SEMNALE ALEATOARE Definirea semnalului aleator, a variabilei aleatoare, a funcţiei şi a densităţii de repartiţie

Transcript

1 CAPIOLUL SEMNALE ALEAOARE Un proces sau semnal aleator, numt ş stochastc, este un proces care se desfăşoară în tmp ş este guvernat, cel puţn în parte, de leg probablstce. Importanţa teoretcă ş practcă a studulu semnalelor aleatoare rezdă în faptul că semnalele purtătoare de nformaţe, ndferent de natura lor, ş zgomotele care apar în procesul transmsun sunt modelate cel ma bne prn astfel de semnale... Defnrea semnalulu aleator, a varable aleatoare, a funcţe ş a denstăţ de repartţe Pentru a defn un semnal aleator se consderă o experenţă oarecare. Prn rezultatul une experenţe se înţelege una dn posbltăţle de realzare a acestea. Mulţmea rezultatelor posble se va num în contnuare spaţul eşantoanelor ş va f notat cu. Dn punct de vedere matematc, un semnal aleator este o k funcţe de două varable f k t f t eşantoanelor. Funcţle f k t,, unde k a valor în spaţul reprezntă realzăr partculare ale semnalulu aleator. O reprezentare geometrcă ntutvă a unu semnal aleator este dată în fgura..

2 Fg... Reprezentarea geometrcă a unu semnal aleator În fgura., prn e,...,, e e N s-au notat elementele dn spaţul eşantoanelor, ar prn N f t, f t,..., f t, realzărle partculare ale semnalulu aleator notat cu f(t). Cu alte cuvnte, semnalul aleator este format dn mulţmea realzărlor partculare, adcă: k f t f t (.) Dacă varabla t a valor pe axa reală, atunc semnalul f () t se va num proces aleator sau stochastc, contnuu în tmp. Dacă varabla t a numa valor întreg, adcă t Z, atunc semnalul aleator f () t se va num proces aleator sau stochastc, dscret în tmp. Pentru a face o dstncţe între cele două procese aleatoare, se va nota procesul aleator dscret în tmp cu x[ n ], adcă k x [ n ] x [ n ], n Z (. ) k Funcţle x [ n ] se numesc realzăr partculare ale procesulu aleator dscret în tmp. Pentru orce valoare partculară a lu t t sau n n k f k, t f t, respectv mulţmea valorlor funcţlor

3 k x[ kn, ] x [ n], defneşte o varablă aleatoare, notată în contnuare cu f t, respectv x[ n ]. Cu alte cuvnte, se poate scre: respectv, k 3 f t f t (.) k x [ n ] x [ n ] (. ) Dn (.) sau (. ) se observă că un proces aleator este o mulţme de varable aleatoare ndexate. Fe numărul real x ce aparţne domenulu de valor ale varable aleatoare t realzărlor partculare pentru care f sau x[ n ]. Dacă se notează cu n numărul k t f x, respectv ( k ) x n x, ş cu N numărul total al realzărlor partculare, atunc raportul n/n, când N este sufcent de mare, va reprezenta f t, respectv x[ n ], să fe probabltatea ca varabla aleatoare ma mcă sau egală cu x ş va f notată cu P f t x, respectv P xn [ ] x. Această probabltate este în general o funcţe ce depnde atât de numărul real x, cât ş de momentul de tmp t sau n. Notând această funcţe cu F x ; t, respectv F x n poate scre relaţa: ; ;, se F x t P f t x (.3) respectv F x; n Px[ n] x (.3 ) Funcţa defntă cu relaţa (.3), respectv (.3 ), se numeşte funcţe de repartţe de ordnul întâ, fapt consemnat prn ndcele unu al funcţe F.

4 Dervata parţală în raport cu x a funcţe de repartţe de ordnul întâ defneşte denstatea de repartţe sau de probabltate de ordnul întâ ş va f notată cu w x ; t, adcă: respectv w w F x ; t x ; t (.4) x x; n F x n x ; Produsul w x ; t dx, respectv w (.4 ) x ; n dx, reprezntă probabltatea ca procesul aleator f(t), respectv x[n], la momentul t t, respectv n n, să treacă prn vecnătatea valor x, aşa cum este reprezentat ntutv în fgura.. Fg... Reprezentarea geometrcă ntutvă a produsulu Matematc, aceasta se scre astfel: ; 4 w x ; t w x t dx P x f t x dx (.5) respectv w x; n dx Px x[ n] x dx (.5 ) Denstatea de repartţe sau probabltate de ordnul întâ determnă probabltatea une anumte valor a procesulu aleator la un moment de tmp dat, nespecfcând însă nmc în legătură cu desfăşurarea în tmp a acestua. În scopul cunoaşter ma amănunţte a unu proces aleator, se defnesc funcţ de repartţe ş denstăţ de repartţe de ordn superor. dx

5 În general, funcţa de repartţe de ordnul N se defneşte cu relaţa : respectv F x, x,..., x ; t, t,..., t N N N ; ;...; P f t x f t x f t x,..., ;,...,,,..., F x x n n N N N P x n x x n x x n x N N N N (.6) (.6 ) Denstatea de repartţe sau de probabltate de ordnul N se defneşte cu relaţa: N FN x, x,..., xn; t, t,..., tn wn x, x,..., xn; t, t,..., tn (.7) xx... xn respectv FN x, x,..., xn; n, n,..., nn wn x, x,.., xn; n, n,... nn (.7 ) xx... xn Reprezentarea geometrcă ntutvă în acest caz este dată în fgura.3. Fg..3. Reprezentarea geometrcă ntutvă a desfăşurăr în tmp a procesulu aleator Expresa analtcă sau reprezentarea grafcă a denstăţ de repartţe în raport cu varablele x, x,..., x N determnă legea de repartţe a procesulu sau secvenţe aleatoare. 5

6 Astfel, legea de repartţe monodmensonală normală sau gaussană este de forma: w x m e x (.8) unde prn s-a notat dspersa ş prn m valoarea mede a varable aleatoare. Între denstăţle de repartţe ş probabltăţ exstă o sere de analog, care vor f sntetzate în abelul., în cazul partcular al denstăţ de repartţe de ordnul do. abelul. Probabltăţ Denstăţ de repartţe (probabltate) 0 p x x j w x, x j 0 p n m j p x x j w x, x j dx dx j x x j px px j / x w x, x j w x w x j x px px / x p j p x m px x j j j w x w x x j x w x x w, j j n pxj px xj w x j w x, x j dx x x px px x x w x w x în cazul evenmentelor ndependente j j w, j dx în cazul varablelor aleatoare ndependente Procesul aleator cu un număr fnt de valor ale ampltudn, se va num dscret în ampltudne. j j 6

