PRELUCRAREA DATELOR EXPERIMENTALE
|
|
- Ναβαδίας Αγγελόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 PRELUCRAREA DATELOR EXPERIMETALE I. OŢIUI DE CALCULUL ERORILOR Orce măsurare epermentală este afectată de eror. După cauza care le produce, acestea se pot împărţ în tre categor: eror sstematce, eror întâmplătoare ş eror grosolane.. Erorle sstematce au tre surse posble: a) Eror de observator. Dacă, de eemplu, observatorul cteşte ndcaţle nstrumentulu de măsură prvnd oblc scala acestua, toate ctrle sale sunt ma mar sau ma mc decât valorle reale. Aceste eror pot f complet elmnate, prn corectarea modulu de lucru al observatorulu. b) Eror de nstrument. Orce nstrument de măsură are o scală ndcatoare (la nstrumentele cu afşaj dgtal, putem consdera această scală mplctă). c o ctre efectuată cu ajutorul aceste scale nu poate f ma precsă decât jumătate dn cea ma mcă dvzune a scale. Aceste eror pot f mcşorate (prn înlocurea nstrumentulu folost cu altul ma precs), dar nu complet elmnate. c) Eror de metodă. În cursul procesulu de măsură, sstemul măsurat nteracţonează cu nstrumentul de măsură, ceea ce modfcă rezultatul măsurător. De eemplu, pentru a măsura o rezstenţă, putem folos metoda amonte sau metoda aval. În prmul caz valoarea obţnută este ma mare decât cea reală (Rmăs=R(+RA/R)), ar în al dolea este ma mcă (Rmăs=R/(+R/RV)). Putem elmna aceste eror dacă cunoaştem rezstenţele nterne ale nstrumentelor de măsură (ceea ce înseamnă măsurarea altor rezstenţe) sau dacă înlocum metoda cu o metodă prn punte, care compară rezstenţa necunoscută cu altele, presupuse cunoscute (dec, dn nou, măsurarea altor rezstenţe). Aşadar ş aceste eror pot f mcşorate, dar nu complet elmnate. Orcare ar f cauzele erorlor sstematce, ele au o caracterstcă comună: se admte că valoarea une măsurător ndvduale este aceeaş or de câte or repetăm măsurarea, dec ş eroarea este aceeaş. De aceea, calculul erorlor pentru măsurător ndrecte se face la fel pentru toate erorle sstematce. Eroarea absolută δ a une mărm măsurate reprezntă modulul dferenţe mame posble între valoarea măsurată ş cea adevărată, ar eroarea relatvă ε este raportul dntre eroarea absolută ş modulul valor adevărate, fnd dată de raportul dntre eroarea absolută ş modulul valor măsurate (cu condţa, evdent, ca numtorul să fe nenul). Atunc, dacă o mărme determnată ndrect este de forma
2 z = ±, () eroarea sa absolută este δ z = δ + δ, () ar dacă mărmea este de forma ± z =, (3) eroarea sa relatvă este ε z = ε + ε. (4). Erorle întâmplătoare sunt determnate de consderente statstce. Eperenţa arată că mărmle măsurate drect sunt de două tpur posble: dscrete (de eemplu numărul de mpulsur înregstrate de un detector) ş contnue. Analza teoretcă a statstc mărmlor dscrete demonstrează că valorle lor sunt dstrbute conform dstrbuţe de probabltate Posson. Conform acestea, probabltatea de a obţne un număr n de mpulsur la o măsurare este unde p ( n) n a a = e, (5) n! n= 0 ( n) a = np (6) este valoarea "adevărată" a numărulu de mpulsur (ş, în general, este un număr real), ar eroarea cu care a fost determnat numărul a (eroarea standard sau abaterea pătratcă mede) este ( n a) p( n) a σ. (7) a = = n=0 Dacă efectuăm un număr de măsurător în condţ dentce, obţnând valorle n (), n ( ),..., n ( ), atunc estmatul valor adevărate este dat de valoarea mede: Est a n~ = n(). (8) = Eroarea care afectează o măsurare ndvduală ( ) n () = n( ) n va f atunc σ, (9) ar cea a valor med va f n~ σ n~ =. (0) Să trecem la cazul mărmlor contnue. Fzca statstcă demonstrează că valorle acestor mărm sunt dstrbute conform dstrbuţe normale (Gauss). Să
3 3 consderăm întâ cazul une sngure mărm. Denstatea sa de probabltate va f atunc ( ) ( ) dp, + d ( a ) P = ep, () d πσ σ unde ( ) a = P d () este valoarea sa "adevărată", ar ( a ) P( ) σ = d (3) este eroarea sa standard. În cazul în care efectuăm un număr de măsurător în condţ dentce, obţnând valorle ( ), ( ),..., ( ), atunc estmatul valor adevărate este dat de valoarea mede Est a ~ = (), (4) = eroarea care afectează o măsurare ndvduală ( ) va f σ () = ( () ~ ), (5) = ar cea a valor med va f σ () σ ~ =. (6) Să consderăm acum cazul a n mărm,,..., n, formând un vector într-un spaţu n -dmensonal. În acest caz, dstrbuţa normală va f T P ( ) = ep ( a) Γ ( a), (7) n ( π ) det Γ unde matrcea covaranţelor Γ este defntă prn n Γ, ρ, σ σ = a a P d, (8) j j j ( )( j j ) ( ) ρ, j fnd coefcenţ de corelaţe lnară (care satsfac condţa ρ, j ). În partcular, dacă mărmle,,..., n sunt ndependente, matrcea covaranţelor este dagonală, elementele sale nenule fnd pătratele erorlor standard (dspersle) mărmlor consderate. Dacă efectuăm un set de măsurător în condţ dentce, obţnând valorle (),..., ( ), estmatele valorlor adevărate ş ale erorlor, ( )
