ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟ I ΜΕΡΟ IΙ

Transcript

1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟ I MΗΓΑΓΗΚΟΗ ΑΡΗΘΜΟΗ... ΜΔΣΡΟ ΜΗΓΑΓΗΚΟΤ... 5 ΠΑΝΔΛΛΖΝΗΔ... 6 ΠΑΡΑΓΧΓΟ... ΚΑΝΟΝΔ ΠΑΡΑΓΧΓΗΔΗ... 9 ΔΦΑΠΣΟΜΔΝΔ ΑΟΡΗΣΟ ΟΛΟΚΛΖΡΧΜΑ... 5 ΟΡΗΜΔΝΟ ΟΛΟΚΛΖΡΧΜΑ ΔΜΒΑΓΑ ΠΑΝΔΛΛΖΝΗΔ ΜΕΡΟ IΙ ΤΝΑΡΣΖEI ΌΡΗΟ-ΤΝΔΥΔΗΑ ΤΝΑΡΣΖΖ ΠΑΡΑΓΧΓΟ ΤΝΑΡΣΖΖ-ΒΑΗΚΑ ΘΔΧΡΖΜΑΣΑ... 6 ΘΔΜΑΣΑ ΠΑΝΔΛΛΖΝΗΧΝ ΘΔΜΑΣΑ ΟΔΦΔ... 6 ΘΔΧΡΗΑ ΥΟΛΗΚΟΤ ΒΗΒΛΗΟΤ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 Α. ΗΟΣΖΣΑ ΠΡΑΞΔΗ ΤΕΤΓΔΗ - ΓΔΧΜΔΣΡΗΚΖ ΠΑΡΑΣΑΖ ΜΗΓΑΓΗΚΧΝ ΑΡΗΘΜΧΝ. Να βξείηε ηνπο x,y γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη: α) x y x yi i ζη) y 4y x x i 4 i xi 7i β) x y 0 δ) xi 5 i i i i x x x i γ) δ) x 5 xi xyi y i 7i ε) 0 x y i x y i ε) 5 x i i y 5 i ζ) 4 η) x i xyi y i a ai x xi y yi a i. Αλ =(x-)+(y-)i, x,y, λα βξείηε ηηο ηηκέο ησλ x,y ώζηε: i. =0 ii. 0 iii. iv. I v. I vi.. Nα βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ,ν αξηζκόο είλαη: i. πξαγκαηηθόο ii. θαληαζηηθόο 4. Να βξεζεί ν κηγαδηθόο γηα ηνλ νπνίν ηζρύεη: x i i x i x i) Re Im Re 4Im( ) 5 ii) Re i Im x x 4 x x i,x. 5. Γίλνληαη νη κηγαδηθνί ηεο κνξθήο: Nα βξείηε ηνλ x ώζηε : i. ii. I iii. =0 iv. <0 6. Nα γίλνπλ νη πξάμεηο θαη λα γξάςεηε ηνπο κηγαδηθνύο ζηε κνξθή α+βi : α) i(-i)+i(-i)-i( i -) ζη) (εκx +iζπλx)(ζπλx +iεκx) β) i(i-a)-(i-a)(i+a)+a(5i-a) δ) ( i -i+)( i +i-) γ) (i-)( i +i+5) ε) i i i ζ) i i δ) i ii i i η) ( i -i-)( i -i+) ε) i i i i i i i 7. Να βξεζνύλ νη ηηκέο ησλ α,β,ώζηε λα είλαη ζπδπγείο νη κηγαδηθνί θαη w : i. =5α+8β+(α+6β)i θαη w=β-α+6+(α-β-7)i ii. =α +αβ-β+(α+β-)i θαη w=αβ-α-β +(-α-β)i 8. Nα γξαθνύλ ζηε κνξθή α+ βi νη κηγαδηθνί αξηζκνί : α) 5i 7 i i i β) γ)! i i i 5i i i ε) i 5i 7 i i i ζη) δ)! i i i i i δ)! i i ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα

4 9. ην κηγαδηθό επίπεδν λα ζεκεηώζεηε ηελ εηθόλα θαη ηε δηαλπζκαηηθή αθηίλα ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ : +i, --i, -+i, -, -i, +i, i-, 4, i. 0. Nα πεξηγξάςεηε γεσκεηξηθά ην ζύλνιν ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ πνπ ηθαλνπνηνύλ ηηο ζρέζεηο : i. Re()= iii. Re()+ Im()=0 ii. Im()= - iv. Im()= - θαη Re( ) Re( ). Να γξαθνύλ ζηε κνξθή α+ βi νη κηγαδηθνί αξηζκνί: i. i i i i 4i ii. i i iii. i i iv.. Να βξείηε ηνλ ζπδπγή ησλ κηγαδηθώλ: i. i iii. i ii. 5i 6 iv. 6 0 v. 5 i vi. 4!. Aλ θαη w κηγαδηθνί αξηζκνί θαη α,β λα απνδεηρηνύλ νη ηζόηεηεο : w i. Re Re, Im Im iv. Im Im 0 w w ii. Re w Re Rew Im v. Im Re 0, w Im iii. Re Re vi. Re, Im w w Re Β ΓΤΝΑΜΔΗ. Να βξεζνύλ νη δπλάκεηο/αζξνίζκαηα/γηλόκελα: i. i, i, i, i, i vi. ii. iii. iv. v i, i, i, i i, i, i, i i i i i i i i i i Nα ππνινγίζεηε ηα αζξνίζκαηα: S... i i i i S i i i i i i i i i i vii. viii S i i i i i i i i i ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα

5 . Nα γξάςεηε ζηε κνξθή α+βi ηνπο κηγαδηθνύο : 6 6 i. i i ii. i i 4. Nα απνδείμεηε όηη : i i i iii. i i Γηα α+βi 0 λα πξνζδηνξίζεηε ην ζεηηθό αθέξαην λ ώζηε λα ηζρύεη a i ai Nα απνδείμεηε όηη : i. i i 0 ii. i i Γ.ΘΔΧΡΖΣΗΚΔ ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΤΕΤΓΔΗ. Αλ w, απνδείμεηε όηη είλαη πξαγκαηηθνί νη αξηζκνί: i. w w ii. w w iii. w w w w w w v. w w vi. vii. w w. Αλ w, απνδείμεηε όηη είλαη θαληαζηηθνί νη αξηζκνί: i. ii. w w w w u u u u iii. iv. i i i i iv. w w i i viii. i i. Αλ γηα ηνπο κηγαδηθνύο θαη w ηζρύεη w λα δεηρηεί όηη είλαη πξαγκαηηθόο w αξηζκόο : u i. w i 4. Aλ i. w, λα δείμεηε όηη w.ii. w, λα δείμεηε όηη w I. i 5. Έζησ,w κηγαδηθνί αξηζκνί κε : w θαη w.να απνδείμεηε όηη : i) αλ w, ηόηε ν w w w w ii) αλ ww, ηόηε iii) αλ ww, ηόηε I w w 6. Έζησ όηη γηα ηνπο κηγαδηθνύο,, ηζρύνπλ 0 θαη. Nα απνδείμεηε όηη: i. 0 ii. 0 iii. iv. 0. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα

6 ο υ ΒΑΘΜΟΤ Γ.ΔΞΗΧΔΗ. Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο: α) 5 i i i 5 4i 4 7i ε) 5 i 9 i i i i 6 β) i i i 5i ζη) i i γ) i i i i 9 4i δ) i i i i ε) 9 δ) ο υ ΒΑΘΜΟΤ. Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο: α) 5 0 δ) 4 0 ηγ) 0 β) 0 ε) 0 ηδ) 4 0 γ) 6 0 ζ) 4 0 ηε) 0 δ) 0 η) 0 ηζη) ε) ηα) 8i 0 ηδ) ζη)! 0 ηβ) 9 0 ηζ) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο: α) i 0 ζη) 7 i i 0 ηα) i β) γ) i 0 δ) i 5 7 i 0 ηβ) 5i 6 0 ε) i 5 i 6 4i 0 ηγ) δ) ε) i 0 ζ) i η) 0 ηδ) 50i 0 ηε) ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα 4