7 .. Valor med statstce ş temporale ale procesulu aleator, contnuu în tmp Procesele aleatoare care modelează dn punct de vedere matematc perturbaţle sau zgomotele în cazul une transmsun, nu pot f cunoscute în detalu. Pentru caracterzarea lor se calculează valor med de dferte ordne. Valorle med de dferte ordne se pot calcula fe pe mulţmea realzărlor partculare la momente de tmp alese arbtrar, t, t,..., t n,..., fe dntr-o sngură realzare partculară f k t. În prmul caz, se spune că se obţn valor med statstce (sau med pe mulţm), ar în al dolea caz, valor med temporale. Valorle med statstce foloste frecvent în aplcaţ sunt:. Valoarea mede (momentul de ordnul întâ) ; f t m f t E f t xw x t dx (.9). Valoarea pătratcă mede (momentul nţal de ordnul do) ; f t m f t E f t x w x t dx (.0) 3. Funcţa de autocorelaţe (momentul nţal reunt de ordnul do) t f t m f t f t B f (.) x x w x, x ; t, t dx dx 4. Funcţa de corelaţe (momentul nţal mxt de ordnul do) 7

8 unde fg, B t t f t g t m f t g t, ;, E f t g t x y w x y t t dxdy f t ş (.) g t sunt varable aleatoare obţnute dn procesele aleatoare f(t) ş g(t) la momentele t t, respectv t t, ar x ş y valor dn domenul posbl al acestor varable aleatoare. 5. Dspersa (moment centrat de ordnul do) t f t f t f t f t f t f t f t f t 6. Funcţa de autovaranţă, K t t f t f t f t f t, B t t f t f t (.3) (.4) 7. Funcţa de covaranţă, K fg t t f t f t g t g t fg, B t t f t g t (.5) Valorle med temporale foloste frecvent în aplcaţ sunt:. Valoarea mede temporală k k lm f t f t dt (.6) ````````````````` 8

9 Dn (.6), se constată că această valoare mede determnă componenta contnuă a realzăr partculare respectve. Se poate arăta uşor că valoarea mede temporală nu depnde de orgnea tmpulu. Într-adevăr: ```````````````````````````` k k f t0 t lm f t0 tdt (.7) Efectuând schmbarea de varablă t0 t u; dt du (.8) rezultă: t0 ````````````````````````````` `````````````````` k k k f t 0 t lm f u du f t (.9) t0. Valoarea pătratcă mede temporală lm dt (.0) k k f t f t ````````````````````````` În mod analog, se poate demonstra că această mărme mede temporală nu depnde de orgnea tmpulu. 3. Funcţa de autocorelaţe temporală ```````````````````````````````````````````````````````` k 9 k R t, t f t t f t t lm k k f t t f t tdt (.)

10 Se poate demonstra că: R t, t R t t R t t (.) sau, dacă se notează: t t (.3) rezultă: R R (.4) adcă, funcţa de autocorelaţe temporală este o funcţe pară. Într-adevăr, efectuând schmbarea de varablă: t t u; dt du (.5) în (.), rezultă: t k k R t, t lm f u f t u tdu R t t (.6) t Efectuând schmbarea de varablă: t t v; dt dv (.7) în aceeaş relaţe (.), rezultă: t k k R t, t lm f v f t v tdv R t t (.8) t Dn (.6) ş (.8) rezultă (.). 4. Funcţa de corelaţe temporală R fg ```````````````````````````````````````````````````````, t k k t t f t tg t k k lm f t t g t t dt (.9) Dacă în relaţa (.9) se face schmbarea de varablă (.5), rezultă: 0

11 t k k R fg t, t lm f u g t u tdu Rfg t t (.30) t Dacă însă în relaţa (.9) se face schmbarea de varablă (.7), rezultă: k k R fg t, t lm g v f t v tdv Rgf t t (.3) Comparând (.30) cu (.3), rezultă: R fg t t Rgf t t (.3) sau cu notaţa (.3): R R (.33) 5. Dspersa temporală fg ````````````````` k k f t f t gf ````````````````````````` (.34).3. Procese aleatoare contnue în tmp, staţonare Procesele aleatoare ale căror propretăţ statstce sunt nvarante la schmbarea arbtrară a orgn tmpulu se numesc staţonare. Rezultă, dec, că pentru procesele aleatoare staţonare se poate scre relaţa: wn x, x,..., xn; t, t,..., tn (.35) wnx, x,..., xn; t, t,..., tn Dacă în relaţa (.35) se înlocueşte t, se poate scre echvalent:

12 wn x, x,..., xn; t, t,..., tn w x, x,..., x ; t t,..., t t N N N (.36) Procesele aleatoare pentru care sunt adevărate relaţle (.35) sau (.36) se numesc staţonare în sens strct. Pentru n=, relaţa (.36) devne: w x; t w x (.37) adcă denstatea de repartţe de ordnul întâ nu depnde de tmp. Pentru n=, relaţa (.36) devne: w x, x; t, t w x, x; t t (.38) În aceste condţ, valoarea mede statstcă, valoarea pătratcă mede statstcă s dspersa sunt constante. Într-adevăr, ţnând cont de (.37), relaţa (.9) devne: f t xw xdx a const. (.39) ar dn relaţa (.0), se obţne: f t x w x dx b const. (.40) Cu (.39) ş (.40), relaţa (.3) devne: t b a const. (.4) Dacă în relaţa (.) se ţne cont de (.39), rezultă:,, ; B t t x x w x x t t dx dx B t t (.4) În mod analog, se poate arăta că ş funcţle de corelaţe, autovaranţă ş covaranţă depnd numa de dferenţa de tmp t t. Procesele aleatoare care sunt staţonare până la ordnul do, adcă pentru care sunt satsfăcute relaţle (.37) ş (.37), se numesc staţonare în sens larg.

