Deformatsioon ja olekuvõrrandid

Transcript

1 Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.. Siire ja deformatsioon Siire ja deformatsioon 3.. Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid x, y, z. VälisjõududetoimelliigubtaasendisseA koordinaatidega x,y,z.vektoritaa nimetatakse punkti A siirdeks ehk siirdevektoriks. Eristame kahte liiki siirded: keha kui terviku siirded (toimuvad ilma deformatsioonideta) selliste siiretega tegeleb jäiga keha mehaanika 2 ; siirded, mis on seotud keha deformatsiooniga käesolevas kursuses vaadeldakse just selliseid siirdeid. Siirdevektori koordinaattelgede x, y, z sihilisi komponente tähistatakse u, v, w, st., u x x, v y y, w z z. (3.) Tavaliselt nimetatakse neid lühidalt siirdekomponentideks. Siirde sünonüüm (mehaanikas) on paigutis. Füüsikud kasutavad samas tähenduses terminit nihe, mis on aga mehaanika seisukohast eksitav. 2 Mitmed pideva keskkonna mehaanika õpikud nimetavad selliseid siirdeid jäigaks deformatsiooniks.

2 3.. Siire ja deformatsioon 3-3 v + v y dy y C C u + u y dy C β 2 dy y v A A β B B B v + v x dx O x u dx u + u x dx x Joonis 3.: Normaal- ja nihkedeformatsioon 3.. Siire ja deformatsioon 3-4 Kui keha deformeerub, siis peavad erinevate punktide siirded olema erinevad, st., u u(x, y, z), v v(x, y, z), w w(x, y, z). (3.2) Vaatleme lõpmata väikese risttahuka kahe serva käitumist x, y tasandil (joon. 3.). Enne deformatsiooni: AB dx x ja AC dy y; Punktide koordinaadid: A :(x, y); B :(x + dx, y); C :(x, y + dy). Peale deformatsiooni: A A ; B B ja C C.Vastavadsiirded: Punkt A: u ja v; Punkt B: u + u v xdx ja v + x dx; Punkt C: u + u v ydy ja v + y dy;

3 3.. Siire ja deformatsioon 3-5 Kuna lineaarses elastsusteoorias on kõik muutused väikesed, siis on väikesed ka servade AB ja AC pöördenurgad, st., cos β, sin β β ja tan β β. Seetõttu lõikude AB ja AC suhtelised pikenemised ehk koordinaatide x ja y sihilised normaaldeformatsioonid ε x A B AB AB ε y A C AC AC A B AB AB A C AC AC u (dx + u + xdx u) dx dx v (dy + v + ydy v) dy dy u x dx dx v y dy dy u x, v y (3.3) 3.. Siire ja deformatsioon 3-6 ja pöörded β tan β B B A B β 2 tan β 2 C C A C v x dx dx + u x dx u y dy dy + u y v x dx ( + u x }{{} ε x dy... u y )dx v x dx dx v x (3.4) Nihe ehk nihkedeformatsioon on defineeritud kui algse täisnurga muutus,st.nihe xy tasandil γ xy β + β 2 u y + v x. (3.5)

4 3.. Siire ja deformatsioon 3-7 Analoogiliselt saab leida normaaldeformatsioonid (suhtelised pikenemised) ja nihkedeformatsioonid (ehk nihked) teistel koordinaattasanditel. Kokku saame kuus seost deformatsioonikomponentide ε x, ε y, ε z, γ xy, γ yz, γ xz ja siirdekomponentide u, v, w vahel: ε x u x, γ xy u y + v x, ε y v y, γ yz v z + w y, ε z w z, γ xz u z + w x. Saadud seoseid nimetatakse tihti Cauchy võrranditeks või Cauchy seosteks. (3.6) Märgireeglid: pikenemisele vastav normaaldeformatsioon on positiivne; koordinaattelgede positiivsete suundade vahelisele täisnurga vähenemisele vastav nihe on positiivne. Järeldus: Positiivsed pinged põhjustavad positiivseid deformatsioone. 3.. Siire ja deformatsioon Orienteeritud lõigu pikenemine Vaatleme kahte lõpmata lähedast punkti A ja B, kusjuures vektor AB dr (dx, dy, dz). Siinjuures on vektori dr suunakoosinused l dx dr, m dy dr, n dz dr. y B B A dr A dy dx dz z Joonis 3.2: Lõigu AB deformatsioon x

