Σειρές Fourier και Προβλήματα Συνοριακών Τιμών

Transcript

1 Κεφάλαιο 9 Σειρές Fourier και Προβλήματα Συνοριακών Τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε αναπτύγματα συναρτήσεων σε σειρές Fourier και την εφαρμογή τους στην επίλυση προβλημάτων συνοριακακών τιμών (ΠΣΤ) για δεύτερης τάξης ΣΔΕ. Τα προβλήματα με συνθήκες (δεσμεύσεις) που μελετήσαμε στα πλαίσια της θεωρίας των ΔΕ με συνήθεις παραγώγους, ήταν αυτά των αρχικών τιμών (ΠΑΤ), δηλαδή ΔΕ που συνοδεύονταν από συνθήκη (δέσμευση) σε ένα μόνο σημείο. Στο σημείο αυτό θα ασχοληθούμε με την επίλυση ΔΕ που υποκείνται σε μια ή περισσότερες συνθήκες (δεσμεύσεις) σε δύο ή περισσότερα σημεία. Σημεία, τα οποία εντοπίζονται στο σύνορο του πεδίου, που εξελίσσεται το φυσικό φαινόμενο για αυτό χρησιμοποιείται ο όρος Προβήματα Συνοριακών Τιμών (ΠΣΤ). Πιο αναλυτικά στο εδάφιο 9.. θα δώσουμε τον ορισμό και τις βασικές ιδιότητες των σειρών Fourier. Η ανισότητα Bessel και η ταυτότητα Prsevl θα μελετηθούν στο εδάφιο 9... Στο εδάφιο 9..3 θα ασχοληθούμε με την ολοκλήρωση και παραγώγιση σειρών Fourier. Στο εδάφιο 9.. θα συζητήσουμε ΠΣΤ για βαθμωτές δεύτερης τάξης ΔΕ. Στο ε- δάφιο 9.. θα ασχοληθούμε με το πρόβλημα ιδιοτιμών για γραμμικη ΔΕ με σταθερούς συντελεστές και θα μελετήσουμε μια ειδική κατηγορία ΠΣΤ Sturm-iouville τα οποία έχουν εφαρμογές σε προβλήματα των φυσικών επιστημών που μοντελοποιούνται από μερικές διαφορικές εξισώσεις (ΜΔΕ). 9. Σειρές Fourier 9.. Ορισμός και βασικές ιδιότητες Από τον λογισμό συναρτήσεων μιας μεταβλητής (βλ. Ρόθος & Σφυράκης, ) γνωρίζουμε ότι, κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις, μια συνάρτηση μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά 345

2 346 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Tylor γύρω από ένα σημείο x f(x) = c n (x x ) n όπου x x < δ για κάποιο δ >. Πολλές φορές επιβάλλετια από τις εφαρμογές, μια συνάρτηση να αναπτυχθεί σε άλλα είδη σειρών, το χρησιμότερο από τα οποία είναι οι τριγωνομετρικές σειρές και ειδικότερα οι σειρές Fourier, τις οποίες θα μελετήσουμε στη συνέχεια. Σειρές τέτοιου τύπου, συναντώνται στις ΔΕ κατά τη μελέτη των περιοδικών λύσεων γραμμικών ΔΕ με περιοδικούς μη ομογενείς όρους ή μη γραμμικες ΔΕ. Επίσης παρουσιάζονται κατά την επίλυση ΜΔΕ, καθώς και ΠΣΤ. Πριν προχωρήσουμε στον υπολογισμό των συντελεστών και τις ιδιότητες των σειρών Fourier, θα παρουσιάσουμε ορισμένα στοιχεία της θεωρίας συναρτήσεων. Ορθογωνιότητα συναρτήσεων Δύο ολοκληρώσιμες συναρτήσεις f και g καλούνται ορθογώνιες στο διάστημα [, b], αν f(x)g(x) dx =. Γενικότερα, οι συναρτήσεις ϕ, ϕ,, ϕ n, (πεπερασμένο ή άπειρο το πλήθος) καλούνται ορθογώνιες στο [, b] αν ϕ i (x)ϕ j (x) dx = για i j. Η σημασία της ορθογωνιότητας συναρτήσεων θα φανεί στη συνέχεια που θα δώσουμε τον ορισμό των σειρών Fourier. Παράδειγμα 9.. Δείξτε ότι οι συναρτήσεις, cos πx, sin πx είναι ορθογώνιες στο [, ]., cos πx, sin πx nπx nπx,..., cos, sin,... (9.) Λύση Πρέπει να δείξουμε f(x)g(x) dx = (9.) όπου f και g είναι δύο διαφορετικές από τις δοσμένες συναρτήσεις (9.). Αν r είναι μη μηδενικός ακέραιος, τότε cos rπx dx = rπ sin rπx =. (9.3)

3 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 347 και sin rπx dx = rπ cos rπx Συνεπώς η (9.) ισχύει αν f και g οποιαδήποτε συνάρτηση από τις (9.). Αν f(x) = cos (mπx/) και g(x) = cos (nπx/) όπου m και n είναι θετικοί ακέραιοι, τότε f(x)g(x) dx = cos mπx =. nπx cos dx. (9.4) Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος, χρησιμοποιούμε την ταυτότητα cos A cos B = [cos(a B) + cos(a + B)] με A = mπx/ και B = nπx/. Τότε η (9.4) γίνεται f(x)g(x) dx = [ cos (m n)πx dx + cos (m + n)πx ] dx. Αφού m n και m + n μη μηδενικοί ακέραιοι, η (9.3) συνεπάγεται ότι τα ολοκληρώματα είναι μηδέν. Συνεπώς, η (9.) είναι αληθής. Αν f(x) = sin (mπx/) και g(x) = sin (nπx/) όπου m και n είναι θετικοί ακέραιοι m n, τότε f(x)g(x) dx = sin mπx nπx sin dx. (9.5) Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος, χρησιμοποιούμε την ταυτότητα sin A sin B = [cos(a B) cos(a + B)] με A = mπx/ και B = nπx/. Τότε η (9.5) γίνεται f(x)g(x) dx = [ cos (m n)πx dx cos (m + n)πx ] dx =. Αν f(x) = sin (mπx/) και g(x) = cos (nπx/) όπου m και n είναι θετικοί ακέραιοι (όχι απαρραίτητα διαφορετικοί), τότε f(x)g(x) dx = sin mπx nπx cos dx =. Θεώρημα 9.. Έστω ότι οι συναρτήσεις ϕ, ϕ, ϕ 3,..., είναι ορθογώνιες στο διάστημα [, b] και ϕ n(x) dx, n =,, 3,.... (9.6)

4 348 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Έστω c, c, c 3,... είναι σταθερές ώστε τα μερικά αθροίσματα f N (x) = N m= c mϕ m (x) ικανοποιούν τις ανισότητες f N (x) M, x b, N =,, 3,... για κάποια σταθερά M <. Υποθέτουμε, επίσης, ότι η σειρά f(x) = c m ϕ m (x) (9.7) m= συγκλίνουν και είναι ολοκληρώσιμες στο [, b]. Τότε c n = f(x)ϕ n (x) dx, n =,, 3,.... (9.8) ϕ n(x) dx Απόδειξη Πολλαπλασιάζοντας την (9.7) με ϕ n και ολοκληρώνοντας, έχουμε ( b ) f(x)ϕ n (x) dx = ϕ n (x) c m ϕ m (x) dx. (9.9) m= Λόγω της σύγκλισης των σειρών, μπορούμε να εναλλάξουμε τη θέση του ολοκληρώματος και του αθροίσματος, οπότε η (9.9) γράφεται ως Αφού η (9.) γίνεται f(x)ϕ n (x) dx = c m ϕ n (x)ϕ m (x) dx. (9.) m= ϕ n (x)ϕ m (x) dx = αν m n, f(x)ϕ n (x) dx = c n ϕ n(x) dx. Τώρα η σχέση (9.6) συνεπάγεται την (9.8). Το Θεώρημα 9.. μας δίνει τον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός 9.. Έστω ϕ, ϕ,..., ϕ n, είναι ορθογώνιες συναρτήσεις στο [, b] και ϕ n(x) dx, n =,, 3,....

5 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 349 Έστω f είναι ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο [, b], και ορίζουμε c n = f(x)ϕ n (x) dx, n =,, 3,.... (9.) ϕ n(x) dx Τότε, η άπειρη σειρά c nϕ n (x) καλείται ανάπτυγμα Fourier της f ως προς το ορθογώνιο σύνολο {ϕ n }, και c, c,..., c n,... καλούνται συντελεστές Fourier της f αναφορικά {ϕ n }. Δηλώνουμε την σχέση της f και του αντίστοιχου αναπτύγματος Fourier με f(x) c n ϕ n (x), x b. (9.) Θα πρέπει να αναρωτηθούμε γιατί δεν γράφουμε f(x) = c n ϕ n (x), x b, αντί την (9.). Δυστυχώς, δεν συμβαίνει πάντα στην πράξη. Η σειρά στο δεξί μέρος μπορεί να αποκλίνει για μερικές τιμές ή και για όλες τις τιμές του x στο [, b], ή μπορεί να συγκλίνει στην f(x) για μερικές τιμές του x και όχι για άλλες. Προς το παρόν, θα θεωρούμε τη σειρά σχετιζόμενη με την f λόγω του ορισμού των συντελεστών {c n }, και αυτή η σχέση θα δίνεται άτυπα με τη σχέση (9.). Σειρές Fourier Θα μελετήσουμε το ανάπτυγμα Fourier ως προς τις ορθογώνιες συναρτήσεις, cos πx, sin πx, cos πx, sin πx nπx nπx,..., cos, sin,.... Αν η f είναι ολοκληρώσιμη στο [, ], το ανάπτυγμα Fourier της f ως προς τις παραπάνω ορθογώνιες συναρτήσεις, καλείται σειρά Fourier της f στο [, ]. Αφού και dx =, cos nπx dx = ( + cos nπx ) dx = ( x + ) nπx sin =, nπ sin nπx dx = ( cos nπx ) dx = ( x ) nπx sin, nπ =,

