle cu valor grupate în clase, medana poate f determnată analtc sau grafc. Determnarea analtcă a medane înseamnă aplcarea relaţe: a S n Me Me +, (3.8) nme în care: Me este lmta nferoară a clase medane (cea care, în şrul frecvenţelor absolute cumulate, reprezntă prma valoare ma mare decât /); a - mărmea clase; - volumul probe; S n - frecvenţa absolută cumulată până la clasa medat nferoară cele medane; n Me - frecvenţa absolută a clase medane. Pentru dstrbuţa epermentală a dametrelor de bază dn eemplul anteror, cu notaţle dn fgura 7, medana este: 4 ( 7 63) Me ,7 cm. (3.9) Determnarea grafcă a medane se poate face pe grafcul frecvenţelor cumulate, absolute sau relatve, în care aceasta corespunde valor (fgura 4), respectv, lu. Medana prezntă o stabltate ma mare decât meda artmetcă pentru că depnde ma puţn de valorle etreme ale sere statstce. Aceasta dă nformaţ utle ş în cazul dstrbuţlor ma puţn omogene. 4

26 Un caz partcular îl consttue medana pătratcă (Mep), utlzată în dendrometre pentru calculul dametrulu central al suprafeţe de bază. k n ' a S n Mep Mep +. (3.0) ( n ) Aşa cum se observă, se calculează asemănător cu medana (Me), însă în funcţe de valorle n cumulate. Relaţa dntre cele două medane este: Me Mep. (3.) 3..3 Cuartlele Cuartlele sunt tre ndcator statstc care împart setul de valor epermentale în patru părţ egale. Prma cuartlă (Q ), numtă ş cuartla nferoară, delmtează cele ma mc 5% valor epermentale. Relaţa de calcul a acestea este: Q ' 0 a 4 + n în care: ' 0 este lmta nferoară a clase în care se găseşte /4, n ' - frecvenţele absolute cumulate până la clasa lu Q, n - frecvenţa absolută a clase în care se află Q. Q Q n ' Mep, (3.) Cea de-a doua cuartlă (Q ) este egală cu medana. A trea cuartlă (Q 3 ), numtă ş cuartla superoară, delmtează cele ma mar 5% valor epermentale dn dstrbuţe. Relaţa de calcul a acestea este: Q 3 '' 0 3 a 4 + n în care: '' 0 este lmta nferoară a clase în care se găseşte 3/4, n '' - frecvenţele absolute cumulate până la clasa lu Q 3, n - frecvenţa absolută a clase în care se află Q 3. Q 3 Q3 n '', (3.3) 5

27 Intervalul ntercuartlc (IRQ) reprezntă dferenţa dntre Q 3 ş Q. În nterorul acestua se află 50% dntre valorle epermentale ale caracterstc analzate. Pentru dstrbuţa epermentală eemplfcată anteror, cuartlele Q ş Q 3 se determnă astfel: 4 ( 36 3) Q ,63 cm, (3.4) 3 4 ( 08 05) Q ,7 cm. (3.5) 7 Se poate obţne o magne sntetcă a dsperse valorlor caracterstc studate prn redarea grafcă, sub forma une dagrame, a următorlor ndcator: valoarea mnmă ( mn ), prma cuartlă, medana, a trea cuartlă ş valoarea mamă. Dagrama boplot dă nformaţ asupra ampltudn datelor (prn valorle etreme), despre tendnţa centrală (prn medană) ş despre modul de grupare a valorlor (prn cuartle). Pentru eemplul consderat, dagrama boplot este prezentată în fgura 6) Modul Fgura 6. Dagrama tp boplot Dstrbuţle pot f unmodale, bmodale,..., plurmodale, după numărul de mame locale pe care le prezntă. Modul (Mo), numt ş domnantă este acea valoare a caracterstc studate cu frecvenţa mamă în dstrbuţe. Are sens numa în cazul dstrbuţlor unmodale (atunc când modul are o valoare uncă), caz în care corespunde vârfulu curbe de frecvenţă. Acest ndce se calculează, evdent, numa pentru valor grupate în clase, cu relaţa: 6

28 Mo ( n n ) în care: Mo este lmta nferoară a clase modale; n 0 - frecvenţa clase modale; n - frecvenţa clase nferoare cele modale; n - frecvenţa clase superoare cele modale. În eemplul anteror: a 0 Mo +, (3.6) n0 n n ( 3 8) 4 Mo ,4 cm. (3.7) 3 8 Determnare grafcă a modulu se realzează pe polgonul frecvenţelor absolute sau pe hstograma frecvenţelor absolute, ca în fgurle ş 3. Centrul Frecvenţă absolută clase (cm) smplă cumulată n 3 36 n clasa modală clasa medană n Me n TOTAL 44 - Fgura 7. Identfcarea valorlor necesar determnăr medane ş modulu 3..5 Relaţ între ndc de pozţe S n / Pentru dstrbuţ apropate de dstrbuţa teoretcă normală este valablă relaţa lu Pearson: Mo 3Me -. (3.8) Modul este folost ş pentru stablrea gradulu de asmetre a dstrbuţe epermentale pentru că este drect proporţonal cu dferenţa dntre ş Me. Pentru o dstrbuţe smetrcă: Mo Me. (3.9) 7

29 - este ndcată a f folostă pentru dstrbuţ smetrce; - Medana este ma stablă decât pentru că depnde ma puţn de forma dstrbuţe; - Modul este utlzat atunc când nu se ţne seama de varaţle dstrbuţlor; - Medana ş modul, prn pozţa relatvă a lor, arată ma bne tendnţa de concentrare a frecvenţelor dn cadrul une dstrbuţ. 3.3 Indcator varabltăţ (dsperse) Cunoaşterea medlor sau a altor ndcator a tendnţe centrale nu este sufcentă pentru a caracterza o sere statstcă. Este necesară, suplmentar, cunoaşterea varabltăţ caracterstc studate, adcă a împrăşter valorlor faţă de mede sub nfluenţa unor factor întâmplător. Indc de varaţe sunt utlzaţ pentru a da o magne corectă asupra gradulu de împrăştere a valorlor observate în jurul centrelor de grupare. Cea ma smplă măsură a varabltăţ valorlor măsurate este ampltudnea de varaţe (w) calculată cu relaţa.. Este un ndce epedtv, dar ş destul de mprecs (depnde de valorle etreme) Varanţa Denumtă ş dsperse (σ, pentru întreaga populaţe, sau s, pentru un eşanton) este măsura cea ma utlzată a varabltăţ. Aceasta reprezntă o mede a pătratelor abaterlor valorlor observate faţă de meda artmetcă: - pentru valor negrupate: - pentru valor grupate în clase: ( ) n ( ) s s - reprezentând numărul gradelor de lbertate. (3.30) 8

30 În practcă se utlzează ma mult relaţle echvalente: - pentru valor negrupate: - pentru valor grupate în clase: ( ) ( n ) n s s (3.3) Pentru valor mar ale lu (un număr mare de observaţ) se pot face apromaţle: - ş s μ σ (varanţa întreg populaţ dn care s-a etras proba analzată) Abaterea standard Se notează cu σ, pentru întreaga populaţe, sau cu s, pentru o probă ş este valoarea poztvă a rădăcn pătrate dn varanţă: s s. (3.3) Se ma numeşte eroare sau abatere mede pătratcă. Cu cât abaterea standard este ma mcă, cu atât gradul de împrăştere a valorlor caracterstc studate este ma redus Coefcentul de varaţe Coefcentul de varaţe (σ %, s % ) este utlzat pentru a face analza comparatvă între dstrbuţ cu varabltăţ eprmate în untăţ de măsură dferte. Este egal cu raportul procentual dntre abaterea standard ş meda artmetcă: s s % 00 (%). (3.33) Cu cât coefcentul de varaţe este ma mc, cu atât varabltatea caracterstc este ma mcă, colectvtatea ma omogenă, ar meda artmetcă are un grad ma mare de reprezentatvtate (afrmaţe valablă ş pentru celalţ ndcator de varaţe). Se aprecază că o sere de dstrbuţe este omogenă dacă valoarea coefcentulu de varaţe nu depăşeşte 30%. În caz contrar se aprecază că meda nu ma este reprezentatvă pentru o populaţe consderată eterogenă. Pentru dstrbuţa epermentală a caracterstc dametrul de bază dn eemplul luat anteror în consderare, valorle ndclor de varaţe s-au determnat folosnd datele dn tabelul 3. Astfel: 0930,556 s 76,4375 cm ; s 76,4375 8, 74 cm; 44 8,74 s % 00 9,5 %. 44,8 9

31 Tabelul 3.Calcule ntermedare pentru determnarea ndclor de varaţe Centrul clase n n 8 4 9, , , , , , , , , , ,965 TOTAL ,556 44,8 ( ) 3.4 Indcator forme dstrbuţlor epermentale În analza serlor de dstrbuţe emprce o mportanţă deosebtă o prezntă compararea medlor cu celalţ ndc de pozţe. O dstrbuţe se numeşte smetrcă sau asmetrcă după cum valorle varable sunt egal sau negal dspersate de o parte ş de alta a valor centrale luate în consderare. În cazul dstrbuţlor smetrce, meda artmetcă este egală cu medana ş cu modul; pe măsură ce dstrbuţa devne asmetrcă, apare o dvergenţă a celor tre ndc. Aşa cum s-a arătat, pentru dstrbuţle smetrce sau uşor asmetrce este valablă relaţa lu Pearson ( Mo 3Me ) Indcele asmetre Asmetra (fgura 8) se caracterzează prntr-o dstorsonare a curbe epermentale pe orzontală în raport cu curba normală ( clopotul lu Gauss ). Gradul de deplasare se măsoară prn ndcele asmetre (A). Asmetra poate f aparentă sau reală. Cea aparentă se datorează cercetăr une colectvtăţ prea mc sau formăr defectuoase a claselor. Ea poate f înlăturată prn mărrea numărulu de observaţ ş gruparea lor corectă. 30

32 Asmetra reală se datorează unor factor obectv a căror acţune nu poate f înlăturată ş este caracterstcă multor fenomene dn slvcultură. Pentru o dstrbuţe asmetrcă, meda artmetcă, datortă nfluenţe valorlor etreme, se află întotdeauna în drecţa ramur ma lung a dstrbuţe. Modul corespunde vârfulu polgonulu de frecvenţe, ar medana se află întotdeauna între meda artmetcă ş mod. Pentru estmarea asmetre se compară meda artmetcă ş modul; sunt posble tre stuaţ: > Mo asmetre poztvă (de stânga), A>0; < Mo asmetre negatvă (de dreapta), A<0; Mo dstrbuţe smetrcă, A0. Relaţle frecvent utlzate pentru determnarea asmetre sunt: - relaţa de bază: - relaţa lu Pearson: - relaţa momentelor: ( ) 3 n A 3 s ; (3.34) Mo A ; s (3.35) A μ3. (3.36) 3 μ Indcele asmetre este însoţt de eroarea sa (s A ): 6 s A. (3.37) + 3 Asmetre poztvă (de stânga) Asmetre negatvă (de dreapta) Fgura 8.Tpur de asmetre 3

33 Yule propune un coefcent (Sk) care a valor în ntervalul [-, +] care arată tpul ş mărmea asmetre. Relaţa de calcul a acestu coefcent este: ( Q3 Me) ( Me Q ) Q3 Me + Q Sk. (3.38) ( Q3 Me) + ( Me Q ) Q3 Q Cu cât este ma apropată valoarea lu Sk de 0, cu atât asmetra este ma redusă (pentru dstrbuţle smetrce, Sk0). Pe măsură ce Sk se aprope de - sau de, asmetra este dn ce în ce ma pronunţată ş negatvă (de dreapta) sau, respectv, poztvă (de stânga) Indcele ecesulu O repartţe este ma bolttă sau ma aplatzată după cum valorle corespunzătoare unor abater mc de la valoarea centrală deţn o proporţe ma mult sau ma puţn însemnată. Această propretate a repartţe unmodale este denumtă eces ş se determnă prn compararea cu curba normală de aceaş parametr. Dec ecesul este propretatea une curbe de frecvenţă unmodale de a f ma ascuţtă sau ma aplatzată decât curba normală; acest lucru se determnă prn analza valor unu ndce de formă denumt ndcele ecesulu (E). Fgura 9. Tpur de dstrbuţ dferenţate după eces Relaţle foloste pentru determnarea ecesulu sunt: ( ) n - relaţa de bază: E 4 s 4 3; (3.39) 3

34 μ - relaţa momentelor: E 4 3. (3.40) μ Eroarea ecesulu (s E ) este: s E (3.4) Pe baza valorlor calculate A, s A, E, s E se poate face o testare statstcă, dovedndu-se prezenţa sau absenţa asmetre sau a ecesulu. Se calculează rapoartele A s A ş E s E. Dacă rapoartele (în modul) sunt ma mc decât se consderă că, pentru o probabltate de acoperre de 95%, asmetra, respectv ecesul, sunt nesemnfcatve. Dacă rapoartele sunt ma mar sau egale cu, sunt dovedte asmetra sau ecesul (pentru aceeaş probabltate de acoperre). Acest lucru nu trebue să se consdere neapărat un defect sau un fenomen anormal. Dmpotrvă, estă anumte dstrbuţ specfce unor caracterstc char dn domenul forester pentru care se pot justfca teoretc asmetra ş ecesul. Eemple: dstrbuţa dametrelor în arborete echene (asmetre de stânga); dstrbuţa înălţmlor în arborete echene (asmetre de dreapta). Pentru repartţa epermentală eemplfcată anteror s-au obţnut următoarele valor ale ndcatorlor forme: A 0,447 ; E 0, 338; Sk 0, 575. Erorle ndcatorlor forme sunt: s A 0,00 ş s E 0, 403. A E Se obţn rapoartele:,057 > ş <. s A Se poate spune că, în cazul analzat, asmetra este poztvă (de stânga) ş semnfcatvă, ar ecesul este negatv, dar nesemnfcatv. 3.5 Crter de elmnare a observaţlor etreme Prntre valorle observate sau măsurate pentru caracterstca studată, apar uneor unele care se abat foarte mult faţă de majortate. Cauza aparţe valorlor aberante poate f dversă: - datortă nstrumentelor foloste (decalbrate); - datortă greşellor de transmtere ş de înregstrare a datelor; - datortă neomogentăţ populaţe studate. Este necesar să se ecludă dn calcule valorle etreme atunc când prezenţa lor nfluenţează rezultatele analze statstce. s E 33

35 u este admsă, însă, elmnarea arbtrară a valorlor etreme, ma ales atunc când numărul observaţlor este redus. S-au propus ma multe crter bazate pe teora probabltăţlor. Crterul Chauvenet propune ntervalul ± k s în care să se păstreze valorle şrulu statstc ordonate crescător sau descrescător; orce valoare dn afara ntervalulu se elmnă. este meda artmetcă a valorlor caracterstc studate pentru eşantonul cercetat, s reprezntă abaterea standard a eşantonulu, ar k este un coefcent ce se a dn tabele funcţe de numărul observaţlor (). Crterul Irwn (testul λ) se foloseşte atunc când se constată că o valoare dn şr se abate mult de la valorle majortare. Etapele de aplcare sunt: se ordonează valorle şrulu statstc; se determnă abaterea standard (s); se calculează: n n λ ep sau λ ep, (3.4) s s unde: n ( ) reprezntă valoarea observată mamă (mnmă) ce trebue verfcată, n- ( ) - valoarea anteroară (următoare) dn şrul statstc ordonat crescător; în funcţe de numărul de măsurător ş probabltatea de acoperre (p) se etrage dn tabele λ teoretc. Dacă λ ep λ teoretc valoarea analzată se menţne în şr. Dacă λ ep > λ teoretc valoarea etremă se elmnă dn şrul statstc. Crterul Grubbs (testul z) În această stuaţe, etapele de aplcare a testulu sunt: - se ordonează datele crescător; - se calculează ş s; - se determnă valoarea epermentală a testulu z cu una dntre relaţle: z ma mn sau z' ; (3.43) s s - dn tabele, în funcţe de q0,05 ş (volumul probe) se etrage valoarea lu z teoretc. 34

36 Interpretare: z, z z teoretc valoarea etremă nu se elmnă; z, z > z teoretc valoarea etremă se elmnă. Crterul,5 IQR Acest crteru consderă că este aberantă orce valoare stuată la ma mult de,5 dn ntervalul ntercuartlc sub prma cuartlă sau peste cea de-a trea. După elmnarea valorlor etreme, toţ ndcator statstc calculaţ anteror trebue recalculaţ 35

37 4. DISTRIBUŢII TEORETICE FRECVET FOLOSITE Î AALIZA STATISTICĂ A FEOMEELOR DI SILVICULTURĂ Dstrbuţle de frecvenţă emprce mplcă date bazate pe observaţ ş eperment, dec obţnute prn măsurare sau numărare. S-a constatat că, plecând de la anumte poteze generale se pot deduce matematc unele dstrbuţ teoretce. Dstrbuţle epermentale reprezntă estmaţ ale unor dstrbuţ teoretce defnte prn teora probabltăţlor. Dstrbuţle teoretce servesc drept modele matematce pentru cele epermentale. Asmlarea une dstrbuţ emprce cu una teoretcă prezntă avantajul că la prelucrarea datelor se pot utlza propretăţle matematce ale acestea dn urmă. Procesul de înlocure a une dstrbuţ epermentale cu una teoretcă cu aceaş parametr se numeşte ajustare; aceasta constă, practc, în înlocurea unu set de valor observate cu o funcţe cât ma apropată de realtatea fenomenulu cercetat. Pentru o dstrbuţe teoretcă este mportant să se cunoască atât funcţa de frecvenţă (de denstate de probabltate), cât ş cea de repartţe. Legea de varaţe a une caracterstc contnue este bne descrsă de funcţa sa de repartţe. Dacă este o varablă aleatoare reală, funcţa de repartţe F este defntă pentru orcare prn relaţa: F P < ( ) ( ). Funcţa de repartţe măsoară, dec, probabltatea ca varabla aleatoare să fe ma mcă decât o anumtă valoare de refernţă. Modelul grafc al funcţe de repartţe este cel dn fgura 0. Probabltatea ca varabla să fe ma mcă decât un nvel este: F ( ) P( < ). (4.) Analog pentru. 36

38 Fgura 0. Modelul grafc general al funcţe de repartţe ş al funcţe de denstate Funcţa de repartţe are următoarele propretăţ: este o funcţe crescătoare: orcare ar f ş,, F( ) F( ); dacă F este funcţa de repartţe a varable aleatoare, atunc probabltatea ca să fe cuprns între două valor ş (cu > ) se scre: P( ) F( ) F( ); (4.) este evdent faptul că funcţa de repartţe nu este altceva decât o probabltate, dec a valor în ntervalul [0,]; atunc când funcţa F are o dervată contnuă, aceasta se utlzează pentru caracterzarea leg de varaţe a lu ş se numeşte funcţe de denstate: df ( ) ( ) F ' f ( ) ; (4.3) d În acest caz: F ( ) f ( ) d (4.4) 37

39 ( ) ( ) ( ) ( ) ş P f d F F. (4.5) Funcţa de denstate are propretăţle: f ; ( ) 0 + ( ) f d (pe grafc, ara suprafeţe cuprnsă între curba f() ş aa abscselor este egală cu untatea). Valorle tpce ma mportante ale une funcţ de repartţe sunt valoarea mede (μ) ş dspersa (σ ): μ σ + + f ( ) d ; (4.6) ( ) f ( ) d. (4.7) μ Aceste relaţ sunt teoretce ş nu determnate epermental pentru o anumtă caracterstcă în urma măsurătorlor. 4. Dstrbuţa teoretcă normală (Gauss-Laplace) Dn repartţa varablelor aleatoare s-a ajuns la concluza că funcţa de repartţe normală poate f luată drept model pentru cercetarea probablstcă. Funcţa de denstate (denstatea de probabltate) a dstrbuţe normale are epresa: ( μ ) σ f (, μ, σ ) e, (4.8) σ π în care: - <<+, μ este meda repartţe, ar σ este abaterea standard. Clopotul lu Gauss (fgura ) are următoarele propretăţ: admte un mam pentru μ ; este smetrcă în raport cu μ ; modfcarea parametrulu μ determnă deplasarea curbe de-a lungul ae fără a- modfca forma; modfcarea lu σ duce la lăţrea sau îngustarea curbe fără ca valoarea lu μ să fe afectată; are două puncte de nfleune, pentru μ±σ. Calculul dfertelor valor ale denstăţ de repartţe f() în cazul une dstrbuţ normale cu meda μ ş varanţa σ este greo ş necestă mult tmp. 38