5 3.. Siire ja deformatsioon 3-9 Vastava joonelemendi AB normaaldeformatsioon (ehk suhteline pikenemine) Siin AB dx 2 + dy 2 + dz 2 dr, A B ( dx + u )2 r dr + dr +2 ε r A B AB. (3.7) AB ( dy + v )2 ( r dr + ( l u r + m v r + n w r ). dz + w r dr )2... (3.8) Kombineerides kahte viimast avaldist ning hinnates liikmete suurusjärke saame ε r l u r + m v r + n w r. (3.9) Teisendades osatuletised r järgi osatuletisteks koordinaatide x, y, z järgi, saame 3 ε r l 2 ε x + m 2 ε y + n 2 ε z + lmγ xy + mnγ yz + lnγ xz. (3.0) 3 Detailset tuletuskäiku vt. R. Eek, L. Poverus, Ehitusmehaanika II, Tallinn, Valgus, 967 lk Siire ja deformatsioon 3-0 Rakendus tensomeetrias 4. Olgu vaja määrata xy tasandi meelevaldses punktis normaaldeformatsioonid (suhtelised pikenemised) ε x ja ε y ning nihe γ xy.kuna antud juhul on n 0,siissaamevalemile(3.0)kuju Kaks lahendust: ε r l 2 ε x + m 2 ε y + lmγ xy. (3.). Vaadeldava punkti ümbrusse asetatakse kolm suvaliselt orienteeritud tensomeetrit 5 (joon. 3.3). Tensomeetrite lugemid esitavad valemi (3.) vasakut poolt kolme erineva orientatsiooniga lõigu jaoks. Kuna tensomeetrite orientatsioon on teada (s.o. määratud sihikoosinustega l, m, n) saadakse kolmest lugemist kolm võrrandit otsitavate suuruste ε x, ε y ja γ xy määramiseks. 2. Kuiorienteeridakakstensomeetrit telgedex ja y sihis, siis saame deformatsioonid ε x ja ε y otse tensomeetrite lugemitest, γ xy aga avaldame võrrandist (3.) 4 Tensomeetria on kehades (tarindites) koormamisel tekkinuddeformatsioonide(japingete)katselinemääramine. 5 Tensomeeter on seade deformatsioonide määramiseks. Tänapäeval on enamkasutatav elektriline tensomeeter.

6 3.. Siire ja deformatsioon 3- γ xy ε r l 2 ε x m 2 ε y. (3.2) lm Üldjuhul on kolmas tensomeeter koordinaattelgede suhtes 45 nurga all. Seega l m 2/2 ja γ xy 2ε r ε x ε y. (3.3) y (a) y (b) ε r2 ε r3 ε y ε r ε r 45 ε x x Joonis 3.3: Tensomeetria näide. x 3.2. Deformatsioonitensor Deformatsioonitensor Normaal- ja nihkedeformatsioonidest (ehk nihetest) saab moodustada deformatsioonitensori ε x 2 γ xy 2 γ xz E 2 γ yx ε y 2 γ zx 2 γ yz 2 γ zy ε z. (3.4) Erinevalt pingetensorist on siin nihete kordajaks 0, 5. Ilma selliste kordajateta ei alluks deformatsioonitensor tensorarvutuste reeglitele. Analoogiliseltpingetensoriga saab leida ka deformatsioonitensori invariandid: I ε ε x + ε y + ε z, I ε 2 ε x 2 γ xy ε y 2 γ xy + ε y 2 γ yz + ε x 2 γ xz 2 γ yz ε z 2 γ xz ε z, Iε 3 ε x 2 γ yx 2 γ xz 2 γ xy ε y 2 γ zx 2 γ zy 2 γ yz ε z (3.5).