7 Δ.ΠΑΡΑΜΔΣΡΗΚΔ 4. Γίλεηαη ε εμίζσζε : 0.Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ε εμίζσζε έρεη κηγαδηθέο ξίδεο. 5. Γίλεηαη ε εμίζσζε : 0. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ε εμίζσζε έρεη κηγαδηθέο ξίδεο. Αλ γηα ηηο ξίδεο, ηεο εμίζσζεο ηζρύεη 4 λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ θαη ηηο ξίδεο,. 6. Αλ ε εμίζσζε 0, θ, ι έρεη ξίδα ηνλ +i λα βξεζνύλ ηα θ,ι.(ππνπξγείν) 7. H εμίζσζε 0 κε a, έρεη ξίδα ηνλ κηγαδηθό αξηζκό i. a α) Να βξείηε ηελ άιιε ξίδα β) Να βξείηε ηα α,β. 8. Να βξεζεί ε εμίζσζε,δεπηέξνπ βαζκνύ, κε πξαγκαηηθνύο ζπληειεζηέο πνπ έρεη ξίδα ηνλ κηγαδηθό =-i. Σ.ΜΔΣΡΟ ΜΗΓΑΓΗΚΟΤ ΑΡΗΘΜΟΤ. Να βξεζνύλ ηα κέηξα ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ: i. +i, -i, + i, i ii. 4 i, i iii. i 4 4 6i, i i, 4 i i i. Να βξεζνύλ ηo κέηξo ηoπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ : 4, 0i i, i, 4 i 8i i. i i 4i iv. 65 i i i i 5i v. i 4i 7i i 0 i 0i vi. i i i ii. iii.. Nα βξεζεί ην κέηξν ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ όηαλ ηζρύνπλ νη ηζόηεηεο: i. 8 v. 9 i i ii. vi. 6 4i 6 i vii. 4 iii. i i Nα βξεζεί ην κέηξν ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ,, αλ ηζρύεη Aλ 0, λα βξείηε ην. Aλ 7, λα βξείηε ην 5 6. Aλ, ηόηε i i 4.Aλ i i, ηόηε ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα 5

8 7. Να απνδείμεηε όηη : i. w w Re w 0 ii. w w w Re 0 8. Nα βξεζεί ν κηγαδηθόο αξηζκόο όηαλ ηζρύεη : i. 8i i iv. i i ii. 6 i 8i v. 4 θαη i iii. 4 i 4 6i vi. i θαη 5i 5 9. Nα ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : i. ii. i 0 vi. 4 i 0 vii. iii. 8i viii. iv. xi i xii. i 0 6i 0 xiii. ix. i xiv. i i Ε.ΘΔΧΡΖΣΗΚΔ ΑΚΖΔΗ ΣΑ ΜΔΣΡΑ. Να απνδεηρζνύλ νη παξαθάησ ηζόηεηεο: i u i. I ii. I iii. u i u w u u iv. w I v. u vi. u w u u. Έζησ ξ>0 θαη κηγαδηθνί,, ηέηνηνη ώζηε : p θαη p Να απνδείμεηε όηη : i. ii.. Έζησ όηη γηα ηνπο κηγαδηθνύο,, ηζρύεη : θαη. Να απνδείμεηε όηη : i. ii. iii. v 4. Γείμηε όηη ε εμίζσζε: 5. Αλ ε εμίζσζε v v i w i, ξίδα, λα δείμεηε όηη: w. 6. Αλ γηα ηνλ κηγαδηθό 0 v 0, ηζρύεη: 4 0 * v, έρεη κόλν θαληαζηηθέο ξίδεο. * v, κε άγλσζην ηνλ, έρεη πξαγκαηηθή 7, λα απνδείμεηε όηη 8 7. Να απνδεηρζεί όηη δελ ππάξρεη ηέηνηνο, ώζηε λα ηζρύεη: i. v i i. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα 6

9 8. Aλ γηα ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο,, ηζρύνπλ νη ζρέζεηο: 0 θαη λα απνδείμεηε όηη : 0 i. ii.oη εηθόλεο ησλ,, είλεη θνξπθέο ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ Αλ ν κηγαδηθόο πνπ ηθαλνπνηεί ηελ ζρέζε i i,λα δείμεηε όηη. Ζ.ΤΣΖΜΑΣΑ Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα: i 5i i i i. ii. iii. i i 5 i i i 5i iv. v. 5 4i 4i i i i i Θ.ΑΝΗΟΣΗΚΔ ΥΔΔΗ ΜΔΣΡΟΤ. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε κηγαδηθό ηζρύεη: i i.. Nα απνδείμεηε όηη γηα θάζε w, ηζρύεη: i. w w w ii. w w w 0. Γηα θάζε,u λα δεηρηεί όηη ηζρύεη ε αληζόηεηα: u u u. 4. Aλ γηα ην κηγαδηθό αξηζκό ηζρύεη 5 λα δεηρηεί όηη είλαη : Αλ γηα ηνλ κηγαδηθό αξηζκό ηζρύνπλ θαη 4 λα δεηρηεί όηη: 6 6 ΣΡΗΓΧΝΗΚΖ ΑΝΗΟΣΖΣΑ. Αλ γηα δύν κηγαδηθνύο,w ηζρύνπλ: w 6 θαη w 0 λα απνδείμεηε όηη: i. 8 ii. 6 i w i 8 iii. 4 iv. 8 w i 4 w. Aλ γηα ηνλ κηγαδηθό ηζρύεη: 4i λα απνδείμεηε όηη: i. 4 6 ii i. Aλ γηα ηνλ κηγαδηθό ηζρύεη: 5 λα απνδείμεηε όηη: 8 4. Aλ γηα ηνλ κηγαδηθό ηζρύεη: λα απνδείμεηε όηη : 4 4i 6 5. Aλ γηα ηνλ κηγαδηθό ηζρύεη: i λα απνδείμεηε όηη : 4i Αλ γηα δύν κηγαδηθνύο,w ηζρύνπλ: i θαη w 4 λα απνδείμεηε όηη : w 8. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα 7

10 7. Αλ γηα ηνπο κηγαδηθνύο,, ηζρύεη 0 θαη.να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ηζρύεη : i. ii. 8. Nα απνδεηρηεί ζην ε αληζόηεηα : Γηα θάζε u, λα δεηρηεί: i. u u ii. u u u 0. Nα απνδεηρηνύλ νη ζπλεπαγσγέο : i. 4 8 iv. i 5 7 ii. 5 4 v. i i 8 ΓΗΑΦΟΡΔ ΑΝΗΟΣΖΣΔ. Αλ γηα ηνπο κηγαδηθνύο, u, x, y κε xy 0 θαη x y λα δεηρηεί όηη : x u u y. Aλ γηα ηνπο κηγαδηθνύο,u ηζρύνπλ θαη u λα δεηρηεί όηη : u u. Γηα θάζε λα δεηρηεί όηη : Re Re θαη Im Im Γηα ην κηγαδηθό αξηζκό ΔΤΘΔΗΑ i λα απνδεηρζεί ε ηζνδπλακία Η.ΒΑΗΚΟΗ ΓΔΧΜΔΣΡΗΚΟΗ ΣΟΠΟΗ. Im 0 i i EΞΗΧΖ ΣΟΗΥΔΗΑ ΤΝΘΖΚΔ y = ιx+β y y x x o x x o, y yo y x, y x x x y y ΚΤΚΛΟ o o o K x, y o o ΠΑΡΑΒΟΛΖ ΔΛΛΔΗΦΖ ΤΠΔΡΒΟΛΖ x y Ax By 0 x a x y ξ= px y Κ, 4 p Δ,0,0,,0 y,0,,0 4 0 a ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα 8

11 . ΓΔΧΜΔΣΡΗΚΟΗ ΣΟΠΟΗ ΜΔ ΤΕΤΓΔΗ. Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ηεο εηθόλαο, Μ(), όηαλ : i. ii. i. Γίλνληαη νη κηγαδηθνί,w.να βξείηε πνπ θηλείηαη ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ όηαλ: i i. Re Re ii. Re i i i. Γίλνληαη νη κηγαδηθνί x yi γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη :. Να απνδείμεηε όηη ε Μ() αλήθεη ζηελ επζεία : x+y+=0. 4. Έζησ ν κηγαδηθόο =ι-+(ι-)i. i. Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ηνπ κηγαδηθνύ. ii. Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ηνπ κηγαδηθνύ w. i iii. Να βξείηε ην κηγαδηθό πνπ έρεη ηελ πιεζηέζηεξε εηθόλα ζηελ αξρή ησλ αμόλσλ. 5. Θεσξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο =x+yi γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη ε ζρέζε : i. ii..να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ηεο εηθόλαο Μ() 6. Nα βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ηνπ Μ() ζην κηγαδηθό επίπεδν ησλ αξηζκώλ,γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη : Re Re. 7. Aλ ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ ζην κηγαδηθό επίπεδν βξίζθεηαη ζηελ επζεία ε:y=x-,λα βξείηε πνπ βξίζθεηαη ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ w i i i.να βξείηε ην κηγαδηθό w πνπ έρεη ηελ πιεζηέζηεξε εηθόλα ζηελ αξρή ησλ αμόλσλ. 8. Έζησ Μ θαη Ν εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ θαη w αληίζηνηρα. Αλ w θαη ην Μ θηλείηαη ζην κνλαδηαίν θύθιν,λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο γξακκήο πνπ θηλείηαη ην w. 9. Να απνδείμεηε όηη ηα x,y ηθαλνπνηνύλ ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο θαη κόλν αλ, ν ηθαλνπνηεί ηελ,όπνπ =x+yi κε xy,. x y 0. Αλ Α,Β,Γ είλαη νη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ,, λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α,Β,Γ είλαη ζπλεπζεηαθά αλ θαη κόλν αλ.,αλ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα 9

