Martin Jovanović UVOD U RAČUNARSTVO. - skripta za računske vežbe - prednacrt - nezvanična kompletna verzija -

Transcript

1 Mrtin Jovnović UVOD U RAČUNARSTVO - skript z rčunske veže - prenrt - nezvničn kompletn verzij - Istorij verzij:..00. Prenrt. Neostju ojšnjenj z sve olsti. Primeri su u rukopisu. Ov verzij pokriv kompletno grivo, i ovoljn je z pripremu rugog kolokvijum iz Uvo u rčunrstvo. Izuzetk čini eo o zvnju končnih utomt i putevim u utomtu t je referen n ogovrjuće poglvlje u literturi. Moguće su štmprske greške. Autor se unpre zhvljuje n svim sugestijm Uvon prič o končnim utomtim je preprvljen i il jsnij. N krju utomt je t ztk "", i etljno opisn r utomt s postepenim rtnjem grf Pristupm ponovo skripti n Svetog Jovn. Doo sm uvo u priču o Bulovoj lgeri koj je inče stvljen suvoprn. Dotno sm pojsnio, govornim jezikom, svki o ksiom iz Hntingovog skup. Dotno sm ojsnio poglvlje o efinisnju osnovnih operij prekičke lgere, i još tu uveo pojm tlie istinitosti. N početku trećeg poglvlj uio sm efiniiju potpuno i nepotpuno efinisne prekičke funkije. Dopunio sm tekst i urio preglenije tele. Ztke posle poglvlj o nlitičkim formm funkije skenirne i zlepljene sm zmenio kunim zim ztke kuo Božir Zečević Isprvljene štmprske greške zvnje PF, ztk 5, prertvnj su il pomeren u esno. Dotno sm ojsnio osoinu istriutivnosti operij. Isprvljene su neke štmprske greške u postvi ztk iz nčin zvnj PF. Pojsnio sm izrz "iempotentnost". Dot je prekun ztk s NI i NILI kolim Isprvljen grešk ko komintorijskog vektor.

2

3 . Konepij Ove ću npisti pooljšnu konepiju, z s je u vžnosti on s sjt. Ares n n..00.:

4

5 . Elementi prekičke lgere.. Uvo Prekičk lger pruž mtemtičku osnovu z ilo kkv r s prekičkim funkijm. A prekičk funkij je zprvo mtemtički moel r ilo kog igitlnog električnog kol. A opet, ilj koji se postvlj pre stuent u okviru rugog el Uvo u rčunrstvo rčunske veže, je projektovnje igitlnog električnog kol ne n fizičkom nivou, već n logičkom iejno rešenje. Detljnije: Ovo poglvlje u osnovnoj verziji npisl je Vlentin Milićević... Bulov lger... Uvo Ovo poglvlje je, u osnovnoj verziji, npisl Vlentin Milićević. N njim su izvršene oimne promene i opune o strne utor skripte, Mrtin Jovnović. Detljnije o tim promenm u istoriji verzij. Hvl, Vlentin.... Definiij Bulove lgere Njjenostvnije rečeno, i jen skup posto lgersk struktur, njeg tre "oplemeniti" oređenim skupom operij. Algerske strukture su "prostori" u kojim se krećemo k vršimo ilo kkve mtemtičke operije. Bulov lger je, po efiniiji, lgersk struktur B,,,, 0, koju čine: skup B inrne operije i unrn operij 0 nul Bulove lgere jeini Bulove lgere ukoliko vže ksiome iz Hntingovog skup ksiom: A ztvorenost skup B z operije,, :, B,,, B Drugčije rečeno: ko se operni z pomenute operije "vuku" iz skup B, on i rezlutti tih operij pripju skupu B, tj. ni u jenom slučju se ne "izlzi" iz skup B. A komuttivnost z operije i :, B Komuttivnost nije potreno ojšnjvti.tre smo znti inrne operije morju iti komuttivne, i gore opisn sistem io Bulov lger. A istriutivnost " " prem "" i "" prem " " oe vrijnte! O ovome tre reći nešto više. Pre tog iće te mtemtičke interpretije oe vrijnte ove ksiome, ztim će iti t otn ojšnjenj:,, B U "relnom mtemtičkom životu" u okviru lgere relnih rojev nvikli smo n prvu vrijntu, onosno istriutivnost operije množenj u onosu n operiju U osnovi: postoje nekkve ve inrne operije i to je sve; i oeležene su tim simolim. Ali to nisu ilo kkve ve inrne operije, nego što se ksnije vii kroz Hntingov skup ksiom, neke ve inrne operije koje zovoljvju neke uslove. Tek k zovolje te uslove, on se skup koji ih srži može nzvti lgerom. Ist logik vži i z unrnu operiju. Dkle, i pomenuti sistem "imo prvo" nosi nziv Bulov lger, on mor srži i jenu unrnu operiju; i to ne ilo kkvu, nego s tčno oređenim osoinm koje su efinisne u Hntingovom skupu ksiom.

6 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin. sirnj. Ovu osoinu te ve operije usvojili smo i prilikom rčunnj ne mislimo o njoj, već je rimo utomtski. Svi smo se sreli s izrzim tip, n primer,, i utomtski ćemo ovo shvtiti ko. U Bulovoj lgeri istriutivnost ovih operij vži i k opertori zmene mest, što u relnoj lgeri nije io slučj. N primer: je u relnoj ritmetii ostjo tkv kkv je, li u Bulovoj lgeri on se može npisti i ko. D i ovo ilo još jsnije, vlj mlo pojsniti pojm istriutivnosti jene operije prem rugoj, ili rugčije rečeno jene operije u onosu n rugu. Tre efinisti uloge operij u eloj toj konepiji. A vrijnt : istriutivnost operije " " u onosu n operiju "" Posmtrjmo sleeći izrz: S leve strne znk jenkosti immo operiju " ", koj se primenjuje n izrz, konkretno n promenljive koje su operni operije"". Operij " ", ili preiznije rečeno: operij " " operij "množenje veličinom " se "rspoređuje" n o opern operije "". Rspoređivnje se n ltinskom kže istriutio, te otle, u posrljenoj vrijnti, možemo reći se vrši istriuij, ili istriuirnje operije " " " " n sve o operne operije "". Otle i nziv ove osoine: istriutivnost operije " " u onosu n operiju "". Operij " " je u ovom slučju nosio osoine istriutivnosti, ok je operij "" u ovom slučju ono u onosu n št se efiniše t osoin istriutivnosti. Pošto ovo vži z jenu pojeinčnu operiju "", lko se može okzti vži i z više uzstopnih operij, onosno z sumu s više sirk:... n... n N ovkvo ponšnje operij u ritmetičkom smislu, ouše smo, ko što je već konsttovno, nvikli u prethonom školovnju i prktičnom životu, kle u zoni lgere relnih rojev. U Bulovoj lgeri, međutim, ovo vži i k operije međusono zmene mest, n to već, u relnoj lgeri, nismo nvikli A vrijnt : istriutivnost operije "" u onosu n operiju " " Posmtrjmo sleeći izrz: Ove je operij "" nosil osoine istriutivnosti, t osoin se efiniše u onosu n operiju " ". Drugim rečim, operij "" preiznije " " se istriuir, rspoređuje n operne operije " ", p svki o njih i i iv izložen operiji sirnj s. To je ilo to n št nismo nvikli, i n št vlj ortiti posenu pžnju. A neutrlni element z je 0, z je B 0 Zpmtiti oe inrne operije imju svoj neutrlni element. Element koji se nziv "nul Bulove lgere" je element koji je neutrln z operiju, element koji se nziv "jeini Bulove lgere" je onj koji je neutrln z operiju. A5 inverzni element element je B 0 Zpmtiti postoji inverzni element, svkom elementu tj. oojii element skup B. Operij "" primenjen n međusono inverzne elemente će ti, zto što mkr jen o njih mor iti, ilo_št. 5 Operij " " primenjen n međusono inverzne elemente uvek će ti 0, zto što mkr jen o njih mor iti 0, 0 ilo_št0. 6 A6 Nul Bulove lgere i jeini Bulove lgere su v rzličit skup B U ovom slučju se misli n ritmetičko relno množenje, ko i n sirnje. S u logičkom, onosno Bulovom smislu... ne više u ritmetičkom! 5 Ovo se može zključiti n osnovu tlie istinitosti operije "". 6 Ovo se može zključiti n osnovu tlie istinitosti operije " "