40 Fgura. Funcţa de denstate a dstrbuţe normale μ De aceea s-a efectuat o transformare de varablă (u ), σ obţnându-se funcţa normală normată. În acest caz μ 0 ş σ : ( ) ' u μ μ μ 0, (4.9) σ σ ' ( ) ( ) ' u μ u μ σ σ, (4.0) σ σ ( ) ar funcţa de denstate de probabltate devne: f u ( u) e, (, + ) u. (4.) π Funcţa de repartţe se obţne prn ntegrarea funcţe de denstate de probabltate ş se numeşte ntegrala lu Gauss sau ntegrala erorlor: F u ( ) f ( ) d ( ) ( ) du sau F u f u. (4.) Aceasta reprezntă ara suprafeţe de sub curba normală de la - la (sau de la - la u, în cazul normale normate). Reprezentată grafc, această curbă are dreptele O (sau Ou) ş F() ( sau F(u)) ca asmptote ş un punct de nfleune pentru μ (respectv, u0). Cu ajutorul ntegrale lu Gauss se poate calcula, pentru u ş u daţ, suprafaţa totală ce se află sub curbă între cele două valor (tabelul 4). 39

41 Intervalul astfel determnat (u,u ) se numeşte nterval de încredere, ar suprafaţa corespunzătoare, probabltate de acoperre (p). q00-p se numeşte probabltate de transgresune sau probabltate de depăşre. Aceste probabltăţ se ma numesc pragur de semnfcaţe sau nvele de semnfcaţe. Tabelul 4. vele de semnfcaţe uzuale u μ u σ μ σ suprafaţa cuprnsă (%) -σ σ 68,6 -σ σ 95,44-3σ 3σ 99,73 -,96σ,96σ 95 -,58σ,58σ 99-3,9σ 3,9σ 99,9 În lucrărle de orce natură care aplcă metodele statstce, ndcator statstc, odată determnaţ, nu sunt prezentaţ decât însoţţ de ntervalele de încredere corespunzătoare unor probabltăţ de acoperre de refernţă (se folosesc, de obce, valorle lu p egale cu 95%, 99% sau 99,9%). Interesul pentru legea normală decurge dntr-o teoremă foarte mportantă, teorema lmte centrale care se enunţă astfel: Dacă varablele consttue un şr nfnt de varable aleatoare ndependente având toate legea de repartţe cu meda μ ş varanţa σ, atunc epresa: n n μ (4.3) n σ tnde către o varablă normală redusă, dacă n tnde la +. Altfel spus, dacă un fenomen este rezultatul nfluenţe une nfntăţ de factor (ndependenţ sau cvasndependenţ), fecare dntre aceşta având un rol lmtat, măsurarea acestu fenomen se poate efectua 40

42 cu ajutorul une varable aleatoare canttatve a căre lege de repartţe se aprope de legea normală normată. Legea normală este o lege de mede. Dntre propretăţle leg normale, două au aplcabltate practcă drectă: toate combnaţle lnare ale leg normale urmează o lege normală; toate legle normale pot f descrse prntr-una sngură, cu condţa să se schmbe scara de măsură a varable prn transformarea deja amnttă (ceea ce înseamnă a măsura abaterle mede în untăţ de abatere standard). De aceea, în practcă, nu se calculează drect probabltatea evenmentulu P(X<) când X urmează o lege normală de parametr μ ş σ, c se determnă P(Z<u) unde u(-μ)/σ ş în care Z urmează o lege normală redusă de parametr μ0 ş σ. Ajustarea dstrbuţe epermentale după legea dstrbuţe normale se realzează tabelar, după modelul prezentat în tabelul 5 (cu datele epermentale corespunzătoare eemplulu anteror). Tabelul 5. Eemplu de ajustare a une dstrbuţ epermentale după legea teoretcă normală Frecvenţe teoretce relatve absolute n u a s f ( u ) n f ( u) s ,837 0,0077 0, ,3797 0,03507, ,9 0, , ,4647 0, , ,007 0,4035 5, ,5497 0,343009, ,09 0,3975 6, ,3654 0,3738 4, ,89 0, , ,804 0,75755, ,7379 0,0883 5, ,954 0,03583,36 68,6530 0,089 0,78 TOTAL 44, ,59 44 n 6 4

43 Etapele de lucru sunt: se determnă meda artmetcă ( ) ş abaterea standard (s) prntr-un procedeu cunoscut; se determnă abaterle normate (u ); în funcţe de valorle abaterlor normate se scot dn tabele valorle f ( ) u sau se calculează după funcţa normală normată u ( u) e f π ; se determnă frecvenţele teoretce absolute ( n ) ş ajustarea este efectuată. Reprezentarea grafcă a frecvenţelor absolute epermentale ş a celor teoretce (coloanele ş 5 dn tabelul 5) arata sugestv modul de ajustare a dstrbuţe emprce utlzând dstrbuţa teoretcă normală (fgura ). Fgura. Reprezentarea grafcă a ajustăr dn tabelul 5 Este neapărat necesar să se verfce, prn teste statstce, concordanţa dntre dstrbuţa epermentală ş cea teoretcă (se compară frecvenţele absolute epermentale cu cele teoretce prn utlzarea unor teste statstce, de eemplu testul χ ). 4

44 Stuaţle în care dstrbuţa normală poate f aplcată fenomenelor dn slvcultură sunt dverse. Trebue să fe îndeplnte, însă, anumte condţ: populaţa dn care se etrage proba să fe omogenă; dacă este cazul, se poate proceda, în prealabl, la stratfcarea e; caracterstca studată să rămână sub nfluenţe aleatoare (întâmplătoare). Aparţa unu factor cu o nfluenţă puterncă determnă asmetr sau ecese aprecable. 4. Dstrbuţa teoretcă Charler (tp A) Charler a demonstrat că o dstrbuţe epermentală poate f redată prntr-o sere de dervate ale funcţe normale. Funcţa de frecvenţă teoretcă are forma: A III E IV ϕ ( u) f ( u) f ( u) + f ( u), (4.4) 6 4 în care: f u este funcţa de frecvenţă a dstrbuţe normale normate, ( ) III IV ( u) f ( u) f, - dervatele de ordn III ş IV ale funcţe f(u) (valor tabelate - anea - sau calculate în funcţe de valorle u epermentale), A -ndcele asmetre, E -ndcele ecesulu. Frecvenţele absolute se determnă cu aceeaş relaţe ca ş în cazul normale: a n ϕ( u ), (4.5) s unde: a -ampltudnea une clase, s -abaterea standard a probe, De observat că această funcţe, ϕ(u), a în consderare atât asmetra cât ş ecesul ş poate f astfel adaptată la un număr ma mare de dstrbuţ epermentale. Dacă A0 ş E0, dstrbuţa Charler se transformă într-o dstrbuţe normală. Dstrbuţa Charler este o dstrbuţe normală generalzată. Este ndcat să se aplce atunc când asmetra ş ecesul au valor semnfcatve. 43

45 4.3 Dstrbuţa bnomală Aceasta ma poartă denumrea de repartţa lu Bernoull sau repartţa newtonană. Se consderă, ca eemplu, o populaţe de arbor dn care M sunt uscaţ. Analzând câte un arbore, la întâmplare, dntre ce, se înregstrează prezenţa sau absenţa fenomenulu de uscare. Dacă se repetă de n or eperenţa în aceleaş condţ ş în mod ndependent (cu posbltatea de a etrage de ma multe or acelaş arbore, adcă prn selecţe repetată), numărul r de arbor uscaţ dn eşantonul de volum n este valoarea dată de o varablă aleatoare bnomală X de parametr n ş M p. Se poate demonstra că, pentru orce r întreg cuprns între 0 ş n ( 0 < r < n ): r r nr P( X r) C p ( p) P n r, (4.6) în care: n! C r n r!( n r)!. (4.7) n P 0 (observaţe: ). În general, consderând o populaţe formată dn untăţ dn care se etrage o untate, probabltatea ca această untate să posede caracterstca studată este p, ar probabltatea evenmentulu contrar este q. Se poate scre: p q. + Prn etragerea dn populaţa consderată a une probe formate dn n untăţ prn metoda selecţe repetate, probabltatea ca untăţ să posede caracterstca studată este dată de funcţa de repartţe: n! n f ( ) p q, (4.8)! ( n )! în care: n - numărul untăţlor dn probă (volumul probe), - numărul elementelor care prezntă caracterstca studată, p - probabltatea aparţe evenmentulu urmărt, q - probabltatea aparţe evenmentulu contrar. Dn motve de comodtate în calcule se aplcă relaţa de ma sus numa pentru 0, caz în care: n f (0) q. (4.9) Pentru > 0 se utlzează formula de recurenţă: 44

46 n p f ( + ) f ( ). (4.0) + Prncpal ndcator statstc teoretc specfc repartţe bnomale sunt: meda p n (4.) dspersa s n p q (4.) Legea dstrbuţe bnomale se aplcă or de câte or fenomenele sunt nfluenţate de ntervenţa unor factor ndependenţ ale căror probabltăţ de aparţe sunt cunoscute ş au valoare constantă. Ajustarea une dstrbuţ epermentale după legea dstrbuţe bnomale urmează etapele: se determnă, p, q: p ; q-p; (4.3) n se determnă frecvenţele teoretce relatve cu relaţa 4.8 pentru 0 ş cu relaţa 4.9 pentru > 0; se determnă frecvenţele teoretce absolute: n f f ( ); (4.4) se compară cele două dstrbuţ. Dacă estă asemănare între dstrbuţa teoretcă ş cea epermentală a frecvenţelor absolute înseamnă că fenomenul studat urmează legea dstrbuţe bnomale. Trebue neapărat să se aplce, însă, un test statstc de ajustare. 4.4 Dstrbuţa Posson Este un caz specal al dstrbuţe bnomale pentru stuaţa în care probabltatea aparţe unu evenment este mcă, char dacă numărul observaţlor este foarte mare. Dn acest motv se ma numeşte dstrbuţa evenmentelor rare. Dstrbuţa Posson este un caz lmtă al dstrbuţe bnomale pentru n ş p 0, produsul n p λ fnd constant. Dacă se consderă că arbor reprezntă o populaţe de ha ş consderând că se etrage la întâmplare o suprafaţă de 0, ha în care se numără arbor uscaţ (în poteza prealablă prvnd omogentatea repartzăr arborlor uscaţ, nu în grupur sau aglomerăr pe anumte drecţ), valoarea poate f consderată ca valoarea luată de o varablă 45

47 aleatoare X care urmează o lege Posson de parametru λ (λ este numărul medu de arbor dntr-o suprafaţă de probă de 0, ha; λ ). Varabla X poate lua toate valorle întreg poztve sau nule, după funcţa de frecvenţă a dstrbuţe Posson: λ λ e P( X ) f ( ), (4.5)! în care: λ s. (4.6) λ Relaţa de ma sus se aplcă pentru 0 f (0) e. Pentru > 0 este comod să se aplce relaţa de recurenţă: λ f ( + ) f ( ). (4.7) + Domenul de aplcatvtate este relatv restrâns. Estă unele caracterstc în domenul entomologe, al protecţe pădurlor, al vânătoare, care urmează legea dstrbuţe Posson. Etapele de ajustare a dstrbuţe epermentale după legea Posson sunt: se determnă meda artmetcă ; se determnă dspersa s ; se compară cu s ; numa dacă cele două valor sunt egale sau foarte apropate se poate trece la ajustare; se determnă frecvenţele teoretce relatve cu relaţa drectă sau prn formula de recurenţă (pentru > 0); se determnă frecvenţele teoretce absolute: n f ; (4.8) se verfcă dacă estă concordanţă între cele două dstrbuţ (prntr-un test de concordanţă). Alte funcţ teoretce foarte fleble care se folosesc în slvcultură pentru caracterzarea structur arboretelor echene sunt dstrbuţle dn sstemul Pearson. 4.5 Dstrbuţa Beta Funcţa de denstate de probabltate beta este, în cazul general: α β ( α + β ) f ( ) ( a) ( b ) ( b a), (4.9) B( α, β ) a b, α > 0, β > 0, unde: (4.30) α β Γ( α) Γ( β ) B ( α, β ) t ( t) dt, (4.3) Γ( α + β ) 0 Γ fnd funcţa gamma, tratată pe larg în subcaptolul

48 a Dacă se face schmbarea de varablă y se obţne funcţa b a de denstate de probabltate a leg beta standard: α β y ( y) pentru 0 < y < f ( y) B( α, β ) (4.3) 0 pentru celelalte valor y În această formă, parametr α ş β se pot estma cu relaţle: y ( y) ( ) ˆ y y ˆ α y ; β ( y), (4.33) s s în care y ş s reprezntă meda artmetcă ş, respectv, varanţa valorlor epermentale y (frecvenţelor relatve). Pornnd de la funcţa de denstate de probabltate de tp beta scrsă sub forma (Leahu, I., 984): α β f ( ) const ( a) ( b ), (4.34) parametr pot f estmaţ cu relaţle: z ˆ srel ( z + ) β ş ˆ α z ˆ β, (4.35) z + rel z, (4.36) rel const, (4.37) b a ( a) α ( b a) ar semnfcaţa celorlalte notaţ este: - centrele claselor formate pentru caracterstca studată; a, b - valorle mnmă ş, respectv, mamă ale aceste caracterstc (pentru gruparea în k clase de ampltudne h, acestea sunt: h h a ; b k + ); - numărul total de arbor dn eşanton; s - dspersa (varanţa); α, β - parametr eponenţal a dstrbuţe beta; a rel - meda în valor relatve rel ; b a s rel - varanţa în valor relatve β s s rel. ( b a) d 47

49 4.6 Alte funcţ dn sstemul dstrbuţlor lu Pearson Sstemul întreg al dstrbuţlor Pearson cuprnde, în afară de repartţa normală, alte 7 tpur (I VII) de curbe dferte, unele cu -3 subtpur, rezultând 3 curbe dferte (Leahu, I., 984). În notaţa acestora, ndcele desemnează o curbă cu un mam (unmodală), ndcele u arată că este vorba despre o curbă conveă, ar j ndcă o curbă descrescătoare. Pentru arboretele echene, prezntă nteres următoarele tpur ş subtpur de funcţ dn sstemul Pearson: I (k< 0) y y0 + a a m m, (4.38) II (k0; r 3 0; r 4 < 3) y y0, (4.39) a III (k± ) V (k) y y e p m p a y y0 + e, (4.40) a 0 p γ ş (4.4) V (< k< ) y y ( a) m m. (4.4) 0 Tpul de repartţe ce trebue folost se determnă cu parametrul k, calculat cu relaţa: μ 3 k 6 ( S + ) ( S + ), în care ( μ μ ) S, (4.43) 3μ μ + 6 μ A (momentul centrat de ordnul 3 ndcele asmetre) ş 3 μ 4 E + 3 (momentul centrat de ordnul 4 ndcele ecesulu + 3). După cum se observă, dstrbuţle Pearson se determnă pe baza valorlor ndclor asmetre ş ecesulu pentru dstrbuţa epermentală. Parametr a ş a defnesc ampltudnea de varaţe a varable, ar eponenţ m ş m ndcă înclnarea curbe pe laturle dstrbuţe. Dezavantajele folosr dstrbuţlor Pearson constau în faptul că sunt necesare valorle etreme ale dametrelor (supuse unor evdente fluctuaţ) ş mplcă determnăr manuale laboroase (aspect contracarat prn folosrea de programe specalzate pentru calculatoarele electronce)

50 Ma puţn foloste, dar cu aplcabltate demonstrată pentru caracterzarea structur arboretelor în funcţe de dametru, sunt dstrbuţle gama ş Webull. 4.7 Dstrbuţa Gamma Dstrbuţa gamma generalzată este o dstrbuţe trparametrcă care are, într-o prmă formă parametr k, β ş θ : k β β θ β f ( ) Γ( k) θ θ e. (4.44) Prn transformărle de parametr: μ ln( θ ) + ln, σ ş λ, (4.45) β λ β k k se obţne dstrbuţa gamma trparametrcă în forma: λ e f ( ) σ Γ λ e σ π ln ln μ λ λ + ln e σ σ λ λ ln μ σ μ dacă dacă λ 0 λ 0 (4.46) Aşa cum se poate observa, dstrbuţa gamma generalzată este de o completate rdcată, ar determnarea parametrlor este destul de dfclă. Acestea sunt motvele pentru care nu este foarte frecvent utlzată pentru ajustarea dstrbuţlor epermentale. Estă, însă, programe de calcul dedcate a căror folosre contracarează nconvenentele menţonate. Folosrea aceste dstrbuţ este recomandată ma ales pentru faptul că nclude, pentru anumte valor ale parametrlor, câteva alte dstrbuţ de bază (Webull atunc când λ, dstrbuţa eponenţală pentru λ ş σ, dstrbuţa lognormală dacă λ 0, dstrbuţa gamma bparametrcă pentru λ σ ). 49

51 Funcţa de denstate de probabltate a dstrbuţe gamma bparametrcă este defntă pentru >0 prn: f α β ( ) e, (4.47) α β Γ( α) unde α>0 este parametrul de formă ş β>0, parametrul de scară. Γ(α) este funcţa gamma a căre relaţe este: 0 α y Γ( α) y e dy. (4.48) Pentru β se obţne forma standard a dstrbuţe gamma: f ( ) Γ( α) α e cu > 0, α > 0. (4.49) O propretate a aceste funcţ este pusă în evdenţă de relaţa Γ ( α + ) α Γ( α) ; cum Γ ( ), atunc Γ ( α + ) α! pentru toate valorle α întreg poztve. Pentru dferte valor ale parametrlor α ş β se obţn dverse forme de dstrbuţ teoretce (fgura 3). Fgura 3. Forme ale dstrbuţe teoretce gamma Atunc când α este întreg ş poztv, dstrbuţa gamma este întâlntă în lteratura de specaltate ş sub denumrea de dstrbuţa Erlang. 50

52 Această dstrbuţe teoretcă se caracterzează prn meda artmetcă egală cu α β ş varanţa α β. De aceea, o prmă modaltate de estmare a parametrlor dstrbuţe gamma este: ˆ α, ˆ s β, (4.50) s astfel încât α ˆ ˆ β, ş s sunt meda artmetcă, respectv varanţa dstrbuţe epermentale ce trebue ajustată. Metoda verosmltăţ mame aplcată în cazul dstrbuţe gamma estmează parametr acestea cu relaţle: 4A ˆ α ş ˆ β, (4.5) A 3 ˆ α ln( ) în care A ln( ), fnd volumul populaţe statstce analzate. Funcţa de repartţe gamma (reprezentată în fgura 4) este: F( ) f ( ) d Γ( α α 0 β ) 0 α e β d. (4.5) Fgura 4. Funcţa de repartţe gamma bparametrcă 5

53 otându-se t se obţne forma ncompletă a funcţe gamma: β F( ) Γ( α) 0 t α e t dt. (4.53) Trebue remarcat faptul că funcţa gamma nu este defntă pentru 0, ceea ce poate f un mpedment în ajustare. Pentru α dstrbuţa gamma se transformă într-o dstrbuţe eponenţală cu λ. Aceasta β are funcţa de denstate de probabltate: ş funcţa de repartţe: f ( ) λ e F( ) e λ t λ t (4.54), (4.55) ln pentru care meda artmetcă este egală cu, medana este λ λ varanţa λ. O altă bne cunoscută dstrbuţe statstcă, ş, este de asemenea un caz specal al dstrbuţe gamma. Dstrbuţa χ cu n grade de n lbertate este, de fapt, o dstrbuţe gamma cu α ş β. 4.8 Dstrbuţa Webull Repartţa Webull bparametrcă face legătura cu legea eponenţală, fnd consderată char o generalzare a acestea. Denstatea de probabltate a leg Webull are forma: (, βλ, ) f χ 0 pentru 0 β λ β λ e β pentru > 0 (4.56) în care ce do parametr sunt strct poztv (β>0; λ>0). Se observă că pentru β repartţa Webull devne o repartţe eponenţală; pentru β< curba este descrescătoare, convetatea e accentuându-se cu cât β este ma mc. Pentru β> curba este concavă, cu cât β este ma mare, grafcul funcţe având o formă tot ma pronunţată de clopot (pentru <β<3,6 curba este în clopot cu asmetre de stânga, pentru β3,6 curba apromează legea normală a lu Gauss, ar pentru β>3,6 curba este în 5

