ELEKTRIVÕRKUDE TALITLUSE ANALÜÜS JA JUHTIMINE

Transcript

1 Tallnna tehnkaülkool Elektroenergeetka Insttuut Peeter Raesaar ELEKTRIVÕRKUDE TALITLUSE ANALÜÜS JA JUHTIMINE I osa TALLINN 000

2 . SISSEJUHATUS KIRJANDUS. Atf S. Debs. Modern Power Systems Control and Operaton. - Kluwer Academc Publshers, 988, 37 pp.. George L. Kusc. Computer-aded Power Systems Analyss. - New Jersey, Prentce Hall, Engelwood Clffs, 986, 404 pp. 3. M.J.H. Sterlng. Power System Control. Peter Peregrnus Ltd, London, 978, 48 pp. 4. В. И. Идельчик. Расчеты и оптимизация режимов электрических сетей и систем. М.: Энергоатомиздат с. 5. В. И. Идельчик. Электрические системы и сети. М.: Энергоатомиздат с.

3 . SISSEJUHATUS. SISSEJUHATUS.. AJALOOLINE ÜLEVAADE Elektrsüsteemde taltluse juhtmse ja analüüs teoora nng praktlsed meetodd tekksd koos elektrsüsteemde end tekkega käesoleva sajand algul nng nad arenesd koos sьsteemde kasvuga, juhtmsteoora arenguga ja tehnolooglste uuendustega seadmete, sdevahendte ja arvutustehnka valdkondades. Majanduslkel ja töökndluse alastel kaalutlustel tekksd suured, sagel rahvusvahelsed ühendelektrsüsteemd. Nende keerukus tngs uue, herarhlse juhtmsflosoofa rakendamse elektrvarustuse töökndluse tagamsel ja juhtmskeskuste loomsel. Elektrsüsteemde taltluse analüüs ja juhtmne on arenenud n evolutsoonlselt ku nn vapustuste mõjul. Seejuures on areng tomunud tehnolooglse arengu taustal, ms on tenud võmalkuks paljude teoreetlste aspektde juurutamse gapäevapraktkasse. Evolutsoonlsed tendentsd - need on suhtelselt väkesed, kud olulsed, pdevalt tomuvad muudatused. Peamste evolutsoonlste mõjutegurtena võb nmetada järgms. Tugev korrelatsoon elektrtarbmse ja majanduslku kasvu vahel. Tarbmse ja ssemajanduse kogutoodangu (SKT) paralleelne kasv 3000 on jätkunud pdevalt, seda vaatamata a suurele majanduskrsle, kahele maalmasôjale ja te aastate energakrsle. 000 Nätena on jn toodud USA elektrenerga kogutarbmse ja rahvuslku koguprodukt vahelne 500 seos. Elektrenerga tarbmne, mljr kwh Rahvuslk koguprodukt, mljr $ Joons. USA elektrenerga tarbmse ja rahvuslku koguprodukt vahelne seos Jätkuv elektrftseermne tööstuses, olmes ja är alal tänu elektrenerga ku kôge täuslkuma energalg eelstele (elektrajamte levk tööstuses, elektrtarvtte tung olmesse, uute elektrotehnoloogate rakendamne tööstuses, teenenduses jm). Elektrsüsteemde ühendamne töökndluse ja majanduslkel kaalutlustel.

4 . SISSEJUHATUS 3 Vapustused on sündmused, ms on põhjustanud oluls kõrvalekalded evolutsoonlsest arengust. Peamstena võks nmetada järgmst kolme: Nn "sajand avar" Ameerka Ühendrkde krdeosas 965.a Ühe katserelee tõrke tõttu läksd rvst välja elektrsüsteemd Uus-Inglsmaal, New-Yorgs ja reas Kanada kaguprkondades nng ca kümneks tunnks jä elektrta prkond umbes 40 mlj elankuga. Naftakrs 973. a, ms veel aastad hljem aeglustas elektr ja teste energalkde tarbmse kasvutendentse, tugevdas energa kombneertud ja hajutatud tootmse suund nng tarbmse majanduslkku juhtmst. Suur avar 977. a New-Yorgs, ms tomus vaatamata olulstele täendustele töökndluse alal ja avartaltluste juhtmsel, nädates seega, et teha tuleks veelg rohkem. Taltluse juhtmse ja analüüs arengu peamsed mõjutegurd Tendents / vapustus Mõjud Tabel. Elektrtarbmse ja rahvuslku koguprodukt vahelne korrelatsoon Jätkuv elektrftseermne Süsteemde ühendamne Sajand avar 965. a Süsteemde pdev kasv ja kompltseerumne Vajadus töökndlama, kvalteetsema ja rohkem automatseertud elektrvarustuse järele Elektrtootmse automaatne reguleermne, taltluse optmeermne, nfovahetus, herarhlne juhtmne Töökndluse tõstmse vajadus 970-te aastate naftakrs Uue turu kujundamne, turu ja hnnamehhansmde rakendamne, energa tarbmse ja tootmse majanduslk juhtmne 977. a New Yorg avar Töökndluse hndamse ja tõstmse uued meetodd, härngukndluse analüüs Nmetagem sn ka mõnngad slmapastvamad elektroenergeetkateadlas, kes on andnud suure panuse elektrsüsteemde taltluse analüüs ja juhtmse teoorasse: Nathan Cohn - poneer sageduse reguleermse alal. Tema klasskalsed tööd on lednud ulatuslkku rakendust, ert ühendsüsteemde juhtmsel. Leon Krchmayer - taltluste optmeermse poneer 950-dal aastal. Optmeermne koos sageduse reguleermsega old süsteem juhtmse põhkomponendd numbrlste arvutte eelsel ajal. 3

5 . SISSEJUHATUS 4 Thomas E. Dy Lacco - poneer elektrsüsteemde töökndluse alal 960-te tesel poolel. Tema taltluste klassftseermne normaalseks, raskendatud, avarlsteks ja avarjärgseks on aluseks järgnevatele töödele töökndluse hndamse ja tõstmse alal. Wllam F. Tnney - rakendas esmesena hõredate maatrkste tehnkat püstaltluse analüüsl. Sellega ta revolutsoneers arvutte kasutamse suurte võrkude probleemde lahendamsel, avaldades suurt mõju n juhtmse ku planeermse praktkale. Lester H. Fnk - elektrsüsteemde juhtmse ja analüüs juhtvamad eksperte 970-te tesel poolel. Manda tuleks ka sellsed vene energeetkateadlas, nagu V.M. Gornðten, I.M. Markovtð, S.A. Sovalov. Eest elektroenergeetkateadlastest tuleks esle tõsta Lembt Krumm, Olaf Ternot, Mat Valdmat... ARENGU VÕTMESUUNAD Mantud tendentsd ja sündmused koos kasvanud nõuetega taltluse kvalteedle on vnud mtmesugustele täendustele ja uuendustele. Tähtsamatena nendest võks nmetada järgms. Süsteemde töö koordneermne. Sageduse reguleermne ehk tänapäevasema nmetusega - võmsuse automaatreguleermne - võmaldab rahuldada süsteemde enda koormusvajadus ku kndlustada planeertud vahetusvõmsused. Selles valdkonnas on edukalt rakendatud klasskalst tagassdega reguleermsteoorat. Optmaalne taltlus. Taltluse optmeermse eesmärgks on tagada mnmaalsed tootmskulud antud ktsenduste puhul. Sellega tagatakse koormuse optmaalne jaotus elektrjaamade vahel, samut optmaalsed vahetusvõmsused süsteemde vahel. Tänu sellele kasutatakse maksmaalselt ökonoomsemate agregaatde eelsed, sõltumata nende omandusvormst. Tänu optmeermsele kasutavad kõk elektrettevõtted gal ajahetkel kõge ökonoomsemad agregaate. Ökonoomsus saavutatakse kogu ühendsüsteem ulatuses, mtte ükskute osade pres. Töökndluse montoorng. Enne 965. a avard prevaleers töökndluse arvestamne planeermse ja projekteermse staadums. Tagat vajalkud edastusvõmed, srdeprotsessde stablsus ja teatud töökndluse normd. Peale nmetatud avard tõstatat töökndluse sdushndamse vajadus. Süsteem töötab harva projekteermsel aluseks võetud tngmustes. Vallasplaneermsel pole võmalk arvestada kõkvõmalkke sündmus ja juhuslkke härngud. Sagel e kätu koormused vastavalt prognoosdele. Suhtelselt sagel tomub genereervate võmsuste, ülekandelnde ja trafode ettenägematud väljalülms. Töökndluse sdusmontoorng ehk nn härngukndluse analüüs annab pdeva ülevaate süsteem hetkeolukorrast, võmaldab ennustada potentsaalsete härngute tagajärg nng planeerda meetmed halbade tagajärgede ärahodmseks. Dspetðjuhtmse keskused. Töökndlaks juhtmseks tul luua dspetjuhtmssüsteem. Varem prdusd elektrettevõtted järelvaataja rollga, elektrjaamade ja alajaamade juhtmne tomus põhlselt kohapeal. Sellne juhtmsvs e võmaldanud süs- 4