7 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin. 0 B B 0 Nul i jeini Bulove lgere morju iti v rzličit element, što je i logično.... Posleie Bulove lgere neke teoreme N osnovu skup ksiom Bulove lgere izvoe se sleeće teoreme. Teoreme će iti te ez okz. One se okzuju irektnom primenom ksiom iz Hntingovog skup. T teorem o vostrukom komplementu B T zkon soijtivnosti operij i,, B T teorem ez imen B 0 0 T zkon ienpotentnosti N ltinskom iem gruo preveeno znči isti, isto; potenti znči mogućnost, sposonost. Reč iempotenti mogl i se, mož, prevesti ko istomoćje. U mtemtii, ko inrnih operij ko što je slučj ove, osoin iempotentnosti znči element koji je im, ukoliko se operij primeni n njeg on ue s oe strne opertor, rezultt je on sm. Ovu osoinu imju o inrn opertor Bulove lgere. 7 B T5 zkon psorpije, B T6 teorem ez imen 0 B B 0 0 T7 De Morgnovi zkoni, B Dvoelementn Bulov lger, tj. on ko koje je skup B {0, }, nziv se prekičk lger, funkije efinisne n njom nzivju se prekičke funkije. Prekičke funkije su funkije s kojim rimo u nstvku ovog kurs.... Definisnje operij,, Ko što je već rečeno, prekičk lger porzumev tri operije: jenu unrnu operiju "nvučeno" komplement, u ozni," ", koj se nziv i logičko NE, engl. NOT, i ve inrne:. operiju logičkog sirnj, koj se tkođe nziv i logičko ILI OR, onosno isjunkij, i. operiju logičkog množenj, koj se tkođe nziv i logičko I AND, onosno konjukij. Tnk je linij između pojmov OPERACIJA i FUNKCIJA. U ovom slučju ovi pojmovi su sinonimi. Dkle rvnoprvno možemo govoriti o prekičkoj funkiji ILI, ili o operiji

8 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin. logičkog ILI. Isto rezonovnje vži i z operiju funkiju logičkog I, i z unrnu operiju funkiju logičko NE NOT, onosno komplement onosno "nvučeno". U pitnju su prekičke funkije jene ve promenljive. Ove funkije mogu iti prestvljene n mnoge nčine, o kojih je njpregleniji tlični nčin. Nime, prekičku funkiju prestvljmo tlično tko što u tlii stoje sve moguće vrenosti z nezvisno promenljive 8, i z svku kominiju tih "ulznih" promenljivih stoji vrenost funkije. Ovkv tli nziv se tli istinitosti prekičke funkije. Više o nčinim prestvljnj prekičkih funkij u sleećem poglvlju. Nčini zvnj prekičkih funkij. Tli istinitosti unrne operije on. funkije jene promenljive komplement, onosno logičko NE negije: logičko NE NOT negij komplement f 0 0 Tli istinitosti inrnih operij on. prekičkih funkij ve promenljive logičko ILI OR i logičko I AND, koje se tkođe nzivju i isjunkij i konjukij, respektivno: logičko ILI OR isjunkij f, logičko I AND konjukij f, Ukupn roj prekičkih funkij n promenljivih n Ukupn roj funkij n promenljivih je. Do ovog se olzi elementrnom komintorikom. Ovo je jen o osnovnih rzlik "ukus" mtemtike n prekičkom lgerom, u onosu n "ukus" mtemtike relnih rojev. Ko prekičke lgere sve je končno. Končn je roj kominij vrenosti nezvisno promenljivih, končn je roj rzličitih vrenosti funkije, končn je i roj funkij ukoliko je končn roj nezvisno promenljivih...5. Prekičke funkije promenljive unrne operije Slei z n: n. To znči ukupno postoji prekičke funkije o jene promenljive! Ukupno, i ni jen više. Evo tih funkij: f f f f Ove funkije nose sleeće nzive: 8 A tih "svih mogućih vrenosti" nem eskončno mnogo! Jer svk ulzn promenljiv može iti jenk smo nuli ili jeinii, kle ko immo ulzne promenljive one se mogu iskominovti n ukupno nčin: 00, 0,0 i ; ko immo jenu promenljivu, on može imti vrenost smo 0 ili, p je tli još mnj. Generlno, ko immo prekičku funkiju o n promenljivih, on "n ulzu" može imti n rzličitih kominij vrenosti tih promenljivih, p ok go je roj nezvisno promenljivih funkije končn tko jeino im smisl iće končn i tli istinitosti. Može jeino ue povelik

9 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin. - f je konstnt nul f 0, - f je promenljiv preslikn, ez promene f, - f je logičko NE NOT, negij, komplement f i - f je konstnt jeini f...5. Prekičke funkije promenljive inrne operije A koliko im ukupno prekičkih funkij ve promenljive? Z n 6. D viimo koje su to funkije: f f f f f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 0 f f f f f 5 f I ove funkije imju svoje nzive r neke: f, 0 - konstnt 0 nezvisn o rgument,, f, 5, f 6, 7, 8, f9, f0, f - konjunkij f f f - ekskluzivno ili, onosno sirnje op moulu f - isjunkij o - nili - ekvivlenij f,, f - "ornut" implikij f, f, 5, / 6, - implikij f - ni Šeferov funkij f - konstnt nezvisn o rgument. O svih ovih funkij, z ovj kurs su njitnije: I, ILI, NI, NILI i ekskluzivno ILI. Ostle funkije se ređe koriste, li se morju znti

