ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Transcript

1 Ασκήσεις εμπέδωσης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) + = = = 9- iv) 4- = - v) ( + 4)-(-) = + vi) 4 - (7 + ) = v (+)-4 = ( + ) v 7[(y-)-(y-4)] = 8 i) - {4-[-(-) + ]} = 4 - [ - ( - )] ) -{7-[4-(-) + ]} = 0-[4-(-)].Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 4 8 iv) 66 6 v) vi) 4 8 v 6.Να λύσετε τις εξισώσεις : 0 i) iv) v) ( ) 4.Να λύσετε τις εξισώσεις : 4 i) 7( ) iv) v) Εξισώσεις αδύνατες ή αόριστες.να λύσετε τις εξισώσεις: i) 6 (( ) 48 4( ) ( ) iv) ( ) v) 7 4 4( ) vi) 4 6( ) 6. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 9( ) ( ) 7( ) ( ) 4( ) ( ) ( ) iv) ( ) ( ) ( ) v) ( ) ( ) ( 4) 6 vi) ( 6) 4( ) ( ) 08

2 7.Να λύσετε τις εξισώσεις: 7 i) 4 4 iv) v) ( ) 7 vi) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 0 - (4 + ) = -8 9-(- + ) = 0 - (4 + ) = 8 iv) 7 - [(-)] = - (7-) v) 8 - [ + ( - ) - ( + 4)] = 0 vi) 6 - {4 - [ + ( - )]} = 6 9.Να λύσετε τις εξισώσεις : i) ( ) ( ) (4 ) ( -) ( -)-( ) ( ) ( ) ( 7) 4( ) iv) 4 7 v) vi) 4 Σύνθετες εξισώσεις 0.Να λύσετε τις εξισώσεις : 0 4 ( 4) i) iv) ( ) ( 4) 8 ( 6) 7 4.Να λύσετε τις εξισώσεις : i) ( ) ( ) ( ) iv) ( 4) 9 0, ( ) 4 7.Να λύσετε τις εξισώσεις : i) iv) Να λύσετε τις εξισώσεις : 09

3 i) 4 6 ( ) 6 9 ( 4) ( ) iv) (7 ) Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 4 (9) ( 8) ( 9) iv) ( 4) ( ).Να λύσετε τις εξισώσεις : i) ( ) (4 ) iv) (79) 4 v) 4 vi) Παραμετρικές εξισώσεις 6.Δίνεται η εξίσωση : λύση τη =-6..Να βρείτε τον αριθμό α,ώστε η παραπάνω εξίσωση να έχει 6 7.Δίνεται η εξίσωση : ( ) ( )..Να βρείτε τον αριθμό λ,ώστε η παραπάνω εξίσωση να έχει λύση τη. 4 8.Δίνονται οι εξισώσεις : ( ) () και (6) ( 4 ) ().Να βρείτε τον 4 αριθμό μ,ώστε οι εξισώσεις () και () να έχουν κοινή λύση. 9.Δίνονται οι εξισώσεις : () και ().Να βρείτε τον 9 7 αριθμό λ,ώστε οι εξισώσεις () και () να έχουν κοινή λύση. 0.Να λυθούν οι εξισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ : i) λ λ(λ+) λ(λ ) λ-4 (λ-)(λ+)=-λ 0 iv) (λ+)(λ-4) 6.Να λυθούν οι εξισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ : i) (λ-) λ- (λ ) λ λ(λ-)=λ-

4 .Να λυθούν οι εξισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ : i) λ λ - λ λ - λ -4λ=6-λ iv) 4-λ(λ-).Να λυθούν οι εξισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου μ : i) μ( ) ( ) (μ+)( ) =-μ(-μ) iv) μ(-) ( ) v) μ( ) vi) μ -6 ( ) 4.Να λυθούν οι εξισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ : i) λ () ( ) λ(λ 6) λ -9(--) λ(+)-4(+λ)=λ ( ) iv) (λ +) (4 ) 0.Να λυθούν οι εξισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ : i) λ ( ) (+)=0 λ -λ (λ ) λ(λ-) λ (-)-6λ(λ+)=λ( ) iv) (λ -)(λ-)+λ-( ) 6.Να λυθούν οι εξισώσεις για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων μ,λ : i) (λ 4) λ 4λ (λ ) λ(λ )(λ ) (λ ) 4(λ ) λ (-) iv) 4) μ(μ-) v) (λ ) λ vi) (-λ) ( λ) v μ-λ -μ v μ(μy-) y- λ ω i) λω-- ω 7.Να λύσετε για τις διάφορες τιμές του λ τις εξισώσεις : i) 9 ( ) iv) 8.Να λύσετε για τις διάφορες τιμές του λ τις εξισώσεις : i) λ +=λ(+) (λ + )(λ-) = λ- (λ - λ + ) = λ - iv) λ - λ = Για τις διάφορες τιμές του λ να λύσετε τις εξισώσεις: i) λ(-λ) = - λ( + 4-λ) = (+) 0.Για τις διάφορες τιμές του λ να λύσετε την εξίσωση 0..Για τις διάφορες τιμές των λ, μ να λύσετε τις εξισώσεις : i) λ(-) = + μ-6 (λ- μ) = λ - (λ + μ)

