Αλγόριθµοι Ευριστικής Αναζήτησης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αλγόριθµοι Ευριστικής Αναζήτησης"

Transcript

1 Αλγόριθµοι Ευριστικής Αναζήτησης Ευριστικός µηχανισµός (heuristic) είναι µία στρατηγική, βασισµένη στη γνώση για το συγκεκριµένο πρόβληµα, ηοποίαχρησιµοποιείται σα βοήθηµα στη γρήγορη επίλυσή του.! Ο ευριστικόςµηχανισµός υλοποιείται µε ευριστικήσυνάρτηση(heuristic function), που έχει πεδίο ορισµού το σύνολο των καταστάσεων ενός προβλήµατος και πεδίο τιµών το σύνολο τιµών που αντιστοιχεί σε αυτές.! Ευριστική τιµή (heuristic value) είναι η τιµή της ευριστικής συνάρτησης και εκφράζει το πόσο κοντά βρίσκεται µία κατάσταση σε µία τελική.! Η ευριστική τιµή δεν είναι η πραγµατική τιµή τηςαπόστασηςαπόµία τερµατική κατάσταση, αλλά µία εκτίµηση (estimate) που πολλές φορές µπορείναείναικαιλανθασµένη. Τεχνητή Νοηµοσύνη

2 Ευριστικές Συναρτήσεις σε Μικρά Προβλήµατα (1/3) Ευριστικός µηχανισµός και συναρτήσεις σε λαβύρινθο! Ευκλείδειος απόσταση (Euclidian distance): d(s, F) = (X S - X F) (YS - YF )! Απόσταση Manhattan (Manhattan distance): Md(S,F) = XS -XF + YS -YF Τεχνητή Νοηµοσύνη

3 Ευριστικές Συναρτήσεις σε Μικρά Προβλήµατα (2/3) Ευριστικός µηχανισµός και συναρτήσεις στο N-Puzzle! Πόσα πλακίδια βρίσκονται εκτός θέσης.! Το άθροισµα των αποστάσεων Manhattan κάθε πλακιδίου από την τελική του θέση. Τεχνητή Νοηµοσύνη

4 Ευριστικές Συναρτήσεις σε Μικρά Προβλήµατα (3/3) Ευριστικός µηχανισµός και συναρτήσεις στο TSP! Η κοντινότερη πόλη έχει περισσότερες πιθανότητες να οδηγήσει σε µία καλή λύση. Τεχνητή Νοηµοσύνη

5 Αναζήτηση µε Αναρρίχηση Λόφων Η αναρρίχηση λόφων (Hill-Climbing Search - HC) είναι ένας αλγόριθµος αναζήτησης που µοιάζει πολύ µε τονdfs. Ο αλγόριθµος HC 1.Η αρχική κατάσταση είναι η τρέχουσα κατάσταση. 2.Αν η κατάσταση είναι µία τελική τότε ανέφερε τη λύση και σταµάτησε. 3.Εφάρµοσε τους τελεστές µετάβασης για να βρεις τις καταστάσεις-παιδιά. 4.Βρες την καλύτερη κατάσταση σύµφωνα µε την ευριστική συνάρτηση. 5.Η καλύτερη κατάσταση γίνεται η τρέχουσα κατάσταση. 6.Πήγαινε στο βήµα 2. Τεχνητή Νοηµοσύνη

6 Ο αλγόριθµος HC (Ψευδοκώδικας) algorithm hc(initialstate, FinalStates) begin Closed ; CurrentState InitialState; while CurrentState FinalStates do Children Expand(CurrentState); if Children= then exit; EvaluatedChildren Heuristic(Children); CurrentState best(evaluatedchildren); endwhile; end. Τεχνητή Νοηµοσύνη

7 Ο αλγόριθµος HC Σχόλια (1/2)! Ο HC χρησιµοποιείται σε προβλήµατα όπου πρέπει να βρεθεί µία λύση πολύ γρήγορα, έστω και αν αυτή δεν είναι η καλύτερη, παίρνοντας όµως και το ρίσκο να µη βρεθείκαµία λύση, έστω και αν τέτοια υπάρχει.! Πλεονεκτήµατα: # Πολύ αποδοτικός και σε χρόνο και σε µνήµη,! Μειονεκτήµατα: # Είναι ατελής. # Βασικά προβλήµατα του HC: $ Πρόποδες (foothill). $ Οροπέδιο (plateau). $ Κορυφογραµµή (ridges). Τεχνητή Νοηµοσύνη

8 Ο αλγόριθµος HC Σχόλια (2/2)! Βελτιώσεις: # Εξαναγκασµένη αναρρίχηση λόφου (Enforced Hill-Climbing - EHC) # Προσοµοιωµένη εξέλιξη (Simulated Annealing - SA) # Αναζήτηση µε απαγορευµένες καταστάσεις (Tabu Search - TS). Τεχνητή Νοηµοσύνη

9 Μέθοδος περιορισµού δέσµης Ευριστικός τρόπος µείωσης του χώρου αναζήτησης. Επιλογή µόνο των k καλύτερων παιδιών κάθε κόµβου. Μπορεί να χρησιµοποιηθεί στην αναζήτηση κατα πλάτος, κατα βάθος ή ακόµα και στην αναζήτηση βέλτιστου κόµβου. Μπορεί να µην βρεί λύση.

10 Μέθοδος περιορισµού δέσµης Ευριστικός τρόπος µείωσης του χώρου αναζήτησης. Επιλογή µόνο των k καλύτερων παιδιών κάθε κόµβου. Μπορεί να χρησιµοποιηθεί στην αναζήτηση κατα πλάτος, κατα βάθος ή ακόµα και στην αναζήτηση βέλτιστου κόµβου. Μπορεί να µην βρεί λύση.

