Probleme rezolvate. = 1, frecvenţele: F

Transcript

1 Lăcrimioara GRAMA, Coreliu RUSU, Prelucrarea umerică a semalelor aplicații și probleme, Ed UTPRESS, Cluj-Napoca, Capitolul Semale și secvețe Problema Geerarea uei expoețiale complexe: Se doreşte geerarea şi repreetarea grafică a secveţei expoeţiale complexe: x( ) 5exp + j,,5 5 Secveţa fiid ua complexă, vom putea afişa partea reală a acesteia, respectiv partea imagiară x( ) 5exp + j 5exp cos j5exp si x este: Re{ x( ) } 5exp cos, 5 Im{ x } 5exp si 5 Partea reală a secveţei respectiv partea imagiară: Problema Eroarea de alias determiată de eșatioare: Se cosideră două semale aalogice xa ( t ) şi xa ( t ) cu amplitudiile: A A, frecveţele: F 5 H, F H şi faele: ϕ ϕ, care se eşatioaeaă cu: F s 5 H Se urmăreşte repreetarea semalelor aalogice, a secveţelor discrete obţiute după eşatioare şi a semalelor recostituite di eşatioae Semalele aalogice: xa ( t) cos( 5 t) ; x ( a t cos t) Secvețele obțiute î urma eșatioării: 5 x ( ) cos cos ; 5 5 x ( ) cos cos cos Semalele recostituite di eșatioae: x a( t) cos 5 t cos( 5 t) xa( t) ; 5 x a( t) cos 5 t cos( 5t) xa( t) 5

2 Cel de-al doilea semal aalogic u poate fi recostituit, deoarece petru acesta u s-a respectat teorema eşatioării (alias) Problema Eșatioare : Se cosideră semalul aalogic: x ( t) cos( t) a Se cere: Determiaţi vitea miimă de eşatioare petru evitarea oricărui alias Presupuâd că semalul este eşatioat cu rata F s H, care este semalul discret î timp obţiut după eşatioare? Care este semalul recostituit di eşatioaele de la puctul? Presupuîd că semalul este eşatioat cu F s 75 H, care este semalul discret î timp obţiut după eşatioare? 5 Care este frecveţa < F < F a uei siusoide, care să producă eşatioae idetice cu cele de la puctul? 6 Care este semalul recostituit di eşatioaele de la puctul? Vitea miimă de eşatioare petru evitarea oricărui alias trebuie să fie dublul frecveţei semalului: xa ( t) cos( 5t) F 5 H Fs mi F H Secveţa obţiută după eşatioaarea cu F s H este: 5 x( ) xa cos cos f, Fs perioada este N Semalul recostituit di eşatioaele de la puctul este: x a( t) x ( tfs) cos t cos( t) Semalul recostituit este este idetic cu semalul aalogic iiţial, deoarece a fost respectată teorema eşatioării Secveţa obţiută după eşatioaarea cu F s 75 H este: 5 x( ) x a cos cos f, Fs 75 frecveţa discretă trebuie adusă î itervalul fudametal Di relaţia (9) avem: f f +, f Î acest ca particular: f ' f, x' ( ) cos cos f, perioada este N 5 F 75 f F f Fs 75 5, < 5 < Fs Reultă că semalul aalogic: ya ( t) cos( 5t), eşatioat cu F s 75 H, produce aceleaşi eşatioae ca cele de la puctul Î cocluie, F 5 H este u alias petru F 5 H, petru o rată de eşatioare de F s 75 eşatioae/secudă 6 Semalul recostituit di eşatioaele de la puctul este: x a( t) x ( tfs) cos 75t cos( 5t ) Distorsiuea semalul aalogic origial a fost determiată de efectul de alias, deoarece a fost utiliată o rată de eşatioare prea mică (mai mică decât dublul frecveţei semalului aalogic origial)

