ΟΠΤΙΚΕΣ ΨΕΥΔΑΙΣΘΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΠΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΟΠΤΙΚΕΣ ΨΕΥΔΑΙΣΘΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΠΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ"

Transcript

1 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 1 ΟΠΤΙΚΕΣ ΨΕΥΔΑΙΣΘΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΠΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Α. Μ. ΚΟΥΡΝΙΑΤΗ Αρχιτέκτονας Μηχανικός, Λέκτορας Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το οπτικό ερέθισμα δεν είναι από μόνο του αρκετό για να προκαλέσει την οπτική αντίληψη ενός αντικειμένου. Ο εγκέφαλος επεξεργάζεται το οπτικό σήμα σε συνδυασμό με πλήθος άλλων πληροφοριών και καταλήγει στην αντίληψη η οποία πολλές φορές δεν είναι ταυτόσημη με την πραγματικότητα. Ειδικότερα στις απεικονίσεις, όπου συνήθως έχουμε δισδιάστατη καταγραφή της τρισδιάστατης πραγματικότητας, οδηγούμαστε συχνά σε οπτική πλάνη στην οποία μπορεί να παραμένουμε ακόμα και όταν διαπιστώσουμε την πραγματικότητα της εικόνας. Η συνειδητοποίηση αυτών των οπτικών ψευδαισθήσεων είναι απαραίτητη για την κατανόηση της οπτικής πραγματικότητας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η αδυναμία της όρασης να αποδώσει την πραγματικότητα είναι γνωστή από την αρχαιότητα 1. Φιλόσοφοι μεταξύ των οποίων ο Αναξαγόρας 2, ο Δημόκριτος 3, ο Πλάτωνας 4 και ο Αριστοτέλης 5 διατύπωσαν θεωρίες γύρω από την οπτική αντίληψη. 1 John Beare, Greek Theories of Elementary Cognition, Clarendon Press, Oxford 1906 David Lindberg, Theories of Vision From Al-Kindi to Kepler, University of Chicago, Chicago and London, Diels-Kranz, Die Fragmente der Vorsokratiker, 6η εκδ. Βερολίνο 1952, Θεοφρ. de sens. (1) κ (27), σελ Diels-Kranz, Die Fragmente der Vorsokratiker, 6η εκδ. Βερολίνο 1952, Θεοφρ. de sens. (1) κ (27), σελ. 78, 79, Πλάτωνος, Τιμαίος 45b-46a. εκδ. Ι. Ζαχαρόπουλος, Αθήνα, σελ Πολιτεία 507e-508a, εκδ. Ι. Ζαχαρόπουλος, Αθήνα, σελ Θεαίτητος 156d-e-508a, εκδ. Ι. Ζαχαρόπουλος, Αθήνα. Μένων 76d, εκδ. Ζαχαρόπουλος, Αθήνα. 5 Αριστοτέλης, Μικρά φυσικά, Περί αισθήσεως και αισθητών, 439α 21-25, Ι. Ζαχαρόπουλος, Αθήνα. Αριστοτέλης, Περί Ψυχής 418b 14-17, εκδ. Ζαχαρόπουλος, Αθήνα.

2 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 2 Μαθηματικοί, με πρώτο τον Ευκλείδη 6, ασχολήθηκαν με την καταγραφή και απόδειξη προτάσεων για την οπτική αντίληψη. Αρχιτέκτονες χρησιμοποίησαν οπτικά τεχνάσματα και δημιούργησαν αριστουργήματα, ενώ οι καλλιτέχνες προβληματίστηκαν με την ανακάλυψη μεθόδων καταγραφής της οπτικής εμπειρίας. Σήμερα γνωρίζουμε ότι το οπτικό ερέθισμα δεν είναι από μόνο του αρκετό για να δημιουργήσει την οπτική αντίληψη ενός αντικειμένου. Ο εγκέφαλος επεξεργάζεται το οπτικό σήμα σε συνδυασμό με πλήθος άλλων πληροφοριών και καταλήγει στην αντίληψη η οποία πολλές φορές δεν είναι ταυτόσημη με την πραγματικότητα. Εξάλλου, το χρώμα 7, το φόντο, η παρουσία άλλων αντικειμένων 8, όπως επίσης δεδομένα αισθητηριακά, μνημονικά 9 και συγκινησιακά επηρεάζουν την οπτική αντίληψη. Ειδικότερα στις απεικονίσεις, όπου συνήθως έχουμε δισδιάστατη καταγραφή της τρισδιάστατης πραγματικότητας, οδηγούμαστε συχνά σε οπτική πλάνη στην οποία μπορεί να παραμένουμε ακόμα και όταν διαπιστώσουμε την πραγματικότητα της εικόνας. Η συνειδητοποίηση αυτών των οπτικών ψευδαισθήσεων είναι απαραίτητη για την κατανόηση της οπτικής μας αντίληψης. Μέσα από το άρθρο αυτό, θα επιχειρήσουμε μία πρώτη προσέγγιση του ζητήματος των οπτικών ψευδαισθήσεων, παρέχοντας γεωμετρικές ερμηνείες, που πιστεύουμε ότι θα βοηθήσουν στην κατανόηση τους. Τις οπτικές ψευδαισθήσεις μπορούμε να τις κατατάξουμε στις ακόλουθες γενικές κατηγορίες. 1. ΟΠΤΙΚΟΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΨΕΥΔΑΙΣΘΗΣΕΙΣ Αυτές αφορούν σε γεωμετρικούς σχηματισμούς, όπου γίνεται λανθασμένη εκτίμηση σχημάτων και μεγεθών. 6 Euclides, Optica, Opticorum Recensio Theonis, Catoptrica, I. L. Heiberg, Λειψία, Paul Ver Eecke. Euclide, l optique et la catoptrique, A. Blanchard, Paris, Εισαγωγή XΧΧΙΙΙ 7 Arnheim Rudolf, Τέχνη και Οπτική Αντίληψη, Θεμέλιο 1999, Αθήνα. 8 Ε. Γ. Βακαλό, Οπτική Σύνταξη, Νεφέλη, Αθήνα 1988, σελ Σ. Κονταράτου, Η Εμπειρία του Αρχιτεκτονημένου Χώρου και το Σωματικό σχήμα. Αθήνα 1983, σελ. 14.

3 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 3 Εδώ μπορείτε να το διαπιστώσετε Σχήμα 1: Τα κατακόρυφα ευθύγραμμα τμήματα του σχήματος είναι ίσα ή άνισα; Εδώ μπορείτε να το διαπιστώσετε Σχήμα 2: Τα ευθύγραμμα τμήματα του σχήματος είναι ίσα μεταξύ τους ; Εδώ μπορείτε να το διαπιστώσετε Σχήμα 3: Οι κεντρικοί κύκλοι των δύο σχημάτων είναι ίσοι ή άνισοι;

4 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 4 Εδώ μπορείτε να το διαπιστώσετε Σχήμα 4: Τα ευθύγραμμα τμήματα του σχήματος είναι μεταξύ τους παράλληλα; Εδώ μπορείτε να το διαπιστώσετε Σχήμα 5: Τα ευθύγραμμα τμήματα του σχήματος είναι μεταξύ τους παράλληλα; 2. ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑΤΑ Πρόκειται για σχήματα, τα οποία φαίνονται να υπάρχουν χωρίς ποτέ να έχουν υλοποιηθεί. Αυτό οφείλεται στην ιδιότητα του εγκεφάλου, να οριοθετεί αυτόματα περιοχές σε απλούς σχηματισμούς 10, ώστε να γίνει αντιληπτή η σύνθεση της εικόνας, 10 Ninio Jacques, Η Επιστήμη των ψευδαισθήσεων, Εκδόσεις Κάτοπτρο, 2000, σελ. 88.

5 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 5 Σχήμα 6: Εικόνες του Gaestano Kanizsa. Στο σχήμα φαίνεται να υπάρχει ένα λευκό τρίγωνο, το οποίο επικαλύπτει το σκούρο. Επιπλέον, το λευκό τρίγωνο ξεχωρίζει από το φόντο από το οποίο φαίνεται λευκότερο. Το ίδιο ισχύει και για τα υπόλοιπα σχήματα της εικόνας. Σχήμα 7: Παρατηρώντας την εικόνα, δημιουργείται η εντύπωση ότι ανάμεσα στα τετράγωνα υπάρχουν μικρότερα γκρίζα σχήματα.