4 4 standard pentru valor ndvduale sau med sunt date de relaţle (4 6). Dacă, pe baza măsurătorlor efectuate, evaluăm un parametru eprmat prntr-o F, atunc, pentru a estma valoarea sa adevărată ş eroarea standard, funcţe ( ) Γ, j trebue întâ să evaluăm covaranţele relatve. Dacă toate aceste aa j covaranţe relatve sunt mult ma mc decât untatea, atunc valoarea adevărată a mărm F este estmată prn ~ Esta F F = F( ~ ), (9) ar eroarea standard este evaluată prn formula Gauss a propagăr erorlor = n F F σ F σ σ j ρ, j, (0), j= ~ j ~ unde coefcenţ de corelaţe lnară sunt determnaţ prn relaţa ( ~ ) ( ( k) ) j ( k) k= ~ ρ, j=, () ( ( k ) ~ ) ( j ( k j ) ~ j ) k = k j = ar erorle standard prn relaţa (5), respectv (6). Dacă cel puţn o covaranţă relatvă nu este sufcent de mcă, atunc defnm F() F( () ) () ş utlzăm relaţle (4 6). În general, o mărme este afectată atât de eror sstematce, cât ş de eror întâmplătoare. Atunc eroarea totală va f evaluată cu ajutorul formule propagăr erorlor, fnd s = σ + δ. (3) Evdent, aceastå relaţe ne permte să stablm în ce caz putem utlza doar un sngur tp de eroare: când celălalt tp este mult ma mc. A adar, dacă efectuăm ma multe determnăr ş dferenţele dntre ele sunt mult ma mar (mc) decât erorle de ctre (sstematce), înseamnă că putem folos doar erorle întâmplătoare (sstematce). De re nut că rela le (0) ş (3) se vor utlza ş în cazul în care unele dntre mărmle sunt dscrete, caz în care erorle standard ale respectvelor mărm sunt evaluate cu relaţa (9) sau (0). De eemplu, să consderăm cazul vteze de numărare a unu detector de radaţ având tmpul mort τ. Dacă măsurăm mpulsur în prezenţa surse radoactve în tmpul S j
5 5 t S, respectv F mpulsur pentru fondul de radaţ al laboratorulu în tmpul t F, vteza de numărare pentru sursă va f S F n =, (4) ts Sτ t F Fτ ar eroarea sa standard va f S F σ n = +, (5) ts ( ts Sτ ) t F ( t F Fτ ) deoarece erorle relatve pentru măsurarea tmpulu, ca ş covaranţele relatve sunt negljable, astfel încât putem utlza dstrbuţa Posson. În schmb, dacă vom repeta măsurarea în condţ dentce, valoarea mede ş eroarea standard a acestea vor f calculate cu relaţle (4 6), deoarece vteza de numărare este o mărme contnuă. În sfârşt, să analzăm cazul determnăr unu parametru dn relaţa între două mărm fzce. Majortatea relaţlor întâlnte (practc toate cele întâlnte în laboratoarele ddactce) sunt lnare sau pot f aduse la această formă. Astfel, o relaţe de forma = a + b f ( ), unde a ş b sunt parametr care trebue să fe determnaţ, ar f ( ) este o funcţe cunoscută (complet determnată de valoarea măsurată a lu ) poate f adusă la forma lnară prn substtuţa X = f ( ). O relaţe de forma = a ep( b) poate f lnarzată prn logartmare, cu ajutorul substtuţe Y = ln (grafcul Y = Y ( ) consttue o reprezentare în scară b (smplu) logartmcă, vez captolul II). O relaţe de forma = a poate f lnarzată tot prn logartmare, cu ajutorul substtuţlor Y = ln ş X = ln (grafcul Y = Y ( X ) consttue o reprezentare în scară dublu logartmcă, vez captolul II). În consecnţă, vom analza modul de determnare a parametrlor m ş n dn relaţa = m + n, (6) unde m = reprezntă panta ş n = ordonata la orgne (abscsa la =0 n orgne fnd, evdent, = ). =0 m, =, ş { } Să consderăm setul de perech de date epermentale să defnm epresa F( m, n) = ( () m() n). (7) = Se observă că această eprese reprezntă pătratul eror standard pentru o valoare epermentală a mărm în raport cu dreapta (6). În aceste condţ,