11 Αναζήτηση Πρώτα στο Καλύτερο Οαλγόριθµος αναζήτηση πρώτα στο καλύτερο (Best-First -BestFS) κρατά όλες τις καταστάσεις στο µέτωπο αναζήτησης. Ο αλγόριθµος BestFS 1.Βάλε την αρχική κατάσταση στο µέτωπο αναζήτησης. 2.Αν το µέτωπο αναζήτησης είναι κενό τότε σταµάτησε. 3.Πάρε την πρώτη σε σειρά κατάσταση από το µέτωπο αναζήτησης. 4.Αν η κατάσταση είναι µέλος του κλειστού συνόλου τότε πήγαινε στο 2. 5.Αν η κατάσταση είναι µία τελική τότε ανέφερε τη λύση και σταµάτα. 6.Εφάρµοσε τους τελεστές µεταφοράς για να παράγεις τις καταστάσεις-παιδιά. 7.Εφάρµοσε την ευριστική συνάρτηση σε κάθε παιδί. 8.Βάλε τις καταστάσεις-παιδιά στο µέτωπο αναζήτησης. 9.Αναδιάταξε το µέτωπο αναζήτησης, έτσι ώστε η κατάσταση µε την καλύτερη ευριστική τιµή να είναι πρώτη. 10. Βάλε τη κατάσταση-γονέα στο κλειστό σύνολο. 11. Πήγαινε στο βήµα 2. Τεχνητή Νοηµοσύνη

12 Ο αλγόριθµος BestFS (Ψευδοκώδικας) algorithm bestfs(initialstate, FinalStates) begin Closed ; EvaluatedInitialState Heuristic(<InitialState>) Frontier <EvaluatedInitialState>; CurrentState best(frontier); while CurrentState FinalStates do Frontier delete(currentstate,frontier); if CurrentState ClosedSet then begin Children Expand(CurrentState); EvaluatedChildren Heuristic(Children); Frontier Frontier ^ EvaluatedChildren; Closed Closed {CurrentState}; end; if Frontier= then exit; CurrentState best(frontier); endwhile; end. Τεχνητή Νοηµοσύνη

13 Ο αλγόριθµος BestFS Σχόλια! Πλεονεκτήµατα: # Προσπαθεί να δώσει µια γρήγορη λύση σε κάποιο πρόβληµα. Το αν τα καταφέρει ή όχι εξαρτάται πολύ από τον ευριστικό µηχανισµό. # Είναι πλήρης.! Μειονεκτήµατα: # Το µέτωπο αναζήτησης µεγαλώνει µε υψηλόρυθµό καιµαζί του ο χώρος που χρειάζεται για την αποθήκευσή του, καθώς και ο χρόνος για την επεξεργασία των στοιχείων του. # εν εγγυάται ότι η λύση που θα βρεθεί είναι η βέλτιστη S F Τεχνητή Νοηµοσύνη

14 Ο αλγόριθµος BestFS: το πρόβληµα του λαβύρινθου Μέτωπο Αναζήτησης Κλειστό Σύνολο Κατάσταση Παιδιά <5-5> <> ,5-67,4-57 <5-45,5-67,4-57> <5-5> ,6-44 <6-44,5-56,5-67,4-57> <5-5,5-4> ,6-33,7-43 <6-33,7-43,5-56,5-67,...> <5-5,5-4,6-4> ,6-23,7-32 <7-32,6-23,7-43,6-44,5-56,...> <5-5,5-4,...> ,6-44 <6-33,6-23,7-43,6-44,5-56,...> <...,6-3,...> 6-3 Βρόχος <6-23,7-43,6-44,5-56,5-67,...> <...> ,6-33 <7-43,6-44,5-25,...> <...> ,6-44,7-32 <7-32,7-54,6-44,5-25,...> <..,7-3,..> 7-3 Βρόχος <4-54,6-44,5-25,...> <...> ,8-53,7-65 <8-53,7-43,6-44,...> <...> ,7-54,9-52 <9-52,7-43,6-44,8-64,...> <...> ,9-41 <9-41,8-53,7-43,...> <...> ,9-52,10-42 <9-30,9-52,10-42,...> <...> 9-3 ΤΕΛΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΕΛΟΣ Τεχνητή Νοηµοσύνη

15 Αναζήτηση Α* Συνδυάζουν την άπληστη αναζήτηση µε την αναζήτηση µε βάση το κόστος. Χρησιµοποιούν δηλαδή στην ταξινόµηση την συνάρτηση f(s) = d(s) + h(s) Η f(s) µας δίνει ουσιαστικά µία εκτίµηση της καλύτερης λύσης που περνάει από τον κόµβο s. Προϋπόθεση ότι η h(s) δεν υπερεκτιµά ποτέ το κόστος για να φτάσουµε στο κοντινότερο στόχο (αποδεκτή συνάρτηση). Όπως µπορεί να αποδειχτεί και αυστηρά αυτή η ιδιότητα της f(s) µας εγγυάται ότι ο αλγόριθµος θα βρει πάντα λύση και µάλιστα θα βρει πρώτα την καλύτερη λύση. Ο αλγόριθµος Α* δηλαδή, είναι πλήρης και βέλτιστος.

16 Αναζήτηση Α* - Ιδιότητες Άλλη σηµαντική Ιδιότητα: πληροφόρηση Πληροφόρηση: αν h 1 (n) & h 2 (n) είναι αποδεκτές συναρτήσεις (δηλ. εν υπερεκτιµούν την απόσταση σε στόχο) και & h 1 (n) >= h 2 (n), τότε οι κόµβοι που ο A* εξετάζει χρησιµοποιώντας την h 1 είναι υποσύνολο αυτών που εξετάζει χρησιµοποιώντας την h 2 δηλαδή η h 1 (n) θα οδηγήσει σε πιο γρήγορη αναζήτηση ακραία περίπτωση: h 2 (n) = 0 = καθόλου πληροφόρηση - τότε ότι παραπάνω ξέρει η h 1 θα βελτίωνε την αναζήτηση θα λέµε ότι η h 1 είναι πιο πληροφορηµένη από την h 2

17 Αναζήτηση Α* - Ιδιότητες Σταθερότητα: Αν η h σπάνια υπερεκτιµά την απόσταση το πολυ s, τότε ο A* σπάνια θα βρεί λύσεις που είναι χειρότερες από την καλύτερη αρα, είναι χρήσιµο να έχουµε καλή εκτίµηση της h Πληρότητα: Ο A* θα τελειώσει και θα βρεί τη βέλτιστη λύση ακόµα και σε άπειρους χώρους αναζήτησης, αν υπάρχει βέλτιστη λύση και όλα τα κόστη είναι θετικά Μονότονη συνάρτηση: Αν για όλα τα n, m όπου m είναι απόγονος του n και h(n) - h(m) <= cost(n, m), τότε όποτε επισκεφτόµαστε ένα κόµβο, θα είµαστε εκεί µε τον συντοµότερο δρόµο δεν χρειάζεται να θυµόµαστε τα µονοπάτια ακραία περίπτωση: h(n) = 0 [κατά πλάτος]

