TEORIA GRAFURILOR ÎN PROBLEME SI APLICATII

Transcript

1 UNIVERSITATEA DE STAT DIN MOLDOVA Facultatea de Matematca s Informatca Sergu CATARANCIUC TEORIA RAFURILOR ÎN PROBLEME SI APLICATII Chsnau 004

2 UNIVERSITATEA DE STAT DIN MOLDOVA Facultatea de Matematca s Informatca Sergu CATARANCIUC TEORIA RAFURILOR ÎN PROBLEME SI APLICATII (materal ddactc) Aprobat de de Conslul Facultat Matematca s Informatca Chsnau 004

3 I. NOTIUNI DE BAZA A. Defnta grafulu. Subgrafur Perechea de multm ( X, U ), unde X este o multme de vda cu elemente dstncte, ar U este formata dn perech neordonate de elemente dn X, se numeste graf neorentat. Elementele multm X se numesc vârfur, ar elementele multm U much ale grafulu. Un graf determnat de perechea ( X, U ) se noteaza prn = ( X, U ). În cele ce urmeaza vom studa numa grafur fnte, = X, U, pentru adca grafur cu multmle X s U fnte. raful ( ) care X = n, U = m, se numeste ( m) n, -graf. Se ma spune ca graful cu n vârfur este graf de ordn n. Pentru a specfca, ca X s U sunt multmle de vârfur s respectv de much ale unu graf vom utlza notatle X, U. Daca o muche u este determnata de perechea de vârfur ( x k, x l ), atunc vom scre u = ( xk, xl ). În acest caz x k s x l se numesc extremtat ale muche u, ar însas vârfurle se numesc adacente. Se spune, ca fecare dntre vârfurle ncdent muche prn x k ~ l x k s x l este x se noteaza u s recproc. Adacenta dntre x k, l x. Doua much se numesc adacente, daca sunt ncdente unu vârf comun. Daca x este un vârf al grafulu = ( X, U ), atunc multmea { x X : ( x, x ) U} se numeste vecnatate a vârfulu x s se noteaza prn Γ ( ) sau smplu Γ ( ). rad sau valenta a vârfulu x x X este cardnalul multm Γ ( x ) s se noteaza prn deg x, sau g ( x ). x 3

4 Vecnatate a une submultm de vârfur A X a grafulu = ( X, U ) se numeste multmea Γ ( A ) = { z X \ A : y A z ~ y }. Valenta maxma s valenta mnma a vârfurlor unu graf se noteaza prn ( ) s δ ( ), adca: = max deg x δ = mn deg x. ( ) { }, ( ) { } x X Vârful x X se numeste zolat în graful, daca deg x = 0 s suspendat daca deg x = (vârful suspendat se ma numeste vârf termnal). Mucha ncdenta unu vârf suspendat de asemenea se numeste suspendata. Pentru un ( n, m) -graf = ( X, U ) se verfca cu usurnta egaltatea deg x = m. x X x X Într-adevar vom observa ca la calcularea sume x X deg x fecare muche dn graf se va numara de doua or, deoarece gradul unu vârf ma poate f consderat s ca numarul de much dn graf, ncdente acestu vârf. raful, orcare doua vârfur ale carua sunt adacente, se numeste graf complet s se noteaza prn K n. Numarul de much ale n( n ) lu K n este C n =. raful = ( X; U ) cu U = O/ se numeste graf vd s se noteaza prn O n, ar graful, pentru care X =, U = O/ se numeste graf trval. Daca X X, X X, X = X U X, X I X = O/ s fecare muche a grafulu = ( X; U ) are o extremtate în X, ar alta în X, atunc graful se numeste bpartt s se noteaza prn = ( X, X ; U ). raful bpartt, în care fecare vârf dn X este adacent cu fecare vârf dn 4