13 Evdent, procesele aleatoare staţonare în sens strct sunt staţonare ş în sens larg, recproca nefnd totdeauna adevărată. Procesele aleatoare staţonare în sens strct sau larg, aşa cum au fost defnte ma sus, sunt dealzăr, deoarece, practc, nc un semnal nu poate f urmărt de la t la t. În realtate, semnalele sunt observate un tmp fnt. Dacă pe acest nterval propretăţle care caracterzează staţonartatea se menţn în lmtele une bune aproxmăr, ele se consderă staţonare pe ntervalul respectv. O categore foarte largă de procese aleatoare staţonare în sens larg se bucură de propretatea de ergodctate, a căre esenţă constă în aceea că valorle med statstce sunt egale cu valorle med temporale corespunzătoare. Deoarece valoarea mede, valoarea pătratcă mede ş dspersa temporală sunt constante, ar funcţle de autocorelaţe, corelaţe, autovaranţă ş covaranţă temporale depnd numa de dferenţele dntre momentele t ş t, pentru ca aceste valor med temporale să fe egale cu valorle med statstce corespunzătoare este necesar să fe îndeplnte relaţle (.37) ş (.38), adcă procesele aleatoare trebue să fe staţonare în sens larg. Ipoteza ergodctăţ este foarte mportantă în practcă, deoarece teora statstcă matematcă operează cu valor med statstce, în tmp ce, practc, se pot calcula numa valorle med temporale, dspunându-se de o sngură realzare partculară a procesulu aleator ce modelează un zgomot sau o perturbaţe. Egaltatea dntre valorle med statstce ş valorle med temporale corespondente trebue înţeleasă în sensul convergenţe în probabltate. Astfel, egaltatea: 3

14 ````````````````````````` f t f t (.43) înseamnă: ``````````````````````` lm P f t k f t (.44) pentru orce 0, arbtrar de mc. k ```````````````````` k În relaţa (.44), prn f t s-a notat valoarea mede temporală a realzăr partculare trunchate, adcă: k f,pentru t t k f t (.45) 0, pentru t.4. Determnarea nvelulu de prag în cazul recepţe pe canale perturbate Problema determnăr tensun de prag se pune în cazul în care trebue stablt un nvel de prag, astfel încât atunc când semnalul recepţonat este sub nvelul de prag, să se decdă că s-a recepţonat numa zgomot, ar la recepţonarea unu semnal care depăşeşte nvelul de prag, să se decdă că în semnalul recepţonat este ş semnal utl. În acest caz, fe se va lua o decze, fe semnalul recepţonat va trebu prelucrat adecvat în scopul extrager semnalulu purtător de nformaţe cu un grad de fdeltate mpus. Pentru fxarea delor, se presupune că zgomotul de pe canalul de transmsun este reprezentat de o tensune fluctuantă (aleatoare), modelată matematc de un proces aleator staţonar ş 4

15 ergodc. Fe ( k u ) () t o realzare partculară a tensun de zgomot fluctuante, aşa cum este reprezentată în fgura.4. Fg..4. ensunea fluctuantă de pe canalul de transmsun Datortă poteze de ergodctate, se consderă că valoarea mede statstcă este egală cu valoarea mede temporală. Pătratul valor efectve, U ef, a componente alternatve a tensun fluctuante se determnă cu relaţa: ( ) U ef = lm k u t u dt (.46) Deoarece: lm ( k u ) t dt u t (.47) ( ) lm k u t dt u t (.48) relaţa (.46) devne: U ef t u t u (.49) 5

16 Comparând relaţle (.3) cu (.49) rezultă că pătratul valor efectve a componente alternatve a tensun fluctuante este egal cu dspersa, adcă: t U ef (.50) Dacă zgomotul de pe canalul de transmsun, reprezentat de tensunea fluctuantă, este repartzat după o lege normală monodmensonală, conform relaţe (.8), se poate scre: uu U ef w u e (.5) U ef Pe de altă parte, conform relaţe (.5), se poate scre: w u du P u u u du (.5) unde u u t. Probabltatea ca tensunea fluctuantă să fe între pragurle u ş u ( u u) se poate calcula atunc cu relaţa: u u u, (.53) P u u u w u du w u du w u du u u u Înlocund (.5) în (.53), rezultă: uu uu u u Uef Uef Pu u u e du e du U ef U (.54) ef Efectuând schmbarea de varablă: u u vdu, Uef dv (.55) U rezultă: ef 6

17 uu uu Uef U ef v v u u u u P v e dv e dv Uef U (.56) ef Cele două ntegrale dn relaţa (.56) nu pot f exprmate prn funcţ elementare, în schmb este tabelată ntegrala sau funcţa Laplace, de forma: x v F x e dv (.57) a căre reprezentare grafcă este dată în fgura.5. Fg..5. Reprezentarea grafcă a funcţe Laplace Funcţa Laplace, Fx, se bucură de următoarele propretăţ: F 0 F0 0,5 F F x F x 7 (.58) Cu (.57), relaţa (.56) devne: uu u u u u uu P v F F (.59) Uef Uef U ef U ef Impunându-se condţa determnăr probabltăţ de depăşre a une tensun de prag U, în relaţa (.59) trebue înlocut u U ş u, rezultând: p p

18 U p u U p u Pv FF (.60) U ef U ef Consderând, în contnuare, că tensunea fluctuantă ce reprezntă zgomotul de pe canalul de transmsun are componentă contnuă nulă u 0, rezultă: U p Pu U pf (.6) U ef Dacă U U 3, consultând tabelul cu valorle ntegrale p ef Laplace, rezultă că F(3)0,999, ceea ce înseamnă: P u 3U ef 0 (.6) Dn relaţa (.6) rezultă că în condţle menţonate ma sus (zgomot repartzat normal cu valoare mede nulă), probabltatea ca zgomotul să depăşească tensunea de prag, U p 3U ef, este practc nulă ş dec, alegând un astfel de prag, dacă semnalul recepţonat îl depăşeşte, se decde că în semnalul recepţonat, pe lângă zgomot, exstă ş semnal utl..5. eorema Wener-Khntcne k Fe f () t o realzare partculară a unu proces aleator contnuu în tmp. De obce: 8 k f () t dt (.63) motv pentru care transformata Fourer ş, dec, analza armoncă clască nu poate f utlzată. Pentru a se putea aplca ş în acest caz transformata Fourer, realzarea partculară a procesulu aleator se

19 trunchază. Notând cu f k t realzarea partculară trunchată, aceasta este defntă cu relaţa: k f, t t k f (.64) 0, t Intervalul de trunchere,, se alege astfel încât realzarea trunchată să admtă transformată Fourer. Notând cu F k j transformata Fourer a realzăr partculare trunchate ş ţnând cont de (.64), se poate scre: F j e dt (.65) k k j k j f t e dt f t respectv, transformata nversă: k k j f t F je d (.66) k k Dacă se notează cu P ş E puterea, respectv energa realzăr partculare trunchate, se poate scre: k k E k P f t dt (.67) Ţnând cont de (.64) ş(.66), rezultă: k k k jt P t f t F je ddt k k jt k F j f t e dtd F j d Mărmea (.68) 9