18 Το παράδειγµα που θα χρησιµοποιούµε 21 A B 2 D F 13 6 G 8 0 I J 27 5 K M 22 2 M N 16 0 R T U X Y 34 V Z

19 Αναζήτηση Α* Αλγόριθµος: 1. ηµιούργησε µία ουρά (queue) που αρχικά έχει τη ρίζα (root). 2. Έως ότου η ουρά είναι άδεια ή ο στόχος έχει βρεθεί, έλεγξε αν το πρώτο στοιχείο είναι ο στόχος. 2α. Αν είναι µην κάνεις τίποτα. 2β. Αν δεν είναι, τότε: - βγάλε το πρώτο στοιχείο - βάλε τα παιδιά του πρώτου στοιχείου πίσω στην ουρά - ταξινόµησε όλη την ουρά µε βάση την f(s) (ο καλύτερος κόµβος µπροστά) 3. Αν έχει βρεθεί ο στόχος, τότε έχουµε επιτυχία, αλλιώς, αποτυχία.

20 Αναζήτηση Α* Πλήρης - Ο(b m ) χρόνου και χώρου -βέλτιστη λύση f(s)=d(s)+h(s) 21 A 1 µε h(s) 0 αποδεκτή 2 7 B 2 8 D F 13 6 G 8 0 I J 27 5 K M 22 2 M N 16 0 R T U V X Y Z

21 Σύγκριση αλγορίθµων Όνοµα αλγορίθµου Πολυπλοκότητα χρόνου Πολυπλοκότητα χώρου Πληρότητα Κατά πλάτος O(b m ) O(b m ) ΝΑΙ ΟΧΙ Κατά βάθος O(b m ) O(bm) ΟΧΙ ΟΧΙ Αναρρίχησης O(b m ) O(bm) ΟΧΙ ΟΧΙ Σταδιακής εκβάθυνσης Με βάση το κόστος Περιορισµένης δέσµης Άπληστη αναζήτηση O(b m ) O(bm) ΝΑΙ ΟΧΙ Βέλτιστη Λύση O(b m ) O(b m ) αναλόγως την d(s) αναλόγως την d(s) O(k m ) O(k m ) ή O(km) ΟΧΙ ΟΧΙ O(b m ) O(b m ) αναλόγως την h(s) OXI Α* O(b m ) O(b m ) ΝΑΙ ΝΑΙ

22 Γενικοί παράγοντες στην αναζήτηση βέλτιστη - κάποια λύση µεγάλοι χώροι αναζήτησης - βέλτιστη λύση κόστος εκτέλεσης της αναζήτησης - κόστος να βρείς µια λύση γνώση σε σχέση µε το πρόβληµα - brute force implicit - explicit στόχοι

23 Παιχνίδια Το παίξιµο παιχνιδιών από ηλεκτρονικούς υπολογιστές αποτέλεσε αντικείµενο έρευνας από της αρχές της Τεχνητής Νοηµοσύνης. Το παίξιµο παιχνιδιών, όπως το σκάκι, θεωρείται ότι απαιτεί ανεπτυγµένη νοηµοσύνη και άρα η νίκη κάποιου υπολογιστή θα αποδείκνυε ότι και οι υπολογιστές µπορούν να διαθέτουν νοηµοσύνη - τεχνητή νοηµοσύνη. Ιστορικά, µεγάλοι ερευνητές, όπως ο Claude Shannon και Alan Turing, έχουν ασχοληθεί µε την συγγραφή προγραµµάτων που παίζουν σκάκι. Βέβαια, σύντοµα διαπίστωσαν ότι αποτελεί αφελή απλούστευση να θεωρήσει κανείς ότι η µηχανή διαθέτει νοηµοσύνη µόνο και µόνο επειδή µπορεί να νικήσει στο σκάκι.

24 Παιχνίδια Τα παιχνίδια µε τα οποία θα ασχοληθούµε είναι αυτά που µπορούν να οριστούν αυστηρά, παίζονται από δύο παίκτες και είναι σχετικά απλό να αναπαρασταθεί η κατάστασή τους. Γενικά, τα παιχνίδια θα µπορούσαµε να τα κατατάξουµε στην κατηγορία των προβληµάτων όπου η αρχική γνώση δεν είναι αρκετή για την λύση του προβλήµατος. Αυτό συµβαίνει διότι δεν ξέρουµε πως σκέφτεται ο αντίπαλος και άρα δεν µπορούµε να γνωρίζουµε ποιο θα είναι το τελικό αποτέλεσµα κάποιας δική µας κίνησης. Ωστόσο, γνωρίζουµε όλα τα πιθανά ενδεχόµενα και έτσι µπορούµε στην γενική περίπτωση να τα εξετάσουµε και να κρίνουµε ποίο από αυτά µας συµφέρει περισσότερο.

25 Παιχνίδια Γενική Θεώρηση: Έστω ότι έχουµε τους παίκτες Χ και Υ. Ο κάθε παίκτης, σε κάθε κίνηση που κάνει, προσπαθεί να µεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να κερδίσει. Ο Χ σε κάθε κίνηση που κάνει προσπαθεί να µεγιστοποιήσει την πιθανότητα του να κερδίσει ενώ ο Υ σε κάθε κίνηση του προσπαθεί να ελαχιστοποιήσει την πιθανότητα αυτή (την πιθανότητα να κερδίσει ο Χ). Βολεύει να ονοµάζουµε τους παίκτες µε τα ονόµατα MAX και ΜΙΝ. MAX είναι ο παίκτης που θέλουµε να νικήσει και ο αλγόριθµος προσπαθεί να διαλέξει τις καλύτερες κινήσεις για αυτόν ενώ MIN είναι ο αντίπαλος.