6 6 cea ma bună alegere pentru parametr m ş n este cea care mnmzează funcţa F ( m, n). Dervând funcţa în raport cu m ş n ş anulând dervatele, obţnem σ m = ρ,, n = ~ m~, (8) σ unde valorle med, erorle standard ş coefcentul de corelaţe lnară sunt calculate cu relaţle (4), (5) ş (). De reţnut că valoarea coefcentulu de corelaţe lnară este un ndcu asupra corecttudn utlzăr ecua e (6). Întradevăr, dacă modulul coefcentulu este ma mc decât 0,5, mărmle ş sunt practc necorelate, ar dacă modulul coefcentulu este cuprns între 0,5 ş 0,9, mărmle ş sunt corelate, dar nu lnar. O bună corelaţe lnară este caracterzată de un modul al coefcentulu de corelaţe ma mare decât 0,95. Dacă înlocum valorle parametrlor m ş n calculate cu epresle (8) în relaţa (7), vom obţne eroarea standard a orcăre valor a mărm dată de ecuaţa (6), în partcular a ordonate la orgne n : σ n ρ, = σ m σ = σ (9) (evdent, eroarea standard a abscse la orgne va f ρ, σ ). Pentru a determna eroarea standard a pante m, să observăm că, dacă împărţm ecuaţa (6) prn (cu elmnarea dn setul valorlor epermentale a perech corespunzând valor nule pentru, dacă această valoare a fost măsurată), obţnem tot o relaţe lnară, între ş : = n + m, (30) în care rolul parametrlor m ş n este nversat, dec σ m, = σ ρ = σ n σ. (3) În cazul în care relaţa analzată nu poate f redusă la o formă lnară, parametr necunoscuţ se determnă cu ajutorul calculatoarelor, utlzând unul dntre numeroasele programe de ftare estente (vez de eemplu D. Iordache, oţun ş metode generale ale fzc, Atelerul Polgrafc I. P. B., Bucureşt, 980; I. M. Popescu, D. Iordache, Ş. Tudorache, M. Stan, V. Fara, Probleme rezolvate de fzcă, Vol. I, Edtura Tehncă, Bucureşt, 984). O stuaţe ma specală o reprezntă determnarea pozţe unu etrem. = f relatv lent varablă ş, într-un domenu restrâns Dacă avem o relaţe ( )
7 7 de valor pentru, un etrem net pentru, acesta poate f bne descrs de dstrbuţa de probabltate Lorentz 4σ P ( ) =, (3) πσ ( a ) + 4σ unde 0 ş a >> σ > 0. Se poate verfca medat că, la fel ca în cazul dstrbu e gaussene, a este valoarea cea ma probablă pentru varabla ( P ( a ) = P ma = ), lmtele domenulu de valor pentru sunt cele ma πσ mprobable (de fapt mposble, P ( 0) = P ( ) = P mn = 0 ) ş, în plus, că ecuaţa Pma + Pmn P( ) = = admte soluţle, = a + σ ± σ, πσ satsfăcând condţa = σ. Dec, în această stuaţe, eroarea standard a etremulu funcţe = f ( ) este dată de semdferenţa dntre pozţle punctelor pentru care este satsfăcută egaltatea ( ) ma + f = mn, (33) unde ma mn reprezntă varaţa funcţe în zona etremulu consderat. 3. Erorle grosolane sunt cauzate de neatenţ sau defecţun accdentale ş trebue elmnate dn calcule. În general, aceasta este uşor de efectuat, deoarece valorle respectve dferă masv de celelalte. Totuş, este bne să defnm crter precse pentru elmnarea erorlor grosolane. Să consderăm cazul unu parametru contnuu. Conform dstrbuţe normale, probabltatea de a obţne în cadrul une măsurător o valoare care să nu a dfere de valoarea adevărată a cu ma mult de ζ σ ( ζ = σ reprezentând abaterea relatvă a valor ) este dată de ntegrala probabltăţlor ζ ( ) Φ = z ζ ep dz (34) π 0 ş se nume te nvel de încredere. Cu ttlu nformatv, Φ () = 0, 687, Φ ( ) = 0, 9545 ş Φ () 3 = 0, Alegerea ntervalulu de încredere pentru o valoare ndvduală ( ), defnt ca [ ~ ζ () s (), ~ + ζ () s () ], unde s () este eroarea totală afectând valoarea ndvduală (), dată de relaţa (3), se face pe baza condţe ζ ( ()) s Φ ζ + = (35) ()
8 8 (dacă () = 0, semlărgmea ntervalulu de încredere corespunzător, ζ () s(), se înlocueşte cu meda semlărgmlor valorlor ndvduale vecne). Atunc, dacă valoarea ndvduală ( ) nu se încadrează în ntervalul de încredere, ea este o eroare grosolană ş trebue elmnată dn calcule. Evdent, ecua a (35) este o ecuaţe transcendentă, putând f rezolvată numa pe calculator. Atunc când nu dspunem de un calculator, putem alege o valoare convenţonală pentru nvelul de încredere ş dec pentru toate ntervalele de încredere. De obce, se alege pentru abaterea relatvă valoarea ζ () = 3, crterul de elmnare a erorlor grosolane astfel obţnut fnd cunoscut sub numele de crterul 3σ. O dată elmnate erorle grosolane, se recalculează valoarea mede ş eroarea standard ş se reaplcă crterul de elmnare al erorlor grosolane. Procesul se repetă până când toate valorle rămase satsfac crterul. În cazul corela lor lnare, condţa ca ntegrala