5 X se numeste graf bpartt complet. Conform defnte grafulu neorentat multmea U ar putea sa contna much ale caror extremtat concd. Astfel de much se numesc bucle. De asemenea, o pereche de vârfur poate f prezenta de ma multe pro în U. În acest caz multmea de much determnata de aceeas pereche de vârfur se ma numeste muche multpla. raful, ce contne bucle s much multple se numeste pseudograf, ar graful ce contne bucle se numeste multgraf. raful = ( X; U ) se numeste orentat, daca U este o multme de perech ordonate de elemente dn X. raful orentat se noteaza prn ( X; U ) =. Elementele multm U se numesc arce. Pentru arcul u ( x, y) extremtate fnala. Se spune ca arcul u ( x, y) = vârful x este extremtate ntala, ar y = este orentat de la x spre y. Vârful X se ma numeste predecesorul vârfulu y, ar y succesorul vârfulu X. Dn defnta grafulu orentat rezulta ca perechle de vârfur x, repreznta arce dferte. raful orentat ( x, x ) s ( x ) ( X U ) = ;, care pentru orce doua vârfur x, x X nu contne în acelas tmp arcele ( ) y x, s ( ) x y, se numeste antsmetrc, ar graful antsmetrc cu un numar maxm de arce se numeste turnr. Semgradul exteror al unu vârf x X, notat prn g + ( x ), al grafulu ( X; U ) { x X ( x, x ) U} = este cardnalul multm :, adca este numarul succesorlor lu x. Semgradul nteror al unu vârf x X, notat prn g ( ), al grafulu ( X; U ) { x X ( x, x ) U} = este cardnalul multm :, adca este numarul predecesorlor lu x. x 5

6 g g radul sau valenta vârfulu + ( x ) g ( x ) + g ( x ) =. x al grafulu orentat este În cazul grafulu neorentat are loc egaltatea + = g x = g x. raful, în care gradele tuturor vârfurlor ( x ) ( ) ( ) sunt egale cu un numar k, se numeste graf k -regulat. În cele ce urmeaza, daca nu se va concretza în mod specal, vom consdera, ca graful este neorentat, fara bucle s much multple. Astfel de grafur se ma numesc grafur smple. raf complementar al unu graf = ( X; U ) este graful cu aceeas multme de vârfur X, în care doua vârfur sunt adacente daca s numa daca ele nu sunt adacente în. raful L ( ), vârfurle carua corespund muchlor grafulu s în care doua vârfur sunt adacente daca s numa daca sunt adacente muchle corespunzatoare lor în, se numeste graf al muchlor grafulu. Doua grafur = ( X;U ) s = ( X ;U ) se numesc zomorfe daca exsta o aplcate bectva ψ : X X astfel încât x, x U ψ x, ψ x U. ( ) daca s numa daca ( ( ) ( ) În teora grafurlor se acorda un nteres deosebt unor submultm de vârfur sau much cu propretat specale, ce îs gasesc aplcate la solutonarea unu sr de probleme practce. Prntre aceste submultm se afla multmle ntern stable, extern stable, nucleul grafulu, cuplaul s.a. O submultme de vârfur S X a unu graf = ( X; U ) se numeste ntern stabla daca orce doua vârfur x, y S nu sunt adacente în. Multmea ntern stabla S se numeste maxmala, daca în nu exsta o alta multme ntern stabla A astfel încât S A, s respectv multmea ntern stabla S se numeste maxma daca pentru orce multme ntern stabla A dn are loc 6

7 negaltatea S A. Cardnalul multm maxme ntern stable se numeste numar de stabltate nterna a grafulu s se noteaza α. prn ( ) o O submultme de vârfur X = X; U se numeste extern stabla daca pentru orce x X \ A exsta un vârf y B adacent cu x. Multmea extern stabla B se numeste mnma daca în graful nu exsta o alta multme extern stabla C astfel încât C B, s respectv multmea extern stabla B se numeste mnma daca pentru orce multme extern stabla C dn are loc negaltatea B C. Cardnalul multm mnme extern stable se numeste numar B a unu graf ( ) de stabltate externa a grafulu s se noteaza prn ( ) β. Multmea de vârfur care este în acelas tmp ntern stabla s extern stabla se numeste nucleu. O submultme de much K U a unu graf = ( X; U ) se numeste cupla daca orce doua much u, u K nu sunt adacente în. Cuplaul K se numeste maxmal daca în nu exsta un alt cupla T astfel încât K T, s respectv cuplaul K se numeste maxm, daca pentru orce cupla T dn are loc negaltatea K T. = se numeste subgraf al grafulu = X ; U daca X H X, U H U. În cazul când X = graful H se numeste subgraf partal al grafulu. raful H ( X H ; U H ) ( ) H X Daca U H ( X H X H ) IU = atunc H se numeste subgraf, generat de submultmea de vârfur X X. Cu alte cuvnte, daca H este un subgraf al grafulu, generat de o submultme de vârfur X atunc doua vârfur sunt adacente în H daca s numa H X daca ele sunt adacente s în. H o 7

