Σειρές Fourier και Προβλήματα Συνοριακών Τιμών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σειρές Fourier και Προβλήματα Συνοριακών Τιμών"

Transcript

1 Κεφάλαιο 9 Σειρές Fourier και Προβλήματα Συνοριακών Τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε αναπτύγματα συναρτήσεων σε σειρές Fourier και την εφαρμογή τους στην επίλυση προβλημάτων συνοριακακών τιμών (ΠΣΤ) για δεύτερης τάξης ΣΔΕ. Τα προβλήματα με συνθήκες (δεσμεύσεις) που μελετήσαμε στα πλαίσια της θεωρίας των ΔΕ με συνήθεις παραγώγους, ήταν αυτά των αρχικών τιμών (ΠΑΤ), δηλαδή ΔΕ που συνοδεύονταν από συνθήκη (δέσμευση) σε ένα μόνο σημείο. Στο σημείο αυτό θα ασχοληθούμε με την επίλυση ΔΕ που υποκείνται σε μια ή περισσότερες συνθήκες (δεσμεύσεις) σε δύο ή περισσότερα σημεία. Σημεία, τα οποία εντοπίζονται στο σύνορο του πεδίου, που εξελίσσεται το φυσικό φαινόμενο για αυτό χρησιμοποιείται ο όρος Προβήματα Συνοριακών Τιμών (ΠΣΤ). Πιο αναλυτικά στο εδάφιο 9.. θα δώσουμε τον ορισμό και τις βασικές ιδιότητες των σειρών Fourier. Η ανισότητα Bessel και η ταυτότητα Prsevl θα μελετηθούν στο εδάφιο 9... Στο εδάφιο 9..3 θα ασχοληθούμε με την ολοκλήρωση και παραγώγιση σειρών Fourier. Στο εδάφιο 9.. θα συζητήσουμε ΠΣΤ για βαθμωτές δεύτερης τάξης ΔΕ. Στο ε- δάφιο 9.. θα ασχοληθούμε με το πρόβλημα ιδιοτιμών για γραμμικη ΔΕ με σταθερούς συντελεστές και θα μελετήσουμε μια ειδική κατηγορία ΠΣΤ Sturm-iouville τα οποία έχουν εφαρμογές σε προβλήματα των φυσικών επιστημών που μοντελοποιούνται από μερικές διαφορικές εξισώσεις (ΜΔΕ). 9. Σειρές Fourier 9.. Ορισμός και βασικές ιδιότητες Από τον λογισμό συναρτήσεων μιας μεταβλητής (βλ. Ρόθος & Σφυράκης, ) γνωρίζουμε ότι, κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις, μια συνάρτηση μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά 345

2 346 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Tylor γύρω από ένα σημείο x f(x) = c n (x x ) n όπου x x < δ για κάποιο δ >. Πολλές φορές επιβάλλετια από τις εφαρμογές, μια συνάρτηση να αναπτυχθεί σε άλλα είδη σειρών, το χρησιμότερο από τα οποία είναι οι τριγωνομετρικές σειρές και ειδικότερα οι σειρές Fourier, τις οποίες θα μελετήσουμε στη συνέχεια. Σειρές τέτοιου τύπου, συναντώνται στις ΔΕ κατά τη μελέτη των περιοδικών λύσεων γραμμικών ΔΕ με περιοδικούς μη ομογενείς όρους ή μη γραμμικες ΔΕ. Επίσης παρουσιάζονται κατά την επίλυση ΜΔΕ, καθώς και ΠΣΤ. Πριν προχωρήσουμε στον υπολογισμό των συντελεστών και τις ιδιότητες των σειρών Fourier, θα παρουσιάσουμε ορισμένα στοιχεία της θεωρίας συναρτήσεων. Ορθογωνιότητα συναρτήσεων Δύο ολοκληρώσιμες συναρτήσεις f και g καλούνται ορθογώνιες στο διάστημα [, b], αν f(x)g(x) dx =. Γενικότερα, οι συναρτήσεις ϕ, ϕ,, ϕ n, (πεπερασμένο ή άπειρο το πλήθος) καλούνται ορθογώνιες στο [, b] αν ϕ i (x)ϕ j (x) dx = για i j. Η σημασία της ορθογωνιότητας συναρτήσεων θα φανεί στη συνέχεια που θα δώσουμε τον ορισμό των σειρών Fourier. Παράδειγμα 9.. Δείξτε ότι οι συναρτήσεις, cos πx, sin πx είναι ορθογώνιες στο [, ]., cos πx, sin πx nπx nπx,..., cos, sin,... (9.) Λύση Πρέπει να δείξουμε f(x)g(x) dx = (9.) όπου f και g είναι δύο διαφορετικές από τις δοσμένες συναρτήσεις (9.). Αν r είναι μη μηδενικός ακέραιος, τότε cos rπx dx = rπ sin rπx =. (9.3)

3 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 347 και sin rπx dx = rπ cos rπx Συνεπώς η (9.) ισχύει αν f και g οποιαδήποτε συνάρτηση από τις (9.). Αν f(x) = cos (mπx/) και g(x) = cos (nπx/) όπου m και n είναι θετικοί ακέραιοι, τότε f(x)g(x) dx = cos mπx =. nπx cos dx. (9.4) Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος, χρησιμοποιούμε την ταυτότητα cos A cos B = [cos(a B) + cos(a + B)] με A = mπx/ και B = nπx/. Τότε η (9.4) γίνεται f(x)g(x) dx = [ cos (m n)πx dx + cos (m + n)πx ] dx. Αφού m n και m + n μη μηδενικοί ακέραιοι, η (9.3) συνεπάγεται ότι τα ολοκληρώματα είναι μηδέν. Συνεπώς, η (9.) είναι αληθής. Αν f(x) = sin (mπx/) και g(x) = sin (nπx/) όπου m και n είναι θετικοί ακέραιοι m n, τότε f(x)g(x) dx = sin mπx nπx sin dx. (9.5) Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος, χρησιμοποιούμε την ταυτότητα sin A sin B = [cos(a B) cos(a + B)] με A = mπx/ και B = nπx/. Τότε η (9.5) γίνεται f(x)g(x) dx = [ cos (m n)πx dx cos (m + n)πx ] dx =. Αν f(x) = sin (mπx/) και g(x) = cos (nπx/) όπου m και n είναι θετικοί ακέραιοι (όχι απαρραίτητα διαφορετικοί), τότε f(x)g(x) dx = sin mπx nπx cos dx =. Θεώρημα 9.. Έστω ότι οι συναρτήσεις ϕ, ϕ, ϕ 3,..., είναι ορθογώνιες στο διάστημα [, b] και ϕ n(x) dx, n =,, 3,.... (9.6)

4 348 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Έστω c, c, c 3,... είναι σταθερές ώστε τα μερικά αθροίσματα f N (x) = N m= c mϕ m (x) ικανοποιούν τις ανισότητες f N (x) M, x b, N =,, 3,... για κάποια σταθερά M <. Υποθέτουμε, επίσης, ότι η σειρά f(x) = c m ϕ m (x) (9.7) m= συγκλίνουν και είναι ολοκληρώσιμες στο [, b]. Τότε c n = f(x)ϕ n (x) dx, n =,, 3,.... (9.8) ϕ n(x) dx Απόδειξη Πολλαπλασιάζοντας την (9.7) με ϕ n και ολοκληρώνοντας, έχουμε ( b ) f(x)ϕ n (x) dx = ϕ n (x) c m ϕ m (x) dx. (9.9) m= Λόγω της σύγκλισης των σειρών, μπορούμε να εναλλάξουμε τη θέση του ολοκληρώματος και του αθροίσματος, οπότε η (9.9) γράφεται ως Αφού η (9.) γίνεται f(x)ϕ n (x) dx = c m ϕ n (x)ϕ m (x) dx. (9.) m= ϕ n (x)ϕ m (x) dx = αν m n, f(x)ϕ n (x) dx = c n ϕ n(x) dx. Τώρα η σχέση (9.6) συνεπάγεται την (9.8). Το Θεώρημα 9.. μας δίνει τον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός 9.. Έστω ϕ, ϕ,..., ϕ n, είναι ορθογώνιες συναρτήσεις στο [, b] και ϕ n(x) dx, n =,, 3,....

5 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 349 Έστω f είναι ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο [, b], και ορίζουμε c n = f(x)ϕ n (x) dx, n =,, 3,.... (9.) ϕ n(x) dx Τότε, η άπειρη σειρά c nϕ n (x) καλείται ανάπτυγμα Fourier της f ως προς το ορθογώνιο σύνολο {ϕ n }, και c, c,..., c n,... καλούνται συντελεστές Fourier της f αναφορικά {ϕ n }. Δηλώνουμε την σχέση της f και του αντίστοιχου αναπτύγματος Fourier με f(x) c n ϕ n (x), x b. (9.) Θα πρέπει να αναρωτηθούμε γιατί δεν γράφουμε f(x) = c n ϕ n (x), x b, αντί την (9.). Δυστυχώς, δεν συμβαίνει πάντα στην πράξη. Η σειρά στο δεξί μέρος μπορεί να αποκλίνει για μερικές τιμές ή και για όλες τις τιμές του x στο [, b], ή μπορεί να συγκλίνει στην f(x) για μερικές τιμές του x και όχι για άλλες. Προς το παρόν, θα θεωρούμε τη σειρά σχετιζόμενη με την f λόγω του ορισμού των συντελεστών {c n }, και αυτή η σχέση θα δίνεται άτυπα με τη σχέση (9.). Σειρές Fourier Θα μελετήσουμε το ανάπτυγμα Fourier ως προς τις ορθογώνιες συναρτήσεις, cos πx, sin πx, cos πx, sin πx nπx nπx,..., cos, sin,.... Αν η f είναι ολοκληρώσιμη στο [, ], το ανάπτυγμα Fourier της f ως προς τις παραπάνω ορθογώνιες συναρτήσεις, καλείται σειρά Fourier της f στο [, ]. Αφού και dx =, cos nπx dx = ( + cos nπx ) dx = ( x + ) nπx sin =, nπ sin nπx dx = ( cos nπx ) dx = ( x ) nπx sin, nπ =,