10

11 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin.. Nčini zvnj prekičkih funkij.. Uvo Ovo poglvlje, u osnovnoj verziji, npisl je Vlentin Milićević. Prekičku funkiju moguće je prestviti n više nčin. Iko su ti nčini ekvivlentni, i prestvljju jenu istu funkiju, neki o njih su pogoniji z neke operije, neki rugi opet z neke ruge. U okviru ovog kurs iće orđeni sleeći nčini:. tli istinitosti ili kominion tli,. skup eimlnih ineks prekičke funkije,. komintorijski vektor funkije,. rojni ineks funkije, 5. logičk krt konkretno Krnoov, i 6. nlitički olik form prekičke funkije postoji više njih... Potpuno i nepotpuno efinisne funkije Ukoliko je vrenost prekičke funkije poznt z sve moguće kominije vrenosti nezvisno promenljivih, on je on potpuno efinisn. Inče nije. Dkle nepotpuno efinisn prekičk funkij on čij vrenost nije efinisn z svku kominiju nezvisno promenljivih. Z funkiju koj nije potpuno efinisn, n mestim ge nije, možemo proizvoljno izrti njenu vrenost, i to z svko tkvo mesto zseno! Ovo je o koristi pri nekimo operijm n funkijom npr. pri minimiziji funkije, tj. ovođenju funkije n neku o minimlnih nlitičkih formi. T t mogućnost izor vrenosti funkije ponoso u svkoj tčki u kojoj ov nije efinisn pruž otne mogućnosti njene minimizije... Tli istinitosti... Potpuno efinisn prekičk funkij N levoj strni tlie istinitosti, ili kominione tlie, nlze se svi mogući vektori nezvisno promenljivih 9, ko i pore svkog vektor levo o njeg, u krjnjoj levoj koloni njegov eimlni ineks. Št je eimlni ineks? Definiij eimlnog ineks: Svkom vektoru,,..., n nezvisno promenljivih jene prekičke funkije može se priružiti eo roj i efinisn s i n j j n j, zove se eimlni ineks. Preveeno n govorni jezik: eimlni ineks vektor nezvisno promenljivih je ekni roj koji se oij k se tj vektor shvti ko inrni roj. N primer, ko immo funkiju 5 promenljivih f,,,,5, i ko posmtrmo sleeću kominiju vrenosti nezvisno promenljivih: 00 to je prktično vektor [00]. Ako g posmtrmo ko inrni roj i preveemo u ekni sistem, oijmo njegov eimlni ineks:. N esnoj strni tlie pore vektor je nveen vrenost prekičke funkije z tj vektor nezvisno promenljivih. 9 Kominiju vrenosti nezvisno promenljivih "ulznih" promenljivih možemo posmtrti ko jen vektor. N primer, ko posmtrmo prekičku funkiju 5 promenljivih, f,,,, 5, funkij će imti rzličite vrenosti z rzličite kominije vrenosti nezvisno promenljivih. U tom smislu možemo posmtrti, n primer, vrenost funkije z kominiju ulznih promenljivih 00000, p z 0000, p z 0000 it. Smim tim, skup o 5 vrenosti nezvisno promenljivih možemo posmtrti ko jenoimenzionlnu horizontlnu mtriu, onosno vektor z isti primer: [00000], [0000], [0000] it. On kžemo kko funkij im tu-i-tu vrenost z tj-i-tj vektor nezvisno promenljivih. - -

12 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin. i e.ine... n- n- n f,,..., n f0,0,..., f0,0,..., n... f,,..., Konkretni primeri z tlie istinitosti ti su u prethonom poglvlju, prilikom efinisnj osnovnih operij prekičke lgere.... Nepotpuno efinisn funkij Ukoliko prekičn funkij nije potpuno efinisn, n mestim ge nije efinisn stoji neki speijln znk. Njčešće je to zvezi. Evo primer jene nepotpuno efinisne prekičke funkije promenljive: i f,, U ilo kkvom rčunnju, umesto zvezie immo prvo stvimo ilo 0 ilo, št nm go više ogovrlo... i to nezvisno z svku zveziu!.. Skupovi eimlnih ineks Tli istinitosti p smim tim i prekičk funkij je potpuno efinisn sleećim skupovim: f 0 skup eimlnih ineks onih vektor nezvisno promenljivih n kojim funkij im vrenost 0 f skup eimlnih ineks onih vektor nezvisno promenljivih n kojim funkij im vrenost f * skup eimlnih ineks onih vektor nezvisno promenljivih n kojim funkij nije efinisn. Funkij je potpuno efinisn ko je zt smo skupovim f 0 i f. Ukoliko je zt skupovim f 0, f i f * on je nepotpuno efinisn. Primer eimlnih ineks z gornju funkiju nepotpuno efinisnu, što je njopštiji slučj: f 0 {0,,6}, f {,}, f {,5,7}. - -

13 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin. v. Nrvno, jen o njih se može izostviti... u njemu je ono što preostne o ostl.5. Komintorijski vektor funkije Komintorijski vektor funkije K f je vektor vrenosti funkije z sve vektore nezvisno promenljivih [ f, f,..., f ] K f 0 n On im smisl smo z potpuno efinisnu prekičku funkiju. Uzmimo neku potpuno efinisnu funkiju z primer: i f,, Komintorijski vektor funkije je: K f [000]..6. Brojni ineks funkije Brojni ineks funkije N f prestvlj ekni ekvivlent inrnog roj koji se oij k se elementi vektor K f posmtrju ko inrne ifre. Izrčunvnje N f im smisl jeino z potpuno efinisnu prekičku funkiju: N n f f i i i Brojni ineks prekičke funkije iz prethonog primer oij se k se njen K f komintorijski vektor posmtr ko inrni roj: 000, p se on tj roj prevee u ekni rojni sistem. Doije se je: N f Logičke krte Krnoove mpe U nekim primerim korisno je poreiti vrenosti funkije n susenim tčkm omen efinisnosti, p se zto u grupm skupov koristi uređenje u sklu s Grejovim koom, koji je list element ge se uzstopni elementi rzlikuju n jenoj poziiji. N tj nčin se olzi o Krnoovih mp. Krnoovom mpom može se prestviti i potpuno i nepotpuno efinisn preki čk funkij..7.. Krnoov mp potpuno efinisne PF Nem mnogo smisl rtti Krnoove mpe funkij jene i ve promenljive, jer su to mle i jenostvne funkije, preglene sme po sei. Krnoov mp funkije tri promenljive izgle ovko: O vrenosti funkije formir se komintorijski vektor isto ovo, smo horizontlno. "Ornje" se vrši n LEVO... ono što je ove gore, iće levo u komintorijskom vektoru. Pžnj: komintorijski vektor je vektor, ko što mu ime kže, nije inrni roj!!! 0 - -

14 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin..7.. Popunjvnje Krnoove mpe, n primeru funkije promenljive U polj tlie se upisuju vrenosti funkije i to n sleeći nčin: pore oe vrste piše vrenost promenljive, izn svke kolone piše kominij vrenosti z promenljive i. U polje koje se nlzi u preseku oređene vrste i kolone upisuje se vrenost funkije z vrenosti ulznih promenljivih n toj vrsti, onosno koloni. Primer: gornje levo polje Krnoove mpe je u preseku gornje vrste, i krjnje leve kolone. Gornj vrst ogovr vrenosti 0 z promenljivu. Krjnj lev kolon ogovr kominiji vrenosti 00 z promenljive i tj. 0 i 0. Zključk: u to polje upisujemo vrenost funkije z vrenosti promenljivih 0, 0 i 0, onosno f0,0,0. Primer: u krjnje onje esno polje upisujemo vrenost f,0,. Ist logik vži z sv polj Krnoove mpe..7.. Primer popunjene Krnoove mpe z funkiju promenljive Evo funkije ist ko gore, smo nveen ponovo i ilo preglenije: I evo Krnoove mpe te funkije: i f,, Svejeno je ge će iti koj promenljiv, li će levo n primer stjti, gore, i sl. Bitno je jeino se tj rspore promenljivih poštuje prilikom popunjvnj tele. Primer, z istu funkiju: Primer popunjvnj Krnoove mpe z funkiju promenljive Prinip je potpuno isti, smo što je ovj put mp imenzij ukupno 6 polj, toliko vrenosti i im funkij promenljive. S strne se nlze vrenosti z promenljive, oozgo vrenosti z ruge ve. Primer: - -