3 Capitolul Sisteme discrete Problema Caracteriarea sistemelor discrete: Se cosideră u sistem discret LTI caracteriat î domeiul timp de ecuaţia cu difereţe fiite: y( ) 5y( ) + y( ) x( ) + x( ) Se cere: Să se determie ieşirea sistemului, y( ), la secveţa de itrare: x( ) ( ) u( ), ştiid că y( ) y( ) ; Să se evaluee răspusul la impuls h( ) Dorim să aflăm ieşirea sistemului, y( ),, petru u semal de itrare dat x, şi u set de codiţii iiţiale Soluţia totală are două compoete: compoeta omogeă şi compoeta paticulară: y y + y ude: h h p y se umeşte soluţie omogeă sau complemetară, iar y p se umeşte soluţie particulară Soluţia omogeă a ecuaţiei cu difereţe fiite Vom îcepe cu reolvarea ecuaţiei liiare cu difereţe fiite şi coeficieţi costaţi (cosiderâd că itrarea x( ) ) Astfel vom obţie prima dată soluţia ecuaţiei cu difereţe fiite omogee: y 5y + y Cosiderăm că soluţia este de forma uei expoeţiale, adică: yh ( ) λ, ude idicele h folosit cu y( ) este folosit petru a meţioa că este vorba de soluţia omogeă a ecuaţiei cu difereţe fiite Dacă substituim această soluţie î ecuaţia omogeă, obţiem ecuaţia poliomială: λ 5λ + λ λ λ 5λ +, deumită şi ecuaţie caracteristică, sau poliom caracteristic Rădăciile ecuaţiei caracteristice sut: 5 ± ± λ λ, λ Deoarece rădăciile ecuaţiei caracteristice sut suprauitare î modul λ i >, este vorba despre u sistem istabil Avâd radăciile ecuaţiei caracteristice, putem evalua soluţia ecuaţiei omogee, de forma: y ( ) ( ) h Cλ C λ u C C u C C u( ) ude C şi C se umesc coeficieţi de poderare; se determiă di codiţiile iiţiale y, trebuie să satisfacă ecuaţia Soluţia particulară a ecuaţiei cu difereţe fiite Soluţia particulară, p cu difereţe fiite iiţială, petru semalul de itrare dat x( ), Cu alte cuvite, y soluţia care satisface relaţia: y 5y + y x + x Petru p p este orice p p p y cosiderăm o formă ce depide de forma semalului de itrare, x( ) Deoarece secveţa de itrare cosiderată petru acest sistem este produsul ditre o costată şi o expoeţială ( ), soluţia particulară corespuătoare ecuaţiei eomogee, este: yp ( ) K u( ), ude K este u factor de scalare care satisface relaţia (î ecuaţia iiţială): K u 5K u + K u u + u

4 Petru a determia valoarea lui K, trebuie să evaluăm ecuaţia aterioară petru orice Deci: K 5K + K + K K + 6K + 5K 5 K 9 Ca atare, soluţia particulară a ecuaţiei cu difereţe fiite este: yp ( ) u( ) 9 Soluţia totală a ecuaţiei cu difereţe fiite Soluţia totală, este suma ditre soluţia omogeă şi cea particulară, adică: y( ) C+ C( ) + u( ) 9 Costatele C şi C se determiă di codiţiile iiţiale y ( ) şi y : y 5y y + x + x y y 5y( ) y( ) + x + x( ) y + + y şi y 9, putem afla cotatele C şi C : Avâd codiţiile iiţiale ( ) 7 C+ C + C+ C C+ C C + + C ( ) / C C C C+ C C C Ieşirea sistemului este: 6 y( ) + ( ) + u( ), yi ( ) ys ( ) y este răspusul sistemului la itrarea ero cotribuţia sistemului (răspus atural/răspus ude i liber), iar y s este răspusul sistemului î codiţii iitiale ule cotribuţia itrării (răspus forţat) Răspusul la impuls îl obţiem cosiderâd ca semal de itrare impulsul uitate:, x( ) δ ( ) y( ) h( ), i rest x( ), > yp( ) hp( ) Răspusul la impuls va vea doar compoeta omogeă, adică: h( ) Dλ Dλ u( ) D D( ) + + u( ), ude λ şi λ sut rădăciile ecuaţiei caracteristice, determiate aterior Cosiderăm că sistemul este caual ( h( ), < ) şi evaluăm codiţiile iiţiale: δ δ δ δ h 5h h + + h h CI h 5h h + + h 5+ 6 h 6

5 Evaluăm coeficieţii D şi D : Probleme reolvate D+ D + D+ D 6 5 D D D+ D 5 5 D D Răspusul sistemului la impuls este: 5 h( ) + ( ) u( ) / D 5 Problema 5 Răspusul la impils și ecuația de itrare-ieșire: Se cosideră u sistem caual care,,,, 5,, 5 6 produce la ieşire secveţa y( ),, la excitaţia x( ) 6,,, i rest, 6, i rest Se doreşte determiarea răspusului la impuls, h( ), şi a ecuaţiei cu difereţe fiite şi coeficieţi costaţi corespuătoare Aplicăm trasformata î secveţei de ieşire: 5 Y ( ) + 6 Trasformata î corespuătoare secveţei de la itrare este: 5 X ( ) Avâd trasformatele î corespuătoare secveţelor de itrare, respectiv de ieşire, putem evalua fucţia de trasfer: 5 5 Y ( ) + + H( ) 6 6 X ( ) Deoarece sistemul este caual, regiuea sa de covergeţă este > Sistemul este stabil, deoarece polii se află î iteriorul cercului uitate Ecuaţia cu difereţe fiite şi coeficieţi costaţi este: 5 5 y( ) y( ) y( ) + x( ) + x( ) Răspusul la impuls se obţie aplicâd trasformata î iversă fucţiei de sistem Î prealabil trebuie să descompuem fucţia de trasfer î fracţii simple, de forma: A A H( ) A 6 A 6 7 5