6 35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ έχουμε από την (9.) ότι η σειρά Fourier της f στο[, ] είναι + ( n cos nπx + b n sin nπx ), όπου n = = f(x) dx, f(x) cos nπx dx, και b n = f(x) sin nπx dx, n. Ορισμός 9.. Εστω f(x) μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα [, ]. Ονομάζουμε σειρά ή ανάπτυγμα Fourier της f(x) στο διάστημα [, ] την έκφραση n = f(x) + f(x) cos [ n cos ) + b n sin ) dx, b n = f(x) sin )], (9.3) ) dx, n =,,,... (9.4) Το [, ] ονομάζεται θεμελειώδες διάστημα, οι αριθμοί n, b n, n =,,,... αποτελούν τους συντελεστές Fourier και οι σχέσεις (9.4) τους τύπους Fourier για το ανάπτυγμα (9.3). Σύγκλιση Σειρών Fourier Το ερώτημα της σύγκλισης σειρών Fourier μιας αυθαίρετης ολοκληρώσιμης συνάρτησης είναι εκτός του σκοπού του βιβλίου, αλλά θα παρουσιάσουμε με απλό και κατανοητό τρόπο το θεώρημα το οποίο μας βοηθάει στις εφαρμογές. Ορισμός 9..3 Μια συνάρτηση f καλείται τμηματικά ομαλή στο [, b] αν: (αʹ) f έχει πεπερασμένα σημεία ασυνέχειας στο (, b). (βʹ) f υπάρχει και είναι συνεχής εκτός από πεπερασμένα σημεία στο (, b). (γʹ) f(x +) = lim x x + f(x) και f (x +) = lim x x + f (x) υπάρχει αν x < b. (δʹ) f(x ) = lim x x f(x) και f (x ) = lim x x f (x) υπάρχει αν < x b. Αφού οι f και f απαιτούνται να είναι συνεχείς σε πεπερασμένα το πλήθος σημεία στο [, b], f(x +) = f(x ) και f (x +) = f (x ) για όλες τις πεπερασμένες το πλήθος τιμές του x στο (, b). Θα λέμε ότι η f έχει ένα σημείο ασυνέχειας στο x αν f(x +) f(x ). Το επόμενο θεώρημα δίνει τις ικανές συνθήκες για την σύγκλιση των σειρών Fourier, για την απόδειξη του οποίου παραπέμπουμε στα βιβλία ( J.W. Brwn & d R. Churchill 993, W.E Boyce & R.C. DiPrim, )

7 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 35 Θεώρημα 9.. Αν f είναι τμηματικά ομαλή συνάρτηση στο [, ], τότε η σειρά Fourier, F (x) = + ( n cos nπx + b n sin nπx ) (9.5) της f στο [, ] συγκλίνει για όλα τα x στο [, ] επιπλέον, f(x) αν < x < και f είναι συνεχής στο x f(x ) + f(x+) F (x) = αν < x < και f είναι ασυνεχής στο x f( +) + f( ) αν x = ή x =. Αφού f(x+) = f(x ), αν f είναι συνεχής στο x, μπορούμε ισοδύναμα να γράψουμε f(x+) + f(x ) αν < x <, F (x) = f( ) + f( +) αν x = ±. Σημειώνουμε, ότι η F είναι τμηματικά ομαλή στο [, ] και F (x) = f(x) σε όλα τα σημεία του ανοικτού διαστήματος (, ) όπου η f είναι συνεχής. Αφού η σειρά στην (9.5) συγκλίνει στην F (x) για όλα τα x in [, ], μπορούμε να θεωρήσουμε το σφάλμα E N (x) = F (x) N ( n cos nπx + b n sin nπx ) ώστε να γίνει όσο πιο μικρό θέλουμε για όλα τα x στο [, ] επιλέγοντας το N αρκετά μεγάλο. Αυτό όμως δεν είναι σωστό αν η f έχει ασυνέχεια κάπου στο (, ), ή αν f( +) f( ). Δηλ. Αν f έχει ασυνέχεια στο σημείο α (, ), θα υπάρχει ακολουθία σημείων {u N } και {v N } στο (, α) και (α, ), αντίστοιχα, έτσι ώστε και lim u N = lim v N = α N N E N (u N ).9 f(α ) f(α+) και E N (v N ).9 f(α ) f(α+). Έτσι, η μέγιστη τιμή της συνάρτησης σφάλματος E N (x) κοντά στο α δεν πλησιάζει το μηδέν καθώς N, αλλά ίσα που εμφανίζεται όσο και πιο κοντά στο (και από τις δύο μεριές ) α, και είναι ανεξάρτητο του N. Αν f( +) f( ), τότε θα υπάρχουν ακολουθίες σημείων {u N } και {v N } in (, ) έτσι ώστε lim u N =, N lim v N =, N

8 35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ y x Σχήμα 9.: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f του Παραδείγματος 9... E N (u N ).9 f( +) f( ) και E N (v N ).9 f( +) f( ). Αυτό που περιγράψαμε παραπάνω με απλό τρόπο είναι γνωστό και ως φαινόμενο Gibbs, βλ. Σχήματα , και θα δώσουμε μερικά παραδείγματα στη συνέχεια του εδαφίου. Παράδειγμα 9.. Να βρεθεί η σειρά Fourier της τμηματικά συνεχούς συνάρτησης { x, < x <, f(x) =, < x < στο [, ] και οποιεσδήποτε τιμές στα σημεία και ± (Σχήμα 9.). Καθορίστε το ά- θροισμα της σειράς Fourier για x. Λύση Η f είναι τμηματικά ομαλή στο [, ] και οι συντελεστές της σειράς Fourier F (x) = + ( n cos nπx + b n sin nπx ) δεν επηρεάζονται από τις τιμές στο και ±. Σε κάθε περίπτωση το Θεώρημα 9.. συνεπάγεται ότι F (x) = f(x) στο (, ) και (, ), όπου η f είναι συνεχής, αφού f( +) + f( ) F ( ) = F () = = ( + ) = 5 4

9 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 353 και Συνοψίζοντας, F () = f( ) + f(+) F (x) = = 5 4, x = x, < x <, ( + ) = 4. 4, x =,, < x <, 5 4, x =. Υπολογίζουμε τους συντελεστές της σειράς Fourier ως εξής: = 4 f(x) dx = [ ( x) dx + 4 ] dx = 3 4. Αν n, τότε n = f(x) cos nπx dx = [ ( x) cos nπx ] dx + nπx cos dx = (cos nπ ) = n π n π (( )n ), και b n = f(x) sin nπx dx = [ ( x) sin nπx ] dx + nπx sin dx = ( + 3 cos nπ) = nπ nπ ( + 3( )n ), όπου cosnπ = ( ) n. Συνεπώς F (x) = π ( ) n n cos nπx + π + 3( ) n n sin nπx. Το Σχήμα 9. δείχνει ότι το μερικό άθροισμα F m (x) = π m ( ) n n cos nπx + π m + 3( ) n n sin nπx προσεγγίζει την f(x) για m = 5 (καμπύλη με τελείες), m = (διακεκομμένη καμπύλη), και m = 5 (συμπαγής καμπύλη). Άρτιες και Περιττές Συναρτήσεις

10 354 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ y x Σχήμα 9.: Προσέγγιση της f(x) με μερικά αθροίσματα της σειράς Fourier στο [, ]. Ο υπολογισμός των συντελεστών της σειράς Fourier για την f απλοποιείται σημαντικά, όταν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή. Έστω u και v ορισμένες στο [, ] και u( x) = u(x) και v( x) = v(x), x. Τότε, η u είναι άρτια συνάρτηση και η v είναι περιττή συνάρτηση. Ισχύει: Θεώρημα 9..3 Υποθέτουμε ότι u είναι άρτια και v είναι περιττή στο [, ]. Τότε: () u(x) dx = u(x) dx, (b) v(x) dx =, (e) (c) (d) u(x) sin nπx u(x) cos nπx dx = v(x) sin nπx dx = dx = και (f) u(x) cos nπx dx, v(x) sin nπx dx, v(x) cos nπx dx =. Το άθροισμα (διαφορά) και το γινόμενο (πηλίκο) δύο άρτιων συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση. Το άθροισμα (διαφορά) δύο περιττών συναρτήσεων, είναι περιττή. Ενώ το γινόμενο (πηλίκο) δύο περιττών συναρτήσεων είναι άρτια.

11 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 355 Το άθροισμα (διαφορά) μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης, δεν είναι πάντα, ούτε άρτια, ούτε περιττή, ενώ το γινόμενο (πηλίκο) δύο τέτοιων συναρτήσεων, είναι περιττή συνάρτηση. Παράδειγμα 9..3 Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η f(x) = x x στο [, ], και καθορίστε το άθροισμα της στο x. Λύση Αφού =, όπου και F (x) = + ( n cos nπx + b n sin nπx ) n = b n = = 4 (x x) cos nπx (x x) sin nπx (x x) dx, (9.6) dx, n =,, 3,..., (9.7) dx, n =,, 3,.... (9.8) Απλοποιούμε τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων με χρήση του Θεωρήματος 9..3 με u(x) = x και v(x) = x. Έτσι, απο την (9.6), Από την (9.7), Από (9.8), n = = = b n = = x dx = x3 6 = 4 3. [ x cos nπx dx = x sin nπx nπ [ 8 x cos nπx ] n π cos nπx dx [ 8 cos nπ ] nπx sin n π nπ = nπ [ [ x sin nπx dx = x cos nπx nπ ] cos nπ nπx sin nπ = ( ) n 6 n π. = ( ) n 4 nπ. ] x sin nπx dx ] cos nπx dx

12 356 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ y x Σχήμα 9.3: Προσέγγιση της f(x) = x x με μερικά αθροίσματα της σειράς Fourier στο [, ] Συνεπώς F (x) = π ( ) n n cos nπx + 4 π ( ) n Το Θεώρημα 9.. μας δίνει 4, x =, F (x) = x x, < x <, 4, x =. Στο Σχήμα 9.3 φαίνεται ότι το μερικό άθροισμα F m (x) = π m ( ) n n cos nπx + 4 π n m ( ) n n sin nπx. sin nπx προσεγγίζει την f(x) για m = 5 (καμπύλη με τελείες), m = (διακεκομμένη καμπύλη), και m = 5 (συμπαγής καμπύλη ). Από το Θεώρημα 9..3 έχουμε το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα 9..4 Υποθέτουμε ότι η f είναι ολοκληρώσιμη στο [, ].