6 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 6 3. ΤΑ ΑΜΦΙΡΡΟΠΑ ΣΧΗΜΑΤΑ Σχήμα 8: Ψευδαίσθηση του Ehrenstein. Κοιτάζοντας τον ημιτελή κάνναβο, βλέπουμε να υπάρχουν λευκές κυκλικές περιοχές και διαγώνιες ζώνες. Ο ίδιος σχηματισμός οπτικών ερεθισμάτων μπορεί να οδηγεί σε διαφορετικές αντιληπτές εικόνες, τα αμφίρροπα σχήματα. Βρισκόμαστε τότε εμπρός σε μία ψευδαίσθηση. Η εντύπωση για την εικόνα αλλάζει από τη μία στιγμή στην άλλη. Ο εγκέφαλος δεν μπορεί να αποφασίσει για την αίσθηση του βάθους. Τα αμφίρροπα σχήματα ήσαν γνωστά από την αρχαιότητα, όπως φανερώνουν αρχαία κείμενα αλλά και ψηφιδωτά. Οι πρώτες παρατηρήσεις για αμφίρροπους σχηματισμούς καταγράφονται από τον Ευκλείδη 11 στην Οπτική του. Συγκεκριμένα, στην πρόταση 57, περιγράφοντας το σχήμα 9, παρατηρεί ότι άλλοτε φαίνεται κοίλο και άλλοτε κυρτό. Σχήμα 9 11 Euclides, Optica, Opticorum Recensio Theonis, Catoptrica, I. L. Heiberg, Λειψία 1895, σελ

7 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 7 Ο Πλάτωνας, εξάλλου, αναφέρει στην Πολιτεία 12 ότι τα ίδια αντικείμενα άλλοτε φαίνονται κοίλα και άλλοτε κυρτά, λόγω της απάτης, που προκαλείται στην όραση εξαιτίας των χρωμάτων και όπως συνεχίζει, οι απάτες αυτές βάζουν σε μεγάλη ταραχή την ψυχή. Το φαινόμενο της διφορούμενης αντίληψης του βάθους, ήταν γνωστό και στους καλλιτέχνες της αρχαιότητας 13, όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε παρατηρώντας διάφορα ψηφιδωτά της Αντιόχειας του 3 ου μ.χ. αιώνα. Σχήμα 10α: Ψηφιδωτό από οικία της Αντιόχειας του 2 ου π.χ. αιώνα. Σχήμα 10β: Ψηφιδωτό από οικία της Αντιόχειας του 3 ου π.χ. αιώνα Πολλοί σύγχρονοι καλλιτέχνες και επιστήμονες έχουν ασχοληθεί με τα αμφίρροπα σχήματα. Τα πλέον γνωστά παραδείγματα είναι ο κύβος του Necker, το βιβλίο του Mach, οι κύβοι και η σκάλα του Jastrow, το βάζο του Rubin και πλήθος άλλων. 12 Πλάτωνος, Πολιτεία 602d. εκδ. Ι. Ζαχαρόπουλος, Αθήνα. 13 Combrich E. H., Τέχνη και ψευδαίσθηση, Εκδ. Νεφέλη, Αθήνα, 1995.

8 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 8 Ποιες ακμές είναι μπροστά και ποιες πίσω (Παρατηρείστε πως μεταβάλλεται η οπτική αντίληψη). Σχήμα 11: Ο κύβος του Necker Σχήμα 12: Οι κύβοι του Jastrow. Σχήμα 13: Η σκάλα του Jastrow

9 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 9 Το βάζο του Rubin Σχήμα 14: Ένα βάζο ή δύο πρόσωπα; 4. ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ ΨΕΥΔΑΙΣΘΗΣΕΙΣ Οι ψευδαισθήσεις αυτές προκύπτουν από προοπτική ερμηνεία του χώρου, όπου η προοπτική σμίκρυνση με την απομάκρυνση και οι χρωματικές αλλοιώσεις εξαιτίας της ατμόσφαιρας αποτελούν ενδείξεις μεγέθους και απόστασης. Εδώ μπορείτε να το διαπιστώσετε Σχήμα 15: Από τα δύο κατακόρυφα τμήματα, ποιο είναι το μεγαλύτερο;

10 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 10 Σχήμα 16: Οι δύο φιγούρες του σχήματος φαίνονται άνισες. Είναι πράγματι; Εδώ μπορείτε να το διαπιστώσετε Όταν παρατηρούμε επίπεδες εικόνες, οι οποίες υποδηλώνουν πιθανές τρισδιάστατες σκηνές, ο εγκέφαλος τις αναλύει και καταλήγει σε συμπεράσματα μεγέθους ή βάθους. Πολλές φορές όμως, παρασυρόμενος από σχεδιαστικές πληροφορίες, συμβαίνει να οδηγείται σε ανακριβή συμπεράσματα. Στα σχήματα 15, 16 και 17 ίσα μεγέθη εκλαμβάνονται ως άνισα εξαιτίας κάποιας ένδειξης βάθους, που υπονοεί το σχέδιο. Σύμφωνα με την οπτική μας αντίληψη, όσο απομακρύνεται ένα αντικείμενο από τον παρατηρητή, τόσο μικραίνει το φαινόμενο μέγεθός του. Η έννοια της απομάκρυνσης στο σχέδιο ταυτίζεται με την προσέγγιση προς το σημείο φυγής. Κατά συνέπεια, όταν δύο αντικείμενα φαίνονται ότι βρίσκονται σε διαφορετική απόσταση από το σημείο όρασης και έχουν το ίδιο μέγεθος, τότε αυτό που είναι πλησιέστερα στο σημείο όρασης, φαίνεται να είναι μικρότερο.

11 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 11 Εδώ μπορείτε να το διαπιστώσετε Σχήμα 17: Τι συμβαίνει με τις φιγούρες του σχήματος; Σχήμα 18: Δημιουργία της ίδιας ψευδαίσθησης με τη βοήθεια Η/Υ Οι πρώτες παρατηρήσεις για τη σχέση φαινομένου μεγέθους και απόστασης καταγράφονται από τον Ευκλείδη 14 τον 3 ο π.χ. αιώνα στην Οπτική του. Ο Ευκλείδης, έχοντας μελετήσει όλες τις μέχρι τότε γνώσεις γύρω από την όραση και τις ιδιομορφίες της και γνωρίζοντας τους κανόνες που ήδη είχαν διατυπωθεί μέσα από την εμπειρία και είχαν εφαρμοστεί σε έργα τέχνης και αρχιτεκτονικής, επιχειρεί να δώσει 14 Η παρατήρηση αυτή, διατυπώθηκε αρχικά από τους αρχαίους φιλοσόφους και αποδείχτηκε από τον Ευκλείδη στην Οπτική του (Πρόταση 5). Euclides, Optica, Opticorum Recensio Theonis, Catoptrica, I. L. Heiberg, Λειψία 1895, σελ. 8.

12 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 12 μία γεωμετρική ερμηνεία της οπτικής αντίληψης. Ορίζει 15 ότι το φαινόμενο μέγεθος του αντικειμένου εκφράζεται από την οπτική γωνία, δηλαδή την γωνία που σχηματίζουν οι οπτικές ακτίνες και υπό την οποία φαίνεται το αντικείμενο από το σημείο όρασης. Επίσης, αποδεικνύει ότι τα φαινόμενα μεγέθη των αντικειμένων είναι συσχετισμένα με την απόσταση από το σημείο όρασης όχι όμως με σχέση αναλογίας υπό την έννοια ισότητας των λόγων. Συγκεκριμένα 16 στην πρόταση 5 αναφέρει ότι μεταξύ ίσων μεγεθών, αυτό που είναι πλησιέστερα στο σημείο όρασης, φαίνεται μεγαλύτερο. Όμως συμπληρώνει στην πρόταση 8, τα ίσα μεγέθη, που απέχουν άνισες αποστάσεις από το σημείο όρασης δεν φαίνονται ανάλογα 17 προς τις αποστάσεις (με την έννοια πάντα της ισότητας των λόγων.) Επίσης, στην πρόταση 56 της Οπτικής του παρατηρεί ότι όταν ένα αντικείμενο αυξάνει σε μέγεθος, δίνει την εντύπωση ότι είναι πλησιέστερα 18 στο σημείο όρασης. Σημαντικές επίσης, είναι οι άμεσες ή έμμεσες αναφορές του στην καμπυλόμορφη αντίληψη του χώρου. Τα επίπεδα, που βρίσκονται κάτω από το επίπεδο του ματιού φαίνονται κοίλα, ενώ αυτά που βρίσκονται ψηλότερα από το μάτι φαίνονται κυρτά 19, συμπεραίνει στην πρόταση 10. Στα έργα τέχνης της κλασσικής αρχαιότητας, οι γνώσεις για την οπτική αντίληψη αποτυπώνονται με τη μορφή ηθελημένων οπτικών επεμβάσεων, με κορυφαίο παράδειγμα τον Παρθενώνα. Σχήμα 19: Ο Παρθενών 15 Οι ορισμοί 4, 5 και 6 της Ευκλείδειας οπτικής είναι τα βασικά αξιώματα, που στηρίζουν τη γεωμετρική ερμηνεία των φαινομένων μεγεθών. Με τα αξιώματα αυτά καθορίζεται η σχέση του μεγέθους του αντικειμένου με το μέγεθος της οπτικής γωνίας, υπό την οποία φαίνεται από το σημείο όρασης. 16 Euclides, Optica, Opticorum Recensio Theonis, Catoptrica, I. L. Heiberg, Λειψία 1895, σελ Ο.π. σελίδα Ο.π. σελίδα, Ο.π. σελίδα 16.