7 3.3. Ruumdeformatsioon ehk suhteline mahumuutus Ruumdeformatsioon ehk suhteline mahumuutus Üldjuhul muutub keha ruumala ehk maht deformatsiooni käigus 6.Vaatlemelõpmata väikest risttahukat, mille ruumala enne deformatsiooni oli dv dxdydz. Serva AB pikkus enne deformatsiooni (vt. joon. 3.) on dx ja peale deformatsiooni dx dx( + ε x ). Analoogiliselt dy dy dy( + ε y ) ja dz dz dz( + ε z ). Keha ruumala peale deformatsiooni leiame lähtudes eeldusest, et normaaldeformatsioonid ja nihked on väikesed. Pärast mõningaid teisendusi, mille käigus hüljatakse teist ja kolmandat järku väkesed liikmed, saame deformeerunud elementaarristküliku mahuks dv dx dy dz dv ( + ε x + ε y + ε z ). Ruumde- formatsioon ehk suhteline mahumuutus 7 avaldub seega kujul θ dv dv dv ε x + ε y + ε z. (3.6) Seega on ruumdeformatsioon võrdne deformatsioonitensori esimese invariandiga. 6 Mitmetel ainetel on see mahumuutus hüljatavalt väike, näiteks vesi või kummi. 7 I. k. dilatation, volumetric change 3.4. Pidevustingimused 3-4 Teisest küljest, arvestades deformatsioonide ε x, ε y ja ε z definitsioone (3.4) on ruumdeformatsioon siirde divergents: θ u x + v y + w z divu u. 3.4 Pidevustingimused Cauchy võrrandid (3.4) seovad kuus deformatsioonikomponenti ε x, ε y, ε z, γ xy, γ yz ja γ xz kolme siirdekomponendiga u, v, w järgmisel viisil: ε x u x, γ xy u y + v x, ε y v y, γ yz v z + w y, ε z w z, γ xz u z + w x. Kui on antud kolm siirdekomponenti u, v, w, siis võrrandite (3.4) abil on võimalik üheselt määrata kuus deformatsioonikomponenti ε x, ε y, ε z, γ xy, γ yz, γ xz.

8 3.4. Pidevustingimused 3-5 Kui on antud kuus deformatsioonikomponenti ε x, ε y, ε z, γ xy, γ yz, γ xz,siis pole võrrandite (3.4) abil võimalik kolme siirdekomponenti u, v, w üheselt määrata. Ühese lahendi saamiseks tuleb sisse tuua kuut deformatsioonikomponenti siduvad lisatingimused (lisavõrrandid). Neid lisatingimusi nimetatakse eestikeelses kirjanduses tavaliselt pidevustingimusteks 8. 8 Ingl. k. compatibility conditions. Eesti keeles kasutatakse ka termineid pidevusvõrrandid või sobivustingimused Pidevustingimused 3-6 Alternatiivne põhjendus pidevustingimuste sissetoomiseks. (a) (b) (c) Joonis 3.4: Pidevustingimused Oletame, et vaadeldav keha on algolekus lõigatud väikesteks kuupideks (joon. 3.4 a). Kui iga kuupi on seejärel eraldi deformeeritud, siis on nende uuesti ühendamine selliselt, et tekkiks pidev keha üldjuhul võimatu (joon. 3.4 b). Selleks, et peale deformatsiooni oleks meil endiselt tegu pideva kehaga(joon.3.4c),peavad kuupide deformatsioonid rahuldama pidevustingimusi ehk pidevusvõrrandeid.