denstăţ de probabltate (7) să dea nvelul de încredere ales este () () () () + ρ =, ζ s ζ s ζ s ζ s ρ, =, (36) unde abaterle relatve pentru ş sunt evaluate cu relaţa (35) (sau defnte de crterul 3 σ ), ar erorle totale ale valorlor ndvduale ţn seama de faptul că un punct epermental ( (), ( ) ) poate f măsurat de ma multe or, în condţ dentce. Ecuaţa (36) defneşte o elpsă de încredere. Dacă punctul de, se găseşte pe dreapta (6), aceasta trebue să ntersecteze coordonate ( ) elpsa de încredere. Cond a de ntersecţe se reduce, evdent, la o ecuaţe de gradul do, care admte solu reale dacă ş numa dacă dscrmnantul său este poztv, dec dacă () m() n s σ s σ ζ ζ ρ,, (37) ζ s ζ s σ ζ s σ unde σ, σ sunt erorle pentru întregul set de puncte epermentale, date de relaţa (5). În partcular, dacă ζ () s() ζ () s () ζ (), (38) σ σ condţa (37) devne () m() n ζ () σ n, (39) ar dacă, în plus, defnm abaterea relatvă ζ () prn condţa
9 9, ζ () + ρ = (40) (de eemplu, condţa ζ () = 3 este echvalentă cu un coefcent de corelaţe lnară ρ, = 0, 948) condţa (37) devne m n, (4) s () condţe care se poate generalza medat pentru o dependenţă arbtrară f ( ) în forma () f ( () ) s () =,. (4) II. PREZETAREA REZULTATELOR EXPERIMETALE Prezentarea rezultatelor epermentale într-un referat se face ţnând seama de anumte regul:. Toate datele măsurate trebue să apară în referat.. Toate datele măsurate trebue să fe eprmate în untăţ ale Sstemulu Interna onal, în multpl sau submultpl a acestora, sau în untăţ tolerate, în forma = { }, unde este mărmea fzcă, { } este valoarea sa numercă, ar este untatea sa de măsură. Dacă este necesară utlzarea unu format eponenţal pentru valoarea numercă, se va scre o sngură cfră nenulă înantea vrgule zecmale. De eemplu, valoarea U = 0, V se va scre în forma U = 6,563 0 V sau U = 65,63 µ V. 3. Toate seturle de date epermentale, ca ş cele calculate pentru fecare punct epermental în parte, se prezntă sub formă de tabele. Capul de tabel trebue să cuprndă pentru fecare lne (coloană) notaţa mărm fzce ş, în paranteză, untatea de măsură folostă, în forma: ( ).În cazul utlzăr formatulu eponenţal, se va ntroduce ş ordnul de mărme. Pentru 7 eemplul anteror, se va scre fe U ( 0 V), respectv 0 7 U ( V), valoarea numercă corespunzătoare dn tabel fnd 6,563, fe U ( µ V), valoarea numercă corespunzătoare fnd 65, În cazul în care scala nstrumentulu de măsură utlzat nu este gradată drect în untăţ SI sau în multpl sau submultpl a acestora, în tabel vor apare două ln (coloane), prma cu valorle măsurate eprmate în dvzun, ar a doua cu valorle eprmate în untăţ SI. Această lne (coloană) suplmentară poate lps doar atunc când dmensunea mărm respectve nu ntervne drect în calculul rezultatelor fnale. 5
10 0 5. Pentru toate nstrumentele utlzate, se va menţona în referat factorul de scală. Aceşt factor sunt necesar nu numa pentru transformarea dvzunlor în valor SI, c ş pentru evaluarea erorlor sstematce. 6. Pentru toate rezultatele ob nute se efectueazå calculul erorlor. Rezultatele fnale se eprmă în forma = ({ ~ } ± { s ~ }). umărul de zecmale calculat este determnat de condţa ca ultmele două să fe afectate de eroare. De eemplu, dacă valoarea obţnută, în untăţ SI, este 745, , ar valoarea eror, în aceleaş untăţ, este 0, , rezultatul va f prezentat în forma rotunjtă 745,3363±0, Pentru toate corelaţle studate se efectuează grafce pe hârte mlmetrcă. Aceste grafce trebue să respecte următoarele regul:. Dmensunea unu grafc trebue să fe mnmum A5 (jumătate de coală A4), ar raportul lungme/lăţme să se încadreze între /3 ş 3/.. La capetele aelor de coordonate se trec mărmle fzce ş untăţle de măsură, la fel ca în cazul capetelor de tabel.. Aele nu trebue neapărat să se ntersecteze în orgne. Dacă, de eemplu, valorle epermentale sunt cuprnse între 3,89 ş 4,44, aa corespunzătoare trebue să cuprndă valor între 3,85 ş 4,45. v. Pe ae nu se trec valorle epermentale. Acestea apar în tabele. Pe ae se trec doar valor rotunde, permţând ctrea uşoară a orcăru punct de pe grafc. În eemplul anteror, pe ae se vor trece valor în paş de 0,05 sau 0, (adcă 3,85; 3,90; 3,95 etc. sau 3,85; 3,95; 4,05 etc.). v. Dacă este necesar, fe pentru lnarzarea une corelaţ, fe