13 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 13 Οι περίφημες «οπτικές εκλεπτύνσεις» του Παρθενώνα είναι, σε πολλές περιπτώσεις, οι τεχνικές στις οποίες κατέφυγε ο αρχιτέκτονας για να εξουδετερώσει αφ ενός τις οπτικές απάτες, που θα κατέστρεφαν το έργο του και να τονίσει αφετέρου κάποια στοιχεία, που θα αναδείκνυαν τη σύνθεσή του. Όλο το μνημείο και κάθε τμήμα του χωριστά συνεργάζονται για να εντείνουν τα αποτελέσματα της προοπτικής 20. Ετσι, ο στυλοβάτης καμπυλώνει και ανασηκώνεται, οι κίονες γέρνουν ελαφρά προς τον τοίχο του Ναού, οι εσωτερικοί κίονες χαμηλώνουν και λεπταίνουν ελαφρά, αυξάνοντας την αίσθηση της απόστασης και συνολικά τονίζεται η εντύπωση της προοπτικής σύγκλισης, με αποτέλεσμα το όλο μνημείο να φαίνεται ελαφρύτερο και να υποβάλλει το αίσθημα της ανάτασης. Ο Φειδίας, αλλοιώνει ηθελημένα τις αναλογίες στα γλυπτά του, προκειμένου να πετύχει εύρυθμο αποτέλεσμα. Το ανέκδοτο 21, που αναφέρει ο Βυζαντινός συγγραφέας Ι. Τζέτζης (Χίλ. VIII, 353) για τον Φειδία, καθρεπτίζει ακριβώς αυτή την άποψη. Σύμφωνα με το συγγραφέα, οι Αθηναίοι ανέθεσαν στο Φειδία και τον Αλκαμένη την κατασκευή δύο αγαλμάτων της Αθηνάς, που επρόκειτο να τοποθετηθούν πάνω σε ψηλούς κίονες. Ο Φειδίας, γνωρίζοντας οπτική και γεωμετρία, έκαμε τέτοιες παραμορφώσεις στο πρόσωπο του αγάλματος που όταν το είδαν οι Αθηναίοι το θεώρησαν ασέβεια προς την Θεά, και λίγο έλειψε να λιθοβολήσουν τον καλλιτέχνη. Αντίθετα, το άγαλμα του Αλκαμένη φαινόταν ωραιότατο. Όταν όμως τα αγάλματα τοποθετήθηκαν πάνω στους κίονες για τους οποίους προορίζοντο, τότε αντελήφθησαν τη σοφία του Φειδία. Το ύψος προκαλούσε παραμορφώσεις στο πρόσωπο και το σώμα της Θεάς, τις οποίες όμως ο καλλιτέχνης είχε προβλέψει. Αντίθετα, η συμμετρία του ανθρώπινου σώματος, που είχε κατασκευάσει ο Αλκαμένης φαινόταν τώρα ασυμμετρία και τον προηγούμενο θαυμασμό στον Αλκαμένη ακολούθησε χλευασμός. 20 Οι θεωρίες περί των οπτικών επεμβάσεων εκλεπτύνσεων στον Παρθενώνα είναι πολλές και πολυσυζητημένες. Ο Βιτρούβιος, στο 3 ο βιβλίο της αρχιτεκτονικής του, αναφέρεται σε οπτικές επεμβάσεις στους δωρικούς ναούς. Θα αναφέρουμε επίσης την άποψη του καθηγητή Π. Μιχελή, ο οποίος στο άρθρο του, «η Αισθητική της οπτικής απάτης στην Αρχιτεκτονική», αναφερόμενος στις οπτικές επεμβάσεις, που παρατηρούνται στα έργα της κλασσικής αρχιτεκτονικής παρατηρεί : «...Οι Ελληνες δεν εσκόπευαν να αποκαταστήσουν απλώς τις άψυχες γεωμετρικές ευθείες, τις απότομες κάθετες και τις σκληρές οριζόντιες, που δεν τις αντικρύζουμε πουθενά στη φύση. Αυτή θα ήταν η αρχιτεκτονική του σχεδιαστηρίου, η έκφραση της μετριότητας. Αλλά ήθελαν να τονίσουν την αλήθεια που ζεί και δρά για να πραγματοποιήσει έστω και αληθοφάνειες, αφού χωρίς αυτές η αλήθεια δεν αξίζει... Εμψύχωσαν έτσι τα κτίρια, ετόνωσαν και ετόνισαν την αρμονία τους παλλόμενη στο φως...» (Τεχνικά Χρονικά 1939) 21 Τζέτζης Ι.Χιλ. VIII, 353 Overbeck, αρ. 772, σελ. 139.

14 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 14 Σχήμα 20: Η είσοδος προς τα Προπύλαια της Ακρόπολης κατά τον A. Choisy. Πέραν όμως των οπτικών αυτών επεμβάσεων, εκλεπτύνσεων των μορφών όπως συνήθως λέγεται, μέσω των οποίων επιτυγχάνεται η ευρυθμία του συνόλου, οι οπτικές ακτίνες, όπως ορίζονται στην Οπτική του Ευκλείδη, σε συνδυασμό με τις γωνίες που σχημάτιζαν και με τις αποστάσεις, έπαιζαν καθοριστικό ρόλο στη χωροθέτηση των κτισμάτων στα Πολεοδομικά συγκροτήματα των αρχαίων Ελλήνων. Ο Α. Choisy 22 κάνει τις ακόλουθες παρατηρήσεις αναφερόμενος στα Προπύλαια της Ακρόπολης. Στο σημείο Α της εισόδου (Σχ 20), από όπου δημιουργείται η πρώτη εντύπωση στον επισκέπτη, υπάρχει ένας άξονας ο οποίος καθορίζει την πορεία και ο οποίος είναι άξονας συμμετρίας της σύνθεσης όσον αφορά στις οπτικές γωνίες. Η πτέρυγα αριστερά των προπυλαίων είναι σαφώς φαρδύτερη από τη δεξιά, αλλά η οπτική γωνία, που καθορίζεται από τον άξονα και την οπτική ακτίνα ΑY είναι ίση με τη γωνία, που σχηματίζεται από τον άξονα και την ΑΧ. Από την δεξιά πτέρυγα έχει αφαιρεθεί ένα τμήμα, με αποτέλεσμα ο Ναός της Απτέρου Νίκης να μην επικαλύπτει τμήμα του πίσω κτίσματος και να προβάλλεται όπως και τα υπόλοιπα κτίσματα, ολόκληρος με φόντο τον ουρανό. Παρατηρείται ακόμα μία οπτική συνέχεια στις μάζες. Εκεί που οπτικά τελειώνει το ένα κτίριο αρχίζει το άλλο, χωρίς να μεσολαβεί κάποιο κενό. 22 Α. Choisy, Histoire de l architecture, Τόμος I. Architecture Grecque, σελ. 414.

15 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 15 Ο Κ. Δοξιάδης, στην μελέτη του Περί του τρόπου συνθέσεως των μνημειακών Πολεοδομικών συγκροτημάτων υπό των Αρχαίων Ελλήνων, υποστηρίζει 23 ότι η χωροθέτηση των κτισμάτων στα διάφορα συγκροτήματα των αρχαίων γινόταν βάσει κάποιου οπτικού συστήματος, το οποίο αναπτύχθηκε και τελειοποιήθηκε σταδιακά με την ανάπτυξη του Ελληνικού πνεύματος, και το οποίο ήταν βασισμένο στις οπτικές ακτίνες και στις οπτικές γωνίες που αυτές σχημάτιζαν. Οι οπτικές αρχές τις οποίες συγκέντρωσε, οργάνωσε, διατύπωσε και απέδειξε ο Ευκλείδης και οι οποίες καθόριζαν αποφασιστικά τις θέσεις και τις μορφές των Ναών στην κλασσική και Ελληνιστική περίοδο, χρησιμοποιήθηκαν σε πολλές περιπτώσεις από τους καλλιτέχνες της Αναγέννησης, κυρίως δε του Μπαρόκ, με τη μορφή προοπτικών τεχνασμάτων. Ενδεικτικά θα αναφερθούμε σε κάποια παραδείγματα. Σχήμα 21: Δύο απόψεις της πλατείας του Καπιτωλίου, Ρώμη (1539) 23 Κ. Δοξιάδη, Περί του τρόπου συνθέσεως των μνημειακών πολεοδομικών συγκροτημάτων υπό των Αρχαίων Ελλήνων. Τεχνικά Χρονικά, Ιανουάριος 1938, σελ. 15. C.A. Doxiadis, Architectural Space in Ancient Greece, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts,and London,England, 1972.