6 Avâd coeficieţii A şi A, putem scrie expresia fucţiei de trasfer descompusă î fracţii simple: 7 H( ) Î coseciţă, răspusul la impuls va fi: h( ) Z { H( ) } 7 u( ) Problema 6 Evaluarea ieșirii, cuoscâd răspusul la impuls și excitația: Se doreşte determiarea secveţei de la ieşirea sistemului care are răspusul la impuls: h( ) u( ),, dacă semalul de la itrarea este: j x e, Răspusul î frecveţă al acestui sistem este: ω ω H( ω) h( ) e e e Petru ω, fucţia răspus î frecveţă devie: ω 65 ( ) ( j )( j ) H 57 j7, cos si 5 5 e j + iar modulul, respectiv faa sut date de relaţiile: H 57 ( 7) 7 + 5, H arcta 6 57 j Secveţa de ieşire se evalueaă cu ajutorul relaţiei () : y ( ) AH ( ω ) e ω, adică j H j + j 6 j 6 y( ) H e H e 5 e 5e Se observă că sigurul efect al sistemului asupra semalului de itrare costă î scalarea amplitudiii cu 5 şi defaarea cu 6 Semalul de ieşire este î acest ca o expoeţială complexă cu frecveţa, amplitudie 5 şi faă 6 Problema 7 Ieșirea uui sitem LTI la o excitație expoețială: Acest exemplu are ca scop determiarea răspusului la secveţa de itrare: x( ) 9 u( ), petru sistemul descris de ecuaţia cu difereţe fiite şi coeficieţi costaţi: y( ) 9 y( ) y( ) + x( ), ştiid că: y y ; y y ; utiliâd trasformata î Fucţia de sistem corespuătoare ecuaţiei cu difereţe fiite şi coeficieţi costaţi este: H( ) 9 + Cei doi poli corespuători lui, 9 j ± H : p e, au valori complex-cojugate 6

7 Trasformata î corespuătoare secveţei de itrare este: X ( ) Z{ u( ) } 9 Răspusul de stare ero al sistemului, î domeiul este: Ys ( ) H( ) X ( ) j 9e 9e ( 9 ) Y î fracţii simple şi apoi Petru a afla răspusul forţat î domeiul timp, vom descompue aplicăm trasformata î iversă: A A A Ys ( ) + + j 9 9e 9e Evaluâd petru obţiem coeficietul A 9e j : A j 9 9 e 9e e e j j 9e 9e cos jsi cos jsi j j ( 7 j ) j + j5 7 + j 7 + j 7 9 A 95 9 Deoarece polii p şi p au valori complex-cojugate, şi coeficieţii A şi A vor avea valori complex-cojugate, adică: * A A 95 + j9 Evaluâd petru obţiem coeficietul A : A A j9 99 Ys ( ) + + j 9 9e 9e Î coseciţă, răspusul de stare ero al sistemului este: j ys ( ) ( 95 9) 9e + ( 95 + j9) 9e + 99( 9) u( ) j j j 95( 9) e + e 9( 9) e e + 99( 9) u( ) 99( 9) cos + 69( 9) si + 99( 9) u( ) ( 9) 99 cos + 69si + 99( 9) u( ) Folosid idetitatea trigoometrică: acos x bsi x a b cos x arcta b + + a, obțiem: s 7