6 . SISSEJUHATUS 5 teemset koordnatsoon nng tema efektvsus ol seega pratud. Ülesüsteemlne dspetðjuhtmssüsteem koos telemehaanka ja automaatse andmehõve (SCADA - Supervsory Control And Data Acquston) rakendamsega võmaldab automaatselt koordneerda juhtmsfunktsoone. Just dspetðjuhtmssüsteemd lõd võmalused taltluse optmeermseks, härngukndluse analüüsks, võmsuste automaatreguleermseks, avarde juhtmseks, lühajalseks prognoosmseks, ulatuslkuks andmevahetuseks, sesund estmeermseks, taltluse sdusjuhtmseks jne. Kõk need funktsoond on omavahel vastavalt koordneertud, moodustades kaasaegse elektrsüsteem taltluse ja selle juhtmse tausta. Herarhlne juhtmne. Elektrjaama, alajaama, võrguettevõtet vms pole võmalk täelkult juhtda dspetðkeskustest. Need allüksused vahetavad nfot keskdspetðtaltlusega anult sedavõrd, kuvõrd see on vajalk nende töö koordneermseks süsteem ülejäänud osadega. Herarhlsel juhtmsel on oma struktuur, reegld ja prangud. Keskdspetðer võb nõuda jaamade võmsuste ümberjagamst. Ühendsüsteem dspetðer võb anda soovtus võmsuste ümberjaotamseks, kuumreserv hodmseks jne. Soovtused pole aga süsteemdele kohustuslkud. Pdeva nfo, otsustuste ja juhtmssgnaalde vahetuse kägus kogu juhtmsprotsess häälestub ja harmonseerub reaalajas. Vaadeldud arengud ja täustused on tomunud põhlselt tänu saavutustele järgnevas kolmes valdkonnas: arvuttehnolooga kre areng sdesüsteemde areng moodsa juhtmsteoora ja tema rakenduste areng.3. JUHTIMISE JA TALITLUSE STRUKTUUR Süsteem taltluse juhtmse üldst struktuur llustreerb jn.. Andmehõve ja töötluse (SCADA) süsteemd koguvad taltlevast süsteemst nfot süsteem sesundte ja taltluse kulgemse kohta nng töötlevad seda kasutamseks kõlblkule kujule. Selle nfo põhjal hnnatakse taltluse kvalteet ja tehakse juhtmsotsused. Juhtmssgnaald antakse edas süsteemle, ms selle tulemusel muudab oma taltlust. Töötav süsteem Andmehõve ja töötlus Otsustamne ja juhtmne Joons. Süsteem taltluse juhtmse üldne struktuur 5

7 . SISSEJUHATUS 6 Otsustamne ja juhtmne Põhlsed otsustams- ja juhtmsülesanded normaaltaltluses, nende eesmärgd ja saavutamse teed on kokkuvõtlkult estatud tabels.. Tabel e hõlma avartaltluse juhtmst. Tuleb märkda, et mtte alat pole automaatjuhtmne soovtav võ vajalk. Paljudes olukordades on vajalk dspetðer vahelesegamne. Dspetðer teeb vajalkud otsused vastavalt juhtmseesmärkde prorteetdele, lähtudes taltluse tngmustest, lmastkust, kogemustest jne. Otsustamse ja taltluse juhtmse ülesanded Tabel. Ülesanne Eesmärk Info vajadus Abnõud Töö kvalteet Optmaalne töö Härngukndlus Süsteemne reguleermne Automaatreguleermne, sätete korrgeermne Operatvplaneermne ja jaotamne Katkematu tode, väkesed sageduse ja pnge fluktuatsoond Mnmaalne omahnd Maksmaalne katse juhuste vastu Nõudluse pdev jälgmne Majanduslke nätajate ja ressurssde jaotuse parandamne Võmsusvood, pnged, võrgu topolooga Võrgu, koormuste, jaamade andmed; kulufunktsoond Võmsusvood, pnged, jaamade andmed Jaamade dünaamlsed karakterstkud, vahetusvõmsuste jaotus Koormuste prognoosd, jaamade ja võrgu andmed Võmsuste ümberjaotamne, vahetusvõmsuste juhtmne Võmsuste ümberjaotamne, reaktvvõmsuste juhtmne Võmsuste ümberjaotamne, sesund korrgeermne Võmsuste jaotus jaamade ja agregaatde vahel Andmehõve ja -töötlus Otsustams- ja juhtmsfunktsoond ja nende tätmne sõltuvad suurel määral nfost n olevku ku ka mnevku ja tulevku kohta. Seejuures on vaja arvestada ka andmete ebakndlat seloomu. Põhlsteks andmehõve ja -töötlemse ülesandeks on andmehõve vastavate telemõõtmssüsteemde ja SCADA abl, võrgu skeem (topolooga) dentftseemne, süsteem sesund estmeermne ja halbade andmete töötlemne nng koormuste pronoosmne vt ka tab.5. 6

8 . SISSEJUHATUS 7.4. ELEKTISÜSTEEMI TALITLUSTE LIIGID JA JUTIMISE EESMÄRGID Elektrsüsteem taltluste lgtus on skemaatlselt estatud joonsel.3. Tabels.3 on estatud taltluste lgd, nende lühke seloomustus ja põhlsed eesmärgd nende juhtmsel. Taastav juhtmne Avartaltlus Avarjärgne taltlus Avarjuhtmne Härngu kndel normaaltaltlus Normaaltaltlus Mtte härngu kndel normaaltaltlus Krtlne taltlus Ülemnek tänu juhtmsele Ülemnek härngu tõttu Korrgeerv juhtmne Preventvjuhtmne Joons.3 Elektrsüsteem taltluste lgtus Tabel.3 Elektrsüsteem taltluste lgtus, seloomustus ja juhtnse eesmärgd Taltluse lk Lühke seloomustus Juhtmse eesmärk Normaaltaltlus härngukndel taltlus mttehärngukndel taltlus Krtlne (raskendatud) taltlus Avartaltlus Avarjärgne taltlus Kõk sesundparameetrd muutuvad suhtelselt aeglaselt lubatud pres Härngute puhul sälub normaaltaltlus Härngute puhul e sälu normaaltaltlus Sesundparameetrd muutuvad suhtelselt aeglaselt, kud üks võ mtu nest on väljunud lubatud prdest Sesundparameetrd muutuvad krest suurtes prdes Osa tarbjad võvad olla väljalültatud, süsteem töösse jäänud osa taltlus on normaalne Taltluse sere, optmeermne, totepdevuse tagamne Härngukndluse sältamne Härngukndluse taastamne Normaaltaltluse taastamne Rkke lokalseermne, avar laenemse vältmne, töötaltluse taastamne (automaatne) Normaalse härngukndla taltluse taastamne kogu süsteem ulatuses 7