54 clopot cu asmetre de dreapta). Parametrul β determnă, dec, forma dstrbuţe Webull. Funcţa de repartţe pentru legea Webull este: 0 pentru 0 F (, βλ, ) λ e β pentru >0 (4.57) Uneor, în practcă, este necesară eprmarea leg Webull într-o formă ma avantajoasă prn ntroducerea unu parametru de scară reală, η, prn substturea: Dec β λ λ. (4.58) η β η, ar epresa denstăţ de probabltate a leg Webull bparametrce devne: f η β β, η η β e η β. (4.59) Legea Webull trparametrcă reprezntă varanta completă a aceste leg, obţnută prn ntroducerea unu parametru de nţalzare (de pozţe), γ, care realzează o translatare pe aa. Funcţa denstăţ de probabltate devne: (, ηβγ,, ) f ar funcţa de repartţe este: β γ η η (, ηβγ,, ) F β e β γ η γ β, (4.60) η e, (4.6) ambele valable pentru >0. Se preczează faptul că η ş γ se eprmă în aceleaş untăţ de măsură ca ş. Datortă faptulu că estmarea smultană a celor tre parametr este destul de puţn fablă pentru că furnzează abater mult prea mar pentru o utlzare ulteroară a aceste curbe, este preferabl să se estmeze numa parametr de formă (β) ş de scară (η) consderând orgnea (γ) fă într-un anumt nterval. B.Lemone (et al., 99) ajunge la concluza că valorle cele ma mc ale lu χ, obţnute prn compararea dstrbuţlor epermentale cu dstrbuţa teoretcă Webull, corespund 53

55 unor valor ale lu γ cât ma apropate de mnmul valorlor observate. Aceeaş remarcă este făcută de Baley (et al., 973; ctaţ de J.Pardé ş J.Bouchon, 988). 4.9 Alte dstrbuţ descrescătoare Arboretele plurene, naturale sau grădnărte, au o structura specfcă a dstrbuţe arborlor pe categor de dametre: forma curbe de frecvenţe este descrescătoare, frecvenţele mame fnd mereu la categorle de dametre mc. Meyer propune pentru caracterzarea structur arboretelor plurene o funcţe de forma: α nˆ k e, (4.6) în care nˆ reprezntă numărul de arbor pe categor de dametre, k ş α, parametr, ar, categorle de dametre. Aceasta relaţe sntetzează observaţle anteroare ale lu Lokourt potrvt cărora repartzarea pe categor de dametre a numărulu de arbor în arboretele plurene se face după o progrese geometrcă. Prn logartmarea relaţe lu Meyer, aceasta se lnarzează, α devennd coefcent unghular (valoarea lu α este negatvă). Funcţa lu Meyer este consderată, totuş, prea rgdă ş nu are încă o justfcare ecologcă. Estă propuner pentru folosrea unor funcţ ma elastce: funcţa Webull, funcţle Pearson sau funcţle eponenţale ale lu Caussnus ş Rollet. Dn sstemul funcţlor Pearson se pot utlza dstrbuţa beta ş cea de tp Ij, aceasta dn urmă având forma: + a y y0, (4.63) m a notaţle fnd cele de la relaţle anteroare. Funcţa eponenţală a lu Rollet are forma: ( α + ) θ θ θ f ( ) e ( e ) α, (4.64) θ a α + ( e ) unde: este categora de dametre (cu ampltudnea de l cm), a - categora de dametre nferoară, α, θ - parametr epermental. m 54

56 5. TEHICA SODAJULUI 5. Metoda selectvă Caracterzarea numercă a proceselor dn slvcultură rareor poate f efectuată pornnd de la înregstrăr ntegrale. Aceasta, pentru că: în multe stuaţ s-ar dstruge întreg materalul analzat, dn motve obectve (costur, mposbltate tehncă etc.) înregstrarea totală este mposbl de aplcat. În aceste cazur se aplcă metode de selecţe prn înregstrăr parţale sau sondaje. Se mpune în prezent, în condţle une slvcultur moderne, o cunoaştere tot ma aprofundată a fenomenelor dn nterorul pădur ş a efectelor ntervenţlor slvculturale asupra stăr fondulu forester, ceea ce nu se poate realza decât prn metode bazate pe eşantonaj. Dn multtudnea problemelor de studu abordate prn metoda selectvă se pot menţona: nventarerea fondulu de producţe, controlul caltăţ anumtor produse (a materalulu de împădurre, a sortmentelor de materal lemnos), studul defectelor lemnulu, controlul efcactăţ măsurlor de combatere a dăunătorlor, cunoaşterea în tmp scurt a caracterstclor procesulu de producţe ş a factorlor ce-l nfluenţează etc. Sondajul reprezntă o cercetare parţală al căre scop este cel de a estma parametr populaţe totale pe baza rezultatelor obţnute pentru un eşanton rguros prelevat (prn aplcarea prncplor teore probabltăţlor). Cercetarea prn sondaj îş etnde contnuu ara de nvestgare datortă multplelor avantaje în comparaţe cu observarea tuturor elementelor populaţe: operatvtate ş volum mc de cheltuel materale ş de manoperă, posbltatea studer amănunţte a eşantonulu (ceea ce nu s-ar putea realza pentru întreaga populaţe), fapt ce duce la obţnerea unor nformaţ complee ş caltatv superoare, partea supusă înregstrăr fnd mult ma redusă decât întreaga populaţe statstcă, erorle de înregstrare sunt ma puţn numeroase 55

57 ş ma uşor de înlăturat în faza de verfcare a datelor; rezultă o caltate superoară a rezultatelor obţnute prn sondaj. Stuaţle în care se utlzează cu precădere tehnca sondajelor sunt: atunc când măsurarea mplcă dstrugerea elementelor observate, atunc când cercetarea statstcă totală mplcă cheltuel prea mar, atunc când populaţa vzată este practc nfntă. Teora sondajelor se bazează pe legea numerelor mar care, în esenţă, este formulată astfel: se poate afrma cu o probabltate apropată de untate (00%) că, în cazul unu număr sufcent de mare de untăţ cercetate, ndcator med ce caracterzează eşantonul dferă cu o canttate foarte mcă de ce care caracterzează populaţa dn care acesta a fost etras. Cercetarea parţală al căre scop este ca, pe baza rezultatelor prelucrăr datelor obţnute, să se estmeze, prn aplcarea prncplor teore probabltăţlor, parametr corespunzător populaţe totale, se numeşte sondaj statstc. Esenţa sondajulu constă în alegerea dntr-o populaţe ce consttue obectul studulu, a une asemenea părţ (eşanton, probă, mostră sau selecţe) care poate să repreznte întreaga populaţe. Populaţa reprezntă totaltatea untăţlor smple sau complee care formează obectul cercetăr prn sondaj. O asemenea cercetare trebue să înceapă cu delmtarea în tmp ş în spaţu a populaţe. Populaţle pot f: reale sau potetce, fnte sau nfnte. Trebue sublnat faptul că noţunea de populaţe nu se referă la ndvz fzc, la obecte sau la evenmente, c la observaţle ce pot f făcute cu prvre la acestea. O populaţe este formată dn totaltatea observaţlor efectuate. 56

58 Eşantonul reprezntă o parte sau un număr de elemente ale populaţe totale. Operaţa de constture a eşantonulu se numeşte eşantonare. Prn estmaţe se înţelege operaţa de etndere, n lmtele specfcate de ncerttudnea eprmată în termen probablstc, a rezultatelor obţnute în sondaj asupra întreg populaţ. Estmaţle reprezntă evaluăr apromatve ale adevăratelor valor ale parametrlor estmaţ. Eroarea estmaţe î afectează precza, ar estmarea parametrulu general se face prntr-un nterval de estmare numt ş nterval de încredere. Consderând că acest nterval are lmta nferoarăθ ş lmta superoară θ, pentru parametrul real θ este îndeplntă următoarea relaţe de probabltate: ( θ < θ < θ ) α P, (5.) în care -α este nvelul de încredere (α este pragul de semnfcaţe). Jumătatea ntervalulu de încredere se numeşte eroare lmtă admsă ş se notează cu: ( θ θ ) Δ. (5.) Metoda selectvă constă, dec, în determnarea parametrlor populaţe formate dn elemente cu ajutorul valorlor observate (,,n) pentru n elemente etrase dn respectva populaţe. Evdent n<, n fnd volumul selecţe. Condţle în aplcarea metode selectve sunt: eşantonul trebue etras astfel încât să fe reprezentatv pentru populaţa studată. Este echvalent acest lucru cu faptul că structura probe trebue să fe apropată de structura întreg populaţ; modaltatea practcă de etragere a untăţlor ce formează eşantonul trebue să fe astfel aleasă încât fecare untate să abă aceeaş şansă de a face parte dn probă (evtarea subectvsmulu eşantonăr); populaţa dn care se etrage eşantonul să fe cât ma omogenă; uneor este necesară împărţrea în subpopulaţ omogene (stratfcare). 57

59 Un eşanton trebue să fe reprezentatv. Stuaţa contrară este cea a unu eşanton deformat sau deplasat. Bas este termenul specfc preluat dn lteratura de specaltate strănă, semnfcaţa lu (fără a putea găs un corespondent eact în lmba română) fnd cea a une deformaţ sstematce, neîntâmplătoare, a une ser de date dntr-o cercetare (Clocotc,V., Stan, A., 000) Dferenţele structurale dntre populaţe ş eşantoane nu pot f înlăturate total, dar pot f mnmzate prn tehncle de realzare a sondajulu. Rezultatele sondajulu sunt cu atât ma reprezentatve pentru întreaga populaţe cu cât erorle ntroduse prn însuş procedeul de eşantonaj sunt ma mc. Eroarea de sondaj este abaterea care estă între valoarea calculată prn prelucrarea datelor dn eşanton ş cea care s-ar f obţnut dacă s-ar f organzat o observare totală (pentru întreaga populaţe). Erorle de sondaj pot f: eror de înregstrare ş eror de reprezentatvtate. Erorle de înregstrare sunt comune tuturor tpurlor de sondaje ş pot f evtate prn folosrea unu personal specalzat ş prntr-un control rguros al înregstrărlor. Erorle de reprezentatvtate sunt specfce fecăru sondaj în parte ş pot f sstematce sau întâmplătoare. Cauzele producer erorlor de reprezentatvtate sstematce pot f: alegerea delberată a unor date consderate în mod greşt ca fnd reprezentatve; dornţa preconcepută a cercetătorulu de a obţne un anumt rezultat; substturea une untăţ de cercetare cu alta ce oferă o ma mare comodtate în obţnerea datelor; realzarea unu sondaj ncomplet (necuprnderea în sondaj a tuturor untăţlor stablte). Trebue remarcat faptul că într-un sondaj erorle sstematce sunt ma puţn numeroase ş ma puţn grave decât în cazul observăr totale. Erorle aleatoare de selecţe (sau de reprezentatvtate) se produc char dacă se respectă rguros prncple teore selecţe deoarece eşantonul nu reproduce decât cu o oarecare apromaţe dstrbuţa varablelor populaţe. 58

60 Procedeele de înlăturare (sau de reducere, numa) a erorlor aleatoare de reprezentatvtate constau în mărrea volumulu eşantonulu ş în alegerea unu tp de sondaj adecvat scopulu cercetăr. Erorle de reprezentatvtate pot f estmate cu antcpaţe ş trebue ataşate fecăru ndcator statstc atunc când este generalzat la întreaga populaţe. Colectvtăţle de selecţe pot f formate în mod: sstematc (mecanc), randomzat (aleatoru, la întâmplare). Selecţa sstematcă se aplcă dfert în funcţe de volumul colectvtăţ statstce ş constă în alegerea în mod mecanc, la ntervale egale, a untăţlor de selecţe, după ce s-a stablt în prealabl pasul de selecţe sau de numărare. Procedeul mecanc de formare a eşantonulu presupune ca elementele colectvtăţ generale supuse cercetăr să fe prelevate după un nterval determnat care se aplcă baze de sondaj. De eemplu, dacă volumul eşantonulu ar f /0 dn cel al colectvtăţ generale, ncluderea untăţlor statstce în eşanton se face dn 0 în 0 începând cu un element ales la întâmplare dn populaţe. Selecţa randomzată constă în etragerea întâmplătoare a untăţlor dn populaţe pentru constturea eşantonulu. Se bazează pe prncpul asgurăr şanselor egale de a f nclusă în selecţe pentru fecare untate statstcă. În acest scop se pot utlza tabele cu numere întâmplătoare sau o urnă dn care se etrag numerele de ordne ale untăţlor selectate. Utlzarea tabelelor cu numere aleatoare constă în preluarea dn cadrul populaţe a acelor untăţ statstce ale căror numere de ordne prestablte au fost ctte după o anumtă ordne dn tabel. Estă ş algortm ce generează numere aleatoare. Selecţa randomzată poate f repetată sau nerepetată. În cazul selecţe repetate, fecare untate etrasă ş cercetată (observată sau măsurată) se ntroduce dn nou în populaţe, având posbltatea de a ma f etrasă ulteror; volumul populaţe rămâne constant pe parcursul selecţe. La selecţa nerepetată, untatea odată etrasă nu se ma renclude în populaţe; volumul colectvtăţ generale scade la fecare etragere cu câte o untate. În această stuaţe, fecare untate poate f nclusă doar o sngură dată în eşanton. 59

61 Selecţa randomzată prezntă următoarele avantaje: valorle med ale caracterstclor studate se dstrbue după legea normală, permte un calcul rguros ş o estmare corectă a eror de reprezentatvtate. Dezavantajele ar f: posbltatea une repartzăr neunforme a untăţlor selectate în cadrul colectvtăţ generale, rămânând anumte zone nereprezentate în eşanton, metoda este ma complcată în cazul în care populaţa cercetată este mare ş procentul de selecţe rdcat. Una dntre problemele puse teore selecţe a fost stablrea modulu în care se calculează eroarea întâmplătoare de reprezentatvtate ce va nterven în cercetarea selectvă, înante ca această cercetare să se f efectuat. Dacă s-ar înregstra toate untăţle componente ale une populaţ, s-ar putea determna valoarea reală a mede (μ) care nu ar f afectată de eror de reprezentatvtate (sau eroarea de reprezentatvtate ar f nulă). În cazul unu eşanton, meda calculată (meda de selecţe) se abate cu atât ma mult de la meda populaţe (μ) cu cât volumul n al probe este ma mc. Cel ma potrvt ndcator sntetc pentru calcularea antcpată a eror întâmplătoare de reprezentatvtate, confrmat de eperenţa practcă, este meda pătratcă a tuturor erorlor de reprezentatvtate posble, pentru eşantoane de volum egal n etrase dn populaţa cu untăţ. Aşa cum s-a arătat la ndc de varaţe a dstrbuţlor emprce, mărmea abaterlor med pătratce ale tuturor medlor de sondaj de la meda populaţe totale depnde de abaterea mede pătratcă (abaterea standard) a populaţe respectve (σ) ş de volumul eşantoanelor (n), conform relaţe: σ σ. (5.3) n Când colectvtatea generală ce urmează să fe caracterzată pe baza cercetăr selectve nu a fost supusă une înregstrăr totale anteroare, dspersa caracterstc studate se stableşte epermental pe baza une mostre de cel puţn 0 de untăţ (σ s σ s). Relaţa de ma sus devne: 60

62 s s. (5.4) n s este consderată, dec, untatea de măsură a eror med de reprezentatvtate. Determnată în acest mod, aceasta este valablă pentru selecţa repetată (atunc când o untate etrasă este rentrodusă în populaţe ş are şansa de a f etrasă dn nou). Stuaţa aceasta se întâlneşte rar în practcă, cazul uzual fnd cel al selecţe nerepetate, atunc când volumul al populaţe scade cu o untate pentru fecare nou element nclus în eşanton. În acest caz, eroarea mede de reprezentatvtate se calculează cu relaţa: s n s, (5.5) n în care: este numărul de untăţ dn populaţe, n- numărul de untăţ dn probă, s - abaterea standard a mede artmetce (eroarea de reprezentatvtate), s - abaterea standard a caracterstc studate. Se observă că, pentru populaţ ce se pot aproma ca fnd nfnte ( foarte mare), eroarea de reprezentatvtate depnde numa de mărmea probe ş într-o măsură foarte mcă de mărmea populaţe: n n n (5.6) n Practc, pentru >00 ş 0, 05, eroarea de reprezentatvtate s este s ş în cazul selecţe nerepetate. n Pentru caracterzarea gradulu de apropere a mede sondajulu faţă de meda populaţe se mpune ş calcularea lmtelor de încredere pentru meda populaţe, cu relaţle: ± t s pentru volume mc ş (5.7) ± u s pentru volume mar. (5.8) Pentru analze comparatve este utlă calcularea eprese procentuale a eror de reprezentatvtate: 6

63 s s % 00 (%). (5.9) În cazul cercetăr selectve este posblă obţnerea numa a unu rezultat dntr-o sere întreagă de rezultate dferte. Toate rezultatele posble se împart în două grupe (fgura 5): rezultate care pot f acceptate pentru că medle de selecţe ce s-ar obţne dferă în plus sau în mnus faţă de meda generală μ cu o mărme ce nu prejudcază scopul în care se utlzează aceste rezultate; rezultate care nu pot f acceptate pentru că medle de selecţe dferă în plus sau în mnus faţă de meda generală cu o mărme ce prejudcază scopul practc în care se utlzează datele cercetăr selectve. Fgura 5. Intervalul de varaţe a mede artmetce a caracterstc studate Pentru a asgura reprezentatvtatea eşantonulu este necesar să se lmteze ntervalul în nterorul cărua poate vara meda caracterstc studate, stablndu-se mărmea eror lmtă admse (Δ ). Eroarea lmtă a mede de selecţe este o mărme constantă fată teoretc de cercetător înante de efectuarea cercetăr selectve, în urma une analze în care se ţne seama de dspersa caracterstc studate, de scopul în care vor f utlzate rezultatele cercetăr, de un anumt volum preconzat pentru eşanton ş de probabltatea cu care se trebue garantate rezultatele. Cum μ, meda generală, trebue să fe în nterorul ntervalulu de încredere, se poate scre pentru cazurle de lmtă: μ ± Δ, (5.0) adcă μ poate f egală cel mult cu lmtele ntervalulu de încredere. Se deduce astfel că eroarea mede admsă Δ este: Δ t s (sau Δ u s ). (5.) Dec, pentru sondajul smplu repetat: 6

64 s Δ t, (5.) n ar pentru sondajul smplu nerepetat: s n s n Δ t t, (5.3) n n t sau u eprmând probabltatea cu care se garantează rezultatele. În mod logc, determnarea mărm eşantonulu ar f trebut să preceadă epunerea modulu de determnare a eror de reprezentatvtate, dar tocma în formula eror sunt sntetzate elementele necesare pentru stablrea volumulu eşantonulu. În teora ş practca sondajelor se operează cu eşantoane mar ş eşantoane de volum redus, în funcţe de gradul de omogentate a populaţe. Interpretarea eror de reprezentatvtate se face în mod dfert: pentru eşantoane cu volum mare se foloseşte dstrbuţa normală (u), pentru eşantoane cu volum redus se foloseşte dstrbuţa Student (t). Dn reprezentarea grafcă următoare (fgura 6) se observă modul de varaţe a eror de reprezentatvtate în funcţe de numărul de untăţ dn eşanton. Volumul probe nu poate f prea mc (sub o valoare n ) pentru că în acest caz eroarea de reprezentatvtate ar creşte la valor nadmsble. Un volum al probe peste n nu se justfcă pentru că eroarea de reprezentatvtate ar scădea nseszabl. Estă, dec, o zonă de optm în care, în funcţe de eroarea lmtă admsă, se stableşte volumul eşantonulu. Fgura 6. Modul de varaţe a eror de reprezentatvtate în funcţe de volumul probe 63