5 λ( + λ) = λ - μ.ποιοι περιορισμοί πρέπει να ισχύουν, ώστε η εξίσωση να έχει λύση; a.να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( ) 0 δεν είναι αδύνατη για καμία τιμή του λ. 4.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( ) ( ) δεν είναι ποτέ αδύνατη..δίνεται η εξίσωση ( 4) ( ).Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η παραπάνω εξίσωση είναι: i) ταυτότητα αδύνατη. 6.Δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) 9.Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η παραπάνω εξίσωση είναι: i) ταυτότητα αδύνατη. 7.Δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) 0.Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η παραπάνω εξίσωση έχει: i) λύση το - μοναδική λύση το -. 8.Δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) 0.Να βρείτε για ποιες τιμές του μ, η παραπάνω εξίσωση έχει: i) λύση το μοναδική λύση το. 9.Δίνεται η εξίσωση ( ) ( ).Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η παραπάνω εξίσωση είναι: i) ταυτότητα αδύνατη. 40.Δίνεται η εξίσωση 6( ) 0.Να βρείτε για ποιες τιμές των α και β,η παραπάνω εξίσωση i) έχει ακριβώς μία λύση είναι αδύνατη ταυτότητα 4.Δίνεται η εξίσωση ( ) 6( ) ( )( )( ).Αν η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα,να αποδείξετε ότι η εξίσωση : ( ) ( ) ( ) είναι ταυτότητα. 4.Να βρείτε τις τιμές των λ και μ, ώστε οι εξισώσεις : ( ) ( ) 0 και ( ) ( ) να είναι αδύνατες. 4.Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του α οι εξισώσεις : i) ( + α) - ( - α) = 8α ( + α) - ( - α) = 4α έχουν τουλάχιστον μία λύση. 44.Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή των α και β οι εξισώσεις: i) α( + α-) = αβ + ( + β) α(- α + β) = β(α - ) α (β + ) - β (α - ) = 4(α - β ) έχουν τουλάχιστον μία λύση.

6 4.Δίνεται η εξίσωση λ - μ = + 8. Να βρείτε τις τιμές των λ και μ, ώστε η εξίσωση: i) να έχει μοναδική λύση, να είναι αδύνατη, να αληθεύει για κάθε τιμή του. 46.Δίνεται η εξίσωση (λ - )χ = (λ - ) (λ+ ). Να βρείτε τη ν τιμή του λ, ώστε η εξίσωση να έχει λύση την =. 47.Δίνεται η παράσταση λμ - μ = 4λ - 6. Να βρείτε την τιμή του μ, ώστε η παράσταση να μηδενίζεται για κάθε πραγματική τιμή του λ 48.Να λυθεί η εξίσωση a για τις διάφορες τιμές του α. 49.Να λυθεί η εξίσωση 0. a Πολυωνυμικές εξισώσεις 0.Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 4 8 iv) 7 0 v) ( ) ( 7) vi) ( 6) (8 ) 0.Να λύσετε τις εξισώσεις : i) iv) 4 v) ( ) ( 6) vi) ( ) 4( ) 4.Να λύσετε τις εξισώσεις : i) ( ) ( )( ) 0 ( ) ( 4) 4 iv) v) 8 ( 6) ( ) ( 4) vi).να λύσετε τις εξισώσεις : i) ( ) 4 0 ( ) 8 0 iv) v) ( ) vi) 4.Να λύσετε τις εξισώσεις : i) ( 4) ( 4) 4 0 ( ) 0 iv) v) ( ) 4 4 vi) v 0 v ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ()( ) 0 ( ) 6 ( ) 9( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )(4 ) 0 ( 4)() ( )( ) ()( ) 0.Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 4 (4 ) 4