8 69 ys u 99 ( 9) ( 99) + 69 cos arcta + 99( 9) + + ( 9) cos arcta 75 99( 9) u( ) ( 9) cos ( 9) u( ) ys ( ) ( 9) cos ( 9) u( ) Deoarece codiţiile iiţiale sut ule, ieşirea sistemului va fi: y( ) ys ( ) ( 9) cos ( 9) u( ) y y, şi vom avea îcă o compoetă la Î acest ca codiţiile iiţiale sut eule, trasformata î (trasformata î a răspusului câd itrarea este ulă): D Y i ( ) N ( ) a y 9 + A( ) 9 + 9e 9e Evaluăm costatele D şi D : j * 9e 9 9e D j 9e j ( 7 + j9 )( ) D D j e e 9e 7 + j9 5 + j 5 + j596 + j + j j 9 + D 5 + j96 D j Yi ( ) + j 9e 9e Î coseciţă, răspusul la itrare ero este: j yi ( ) ( 5 + j96) 9e + ( 5 96) 9e u( ) j j j 5( 9) e + e + j96( 9) e e u( ) 9( 9) cos 97( 9) si + 99 u( ) 97 ( 9) 9 + ( 97) cos arcta u( ) cos + arcta969 u 9 99cos + 79 u y ( ) 99( 9) cos + 79 u( ) Răspusul total are trasformata î : 5 + j Y ( ) Ys ( ) + Yi ( ) + + j 9 9e 9e

9 Aplicâd trasformata î iversă răspusului total di domeiul, obţiem ieşirea sistemului: j y( ) ( 5 + j57)( 9) e + ( 5 57)( 9) e + 99( 9) u( ) ( 9) cos 97( 9) si + 99( 9) u( ) j j e e j e e u( ) 97 ( 9) ( 9) + ( 97) cos arcta + 99( 9) u( ) 9 + ( 9) 97 cos arcta9 99( 9) u( ) ( 9) 97 cos ( 9) u( ) y + ( 9) 97 cos 9 99( 9) u( ) Problema Evaluarea răspusului la impuls și a regiuii de covergeță: Se cosideră u sistem LTI este caracteriat de fucţia de trasfer: H( ) Să se specifice regiuea de covergeţă a lui H( ) şi să se determie răspusul la impuls, h( ), î următoarele codiţii: Sistemul este stabil; Sistemul este caual; Sistemul este pur ecaual Petru a putea evalua răspusul la impuls, trebuie descompus H( ) î fracţii simple Polii sistemului sut p şi p H A A + A A H( ) + Deoarece sistemul este stabil, regiuea de covergeţă trebuie să icludă cercul uitate, deci < < Î coseciţă, răspusul la impuls este ecaual: Deoarece sistemul este caual, > h u u, iar ( ) + u( ) h 9

10 Sistemul este istabil, deoarece coţie ( ) u( ) Probleme reolvate Dacă sistemul este pur ecaual, regiuea de covergeţă este <, şi h u + ( ) Sistemul este istabil, deoarece coţie u( ) Problema 9 Evaluarea covoluției liiare: Acest exemplu urmăreşte evaluarea ieşirii uui sistem, cu ajutorul covoluţiei liiare ditre secveţa de la itrarea sistemului şi răspusul la impuls al acestuia x,,, h,,, î Se cosideră secveţa de itrare: { } şi răspusul la impuls: { } Covoluţia liiară va fi evaluată prima dată folosid metoda grafică, apoi utiliâd trasformata Metoda Evaluarea covoluţiei liiare cu metoda grafică Repreetăm gafic cele două secveţe, h( ) şi x( ) (figura 6 a)), folosid drept idice, petru a fi î acord cu relaţia (5) Realiăm simetrica secveţei h( ), obţiem secveţa h( ) şi o repreetăm grafic (figura 6 b)); acum putem evalua ieşirea la mometul, coform relaţiei (5), adică y( ) x( ) h( ) Secveţa produs v ( ) x( ) h( ) este de asemeea repreetată grafic î figura 6 b) Aduâd y v toţi termeii secveţei produs, obţiem Cotiuăm calculul evaluâd ieşirea petru <, de exemplu la Petru aceasta, h cu eşatio, spre stâga (figura 6 c)) Coform relaţiei (5) traslatăm secveţa Secveţa produs v ( ) x( ) h( ) y( ) x( ) h( ) este de asemeea repreetată grafic î figura 6 c) y v Aduâd toţi termeii secveţei produs, obţiem Observăm că dacă cotiuăm să traslatăm secveţa h( ), spre stâga, secveţele produs obţiute vor avea toate eşatioaele ule Ca atare, putem spue că y( ), Evaluăm acum ieşirea, y( ), petru > Îcepem cu Petru aceasta, traslatăm secveţa h( ) cu eşatio, spre dreapta, şi obţiem secveţa h( ) (figura 6 d)) Coform relaţiei (5) Secveţa produs v ( ) x( ) h( ) y x( ) h( ) este de asemeea repreetată grafic î figura 6 d) Aduâd y v + toţi termeii secveţei produs, obţiem Î mod similar obţiem secveţa 6 e)) Secveţa produs v ( ) x( ) h( ) y, traslatâd h( ) Aduâd toţi termeii secveţei produs, obţiem cu eşatioae, spre dreapta (figura este de asemeea repreetaă grafic î figura 6 e) y v +