15 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin. i f,,, Krnoov mp ove funkije jen njen vrijnt izgle ovko: Z funkije preko promenljive, Krnoove mpe postju neprktične. 0 One i imle polj 8 ili 8, p i po jenoj imenziji stjle kominije vrenosti z ve promenljive, po rugoj imenziji kominije vrenosti z tri promenljive..7.. Krnoove mpe z nepotpuno efinisne PF Potpuno je isti prinip. One ge u tlii istinitosti stoji zvezi, stjće n ogovrjućem mestu i u Krnoovoj mpi. Primer z gore nveeno nepotpuno efinisnu prekičku funkiju: i f,, One ge stoji zvezi u tlii istinitosti, tu u ogovrjućem polju stoji i u Krnoovoj mpi. 0 Živko Tošić: Osnovi rčunrske tehnike, Čuperk Plvi, Niš, 99, str

16 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin * 0 * * 0 Krnoove mpe su poseno pogone z minimiziju prekičkih funkij, što znči nlženje minimlnih nlitičkih formi prekičkih funkij koje, opet, znče će relizij funkij u sklu s njim iziskivti minimln roj logičkih kol, što lje znči ušteu u proizvonji i snižvnje osnovne ene proizvo. Ali ismo uopšte govorili o tome, mormo efinisti i tj, poslenji, li vrlo vžn nčin zvnj prekičkih funkij: nlitički olik..8. Anlitički olik form prekičke funkije.8.. Uvo Anlitičk form prekičke funkije je on form n koju smo nvikli pri ru s relnim funkijm: funkij prestvljen n ovj nčin prestvlj lgerski izrz, ko kog se s jene strne jenkosti oično leve nlzi vrenost funkije, prestvljen njčešće slovom f, s ili ez liste rgument nezvisno promenljivih u mlim zgrm. Primer z nlitički olik prekičke funkije: f, ili. f U tom lgerskom izrzu opuštene su smo operije koje su efinisne n lgerom u kojoj rimo. U prekičkoj lgeri svk funkij ve promenljive može se smtrti jenom inrnom operijom. Smim tim, u nlitičkoj formi prekičke funkije, prisutne operije ne morju se ogrničiti smo n one koje stoje u efiniiji lgere negij, konjukij i isjunkij, već i ostle inrne operije onosno prekičke funkije ve promenljive, ko što su "isključivo ili" XOR, u ozni, ili pk implikij, u ozni i sl. Z kompletn spisk ovih operij funkij pogleti poglvlje..5. Prekičke funkije promenljive inrne operije. U okviru ovog kurs ipk ćemo se viti smo onim nlitičkim formm koje se zirju n operijm konjukije, isjkunkije i negije, i..8.. Definiije vezne z nlitičke forme PF.8.. Polzn tčk rzmtrnj i efiniij literl Definisnje nlitičkih formi prekičkih funkij zpočećemo posećnjem je, po efiniiji prekičke funkije, sm jen promenljiv, s ili ez komplement, tkv, sm z see fktički jen prekičk funkij. U poglvlju..5. Prekičke funkije promenljive unrne operije pokzno je je jen o prekičkih funkij konkretno je to il f zprvo preslikn nezvisno promenljiv f, ok je opet jen rug funkij il je to f, prktično, komplementirn nezvisno promenljiv f. Dkle jen promenljiv, s ili ez komplement, čini sm z see jenu prekičku funkiju. Ovkvu promenljivu oeležićemo n sleeći nčin: ~ - 6 -

17 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin. Dkle, u nstvku izlgnj, ztlsn nvlk znči je to promenljiv s ili ez komplement o slučj vže. Ovkv konept se nziv literl. Dkle, literl je prekičk promenljiv s ili ez komplement. Pošto su nm n rspolgnju, pore komplement, i operij logičkog sirnj i množenj, o efiniije osnovnih nlitičkih formi oći ćemo preko efiniij sume i proizvo više promenljivih..8.. Definiije ~ Definiij. Elementrni proizvo ili konjunkij je izrz olik je i { i, i}, i, i,..., i n su rzličite vrenosti iz skup {,,..., n }. ~ ~ ~... i i in, ge ~ Definiij. Elementrn sum ili isjunkij je izrz olik je i { i, i}, i, i,..., i n su rzličite vrenosti iz skup {,,..., n }. ~ ~..., ge ~ i i in Definiij. Potpun proizvo ili minterm je elementrni proizvo u koji ulze sve promenljive. Definiij. Potpun sum ili mksterm je elementrn sum u koju ulze sve promenljive. Definiij 5. Proizvo elementrnih sum normln form KNF. S... S S m nziv se konjunktivn Definiij 6. Sum elementrnih proizvo normln form DNF. P P... Pm nziv se isjunktivn Definiij 7. KNF u kojoj su sve elementrne sume potpune nziv se potpun konjuktivn normln form PKNF. ~ i { i ko je f i ili i ko je f i 0} Definiij 8. DNF u kojoj su svi elementrni proizvoi potpuni nziv se potpun isjunktivn normln form PDNF. ~ i { i ko je f i 0 ili i ko je f i } Teorem. Svk prekičk funkij osim konstnte može se n jeinstven nčin npisti u oliku: f,..., n Si Si... S, ge su i i S, S,... S promenljivih s ineksim i m potpune sume koje ogovrju vektorim nezvisno i m, i i m n kojim funkij im vrenost 0. i,..., Teorem. Svk prekičk funkij osim konstnte 0 može se n jeinstven nčin npisti u oliku: f,..., P P... P n i i i m, ge su P, P,..., P i i promenljivih s ineksim potpuni proizvoi koji ogovrju vektorim nezvisno i m, i i m n kojim funkij im vrenost. i,..., Definiij 9. Sum po moulu elementrnih proizvo polinomn normln form PNF. P P... Pm nziv se Prover znčenj termin: we-eniklopij n resi:

18 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin. Definiij 0. PNF u kojoj su svi elementrni proizvoi potpuni nziv se potpum polinomn normln form PPNF. Teorem. Svk prekičk funkij osim konstnte 0 može se n jeinstven nčin npisti u oliku: f,..., P P... n P m, P i, Pi,..., P i m i, i,..., i m n kojim funkij im vrenost. ge su promenljivih s ineksim potpuni proizvoi koji ogovrju onim vektorim nezvisno Definiij. Prost proizvo je izrz olik... i i i n, ge su i, i,..., i n međusono rzličiti rojevi iz skup ineks {,,..., n }. Rezlikuje se u onosu n elementrni proizvo u tome što ne srži komplemente promenljivih. Definiij. Sum po moulu međusono rzličitih prostih proizvo zove se knonički polinom ili polinom po moulu. Teorem. Svk prekičk funkij osim konstnte 0 može se n jeinstven nčin npisti u oliku: f,..., n..., n 0 0 n n n n n i {0, i i { 0,,..., }. ge su } n formi. Npomen: Dve funkije se mogu upoređivti smo n nivou potpunih normlnih.8.. Čitnje potpunih normlnih formi iz tlične forme PF Iz tlie istinitosti se reltivno jenostvno mogu oiti potpune normlne forme prekičke funkije PDNF i PKNF, i to irektnim čitnjem, ez potree z ilo kkvim mtemtičkim trnsformijm..8.. Čitnje PDNF funkije n osnovu tlie istinitosti Prvo se posetimo: potpun isjunktivn normln form PDNF prekičke funkije je: sum potpunih proizvo. Dkle svk PDNF se formir prem istom šlonu: f ~ ~... ~ ~ ~... ~ ~ ~... ~,..., n PDNF n n n Svi siri prestvljju potpune proizvoe kle u svkom o sirk je prisutn svk promenljiv, pri čemu je nek komplementirn, nek nije. - UNDER CONSTRUCTION Dću smo teze: n onim mestim ge funkij im vrenost, pogle se koje vrenosti imju promenljive, i n osnovu njih se formir jen proizvo, i to tko što: promenljiv koj tu im vrenost 0 će učestvovti u proizvou komplementirn, on koj im vrenost nekomplementirn. koliko im jeini u koloni z vrenost f-je, toliko će iti i proizvo. on se ti proizvoi sumirju, i oije se PDNF funkije..8.. Čitnje PKNF funkije n osnovu tlie istinitosti - UNDER CONSTRUCTION U onosu n elu sumu, jen sirk je zprvo jen proizvo. Siri proizvoi se međusono rzlikuju po tome št je komplementirno o promenljivih, št nije

19 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin Dću smo teze: n onim mestim ge funkij im vrenost 0 z rzliku o čitnj PDNF-, ge su ns zniml mest ge im vrenost, formirće se po jen sum, u njoj će one promenljive koje imju vrenost 0 iti nekomplementirne, one koje imju vrenost komplementirne opet sve suprotno nego ko PDNF-. on se te sume pomnože i oije se PKNF funkije..9. Primeri.9.. Primer Dt je funkij y. Oreiti kominionu tliu, rojni ineks Ny,skup eimlnih ineks PDNF I PKNF. i f,, Ny Y {,,5,6,7} Y PDNF Y PPNF Y Y PKNF Sređivnjem ko u prehonom slučju se oije je: Y.9.. Primer Oreiti PDNF z f I PKNF z f ko su funkije te u sleeoj formi: f : f : f PDNF f

20 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin. f.9.. Primer Ni minimlnu KNF funkije: f f.9.. Primer Potpuno e finisn funkij f zt je skupom eimlnih ineks f {,,5,6} 00 -, npisti je u oliku PDNF I PKNF. 0 - > f PDNF f {,,5,6} > f { 0,,,7} f PKNF.9.5. Primer 5 Oreiti PDNF i PKNF funkije: f,,, D prvo viimo kko izgle tli istinitosti z funkiju "implikij", onosno funkiju y : y y PDNF 0 0 PKNF Pošto je PKNF ove funkije jenostvnij, iskoristićemo nju z lju trnsformiju izrz!,, f, - 0 -

21 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin. - - f PDNF f f.9.6. Primer 6 Anlitiki orei PKNF funkije:,,, f Pošto npišemo tlie istinitosti z funkije, i, i nđemo njihove PKNF forme, te forme zmenimo u izrzu z funkiju i lje vršimo trnsformije! PKNF f.9.7. Primer 7 Primenom Šenonovih teorem oreiti potpune normlne forme funkije: y rzvjnjem funkije njpre po ztim po.

22 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin y y y y y y y PDNF y y y y y y y PKNF y y y y y y y PPNF.9.8. Primer 8 Npisti u oliku konnog polinom prekiku funkiju:,, f psorpij f PNF _ srejivnje z se snji PPNF PDNF Primer 9 Potpuno efinisn funkij,, f zt je skupom eimlnog ineks

23 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin. - - { } 0,,,6 f. Ni njem. polinom. { } 0,,,6 f >,, f 6 0 P P P P ,, f 00 -,, f 0 -,, f 6 0 -,, f f PPNF

24

25 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin.. Relizij prekičkih funkij.. Uvo Termin "relizij" koristi se ko imeni i ko glgol tj. glgolsk imeni. Sinonim u o smisl io i termin "projekt", onosno "projektovnje", respektivno. Ko glgolsk imeni, relizij projektovnje oznčv proes trnsformije korisničkih zhtev formulisnih n govornom jeziku u opis izgle igitlnog kol, onko ko i ono izglelo u izrnoj tehnologiji izre. Ko imeni, relizij projekt prestvlj sm opis igitlnog kol u toj tehnologiji izre. Terminološko oređenje je ove i svu nezhvln poso, tko g tre prihvtiti s rezervom. Proes projektovnj može se poeliti n proes nlize i sinteze, generlno. Anliz je proes formlnog prestvljnj korisničkih zhtev pomoću jene ili više prekičkih funkij, i rznih trnsformij n tom prestvom, sve u ilju njene optimizije po kriterijumim izrne tehnologije izre kol. Drugčije rečeno, nliz je proes nlženj prekičkih funkij koje kolo tre relizuje, n osnovu korisičkih zhtev koji se stvljju pre kolo. Tkođe, po pojmom nliz se porzuvem i proes nlženj prekičkih funkij koje kolo relizuje li n osnovu gotove strukturne šeme kol. Ovj vi nlize više služi z oenjivnje kvlitet kol, i nije o interes z ovj kurs. Sintez je proes trnsformije pomenute optimlne prestve funkionlnosti kol u opis izgle kol u željenoj tehnologiji izre. Detljnij efiniij sinteze iće t u poglvlju o sintezi.6.. S se pojm projekt eli n više nivo, prem nivou pstrkije, o kojih se jen nivo nziv "logički nivo", i to je nivo n koji se ogrničv ovj kurs. U smislu logičkog projektovnj, krjnji rezultt proes relizije tj. projektovnj, kle projekt, jeste funkionlni opis kol u terminim prekičke lgere. Ili prostije rečeno, informij o tome. koj elementrn logičk kol se koriste, i. kko se on međusono vezuju i kolo rilo ono što se o njeg očekuje i kolo relizovlo iljnu prekičku funkiju, ili sistem funkij, ko im više izlz. Koj su to elementrn logičk kol? U opštem slučju to su "lego kokie" čijim povezivnjem oijmo gotovo kolo, i on mogu iti rznolik. Dnšnj inustrij nui rzličit rešenj, onosno rzličite skupove elementrnih kol, koji se nzivju tehnologijom relizije. U zvisnosti o izor tehnologije relizije, ir se i ogovrjući nčin projektovnj. N tržištu postoje čk i gotovi čipovi koje smo tre progrmirti uz pomoć progrmtor koji se vezuje n rčunr, tko je relizij prekičke funkije u toj tehnologiji vrlo speifičn, i vezn z konkretnu firmu koj proizvoi tkv čip. U okviru ovog kurs nećemo se viti pojeinčnim rešenjim pojeinčnih firmi, već opštim prinipim relizije prekičkih funkij koji su prisutni u svim inustrijskim rešenjim. Ono što je njopštije u proesu relizije je sleeći konept: kolo se uvek sstoji o oređenih prostih i lje neeljivih, moglo i se reći "tomskih" element, koji su povezni po oređenim prvilim. To vži uvek! Ove ćemo se, stog, viti tim prostim elementim, nčinim relizije pomoću njih, i nčinim z optimiziju te relizije... Digitln električn kol i logički elementi DEF: Digitlnim kolim nzivmo sv on kol koj se u električnom smislu mogu krkteristi s v rzličit stnj signl. Ovo impliir korišćenje inrnog rojnog sistem prilikom mtemtičkog moelirnj njihove funkionlnosti. Oznke tih stnj mogu iti ilo koje isto tko se i n ilo koje ve oznke može formirti rojni sistem, onosno el lger, li su usvojene ifre 0 i. D v stnj, preslikn u omen fizičkih veličin, mogu prestvljti ilo št: ukoliko je u pitnju, n primer, optički uređj, postojnje svetlosti u nekoj tčki, n primer Optimizij reč vuče koren iz ltinske reči optimus, -, -um, što znči njolji, -, -e nečeg je proes pooljšvnj neke o krkteristik tog nečeg o mksimlne izvoljive mere. Optimizij se uvek vrši po nekoj osoini, jer njčešće pooljšnje jene osoine vuče pogoršnje neke ruge prim. ut.. Živko J. Tošić, Osnovi rčunrske tehnike, Čuperk plvi, Niš, 99, str. 6,. psus. Živko J. Tošić, Osnovi rčunrske tehnike, Čuperk plvi, Niš, 99, str