12 . ΜΔ ΑΠΑΛΟΗΦΖ ΠΑΡΑΜΔΣΡΟΤ. Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ηεο εηθόλαο, Μ(), όηαλ: i. =ι-i(4-ι) iv. =(ι+i) ii. x+(y-ι )i=ι(+i)-+i v. =-ζπλζ+iεκζ vi. =-ζπλζ+i(+εκζ)i iii. = i. Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ξηδσλ ησλ εμηζώζεσλ: i. 0 ii. 4 0.ΚΤΚΛΟ Ή ΔΛΛΔΗΦΖ. Nα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ Μ() όηαλ: i. i ii. i iii. 5i iv. i v. i vi. 4i 6i vii. i viii. 4i i 4. Nα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ Μ() όηαλ: i., i x y i ii. i, x yi iii. 6i, x yi iv. 4, x yi 4.ΤΝΘΔΣΟ ΓΔΧΜΔΣΡΗΚΟ ΣΟΠΟ Nα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ Μ() όηαλ: i. i 4, w i ii. i, w i iii. i,w i iv. i, w i v. x y 9, w i vi. x y, w 5i vii. x y 4 4, w i viii. x y 5 5, w i ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα 0

13 5.ΜΔ ΤΕΤΓΖ Αλ =x+yi λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ Μ() όηαλ: i. i ii. iii. i 4 8i 0 6. ΗΟΣΖΣΑ ΜΔΣΡΧΝ Αλ =x+yi λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ Μ() όηαλ: iv. v. 4 i vi. 4 iim i. 4i 4 i ii. 6i 4i iii. i 5i iv. i 4i v. i i vi. i i 7. ΔΛΛΔΗΦΖ-ΤΠΔΡΒΟΛΖ Αλ =x+yi λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ Μ() όηαλ: i. 0 ii iii iv v vi. 5i 5i 6 8.ΤΝΘΖΚΔ ΤΕΤΓΧΝ Αλ =x+yi λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ Μ() όηαλ: i i i ii. w I iii. w iv. w i i. w i i I 9.ΤΝΘΔΣΟ Γ. ΣΟΠΟ Aλ ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ ζεκείνπ Ρ() είλαη ε γξακκή C λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ ζεκείνπ Μ(w) όηαλ : i. w 5 i, C : x y 0 ii. i w, C : x y 7 0 i i, : 4 8 i iv. w C x y v. w i C x y, : 4 iii. w i C x y 5, : 9 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα

14 0.ΥΔΖ ΜΔ Re() Ζ Im() Αλ =x+yi λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ Μ() όηαλ: i. Re ii. Re 0 iv. Re Im iii. Re Re.ΑΝΗΟΣΗΚΟΗ ΓΔΧΜΔΣΡΗΚΟΗ ΣΟΠΟΗ Αλ =x+yi λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ Μ() όηαλ: i. ii. 4 iii. i iv. i v. i vi. 4i 6 vii. i i viii. ix. i x. i i xi. xii. xiii. Im(i)>Re(i)+ ΗΑ. ΤΝΑΡΣΖΔΗ. Έζησ ν κηγαδηθόο θαη ε ζπλάξηεζε α) Να δείμεηε όηη f i. β) Αλ ε εμίζσζε f βξείηε ηα α,β. i f, i. i i κε, έρεη ξίδα ηνλ κηγαδηθό -i λα γ) Αλ, λα δείμεηε όηη νη εηθόλεο ηνπ κηγαδηθνύ είλαη εμσηεξηθά ζεκεία ηνπ θύθινπ κε θέληξν Ο θαη αθηίλα ξ=.. Έζησ θαη α) Να δείμεηε όηη i f, i. i f i. β) Αλ f, λα δείμεηε όηη I ή Im. f ζην κηγαδηθό επίπεδν δελ γ) Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε f. i δ) Αλ νη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ,βξίζθνληαη ζην κνλαδηαίν θύθιν, λα δείμεηε όηη νη εηθόλεο ηνπ ησλ κηγαδηθώλ Ο θαη αθηίλα ξ=. f δελ είλαη εμσηεξηθά ζεκεία ηνπ θύθινπ κε θέληξν ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα

15 *. Έζησ θαη f. α) Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε f β) Να δείμεηε όηη ή Re f. γ) Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν C ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη f. δ) Να δείμεηε όηη νη εηθόλεο ησλ ξηδώλ ηεο εμίζσζεο f δελ είλαη ζεκεία ηνπc. 4. Έζησ ν κηγαδηθόο κε i θαη ε ζπλάξηεζε f 4. i α) Να βξείηε ην Im(f(+i)). β) Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ζην κηγαδηθό επίπεδν γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη f. γ) Να δείμεηε όηη f i. δ) Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ζην κηγαδηθό επίπεδν γηα ηνλ νπνίν ηζρύεη : f i f i 5. Έζησ νη κηγαδηθνί α) Αλ 5 0. i * θαη f. f, λα δείμεηε όηη I. β) Αλ f f 5, λα βξείηε: i.σν γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ησλ ii. ηε κέγηζηε ηηκή ηνπ θαη ηελ ειάρηζηε ηνπ f 6. Έζησ ν κηγαδηθόο αξηζκόο f, κε θαη 0. α) Να γξάςεηε ηνλ f(i) ζηε κνξθή α+βi θαη ζηε ζπλέρεηα λα βξείηε θαη ην κέηξν ηνπ. β) Να απνδείμεηε όηη: i.γηα, κε f f, ηζρύεη. ii. Αλ f f, ηόηε ν είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο. iii. f f. γ) Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ηνπ γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη: i. f f i ii. f f ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα

16 7. Έζησ ε ζπλάξηεζε f α) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε i β) Αλ f f i i i i,, i. ηζρύεη : f f. 0, λα βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ηεο εηθόλαο ηνπ. γ) Να απνδείμεηε όηη : f f. 8. Έζησ θαη ε ζπλάξηεζε f i i i. f α) Να βξείηε γηα πνηνπο κηγαδηθνύο νξίδεηαη f(). β) Να απνδείμεηε όηη : γ) Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη : f. 9. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε ηύπν: f α) f f β) f f i,.nα απνδείμεηε όηη : i γ) f(f())=i ΗΒ. Ζ ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΣΟΤ ΜΗΓΑΓΗΚΟΤ. Με δεδνκέλν όηη νη κηγαδηθνί αξηζκνί παξηζηάλνπλ ζην κηγαδηθό επίπεδν ηα ζεκεία,αληίζηνηρα θαη ην κέηξν ηεο δηαθνξάο ησλ ηελ απόζηαζε ησλ δύν ζεκείσλ λα εξκελεπηνύλ γεσκεηξηθά νη παξαζηάζεηο : i. viii. 6 xv. Re()= Im() ii. ix. xvi. Re()= iii. x. 6i xvii. Im()= iv. i xi. i 4 xviii. Re()<4 v. 5i xii. i ixx. Im()>-. Aλ Μ() είλαη ην κέζν ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ΑΒ κε άθξα Α θαη Β λα δεηρηεί όηη :.. Nα βξεζεί ην κήθνο ηεο δηακέζνπ ΑΜ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ όηαλ νη θνξπθέο Α,Β,Γ 4i 6i είλαη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ,, 6i i i αληίζηνηρα. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα 4