26 Παίξιµο παιχνιδιών Ανεπαρκής η αρχική πληροφορία για την επίλυση του προβλήµατος. Απαιτείται ειδική διαδικασία αναζήτησης. Για µη τετριµµένα παιχνίδια ο χώρος αναζήτησης είναι εξαιρετικά µεγάλος - πρακτικά είναι αδύνατο η εξαντλητική αναζήτηση. Σε πολλά παιχνίδια το ζητούµενο δεν είναι µόνο να νικήσει ο παίκτης αλλά να πετύχει και το µεγαλύτερο δυνατό σκορ (βαθµολογία ) Στην περίπτωση που σηµασία έχει µόνο η νίκη ή η ισοπαλία (όπως το σκάκι) µπορούµε να δώσουµε το σκορ 1 για αυτόν που κερδίζει, 0 για αυτόν που κάνει ισοπαλία και -1 για αυτόν που χάνει.

27 Παράδειγµα - τα 7 δεκάρικα Έστω ότι παίζουµε το παιχνίδι µε τα 7 δεκαράκια (Grundy s game). Σε αυτό το παιχνίδι έχουµε 7 δεκαράκια τοποθετηµένα αρχικά σε µία στοίβα. Οι δύο παίκτες παίζουν ο ένας µετά τον άλλο. Ο κάθε παίκτης, στην σειρά του πρέπει να διασπάσει µία στοίβα σε δύο άλλες στοίβες µε άνισο αριθµό από δεκάρικα. Ο παίκτης που δεν µπορεί να το κάνει χάνει.

28 Παράδειγµα - τα 7 δεκάρικα 7, MAX 6, 1, MIN 5, 2, MIN 4, 3, MIN 5, 1, 1, MAX 4, 2, 1, MAX 3, 2, 2, MAX 3, 3, 1, MAX 4, 1, 1, 1, MIN 3, 2, 1, 1, MIN 2, 2, 2, 1, MIN 3, 1, 1, 1, 1, MAX 2, 2, 1, 1, 1, MAX 2, 1, 1, 1, 1, 1, MIN

29 Παράδειγµα - τα 7 δεκάρικα εν αρκεί να βρούµε ένα µονοπάτι στο γράφο από την αρχική κατάσταση σε κάποια νικηφόρα κατάσταση. Η ικανότητα του MIN να διαλέγει ποια θα είναι η κίνησή του κάνει την αναζήτηση πιο περίπλοκη. Ο πιο κατάλληλος τρόπος για να αναπαραστήσουµε την αναζήτηση είναι να χρησιµοποιήσουµε δέντρα AND-OR. Οι απόγονοι των OR κόµβων αντιπροσωπεύουν τις επιλογές κινήσεων που έχει ο παίκτης MAX ενώ οι απόγονοι των AND κόµβων αντιπροσωπεύουν τις επιλογές που έχει ο MIN παίκτης. Για να αξίζει κάποια κίνηση του MAX παίκτη (OR κόµβος) πρέπει κάθε επιτρεπτή επόµενη κίνηση του MIN (κάθε παιδί του OR κόµβου) να συµφέρει τον MAX.

30 Παράδειγµα - τα 7 δεκάρικα 7 ΜΑΧ 3, 1 5, 2 4, 3 ΜΙΝ 5, 1, 1 4, 2, 1 4, 2, 1 3, 2, 2 3, 3, 1 ΜΑΧ 4, 1, 1, 1 3, 2, 1, 1 3, 2, 1, 1 3, 2, 1, 1 3, 2, 1, 1 3, 2, 1, 1 ΜΙΝ 3, 1, 1, 1, 1 2, 2, 1, 1, 1 2, 2, 1, 1, 1 2, 2, 1, 1, 1 2, 2, 1, 1, 1 ΜΑΧ 2, 1, 1, 1, 1, 1 ΜΙΝ

31 Η διαδικασία MIN-MAX Κατασκευάζουµε το πλήρες δέντρο του παιχνιδιού (το δέντρο AND-OR). Βαθµολογούµε τους κόµβους φύλα (τελικές καταστάσεις) σύµφωνα µε την βαθµολογία που θα έπαιρνε ο παίκτης MAX αν το παιχνίδι κατέληγε σε εκείνη την κατάσταση. Εφαρµόζουµε τα παρακάτω δύο βήµατα επαναληπτικά µέχρι όλοι οι κόµβοι του δέντρου να έχουν βαθµολογηθεί: Για κάθε κόµβο MAX (AND κόµβος) τα παιδιά του οποίου έχουν όλα βαθµολογηθεί υπολογίζουµε το µέγιστο αυτών των βαθµών και του αναθέτουµε αυτή την τιµή. Για κάθε κόµβο MIN (OR κόµβος) τα παιδιά του οποίου έχουν όλα βαθµολογηθεί υπολογίζουµε το ελάχιστο αυτών των βαθµών και του αναθέτουµε αυτή την τιµή.

32 Παράδειγµα ΜΙΝ-ΜΑΧ (7 δεκάρικα) 7-1 ΜΑΧ , 1 5, 2 4, 3 ΜΙΝ , 1, 1 4, 2, 1 4, 2, 1 3, 2, 2 3, 3, 1 ΜΑΧ , 1, 1, 1 3, 2, 1, 1 3, 2, 1, 1 3, 2, 1, 1 3, 2, 1, 1 3, 2, 1, 1-1 ΜΙΝ 3, 1, 1, 1, , 2, 1, 1, 1 2, 2, 1, 1, 1 2, 2, 1, 1, , 2, 1, 1, 1 ΜΑΧ 2, 1, 1, 1, 1, 1 1 ΜΙΝ

33 Πρακτικά προβλήµατα Πρόβληµα : συνήθως τα πλήρη δέντρα είναι εξαιρετικά µεγάλα - δεν χωράνε στη µνήµη. Λύση : αναπτύσσουµε µερικώς το δέντρο και εκτιµάµε την τιµή για τους κόµβους φύλα. Προβλήµατα : πότε σταµατάµε την ανάπτυξη του δέντρου; πώς υπολογίσουµε την τιµή στα φύλα; Λύσεις : ανάπτυξη µέχρι σταθερό βάθος ευριστική συνάρτηση εκτίµησης αξίας

34 Η τεχνική Alfa-Beta (α-β) Αποφυγή των περιττών πράξεων του ΜΙΝ-ΜΑΧ. Ο αλγόριθµος Alfa-Beta εκµεταλλεύεται ορισµένες ιδιότητες του αλγορίθµου ΜΙΝ-ΜΑΧ και επιτρέπει τον υπολογισµό της επόµενης κίνησης χωρίς να υπολογίσει την τιµή όλων των κόµβων του δέντρου. εν επηρεάζει την απόφαση του αλγορίθµου MIN-MAX αφού κάνει περικοπές µόνο σε κλαδιά τα οποία σίγουρα δεν θα επηρεάσουν την τελική απόφαση. Κάνει περικοπή µόνο ασήµαντων κλαδιών : ΜΙΝ (Χ 1, Χ 2,..., X k-1,x k ) = MIN (Χ 1, Χ 2,..., X k-1 ) αν υπάρχει i µε 0<i<k και X k >X i. ΜAX (Χ 1, Χ 2,..., X k-1,x k ) = MAX (Χ 1, Χ 2,..., X k-1 ) αν υπάρχει i µε 0<i<k και X k <X i.