6 35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ έχουμε από την (9.) ότι η σειρά Fourier της f στο[, ] είναι + ( n cos nπx + b n sin nπx ), όπου n = = f(x) dx, f(x) cos nπx dx, και b n = f(x) sin nπx dx, n. Ορισμός 9.. Εστω f(x) μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα [, ]. Ονομάζουμε σειρά ή ανάπτυγμα Fourier της f(x) στο διάστημα [, ] την έκφραση n = f(x) + f(x) cos [ n cos ) + b n sin ) dx, b n = f(x) sin )], (9.3) ) dx, n =,,,... (9.4) Το [, ] ονομάζεται θεμελειώδες διάστημα, οι αριθμοί n, b n, n =,,,... αποτελούν τους συντελεστές Fourier και οι σχέσεις (9.4) τους τύπους Fourier για το ανάπτυγμα (9.3). Σύγκλιση Σειρών Fourier Το ερώτημα της σύγκλισης σειρών Fourier μιας αυθαίρετης ολοκληρώσιμης συνάρτησης είναι εκτός του σκοπού του βιβλίου, αλλά θα παρουσιάσουμε με απλό και κατανοητό τρόπο το θεώρημα το οποίο μας βοηθάει στις εφαρμογές. Ορισμός 9..3 Μια συνάρτηση f καλείται τμηματικά ομαλή στο [, b] αν: (αʹ) f έχει πεπερασμένα σημεία ασυνέχειας στο (, b). (βʹ) f υπάρχει και είναι συνεχής εκτός από πεπερασμένα σημεία στο (, b). (γʹ) f(x +) = lim x x + f(x) και f (x +) = lim x x + f (x) υπάρχει αν x < b. (δʹ) f(x ) = lim x x f(x) και f (x ) = lim x x f (x) υπάρχει αν < x b. Αφού οι f και f απαιτούνται να είναι συνεχείς σε πεπερασμένα το πλήθος σημεία στο [, b], f(x +) = f(x ) και f (x +) = f (x ) για όλες τις πεπερασμένες το πλήθος τιμές του x στο (, b). Θα λέμε ότι η f έχει ένα σημείο ασυνέχειας στο x αν f(x +) f(x ). Το επόμενο θεώρημα δίνει τις ικανές συνθήκες για την σύγκλιση των σειρών Fourier, για την απόδειξη του οποίου παραπέμπουμε στα βιβλία ( J.W. Brwn & d R. Churchill 993, W.E Boyce & R.C. DiPrim, )

7 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 35 Θεώρημα 9.. Αν f είναι τμηματικά ομαλή συνάρτηση στο [, ], τότε η σειρά Fourier, F (x) = + ( n cos nπx + b n sin nπx ) (9.5) της f στο [, ] συγκλίνει για όλα τα x στο [, ] επιπλέον, f(x) αν < x < και f είναι συνεχής στο x f(x ) + f(x+) F (x) = αν < x < και f είναι ασυνεχής στο x f( +) + f( ) αν x = ή x =. Αφού f(x+) = f(x ), αν f είναι συνεχής στο x, μπορούμε ισοδύναμα να γράψουμε f(x+) + f(x ) αν < x <, F (x) = f( ) + f( +) αν x = ±. Σημειώνουμε, ότι η F είναι τμηματικά ομαλή στο [, ] και F (x) = f(x) σε όλα τα σημεία του ανοικτού διαστήματος (, ) όπου η f είναι συνεχής. Αφού η σειρά στην (9.5) συγκλίνει στην F (x) για όλα τα x in [, ], μπορούμε να θεωρήσουμε το σφάλμα E N (x) = F (x) N ( n cos nπx + b n sin nπx ) ώστε να γίνει όσο πιο μικρό θέλουμε για όλα τα x στο [, ] επιλέγοντας το N αρκετά μεγάλο. Αυτό όμως δεν είναι σωστό αν η f έχει ασυνέχεια κάπου στο (, ), ή αν f( +) f( ). Δηλ. Αν f έχει ασυνέχεια στο σημείο α (, ), θα υπάρχει ακολουθία σημείων {u N } και {v N } στο (, α) και (α, ), αντίστοιχα, έτσι ώστε και lim u N = lim v N = α N N E N (u N ).9 f(α ) f(α+) και E N (v N ).9 f(α ) f(α+). Έτσι, η μέγιστη τιμή της συνάρτησης σφάλματος E N (x) κοντά στο α δεν πλησιάζει το μηδέν καθώς N, αλλά ίσα που εμφανίζεται όσο και πιο κοντά στο (και από τις δύο μεριές ) α, και είναι ανεξάρτητο του N. Αν f( +) f( ), τότε θα υπάρχουν ακολουθίες σημείων {u N } και {v N } in (, ) έτσι ώστε lim u N =, N lim v N =, N

8 35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ y x Σχήμα 9.: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f του Παραδείγματος 9... E N (u N ).9 f( +) f( ) και E N (v N ).9 f( +) f( ). Αυτό που περιγράψαμε παραπάνω με απλό τρόπο είναι γνωστό και ως φαινόμενο Gibbs, βλ. Σχήματα , και θα δώσουμε μερικά παραδείγματα στη συνέχεια του εδαφίου. Παράδειγμα 9.. Να βρεθεί η σειρά Fourier της τμηματικά συνεχούς συνάρτησης { x, < x <, f(x) =, < x < στο [, ] και οποιεσδήποτε τιμές στα σημεία και ± (Σχήμα 9.). Καθορίστε το ά- θροισμα της σειράς Fourier για x. Λύση Η f είναι τμηματικά ομαλή στο [, ] και οι συντελεστές της σειράς Fourier F (x) = + ( n cos nπx + b n sin nπx ) δεν επηρεάζονται από τις τιμές στο και ±. Σε κάθε περίπτωση το Θεώρημα 9.. συνεπάγεται ότι F (x) = f(x) στο (, ) και (, ), όπου η f είναι συνεχής, αφού f( +) + f( ) F ( ) = F () = = ( + ) = 5 4

9 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 353 και Συνοψίζοντας, F () = f( ) + f(+) F (x) = = 5 4, x = x, < x <, ( + ) = 4. 4, x =,, < x <, 5 4, x =. Υπολογίζουμε τους συντελεστές της σειράς Fourier ως εξής: = 4 f(x) dx = [ ( x) dx + 4 ] dx = 3 4. Αν n, τότε n = f(x) cos nπx dx = [ ( x) cos nπx ] dx + nπx cos dx = (cos nπ ) = n π n π (( )n ), και b n = f(x) sin nπx dx = [ ( x) sin nπx ] dx + nπx sin dx = ( + 3 cos nπ) = nπ nπ ( + 3( )n ), όπου cosnπ = ( ) n. Συνεπώς F (x) = π ( ) n n cos nπx + π + 3( ) n n sin nπx. Το Σχήμα 9. δείχνει ότι το μερικό άθροισμα F m (x) = π m ( ) n n cos nπx + π m + 3( ) n n sin nπx προσεγγίζει την f(x) για m = 5 (καμπύλη με τελείες), m = (διακεκομμένη καμπύλη), και m = 5 (συμπαγής καμπύλη). Άρτιες και Περιττές Συναρτήσεις

10 354 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ y x Σχήμα 9.: Προσέγγιση της f(x) με μερικά αθροίσματα της σειράς Fourier στο [, ]. Ο υπολογισμός των συντελεστών της σειράς Fourier για την f απλοποιείται σημαντικά, όταν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή. Έστω u και v ορισμένες στο [, ] και u( x) = u(x) και v( x) = v(x), x. Τότε, η u είναι άρτια συνάρτηση και η v είναι περιττή συνάρτηση. Ισχύει: Θεώρημα 9..3 Υποθέτουμε ότι u είναι άρτια και v είναι περιττή στο [, ]. Τότε: () u(x) dx = u(x) dx, (b) v(x) dx =, (e) (c) (d) u(x) sin nπx u(x) cos nπx dx = v(x) sin nπx dx = dx = και (f) u(x) cos nπx dx, v(x) sin nπx dx, v(x) cos nπx dx =. Το άθροισμα (διαφορά) και το γινόμενο (πηλίκο) δύο άρτιων συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση. Το άθροισμα (διαφορά) δύο περιττών συναρτήσεων, είναι περιττή. Ενώ το γινόμενο (πηλίκο) δύο περιττών συναρτήσεων είναι άρτια.

11 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 355 Το άθροισμα (διαφορά) μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης, δεν είναι πάντα, ούτε άρτια, ούτε περιττή, ενώ το γινόμενο (πηλίκο) δύο τέτοιων συναρτήσεων, είναι περιττή συνάρτηση. Παράδειγμα 9..3 Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η f(x) = x x στο [, ], και καθορίστε το άθροισμα της στο x. Λύση Αφού =, όπου και F (x) = + ( n cos nπx + b n sin nπx ) n = b n = = 4 (x x) cos nπx (x x) sin nπx (x x) dx, (9.6) dx, n =,, 3,..., (9.7) dx, n =,, 3,.... (9.8) Απλοποιούμε τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων με χρήση του Θεωρήματος 9..3 με u(x) = x και v(x) = x. Έτσι, απο την (9.6), Από την (9.7), Από (9.8), n = = = b n = = x dx = x3 6 = 4 3. [ x cos nπx dx = x sin nπx nπ [ 8 x cos nπx ] n π cos nπx dx [ 8 cos nπ ] nπx sin n π nπ = nπ [ [ x sin nπx dx = x cos nπx nπ ] cos nπ nπx sin nπ = ( ) n 6 n π. = ( ) n 4 nπ. ] x sin nπx dx ] cos nπx dx

12 356 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ y x Σχήμα 9.3: Προσέγγιση της f(x) = x x με μερικά αθροίσματα της σειράς Fourier στο [, ] Συνεπώς F (x) = π ( ) n n cos nπx + 4 π ( ) n Το Θεώρημα 9.. μας δίνει 4, x =, F (x) = x x, < x <, 4, x =. Στο Σχήμα 9.3 φαίνεται ότι το μερικό άθροισμα F m (x) = π m ( ) n n cos nπx + 4 π n m ( ) n n sin nπx. sin nπx προσεγγίζει την f(x) για m = 5 (καμπύλη με τελείες), m = (διακεκομμένη καμπύλη), και m = 5 (συμπαγής καμπύλη ). Από το Θεώρημα 9..3 έχουμε το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα 9..4 Υποθέτουμε ότι η f είναι ολοκληρώσιμη στο [, ].