20 k j not. k S j F (.69) poartă denumrea de denstatea spectrală de putere a realzăr partculare trunchate. Dn (.69) rezultă că această mărme este o funcţe reală, dec va conţne numa puter pare ale lu j. Cu notaţa (.69), puterea realzăr partculare trunchate se poate scre sub forma: k k k P S j d S jd (.70) 0 Consderând, în contnuare, mulţmea realzărlor partculare ş notând cu S j denstatea spectrală de putere a procesulu aleator trunchat, rezultă: k F j k S j m S j m Pe de altă parte k k m F j F j k k jt jt m f t e dt f t e dt k k jtt m f t f te dtdt (.7) k k f t f t B t m,t (.7) 0

21 reprezntă funcţa de autocorelaţe a procesulu aleator trunchat. Dacă se presupune că procesul aleator este staţonar în sens larg, se poate scre: B t, t B t t (.73) Ţnând cont de (.7) ş(.73), relaţa (.7) devne: S j B t t e dtdt jtt (.74) Integrala dublă dn (.74) reprezntă volumul cuprns între suprafaţa j t t t t B t t e (.75) ş pătratul cu latura (fgura.6). Fg..6. Această ntegrală dublă poate f transformată într-o ntegrală smplă, dacă se face observaţa că pentru t t const (.76).

22 funcţa este constantă pe dreapta de pantă unu: t t (.77) Conform fgur, se poate scre succesv: ds BC h h d BC AB Deoarece poate lua ş valor negatve, rezultă: BC (.78) Rezultă atunc că ds ( ) d. Cu (.76) ş(.78), relaţa (.74) devne: j S j B e d j B e d La lmtă, când, (.79) lm (.80) ş procesul aleator trunchat devne netrunchat. În aceste condţ, denstatea spectrală de putere a procesulu trunchat, j S, devne denstatea spectrală de putere a procesulu netrunchat, S B j, ar funcţa de autocorelaţe a procesulu aleator trunchat,, devne funcţa de autocorelaţe a procesulu aleator

23 netrunchat, B. Cu aceste observaţ, atunc când, relaţa (.79) se poate scre sub forma: S j j B e d (.8) Dn (.8) rezultă că în cazul proceselor aleatoare staţonare în sens larg, denstatea spectrală de putere a procesulu este transformata Fourer a funcţe de autocorelaţe a acestua. ransformata Fourer nversă este: B j S je d 3 (.8) Relaţle (.8) ş (.8), care arată că denstatea spectrală de putere ş funcţa de autocorelaţe ale unu proces aleator, staţonar în sens larg, sunt perech Fourer, sunt cunoscute sub numele de teorema Wener-Khntcne. În mod smlar se poate demonstra că în cazul proceselor aleatoare staţonare în sens larg transformata Fourer a funcţe de corelaţe determnă denstatea spectrală de putere de nteracţune, adcă S j F B fg fg. Conform relaţe (.70), rezultă că puterea unu proces aleator, staţonar în sens larg, se poate calcula cu relaţa: P S j d S jd (.83) deoarece denstatea spectrală de putere S 0 j este o funcţe pară în. Un caz partcular nteresant, frecvent întâlnt în aplcaţ, îl reprezntă zgomotul alb, care este caracterzat de o denstate spectrală de putere constantă, S 0, în toată banda de frecvenţe

24 . În cazul zgomotulu alb, conform relaţe (.8), se poate scre S0 j B e d S0 (.84) unde este dstrbuţa Drac. Dn punct de vedere fzc, funcţa de autocorelaţe măsoară dependenţa statstcă dntre eşantoanele prelevate dntr-un proces pentru 0, dn (.84) rezultă că aleator. Deoarece 0 0 B numa pentru 0, ceea ce semnfcă faptul că, în cazul unu proces aleator de tpul zgomotulu alb, eşantoanele prelevate sunt statstc ndependente, orcât de apropate ar f între ele..6. Propretăţle prncpale ale funcţe de autocorelaţe Relaţa (.8) poate f scrsă echvalent, sub forma: B S jcos jsnd (.85) Deoarece atât B cât ş S j sunt funcţ reale, dn (.85) rezultă: B S jcosd (.86) Relaţa (.86) specfcă prma propretate a funcţe de autocorelaţe a unu proces aleator, staţonar în sens larg, ş anume că este o funcţe pară: B B (.87) 4

25 Prma propretate, că funcţa de autocorelaţe este pară, se poate demonstra ş astfel: B f t f t f t f t B (.88) Pentru a deduce a doua propretate a funcţe de autocorelaţe, se consderă un proces aleator, staţonar în sens larg, ş două varable aleatoare rezultă: f t f t ş f t. Conform relaţe (.), B f t f t Dacă, cele două varable aleatoare f t, prelevate dn procesul aleator ndependente ş, dec, se poate scre relaţa:, respectv f t, devn statstc B f t f t a a a const (.89). unde prn a s-a notat valoarea mede statstcă. Cu alte cuvnte, când, funcţa de autocorelaţe a procesulu aleator, staţonar în sens larg, tnde asmptotc la o constantă (în partcular la zero) fe aperodc, fe perodc amortzat, aşa cum este reprezentat în fgura.7. Fg.7. Reprezentarea grafcă a funcţe de autocorelaţe ce tnde aperodc la a, a), respectv perodc amortzat, b). Deoarece funcţa de autocorelaţe reprezntă o măsură a dependenţe statstce între varablele aleatoare 5 f t ş f t,

26 rezultă ntutv că pentru 0 dependenţa statstcă este cea ma puterncă, adcă B 0 este valoarea maxmă a funcţe de autocorelaţe. Acest lucru se poate demonstra rguros, adcă: B B 0 (.90) care reprezntă a trea propretate a funcţe de autocorelaţe. Într-adevăr, plecându-se de la negaltatea evdentă: rezultă: Dar f t f t 0 (.9) f t f t f t f t 0 (.9) f t f t f t B 0 (.93) f t f t B t t B (.94) f t f t f t B 0 (.95) Cu (.93), (.94) ş (.95), relaţa (.9) devne: B 0 B 0 (.96) care este echvalentă cu relaţa (.90), ce trebua demonstrată. Pentru a pune în evdenţă a patra propretate a funcţe de autocorelaţe, se pleacă de la relaţa (.8), care se partcularzează pentru 0 ş se ţne cont de (.83), rezultând: B 0 (.97) S jd P Relaţa (.97) evdenţază faptul că valoarea funcţe de autocorelaţe în orgne este egală cu puterea procesulu aleator, staţonar în sens larg. 6