35 Η τεχνική Alfa-Beta (α-β) Έστω, για παράδειγµα ότι πρέπει να υπολογιστεί η τιµή ενός MIN κόµβου. Έχουµε υπολογίσει την τιµή του πρώτου παιδιού του και για το επόµενο παιδί του ξέρουµε (µε κάποιον τρόπο) ότι η τιµή του θα είναι µεγαλύτερη από την τιµή του πρώτου παιδιού. Μπορούµε µε σιγουριά να πούµε ότι η ακριβής τιµή του δεύτερου παιδιού δεν θα αλλάξει σε τίποτα την τελική τιµή του κόµβου. εν αλλοιώνει το αποτέλεσµα του ΜΙΝ-ΜΑΧ. Μπορεί να χρησιµοποιηθεί και κατα την διάρκεια ανάπτυξης του δέντρου. Έχει σηµασία η σειρά εξέτασης των παιδιών ενός κόµβου. Σταµατάµε την εξέταση ενός κόµβου όταν ισχύει Alfa>Beta.

36 Ο αλγόριθµος Alfa-Beta 1. Θέσε α = ένας πολύ µεγάλος αρνητικός αριθµός. 2. Θέσε β = ένας πολύ µεγάλος θετικός αριθµός. 3. Θέσε ρ = η θέση από την οποία πρέπει να παίξει ο παίκτης MAX. 4. H minmax τιµή του κόµβου ρ = TIMH_MAX(ρ, α, β) ΤΙΜΗ_ΜΑΧ(ρ, α, β) 1. Αν Είναι_Φύλλο(ρ) τότε επέστρεψε Αξία_Κόµβου(ρ). 2. ιαφορετικά εκτέλεσε τα παρακάτω βήµατα για κάθε παιδί π του ρ Θέσε α = ΜΑΧ(α, ΤΙΜΗ_ΜΙΝ(π, α, β)) 2.2. Αν α β επέστρεψε β. 3. Επέστρεψε α. ΤΙΜΗ_ΜΙΝ(ρ, α, β) 1. Αν Είναι_Φύλλο(ρ) τότε επέστρεψε Αξία_Κόµβου(ρ). 2. ιαφορετικά εκτέλεσε τα παρακάτω βήµατα για κάθε παιδί π του ρ Θέσε β = ΜΙΝ(β, ΤΙΜΗ_ΜΑΧ(π, α, β)) 2.2. Αν α β επέστρεψε α. 3. Επέστρεψε β.

37 Παράδειγµα 8 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Ο Alfa-Beta δεν θα εξετάσει τους κόµβους : O, I, T, U, Y. Επιπλέον, για τους κόµβους F, C, K δεν θα υπολογιστεί η ακριβής MINMAX τιµή τους.

Επίλυση προβληµάτων. Περιγραφή προβληµάτων Αλγόριθµοι αναζήτησης

Επίλυση προβληµάτων. Περιγραφή προβληµάτων Αλγόριθµοι αναζήτησης Επίλυση προβληµάτων Περιγραφή προβληµάτων Αλγόριθµοι αναζήτησης! Αλγόριθµοι τυφλής αναζήτησης Αλγόριθµοι ευρετικής αναζήτησης Παιχνίδια δύο αντιπάλων Προβλήµατα ικανοποίησης περιορισµών Αλγόριθµοι τυφλής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η.

Κεφάλαιο 3. Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Κεφάλαιο 3 Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης Οι αλγόριθµοι τυφλής αναζήτησης (blind

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης

Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης Τεχνητή Νοημοσύνη 04 Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης (Blind Search Algorithms) Εφαρμόζονται σε προβλήματα στα οποία δεν υπάρχει πληροφορία που να επιτρέπει αξιολόγηση των καταστάσεων.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοημοσύνη 06 Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Εισαγωγικά (1/3) Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται από δύο διαφορετικά σύνολα τελεστών μετάβασης που εφαρμόζονται

Διαβάστε περισσότερα

Ε ανάληψη. Προβλήµατα ικανο οίησης εριορισµών. ορισµός και χαρακτηριστικά Ε ίλυση ροβληµάτων ικανο οίησης εριορισµών

Ε ανάληψη. Προβλήµατα ικανο οίησης εριορισµών. ορισµός και χαρακτηριστικά Ε ίλυση ροβληµάτων ικανο οίησης εριορισµών ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη Αναζήτηση µε Αντι αλότητα Adversarial Search Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Προβλήµατα ικανο οίησης εριορισµών ορισµός και

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 1.3-1.4: Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό ( ιάλεξη 2) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Περιεχόµενα Εισαγωγικές Έννοιες - Ορισµοί Ο κύκλος ανάπτυξης προγράµµατος Παραδείγµατα Πότε χρησιµοποιούµε υπολογιστή?