13 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 357 (αʹ) Αν f είναι άρτια συνάρτηση, η σειρά Fourier της f στο [, ] είναι όπου = F (x) = + n cos nπx, f(x) dx και n = f(x) cos nπx dx, n. (βʹ) Αν f είναι περιττή συνάρτηση, η σειρά Fourier της f στο [, ] είναι F (x) = b n sin nπx, όπου b n = f(x) sin nπx dx. Παράδειγμα 9..4 Βρείτε τη σειρά Fourier της f(x) = x στο [ π, π] και καθορίστε το άθροισμα της στο π x π. Λύση Αφού η f είναι περιττή συνάρτηση και = π, όπου Οπότε F (x) = b n sin nx b n = π x sin nx dx = [ π x cos nx π nπ = π cos nπ + sin nx n n π = ( ) n+ n. Το Θεώρημα 9.. δίνει F (x) = ( ) n sin nx. n, x = π, F (x) = x, π < x < π,, x = π. π ] cos nx dx

14 358 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ y x 3 Σχήμα 9.4: Προσέγγιση της f(x) = x με μερικά αθροίσματα της σειράς Fourier στο [ π, π] Στο Σχήμα 9.4 φαίνεται καθαρά πως το μερικό άθροισμα F m (x) = m ( ) n sin nx n προσεγγίζει την f(x) για m = 5 (καμπύλη με τελείες), m = (διακεκομμένη καμπύλη), και m = 5 (συμπαγής καμπύλη). Παράδειγμα 9..5 Βρείτε τη σειρά Fourier για τη συνάρτηση f(x) = x στο [ π, π] και καθορίστε το άθροισμα της στο π x π. Λύση Αφού η f είναι άρτια και = π, F (x) = + n cos nx. Επίσης f(x) = x αν x, = π π x dx = x π π = π

15 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 359 και, αν n, Συνεπώς Όμως n = π π = n π x cos nx dx = [ x sin nx nπ π cos nx F (x) = π 4 + π ( ) n = π π ] sin nx dx = (cos nπ ) = n π n π [( )n ]. n= ( ) n n cos nx. (9.9) { αν n = m, αν n = m +, οι όροι στην (9.9) για n = m είναι όλοι μηδέν. Συνεπώς, θεωρούμε μόνο όρους για τους οποίους n = m +, μπορούμε να γράψουμε την (9.9) ως F (x) = π 4 4 π m= Αντικαθιστούμε τον δείκτη m με n, και έχουμε cos(m + )x. (m + ) F (x) = π 4 4 π n= cos(n + )x. (n + ) Αφού x είναι συνεχής για όλα τα x και π = π, από το Θεώρημα 9.. συνεπάγεται ότι F (x) = x για όλα τα x στο [ π, π]. Παράδειγμα 9..6 Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η συνάρτηση f(x) = x(x ) στο [, ] και να καθορίστε το άθροισμα της στο x. Λύση Αφού η f είναι περιττή, F (x) = b n sin nπx,

16 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ όπου Συνεπώς, b n = = nπ = n π = n 3 π 3 x(x ) sin nπx dx [ x(x ) cos nπx ] (3x ) cos nπx dx [ (3x ) sin nπx ] 6 x sin nπx dx [ x cos nπx ] cos nπx dx = ( ) n 3 n 3 π. 3 F (x) = 3 π 3 ( ) n n 3 sin nπx. Το Θεώρημα 9.. συνεπάγεται ότι F (x) = x(x ) για όλα τα x στο [, ]. Παράδειγμα 9..7 (Φαινόμενο Gibbs) Η σειρά Fourier της, < x <, f(x) =, < x <,, < x < στο [, ] είναι F (x) = + π ( ) n n cos(n )πx. (Αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη!) Σύμφωνα με το Θεώρημα 9..,, x <,, x =, F (x) =, < x <,, x =,, < x ; έτσι, F (καθώς και η f) έχει ασύνεχειες στο x = ±. Στο Σχήμα 9.. και Σχήμα 9.7 φαίνονται τα γραφήματα της y = f(x) και y = F N (x) = + π N ( ) n n cos(n )πx

17 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 36 y y =.9 y =. x y =.9 Σχήμα 9.5: Φαινόμενο Gibbs: Παράδειγμα 9..7, N =. y y =.9 y =. x y =.9 Σχήμα 9.6: Φαινόμενο Gibbs : Παράδειγμα 9..7, N =. για N =,, και 3. Μπορείτε να δείτε καθώς F N προσεγγίζει καλώς την F (και την f) στο μεγαλύτερο διάστημα καθώς N αυξάνεται, η μέγιστη απόλυτη τιμή για τη συνάρτηση σφάλματος παραμένει κατά προσέγγιση στο.9, αλλά εμφανίζεται κοντά στις ασυνέχειες x = ±, καθώς N αυξάνεται. Πολλές φορές, κατά την επίλυση προβλημάτων ΔΕ (συνήθων ή μερικών) εμφανίζεται η ανάγκη, μια συνάρτηση f(x) που είναι ορισμένη σ ένα διάστημα [, ], να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier. Για να γίνει αυτό, θα πρέπει πρώτα η συνάρτηση να επεκταθεί στο διάστημα [, ]. Πιο συγκεκριμένα έχουμε τα ακόλουθα. Ορισμός Η συνάρτηση h(x) ονομάζεται επέκταση της f(x), αν το πεδίο ορισμού της h(x), περικλείει αυτό της f(x) και ισχύει h(x) = f(x), για κάθε x στο κοινό πεδίο ορισμού.. Έστω ότι, η f είναι ορισμένη στο διάστημα [, ]. Τότε ονομάζουμε άρτια επέκταση (βλ. Σχήμα 9.8) της f(x) την

18 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ y y =.9 y =. x y =.9 Σχήμα 9.7: Φαινόμενο Gibbs : Παράδειγμα 9..7, N = 3 f(x), για < x < f (x) = f(), για x = +f( x), για < x < και περιττή επέκταση αυτής (βλ. Σχήμα 9.9), την f(x), για < x < f π (x) = f(), για x = f( x), για < x < (9.) (9.) 3. Ονομάζουμε περιοδική επέκταση μαις συνάρτησης f(x) ορισμένης σ ένα διάστημα [, ], τη συνάρτηση ˆf, που ορίζεται από τη σχέση ˆf(x + k) = f(x), για κάθε x [, ] και για κάθε k Z. (Βλ. Σχήματα 9., 9.). Θεώρημα 9..5 Έστω ότι, η συνάρτηση f(x) είναι τμηματικά συνεχής και -περιοδική. Τότε: () Αν η f(x) είναι άρτια, η σειρά Fourier αυτής περιέχει μόνο συνημιτονικούς όρους με συντελεστές n = f(x)cos ) dx, n =,,,..., b n =, n =,,... (b) Αν η f(x) είναι περιττή, η σειρά Fourier αυτής περιέχει μόνο ημιτονικούς όρους με

19 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 363 y y = f( x) y = f(x) x y y = f(x) y = f( x) x Σχήμα 9.8: Άρτια επέκταση της f(x).

20 364 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ y y = f(x) x y = f( x) y y = f(x) x y = f( x) Σχήμα 9.9: Περιττή επέκταση της f(x).

21 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 365 y x Σχήμα 9.: y = f(x), όπου f(x + ) = f(x), < x < y x Σχήμα 9.: y = f(x), όπου f(x + ) = f(x), < x < συντελεστές n =, n =,,,..., b n = f(x)sin ) dx, n =,,...,. Παράδειγμα 9..8 Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier ημιτόνων η f(x) = x στο [, ]. Λύση Εύκολα μπορούμε να σχεδιάσουμε την περιττή περιοδική επέκταση της f(x) στο [, ]. Οι συντελεστές θα δίνονται από b n = [ x sin nπx dx = x cos nπx ] nπ cos nπx dx n+ = ( ) nπ + nπx sin n+ n π = ( ) nπ.

22 366 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Συνεπώς f(x) = π ( ) n n sin nπx. Στην επίλυση ΠΣΤ για ΔΕ (με συνήθεις ή μερικές παραγώγους) συχνά χρειάζεται να ε- φραρμόσουμε τροποποιημένες εκφράσεις για τις σειρές Fourier. Στο παρακάτω Θεώρημα δείνουμε μερικά χρήσιμα εργαλεία τα οποία θα συναντήσουμε στο επόμενο εδάφιο. Θεώρημα 9..6 () Αν f () = f () =, f είναι συνεχής, και f είναι τμηματικά συνεχής στο [, ], τότε f(x) = + n cos nπx, x, (9.) με με με = f(x) dx και n = n 3 π 3 f (x) sin nπx dx, n. (9.3) Τώρα υποθέτουμε ότι η f είναι συνεχής και η f είναι τμηματικά συνεχής στο [, ]. (b) Αν f() = f() =, τότε f(x) = (c) Αν f () = f() =, τότε f(x) = b n = n π c n cos 8 c n = (n ) π (d) Αν f() = f () =, τότε b n sin nπx, x, f (x) sin nπx (n )πx, x, f (x) cos dx. (9.4) (n )πx dx. (9.5) με f(x) = d n sin 8 d n = (n ) π (n )πx, x, f (x) sin (n )πx dx. (9.6)

23 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 367 Απόδειξη Θα αποδείξουμε το () και το υπόλοιπο θεώρημα το αφήνουμε ως άσκηση στον αναγνώστη. Λόγω της συνέχεια της f στο [, ], το Θεώρημα 9.. συνεπάγεται την (9.) με,,,... όπως ορίστηκαν στο Θεώρημα 9... Γνωρίζουμε τον συντελεστή από τη σχέση (9.3). Αν n, με ολοκλήρωση κατά μέλη δύο φορές και με χρήση της υπόθεσης f () = f () =, έχουμε n = f(x) cos nπx dx [ = f(x) sin nπx nπ = nπ = n π f (x) sin nπx dx [ f (x) cos nπx f (x) sin nπx = f (x) cos nπx n π dx [ = f (x) sin nπx n 3 π 3 = n 3 π 3 f (x) sin nπx dx dx ] ] f (x) cos nπx dx f (x) sin nπx dx ] Παράδειγμα 9..9 Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier συνημιτόνων η f(x) = x (3 x) στο [, ]. Λύση Έχουμε και = n = (3x x 3 ) dx = (3x x 3 ) cos nπx ) (x 3 x4 = 3 dx, n. Επίσης f (x) = 6x 6x, έχουμε f () = f () =. Αφού f (x) =, από τη σχέση (9.3) αν n τότε n = 4 n 3 π 3 = sin nπx 43 nπx dx = cos n 4 π αν n = m, (m ) 4 π 4 αν n = m. = 43 n 4 π 4 [( )n ]

24 368 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Συνεπώς F (x) = π 4 (n )πx cos. (n ) 4 Παράδειγμα 9.. Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier ημιτόνων η f(x) = x(x 3x + ) στο [, ]. Λύση Από f() = f() = και f (x) = 6(x ), η σχέση (9.4) δίνει b n = (x ) sin nπx n π dx [ = (x ) cos nπx n 3 π 3 [ = ] nπx sin n 3 π 3 nπ = 3 n 3 π 3. cos nπx dx ] Συνεπώς F (x) = 3 π 3 nπx sin n3. Παράδειγμα 9.. Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η f(x) = 3x 3 4x + 3 στο [, ]. Λύση Λόγω f () = f() = και f (x) = (9x 4), από τη σχέση (9.5) έχουμε 6 (n )πx c n = (9x 4) cos dx (n ) π [ = 3 (n )πx (9x 4) sin (n ) 3 π 3 9 [ = 3 ( ) n (n ) 3 π 3 (n )π [ ] = ( ) n (n ) 3 π 3 8 (n )π cos (n )πx ] (n )πx sin dx ] Συνεπώς, F (x) = 33 π 3 [ ( ) n 5 + (n ) 3 ] 8 cos (n )π (n )πx. Παράδειγμα 9.. Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier ημιτόνων η f(x) = x(x 9x + )

