ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0

Transcript

1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ α+β=0 εξισώσεις πρώτου βαθμού. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 5 ( ) = ( ) β) 8( ) ( ) = ( + ) 5(5 ) γ) (5 ) ( ) = ( + ) δ) (-)-(-)=7( -)-(+). Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 5 α) β) γ) δ) 6 6 5( ) 5 ε) - στ) ω ω ω ω ζ) - η) ω ω θ) ( ) ι) ( ) ( ) 6 8 εξισώσεις που αάγοται (με παραγοτοποίηση) σε πρώτου βαθμού. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i) (-) + - = 0 ii) - = - iii) (-)-(-)+(-)=0 iv) ( -)(-)=(+)(-) v) (+) (-) - (+)(-)+(-)=0 vi) +(-) - =0 κλασματικές εξισώσεις που αάγοται σε εξισώσεις πρώτου βαθμού. Να λυθού οι εξισώσεις: i) ii) iii) iv) v) vi) παραμετρικές εξισώσεις 5. Να λυθού οι εξισώσεις: i) (λ-)=λ - ii) (λ -9)=λ +λ iii) λ=(+λ-) iv) λ(λ-)=λ- v) λ+8=(λ-)+0 vi) λ(λ+)=(-)+λ vii) (λ -)+5(-λ)=8 viii) (λ+)-λ =(-λ+) λ λ i) =λ(λ+) λ ) (λ-μ)=λ -(λ+μ) 5 i) ii) α β β αβ α α β 6. Να προσδιοριστεί ο λ ώστε η εξίσωση: α) (λ+)-(λ+)=λ(λ-)-9 α είαι ταυτότητα β) (λ +)-(-λ)=λ + α είαι αδύατη

2 γ) λ - λ =+ α έχει μοαδική λύση δ) (λ-)=9λ - α έχει μοαδική θετική λύση. α β 7. Nα εξετάσετε πότε η εξίσωση: α α) έχει μία λύση β) είαι ταυτότητα γ) είαι αδύατη. 8. Να βρεθεί η συθήκη μεταξύ τω α, β ώστε η εξίσωση: α +β -α =αβ α έχει ακριβώς μία λύση. 9. Δείξτε ότι η εξίσωση: λ(λ+)=5+(λ-) έχει μόο μία λύση για κάθε πραγματικό αριθμό λ. 0. Να εξετάσετε για ποιες τιμές τω α, β η εξίσωση: α(-)=(+β) α) έχει μία λύση β) είαι ταυτότητα γ) είαι αδύατη.. Nα δείξετε ότι για οποιεσδήποτε τιμές τω α, β η εξίσωση: (α-) +α=(β-) +β έχει πάτα λύση ως προς.. Α η εξίσωση: (λ +λ) = λ +λ+ είαι αόριστη, α δείξετε ότι η εξίσωση: (λ 0 -) = λ 0 είαι αδύατη.. Α η εξίσωση: λ(-)+μ = + είαι ταυτότητα, τότε η εξίσωση: λ (-)+μ = +9 είαι αδύατη.. Να βρεθού οι τιμές τω λ και μ για α είαι η εξίσωση: λ(+) = μ-5- αόριστη. 5. Να βρεθεί ο λ ώστε η εξίσωση: (λ +5λ+6) = λ+ α έχει δύο τουλάχιστο λύσεις. 6. Να λυθεί για τις διάφορες τιμές τω λ και μ η εξίσωση: λ(λ-) = μ(λ+)-6. εξισώσεις με απόλυτα 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) = ii) =0 iii) = - 8. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) = 5 ii) = 5 iii) - =0. 9. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) =- ii) =- 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) =0 ii) = 0 iii) =0 iv) 7 5 = 5-5

3 . Να λύσετε τις εξισώσεις: 0 i) - ii) iii) iv) - 6. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) - =-5 ii) - =- iii) =+5. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) =0 ii) - 5 -=0 iii) - - =. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) = ii) - =5 iii) = iv) - 5 =5 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) = ii) - = - 6. Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 i) ii) iii) iv) 5 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) =0 ii) - y + y - =0 προβλήματα 8. Ποιος είαι ο αριθμός, που α του προσθέσουμε το μισό του, το έα τρίτο του και το έα τέταρτό του, μας δίει το αριθμό 00; 9. Το άθροισμα τριώ διαδοχικώ περιττώ είαι ίσο με 7. Να βρεθού οι αριθμοί αυτοί. 0. Το άθροισμα τριώ διαδοχικώ άρτιω είαι ίσο με 0. Να βρεθού οι αριθμοί αυτοί.. Έας πατέρας είαι κατά 0 χρόια μεγαλύτερος του γιου του. Μετά από χρόια η ηλικία του πατέρα θα είαι τετραπλάσια της ηλικίας του γιου. Ποιες είαι οι σημεριές ηλικίες του πατέρα και του γιου;. Η σημεριή ηλικία εός πατέρα είαι 0 ετώ και οι ηλικίες τω τριώ παιδιώ του είαι ατίστοιχα 7,, 5. Μετά πόσα έτη η ηλικία του πατέρα θα είαι ίση με το άθροισμα τω ηλικιώ τω τριώ παιδιώ του;. Μια βρύση Α γεμίζει μια δεξαμεή σε 5 ώρες, εώ μια άλλη βρύση Β τη γεμίζει σε 6 ώρες. Α αοιχτού και οι δύο βρύσες συγχρόως, σε πόση ώρα γεμίζου τη δεξαμεή;