8 Fe acum ( X, U ) oarecare. Functa f X {,,..., k} = un graf smplu, ar k un numar natural : se numeste k -colorare a vârfurlor grafulu. Colorarea se numeste corecta, daca f x f y pentru orce doua vârfur adacente x, y X. Se ( ) ( ) spune ca graful este k -colorabl, daca exsta o k -colorare corecta a vârfurlor sale. Numarul mnm k pentru care graful este k - colorabl se numeste numar cromatc al acestu graf s se noteaza prn χ ( ). Daca χ ( ) =k atunc se numeste k cromatc. B. Lantur s cclur O consecutvtate de vârfur = ( x, x,..., x k, xk+ ) numeste marsrut în graful = ( X, U ) daca ( x x ) U =, k. Se consdera, ca o muche = marsrutulu µ daca s numa daca p x s consecutvtatea µ, adca p {,,...,k} µ se u ( ) l p x l, pentru + x, dn apartne x sunt vârfur vecne în s l = p +. Vârfurle x, x k + se numesc extremtat ale marsrutulu, ar numarul k lungmea lu. Daca x = x k + atunc µ e numeste marsrut închs. Un marsrut, ce contne fecare muche a grafulu cel mult o sngura data se numeste lant. Lantul, toate vârfurle carua sunt dstncte doua câte doua se numeste lant elementar. Un marsrut închs, ce contne fecare muche a grafulu cel mult o sngura data se numeste cclu. Cclul, toate vârfurle carua, cu excepta celor extremale, sunt dstncte doua câte doua se numeste cclu elementar. Nu orce graf contne cclur elementare. raful ce nu contne cclur elementare se numeste arbore. Într-un graf = ( X; U ), subgraful partal, ce nu contne cclur elementare se numeste arbore partal. 8

9 Lantul (cclul), ce contne fecare muche a grafulu exact o sngura data se numeste lant (cclu) euleran. Lantul (cclul) ce contne fecare vârf al grafulu exact o sngura data se numeste lant (cclu) hamltonan. raful în care orcare doua vârfur sunt unte prntr-un lant elementar se numeste graf conex. Subgraful maxmal conex al grafulu, adca subgraful conex ce nu se contne într-un alt subgraf conex ma mare, se numeste componenta conexa. Prn urmare, daca graful nu este conex, atunc el contne cel putn doua componente conexe. Notam prn d ( x, y) lungmea mnma a lanturlor elementare, ce unesc vârfurle x, y. Numarul d ( x, y) exprma dstanta dntre x s y. În cazul când între doua vârfur x, y X nu exsta nc un lant, se consdera d ( x, y) =. Dstanta vârfurle unu graf conex ( X; U ) = defnta astfel satsface axomele metrc, adca pentru orce tre vârfur x, y, z au loc urmatoarele relat: X ) d ( x, y) 0 s ( x, y) = 0 ) d ( x, y) = d( y, x) 3) d ( x, y) d( y, z) d( x, z) d daca s numa daca x = y +. Cu autorul dstante se defneste puterea de gradul k a k grafulu. Se numeste putere de gradul k a unu graf graful, ce contne aceeas multme de vârfur ca s s în care doua vârfur x, y sunt adacente daca s numa daca în are loc negaltatea d ( x y) k,. Pentru un vârf oarecare e x X al unu graf numarul max d x, y ( x) = ( ) y X 9