13 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 357 (αʹ) Αν f είναι άρτια συνάρτηση, η σειρά Fourier της f στο [, ] είναι όπου = F (x) = + n cos nπx, f(x) dx και n = f(x) cos nπx dx, n. (βʹ) Αν f είναι περιττή συνάρτηση, η σειρά Fourier της f στο [, ] είναι F (x) = b n sin nπx, όπου b n = f(x) sin nπx dx. Παράδειγμα 9..4 Βρείτε τη σειρά Fourier της f(x) = x στο [ π, π] και καθορίστε το άθροισμα της στο π x π. Λύση Αφού η f είναι περιττή συνάρτηση και = π, όπου Οπότε F (x) = b n sin nx b n = π x sin nx dx = [ π x cos nx π nπ = π cos nπ + sin nx n n π = ( ) n+ n. Το Θεώρημα 9.. δίνει F (x) = ( ) n sin nx. n, x = π, F (x) = x, π < x < π,, x = π. π ] cos nx dx

14 358 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ y x 3 Σχήμα 9.4: Προσέγγιση της f(x) = x με μερικά αθροίσματα της σειράς Fourier στο [ π, π] Στο Σχήμα 9.4 φαίνεται καθαρά πως το μερικό άθροισμα F m (x) = m ( ) n sin nx n προσεγγίζει την f(x) για m = 5 (καμπύλη με τελείες), m = (διακεκομμένη καμπύλη), και m = 5 (συμπαγής καμπύλη). Παράδειγμα 9..5 Βρείτε τη σειρά Fourier για τη συνάρτηση f(x) = x στο [ π, π] και καθορίστε το άθροισμα της στο π x π. Λύση Αφού η f είναι άρτια και = π, F (x) = + n cos nx. Επίσης f(x) = x αν x, = π π x dx = x π π = π

15 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 359 και, αν n, Συνεπώς Όμως n = π π = n π x cos nx dx = [ x sin nx nπ π cos nx F (x) = π 4 + π ( ) n = π π ] sin nx dx = (cos nπ ) = n π n π [( )n ]. n= ( ) n n cos nx. (9.9) { αν n = m, αν n = m +, οι όροι στην (9.9) για n = m είναι όλοι μηδέν. Συνεπώς, θεωρούμε μόνο όρους για τους οποίους n = m +, μπορούμε να γράψουμε την (9.9) ως F (x) = π 4 4 π m= Αντικαθιστούμε τον δείκτη m με n, και έχουμε cos(m + )x. (m + ) F (x) = π 4 4 π n= cos(n + )x. (n + ) Αφού x είναι συνεχής για όλα τα x και π = π, από το Θεώρημα 9.. συνεπάγεται ότι F (x) = x για όλα τα x στο [ π, π]. Παράδειγμα 9..6 Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η συνάρτηση f(x) = x(x ) στο [, ] και να καθορίστε το άθροισμα της στο x. Λύση Αφού η f είναι περιττή, F (x) = b n sin nπx,

16 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ όπου Συνεπώς, b n = = nπ = n π = n 3 π 3 x(x ) sin nπx dx [ x(x ) cos nπx ] (3x ) cos nπx dx [ (3x ) sin nπx ] 6 x sin nπx dx [ x cos nπx ] cos nπx dx = ( ) n 3 n 3 π. 3 F (x) = 3 π 3 ( ) n n 3 sin nπx. Το Θεώρημα 9.. συνεπάγεται ότι F (x) = x(x ) για όλα τα x στο [, ]. Παράδειγμα 9..7 (Φαινόμενο Gibbs) Η σειρά Fourier της, < x <, f(x) =, < x <,, < x < στο [, ] είναι F (x) = + π ( ) n n cos(n )πx. (Αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη!) Σύμφωνα με το Θεώρημα 9..,, x <,, x =, F (x) =, < x <,, x =,, < x ; έτσι, F (καθώς και η f) έχει ασύνεχειες στο x = ±. Στο Σχήμα 9.. και Σχήμα 9.7 φαίνονται τα γραφήματα της y = f(x) και y = F N (x) = + π N ( ) n n cos(n )πx

17 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 36 y y =.9 y =. x y =.9 Σχήμα 9.5: Φαινόμενο Gibbs: Παράδειγμα 9..7, N =. y y =.9 y =. x y =.9 Σχήμα 9.6: Φαινόμενο Gibbs : Παράδειγμα 9..7, N =. για N =,, και 3. Μπορείτε να δείτε καθώς F N προσεγγίζει καλώς την F (και την f) στο μεγαλύτερο διάστημα καθώς N αυξάνεται, η μέγιστη απόλυτη τιμή για τη συνάρτηση σφάλματος παραμένει κατά προσέγγιση στο.9, αλλά εμφανίζεται κοντά στις ασυνέχειες x = ±, καθώς N αυξάνεται. Πολλές φορές, κατά την επίλυση προβλημάτων ΔΕ (συνήθων ή μερικών) εμφανίζεται η ανάγκη, μια συνάρτηση f(x) που είναι ορισμένη σ ένα διάστημα [, ], να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier. Για να γίνει αυτό, θα πρέπει πρώτα η συνάρτηση να επεκταθεί στο διάστημα [, ]. Πιο συγκεκριμένα έχουμε τα ακόλουθα. Ορισμός Η συνάρτηση h(x) ονομάζεται επέκταση της f(x), αν το πεδίο ορισμού της h(x), περικλείει αυτό της f(x) και ισχύει h(x) = f(x), για κάθε x στο κοινό πεδίο ορισμού.. Έστω ότι, η f είναι ορισμένη στο διάστημα [, ]. Τότε ονομάζουμε άρτια επέκταση (βλ. Σχήμα 9.8) της f(x) την

18 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ y y =.9 y =. x y =.9 Σχήμα 9.7: Φαινόμενο Gibbs : Παράδειγμα 9..7, N = 3 f(x), για < x < f (x) = f(), για x = +f( x), για < x < και περιττή επέκταση αυτής (βλ. Σχήμα 9.9), την f(x), για < x < f π (x) = f(), για x = f( x), για < x < (9.) (9.) 3. Ονομάζουμε περιοδική επέκταση μαις συνάρτησης f(x) ορισμένης σ ένα διάστημα [, ], τη συνάρτηση ˆf, που ορίζεται από τη σχέση ˆf(x + k) = f(x), για κάθε x [, ] και για κάθε k Z. (Βλ. Σχήματα 9., 9.). Θεώρημα 9..5 Έστω ότι, η συνάρτηση f(x) είναι τμηματικά συνεχής και -περιοδική. Τότε: () Αν η f(x) είναι άρτια, η σειρά Fourier αυτής περιέχει μόνο συνημιτονικούς όρους με συντελεστές n = f(x)cos ) dx, n =,,,..., b n =, n =,,... (b) Αν η f(x) είναι περιττή, η σειρά Fourier αυτής περιέχει μόνο ημιτονικούς όρους με

19 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 363 y y = f( x) y = f(x) x y y = f(x) y = f( x) x Σχήμα 9.8: Άρτια επέκταση της f(x).

20 364 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ y y = f(x) x y = f( x) y y = f(x) x y = f( x) Σχήμα 9.9: Περιττή επέκταση της f(x).

21 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 365 y x Σχήμα 9.: y = f(x), όπου f(x + ) = f(x), < x < y x Σχήμα 9.: y = f(x), όπου f(x + ) = f(x), < x < συντελεστές n =, n =,,,..., b n = f(x)sin ) dx, n =,,...,. Παράδειγμα 9..8 Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier ημιτόνων η f(x) = x στο [, ]. Λύση Εύκολα μπορούμε να σχεδιάσουμε την περιττή περιοδική επέκταση της f(x) στο [, ]. Οι συντελεστές θα δίνονται από b n = [ x sin nπx dx = x cos nπx ] nπ cos nπx dx n+ = ( ) nπ + nπx sin n+ n π = ( ) nπ.