27 În fne, a cncea propretate a funcţe de autocorelaţe se deduce dn (.3), (.89) ş (.93), adcă: t B 0 B (.98) Cele cnc propretăţ ale funcţe de autocorelaţe sunt puse în evdenţă în fgura.7 a,b. Fe, în contnuare, două procese aleatoare, staţonare în sens larg, notate cu f t, respectv f t ş gt varable aleatoare. Se pot scre următoarele relaţ: 7 gt. Fe, de asemenea, două f t g t B t t B (.99) fg g t f t B t t B gf gf (.00) Deoarece f t gt gt f t (.0) dn (.99) ş (.00) rezultă că în cazul o două procese aleatoare, staţonare în sens larg, este adevărată relaţa: B fg B gf (.0) Dn relaţa (.0) rezultă că funcţa de corelaţe nu ma este o funcţe pară în, aşa cum este funcţa de autocorelaţe. În general, funcţa de corelaţe nu se bucură de cele cnc propretăţ ale funcţe de autocorelaţe..7. Determnarea funcţe de autocorelaţe a semnalelor recepţonate, afectate de perturbaţ Se presupune că se transmte semnalul s t, purtător de nformaţe pe un canal perturbat de zgomot, modelat matematc de un proces aleator nt (), staţonar în sens larg. Deoarece, în general, fg

28 perturbaţle care apar pe canalul de transmsun au un caracter adtv, semnalul recepţonat rt () va f de forma rt () st () nt () (.03) Funcţa de autocorelaţe a semnalulu recepţonat se determnă cu relaţa Brr ( ) r( t) r( t ) (.04) Înlocund (.03) în (.04), rezultă Brr ( ) [ s( t) n( t)][ s( t) n( t)] (.05) Bss( ) Bsn( ) Bns ( ) Bnn ( ) unde B ( ) s( t) s( t ) B B ss sn ns ( ) s( t) n( t ) ( ) n( t) s( t ) (.06) Bnn( ) n( t) n( t ) Zgomotul de pe canalul de transmsun este statstc ndependent de semnalul utl, deoarece acesta apare fe că pe canal se transmte semnal utl, fe că nu se transmte. Consderând, de asemenea, că procesul aleator staţonar în sens larg, ce descre zgomotul de pe canal are valoare mede statstcă nulă, adcă nt () 0 (.07) rezultă Bsn( ) s() t n( t) s()0 t 0 (.08) Bns ( ) n( t) s( t) 0 s( t) 0 Cu (.08), relaţa (.05) devne B ( ) B ( ) B ( ) (.09) rr ss nn 8

29 Se consderă, în contnuare, că semnalul utl, purtător de nformaţe este de forma s() t Acost (.0) Rezultă atunc: B sau, ţnând cont de (.0): B Deoarece: ş ss ss ( ) R ss ( ) lm s( t) s( t ) dt (.) ( ) A A lm lm lm relaţa (.) devne: cost cos( t ) dt cos(t ) dt 9 cosdt (.) lm cost dt 0 (.3) cosdt cos (.4) A B ss ( ) cos (.5) Pe de altă parte, conform relaţe (.89), rezultă: B ( ) nn a 0 (.6)

30 Dn relaţa (.5) rezultă că funcţa de autocorelaţe a semnalulu utl, presupus perodc, este de asemenea perodcă ş, dec, atunc când în semnalul recepţonat exstă ş semnal utl perodc, funcţa de autocorelaţe a semnalulu recepţonat, pentru sufcent de mare, va f un semnal perodc de forma (.5). Dacă în semnalul recepţonat nu exstă ş semnal utl perodc, funcţa de autocorelaţe a semnalulu recepţonat, pentru sufcent de mare, tnde asmptotc la zero. Pe baza acestu rezultat se poate decde dacă în semnalul recepţonat exstă sau nu semnal utl, purtător de nformaţe, char în stuaţle severe, când nvelul semnalulu utl recepţonat este ma mc decât nvelul zgomotulu ş când spectrul semnalulu utl este nclus în spectrul zgomotulu. În astfel de condţ, prn nc o metodă clască determnstă (fltrare sau detectare de ampltudne) nu se poate decde dacă în semnalul recepţonat exstă sau nu semnal utl..8. Determnarea funcţe pondere a unu sstem lnar nvarant în tmp prn metoda corelaţe Pentru determnarea funcţe pondere a unu sstem lnar nvarant (SLI) în tmp prn metoda corelaţe, se foloseşte schema f t este zgomot alb, gt răspunsul bloc dn fgura.8, unde sstemulu lnar nvarant în tmp la zgomotul alb, ar corelatorul, o nstalaţe tehncă care poate calcula funcţa de corelaţe dntre f t ş gt. Conform relaţe (.9), pentru un sufcent de mare ş t t, rezultă: 30

31 Rfg ( ) f( t) g( t) dt (.7) Fg..8. Schema bloc pentru determnarea funcţe pondere a unu S. L. I. Dacă se notează cu ht funcţa pondere (necunoscută) a sstemulu lnar nvarant în tmp, conform ntegrale de convoluţe, se poate scre: Dar: gt () hu ( ) f( tudu ) (.8) Înlocund (.8) în relaţa (.7), se obţne: R fg ( ) f ( t) h( u) f ( t u) du dt h( u) f( t) f( t u) dtdu (.9) f () t f( t u) dt R ( u) (.0) 3

32 reprezntă funcţa de autocorelaţe a semnalulu de la ntrarea sstemulu. Dacă acest semnal se consderă zgomot alb, ergodc, cu denstatea spectrală de putere S 0, conform relaţe (.84): R ( u) S ( u) (.) unde (-u) este dstrbuţa Drac. Ţnând cont de (.) ş de propretatea de fltrare a dstrbuţe Drac, relaţa (.9) devne (.) R ( ) h( u) S ( u) du S h( ) fg f t, care poate f Dn (.) rezultă că funcţa de corelaţe este proporţonală cu funcţa pondere a sstemulu lnar nvarant, necunoscut. Cunoscânduse denstatea spectrală de putere S 0 a semnalulu consderat zgomot alb pentru sstemul respectv ş calculându-se funcţa de corelaţe dntre f t ş răspunsul sstemulu, se poate deduce funcţa pondere a acestua. Avantajul prncpal al aceste metode faţă de metodele clasce determnste (aplcarea la ntrare a unu mpuls scurt ş înregstrarea răspunsulu sau determnarea prn puncte a funcţe de transfer etc.), constă în faptul că funcţa pondere astfel determnată nu este afectată de perturbaţle care ntervn în funcţonarea sstemulu. Un alt avantaj al aceste metode constă în faptul că se poate determna funcţa pondere a sstemulu în funcţune, dec în condţ reale. 3