11 Figura 6 Evaluarea covoluţiei liiare, folosid metoda grafică

12 Traslatâd î cotiuare secveţa h( ) cu,, eşatioae, spre dreapta, îmulţid secveţele corespuătoare şi aduâd valorile secveţelor produs reultate, obţiem y ( ), y ( ) 5, y ( 5), y ( 6) Petru > 6, obţiem y( ), deaoarece secveţele produs corespuătoare au valori ule Acum avem îtregul răspus al sistemului petru < < : {,,,,,, 5,,,, } y Metoda Evaluarea covoluţiei liiare cu ajutorul trasformatei î Z x X( ) + + +, Reultă { } +, { } Z h H Y( ) X( H ) { } {,,,, 5,, } Z Y y Problema Evaluarea ieșirii uis sistem cu ajutorul covoluției liiare: Se urmăreşte y a uui sitem LTI relaxat, al cărui răspus la impuls este: determiarea ieşirii la treapta uitate x( ) u( ) Î acest ca, atât h( ) cât şi covoluţie dată de relaţia (): ude secveţa reflectată este x( ) petru petru petru, h a u a <, x sut secveţe de durată ifiită Vom folosi formula de y( ) h( ) x( ), y h x a u u a avem: y h x a u u a + a + a avem: y h x a u u a + a+ a + a+ a avem: Se observă că petru >, ieşirea este + a y( ) + a+ a + a + + a, > a Pe de altă parte, petru <, secveţele produs vor avea doar valori ule, deci < Petru, ieşirea este + a y( ) lim y( ) lim, a a, y

13 Î cocluie, ieşirea sistemului LTI este:, <,,, + y( ) a, >, a, a Problema Evaluarea răspusului folosid covoluția liiară: Se urmăreşte evaluarea covoluţiei liiare ditre: x( ) u( ) şi h( ) u( ) Î acest ca, atât h( ) cât şi covoluţie dată de relaţia () ude secveţa reflectată este x sut secveţe de durată ifiită Vom folosi formula de y( ) x( ) h( ), h Secveţa produs va fi: v ( ) x( ) h( ) care are valori eule petru şi sau Petru v,, deci <, y( ), < suma valorilor secveţei produs v Petru va fi: + y( ) ( ), Petru, ieşirea este: y( ) lim y( ) lim, Î cocluie, ieşirea sistemului LTI este:, <, y( ),, Capitolul Trasformata Fourier Discretă Problema evaluarea DFT-ului: Acest exemplu urmăreşte evaluarea trasformatei Fourier discrete a uei secveţe date Se cosideră o secveţă de lugime : x,,,, { } petru care se doreşte evaluarea DFT-ului î pucte Petru a evalua DFT î pucte, secveţa trebuie să aibă valori Vom adăuga erouri, astfel îcât secveţa x( ) să aibă lugime Obţiem {,,,,,,,} x

14 Îcepem cu evaluarea poderilor Ţiâd cot de codiţia de simetrie W avem: N Probleme reolvate j j, W W e e,7 W, î caul acestui exemplu + N/ N N W W, W W, W W, W W, W j e W e cos si W e e cos si W e cos si W W 5 W W + j 6 W W j 7 W W + j Avâd calculate rădăciile uităţii, putem cotiua cu evaluarea lui X ( ),,7, cosiderâd relaţia (), adică 7 X xw,, N ( ) ( ) + ( ) + ( 5) + ( 6) + ( 7) X x W x W x W x W x W x W x W x W W + W + W + W şi ţiâd cot de codiţia de periodicitate W W, î acest ca W + N N N + W X W + W + W + W W ( ) ( + ) X W W W W j j j j 6 X W + W + W + W W + W W W W + W + j 6 9 X ( ) W + W + W + W W + W W + W + j + j+ + j X W + W + W + W W W + W W W 5 5 X ( 5) W + W + W + W W W + W W + + j + + j 6 X 6 W + W + W + W W W W + W W + W j 7 X ( 7) W + W + W + W W W W W + + j + j ( ) j ( ) + +