7 0 ( ) iv) v) 8 ( ) 6 ( ) vi) ( 8) ( ) Να λύσετε τις εξισώσεις : i) ( )() ( 6)( ) ()( 4) ( )( ) 7.Να λύσετε τις εξισώσεις : i) ( )( ) 4 9 ( 9)() ( )( ) ( ) ( ) 9 0 iv) ( )( ) () ( )( 4) v) ()( )( ) ()( )( ) ( )( ) vi) ( ) 0 8.Να λύσετε τις εξισώσεις : i) ( ) ( ) 6 0 ( ) ( ) iv) v) ( ) [( ) ( )] ( 4) [( ) ( 6)] 6 ( ) vi) ( ) (0 7) ( )( ) 9.Να λύσετε τις εξισώσεις : i) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) (4 ) iv) ( )( ) ( )(6 4) 7 v) ( ) ( 4)( 4) 8 ( ) 60.Να λύσετε τις εξισώσεις : i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) iv) v) ( )( ) ( ) ( ) ( ) vi) 4( )( ) ( ) ( ) ( ) 4 8 ( ) 6 ( ) Κλασματικές εξισώσεις 6.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) iv) v) vi) 6.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) iv) 6.Να λυθούν οι εξισώσεις: 4 i)

8 iv) v) vi) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) iv) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 4 7 ( ) 4 66.Να λύσετε τις εξισώσεις : i) iv) 4( 6) 6 v) 67.Να λύσετε τις εξισώσεις : i) vi) iv) 4 4 v) ( 9) Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 4 vi) 0 69.Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 6 7 iv)

9 v) v vi) 4 70.Να λύσετε τις εξισώσεις : 4 8 i) Να λύσετε τις εξισώσεις : 6 () i) ( ) 7.Να λύσετε τις εξισώσεις : 0 0 i) 0 6 iv) 6 ( ) 4 iv) 4 4 iv) 7 ( ) 4 7 v ) 6 v) v i) vi) i) ( ) Να λύσετε τις εξισώσεις : 0 i) v) ( )( ) ( )( ) 4 4 iv) 8 4 vi) 74.Να λύσετε τις εξισώσεις : 6 i) iv) 6

10 v) Να λύσετε τις εξισώσεις : i) v) 4 9 iv) ( 9) Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 0 0 ( ) 77. Να λύσετε τις εξισώσεις : 4 i) iv) Δίνεται η παράσταση i)να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση Α Να απλοποιήσετε την παράσταση Α Να λύσετε την εξίσωση Α= 0. Εξισώσεις με απόλυτα 79.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 0 iv) 0 v) 6 vi) 80.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 4 7 iv) 4 0 v) 7 0 vi) 0 8.Να λυθούν οι εξισώσεις:. 7

11 i) iv) 7 9 v) vi) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) iv) v) vi) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) iv) 0 v) vi) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) iv) 0 v) vi) 0 v 0 v Να λυθούν οι εξισώσεις: i) iv) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) () iv) 9 ( )( ) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 7 6 iv) 4 v) 0 vi) 4 0 v v Να λυθούν οι εξισώσεις: i) iv) 4 4 v) vi) 89.Να λυθούν οι εξισώσεις: i)

12 0 iv) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) l + y + =0 + = 0 + =0 9.Να λύσετε τις εξισώσεις: i) + =0 -y + y- =0 9.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 0 = 0 =0 + = 0 iv) d(,0) =0 9.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) = = 94.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) = = 9.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) = 0 d(,)=0 +=0 96.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) = 4 =0 97.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) = 0 + = 0 =0 iv) + = 0 98.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) iv) 9 0 v) vi) 0 99.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) d(, ) d(,-)= d(,)-d(-,)=0 iv) d(,)-d(-,)=0 v) d(,)=+ vi) -d(,-6)=4 00.Να λυθούν οι εξισώσεις: i)d(,) = 0 =0 l l Να λυθούν οι εξισώσεις: i) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) iv)

13 04.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 4 iv) 6 v) 4 vi) 6 0.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 6 iv) 6 8 v) 06.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) iv) v) 4 9 vi) 08.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) Να λύσετε την εξίσωση : ( ) 0.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) d(,) d(, ) d(,)-d(0,)-4=-d(,-) d((,-),=4 iv) d(4,d(,0))=d(d(,0),-).να λυθούν οι εξισώσεις i) =.Να λύσετε την εξίσωση: =. =0.Να λύσετε τις εξισώσεις: i) = + =+ 4.Να λύσετε την εξίσωση: + = 0.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) + = 6.Να λυθεί η εξίσωση: =. = 7.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) + =4 + = l = l iv) = v) = 0

14 8.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) = + = 9.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) (( ) ) 4 iv) ( ) 6 v) 6 0.Να λυθούν οι εξισώσεις i) 6 4.Να λυθούν οι εξισώσεις: 0 6 i) y y 6.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 4 iv) 7 4.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ( ) iv) 0 4.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ( ) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) + = =0 6.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 7.Να λυθούν οι εξισώσεις: i)