4 . Διψήφιου αριθμού το ψηφίο τω μοάδω είαι τριπλάσιο από το ψηφίο τω δεκάδω. Α γίει εαλλαγή τω ψηφίω του, τότε προκύπτει αριθμός μεγαλύτερος κατά 5. Να βρεθεί ο αριθμός. 5. Αξιωματικός αφήει σε μία φρουρά τους μισούς στρατιώτες του και έα α- κόμη. Σε άλλη φρουρά αφήει τα τω υπόλοιπω και έα ακόμη. Στο τέλος του έμεια 9 στρατιώτες. Πόσους στρατιώτες είχε στη αρχή; 6. Ο Α είαι κατά χρόια μεγαλύτερος του Β. Πρι 8 χρόια τα 6 5 της ηλικίας του Α ήτα κατά 6 χρόια μεγαλύτερα από τα 5 της ηλικίας του Β. Να βρεθού οι ηλικίες τω Α και Β. 7. Σ' έα διαγωισμό δόθηκα για απάτηση 50 ερωτήσεις. Κάθε σωστή απάτηση βαθμολογείται με μόρια, εώ για κάθε λαθασμέη απάτηση αφαιρείται μισό μόριο. Α έας εξεταζόμεος έχει συγκετρώσει 7 μόρια, πόσες σωστές απατήσεις είχε; α Η εξίσωση = α άρτιος περιττός α 0 α 0 αδύατη α 0 α α 0 α α 8. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) = 9 ii) - 6 = 0 iii) = 0 iv) - 6 = 0 v) 5 + = 0 vi) = 0 vii) 5-8 = 0 viii) 5-5 = 0 i) 0-5 = 0 9. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ( - ) - 8 = 0 ii) ( - ) 5 + = 0 iii) ( + ) = 0 iv) 6 = 0 0. Έστω η εξίσωση: + 8 = 0 () α) Να λύσετε τη εξίσωση (). β) Α η εξίσωση: α - = 0 και η () έχου κοιή λύση, α βρείτε το α. γ) Α η εξίσωση: (β+) = 0 και η () έχου κοιή λύση, α βρείτε το β.. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) (-) ( -+) = ii) ( - ) ( + ) = iii) (-) = Α ο είαι θετικός ακέραιος, α λυθού οι εξισώσεις: i) = ii) + = 0 iii) + = 0.

5 5 εξισώσεις ου βαθμού επίλυση εξισώσεω. Να λύσετε τις εξισώσεις: ( β = 0 λύουμε ως προς ) i) 9 - = 0 ii) - 9 = 0 iii) + = 0 ( γ = 0 παραγοτοποίηση) iv) - = 0 v) + 6 = 0 vi) 5 = 6.. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) = 0 ii) = 0 iii) - + = 0 iv) = 0 v) = 0 vi) - + = Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ( - ) + ( + ) = 9 ii) 5( - ) - ( - ) = 8 6. Να λύσετε τις εξισώσεις: - = 0 ii) + (+ 5 ) + 5 = 0 i) + iii) = 0 iv) = Να λύσετε τις εξισώσεις: i) + α - α = 0 ii) + (α + ) - α + α = 0 iii) - (α - 9β) - αβ = 0 iv) - (α + β) + αβ + β = Να λύσετε τη εξίσωση: - + Δ = 0 (), όπου Δ η διακρίουσά της. (όμοια για τη εξίσωση: - Δ + Δ = 0). παραμετρικές 9. Να αποδείξετε ότι για όλες τις τιμές του μ η εξίσωση: i) (μ + ) - μ + = 0 ii) 9 + = μ ( - μ) είαι αδύατη. 50. Να αποδείξετε ότι για όλες τις τιμές του λ η εξίσωση: λ = 0 i) - λ - λ = 0 ii) έχει δύο ρίζες άισες. 5. Α η εξίσωση: + + λ + = 0 () έχει διπλή ρίζα, α βρείτε το λ και μετά τη διπλή ρίζα της (). (όμοια για τη εξίσωση: - (λ - ) - λ + = 0 ) 5. Να βρείτε για ποιες τιμές του α η εξίσωση: i) + + α = 0 ii) ( + α) + 6α + α + = 0 έχει δύο ίσες ρίζες. 5. Για ποια τιμή του λ η εξίσωση -λ + = 0 έχει μία μόο ρίζα και η εξίσωση: - + λ = 0 έχει δύο διαφορετικές ρίζες; 5. Να δείξετε ότι για κάθε λr οι παρακάτω εξισώσεις δε μπορού α έχου διπλή ρίζα: i) - (λ + ) - λ = 0 ii) - λ - λ - = 0.