9 3.4. Pidevustingimused 3-7 Pidevusvõrrandite tuletamine. Diferentseerime võrrandit (3.4) kaks korda koordinaadi y järgi ja võrrandit (3.4) 2 kaks korda koordinaadi x järgi ning liidame saadud tulemused. 2 ε x y ε y x 2 3 u x y v x 2 y 2 ( u x y y + v x ) }{{} γ xy 2 γ xy x y. (3.7) Kombineerides võrrandeid (3.4) 3 saame veel kaks analoogilist pidevusvõrrandit. Neist aga ei piisa. Selleks, et saada veel kolm võrrandit, leiame võrrandeist (3.4) 4 6 osatuletised «puuduva koordinaadi» järgi, liidame (3.4) 4 5 ja lahutame saadud summast (3.4) 6.Seejärelvõtamesaadudtulemusestosatuletisey järgi: ( γxy y z + γ yz x γ ) xz y 3 v 2 x y z 2 2 x z Analoogiliselt saab tuletada veel kaks pidevusvõrrandit. ( ) v 2 2 ε y y x z. (3.8) 3.4. Pidevustingimused 3-8 Kokku oleme saanud kuus pidevusvõrrandit (pidevustingimust), mis on tuntud ka Saint-Venant i pidevusvõrranditena: 2 ε x y + 2 ε y 2 x 2 2 ε y z + 2 ε z 2 y 2 2 γ xy x y, 2 γ yz y z, 2 ε z x + 2 ε x 2 z 2 ( γxz x 2 γ xz x z, y + γ xy z γ yz x ( γxy y z + γ yz x γ xz y ( γyz z x + γ xz y γ xy z ) ) ) 2 2 ε x y z 2 2 ε y x z 2 2 ε z x y (3.9)

10 3.4. Pidevustingimused 3-9 Saadud kuuel pidevusvõrrandil ehk pidevustingimusel on väga selge füüsikaline sisu.. Esimesed kolm: kui on antud normaaldeformatsioonid (suhtelised pikenemised) kolmes ristuvas sihis, siis nende sihtidega määratud tasandites ei saa nihkedeformatsiooni meelevaldselt ette anda, vaid nad on määratud avaldistega (3.9) Viimased kolm: kui on antud nihkedeformatsioonid kolmes ristuvas tasapinnas, siis ei saa normaaldeformatsioone meelevaldselt ette anda, vaid nad on määratud avaldistega (3.9) Olekuvõrrandid Olekuvõrrandid Välisjõudude toimel kehad (keskkonnad) deformeeruvad. On selge, et ühe ja sama välisjõu toimel võivad erinevad materjalid deformeeruda väga erinevalt järelikultonvajavõrrandeid,mismääraksidkuidasüksvõiteinematerjal koormamisel käitub. Võrrandeid, mis seovad omavahel deformatsioonid ja pinged, nimetatakse olekuvõrranditeks. Lineaarses e. klassikalises elastsusteoorias on olekuvõrrandid esitatud üldistatud Hooke i seadusena, misesitablineaarseseosepinge-jadeformatsioonitensori vahel. Kui on vaja arvestada ka temperatuuri mõju kehade deformatsioonidele, siis tuuakse sisse termoelastsus tegurid ning lisatakse võrranditesse vastavad lisaliikmed. Sel juhul öeldakse tihti, et tegu on termoelastsusteooriaga.