15 8.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) = 0 9.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 0 + = = = 0 4 iv) v) 9 0 vi) -4 = 0 0.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) iv) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 0 7.Να λύσετε την εξίσωση : ( ) ( ) για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ..να λυθούν οι εξισώσεις: i) 0 4 iv) Να λυθούν οι εξισώσεις: i)() = =0.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 0 6.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 4

16 Επίλυση τύπων 8.Να λύσετε τους παρακάτω τύπους ως προς β: i) E E 9. Να λυθεί ο τύπος 4,ως προς α 40.Να λυθεί ο τύπος 0 t,ως προς α p p 4.Να λυθεί ο τύπος F ως προς : t t i) P t 4.Δίνονται οι τύποι : S 0 t () και 0 t () i) Να λύσετε τον τύπο () ως προς α 0 Να αποδείξετε ότι S t 4.Δίνονται οι τύποι h gt και υ=gt.να αποδείξετε ότι h. g 44.Το διάστημα S που διανύει ένα κινητό με σταθερή ταχύτητα υ σε χρόνο t βρίσκεται από τον τύπο S = υ t.να επιλύσεις τον τύπο αυτό α) ως προς υ β) ως προς t. 4.Το επιτόκιο Ε%, με το οποίο τοκίζουν οι τράπεζες κεφάλαιο Κ, για να αποδώσει σε Χ ημέρες (το πολύ μέχρι 80 ήμερες) τόκο Τ, βρίσκεται από τον τύπο: 6000T. Να επιλύσεις τον τύπο αυτό α) ως προς Τ β) ως προς Κ γ) ως προς Χ, και μετά να συμπληρώσεις τον πίνακα: Ε %,8, Τ Κ Χ σε ημέρες Να επιλύσεις τον τύπο 47.Να επιλύσεις τον τύπο S E mgh m t ως προς γ. α) ως προς h β) ως προς g. 48.Να επιλύσεις τον τύπο R = π ν L α) ως προς ν β) ως προς L. 49.Να επιλύσεις τον τύπο U α) ως προς U β) ως προς ω και γ) ως προς L. L 0.Να επιλύσεις τον τύπο a R α) ως προς α β) ως προς β και γ) ως προς R Προβλήματα.Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα 4 και ο ένας είναι κατά μεγαλύτερος από το διπλάσιο του άλλου.να βρείτε τους αριθμούς αυτούς.

17 .Το διπλάσιο ενός αριθμού είναι κατά μεγαλύτερο από το μισό του αριθμού. Να βρείτε τον αριθμό αυτό..να βρείτε δύο διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς των οποίων οι αντίστροφοι διαφέρουν κατά 0. 4.Ο Κώστας έχει 80 και ο Θοδωρής έχει 70.Ο Κώστας έδωσε ορισμένα χρήματα στον Θοδωρή και τώρα ο Κώστας έχει τα των χρημάτων του Θοδωρή. Πόσα χρήματα έδωσε ο Κώστας στον Θοδωρή;.Τέσσερις φίλοι μοιράστηκαν ένα ποσό.ο πρώτος πήρε το 6 του ποσού,ο δεύτερος πήρε το του ποσού και 0 ακόμη,ο τρίτος πήρε το 7 του ποσού και 40 ακόμη και ο τέταρτος πήρε το του ποσού. Να βρείτε το αρχικό ποσό που μοιράστηκαν οι τέσσερις φίλοι,καθώς και πόσα χρήματα πήρε ο καθένας. 6.Η Σοφία έχει σήμερα διπλάσια ηλικία από την Άννα. Πριν από χρόνια η σοφία είχε τριπλάσια ηλικία από την Άννα. Να βρείτε τις σημερινές ηλικίες της Σοφίας και της Άννας. 7.Ένας πατέρας είναι σήμερα 4 ετών και ο γιός του είναι 9 ετών. Μετά από πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια από την ηλικία του γιού του; 8.Οι ηλικίες μιας μητέρας και της κόρης της έχουν άθροισμα 60 χρόνια. Σε 6 χρόνια η ηλικία της μητέρας θα είναι διπλάσια από την ηλικία της κόρης.να βρείτε τις σημερινές ηλικίες της μητέρας και της κόρης. 9.Ο Δημήτρης στα διαγωνίσματα Μαθηματικών που έγραψε στο σχολείο είχε μέσο όρο.ο βαθμός του ου διαγωνίσματος ήταν κατά 4 μεγαλύτερος από τον βαθμό του ου διαγωνίσματος και κατά μικρότερος από τον βαθμό του ου διαγωνίσματος.να βρείτε τους βαθμούς των τριών διαγωνισμάτων. 60.Σε μια γιορτή αρχικά οι άντρες ήταν διπλάσιοι από τις γυναίκες.μετά από λίγο έφυγαν 0 ζευγάρια και οι άντρες που έμειναν ήταν τριπλάσιοι από τις γυναίκες.να βρείτε πόσοι άντρες και πόσες γυναίκες υπήρχαν αρχικά; 6.Δύο δρομείς Α και Β ξεκινούν από το ίδιο σημείο. Ο δρομέας Α ξεκινά ώρες νωρίτερα από τον Β. Εάν ο Α τρέχει με σταθερή ταχύτητα km/h, ενώ ο Β με σταθερή ταχύτητα 6 Km/h, να βρεθεί μετά από πόσες ώρες ο δρομέας Β θα φτάσει τον δρομέα Α. 6.Ένας πατέρας είναι σήμερα ετών και έχει δύο παιδιά ηλικίας και ετών Μετά από πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι ίση με το άθροισμα των ηλικιών τω\ δύο παιδιών; 6.Ένα δοχείο Α περιέχει 4 kg νερό και ένα άλλο δοχείο Β περιέχει 60 kg. Καθημερινά παίρνουμε από το δοχείο Α kg νερό και από το δοχείο Β 6 kg νερό. Σε πόσες ημέρες το δοχείο Β θα περιέχει τα της ποσότητας του νερού του δοχείου Α; 64.Το τρίγωνο του παρακάτω σχήματος είναι ισοσκελές, ΑΒ = ΑΓ, και ΒΔ είναι η μία διάμεσος του τριγώνου. Αν η ΒΔ είναι κατά cm μεγαλύτερη του ΑΔ, η ΒΓ κατά cm μικρότερη του ΔΓ και το άθροισμα όλων των μηκών των τμημάτων του σχήματος 4