17 4. Να βξεζεί ε απόζηαζε ησλ ζεκείσλ Α(u), B(w) όπνπ u θαη w 0 4 8i όηαλ θαη. i i 5. Γίλνληαη ηα ζεκεία Α( ), Β θαη ε επζεία ε: x+y-5=0.αλ i θαη 4 i λα βξεζεί ζεκείν Μ() πάλσ ζηελ επζεία ε ώζηε ε γσλία MAB λα είλαη νξζή. 6. Γηα ηα ζεκεία A, B,, AB // 4 λα δεηρηεί όηη : θαη AB I Να απνδεηρηεί όηη ηα ζεκεία A, B θαη i. όηαλ θαη κόλν όηαλ. είλαη ζπλεπζεηαθά 6 i, =--9i, =6-i. ii Γίλνληαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί : i, = i, = i.nα δεηρηεί όηη ηα i i i ζεκεία A, B θαη ζρεκαηίδνπλ νξζνγώλην ηζνζθειέο ηξίγσλν. 9. Αλ ηα ζεκεία i, =--i θαη =- + i λα δεηρηεί όηη ηα ζεκεία A, B θαη είλαη θνξπθέο ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ. 0. Αλ γηα ηνπο κηγαδηθνύο,, ηζρύνπλ νη ηζόηεηεο : 0 θαη ηόηε ην ηξίγσλν ησλ αληηζηνίρσλ ζεκείσλ ηνπο είλαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν.. Αλ i, 6 i, 8 7 i, 4 4 5i λα δεηρηεί όηη ηα ζεκεία,,, A B είλαη θνξπθέο παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ. 4. Αλ =(θ+ι)+(θ-ι)i λα βξεζνύλ νη παξάκεηξνη θ,ι ώζηε ην ζεκείν Α() λα είλαη ηνκή ησλ επζεηώλ : 5x y 0 θαη ε : 4x y Αλ γηα ην κηγαδηθό αξηζκό ηζρύεη ησλ, -, θαη είλαη νκνθπθιηθά. 4. Αλ αλήθεη ζηνλ θύθιν ηόηε Re Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία, θαη A B όπνπ i, =-4i θαη =-4i. λα δεηρηεί όηη ηα ζεκεία ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα 5

18 Η ΘΔΧΡΗΑ ΠΑΝΔΛΛΖΝΗΔ Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ αθνινπζνύλ, γξάθνληαο ζην ηεηξάδηό ζαο ηε ιέμε ωζηό ή Λάθος δίπια ζην γξάκκα πνπ αληηζηνηρεί ζε θάζε πξόηαζε.. Αλ έλαο κηγαδηθόο αξηζκόο θαη ν ζπδπγήο ηνπ, ηόηε ηζρύεη.. Αλ, είλαη κηγαδηθνί αξηζκνί, ηόηε ηζρύεη πάληα.. Αλ, είλαη κηγαδηθνί αξηζκνί, ηόηε ηζρύεη πάληα,,,, όπνπ =α+βi θαη = γ+δi 4. Ζ δηαλπζκαηηθή αθηίλα ηνπ αζξνίζκαηνο δύν κηγαδηθώλ αξηζκώλ είλαη ην άζξνηζκα ησλ δηαλπζκαηηθώλ αθηίλσλ ηνπο. 5. Σν κέηξν ηεο δηαθνξάο δύν κηγαδηθώλ είλαη ίζν κε ηελ απόζηαζε ησλ εηθόλσλ ηνπο. 6. Σν κέηξν ηεο δηαθνξάο δύν κηγαδηθώλ αξηζκώλ είλαη ίζν κε ηελ απόζηαζε ησλ εηθόλσλ ηνπο ζην κηγαδηθό επίπεδν. 7. Σν κέηξν ηεο δηαθνξάο δύν κηγαδηθώλ αξηζκώλ είλαη ίζν κε ηελ απόζηαζε ησλ εηθόλσλ ηνπο. 8. Οη εηθόλεο δύν ζπδπγώλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ, είλαη ζεκεία ζπκκεηξηθά σο πξνο ηνλ άμνλα x x. 9. Αλ κηγαδηθόο αξηζκόο θαη ν ζπδπγήο ηνπ, ηόηε ηζρύεη 0. Γηα θάζε κηγαδηθό αξηζκό ηζρύεη.. Αλ, είλαη κηγαδηθνί αξηζκνί, ηόηε ηζρύεη:.. Γηα θάζε κηγαδηθό αξηζκό θαη θάζε ζεηηθό αθέξαην λ, ηζρύεη: v v.. Όηαλ ε δηαθξίλνπζα Γ ηεο εμίζσζεο α +β+γ=0 κε α,β,γ θαη α 0 είλαη αξλεηηθή, ηόηε ε εμίζσζε δελ έρεη ξίδεο ζην ζύλνιν ησλ κηγαδηθώλ. 4. Αλ α, β πξαγκαηηθνί αξηζκνί, ηόηε: α+βi=0 α=0 ή β=0. 5. Αλ, είλαη κηγαδηθνί αξηζκνί, ηόηε ηζρύεη. v 6. Αλ είλαη έλαο κηγαδηθόο αξηζκόο ηόηε γηα θάζε ζεηηθό αθέξαην λ ηζρύεη v. 7. Ζ δηαλπζκαηηθή αθηίλα ηεο δηαθνξάο ησλ κηγαδηθώλ α+βi θαη γ+δi είλαη ε δηαθνξά ησλ δηαλπζκαηηθώλ αθηίλσλ ηνπο. 8. Γηα θάζε C ηζρύεη. 9. ην κηγαδηθό επίπεδν νη εηθόλεο δύν ζπδπγώλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ είλαη ζεκεία ζπκκεηξηθά σο πξνο ηνλ πξαγκαηηθό άμνλα. 0. Γηα θάζε κηγαδηθό αξηζκό 0 νξίδνπκε 0 =. Γηα θάζε κηγαδηθό αξηζκό =α+βi, α,β ηζρύεη = β. v *. Αλ, ηόηε v, v. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα 6

19 . Ζ δηαλπζκαηηθή αθηίλα ηνπ αζξνίζκαηνο ησλ κηγαδηθώλ α+βi θαη γ+δi είλαη ην άζξνηζκα ησλ δηαλπζκαηηθώλ αθηίλσλ ηνπο. Im. 4. Αλ,ηόηε 5. Ζ εμίζσζε 0, ξ>0 παξηζηάλεη ηνλ θύθιν κε θέληξν ην ζεκείν 0 θαη αθηίλα, όπνπ, 0 6. Γηα θάζε ηζρύεη Im κηγαδηθνί αξηζκνί. 7. Ζ εμίζσζε o, ξ>0 παξηζηάλεη θύθιν κε θέληξν ην ζεκείν Κ( o ) θαη αθηίλα ξ, όπνπ, o κηγαδηθνί αξηζκνί. 8. Γηα νπνηνλδήπνηε κηγαδηθό αξηζκό ηζρύεη. 9. Αλ, είλαη κηγαδηθνί αξηζκνί, ηόηε ηζρύεη:. 0. Ζ δηαλπζκαηηθή αθηίλα ηεο δηαθνξάο ησλ κηγαδηθώλ α+βi θαη γ+δi είλαη ε δηαθνξά ησλ δηαλπζκαηηθώλ αθηίλσλ ηνπο.. Γηα θάζε κηγαδηθό αξηζκό ηζρύεη: α. β. γ. δ. ε. i 8.Αλ 4iθαη i λα γξάςεηε ζην ηεηξάδηό ζαο ηνπο αξηζκνύ ηεο ηήλης Α θαη δίπια ζε θάζε αξηζκό ην γξάκκα ηεο ηήλης Β έηζη, ώζηε λα πξνθύπηεη ηζόηεηα. ΣΖΛΖ Α... α. 4 β. ΣΖΛΖ Β γ δ i ε. - ζη. 5 δ. 0 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα 7