10 se numeste excentrctate a acestu vârf. Cea ma mare s cea ma mca dntre excentrctatle vârfurlor unu graf se numesc respectv dametru d ( ) s raza r ( ) a grafulu. Prn urmare d = max e x = max max d x, y r ( ) ( ) ( ) x X x X y X ( ) mn e( x) = mn max d( x, y) =. x X Evdent ( ) d( ) egaltatea ( ) d( ) x X y X r s exsta grafur pentru care are loc r =. De exemplu, în cazul când este un cclu elementar de lungme para egaltatea ndcata se respecta. Vârful, excentrctatea carua concde cu raza grafulu se numeste vârf central. Multmea tuturor vârfurlor centrale se numeste centrul grafulu. Submultmea mnma de vârfur A X, adca submultmea cu un numar mnm de vârfur, se numeste multme de artculate a grafulu, daca la elmnarea e dn obtnem un graf nou, ce contne cu o componenta conexa ma mult decât (dec la elmnarea dn a orcare submultm B X, B < A, obtnem un graf nou, în care numarul componentelor conexe nu este ma mare decât în ). În cazul când multmea de artculate este formata dntr-un sngur vârf, acest vârf se numeste punct de artculate. Mucha, ce uneste doua puncte de artculate se numeste stm. Daca mucha u este stm în graful, atunc la elmnarea e obtnem un graf nou cu ma multe componente conexe decât. Subgraful maxmal, ce nu contne puncte de artculate se numeste bloc. C. Reprezentar ale grafurlor În afara de reprezentarea algebrca ce consta în descrerea nemlocta a multmlor de vârfur s de much un graf ma poate f 0

11 reprezentat geometrc, prn matrcea de adacenta, matrcea de ncdenta, s. a. În reprezentarea geometrca vârfurle grafulu se repreznta prn puncte sau cercur etchetate, ar orce muche se repreznta prntr-o lne contnua, ce uneste punctele corespunzatoare extremtatlor muche respectve. În cazul grafurlor orentate lnle sunt înzestrate cu o sageata, ce corespunde orentar arculu. De exemplu, fe, doua grafur reprezentate algebrc: X = { x, x, x3, x4, x5} = ( X ; U) :, U = {( x, x )( x, x3 ), ( x, x4 )( x, x3 )} r r X = { x, x, x3, x4, x5} = ( X ; U ): r, U = x, x x, x, x, x x, x {( )( ) ( )( )} Reprezentarea geometrca a grafurlor, este data în fgura a s b a) b) c) Fgura Fgura

12 raful ( X; U ) = se numeste planar daca admte o reprezentare geometrca în plan, în care orce doua much nu au puncte comune nteroare. Însas reprezentarea geometrca a garfulu planar, ce poseda propretatea ndcata se numeste graf-plan. Se ma spune ca graful-plan este o reprezentare corecta în plan a grafulu planar. raful dn fgura a este un graf planar, ar una dntre reprezentarle corecte ale sale dn plan, adca graful-plan respectv, este data în fgura c. La suprmarea dn plan a muchlor s vârfurlor unu graf-plan = ( X; U ) întreg planul se împarte în componente conexe, numte fete ale lu. Componentele conexe margnte se numesc fete nteroare, ar componenta conexa nemargnta fata exteroara. Orce graf-plan contne o fata exteroara. Frontera orcare fete este un marsrut închs. raful-plan dn fgura contne n = 9 vârfur, m = much s f = 4 fete. Fetele f, f, f3 sunt fete nteroare, ar fata f 4 este exteroara. Frontera fete f este marsrutul închs ( x, x, x0, x3, x0, x ). Daca un graf este planar, atunc în orce reprezentare corecta a sa în plan numarul de fete ramâne constant. Relata dntre numarul de vârfur n, much m s fete f ale unu graf planar a fost stablta de Leonard Euler: n m + f =, (care se numeste astaz formula lu Euler). O matrce bnara A = a de dmensunea n n se numeste matrce de adacenta a grafulu cu multmea de vârfur X = x x,...,, daca: { }, x n,daca x x a = 0, în caz contrar Matrcea de adacenta a grafulu este o matrce smetrca cu elementele de pe dagonala prncpala egale cu zero. Lnle s