9 . SISSEJUHATUS 8 Taltlust vaatleme, ku ajas kulgevat protsess - sesundte ajalst järgnevust. Seetõttu rakendatakse ülaltoodud lgtust ka sesundte kohta, rääkdes normaal-, krtlstest (e raskendatud), avar- ja avarjärgsetest sesundtest. Normaalsesundd võb jaotada omakorda härngukndlaks ja mttehärngukndlaks. Taltlust seloomustatakse sesundparameetrtega (pnged, pngevektorte nurgad, võmsusvood, voolud, koormused ja genereervad võmsused sõlmedes jne), ms muutuvad ülemnekul ühest sesundst tese, s.t taltluse kägus. Taltluse analüüsl rakendatakse reeglna ühe kndla ajahetke, s.t sesund analüüs (arvutamse) meetoded. Sõltuvalt sesundparameetrte muutumse krusest ja ulatusest lgtatakse taltlused ka püs- ja srdetaltlusteks. Püstaltlustes muutuvad sesundparameerd suhtelselt väkestes prdes ja suhtelselt aeglaselt. Püstaltluste hulka kuuluvad normaal-, krtlsed ja avarjärgsed taltlused. Elektrsüsteem vbb põhlse osa ajast püstaltluses. Kuna püstaltluses võb taltlusparameetrd suhtelselt pka aja jooksul lugeda küllaldase täpsusega konstantseks, ss sagel räägtakse püstaltluse analüüs asemel püssesund analüüsst. Srdetaltlus seloomustab parameetrte kre muutumne suurtes prdes. Srdetaltlustest pakuvad praktlst huv avartaltlused, ku raskemad. Avartaltluste kestus on suhtelselt lühke. Käesolevas kursuses vaatleme anult püstaltluse juhtmse ja analüüs ülesanded..5. PÜSITALITLUSTE ANALÜÜSI JA ANDMETÖÖTLUSE ÜLESANDED Andmehõvesüsteem abl saadud andmete töötlemseks ja saadud nfo alusel juhtmsotsuste tegemseks on vaja pdevalt lahendada mtmed taltluse analüüs ülesanded. Teatud tnglkkusega võb need jaotada andmetöötluse ülesanneteks, sesund (e jooksva taltluse) analüüs ülesanneteks ja teatud taltlusperood analüüs ülesanneteks. Käesolevas kursuses kästleme põhlselt kahte esmest tüüp ülesanded. Teatud taltlusperood ülesannete hulka tuleks lugeda elektrjaamade aktvvõmsuste, agregaatde koossesu ja remontde optmeermse ülesanded. Vmased kästletakse lähemalt elektrsüsteemde optmeermse kursuses. Kokkuvõtlku ülevaate põhlstest andmetöötluse ülesannetest annab tabel.4. Nende ülesannete põheesmärgks on ülejäänud analüüsülesannete varustamne vajalku lähtenfoga. Koormuse prognoos ülesanne kujutab endast koormuste ennustamst lähemaks võ kaugemaks tulevkuks. Ennetusaeg võb seejuures aga olla väga ernev - mõnekümnest sekundst mõne aastan ja projekteermse nng arengu planeermse ülesannetes seg mõnekümne aastan. Mudug kasutatakse ernevate ennetusaegade puhul ka ernevad prognoosmeetoded. Ülejäänud ülesanded kujutavad endast süsteemst laekuvate mõõtmsandmete ja sgnaalde töötlemst. Töötlemne tomub reeglna reaalajas (nn sdusanalüüs), s.t analüüstakse jooksvalt süsteemst laekuvat nformatsoon. Ssk on mõeldav ka retrospektvne analüüs, s.t varem laekunud ja salvestatud andmete hlsem vallasanalüüs. 8

10 . SISSEJUHATUS 9 Sesundanalüüs põhlste meetodte ülevaade on toodud tabels.5. Nende ülesannete, v.a taltluse sere, seloomulkuks jooneks on, et nad on ssulselt planeermsülesanded, kus lähteandmed saadakse mtte otsestest mõõtmstest vad antakse teatud eeldustel ette. Ka sn võb ennetusaeg olla väga ernev sõltuvalt sellest, kas lahendatakse jooksva ja lühajalse perspektvga taltluse probleeme võ projekteermse nng arengu planeermse ülesanded. Andmehõve ja -töötluse ülesanded Tabel.4 Ülesanne Võrgu topolooglne analüüs Sesund estmeermne Halbade andmete töötlemne Koormuste lühajalne prognoosmne Vajalkud nsenerlkud teadmsed Matemaatlsed vahendd SCADA, võrgu mudeld Topolooglne analüüs SCADA, mõõtmste täpsus, võrgu mudeld Halbade andmete allkad, vgade prd Prognoosmse ja lmastku mudeld Maatrksanalüüs, mttelneaarsete võrrandte lahendamne, vähmruutude meetod, tõenäosuslkud meetodd Hüpoteesde testmne, jäme hndamne Aegrdade analüüs, tõenäosuslkud ja statstlsed meetodd Elektrsüsteem sesundte analüüs põhülesanded Tabel.5 Ülesanne Taltluse sere Püssesund arvutus Püssesund optmeermne Härngukndluse analüüs Vajalkud nsenerlkud teadmsed Tehnlsed (soojuslkud ja stablsuse- nng kvalteedalased) ktsendused Võrgu võrrandd, tehnlsed ktsendused, võrgu ekvvalenteermne Kadude arvutus, jaamade kulukarakterstkud Võrgu võrrandd, tehnlsed ktsendused, võrgu ekvvalenteermne Matemaatlsed vahendd Maatrksanalüüs, mttelneaarsete võrrandte lahendamne, hõredate maatrkste tehnka Lneaarne ja mttelneaarne planeermne Tundlkkuse analüüs, maatrks nversoon lemma Tänu arvutustehnka võmsuse kasvule ja arvutusmeetodte täustumsele lahendatakse tänapäeval ka planeermsülesanded praktlselt reaalajas, s.t vallasarvutustena, kuna ennetusajad on sagel juba alla mnut, seda ert härngukndluse analüüsl, aga ka taltluse jooksval optmeermsel. 9

11 . SISSEJUHATUS 0.6. TÄHISED JA KOKKULEPPED Käesolevas kursuses eeldame üldselt snusodaalset sümmeetrlst taltlust, ms võmaldab rakendada ühe faas kohta kävad arvutus ja ühejoonels skeeme. Tulemused on laendatavad kõgle kolmele faasle. Avaldste lhtsustamseks kasutame edaspdstes seostes tegelkest vooludest 3 korda suuremad harude ja sõlmede voole. Skalaarsuurused - väkesed vō suured tähed: U, I, x, y jne Vektord väkesed rasvased tähed: h, x, y, u jne Maatrksd suured rasvased tähed: Y, G, B, J jne Komplekssuurused ja -maatrksd U, I, x, y, h, Y, Z jne Kaaskomplekssuurused U * * * *, I, h, Y jne T T * T Transponeertud vektord, maatrksd h, Y,( Y ) jne Ühkmaatrks, nullmaatrks vastavalt I, 0 Takstused z = r + jx, Z = R + jx Seejuures x > 0, x < 0 L C Sn ja edaspd ndeks L tähstab nduktvse, ndeks C aga mahtuvuslku seloomuga suurus. Juhtvused y = g + jb, Y = G + jb r jx Kuna y = = = = z r + jx ( r + jx )( r jx) ss b < 0, b > 0 L C r r + x + j r x + x Võmsused S = P + jq = U I S S Seega U =, I = * I U Seejuures genereervad võmsused: Q Võmsuse njektsoon * * * LG > 0, Q < 0 CG S = S S = P P + j( Q + Q ) G K G K G k Sn ndeks G tähstab genereervat võmsust, ndeks K aga koormusvõmsust. 0

12 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID. ELEKTRIVÕRGU VÕRRANDID Elektrvõrgu sesundte (taltluse) arvutused nõuavad võrgu estust matemaatlse mudelna. Sellseks mudelks on elektrvõrgu võrrandd, ms koostatakse võrgu ekvvalentse aseskeem kohta... ELEKTRIVÕRGU ASESKEEM Elektrvõrgu aseskeem koostatakse tema elementde aseskeemdest, ms ühendatakse vastavalt nende elementde tegelkule omavahelsele ühendusele vaadeldaval hetkel. Seega on võrgu aseskeem määratud tema elementde aseskeemdega ja aseskeemde parameetrtega nng võrgu topoloogaga. Elektrvõrgu elemendd võb jaotada passvseteks ja aktvseteks. Põhlsteks passvseteks elementdeks on elektrlnd, trafod, põkreaktord ja -kondensaatorpatared.vahel võb võrk ssaldada ka sellsed elemente, nagu pkreaktord ja -kondensaatorpatared, alalsvoolu ülekanded muundusjaamadega jm. Aktvseteks elementdeks on genereervad allkad generaatord ja sünkroonkompensaatord nng koormused. Aktvsed elemente nmetatakse ka njektsoondeks. Enamkes püstaltluse arvutustes eeldatakse kolmefaaslse süsteem sesund sümmeetrlseks ja sesund parameetrd snuselselt muutuvaks. See võmaldab kolmefaaslse süsteem analüüsl prduda ühe faas suurustega nng estada süsteem ühejoonelse aseskeemna. Tulemused on laendatavad kõgle kolmele faasle.... Elektrlnde aseskeemd Elektrln estatakse tavalselt Π-kujulse aseskeemna (vt jn.), mlle parameetrd arvutatakse alljärgnevalt. Pkjuhtvus kus g = r y = g + jb = z r + x = r + jx ; b = - r x + x (-) (-)