26 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin. n izlzu uređj, se može oznčiti ifrom, nepostojnje mrk ifrom 0. Ili ornuto, zvisno o ogovor! Ovj primer nveen je i se pokzlo koliko su generlni ovi prinipi, i nezvisni o pojm elektriitet. Uređji mogu iti i čisto mehnički, ili pk hirulični. P ipk, u okviru elektronike, ri se o elektriitetu. Dv stnj mogu, u fizičkom smislu, prestvljti ve rzličite vrenosti npon, ili struje, ili pk postojnje ili nepostojnje električnih impuls it. Nul često soir n nepostojnje, osustvo nečeg, te se tko logičk nul koj je smo jen o v simol z stnje često meš s nepostojnjem npon 0V. Ovo nije isprvno rzmišljnje, iko površno eluje njlogičnije! Dv stnj koje neko logičko kolo im mogu, n primer, iti 5V i -5V. Svejeno je koje će stnje iti oeleženo kojim simolom, onosno kojom inrnom ifrom. Ipk, k se formirju stnri z ovo, ie se n to oeležvnje ue što liže zrvorzumskoj logii, p će pre nulom iti oeleženo stnje o -5V jer je, psolutno posmtrno, "mnje" o 5V. Reln situij je često sleeć: DEF: Logičkim elementom nzivmo reltivno jenostvno igitlno kolo koje relizuje neku o elementrnih prekičkih funkij. 5 A št su to elementrne prekičke funkije? O tome u sleećem nslovu.. Po prvilu logički element im v ulz, i relizuje voulznou "vopromenljivsku" prekičku funkiju m može imti i više ulz. P i ko im više o ulz, logički element ne relizuje neku složeniju PD, već jenu o elementrnih, smo n više promenljivih. Reimo ko relizuje logičku operiju ILI onosno, u Bulovoj lgeri, ko im ulz, on će relizovti tu istu funkiju, smo umesto y, će y, znči i lje je u pitnju smo elementrn operij Bulovog sirnj. Tkođe, po prvilu logički element im smo jen izlz, onosno relizuje jenu prekičku funkiju. 6 DEF: Logičk prekičk mrež je igitlno električno kolo koje nstje povezivnjem logičkih element n oređeni nčin... Elementrne prekičke funkije Rekli smo logički elementi relizuju elementrne prekičke funkije. A koje su prekičke funkije elementrne? Neki zrvorzumski ogovor io i: p funkije ve promenljive. Kko i svojevremeno reko Oliver Mlkr u Kviskotei: "točno, li nepotpuno". U elementrne logičke funkije sp tkođe i jen funkij o jene promenljive to je, lko je zključiti, komplement, onosno NOT. Međutim, teško zrvorzumsko rezonovnje može iti osnov z nuku ili inženjerstvo. Zto je potreno mlo se uuiti u ovj prolem, i o istog zključk oći n mtemtički formln nčin. Ovo je lkše nego što i se moglo zmisliti, veom korisno. Mtemtički prt koji koristimo prilikom projektovnj igitlnih kol n logičkom nivou je speijln vokomponentni, voifrski slučj Bulove lgere, tkozvn prekičk lger. To je lgersk struktur koj se sstoji o: skup koji im v čln, ogovorno oznčen s 0 i, ztim tri operije, oznčene s, i, i v posen element koji se nzivju "nul" i "jeini" prekičke lgere. 7 I ne smo to, i efiniij il potpun, morju vže nek prvil, koj se nzivju "Hntingov skup ksiom", o tome etljnije u poglvlju o prekičkoj lgeri, s čisto ih pomenemo. Ortimo pžnju n opertore. Immo jen unrni opertor unrni znči im jen opern, to je opertor nvučeno, u logičkom smislu komplement; i v inrn opertor inrni znči: im v opern, to su i, u logičkom smislu "ili" i "i", respektivno. U osnovi ove lgerske strukture ne postoje ternrni, kvternrni it 5 Živko J. Tošić, Osnovi rčunrske tehnike, Čuperk plvi, Niš, 99, str.. 6 Elementrno može relizovti i neku reltivno složenu prekičku funkiju. Z to nem ogrničenj. Jeini uslov je tj firm koj prelže tu tehnologiju relizije oezei tkv komplet logi čkih element, uz pomoć kog je moguće relizovti ilo koju prekičku funkiju. Pore tog, nrvno, t firm mor s svojom tehnologijom iti konkurentn n tržištu, po pitnju efiksnosti relizije, ene it. 7 Ko Bulove lgere, onj skup B im više o element ko prekičke im tčno, ko Bulove može imti i više, jer je Bulov opštij o prekičke. Tko ko Bulove, on v posen element, "jeini lgere" i "nul lgere", prestvljju nek v element iz skup B. Mogu iti ilo koj v! Uslov je smo tkv v element postoje u skupu B. E s ko prekičke lgere kojom se ove i vimo, ne i ošlo o zunjivnj, stvri stoje ovko: on im smo element u skupu B... opet, mor im i v speijln element, "nulu" i "jeiniu" lgere... p će stog jen o v element iz B iti "jeini lgere", rugi će iti "nul lgere". Znči u skupu B immo v element, te stog o morju uu i speijlni. On, i se ispoštovo priron nčin rzmišljnj, onj koji im ulogu "nule lgere" se i oeležv znkom "0", onj rugi, koji im ulogu "jeinie lgere", se oeležv znkom ""