13 coloanele aceste matrc corespund vârfurlor x,...,, x xn ale grafulu. Numarul de untat dntr-o lne (coloana) este egal cu gradul vârfulu corespunzator. Pentru graful reprezentat în fgura a matrcea de adacenta este : x x x3 x4 x5 x x 0 0 A = x x x În mod analog se defneste matrcea de ncdenta a grafulu X; U X = x x,...,, = ( ), cu multmle de vârfur s much {, x n } { u u } U =,...,. Aceasta este de asemenea o matrce bnara, u m B = b de dmensunea n m cu elementele:, daca x este ncdent muche u, b = 0, în caz contrar. Fecare coloana a matrce de ncdenta contne exact doua untat. Pentru graful dn fgura c matrcea de ncdenta este: u u u3 u4 x 0 0 x 0 B = x x x În cazul grafurlor orentate matrcea de ncdenta este o matrce B = b cu elementele: 3

14 , daca x este vârf ntal al arculu u, b = -, daca x este vârf fnal al arculu u, 0, daca vârful x s arcul u nu sunt ncdente. Un rol deosebt la studerea arborlor partal a unu graf neorentat îl oaca matrcea lu Krhgoff, care este o matrce bnara -, daca vârfurle x, x sunt adacente, k = 0, daca vârfurle x, x nu sunt adacente, deg, când x = x. x patratca de dmensunea n n, n = X cu elementele: În matrcea lu Krhgoff suma elementelor orcare ln s a orcare coloane este egala cu zero. D. Operat asupra grafurlor Dntre operatle defnte asupra grafurlor cele ma des întâlnte sunt: reununea, suma, ntersecta s produsul grafurlor. raful = ( X; U ) se numeste reunune a grafurlor = ( X;U ) s = ( X ;U) (se noteaza = U ), daca X = X U X, U = U UU. În cazul când X I X = Ο/, reununea grafurlor se numeste dsunctva. raful = ( X, U ), ce se obtne dn = ( X;U ) s = ( X ;U) prn adaugarea tuturor muchlor posble de tpul ( x, y), unde x X, y X se numeste suma a grafurlor, s se noteaza = +. raful = ( X; U ) se numeste ntersecte a grafurlor = ( X;U ) s = ( X ;U) (se noteaza = I ), daca X = X I X, U = U IU. 4

15 = se numeste produs al grafurlor ;U = ;U (se noteaza = ), daca multmea de vârfur X este determnata de produsul cartezan al multmlor X, X ( X = X X ) s orcare doua vârfur ( x, y ), ( x, y ) sunt adacente în daca s numa daca x = x s y ~ y sau y = y s x ~ x (fgura 3). În cazul produsulu cartezan a doua grafur au loc relatle: X = X X = X raful ( X; U ) = ( X ) s ( X ) U = X X U + X U Fgura 3 Cu autorul operate produsulu cartezan al grafurlor se pot descre cuburle Q n de dmensunea n, s anume Q n = Q Qn ( n > ). n Cubul n -dmensonal contne vârfur s n n much. Daca x este un vârf al grafulu = ( X; U ), atunc prn x se noteaza graful ce se obtne dn ca rezultat al elmnar a) b) c) Fgura 4 5