pentru că mărmea reprezentată varază cu ma multe ordne de mărme, se vor utlza reprezentăr în scară logartmcå smplă (o sngură mărme logartmată) sau dublă (ambele mărm logartmate). Aceasta înseamnă că pe aă se trece mărmea (cu untatea sa ş valorle sale rotunjte), dar dstanţele dntre aceste valor se au propor onale cu logartmul raportulu lor (dec pe aă se măsoară log ). v. Pe grafc apar toate punctele epermentale (nclusv erorle grosolane), cu bare de eror (bare vertcale, mergând de la () s () la () + s () ). Curba nu trebue să treacă prn puncte, c prn elpsele de încredere (sau, în prmă apromaţe, prn barele de eror), cu ecepţa punctelor (barelor de eror) corespunzând erorlor grosolane. Sngurele grafce care trebue să treacă prn toate punctele (barele de eror), fără teste pentru elmnarea erorlor grosolane, sunt curbele de etalonare. v. În cazul reprezentărlor lnare, nu se va confunda panta drepte, m, cu tangenta unghulu format de aceasta cu abscsa, tg α. Panta
11 drepte este o mărme fzcă, cu untate de măsură ş depnzând doar de rezultatele epermentale, în tmp ce tangenta unghulu format de dreaptă cu abscsa este un număr admensonal ş depnde de scara de reprezentare aleasă pentru grafc. v. Dacă relaţa lnară reprezntă doar o prmă apromaţe, valablă în specal pentru anumte valor ale parametrulu de pe abscsă (de eemplu, pentru valor mc ale acestua) se reprezntă curba epermentală, ar parametr drepte căutate sunt daţ de ce a tangente la curbă în domenul de mamă precze (în eemplul sugerat, tangenta în orgne). Pentru evaluarea erorlor, se vor efectua ş se vor reprezenta grafc ma multe setur de măsurător, calculându-se apo meda ş eroarea standard a pante ş/sau ordonate (abscse) la orgne.. Rezultatele evaluate pe baza grafcelor (pante, ordonate, respectv abscse ale anumtor puncte) nu se trec pe grafc, c în tetul referatulu, împreună cu celelalte rezultate.. Grafcul une mărm dscrete nu este o curbă contnuă, c o hstogramă (un grafc în trepte)... Grafcele se desenează cu creonul, pentru a putea f uşor corectate. Dacă pe un grafc apar ma multe curbe, ele se desenează cu culor dferte (nclusv punctele epermentale), pentru a putea f uşor deosebte, ar într-un colţ al grafculu se trece o legendă (câte un scurt segment de fecare culoare, cu menţonarea alătur a curbe (valorlor parametrlor) reprezentată în acea culoare).
Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.
Numere complexe Numere complexe Forma algebrcă a numărulu complex este a b unde a ş b sunt numere reale Numărul a se numeşte partea reală a numărulu complex ş se scre a Re ar numărul b se numeşte partea
Διαβάστε περισσότεραStatistica descriptivă (continuare) Şef de Lucrări Dr. Mădălina Văleanu
Statstca descrptvă (contnuare) Şef de Lucrăr Dr. Mădălna Văleanu mvaleanu@umfcluj.ro VARIABILE CANTITATIVE MĂSURI DE TENDINŢA CENTRALA Meda artmetca, Medana, Modul, Meda geometrca, Meda armonca, Valoarea
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 Amplificatoare elementare
Captolul 4 mplfcatoare elementare 4.. Etaje de amplfcare cu un tranzstor 4... Etajul sursa comuna L g m ( GS GS L // r ds ) m ( r ) g // L ds // r o L ds 4... Etajul drena comuna g g s m s m s m o g //
Διαβάστε περισσότεραDETERMINAREA ACCELERAŢIEI GRAVITAŢIONALE PRIN METODA PENDULULUI FIZIC
UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICĂ BN - 1 B DETERMINAREA ACCELERAŢIEI GRAVITAŢIONALE PRIN METODA PENDULULUI FIZIC 004-005 DETERMINAREA ACCELERAŢIEI
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραLaborator biofizică. Noţiuni introductive
Laborator biofizică Noţiuni introductive Mărimi fizice Mărimile fizice caracterizează proprietăţile fizice ale materiei (de exemplu: masa, densitatea), starea materiei (vâscozitatea, fluiditatea), mişcarea
Διαβάστε περισσότεραLegea vitezei se scrie în acest caz: v t v gt
MIŞCĂRI ÎN CÂMP GRAVITAŢIONAL A. Aruncarea pe vertcală, de jos în sus Aruncarea pe vertcală în sus reprezntă un caz partcular de mşcare rectlne unform varată. Mşcarea se realzează pe o snură axă Oy. Pentru
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότερα4. FUNCŢII DIFERENŢIABILE. EXTREME LOCALE Diferenţiabilitatea funcţiilor reale de o variabilă reală.