6 6 55. Να αποδείξετε ότι α η εξίσωση - + α = 0 έχει ρίζα το τότε δε θα έχει άλλη ρίζα, εώ α έχει ρίζα το τότε θα έχει και άλλη ρίζα. 56. Να βρεθεί η τιμή του α για τη οποία η εξίσωση + α + α = 0 έχει ρίζα το - 6 και στη συέχεια, α δείξετε ότι για τη τιμή αυτή του α, η ρίζα είαι διπλή. άθροισμα και γιόμεο ριζώ 57. Α, είαι οι ρίζες της εξίσωσης = 0, α υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: i) + ii) iii) + iv) Α, είαι οι ρίζες της εξίσωσης - - = 0, α υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: i) + ii) iii) + iv) + v) + vi). 59. Α, είαι οι ρίζες της εξίσωσης = 0, α υπολογίσετε τη παράσταση: Να αποδείξετε ότι το - είαι ρίζα της εξίσωσης: + (5-5 ) = 0 και στη συέχεια α βρείτε τη άλλη ρίζα. 6. Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση: + + λ - = 0 έχει ρίζες, που ι- καοποιού τη σχέση: i) + = - ii) + =. 6. Για ποιες τιμές του λ το άθροισμα τω τετραγώω τω ριζώ της εξίσωσης - λ + λ - = 0 είαι ίσο με ; 6. Να βρείτε τη τιμή του α για τη οποία μία ρίζα της εξίσωσης: + (α - ) + α + = 0 είαι διπλάσια της άλλης. 6. Δίεται η εξίσωση: + λ - (λ + ) = 0 () α) Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει δύο ρίζες άισες για κάθε λr. β) Α, οι ρίζες της () α βρείτε το λ ώστε: + =. 65. Δίεται η εξίσωση: - λ + λ - λ + = 0 () α) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση () α έχει δύο ρίζες άισες. β) Α λ(, + ), α δείξετε ότι η () δε μπορεί α έχει ρίζες ατίστροφες. 66. Δίεται η εξίσωση: - (λ - 5) - = 0 () α) Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει δύο ρίζες άισες για κάθε λr.

7 7 β) Να βρείτε το λ ώστε η () α έχει ρίζες ατίθετες. 67. Δίεται η εξίσωση: - (α + 7α - ) + (6α + α - ) = 0. Να βρεθεί ο αr ώστε οι ρίζες της εξίσωσης α είαι: α) ατίθετες β) ατίστροφες 68. Δίεται η εξίσωση: - + λ - = 0 () α) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση () α έχει ρίζες πραγματικές. β) Α, οι ρίζες της () και ισχύει: =, α βρείτε τις ρίζες, και το λ. 69. Δίεται η εξίσωση: (λ - ) - - = 0 () α) Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση () i) α είαι δευτέρου βαθμού ii) α έχει δύο ρίζες πραγματικές και άισες. β) Α, οι ρίζες της (), α βρείτε το λ ώστε: + = Να βρείτε τις εξισώσεις που έχου ρίζες τα ζεύγη τω αριθμώ: α), - β), - γ), - δ), 0 ε), - 7. Α, οι ρίζες της εξίσωσης: - - = 0, α βρείτε τη εξίσωση που έχει ως ρίζες τα ζεύγη: α) +, + β) -, - γ), δ),. 7. Δίεται η εξίσωση: - - = 0 και, οι ρίζες της. α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) + ii) β) Να βρείτε το λ ώστε: + = λ - 5. γ) Να βρείτε τη εξίσωση που έχει ρίζες τις,. 7. Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση: - (λ - ) + λ - 9 = 0 έχει ρίζες: i) ετερόσημες ii) ομόσημες iii) θετικές iv) αρητικές v) ατίθετες vi) ατίστροφες 7. Έστω S = + δείξετε ότι: S + αs - + β S - = 0. όπου, οι ρίζες της εξίσωσης: + α + β = 0. Να εξισώσεις που αάγοται σε εξισώσεις ου βαθμού κλασματικές 75. Να λύσετε τις εξισώσεις: 8 i) ii) iii) 0 iv)

8 8 v) vi) διτετράγωες 76. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) = 0 ii) - - = 0 iii) + + = 0 iv) = 0 v) = 0 vi) = 0. βοηθητικός άγωστος 77. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ( - ) - ( - ) - = 0 ii) ( + ) - ( + ) - = 0 iii) - - = 0 iv) - =. 78. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) = 0 ii) ( - ) = 0 iii) ( - ) = 0 iv) = Να λύσετε τις εξισώσεις: i) = 0 ii) = 0 iii) ( - ) - ( - ) - = 0 iv) (- ) 8-5(- ) - 6 = Να λύσετε τις εξισώσεις: i) + iii) = 0 ii) - + = 0-5 = iv) i) Να αποδείξετε ότι: + = - = -. ii) Να λύσετε τη εξίσωση: = -.