25 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 369 στο [, ]. Λύση Λόγω f() = f () =, και f (x) = 6(x 3), η σχέση (9.6) δίνει 48 (n )πx d n = (x 3) sin dx (n ) π [ 96 (n )πx = (x 3) cos (n ) 3 π 3 [ ] 96 4 (n )πx = 3 sin (n ) 3 π 3 (n )π [ ] 96 3 = 3 + ( ) n 4. (n ) 3 π 3 (n )π cos (n )πx dx ] Συνεπώς, F (x) = 963 π 3 [ ] 3 + ( ) n 4 sin (n ) 3 (n )π (n )πx. 9.. Ανισότητα Bessel και η ταυτότητα Prsevl Θεωρούμε τις συναρτήσεις f, g ορισμένες στο διάστημα [, b]. Η ποσότητα p (f, g) = f(x) g(x) dx ονομάζεται μέση τετραγωνική απόκλιση των f, g. Η σειρά n (x) συγκλίνει κατά τον μέσο (ή μέσο τετραγωνικό) στη συνάρτηση S(x) στο διάστημα [, b], αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων S k (x) = k k (x), k =,, 3,... έχει μηδενική τετραγωνική απόκλιση από την S(x) στο διάστημα [, b], δηλαδή lim k p (S, S k ) = lim k S(x) S k (x) dx =. Θα προσδιορίσουμε την οικογένεια των συναρτήσεων f(x), των οποίων τα αναπτύγματα Fourier συγκλίνουν κατά τον μέσο όρο σ αυτές (βλ. W.E Boyce, R.C. DiPrim, και

26 37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Ν. Σταυρακάκης, ) Θεώρημα 9..7 [Ανισότητα Bessel] Έστω μια -περιοδική συνάρτηση f(x) με την f (x) ολοκληρώσιμη. Αν n, b n είναι οι συντελεστές Fourier της f(x), τότε ισχύει η ανισότητα Bessel: + ( n + bn) f (x)dx < + (9.7) Απόδειξη Έστω S k (x) τα μερικά αθροίσματα της σειράς Fourier της f(x), δηλαδή S k (x) = + k { n cos Θεωρούμε το μη αρνητικό τετραγωνικό ολοκλήρωμα ) + b n sin )} (f(x) S k (x)) dx = f (x)dx f(x)s k (x)dx + (S k (x)) dx. (9.8) Χρησιμοποίωντας τις σχέσεις ορθογωνιότητας που παρουσιάσαμε στο εδάφιο 9.., μπορούμε να αποδείξουμε ότι (S k (x)) dx = Επιπλέον ισχύει f(x)s k (x)dx = = ( f(x) ( + k { n cos ) k ( + n + bn) ( + k { n cos ) + b n sin } + b n sin )} ) dx )} ) dx = = k f(x)dx + { n ( k = + ( ) ) n + b n f(x) cos ) dx + b n f(x) sin ) } dx

27 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 37 Ετσι η (9.8) γίνεται: (f(x) S k (x)) dx = f (x)dx ( k + ( ) ) n + b n (9.9) Επειδή η (9.9) ισχύει για κάθε k, θα ισχύει προφανώς η ανισότητα Bessel. Αν η f(x) πληρεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος 9..7, τότε ισχύει lim f(x) cos n ) dx = lim f(x) sin n ) dx = (9.3) Πράγματι από την ανισότητα Bessel προκύπτει ότι, n + b n, καθώς το n. Επομένως θα ισχύει n, b n, δηλαδή η (9.3). Από την (9.9) συνεπάγεται ότι, η σειρά Fourier της f(x) συγκλίνει κατά μέσο όρο στην f(x), αν και μόνο αν ισχύει η ακόλουθη ταυτότητα Prsevl. + ( n + bn) = f (x)dx. (9.3) 9..3 Παραγώγιση και Ολοκλήρωση σειρών Fourier Έστω f(x) μια τμηματικά συνεχής, -περιοδική συνάρτηση. Τότε η συνάρτηση F (x) = x f(t)dt, (9.3) είναι συνεχής προς x. Η F (x) θα είναι -περιοδική, αν ικανοποιεί τη συνθήκη F ( ) = F (). Επειδή F ( ) =, θα πρέπει να ισχύει F () = f(t)dt = = (9.33) δηλαδή θα πρέπει να είναι =. Έχουμε αποδείξει το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα 9..8 [Ολοκλήρωση] Έστω f(t) μια -περιοδική, τμηματικά συνεχής συνάρτηση. Τότε, το ολοκλήρωμα (9.3) ορίζει μια -περιοδική συνάρτηση, αν και μόνο αν =. Επιπλέον, σ αυτή την περίπτωση η F (x) είναι τμηματικά λεία. Θεώρημα 9..9 [Αόριστο ολοκλήρωμα: = ] Αν f(x) είναι μια -περιοδική τμηματικά συνεχής συνάρτηση με ανάπτυγμα Fourier f(x) { n cos ) + b n sin )} τότε κάθε μέρος της (9.34), μπορεί να ολοκληρωθεί, οπότε προκύπτει (9.34)

28 37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ x f(t)dt xf(x)dx + Τέλος, η σειρά (9.34), συγκλίνει για κάθε x R. ( ) { n sin nπ ) b n cos Απόδειξη Αν η F (x) είναι περιοδική, τότε έχει ένα συγκλίνον ανάπτυγμα Fourier F (x) = A + { A n cos Για n, η ολοκλήρωση κατά παράγοντες δίνει ) + B n sin )} dx. )}. (9.35) A n = = nπ F (x) cos F (x) sin ) dx = [ ) dx nπ ) ] nπ F (x)sin { f(x) sin ) } dx Επομένως, ισχύει A n = (/nπ) b n, όπου b n οι ημιτονικοί συντελεστές Fourier της συνάρτησης f(x). Ομοίως αποδεικνύεται ότι B n = (/nπ) n, όπου n οι συνημιτονικοί συντελεστές Fourier της συνάρτησης f(x). Επίσης, ισχύει: A = xf(x)dx (9.36) Παράδειγμα 9..3 Με τη χρήση του αναπτύγματος σε σειρά Fourier της συνάρτησης { για < x < f(x) = (9.37) για < x <. Να δειχθεί ότι συνάρτηση f(x) = x, ορισμένη στο διάστημα (, ) και -περιοδική, έχει το ακόλουθο ανάπτυγμα στο R ( ) ( ) 4 { } x π cos (n ) πx. (9.38) (n ) Λύση Εύκολα αποδεικνύεται ότι το ανάπτυγμα Fourier της (9.37) είναι Για x (, ) έχουμε f(x) ( 4 π ) { } sin (n ) πx. n

29 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 373 F (x) = x Επομένως, στο διάστημα (, ) θα ισχύει x A ( ) { 4 cos(πx) + π = A ( 4 π f(t)dt = x, αφούι F () = ( ) ( cos(3πx) } ) { cos (n ) πx (n ), ) } cos(5πx) +... δηλαδή ( ) ( ) A 4 x + { } π cos (n ) πx. (9.39) (n ) ( ) A Ο όρος + μπορεί να υπολογιστεί με δύο τρόπους: (i) Με χρήση της (9.36) A + = xf(x)dx = x x dx =. (ii) Μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελεί το ήμισυ του μηδενικού συντελεστή Fourier της συνάρτησης x, ορισμένης στο διάστημα (, ). Δηλαδή ισχύει, A + = x x dx =. Επομένως η συνάρτηση f(x) = x, ορισμένη στο διάστημα (, ) και -περιοδική, έχει το ακόλουθο ανάπτυγμα στο R (9.38). Το παραπάνω αποτέλεσμα γενικεύεται στην περίπτωση, που η μέση τιμή της συνάρτησης f(x) είναι μη μηδενική. Θεώρημα 9.. [Ορισμένο ολοκλήρωμα: ] Εστω ότι f(x) είναι μια -περιοδική, τμηματικά συνεχής συνάρτηση. Τότε, για κάθε c, d R, το ολοκλήρωμα d c f(x)dx, μπορεί να υπολογισθεί ολοκληρώνοντας τη σειρά Fourier της f(x) όρο προς όρο. Απόδειξη Αν η f(x) έχει μη μηδενική μέση τιμή, δηλαδή, τότε η συνάρτηση h(x) = f(x)

30 374 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ πληρεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Για κάθε c, d R, ισχύει d c f(x)dx = d f(x)dx c f(x)dx = d Άρα, έχουμε το ζητούμενο αποτέλεσμα, το οποίο είναι d c f(x)dx = d c dx + { n cos h(x)dx c ) + b n sin h(x)dx )}. d c dx Παράδειγμα 9..4 Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = x, π < x < π Με τη χρήση του αναπτύγματος σε σειρα Fourier της f να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η συνάρτηση x. Λύση Πράγματι, το ανάπτυγμα σε σειρά Fourier της f είναι [ ] sin x sin 3x f(x) x = sin x Σύμφωνα με τα προηγούμενα, ολοκληρώνοντας όρο προς όρο την τελευταία σειρά από c εως το x, προκύπτει ( ) ( ) x c cos x cos 3x cos c cos 3c = cos x cos c Για να προσδιορίσουμε το άθροισμα των σταθερών γράφουμε το παραπάνω ανάπτυγμα στη μορφή x 4 = C n+ cos nx ( ) n όπου C προσδιοριστέα σταθερά. Επειδή η σειρά στα δεξιά είναι μια ομοιόμορφα συγκλίνουσα σειρά Fourier, μπορούμε να ολοκληρώσουμε όρο προς όρο από π εως π, οπότε προκύπτει π π [ x π dx = Cdx π π ( ) n+ π ] cos nx dx, n ή π 3 π = 4πC, δηλαδή C = 3 Επομένως η ολοκλήρωση της σειράς Fourier της f(x), δίνει το ανάπτυγμα Fourier της x το οποίο είναι [ x π ] = 4 n+ cos nx ( ). n

31 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 375 Παράδειγμα 9..5 Από τα προηγούμενα είναι γνωστό ότι η συνάρτηση f(x) = x ορισμένη στο διάστημα [, ], δέχεται το ακόλουθο ημιτονικό ανάπτυγμα Fourier x = nπ ( )n+ sin nπx, για x. Αν παραγωγίσουμε όρο προς όρο τη σειρά προκύπτει ( ) n+ cos nπx η οποία είναι μεν συνημιτονική σειρά, όχι όμως αυτή που αποτελεί το συνημιτονικό ανάπτυγμα της f(x) = (αφού το συνημιτονικό ανάπτυγμα της είναι η ). Θεώρημα 9.. [Παραγώγιση] Έστω f(x) μια -περιοδική συνεχής συνάρτηση. Υποθέτουμε ότι, υπάρχει f (x) σχεδόν παντού στο [, ] και ότι, η f (x) είναι τμηματικά λεία. Τότε, η σειρά Fourier της f (x) προκύπτει από την σειρά Fourier της f(x), με όρο προς όρο παραγώγιση. Απόδειξη Επειδή η f(x) είναι τμηματικά λεία, θα δέχεται ανάπτυγμα Fourier της μορφής f (x) + Επίσης, η f(x) είναι -περιοδική Επομένως Επειδή δε = f (x) x { n cos ) + b n sin )}. f (x)dx = [f() f( )] = { n cos ) + b n sin f (t)dt = f(x) f( ) η προηγούμενη σχέση και το Θεώρημα 9..9 δίνουν ότι f (x) [f( ) + C] + { nπ n sin )}. (9.4) ) nπ b n cos ) }. Είναι φανρό, ότι η παραγώγιση όρο προς όρο της τελευταίας σειράς δίνει την (9.4). Παράδειγμα 9..6 Έστω η συνάρτηση f(x) = (x π ) = (x π) (x + π) ορισμένη