13 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID 3 y = z y 0 y 0 Joons. Elektrln Π-kujulune aseskeem Põkjuhtvus y = y = g jb 0 (-3) Enamast on elektrlnde aktvpõkjuhtvus väga väke, s.t g0 0. Erandks võvad olla koroonakadusd arvestavad aktvpõkjuhtvused pngetel üle 0 kv. Ssk arvestatakse koroonakadusd tavalselt aktvvõmsuse njektsoondena (koormustena) ln otstes. Põkreaktvjuhtvus on mahtuvuslku seloomuga, s.t b > 0. 0 Üldjuhul: z = r 0 + j ω L 0 g + jωc 0 0 snh( γl) = z snh( γl ) (-4) L y = g + j ω C 0 r + jωl l ( ) l tanh γ = tanh( γ ) (-5) z L kus r 0 + jω L0 klomeetrlne nävtakstus g 0 + jω C0 klomeetrlne põkjuhtvus l ln pkkus klomeetrtes γ levtegur γ = (r 0 + jωl 0 )(g 0 + jωc 0 ) (-6) z L lanetakstus Ku ln pkkus l < 300 km ss psava täpsusega z = ( r + jωl ) l 0 0 y = ( g j C l ω 0 ) (-7)

14 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID 4 Keskpngelnde (pngega U N 35 kv ) võ lühkeste lnde (pkkustega l < 50 km) põkjuhtvused võb tavalselt jätta arvestamata. Öeldu e pruug kehtda kaabellndele. Ülpkkades lndes pkkusega üle km tuleb ssk arvestada parameetrte jaotatud seloomu. Selleks estatakse sellsed lnd mtme Π-kujulse lülna, mllest gaüks estab km pkkust lnlõku.... Trafode aseskseemd Varasemas arvutuste praktkas, ert kästs arvutustel taandat mtme pngega võrk eelnevalt ühele pngeastmele. Sellsel juhul estat trafo Γ-kujulse aseskeemga (jn.). Aseskeem parameetrd y ja y letakse trafo nmandmete alusel (vt elektr- T 0 y T võrkude kursus). U y 0 Joons. Kahemähselse trafo Γ-kujulne aseskeem K y T I I U Kuna arvutusel ühele pngeastele taandamsega on rda puudus (täendavad arvutused, väksem täpsus, raskused mttenomnaalsete ja kompleksete ülekandesuhetega jm), ss tänapäevaste arvutuste praktkas seda e kasutata vad arvutus soortatakse reaalsete pngetega. Sellsel juhul tuleb aseskeem lsada deaalne trafo ülekandesuhtega (jn.3): K = U U Tavalselt on ülekandesuhe K reaalne, kud põkreguleermsega trafodel on ta kompleksne. y 0 Joons.3 Kahemähselse trafo Γ-kujulne aseskeem deaalse trafoga Sagel soovtakse saada aseskeem, ms e ssalda deaaltrafosd. Sel juhul tuleb aseskeem joonsel.3 asendada ekvvalentse Π-kujulse aseskeemga (jn.4), ms arvestab ka trafo ülekannet. Avaldame selle aseskeem parameetrd Γ- kujulse aseskeem parameetrte kaudu. I U U K y K y K U y K * = ( ) = U T T T I = ( U U K ) y + U y = y KU + ( y + y ) U T 0 T T 0 (-8)

15 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID 5 U U y I I y 0 y 0 ehk: I I Joons.4 Kahemähselse trafo Π-kujulne aseskeem y K y K T T = y K y + y T T * 0 U U (-9) Tesest küljest, joonselt.4 saame I = y U + ( U U ) y = ( y + y ) U y U 0 0 I = ( U U ) y + U y = y U + ( y + y ) U 0 0 (-0) ehk I I y + y y = y y + y 0 0 Seega saame seostest (-9) ja (-) y y = y K T = y K T y = y K * ( K ) 0 T y = y ( K ) + y * 0 T 0 U U (-) (-) Seosest (-) on näha et joonsel.4 kujutatud aseskeem saab rakendada anult reaalse ülekandesuhtega (s.t lma põkreguleermsega) trafodele, sest anult ss y = y ja aseskeem omab reaalset füüskalst ssu. Sel juhul y y 0 = y K T = y K( K ) T y = y ( K ) + y 0 T 0 (-3)

16 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID 6 Põkreguleermsega trafode puhul tuleb kasutada fktvset aseskeem, mlle pkjuhtvus sõltub sellest, kumbalt poolt trafot vaadata, s.t y y vt (-). Mõnevõrra testsugused avaldsed saame põkjuhtvustele, ku trafo magneetmsahel on estatud deaalse trafo ja pkjuhtvuse vahel: y = y K( K ) + y K 0 T 0 y = y ( K ) 0 T (-4) Kolmemähselsed trafod (s.h autotrafod) estatakse tavalselt kolmeharulse tähena vt jn.5. U K 3 = U 3 / U Y Y Y 3 U 3 U K3 = U 3 / U Y 0 a) Y 0 U Y 4 Y 34 U U 3 Y 4 Y 0 Y 40 Joons.5 Kolmemähselse trafo tähekujulne aseskeem a) - deaalsete trafodega, b) - lma deaalsete trafodega Ideaalsete trafodega aseskeem (jn.5, a) parameetrd letakse trafo nmparameetrte alusel elektrvõrkude kursuses vaadeldud valemte järg. Ilma deaalsete trafodeta aseskeem (jn.5, b) parameetrd letakse samut, ku kahemähselste trafode puhul. Ka sn omab vmane aseskeem füüskalst ssu anult reaalsete ülekandesuhete puhul, vastasel korral on tegemst puhtmatemaatlse mudelga, mllel puudub füüskalne ekvvelent. b)

17 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID Pk- ja põkmahtuvused ja -reaktord Pk- ja põkmahtuvus ja põkreaktored kasutatakse elektrvõrkudes pnge reguleermseks, pkreaktored aga lühsvoolude pramseks. Üldselt pole püssesund arvutusel teada, kas kondensaatorpatared ja põkreaktord on ssse- võ välja lültatud see sõltub pngere?mst. Seetõttu saadakse tulemus tavalselt teratvsel teel. Põkmahtuvused võ -reaktord estatakse aseskeems põkjuhtvusena, kusjuures tavalselt võetakse aktvjuhtvus võrdseks nullga, s.t Y = 0 + jb (-5) 0 0 kusjuures QN b0 = (-6) U N kus Q N kondensaatorpatare (Q > 0) võ reaktor (Q < 0) nmreaktvvõmsus U N võrgu nmpnge Pkmahtuvused ja -reaktord estatakse aseskeems pkjuhtvustena, mlle aktvjuhtvus võetakse tavalselt samut võrdseks nullga, reaktvjuhtvus aga kondensaatortel: ja reaktortel: y y k = r ωc 0 6 (-7) 3I N = 00 U x N r% kus C kondensaator mahtuvus, µf x r% reaktor reaktants protsentdes U N, I reaktor nmpnge ja -vool N..4. Aktvsete elementde estamne aseskeems Genereervad allkad - generaatord ja kompensaatord (-8) Püssesunds generaator genereerb teatud koguse aktvvõmsust P G (sünkroonkompensaator aga tarbb kadude jao) antud pngel U G (ms vastab automaatse pngeregulaator APR sättele). Generaator (kompensaator) toodab võ tarbb (sõltuvalt ergutuse nvoost) ka reaktvvõmsust Q. Üldjuhul estatakse elektrjaam võ ja sünkroonkompensaator aseskeems njektsoonna, mlle jaoks on teada (s.t antud) aktvvõmsus P G ja pnge moodul U vt jn.6. G