20 ΗΗ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟΤ ΜΗΓΑΓΗΚΟΤ ΑΠΟΛΤΣΖΡΗΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ 00 ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΔ B.. Nα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη 6 4. ΜΟΝΑΓΔ 09 Β.. Nα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη i. ΜΟΝΑΓΔ 09 Β.. Να κεηαηξέςεηε ζε ηξηγσλνκεηξηθή κνξθή ηνπο κηγαδηθνύο πνπ επαιεζεύνπλ ζπγρξόλσο ηηο ζρέζεηο ησλ εξσηεκάησλ Β.. θαη Β.. ΜΟΝΑΓΔ 07 OMOΓΔΝΔΗ i B. Γίλνληαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί,w ηέηνηνη ώζηε : w i B.. Aλ w=-i ηόηε ην κέηξν ηνπ κηγαδηθνύ είλαη Α. Β. 4 Γ. 5 Γ..Να γξάςεηε ην γξάκκα πνπ αληηζηνηρεί ζηε ζσζηή απάληεζε. ΜΟΝΑΓΔ 05 Β.. Αλ w, λα απνδείμεηε όηη ε εηθόλα ηνπ αλεθεί ζε θύθιν ηνπ νπνίνπ λα πξνζδηνξίζεηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα ηνπ. ΜΟΝΑΓΔ 07,5 Β.. Αλ =x+yi κε xy, λα απνδείμεηε όηη : Re x y,im x w w y ΜΟΝΑΓΔ 06 ΑΠΟΛΤΣΖΡΗΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ 00 ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΔ Γ.Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f, νξηζκέλε ζην,κε ηύπν f x ζπγθεθξηκέλνο κηγαδηθόο αξηζκόο =α+βi,α,β κε α 0. Γ.. Να βξείηε ηα όξηα lim f x, lim f x x x x x x όπνπ ΜΟΝΑΓΔ 08 Γ.. Να βξείηε ηα αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο f αλ ηζρύεη ΜΟΝΑΓΔ09 Γ.. Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ θαη ην πιήζνο ησλ ξηδώλ ηεο f. ΜΟΝΑΓΔ 08 ΟΜΟΓΔΝEI 00 Β. Γίλνληαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί Z i θαη Z 4i ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα 8

21 Z α) Αλ x yi, x Z λα απνδείμεηε όηη ρ=- θαη y=. ΜΟΝΑΓΔ 08 β)αλ κηα ξίδα ηεο εμίζσζεο x x 0, όπνπ β,γ είλαη ε Z, λα βξείηε Z ηηο ηηκέο ησλ β θαη γ. ΜΟΝΑΓΔ 08 γ)να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη ΜΟΝΑΓΔ 09 ΑΠΟΛΤΣΖΡΗΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ 00 Β. Γίλνληαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί =α+βi, όπνπ α,βir θαη w= i _ +4, όπνπ _ είλαη ν ζπδπγήο ηνπ. α.να απνδείμεηε όηη Re(w)=α β+4 Ηm(w)=β α. ΜΟΝΑΓΔ 06 β.να απνδείμεηε όηη, αλ νη εηθόλεο ηνπ w ζην κηγαδηθό επίπεδν θηλνύληαη ζηελ επζεία κε εμίζσζε y=x, ηόηε νη εηθόλεο ηνπ θηλνύληαη ζηελ επζεία κε εμίζσζε y=x. ΜΟΝΑΓΔ 09 γ. Να βξείηε πνηνο από ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο, νη εηθόλεο ησλ νπνίσλ θηλνύληαη ζηελ επζεία κε εμίζσζε y=x, έρεη ην ειάρηζην κέηξν. ΜΟΝΑΓΔ 0 ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Β. α.να πεξηγξάςεηε γεσκεηξηθά ην ζύλνιν () ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ πνπ ηθαλνπνηνύλ ηηο ζρέζεηο: θαη Ηm ()0. ΜΟΝΑΓΔ β.να απνδείμεηε όηη, αλ ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ θηλείηαη ζην ζύλνιν (), 4 ηόηε ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ w θηλείηαη ζε επζύγξακκν ηκήκα ην νπνίν βξίζθεηαη ζηνλ άμνλα x x. ΜΟΝΑΓΔ ΟΜΟΓΔΝΧΝ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f µε f() = i,όπνπ µηγαδηθόο αξηζκόο κε 0. α)αλ f f, λα απνδείμεηε όηη o είλαη πξαγµαηηθόο αξηζµόο.μοναγδ 06 β) Αλ f, λα βξεζεί ν γεσµεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ηνπ ζην µηγαδηθό επίπεδν. ΜΟΝΑΓΔ 09 γ) Αλ Re f, λα απνδείμεηε όηη νη εηθόλεο ηνπ µηγαδηθνύ αξηζµνύ,βξίζθνληαη ζε θύθιν ηνπ νπνίνπ λα πξνζδηνξίζεηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα. ΜΟΝΑΓΔ 0 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα 9

22 ΑΠΟΛΤΣΖΡΗΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ 004 Γ. Έζησ ε ζπλερήο ζπλάξηεζε f: IR IR ηέηνηα ώζηε f()=. Αλ γηα θάζε x IR, ηζρύεη x g x f tdt x 0, όπνπ =α+βic, µε α, β IR *, ηόηε: α. Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g είλαη παξαγσγίζηµε ζην IR θαη λα βξείηε ηε g. ΜΟΝΑΓΔ 05 β. Nα απνδείμεηε όηη ΜΟΝΑΓΔ 06 γ. Με δεδνµέλε ηε ζρέζε ηνπ εξσηήµαηνο β λα απνδείμεηε όηη Re( ) = ΜΟΝΑΓΔ 06 δ. Aλ επηπιένλ f()=α>0, f()=β θαη α>β, λα απνδείμεηε όηη ππάξρεη x 0 (,) ηέηνην ώζηε f(x 0 )=0. ΜΟΝΑΓΔ 06 ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ. ίλεηαη µηα ζπλάξηεζε f: [α, β] IR ζπλερήο ζην δηάζηεµα [α, β] µε f(x) 0 γηα θάζε x [α, β] θαη µηγαδηθόο αξηζµόο µε Re() 0, Ηm() 0 θαη Re Im. Αλ f θαη f α., λα απνδείμεηε όηη : ΜΟΝΑΓΔ β. f f ΜΟΝΑΓΔ 05 γ. ε εμίζσζε x f(α) + f(β) = 0 έρεη ηνπιάρηζηνλ µία ξίδα ζην δηάζηεµα (, ). ΜΟΝΑΓΔ 09 ΟΜΟΓΔΝΧΝ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ. Έζησ µηγαδηθόο αξηζµόο, µε ±i θαη w. α) Να απνδείμεηε όηη αλ ν w είλαη πξαγµαηηθόο, ηόηε ν είλαη πξαγµαηηθόο ή. ΜΟΝΑΓΔ 0 β) Να ιύζεηε, ζην ζύλνιν ησλ µηγαδηθώλ αξηζµώλ, ηελ εμίζσζε. ΜΟΝΑΓΔ 0 γ) Αλ, είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο ηνπ εξσηήµαηνο (β), λα ππνινγίζεηε ηελ ηηµή ηεο παξάζηαζεο: K i. ΜΟΝΑΓΔ 05 4 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα 0

23 ΑΠΟΛΤΣΖΡΗΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ 005 Β. ίλνληαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί,, κε. α. είμηε όηη: β. είμηε όηη ν αξηζκόο 9 ΜΟΝΑΓΔ07 είλαη πξαγκαηηθόο. ΜΟΝΑΓΔ 09 γ. είμηε όηη: ΜΟΝΑΓΔ 09 ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Β. α.αλ, είλαη κηγαδηθνί αξηζκνί γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη + =4+4i θαη - =5+5i, λα βξείηε ηνπο,. ΜΟΝΑΓΔ 0 β. Aλ γηα ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο,w ηζρύνπλ i και w - - i i. λα δείμεηε όηη ππάξρνπλ κνλαδηθνί κηγαδηθνί αξηζκνί, w έηζη, ώζηε = w θαη ΜΟΝΑΓΔ 0 ii. λα βξείηε ηε κέγηζηε ηηκή ηνπ w. ΜΟΝΑΓΔ 05 ΟΜΟΓΔΝΧΝ ΔΞΔΣΑΔΗ Β. Γίλνληαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί i θαη i α) Να απνδείμεηε όηη i θαη i 0 ΜΟΝΑΓΔ 08 β)να απνδείμεηε όηη γ)θεσξνύκε ην κηγαδηθό αξηζκό θάζε k ΜΟΝΑΓΔ 08 w k i k k, Να απνδείμεηε όηη γηα ηζρύεη lm(w)=- ΜΟΝΑΓΔ 09 ΑΠΟΛΤΣΖΡΗΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ 006 Γ. Γίλνληαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί Z, Z, Z κε θαη 0. α.να απνδείμεηε όηη: i). ΜΟΝΑΓΔ 09 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα

24 ii) 4 θαη Re,. ΜΟΝΑΓΔ 08 β.να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ησλ Z, Z, Zζην κηγαδηθό επίπεδν,θαζώο θαη ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ πνπ απηέο ζρεκαηίδνπλ. ΜΟΝΑΓΔ 08 ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ. Έζησ νη κηγαδηθνί αξηζκνί Ε,πνπ ηθαλνπνηνύλ ηελ ηζόηεηα θαη ε ζπλάξηεζε f κε ηύπν f x x x a, a. (4 ) Z 0 Z = 0 α.να απνδείμεηε όηη νη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ Ε αλήθνπλ ζηελ επζεία ρ=. ΜΟΝΑΓΔ 07 β. Αλ ε εθαπηνκέλε (ε) ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο f ζην ζεκείν ηνκήο ηεο κε ηελ επζεία Υ= ηέκλεη ηνλ άμνλα y y ζην y 0,ηόηε i) Να βξείηε ην α θαη ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο (ε) ΜΟΝΑΓΔ 09 ii) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη κεηαμύ ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο f, ηεο εθαπηνκέλεο (ε), ηνπ άμνλα ρ ρ θαη ηεο επζείαο x. ΜΟΝΑΓΔ09 5 ΟΜΟΓΔΝΧΝ 5 5 Β. Έζησ όηη γηα ηνλ κηγαδηθό αξηζκό ηζρύεη : 5 5 α) Να δείμεηε όηη : 5 5 ΜΟΝΑΓΔ 05 β) Να δείμεηε όηη : ΜΟΝΑΓΔ 0 γ) Αλ w5 λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ Μ(w) ζην κηγαδηθό επίπεδν. ΜΟΝΑΓΔ 0 ΑΠΟΛΤΣΖΡΗΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ 007 ai Β. Γίλεηαη ν κηγαδηθόο αξηζκόο κε αr a i α. Να απνδεηρζεί όηη ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ Ε αλήθεη ζηνλ θύθιν κε θέληξν Ο(ν,ν) θαη αθηίλα ξ= ΜΟΝΑΓΔ 09 ai β. Έζησ, νη κηγαδηθνί πνπ πξνθύπηνπλ από ηνλ ηύπν γηα θάζε α=0 a i θαη α= αληίζηνηρα.να βξεζεί ε απόζηαζε ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ, ΜΟΝΑΓΔ 08 γ)να απνδεηρζεί όηη ηζρύεη: λ λ ( ) γηα θάζε θπζηθό αξηζκό λ. ΜΟΝΑΓΔ 08 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα

25 ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΔ Γ. Γίλνληαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί = α+βi θαη = όπνπ α, βir κε β 0. Γίλεηαη επίζεο όηη IR. α. Να απνδεηρζεί όηη =. ΜΟΝΑΓΔ 09 β. Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ηνπ ζην κηγαδηθό επίπεδν. γ. Αλ ν αξηζκόο 0 όηη i i 0 ΜΟΝΑΓΔ 06 είλαη θαληαζηηθόο θαη αβ>0, λα ππνινγηζζεί ν θαη λα δεηρζεί 0 ΜΟΝΑΓΔ 0 ΟΜΟΓΔΝΧΝ Β. Γίλνληαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί Ε = i, Ε = θαη Z =l + i. α.να απνδείμεηε όηη: Z Z Z ΜΟΝΑΓΔ 09 β. Αλ γηα ην κηγαδηθό Z ηζρύεη Z Z Z Z ηόηε λα απνδείμεηε όηη: ί. Re (Ε) = Im (Ε). ΜΟΝΑΓΔ 0 ii.γηα 0,λα ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο A ΜΟΝΑΓΔ 0 ΑΠΟΛΤΣΖΡΗΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ 008 Β. Αλ γηα ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο θαη w ηζρύνπλ i w( i) w ( i) w ( i) ηόηε λα βξείηε: 6 θαη α. ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ. ΜΟΝΑΓΔ 06 β. ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ w. ΜΟΝΑΓΔ 07 γ. ηελ ειάρηζηε ηηκή ηνπ w ΜΟΝΑΓΔ 06 δ. ηελ ειάρηζηε ηηκή ηνπ w ΜΟΝΑΓΔ 06 ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΔ Β. Γίλεηαη όηη ν κηγαδηθόο αξηζκόο i είλαη ξίδα ηεο εμίζσζεο +β+γ=0, όπνπ β θαη γ πξαγκαηηθνί αξηζκνί. Β. Να απνδείμεηε όηη β= θαη γ=. ΜΟΝΑΓΔ 09 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα

26 Β.. Να απνδείμεηε όηη ΜΟΝΑΓΔ 08 Β.. Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ w, γηα ηνλ νπνίν ηζρύεη: w ΜΟΝΑΓΔ 07 ΟΜΟΓΔΝΧΝ Β. Γίλνληαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί = k + (k + )i, k. α.να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ηνπ είλαη ε επζεία y=x+. ΜΟΝΑΓΔ 06 β. Πνηνη από απηνύο ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο έρνπλ ΜΟΝΑΓΔ 09 B. Αλ γηα ηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο α, β ηζρύεη α + β + 8 = ( i) 4 β ( + i) 4 α, λα δείμεηε όηη α = θαη β =. ΜΟΝΑΓΔ 0 ΑΠΟΛΤΣΖΡΗΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ 009 Β. Θεσξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο =(ι+)+(ι )i, ι Α. α. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πάλσ ζηελ νπνία βξίζθνληαη νη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ, γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι ΜΟΝΑΓΔ 09 β. Από ηνπο παξαπάλσ κηγαδηθνύο αξηζκνύο λα απνδείμεηε όηη ν κηγαδηθόο αξηζκόο iέρεη ην κηθξόηεξν δπλαηό κέηξν. ΜΟΝΑΓΔ 08 0 Β. Να βξεζνύλ νη κηγαδηθνί αξηζκνί w νη νπνίνη ηθαλνπνηνύλ ηελ εμίζσζε 0 όπνπ 0 w w ν κηγαδηθόο αξηζκόο πνπ αλαθέξεηαη ζην πξνεγνύκελν εξώηεκα. ΜΟΝΑΓΔ 08 ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΔ Β. Θεσξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη: ( i) ( i) 8 0 α. Nα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ = x+yi νη νπνίνη ηθαλνπνηνύλ ηελ παξαπάλσ εμίζσζε. ΜΟΝΑΓΔ 0 β. Nα βξείηε ηνλ κνλαδηθό πξαγκαηηθό αξηζκό Z θαη ηνλ κνλαδηθό θαληαζηηθό αξηζκό Z νη νπνίνη ηθαλνπνηνύλ ηελ παξαπάλσ εμίζσζε. ΜΟΝΑΓΔ 08 γ. Γηα ηνπο αξηζκνύο Z, Z πνπ βξέζεθαλ ζην πξνεγνύκελν εξώηεκα λα απνδείμεηε όηη 40 Z Z Z Z ΜΟΝΑΓΔ 07 ΟΜΟΓΔΝΧΝ Β. Γίλεηαη ν κηγαδηθόο αξηζκόο ii i ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα 4

27 B.. Nα απνδείμεηε όηη : Β.. Aλ Α,Β,Γ νη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη ηζνζθειέο. B.. Να απνδείμεηε όηη : i, =i, =-+i ΜΟΝΑΓΔ 09,, αληίζηνηρα,λα απνδείμεηε όηη ην ΜΟΝΑΓΔ07. ΜΟΝΑΓΔ0 ΑΠΟΛΤΣΖΡΗΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ 00 Γίλεηαη ε εμίζσζε όπνπ κε 0 B. Να βξείηε ηηο ξίδεο θαη ηεο εμίζσζεο. ΜΟΝΑΓΔ 07 B. Να απνδείμεηε όηη ΜΟΝΑΓΔ 06 B. Αλ γηα ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο w ηζρύεη W 4 i ηόηε λα βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ησλ w ζην κηγαδηθό επίπεδν. ΜΟΝΑΓΔ 07 B4. Γηα ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο w ηνπ εξσηήκαηνο Β, λα απνδείμεηε όηη w 7 ΜΟΝΑΓΔ 05 ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΔ Β. Έζησ όηη νη κηγαδηθνί αξηζκνί, είλαη νη ξίδεο εμίζσζεο δεπηέξνπ βαζκνύ κε πξαγκαηηθνύο ζπληειεζηέο γηα ηηο νπνίεο ηζρύνπλ + = θαη = 5 B. Να βξείηε ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο, ΜΟΝΑΓΔ 05 B.Αλ γηα ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο w ηζρύεη ε ζρέζε w w λα απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ w ζην κηγαδηθό επίπεδν είλαη ν θύθινο κε εμίζσζε (x+) + y = 4 ΜΟΝΑΓΔ08 B. Από ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο w ηνπ εξσηήκαηνο Β λα βξείηε εθείλνπο γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη Re(w) + Im(w) = 0 ΜΟΝΑΓΔ 06 B4. Αλ w, w είλαη δύν από ηνπο κηγαδηθνύο w ηνπ εξσηήκαηνο Β κε ηελ ηδηόηεηα, ww 4 λα απνδείμεηε όηη ww. ΜΟΝΑΓΔ 06 ΟΜΟΓΔΝΧΝ B. Έζησ νη κηγαδηθνί αξηζκνί γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη : i B.. Nα απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ ζην κηγαδηθό επίπεδν είλαη ε επζεία κε εμίζσζε y=. ΜΟΝΑΓΔ07 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα 5