33 .9. Determnarea funcţe de autocorelaţe ş a denstăţ spectrale de putere la eşrea unu sstem analogc, lnar, nvarant în tmp f t un proces aleator, staţonar în sens larg, Se consderă care se aplcă la ntrarea unu sstem analogc, lnar, nvarant în tmp. Dacă ht este funcţa pondere a acestu sstem, la aplcarea lu f t, la eşre va rezulta de asemenea un proces aleator staţonar în sens larg, notat în contnuare cu gt, care se poate determna cu ntegrala de convoluţe, după cum urmează: gt ( ) f( tuhudu ) ( ) (.3) Funcţa de autocorelaţe Bgg a procesulu aleator de la eşrea sstemulu se poate calcula, conform relaţe (.), astfel: Dar Bgg ( ) m{ gt ( ) gt ( )} m{ f( t u) h( u) du f( t v) h( v) dv} huhvm ( ) ( ) { f( t u) f( t v)} dudv (.4) m{ f( t u) f( t v)} B ( v u) (.5) reprezntă funcţa de autocorelaţe a procesulu aleator f t de la ntrarea sstemulu analogc, lnar, nvarant în tmp. Cu (.5), relaţa (.4) devne: 33

34 Bgg ( ) B ( v u) h( u) h( v) dudv (.6) Denstatea spectrală de putere de la eşrea sstemulu analogc, lnar, nvarant în tmp, conform teoreme Wener - Khntcne, este transformata Fourer a funcţe de autocorelaţe, adcă: Dar: Înlocund j S ( j) B ( ) e d (.7) gg gg gg B dn (.6) în relaţa (.7), rezultă: j Sgg ( j) B ( v u) h( u) h( v) e dudvd (.8) Pentru o screre ma compactă, se face schmbarea de varablă: vu ; d d (.9) Cu (.9), relaţa (.8) devne: ju jv j S ( j) h( u) e du h( v) e dv B ( ) e d gg (.30) ju hue ( ) du H( j) jv hve () dv H( j) j B ( ) e d S ( j) 34 (.3) unde H j este funcţa de transfer a sstemulu analogc, lnar, nvarant în tmp, ar S j, denstatea spectrală de putere a procesulu aleator de la ntrarea sstemulu respectv. Cu (.3), relaţa (.30) devne:

35 Sgg ( j) H( j) S ( j) (.3) În cazul în care la ntrarea sstemulu se aplcă zgomot alb cu denstatea spectrală de putere S 0, rezultă: S ( j) H( j) S (.33) gg 0.0. Generarea de zgomote cvasalbe Zgomotul alb este un proces aleatoru cu denstatea spectrală de putere constantă într-o bandă nfntă de frecvenţe. Aceasta înseamnă că un generator de zgomot alb ar trebu să dezvolte la eşre o putere nfntă, ceea ce practc nu este posbl. Având în vedere avantajele pe care le prezntă zgomotul alb, se folosesc aproxmaţ ale acestua în sensul că se generează procese aleatoare cu denstatea spectrală de putere constantă într-o anumtă bandă (zgomote cvasalbe). S-a constatat că sursele prmare ca: rezstoare, tranzstoare, dode Zener etc., în anumte condţ de funcţonare generează zgomote cu denstatea spectrală de putere constantă într-o bandă sufcent de mare, însă în domenul frecvenţelor ultrajoase, denstatea spectrală de putere tnde către zero. Deoarece banda de trecere a majortăţ nstalaţlor ndustrale este sub 5 Hz, este necesar a genera un zgomot cu denstatea spectrală constantă între 0 ş aproxmatv 50 de Hz. În general, în practcă se alege banda de frecvenţe a zgomotulu generat de zece or ma mare decât banda de trecere a sstemulu cercetat. Pentru aceasta zgomotul de la sursa prmară este amplfcat ş apo trecut prntr-un fltru trece bandă cu f f f, astfel încât la eşrea fltrulu se obţne un zgomot cu denstatea spectrală 35

36 de putere constantă în această bandă. După o nouă amplfcare, prn modularea zgomotulu cu un tren de mpulsur dreptunghulare de frecvenţă convenabl aleasă ş o nouă fltrare cu un fltru trece jos se poate obţne un semnal cu denstate spectrală de putere constantă într-o bandă de frecvenţe începând cu frecvenţa de zero herţ. Zgomotul cvasalb generat de surse prmare ş prelucrat aşa cum a fost descrs este folost tot ma rar în aplcaţ, deoarece prezntă nstabltate în tmp ş este greu de prelucrat. De aceea, în ultmul tmp zgomotul cvasalb este generat prn secvenţe pseudoaleatoare perodce. Aceste secvenţe se bucură de următoarele propretăţ: a. Semnalul se prezntă ca o succesune de mpulsur de durată elementară Δ ş multpl de Δ, în cadrul unor asemenea ntervale putând lua valorle constante +a sau a; b. Numărul total de ntervale elementare Δ n cadrul une p peroade este N, unde p este un număr întreg poztv; c. În fecare peroadă, numărul de ntervale elementare în care semnalul are valoarea +a este cu o untate ma mare decât numărul de ntervale elementare n care semnalul are valoarea a; d. Dacă se defneşte prn stare numărul de ntervale elementare Δ succesve în care semnalul este egal numa cu +a, sau numa cu a, atunc numărul total de stăr este egal cu N p ; e. În cadrul une peroade, jumătate dn numărul de stăr au o durata egala cu Δ, un sfert dn numărul de stăr au durata de 36

37 Δ, o optme au durata 3Δ etc., exceptând o stare cu valoarea +a de durata pδ s starea cu valoarea a de durata (p-)δ; f. Efectuând o permutare cclcă asupra une succesun date se obţne o nouă succesune care, comparată cu succesunea orgnală, prezntă un număr de neconcdenţe cu o untate ma mare decât numărul de concdenţe. De obce, secvenţele pseudoaleatoare perodce se obţn dn secvenţe bnare pseudoaleatoare perodce. Secvenţele bnare pseudoaleatoare se obţn relatv smplu cu regstre de deplasare cu reacţ convenabl alese. În cazul folosr regstrelor de deplasare cu reacţ se obţn secvenţe de mpulsur cu valoarea logc s 0 logc. Prntr-o convertre relatv uşoară se poate obţne pentru logc valoarea +a s pentru 0 logc valoarea a. Astfel, pentru fxarea delor, se consdera schema dn fgura.9, unde B, B, B 3 sunt crcute basculante bstable (celule bnare). Fg..9. Regstru de deplasare cu reacţe întocmt după polnomul g( x) x x 3 Dacă x, x, x sunt varablele de la ntrarea celulelor bnare, ar ' ' ' 3 x, xş x 3 stărle celulelor bnare, înantea aplcăr tactulu, se poate scre: 37