32 376 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ στο [ π, π] με f(x + π) = f(x). Αποδεικνύεται ότι f (x) 48π ( ) n n 4 cosnx, x [ π, π] Επίσης ισχύει f (x) = 4x(x π ) για x [ π, π] και η f (x) είναι τμηματικά λεία. Επομένως θα ισχύει f (x) = 4x(x π ) 48 ( ) n n 3 sinnx, x [ π, π] Ακόμα ισχύει f (x) = x 4π για x [ π, π]και η f (x) είναι τμηματικά λεία. Επομένως, έχουμε f (x) = x 4π 48 ( ) n n cosnx, x [ π, π] Τέλος f (x) = 4x για x [ π, π] ενώ δεν ορίζεται η f (x) για x = ±π. Εντούτοις, η f είναι τμηματικά λεία και ισχύει f (x) = 4x 48 ( ) n sinnx, x [ π, π] n 9. Ασκήσεις προς επίλυση Στις Ασκήσεις -5 να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η συνάρτηση f στο [, ] και να προσδιορίστε το αντίστοιχο άθροισμα για x. Σχεδιάστε στους ίδιους άξονες την f και για διάφορες τιμές του m.. = ; f(x) = x F m (x) = + m. = π; f(x) = x 3x 3. = ; f(x) = 3x 4. = π; f(x) = sin x 5. = π; f(x) = x cos x 6. = π; f(x) = x cos x 7. = π; f(x) = x sin x 8. = π; f(x) = x sin x ( n cos nπx + b n sin nπx )

33 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 377, < x <, 9. = ; f(x) = cos πx, < x <,, < x <, < x <,. = ; f(x) = x cos πx, < x <,, < x <, < x <,. = ; f(x) = sin πx, < x <,, < x <. = ; f(x) =, < x <, sin πx, < x <,, < x <, < x <, 3. = ; f(x) = x sin πx, < x <,, < x < {, 4 < x <, 4. = 4; f(x) = x, < x < 4 { x 5. = ; f(x) =, < x <, x, < x < 6. Από το Παράδειγμα 9..5 να αποδείξετε n= (n + ) = π (αʹ) Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η f(x) = e x στο [ π, π]. (βʹ) Από το () δείξτε ότι n + = π coth π. n= 8. Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η f(x) = (x π) cos x στο [ π, π]. 9. Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η f(x) = (x π) sin x στο [ π, π].. Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η f(x) = sin kx (k ακέραιος) στο [ π, π].. Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η f(x) = cos kx (k ακέραιος) στο [ π, π].

34 378 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ. (αʹ) Υποθέτουμε ότι f( ) = f(), f ( ) = f (), f είναι συνεχής και και f τμηματικά συνεχής στο [, ]. Με χρήση του Θεωρήματος 9.. και με παραγοντική ολοκλήρωση δείξτε ότι με n = n π f(x) = + ( n cos nπx = + b n sin nπx ), x, f(x) dx, f (x) cos nπx dx, και b n = n π f (x) sin nπx (βʹ) Δείξτε ότι αν, επιπροσθέτως στο (), η f είναι συνεχής και η f τμηματικά συνεχής στο [, ], τότε dx n. n = n 3 π 3 f (x) sin nπx dx. 3. Δείξτε ότι αν f είναι ολοκληρώσιμη στο [, ] και f(x + ) = f(x), < x < (Σχήμα 9.), τότε η σειρά Fourier της f στο [, ] έχει τη μορφή A + ( A n cos nπx + B n sin nπx ) όπου και B n = A n = A = f(x) sin nπx f(x) dx, f(x) cos nπx dx, dx, n =,, 3, Δείξτε ότι αν f είναι ολοκληρώσιμη στο [, ] και f(x + ) = f(x), < x <

35 9.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 379 (Σχήμα 9.), τότε η σειρά Fourier της f στο [, ] έχει τη μορφή ( (n )πx A n cos + B n sin ) (n )πx, όπου και B n = A n = f(x) sin f(x) cos (n )πx (n )πx dx dx, n =,, 3,.... Στις Ασκήσεις 5-9 να βρείτε το ανάπτυγμα σε συνημιτονική σειρά Fourier για τη συνάρτηση f. 5. f(x) = x ; [, ] {, x 6. f(x) =, < x < ; [, ] 7. f(x) = e x ; [, π] 8. f(x) = x( x); [, ] 9. f(x) = x(x ); [, ] Στις Ασκήσεις 3-34 να βρείτε το ανάπτυγμα σε ημιτονική σειρά Fourier για τη συνάρτηση f. 3. f(x) = ; [, ] {, x 3. f(x) =, < x < ; [, ] { x, x 3. f(x) =, x, x ; [, ]. 33. f(x) = x sin x; [, π] 34. f(x) = e x ; [, π] Στις Ασκήσεις να βρείτε το ανάπτυγμα σε συνημιτονική σειρά Fourier για τη συνάρτηση f. 35. f(x) = ; [, ] {, x 36. f(x) =, < x < ; [, ] 37. f(x) = cos x; [, π] 38. f(x) = sin x; [, π] 39. f(x) = x( x); [, ]

36 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Στις Ασκήσεις 4-44 να βρείτε το ανάπτυγμα σε ημιτονική σειρά Fourier για τη συνάρτηση f 4. f(x) = ; [, ] {, x 4. f(x) =, < x < ; [, ] 4. f(x) = cos x; [, π] 43. f(x) = sin x; [, π] 44. f(x) = x( x); [, ]. Στις Ασκήσεις με χρήση του Θεωρήματος 9..6() να βρείτε το ανάπτυγμα σε συνημιτονική σειρά Fourier για τη συνάρτηση f στο [, ]. 45. f(x) = 3x (x ) 46. f(x) = x 3 (3x 4) 47. f(x) = x (3x 8x + 6 ) 48. f(x) = x (x ) 49. Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = {, x <, x ; Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η συνάρτηση Να δείξετε ότι g : [, ] R, g(x) = x yf(y)dy. π = Με τη χρήση της ταυτότητας Prsevl και του αναπτύγματος ( ) n+ x sin(nx), n π < x < π να υπολογισθεί η σειρά ( ). n 5. Με τη χρήση της ταυτότητας Prsevl και του αναπτύγματος x π ( ) n n cos(nx), π < x < π

37 9.. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΓΙΑ ΔΕ ΗΣ ΤΑΞΗΣ 38 να υπολογισθεί η σειρά ( ). n 4 5. Εστω f(x) = cosx, π < x < π, όπου > σταθερά. Να αποδειχθεί ότι ( cos(x) sin(π) ) π + ( ) n n cos(nx). Να υπολογισθεί η σειρά n. Με τη χρήση της ταυτότητας Prsevl να υπολογισθεί η σειρά ( n ). 53. Εστω ότι η f(x) = x, για π < x < π και f (x+π) = f (x), έτσι ώστε να έχουμε το ανάπτυγμα ( ) n+ f (x) sin(nx). n Να υπολογισθεί με χρήση του παραπάνω στοιχείου η σειρά Fourier των συναρτήσεων f (x) = x, και f 3 (x) = x 4 για π < x < π. 54. Έστω f(x) μια 4-περιοδική συνάρτηση της μορφής Έτσι ώστε να ισχύει το ανάπτυγμα f(x) 4 π x f(x) =, < x < x x, x < ( ) n+ ) cos n + ( )n sin πn 3 ) 3. Επιβεβαιώστε ότι, ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος 9.. για την f(x). Να υπολογισθεί η σειρά Fourier της f (x). Επιβεβαιώστε ότι, δεν ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος 9.. για τη συνάρτηση f (x). 9. Προβλήματα Συνοριακών Τιμών για ΔΕ ης τάξης 9.. Προβλήματα Συνοριακών Τιμών δύο σημείων Θεωρούμε την ΔΕ ης τάξης P (x)y + P (x)y + P (x)y = F (x). (9.4)

38 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Υποθέτουμε ότι P, P, P, και F είναι συνεχείς συναρτήσεις και P δεν μηδενίζεται στο (, b). Απο το Θεώρημα 5.3., έχουμε ότι αν x (, b) και k και k είναι αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί, τότε η ΔΕ (9.4) έχει μοναδική λύση στο (, b), τέτοια ώστε y(x ) = k και y (x ) = k. Θεωρούμε τώρα ένα διαφορετικό πρόβλημα συνδεδεμένο με τη ΔΕ (9.4). ΠΡΟΒΛΗΜΑ Υποθέτουμε ότι P, P, P, και F είναι συνεχείς και P δεν μηδενίζεται στο κλειστό διάστημα [, b]. Έστω α, β, ρ, και δ είναι πραγματικοί αριθμοί: α + β και ρ + δ, (9.4) και έστω k και k αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί. Το ερώτημα που τίθεται είναι η εύρεση λύσης της ΔΕ P (x)y + P (x)y + P (x)y = F (x) (9.43) στο κλειστό διάστημα [, b], έτσι ώστε και αy() + βy () = k (9.44) ρy(b) + δy (b) = k. (9.45) Τα σημεία και b καλούνται συνοριακά σημεία. Οι συνθήκες (9.47) και (9.45) είναι συνοριακές συνθήκες, και το πρόβλημα καλείται δύο σημείων ΠΣΤ ή πιο απλά ΠΣΤ. Η ΔΕ (9.4) μπορεί να γραφεί εν συντομία ως y = F, όπου και οι συνθήκες ορίζονται y = P (x)y + P (x)y + P (x)y, B (y) = αy() + βy () και B (y) = ρy(b) + δy (b). Συνδυάζοντας τις (9.43), (9.47) και (9.45) ως y = F, B (y) = k, B (y) = k. (9.46) Το ΠΣΤ είναι ομογενές αν F = και k = k = διαφορετικά καλείται μη ομογενές. Επίσης, σε μερικές εφαρμογές χρησιμοποιούμε μεικτές συνοριακές συνθήκες, της μορφής αy() + βy () + P y(b) + y (b) = k ρy(b) + δy (b) + Ay() + By () = k. (9.47) Στη συνέχεια δίνουμε χωρίς απόδειξη, ένα θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας για ΠΣΤ στην γενική περίπτωση που η ΔΕ (9.4) είναι μη γραμμική. Για την απόδειξη,βλ. J.W. Brwn & d R. Churchill 993

39 9.. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΓΙΑ ΔΕ ΗΣ ΤΑΞΗΣ 383 Θεώρημα 9.. Θεωρούμε το ομογενές μη γραμμικό ΠΣΤ y + f(x, y) =, (x, y) (, b) R, y() =, y(b) =. (9.48) Υποθέτουμε ότι η f(x, y) είναι συνεχής στο [, b] R και ipschitz ως προς y σταθεράς k, δηλαδή υπάρχει σταθερά k R +, τέτοια ώστε, για κάθε ζεύγος σημείων (x, y ), (x, y ) από το [, b] R, να ικανοποιείται η σχέση f(x, y ) f(x, y ) k y y. Αν το b είναι αρκετά μιρκό, ώστε να ισχύει k (b ) < 4, τότε το ΠΣΤ (9.48) έχει μοναδική λύση. Παράδειγμα 9.. Θεωρούμε το ΠΣΤ Η γενική λύση της ΔΕ y + y = είναι y + y =, y() =, y(π/) =. y = + c sin x + c cos x, για y() =, αν και μόνο αν c = και y(π/) =, αν και μόνο αν c =. Οπότε η είναι μοναδική λύση του ΠΣΤ. Παράδειγμα 9.. Θεωρούμε το ΠΣΤ Η γενική λύση της ΔΕ y + y = είναι y = sin x cos x y + y =, y() =, y(π) =. y = + c sin x + c cos x, για y() =, αν και μόνο αν c =, αλλά y(π) =, αν και μόνο αν c =. Συνεπώς, το ΠΣΤ δεν έχει λύση. Παράδειγμα 9..3 Θεωρούμε το ΠΣΤ y + y = sin x, y() =, y(π) =. Η γενική λύση της ΔΕ (υπολογίζεται με τη μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών) y + y = sin x είναι sin x y = + c sin x + c cos x. 3