65 Organzarea une cercetăr prn sondaj presupune dmensonarea raţonală a eşantonulu. Un volum mare al probe, conform leg numerelor mar, sporeşte precza rezultatelor. Ţnând cont de crterle de economctate, însă, volumul eşantonulu trebue să fe cât ma mc. În practcă se determnă numărul mnm de untăţ ce trebue observate astfel încât să fe satsfăcute egenţele de precze ş sguranţă formulate în raport cu costurle cercetăr. Pentru eşantoanele cu volum mc (sub 30 de untăţ): Δ Δ n n s t n n s t n n s t s t s t n s t s t n + Δ + Δ. (5.4) Pentru eşantoanele cu volum mare (peste 30 untăţ) în locul lu t se foloseşte u: s u s u n + Δ. (5.5) Atunc când 05 0, n, se porneşte de la relaţa: s t n n s t n s t Δ Δ Δ, (5.6) respectv: s u n Δ. (5.7) Relaţle pot f aplcate ş cu înlocurle: 00 % s s ş % 00 Δ Δ. Problema determnăr numărulu de untăţ pentru un eşanton de volum mare este smplă pentru că se utlzează valorle cunoscute ale lu u (u 0,05,96; u 0,0,58; u 0,00 3,9). Dacă volumul probe este mc, se procedează astfel: se utlzează formulele cu u pentru populaţ fnte sau nfnte (cu luarea în consderare a lu sau nu) ş se determnă volumul provzoru al probe, n : ' s u n Δ sau ' s u s u n + Δ, (5.8) 64

66 dacă n este sub 30, se recalculează volumul folosnd relaţa cu t a căru valoare se a dn tabele pentru n - grade de lbertate, rezultând n, dacă n dferă de n, se recalculează volumul probe pentru t aflat în funcţe de n - grade de lbertate, se contnuă până când ultmele două valor succesve ale volumulu probe, rotunjte la întreg, sunt egale. În cazul caracterstclor alternatve fecare untate elementară nclusă în probă poate prezenta sau nu caracterstca studată (de eemplu: arbore cu fenomen de uscare arbore sănătos). Dacă a este numărul untăţlor ce prezntă caracterstca urmărtă, dn cele n untăţ ncluse în eşanton, eroarea de reprezentatvtate, în cazul sondajulu smplu nerepetat, este: p ( p) n s p, (5.9) n a unde p, ar este volumul populaţe studate. n În cazul sondajulu smplu repetat sau pentru populaţ consderate n nfnte ş 0, 05 : p ( p) s p. (5.0) n umărul de untăţ dn sondaj se stableşte, în funcţe de volumul populaţe, cu una dntre relaţle: u p ( p) u p ( p) n, respectv n, (5.) Δ + u p p Δ p ( ) în care se poate utlza ş p % cu condţa ca Δ p, eroarea lmtă admsă, să fe eprmată de asemenea procentual (Δ p% ). Concluzonând asupra modulu de lucru în aplcarea metode selectve, etapele de lucru sunt următoarele: se stableşte eroarea lmtă admsă (în valor absolute sau în %); de obce Δ % se alege între % ş 0% în funcţe de natura fenomenulu cercetat, de egenţă ş de posbltăţle materale; se optează pentru un prag de semnfcaţe (probabltate de transgresune), de obce 5%, ar pentru cercetăr pretenţoase, % sau 0,%, se stableşte abaterea standard sau coefcentul de varaţe pentru caracterstca analzată; se folosesc, eventual, valorle acestora determnate prn cercetăr anteroare în condţ smlare, se determnă volumul probe cu una dntre relaţle prezentate anteror. 65 p

67 5. Metoda secvenţală Pe lângă înregstrarea ntegrală ş metoda selectvă, atunc când apare problema practcă de a verfca unele caracterstc caltatve ale populaţe studate, de a testa epedtv elementele dn cadrul acestea, poate f aplcată metoda secvenţală. Metoda secvenţală se deosebeşte de metoda selectvă prn faptul că volumul eşantonulu nu este cunoscut cu antcpaţe. Se aplcă ma ales pentru controlul caltăţ produselor, controlul gradulu de poluare etc. ş or de câte or fenomenul studat prezntă două stăr de manfestare posble (uscat sănătos, corespunzător caltatv rebut etc.). În cazul aceste metode, propusă de Wald (947), verfcarea poteze nule se efectuează după etragerea ş observarea fecăre untăţ dn populaţe. S-a observat că, în comparaţe cu metodele clasce, numărul de observaţ poate să se reducă la jumătate char. Pe baza unu eşanton redus (char de o untate sau două) se pot lua decz rapde de acceptare sau de respngere a poteze nule. Controlul caltăţ produselor fnd domenul în care se aplcă frecvent sondajul secvenţal, se va prezenta modul de folosre a metode în acest scop. Se presupune că este studată o caracterstcă oarecare care a valoarea 0 dacă produsul controlat corespunde dn punct de vedere caltatv sau valoarea dacă acesta este necorespunzător (rebut). Dacă s-ar nventara întreaga populaţe (formată dn untăţ) s-ar constata că aceasta conţne D untăţ defecte, proporţa acestora fnd D p. Dat fnd că nu se face o analză ntegrală, p rămâne necunoscută, dar se pot formula următoarele poteze, prn verfcarea cărora, după fecare untate testată, se pot lua anumte decz: acceptarea lotulu, dacă se verfcă poteza H 0 : p p respngerea lotulu, dacă se verfcă poteza alternatvă H : p p contnuarea verfcăr prn etragerea une alte untăţ dn populaţe (lot), dacă datele obţnute la un moment dat nu oferă teme sufcent de respngere sau acceptare. 66

68 Pentru că este vorba despre un control, pe baza une probe, acesta nu oferă certtudn, c presupuner asupra acceptăr sau respnger întregulu lot. Acest lucru prezntă anumte rscur de a lua o decze eronată, care sunt de două tpur: α, rscul de genul I sau rscul furnzorulu, este rscul de a respnge un lot bun (de a respnge poteza H 0 cu toate că aceasta, prntr-o analză ntegrală, s-ar doved adevărată). Or de câte or va esta într-un lot o proporţe a defectelor p sau ma mcă, furnzorul va dor să suporte un rsc foarte mc de respngere (cel mult α). β, rscul de genul II sau rscul benefcarulu, este rscul de a accepta un lot necorespunzător (de a respnge poteza H cu toate că în realtate ea este adevărată sau de a accepta poteza H 0 atunc când ea este eronată). Or de câte or va esta într-un lot o proporţe a defectelor p sau ma mare, benefcarul va dor să suporte un rsc foarte mc de acceptare a lotulu (cel mult β). Între p, p, α ş β estă relaţle: 0 p p (5.) 0 β α (5.3) p p (5.4) Alte notaţ efectuate: m - numărul de untăţ testate (controlate), T - dreapta de acceptare (numărul mam de rebutur dn untăţle testate m, pentru care se acceptă întreg lotul), T - dreapta de respngere (numărul mnm de rebutur dn cele m untăţ testate, pentru care se respnge întreg lotul), Σ - numărul total de rebutur (suma rebuturlor) găste prntre cele m untăţ controlate. 67

69 Pentru populaţ nfnte sau cu volum mare ( > 3000) se procedează astfel: se calculează valorle T ş T (ecuaţle dreptelor T ş T ) cu relaţle: T k m + h (5.5) T k m +, (5.6) în care: ar: lg h p lg p β α ( p ) ( p ) k h, h β lg α p lg p p lg p ( p ) ( p ) ( p ) ( p ), (5.7). (5.8) p lg p se rezolvă tabelar sau grafc prn contnuarea sondajulu atât tmp cât Σ este cuprnsă între T ş T ; dacă Σ > T lotul se respnge, ar dacă Σ < T, lotul se acceptă. Tpul de grafc utlzat este redat în fgura 7. Fgura 7. Grafc pentru analza secvenţală în cazul une populaţ nfnte Pentru populaţle fnte ( < 3000 untăţ), modelul matematc este altul: dreptele de acceptare ş de respngere nu ma sunt paralele, c se ntersectează într-un punct P (, y): 68

70 p p y + 0,5 (5.9) p ln p punctele de ntersecţe între dreptele de control ş abscsă sunt (m, 0) ş (m, 0) cu: ( ) β p p ( ) m ş β p p m, (5.30) α α acestea, împreună cu punctul P (, y) determnând dreptele T ş T. estă o a trea dreaptă de control: T 3 p (5.3) rezolvarea cea ma comodă este cea grafcă, contnuându-se sondajul până când Σ ese dn zona de contnuare fe în cea de respngere, fe în cea de acceptare, aceste zone fnd delmtate ca în fgura 8. Fgura 8. Grafc pentru analza secvenţală în cazul une populaţ cu volum mc 69

71 6. VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE Studul fenomenelor dn slvcultură se face pe colectvtăţ de volum mare. În consecnţă, se renunţă la observarea întreg populaţ ş se fac măsurător numa pe probe sau eşantoane de volum ma mc. Potrvt leg numerelor mar, nfluenţa cauzelor întâmplătoare asupra dferenţelor dntre ndc statstc a probelor se poate dmnua pe măsură ce se măreşte numărul observaţlor. Se pot pune în evdenţă, astfel, numa dferenţele cauzate de factor obectv. Posbltăţle de majorare a numărulu observaţlor fnd lmtate în practcă, apare necestatea formulăr unor concluz generale pe baza eşantoanelor de volum mc. Indcator statstc calculaţ trebue analzaţ, aşadar, sub aspectul semnfcaţe lor înante de a- consdera ca bază teoretcă pentru caracterzarea fenomenulu studat. 6. Teste statstce A testa semnfcaţa unu ndcator statstc înseamnă a determna dacă abaterea acestua este de natură aleatoare sau obectvă (semnfcatvă). S-au elaborat dverse crter ş metode specfce ştnţelor epermentale pentru testarea semnfcaţe. Se formulează nţal o poteză statstcă reprezentând o presupunere prvtoare la parametr une dstrbuţ sau la legea de repartţe pe care o urmează anumte varable. Această poteză este formulată pe baza datelor epermentale de care se dspune la un moment dat ş, după ce este analzată, este acceptată sau respnsă. Frecvent, poteza statstcă utlzată este poteza nulă (H 0 ) care constă în presupunerea că abaterea ndcatorlor determnaţ pe baza probelor faţă de parametr întreg populaţ este 0. Cealaltă posbltate se numeşte poteza alternatvă (H ). Cu ajutorul unu test statstc sau test de semnfcaţe se decde acceptarea sau respngerea poteze nule. Acceptarea poteze nule înseamnă preferarea acestea faţă de poteza alternatvă. Se desprnde concluza că între valorle comparate (două valor epermentale sau o valoare epermentală ş una teoretcă) nu estă dferenţe prea mar sau că aceste dferenţe sunt întâmplătoare. Respngând H 0, se acceptă semnfcaţa abaterlor estente (se acceptă H, poteza alternatvă). 70

72 u se poate pretnde că decza de acceptare sau respngere a poteze nule este corectă în toate cazurle pentru că se bazează numa pe o selecţe de volum n dn populaţa întreagă (de volum ). Este posblă, dec, o eroare. Deczle se au cu o probabltate de eroare q (probabltate de transgresune sau prag de semnfcaţe), care în general se alege 5%, % sau 0,%. Eroarea care apare în cazul respnger H 0 cu toate că ea este, în realtate, adevărată, se numeşte eroare de genul I. Decza greştă de a accepta poteza H 0, falsă în realtate, se numeşte eroare de genul II. Prn metodele de eamnare a semnfcaţe, poteza nulă poate f respnsă, dar nu poate f ncodată dovedtă. Se poate susţne, cel mult, că poteza respectvă nu se află în dscordanţă cu datele epermentale. Asgurarea statstcă înseamnă o probabltate mcă a poteze contrare. La eamnarea semnfcaţe se folosesc anumte teste: teste de conformtate, utlzate pentru compararea une populaţ teoretce cu o probă dn punct de vedere al medlor, abater standard, varanţe, coefcentulu de corelaţe etc.; teste de egaltate sau omogentate, care permt compararea unu număr de populaţ prn ntermedul unu număr egal de probe etrase dn acestea (omogentatea medlor, a varanţelor, a coefcenţlor de corelaţe etc.); teste de ajustare, foloste pentru compararea a două dstrbuţ (epermentală cu teoretcă sau dstrbuţ epermentale între ele); teste de ndependenţă, care permt să se verfce dacă două sau ma multe crter de clasfcare sunt sau nu ndependente. Luarea une decz cu prvre la o anumtă poteză statstcă se numeşte testare. Testarea constă în alegerea unu test statstc corespunzător ş stablrea unu prag de semnfcaţe; rezultă o anumtă valoare teoretcă pentru testul respectv. dacă valoarea estmată a testulu este ma mcă decât valoarea teoretcă, se admte poteza nulă; dacă valoarea estmată este ma mare decât valoarea teoretcă, poteza nulă se respnge. 7

73 6. Repartţ utlzate pentru testăr În cazul testăr poteze nule se folosesc varable aleatoare de testare care urmează leg teoretce de repartţe. 6.. Repartţa normală Dacă varablele de testare au o repartţe normală, q corespunde probabltăţ de transgresune. La o anumtă probabltate de eroare, q, corespunde u μ ; în general, μ ş σ sunt presupuse cunoscute σ numa pentru selecţ mar ş sunt estmaţ prn ş s. Probabltatea de transgresune de 5% corespunde une valor a lu u,96. În acest caz se respnge poteza nulă dacă valoarea u ep calculată dn selecţe îndeplneşte condţa u ep >u teoretc,96 ş se acceptă dacă u ep u teoretc, Repartţa t (Student) Procedeul descrs pentru repartţa normală nu ma este valabl în cazul în care μ ş σ sunt necunoscuţ ş trebue estmaţ prn ş s pe baza une selecţ de volum mc (<00). În această stuaţe se foloseşte repartţa t a lu Student care a în consderare, pe lângă probabltatea de transgresune, ş volumul probe. Pentru valor dn ce în ce ma mar ale lu această repartţe devne dn ce în ce ma apropată de repartţa normală ş concde cu aceasta atunc când. Repartţa t este tabelată pentru anumte pragur de semnfcaţe q ş dferte grade de lbertate f. umărul gradelor de lbertate este egal cu dferenţa dntre volumul selecţe ş numărul caracterstclor luate în consderare (f-m) Repartţa F (Fsher) Fe două eşantoane de volum n ş, respectv, n etrase dntr-o populaţe normală ş s ş s cele două varanţe corespunzătoare acestora. s Se formează raportul F ep. Repartţa frecvenţelor acestor s valor a fost studată de Fsher ş se numeşte repartţa F. Aceasta depnde de pragul de semnfcaţe q (probabltatea de transgresune) ş de gradele de lbertate f n - ş f n -, a fost tabelată ş serveşte la compararea a două dspers. Fnd raportul a două pătrate, F a numa valor poztve. 7

74 6..4 Repartţa χ În strânsă legătură cu teora erorlor a lu Gauss, a fost studată suma pătratelor unor varable repartzate normal. Fe X, X,..., X n, n varable aleatoare ndependente care au aceeaş repartţe normală de parametr μ ş σ. Repartţa sume de pătrate: n ( χ k μ ), (6.) σ k în care,,..., n sunt valor ale varablelor aleatoare X, X,..., X n, a fost numtă de K.Pearson repartţa χ. Aceasta depnde de pragul de semnfcaţe q ş de gradele de lbertate f ş este tabelată pentru aceste valor. Este folostă frecvent la compararea une dstrbuţ epermentale cu una teoretcă sau a două dstrbuţ epermentale între ele. 6.3 Verfcarea concordanţe dntre dstrbuţa epermentală ş cea teoretcă Verfcarea corespondenţe dntre repartţle teoretce ş cele emprce (testul de ajustare) se face, de obce, cu ajutorul crterulu χ. Se formulează de la început poteza că dstrbuţa epermentală urmează legea dstrbuţe teoretce (normală, Charler, bnomală, Posson etc), dec că dferenţele dntre dstrbuţ sunt nule (poteza nulă- H 0 ). Verfcarea poteze nule prn testul χ necestă respectarea unor condţ: numărul observaţlor să fe sufcent de mare (să ntre sub ncdenţa leg numerelor mar), frecvenţele dstrbuţe epermentale să fe eprmate în valor absolute, numărul grupelor (claselor) formate să fe cel puţn egal cu 5, volumul grupelor să fe sufcent de mare (frecvenţa absolută să fe cel puţn egală cu 5); dacă estă grupe cu frecvenţe ma mc, acestea se vor contop. Relaţa de calcul este: n k n χ. (6.) n 73

75 Calculul se desfăşoară tabelar (tabelul 6), după modelul testăr normaltăţ dstrbuţe emprce a dametrelor de bază eemplfcate anteror. Tabelul 6. Eemplu de aplcare a testulu χ n n n 0, , , , , , 56 0, , TOTAL ,83 n n se însumează ultma coloană ş se obţne χ ep. dn tabele se etrage χ teoretc în funcţe de probabltatea de transgresune (pragul de semnfcaţe) q 0,05 ş numărul gradelor de lbertate f. f k n, (6.3) în care : k - numărul claselor rămase după eventuala grupare a claselor etreme; n - numărul momentelor luate în calcul la determnarea dstrbuţe teoretce: n la dstrbuţa Posson ş bnomală, n la dstrbuţa normală, n 4 la dstrbuţa Charler tp A, n 0 atunc când se compară două dstrbuţ emprce. 74

76 Dacă χ ep χ teoretc se acceptă poteza nulă care consderă că între dstrbuţle comparate nu sunt dferenţe semnfcatve. Dacă χ ep>χ teoretc nu estă concordanţă între cele două dstrbuţ ş se respnge poteza nulă. Pentru eemplul consderat, χ 6,83,, 070 ep χ teoretc (pentru probabltatea de transgresune 5% ş 5 grade de lbertate). χ < χ, ceea ce înseamnă că dstrbuţa epermentală este bne ep teoretc ajustată de dstrbuţa teoretcă normală (se acceptă poteza nulă). 6.4 Eamnarea semnfcaţe dferenţe dntre dspers Prn compararea dsperslor se pot scoate în evdenţă partculartăţle colectvtăţlor cercetate (omogentatea lor). Se aplcă, dec, un test de egaltate sau de omogentate Compararea une dspers epermentale (s ) cu o dsperse teoretcă cunoscută (σ ) Etapele testăr în acest caz sunt: se determnă varanţa epermentală s în cadrul une probe etrase dn colectvtatea studată; se face raportul s /σ ; se determnă f- (numărul gradelor de lbertate); dn tabele se etrage χ teoretc în funcţe de pragul de semnfcaţe q ş de f; se calculează raportul χ /f. Dacă s /σ χ /f dferenţa dntre dspers este nesemnfcatvă. Dacă s /σ >χ /f dferenţa dntre dspers este semnfcatvă Verfcarea semnfcaţe dferenţe dntre două dspers epermentale În acest caz se foloseşte testul Fsher (F). Aplcarea se face în ma multe etape: se determnă varanţele s ş s corespunzătoare celor două colectvtăţ de volum egal sau dfert ( ş ); 75

77 se determnă valoarea teoretcă a lu F în funcţe de probabltatea de transgresune q ş f - ş f - (dn tabele); s se compară F teoretc cu F epermental s, cu condţa Fepermental (întotdeauna varanţa ma mare se află la numărător). Dacă F epermental F teoretc dferenţa dntre cele două dspers este nesemnfcatvă (reprezntă, ambele, estmaţ ale aceleaş dspers teoretce σ ). Dacă F epermental >F teoretc dferenţă semnfcatvă între dspers Verfcarea omogentăţ ma multor dspers În această stuaţe se poate aplca testul Hartley (H): se calculează dspersle s, s,..., s n ale celor n colectvtăţ egale ca volum () ş se dentfcă dspersa mamă ş cea mnmă; sma se determnă H ep ; smn se calculează numărul gradelor de lbertate f-; în funcţe de probabltatea de transgresune (q), numărul gradelor de lbertate (f) ş numărul de probe comparate (n) se etrage dn tabele valoarea H teoretc. Dacă H ep H teoretc probele sunt omogene, dec dspersle analzate se consderă estmaţ ale aceleaş dspers teoretce generale (σ ). Dacă H ep >H teoretc eşantoanele nu sunt omogene dn punct de vedere al varanţelor, (nu provn dn aceeaş populaţe sau populaţa nu este omogenă ş necestă stratfcarea). 76