11 3.5. Olekuvõrrandid Üldistatud Hooke i seadus Klassikalises (ehk lineaarses) elastsusteoorias (k.a. elementaarteooria) kehtib üldistatud Hooke i seadus: deformatsioonitensori komponendid on lineaarsed funktsioonid pingetensori komponentidest. Kõige üldisemal juhul saab vastavad seosed esitada järgmisel kujul: ε x D σ x + D 2 σ y + D 3 σ z + D 4 τ xy + D 5 τ yz + D 6 τ zx ε y D 2 σ x + D 22 σ y + D 23 σ z + D 24 τ xy + D 25 τ yz + D 26 τ zx ε z D 3 σ x + D 32 σ y + D 33 σ z + D 34 τ xy + D 35 τ yz + D 36 τ zx γ xy D 4 σ x + D 42 σ y + D 43 σ z + D 44 τ xy + D 45 τ yz + D 46 τ zx (3.20) γ yz D 5 σ x + D 52 σ y + D 53 σ z + D 54 τ xy + D 55 τ yz + D 56 τ zx γ zx D 6 σ x + D 62 σ y + D 63 σ z + D 64 τ xy + D 65 τ yz + D 66 τ zx Viimased avaldised sisaldavad 36 elastsuskonstanti sedaonpalju! Kui eeldada, et keha on ideaalselt elastne (st. peale koormuse kõrvaldamist taastub algne kuju), homogeenne ja isotroopne, siis jääb järele vaid kaks sõltumatut elastsuskonstanti (Youngi moodul E ja Poissoni koefitsent ν), mis on määratavad väga lihtsate eksperimentide abil Olekuvõrrandid 3-22 Tõmme surve (x-telje sihis). Elastsuskonstant ehk Youngi moodul E: ε x σ x /E Poissoni koefitsent (Poissoni tegur) ν: ε y νε x Nihe (xy tasandis). Nihkeelastsusmoodul G: γ xy τ xy /G, kus G E 2( + ν). (3.2) Kuna nihkeelastsusmoodul G on avaldatav E ja ν kaudu, siis ei saa teda pidada iseseisvaks elastsuskonstandiks.

12 3.5. Olekuvõrrandid 3-23 Üldistatud Hooke i seaduse tuletamiseks vaatleme lõpmata väikest isotroopset risttahukat, milles mõjuvad vaid normaalpinged σ x, σ y, σ z.pingeσ x > 0põhjustab pikenemist x-telje sihis ja lühenemist y- ja z-telje sihis. Analoogiline toime on normaalpingetel σ y > 0jaσ z > 0. Seega on summaarne suhteline pikenemine x-telje sihis ehk normaaldeformatsioon ε x σ x E ν σ y E ν σ z E E [σ x ν(σ y + σ z )]. (3.22) Nihkepingete ja nihkedeformatsioonide vahelised seosed on määratudhooke i seadusega iga koordinaattasandi jaoks sõltumatult, s.t., τ xy põhjustab vaid nihet γ xy,jne.(vrd.normaaldeformatsioonidega). Kokku saame kuus võrrandit, mis esitavad üldistatud Hooke i seadust isotroopse ideaalselt elastse keha jaoks: ε x E [σ x ν(σ y + σ z )], γ xy G τ xy, ε y E [σ y ν(σ z + σ x )], γ yz G τ yz, (3.23) ε z E [σ z ν(σ x + σ y )], γ zx G τ zx Olekuvõrrandid 3-24 Paljudes õpikutes 9 esitatakse valemitega (3.20) analoogilised pingete ja deformatsioonide vahelised seosed natuke teisel kujul. Esiteks tuuakse sisse tähistused ja σ σ x, σ 2 σ y, σ 3 σ z, σ 4 τ yz, σ 5 τ xz, σ 6 τ xy (3.24) ε ε x, ε 2 ε y, ε 3 ε z, ε 4 2γ yz, ε 5 2γ xz, ε 6 2γ xy. (3.25) Seejärel esitatakse pinge sõltuvana deformatsioonist kujul σ σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 C C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 2 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 C 3 C 32 C 33 C 34 C 35 C 36 C 4 C 42 C 43 C 44 C 45 C 46 C 5 C 52 C 53 C 54 C 55 C 56 C 6 C 62 C 63 C 64 C 65 C 66 ε ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 (3.26) 9 Vt. näiteks J. N. Reddy, Theory and Analysis of Elastic Plates, Philadelphia,Taylor&Francis,999