18 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID P G Q + G, QG U Jn..6 Generaatorsõlme (elektrjaama võ sünkroonkompensaator) estamne aseskeems P G on generaatortele määratud aktvkoormuse optmaalse jaotuse ülesande lahendga, sünkroongeneraatorele on aga P G võrdne aktvvõmsuskadudega kompensaators (s.t P G < 0). Vaadeldavas sõlmes on tundmatuks (otstavateks) pnge nurk δ ja reaktvvõmsus Q G, ms on vajalk antud pngemoodul U kndlustamseks. Et tagada arvutustulemuste lubatavus, peab arvutatud Q G rahuldama tngmust G G G Q Q Q (-9) kus QG, QG genereertava reaktvvõmsuse mnmaalne ja maksmaalne võmalk väärtus (s.t genereertava reaktvvõmsuse tehnlsed prd). Sellselt estatud genereervate allkatega sõlm nmetame edaspd generaatorsõlmedeks e PU-sõlmedeks. Erandjuhtudel võvad väkese võmsusega elektrjaamad (nt väke koostootmsjaam, väke jõevoolu HEJ jms) olla estatud antud aktvvõmsusega P G ja reaktvvõmsusega Q G. Otstavaks on sel juhul pnge nurk δ ja pnge moodul U. Sellselt estatud genereervate allkatega sõlm nmetame edaspd tnglkult koormussõlmedeks nende analooga tõttu sõlmedega, kus on antud koormus (vt allpool). Elektrvõrgu arvutusel peab võrgus olema alat üks nn balanssõlm - sõlm, mlle ssendvõmsust juhtakse n, et see võrduks kõg ülejäänud sõlmede võmsuste ja võrgu aktvvõmsuskadude summaga. Reaalses süsteems on sellseks sõlmeks sagedust võ vahetusvõmsust reguleerva elektrjaama latd, jaotusvõrgu arvutustel aga totealajaama latd. Sellses sõlmes on aktvvõmsus P G otstavaks. Samut tuleb mstahes võrgu (süsteem) arvutusel valda üks nn baassõlm, mlle pngevektor fkseertud faasnurga suhtes mõõdetakse ülejäänud sesundmuutujate vektorte nurk. Kuna nmetatud faasnurga fkseertud väärtuse võb valda meelevaldselt, on kõge mugavamaks väärtuseks δ b = 0. + Tavalselt balanssõlm ja baassõlm ühtatakse sel juhul nmetatakse sellst sõlme tugsõlmeks. Seega on tugsõlmes antud suurusteks pnge nurkδ b ja moodulu b ehk tessõnu - kompleksne pnge U b nn baaspnge. Otstavateks on tugsõlmes genereertav aktvvõmsus P b (ms kndlustab võmsuste balans) ja reaktvvõmsus Q b (ms tagab etteantud pngenvoo). Ühtlas peavad olema etteantud ka reaktvvõmsuse tehnlsed prd Qb, Qb. Aktvvõmsuse pre reeglna e anta, kuna tugsõlmeks valtakse tavalselt psava aktvvõmsusvaruga sõlm, et tagada võmsuste balanss.

19 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID 9 Põhmõttelselt võb võrgus olla ka tes sõlm, ms osalevad aktvvõmsuste balansseermsel. Nendes sõlmedes peab sel juhul olema antud pnge nurk nng reeglna on antud ka pnge moodul. Sellsed sõlm nmetatakse üldselt jäksõlmedeks. Käesolevas kursuses ssk üldselt sellste sõlmede olemasolu e eeldata. Nagu näeme, osaleb aktvvõmsuse balansseermses anult tugsõlm, reaktvvõmsuse balansseermses aga n tugsõlm ku ka ülejäänud genereervad sõlmed. Märkgem, et stablsuse analüüsl tuleb arvestada ka pnget tõstvat trafot. Püstaltluse arvutustel mudel lhtsustub, kuna genereerva allkana võb vaadelda elektrjaama ülempnge poolelt võrku ssenevat võmsust. Koormused P K, Q K Koormused estatakse aktv- ja reaktvvômsuse njektsoondena P K ja Q K kas konstantsetena vô staatlste karakterstkute kaudu: PK ( U ) ja QK ( U ). Koormused saadakse prognoosmse teel. Kokkuvõte Joons.6 Koormussõlme estamne aseskeems Ku sõlmes esneb üheaegselt n genereerv ku koormusvõmsus, ss aseskeems estatakse sellne sõlm võmsuse njektsoonna, kusjuures P = P P G K Q = Q Q G K (-0) Ku sõlmes on antud pnge moodul, jääb otstavaks Q G ja seega ka Q nng tegemst on generaatorsõlmega (võ tugsõlmega). Sel juhul reaktvvõmsuse ktsendused rakenduvad võmsusele Q ja need võtavad kuju: + G K G K Q Q Q Q Q (-) Lõpuks mangem, et aseskeems esneb ka sõlm, kus puudub n genereermne, ku koormus. Sellsed sõlm nmetatakse passvsõlmedeks. Tnglkult võme sellsed sõlm vaadelda ka, ku koormussõlm, sest ka nendes on antud n aktv- ku reaktvvõmsus: P = 0, Q = 0, otstavaks on aga pnge moodul ja nurk. Otstavateks on sn pnge moodul U ja nurk δ. Sellsed sõlm (s.h tnglkult ka genereervate allkatega sõlm), kus antud on aktv- ja reaktvvõmsus, otstavaks aga pnge nurk ja moodul, nmetame edaspd koormussõlmedeks. Ühendades võrgu elementde aseskeemd vastavalt võrgu skeemle nng tehes vajalkud lhtsustused (rööpjuhtvuste kokkultmne, njektsoonde ledmne sõlmedes jne), saadakse elektrvõrgu aseskeem, ms koosneb sõlmedest ja ned ühendavatest harudest nng njektsoondest sõlmedes. Harusd sõlme ja maa vahel n-

20 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID 0 metame põkharudeks, harusd sõlmede vahel aga pkharudeks. Kokkuvõte aseskeem sõlmede tüüpdest on toodud tabels.3. Elektrvõrgu aseskeem sõlmede tüübd Tabel. Sõlme tüüp Iseloomustus Antud Otstavad Generaatorsõlm e PU-sõlm Elektrjaamad, reaktvvõmsuse allkad P, U, Q +, Q δ, Q Tugsõlm (n baas- ku balanssõlm) Sagedust võ vahetusvõmsust reguleerv jaam, jaotusvõrgu totealajaam δ b = 0,U b Q + b, Q b P b, Q b Koormussõlm e PQ-sõlm Koormused, väkesed elektrjaamad P, Q võ P ( U ), Q ( U ) δ, U Passvsõlm Puudub n koormus ku genereermne (ssulselt koormussõlm) P = 0, Q = 0 δ, U Jäksõlm Sageduse võ vahetusvõmsuse reguleermses osalev jaam, jaotusvõrgu totealajaam (käesolevas kursuses e vaatle) δ Q,U +, Q P, Q.. ELEKTRIVÕRGU SKEEMI NUMBRILINE ESITUS Efektvsete arvutprogrammde koostamsel on olulne topolooglste struktuurde, s.h võrgu skeem ratsonaalne estamne. Mtmesugused nformatsoonlsed struktuurd ernevad vajalku mälu mahult ja töötlemskruselt. Ideaalsed on struktuurd, ms kndlustavad n mnmaalse mäluvajaduse ku mnmaalse arvutusaja. Ssk on reeglna need nõuded vastuolulsed ja üldjuhul tuleb teha teatud kompromss nende krteerumte vahel. Üheks võrgu graaf numbrlseks estamse võmaluseks on sdumaatrksd (e ühenduste maatrksd). Kug vmastel on oma osa maatrksanalüüsl, pole arvutprogrammdes nende kasutamne efektvne. Efektvsemaks mooduseks on elektrvõrgu konfguratsoon estamne suunatud graafna kahe järjestatud hulga abl nmelt harude algussõlmede ja lõppsõlmede hulkadega R a ja R l ehk tessõnu harude algus- ja lõppsõlmede tabelna. Seejuures on programmde kasutajatele harude suundade ja sõlmede numbrte valk põhmõttelselt meelevaldne. Vajalk numeratsoon võ orentatsoon korrastamne (järjestkuste numbrte omstamne, numeratsoon optmeermne jms) tomub automaatselt programm sseselt.

21 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID Hulgad R a ja R l (s.t harude algus- ja lõppsõlmede tabel) estavad võrgu skeem üheselt ja ssaldavad seega psavat nfot võrgu topolooga kohta. Ssk on arvutuste efektvsuse tõstmse huvdes seda nfot soovtav täendada sõlmede nn sõlmeümbrustega ja/võ haruümbrustega. Sõlme sõlmeümbruseks ü() nmetatakse sõlmega vahetult ühendatud (s.t ntsdentsete) sõlmede hulka. Analooglselt nmetatakse sõlme haruümbruseks h() sõlmega vahetult ühendatud (s.t ntsdentsete) harude hulka. Reeglna psab anult üht tüüp ümbrustest. Edaspd peame sõlme ümbruse ü() all slmas eelkõge sõlmeümbrust. Ümbrused sältatakse arvut mälus tavalselt kahe lneaarse massvna. Esmeses antakse sõlmenumbrte järjekorras nende ümbrused (s.t vastavad hulgad), teses aga ga ümbruse esmese elemend aadress esmeses massvs. Teses võb anda ka sõlmede valentsd. Sõlme valentsks nmetame selle sõlmega vahetult ühendatud (ntsdentsete) sõlmede (võ harude) arvu. Sõlmede ümbrused moodustab arvutusprogramm automaatselt harude algus- ja lõppsõlmede tabel alusel. Ümbruste massvd nõuavad küll teatud täendavat mälumahtu, kud nende poolt loodud nfolgsus võmaldab märgatavalt tõsta programmde efektvsust. Vahel on otstarbekas kasutada spetsaalsed struktuure radaalskeemde (ka graaf puude) ratsonaalseks estamseks ms kasutavad radaalskeemde omadus töötlemse efektvsuse tõstmseks. Üheks sellseks efektvseks struktuurks on radaalse skeem estamne läbõmmeldud bnaarse graafna..3. ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID.3.. Sesund põhparameetrd ja võrguvõrrandd Elektrvõrgu ülesannete lahendamsel võb sesundparameetrd jagada, sõltuvalt lahendatavast konkreetsest ülesandest: sõltumatuks e antuteks; sõltuvaks e otstavaks. Sõltuvate parameetrte koosses oleneb samut lahendatavast ülesandest ja võb üldjuhul olla väga suur (pngete mooduld ja nurgad, aktv- ja reaktvvõmsusvood elementde alguses ja lõpus, voolud elementdes, aktv- ja reaktvvõmsuskaod elementdes, pngelangud elementdes jne). Ssk võb sõltuvate parameetrte hulgast erstada teatud parameetrd, ms on arvutatavad anult elektrvõrguvõrrandte süsteem lahendamse teel. Nmetame ned edaspd sesund põhparameetreks. Teades põhparameetred, on kõkvõmalkud muud sõltuvad paremeetrd arvutatavad lhtsate, elektrotehnkast tuntud seoste (Ohm seadus, Krchoff seadused jne) abl. Seega on enamku võrguülesannete lahendamsel põhprobleemks sesund põhparameetrte arvutamne. Vmaste koosses sõltub lahendamseks valtud võrguvõrrandtest (ja ka vastupd - põhparameetrte valk määrab võrguvõrrandd).