28 Β..Aπό ηνπο παξαπάλσ κηγαδηθνύο,λα βξείηε εθείλνπο πνπ έρνπλ κέηξν ίζν κε ΜΟΝΑΓΔ0 B.. Έζησ iθαη iνη κηγαδηθνί αξηζκνί πνπ βξήθαηε ζην εξώηεκα Να απνδείμεηε όηη ΜΟΝΑΓΔ 08 ΑΠΟΛΤΣΖΡΗΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ 0 Έζησ νη κηγαδηθνί αξηζκνί θαη w κε i, νη νπνίνη ηθαλνπνηνύλ ηηο ζρέζεηο: i i w=-i+ i B. Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ ΜΟΝΑΓΔ 07 B. Να απνδείμεηε όηη i i ΜΟΝΑΓΔ 04 B. Να απνδείμεηε όηη ν w είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο θαη όηη w ΜΟΝΑΓΔ 08 B4. Να απνδείμεηε όηη: w ΜΟΝΑΓΔ 06 ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΔ Β.Γίλνληαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί, w, νη νπνίνη ηθαλνπνηνύλ αληίζηνηρα ηηο ζρέζεηο: i lm( ) () w( w i) i( w i) () B. Να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ είλαη ε παξαβνιή κε εμίζσζε y x ΜΟΝΑΓΔ 07 4 B. Να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ w είλαη ν θύθινο κε θέληξν ην ζεκείν Κ(0,) θαη αθηίλα ξ=. ΜΟΝΑΓΔ 07 B. Να βξείηε ηα ζεκεία Α θαη Β ηνπ κηγαδηθνύ επηπέδνπ, ηα νπνία είλαη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ, w κε =w. ΜΟΝΑΓΔ 05 B4. Nα απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΚΑΒ είλαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο θαη, ζηε ζπλέρεηα, λα βξείηε ηνλ κηγαδηθό αξηζκό u κε εηθόλα ζην κηγαδηθό επίπεδν ην ζεκείν Λ,έηζη ώζηε ην ηεηξάπιεπξν κε θνξπθέο ηα ζεκεία Κ,Α,Λ,Β λα είλαη ηεηξάγσλν. ΜΟΝΑΓΔ 06 ΟΜΟΓΔΝΧΝ 4 B. Έζησ w,όπνπ κηγαδηθόο αξηζκόο κε 0. B..Nα βξείηε ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο, γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη w=. ΜΟΝΑΓΔ 06 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα 6

29 Β.. Aλ i θαη i είλαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί πνπ βξήθαηε ζην εξώηεκα B.. ηόηε λα απνδείμεηε όηη 8 ΜΟΝΑΓΔ 06 B.. Aλ, είλαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί ηνπ πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο, ηόηε λα απνδείμεηε νη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ, θαη ζην κηγαδηθό 4 επίπεδν είλαη θνξπθέο ηζόπιεπξνπ ηξηγσλνύ. ΜΟΝΑΓΔ 08 Β.4.Αλ,ηόηε λα απνδείμεηε όηη ν αξηζκόο w είλαη πξαγκαηηθόο.μοναγδ 05 ΑΠΟΛΤΣΖΡΗΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ 0 Β. Θεσξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο θαη w γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύνπλ νη επόκελεο ζρέζεηο: 4 () θαη w5w (). B. Να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ ζην επίπεδν είλαη θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη αθηίλα ξ = ΜΟΝΑΓΔ 06 Β. Αλ, είλαη δύν από ηνπο παξαπάλσ κηγαδηθνύο αξηζκνύο κε ηόηε, λα βξείηε ην ΜΟΝΑΓΔ 07 Β. Να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ w x y ζην επίπεδν είλαη ε έιιεηςε κε εμίζσζε θαη ζηε ζπλέρεηα λα βξείηε ηε 9 4 κέγηζηε θαη ηελ ειάρηζηε ηηκή ηνπ w ΜΟΝΑΓΔ 06 B4. Γηα ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο,w πνπ επαιεζεύνπλ ηηο ζρέζεηο () θαη () λα απνδείμεηε όηη: w 4 ΜΟΝΑΓΔ 06 ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΔ Β.Θεσξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο, κε, γηα ηνπο νπνίνπο ν αξηζκόο w= είλαη θαληαζηηθόο.να απνδείμεηε όηη: B. = ΜΟΝΑΓΔ 07 4 B. Ο αξηζκόο είλαη πξαγκαηηθόο. ΜΟΝΑΓΔ 06 B. 4, όπνπ, δύν από ηνπο παξαπάλσ κηγαδηθνύ αξηζκνύο ΜΟΝΑΓΔ 06 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα 7

30 B4. Οη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ u, γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη w 0, αλήθνπλ ζηελ ππεξβνιή x i u ui w, w y = ΜΟΝΑΓΔ 06 ΟΜΟΓΔΝΧΝ B. Θεσξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη : i B.. Nα απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ είλαη ν θύθινο πνπ έρεη θέληξνην ζεκείν Κ(0,-) θαη αθηίλα ξ=. ΜΟΝΑΓΔ 09 Β.. Γηα ηνπο παξαπάλσ κηγαδηθνύο λα απνδείμεηε όηη :. ΜΟΝΑΓΔ 08 B.. Aλ, είλαη δύν από ηνπο παξαπάλσ κηγαδηθνύο κε θαη Α,Β νη εηθόλεο ησλ, αληίζηνηρα, ηόηε λα απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΚΑΒ, όπνπ Κ(0,-), είλαη νξζνγώλην. ΜΟΝΑΓΔ 08 ΑΠΟΛΤΣΖΡΗΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ 0 Β. Θεσξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη B.Να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ, είλαη θύθινο κε θέληξν K(,0) θαη αθηίλα ξ = (κνλάδεο 5) ηε ζπλέρεηα, γηα θάζε κηγαδηθό πνπ αλήθεη ζηνλ παξαπάλσ γεσκεηξηθό ηόπν, λα απνδείμεηε όηη (κνλάδεο ) ΜΟΝΑΓΔ 08 B. Αλ νη κηγαδηθνί αξηζκνί, πνπ αλήθνπλ ζηνλ παξαπάλσ γεσκεηξηθό ηόπν είλαη ξίδεο ηεο εμίζσζεο w w 0, κε w κηγαδηθό αξηζκό, β,γ, θαη m Im ηόηε λα απνδείμεηε όηη: β = 4 θαη γ = 5 ΜΟΝΑΓΔ 09 B.Θεσξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο a 0, a, a νη νπνίνη αλήθνπλ ζηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ηνπ εξσηήκαηνο Β. Αλ ν κηγαδηθόο αξηζκόο v ηθαλνπνηεί ηε ζρέζε: v av av a o 0 ηόηε λα απνδείμεηε όηη: v < 4 ΜΟΝΑΓΔ 08 EΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΔ Β. Θεσξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο, w γηα ηνπο νπνίνπο ε εμίζσζε 4, x w i x x έρεη κηα δηπιή ξίδα, ηελ x = Β.. Να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ ζην κηγαδηθό επίπεδν είλαη θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή η σλ αμόλσλ θαη αθηίλα p =,θαζώο επίζεο όηη γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ w ζην κηγαδηθό επίπεδν είλαη θύθινο κε θέληξν Κ(4,) θαη αθηίλα p = 4 ΜΟΝΑΓΔ 08 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα 8