22 366 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Συνεπώς f(x) = π ( ) n n sin nπx. Στην επίλυση ΠΣΤ για ΔΕ (με συνήθεις ή μερικές παραγώγους) συχνά χρειάζεται να ε- φραρμόσουμε τροποποιημένες εκφράσεις για τις σειρές Fourier. Στο παρακάτω Θεώρημα δείνουμε μερικά χρήσιμα εργαλεία τα οποία θα συναντήσουμε στο επόμενο εδάφιο. Θεώρημα 9..6 () Αν f () = f () =, f είναι συνεχής, και f είναι τμηματικά συνεχής στο [, ], τότε f(x) = + n cos nπx, x, (9.) με με με = f(x) dx και n = n 3 π 3 f (x) sin nπx dx, n. (9.3) Τώρα υποθέτουμε ότι η f είναι συνεχής και η f είναι τμηματικά συνεχής στο [, ]. (b) Αν f() = f() =, τότε f(x) = (c) Αν f () = f() =, τότε f(x) = b n = n π c n cos 8 c n = (n ) π (d) Αν f() = f () =, τότε b n sin nπx, x, f (x) sin nπx (n )πx, x, f (x) cos dx. (9.4) (n )πx dx. (9.5) με f(x) = d n sin 8 d n = (n ) π (n )πx, x, f (x) sin (n )πx dx. (9.6)

23 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 367 Απόδειξη Θα αποδείξουμε το () και το υπόλοιπο θεώρημα το αφήνουμε ως άσκηση στον αναγνώστη. Λόγω της συνέχεια της f στο [, ], το Θεώρημα 9.. συνεπάγεται την (9.) με,,,... όπως ορίστηκαν στο Θεώρημα 9... Γνωρίζουμε τον συντελεστή από τη σχέση (9.3). Αν n, με ολοκλήρωση κατά μέλη δύο φορές και με χρήση της υπόθεσης f () = f () =, έχουμε n = f(x) cos nπx dx [ = f(x) sin nπx nπ = nπ = n π f (x) sin nπx dx [ f (x) cos nπx f (x) sin nπx = f (x) cos nπx n π dx [ = f (x) sin nπx n 3 π 3 = n 3 π 3 f (x) sin nπx dx dx ] ] f (x) cos nπx dx f (x) sin nπx dx ] Παράδειγμα 9..9 Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier συνημιτόνων η f(x) = x (3 x) στο [, ]. Λύση Έχουμε και = n = (3x x 3 ) dx = (3x x 3 ) cos nπx ) (x 3 x4 = 3 dx, n. Επίσης f (x) = 6x 6x, έχουμε f () = f () =. Αφού f (x) =, από τη σχέση (9.3) αν n τότε n = 4 n 3 π 3 = sin nπx 43 nπx dx = cos n 4 π αν n = m, (m ) 4 π 4 αν n = m. = 43 n 4 π 4 [( )n ]

24 368 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Συνεπώς F (x) = π 4 (n )πx cos. (n ) 4 Παράδειγμα 9.. Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier ημιτόνων η f(x) = x(x 3x + ) στο [, ]. Λύση Από f() = f() = και f (x) = 6(x ), η σχέση (9.4) δίνει b n = (x ) sin nπx n π dx [ = (x ) cos nπx n 3 π 3 [ = ] nπx sin n 3 π 3 nπ = 3 n 3 π 3. cos nπx dx ] Συνεπώς F (x) = 3 π 3 nπx sin n3. Παράδειγμα 9.. Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η f(x) = 3x 3 4x + 3 στο [, ]. Λύση Λόγω f () = f() = και f (x) = (9x 4), από τη σχέση (9.5) έχουμε 6 (n )πx c n = (9x 4) cos dx (n ) π [ = 3 (n )πx (9x 4) sin (n ) 3 π 3 9 [ = 3 ( ) n (n ) 3 π 3 (n )π [ ] = ( ) n (n ) 3 π 3 8 (n )π cos (n )πx ] (n )πx sin dx ] Συνεπώς, F (x) = 33 π 3 [ ( ) n 5 + (n ) 3 ] 8 cos (n )π (n )πx. Παράδειγμα 9.. Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier ημιτόνων η f(x) = x(x 9x + )

25 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 369 στο [, ]. Λύση Λόγω f() = f () =, και f (x) = 6(x 3), η σχέση (9.6) δίνει 48 (n )πx d n = (x 3) sin dx (n ) π [ 96 (n )πx = (x 3) cos (n ) 3 π 3 [ ] 96 4 (n )πx = 3 sin (n ) 3 π 3 (n )π [ ] 96 3 = 3 + ( ) n 4. (n ) 3 π 3 (n )π cos (n )πx dx ] Συνεπώς, F (x) = 963 π 3 [ ] 3 + ( ) n 4 sin (n ) 3 (n )π (n )πx. 9.. Ανισότητα Bessel και η ταυτότητα Prsevl Θεωρούμε τις συναρτήσεις f, g ορισμένες στο διάστημα [, b]. Η ποσότητα p (f, g) = f(x) g(x) dx ονομάζεται μέση τετραγωνική απόκλιση των f, g. Η σειρά n (x) συγκλίνει κατά τον μέσο (ή μέσο τετραγωνικό) στη συνάρτηση S(x) στο διάστημα [, b], αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων S k (x) = k k (x), k =,, 3,... έχει μηδενική τετραγωνική απόκλιση από την S(x) στο διάστημα [, b], δηλαδή lim k p (S, S k ) = lim k S(x) S k (x) dx =. Θα προσδιορίσουμε την οικογένεια των συναρτήσεων f(x), των οποίων τα αναπτύγματα Fourier συγκλίνουν κατά τον μέσο όρο σ αυτές (βλ. W.E Boyce, R.C. DiPrim, και

26 37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Ν. Σταυρακάκης, ) Θεώρημα 9..7 [Ανισότητα Bessel] Έστω μια -περιοδική συνάρτηση f(x) με την f (x) ολοκληρώσιμη. Αν n, b n είναι οι συντελεστές Fourier της f(x), τότε ισχύει η ανισότητα Bessel: + ( n + bn) f (x)dx < + (9.7) Απόδειξη Έστω S k (x) τα μερικά αθροίσματα της σειράς Fourier της f(x), δηλαδή S k (x) = + k { n cos Θεωρούμε το μη αρνητικό τετραγωνικό ολοκλήρωμα ) + b n sin )} (f(x) S k (x)) dx = f (x)dx f(x)s k (x)dx + (S k (x)) dx. (9.8) Χρησιμοποίωντας τις σχέσεις ορθογωνιότητας που παρουσιάσαμε στο εδάφιο 9.., μπορούμε να αποδείξουμε ότι (S k (x)) dx = Επιπλέον ισχύει f(x)s k (x)dx = = ( f(x) ( + k { n cos ) k ( + n + bn) ( + k { n cos ) + b n sin } + b n sin )} ) dx )} ) dx = = k f(x)dx + { n ( k = + ( ) ) n + b n f(x) cos ) dx + b n f(x) sin ) } dx

27 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 37 Ετσι η (9.8) γίνεται: (f(x) S k (x)) dx = f (x)dx ( k + ( ) ) n + b n (9.9) Επειδή η (9.9) ισχύει για κάθε k, θα ισχύει προφανώς η ανισότητα Bessel. Αν η f(x) πληρεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος 9..7, τότε ισχύει lim f(x) cos n ) dx = lim f(x) sin n ) dx = (9.3) Πράγματι από την ανισότητα Bessel προκύπτει ότι, n + b n, καθώς το n. Επομένως θα ισχύει n, b n, δηλαδή η (9.3). Από την (9.9) συνεπάγεται ότι, η σειρά Fourier της f(x) συγκλίνει κατά μέσο όρο στην f(x), αν και μόνο αν ισχύει η ακόλουθη ταυτότητα Prsevl. + ( n + bn) = f (x)dx. (9.3) 9..3 Παραγώγιση και Ολοκλήρωση σειρών Fourier Έστω f(x) μια τμηματικά συνεχής, -περιοδική συνάρτηση. Τότε η συνάρτηση F (x) = x f(t)dt, (9.3) είναι συνεχής προς x. Η F (x) θα είναι -περιοδική, αν ικανοποιεί τη συνθήκη F ( ) = F (). Επειδή F ( ) =, θα πρέπει να ισχύει F () = f(t)dt = = (9.33) δηλαδή θα πρέπει να είναι =. Έχουμε αποδείξει το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα 9..8 [Ολοκλήρωση] Έστω f(t) μια -περιοδική, τμηματικά συνεχής συνάρτηση. Τότε, το ολοκλήρωμα (9.3) ορίζει μια -περιοδική συνάρτηση, αν και μόνο αν =. Επιπλέον, σ αυτή την περίπτωση η F (x) είναι τμηματικά λεία. Θεώρημα 9..9 [Αόριστο ολοκλήρωμα: = ] Αν f(x) είναι μια -περιοδική τμηματικά συνεχής συνάρτηση με ανάπτυγμα Fourier f(x) { n cos ) + b n sin )} τότε κάθε μέρος της (9.34), μπορεί να ολοκληρωθεί, οπότε προκύπτει (9.34)

28 37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ x f(t)dt xf(x)dx + Τέλος, η σειρά (9.34), συγκλίνει για κάθε x R. ( ) { n sin nπ ) b n cos Απόδειξη Αν η F (x) είναι περιοδική, τότε έχει ένα συγκλίνον ανάπτυγμα Fourier F (x) = A + { A n cos Για n, η ολοκλήρωση κατά παράγοντες δίνει ) + B n sin )} dx. )}. (9.35) A n = = nπ F (x) cos F (x) sin ) dx = [ ) dx nπ ) ] nπ F (x)sin { f(x) sin ) } dx Επομένως, ισχύει A n = (/nπ) b n, όπου b n οι ημιτονικοί συντελεστές Fourier της συνάρτησης f(x). Ομοίως αποδεικνύεται ότι B n = (/nπ) n, όπου n οι συνημιτονικοί συντελεστές Fourier της συνάρτησης f(x). Επίσης, ισχύει: A = xf(x)dx (9.36) Παράδειγμα 9..3 Με τη χρήση του αναπτύγματος σε σειρά Fourier της συνάρτησης { για < x < f(x) = (9.37) για < x <. Να δειχθεί ότι συνάρτηση f(x) = x, ορισμένη στο διάστημα (, ) και -περιοδική, έχει το ακόλουθο ανάπτυγμα στο R ( ) ( ) 4 { } x π cos (n ) πx. (9.38) (n ) Λύση Εύκολα αποδεικνύεται ότι το ανάπτυγμα Fourier της (9.37) είναι Για x (, ) έχουμε f(x) ( 4 π ) { } sin (n ) πx. n