18 είναι 4 cm, να βρεθεί η πλευρά ΑΒ. 6.Στο διπλανό σχήμα τα ΑΒΓΔ και ΑΚΛΜ είναι τετράγωνα.αν το εμβαδόν του χρωματισμένου χωρίου είναι 4m,να βρείτε το. A m K A m B K A 66.Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο,με ΑΒ=8cm και ΑΔ=6cm.Να βρείτε τη θέση του σημείου Μ,ώστε το εμβαδόν Ε να είναι ίσο με τα του Ε. 6 cm Α Μ Λ m A Δ B K A 8 cm 4m Λ Λ A Β Α Γ B K A Δ Α Μ Α Γ Α 67.Στο διπλανό σχήμα οι δύο κύκλοι έχουν κέντρο Ο και ισχύει ΟΑ=4cm. Να βρείτε την ακτίνα ΟΒ,αν ο γκρι δακτύλιος έχει τριπλάσιο εμβαδόν από τον πράσινο κύκλο 68.Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ˆ 90 και ισχύουν ΑΓ= και ΒΓ=.Να βρείτε τη θέση σημείου Μ πάνω στην πλευρά ΑΒ,το οποίο ισαπέχει από τις κορυφές Β και Γ. Γ 69.Ένας δρομέας μπορεί να βαδίσει από το μέρος Κ προς το μέρος Λ και να επιστρέψει στο μέρος Κ σε έναν ορισμένο χρόνο με σταθερή ταχύτητα 4 km/h. Αν περπατά από το Κ προς το Λ με km/h και επιστρέφει από το Λ προς το Κ με km/h, χρειάζεται 0 λεπτά περισσότερο για την ολική διαδρομή. Να βρείτε την απόσταση ΚΛ. Α Μ Β 70.Δύο αυτοκίνητα κινούνται στον ίδιο ευθύγραμμο δρόμο και προς την ίδια κατεύθυνση.το πρώτο αυτοκίνητο,που κινείται με σταθερή ταχύτητα 60km/h βρίσκεται πιο μπροστά κατά 0km από το δεύτερο αυτοκίνητο,το οποίο κινείται με σταθερή ταχύτητα 70km/h.Να βρείτε τον χρόνο που θα χρειαστεί το δεύτερο αυτοκίνητο για να συναντήσει το πρώτο. 7.Δύο αυτοκίνητα Α και Β απέχουν 80km.Ξεκινούν ταυτόχρονα στις 9 το πρωί για να συναντηθούν,κινούμενα με ταχύτητες 0km/h και 40km/h αντίστοιχα,σε ευθύγραμμο δρόμο.να βρείτε πότε θα συναντηθούν και πόσο διάστημα διένυσε το καθένα. 7.Ένας ποδηλάτης ξεκινά από την πόλη Α και κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο προς την πόλη Β με μέση ταχύτητα 6 km/h.μία ώρα αργότερα μια φίλη του ξεκινά με το ποδήλατο της από την πόλη Β και μέση ταχύτητα km/h κινείται προς την πόλη Α για να τον συναντήσει. Αν η απόσταση των δύο πόλεων είναι 44km,σε πόσες ώρες από την εκκίνηση του ποδηλάτη θα συναντηθούν;