4. FUNCŢII DIFERENŢIABILE. EXTREME LOCALE. 4.. Noţun teoretce ş rezultate fundamentale. 4... Dferenţabltatea funcţlor reale de o varablă reală. Multe robleme concrete conduc la evaluarea aromatvă a creşter
Διαβάστε περισσότεραCursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότερα2. Algoritmi genetici şi strategii evolutive
2. Algortm genetc ş strateg evolutve 2. Algortm genetc Structura unu algortm genetc standard:. Se nţalzează aleator populaţa de cromozom. 2. Se evaluează fecare cromozom dn populaţe. 3. Se creează o nouă
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότερα5.1 Realizarea filtrelor cu răspuns finit la impuls (RFI) Filtrul caracterizat prin: 5. STRUCTURI DE FILTRE NUMERICE. 5.1.
5. STRUCTURI D FILTR UMRIC 5. Realzarea ltrelor cu răspuns nt la mpuls (RFI) Fltrul caracterzat prn: ( z ) = - a z = 5.. Forma drectă - - yn= axn ( ) = Un ltru cu o asemenea structură este uneor numt ltru
Διαβάστε περισσότεραPRELEGEREA IV STATISTICĂ MATEMATICĂ
PRELEGEREA IV STATISTICĂ MATEMATICĂ I. Indcator de măsură a împrăşter Dstrbuţa une varable nu poate f descrsă complet numa prn cunoaşterea mede, c este necesar să avem nformaţ ş despre gradul der împrăştere
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραSTUDIUL INTERFERENŢEI LUMINII CU DISPOZITIVUL LUI YOUNG
UNIVESITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUEŞTI DEPATAMENTUL DE FIZICĂ LABOATOUL DE OPTICĂ BN - 10 A STUDIUL INTEFEENŢEI LUMINII CU DISPOZITIVUL LUI YOUNG 004-005 STUDIUL INTEFEENŢEI LUMINII CU DISPOZITIVUL LUI
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραSondajul statistic- II
08.04.011 odajul statstc- II EŞATIOAREA s EXTIDEREA REZULTATELOR www.amau.ase.ro al.sac-mau@cse.ase.ro Data : 13 aprle 011 Bblografe : ursa I,cap.VI,pag.6-70 11.Aprle.011 1 odajul aleator smplu- cu revere
Διαβάστε περισσότεραLaboraratorul 3. Aplicatii ale testelor Massey si
Laboraratorul 3. Aplcat ale testelor Massey s Bblografe: 1. G. Cucu, V. Crau, A. Stefanescu. Statstca matematca s cercetar operatonale, ed. Ddactca s pedagogca, Bucurest, 1974.. I. Văduva. Modele de smulare,
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραDurata medie de studiu individual pentru această prezentare este de circa 120 de minute.
Semnar 6 5. Caracterstc geometrce la suprafeţe plane I 5. Introducere Presupunând cunoscute mecansmele de evaluare a stăr de efortur la nvelul une structur studate (calcul reacţun, trasare dagrame de efortur),
Διαβάστε περισσότεραSEMNALE ALEATOARE Definirea semnalului aleator, a variabilei aleatoare, a funcţiei şi a densităţii de repartiţie
CAPIOLUL SEMNALE ALEAOARE Un proces sau semnal aleator, numt ş stochastc, este un proces care se desfăşoară în tmp ş este guvernat, cel puţn în parte, de leg probablstce. Importanţa teoretcă ş practcă
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότερα1. INTRODUCERE. SEMNALE ŞI SISTEME DISCRETE ÎN TIMP
. ITRODUCERE. SEMALE ŞI SISTEME DISCRETE Î TIMP. Semnale dscrete în tmp Prelucrarea numercă a semnalelor analogce a devent o practcă frecvent întâlntă. Aceasta presupune două operaţ: - eşantonarea la anumte
Διαβάστε περισσότεραMădălina Roxana Buneci. Optimizări
Mădălna Roxana Bunec Optmzăr Edtura Academca Brâncuş Târgu-Ju, 8 Mădălna Roxana Bunec ISBN 978-973-44-87- Optmzăr CUPRINS Prefaţă...5 I. Modelul matematc al problemelor de optmzare...7 II. Optmzăr pe mulţm
Διαβάστε περισσότεραCARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAFEŢELOR PLANE
CRCTERSTC GEOMETRCE LE SUPRFEŢELOR PLNE 1 Defnţ Pentru a defn o secţune, complet, cunoaşterea are ş a centrulu de greutate nu sunt sufcente. Determnarea eforturlor, tensunlor ş deformaţlor mpune cunoaşterea
Διαβάστε περισσότεραCAP. 2. NOŢIUNI DESPRE AERUL UMED ŞI USCAT Proprietăţile fizice ale aerului Compoziţia aerului
CAP.. NOŢIUNI DESPRE AERUL UED ŞI USCAT... 5.. Propretăţle fzce ale aerulu... 5... Compozţa aerulu... 5... Temperatura, presunea ş greutatea specfcă... 5.. Aerul umed... 6... Temperatura... 7... Umdtatea...