29 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 373 F (x) = x Επομένως, στο διάστημα (, ) θα ισχύει x A ( ) { 4 cos(πx) + π = A ( 4 π f(t)dt = x, αφούι F () = ( ) ( cos(3πx) } ) { cos (n ) πx (n ), ) } cos(5πx) +... δηλαδή ( ) ( ) A 4 x + { } π cos (n ) πx. (9.39) (n ) ( ) A Ο όρος + μπορεί να υπολογιστεί με δύο τρόπους: (i) Με χρήση της (9.36) A + = xf(x)dx = x x dx =. (ii) Μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελεί το ήμισυ του μηδενικού συντελεστή Fourier της συνάρτησης x, ορισμένης στο διάστημα (, ). Δηλαδή ισχύει, A + = x x dx =. Επομένως η συνάρτηση f(x) = x, ορισμένη στο διάστημα (, ) και -περιοδική, έχει το ακόλουθο ανάπτυγμα στο R (9.38). Το παραπάνω αποτέλεσμα γενικεύεται στην περίπτωση, που η μέση τιμή της συνάρτησης f(x) είναι μη μηδενική. Θεώρημα 9.. [Ορισμένο ολοκλήρωμα: ] Εστω ότι f(x) είναι μια -περιοδική, τμηματικά συνεχής συνάρτηση. Τότε, για κάθε c, d R, το ολοκλήρωμα d c f(x)dx, μπορεί να υπολογισθεί ολοκληρώνοντας τη σειρά Fourier της f(x) όρο προς όρο. Απόδειξη Αν η f(x) έχει μη μηδενική μέση τιμή, δηλαδή, τότε η συνάρτηση h(x) = f(x)

30 374 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ πληρεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Για κάθε c, d R, ισχύει d c f(x)dx = d f(x)dx c f(x)dx = d Άρα, έχουμε το ζητούμενο αποτέλεσμα, το οποίο είναι d c f(x)dx = d c dx + { n cos h(x)dx c ) + b n sin h(x)dx )}. d c dx Παράδειγμα 9..4 Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = x, π < x < π Με τη χρήση του αναπτύγματος σε σειρα Fourier της f να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η συνάρτηση x. Λύση Πράγματι, το ανάπτυγμα σε σειρά Fourier της f είναι [ ] sin x sin 3x f(x) x = sin x Σύμφωνα με τα προηγούμενα, ολοκληρώνοντας όρο προς όρο την τελευταία σειρά από c εως το x, προκύπτει ( ) ( ) x c cos x cos 3x cos c cos 3c = cos x cos c Για να προσδιορίσουμε το άθροισμα των σταθερών γράφουμε το παραπάνω ανάπτυγμα στη μορφή x 4 = C n+ cos nx ( ) n όπου C προσδιοριστέα σταθερά. Επειδή η σειρά στα δεξιά είναι μια ομοιόμορφα συγκλίνουσα σειρά Fourier, μπορούμε να ολοκληρώσουμε όρο προς όρο από π εως π, οπότε προκύπτει π π [ x π dx = Cdx π π ( ) n+ π ] cos nx dx, n ή π 3 π = 4πC, δηλαδή C = 3 Επομένως η ολοκλήρωση της σειράς Fourier της f(x), δίνει το ανάπτυγμα Fourier της x το οποίο είναι [ x π ] = 4 n+ cos nx ( ). n

31 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 375 Παράδειγμα 9..5 Από τα προηγούμενα είναι γνωστό ότι η συνάρτηση f(x) = x ορισμένη στο διάστημα [, ], δέχεται το ακόλουθο ημιτονικό ανάπτυγμα Fourier x = nπ ( )n+ sin nπx, για x. Αν παραγωγίσουμε όρο προς όρο τη σειρά προκύπτει ( ) n+ cos nπx η οποία είναι μεν συνημιτονική σειρά, όχι όμως αυτή που αποτελεί το συνημιτονικό ανάπτυγμα της f(x) = (αφού το συνημιτονικό ανάπτυγμα της είναι η ). Θεώρημα 9.. [Παραγώγιση] Έστω f(x) μια -περιοδική συνεχής συνάρτηση. Υποθέτουμε ότι, υπάρχει f (x) σχεδόν παντού στο [, ] και ότι, η f (x) είναι τμηματικά λεία. Τότε, η σειρά Fourier της f (x) προκύπτει από την σειρά Fourier της f(x), με όρο προς όρο παραγώγιση. Απόδειξη Επειδή η f(x) είναι τμηματικά λεία, θα δέχεται ανάπτυγμα Fourier της μορφής f (x) + Επίσης, η f(x) είναι -περιοδική Επομένως Επειδή δε = f (x) x { n cos ) + b n sin )}. f (x)dx = [f() f( )] = { n cos ) + b n sin f (t)dt = f(x) f( ) η προηγούμενη σχέση και το Θεώρημα 9..9 δίνουν ότι f (x) [f( ) + C] + { nπ n sin )}. (9.4) ) nπ b n cos ) }. Είναι φανρό, ότι η παραγώγιση όρο προς όρο της τελευταίας σειράς δίνει την (9.4). Παράδειγμα 9..6 Έστω η συνάρτηση f(x) = (x π ) = (x π) (x + π) ορισμένη

32 376 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ στο [ π, π] με f(x + π) = f(x). Αποδεικνύεται ότι f (x) 48π ( ) n n 4 cosnx, x [ π, π] Επίσης ισχύει f (x) = 4x(x π ) για x [ π, π] και η f (x) είναι τμηματικά λεία. Επομένως θα ισχύει f (x) = 4x(x π ) 48 ( ) n n 3 sinnx, x [ π, π] Ακόμα ισχύει f (x) = x 4π για x [ π, π]και η f (x) είναι τμηματικά λεία. Επομένως, έχουμε f (x) = x 4π 48 ( ) n n cosnx, x [ π, π] Τέλος f (x) = 4x για x [ π, π] ενώ δεν ορίζεται η f (x) για x = ±π. Εντούτοις, η f είναι τμηματικά λεία και ισχύει f (x) = 4x 48 ( ) n sinnx, x [ π, π] n 9. Ασκήσεις προς επίλυση Στις Ασκήσεις -5 να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η συνάρτηση f στο [, ] και να προσδιορίστε το αντίστοιχο άθροισμα για x. Σχεδιάστε στους ίδιους άξονες την f και για διάφορες τιμές του m.. = ; f(x) = x F m (x) = + m. = π; f(x) = x 3x 3. = ; f(x) = 3x 4. = π; f(x) = sin x 5. = π; f(x) = x cos x 6. = π; f(x) = x cos x 7. = π; f(x) = x sin x 8. = π; f(x) = x sin x ( n cos nπx + b n sin nπx )

33 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 377, < x <, 9. = ; f(x) = cos πx, < x <,, < x <, < x <,. = ; f(x) = x cos πx, < x <,, < x <, < x <,. = ; f(x) = sin πx, < x <,, < x <. = ; f(x) =, < x <, sin πx, < x <,, < x <, < x <, 3. = ; f(x) = x sin πx, < x <,, < x < {, 4 < x <, 4. = 4; f(x) = x, < x < 4 { x 5. = ; f(x) =, < x <, x, < x < 6. Από το Παράδειγμα 9..5 να αποδείξετε n= (n + ) = π (αʹ) Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η f(x) = e x στο [ π, π]. (βʹ) Από το () δείξτε ότι n + = π coth π. n= 8. Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η f(x) = (x π) cos x στο [ π, π]. 9. Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η f(x) = (x π) sin x στο [ π, π].. Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η f(x) = sin kx (k ακέραιος) στο [ π, π].. Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η f(x) = cos kx (k ακέραιος) στο [ π, π].

34 378 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ. (αʹ) Υποθέτουμε ότι f( ) = f(), f ( ) = f (), f είναι συνεχής και και f τμηματικά συνεχής στο [, ]. Με χρήση του Θεωρήματος 9.. και με παραγοντική ολοκλήρωση δείξτε ότι με n = n π f(x) = + ( n cos nπx = + b n sin nπx ), x, f(x) dx, f (x) cos nπx dx, και b n = n π f (x) sin nπx (βʹ) Δείξτε ότι αν, επιπροσθέτως στο (), η f είναι συνεχής και η f τμηματικά συνεχής στο [, ], τότε dx n. n = n 3 π 3 f (x) sin nπx dx. 3. Δείξτε ότι αν f είναι ολοκληρώσιμη στο [, ] και f(x + ) = f(x), < x < (Σχήμα 9.), τότε η σειρά Fourier της f στο [, ] έχει τη μορφή A + ( A n cos nπx + B n sin nπx ) όπου και B n = A n = A = f(x) sin nπx f(x) dx, f(x) cos nπx dx, dx, n =,, 3, Δείξτε ότι αν f είναι ολοκληρώσιμη στο [, ] και f(x + ) = f(x), < x <

35 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 379 (Σχήμα 9.), τότε η σειρά Fourier της f στο [, ] έχει τη μορφή ( (n )πx A n cos + B n sin ) (n )πx, όπου και B n = A n = f(x) sin f(x) cos (n )πx (n )πx dx dx, n =,, 3,.... Στις Ασκήσεις 5-9 να βρείτε το ανάπτυγμα σε συνημιτονική σειρά Fourier για τη συνάρτηση f. 5. f(x) = x ; [, ] {, x 6. f(x) =, < x < ; [, ] 7. f(x) = e x ; [, π] 8. f(x) = x( x); [, ] 9. f(x) = x(x ); [, ] Στις Ασκήσεις 3-34 να βρείτε το ανάπτυγμα σε ημιτονική σειρά Fourier για τη συνάρτηση f. 3. f(x) = ; [, ] {, x 3. f(x) =, < x < ; [, ] { x, x 3. f(x) =, x, x ; [, ]. 33. f(x) = x sin x; [, π] 34. f(x) = e x ; [, π] Στις Ασκήσεις να βρείτε το ανάπτυγμα σε συνημιτονική σειρά Fourier για τη συνάρτηση f. 35. f(x) = ; [, ] {, x 36. f(x) =, < x < ; [, ] 37. f(x) = cos x; [, π] 38. f(x) = sin x; [, π] 39. f(x) = x( x); [, ]