13 3.5. Olekuvõrrandid 3-25 ja deformatsioon sõltuvana pingest kujul ε ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 S S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 2 S 22 S 23 S 24 S 25 S 26 S 3 S 32 S 33 S 34 S 35 S 36 S 4 S 42 S 43 S 44 S 45 S 46 S 5 S 52 S 53 S 54 S 55 S 56 S 6 S 62 S 63 S 64 S 65 S 66 σ σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6. (3.27) Elastsuskoefitsentidest moodustatud maatriksit [C ij ]nimetataksejäikusmaatriksiks 0.Maatriksit[S ij ][C ij ] võib eesti keeles seega nimetada pöördjäikusmaatriksiks või paindlikkusmaatriksiks või vetruvusmaatriksiks. 0 I. k. stiffness matrix I. k. compliance matrix. Tehnikasõnastikusoningliskeelsesõnacompliance eestikeelseks vasteks pakutud ka vetruvus Olekuvõrrandid 3-26 Kasutades nüüd tähistusi (3.24) ja (3.25) saavad valemid (3.23) kuju ε ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 ν E ν E E ν E ν E E ν E ν E E G G G σ σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6. (3.28)

14 3.5. Olekuvõrrandid Hooke i seadus ruumdeformatsiooni jaoks Vastavalt üldistatud Hooke i seadusele (3.23) ε x + ε y + ε z }{{} θ ( 2ν) E (σ x + σ y + σ z ) }{{} I σ (3.29) Seega θ ( 2ν)Iσ. (3.30) E Suurust θ ε x + ε y + ε z nimetatakse ruumdeformatsiooniks (vt. ka (3.6)) ja ta on ühtlasi ka deformatsioonitensori esimene invariant. Tuues sisse ruumpaisumismooduli K ja keskmise pinge σ 0, K E 3( 2ν), σ 0 σ x + σ y + σ z 3 Iσ 3, (3.3) saame lineaarse seose keskmise pinge ja ruumdeformatsiooni vahel kujul σ 0 Kθ. (3.32) 3.5. Olekuvõrrandid Pingete avaldamine deformatsioonide kaudu Liidame avaldise (3.23) paremale poolele ja lahutame avaldise (3.23) paremast poolest suuruse E νσ x: ε x E [σ x + νσ x νσ x ν(σ y + σ z )] E [( + ν)σ x νi σ ]. (3.33) Avaldades (3.30)-st invariandi I σ Eθ/( 2ν), saame ε x ( + ν)σ x E νθ ( 2ν), kust σ x Eνθ ( + ν)( 2ν) + Eε x +ν (3.34) Tuues sisse Lamé koefitsiendid 2 λ Eν ( + ν)( 2ν), µ E 2( + ν) saame valemist (3.34) 2 σ x λθ +2µε x. G, (3.35) 2 Alternatiivne lineaarse teooria elastsuskonstantide paar.

15 3.5. Olekuvõrrandid 3-29 Leides analoogilised avaldised σ y ja σ z jaoks ning avaldades seostest (3.23) nihkepinged, olemegi saanud Hooke i seaduse alternatiivse kuju σ x λθ +2µε x, τ xy µγ xy, σ y λθ +2µε y, τ yz µγ yz, σ z λθ +2µε z, τ zx µγ zx. (3.36) Kasutades viimaseid valemeid leiame seose pingetensori ja deformatsioonitensori esimese invariandi vahel σ x + σ y + σ z }{{} I σ 3λθ +2µ (ε x + ε y + ε z ), kust I σ } {{ } θ (3λ +2µ)θ. (3.37) Kui tähistada keskmist normaaldeformatsiooni ε 0 ε x + ε y + ε z 3 θ 3, (3.38) siis saame seose keskmise pinge ja keskmise normaaldeformatsiooni vahel σ 0 (3λ +2µ)ε 0. (3.39) 3.5. Olekuvõrrandid Anisotroopsed kehad Eelmistes alajaotustes vaatlesime isotroopseid materjale ning seal oli pingete ja deformatsioonide vaheliste seoste kirjeldamiseks vaja vaid kahte sõltumatut elastsuskoefitsenti. Anisotroopse keha puhul on elastsuskonstantide arv loomulikult suurem. Kuna anisotroopseid materjale on mitut liiki, siis tuleb vajalik elastsuskonstantide arv määrata iga liigi jaoks eraldi. Ortotroopsed materjalid, näiteks vineer, on üks sagedamini esinevaidanisotroopse materjali liike. Sellisest materjalist kehade jaoks on võimalik määrata 3 omavahel ristuvat telge (peasuunada), mille sihis rakendatud normaalpinged ei põhjusta telgedevaheliste nurkade muutumist. Ortotroopse materjalielastsed omadused ei muutu telgede pööramisel 80 võrra, kuid muutuvad iga teistsuguse pöörde korral. Ortotroopse materjali iseloomustamiseks on vaja üheksat elastsuskonstanti. Valemid (3.27) saavad selliste materjalide korral kuju