16 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 16 Στην πλατεία του Καπιτωλίου (Σχ.21, 22), ο Μιχαήλ Άγγελος (1539), με την απόκλιση των πλάγιων κτιρίων από τον κεντρικό άξονα, πέραν του ότι επιτρέπει την ορατότητα του κεντρικού κτιρίου καθ όλο το πλάτος του, φέρνει την πρόσοψη του κεντρικού κτιρίου πιο κοντά προς τον παρατηρητή και διευρύνει την πλατεία. Σχήμα 22: Ερμηνεία της προοπτικής εντύπωσης στην πλατεία Καπιτωλίου. Ο παρατηρητής, που βρίσκεται στη θέση Ο1 (Σχ 22), αντί για τα αποκλίνοντα κτίρια ΑΒ και ΓΔ νομίζει ότι βλέπει τα ΒΒ1 και ΔΔ1 που είναι παράλληλα προς τον άξονα προσπέλασης και μικρότερα από τα πραγματικά. Έτσι, από τη θέση αυτή η πλατεία φαίνεται ευρύτερη και η απόσταση του κεντρικού κτιρίου από τον παρατηρητή μικρότερη. Αντίθετα, όταν ο παρατηρητής βρίσκεται στη θέση Ο2, η εντύπωσή του για τις διαστάσεις της πλατείας είναι διαφορετική. Του φαίνεται πιο στενή και πιο επιμήκης, (Σχ. 22).

17 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 17 Σχήμα 23: Άποψη της εισόδου της στοάς του Borromini Στο Palazzo Spada στη Ρώμη, ο αρχιτέκτονας του Μπαρόκ Francesco Borromini 24 ( ), θέλοντας να αυξήσει το βάθος της θολωτής κιονοστοιχίας, που οδηγούσε στο Palazzo και να αναδείξει το άγαλμα του πολεμιστή, που βρισκόταν στο τέλος της στοάς, έδωσε στην κάτοψη της στοάς ένα σχήμα τραπεζίου (Σχ 24, 25). 24 Rudolf Arnheim, Art and Visual Perception, Faber and Faber. London, 1969 σελ Rudolf Arnheim, Buildings As Percepts, Via 6 Architecture and Visual Perception. The Graduate School of Fine Arts University of Pennsylvania and M.I.T Press 1983, σελ. 13. M.H. Pirenne, Οptics, Painting and Photography, Cambridge 1970 Great Britain, σελ. 152.

18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 18 Σχήμα 24: Σχηματική προοπτική απεικόνιση της στοάς του Borromini. Σχήμα 25: Σχηματική ερμηνεία της προοπτικής εντύπωσης αύξησης του βάθους. Ακολούθως, για να ολοκληρώσει την ψευδαίσθηση, μείωσε σχεδόν στο μισό το ύψος της τελευταίας αψίδας. Η τελική μορφή, που πήρε η στοά φαίνεται σχηματικά στα Σχήματα 24 και 25. Οι τοίχοι συγκλίνουν, το έδαφος ανασηκώνεται ελαφρά και η οροφή έχει κλίση προς τα κάτω. Ο παρατηρητής, που στέκεται στην είσοδο της στοάς, βλέπει ένα μακρύ τούνελ 25 και στο τέλος του ένα επιβλητικό άγαλμα. 25 Συνηθισμένος να βλέπει ορθογωνικής κάτοψης στοές να συγκλίνουν με παρόμοιο τρόπο.

19 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 19 Σχήμα 26: Σχηματική φωτορεαλιστική απεικόνιση της στοάς του Borromini. Αυτό συμβαίνει διότι ο παρατηρητής, που κοιτάζει από το σημείο Ο τη στοά, βλέπει στη θέση των κιονοστοιχιών ΑΓ και ΒΔ ( Σχ. 25), τις κιονοστοιχίες ΑΓ και ΒΔ, που αντιστοιχούν σε ορθογώνια κάτοψη και προκαλούν την ίδια οπτική εντύπωση με τις πρώτες. Έτσι η στοά φαίνεται μακρύτερη. Εάν στη θέση Κ, στέκεται ένας άνθρωπος επειδή θα νομίζεται ότι βρίσκεται στη θέση Κ, που είναι πολύ πιο μακριά, θα εντυπωσιάζει με το ύψος του. Το ίδιο συμβαίνει με το άγαλμα που βρίσκεται στο τέλος της στοάς ( Σχ. 26). Η ψευδαίσθηση αποκαλύπτεται όταν ο παρατηρητής κινηθεί στη στοά και φθάσει στο άγαλμα του πολεμιστή, το οποίο έκπληκτος βρίσκει πολύ μικρότερο απ ότι το φαντάσθηκε στην αρχή. Αντίθετα, ο παρατηρητής που κοιτάζει τη στοά από το άλλο άκρο της, έχει την εντύπωση ότι το βάθος της είναι πολύ μικρό.

20 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 20 Σχήμα 27: Αγιος Πέτρος, Ρώμη. Ο Bernini, χρησιμοποιεί το ίδιο τέχνασμα 26 στον Άγιο Πέτρο της Ρώμης (σχ. 27) Με την απόκλιση των κιονοστοιχιών, φέρνει πιο κοντά την πρόσοψη του Ναού και ταυτόχρονα εξαίρει το όλο κτίσμα δίνοντας μια ανηφορική κλίση στον κύριο άξονα προσπέλασης. Ο αρχιτέκτονας Guarino Guarini ( ), αφοσιωμένος με πάθος στα προβλήματα της Γεωμετρίας και της Προοπτικής, σχεδίασε τον τρούλο της εκκλησίας της Αγίας Σινδόνης στο Τορίνο 27 κατά τρόπο ώστε να εντυπωσιάζει με το ύψος του τον θεατή, που βρίσκεται στο εσωτερικό του Ναού, (Σχ. 28). Χώρισε εσωτερικά το τρούλο του Ναού σε οριζόντιες ζώνες των οποίων το ύψος και η διάμετρος μειώνεται προοδευτικά. Έτσι, ο παρατηρητής στη θέση Ο (Σχ 29), ενώ βλέπει το θόλο ΑΒΓΔ, που είναι χωρισμένος σε άνισες ζώνες, έχει την εντύπωση ότι βλέπει τον κατά πολύ υψηλότερο θόλο Α Β Γ Δ, όπου οι οριζόντιες ζώνες θα ήσαν ισοϋψείς. 26 Π. Μιχελή, Αισθητικά θεωρήματα, Τόμος 1 ος, Ίδρυμα Π. & Ε. Μιχελή, Αθήνα, Ottorino Rosati, Interpretazioni architettoniche delle Prospettive Accelerate e Rallentate, Ed. Quaderni di studio,torino, 1969.

21 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 21 Σχήμα 28: Άποψη του θόλου της Αγίας Σινδόνης του Guarino Guarini στο Τορίνο.

22 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 22 Σχήμα 29: Σχηματική ερμηνεία της προοπτικής εντύπωσης αύξησης του ύψους στον τρούλο της Αγίας Σινδόνης.