78 6.5 Teste de conformtate. Compararea medlor 6.5. Intervalul de încredere al mede artmetce Datortă varabltăţ ndvduale ş a volumulu varabl al probelor etrase dn populaţle studate, în practcă valoarea determnată a mede artmetce trebue însoţtă de ntervalul de încredere corespunzător probabltăţ de transgresune acceptate (5%, % sau 0,%). Modul de determnare a ntervalulu de încredere dferă după cum abaterea standard teoretcă a populaţe dn care s-a etras eşantonul este sau nu cunoscută. În cazul când se cunoaşte σ (sau când estă un număr mare de observaţ: >00), abaterea standard a mede artmetce se calculează în acest caz cu relaţa cunoscută: σ s. (6.4) Intervalul de încredere va f: ( u ) ±. (6.5) s Pentru u egal cu,96,,58 sau 3,9 estă o sguranţă statstcă (probabltate de acoperre) de 95%, 99% sau, respectv, 99,9% ca adevărata mede a populaţe studate (μ) să se găsească în ntervalul de încredere calculat cu relaţa anteroară. În practcă estă puţne stuaţ în care se cunoaşte cu antcpaţe valoarea teoretcă a abater standard. Pentru unele caracterstc bometrce au fost stablte, totuş, valor orentatve ale coefcentulu de varaţe (σ % ). Se poate aproma astfel abaterea standard: σ σ %, (6.6) 00 în care este meda artmetcă epermentală. Pot f utlzate valor ale abater standard obţnute prn cercetăr anteroare, efectuate în condţ smlare. În cazul când abaterea standard teoretcă nu se cunoaşte, în locul varable normale normate u se utlzează valoarea lu t (testul Student). Lmtele ntervalulu de încredere vor f defnte de epresa: s ± t s ± t. (6.7) t se etrage dn tabele în funcţe de probabltatea de transgresune q ş de numărul gradelor de lbertate f-. 77

79 Dec, spre deosebre de cazul anteror, coefcentul de multplcare a eror mede artmetce se determnă nu numa în funcţe de probabltatea de transgresune c ş de numărul de observaţ dn cadrul probe. Metoda se foloseşte ş atunc când 00 (pentru probe de volum mc). Pentru un număr mare de observaţ, ntervalul determnat prn această metodă se suprapune peste ntervalul determnat prn folosrea lu u. Pentru a avea o anumtă acoperre statstcă, ntervalul de încredere al mede artmetce se măreşte în cazul unu număr mc de untăţ în probă. De asemenea, ntervalul de încredere se etnde pe măsură ce scade probabltatea de transgresune Compararea a două med artmetce Se întâlnesc stuaţ, în lucrărle curente, când este necesară compararea a două sau ma multe med rezultate prn luarea în consderare a unor colectvtăţ dferte (eşantoane dferte etrase dn aceeaş populaţe de volum mare sau dn populaţ dferte). O condţe ce trebue îndeplntă este aceea a normaltăţ populaţlor consderate. Problema se rezolvă dfert, după cum dspersle apromează aceeaş varanţă σ a populaţe întreg. Este necesară o prmă etapă, testul Fsher (F), pentru stablrea semnfcaţe dferenţe dntre varanţele celor două probe: s F. (6.8) s ep F ep se compară cu F teoretc luat dn tabele în funcţe de probabltatea de transgresune q (cu valorle obşnute 5% ş %) ş de numărul gradelor de lbertate pentru probele comparate (f -; f -). Dacă F ep F teoretc 5% dferenţa între cele două dspers este nesemnfcatvă; Dacă F teoretc 5% <F ep F teoretc % estă o dferenţă semnfcatvă între dspersle celor două eşantoane; Dacă F ep >F teoretc % estă o dferenţă dstnct semnfcatvă între cele două probe dn punct de vedere al varaţe caracterstc analzate. 78

80 Etapa a doua constă în aplcarea testulu t (Student) pentru compararea medlor artmetce ale celor două probe ( ş ). Dacă la prma etapă a rezultat o dferenţă nesemnfcatvă între varanţele s ş s, se poate calcula o varanţă mede s ca mede ponderată în raport cu numărul gradelor de lbertate pentru cele două probe: s f + s f s. (6.9) f + f Abaterea standard mede va f: s s, (6.0) ar valoarea epermentală a testulu t se obţne cu relaţa: t ep. (6.) s + Dacă la prma etapă a rezultat o dferenţă cel puţn semnfcatvă între varanţele s ş s nu este perms calculul une varanţe med, c se determnă drect t ep cu relaţa: ş se calculează corecţa c: t ep. (6.) s s c +, (6.3) s s s + în care s este varanţa care s-a aflat la numărătorul lu F ep în prma etapă. În ambele stuaţ, t teoretc se etrage dn tabele în funcţe de probabltatea de transgresune (q5%) ş numărul gradelor de lbertate pentru ansamblul format dn cele două probe. În prmul caz: f f + f +, (6.4) 79

81 ar în cel de-al dolea: f. (6.5) c ( c) + f f t ep t teoretc dferenţă nesemnfcatvă între medle artmetce ale celor două probe; t ep > t teoretc dferenţă semnfcatvă între med. 6.6 Compararea efectulu a două tratamente prn metoda cuplurlor În practcă se întâlnesc două stuaţ dferte: când untăţle cercetate sunt omogene dn punct de vedere al procedeulu utlzat (tratamentulu), se împart în două grupe egale ş fecare se consderă ca selecţe etrasă dn aceeaş populaţe. Modul de calcul este dentc cu cel aplcat la compararea medlor. atunc când untăţle cercetate nu sunt omogene, se etrag perech de valor (cuplur) ş se studază efectul celor două procedee (tratamente) în paralel, într-o formă tabelară ca în fgura 9. umărul perech (cuplulu) Procedeul (tratamentul) A B Dferenţe d - d Fgura 9. Model de tabel pentru aplcarea metode cuplurlor Etapele de lucru sunt: se grupează untăţle statstce în n cuplur de valor; se calculează, pentru fecare pereche, d ş d ; se determnă d ş d ; se calculează meda dferenţelor: d d ; (6.6) n se determnă dspersa ş abaterea standard pentru aceste dferenţe: s ( ) d d n d ; n s d s d ; (6.7) 80

82 se calculează : d tep n ; (6.8) sd se compară cu t teoretc etras dn tabele în funcţe de probabltatea de transgresune (q5%) ş numărul gradelor de lbertate fn-. Dacă t ep t teoretc dferenţa între cele două procedee este nesemnfcatvă; Dacă t ep > t teoretc cele două procedee (tratamente) dferă semnfcatv. Procedeul prezentat are avantajul că studnd perechle de untăţ se elmnă varabltatea dn cadrul populaţe (sursă de eror întâmplătoare) ş rămân numa abaterle datorate procedeelor dferte aplcate. 6.7 Eamnarea semnfcaţe dferenţe dntre două proporţ În stuaţa în care se pune problema comparăr a două proporţ de manfestare a unu fenomen analzat în cadrul unor eşantoane de volum ş, pentru testarea semnfcaţe dferenţe dntre acestea se procedează în modaltatea prezentată în contnuare. Presupunem că în proba de volum se observă fenomenul studat în a cazur, ar în proba de volum, de a or. Proporţle rezultate sunt: a a p ş p. (6.9) Pentru întreaga populaţe: a + a p +. (6.0) Se aplcă testul u: p p u ep. (6.) ( ) p p + În cazul unor eşantoane de volum mc (< 30) se aduc corecţ proporţlor calculate: p' p ; p ' p +. (6.) 8

83 u ep se compară cu u teoretc la o anumtă probabltate de transgresune. Dacă u ep u teoretc dferenţă nesemnfcatvă între proporţ; Dacă u ep > u teoretc dferenţă semnfcatvă între proporţ. 8

84 7. COMPARAREA MAI MULTOR PROBE PRI AALIZA VARIAŢEI Asupra une colectvtăţ pot acţona smultan ma mulţ factor ce generează o anumtă fluctuaţe a valorlor caracterstc cercetate, fluctuaţe redată prntr-o dsperse ma mare sau ma mcă. Pentru evdenţerea nfluenţe fecăru factor asupra varaţe ndcatorlor statstc se utlzează analza varanţe sau analza dspersonală. Analza varanţe ca metodă statstcă are drept scop scndarea dsperse totale în categor de varaţe, în vederea stablr celor ma mportanţ factor ce nfluenţează fenomenul studat. Varanţa totală este formată dn suma varanţelor datorate factorlor luaţ în studu, pe de o parte, ş dntr-o varanţă rezduală a căre cauzaltate nu este cunoscută în momentul analze, pe de altă parte. Varanţa rezduală se datorează acţun unor factor neluaţ în consderare, unor eror de măsurare etc. Aceasta se foloseşte ca untate de măsură pentru eamnarea semnfcaţe celorlalte componente ale varanţe totale. Condţ de aplcare a analze varanţe sunt: probele consderate trebue să fe omogene; constturea probelor trebue să fe făcută randomzat (etragerea la întâmplare a untăţlor dn populaţe); probele trebue să fe etrase dn populaţ normale sau aproape normal dstrbute; numărul observaţlor trebue să fe sufcent de mare, astfel încât să ntre sub ncdenţa leg numerelor mar. 7. Ecuaţa analze varanţe Presupunem că se compară I probe (eşantoane) egale, fecare având J untăţ (ndvz). Se admte că probele provn dn populaţ normal dstrbute ş cu aceeaş abatere standard (σ) a caracterstc studate; s-a verfcat, dec, faptul că varanţele calculate pentru cele I probe sunt omogene (apromează aceeaş varanţă generală σ ). Eşantoanele au fost etrase randomzat ş ndependent unele faţă de altele. Scopul analze este acela de a testa dacă cele I probe dferă statstc unele faţă de altele (ma eact, dacă estă cel puţn două probe 83

85 care dferă măcar semnfcatv între ele) ş, eventual, de a ordona probele în funcţe de un anumt crteru. otaţle efectuate pentru această analză sunt: - eşantoanele;,..., I ; j - untăţle (ndvz) fecăru eşanton; j,..., J; j - valoarea caracterstc studate pentru untatea j dn proba. Pentru fecare eşanton se poate scre: + e, cu j,..., J (7.) j j reprezntă meda artmetcă a valorlor caracterstc studate, în eşantonul, ar e j este abaterea faţă de meda a fecăre valor ndvduale j. Consderând X, meda tuturor valorlor caracterstc studate (a celor I J valor j ), se poate scre: X +, (7.) j E j în care E j este abaterea fecăre valor ndvduale j faţă de meda generală X. Dn relaţle anteroare se obţne: E X X + X + e, (7.3) j ar prn rdcare la pătrat: I J j I E j E j ( ) ( j ) ( ) j ( X ) + e + e ( X ) j j. (7.4) Însumând pătratele erorlor pentru toate cele I J valor: j I J j I J I J ( X ) + e + e ( X ) j j. (7.5) j Ultmul termen al sume se ma poate scre: I J [ e ( X ) + e ( X ) e ( X )] ( X ) e 0 j j, j pentru că: pentru fecare, dec pentru fecare probă, ( X ) este constantă, ar J e j j 0 (una dntre propretăţle mede artmetce). Se obţne: I J j E j J I ( X ) + I J j j e j. (7.6) Aceasta este ecuaţa analze varanţe, care ma poate f scrsă ş în forma: Q Q F +Q E, (7.7) 84

86 Ecuaţa analze varanţe arată că: Suma pătratelor abaterlor totale (Q) poate f împărţtă în două componente adtve: Q F, o sumă a pătratelor abaterlor factorale sau nterpopulaţonale (între probe) ş Q E, o sumă a pătratelor abaterlor rezduale sau ntrapopulaţonale (în nterorul probelor). După modul de grupare a observaţlor, analza varanţe poate f: smplă: când valorle ndvduale se grupează după un sngur crteru (monofactorală); dublă: când valorle ndvduale se grupează după două crter (bfactorală); multplă: multfactorală. Atunc când se cercetează concomtent do sau ma mulţ factor se urmăreşte atât acţunea zolată a fecărua cât ş nteracţunea lor. Importanţa analze varanţe constă în: permte evaluarea efcactăţ dverselor procedee epermentale prn stablrea ntenstăţ reale a factorlor ce generează varabltatea; permte determnarea corectă a valorlor epermentale ale ndclor statstc ş a erorlor acestora. 7. Analza smplă a varanţe Desfăşurarea calculelor are loc în funcţe de modul de organzare a lucrărlor epermentale, mplcând o anumtă metodă de prelucrare a datelor. Pentru analza smplă a varanţe cu număr egal de observaţ în grupe se parcurg etapele prezentate în contnuare. Pentru număr negal, modul de aplcare a metode este deosebt doar în ceea ce prveşte calculul sume pătratelor abaterlor Prma etapă constă în pregătrea datelor pentru analza varanţe (tabelul 7). 85

87 Proba Tabelul 7. Prelucrarea prmară a datelor epermentale j J T j,, 3,..., J J T,, 3,..., J J T I TOTAL I J (*) se poate calcula meda medlor numa dacă la fnalul analze varanţe se poate afrma că nu sunt dferenţe semnfcatve între probe. G J j I T Etapa a doua este char analza smplă a varanţe desfăşurată tabelar (tabelul 8). Observaţ: pentru calculul lu Q F pentru grupe negale se raportează T la ; G c este o corecţe egală cu. Tabelul 8. Analza smplă a varanţe Sursa de varaţe între probe (factorală) rezduală Totală Q Q Suma pătratelor abaterlor F Q I T J E c F Gradele de lbertate Varanţe Test F f F I Q Q f f f I I J j j c E F Q s F f F F Q s E f f - E E (*) s F ep s Valorle lu F teoretc se etrag dn tabele în funcţe de probabltatea de transgresune (5% ş %) ş de numărul gradelor de lbertate f F ş f E. F E F ep F teoretc0,05 nu estă dferenţe semnfcatve între probe; F teoretc0,05 <F ep F teoretc0,0 estă dferenţe semnfcatve între probe F ep > F teoretc0,0 între probe estă dferenţe dstnct semnfcatve. 86

88 În ultmele două cazur, concluza este că estă cel puţn două probe care dferă semnfcatv, respectv dstnct semnfcatv. Aceste dferenţe vor f puse în evdenţă în cea de a trea etapă, ş anume: aplcarea testulu t pentru analza semnfcaţe dferenţelor dntre med. Se completează tabelul 9. se aranjează în ordne descrescătoare a medlor Tabelul 9. Analza semnfcaţe dferenţelor dntre med Proba Dferenţe (d) faţă de proba Pentru probabltăţle de transgresune uzuale (5%, % ş 0,%) se calculează dferenţele lmtă (DL) cu relaţa: DL sd t, (7.8) în care abaterea standard a dferenţelor (s d ) este: sd s E, (7.9) J ar dacă probele nu sunt de volum egal: s + d se cu, k,, I. (7.0) k Valoarea lu t se a dn tabele în funcţe de probabltatea de transgresune ş de numărul gradelor de lbertate, f E. Se analzează pe rând dferenţele d dn tabel. Semnfcaţa se marchează în tabelul cu dferenţele epermentale. d DL 0,05 dferenţa d este nesemnfcatvă; DL 0,05 < d DL 0,0 dferenţa d este semnfcatvă (notaţe *) DL 0,0 < d DL 0,00 dferenţa d este dstnct semnfcatvă (notaţe **); d > DL 0,00 dferenţa d este foarte semnfcatvă (notaţe ***). 87

89 8. AALIZA CORELAŢIEI Caracterstc fenomenelor ş proceselor studate de bostatstcă este faptul că acestea sunt rezultatul acţun unu mare număr de factor (varable), un prncpal, alţ secundar, un esenţal, alţ nesemnfcatv, un măsurabl, alţ nemăsurabl. Analza corelaţe este o metodă statstcă prn care se cercetează ş se eprmă estenţa, tpul ş ntenstatea nterdependenţe dntre două sau ma multe varable aleatoare prn ntermedul unor ndcator statstc (coefcentul de corelaţe, raportul de corelaţe). 8. Tpur de legătur între varable Termenul corelaţe este folost pentru a defn nterdependenţa (legătura) între varablele observate în populaţ statstce. Este snonm cu legtate statstcă sau legătură statstcă. Etmologc, termenul corelaţe provne dn latnă (corelato în relaţe cu) ş a fost folost în bologe de Charles Darwn cu sensul de varablă corelatvă. În statstcă a fost preluat de Galton cu semnfcaţa de raportur recproce între anumte caracterstc. Legătura dntre două sau ma multe caracterstc poate f (fgura 0): funcţonală; statstcă (stohastcă). În cazul dependenţe funcţonale, une anumte valor a varable ndependente î corespunde o sngură valoare a varable dependente y. În cazul legătur statstce, une valor pentru varabla ndependentă î corespund ma multe valor y care admt o mede reprezentatvă. Fgura 0. Dferenţerea dntre o legătură funcţonală ş una statstcă 88

90 După numărul caracterstclor a căror nterdependenţă o studază, corelaţa poate f smplă sau multplă. Corelaţa smplă eprmă legătura dntre două caracterstc dntre care una este consderată varabla ndependentă (), ar cea de-a doua, varabla dependentă de prma (y). Corelaţa multplă eprmă dependenţa statstcă între o varablă dependentă (rezultatvă) ş ma multe varable ndependente (factorale). Atunc când tpul legătur dntre două caracterstc este greu de stablt datortă numărulu redus de observaţ sau când aceste caracterstc sunt eprmate în untăţ caltatve, dependenţa statstcă se poate eprma prn corelaţa de rang. Importanţa analze corelaţe constă în faptul că pune în evdenţă natura legătur cercetate ş ntenstatea e. Se consderă o colectvtate statstcă reprezentată prn caracterstcle X ş Y pentru care, în urma determnărlor epermentale, s-au obţnut valorle înregstrate într-un tabel de forma: X Y,, 3,..., n y, y, y 3,..., y n Repartţa emprcă a varablelor X ş Y se analzează pe cale grafcă într-un sstem de ae ortogonal în care se reprezntă punctele de coordonate (, y ). Ansamblul acestor puncte se numeşte câmp de corelaţe sau nor statstc, ar grafcul în întregme corelogramă (fgura ). Dacă punctele M (, y ) sunt dstrbute de-a lungul une fâş care, în general, urmează o curbă determnată, se poate afrma că între mărmle respectve estă o dependenţă sau o legătură corelatvă. Cu cât norul statstc (câmpul de corelaţe) este ma îngust cu atât legătura dntre varablele studate este ma puterncă. Într-un caz partcular, această legătură corelatvă se poate transforma în dependenţă funcţonală, atunc când punctele câmpulu de corelaţe se stuează strct pe o anumtă curbă sau dreaptă. Problema care se pune este de a eprma numerc gradul de dependenţă dntre cele două varable (gradul de apropere de o dependenţă funcţonală). 89

91 Fgura. Câmp de corelaţe în două stuaţ dferte de nterdependenţă a varablelor Dn modul de dspunere a grupulu de puncte (nor statstc) se poate apreca sensul legătur (fgura ). Aceasta poate f drectă (poztvă), atunc când X ş Y cresc sau descresc smultan, ş nversă (negatvă), atunc când la modfcarea într-un sens a varable X, Y se modfcă în sens contrar. Fgura. Observarea grafcă a sensulu corelaţe dntre varable În cazul în care între X ş Y nu estă nc un fel de dependenţă, norul statstc va f împrăştat. În foarte multe stuaţ, dn observarea fenomenelor naturale sau socale, fără a cunoaşte natura eactă a acestora ş nc cauzele manfestăr une anumte caracterstc, se pot trage concluz foarte mportante prn eamnarea corelaţe dntre acestea ş alte evenmente. În astfel de cazur, analza corelaţe poate aduce contrbuţ valoroase deoarece este o metodă de cercetare a fenomenelor care se bazează pe descompunerea unu întreg în elementele lu componente ş analza relaţlor statstce dntre acestea. Atunc când se utlzează ma multe varable se poate dstnge o corelaţe parţală, când se consderă pentru moment constante unele varable, ş o corelaţe totală, atunc când se au în consderare varaţle tuturor mărmlor varable. Se poate determna, astfel, ponderea dverşlor factor la realzarea unu fenomen de masă. 90