38 ' x xx 3 ' x x (.34) ' x3 x Sub formă matrceală sstemul de ecuaţ (.34) se poate scre echvalent sub forma: ' 0 x x ' 0 0 x x (.35) ' 0 0 x 3 x 3 Presupunând că nţal celulele bnare se află n starea logc, adcă: S(0) Ş dacă se notează cu [] matrcea 0 0 0, (.36) 0 0 atunc la aplcarea prmulu tact starea regstrulu devne: 0 S() S(0) La următoarele tacte se poate scre: S() S() 0 0 (3) S() ; 0 ; S 38

39 0 S(4) S(3) 0 S(5) S(4) 0 ; S(6) S(5) 0 0 Se observă uşor ca la următorul tact se revne n starea nţală, adcă: S(7) S(6) Secvenţa de eşre a ultme celule bnare are structura 000. Se poate verfca uşor că toate cele şase propretăţ ale une secvenţe pseudoaleatoare perodce sunt verfcate. Ieşrle celorlalte celule bnare vor f, de asemenea, secvenţe pseudoaleatoare perodce, fnd permutăr cclce ale prme secvenţe. În general, dacă regstrul de deplasare este format dn p celule bnare, atunc, ţnând cont ca fecare celulă poate f în două stăr sau 0, rezultă că regstrul de deplasare poate f n p stăr dstncte. Excluzând starea cu toate celulele bnare în 0 logc, rezultă p stăr dstncte, dec secvenţe formate dn maxmum p bţ. Pentru obţnerea lungm maxme p, reacţle trebue conectate convenabl (vez tabelul ). În caz contrar lungmle secvenţelor vor rezulta ma mc. 39

40 abelul Numărul de celule bnare Celulele de la care se au semnele pentru reacţa sumă modulo sau sau sau sau sau Peroada semnalulu Având n vedere caracterul perodc al secvenţe, s funcţa sa de autocorelaţe va f perodcă. Calculul funcţe de autocorelaţe într-o peroada NΔ se efectuează folosnd relaţa: N n (.37) n 0 N Rxx ( k) N xt ( ) xt ( k ) dt în care: n numerotarea stărlor; - numărul de ntervale elementare corespunzătoare stăr a n n-a; ank a este valoarea semnalulu decalat cu k ntervale fata de semnalul de bază; 40

41 k - parametrul de întârzere sau decalare. Funcţa de autocorelaţe scrsă sub această formă se poate calcula separat, pe ntervale în care semnalele sunt dentce sau decalate. Se dstng următoarele cazur: ) k=0 N N n N a xx (0) n n n N (.38) n N 0 n R aadt a deoarece suma numărulu de ntervale elementare corespunzătoare tuturor stărlor este egală cu N, adcă ) k N N N (.39) n n n N Rxx ( k) x( t) x( tk) dt N n 0 N k n x( t) x( tk) dt x( t) x( tk) dt N n 0 k 4 (.40) Ţnând cont că pe ntervalul 0 k stărle celor două secvenţe nu concd, ar pe ntervalul k n stărle celor două secvenţe concd, relaţa (.40) devne N N xx ( ) ( n ) N n N N N ( an ak) a k ka n R k a k a k N N N (.4)

42 3) k Consderând ma întâ k întreg, rezultă, conform propretăţ f) că numărul de neconcdenţe este ma mare cu unu decât numărul de concdenţe ş, dec: N a Rxx ( k) ( a ) (.4) N N Datortă caracterulu cclc al secvenţe pentru k, adcă decalaje ma mar decât Δ, propretatea f) se conservă ş funcţa de autocorelaţe păstrează aceeaş valoare dată de (.4). Rezultă atunc că reprezentarea grafcă a funcţe de autocorelaţe în funcţe de parametrul k este dată în fgura..0. Fg..0. Reprezentarea grafcă a funcţe de autocorelaţe a une secvenţe pseudoaleatoare perodce Dn fgura.0 se observă că funcţa de autocorelaţe a une secvenţe pseudoaleatoare se aprope cu atât ma mult de funcţa de autocorelaţe a zgomotulu alb, cu cât Δ este ma mc s N este ma mare. 4

43 .. Probleme rezolvate. Un punct efectuează o mşcare armoncă de forma x=asnt. Să se determne denstatea de repartţe de ordnul întâ, x, a mărm x în orce moment de tmp t, dacă probabltatea aflăr punctulu în ntervalul (x, x+dx] este proporţonală cu lungmea ntervalulu dx ş nvers proporţonală cu vteza dn momentul de tmp corespunzător. Să se determne apo funcţa de repartţe de ordnul întâ, F a x a. w x, ş probabltatea ca punctul să se afle în ntervalul Soluţe Conform relaţe (.5), se poate scre: w( x) dx Cdt unde C este o constantă de proporţonaltate. Rezultă atunc: dt C C C w ( x) C dx dx acost a sn t dt C C x a x a a Deoarece w w ( x) x este o mărme reală, rezultă: a C x, pentru x < a Pentru determnarea constante de proporţonaltate, se foloseşte relaţa generală: 43

44 În acest caz: a a w( x; t ) dx Cdx C x arcsn C a x a a Dec: w ( x) x x a x a, pentru x < a dx x x F( x) w( x) dx arcsn arcsn a a a x a a a a a Pa x w( xdx ) w( xdx ) w( xdx ) a a F F( ) F( a) F( ) arcsn arcsn( ) x a. Valoarea efectvă a tensun fluctuante ce corespunde zgomotulu staţonar cu componentă contnuă nulă descrs de o lege de repartţe normală este U ef =6V. Sã se determne probabltatea ca zgomotul să depăşească nvelul de prag U p =0V. Se dă valoarea funcţe Laplace F(,5)=0,895. Soluţe Conform relaţe (.5), legea de repartţe a zgomotulu, reprezentat prn tensunea fluctuantă, este de forma: 44

45 u U ef u 6 w ( u) e e U ef 6 Conform relaţe (.6), rezultă: p P u U P u 0 w( u) du w( u) du w( u) du 0 u 6 0 F( ) e du 6 rezultă: Efectuând schmbarea de varablă: u 6 0 v, du 6dv 0 6 v 0 Pu 0 e dv F F(,5) 6 0,895 0,05 3. Funcţa caracterstcă este defntă ca transformata Fourer a denstăţ de repartţe de ordnul întâ cu semnul lu nversat, adcă o funcţe () de forma: ( ) ( ) j w x e x dx Să se demonstreze că d ( ) f( t) mf( t) j d etc., unde j. f d ( ) ( t) m f ( t) 45 j d 0 0