15 Idicaţie: Probleme reolvate Acum putem evalua modulul şi faa petru X ( ),,7 + +, ( a jb) a jb a b iar valorile faei trebuie repreetate î domeiul (, X X ( + ) ( ) X b arcta, a > a +, b + arcta, a < a X, X + arcta ( 679) X +, X + arcta ( ) , X arcta 75 ( + ) X, X X X 75, X 5 X 75 X 6 X, X 6 X 56 X 7 X 755, X 7 X 679 {, 755,, 75,, 75,, 755} {, 679, 56, 75, 6, 75, 56,679} X X Problema Covoluția circulară: Acest exemplu urmăreşte evaluarea ieşirii uui sistem, cu ajutorul covoluţiei circulare ditre secveţa de la itrarea sistemului şi răspusul la impuls al acestuia Se cosideră secveţa de itrare: x( ) {,,,} şi răspusul la impuls h( ) {,,, } Covoluţia circulară va fi evaluată prima dată folosid metoda grafică, apoi utiliâd trasformata Fourier discretă Metoda Evaluarea covoluţiei circulare cu metoda grafică Fiecare secveţă coţie valori eule Petru ilustrarea operaţiilor care apar la evaluarea covoluţiei circulare, vom desea fiecarea secveţă ca pucte ale uui cerc Repreetarea secveţelor h( ) şi x( ) este ilustrată î figura a) Meţioăm că secveţele sut deseate pe cerc, î ses trigoometric (cotrar acelor de ceasoric) Aceasta stabileşte direcţia de referiţă la rotirea uei secveţe faţă de cealaltă Secveţa y( ) se obţie pri covoluţia circulară ditre h( ) şi x( ), ca î relaţia (9) Îcepâd cu m, obţiem y( ) x( ) h( ( ) ) Secveţa h ( ) este simetrica secveţei h( ), deseată pe cerc (figura b)) Altfel spus, secveţa simetrică este simplu, secveţa h( ) deseată î sesul acelor de ceasoric (ivers trigoometric) 5

16 Secveţa produs se obţie îmulţid x( ) cu h( ( ) ), puct cu puct Secveţa produs este de asemeea repreetată î figura b) Î fial, aduâd valorile secveţei produs, obţiem y + a) Reflexie Multiplicare b) Traslaţie c) d) e) Figura Evaluarea covoluţiei circulare, folosid metoda grafică Petru m avem: y x( ) h ( ) Se verifică uşor faptul că h ( ) este secveţa h( ( ) ) traslatată (rotită) î ses trigoometric cu eşatio, ca î figura c) Această secveţă se îmulţeşte cu x( ) petru obţierea secveţei produs (figura c)) Aduâd toate valorile secveţei produs, obţiem y

17 Petru secveţa h ( ) Probleme reolvate m avem: y x( ) h ( ) Se verifică uşor faptul că h ( ) este traslatată (rotită) î ses trigoometric cu eşatioae, ca î figura d) Această secveţă se îmulţeşte cu x( ) petru obţierea secveţei produs (figura d)) Aduâd toate valorile secveţei produs, obţiem Petru secveţa h ( ) y + 6 m avem: y( ) x( ) h ( ) Se verifică uşor faptul că h ( ) este traslatată (rotită) î ses trigoometric cu eşatioae, ca î figura e) Această secveţă se îmulţeşte cu x( ) petru obţierea secveţei produs (figura e)) Aduâd toate valorile secveţei produs, obţiem y ( ) + + Observăm că dacă cotiuăm evaluarea, petru m, obţiem aceleaşi patru valori aterioare h determiă secveţa: Î cocluie, covoluţia circulară a secveţelor x( ) şi {,, 6,} y Metoda Evaluarea covoluţiei circulare cu ajutorul trasformatei Fourier discrete h DFT î pucte Evaluăm prima dată DFT-urile corespuătoare secveţelor x( ) şi petru x( ) este: { } DFT x X x e,, X + e + e + e + e + e + e + cos si + ( cos si) + cos si + cos + cos + cos si + si + si X ( ) X cos cos cos j si si si ( ) + j X + cos + cos + cos ( si + si + si ) X ( ) cos cos cos j si si si ( + ) j DFT-ul î pucte petru h( ) este: { } DFT h H h e,, H( ) e + e e cos si + ( cos si) cos si cos si + ( cos si) cos + jsi cos + cos si + si H ( ) + H cos + cos si + si j 7