23 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 23 Στα έργα ζωγραφικής επίσης, κυρίως της Αναγέννησης, όπου οι αρχές της Ευκλείδειας οπτικής γίνονται αντικείμενο μελέτης, μπορούμε να παρατηρήσουμε τη διερεύνηση της σχέσης εικόνας, οπτικής γωνίας και σημείου όρασης μέσα από τα έργα μεγάλων καλλιτεχνών, όπως ο Pierro della Francesca, ο Μιχαήλ Άγγελος, ο Albrecht Dürer, ο Carlo Urbino κ.α. Στο έργο του Μιχαήλ Αγγέλου «η Δευτέρα Παρουσία» (Σχ.30), η σύνθεση διαρθρώνεται σε τρεις οριζόντιες ζώνες 28, που αυξάνουν προοδευτικά δημιουργώντας ένα δυναμικό σύνολο. Εάν παρατηρήσουμε το όλο θέμα αξονικά, η στάθμη κάθε ζώνης αντιστοιχεί στην ίδια οπτική γωνία. Η τεχνική είναι ανάλογη με αυτή, που προτείνει ο Albrecht Dürer (Σχ. 31) για τις επιγραφές και τις τοιχογραφίες. Σχήμα 30: Η Δευτέρα Παρουσία. Μιχαήλ Άγγελος, ( ). Καπέλα Σιξτίνα, Ρώμη 28 Baltrusaitis Jurgis, Anamorphoses, Les perspectives depravées, Flamarion, Paris 1984, σελ.13.

24 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 24 Στην στήλη του Α. Dürer, η επιγραφή χωρίζεται σε τρεις ανισοϋψείς ζώνες έτσι ώστε από το σημείο όρασης να φαίνονται ισοϋψείς λόγω της ισότητας των οπτικών γωνιών. Το ίδιο ισχύει και για τα γράμματα κάθε σειράς. Το μέγεθός τους καθορίζεται από την οπτική γωνία η οποία είναι ενιαία για όλες τις σειρές. Σχήμα 31: Γράμματα σε ένα τοίχο. Albrecht Dürer (1525) Σχήμα 32: Carlo Urbino, Προοπτικές παραμορφώσεις του ανθρώπινου σώματος. Σπουδή με οπτικές γωνίες.(1570) Περί το 16ο αιώνα οι αρχές και οι τεχνικές της προοπτικής απεικόνισης εφαρμόσθηκαν κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να προκύπτουν εικόνες έντεχνα και έντονα αλλοιωμένες, παρασύροντας και εξαπατώντας τη οπτική αντίληψη 29. Οι εικόνες, που προέκυψαν ονομά- 29 Baltrusaitis Jurgis, Anamorphoses, Les perspectives depravées,flamarion, Paris 1984, σελ. 5.

25 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 25 σθηκαν αναμορφωτικές εικόνες (anamorphoses) και είτε είχαν χαρακτήρα προοπτικών παιχνιδιών είτε είχαν κάποιο χαρακτήρα μεταφοράς πολιτικών ή πνευματικών μηνυμάτων. Ενδεικτικά αναφέρουμε τους Πρεσβευτές του Hans Holbein (1533) (Σχ 33) και το πορτραίτο του πρίγκιπα Εδουάρδου του 6ου, του Ουίλιαμ Σκρότς (1546) (Σχ. 34). Σχήμα 33: «Οι Πρεσβευτές.». Hans Holbein (1533), Λονδίνο, National Portrait Gallery Οι αναμορφωτικές αυτές εικόνες έχουν προκύψει λόγω του ότι οι οπτικές ακτίνες, που κατευθύνονται από το σημείο όρασης προς το αντικείμενο απεικόνισης συναντούν τον πίνακα, σχηματίζοντας πολύ μικρές γωνίες και παίρνουν την κανονική τους μορφή όταν παρατηρηθούν από το κατάλληλο σημείο όρασης. Για την κατασκευή μιας τέτοιας εικό-

26 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 26 νας, επιλέγεται κατάλληλα το σημείο όρασης ώστε οι οπτικές ακτίνες να συναντούν το επίπεδο του πίνακα σχηματίζοντας με αυτό γωνίες όχι μεγαλύτερες από 5 ο. Στο σχήμα 35 έχει κατασκευαστεί η προοπτική εικόνα ενός κατακόρυφου τετραγώνου πλευράς αβ. Η αβ έχει θεωρηθεί ότι ανήκει στο επίπεδο του εδάφους. Το σημείο όρασης έχει τοποθετηθεί σε τέτοια θέση ως προς τον πίνακα και το αντικείμενο, ώστε οι οπτικές ακτίνες Ο α και Ο β να συναντούν τον πίνακα σχηματίζοντας με αυτόν πολύ μικρές γωνίες. Το προοπτικό ΑΒΓΔ του τετραγώνου εμφανίζεται παραμορφωμένο. Σχήμα 34: «Ο πρίγκιπας Εδουάρδος» Ουίλιαμ Σκροτς (1546), Λονδίνο, National Portrait Gallery Σχήμα 35: Κατασκευή προοπτικής εικόνας Στα σχήματα 36, 37 και 38, παρατηρούμε σύγχρονες εφαρμογές των αναμορφώσεων σε θέματα οδικής σήμανσης. Τα σήματα αυτά είναι σχεδιασμένα στο οδόστρωμα και απευθύνονται σε οδηγούς οχημάτων οπότε οι γωνίες υπό τις οποίες φαίνονται από τα σημεία όρασης είναι πολύ μικρές. Προκειμένου λοιπόν οι εικόνες αυτές να φαίνονται με τις κανονικές τους διαστάσεις, σχεδιάζονται παραμορφωμένες ή με αλλοιωμένες αναλογίες. Στο σχήμα 36 το ποδήλατο της αριστερά εικόνας είναι σχεδιασμένο στο οδόστρωμα με αλλοιωμένη μορφή ώστε οι οδηγοί να το βλέπουν όπως φαίνεται στην δεξιά εικόνα.

27 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 27 Στο σχήμα 37 τα γράμματα στην επιγραφή είναι ισοϋψή με αποτέλεσμα την αναμενόμενη σμίκρυνση με την απομάκρυνση. Το βέλος όμως που δείχνει την πορεία έχει σχεδιασθεί σαφώς μεγαλύτερο από τα γράμματα (σχήμα 38) ώστε να φαίνεται ότι έχει το ίδιο ύψος με αυτά. Από την εποχή που ο Φειδίας, παραμόρφωνε ηθελημένα τις αναλογίες στα γλυπτά του για να εξουδετερώσει τις προοπτικές παραμορφώσεις, έχουν περάσει περίπου 2500 χρόνια, οι αρχές όμως της προοπτικής παραμένουν οι ίδιες. Σχήμα 36: Η αναμορφωμένη και η ορθή εικόνα ποδηλάτου Σχήμα 37: Το σήμα που δείχνει την πορεία, φαίνεται να έχει το ίδιο μέγεθος με τα γράμματα

28 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 28 Σχήμα 38: Στην πραγματικότητα το σήμα είναι μεγαλύτερο Ένας χώρος κατασκευασμένος στις ίδιες αρχές με τη στοά του Borromini, είναι το δωμάτιο του Ames. Σχήμα 39: Οι κορυφές του δωματίου του Ames, βρίσκονται στις ίδιες οπτικές ακτίνες, που προβάλλουν τις κορυφές ενός χώρου ορθογωνικής κάτοψης Πρόκειται για ένα πολυεδρικό 30 δωμάτιο Α1Β1Γ1Δ1Ε1Ζ1Η1Θ1. Στην έδρα Α1Β1Ζ1Ε1 του χώρου αυτού υπάρχει μία μικρή οπή, η οποία είναι το σημείο όρασης Ο, από το οποίο ο παρατηρητής βλέπει το εσωτερικό του χώρου. Οι κορυφές του πολυεδρικού δωματίου είναι σημεία των οπτικών ακτίνων που, από το σημείο όρασης Ο, προβάλλουν τις κορυφές ΑΒΓΔΕΖΗΘ, ενός ορθογωνικής κάτοψης χώρου. (Σχ.39), 30 Ninio Jacques, Η Επιστήμη των ψευδαισθήσεων, Εκδόσεις Κάτοπτρο, 2000, σελ. 115.