Διαβάστε περισσότερα

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Πρόβλημα 1 Το πρώτο πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού. Για να το λύσουμε με Δυναμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη 2007. Ε ανάληψη. Προβλήµατα ικανο οίησης εριορισµών ορισµός και χαρακτηριστικά

ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη 2007. Ε ανάληψη. Προβλήµατα ικανο οίησης εριορισµών ορισµός και χαρακτηριστικά ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη Αναζήτηση µε Αντι αλότητα Adversarial Search Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Προβλήµατα ικανο οίησης εριορισµών ορισµός και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Θέµα 1 ο Α. Να απαντήσετε τις παρακάτω ερωτήσεις τύπου Σωστό Λάθος (Σ Λ) 1. Σκοπός της συγχώνευσης 2 ή περισσοτέρων ταξινοµηµένων πινάκων είναι η δηµιουργία

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ"

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ" ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Υπεύθυνος Καθηγητής Λυκοθανάσης Σπυρίδων Ακαδημαικό Έτος:

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25)

Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25) Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος των BellmanFord Ο αλγόριθµος του Dijkstra ΕΠΛ 232 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 61

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ.Ε. ΠΛΗ31 (2005-6) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ #1 Στόχος Η εργασία επικεντρώνεται σε θέματα προγραμματισμού για Τεχνητή Νοημοσύνη και σε πρακτικά θέματα εξάσκησης σε Κατηγορηματική Λογική. Θέμα 1: Απλές Αναζητήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Δέντρα Αναζήτησης Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Το πρόβλημα Αναζήτηση Θέλουμε να διατηρήσουμε αντικείμενα με κλειδιά και να μπορούμε εκτός από

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

υναμικός Προγραμματισμός

υναμικός Προγραμματισμός υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

Ευφυείς Τεχνολογίες Πράκτορες

Ευφυείς Τεχνολογίες Πράκτορες Ευφυείς Τεχνολογίες Πράκτορες Ενότητα 2: Αναπαράσταση Γνώσης και Επίλυση Προβλημάτων Δημοσθένης Σταμάτης mos@it.tith.gr www.it.tith.gr/~mos Μαθησιακοί Στόχοι της ενότητας 2 Πως ορίζεται ένα πρόβλημα στα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΔΟΥ ΛΥΚΟΠΟΥΛΩΝ ΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Η ΠΡΟΟΔΟΣ ΤΟΥ ΚΛΑΔΟΥ ΛΥΚΟΠΟΥΛΩΝ Στον Προσκοπισµό οι νέοι έχουν την ευκαιρία να αποκτήσουν µια σειρά από εµπειρίες που συµβάλλουν στην φυσιολογική

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 18 Dijkstra s Shortest Path Algorithm 1 / 12 Ο αλγόριθμος εύρεσης της συντομότερης διαδρομής του Dijkstra

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου Εαρινό Εξάµηνο 2009 Κάτια Παπακωνσταντινοπούλου 1. Εστω A ένα µη κενό σύνολο. Να δείξετε ότι η αλγεβρική δοµή (P(A), ) είναι αβελιανή οµάδα. 2. Εστω ένα ξενοδοχείο

Διαβάστε περισσότερα

0 1 0 0 0 1 p q 0 P =

0 1 0 0 0 1 p q 0 P = Στοχαστικές Ανελίξεις - Σεπτέμβριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. 4.1 Σύνολο νοµού Αργολίδας. 4.1.1 Γενικές παρατηρήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. 4.1 Σύνολο νοµού Αργολίδας. 4.1.1 Γενικές παρατηρήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. Σύνολο νοµού Αργολίδας.. Γενικές παρατηρήσεις Γίνεται φανερό από την ανάλυση, που προηγήθηκε, πως η επίδοση των υποψηφίων του νοµού Αργολίδας, αλλά και η κατανοµή της βαθµολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα.

Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα. Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα. Ηξερα οτι υπαρχουν επαγγελματιες παιχτες που κερδιζουν πολλα χρηματα απο το στοιχημα και εψαχνα να βρω τη "μυστικη formula" 'Ετσι κ εσυ. Πηρες μια απο τις

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

1. ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ C++

1. ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ C++ Email: liliadis@fmenr.duth.gr 1. ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ C++ Τα προγράµµατα αποτελούνται από εντολές οι οποίες γράφονται σε έναν απλό επεξεργαστή που προσφέρει και το Περιβάλλον της Visual C++. Οι εντολές

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Θα σε βοηθούσε για παράδειγμα να γράψεις και εσύ μια λίστα με σκέψεις σαν αυτή που έκανε η Ζωή και εμφανίστηκε ο «Αγχολέων»!

Θα σε βοηθούσε για παράδειγμα να γράψεις και εσύ μια λίστα με σκέψεις σαν αυτή που έκανε η Ζωή και εμφανίστηκε ο «Αγχολέων»! Η Ζωή είναι 8 χρονών και πριν 3 χρόνια ο παιδιάτρος και οι γονείς της, της εξήγησαν πως έχει Νεανική Ιδιοπαθή Αρθρίτιδα. Από τότε η Ζωή κάνει όλα αυτά που τη συμβούλεψε ο παιδορευματολόγος της και είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #2: Πολυωνυμικοί Αλγόριθμοι, Εισαγωγή στα Γραφήματα, Αναζήτηση κατά Βάθος, Τοπολογική Ταξινόμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND)

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND) ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND) Ένωση Ξένων Συνόλων (Disjoint Sets with Union) S 1,, S k : ξένα υποσύνολα ενός συνόλου U δηλ., S i S j =, αν i j, και S 1 S k = U. Λειτουργίες που θέλουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Σας καλωσορίζω σήµερα στην Περιφέρεια Αττικής.

Σας καλωσορίζω σήµερα στην Περιφέρεια Αττικής. Αξιότιµε κύριε Υπουργέ, Αγαπητοί ήµαρχοι, Σας καλωσορίζω σήµερα στην Περιφέρεια Αττικής. Γνωρίζετε όλοι πως κάθε έργο για να υλοποιηθεί περνά από πολλές φάσεις: µελέτες, εγκρίσεις περιβαλλοντικών όρων,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΠΑΚΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2012-2013

ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΠΑΚΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2012-2013 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΠΑΚΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2012-2013 ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΉ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Αποδείξτε τη µεταβατική και τη συµµετρική ιδιότητα του Θ. Λύση Μεταβατική Ιδιότητα (ορισµός): Αν f(n) = Θ(g(n)) και g(n) = Θ(h(n)) τότε f(n)=θ(h(n)). Για

Διαβάστε περισσότερα

--------------------------------------

-------------------------------------- ------------------------------------- Project Brief Ανάπτυξη ηλεκτρονικής εκπαιδευτικής εφαρμογής -------------------------------------- 1 Στόχοι / Overview 1. Περιγράψτε με λίγα λόγια το έργο. Ποιοι είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο τρίτο. Κεφάλαιο τρίτο