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 3 FILTRE DE MEDIERE MODIFICATE
32 Prelucrarea numercă nelnară a semnalelor Captolul 3 - Fltre de medere modfcate 33 CAPITOLUL 3 FILTRE DE MEDIERE MODIFICATE Ieşrea fltrulu de medere cu prag (r,s) este: s TrMean ( X, X2, K, X ; r, s)
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραSisteme cu partajare - continut. M / M /1 PS ( numar de utilizatori, 1 server, numar de pozitii pentru utilizatori)
Ssteme cu partajare - cotut Recaptulare: modelul smplu de trafc M / M / PS ( umar de utlzator, server, umar de pozt petru utlzator) M / M / PS ( umar de utlzator, servere, umar de pozt petru utlzator)
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραReferenţi ştiinţifici Conf.univ.dr.ing. Radu CENUŞĂ Prof.univ.dr.ing. Norocel Valeriu NICOLESCU
Referenţ ştnţfc Conf.unv.dr.ng. Radu CEUŞĂ Prof.unv.dr.ng. orocel Valeru ICOLESCU Descrerea CIP a Bblotec aţonale a Române HORODIC, SERGIU ADREI Elemente de bostatstcă foresteră / Sergu Horodnc. - Suceava:
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότερα4. Criterii de stabilitate
Dragomr T.L. Teora sstemelor Curs anul II CTI 04/05 4 4. Crter de stabltate După cum s-a preczat metodele numerce de analză a stabltăţ se bazează pe crterul rădăcnlor. In ngnera reglăr se folosesc o sere
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραLucrarea nr. 6 Asocierea datelor - Excel, SPSS
Statstcă multvarată Lucrarea nr. 6 Asocerea datelor - Excel, SPSS A. Noţun teoretce Generaltăţ Spunem că două (sau ma multe) varable sunt asocate dacă, în dstrbuţa comună a varablelor, anumte grupur de
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 TRANZISTOARE. TRANZISTOARE BIPOLARE
Curs 10 TRANZISTOARE. TRANZISTOARE IPOLARE CUPRINS Tranzstoare Clasfcare Prncpu de funcțonare ș regun de funcțonare Utlzarea tranzstorulu de tp n. Caracterstc de transfer Utlzarea tranzstorulu de tp p.
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραLUCRARE DE LABORATOR NR. 1 MASURARI IN INSTALATII TERMICE. PRELUCRAREA DATELOR EXPERIMENTALE CARACTERISTICILE METROLOGICE ALE APARATELOR DE MASURA
LUCRARE DE LABORATOR NR. MASURARI IN INSTALATII TERMICE. PRELUCRAREA DATELOR EXPERIMENTALE CARACTERISTICILE METROLOGICE ALE APARATELOR DE MASURA. OBIECTIVELE LUCRARII Isusrea uor otu refertoare la: - eror
Διαβάστε περισσότερα400 g + Y. θ 0-P ω ω II X III. 200 g
UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMIŞOARA FACULTATEA DE CONSTRUCŢII DEPARTAMENTUL CCTFC SPECIALIZAREA MĂSURĂTORI TERESTRE ŞI CADASTRU. TOPOGRAFIE ŞI REŢELE TOPO-GEODEZICE.Cercul topografc; partculartăţ;
Διαβάστε περισσότεραProcese stocastice (2) Fie un proces stocastic de parametru continuu si avand spatiul starilor discret. =
Xt () Procese stocastce (2) Fe u proces stocastc de parametru cotuu s avad spatul starlor dscret. Cu spatul starlor S = {,,, N} sau S = {,, } Defta : Procesul X() t este u proces Markov daca: PXt { ( )
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραELECTRICITATE şi MAGNETISM, Partea a II-a: Examen SCRIS Sesiunea Ianuarie, 2017 PROBLEME PROPUSE
Probleme de lectrctate Petrca rstea 017 nverstatea dn ucureşt Facultatea de Fzcă TIITT ş MGNTISM, Partea a II-a: xamen SIS Sesunea Ianuare, 017 POM POPS 1. n fzcan estmează că prntr-o secţune a unu conductor
Διαβάστε περισσότεραΕμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία
- Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραIntroducere în Econometrie
SINTEZA CURS Econometre ş prevzune economcă (I) Structura cursulu Cursul de Econometre pe care îl vor parcurge studenţ anulu II Management va cuprnde următoarele captole mar: - Econometra defnţ ş obectve;