31 Β.. Nα απνδείμεηε όηη ππάξρεη κνλαδηθόο κηγαδηθόο αξηζκόο, ε εηθόλα ηνπ νπνίνπ αλήθεη θαη ζηνπο δύν παξαπάλσ γεσκεηξηθνύο ηόπνπο. ΜΟΝΑΓΔ 05 Β.. Γηα ηνπο παξαπάλσ κηγαδηθνύο αξηζκνύο, w ηνπ εξσηήκαηνο Β λα απνδείμεηε όηη: w 0 θαη w 0 ΜΟΝΑΓΔ 06 Β.4. Από ηνπο παξαπάλσ κηγαδηθνύο αξηζκνύο ηνπ εξσηήκαηνο Β λα βξείηε εθείλνπο, γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη: 5 ΜΟΝΑΓΔ 06 ΟΜΟΓΔΝΔΗ Β. Θεσξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη: Re Β. Να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ είλαη θύθινο κε θέληξν K(, 0) θαη αθηίλα ξ =, εθηόο από έλα ζεκείν ηνπ (κνλάδεο 7). Να πξνζδηνξίζεηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ απηνύ ΜΟΝΑΓΔ 09 Β. Αλ,, είλαη δύν από ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο ηνπ εξσηήκαηνοβ, λα απνδείμεηε όηη: 4 ΜΟΝΑΓΔ 08 Β. Από ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο ηνπ εξσηήκαηνο Β, λα βξεζνύλ εθείλνη γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη: 5 ΜΟΝΑΓΔ 08 ΑΠΟΛΤΣΖΡΗΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ 0 4 Β. Γίλεηαη ε εμίζσζε ( ) i 4 i 0, B. Να ιύζεηε ηελ παξαπάλσ εμίζσζε. ΜΟΝΑΓΔ 09 B. Αλ i θαη i είλαη νη ξίδεο ηεο παξαπάλσ εμίζσζεο, ηόηε λα 9 απνδείμεηε όηη ν αξηζκόο είλαη w ίζνο κε i ΜΟΝΑΓΔ 08 B. Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ u γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη όπνπ w,, νη κηγαδηθνί αξηζκνί ηνπ εξσηήκαηνο Β. ΜΟΝΑΓΔ 08 EΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΔ Θεσξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο, w γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύνπλ: i i w θαληαζηηθόο w i, B. Να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ, είλαη ν θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη αθηίλα ξ=/,εθηόο από ην ζεκείν Μ( 0, -/ ) ηνπ θύθινπ. ΜΟΝΑΓΔ 0 B. Από ηνπο παξαπάλσ κηγαδηθνύο αξηζκνύο, ηνπ εξσηήκαηνο Β, λα βξείηε εθείλνπο γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη w ΜΟΝΑΓΔ 08 B. Αλ είλαη ηόηε λα απνδείμεηε όηη 4 7 w iw 0 ΜΟΝΑΓΔ 07 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα 9

32 ΟΜΟΓΔΝΔΗ Β. Θεσξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη: 4 Β. Να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ είλαη θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη αθηίλα ξ= ΜΟΝΑΓΔ 09 Β. Αλ ν πξαγκαηηθόο αξηζκόο κε Re()>0 θαη ν θαληαζηηθόο αξηζκόο κε Im( )<0 είλαη δύν από ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο ηνπ εξσηήκαηνο Β, ηόηε λα απνδείμεηε όηη: θαη i ΜΟΝΑΓΔ 08 Β. Αλ είλαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί ηνπ εξσηήκαηνο Β,ηόηε λα ππνινγίζεηε 0 0 ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο: ΜΟΝΑΓΔ 08 ΑΠΟΛΤΣΖΡΗΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ 05 Β. Θεσξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη: 4 Β. Να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ είλαη θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη αθηίλα ξ= ΜΟΝΑΓΔ 07 Β. Έζησ w,όπνπ δύν κηγαδηθνί αξηζκνί ηνπ εξσηήκαηνο Β.Να απνδείμεηε όηη : α. ν w είλαη πξαγκαηηθόο θαη ΜΟΝΑΓΔ 04 β. 4 w 4 ΜΟΝΑΓΔ 07 Β. Αλ w,όπνπ w είλαη ν κηγαδηθόο αξηζκόο ηνπ εξσηήκαηνο Β,λα βξείηε ηε ζρέζε πνπ ζπλδέεη ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο, θαη λα απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο ηηο εηθόλεο A, B, ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ, θαη κε i είλαη ηζνζθειέο. ΜΟΝΑΓΔ 07 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ελίδα 0

33 Α. OΡΗΜΟ ΠΑΡΑΓΧΓΟΤ Α.. EΦΑΡΜΟΓΖ ΣΟΤ ΟΡΗΜΟΤ ΣΖ ΠΑΡΑΓΧΓΟΤ. Να βξείηε, αλ ππάξρεη,ηελ παξάγσγν ησλ ζπλαξηήζεσλ:. f x x x 5 ζην x o =.. g x x. hx ζην x o =. x x x 4. ζην x o =. f x x x ζην x o =. 6. f x x x ζην x o =0. 7. f x x x ζην x o =. 8. g x x x ζην x o =0. 9. g x x ζην x o =0. 5. f x x x ζην x o =0. 0. hx x x ζην x o =.. Να βξείηε, αλ ππάξρεη,ηελ παξάγσγν ησλ ζπλαξηήζεσλ:. f x ζην x o =. gx ζην x o =. hx ζην x o = x x x, x x, x x -,0< x x 7 -, <x x x 4x, x x x 4 6, x x x x, 4. gx x, x ζην x o = x ln x x eln x, x e 5. f x x ln x eln x e, e x ζην x o =e 8. x, x 0 6. hx x, x 0 ζην x o =0 x, x 7. f x x -, x ζην x o = x -x-5, x 8. f x x +5x+, x ζην x o =- x, x 0 9. f x x ζην 0, x 0 x o =0 0. f x ζην x o =0 x x, x 0 x 0, x 0 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ-ΚΑΝΟΝΕ ΠΑΡΑΓΩΓΙΕΙ ελίδα

34 . Να βξείηε, αλ ππάξρεη,ηελ παξάγσγν ησλ ζπλαξηήζεσλ: a. b. f x x x ζην x= f x x -x+ ζην x= g x x x + c. ζην x= g x x x + d. ζην x= 5 +x e. h x x x ζην x= h x x x f. +x g. ζην x= h x x 4x x 4 +x ζην x= h. i. j. f x x x x +x+ ζην x= f x x x x +x+ ζην x=0 x f x x ζην x=0 x g x x k. ζην x=0 g x x x l. ζην x= h x x x 4 m. ζην x=4 Α.. ΠΑΡΑΜΔΣΡΗΚΔ. Να βξεζνύλ νη παξάκεηξνη ώζηε νη ζπλαξηήζεηο λα είλαη παξαγσγίζηκεο: i. f x ζην x= x +αx-, x x, x x ii. +β, x f x x 5, x ζην x= v. f x ζην x= x -αx, x x x -αx+4, x x +αx+β, x f x iii. x 4, x x o x +αεκx, x 0 f x iv. x x,0 x x 0 o ax+εκx, x 0 f x vi. x x,0 x x 0 o ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ-ΚΑΝΟΝΕ ΠΑΡΑΓΩΓΙΕΙ ελίδα

35 Β. ΠΑΡΑΓΧΓΟ ΚΑΗ ΤΝΔΥΔΗΑ. Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην,λα απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g x x f x είλαη παξαγσγίζηκε ζην. f x x. Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην 0 θαη lim 5 λα απνδείμεηε x0 x όηη f 0. f x. Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην θαη lim x x x ln g x f x ex είλαη παξαγσγίζηκε ζην. g x εκ, x 0 4. Αλ f x x 0, x 0 ζπλάξηεζε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην 0. θαη g g 5. Έζησ ε ζπλάξηεζε f κε f g x x f x x θαη f θαη ε λα δείμεηε όηη λα απνδείμεηε όηη ε,.να βξείηε ηα α,β ώζηε ε g είλαη παξαγσγίζηκε ζην., x Γ.ΚΡΗΣΖΡΗΟ ΠΑΡΔΜΒΟΛΖ. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f : γηα ηελ νπνία ηζρύεη: x-x f x x x γηα θάζε x.να απνδείμεηε όηη ε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην 0 θαη λα βξείηε ηελ f 0.. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f : γηα ηελ νπνία ηζρύεη: x 5x f x x x 4 γηα θάζε x.να απνδείμεηε όηη ε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην θαη λα βξείηε ηελ f.. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f : γηα ηελ νπνία ηζρύεη: 0x - x 0 f x x 0x 40 γηα θάζε x.να απνδείμεηε όηη ε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην 5 θαη λα βξείηε ηελ 4. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f : f 5. f x x x γηα γηα ηελ νπνία ηζρύεη: θάζε x.να απνδείμεηε όηη ε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην 0 θαη λα βξείηε ηελ f 0. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ-ΚΑΝΟΝΕ ΠΑΡΑΓΩΓΙΕΙ ελίδα