18 H Probleme reolvate j( ) cos + cos si + si H( ) cos + cos si + si + j j Y X H sau echivalet Îmulţid cele două DFT-uri obţiem produsul Y ( ) X ( ) H( ) ( ) Y X H ( + j) ( ) + j Y X H ( ) 5 Y ( ) X ( ) H( ) ( j) j j Petru a obţie secveţa de ieşire y( ), trebuie evaluat IDFT-ul secveţei j IDFT { Y( ) } y Ye,, Y : j j j y( ) ( ) ( ) + + j e e + e ( ) cos si ( cos si ) + + j + j + j + cos cos si j si + ( j) cos + j si cos cossi si 5 5 y ( ) y + cos cos si si y + cos cos si si y( ) + cos cos si si + + {,, 6,} y Problema Evaluarea coeficieților DFT: Se cosideră u semal aalogic xa ( t) cos( ) 5cos( 6t), care este eşatioat cu F s H Se doreşte evaluarea coeficieţilor DFT Î urma eşatioării, obţiem secveţa: x( ) cos 5cos cos 5cos Perioada acestei secveţe este N, deci vom evalua DFT-ul î pucte x o putem scrie ca sumă de expoeţiale, de forma: Secveţa j j + + j j e e e e x( ) 5 5e + 5e 75e 75e 9 7 j j j j e + e e e X, este: iar relaţia ditre secveţa x( ) şi coeficieţii DFT,

19 9 j x( ) X ( ) e,,9 X ( ) X X ( ) X ( 5) X ( 6) X ( ) X X ( 9) 5 X ( ) X ( 7) 75 Problema 5 Ieșirea uui filtru cu răspus fiit la impuls: Folosid DFT şi IDFT se doreşte determiarea ieşirii filtrului cu răspus fiit la impuls, caracteriat de răspusul la impuls: h,, x,,, { } la itrarea { } Lugimea secveţei răspus la impuls este M, iar lugimea secveţei de itrare este L Dacă am realia covoluţia liiară am obţie secveţa de ieşire de lugime N L+ M 6, ceea ce îseamă că DFT-urile trebuie evaluate î cel puţi 6 pucte Î practică, metodele umerice folosite î evaluarea DFT-ului impu ca N să fie o putere îtreagă a lui (ceriţă impusă de algoritmii FFT de calcul ai DFT-ului) Cea mai mică putere îtreagă a lui, mai mare sau egală cu 6 este N Vom evalua DFT-ul corespuător secveţei de itrare, î pucte: 7 X( ) xw,, W N au fost evaluate la Problema j j j X x W x W x W x W x W x W x W x W W + W + W + W ude poderile Evaluâd petru,7 obţiem succesiv X + e + e + e X ( ) X e e e j j j j X + e + e + e j X e e e j j j j j j j X + e + e + e X e e e j j j j 9 X 6 + e + e + e + + j X e e e j j j j h, î N pucte: Vom evalua DFT-ul corespuător secveţei răspus la impuls, 7 Evaluâd petru,7 obţiem succesiv H hw,,7 W W W e e H ( ) 6 9

20 + + + ( + ) H e e j H + e + e j ( ) H e e j H + e + e 5 5 ( 5) + + H e e j H e e j 7 7 ( 7) H e e j Efectuâd produsul Y ( ) H( ) X ( ),,7, obţiem Y ( ) 6 Y j9 Y + j Y + j 69 + j5 Y Y 5 + j 69 5 Y 6 + j j Y j + + j + + j9 Y : Petru a obţie secveţa de ieşire, y( ), se aplică IDFT-ul, secveţei 7 j y( ) IDFT { Y ( ) } Y ( ) e,,7 j y( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( 6) ( 7) Y + Y e + Y e + Y e + Y e + Y e + Y e + Y e 6 ( 9+ j) cos + jsi + + j cos + jsi 5 5 ( 9 9) cos + jsi + ( 9 + j9) cos + jsi cos + jsi ( 9) cos + jsi ( x ) ( x ) cos x cos ± si x si ± 5 7 j j j j j j 6 9 cos + 5 cos si 9 cos + si 9 si 6 5 cos + cos si cos 6si + si Evaluâd petru,7 obţiem succesiv y ( ) j + + +

21 y Probleme reolvate y 6 5 cos + cos si cos + 6si si cos + cos si cos + 6si si y ( ) 6 5 cos + cos si cos + 6si si y 6 5 cos + cos si cos + 6si si y ( 5) 6 5 cos + cos si cos + 6si si y ( 6) 6 5 cos + cos si cos + 6si si y ( 7) 6 5 cos + cos si cos + 6si si Î cocluie, ieşirea filtrului cu răspus fiit la impuls este: y,,,,,6,, { } Deşi multiplicarea a două DFT-uri corespude covoluţiei circulare î domeiul timp, se observă că pri completarea secveţelor x( ) şi h( ) cu u umăr suficiet de erouri, covoluţia circulară coduce la acelaşi reultat ca şi covoluţia liiară se obţie Dacă î exemplul aterior se efectueaă covoluţia circulară ditre h,,,,, x,,,,,, Evaluâd petru,5 obţiem succesiv { } şi { } 5 y h x 5 y x h 5 y x h + 5 y x h y x h y x h y 5 x h