22 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID Tänapäeval on üldlevnud võrguvõrrandteks sõlmepngevõrrandd (edaspd - sõlmevõrrandd) ja sellele vastavalt on sesund põhparameetrteks pngete mooduld ja nurgad sõlmedes. Võrreldes sõlmepngevõrranded teste laalt tuntud võrrandtega - kontuurvoolude võrrandtega (edaspd - kontuurvõrrandd), on esmestel palju eelsed: Põhlne lähtenfo (koormused, genereervad aktvvõmsused, pnge mooduld) on antud sõlmede, mtte kontuurde jaoks. Sõlmevõrrandte kasutamsel krjeldab võrku sõlmejuhtvuste maatrks, ms võrgu antud konfguratsoon puhul on koostatav üheselt. Kontuurvõrrandte puhul krjeldab võrku kontuurtakstuste maatrks, ms pole üheselt määratud, vad sõltub sõltumatute kontuurde valkust. Skeem muudatuste puhul on sõlmejuhtvuste maatrks modftseermne väga lhtne, kontuurtakstuste maatrks tuleb aga koostada uuest. Sõlmevõrrandte kasutamsel on lhtne arvestada trafode mttenomnaalsed ülekandesuhted, kontuurvõrrandte puhul on see palju keerukam. Põkjuhtvuste arvestamne e muuda sõlmevõrrandte arvu, küll aga põhjustab ga põkjuhtvus täendva kontuurvõrrand lsandumse. Mantud põhjustel vaatleme edaspd anult sõlmevõrranded..3.. Sõlmevõrrandte tuletamne Tuletame sõlmevõrrandd kahes etaps. Esmesel vaatleme lhtsat kahe sõlmega süsteem ja ss üldstame tulemused mtme sõlmega võrgule. Vaatame kahesõlmelst süsteem joonsel.7. P G + jq G U ~ y j j U j jb C P K + jq P + jq K jk jk Koostame toodud süsteem aseskeem: Joons.7 Kahesõlmelne süsteem

23 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID 3 P G + jq G U = U δ y = g + b j j j j U j = U j δ j PK + jq PjK + jq jb C K g + b g + b 0j 0j 0j 0j jk Joons.8 Kahesõlmelse süsteem aseskeem Lhtsustame toodud skeem: P + jq P j + jq j U = U δ g + jb 0 0 y = g + b j j g j + jb j0 j0 U j j = U j δ j Joons.9 Kahesõlmelse süsteem lhtsustatud aseskeem Sn P + jq = P P + j( Q Q ) G K G K P + jq = P jq g g j j jk jk g0j b0j + b = + j( + bc ) 0 0 g0j b j b 0 + j = + j0 0 j Sõlmevõrrandd voolude balans kujul Tuletame kõgepealt toodud süsteemle sõlmevõrrandd voolude balans kujul. Krjutame sõlme jaoks välja Krchoff esmese seaduse: I J = 0 j ü ( ) j ehk I = J j j ü ( ) (-) Sn J sõlme nn sõlmevool

24 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID 4 S ' " P jq J = J + jj = = U U ju * * ' " (-3) Sn tähs ü( ) tähstab kõg sõlmega ühendatud sõlmede hulka, s.t sõlme ümbrust. Joonselt.9 saame I + I = J j 0 ehk ( U U ) y + U y = J j j 0 Avades sulud ja ümber korrastades, saame: ( y + y ) U y U = J j 0 j j Tähstame nn sõlmejuhtvused Y j = y sõlmede ja j vastastkune juhtvus j Y = y + y j 0 sõlme omajuhtvus Ss saame vaadeldava kahesõlmelse võrgu sõlmevõrrand -da sõlme jaoks Y U + Y j U j = J (-4) Analooglse võrrand saame ka sõlme j jaoks Y ju + Y jju j = J j (-5) Võrrandd (-3) ja (-4) ong vaadeldava võrgu sõlmevõrrandd. Üldstame nüüd toodu mstahes võrgule. Sel juhul on mstahes -s sõlm ühendatud paljude sõlmedega, ms moodustavad sõlme ümbruse ü(). Seega võme kogu võrgu jaoks krjutada Y U + Y Y U + Y U + Y U Y U = J (-6) + + n n =,..., n kus n - sõlmede arv võrgus Võrrandd (-6) võme ümber krjutada maatrkskujul YU = J (-7) kus Y = G + jb - sõlmejuhtvuste maatrks U, J - vastavalt sõlmepngete ja sõlmevoolude vektor Seejuures

25 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID * * d J = ( U ) S ( U ) kus U d sõlmepngete dagonaalmaatrks 5 (-8) Nagu näeme, on sõlmejuhtvuste maatrks elementdeks sõlmede ja j vastastkune juhtvus nende sõlmede vahelse haru juhtvus vastasmärgga: Y = y. Ku sõlmede ja j vahel haru puudub, ss Y j = 0 j j sõlme omajuhtvus - kõg sõlmega ühendatud harude (k.a põkharud) juhtvuste summa: Y = y = y sn, j =,...,n Sõlmevõrrandd võmsuste balans kujul j j j ü ( ) j= 0 n Tänapäevastes rakendustes on laaldaselt kasutusel sõlmevõrrandd võmsuste balans kujul. Tuletame need kõgepealt jn.8 toodud kahesõlmelse süsteem jaoks. Selleks korrutame võrrand (-4) mõlema poole kaaskompleks pngega U ehk U ( Y U + Y U ) * = U J * = S (-9) j j * * * * * j j U ( Y U + Y U ) = U J = S (-30) Avame sulud ja estame võrrands (-30) komplekspnged trgonomeetrlsel kujul ehk * U Y +U U Y * (cosδ + j sn δ )(cosδ j sn δ ) =P + jq (-3) j j j j [ δ δ δ δ δ δ δ δ ] U Y * + U U Y * (cos cos + sn sn ) + j (sn cos cos sn ) = P + jq j j j j j j (-3) Võrrand (-3) lhtsustub ku mnna pngevektorte nurkadelt δ, δ üle vektorte vahelstele nurkadele δj = δ δ j (-33) Nmelt on trgonomeetrast teada cosδ cosδ + snδ snδ = cosδ j j j snδ cosδ cosδ snδ = snδ j j j Arvestades (-34), saame võrrand (-3) asemel j (-34) * U Y + U U Y * (cosδ + j sn δ ) = P + jq (-35) j j j j Estame kompleksjuhtvused algebralsel kujul U ( G jb ) + U U ( G jb )(cosδ + j sn δ ) = P + jq (-36) j j j j j ehk, avades sulud, saame