Κεφάλαιο τρίτο. Κεφάλαιο τρίτο Κεφάλαιο τρίτο Αυτό που ξέρουµε σαν αρρώστια είναι το τελικό στάδιο µιας βαθύτερης ανωµαλίας και είναι φανερό ότι για να εξασφαλίσουµε πλήρη επιτυχία στη θεραπεία, το ν' αντιµετωπίσουµε µόνο το τελικό

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 9: Αλγόριθμοι Αμοιβαίου Αποκλεισμού με τη χρήση μεταβλητών Ανάγνωσης/Εγγραφής. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 9: Αλγόριθμοι Αμοιβαίου Αποκλεισμού με τη χρήση μεταβλητών Ανάγνωσης/Εγγραφής. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 9: Αλγόριθμοι Αμοιβαίου Αποκλεισμού με τη χρήση μεταβλητών Ανάγνωσης/Εγγραφής ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Τι θα δούμε σήμερα Αλγόριθμος Ψησταριάς (Bakery Algorithm) Αλγόριθμος 2- επεξεργαστών

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΑΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΩΤΟΥ ΑΘΟΥ 1. ηµειώστε το γράµµα αν η πρόταση είναι σωστή και το γράµµα αν είναι λάθος. 1. Ο αλγόριθµος πρέπει να τερµατίζεται µετά από εκτέλεση πεπερασµένου

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

οποία ερχόµενη πίσω από τη γραµµή εκκίνησης κτυπήσει την αριθµηµένη µπίλια.

οποία ερχόµενη πίσω από τη γραµµή εκκίνησης κτυπήσει την αριθµηµένη µπίλια. ΠΑΓΚΟΣΜΙΟΙ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ ΟΚΤΑΜΠΑΛΟ 1. Σκοπός του παιχνιδιού. Το παιγνίδι παίζεται µε δηλωµένα χτυπήµατα και παίζεται µε µια άσπρη µπίλια και δεκαπέντε αριθµηµένες µπίλιες από το 1 ως το 15. Ο ένας παίκτης

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση καθημερινών ημερίδων

Οργάνωση καθημερινών ημερίδων Οργάνωση καθημερινών ημερίδων 1) Αγώνες ζευγών 1α) Διαθέσιμες κινήσεις: Φιλοσοφία, μηχανισμοί και τα χαρακτηριστικά τους. Οι κινήσεις είναι ένα από τα βασικότερα εργαλεία που έχει ένας διαιτητής στη διάθεσή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ) 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ) 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ) 2007 ΘΕΜΑ 1ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Περιεχόμενα. Μέσα στο Κουτί. Εισαγωγή... 2. Στόχος... 2. Μέσα στο Κουτί... 2. Οι Κάρτες... 3. Περιγραφή των Καρτών... 3. Επιβίβαση!...

Εισαγωγή. Περιεχόμενα. Μέσα στο Κουτί. Εισαγωγή... 2. Στόχος... 2. Μέσα στο Κουτί... 2. Οι Κάρτες... 3. Περιγραφή των Καρτών... 3. Επιβίβαση!... Αριθμός Παικτών: 2-4 Χρόνος Παιχνιδιού: 45 λεπτά Ηλικίες: 12 και άνω Περιεχόμενα Εισαγωγή................................... 2 Στόχος..................................... 2 Μέσα στο Κουτί...............................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ Περίγραµµα Εισαγωγή Στοιχεία Πολυπλοκότητας Ηλίας Κ. Σάββας Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα: Τεχνολογίας Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Email: savvas@teilar teilar.gr Αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΤΕ ΤΟ ΧΡΟΝΟ ΣΑΣ. Του ρα Κώστα Γ. Κονή *

ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΤΕ ΤΟ ΧΡΟΝΟ ΣΑΣ. Του ρα Κώστα Γ. Κονή * ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΤΕ ΤΟ ΧΡΟΝΟ ΣΑΣ Του ρα Κώστα Γ. Κονή * Παρακολουθώντας τους ρυθµούς πολλών συνανθρώπων µας σε διάφορα επαγγέλµατα, ιδιαίτερα εκείνων που έχουν τις δικές τους δουλειές, µου κάνει τεράστια εντύπωση

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 29 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 29 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 29 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-6 και

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση

Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση Περίληψη Αλγόριθµοι τύπου Brute-Force Παραδείγµατα Αναζήτησης Ταξινόµησης Πλησιέστερα σηµεία Convex hull Βελτιστοποίηση Knapsack problem Προβλήµατα Ανάθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΘΕΩΡΙΑ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΘΕΩΡΙΑ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΘΕΩΡΙΑ ΖΗΤΗΣΗΣ Οι τιµές Στην οικονοµία οι τιµές παίζουν βασικό ρόλο. Κατανέµουν τους παραγωγικούς πόρους στις τοµείς όπου υπάρχει µεγαλύτερη ζήτηση µε το πιο αποτελεσµατικό τρόπο. Αυτό το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 18: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 18: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 8: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Ορισμός Προβλήματος Τι θα δούμε σήμερα Συνθήκες Συμφωνίας κάτω από Βυζαντινό Στρατηγό Πιθανοτικοί αλγόριθμοι επίλυσης Βυζαντινής

Διαβάστε περισσότερα

Η βαθµολόγηση των γραπτών στα Μαθηµατικά

Η βαθµολόγηση των γραπτών στα Μαθηµατικά 1 Η βαθµολόγηση των γραπτών στα Μαθηµατικά Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Όπως γνωρίζουµε η αξιολόγηση των µαθητών είναι µέρος της διδακτικής διαδικασίας

Διαβάστε περισσότερα

Edward de Bono s. Six Thinking Hats. Εργαλείο Αξιολόγησης Ποιότητας & Αποτελεσµατικότητας (λήψης αποφάσεων και επίλυσης προβληµάτων)

Edward de Bono s. Six Thinking Hats. Εργαλείο Αξιολόγησης Ποιότητας & Αποτελεσµατικότητας (λήψης αποφάσεων και επίλυσης προβληµάτων) Edward de Bono s Six Thinking Hats Εργαλείο Αξιολόγησης Ποιότητας & Αποτελεσµατικότητας (λήψης αποφάσεων και επίλυσης προβληµάτων) ρ. Αικατερίνη Πουστουρλή, για το ΛΑΪΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΕΡΡΩΝ 19-01- Dr.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

υαδικό έντρο Αναζήτησης (BSTree)

υαδικό έντρο Αναζήτησης (BSTree) Εργαστήριο 6 υαδικό έντρο Αναζήτησης (BSTree) Εισαγωγή Οι περισσότερες δοµές δεδοµένων, που εξετάσαµε µέχρι τώρα (λίστες, στοίβες, ουρές) ήταν γραµ- µικές (ή δοµές δεδοµένων µιας διάστασης). Στην παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΒΑΣΕΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ Insert, Update, Delete, Ένωση πινάκων Γιώργος Μαρκοµανώλης Περιεχόµενα Group By... 1 Having...1 Οrder By... 2 Εντολή Insert...