92 În slvcultură, legăturle dntre fenomene sau caracterstc sunt legătur statstce. Deş nu au caracter funcţonal, determnarea acestora prezntă o mportanţă deosebtă pentru că prn cunoaşterea valorlor une caracterstc se pot determna valorle alte caracterstc (cu o anumtă apromaţe) fără a efectua asupra acestea dn urmă măsurător coststoare sau foarte dfcle (de eemplu, dametrul la 0,5 h în funcţe de d -dametrul la,30 m-, pentru arbor). Corelaţa constatată între două varable, dar care nu are nc o semnfcaţe cauzală se numeşte corelaţe aparentă sau falsă. Este mprudent să se nterpreteze corelaţa în termen de cauzaltate fără a cunoaşte în profunzme fenomenele studate. Corelaţa este doar o reflectare a legăturlor cu caracter comple estente între fenomenele de masă. Statstca nu poate ofer nformaţ despre cauzaltatea legăturlor dntre două sau ma multe varable. Corespondenţa dntre varable poate rezulta, de cele ma multe or, dntr-o legătură nemjloctă între fenomene. În alte cazur, două fenomene se pot modfca (în acelaş sens sau în sensur opuse) ca urmare a modfcăr unu al trelea factor, fără ca între prmele două să este o legătură cauzală (de eemplu: dametrul ş înălţmea într-un arboret echen depnd de dezvoltarea bocenoze respectve care nfluenţează prntr-o multtudne de factor modfcarea celor două caracterstc drect ntercorelate). O a trea stuaţe este cea a unu paralelsm întâmplător în modul de varaţe a două sau a ma multor fenomene. Se ctează deseor eemplul tpc al unu cercetător care a înregstrat frecvenţa cuburlor de barză reperate într-o suburbe a Londre ş, în paralel, frecvenţa naşterlor în aceeaş suburbe, pentru o anumtă peroadă. Datele au arătat că peroada cu cea ma mare frecvenţă pentru una dntre varable corespunde une frecvenţe rdcate ş pentru cealaltă. Statstc, corelaţa între cele două fenomene s-a dovedt rdcată. u se poate vorb, însă, la modul seros, de o relaţe cauză-efect în acest caz. Asemenea stuaţ practce atrag atenţa asupra necestăţ dferenţer legăturlor cauzale de legăturle formale. Se poate trece de la o relaţe statstcă determnată emprc la o relaţe cauzală numa prn cunoaşterea temencă a domenulu studat. 9

93 8. Coefcentul de corelaţe Indcatorul statstc care dă măsura ntenstăţ legătur corelatve dntre două varable este coefcentul de corelaţe lnară (coefcentul Bravas-Pearson). 8.. Propretăţle coefcentulu de corelaţe Propretăţle coefcentulu de corelaţe sunt: notaţe: ρ pentru populaţa întreagă ş r pentru un eşanton; este ndcatorul statstc care eprmă numerc ntenstatea legătur lnare dntre două sau ma multe varable; eprmă gradul dsperse valorlor caracterstc rezultatve y în jurul drepte ce reprezntă funcţa de corelaţe (dreapta de regrese); cu cât această dsperse este ma mare, cu atât coefcentul de corelaţe este ma mc în modul, ş nvers; a valor în ntervalul [-,]; cu cât este ma apropat de sau de - cu atât corelaţa este ma puterncă; dacă ρ (sau r) ±, corelaţa este perfectă (ma eact, legătura corelatvă se transformă într-o legătură funcţonală); dacă ρ (sau r) 0, nu estă corelaţe (varablele luate în consderare nu depnd între ele); r este coefcent de corelaţe emprc (se referă la dstrbuţ emprce, nu teoretce) ş estmează, doar, valoarea lu ρ. Atunc când numărul observaţlor este mc, pentru studerea legătur corelatve între două caracterstc se foloseşte un tabel de tpul celu prezentat deja (tabelul anteror). Dacă numărul datelor epermentale este mare, acestea trebue să fe grupate pe clase, atât după caracterstca X, cât ş după caracterstca Y. Rezultă astfel dstrbuţa emprcă bdmensonală într-un tabel de corelaţe (tabelul dn fgura 3). Fgura 3. Forma generală a unu tabel de corelaţe 9

94 Studul unu ansamblu bdmensonal de date epermentale nu trebue sa se lmteze la o analza numercă automată, c trebue să-ş sprjne concluzle ş pe o analză grafcă atentă. Stuaţle prezentate în fgura 4 atenţonează asupra percolulu nterpretăr legătur statstce dntre două caracterstc numa prn valoarea coefcentulu de corelaţe. Fgura 4. Stuaţ mpropr une analze corecte a corelaţe În prma stuaţe este clară necestatea evdenţer a două subpopulaţ pentru care legătura corelatvă între cele două varable analzate ( ş y) este total dfertă. În cea de-a doua, valoarea etremă zolată (B) generează un coefcent de corelaţe cu valoare mare, dar între cele două varable nu estă, în realtate, nc o legătură statstcă. sau: 8.. Determnarea coefcentulu de corelaţe pentru corelaţa smplă Se folosesc relaţle de calcul: σ y ρ (pentru o populaţe) (8.) σ σ s y r s s y y ( y) cov s s în care: s reprezntă abaterea standard a caracterstc ; s y - abaterea standard a caracterstc y; s y sau cov(y) - covaranţa (varanţa comună). Pentru valor negrupate în clase, se cunoaşte că: ( ) s ş y (pentru o probă), (8.) ( y) y s y, (8.3) 93

95 ar covaranţa se obţne cu relaţa: ( ) ( ) y y y y s y. (8.4) Dec: ( ) ( ) y y y y r ( ) [ ] ( ) [ ] y y y y (8.5) Dacă se face gruparea în clase ntervn frecvenţele dstrbuţlor margnale n, n y ş frecvenţele dstrbuţlor de clase n y : y y y y y y y y y y y n y n n n y n n y n r r r. În practcă, pe o scală de la [0,], consderând coefcentul de corelaţe în modul, se utlzează următoarele subntervale de nterpretare: - 0 r 0,00 stuaţe în care nu estă o legătură între varable; - 0,00 < r < 0,500 între varable estă o legătură slabă; - 0,500 < r < 0,750 legătura dntre varable are ntenstate mede; - 0,750 < r < 0,950 legătură puterncă între cele două varable; - 0,950 < r <,000 legătura dntre varable este funcţonală. Eemplu de aplcare Pentru arboretul luat în consderare în eemplfcărle anteroare, dacă se analzează caracterstcle dametrul de baza ( ) ş înălţmea arborlor (y ), se obţne dstrbuţa emprcă bdmensonală (tabelul de corelaţe) următor: 94

96 Tabelul 0. Dstrbuţa emprcă bdmensonală pentru eemplul analzat y n y n Dn calcule se obţne: sy cov( y) 3,4973 *** r 0,7965. s s s s 8,748 4,58 y y 8..3 Determnarea semnfcaţe coefcentulu de corelaţe Valoarea coefcentulu de corelaţe r, calculat cu relaţle anteroare, reprezntă o măsură a ntenstăţ legătur statstce între varablele consderate. Este necesar să fe testată semnfcaţa lu r, adcă să se determne dacă valoarea obţnută estmează într-adevăr valoarea ρ a coefcentulu de corelaţe pentru populaţa întreagă sau a rezultat datortă unor eror de eşantonare. Metoda : testul u folosnd transformarea lu Fsher Pentru normalzarea valorlor coefcenţlor de corelaţe, Fsher a aplcat transformarea: + r z ln. (8.7) r În funcţe de valoarea lu z calculată pentru valoarea epermentală a coefcentulu de corelaţe r, se determnă u ep cu relaţa: z u ep, (8.8) în care abaterea lu z este: s z s z. (8.9) 3 95

97 u ep u teoretc 0,05 r este nesemnfcatv, u teoretc 0,05 < u ep u teoretc 0,0 r este semnfcatv (notaţe *), u teoretc 0,0 < u ep u teoretc 0,00 r este dstnct semnfcatv (notaţe **), u ep > u teoretc 0,00 r este foarte semnfcatv (notaţe ***). Valoarea lu r poate f mare în modul (apropată de sau de ), dar nesemnfcatvă, sau mcă (ma apropată de 0) ş semnfcatvă. Aceasta depnde de numărul untăţlor statstce pentru care s-au determnat valorle caracterstclor studate. Lmtele de încredere pentru coefcentul de corelaţe (ntervalul în care se află ρ) se determnă în funcţe de lmtele de încredere pentru z (valor tabelate): z ± u sz z ± u, sau: (8.0) 3 + r + ρ ln ± u ln. (8.) r 3 ρ Se determnă cele două lmte ale ntervalulu de încredere pentru coefcentul de varaţe ρ. Dacă 0 este cuprns între cele două lmte ale ntervalulu de încredere, ndferent de mărmea acestu nterval nu poate f dovedtă o corelaţe semnfcatvă. Metoda (epedtvă): testul u sau t fără transformare prealablă pentru un număr mare de observaţ, se utlzează statstca u pentru care se calculează o valoare epermentală: r r uep (8.) s r r ş se compară cu valoarea teoretcă pentru probabltatea de transgresune mpusă; pentru un număr mc de observaţ, se determnă t ep cu relaţa: r t ep. (8.3) r 96

98 Valoarea obţnută se compară cu t teoretc etras dn tabele în funcţe de probabltatea de transgresune (q) ş de numărul gradelor de lbertate (f -). Au fost întocmte tabele dn care se poate obţne drect valoarea semnfcatvă a lu r pentru un anumt prag de semnfcaţe ş în funcţe de volumul probe. Pentru coefcentul de corelaţe care eprmă legătura statstcă dntre dametrul de bază al arborlor ş înălţmea arborlor *** ( r 0,7965 ), valorle mnme corespunzătoare pragurlor de semnfcaţe 5%, % ş 0,% ş f 44 4 grade de lbertate sunt (prn nterpolare în tabelul dn anea V): 0,64; 0,4 ş, respectv, 0,7. Coefcentul obţnut este foarte semnfcatv ş s-a marcat corespunzător Coefcentul de corelaţe a rangurlor Determnarea coefcentulu de corelaţe a rangurlor (r s ) presupune ca, în locul comparăr valorlor caracterstclor măsurable (dametru de bază, înălţme, lăţme a nelelor anuale etc.), să se ordoneze dfertele varable caltatve (ş nu numa) utlzând numere de la la. Aceste numere (rangur) ndcă pozţle untăţlor în şrul statstc al fecăre caracterstc. Se obţn astfel două clasamente dstncte pentru care se calculează coefcentul de corelaţe a rangurlor cu relaţa: d ( ) 6 rs, (8.4) în care: reprezntă numărul de perech de valor care se compară, d - pătratul dferenţe de rang pentru fecare pereche. Demonstraţe În forma generală, coefcentul de corelaţe pentru valor negrupate în clase are epresa: sy r s s y ( ) ( y y) ( ) ( y y), (8.5) semnfcaţa notaţlor fnd cea menţonată anteror. Dar rangurle, aşa cum s-a menţonat, reprezntă numere de la la, atât pentru caracterstca, cât ş pentru caracterstca y, dec: 97

99 ( ) + + y. (8.6) ( ) ( ) ( ) y y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (8.7) Se face apo transformarea: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) d y y y y y y y y + + unde prn d s-a notat dferenţa ( - y). Dec: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + d d y y y y Înlocund în relaţa coefcentulu de corelaţe: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r s d d r + + 6, (8.8) tocma ceea ce trebua demonstrat. Avantajele folosr coefcentulu de corelaţe a rangurlor sunt: elmnă valorle absolute; nu se lucrează cu valorle reale pentru care calculul este complcat; epedtvtate a calculelor; calculul lu r s mplcă întocmrea unu tabel în care se observă medat cuplurle dscordante ş sensul decalajulu (poztv sau negatv). Dezavantajele utlzăr lu r s sunt: este ma puţn precs decât coefcentul de corelaţe obşnut pentru că înlocueşte prn dferenţe egale varaţ efectve dferte; estenţa unor rangur egale nu nfluenţează meda artmetcă, dar afectează smţtor varanţele; eroarea poate f negljată dacă asemenea eror nu sunt prea numeroase, dar estă ş artfc de notare a rangurlor care dmnuează aceste eror. Eemplu de aplcare Consderăm un eşanton format dn 8 arborete, cu aceeaş proporţe majortară de partcpare a bradulu, pentru care se determnă două caracterstc: consstenţa ş procentul de uscare a arborlor de brad. Interesează dacă estă o legătură corelatvă între cele două caracterstc. 98

100 Coefcentul de corelaţe a rangurlor se determnă cu datele dn tabelul următor. Tabelul. Calcule pentru determnarea coefcentulu de corelaţe a rangurlor Consstenţa arboretelor % arbor uscaţ y după Rangul după y d d 0, , , , , , , , TOTAL r s,786 0,786* (8.9) 8 ( 64 ) Dacă se calculează coefcentul de corelaţe obşnut, r, cu valorle determnate în tabelul, Tabelul. Calculul coefcentulu de corelaţe r pentru eemplul anteror Consstenţa arboretelor % arbor uscaţ y y y 0,3 6,8 0, ,4 5,0 0,6 5 0,5 8 4,0 0,5 64 0,6 7 4, 0, ,7 4,8 0,49 6 0,8 3,4 0,64 9 0,9 0,9 0,8,0,0,00 4 TOTAL 5, 36 0, 3,80 04 r y y [ ( ) ] y ( y) [ ] 99

101 8 0, 5, 36 0,785*, (8.0) ( 8 3,8 7,04) ( ) se observă că valoarea acestua este foarte apropată de coefcentul de corelaţe a rangurlor. Testarea semnfcaţe coefcentulu de corelaţe: r 0,785 t ep 6 3 (8.) r 0,60 În tabelul dn anea III, t teoretc (0,05; 6),447 ş t teoretc (0,0; 6) 3,707. Aşadar, coefcentul de corelaţe este semnfcatv, char ş pentru acest volum redus al eşantonulu. Între cele două caracterstc estă o corelaţe puterncă (valoare apropată de,000) ş nversă (valoarea negatvă a coefcentulu de corelaţe semnfcă faptul că pe măsură ce cresc valorle unea dntre caracterstc, scad valorle celelalte caracterstc). 00

102 9. AALIZA Î COMPOETE PRICIPALE (ACP) Analza în componente prncpale (ACP) este o metodă statstcă prn care se dentfcă parametr specfc unu set multdmensonal de valor epermentale eprmându-le într-o formă care pune în evdenţă smltudnle ş dferenţerle dntre varablele luate în studu. Aplcaţa tradţonală a ACP este cea de reducere a dmensunlor setulu de valor epermentale (tabelelor de contngenţă). Acest tp de analză statstcă poate f folostă pentru a determna câte dmensun prezntă mportanţă reală în nterpretarea fenomenelor. umărul de dmensun este dedus ntutv, dfert de semnfcaţa strct matematcă a acestora, prn analza nvelulu varaţe valorlor epermentale eplcat de dferte componente prncpale. Dacă estă un număr redus de componente care determnă cea ma mare parte a varabltăţ valorlor epermentale, atunc celelalte componente pot f consderate ca fnd varable de zgomot (perturbaţe) pentru fenomenul studat. 9. Consderaţ storce Analza în componente prncpale este o metodă de analză statstcă aplcată încă de la începutul secolulu al XX-lea în scopul determnăr parametrlor ecuaţlor de regrese multple, al reducer dmensunlor datelor ş pentru reducerea zgomotulu nformaţonal. K. Pearson (90) ntroduce ACP în aplcaţle bologce în vederea reterăr analze regrese lnare într-o formă nouă. H. Hotellng (933) dezvoltă ACP pentru aplcaţ în pshometre. Karhunen ş Loeve generalzează, la mjlocul secolulu trecut, ACP în spaţul nfnt-dmensonal ş în teora probabltăţlor. 9. Prncp de bază Analza multfactorală este deosebt de mportantă în nterpretarea statstcă a valorlor epermentale rezultate prn înregstrarea observaţlor pentru un număr mare de caracterstc sau varable. Fecare dntre cele m varable luate în consderare poate f consderată ca fnd o dmensune dfertă în hperspaţul m-dmensonal. Vzualzarea acestu hperspaţu este dfclă ş dn acest motv obectvul ACP este de a reduce multdmensonaltatea prn eprmarea tuturor valorlor epermentale prn compunerea lor în raport cu anumte varable compozte. În plus, sntetzarea a două sau tre componente prncpale poate f redată grafc cu perder mnme de nformaţe refertoare la fenomenul studat. O modaltate de a reduce în cadrul analze statstce multdmensonaltatea fenomenelor bologce constă în etragerea componentelor prncpale, ceea ce constă într-o rotaţe a aelor în spaţul 0

103 multdmensonal. Această operaţe permte determnarea combnaţlor lnare (denumte componente prncpale) ale varablelor nţale care să sntetzeze o canttate cât ma mare de nformaţe (Dllon, W.R., Goldsten, M., 984). În stuaţa în care m varable X, X,, X m sunt corelate între ele, nformaţa pe care o transmt luate în ansamblu posedă un anumt grad de redundanţă. Prn ACP se pot consttu, dn lsta celor m varable nţale, p no varable neredundante, p < m. Ideea de bază a ACP este aceea de a reduce numărul mare de varable nţale luate în consderare, dntre care multe sunt puternc corelate între ele, la câteva varable (sau componente) necorelate (ortogonale una faţă de alta). Aceste componente prncpale pot f consderate super-varable ntegrate care eplcă cea ma mare parte dn varanţa valorlor epermentale. ACP nu este altceva decât o recombnare lnară a varablelor nţale într-un nou set de varable, de data aceasta ortogonale. Varanţa nţală este realocată în no untăţ de măsură; dn acest punct de vedere, ACP poate f consderată un caz partcular al analze factorale. Aplcarea ACP presupune îndeplnrea unor condţ nţale, ş anume: întregul set de date este normal dstrbut (se verfcă normaltatea prn teste specfce); trebue să se transforme datele (prn centrare sau standardzare) astfel încât valorle dfertelor varable să fe comparable (fgura 5); de fapt, standardzarea mplcă egalzarea nfluenţelor varablelor; după centrarea valorlor epermentale prn folosrea momentulu de ordnul (meda artmetcă) întreaga nformaţe necesară aplcăr ACP este conţnută de matrcea covaranţelor. Aşadar, este necesar să se eprme fecare dntre valorle epermentale observate sau măsurate sub formă de dferenţe faţă de meda artmetcă raportate la abaterea standard. Prn defnţe, aceste valor standardzate au meda 0 ş varanţa. 0

104 Fgura 5. Efectul transformăr valorlor epermentale Determnarea componentelor prncpale presupune în contnuare o rotaţe de ae, transformare care facltează nterpretarea rezultatelor. Scopul analze în componente prncpale constă în eplcarea ş sntetzarea structur varanţe înglobate într-un set etns de varable prn ntermedul câtorva combnaţ lnare al acestora. ACP poate scoate în evdenţă anumte relaţ care nu au fost dentfcate anteror ş dă posbltatea nterpretăr lor. Rezultatele ACP sunt frecvent utlzate în prelucrarea statstcă ulteroară pentru analza regreslor multple, pentru analza cluster ş în studul serlor de tmp multvarate. 9.3 Interpretarea algebrcă a ACP Analza în componente prncpale se poate efectua pornnd de la setul nţal de date epermentale, dar ş folosnd drect matrcea covaranţelor sau matrcea de corelaţe. Matrcea de corelaţe se utlzează atunc când caracterstcle studate se eprmă în untăţ dferte de măsură sau dferă foarte mult gradul de împrăştere a valorlor epermentale ale varablelor analzate. Folosrea matrc de corelaţe este echvalentă cu standardzarea varablelor (transformarea lor în varable cu meda 0 ş abaterea standard ). După cum se cunoaşte, relaţa covaranţe este foarte asemănătoare cu cea a varanţe. Această smltudne se observă foarte bne dacă se scre varanţa în forma: 03