40 384 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Οι συνοριακές συνθήκες y() = και y(π) = μας δίνουν c =, χωρίς περιορισμό για το c. Συνεπώς, το ΠΣΤ έχει άπειρες λύσεις όπου c αυθαίρετη σταθερά. sin x y = + c sin x, 3 Θεώρημα 9.. Αν z και z είνα λύσεις της y =, έτσι ώστε B (z ) = B (z ) = ή B (z ) = B (z ) =, τότε {z, z } είναι γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο λύσεων. Ισοδύναμα, αν {z, z } είναι γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο λύσεων, τότε B (z ) + B (z ) και B (z ) + B (z ). Απόδειξη Υπενθυμίζουμε B (z) = αz() + βz () και α + β. Αν B (z ) = B (z ) =, τότε (α, β) είναι μια μη τετριμμένη λύση του Το οποίο συνεπάγεται ότι αz () + βz () = αz () + βz () =. z ()z () z ()z () =, οπότε {z, z } είναι γραμμικό ανεξάρτητο σύνολο λύσεων από το Θεώρημα Αφήνουμε ως άσκηση στον αναγνώστη την απόδειξη του αν {z, z } είναι γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο λύσεων, τότε B (z ) = B (z ) =. Θεώρημα 9..3 (P. Wltmn, 986) Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες. (αʹ) Υπάρχει ένα θεμελιώδες σύνολο λύσεων {z, z } της ΔΕ y =, τέτοιο ώστε B (z )B (z ) B (z )B (z ). (9.49) (βʹ) Αν {y, y } είναι θεμελιώδες σύνολο λύσεων της y =, τότε B (y )B (y ) B (y )B (y ). (9.5) (γʹ) Για κάθε συνεχή συνάρτηση F και ζεύγος σταθερών (k, k ), το ΠΣΤ y = F, B (y) = k, B (y) = k έχει μοναδική λύση. (δʹ) Το ομογενές ΠΣΤ y =, B (y) =, B (y) = (9.5) έχει τετριμμένη λύση την y =.

41 9.. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΓΙΑ ΔΕ ΗΣ ΤΑΞΗΣ 385 (εʹ) Η ομογενής Δ Ε y = έχει γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις z και z, έτσι ώστε B (z ) = και B (z ) =. Μερικές φορές είναι χρήσιμο να έχουμε στη διάθεση μας έναν τύπο για την λύση ενός ΠΣΤ. Οπως φαίνεται στο επόμενο θεώρημα αυτό είναι εφικτό. Θεώρημα 9..4 Θεωρούμε το ομογενές ΠΣΤ y =, B (y) =, B (y) = (9.5) ότι έχει μοναδική λύση. Έστω y και y γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της ΔΕ y = τέτοιες ώστε B (y ) = και B (y ) = και W = y y y y. Τότε η μοναδική λύση του ΠΣΤ y = F, B (y) =, B (y) = (9.53) είναι Απόδειξη y(x) = y (x) x Στο εδάφιο 5. είδαμε ότι αν F (t)y (t) x P (t)w (t) dt + y (x) F (t)y (t) dt. (9.54) P (t)w (t) y = u y + u y (9.55) όπου u y + u y = u y + u y = F, τότε y = F. Επιλύοντας ως προς u και u, έχουμε που ισχύει αν u (x) = x u = F y P W και u = F y P W, F (t)y (t) x P (t)w (t) dt και u F (t)y (t) (x) = P (t)w (t) dt. Η προηγούμενη σχέση και η (9.55) δείχνουν ότι (9.54) είναι λύση της y = F. Παραγωγίζοντας την (9.54), έχουμε y (x) = y (x) x Από τις σχέσεις (9.54) και (9.56), F (t)y (t) x P (t)w (t) dt + y (x) F (t)y (t) B (y) = B (y ) P (t)w (t) dt = F (t)y (t) dt. (9.56) P (t)w (t)

42 386 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ διότι B (y ) =, και διότι B (y ) =. Η, y ικανοποιεί την (9.53). Συνάρτηση Green Η σχέση (9.54) μπορεί να γραφεί ως όπου F (t)y (t) B (y) = B (y ) P (t)w (t) dt = y = y (t)y (x) P G(x, t) = (t)w (t) y (x)y (t) P (t)w (t) G(x, t)f (t) dt, (9.57), t x,., x t b. Η παραπάνω σχέση καλείται συνάρτηση Green για το ΠΣΤ (9.53). Αφήνουμε ως άσκηση στον αναγνώστη, να αποδείξει ότι οι υποθέσεις του Θεωρήματος 9..4 συνεπάγονται ότι το ΠΣΤ έχει μοναδική λύση την y(x) = y = F, B (y) = k, B (y) = k Παράδειγμα 9..4 Να λυθεί το ΠΣΤ G(x, t)f (t) dt + k B (y ) y + k B (y ) y. y + y = F (x). y() + y () =, y(π) y (π) =, (9.58) και προσδιορίστε τη συνάρτηση Green για το συγκεκριμένο ΠΣΤ. Λύση Έχουμε B (y) = y() + y () και B (y) = y(π) y (π). Έστω {z, z } = {cos x, sin x}, το οποίο είναι θεμελιώδες σύνολο λύσεων για τη ΔΕ y + y =. Τότε B (z ) = (cos x sin x) x= = B (z ) = (cos x + sin x) x=π =

43 9.. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΓΙΑ ΔΕ ΗΣ ΤΑΞΗΣ 387 και Συνεπώς, B (z ) = (sin x + cos x) x= = B (z ) = (sin x cos x) x=π =. B (z )B (z ) B (z )B (z ) =, το Θεώρημα 9..3 συνεπάγεται ότι το (9.58) έχει μοναδική λύση. Έστω και y = B (z )z B (z )z = cos x sin x y = B (z )z B (z )z = cos x + sin x. Τότε B (y ) =, B (y ) =, και η ορίζουσα Wronski του {y, y } είναι W (x) =. Λόγω P =, η (9.54) δίνει ως λύση τη y(x) = Η συνάρτηση Green είναι cos x sin x cos x + sin x + π x x F (t)(cos t + sin t) dt F (t)(cos t sin t) dt. (cos t sin t)(cos x + sin x), t x, G(x, t) = (cos x sin x)(cos t + sin t), x t π. Θα θεωρήσουμε την περίπτωση που δεν καλύπτεται από το Θεώρημα Θεώρημα 9..5 Θωρούμε ότι το ομογενές ΠΣΤ y =, B (y) =, B (y) = (9.59) έχει μη τετριμμένη λύση την y, και έστω y είναι οποιαδήποτε λύση της ΔΕ y = που δεν είναι πολλαπλάσια της y. Έστω W = y y y y. Αν τότε το ομογενές ΠΣΤ έχει άπειρες λύσεις, της μορφής y = y p + c y, όπου y p = y (x) x F (t)y (t) dt =, (9.6) P (t)w (t) y = F, B (y) =, B (y) = (9.6) F (t)y (t) x P (t)w (t) dt + y (x) F (t)y (t) P (t)w (t) dt

44 388 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ και c είναι αυθαίρετη σταθερά. Αν τότε το ΠΣΤ (9.6) δεν έχει λύση. F (t)y (t) dt, P (t)w (t) Απόδειξη Από την απόδειξη του Θεωρήματος 9..4, y p είναι μια ειδική λύση της ΔΕ y = F, και y p(x) = y (x) x F (t)y (t) x P (t)w (t) dt + y (x) Συνεπώς, η γενική λύση της (9.59) έχει τη μορφή όπου c και c είναι σταθερές. Τότε y = y p + c y + c y, F (t)y (t) P (t)w (t) dt. B (y) = B (y p + c y + c y ) = B (y p ) + c B (y ) + c B y F (t)y (t) = B (y ) P (t)w (t) dt + c B (y ) + c B (y ) = c B (y ) Αφού B (y ) =, από το Θεώρημα 9.. συνεπάγεται ότι B (y ) ; B (y) = αν και μόνο αν c =. Συνεπώς y = y p + c y και B (y) = B (y p + c y ) = B (y ) F (t)y (t) = B (y ) P (t)w (t) dt, F (t)y (t) P (t)w (t) dt + c B (y ) αφού B (y ) =. Από το Θεώρημα 9.., B (y ) (διότι B (y y = αν και μόνο αν ισχύει η (9.6). = ). Συνεπώς, Παράδειγμα 9..5 Εφαρμόζοντας το Θεώρημα 9..5 στο ΠΣΤ y + y = F (x), y() =, y(π) = (9.6) μπορούμε να επιβεβαιώσουμε το Παραδείγμα 9.. και Η αντίστοιχη ομογενής ΔΕ y + y = έχει γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις y = sin x και y = cos x, και y ικανοποιεί και τις δύο συνοριακές συνθήκες. Επίσης, P = και W = (sin x, cos x) =, η σχέση (9.6) γίνεται π F (x) sin x dx =.

45 9.. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΓΙΑ ΔΕ ΗΣ ΤΑΞΗΣ 389 Από το Παράδειγμα 9.., έχουμε F (x) = και π F (x) sin x dx = π sin x dx =, από το Θεώρημα 9..4 έχουμε ότι το ΠΣΤ (9.6) δεν έχει λύση. Στο Παράδειγμα 9..3, F (x) = sin x = sin x cos x και π π F (x) sin x dx = sin x cos x dx = π 3 sin3 x =, από το Θεώρημα 9..4 συνεπάγεται ότι το ΠΣΤ (9.6) έχει άπειρες λύσεις, πολλαπλάσιες της y (x) = sin x κατά μια σταθερά. 9.. ΠΣΤ Sturm-iouville. Sturm-iouville ΠΣΤ-Εισαγωγικά Στο σημείο αυτό θα θεωρήσουμε το ΠΣΤ ΔΕ ης τάξης με την παράμετρο λ όπου P (x)y + P (x)y + P (x)y + λr(x)y =, B (y) =, B (y) =, (9.63) B (y) = αy() + βy () και B (y) = ρy(b) + δy (b). Όπως αναφέρθηκαμε στο εδάφιο 9.., α, β, ρ, και δ είναι πραγματικοί αριθμοί, με α + β > και ρ + δ >, P, P, P, και R είναι συνεχείς και, P και R είναι θετικά ορισμένες στο [, b]. Θα λέμε ότι η παράμετρος λ είναι μια ιδιοτιμή για το ΠΣΤ (9.63) αν το (9.63) έχει μη τετριμμένη λύση y. Σε αυτή την περίπτωση, η y είναι ιδιοσυνάρτηση που σχετίζεται με τη λ ή μια λ-ιδιοσυνάρτηση. Επίλυση του προβλήματος ιδιοτιμών σημαίνει να βρεθούν όλες οι ιδιοτιμές και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις του (9.63). Παράδειγμα 9..6 Να λυθεί το πρόβλημα ιδιοτιμών y + 3y + y + λy =, y() =, y() =. (9.64) Λύση Η γενική λύση της ΔΕ είναι όπου r = 3 + 4λ y = c e r t + c e r t. και r = 3 4λ.