26 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID [ δ δ δ δ ] U ( G jb ) + U U ( G cos + B sn ) + j ( G sn B cos ) = P + jq j j j j j j j j j 6 (-37) Võrrand (-37) ong kompleksne sõlmevõrrand võmsuste balans kujul vaadeldud kahesõlmelse süsteem sõlme jaoks. Analooglse võrrand võb krjutada ka sõlme j kohta [ δ δ δ δ ] U ( G jb ) + U U ( G cos + B sn ) + j ( G sn B cos ) = P + jq j jj jj j j j j j j j j j j j Kompleksvõrrand (-37) on sobv estada kahe reaalse võrrandna ja j j j j j P = U G + U U ( G cosδ + B sn δ ) (-38) j j j j j Q = U B + U U ( G snδ B cos δ ) (-39) Üldstades toodud võrrandd n sõlmega süsteemle, saame sõlmepngevõrrandd võmsuste balans kujul mstahes süsteem jaoks j j j j j j ü ( ) P = U G + U U ( G cosδ + B sn δ ) (-40) j j j j j j ü ( ) Q = U B + U U ( G snδ B cos δ ) (-4) =,..., n Vahel kasutatakse lühendatud krjutusvs, tuues ssse täendavad tähsed T = G cosδ + B j j j j j V = G snδ B snδ cosδ j j j j j Kasutades ned tähsed, saame (-40) ja (-4) asemel j j j ü ( ) P = U G + U U T j j j ü ( ) Q = U B + U U V (-4) (-43) Meenutame, et juhtvused toodud seostes on üldstatud juhtvused, s.t sõlmejuhtvused mtte aga tegelkud juhtvused. Vmaste kasutamsel tekvad mõnngad märkde ernevused nng võrrandd (-40) ja (-4) võtavad kuju j j j j j j ü ( ) P = U g U U ( g cosδ + b sn δ ) (-44) j j j j j j ü ( ) Q = U b U U ( g snδ b cos δ ) (-45)

27 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID 7.4. HÕREDUSTEHNIKA ELEMENTE.4.. Hõredad maatrksd ja hõredustehnka Paljudel teaduse ja tehnkaaladel tuleb lahendada ülesanded, ms matemaatlselt on krjeldatud lneaarse võrrandsüsteemga ja kus samas mtte kõk elemendd pole omavahel vahetult seotud. Sellse võrrandsüsteem kordajate maatrks ssaldab hulgalselt nulle ja ned nmetatakse hõredateks maatrksteks. Hõreda kordajate maatrksga võrrandsüsteem võb vaadelda, ku mng võrgu mudelt. Ka vastupd - gasugust võrku võb krjeldada hõreda maatrksga võrrandsüsteem abl. Maatrks hõredustegurks k h nmetatakse tema nullste elementde arvu suhet elementde koguarvu nullste elementde arv k h = (-46) elementde koguarv Paljud võrguülesanded on seloomustatud suurte mõõdetega - võrrandte arvud võvad ulatuda tuhandetesse. Sellste ülesanntete lahendamsega seotud arvut mälu ja arvutusaja suurt kulu võmaldab efektvselt vähendada hõredate maatrkste omapära kasutamne e nn hõredustehnka. Ka elektrvõrgu ülesanded seloomustab suur hõredus. Näteks on sõlmejuhtvuste maatrks Y mttenullste (kompleksete) elementde arv k mn kmn = n + m = n + (... ) n 4n (-47) kus n, m - vastavalt sõlmede ja harude arv võrgus N näteks ssaldab saja sõlmega võrgu (s.t n = 00) sõlmejuhtvuste maatrks anult 4% mttenullsed elemente, tuhande sõlmega (n = 000) võrgu oma aga anult 0,4%! Hõredustehnka rakendamne arvutprogrammde koostamsel võmaldab: olulselt kokku hoda arvut mälumahtu, kuna mälus hotakse anult mttenullsed elemente; olulselt vähendada arvutusaega tänu asjaolule, et pole vaja soortada trvaalsed tehted nulldega; olulselt krendada andmete ülekande aega, kuna ülekandmsele kuuluvad anult mttenullsed elemendd; estada maatrksed faktorseertud (e nn multplkatvsel) kujul, ms võmaldab olulselt tõsta arvutuste efektvsust - töö krust väkese mälu vajaduse juures. Tuleb arvestada, et hõredustehnka rakendamne muudab keerulsemaks arvutuste algortmd ja seega programmeermse, kuna tuleb rakendada hõredate maatrkste pakkmse võtted. Seda puudust e tule lugeda olulseks tööstuslke programmde

28 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID 8 puhul, küll aga võb saada määravaks ühekordse kasutusega (võ väga harva kasutatavate) programmde koostamsel..4.. Lneaarvõrrandsüsteemde lahendamne Paljud võrguülesanded on seotud suurte lneaarvõrrandsüsteemde Ax = b (-48) lahendamsega. Tänapäeval on sel eesmärgl kasutusel mtmesugused otsesed meetodd, ms võb lgtada järgmsse kolme grupp. Gauss ellmneermse meetod (ja selle modfkatsoond) sesneb otstavate x süstematseertud ellmneermses, kun jääb alles üks ühe tundmatuga võrrand. Selle lahendamsega algab nn tagaskäk, mlle kägus letakse kõk ülejäänud otstavad. Meetod on efektvne võrrand (-48) ühekordsel lahendamsel. Sagel on aga vaja lahendada võrrandt (-48) korduvalt ühe ja sama koefftsentde maatrks A ja ernevate vabalkmete vektor b puhul. Sel juhul pole Gauss meetod efektvne, kuna mahukat ellmneermse protseduur tuleb gakordsel lahendamsel täes mahus korrata. Märkgem, et ka järgmste gruppde meetodd põhnevad ssulselt Gauss ellmneermse meetodl. Maatrks pööramse meetodd, mlle puhul otstavate vektor x avaldatakse, ku: x = A b (-49) Korduval lahendamsel tomub töömahukas maatrks pööramne anult üks kord, edas sesneb lahendamne anult kahe maatrks korrutamses. Mtmesugused maatrks pööramse meetodd põhnevad Gauss ellmneermse meetodl. Tuleb aga slmas pdada, et juhul ku maatrks A on hõre, ss tema pöördmaatrks A - on gal juhul tädetud maatrks (s.t e ssalda enam nullelemente). Seega lähevad hõredate võrrandsüsteemde lahendamsel kaduma hõredate maatrkste ja nende töötlemse eelsed. See tähendab, et hõredate võrrandsüsteemde lahendamseks on pöördmaatrks meetodd ebaefektvsed. Maatrks faktorseermse meetodd nende puhul maatrks A (võ tema pöördmaatrks) estatakse nn multplkatvsel kujul s.t tesendatakse nn faktorseermse teel teatud omadustega maatrkste - nn faktorte korrutseks: A = MM... M k (-50) kus M, M,..., M k - maatrksga A sama järku ruutmaatrksd. Faktorseermse mõte sesneb selles, et maatrkste M, M,..., M k spetsaalsed omadused võmaldavad ühest küljest lhtsustada süsteem (-48) korduvat lahendamst (nagu maatrks A pööramse puhulg), sältades tesest küljest ka hõreduse eelsed. See tähendab, et faktord M, M,..., M k ssaldavad kokku lglähedaselt sama hulga mttenullsed elemente, ku lähtemaatrks A. Töömahukas faktorseermse protseduur tuleb soortada anult üks kord. Kuna maatrkste faktorseermne on hõredustehnka üks peams elemente, vaatleme seda lähemalt.

29 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID Maatrkste faktorseermne Välja on töötatud rda maatrkste faktorseermse meetoded (LU-faktorseermne, LDU-faktorseermne, bfaktorseermne jt). Kõk need meetodd põhnevad ssulselt Gauss ellmneermse meetodl. Faktorseermse olemusega tutvumseks vaatleme sn tänapäeval üht laemalt levnud meetodt - nn LU-faktorseermst e trangularsatsoonmeetodt. Maatrks LU-faktorseermse puhul estatakse n-järku lähtemaatrks A kujul: A = LU (-5) kus L n-järku alumne kolmnurkmaatrks s.t maatrks, mlles mttenullsed elemendd esnevad anult peadagomaall võ allpool seda, kõk elemendd ülalpool peadagonaal on aga nulld: L j 0, ku < j Lj, ku j (-5) U n-järku ülemne kolmnurkmaatrks s.t maatrks, mlles mttenullsed elemendd esnevad anult peadagomaall võ ülalpool seda, kõk elemendd allpool peadagonaal on aga nulld (seejuures peadagonaall paknevad anult ühed): U j U j, ku <j, ku =j 0, ku >j (-53) Sellsel juhul võme defneerda vektor z n, et Ux = z (-54) Võrrandsüsteem ol (-48) b = Ax Ss, arvestades (-5) b = LUx (-55) ehk, arvestades (-54) b = Lz (-56) Vmane seos laotatult b = L z b = L z + L z... b = L z + L z L z n n n nn n (-57) Sellest süsteemst on vektor z letav lhtsalt