27 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin. opertori! Smo unrni i inrni. Svki o ovih opertor efiniše jenu prekičku funkiju. Evo tih funkij: Opertor f f 0 0 Opertor f, f, Opertor f, f, P, s ozirom u jeine opertore n prekičkom lgerom spju smo funkije jene i ve promenljive, to s prvom možemo te funkije smtrti elementrnim. 8 Njstrože gleno, ne ilo koje funkije jene i ve promenljive, nego smo i jeino ove tri, koje stoje u efiniiji nše lgere. I zist, kominovnjem ove tri funkije, možemo oiti ilo koju funkiju o više promenljivih n prekičkom lgerom. Preslikno n fizički omen, kominovnjem povezivnjem igitlnih kol koj relizuju neku o ove tri funkije možemo relizovti ilo koje kolo s proizvoljnim končnim rojem ulz. Ali mtemtičri ne i ili mtemtičri ko ne i težili sve pstrhuju i generlizuju, i sveu n jen opšti slučj, što je potpuno oprvno... jer mtemtički moel mor pokrije sve moguće situije, ok fizičk relizij "im prv" pokrije smo neke, "zhvljujući" tehnološkim ogrničenjim nšnjie. Tkvim rezonom ove i se moglo postviti sleeć pitnj:. Št je s ostlim funkijm jene i ve promenljive? Koliko njih uopšte im?. Može li se pomoću njih relizovti neko kolo?. Može li se nprviti nek rug kominij tih funkij tko se njome može relizovti ilo koje logičko kolo?... Koliko je moguće imti funkij o n promenljivih? Počnimo o prvog pitnj. Ogovor je jenostvn, i sp u omen komintorike. Ukoliko immo n promenljivih, funkij će imti n mogućih vrenosti, jer se n promenljivih o kojih svk može iti 0 ili može iskominovti n n nčin. Ilustrujmo primerom: F-j jene promenljive: nek proizvoljn f 0 0 F-j ve promenljive: nek proizvoljn f, F-j tri promenljive: nek proizvoljn f,, Ko što se vii iz primer, k immo jenu promenljivu, funkij im ve moguće vrenosti, jer t jen promenljiv se može "iskominovti" tko što uzme vrenost 0, ili vrenost, i nem lje. Funkij ve promenljive im moguće vrenosti, jer su moguć slučj n "ulzu funkije", onosno nezvisno promenljive mogu imti rzličite kominije vrenosti: 00, 0, 0 i ko što se vii u srenjoj teli. Tri promenljive, o kojih svk može imti vrenosti, mogu se iskominuju n 8 nčin, ko što se vii 8 D ovj okument ne i išo previše u širinu, nećemo se viti pitnjim št je strije, kok ili jje, u smislu: št je čemu prethoilo, igitln kol Bulovoj lgeri ili ornuto. Postulirćemo je Bulov onosno prekičk lger ko tkv mtemtički osnov igitlne elektronike, p prem tome, ko t lger poznje smo unrne i inrne operije, zključićemo su one osnovne

28 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin. u esnoj teli. Ukrtko, ko immo n element, o kojih svki im moguće vrenosti, možemo formirmo n kominij. Dkle, jen funkij o n promenljivih je, nzovimo to, "izlzni vektor" 9 užine n. A koliko rzličitih vektor može postoji? Posmtrjmo tj jen vektor ko kominiju o p inrnih ifr što on i jeste, pri čemu je konkretno p n. Ako g tko posmtrmo, p koliko im mogućih kominij o p inrnih ifr? Im ih, jelte, p. Znči, moguće je formirti ukupno p "izlznih vektor" funkije o n promenljivih, ili rugčije rečeno: on n promenljivih moguće je sklopiti p rzličitih prekičkih funkij, pri čemu je p n. n Zključk: postoji tčno prekičkih funkij o n promenljivih. Konkretno, o promenljive može se nprviti rzličite prekičke funkije. To su funkije:. konstnt nul, f 0 z oe vrenosti nezvisno promenljive,. konstnt jen f,. f,. f. O promenljive moguće je nprviti 6 rzličitih prekičkih funkij, istom logikom, i tko reom Može li se ilo kojim funkijm relizovti neko kolo? Ogovor je: i i ne. Kkvo je to neko kolo? Ovo pitnje jeste ljusko, i lično sm g čuo puno put zto sm mu i posvetio pžnju, li strogo mtemtički je neefinisno. Neke složenije mreže mogu se relizovti smo korišćenjem, n primer, ILI kol. Z neke će nm zvršiti poso i smo I kolo. Opet, z neke nm neće iti ovoljn ni o, treće nm još neko. Koliko je preizno pitnje, toliko je preizn i ogovor. Ono u stvri nije o neke vžnosti, ono je više među-pitnje koje voi o sleećeg, ključnog.... Može li se ilo kojim PF relizovti ilo koje kolo? N osnovu sme efiniije prekičke lgere ošli smo o zključk su njosnovnije prekičke funkije n njom: komplementirnje, logičko I i logičko ILI. Prekičk funkij je efinisn preko ovih opertor, kle svk prekičk funkij. Drugim rečim, uz pomoć pomenute tri funkije moguće je efinisti svku prekičku funkiju. Ko što je već rečeno, kork lje je generlizij ovog tvrđenj, onosno pitnje: li postoji još nek funkij o promenljive koj se može tretirti ko neki novi opertor koj se može iskoristiti ko "lego koki" z formirnje složenijih PF? Ili, još olje formulisno: postoje li još neke kominije funkij uz pomoć kojih je moguće relizovti ilo koju funkiju? Ogovor je. Postoje tkvi skupovi prekičkih funkij, čijim se kominovnjem n oređene nčine može oiti ilo koj prekičk funkij. Jen tkv skup nziv se "funkionlno potpun skup". Slei efiniij. DEF: Sistem prekičkih funkij je funkionlno potpun kže se i smo "potpun" ko se ilo koj prekičk funkij može izrziti superpoziijom funkije iz ovog sistem, i permutijom promenljivih u njim. 0 Potpun skup prekičkih funkij onosno uopšte, ilo kojih funkij nziv se još i zis. Bzis je minimln ukoliko se iz njeg ne može izvojiti ni jen funkij on pri tome i lje ostne zis. K se govori zisim, oično se misli n minimlne. Pitnje koje logično slei je: kko prepoznti tkv skup? Ukoliko se ogrničimo n PF o jene i ve promenljive, ukupno n rspolgnju immo "rsenl" o 68 prekičkih funkij. Kko znmo koje o njih čine potpun skup? Postoji v nčin. Prvi nčin je jenostvniji, li im jeno ogrničenje. Formirmo neki nš skup prekičkih funkij, i tre proverimo li on može im ulogu zis onosno li on jeste ili nije zis. Ukoliko funkijm iz tog skup možemo relizujemo svku o funkij tog već pozntog zis, on je nš skup prošo test. Ko što se vii, prover je jenostvn, li ogrničenje se ogle u tome što nm je već potren neki zis. 9 "Izlzni vektor" nije zvničn izrz! Koristim g ih lkše opiso ono što opisujem. 0 Romir S. Stnković, Milen Stnković: Logičko projektovnje, IP "Nuk", Beogr,