29 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 29 Σχήμα 40: Το εσωτερικό ενός δωματίου του Ames, όπως φαίνεται από το σημείο όρασης Ο. Ο παρατηρητής ο οποίος παρατηρεί από το σημείο όρασης Ο, το εσωτερικό του χώρου Α1Β1Γ1Δ1, έχει εντύπωση ότι βλέπει τον χώρο ΑΒΓΔ. Ένα άτομο όμως ή ένα αντικείμενο που κινείται παράλληλα προς την έδρα Γ1Δ1Θ1Η1, φαίνεται, κατά περίεργο τρόπο, να μεγαλώνει ή να μικραίνει καθώς μετατοπίζεται από το Δ1 προς το Γ1 και αντίστροφα (Σχ. 40). Ένας τέτοιος χώρος μπορεί να κατασκευαστεί ως εξής: Υποθέτουμε αρχικά ότι υπάρχει ένας χώρος ΑΒΓΔΕΖΗΘ, σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, του οποίου οι διαστάσεις είναι γνωστές. Το σημείο όρασης Ο, έχει τοποθετηθεί στην έδρα ΑΒΖΕ, και μάλιστα στο κέντρο της. (Σχ. 41 και 42) Θεωρούμε τις οπτικές ακτίνες, που διέρχονται από τις κορυφές του ΑΒΓΔΕΖΗΘ, σημεία των οποίων είναι και οι κορυφές του χώρου Α1Β1Γ1Δ1Ε1Ζ1Η1Θ1. Οι λύσεις είναι άπειρες και επιλέγουμε, χάρη σχεδιαστικής ευκολίας, οι παράπλευρες έδρες του χώρου που θα προκύψει, να είναι κατακόρυφες. Οι κορυφές Α1, Β1,Ζ1 και Ε1, είναι σημεία του επιπέδου ΑΒΖΕ. Επιλέγουμε επί της ΟΑ το Α1 και επί της Οβ το Β1, οπότε προκύπτει το Α1Β1Ζ1Ε1. Εάν υποθέσουμε ότι οι έδρες Α1Δ1Θ1Ε1 και Β1Γ1Η1Ζ1 είναι παράλληλες προς την ΑΔΘΕ, οι υπόλοιπες κορυφές του χώρου προκύπτουν ως τομές των οπτικών ακτίνων με τα κατακόρυφα αυτά επίπεδα. Κατακλίνοντας τις παράπλευρες κατακόρυφες έδρες του χώρου σε ένα οριζόντιο επίπεδο (Σχήμα 42), μπορούμε να έχουμε το πραγματικό τους μέγεθος, ώστε να είναι δυνατή η υλοποίηση του χώρου.

30 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 30 Σχήματα 41, 42: Γεωμετρική κατασκευή ενός δωματίου Ames

31 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΔΥΝΑΤΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Πρόκειται για ένα συνδυασμό γεωμετρικών χαράξεων, που συνθέτουν μία παράδοξη πραγματικότητα. Εικόνες, με μία φαινομενικά άψογη προοπτική ή αξονομετρία, συνδυασμένες κατά αφύσικο τρόπο, απεικονίζουν ένα κόσμο, όπου δεν ισχύουν οι γνωστοί νόμοι της φυσικής, όπως ο νόμος της βαρύτητας και όπου το κοίλο ή το κυρτό, το επάνω και το κάτω, το μέσα και το έξω, χάνουν το νόημά τους. «Αδύνατα τρίγωνα» Σχήμα 43: Αδύνατο τρίγωνο Η σκάλα του Penrose. Σχήμα 44: Η σκάλα του Penrose

32 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 32 Σχήμα 45: Ascending and Descending λιθογραφία, 1960,M. C. Escher. Είναι εμπνευσμένη από την σκάλα του Penrose, η οποία πάντα ανεβαίνει.

33 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 33 Σχήμα 46: «Διαρκής κίνηση» λιθογραφία, 1961,M. C. Escher.

34 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 34 ΕΝΑ ΑΛΛΟΣ ΚΟΣΜΟΣ Σχήμα 47: «Άλλος κόσμος» ξυλογραφία, 1947,M. C. Escher.

35 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 35 Σχήμα 48: «Κοίλο και κυρτό» λιθογραφία, 1955,M. C. Escher. Μπορούμε, τελικά, να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι η ανακάλυψη, η ανάπτυξη και εφαρμογή των νόμων της Οπτικής - Προοπτικής έδωσαν και δίνουν στον καλλιτέχνη πολύ μεγάλες δυνατότητες δημιουργίας καταστάσεων, που απέχουν μεν από την πραγματικότητα αλλά που την αναδημιουργούν ή την αναπλάθουν κατά τρόπο θαυμαστό. Η γνώση της οπτικής και η τεχνική του οπτικού τεχνάσματος ιστορικά βαδίζουν με το ίδιο βήμα. Η πραγματικότητα και η ψευδαίσθηση είναι οι δύο πόλοι, φαινομενικά αντίθετοι, γύρω από τους οποίους κινείται η Προοπτική για να διορθώσει ή να αλλοιώσει εντυπώσεις.

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ Ιστορικά Στις αρχές του 16 ου αιώνα ήταν ήδη γνωστές οι αρχές της γραμμικής προοπτικής, περίπου όπως την ξέρουμε σήμερα. Την περίοδο αυτή καλλιτέχνες, γλύπτες και αρχιτέκτονες άρχισαν να πειραματίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Στα 1849 ο Sir David Brewster περιγράφει τη μακροσκοπική μηχανή λήψης και παράγονται οι πρώτες στερεοσκοπικές φωτογραφίες (εικ. 5,6).

Στα 1849 ο Sir David Brewster περιγράφει τη μακροσκοπική μηχανή λήψης και παράγονται οι πρώτες στερεοσκοπικές φωτογραφίες (εικ. 5,6). ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΑ Η στερεοσκοπία είναι μια τεχνική που δημιουργεί την ψευδαίσθηση του βάθους σε μια εικόνα. Στηρίζεται στο ότι η τρισδιάστατη φυσική όραση πραγματοποιείται διότι κάθε μάτι βλέπει το ίδιο αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT Βασιλίσιν Μιχάλης, Δέφτο Χριστίνα, Ιλινιούκ Ίον, Κάσα Μαρία, Κουζμίδου Ελένη, Λαμπαδάς Αλέξης, Μάνε Χρισόστομος, Μάρκο Χριστίνα, Μπάμπη Χριστίνα, Σακατελιάν Λίλιτ, Σαχμπαζίδου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Μακρή EFIAP. www.michalismakri.com

Μιχάλης Μακρή EFIAP. www.michalismakri.com Μιχάλης Μακρή EFIAP www.michalismakri.com Γιατί κάποιες φωτογραφίες είναι πιο ελκυστικές από τις άλλες; Γιατί κάποιες φωτογραφίες παραμένουν κρεμασμένες σε γκαλερί για μήνες ή και για χρόνια για να τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΥΘΕΡΟ - ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Β Ενιαίου Λυκείου (Μάθημα : Κατεύθυνσης)

ΕΛΕΥΘΕΡΟ - ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Β Ενιαίου Λυκείου (Μάθημα : Κατεύθυνσης) ΕΛΕΥΘΕΡΟ - ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Β Ενιαίου Λυκείου (Μάθημα : Κατεύθυνσης) ΓΕΝΙΚΟΙ ΣΚΟΠΟΙ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ Το μάθημα απευθύνεται σε μαθητές με ειδικό ενδιαφέρον για το ΣΧΕΔΙΟ (Ελεύθερο και Προοπτικό) και που ενδέχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΠΗΡΕΑΣΑΝ ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΝ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ

ΠΩΣ ΕΠΗΡΕΑΣΑΝ ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΝ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ ΠΩΣ ΕΠΗΡΕΑΣΑΝ ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΝ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ Η ΟΜΑΔΑ μας ανέλαβε το θέμα της σχέσης των Μαθηματικών με τη ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ!!! ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ-ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΟΥΛΑ ΕΙΡΗΝΗ, ΡΑΛΛΙΟΥ ΕΥΑΝΘΙΑ, ΤΣΙΜΗΤΡΑ ΑΓΓΕΛΙΚΗ. ΙΣΤΟΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

1ο χειμ. Εξαμηνο, 2013-2014

1ο χειμ. Εξαμηνο, 2013-2014 1ο χειμ. Εξαμηνο, 2013-2014 Συνθεση πινακίδας παρουσίασης συνθετικά και γεωμετρικά στοιχεία Εισαγωγη στην Αρχιτεκτονικη Συνθεση Θεμα 1ο ΜΑΡΓΑΡΙΤΑ ΓΡΑΦΑΚΟΥ Καθηγήτρια της Σχολης Αρχιτεκτονων Ε.Μ.Π. Εικονογραφηση

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΚΥ ΤΣΑΛΑΜΑΤΑ ΑΣΤΙΚΑ ΤΟΠΙΑ

ΒΙΚΥ ΤΣΑΛΑΜΑΤΑ ΑΣΤΙΚΑ ΤΟΠΙΑ ΒΙΚΥ ΤΣΑΛΑΜΑΤΑ ΑΣΤΙΚΑ ΤΟΠΙΑ «Πλάθω τις εικόνες μου χαράζοντας κατευθείαν πάνω στο υλικό μου, όπως ο ζωγράφος σχεδιάζει ή πλάθει τις εικόνες του πάνω στον καμβά.» Η Βίκυ Τσαλαματά γεννήθηκε στην Αθήνα και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Στη μορφολογία πρέπει αρχικά να εξετάσουμε το γενικό σχήμα του προσώπου.