30 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID z = b / L z = ( b L z ) / L... z = ( b L z L z... L z ) / L n n n n n n n nn 30 (-58) Teades vektort z, on otstav vektor x väga lhtsalt letav võrrandst (-54): x = z / U n n nn x = ( z U x ) / U n n n n n n n... x = ( z U x U x... U x ) / U 3 3 n n (-59).4.4. Faktorseermse protseduur Nagu öeldud, maatrksd L ja U letakse Gauss ellmneermse meetodl. Illustreerme faktorseermse formaalset protseduur kolmandat järku võrrandsüsteem najal: a a a3 x b a a a3 x = b (-60) a3 a3 a3 x3 b3 Moodustame nn laendatud maatrks: a a a3 b a a a3 b a3 a3 a33 b3 (-6) Faktorseermse formaalne protseduur koosneb n sammust, kus n on faktorseertava maatrks järk. Seega mee näte puhul on tegemst kolme sammuga. Iga samm vastab ühe otstava ellmneermsele. Iga -s samm koosneb allsammust (s.t esmene samm koosneb anult ühest allsammust, tene samm kahest allsammust jne). Samm. Esmese rea tesendamne Allsamm. Jagame kõk esmese rea elemendd a -ga. Tulemusena omandab esmene rda kuju [ ] 3 a a b (-6) 3 3 kus a = a / a ; a = a / a ; b = b / a (-63) 3 3 (-64) St saame L = a ; U = a ; U = a ; U =

31 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID 3 Samm. Tese rea tesendamne Allsamm. Korrutame esmese (uue) rea (-6) tegurga a ja ldame reale. Tulemuseks on kus [ 0 ] 3 a a b (-65) a = a a a a = a a a b = b a b Allsamm. Jagame saadud tese rea (-65) tegurga a, saame kus [ 0 3 ] St saame: L3 = a3 L3 = a3 L33 = a33 U = (-66) a b (-67) 3 3 a = a / a ; b = b / a 3 3 (-68) St saame L = a ; L = a ; U = a ; U = (-69) Samm 3. Kolmanda rea tesendamne Allsamm. Korrutame esmese rea (-63) tegurga a 3 ja ldame reale 3. Tulemuseks saame kus [ 0 3 ] 33 3 a a b (-70) a = a a a a = a a a b = b a b Allsamm. Korrutame tese rea (-67) tegurga a 3 kus [ ] 3 ja ldame uuele reale 3 (-7) a b (-7) a = a a a b = b a b Allsamm 3. Jagame saadud kolmanda rea (-7) tegurga a 33 kus (-73) [ 0 0 b 3 3 ] (-74) b = b / a (-75) ; ; ; 33 (-76)

32 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID 3 Selle sammuga on maatrkste L ja U kõk elemendd määratud. Veelg enam - automaatselt on lahendatud ka võrrand (-56), kusjuures otstav vektor z asub vektor b kohal. Jääb veel lahendada võrrand (-54) vektor x suhtes. Kuna faktorseermse eesmärgks on reeglna võrrand (-48) korduv lahendamne, ss tulevad maatrksd L ja U salvestada. Seda on sobv teha lähtemaatrks A kohale, arvestades, et maatrksu U dagonaalelemendd võrduvad ühega. Seega faktorseermse tulemusel saame lähtemaatrks A kohale uue nn faktorte maatrks L U U L L U L L L a a a = a a a a3 a3 a (-77) Ülaltoodud protseduur on lhtsalt laendatav mstahes n järku ruutmaatrksle. Seejuures: L = a, j ; U = a, < j ; U = (-78) j ( j ) ( ) j j j Igal sammul on tegurd a j k letavad üldse seose järg: a a k = a ( k ) ( ) j j ( k ) ( k ) k akj a ( k ) kk (-79) Rõhutame, et maatrkste L ja U struktuur, s.t nende nullde ssaldus ja paknemne on lglähedane lähtemaatrks A vastavalt alumse ja ülemse kolmnurga struktuurle. See asjaolu teebk faktorseermse sobvaks hõreda kordajate maatrksga suurte lneaarvõrrandsüsteemde lahendamsel Sõlmede järjestamne (ellmneermse järjekord) Valemst (-79) on näha, et hõreda maatrks faktorseermse kägus võb tekkda ( k ) täendavad mttenullsed elemente - nmelt juhul, ku elemendd a k ja ( k ) a kj juhtuvad olema mõlemad nulld. Sellst nähtust nmetatakse maatrks tätumseks. On lmne, et arvutuste efektvsuse huvdes on kndlustada mnmaalne tätumne. Selgub, et tätumse määr sõltub otstavate ellmneermse järjekorrast. Seetõttu on faktorseermsel olulne ellmneermse optmaalne järjekord. Selgtame probleem graafde abl. Igasuguse reaalse võrgu võ süsteem struktuur võb estada graafna. Samut võb gasuguse võrrandsüsteem kordajate maatrks estada graafna - seda seg juhul, ku ta e vasta mngle reaalsele võrgule. Sellse graaf ga sõlm vastab maatrks ühele reale ja veerule. Ku maatrksks on sõlmevõrrandte kordajate maatrks, ss vastav graaf ühtb võrgu graafga. Tavalselt tomub ellmneermne võrrandte järjekorras, seega sõltub ellmneermse järjekord võrrandte järjekorrast, järelkult graaf sõlmede numeratsoonst. Seetõttu võme ellmneermse järjekorra optmeermse samastada võrgu sõlmede numeratsoon optmeermsega. Otstavate ellmneermst võb aga vaadelda, ku sõlme ellmneermst graafst.

33 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID j k a) j k b) Joons.0 Täendavate elementde tekkmne ellmneermsel 33 Vaatleme graaf joonsel.0 a). Sn sõlme j ellmneermne katkestab tee sõlmede ja k vahel nng nende sõlmede vahelse sdeme sältamseks tuleb lsada täendav tee (punktrs haru), s.t tekvad täendavad elemendd k ja k. Vaatleme nüüd graaf jn.0 b). Sn sõlme j ellmneermne e põhjusta graaf sdususe rknemst nng täendavat element e tek (elemendd k ja k on juba olemas). Vaatame, kudas mõjub sõlmede nummerdamse järjekord tätumst tähekujulse graaf tesendamsel. Joonsel. on toodud tähekujulne graaf ja sellele vastav struktuurmaatrks. 3 4 Joons. Tähekujulne graaf ja sellele vastav struktuurmaatrks Peale sõlme ellmneermst saame kolmnurkse graaf nng tomub maatrks täelk tätumne - vt jn Joons. Sõlme ellmneermne põhjustab maatrks täelku tätumse Vaatleme nüüd sõlmede numeratsoon ja vastavat ellmneermse protsess joonsel.3.

34 . ELEKTRIVÕRGUVÕRRANDID [ ] Joons.3 Tähekujulse graaf sõlmede optmaalne numeratsoon e ellmneermse järjekord ja vastavad struktuurmaatrksd Nagu näeme, sõltub maatrks tätumse määr sõlmede nummerdamse (s.t ellmneermse järjekorrast) suurel määral (esmesel juhul tomus täelk tätumne, tesel juhul e esnenud tätumst üldse. Vahepealseks võmaluseks oleks keskmsele sõlmele numbr omstamne). Ku toodud nätes ol võmalk optmaalne järjestus määrata vsuaalselt, ss suurte maatrkste (võrkude) puhul pole see võmalk. Seetõtu on pakutud mtmesugused järjestuse meetoded. Selgub,et optmaalse järjestuse ledmne on väga keerulne ja aeganõudev. Seetõttu rakendatakse praktkas nn pseudooptmaalse järjestamse meetoded, ms on lhtsad ja tagavad optmaalsele üsna lähedase järjestuse nng psavalt väkese tätumse Järjestamse meetodd Sõlmede numeratsoon (järjestuse) optmeermse meetodd jagatakse staatlsteks e eelneva järjestamse ja dünaamlsteks meetodteks. Staatlste meetodte puhul letakse järjestus enne ellmneermse protseduur. Üheks lhtsamaks ja samas ka efektvseks meetodks on nn mnmumvalents meetod, mlle puhul sõlmed järjestatakse nende valents kasvamse järjekorras. Ku mtmel sõlmel on võrdne valents, on järjestus meelevaldne. Näde. Vaatleme alljärgneva graaf tesendus ja vastavat maatrks tätumst faktorseermse kägus juhuslkult valtud numeratsoon puhul. Nagu näeme joonselt, on tätumne väga suur - esalgsest 6 nullst muutus mttenullseks 8. Esalgne hõredustegur k h = 6 / 49 = 0,53, faktorseermse lõpus k h = 8 / 49 = 0,6.