16 3.5. Olekuvõrrandid 3-3 kus ε ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 S S 2 S S 2 S 22 S S 3 S 23 S S S S 66 σ σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6, (3.40) S E, S 22 E 2, S 33 E 3, S 2 ν 2 E, S 3 ν 3 E, S 23 ν 23 E 2, S 55 G 23, S 44 G 3, S 66 G 2. (3.4) Konstandid E, E 2, E 3, ν 2, ν 3, ν 23, G 2, G 3 ja G 23 on vastavalt Youngi moodulid, Poissoni tegurid ja nihkeelastsusmoodulid koordinaattelgedega määratud sihtides 3. 3 Tihti on koordanaatteljed valitud peasuundadega, 2, 3 määratud sihtides. Vt. lisaks J. N. Reddy, Theory and Analysis of Elastic Plates, Philadelphia, Taylor & Francis, Deformatsiooni potentsiaalne energia Deformatsiooni potentsiaalne energia Vaatleme lõpmata väikest risttahukat (joon. 3.5). Nagu on jooniselt näha, ei eelda me antud juhul enam homogeenset pingust. Arvestame aga klassikalise elastsusteooria eeldusi ja hüpoteese, mille kohasel on materjal ideaalselt elastne, deformatsioonid on väikesed ja kehtib superpositsiooniprintsiip.eesmärgiks on leida deformatsiooni potentsiaalne energia, miskehasonsalvestunud.selleks tuleb kõigepealt leida töö, mida tehakse deformatsiooni muutumisel (suurenemisel) elementaarristtahukas. Vaatleme tahke, mis on risti x teljega. Eeldame, et normaalpingete toimel suureneb deformatsioon dε x ja tahkude vaheline kaugus dε x dx võrra. Vastav elastsusjõu elementaartöö (hüljates kõrgemat järku väikesed suurused): σ x dydzdε x dx.

17 3.6. Deformatsiooni potentsiaalne energia 3-33 τ zy + τ zy z dz τ yz + τ yz y dy dy σ x z τ xy τ xz y τ zx Z τ yx τ yz dx σ y + σ y y dy Y σ y σ z X τ zy dz τ yx + τ yx y dy τ xy + τ xy x dx σx + σx x dx τ xz + τ xz x dx x τ zx + τ zx z dz σ z + σ z z dz Joonis 3.5: Elementaarristtahukas 3.6. Deformatsiooni potentsiaalne energia 3-34 Vaatleme tahke, mis on risti x teljega ja tahke, mis on risti y teljega. Eeldame, et nihkepingete toimel muutub nurk x ja y telje vahel väikese suuruse dγ xy võrra. Vastav elastsusjõu elementaartöö (hüljates kõrgemat järku väikesed suurused): τ xy dydzdγ xy dx. Analoogiliselt saab leida pingetele σ y, σ z, τ yz ja τ xz vastavad tööd. Rakendame superpositsiooni printsiipi ja saame summaarse elementaartöö da (σ x dε x + σ y dε y + σ z dε z + τ xy dγ xy + τ yz dγ yz + τ xz dγ xz ) dxdydz. (3.42) Jagades viimase elementaarruumalaga dv dxdydz, saame elementaartöö tiheduse da da /dv.kunaeeldusepõhjalonmaterjalideaalseltelastne,siis on tehtud töö tõttu suurendatud elementaarristahuka potentsiaalset energiat dw da võrra ning potentsiaalse energia tihedus suureneb dw dw /dv võrra.