19 7.Ο κ.νίκος για να πάει στη δουλειά του,η οποία απέχει από το σπίτι του 40km,χρησιμοποιεί αρχικά το ποδήλατο του και στη συνέχεια το λεωφορείο. Χρειάζεται μισή ώρα ταξίδι με το ποδήλατο και της ώρας ταξίδι με το λεωφορείο.αν το λεωφορείο κινείται γρηγορότερα από το ποδήλατο κατά 9km/h,να βρείτε την ταχύτητα του ποδηλάτου και την ταχύτητα του λεωφορείου. 74.Ένα τρένο ξεκινά από την πόλη Α προς την πόλη Β, κινούμενο με σταθερή ταχύτητα 40km/h.Μετά από ώρες αναχωρεί από την πόλη Α ένα αυτοκίνητο με σταθερή ταχύτητα 60km/h προς την πόλη Β.Μετά από πόσο χρόνο το τρένο και το αυτοκίνητο θα φτάσουν ταυτόχρονα στην πόλη Β; 7.Ένας ποδηλάτης ξεκινά από την πόλη Κ και κινούμενος με σταθερή ταχύτητα 8 km/h φτάνει στην πόλη Τ. Αμέσως μετά επιστρέφει στην πόλη από την οποία ξεκίνησε,κινούμενος με σταθερή ταχύτητα km/h.αν συνολικά χρειάστηκε h,να βρείτε την απόσταση των δύο πόλεων. 76.Να βρεθούν δύο διαδοχικοί ακέραιοι, ώστε, αν στο διπλάσιο του αντιστρόφου του μικρότερου προσθέσουμε τον αντίστροφο του μεγαλύτερου; προκύπτει αριθμός που είναι πλάσιος του γινομένου των αντίστροφων. 77.Να χωρίσετε τον αριθμό 8 σε δύο μέρη (αριθμούς), ώστε, αν διαιρεθεί το μεγαλύτερο μέρος διά του μικρότερου, να προκύψει πηλίκο και υπόλοιπο Έχουμε ένα διάλυμα Α περιεκτικότητας 40% σε οινόπνευμα και ένα διάλυμα Β περιεκτικότητας 0% σε οινόπνευμα.μα βρείτε πόσα ml από κάθε διάλυμα πρέπει να αναμείξουμε,ώστε να πάρουμε 00 ml διαλύματος Γ περιεκτικότητας 4% σε οινόπνευμα. 79.Ένας γιατρός γράφει στη συνταγή του ένα φαρμακευτικό διάλυμα 00 γραμμαρίων περιεκτικότητας % σε κάποια ουσία.ο φαρμακοποιός διαθέτει από αυτή την ουσία διαλύματα περιεκτικότητας 40% και 70%.Πόσα γραμμάρια από κάθε διάλυμα της ουσίας πρέπει να αναμείξει ο φαρμακοποιός,ώστε να παρασκευάσει το φάρμακο που γράφει στη συνταγή του ο γιατρός. 80.Έχουμε ορισμένα γραμμάρια ενός κράματος μετάλλων περιεκτικότητας 60% σε χρυσό. Προσθέτουμε 00g καθαρό χρυσό και προκύπτει ένα νέο κράμα περιεκτικότητας 70% σε χρυσό.να βρείτε πόσα γραμμάρια ήταν το αρχικό κράμα. 8.Ένας χημικός έχει 00 γραμμάρια διαλύματος υδροχλωρικού οξέος περιεκτικότητας 0%.Θέλει να αφαιρέσει μία ποσότητα από το διάλυμα και να την αντικαταστήσει με διάλυμα υδροχλωρικού οξέος περιεκτικότητας 80% έτσι,ώστε να προκύψει διάλυμα περιεκτικότητας %.Πόση ποσότητα πρέπει να αφαιρέσει και στη συνέχεια να την αντικαταστήσει με το διάλυμα περιεκτικότητας 80%. 8.Μια βρύση γεμίζει μια άδεια δεξαμενή σε 4 ώρες,ενώ μια άλλη σε ώρες.σε πόσες ώρες θα γεμίσουν τη δεξαμενή και οι δύο βρύσες μαζί; 8.Ένας πατέρας μπορεί να χτίσει μόνος του ένα τοίχο σε 6 ώρες. Αν δουλέψει μαζί με το γιό του,χτίζουν τον τοίχο σε ώρες. Να βρείτε πόσο χρόνο χρειάζεται ο ο γιός για να χτίσει μόνος του τον τοίχο; 84.Ο εργάτης Α βάφει μόνος του ένα αυτοκίνητο σε 8 ώρες,ενώ ο εργάτης Β βάφει μόνος του το ίδιο αυτοκίνητο σε 6 ώρες.αρχίζουν και βάφουν μαζί το ίδιο αυτοκίνητο και μετά από δύο ώρες ο εργάτης Α σταματά για φαγητό ενώ ο εργάτης Β τελειώνει το βάψιμο μόνος του.να υπολογίσετε τον χρόνο που χρειάστηκε προκειμένου να τελειώσει το βάψιμο ο εργάτης Β. 8.Με μια ομάδα εργατών θέλουμε να πλακοστρώσουμε δύο πλατείες που η μία έχει διπλάσια επιφάνεια από την άλλη. Όλοι οι εργάτες,οι οποίοι εργάζονται με τον ίδιο ρυθμό,αρχίζουν και πλακοστρώνουν τη μεγάλη πλατεία μέχρι το μισό της ημέρας.ύστερα οι μισοί από αυτούς,για το υπόλοιπο μισό της 6