36 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Στις Ασκήσεις 4-44 να βρείτε το ανάπτυγμα σε ημιτονική σειρά Fourier για τη συνάρτηση f 4. f(x) = ; [, ] {, x 4. f(x) =, < x < ; [, ] 4. f(x) = cos x; [, π] 43. f(x) = sin x; [, π] 44. f(x) = x( x); [, ]. Στις Ασκήσεις με χρήση του Θεωρήματος 9..6() να βρείτε το ανάπτυγμα σε συνημιτονική σειρά Fourier για τη συνάρτηση f στο [, ]. 45. f(x) = 3x (x ) 46. f(x) = x 3 (3x 4) 47. f(x) = x (3x 8x + 6 ) 48. f(x) = x (x ) 49. Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = {, x <, x ; Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η συνάρτηση Να δείξετε ότι g : [, ] R, g(x) = x yf(y)dy. π = Με τη χρήση της ταυτότητας Prsevl και του αναπτύγματος ( ) n+ x sin(nx), n π < x < π να υπολογισθεί η σειρά ( ). n 5. Με τη χρήση της ταυτότητας Prsevl και του αναπτύγματος x π ( ) n n cos(nx), π < x < π

37 9.. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΓΙΑ ΔΕ ΗΣ ΤΑΞΗΣ 38 να υπολογισθεί η σειρά ( ). n 4 5. Εστω f(x) = cosx, π < x < π, όπου > σταθερά. Να αποδειχθεί ότι ( cos(x) sin(π) ) π + ( ) n n cos(nx). Να υπολογισθεί η σειρά n. Με τη χρήση της ταυτότητας Prsevl να υπολογισθεί η σειρά ( n ). 53. Εστω ότι η f(x) = x, για π < x < π και f (x+π) = f (x), έτσι ώστε να έχουμε το ανάπτυγμα ( ) n+ f (x) sin(nx). n Να υπολογισθεί με χρήση του παραπάνω στοιχείου η σειρά Fourier των συναρτήσεων f (x) = x, και f 3 (x) = x 4 για π < x < π. 54. Έστω f(x) μια 4-περιοδική συνάρτηση της μορφής Έτσι ώστε να ισχύει το ανάπτυγμα f(x) 4 π x f(x) =, < x < x x, x < ( ) n+ ) cos n + ( )n sin πn 3 ) 3. Επιβεβαιώστε ότι, ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος 9.. για την f(x). Να υπολογισθεί η σειρά Fourier της f (x). Επιβεβαιώστε ότι, δεν ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος 9.. για τη συνάρτηση f (x). 9. Προβλήματα Συνοριακών Τιμών για ΔΕ ης τάξης 9.. Προβλήματα Συνοριακών Τιμών δύο σημείων Θεωρούμε την ΔΕ ης τάξης P (x)y + P (x)y + P (x)y = F (x). (9.4)

38 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Υποθέτουμε ότι P, P, P, και F είναι συνεχείς συναρτήσεις και P δεν μηδενίζεται στο (, b). Απο το Θεώρημα 5.3., έχουμε ότι αν x (, b) και k και k είναι αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί, τότε η ΔΕ (9.4) έχει μοναδική λύση στο (, b), τέτοια ώστε y(x ) = k και y (x ) = k. Θεωρούμε τώρα ένα διαφορετικό πρόβλημα συνδεδεμένο με τη ΔΕ (9.4). ΠΡΟΒΛΗΜΑ Υποθέτουμε ότι P, P, P, και F είναι συνεχείς και P δεν μηδενίζεται στο κλειστό διάστημα [, b]. Έστω α, β, ρ, και δ είναι πραγματικοί αριθμοί: α + β και ρ + δ, (9.4) και έστω k και k αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί. Το ερώτημα που τίθεται είναι η εύρεση λύσης της ΔΕ P (x)y + P (x)y + P (x)y = F (x) (9.43) στο κλειστό διάστημα [, b], έτσι ώστε και αy() + βy () = k (9.44) ρy(b) + δy (b) = k. (9.45) Τα σημεία και b καλούνται συνοριακά σημεία. Οι συνθήκες (9.47) και (9.45) είναι συνοριακές συνθήκες, και το πρόβλημα καλείται δύο σημείων ΠΣΤ ή πιο απλά ΠΣΤ. Η ΔΕ (9.4) μπορεί να γραφεί εν συντομία ως y = F, όπου και οι συνθήκες ορίζονται y = P (x)y + P (x)y + P (x)y, B (y) = αy() + βy () και B (y) = ρy(b) + δy (b). Συνδυάζοντας τις (9.43), (9.47) και (9.45) ως y = F, B (y) = k, B (y) = k. (9.46) Το ΠΣΤ είναι ομογενές αν F = και k = k = διαφορετικά καλείται μη ομογενές. Επίσης, σε μερικές εφαρμογές χρησιμοποιούμε μεικτές συνοριακές συνθήκες, της μορφής αy() + βy () + P y(b) + y (b) = k ρy(b) + δy (b) + Ay() + By () = k. (9.47) Στη συνέχεια δίνουμε χωρίς απόδειξη, ένα θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας για ΠΣΤ στην γενική περίπτωση που η ΔΕ (9.4) είναι μη γραμμική. Για την απόδειξη,βλ. J.W. Brwn & d R. Churchill 993

39 9.. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΓΙΑ ΔΕ ΗΣ ΤΑΞΗΣ 383 Θεώρημα 9.. Θεωρούμε το ομογενές μη γραμμικό ΠΣΤ y + f(x, y) =, (x, y) (, b) R, y() =, y(b) =. (9.48) Υποθέτουμε ότι η f(x, y) είναι συνεχής στο [, b] R και ipschitz ως προς y σταθεράς k, δηλαδή υπάρχει σταθερά k R +, τέτοια ώστε, για κάθε ζεύγος σημείων (x, y ), (x, y ) από το [, b] R, να ικανοποιείται η σχέση f(x, y ) f(x, y ) k y y. Αν το b είναι αρκετά μιρκό, ώστε να ισχύει k (b ) < 4, τότε το ΠΣΤ (9.48) έχει μοναδική λύση. Παράδειγμα 9.. Θεωρούμε το ΠΣΤ Η γενική λύση της ΔΕ y + y = είναι y + y =, y() =, y(π/) =. y = + c sin x + c cos x, για y() =, αν και μόνο αν c = και y(π/) =, αν και μόνο αν c =. Οπότε η είναι μοναδική λύση του ΠΣΤ. Παράδειγμα 9.. Θεωρούμε το ΠΣΤ Η γενική λύση της ΔΕ y + y = είναι y = sin x cos x y + y =, y() =, y(π) =. y = + c sin x + c cos x, για y() =, αν και μόνο αν c =, αλλά y(π) =, αν και μόνο αν c =. Συνεπώς, το ΠΣΤ δεν έχει λύση. Παράδειγμα 9..3 Θεωρούμε το ΠΣΤ y + y = sin x, y() =, y(π) =. Η γενική λύση της ΔΕ (υπολογίζεται με τη μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών) y + y = sin x είναι sin x y = + c sin x + c cos x. 3

40 384 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Οι συνοριακές συνθήκες y() = και y(π) = μας δίνουν c =, χωρίς περιορισμό για το c. Συνεπώς, το ΠΣΤ έχει άπειρες λύσεις όπου c αυθαίρετη σταθερά. sin x y = + c sin x, 3 Θεώρημα 9.. Αν z και z είνα λύσεις της y =, έτσι ώστε B (z ) = B (z ) = ή B (z ) = B (z ) =, τότε {z, z } είναι γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο λύσεων. Ισοδύναμα, αν {z, z } είναι γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο λύσεων, τότε B (z ) + B (z ) και B (z ) + B (z ). Απόδειξη Υπενθυμίζουμε B (z) = αz() + βz () και α + β. Αν B (z ) = B (z ) =, τότε (α, β) είναι μια μη τετριμμένη λύση του Το οποίο συνεπάγεται ότι αz () + βz () = αz () + βz () =. z ()z () z ()z () =, οπότε {z, z } είναι γραμμικό ανεξάρτητο σύνολο λύσεων από το Θεώρημα Αφήνουμε ως άσκηση στον αναγνώστη την απόδειξη του αν {z, z } είναι γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο λύσεων, τότε B (z ) = B (z ) =. Θεώρημα 9..3 (P. Wltmn, 986) Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες. (αʹ) Υπάρχει ένα θεμελιώδες σύνολο λύσεων {z, z } της ΔΕ y =, τέτοιο ώστε B (z )B (z ) B (z )B (z ). (9.49) (βʹ) Αν {y, y } είναι θεμελιώδες σύνολο λύσεων της y =, τότε B (y )B (y ) B (y )B (y ). (9.5) (γʹ) Για κάθε συνεχή συνάρτηση F και ζεύγος σταθερών (k, k ), το ΠΣΤ y = F, B (y) = k, B (y) = k έχει μοναδική λύση. (δʹ) Το ομογενές ΠΣΤ y =, B (y) =, B (y) = (9.5) έχει τετριμμένη λύση την y =.