46 39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Αν λ < /4, τότε r και r είναι πραγματικές ρίζες του αντίστοιχου χαρακτηριστικού πολυωνύμου r + 3r + + λ = και η γενική λύση της (9.64) είναι y = c e r t + c e r t. Εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες παρατηρούμε ότι το σύστημα c + c = c e r + c e r =. έχει μοναδική λύση την c = c =. Συνεπώς, λ δεν είναι ιδιοτιμή του (9.64). Αν λ = /4, τότε r = r = 3/, οπότε η γενική λύση της ΔΕ (9.64) είναι y = e 3x/ (c + c x). Εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες παρατηρούμε ότι λ = /4 δεν είναι ιδιοτιμή του (9.64). Αν λ > /4, τότε η γενική λύση της (9.64) είναι όπου ω = y = e 3x/ (c cos ωx + c sin ωx). 4λ ή, ισοδύναμα, λ = + 4ω. (9.65) 4 Εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες, έχουμε c =, οπότε y = c e 3x/ sin ωx, η οποία ισχύει για c αν και μόνο αν ω = nπ, όπου n είναι θετικός ακέραιος. Από την (9.65), οι ιδιοτιμές είναι λ n = ( + 4n π )/4 και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις y n = e 3x/ sin nπx, n =,, 3,.... Για θεωρητικούς λόγους είναι καλό να γράψουμε την ΔΕ του ΠΣΤ (9.63) σε διαφορετική μορφή, όπως στο παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα 9..6 Αν P, P, P και R είναι συνεχείς συναρτήσεις, και P και R είναι θετικά ορισμένες στο [, b], τότε η ΔΕ μπορεί να γραφεί στη μορφή P (x)y + P (x)y + P (x)y + λr(x)y = (9.66) (p(x)y ) + q(x)y + λr(x)y =, (9.67) όπου p, p, q και r είναι συνεχείς και p και r είναι θετικά ορισμένες στο [, b]. Απόδειξη Ξαναγράφουμε τη ΔΕ (9.66) ως y + u(x)y + v(x)y + λr (x)y =, (9.68)

47 9.. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΓΙΑ ΔΕ ΗΣ ΤΑΞΗΣ 39 με u = P /P, v = P /P,και R = R/P. Έστω p(x) = e U(x), όπου U είναι η παράγουσα της u. Τότε p είναι θετικά ορισμένη στο [, b] και U = u, p (x) = p(x)u(x) (9.69) είναι συνεχής στο [, b]. Πολλαπλασιάζοντας την (9.68) με p(x) δίνει p(x)y + p(x)u(x)y + p(x)v(x)y + λp(x)r (x)y =. (9.7) Αφού p είναι θετικά ορισμένη στο [, b], η ΔΕ έχει την ίδια λύση με τη (9.66). Από (9.69), (p(x)y ) = p(x)y + p (x)y = p(x)y + p(x)u(x)y, έχουμε ότι η (9.7) μπορεί να γραφεί στη μορφή (9.67), με q(x) = p(x)v(x) και r(x) = p(x)r (x). Ορισμός 9.. Μια γραμμική ΔΕ ης τάξης, θεωρούμε ότι είναι σε αυτοσυζυγή μορφή (self-djoint), αν και μόνο αν είναι της μορφής (p(x)y ) + q(x)y + λr(x)y =, (9.7) όπου p, p, q και r είναι συνεχείς και p και r είναι θετικά ορισμένες στο [, b]. Το Θεώρημα 9..6 μας λέει ότι μια ΔΕ της μορφής (9.66) μπορεί να αναχθεί σε αυτοσυζυγή μορφή (9.7) αν πολλαπλασιαστεί με τη συνάρτηση [ ] P (x) µ(x) = exp P (x) dx /P (x). Στο υπόλοιπο του εδαφίου οι συναρτήσεις p, q, και r έχουν τις ιδιότητες που ισχύουν στο Θεώρημα Η συνάρτηση µ(x) ονομάζεται πολλαπλασιαστής αυτοσυζυγοποίησης. Επίσης, όταν γράφουμε τον τελεστή σε γενική περίπτωση θα εννοούμε Έτσι, η ΔΕ (9.7) γράφεται = D(p(x)D) + q(x), όπου D = d dx. η συνάρτηση r(x) ονομάζεται συνάρτηση βάρους της ΔΕ. y + λr(x)y =, (9.7) Παράδειγμα 9..7 Να τεθεί σε αυτοσυζυγλη μορφή η ΔΕ (Bessel) x y + xy + ( λx n ) y =, x >. (9.73) Λύση Από την σχέση [ ] P (x) µ(x) = exp P (x) dx /P (x),

48 39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ με αντικατάσταση έχουμε ότι µ(x) = /x, οπότε πολλαπλασιάζοντας την (9.84) με /x, προκύπτει η αντίστοιχη αυτοσυζυγής ΔΕ που είναι xy + y + ( λx n x ) y =, x >, ή ισοδύναμα (xy ) + ( λx n x ) y =, x >. Ορισμός 9.. Ο αυτοσυζυγής τελεστής, ονομάζεται συμμετρικός στο κλειστό διάστημα [, b], αν και μόνο αν (uv vu) dx =, (9.74) για κάθε ζεύγος C [, b]-συναρτήσεων u, v οι οποίες ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες που συνοδεύουν τον. Θεώρημα 9..7 Έστω ο διαφορικός τελεστής = D(p(x)D) + q(x), ορισμένος στο διάστημα [, b] και οι συναρτήσεις u, v C [, b], τότε ισχύει ο τύπος (uv vu) dx = p(x)w (u, v x) b (9.75) όπου W (u, v) = uv vu είναι η ορίζουσα Wronski των u, v. Απόδειξη Πράγματι, έχουμε ότι (uv vu) dx = = = { u d dx (pv ) + uq(x)v v d } dx (pu ) vq(x)u dx d dx {p(x)v u p(x)u v} dx d dx {p(x)w (u, v x)} dx = p(x)w (u, v x) b. Στο εδάφιο 9.. ορίσαμε την έννοια της ορθογωνιότητας συναρτήσεων, επίσης δύο ο- λοκληρώσιμες συναρτήσεις f και g καλούνται ορθογώνιες ως προς μια συνάρτηση βάρους r(x) > στο διάστημα [, b], αν έχουμε r(x)f(x)g(x)dx =. Θεώρημα 9..8 Έστω ένας συμμετρικός τελεστής στο διάστημα [, b], ο οποίος ικανοποιεί την εξίσωση y(x) + λr(x)y(x) =, x (, b). Αν λ n και λ k είναι δύο διαφορετικές ιδιοτιμές του, με αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις y n (x) και y k (x), τότε οι y n (x) και y k (x), είναι ορθογώνιες ως προς τη συνάρτηση βάρους r(x).

49 9.. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΓΙΑ ΔΕ ΗΣ ΤΑΞΗΣ 393 Απόδειξη Για τις ιδιοσυναρτήσεις y n (x) και y k (x), έχουμε τις ακόλουθες εξισώσεις y n (x) = λ n r(x)y n (x), y k (x) = λ k r(x)y k (x) Πολλαπλασιάζοντας τις δύο εξισώσεις με y k (x) και y n (x) αντίστοιχα ολοκληρώνουμε και αφαιρούμε κατά μέλη, οπότε έχουμε {y k (x)y n (x) y n (x)y k (x)} dx = (λ k λ n ) r(x)y n (x)y k (x)dx. Επειδή ο είναι συμμετρικός, το πρώτο μέλος της προηγούμενης σχέσης θα είναι μηδέν. Επομένως, προκύπτει r(x)y n (x)y k (x)dx =. Θεώρημα 9..9 Οι ιδιοτιμές ενός συμμετρικού τελεστή είναι όλες πραγματικές και αποτελούν μια άπειρη ακολουθία, διατεταγμένη κατά αύξουσα τιμή, έτσι ώστε όπου το λ n, καθώς το n. Ομαλά Sturm-iouville προβλήματα λ < λ <... < λ n <... Ορισμός 9..3 Η ΔΕ (9.67) καλείται Sturm iouville εξίσωση, και το πρόβλημα ιδιοτιμών y + λr(x)y =, B (y) =, B (y) =, (9.76) με y = (p(x)y ) +q(x)y το οποίο είναι ισοδύναμο με την (9.63), καλείται Sturm-iouville πρόβλημα. Οι διαχωρισμένες ομογενείς συνοριακές συνθήκες διακρίνονται σε τρείς βασικές κατηγορίες: (αʹ) Συνοριακές συνθήκες Dirichlet οι οποίες είναι της μορφής y() =, y(b) =, (βʹ) Συνοριακές συνθήκες Neumnn οι οποίες είναι της μορφής y () =, y (b) = (γʹ) Συνοριακές συνθήκες Robin ή μεικτές οι οποίες είναι της γενικής μορφής k y() + y () =, k y(b) + y (b) = όπου k, k είναι σταθερές με μια τουλάχιστον μη μηδενική.