29 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin. Drugi nčin z proveru je nm tzv. Postov teorem. On efiniše potrene i ovoljne uslove neki skup prekičkih funkij ue zis. U okviru ovog kurs nećemo se viti ispitivnjim potpunosti skupov prekičkih funkij. O čito se očekuje zn z pojm potpunog skup funkij, i okvirno zn kko se potpunost okzuje... Grfički simoli z logičke elemente N šemi prekičke mreže, koj prestvlj krunu projektntskog posl, svki logički element im svoj nčin oeležvnj, ononso grfički simol. U nstvku slei tel grfičkih simol njčešće korišćenih logičkih element. "NE" komplementtor to je uvek jenoulzni element "I", voulzni "I", višeulzni "ILI", voulzni "ILI", višeulzni "NI", voulzni "NI", višeulzni "NILI", voulzni "NILI", višeulzni "XOR", voulzni "XOR", višeulzni N osnovu ove tele mogu se zpziti ve stvri:. logički elementi koji imju više ulz vrše istu operiju ko i voulzni, smo što je vrše u jenom stepenu, kle kolo koje, npr. logički sir 5 rojev unosi smo jeno kšnjenje, inče i z logičko sirnje 5 rojev morli iskoristimo voulzn "ILI" kol, p i signl moro prođe kroz element otk uđe u kolo, p ok ne ođe o izlz, što unosi veće kšnjenje; i. otn negij u kolu n I, onosno ILI kolo omo negiju, p oijemo NI, onosno NILI se oeležv kružićem u korenu izlznog kontkt kol npr. NI izgle isto ko I, smo što im još i kružić kružić negij..5. Prmetri logičkih element ilustrtivno U ovom elu iće opisni neki osnovni prmetri logički element, koje tre uzimti u ozir prilikom projektovnj igitlnih kol. Nisu svi o znčj z logički nivo projektovnj, oni koji su o znčj iće nglšeni.. Koirnje logičkih vrenosti: misli se n fizičke veličine koje ogovrju vom stnjim ovih element. U pitnju je njčešće npon. Ovo nije o znč z logičko projektovnje.. Zkon funkionisnj: to je prekičk funkij koju kolo relizuje. Ne postoji ništ što je o većeg znčj z logičkog projektnt o ovog prmetr.. Broj ulz: jsno po sei. Bitno z logičko projektovnje.. Mksimlno optrećenje izlz zove se još i koefiijent izlz, i fktor izlz: to je mksimln roj ulz logičkih element koji se mogu vezti n izlz tog element. Ov osoin jeste fizičke priroe, li je itekko o znčj pri logičkom projektovnju. 5. Kšnjenje signl: vremenski intervl o moment promene signl n ulzu ili ulzim element, o moment uspostvljnj stilne nove vrenosti signl n izlzu. Brzin kretenj elektriitet nije eskončn, p ok signl "XOR", o "exlusive OR", englesk oznk z "isključivo ili", iće korišćen jer je krtk

30 Mrtin Jovnović Uvo u rčunrstvo,. eo Relizije PF Verzij: Neovršen, li potpuno funkionln verzij. Neovršen je u smislu što nism sve pojsnio n svoj nčin. prođe kroz svu elektroniku u logičkom elementu, on mor mlo ksni. Generlno nije o interes z projektovnje n logičkom nivou, li može iktirti neke uslove kriterijume optimizije, ko što je n primer: putevi u kolu uu što krći, kle kolo pre ie "u širinu" nego "u užinu". 6. Disipij snge: u pitnju je potrošnj kol. Nije o interes z logičko projektovnje. 7. Mrgin šum ili fktor šum: govori o stepenu neosetljivosti element n spoljne smetnje. 8. Temperturni opseg: intervl temperture u kome se o kol očekuje pouzn r. U inustriji je to oično o 0 o 70C. U logičkom projektovnju nije o znčj, li u fizičkom je o velikog..6. O sintezi prekičkih mrež.6.. Definiij prekičke mreže, sinteze i još nekih pojmov DEF: Prekičk mrež je igitlno elektronsko kolo koje relizuje složenije prekičke funkije ili skupove prekičkih funkij, koliko izlz toliko funkij, koje se sstoji o logičkih element prlelno ili reno poveznih. DEF: Prekičk mrež se tkođe može efinisti i ko kompoziij logičkih element poveznih n sleeći nčin:. n svki ulz logičkog element priključen je izlz nekog rugog logičkog element ili je to primrni ulz ulz u prekičku mrežu,. ko ulzi logičkih element mogu iti konstnte 0 i,. nikkv v izlz nisu međusono povezn, i. ne postoje petlje u mreži, ge petlj ili povrtn spreg povrtn vez prestvlj konturu put koj povezuje izlz nekog logičkog element s njegovim ulzom, pri čemu kontur može sržti i ruge logičke elemente. DEF: Strukturn šem prekičke mreže jeste šem koj opisuje kko se povezuju elementi u njoj. DEF: Postupk oređivnj strukturne šeme prekičke mreže zove se strukturln sintez, ili krće sintez. 5 Drugčije rečeno: prolem sinteze sstoji se u zhtevu z ztu funkiju, ili sistem prekičkih funkij i zti potpuni skup logičkih element nđe ogovrjuć mrež koj relizuje te funkije. 6 Ko što se vii n osnovu poslenje efiniije, sintez je rugi o v el logičkog projektovnj igitlnog kol ili prekičke mreže, ili skrćeno mreže. Prvi eo je nliz. O ovome je već ilo reči u ovom elu. Po prekičkom mrežom, u opštem slučju, porzumevmo sistem s n ulz i m izlz. Ovkv sistem relizuje sistem o m prekičkih funkij. Još jen itn prmetr svke prekičke mreže je roj stepeni nivo te mreže. Ovj prmetr oređuje kroz koliko logičkih element signl mor prođe otk uđe u prekičku mrežu, p ok ne ođe n njen izlz. Z logički element se kže prip i-tom stepenu ili i-tom nivou kominione mreže ko je i njveći roj logičkih element kroz koje prolzi signl o ulz mreže o izlz posmtrnog element. Drugčije rečeno, logički element prip i-tom stepenu ko je i- njveći stepen kojem prip r jen o logičkih element čiji su izlzi vezni n ulze posmtrnog element. Pritom, prvom stepenu pripju svi elementi n čije ulze olze irektno spoljšnji signli. Z kominionu mrežu se kže je i-tog stepen reimo: vostepen, trostepen, petostepen... ko je i njveći stepen nekog logičkog element u toj mreži. Broj stepeni prekičke mreže irektno utiče n kšnjenje izlznog signl u onosu n Romir S. Stnković, Milen Stnković: Logičko projektovnje, IP Nuk, Beogr, 99, str.. Živko J. Tošić, Osnovi rčunrske tehnike, Čuperk plvi, Niš, 99, str. 5. Romir S. Stnković, Milen Stnković: Logičko projektovnje, IP Nuk, Beogr, 99, str.. 5 Romir S. Stnković, Milen Stnković: Logičko projektovnje, IP Nuk, Beogr, 99, str.. 6 Živko J. Tošić, Osnovi rčunrske tehnike, Čuperk plvi, Niš, 99, str