20 ημέρας,αρχίζουν και πλακοστρώνουν τη μικρή πλατεία. Στο τέλος της ημέρας η μεγάλη πλατεία είχε πλακοστρωθεί,ενώ για να πλακοστρωθεί η μικρή πλατεία πρέπει να δουλέψει ένας εργάτης ολόκληρη την επόμενη ημέρα.να υπολογίσετε πόσοι ήταν οι εργάτες. 86.Αν όλοι οι μαθητές της Α Λυκείου τοποθετηθούν ανά τρείς στα θρανία,παραμένουν όρθιοι πέντε μαθητές.αν τοποθετηθούν ανά τέσσερις,χρειάζονται ακόμη 9 μαθητές για να συμπληρωθούν οι κενές θέσεις των θρανίων.να βρείτε το πλήθος των μαθητών,καθώς και το πλήθος των θρανίων. 87.Ανάβουμε ένα κερί μήκους cm και από τα δύο του άκρα την ίδια στιγμή. Η επάνω φλόγα λιώνει το κερί με ρυθμό, cμ την ώρα,ενώ η κάτω φλόγα λιώνει το κερί με ρυθμό,cm την ώρα.να βρείτε : i) σε πόση απόσταση από το επάνω μέρος του κεριού θα συναντηθούν οι δύο φλόγες, σε πόσο χρόνο θα συμβεί αυτό; Συνδυαστικά θέματα 88.Δίνονται οι αριθμητικές παραστάσεις : A α) Να υπολογίσετε τα Α και Β β) Να λύσετε τις εξισώσεις : i) Β=Α (A+B) =A+B (A+B)=A-B iv) (A-B)=A+B και 9 B Δίνονται οι παραστάσεις : 4 και B 6 i) Να βρείτε για ποια τιμή του, οι παραστάσεις Α και Β είναι αντίθετες. a a Αν η τιμή του που βρήκατε είναι λύση της εξίσωσης: 8,να βρείτε τον αριθμό α 0 90.Δίνονται οι αριθμοί και 4 6. i) Να βρείτε τους αριθμούς Α και Β Να λύσετε την εξίσωση: ( ) B( ) A B( ) 9.Δίνεται ο αριθμός α=. i) Να βρείτε τον αριθμό α Για την τιμή του α που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα να λύσετε την εξίσωση: 9 4 a a 9.Δίνεται ο αριθμός α= 8 8 ( 7). i) Να βρείτε τον αριθμό α Για την τιμή του α που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα να λύσετε την εξίσωση: a a a 9.Δίνεται ο αριθμός α= 7 4 ( 7 8 0).