Στη μορφολογία πρέπει αρχικά να εξετάσουμε το γενικό σχήμα του προσώπου. ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ Στη μορφολογία πρέπει αρχικά να εξετάσουμε το γενικό σχήμα του προσώπου. Διακρίνουμε τα εξής σχήματα - Οβάλ - Οβάλ μακρύ - Ορθογωνικό - Στρογγυλό - Τετραγωνικό - Τριγωνικό - Εξαγωνικό - Τραπεζοειδές

Διαβάστε περισσότερα

Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο

Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο Α Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να γνωρίσουν οι μαθητές τα υλικά που χρειάζονται για το ελεύθερο σχέδιο και τον τρόπο που θα τα

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΥΘΕΡΟ - ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ

ΕΛΕΥΘΕΡΟ - ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ - ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Γ' Ενιαίου Λυκείου (Μάθημα : Κατεύθυνσης) ΓΕΝΙΚΟΙ ΣΚΟΠΟΙ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ Το μάθημα απευθύνεται σε μαθητές με ειδικό ενδιαφέρον για το ΕΛΕΥΘΕΡΟ-ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ( Εικαστική και Αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

AKTO Campus, Ευελπίδων 11Α, Αθήνα, 113 62

AKTO Campus, Ευελπίδων 11Α, Αθήνα, 113 62 AKTO Campus, Ευελπίδων 11Α, Αθήνα, 113 62 Ο ΑΚΤΟ με 40 και πλέον χρόνια δραστηριότητας στον χώρο των Εφαρμοσμένων και Καλών Τεχνών και η DESIGNEMBASSADOR.COM UG, που εξειδικεύεται στον σχεδιασμό φεστιβάλ,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ Μάθημα προς τους ειδικευόμενους γιατρούς στην Οφθαλμολογία, Στο Κ.Οφ.Κ.Α. την 18/11/2003. Υπό: Δρος Κων. Ρούγγα, Οφθαλμιάτρου. 1. ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Όταν μια φωτεινή ακτίνα ή

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ & ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΗΣ Σύνταξη κειμένου: Μαρία Ν. Δανιήλ, Αρχιτέκτων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Τέκτων 10. for Windows. Εκπαιδευτική Έκδοση 5.4.0.104. Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα. Αθήνα, Μάιος 2013. Version_1_0_1

Τέκτων 10. for Windows. Εκπαιδευτική Έκδοση 5.4.0.104. Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα. Αθήνα, Μάιος 2013. Version_1_0_1 Τέκτων 10 for Windows Εκπαιδευτική Έκδοση 5.4.0.104 Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα Αθήνα, Μάιος 2013 Version_1_0_1 2 Τέκτων 10 for Windows Εκπαιδευτική Έκδοση Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ TΡΙΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ: «ΧΩΡΟΣ ΕΚΘΕΣΗΣ ΚΕΡΑΜΙΚΩΝ ΕΙΔΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Νηπιαγωγείο - Δημοτικό

Νηπιαγωγείο - Δημοτικό Νηπιαγωγείο - Δημοτικό Το πρόγραμμα «Τέχνη και Μαθηματικά» για το νηπιαγωγείο δημοτικό, αποτελείται από τρία διδακτικά μέρη, δύο εκ των οποίων είναι κοινά για τους μαθητές όλων των τάξεων (Μέρη Α & Β )

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο Ειδικότητας Αµαξωµάτων

Σχέδιο Ειδικότητας Αµαξωµάτων 89 ιδακτικοί στόχοι: Στο τέλος αυτής της διδακτικής ενότητας θα είσαι σε θέση: Να µπορείς να απεικονίζεις σε σκαρίφηµα τα κυριότερα µέρη των αµαξωµάτων. Να γνωρίζεις τη σειρά συναρµολόγησης των τµηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΕΜΠΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΔΥΟ (2)

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΕΜΠΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΔΥΟ (2) AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΕΜΠΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΔΥΟ (2) ΖΗΤΟΥΝΤΑΙ: 1. Απεικόνιση του θέματος στον καθορισμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΨΕΙΣ - 119 - ΟΡΟΦΟΓΡΑΦΙΕΣ

ΑΝΟΨΕΙΣ - 119 - ΟΡΟΦΟΓΡΑΦΙΕΣ - 119 - ΑΝΟΨΕΙΣ ΟΡΟΦΟΓΡΑΦΙΕΣ ΣΑΛΟΝΙ Στον χώρο του σαλονιού αλλά και της τραπεζαρίας επιθυμία του ιδιοκτήτη της κατοικίας ηταν η πρόβλεψη διακόσμησης των οροφών αυτών κυρίως των χώρων με ζωγραφική. Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. Γενικά. Επιφάνεια σχεδίασης. Όργανα σχεδίασης

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. Γενικά. Επιφάνεια σχεδίασης. Όργανα σχεδίασης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γενικά Τα περισσότερα στοιχεία αυτού του κεφαλαίου είναι γνωστά στους φοιτητές. Η εκ νέου παράθεσή τους στο παράρτημα γίνεται για λόγους υπενθύμισης και πιο ολοκληρωμένης παρουσίασης. Στην ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2008 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος.

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2008 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος. Θεωρητικό Μέρος Θέμα 1o A Λυκείου 22 Μαρτίου 28 Στις ερωτήσεις Α,Β,Γ,Δ,E μια μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής απάντησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΑΡΧΑΙΟ ΘΕΑΤΡΟ ΤΗΣ ΛΙΝΔΟΥ ΣΟΦΙΑ ΒΑΣΑΛΟΥ ΒΠΠΓ

ΤΟ ΑΡΧΑΙΟ ΘΕΑΤΡΟ ΤΗΣ ΛΙΝΔΟΥ ΣΟΦΙΑ ΒΑΣΑΛΟΥ ΒΠΠΓ ΤΟ ΑΡΧΑΙΟ ΘΕΑΤΡΟ ΤΗΣ ΛΙΝΔΟΥ ΣΟΦΙΑ ΒΑΣΑΛΟΥ ΒΠΠΓ Περιγραφή μνημείου Το αρχαίο θέατρο της Λίνδου διαμορφώνεται στους πρόποδες της δυτικής πλαγιάς του βράχου της λινδιακής ακρόπολης. Το κοίλο χωρίζεται σε

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή Η ιδέα, ότι όλα τα υλικά πράγµατα συντίθενται από αυτά τα τέσσερα πρωταρχικά στοιχεία, αποδίδεται στον προγενέστερό Εµπεδοκλή, Έλληνα φιλόσοφο, ποιητή και πολιτικό [493-433 π.χ.] που γεννήθηκε στον Ακράγαντα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Κουρνιάτης Νίκος Αρχιτέκτων Μηχανικός Ε.Μ.Π. Σπυρίδωνος Τρικούπη 69, Αθήνα 6937 14 56 38 perspect.geo@gmail.com www.perspect.gr ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΣΠΟΥΔΕΣ 1.1. Προπτυχιακές σπουδές Μεταπτυχιακές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΕΛΛΗΝΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΣΚΗΝΙΟ ΤΟΥ ΘΕΑΤΡΟΥ ΤΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΑΣ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ-ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΣΥΝΘΕΣΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΕΝΟΣ ΜΕΤΑΚΙΟΝΙΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

ΤΟ ΕΛΛΗΝΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΣΚΗΝΙΟ ΤΟΥ ΘΕΑΤΡΟΥ ΤΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΑΣ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ-ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΣΥΝΘΕΣΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΕΝΟΣ ΜΕΤΑΚΙΟΝΙΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΤΟ ΕΛΛΗΝΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΣΚΗΝΙΟ ΤΟΥ ΘΕΑΤΡΟΥ ΤΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΑΣ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ-ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΣΥΝΘΕΣΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΕΝΟΣ ΜΕΤΑΚΙΟΝΙΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ Αρχιτεκτονική μελέτη: Βασιλεία Μανιδάκη αρχιτέκτων ΥΠΠΟΤ-ΥΣΜΑ Δεκέμβριος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 0 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ . Γεωμετρική οπτική ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Η Γεωμετρική οπτική είναι ένας τρόπος μελέτης των κυμάτων και χρησιμοποιείται για την εξέταση μερικών

Διαβάστε περισσότερα

(Εξήγηση του τίτλου και της εικόνας που επέλεξα για το ιστολόγιό μου)

(Εξήγηση του τίτλου και της εικόνας που επέλεξα για το ιστολόγιό μου) Εν αρχή ην ο Λόγος. (Εξήγηση του τίτλου και της εικόνας που επέλεξα για το ιστολόγιό μου) Στις νωπογραφίες της οροφής της Καπέλα Σιξτίνα φαίνεται να απεικονίζονται μέρη του ανθρώπινου σώματος, όπως ο εγκέφαλος,

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό.