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ιαστασιοποίηση του Ασύρµατου Μέρους του ικτύου

ιαστασιοποίηση του Ασύρµατου Μέρους του ικτύου ιαστασιοποίηση του Ασύρµατου Μέρους του ικτύου Συγκέντρωση/Οµαδοποίηση Πόρων Τα συστήµατα απευθύνονται σε µεγάλο πλήθος χρηστών Η συγκέντρωση (trunking) ή αλλιώς οµαδοποίηση των διαθέσιµων καναλιών επιτρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Στο σηµείωµα αυτό αρχικά εξηγείται η έννοια αλγόριθµος και παραθέτονται τα σπουδαιότερα κριτήρια που πρέπει να πληρεί κάθε αλγόριθµος. Στη συνέχεια, η σπουδαιότητα των αλγορίθµων συνδυάζεται

Διαβάστε περισσότερα

10. Με πόσους και ποιους τρόπους μπορεί να αναπαρασταθεί ένα πρόβλημα; 11. Περιγράψτε τα τρία στάδια αντιμετώπισης ενός προβλήματος.

10. Με πόσους και ποιους τρόπους μπορεί να αναπαρασταθεί ένα πρόβλημα; 11. Περιγράψτε τα τρία στάδια αντιμετώπισης ενός προβλήματος. 1. Δώστε τον ορισμό του προβλήματος. 2. Σι εννοούμε με τον όρο επίλυση ενός προβλήματος; 3. Σο πρόβλημα του 2000. 4. Σι εννοούμε με τον όρο κατανόηση προβλήματος; 5. Σι ονομάζουμε χώρο προβλήματος; 6.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8.6. Πίνακες ΙI ( ιάλεξη 16) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

Κεφάλαιο 8.6. Πίνακες ΙI ( ιάλεξη 16) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 8.6 Πίνακες ΙI ( ιάλεξη 16) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ 16-1 Πίνακες - Επανάληψη Στην προηγούµενη διάλεξη κάναµε µια εισαγωγή στην δοµή δεδοµένων Πίνακας Σε ένα πίνακα ένα σύνολο αντικειµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Να χαρακτηρίσετε µε σωστό ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις: 1. Ανοικτά είναι τα προβλήµατα που δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΥΠΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΥΠΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η τεχνική του τµη- µατικού προγραµµατισµού αποτελεί κύριο Είναι η τεχνική σχεδίασης σύµφωνα µε την οποία η ανάπτυξη ε- νός προγράµµατος επιτυγχάνεται αναπτύσσοντας απλούστερα

Διαβάστε περισσότερα

Extensive Games with Imperfect Information

Extensive Games with Imperfect Information Extensive Games with Imperfect Information Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εκτεταµένα παίγνια µε ατελή πληροφόρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10β: Αλγόριθμοι Γραφημάτων-Γραφήματα- Αναπαράσταση Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo ΦΥΣ 145 - Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo Χρησιμοποίηση τυχαίων αριθμών για επίλυση ολοκληρωμάτων Η μέθοδος Monte Carlo δίνει μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση ενός ολοκληρώμτατος Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

ÑÏÕËÁ ÌÁÊÑÇ. Β. Να αναφέρετε τις κυριότερες τυποποιηµένες τεχνικές σχεδίασης αλγορίθµων. ΜΟΝΑ ΕΣ 3

ÑÏÕËÁ ÌÁÊÑÇ. Β. Να αναφέρετε τις κυριότερες τυποποιηµένες τεχνικές σχεδίασης αλγορίθµων. ΜΟΝΑ ΕΣ 3 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 Ο ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και δίπλα τη λέξη Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Παιγνίων Παύλος Σ. Εφραιμίδης Περιεχόµενα Τι είναι η θεωρία παιγνίων Ο ρόλος ενός µαθηµατικού µοντέλου Το δίληµµα του φυλακισµένου Σηµείο ισορροπίας Nash Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων (game theory) µας βοηθάει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ / Γ ΕΠΑΛ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 27/01/2013

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ / Γ ΕΠΑΛ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 27/01/2013 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ / Γ ΕΠΑΛ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 27/01/2013 ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #10: Αλγόριθμοι Διαίρει & Βασίλευε: Master Theorem, Αλγόριθμοι Ταξινόμησης, Πιθανοτικός

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 06: Συνδεδεμένες Λίστες & Εφαρμογές Στοιβών και Ουρών

Διάλεξη 06: Συνδεδεμένες Λίστες & Εφαρμογές Στοιβών και Ουρών ΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 1 Διάλεξη 06: Συνδεδεμένες Λίστες & Εφαρμογές Στοιβών και Ουρών Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Υλοποίηση ΑΤΔ με Συνδεδεμένες Λίστες -

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-460 Συστήµατα ιαχείρισης Βάσεων εδοµένων ηµήτρης Πλεξουσάκης Βασίλης Χριστοφίδης

Πανεπιστήµιο Κρήτης Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-460 Συστήµατα ιαχείρισης Βάσεων εδοµένων ηµήτρης Πλεξουσάκης Βασίλης Χριστοφίδης Πανεπιστήµιο Κρήτης Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-460 Συστήµατα ιαχείρισης Βάσεων εδοµένων ηµήτρης Πλεξουσάκης Βασίλης Χριστοφίδης Ονοµατεπώνυµο: Αριθµός Μητρώου: Τελική Εξέταση (3 ώρες) Ηµεροµηνία: 7

Διαβάστε περισσότερα