46 Să se calculeze apo, pe această cale, valoarea mede în cazul leg de repartţe unforme, defnte prn relaţa: Soluţe d ( ) d, pentru a xb w ( x) b a 0, pentru x b s xa ( ) ( ) ( ) j x jxw x e dx j xw x dx j f t 0 0 d ( ) d d ( ) f( t) j d 0 ( ) j jxw xe x dx 0 0 d ( ) j x w( x) dx j f ( t) f ( t) j d 0 În cazul leg de repartţe unforme, funcţa caracterstcă este de forma: b jx jx jb ja ( ) w ( x) e dx e dx ( e e ) ba j( ba) a jb ja jb ja d ( ) ( jbe jae ) j j( e e ) ba j d 0 b a j 0 Rezultă atunc: d ( ) b a f( t) j d 0 46

47 4. Un semnal staţonar ş ergodc, x, este caracterzat prn denstatea spectrală de putere: Sxx ( j) 4 Dacă semnalul x este repartzat după o lege normală, să se determne această lege. Soluţe w( x) 47 ( x x ) e unde x ş reprezntă valoarea mede ş dspersa. Conform relaţlor (.89) ş (.98), rezultă: x B xx ş Bxx(0) Bxx ( ) Pentru a calcula funcţa de autocorelaţe Bxx, se foloseşte teorema Wener - Khntcne: j Bxx( ) Sxx( j) e d Efectuând schmbarea de varablă: j s, d ds ş atunc: j Sxx () s 4 s s s 4 Funcţa de autocorelaţe se poate calcula folosnd teorema rezduurlor. B xx ( ) j j j s e ds s s

48 s e e, pentru 0 s s s e e s s, pentru 0 ş atunc Dec: 0 Bxx ( ) e x B xx, ar Bxx (0) Bxx ( ) / Legea de repartţe a semnalulu va f de forma: w( x) e x 48

49 5. Să se deducă funcţa de autocorelaţe de la eşrea unu fltru trece jos deal, caracterzat prn funcţa de transfer j ( ) H j A e, unde: A, pentru A( ) 0, pentru dacă la ntrarea acestua se aplcă zgomot alb cu denstatea spectrală de putere S 0. Soluţe Conform relaţe (.33), rezultă: AS0, pentru Sgg ( j) H( j) S0 0, pentru Conform teoreme Wener - Khntcne: j AS0 j AS0 gg ( ) gg ( ) sn B S j e d e d 6. Fe fltrul RC dn fgura alăturată. Să se determne funcţa de autocorelaţe de la eşre, Bgg, dacă la ntrare se aplcă zgomot alb f(t), cu denstatea spectrală de putere 0 S j S 49

50 Soluţe Conform relaţe (.3), rezultă: S ( j) H( j) S ( j) gg Funcţa de transfer, H j a fltrulu este: H(j) jrc Rezultă atunc: H( j) jrc jrc ( RC) Deoarece S j S0, rezultă: S0 j Sgg ( j ), B ( ) ( ) gg Sgg j e d ( RC) Efectuând schmbarea de varablă B gg j s j 0 e ds S0 j src src j RC j j 50 j s, d ds j ş atunc: s S e ds ( ) ( )( ) ( ) ( s)( s) RC RC S e 0 s ( RC) S 0 RC e RC s RC s RC, pentru 0 S0 s e ( RC) S0 RC e pentru 0 RC, s RC s RC Scrs sub formă compactă, rezultă:

51 B gg ( ) S0 e RC RC ( k ) ( k ) 7. Fe Xt () { x ()} t ş Yt () { y ()} t două procese aleatoare legate prn relaţa Yt () Lt [ Xt ()], unde L t este un operator lnar ce operează asupra varable t. Dacă L t este operatorul de dervare, să se arate că: BXX ( t, t) BXX ( t, t) B ( t, t) XX ; B (, ) XX t t ; t t BXX ( t, t) Xt () B ( t, t) XX, unde Xt () t t t, ar BXX ( t, t ) este funcţa de autocorelaţe. Dacă X () t este staţonar în sens larg, să se BXX ( tt) BXX ( t t) arate că: B ( tt) XX ; B ( t t) XX ; t t BXX ( tt) B ( t t) XX t t Soluţe ( k ) ( k ) Fe X ( t) { x ( t)} ş Yt ( ) { y ( t)} două varable aleatoare ale proceselor aleatoare X () t ş Yt. () Cele două procese aleatoare sunt legate prn relaţa 5

52 Yt () Lt [ Xt ()] (p7.) Multplcând la stânga relaţa (p7.) cu X( t ) ş mednd apo amb membr pentru t t, rezultă E{ X( t ) Y( t )} E{ X( t ) L [ X( t )]} L [ E{ X( t ) X( t )] t t Dar E{ X( t) Y( t)} BXY ( t, t) reprezntă funcţa de corelaţe ş E{ X( t) X( t)} BXX ( t, t) reprezntă funcţa de autocorelaţe. Dec, se poate scre B ( t, t ) L [ B ( t, t )] (p7.) XY t XX Multplcând la dreapta relaţa (p7.) cu X( t ) ş mednd apo amb membr pentru t t, rezultă EYt { ( ) Xt ( )} EL { [ Xt ( )] Xt ( )} L[ E{ Xt ( ) Xt ( )}] sau t t B ( t, t ) L [ B ( t, t )] (p7.3) YX t XX Multplcând la dreapta relaţa (p7.) cu Yt ( ) ş mednd apo amb membr pentru t t, rezultă E{ Y( t ) Y( t )} E{ L [ X( t )] Y( t )} L [ E{ X( t ) Y( t )}] sau t t B ( t, t ) L [ B ( t, t )] (p7.4) YY t XY În cazul partcular când operatorul L t este de dervare ş procesul aleator X () t este staţonar în sens larg, relaţle (p7.), (p7.3), (p7.4) devn BXX ( t t) B ( t t) XX (p7. ) t 5

53 BXX ( t t ) B ( t t ) XX (p7.3 ) t XX ( ) XX (p7.4 ) t t B t t B ( t t ) Dacă se face notaţa t t, se poate scre echvalent: BXX ( ) B ( ) XX (p7. ) BXX ( ) B ( ) XX (p7.3 ) BXX ( ) B ( ) XX (p7.4 ) 53