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό. Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ»

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ» ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ 26 ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Οπτική Επικοινωνία & εμπορικός χώρος. Οργανώνοντας μια στρατηγική για την προώθηση του προϊόντος

Οπτική Επικοινωνία & εμπορικός χώρος. Οργανώνοντας μια στρατηγική για την προώθηση του προϊόντος Οπτική Επικοινωνία & εμπορικός χώρος Οργανώνοντας μια στρατηγική για την προώθηση του προϊόντος Οπτική επικοινωνία Η καλλιτεχνική επίδειξη εμπορεύματος και θεατρικών στοιχείων με στόχο την οργάνωση σκηνογραφικού

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΕΞΟΧΙΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΚΑΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΛΥΠΤΗ»

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε κίνηση ενός κινητού; 2. Τι ονομάζουμε τροχιά ενός κινητού; 3. Τι ονομάζουμε υλικό σημείο; 4. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΚΛΑΣΗ. β' νόμος της ανάκλασης: Η γωνία πρόσπτωσης και η γωνία ανάκλασης είναι ίσες.

ΑΝΑΚΛΑΣΗ. β' νόμος της ανάκλασης: Η γωνία πρόσπτωσης και η γωνία ανάκλασης είναι ίσες. ΑΝΑΚΛΑΣΗ Η ακτίνα (ή η δέσμη) πριν ανακλασθεί ονομάζεται προσπίπτουσα ή αρχική, ενώ μετά την ανάκλαση ονομάζεται ανακλώμενη. Η γωνία που σχηματίζει η προσπίπτουσα με την κάθετη στην επιφάνεια στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο Το Πυθαγόρειο θεώρημα: μία διάσημη μαθηματική σχέση στον εργαστηριακό πάγκο της Φυσικής Παναγιώτης Μουρούζης Το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο συνήθως περιγράφεται φορμαλιστικά από μία σχέση της μορφής 2

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ.

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ. 2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ. 2.2.21. σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Δύο σύγχρονες πηγές Ο 1 και Ο 2 παράγουν αρμονικά κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ=2m/s κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ 19 Σεπτεμβρίου 2013 ΘΕΜΑ: «ΑΓΡΟΤΙΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r Πως αποδεικνύουμε ότι ένα σώμα εκτεί απλή αρμονική ταλάντωση Μεθοδολογία i) Βρίσκουμε την θέση ισορροπίας του σώματος και σχεδιάζουμε το σώμα σε αυτή την θέση. ii) Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ενεργούν

Διαβάστε περισσότερα

Masaccio, ο πρόωρα χαμένος ιδρυτής της Αναγέννησης

Masaccio, ο πρόωρα χαμένος ιδρυτής της Αναγέννησης Masaccio, ο πρόωρα χαμένος ιδρυτής της Αναγέννησης Εικόνα 1: Η πληρωμή του φόρου, παρεκκλήσιο Brancacci, Φλωρεντία Εικόνα 2: Η εκδίωξη από τον παράδεισο, παρεκκλήσιο Brancacci. Πριν και μετά την αποκατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα!

Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα! ΓΙΩΡΓΟΣ ΑΣΗΜΕΛΛΗΣ Μαθήματα Οπτικής 3. Πόλωση Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα! Αυτό που βλέπουμε με τα μάτια μας ή ανιχνεύουμε με αισθητήρες είναι το αποτέλεσμα που προκύπτει όταν φως με συγκεκριμένο χρώμα -είδος,

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ENOTHTA 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ENOTHT 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Κρούση: Κρούση ονομάζουμε το φαινόμενο κατά το οποίο δύο ή περισσότερα σώματα έρχονται σε επαφή για πολύ μικρό χρονικό διάστημα κατά

Διαβάστε περισσότερα

Δύναμη είναι η αιτία που μπορεί να προκαλέσει μεταβολή στην ταχύτητα ενός σώματος ή που μπορεί να το παραμορφώσει.

Δύναμη είναι η αιτία που μπορεί να προκαλέσει μεταβολή στην ταχύτητα ενός σώματος ή που μπορεί να το παραμορφώσει. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναμης 1. Τι είναι δύναμη; Δύναμη είναι η αιτία που μπορεί να προκαλέσει μεταβολή στην ταχύτητα ενός σώματος ή που μπορεί να το παραμορφώσει. 2. Ποια είναι τα χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ. Σελίδα 1 από 6

Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ. Σελίδα 1 από 6 Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ Στόχος(οι): Η παρατήρηση της τροχιάς του ήλιου στον ουρανό και της διακύμανση της ανάλογα με την ώρα της ημέρας ή την εποχή. Εν τέλει, η δραστηριότητα αυτή θα βοηθήσει τους μαθητές να

Διαβάστε περισσότερα

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΕ ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΡΙΒΗΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΕ ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΡΙΒΗΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΕ ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΡΙΒΗΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ [Π. Μουρούζης, Γ. Παληός, Κ. Παπαμιχάλης, Γ. Τουντουλίδης, Τζ. Τσιτοπούλου, Ι. Χριστακόπουλος] Για

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναμης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Στο κεφάλαιο των κινήσεων ασχοληθήκαμε με τη μελέτη της κίνησης χωρίς να μας απασχολούν τα αίτια που προκαλούν την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΩΤΙΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ «ΡΟΔΙΩΝ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΡΑΠΤΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΥΠΟΤΡΟΦΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-2015 ΡΟΔΟΣ, 22 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014

ΙΔΙΩΤΙΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ «ΡΟΔΙΩΝ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΡΑΠΤΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΥΠΟΤΡΟΦΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-2015 ΡΟΔΟΣ, 22 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΙΔΙΩΤΙΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ «ΡΟΔΙΩΝ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΡΑΠΤΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΥΠΟΤΡΟΦΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-2015 ΒΑΘΜΙΔΑ: ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΤΑΞΗ: ΣΤ ΡΟΔΟΣ, 22 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 Διάβασε προσεκτικά τις ερωτήσεις και προσπάθησε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ. ΣΧΕΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Πολυτίδης Δημήτρης. 1 ο ΕΤΟΣ

ΣΧΟΛΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ. ΣΧΕΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Πολυτίδης Δημήτρης. 1 ο ΕΤΟΣ ΣΧΟΛΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ ΣΧΕΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Πολυτίδης Δημήτρης 1 ο ΕΤΟΣ 1 η φάση: Ερώτημα συζήτησης: Που χρησιμοποιείται τη γεωμετρία στην εργασία σας και στην καθημερινή σας ζωή. (Μια διδακτική ώρα).

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΡΟΦΙΛ ΣΥΣΤΑΔΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΡΟΦΙΛ ΣΥΣΤΑΔΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΡΟΦΙΛ ΣΥΣΤΑΔΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΑΤΕΙ ΚΑΒΑΛΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΡΑΜΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΑΣΟΠΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΔΑΣ ΜΑΡΙΟΣ 2008 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Στον κ. Ι. Τάκο για την καθοδήγηση του σε όλη

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

www.pilionwalks.com Caroline Pluvier & Ruud Schreuder 1

www.pilionwalks.com Caroline Pluvier & Ruud Schreuder 1 5. Δράκεια - Χάνια - Δράκεια Mάιος 2015 - Επειδή θα συναντήσετε μερικά προβλήματα κάνοντας αυτή την διαδρομή τώρα, σας συνιστούμε να μη την κάνετε μέχρι να την ελέγξουμε έμεις οι ίδιοι τον Σεπτέμβριο.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙΣ ΕΛΕΝΗ Κ. ΆΓΑ, Επίκουρη Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. Μάθημα: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙΣ EΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. 4Ο

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. 4Ο Όνοµα:... Ηµεροµηνία:... Βαθµός : ΘΕΜΑ Ο Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Όταν ένα σώµα πραγµατοποιεί µόνο στροφική κίνηση : α) όλα τα σηµεία του έχουν την ίδια γραµµική ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

Γ - Δ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Γ - Δ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Ποια από τις πιο κάτω προτάσεις είναι ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΗ; Α. 8 7 > 7 6 Β. 8 5 < 6 7 Γ. 7 0 < 8 8 Δ. 1 7 > 1 8 Ε. 60 7 > 60 8 2. Ο αδύναμος κρίκος μιας αλυσίδας είναι ο 7 ος από την αρχή της και ο 11 ος από

Διαβάστε περισσότερα