16 vârfulu x (împreuna cu muchle ncdente lu). Daca x s y sunt doua vârfur dn neadacente, atunc prn u u = x, y, +, unde ( ) se noteaza graful ce se obtne dn la adaugarea muche no ( x, y). În fgura 4b s 4c sunt reprezentate respectv grafurle x5 s + ( x, x 3 5 ), ce se obtn dn graful, reprezentat în fgura 4a. E. Aplcat ale teore grafurlor Teora grafurlor este una dntre dscplnele matematce, care s-a gast o aplcate larga la solutonarea problemelor practce dn dferte domen: fzca, chme, econome etc. Vom mentona câteva probleme ce se reduc în mod fresc la probleme dn teora grafurlor. ) N localtat trebue unte într-o retea nformatonala astfel încât nformata transmsa dntr-o localtate A sa poata f receptonata în orce alta localtate prntr-un canal de legatura drect sau prn ntermedul altor centre (localtat), cu condta ca lungmea totala a aceste retele sa fe mnma. Se ste ca între orcare doua localtat dn punct de vedere fzc este posbla, trasarea unu canal de legatura nformatonala. În aceasta stuate localtatle pot f consderate drept vârfur ale unu graf complet K în care fecare muche are o pondere egala cu lungmea canalulu de legatura drecta dntre centrele respectve. Atunc reteaua nformatonala cautata va f un arbore partal al grafulu K de lungme mnma. În prezent se n cunosc do algortm efcent de construre a arborlor partal de lungme mnma a unu graf: algortmul lu Kruskal, aparut în anul 956 s algortmul lu Prm, aparut în anul 957. ) Dntr-un centru oarecare A sunt emse nste semnale care trebue sa fe receptonate în B. Semnalele emse sunt elemente ale X = x x,...,. Dn cauza unor factor în punctul de multm { }, x n stocare a nformate B unele dntre aceste semnale pot f confundate n 6

17 cu altele. În aceste condt este necesar sa se determne submultmea maxma de elemente dn X care în procesul emsun dn A în B nu vor f confundate. Pentru rezolvarea aceste probleme construm un graf cu X = x x,...,. În acest graf doua vârfur multmea de vârfur { }, x, x se consdera adacente daca la receptonare în punctul B semnalul x poate f confundat cu semnalul x. Submultmea maxma de semnale ce pot f transmse dn A în B fara percolul de a f confundate corespunde multm maxme ntern stable a grafulu construt. De regula transmterea nformate între doua centre se face în forma de texte, formate dn cuvnte. Daca presupunem ca toate cuvntele au aceeas lungme k, atunc cunoasterea submultm maxme de semnale, care la transmterea prn canalul nformatonal nu α cuvnte vor f confundate, permte formarea cel putn a [ ( )] k 0 dferte, receptonate corect. ( ( ) o x n α este numarul de stabltate nterna a grafulu ). 3) Fe data o retea nformatonala formata dn centre de pastrare s prelucrare a nformate. Unele dntre aceste centre sunt unte prn canale de transmtere a nformate. Transmterea nformate între doua centre poate avea loc nemloct prn canalul dntre ele (daca acesta dn urma exsta) sau prn ntermedul altor canale s centre. Reteaua se consdera functonabla, daca transmterea nformate are loc între orce doua centre. Fabltatea retele functonale este determnata de numarul mnm de centre, dstrugerea carora conduce la obtnerea une retele no, ce nu ma este functonabla. Fabltatea une astfel de retele nformatonale este H al grafulu, vârfurle determnata de numarul de conextate ( ) 7

18 carua corespund centrelor nformatonale s orcare doua vârfur sunt adacente daca s numa daca centrele respectve sunt unte nemloct prntr-un canal. 4) Pentru realzarea unu proect este necesar de efectuat n L = l l,..., utlzând în acest lucrar, determnate de multmea {, l n } scop m dspoztve determnate de multmea D { d d,..., } =. Se, consdera ca o lucrare l poate f realzata prn utlzarea unor dspoztve într-un volum de tmp egal pentru toate lucrarle dn multmea L, ar unul s acelas dspoztv nu poate f utlzat concomtent pentru efectuarea a ma multor lucrar. Se cere de gast o astfel de repartzare a dspoztvelor pentru îndeplnrea lucrarlor, care ar mnmza tmpul sumar de realzare a proectulu. Pentru solutonarea aceste probleme construm un graf, vârfurle carua corespund lucrarlor l ( =, n ), consderând doua vârfur l, l adacente, daca pentru efectuarea lucrarlor respectve este necesar de folost cel putn un dspoztv comun. La o colorare corecta a vârfurlor grafulu construt lucrarle ce corespund vârfurlor colorate la fel pot f îndeplnte în acelas tmp. Tmpul mnm necesar pentru realzarea proectulu în întregme este determnat de numarul mnm de culor în care pot f colorate vârfurle grafulu. d m 8