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραTEORIA GRAFURILOR ÎN PROBLEME SI APLICATII
UNIVERSITATEA DE STAT DIN MOLDOVA Facultatea de Matematca s Informatca Sergu CATARANCIUC TEORIA RAFURILOR ÎN PROBLEME SI APLICATII Chsnau 004 UNIVERSITATEA DE STAT DIN MOLDOVA Facultatea de Matematca s
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραAparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1
Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραAmplificatoare. A v. Simbolul unui amplificator cu terminale distincte pentru porturile de intrare si de iesire
mplfcatare Smblul unu amplfcatr cu termnale dstncte pentru prturle de ntrare s de esre mplfcatr cu un termnal cmun (masa) pentru prturle de ntrare s de esre (CZU UZU) Cnectarea unu amplfcatr ntre sursa
Διαβάστε περισσότεραLEC IA 1: INTRODUCERE
LE Lec\a.. Defnrea dscplne LE LEC IA : INRODUCERE Abrever: LE eora Lnear` a Elastct`\ NE eora Nelnear` a Elastct`\ MSD Mecanca Soldulu Deformabl RM Resten\a Materalelor MDF Metoda Dferen\elor Fnte MEF
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7
Statisticǎ - curs 3 Cuprins 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2 2 Teorema limitǎ centralǎ 5 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 4 Estimarea punctualǎ a unui parametru; intervalul
Διαβάστε περισσότεραLUCRAREA 1 AMPLIFICATORUL DIFERENȚIAL MODULUL MCM5/EV
LUCRAREA 1 AMPLIFICATORUL DIFERENȚIAL MODULUL MCM5/EV 1.1 INTRODUCERE Amplfcatorul dferențal (AD) este întâlnt ca bloc de ntrare într-o mare aretate de crcute analogce: amplfcatoare operațonale, comparatoare,
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότεραAPLICAREA LOGICII FUZZY ÎN EVALUAREA ŞI GESTIUNEA PATRIMONIULUI
Aplcarea logc fuzzy în evaluarea ş gestunea patrmonulu 29 APLICAREA LOGICII FUZZY ÎN EVALUAREA ŞI GESTIUNEA PATRIMONIULUI S. Albu, dr.conf.unv. Unverstatea Tehncă a Moldove.. APLICAREA METODELOR MATEMATICO-STATISTICE
Διαβάστε περισσότερα2. ANALIZA ÎN FRECVENŢĂ A SISTEMELOR ELECTRICE ŞI ELECTRONICE
. ANALIZA ÎN FRECVENŢĂ A SISTEMELOR ELECTRICE ŞI ELECTRONICE În paragrafele anterare s-au prezentat metde de analză a cmprtăr SAI în (dmenul tmp. Punctul cmun al metdelr prezentate este determnarea funcţe
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραCARACTERISTICILE STATICE ALE TRANZISTORULUI BIPOLAR
aracterstcle statce ale tranzstorulu bpolar P a g n a 19 LURARA nr. 3 ARATRISTIIL STATI AL TRANZISTORULUI IPOLAR Scopul lucrăr - Rdcarea caracterstclor statce ale tranzstorulu bpolar în conexunle emtorcomun
Διαβάστε περισσότερα4.2. Formule Biot-Savart-Laplace
Patea IV. Câmp magnetc staţona 57 4.2. Fomule Bot-Savat-Laplace ) Cazul 3 evenm la ecuaţle câmpulu magnetc în egmul staţona (Cap.): ot H (4.4) dv B 0 (4.5) B H (4.6) n elaţa (4.5), ezultă că putem sce
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραDETERMINAREA COEFICIENTULUI DE COMPRESIBILITATE ȘI A MODULULUI DE ELASTICITATE PENTRU LICHIDE
Lucrarea DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE COMPRESIBILITATE ȘI A MODULULUI DE ELASTICITATE PENTRU LICHIDE. Consderaț teoretce Una dntre caracterstcle defntor ale fludelor este capactatea acestora de a sufer
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice
Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραErori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραTema 2. PRELUCRAREA REZULTATELOR EXPERIMENTALE
Tea. PRELUCRAREA REZULTATELOR EXPERIMENTALE. Eror de ăsură A ăsura o ăre X îseaă a copara acea ăre cu alta de aceeaş atură, [X], aleasă pr coveţe ca utate de ăsură. I ura aceste coparaţ se poate scre X=x[X]
Διαβάστε περισσότερα