21 i) Να βρείτε τον αριθμό α Για την τιμή του α που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα να λύσετε την εξίσωση: a 0 a 94.Δίνονται οι αριθμοί α,β R για τους οποίους ισχύει : ( 4 ) i) Να βρείτε τους αριθμούς α και β Για την τιμή των α και β που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα να λύσετε την εξίσωση: ( ) a a ( a )( ) a 9.Δίνεται η εξίσωση : 6 η οποία έχει λύση τον αριθμό : 0, 4 i) Να βρείτε τον αριθμό α Για την τιμή του α που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα να λύσετε την εξίσωση: ( ) 7 a ( a )( ) i) Να λύσετε τις εξισώσεις: 9 και ( ) y ( 8 ) 8 9 ( ) 6 Aν ο αριθμός y 6 είναι λύση της εξίσωσης :, να βρείτε τον α Δίνονται οι εξισώσεις α + β = 0 () και β + α = 0 (). i) Να αποδείξετε ότι όταν η () αληθεύει για κάθε, τότε και η () αληθεύει για κάθε και αντίστροφα. Να αποδείξετε ότι όταν η () είναι αδύνατη, η () έχει μοναδική λύση, η οποία και να βρεθεί.. 98.Δίνονται οι εξισώσεις: ( ) 4 () () Να αποδείξετε ότι όταν η () είναι αδύνατη, τότε η () έχει μοναδική λύση, η οποία και να προσδιοριστεί. 99.Δίνονται οι εξισώσεις : ( 6) 4 () και ( ) 4 ().Να βρείτε τις τιμές των λ και μ, ώστε η () να είναι ταυτότητα και η () να είναι αδύνατη. 00.Η εξίσωση : ( ) ( ) ( ) είναι ταυτότητα.να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων : i) A= a B= a Γ= iv) Δ= ( ) 0.Δίνεται η εξίσωση : ( ) 0 (). i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει μία τουλάχιστον λύση για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου λ Για την τιμή του λ που η εξίσωση () έχει τουλάχιστον λύσεις, να λύσετε την εξίσωση: ( ) ( ) ( )( ) για τις διάφορες τιμές του Δίνονται οι εξισώσεις : ( ) () και ( ) () και ( ) ( 4 ) (). Αν οι εξισώσεις () και () είναι ταυτότητες,να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει λύση τον αριθμό : Δίνονται οι εξισώσεις : ( ) [( ) 8] () και ( )( 0) [( ) ( 6 )] ().Αν η εξίσωση () είναι ταυτότητα και η () είναι

22 αδύνατη,τότε : i) να βρείτε τις τιμές των λ και μ να λύσετε την εξίσωση: i) Να λύσετε την εξίσωση: y( y )( y 4) 9( y)(4 y) Αν y,y είναι οι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης,με y<y,να λύσετε την εξίσωση : y y y y. 0.i) Να λύσετε την εξίσωση: ( ) ( ) ( ) 0 Αν α είναι η μεγαλύτερη ρίζα της προηγούμενες εξίσωσης, να λύσετε την εξίσωση a a a 06.Για τους αριθμούς α και β ισχύει : i) Να βρείτε τους αριθμούς α και β Για τις τιμές των α και β που βρήκατε, να λύσετε την εξίσωση: 4 a a 07.Δίνονται οι αριθμοί α)να βρείτε τους αριθμούς α και β β)να λύσετε τις εξισώσεις : και i) ( 9)( a) ( )( 4 ) 4 a. 08.Να λύσετε τις εξισώσεις : i) Να λύσετε τις εξισώσεις : i) Δίνονται οι εξισώσεις :( )( ) ( ) () και ( ) [ ( )] () i) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ, ώστε οι εξισώσεις () και () να είναι αδύνατες Για τα λ και μ που βρήκατε στο ερώτημα (α), να λύσετε την εξίσωση: 0 0.Δίνεται η εξίσωση : ( ) ( ) i) Να βρείτε τις τιμές των λ και μ, ώστε η παραπάνω εξίσωση να είναι ταυτότητα 4 Για τις τιμές των λ και μ που βρήκατε, να λύσετε την εξίσωση 6. Δίνεται ο αριθμός i) Να βρείτε τον αριθμό α 9

23 Να λύσετε την εξίσωση.δίνονται πραγματικοί αριθμοί α και β για τους οποίους ισχύει : a a 0. α)να βρείτε τους αριθμούς α και β β) Για τις τιμές των α και β που βρήκατε,να λύσετε τις εξισώσεις: i) 8 a 6 4 a 4.Δίνεται η εξίσωση ( ) ( )( ) ( ) () Αν η εξίσωση () είναι ταυτότητα,τότε : i) να βρείτε την τιμή του λ, να λύσετε την εξίσωση: 4.Δίνεται η παράσταση :. α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση Α β) Να απλοποιήσετε την παράσταση Α γ) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) A= A=- 9 6.Δίνεται η παράσταση :. 9 α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση Α β) Να απλοποιήσετε την παράσταση Α γ) Να λύσετε την εξίσωση : A= 7.Δίνεται η παράσταση : α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση Α β) Να απλοποιήσετε την παράσταση Α γ) Να λύσετε την εξίσωση : A= 8.Να βρεθούν οι τιμές των, y, z y z Να απλοποιήσετε το κλάσμα A (7)() και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση Α = 0. 0