105 covaranţa fnd: var( ) n cov(, y) ( )( ) n ( n ) ( )( y y) ( n ), (9.). (9.) Covaranţa este, dec, determnată întotdeauna pentru două dmensun (varable). Dacă se analzează un set de date epermentale cu ma mult de două dmensun (varable), este necesar să se calculeze ma multe covaranţe. De eemplu, pentru un set de date trdmensonal (pentru varablele, y ş z) se calculează cov(, y), cov(, z) ş cov(y, z). Generalzând, pentru un set de date m-dmensonal se pot m! determna covaranţe dferte care aranjate matrcal formează ( m )! matrcea covaranţelor: m m Σ c c cov( Dm, Dm ), (9.3) ( ), j,, j j m m în care Σ este o matrce cu m ln ş m coloane (pătrată), ar Dm k este dmensunea (varabla) k. Pentru eemplul cu tre varable, matrcea covaranţelor are 3 ln ş tre coloane: cov(, ) cov(, y) cov(, z) Σ cov( y, ) cov( y, y) cov( y, z). (9.4) cov( z, ) cov( z, y) cov( z, z) Se observă că pe dagonala prncpală covaranţele sunt de fapt varanţele caracterstclor respectve. De asemenea, datortă egaltăţ cov( a, b) cov( b, a), matrcea este smetrcă faţă de dagonala prncpală. Matrcea de corelaţe R cuprnde coefcenţ de corelaţe r j pentru toate perechle formate dn cele m varable analzate. ACP se bazează pe etragerea unor componente necorelate, denumte componente prncpale, prn determnarea egenvectorlor matrc covaranţelor sau a matrc de corelaţe ale varablelor nţale. 04

106 Sunt necesare câteva eplcaţ legate de operator algebre matrcale ş de regulle specfce de utlzare. Consderăm două varable X ş X, pentru care rezultă următoarea matrce de corelaţe R:,000 0,73 R. (9.5) 0.73,000 Această matrce are următoarele propretăţ: dacă R este nversablă înseamnă că estă o altă matrce pătratcă R - care, prn înmulţre cu R generează matrcea untate I: R R I ; 0 matrcea untate de ordnul este ş îndeplneşte, în algebra 0 matrcală, multe dn funcţle valor dn algebra clască; o matrce are matrce nversă numa ş numa dacă valoarea determnantulu e este dfertă de 0; în cazul general al une matrc a b de ordnul de forma, determnantul acestea este c d a b det( R ) ; condţa de estenţă a matrc nverse este: c d a d b c 0 ; pentru eemplul consderat matrcea R admte nversă pentru că det( R ) 0,73 0,73 0,4777 > 0; fecare matrce pătrată are o uncă ecuaţe polnomală caracterstcă de acelaş ordn cu cel al matrc (o matrce are o ecuaţe caracterstcă pătratcă, o matrce 33, una cubcă ş.a.m.d.); Această ecuaţe se obţne dn următoarea propretate a matrclor pătrate nversable: det( R λ I) 0, (9.5) în care R este matrcea nţală m m, I este nversa acestea, ar λ este un scalar (o matrce m m cu o valoare constantă, λ, în fecare celulă); o altă modaltate de eprmare a propretăţ anteroare este cea de egalare cu 0 a determnantulu matrc R în care s-a scăzut λ dn elementele aflate pe dagonala prncpală, ceea ce în cazul general al matrc de ordnul înseamnă: a λ b det 0. (9.6) c d λ 05

107 λ det 0,73 Revennd la matrcea de corelaţe R: 0,73 0 λ ( λ) 0,73 0 λ λ + 0, λ,73; λ 0,77. Valorle obţnute se numesc egenvalor sau valor propr ale matrc de corelaţe. Egenvalorle sunt strâns legate de egenvector. Amb termen sunt eplcaţ în contnuare. Două matrc pot f înmulţte dacă mărmea lor este compatblă. Egenvector (vector propr) sunt un caz partcular al aceste operaţ. Consderăm două eemple de multplcare a une matrc cu un vector: ş În al dolea eemplu, vectorul rezultant este un multplu al vectorulu nţal, pe când în prmul eemplu nu se întâmplă acelaş lucru. 4 Vectorul se numeşte vector propru (egenvector) al matrc pătrate 3 consderate. În reprezentare grafcă, acesta este redat prntr-o săgeată trasată dn orgne (0, 0) până în punctul cu coordonatele (4, 3). Matrcea pătrată trebue înţeleasă ca o matrce de transformare a vectorulu cu care se înmulţeşte într-un alt vector care îş modfcă pozţa nţală. Dacă este vorba despre un egenvector, după înmulţre el va avea aceeaş drecţe, dec este o reflectare a lu însuş; aceşt vector se autotransformă ş de aceea sunt denumţ astfel (germ. egen propru, auto). În al dolea eemplu prezentat anteror, vectorul nţal se află pe 3 dreapta y, ar cel rezultat (sau orcare alt multplu al acestua, 4 pentru că nu are mportanţă cât de lung este vectorul) se află pe aceeaş dreaptă, dec este un vector propru al matrc de transformare. Vector propr au anumte propretăţ care sunt foloste în prelucrarea statstcă a datelor prn analza în componente prncpale. În prmul rând, vector propr pot f determnaţ numa pentru matrc pătrate (dar, atenţe, nu orce matrce pătrată are egenvector). Dacă o anumtă matrce m m are vector propr, atunc numărul total al acestora este m (de eemplu, o matrce 4 4 are 4 egenvector). 06

108 În al dolea rând, toţ vector propr a une matrc sunt perpendcular între e în spaţul m-dmensonal. Este mportant acest lucru pentru că datele epermentale pot f eprmate nu numa în sstemul ortogonal de ae, y, z,, c ş în raport cu aceşt egenvector perpendcular. Pentru a putea aplca analza în componente prncpale este necesar să se determne vector propr standard. Un egenvector standard este cel a căru mărme este egală cu untatea. Modul de calcul prn care se obţne un vector propru standard pentru eemplul anteror este prezentat în contnuare. 4 Mărmea vectorulu propru este ( ) Împărţnd vectorul nţal la 5 se obţne un egenvector cu mărmea : 4 4 / / 5 Pentru matrc ma mar de 3 3 determnarea vectorlor propr se face prn aplcarea unor metode teratve pentru care estă programe de calcul specfce. Egenvalorle (valorle propr) sunt acele valor care arată de câte or s-a majorat egenvectorul după multplcarea lu cu matrcea pătrată. 4 Egenvaloarea asocată egenvectorulu dn eemplul anteror 3 este 6. Indferent care multplu al acestu egenvector este consderat, după înmulţrea matrc pătrate cu acesta se va obţne întotdeauna un vector de 6 or ma mare. Presupunem că avem o populaţe pentru care sau măsurat m varable randomzate X, X,, X m. Este mportantă menţunea că aceste varable reprezntă cele m ae de coordonate ale unu sstem cartezan în care se reprezntă valorle epermentale. Intenţa este cea de a pune în evdenţă un nou sstem de m ae ortogonale, combnaţ lnare ale aelor nţale, pe drecţle cele ma mar varabltăţ. Aceasta se poate concretza prn rotaţa aelor nţale (fgura 6). Având matrcea nţală: X X X M X m, (9.7) 07

109 cu matrcea covaranţelor Σ ş egenvalorle λ λ L λm, se pot constru m combnaţ lnare necorelate: Y e X + e X + L + em X m Y e X + e X + Lem X m (9.8)... Ym e m X + em X + L + emm X m astfel încât varanţa nolor varable Y, Y,, Y m să fe cât ma mare posblă. Componentele prncpale reprezntă, de fapt, combnaţ lnare ale varablelor orgnale. Fgura 6. Rotaţa aelor componentelor nţale în scopul evdenţer cele ma mar varabltăţ ACP a matrc de corelaţe R constă în transformarea varablelor s s s brute X, X,, X m sau a celor standardzate X, X, K, X m în factor Y, Y,, Y m prn ntermedul unor combnaţ lnare a căror coefcenţ sunt elementele une matrc ortogonale E obţnute prn descompunerea spectrală a lu R. Toate matrcle smetrce pătrate, aşa cum este cazul matrc de corelaţe R, se descompun după modelul: R E Λ E', (9.9) în care matrcea E este ortogonală ş λ 0 K 0 0 λ K 0 Λ (9.0) L L L L 0 0 K λ m este dagonală. 08

110 Matrcea E este compusă dn m vector coloană, denumţ egenvector, ar ortogonaltatea acestea se verfcă prn îndeplnrea a tre crter: - transpusa E a lu E este egală cu matrcea nversă E -, astfel încât E E' I ; - lnle lu E sunt ortogonale între ele ş cu norma egală cu untatea; - coloanele lu E sunt, de asemenea, ortogonale între ele ş cu norma egală cu untatea. Dacă se pune condţa ca dagonala matrc Λ să fe formată dn valor descrescătoare ( λ > λ > K > λm ), descompunerea anteroară, denumtă descompunere spectrală, este uncă. Vector coloană e α ş scalar λ α pot f determnaţ pentru α, K, m prn ecuaţa vectorlor propr: R e α λα eα, (9.) cu condţa suplmentară, îndeplntă de matrcle ortogonale, ca fecare e α să fe de normă untate. e α sunt denumţ vector propr (egenvector). Componentele e k ale matrc E sunt componente prncpale. Analstul încearcă să nterpreteze prmele câteva componente prncpale în funcţe de varablele nţale. ACP poate avea nterpretăr pertnente doar dacă estă un nvel rdcat al corelaţe între caracterstcle analzate. Componentele prncpale sunt alese în ordne descrescătoare a mportanţe lor astfel încât prma componentă să eplce o cât ma mare parte dn varanţă, ar fecare dntre următoarele componente să justfce cât ma puţn dn varabltatea valorlor analzate. Egenvector arată gradul de partcpare a varablelor nţale (standardzate sau doar centrate) în determnarea fecăre componente prncpale. Aceşt vector propr sunt în esenţă coefcenţ de corelaţe, fnd compuş dntr-un set de valor care reprezntă, fecare în parte, nfluenţa, mportanţa sau ponderea de eplctare a une anumte varable într-o anumtă componentă prncpală dată. Egenvalorle reprezntă contrbuţa relatvă a fecăre componente la eplcarea varaţe totale a datelor epermentale (sunt mar pentru prmele componente ş dn ce în ce ma mc pentru componentele subsecvente). Mărmea egenvalor ndcă mportanţa aceste componente în eplcarea varaţe totale ş se determnă ca sumă 09

111 a pătratelor valorlor ce formează vectorul propru corespunzător une varable prncpale. O valoare propre ma mare de ndcă faptul că acea componentă prncpală pentru care a fost determnată acumulează o parte ma mare dn varanţă decât orcare dntre varablele standardzate nţale ş acesta reprezntă un crteru de delmtare a componentelor prncpale care se justfcă a f reţnute pentru nterpretarea rezultatelor. Odată calculate egenvalorle pentru toate componentele trebue să se stablească numărul componentelor prncpale sufcente pentru sntetzarea nformaţe dn setul de valor epermentale. Pentru majortatea aplcaţlor se dovedeşte sufcent un număr mam de tre sau patru componente prncpale care surprnd varanţa datelor. Presupunem că avem o populaţe statstcă formată dn arbor, pentru care s-au înregstrat valorle pentru varablele: dametru de bază, X, înălţme, X, ş denstatea aparentă convenţonală a lemnulu, X 3. Trebue să se determne cele tre componente prncpale Y, Y ş Y 3. Matrcea covaranţelor pentru acest set de date (consderând că s-a observat populaţa întreagă, dec cu numtorul relaţlor de calcul ) este: 09,775 3,374 0,00363 Σ 3,374, ,0077, (9.) 0, ,0077 0,0005 pentru care se obţn perechle de valor propr vector propr: 0,95763 λ 9,4374, ; (9.3) e 0,8804 0, ,8804 λ,959, ; (9.4) e 0, , ,00039 λ 3 0,0004, e 3 0, (9.5) 0, Dec componentele prncpale sunt: Y 0,95763 X + 0,8804 X 0, X 3 (9.6) Y 0,8804 X + 0, X 0, X 3 (9.7) Y3 0,00039 X + 0, X + 0, X 3. (9.8) 0

112 Se poate observa că: σ + σ + σ 33 σ + σ + σ 3 09,775 +, ,0005,3596 9,4374 +, ,0004 λ + λ + λ3 (9.9) În cazul general, proporţa dn varanţa totală a populaţe eplcată de componenta prncpală de ordnul k este: λk m. (9.0) λ Dacă poate f atrbută o proporţe mare dn varanţa populaţe unu număr relatv mc de componente prncpale, se pot înlocu cele m varable nţale prn aceste componente prncpale fără a perde o canttate mare de nformaţe. Pentru stuaţa concretă analzată, proporţa dn varanţa totală a populaţe eplcată de fecare componentă prncpală este: λ 3 λ λ 3 λ λ 3 3 λ 9,4374 0,976 97,6%,3596,959,3596 0,0004,3596 0,03877,3877% (9.) (9.) 0, ,000%. (9.3) Se observă nfluenţa nesemnfcatvă a cele de-a trea componente prncpale. Se pot calcula ş coefcenţ de corelaţe între varablele orgnale X k ş componentele prncpale Y cu formula generală: e λ k ρ Y X, (9.4) k σ kk valor frecvent utlzate pentru nterpretarea componentelor prncpale Y. Dacă se standardzează varablele se obţn: Z X μ X μ k k k k k. (9.5) σ kk σ k Componentele prncpale pentru varablele standardzate Z k pot f obţnute dn egenvector matrc de corelaţe, R, pentru că, în acest caz, aceasta este dentcă cu matrcea covaranţelor. Pentru eemplul anteror,

113 după standardzarea celor tre varable X, X, X 3, nu trebue să se pornească de la matrcea Σ, c de la matrcea R:,0000 0,8597 0,5 R 0,8597,0000 0,49. (9.6) 0,5 0,49,0000 Se obţn perechle valor propr vector propr: 0,69438 λ,89753, ; (9.7) e 0, , ,3893 λ 0,968480, ; (9.8) e 0, , , λ 3 0,40445, e 3 0, , (9.9) 0, dferte de cele obţnute în prmul caz. Componentele prncpale sunt: Y 0,69438 Z + 0, Z 0, Z 3 (9.30) Y 0,3893 Z + 0,35436 Z + 0, Z 3 (9.3) Y3 0, Z + 0, Z + 0, Z 3. (9.3) În acest caz este îndeplntă relaţa: σ + σ + σ 33 σ + σ + σ 3,00 +,00 +,00 3, 00, , ,40445 λ + λ + λ3. (9.33) Proporţa dn varanţa totală eplcată de fecare componentă prncpală este: λ, , ,04% (9.34) 3 3,00 λ λ 3 λ λ 3 3 λ 0, ,00 0, ,00 0,38 3,8% (9.35) 0,0468 4,68%. (9.36)

114 În această stuaţe (atunc când ACP porneşte de la matrcea de corelaţe R), se constată că, pentru a calcula ponderea une componente prncpale (CP % ) în varaţa totală, înseamnă, de fapt, să se efectueze raportul procentual între valoarea propre a acele componente ş numărul de varable nţale (m): egenvaloare CP % 00 (%). (9.37) m Se observă, dn nou, nfluenţa nesemnfcatvă a cele de-a trea componente prncpale. Pentru a putea nterpreta factor obţnuţ, se determnă coefcenţ de corelaţe ( ρ S ) dntre aceşta ş varablele nţale, Y Z k k coefcenţ ce se numesc saturaţ: e λ 0,69438,89753 ρy 0,9547 Z (9.38) σ,000 e λ 0,695543,89753 ρy 0,9565 Z (9.39) σ,000 e3 λ 0,850757,89753 ρy 0,545 Z (9.40) 3 σ, e λ 0,3893 0, ρy 0,360 Z (9.4) σ,000 e λ 0, , ρy 0,6 Z (9.4) σ,000 e3 λ 0, , ρy 0,967 Z (9.43) 3 σ, e3 λ3 0, ,40445 ρy 0,645 3Z (9.44) σ,000 e3 λ3 0, ,40445 ρy 0,65 3 Z (9.45) σ,000 e33 λ3 0, ,40445 ρy 0, Z. (9.46) 3 σ 33,000 Coefcenţ de corelaţe dntre varablele nţale standardzate ş componentele prncpale sunt sntetzaţ în matrcea de corelaţe S, denumtă matrcea de saturaţe (matrcea de structură) în care fecare 3

115 coloană este asocată une varable nţale ş fecare lne unu factor (une componente prncpale), ca în tabelul 3. Tabelul 3. Matrcea de saturaţe Z Z Z 3 Y 0,9547 0,9565-0,545 Y 0,360 0,6 0,967 Y 3-0,645 0,65 0,0039 Interpretarea valorlor dn acest tabel este următoarea: - prma componentă prncpală Y este o rezultantă a nfluenţe tuturor prmelor două varable nţale, în pondere apromatv egală, - cea de-a doua componentă prncpală Y este o rezultantă a nfluenţe varable Z 3, - a trea componentă prncpală Y 3 este o rezultantă a nfluenţe varablelor Z ş Z, dar cu pondere ma mcă. Estă relaţle matrcale: S R E Λ E Λ ş S S' R, (9.47) unde Λ este matrcea dagonală cu elemente. λ Matrcea de saturaţe S are următoarele propretăţ: - suma pătratelor tuturor saturaţlor pentru o varablă X k (sau Z k ) este egală cu (ecuaţa m S k se poate nterpreta ca o hpersferă cu raza egală cu untatea ş cu centrul în orgnea sstemulu de coordonate cu m dmensun, analog cu + y, care este ecuaţa cerculu untate în spaţul bdmensonal, sau + y + z, ecuaţa sfere untate în spaţul trdmensonal; aceasta se poate folos pentru realzarea cerculu de corelaţe care este reprezentarea grafcă prn care se asocază fecăre varable Z k câte un punct de coordonate Sk pe fecare dntre aele reţnute ca fnd componente prncpale); pentru eemplul anteror: 0, , ,645 (9.48) 0, ,6 ( ) + 0,65 ( 0,545) + 0, ,0039 (9.49) ; (9.50) - suma pătratelor tuturor saturaţlor pentru un factor (componentă prncpală) Y este egală cu λ ; în eemplul consderat: 0, , ,545, (9.5) ( )

116 0, ,6 + 0,967 0, (9.5) ( 0,645) + 0,65 + 0,0039 0, ; (9.53) - suma tuturor pătratelor saturaţlor este egală cu λ ş egală cu m (numărul de varable). m Se deduce de ac că ACP completă transformă varablele corelate în varable necorelate conservând (menţnând constantă) varanţa totală. Dacă nu se au în consderare toate componentele prncpale c λ + λ + L+ λ p numa prmele p, valoarea este proporţa dn varanţa λ + λ + L+ λm totală eplcată de prm p factor ş consttue măsura globală a caltăţ ACP. Valoarea h p S k, denumtă comunaltate sau comuntate este nferoară lu ; h măsoară, de fapt, proporţa dn varanţa varablelor X k (sau Z k ) eplcată de prm p factor. În cazul ACP pornnd de la varablele standardzate ( X k μ k ) Z k, mportanţa relatvă a varablelor este modfcată faţă de σ k cea determnată fără standardzare. Varablele sunt supuse standardzăr ma ales atunc când se eprmă în untăţ de măsură sau la scăr dferte. Pe baza structur elementelor consttutve ale componentelor prncpale este posbl să se nterpreteze prmele câteva dntre acestea în sensul efectulu total sau al contrastulu dntre grupele de varable. Corelaţa puterncă dntre prma componentă prncpală ş una dntre varable arată că acea varablă acţonează în drecţa mamulu varaţe datelor. O corelaţe puterncă între o varablă nţală ş cea de-a doua componentă prncpală, perpendculară pe prma, arată următoarea (ca mărme) sursă de varaţe a valorlor epermentale. 5