41 9.. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΓΙΑ ΔΕ ΗΣ ΤΑΞΗΣ 385 (εʹ) Η ομογενής Δ Ε y = έχει γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις z και z, έτσι ώστε B (z ) = και B (z ) =. Μερικές φορές είναι χρήσιμο να έχουμε στη διάθεση μας έναν τύπο για την λύση ενός ΠΣΤ. Οπως φαίνεται στο επόμενο θεώρημα αυτό είναι εφικτό. Θεώρημα 9..4 Θεωρούμε το ομογενές ΠΣΤ y =, B (y) =, B (y) = (9.5) ότι έχει μοναδική λύση. Έστω y και y γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της ΔΕ y = τέτοιες ώστε B (y ) = και B (y ) = και W = y y y y. Τότε η μοναδική λύση του ΠΣΤ y = F, B (y) =, B (y) = (9.53) είναι Απόδειξη y(x) = y (x) x Στο εδάφιο 5. είδαμε ότι αν F (t)y (t) x P (t)w (t) dt + y (x) F (t)y (t) dt. (9.54) P (t)w (t) y = u y + u y (9.55) όπου u y + u y = u y + u y = F, τότε y = F. Επιλύοντας ως προς u και u, έχουμε που ισχύει αν u (x) = x u = F y P W και u = F y P W, F (t)y (t) x P (t)w (t) dt και u F (t)y (t) (x) = P (t)w (t) dt. Η προηγούμενη σχέση και η (9.55) δείχνουν ότι (9.54) είναι λύση της y = F. Παραγωγίζοντας την (9.54), έχουμε y (x) = y (x) x Από τις σχέσεις (9.54) και (9.56), F (t)y (t) x P (t)w (t) dt + y (x) F (t)y (t) B (y) = B (y ) P (t)w (t) dt = F (t)y (t) dt. (9.56) P (t)w (t)

42 386 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ διότι B (y ) =, και διότι B (y ) =. Η, y ικανοποιεί την (9.53). Συνάρτηση Green Η σχέση (9.54) μπορεί να γραφεί ως όπου F (t)y (t) B (y) = B (y ) P (t)w (t) dt = y = y (t)y (x) P G(x, t) = (t)w (t) y (x)y (t) P (t)w (t) G(x, t)f (t) dt, (9.57), t x,., x t b. Η παραπάνω σχέση καλείται συνάρτηση Green για το ΠΣΤ (9.53). Αφήνουμε ως άσκηση στον αναγνώστη, να αποδείξει ότι οι υποθέσεις του Θεωρήματος 9..4 συνεπάγονται ότι το ΠΣΤ έχει μοναδική λύση την y(x) = y = F, B (y) = k, B (y) = k Παράδειγμα 9..4 Να λυθεί το ΠΣΤ G(x, t)f (t) dt + k B (y ) y + k B (y ) y. y + y = F (x). y() + y () =, y(π) y (π) =, (9.58) και προσδιορίστε τη συνάρτηση Green για το συγκεκριμένο ΠΣΤ. Λύση Έχουμε B (y) = y() + y () και B (y) = y(π) y (π). Έστω {z, z } = {cos x, sin x}, το οποίο είναι θεμελιώδες σύνολο λύσεων για τη ΔΕ y + y =. Τότε B (z ) = (cos x sin x) x= = B (z ) = (cos x + sin x) x=π =

43 9.. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΓΙΑ ΔΕ ΗΣ ΤΑΞΗΣ 387 και Συνεπώς, B (z ) = (sin x + cos x) x= = B (z ) = (sin x cos x) x=π =. B (z )B (z ) B (z )B (z ) =, το Θεώρημα 9..3 συνεπάγεται ότι το (9.58) έχει μοναδική λύση. Έστω και y = B (z )z B (z )z = cos x sin x y = B (z )z B (z )z = cos x + sin x. Τότε B (y ) =, B (y ) =, και η ορίζουσα Wronski του {y, y } είναι W (x) =. Λόγω P =, η (9.54) δίνει ως λύση τη y(x) = Η συνάρτηση Green είναι cos x sin x cos x + sin x + π x x F (t)(cos t + sin t) dt F (t)(cos t sin t) dt. (cos t sin t)(cos x + sin x), t x, G(x, t) = (cos x sin x)(cos t + sin t), x t π. Θα θεωρήσουμε την περίπτωση που δεν καλύπτεται από το Θεώρημα Θεώρημα 9..5 Θωρούμε ότι το ομογενές ΠΣΤ y =, B (y) =, B (y) = (9.59) έχει μη τετριμμένη λύση την y, και έστω y είναι οποιαδήποτε λύση της ΔΕ y = που δεν είναι πολλαπλάσια της y. Έστω W = y y y y. Αν τότε το ομογενές ΠΣΤ έχει άπειρες λύσεις, της μορφής y = y p + c y, όπου y p = y (x) x F (t)y (t) dt =, (9.6) P (t)w (t) y = F, B (y) =, B (y) = (9.6) F (t)y (t) x P (t)w (t) dt + y (x) F (t)y (t) P (t)w (t) dt

44 388 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ και c είναι αυθαίρετη σταθερά. Αν τότε το ΠΣΤ (9.6) δεν έχει λύση. F (t)y (t) dt, P (t)w (t) Απόδειξη Από την απόδειξη του Θεωρήματος 9..4, y p είναι μια ειδική λύση της ΔΕ y = F, και y p(x) = y (x) x F (t)y (t) x P (t)w (t) dt + y (x) Συνεπώς, η γενική λύση της (9.59) έχει τη μορφή όπου c και c είναι σταθερές. Τότε y = y p + c y + c y, F (t)y (t) P (t)w (t) dt. B (y) = B (y p + c y + c y ) = B (y p ) + c B (y ) + c B y F (t)y (t) = B (y ) P (t)w (t) dt + c B (y ) + c B (y ) = c B (y ) Αφού B (y ) =, από το Θεώρημα 9.. συνεπάγεται ότι B (y ) ; B (y) = αν και μόνο αν c =. Συνεπώς y = y p + c y και B (y) = B (y p + c y ) = B (y ) F (t)y (t) = B (y ) P (t)w (t) dt, F (t)y (t) P (t)w (t) dt + c B (y ) αφού B (y ) =. Από το Θεώρημα 9.., B (y ) (διότι B (y y = αν και μόνο αν ισχύει η (9.6). = ). Συνεπώς, Παράδειγμα 9..5 Εφαρμόζοντας το Θεώρημα 9..5 στο ΠΣΤ y + y = F (x), y() =, y(π) = (9.6) μπορούμε να επιβεβαιώσουμε το Παραδείγμα 9.. και Η αντίστοιχη ομογενής ΔΕ y + y = έχει γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις y = sin x και y = cos x, και y ικανοποιεί και τις δύο συνοριακές συνθήκες. Επίσης, P = και W = (sin x, cos x) =, η σχέση (9.6) γίνεται π F (x) sin x dx =.

45 9.. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΓΙΑ ΔΕ ΗΣ ΤΑΞΗΣ 389 Από το Παράδειγμα 9.., έχουμε F (x) = και π F (x) sin x dx = π sin x dx =, από το Θεώρημα 9..4 έχουμε ότι το ΠΣΤ (9.6) δεν έχει λύση. Στο Παράδειγμα 9..3, F (x) = sin x = sin x cos x και π π F (x) sin x dx = sin x cos x dx = π 3 sin3 x =, από το Θεώρημα 9..4 συνεπάγεται ότι το ΠΣΤ (9.6) έχει άπειρες λύσεις, πολλαπλάσιες της y (x) = sin x κατά μια σταθερά. 9.. ΠΣΤ Sturm-iouville. Sturm-iouville ΠΣΤ-Εισαγωγικά Στο σημείο αυτό θα θεωρήσουμε το ΠΣΤ ΔΕ ης τάξης με την παράμετρο λ όπου P (x)y + P (x)y + P (x)y + λr(x)y =, B (y) =, B (y) =, (9.63) B (y) = αy() + βy () και B (y) = ρy(b) + δy (b). Όπως αναφέρθηκαμε στο εδάφιο 9.., α, β, ρ, και δ είναι πραγματικοί αριθμοί, με α + β > και ρ + δ >, P, P, P, και R είναι συνεχείς και, P και R είναι θετικά ορισμένες στο [, b]. Θα λέμε ότι η παράμετρος λ είναι μια ιδιοτιμή για το ΠΣΤ (9.63) αν το (9.63) έχει μη τετριμμένη λύση y. Σε αυτή την περίπτωση, η y είναι ιδιοσυνάρτηση που σχετίζεται με τη λ ή μια λ-ιδιοσυνάρτηση. Επίλυση του προβλήματος ιδιοτιμών σημαίνει να βρεθούν όλες οι ιδιοτιμές και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις του (9.63). Παράδειγμα 9..6 Να λυθεί το πρόβλημα ιδιοτιμών y + 3y + y + λy =, y() =, y() =. (9.64) Λύση Η γενική λύση της ΔΕ είναι όπου r = 3 + 4λ y = c e r t + c e r t. και r = 3 4λ.

46 39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Αν λ < /4, τότε r και r είναι πραγματικές ρίζες του αντίστοιχου χαρακτηριστικού πολυωνύμου r + 3r + + λ = και η γενική λύση της (9.64) είναι y = c e r t + c e r t. Εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες παρατηρούμε ότι το σύστημα c + c = c e r + c e r =. έχει μοναδική λύση την c = c =. Συνεπώς, λ δεν είναι ιδιοτιμή του (9.64). Αν λ = /4, τότε r = r = 3/, οπότε η γενική λύση της ΔΕ (9.64) είναι y = e 3x/ (c + c x). Εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες παρατηρούμε ότι λ = /4 δεν είναι ιδιοτιμή του (9.64). Αν λ > /4, τότε η γενική λύση της (9.64) είναι όπου ω = y = e 3x/ (c cos ωx + c sin ωx). 4λ ή, ισοδύναμα, λ = + 4ω. (9.65) 4 Εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες, έχουμε c =, οπότε y = c e 3x/ sin ωx, η οποία ισχύει για c αν και μόνο αν ω = nπ, όπου n είναι θετικός ακέραιος. Από την (9.65), οι ιδιοτιμές είναι λ n = ( + 4n π )/4 και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις y n = e 3x/ sin nπx, n =,, 3,.... Για θεωρητικούς λόγους είναι καλό να γράψουμε την ΔΕ του ΠΣΤ (9.63) σε διαφορετική μορφή, όπως στο παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα 9..6 Αν P, P, P και R είναι συνεχείς συναρτήσεις, και P και R είναι θετικά ορισμένες στο [, b], τότε η ΔΕ μπορεί να γραφεί στη μορφή P (x)y + P (x)y + P (x)y + λr(x)y = (9.66) (p(x)y ) + q(x)y + λr(x)y =, (9.67) όπου p, p, q και r είναι συνεχείς και p και r είναι θετικά ορισμένες στο [, b]. Απόδειξη Ξαναγράφουμε τη ΔΕ (9.66) ως y + u(x)y + v(x)y + λr (x)y =, (9.68)