18 3.6. Deformatsiooni potentsiaalne energia 3-35 Edaspidi vaatleme seega suurust dw,st.potentsiaalseenergiajuurdekasvuühikruumala kohta: dw σ x dε x + σ y dε y + σ z dε z + τ xy dγ xy + τ yz dγ yz + τ xz dγ xz. (3.43) Asendame saadud avaldisse pinged σ x,... üldistatud Hooke i seadusest (3.36) ja saame dw (λθ +2µε x ) dε x +(λθ +2µε y ) dε y +(λθ +2µε z ) dε z + + µγ xy dγ xy + µγ yz dγ yz + µγ zx dγ xz λθdθ +2µ (ε x dε x + ε y dε y + ε z dε z )+ + µ (γ xy dγ xy + γ yz dγ yz + γ zx dγ xz ). (3.44) Viimast avaldist integreerides leiame potentsiaalse energia tiheduse sõltuvana deformatsioonidest W 2 [ λθ 2 +2µ ( ε 2 x + ε 2 y + ε 2 z ) + µ ( γ 2 xy + γ 2 yz + γ 2 zx )]. (3.45) Kuna Lamé koefitsiendid (3.35) on positiivsed, siis peab ka potentsiaalne energia olema positiivne (või null) igas ideaalselt elastse keha punktis Deformatsiooni potentsiaalne energia 3-36 Kasutades taas Hooke i seadust kujul (3.36) saame viimasest Clapeyroni valemi W 2 (σ xε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx ). (3.46) Viimasest saab omakorda avaldada W läbi pingete ja elastsuskonstantide E ja ν kui kasutada Hooke i seadust kujul (3.23) W [ σ 2 2E x + σy 2 + σz 2 2ν (σ x σ y + σ y σ z + σ x σ z )+2(+ν) ( τxy 2 + τyz 2 + τzx 2 )]. (3.47) Kuna W on potentsiaalne energia, siis peab avaldis (3.43) olema funktsiooni W täisdiferentsiaal, mis omakorda tähendab, et σ x W ε x, τ xy W γ xy, σ y W ε y, τ yz W γ yz, Viimased avaldised on tuntud Castigliano valemitena. σ z W ε z, τ zx W γ zx. (3.48)

19 3.6. Deformatsiooni potentsiaalne energia 3-37 Eeltoodu kontrolliks leiame avaldistest (3.45) osatuletised W ε x λθ +2µε x σ x, W γ xy µγ xy τ xy,... (3.49) Et leida kehas salvestunud summaarne potentsiaalne energia W tuleb potentsiaalse energia tihedust integreerida üle kogu keha ruumala V,st. W V WdV Wdxdydz. (3.50) Rakendes Clapeyroni valemit avaldub summaarne potentsiaalne energia kujul W 2 V V (σ xε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx ) dx dy dz. (3.5) Sisukord 38 Sisukord 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3. Siire ja deformatsioon Cauchy seosed Orienteeritud lõigu pikenemine Deformatsioonitensor Ruumdeformatsioon ehk suhteline mahumuutus Pidevustingimused Olekuvõrrandid

20 Sisukord Üldistatud Hooke i seadus Hooke i seadus ruumdeformatsiooni jaoks Pingete avaldamine deformatsioonide kaudu Anisotroopsed kehad Deformatsiooni potentsiaalne energia