50 394 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Αρκετά συχνά στις εφαρμογές μας ενδιαφέρει να επιλύσουμε μια ΔΕ σε ένα πεπερασμένο διάστημα και υπό ορισμένες συνθήκες στα άκρα του διαστήματος : ΠΣΤ : y + λy =, y() =, y() = ΠΣΤ : y + λy =, y () =, y () = ΠΣΤ 3: y + λy =, y() =, y () = ΠΣΤ 4: y + λy =, y () =, y() = ΠΣΤ 5: y + λy =, y( ) = y(), y ( ) = y () Σε καθένα από τα παραπάνω ΠΣΤ η ΔΕ συνοδεύεται από συγκεκριμένες συνθήκες τις αποκαλλούμενες συνοριακές συνθήκες. Οι συνοριακές συνθήκες για το Πρόβλημα 5, σε αντιδιαστολή με τις συνθήκες των ΠΣΤ -4, δεν απαιτούν οι y ή y άν είναι μηδέν στα άκρα του διαστήματος, μόνο η y έχει την ίδια τιμή στα x = ±, όπως επίσης η y έχει την ίδια τιμή στα x = ±. Οι συνοριακές συνθήκες του Προβλήματος 5 είναι περιοδικές. Φυσικά η μηδενική λύση y = είναι η τετριμμένη. Το ερώτημα που τίθεται είναι: Για ποιες τιμές της παραμέτρου λ έχει μη τετριμμένη λύση και ποια είναι η μορφή της; Η τιμή της παραμέτρου λ για την οποία το πρόβλημα έχει μη τετριμμένη λύση καλείται ιδιοτιμή του προβλήματος και η αντίστοιχη μη τετριμμένη λύση είναι λ-ιδιοσυνάρτηση. Τα Προβλήματα -5 καλούνται προβλήματα ιδιοτιμών. Σε αυτό το σημείο θα θεωρήσουμε ότι όλες οι ιδιοτιμές είναι πραγματικοί αριθμοί. Θεώρημα 9.. Τα ΠΣΤ -5 έχουν μη μηδενικές ιδιοτιμές. Επίσης, λ = είναι μια ιδιοτιμή των ΠΣΤ και5, με αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση y =, αλλά λ = δεν είναι ιδιοτιμή των ΠΣΤ, 3, ή 4. Απόδειξη Θεωρούμε τα ΠΣΤ -4, και αφήνουμε την απόδειξη για το ΠΣΤ 5 ως άσκηση στον αναγνώστη. Αν y + λy =, τότε y(y + λy) =, οπότε λ Με παραγοντική ολοκλήρωση έχουμε y(x)(y (x) + λy(x)) dx =. y (x) dx = y(x)y (x) dx = y(x)y (x) y(x)y (x) dx. (9.77) (y (x)) dx = y()y () y()y () (y (x)) dx. Όμως, αν y ικανοποιεί οποιαδήποτε από τις συνοριακές συνθήκες των ΠΣΤ -4, τότε y()y () y()y () =. (9.78)

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 14-15, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: Πρόβλημα 1. Για κάθε μια από τις

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier

2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier 2.1 2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier 2.1 Εισαγωγή Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια της μεθόδου Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή μιας οποιασδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier

2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier 2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια του μετασχηματισμού Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει Πρόβλημα 22. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη εξίσωση του Laplace u + u = 0, 1 < < 1, 1 < < 1, u(, 1) = f(), u(, 1) = 0, u( 1, ) = 0, u(1, ) = 0. α) Σωστό ή λάθος; Αν f( ) = f() είναι

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

A = B = Ψ(1) = Ψ(0) = γ) Αφαιρώντας τη δεύτερη σχέση από την πρώτη έχουμε

A = B = Ψ(1) = Ψ(0) = γ) Αφαιρώντας τη δεύτερη σχέση από την πρώτη έχουμε 1 Prìblhma 2 και α Εχουμε ότι a 11 =1 a 21 = a 12 = 1 a 22 = b 11 = b 21 = b 12 = b 22 =1 A = B = ( 1 1 ( και επομένως det A =detb =, οπότε οι συνθήκες είναι αμιγείς. β Εχουμε ότι ( ( 1 2 1 A =, B = 1

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σειρά Fourier Ορθοκανονικές Συναρτήσεις Στοεδάφιοαυτόθαδιερευνήσουμεεάνκαικάτωαπό

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, 6-7 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΠΙΚ. ΚΑΘ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους 6-7. Περιοδικές Συναρτήσεις) Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R περιοδική

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ SECTION 0 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. Ορισµοί Συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ Ε) καλείται µια εξίσωση της µορφής f [y (n), y (n ),..., y'', y', y, x] 0 όπου y', y'',..., y (n ), y (n) είναι οι παράγωγοι

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα I. Λέμε ότι η F είναι αντιπαράγωγος της f στο I αν ισχύει F = f στο I. ΠΡΟΤΑΣΗ. Αν η F είναι αντιπαράγωγος της f στο

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Κεφάλαιο 3 Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφέρουμε τις συνθήκες ύπαρξης και μοναδικότητας ΠΑΤ μη γραμμικών ΔΕ. Στο εδάφιο 3.1, θα παρουσιάσουμε την προσεγγιστική μέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κεφάλαιο Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund, Katznelson 4 και Stein and Shakarchi.. Μερικά βασικά περί μιγαδικών αριθμών Υποθέτουμε ως γνωστές

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις

Διαφορικές Εξισώσεις ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ M. ΡΟΘΟΣ Αναπλ. Καθηγητής ΑΠΘ ΧΡΥΣΟΒΑΛΑΝΤΗΣ Α. ΣΦΥΡΑΚΗΣ Διδάκτωρ Μαθηματικός Διαφορικές Εξισώσεις Διαφορικές Εξισώσεις Συγγραφή Βασίλειος M. Ρόθος & Χρυσοβαλάντης Α. Σφυράκης Κριτικός αναγνώστης

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2) Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx.

(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx. Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωμα Lebesgue (11 1) 3ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω f, g : T C ολοκληρώσιμες συναρτήσεις. Δείξτε ότι, για κάθε n N, (s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). Υπόδειξη. Θυμηθείτε

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων ιαίρεση Πολυωνύμων 1 Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x + x - 9) : (x - 1) β) (x 4-7x + x - 15) : (x + 5) γ) (x - 4αx + α ) : (x - α) δ) [7x - (9α + 7α ) x + 9α ] : (x - α) Με τη βοήθεια του σχήματος

Διαβάστε περισσότερα

Προφανώς, μια συνάρτηση μπορεί να μην είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. Όμως, μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα μιας άρτιας fe

Προφανώς, μια συνάρτηση μπορεί να μην είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. Όμως, μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα μιας άρτιας fe Άρτιο και Περιττό μέρος Συνάρτησης Προφανώς, μια συνάρτηση μπορεί να μην είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. Όμως, μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα μιας άρτιας e και μιας περιττής συνάρτησης, ως εξής: Αν e και,

Διαβάστε περισσότερα

18 ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

18 ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ SECTION 8 ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 8. Ορθογώνια Σύνολα Συναρτήσεων Ορθοκανονικό σύνολο συναρτήσεων Θεωρούµε δύο πραγµατικές συναρτήσεις f () και g() ορισµένες, διαφορετικές και όχι ταυτοτικά µηδέν, σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! ookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις μερικών ασκήσεων του τρίτου φυλλαδίου.

Λύσεις μερικών ασκήσεων του τρίτου φυλλαδίου. Λύσεις μερικών ασκήσεων του τρίτου φυλλαδίου.. Έστω 0 < a

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207 Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός

Κεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός Κεφάλαιο Πολυώνυμα Taylor Στο κεφάλαιο αυτό θα κάνουμε μια σύντομη εισαγωγή στα πολυώνυμα Taylor. Τα πολυώνυμα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως προσεγγίσεις μιας συνάρτησης γύρω από ένα σημείο, και έχουν

Διαβάστε περισσότερα

u x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2

u x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Β 9 Ιουνίου, 07 Θ. αʹ) Αν το G είναι ένας τόπος, δηλαδή ένα ανοικτό και συνεκτικό σύνολο στο

Διαβάστε περισσότερα

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0 Τρόποι Κατασκευής Εάν οι ιδιοσυναρτήσεις του διαφορικού τελεστή L αποτελούν ένα ορθοκανονικό L ( ) ( ) (7) και πλήρες σύστημα συναρτήσεων ( ) m( ), m (8) και εάν τότε η εξίσωση Gree ( ) ( ) ( ) (9) z ()

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Συντελεστές και σειρές Fourier

Συντελεστές και σειρές Fourier Κεφάλαιο 3 Συντελεστές και σειρές Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 22, Katznelson 24 και Stein and Shakarchi 211. 3.1 Συντελεστές Fourier μιας ολοκληρώσιμης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας Πρόβλημα 15. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική

= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική Prìlhm Το φυσικό πρόβλημα είναι: τοίχος σε επαφή με λουτρό θερμοκρασίας T = αριστερά και μονωμένος δεξιά, με αρχική θερμοκρασία T =.Θέτουμεu(x, t) = U(x)T (t), οπότεu t = UT και u xx = U T, και προχωράμε

Διαβάστε περισσότερα

x + ax x x 4 να είναι παραγωγίσιμη στο x Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η sin sin = 2sin cos

x + ax x x 4 να είναι παραγωγίσιμη στο x Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η sin sin = 2sin cos http://lar.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Άσκηση. (5 μονάδες) i) ( μονάδες) Υπολογίστε την παράγωγο για κάθε μία από τις επόμενες συναρτήσεις: a)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις

Εισαγωγή. Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις Κεφάλαιο Εισαγωγή Θα παρουσιάσουμε τις διαφορικές εξισώσεις και τα αντίστοιχα προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών που θα συναντήσουμε στα επόμενα κεφάλαια. Επίσης, θα δούμε ορισμένες ιδιότητες και

Διαβάστε περισσότερα

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0: Εισαγωγή

Κεφάλαιο 0: Εισαγωγή Κεφάλαιο : Εισαγωγή Διαφορικές εξισώσεις Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) αλλά και οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ) εμφανίζονται παντού στις επιστήμες από τη μηχανική μέχρι τη βιολογία Τις περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ & ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Ας είναι ux (, ) = x+ cos( π ) και vx (, ) = cos( π x) το πραγματικό και το φανταστικό μέρος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α .5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ για Γενική Επανάληψη Πολυχρόνη Μωυσιάδη, Καθηγητή ΑΠΘ ΟΜΑΔΑ 1. Συναρτήσεις 1. Δείξτε ότι: και υπολογίστε την τιμή 2. 2. Να υπολογισθούν οι τιμές και 3. Υπολογίστε τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Βασικά θεωρήματα για τις γραμμικές Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Όταν η s δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Παρατήρηση: Το αντίστροφο του προηγουμένου θεωρήματος δεν ισχύει. Παράδειγμα η σειρά με νιοστό όρο α = +-. Τότε lim α =0. Όμως s =α +α + +α = - + 3- +...+

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ). (α + β) = α +αβ + β ). (α β) = α αβ + β. 3). (α + β) 3 = α 3 + 3α β +3αβ + β 3 ). (α β) 3 = α 3 3α β +3αβ β 3. 5). α β = (α β)(α + β) 6). α + β = (α + β) αβ. 6). α 3 β 3

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έννοια του πολυωνύμου. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί να πάρει κάθε πραγματική τιμή. Μονώνυμο του x, είναι κάθε παράσταση της μορφής : x όπου α είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10 Τρεις ισοδύναμες μορφές: () = = = = Σειρές Fourier j( 2π ) t Τ.. x () t FS a jω0t xt () = ae =

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n + ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

6. Αριθμητική Ολοκλήρωση

6. Αριθμητική Ολοκλήρωση 6. Αριθμητική Ολοκλήρωση Ασκήσεις 6.1 Έστω f : [; b]! R μια συνάρτηση, της οποίας το ολοκλήρωμα του Riemnn στο διάστημα [; b] υπάρχει. Αν Qn T είναι ο σύνθετος τύπος ολοκλήρωσης του τραπεζίου με n ομοιόμορφα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εισαγωγή.

ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εισαγωγή. 1 ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1.1. Εισαγωγή. Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών. Σε

Διαβάστε περισσότερα

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι:

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: n N {0}, ( ) + n = = n + ( ) και ( ) + ( ) = (**) Ονομάζουμε επικεφαλής συντελεστή ενός μη μηδενικού πολυωνύμου f, τον συντελεστή f(i)

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x

Διαβάστε περισσότερα