47 9.. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΓΙΑ ΔΕ ΗΣ ΤΑΞΗΣ 39 με u = P /P, v = P /P,και R = R/P. Έστω p(x) = e U(x), όπου U είναι η παράγουσα της u. Τότε p είναι θετικά ορισμένη στο [, b] και U = u, p (x) = p(x)u(x) (9.69) είναι συνεχής στο [, b]. Πολλαπλασιάζοντας την (9.68) με p(x) δίνει p(x)y + p(x)u(x)y + p(x)v(x)y + λp(x)r (x)y =. (9.7) Αφού p είναι θετικά ορισμένη στο [, b], η ΔΕ έχει την ίδια λύση με τη (9.66). Από (9.69), (p(x)y ) = p(x)y + p (x)y = p(x)y + p(x)u(x)y, έχουμε ότι η (9.7) μπορεί να γραφεί στη μορφή (9.67), με q(x) = p(x)v(x) και r(x) = p(x)r (x). Ορισμός 9.. Μια γραμμική ΔΕ ης τάξης, θεωρούμε ότι είναι σε αυτοσυζυγή μορφή (self-djoint), αν και μόνο αν είναι της μορφής (p(x)y ) + q(x)y + λr(x)y =, (9.7) όπου p, p, q και r είναι συνεχείς και p και r είναι θετικά ορισμένες στο [, b]. Το Θεώρημα 9..6 μας λέει ότι μια ΔΕ της μορφής (9.66) μπορεί να αναχθεί σε αυτοσυζυγή μορφή (9.7) αν πολλαπλασιαστεί με τη συνάρτηση [ ] P (x) µ(x) = exp P (x) dx /P (x). Στο υπόλοιπο του εδαφίου οι συναρτήσεις p, q, και r έχουν τις ιδιότητες που ισχύουν στο Θεώρημα Η συνάρτηση µ(x) ονομάζεται πολλαπλασιαστής αυτοσυζυγοποίησης. Επίσης, όταν γράφουμε τον τελεστή σε γενική περίπτωση θα εννοούμε Έτσι, η ΔΕ (9.7) γράφεται = D(p(x)D) + q(x), όπου D = d dx. η συνάρτηση r(x) ονομάζεται συνάρτηση βάρους της ΔΕ. y + λr(x)y =, (9.7) Παράδειγμα 9..7 Να τεθεί σε αυτοσυζυγλη μορφή η ΔΕ (Bessel) x y + xy + ( λx n ) y =, x >. (9.73) Λύση Από την σχέση [ ] P (x) µ(x) = exp P (x) dx /P (x),

48 39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ με αντικατάσταση έχουμε ότι µ(x) = /x, οπότε πολλαπλασιάζοντας την (9.84) με /x, προκύπτει η αντίστοιχη αυτοσυζυγής ΔΕ που είναι xy + y + ( λx n x ) y =, x >, ή ισοδύναμα (xy ) + ( λx n x ) y =, x >. Ορισμός 9.. Ο αυτοσυζυγής τελεστής, ονομάζεται συμμετρικός στο κλειστό διάστημα [, b], αν και μόνο αν (uv vu) dx =, (9.74) για κάθε ζεύγος C [, b]-συναρτήσεων u, v οι οποίες ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες που συνοδεύουν τον. Θεώρημα 9..7 Έστω ο διαφορικός τελεστής = D(p(x)D) + q(x), ορισμένος στο διάστημα [, b] και οι συναρτήσεις u, v C [, b], τότε ισχύει ο τύπος (uv vu) dx = p(x)w (u, v x) b (9.75) όπου W (u, v) = uv vu είναι η ορίζουσα Wronski των u, v. Απόδειξη Πράγματι, έχουμε ότι (uv vu) dx = = = { u d dx (pv ) + uq(x)v v d } dx (pu ) vq(x)u dx d dx {p(x)v u p(x)u v} dx d dx {p(x)w (u, v x)} dx = p(x)w (u, v x) b. Στο εδάφιο 9.. ορίσαμε την έννοια της ορθογωνιότητας συναρτήσεων, επίσης δύο ο- λοκληρώσιμες συναρτήσεις f και g καλούνται ορθογώνιες ως προς μια συνάρτηση βάρους r(x) > στο διάστημα [, b], αν έχουμε r(x)f(x)g(x)dx =. Θεώρημα 9..8 Έστω ένας συμμετρικός τελεστής στο διάστημα [, b], ο οποίος ικανοποιεί την εξίσωση y(x) + λr(x)y(x) =, x (, b). Αν λ n και λ k είναι δύο διαφορετικές ιδιοτιμές του, με αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις y n (x) και y k (x), τότε οι y n (x) και y k (x), είναι ορθογώνιες ως προς τη συνάρτηση βάρους r(x).

49 9.. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΓΙΑ ΔΕ ΗΣ ΤΑΞΗΣ 393 Απόδειξη Για τις ιδιοσυναρτήσεις y n (x) και y k (x), έχουμε τις ακόλουθες εξισώσεις y n (x) = λ n r(x)y n (x), y k (x) = λ k r(x)y k (x) Πολλαπλασιάζοντας τις δύο εξισώσεις με y k (x) και y n (x) αντίστοιχα ολοκληρώνουμε και αφαιρούμε κατά μέλη, οπότε έχουμε {y k (x)y n (x) y n (x)y k (x)} dx = (λ k λ n ) r(x)y n (x)y k (x)dx. Επειδή ο είναι συμμετρικός, το πρώτο μέλος της προηγούμενης σχέσης θα είναι μηδέν. Επομένως, προκύπτει r(x)y n (x)y k (x)dx =. Θεώρημα 9..9 Οι ιδιοτιμές ενός συμμετρικού τελεστή είναι όλες πραγματικές και αποτελούν μια άπειρη ακολουθία, διατεταγμένη κατά αύξουσα τιμή, έτσι ώστε όπου το λ n, καθώς το n. Ομαλά Sturm-iouville προβλήματα λ < λ <... < λ n <... Ορισμός 9..3 Η ΔΕ (9.67) καλείται Sturm iouville εξίσωση, και το πρόβλημα ιδιοτιμών y + λr(x)y =, B (y) =, B (y) =, (9.76) με y = (p(x)y ) +q(x)y το οποίο είναι ισοδύναμο με την (9.63), καλείται Sturm-iouville πρόβλημα. Οι διαχωρισμένες ομογενείς συνοριακές συνθήκες διακρίνονται σε τρείς βασικές κατηγορίες: (αʹ) Συνοριακές συνθήκες Dirichlet οι οποίες είναι της μορφής y() =, y(b) =, (βʹ) Συνοριακές συνθήκες Neumnn οι οποίες είναι της μορφής y () =, y (b) = (γʹ) Συνοριακές συνθήκες Robin ή μεικτές οι οποίες είναι της γενικής μορφής k y() + y () =, k y(b) + y (b) = όπου k, k είναι σταθερές με μια τουλάχιστον μη μηδενική.

50 394 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Αρκετά συχνά στις εφαρμογές μας ενδιαφέρει να επιλύσουμε μια ΔΕ σε ένα πεπερασμένο διάστημα και υπό ορισμένες συνθήκες στα άκρα του διαστήματος : ΠΣΤ : y + λy =, y() =, y() = ΠΣΤ : y + λy =, y () =, y () = ΠΣΤ 3: y + λy =, y() =, y () = ΠΣΤ 4: y + λy =, y () =, y() = ΠΣΤ 5: y + λy =, y( ) = y(), y ( ) = y () Σε καθένα από τα παραπάνω ΠΣΤ η ΔΕ συνοδεύεται από συγκεκριμένες συνθήκες τις αποκαλλούμενες συνοριακές συνθήκες. Οι συνοριακές συνθήκες για το Πρόβλημα 5, σε αντιδιαστολή με τις συνθήκες των ΠΣΤ -4, δεν απαιτούν οι y ή y άν είναι μηδέν στα άκρα του διαστήματος, μόνο η y έχει την ίδια τιμή στα x = ±, όπως επίσης η y έχει την ίδια τιμή στα x = ±. Οι συνοριακές συνθήκες του Προβλήματος 5 είναι περιοδικές. Φυσικά η μηδενική λύση y = είναι η τετριμμένη. Το ερώτημα που τίθεται είναι: Για ποιες τιμές της παραμέτρου λ έχει μη τετριμμένη λύση και ποια είναι η μορφή της; Η τιμή της παραμέτρου λ για την οποία το πρόβλημα έχει μη τετριμμένη λύση καλείται ιδιοτιμή του προβλήματος και η αντίστοιχη μη τετριμμένη λύση είναι λ-ιδιοσυνάρτηση. Τα Προβλήματα -5 καλούνται προβλήματα ιδιοτιμών. Σε αυτό το σημείο θα θεωρήσουμε ότι όλες οι ιδιοτιμές είναι πραγματικοί αριθμοί. Θεώρημα 9.. Τα ΠΣΤ -5 έχουν μη μηδενικές ιδιοτιμές. Επίσης, λ = είναι μια ιδιοτιμή των ΠΣΤ και5, με αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση y =, αλλά λ = δεν είναι ιδιοτιμή των ΠΣΤ, 3, ή 4. Απόδειξη Θεωρούμε τα ΠΣΤ -4, και αφήνουμε την απόδειξη για το ΠΣΤ 5 ως άσκηση στον αναγνώστη. Αν y + λy =, τότε y(y + λy) =, οπότε λ Με παραγοντική ολοκλήρωση έχουμε y(x)(y (x) + λy(x)) dx =. y (x) dx = y(x)y (x) dx = y(x)y (x) y(x)y (x) dx. (9.77) (y (x)) dx = y()y () y()y () (y (x)) dx. Όμως, αν y ικανοποιεί οποιαδήποτε από τις συνοριακές συνθήκες των ΠΣΤ -4, τότε y()y () y()y () =. (9.78)