117 Această modaltate de nterpretare poate contnua ş pentru următoarele componente prncpale reprezentatve pentru cazul studat. oul set de varable ortogonale (factor, varable latente, componente prncpale) este ntrodus pentru elmnarea corelaţe dntre varablele fenomenelor multfactorale ş pentru a reduce dmensunle sstemulu rezultant. Dacă valorle coefcenţlor de corelaţe corespunzător celor m varable nţale sunt mc, este nutl să se aplce ACP pentru că se vor obţne factor no foarte apropaţ de ce nţal. Dacă două varable X j ş X k sunt foarte corelate (r foarte apropat de ±) trebue să se analzeze dacă nu este ma bne să se elmne una dntre ele (sau să se combne într-o sngură varablă) înante de aplcarea ACP. În eemplul de calcul anteror, se observă că prmele două varable (dametrul ş înălţmea arborlor) sunt puternc corelate (r0,8597 *** ). S-ar putea ntroduce în sstem varabla volum al arborlor care este de fapt o combnaţe a celor două varable. 9.4 Estmarea numărulu de componente prncpale ACP reduce dmensunle setulu de date prn combnarea lnară a varablelor nţale corelate ş obţnerea altor varable, în număr ma mc. Aceste no varable sunt lnar ndependente. Reţnerea tuturor factorlor m echvalează cu păstrarea întreg canttăţ de nformaţe nţală, ceea ce nu smplfcă în nc un fel structura corelatvă a varablelor analzate. Stuaţa opusă (păstrarea unu număr mc de factor) duce la eplcarea une proporţ prea mc dn varanţa totală ş reducerea ecesvă a completăţ structur legăturlor dntre varable. În general, sunt ncluş în analză numa egenvector care corespund unor egenvalor ma mar de,000, consderându-se negljablă contrbuţa celorlalţ la varanţa totală. Trebue să se abă în vedere anumte crter, unele fundamentate statstc, altele doar emprce dar larg utlzate: alegerea une proporţ lmtă de eplcare a varanţe, convenablă dn punct de vedere al precze analze, de eemplu 90% (crterul Jolffe); 6

118 păstrarea acelor valor propr λ, Kλ care sunt ma mar decât meda λ +L + λ p (crterul Kaser); p reprezentarea grafcă descrescătoare a valorlor propr λ ; deseor se poate observa pe acest grafc un cot care marchează o modfcare a regmulu descreşter valorlor propr; se păstrează factor care au valor propr ma mar decât cea corespunzătoare acestu punct de pe grafc (crterul Cattell). Reprezentarea grafcă a egenvalorlor corespunzătoare componentelor prncpale lustrează rata modfcărlor de ampltudne a acestor valor propr. Punctul în care curba reprezentată îş modfcă evdent panta ndcă numărul mam de componente prncpale ce trebue luate în consderare. 9.5 Interpretarea geometrcă a ACP ACP construeşte no varable, artfcale, ar reprezentarea grafcă permte vzualzarea relaţlor dntre varable ş, eventual, estenţa unor grupe de ndvz sau grupe de varable nţale. Corelaţle sunt sntetzate în spaţul multdmensonal cu două sau ma multe ae. Fecare aă consttue o componentă prncpală ş nteresează pozţa varablelor în raport cu aceste ae. k Componentele prncpale sunt egenvector matrc covaranţelor (sau a matrc de corelaţe) ş, în reprezentare grafcă, aele prncpale ale une hperelpse (elpsod p- dmensonal). Geometrc, combnaţle lnare reprezntă o selecţe de ae ale unu nou sstem de coordonate obţnut prn transformarea ortogonală a sstemulu nţal. ole ae (e, e,, e p ) reprezntă drecţle cu mamă varabltate. Consderând elpsodul p-dmensonal X T Σ X c, componentele prncpale defnesc aele acestu elpsod. Demonstraţe: Σ Se cunoaşte că, dacă Σ este poztvă ş defntă, atunc estă ş ş: Σ e λ e Σ e (/ λ) e. (9.54) 7

119 De asemenea, descompunerea spectrală a matrc Σ este: T T Σ ee + L + e pe p. (9.55) λ λ Folosnd această modaltate de descompunere se obţne: T T T ( ) ( ) T c X Σ X e ( ) X + e X + L + e p X, (9.56) λ λ λ T T T unde e X e X,, e X sunt componentele prncpale ale lu X., K p Dacă se fac notaţle: T T Y e X, Y e X,, Y T p e p X, (9.57) se poate scre: c Y + Y + L + Yp. (9.58) λ λ λ p Această ecuaţe defneşte un elpsod într-un sstem de coordonate ale căru ae sunt pe drecţle vectorlor e, e,, e p ; elpsodul are semaele pe fecare drecţe p egale cu c λ. În spaţul multdmensonal fecare varablă poate f consderată un vector (în reprezentare geometrcă, o lne cu două caracterstc: lungme sau mărme ş drecţe sau sens). Legăturle statstce dntre varable sunt bne puse în evdenţă în matrcea de corelaţe. Coefcenţ de corelaţe dn această matrce pot f eprmaţ geometrc prn cosnusul unghulu format de vector corespunzător fecăre perech de varable, lungmea acestor vector fnd măsura varanţe eplcate (fgura 7). p p p Fgura 7. Reprezentarea vectorală a corelaţe dntre două varable (A ş B) a) varable cu coefcent de corelaţe r (0,) b) varable perfect corelate negatv, r c) varable perfect corelate poztv, r d) varable necorelate (ortogonale), r 0 8

120 Caltatea reprezentăr depnde de proporţa varanţe eplcate de fecare aă în parte. Varablele stuate în aproperea orgn noulu sstem de coordonate se dferenţază foarte puţn; cele de la perfere au o nfluenţă ma mare. Vector ma apropaţ denotă o legătură statstcă ma puterncă între varable. Dacă varablele analzate se află fecare în aproperea a câte une ae dferte, nu este corelaţe între ele. Pot f comparate numa varablele care se stuează în aproperea crcumfernţe cerculu sau suprafeţe sfere untate (nu se poate nterpreta gradul de corelaţe a varablelor aglomerate în zona centrală). Rotaţa aelor permte obţnerea unor saturaţ apropate de, - sau 0, ceea ce facltează nterpretarea factorlor obţnuţ. Pentru cazul analzat anteror (smplst, de altfel, pentru că s-au luat în consderare numa tre varable), nterpretarea grafcă a ACP (fgura 8) duce la concluza că se dferenţază clar perechea de varable dametru-înălţme a arborlor, care se află în aproperea prme componente prncpale, de varabla denstate a lemnulu, aflată pe drecţa cele de-a doua componente prncpale. Fgura 8. Reprezentarea grafcă a analze în componente prncpale pentru eemplul consderat 9

121 Pentru setul de date analzat, între aceste două grupe de varable nu estă legătură corelatvă. Dametrul ş înălţmea eplcă partea cea ma mare dn varaţa valorlor epermentale. Se ma observă, de asemenea, că în reprezentare grafcă punctele corespunzătoare dametrulu ş înălţm se găsesc foarte aproape. Aceasta atenţonează asupra faptulu că între cele două varable corelaţa este foarte puterncă. Cele m valor epermentale (m fnd numărul de varable nţale, ar, volumul probe consttute sau al populaţe în întregme) pot f reprezentate, în mod asemănător, prntr-un nor de puncte în spaţu, fe prn ntermedul scorurlor brute (atunc când ACP porneşte de la matrcea Σ ), fe prn ntermedul scorurlor standardzate (când ACP porneşte de la matrcea R). Se încearcă determnarea, pentru fecare factor, a drepte D pentru care suma pătratelor dstanţelor de la punctele ndvduale la dreaptă este mnmă (fgura 9). Se cunoaşte că această dreaptă trebue să treacă prn centrul de greutate al norulu statstc,, K ) care, în cazul ( p valorlor standardzate, corespunde orgn sstemulu de coordonate. Drecţa drepte D este cea a prme componente prncpale, Y, pentru care varanţa proecţlor ortogonale ale punctelor pe dreaptă este λ, prma valoare propre a lu Σ (sau a lu R). Fgura 9. Drecţa prme componente prncpale În mod asemănător, în loc să se proecteze pe o dreaptă, norul de puncte se poate proecta pe un plan (P) astfel încât suma pătratelor dstanţelor de la fecare punct la acesta să fe mnmă (fgura 30). 0

122 Fgura 30. Planul prmelor două componente prncpale Acest plan este cel al prmelor două componente prncpale Y ş Y, ar varanţa corespunzătoare este λ + λ. Se contnuă smlar pentru următoarele componente dntre cele p reţnute. 9.6 Dezavantaje ale ACP Una dntre potezele nţale ale metode este aceea a lnartăţ legătur statstce dntre varable. Este posbl ca legătura statstcă dntre anumte varable să fe puterncă dar nelnară (raportul de corelaţe cu valoare peste 0,5, dar coefcentul de corelaţe mc); în această stuaţe ACP nu dă rezultate concludente. Restrcţa prn care aele de coordonate trebue să fe perpendculare între ele, ceea ce înseamnă componente prncpale necorelate, se concretzează într-un model matematc foarte dfert de cel al relaţlor specfce caracterstclor bologce sau ecologce, frecvent puternc ntercorelate. Dn păcate, componentele prncpale, care etrag cea ma mare parte dn varabltatea varablelor nţale, sunt de cele ma multe or dfcl de nterpretat.

123 Componentele prncpale sunt înţelese ca supervarable, dealzare ş abstractzare matematcă ce le dferenţază de varablele reale nţale ş aceasta duce la o nterpretare dfclă a rezultatelor ACP. În multe aplcaţ, numa prma componentă prncpală dă nformaţ despre modul de grupare a varablelor, celelalte fnd componente dferenţă care sunt de asemenea greu de eplcat. 9.7 Concluz sntetce asupra ACP Pentru aplcarea ACP se calculează matrcea covaranţelor (sau cea de corelaţe) ş se determnă apo egenvector ş egenvalorle aceste matrc. Este mportant să se reţnă faptul că nteresează să se obţnă egenvector standard (cu mărmea egală cu untatea). Următoarea etapă este cea de ordonare a vectorlor propr în sensul descrescător al egenvalorlor ceea ce este echvalent cu aranjarea componentelor în ordnea semnfcaţe lor. Determnarea componentelor prncpale constă în compresa ş reducerea dmensunlor setulu de date epermentale. Egenvectorul cu valoarea propre cea ma mare este prma componentă prncpală care redă cea ma puterncă legătură statstcă între varablele nţale. Următoarea componentă prncpală semnfcatvă este egenvectorul cu valoarea propre medat ma mcă. Se contnuă în acest mod până la aflarea tuturor componentelor prncpale, gnorând ultmele componente (cele cu semnfcaţe redusă). Astfel se vor reduce dmensunle nţale ale setulu de date: dacă la început acesta a avut m dmensun, prn sortarea ş alegerea prmlor p egenvector, setul fnal de date va avea numa p dmensun. Cu vector propr selectaţ pentru componentele prncpale se formează o matrce a vectorlor E (engl. Feature Vector). Aceşt egenvector vor consttu, în ordnea semnfcaţe lor, coloanele matrc: ( e e e K ) E. (9.59) Într-o ultmă etapă se poate obţne un set fnal de valor (engl. Fnal Data) prn înmulţrea transpuse matrc vectorlor cu transpusa matrc setulu de date nţale ajustate: 3 e p T FnalData FeatureVector DataAdjust T (9.60) FeatureVector T este o matrce în care egenvector sunt trecuţ pe ln prmul fnd cel ma semnfcatv, ar DataAdjust T, tot o matrce în care pe ln sunt trecute varablele, ar pe coloane, valorle standardzate corespunzătoare. Matrcea rezultat FnalData este matrcea datelor nţale eprmate numa prn ce p egenvector a componentelor prncpale.

124 0. AALIZA REGRESIEI Aşa cum s-a prezentat anteror, coefcentul de corelaţe ndcă ntenstatea legătur dntre două sau ma multe caracterstc ş este utlzat în specal pentru caracterzarea une dependenţe lnare între acestea. Pentru a determna forma legătur corelatve trebue aplcată metoda de cercetare statstcă denumtă analza regrese. Analza regrese este o metodă statstcă prn care se cercetează posbltatea eprmăr cu ajutorul une ecuaţ a legătur dntre valorle med ale une varable y (consderată dependentă) ş valorle une sau ale ma multor varable ndependente, în cazul în care s-a observat, prn analza corelaţe, estenţa une asemenea legătur. Ecuaţa de regrese este o relaţe matematcă prn care se eprmă dependenţa dntre două sau ma multe varable ş este de forma: y ˆ f (,, K, n ). (0.) Aceasta defneşte o curbă sau o suprafaţă de regrese ş are drept scop să permtă, pentru valorle date,,, n, calculul une estmaţ a lu y. Termenul regrese a fost folost de Galton care a aplcat prma dată teora corelaţe la date bologce. Eamnând dnamca populaţlor, acesta a constatat că în astfel de cazur s-ar păstra un echlbru dnamc dacă nole generaţ ar moşten caracterstcle părnţlor. Studnd înălţmea taţlor ş cea a flor, Galton a seszat că f se abat de la înălţmea mede ma puţn decît se abat taţ, dec că f regresează spre valoarea mede. El a folost termenul lne de regrese pentru lna de legătură dntre înălţmle taţlor ş cele ale flor. Termenul regrese nu este destul de potrvt pentru cele ma multe tpur de legătur statstce (corelatve) între varable, dar contnuă să se păstreze în lteratura de specaltate ca o smplă convenţe. Ecuaţle de regrese se folosesc atât pentru sntetzarea anumtor cunoştnţe cât ş pentru efectuarea de nterpolăr sau, cu anumte precauţ, etrapolăr. Acestea prezntă rezultatul cercetăr într-o formă concentrată, înlocund tabelele de calcul ş, dn acest consderent, pot da soluţ optme pentru automatzarea lucrărlor. 3

125 0. Succesunea etapelor pentru analza regrese Etapele de lucru în aplcarea analze regrese sunt: stablrea tpulu de regrese, determnarea parametrlor ecuaţe de regrese, evaluarea precze drepte sau curbe de regrese (evaluarea precze de estmare). După forma lor, legăturle corelatve pot f lnare sau curbln. Stablrea tpulu de regrese este o operaţe cu un grad înalt de subectvsm, datortă faptulu că nu estă o metodă rguros fundamentată care să asgure de la început soluţa optmă. Pentru lucrărle curente se procedează astfel: - se stablesc varablele (dependentă, ndependente), - se culeg datele ş se formează tabelul de corelaţe, - se reprezntă grafc valorle observate (toate, sau numa valorle med ale caracterstc rezultatve în cazul unu număr mare de observaţ), - analzând câmpul de corelaţe sau lna polgonală se stableşte forma, sensul ş ntenstatea legătur dntre varable (fgura 3); în cazul ordonăr după o dreaptă, regresa este lnară, ar în cazul ordonăr după o curbă, regresa este curblne; Fgura 3. Stablrea grafcă a tpulu de ecuaţe de regrese a) regrese lnară stabltă pentru câmpul de corelaţe b) regrese lnară stabltă pentru valorle med c) regrese curblne stabltă pentru valorle med - se face compensarea, grafc sau analtc; ndferent de modaltatea de ajustare, aprecerea corecttudn se face după crterle generale: suma algebrcă a abaterlor să fe cât ma apropată de 0 (în cazul deal, char egală cu 0), suma pătratelor abaterlor să fe mnmă. 4

126 0. Metode analtce de determnare a parametrlor ecuaţlor de regrese Se consderă, pentru început, dreapta de regrese, eprmată prn ecuaţa de regrese lnară smplă: yˆ a + b. (0.) În această ecuaţe, constanta b este defntă de relaţa: s y b by r (0.3) s ş se numeşte coefcent de regrese al varable y în raport cu varabla. Smlar, se poate scre epresa coefcentulu de regrese al varable în raport cu y: s by r. (0.4) s În sens geometrc (fgura 3), coefcentul de regrese reprezntă panta drepte de regrese: b tgθ. (0.5) Constanta a (termenul lber) este dstanţa de la orgnea sstemulu de coordonate la punctul de ntersecţe al ordonate cu dreapta de regrese. y Fgura 3. Interpretarea grafcă a parametrlor drepte de regrese Determnarea ecuaţe de regrese lnare smple constă, practc, în determnarea coefcentulu de regrese (b) ş a termenulu lber (a). b se determnă dn relaţa de defnţe: 5

127 y s s s s y y y y y b b y r (0.6) s s s y s s ( ) a se determnă dn condţa ce se mpune punctulu M (, y) de a f stuat pe dreapta de regrese (acesta verfcă ecuaţa drepte): y a + b a y b (0.7) Dreapta defntă de această ecuaţe are o asemenea pozţe încât suma pătratelor abaterlor ndvduale faţă de dreaptă este mnmă. O altă posbltate este cea de estmare a parametrlor a ş b prn metoda celor ma mc pătrate, al căru prncpu de bază cere ca ecuaţa de ajustare să fe astfel aleasă încât suma pătratelor abaterlor valorlor observate (y) de la valorle calculate pe baza modelulu ( ŷ ) să fe mnmă (fgura 33). Altfel spus, suma erorlor de estmare trebue să fe cât ma redusă: S ( ˆ) y y mnm, (0.8) unde,, reprezntă numărul perechlor de valor (, y ). Fgura 33. Reprezentarea grafcă a pătratelor abaterlor valorlor epermentale faţă de dreapta de regrese Relaţa anteroară se ma poate scre, în cazul une drepte de regrese: S ( y a b ) mnm. (0.9) 6

128 Mnmul poate f determnat prn anularea dervatelor parţale ale lu S în raport cu a ş în raport cu b: S S 0 (0.0) a b Se obţne sstemul de ecuaţ: ( ) y a b 0 y a + b (0.) ( y a b ) 0 y a + b Prma ecuaţe arată că suma algebrcă a abaterlor între valorle observate ş ordonatele corespunzătoare ale drepte de regrese este nulă (abaterle negatve ale punctelor stuate sub dreaptă compensează abaterle poztve ale punctelor de deasupra drepte). Prn împărţrea la, se obţne: y a + b, (0.) dec dreapta de regrese trece prn punctul ( y) M,. Ecuaţa lnară determnată anteror este cea care eprmă dependenţa varable y în raport cu : yˆ a + b (0.3) Spre deosebre de ecuaţle funcţonale, dn această relaţe nu poate f obţnută relaţa nversă (dependenţa lu în raport cu y). Dec, nu se poate scre: a ˆ + y b b ˆ se obţne prn procedeele prezentate anteror ş reprezntă o altă dreaptă de regrese (fgura 34) care y ˆ f. Ecuaţa drepte de regrese f ( y) formează un ungh α cu dreapta ( ) α este cu atât ma mare cu cât legătura corelatvă este ma slabă (r ma mc; câmpul de corelaţe ma dspersat). Dacă r 0, cele două drepte de regrese sunt perpendculare ş paralele cu aele de coordonate. Pentru r sau r - dreptele de regrese se suprapun (relaţe funcţonală). 7

129 Fgura 34. Pozţa celor două drepte de regrese ce redau forma legătur între caracterstcle ş y 0.3 Intervalul de încredere pentru ecuaţa de regrese yˆ a + b reprezntă numa o estmaţe pentru adevărata dreaptă de regrese, pentru că se obţne pe baza une mulţm fnte de perech de valor (, y) observate. Aşadar, valorle calculate ŷ sunt afectate de eror ( ), dreapta de regrese fnd caracterzată prntr-un nterval de încredere: yˆ ± t, (0.4) s y ˆ în care t este valoarea testulu Student pentru pragurle de semnfcaţe stablte (q) ş numărul gradelor de lbertate f -. Eroarea de estmare se determnă cu relaţa: în care s / y ( ) s y ˆ s yˆ s y / +, (0.5) Q reprezntă abaterea standard a valorlor ndvduale ale lu y faţă de dreaptă ş se determnă cu relaţa: ( y yˆ ) s / y, (0.6) ar Q (suma pătratelor abaterlor pentru varabla ) se calculează: 8