22 {,,,,,6} y Dacă N M + L, u apare suprapuere (eroare alias) î domeiul timp, î ca cotrar, secveţa reultată va coţie suprapueri ale uor compoete Problema 6 Ieșirea uui filtru FIR, iterfereță compoete: Acest exemplu îşi propue evaluarea DFT-ului îtr-u mod oarecum deficitar, petru a se observa apariţia iterfereţei compoetelor Se va repeta Problema 5, petru N Vom evalua DFT-ul corespuător secveţei răspus la impuls î N pucte: H hw W + W + W + e + e,, Evaluâd petru, obţiem succesiv H ( ) H e e H + e + e j H( ) + e + e + j + j Vom evalua DFT-ul corespuător secveţei de itare, x( ), î N pucte X xw,, Evaluâd petru, obţiem succesiv W W W W e e e X ( ) X e e e X + e + e + e + j j 9 j X + e + e + e + j Efectuâd produsul Y ( ) H( ) X ( ),,, obţiem Y ( ) 6 Y ( )( ) + j Y Y ( ) ( + j)( ) j Petru a obţie secveţa de ieşire y( ) se aplică IDFT-ul secveţei faptul că cos x cos( x± ), si x si ( x± ) { } j Y și se ție cot de y IDFT Y Y e,, j j j j j j ( ) ( ) ( ) Y + Y e + Y e + Y e + + j e + e + e + ( + j) cos + jsi + ( ) cos + jsi + ( + j) cos + jsi + ( ) cos si cos si +

23 se obţie Evaluâd petru,7 obţiem succesiv y Probleme reolvate y ( ) + + cos si y + cos si + cos si + y y ( ) {,,, } Dacă se efectueaă covoluţia circulară ditre {,,,} şi x( ) {,,,} h Evaluâd petru, obţiem succesiv y h x( ) y x( ) h ( ) 6, + + y x( ) h ( ) y x( ) h ( ) y x( ) h ( ) y( ) {,,,} Dacă se compară reultatul y( ) obţiut pri folosirea DFT-ului şi IDFT-ului î pucte cu y( ) obţiut pri DFT şi IDFT î pucte, se observă difereţe datorită suprapuerilor sau iterfereţei compoetelor y ( ) y ( ) + y ( ) + y y y y y y y y y Se observă că umai primele două compoete sut afectate de eroarea alias, adică mi LM, compoete { } Problema 7 Evaluarea spectru: Se doreşte evideţierea procedurii de evaluare a spectrului uui semal aalogic şi a spectrului secveţei discrete obţiute pri eşatioarea uiformă a semalului aalogic x t e at a > Cosiderăm semalul aalogic:, Spectrul semalului aalogic este: a a Ft at Ft at Ft at Ft a at jft at Ft a e e dt e e dt af a+ jf a + F X F x t e dt e e dt e e dt + e e dt + +

24 Presupuâd că semalul aalogic este eşatioat cu frecveţa Fs T, obţiem secveţa discretă: at at x x T e e Spectrul semalului discret obţiut pri eşatioare este: F f at f X X ( f ) x( ) e ( e ) e Fs a at f at f at j f at f e e + e e e e + e e at j f at f e e + e e at e + at e e e e e cos f at j f at f + e cos F Fs F fiid de badă limitată, eroarea de alias u mai poate fi evitată Coform Spectrul secveţei x( ) este periodic cu perioada F s, datorită termeului Spectrul X relaţiei (5) spectrul semalului recostituit x ( t) a a X ( f ) F X ( F F ), este: s a s at ( e ) at e T Fs, F at at F s at F at e cos e e cos( FT ) + e T X + a ( F) Fs Fs, F > T Comparâd spectrul semalului eeşatioat cu cel al semalului recostituit, se observă că acestea pot diferi semificativ petru o frecveţă de eşatioare aleasă ecorespuător Dacă î relaţia corespuătoare spectrului semalului recostituit cosiderăm T suficiet de mic, astfel îcât at, umărătorul şi umitorul pot fi descompuse î puteri ale lui T, pâă la ordiul doi Petru F T şi x folosid aproximaţiile: obţiem X ( F) at ( e ) a at at e x x x + + şi cos x x at ( ) ( ) T T at + a T e cos( FT ) + e at + a T F T + at + a T at a T at + FT a FT + aft Dacă eglijăm termeii care coţi puteri ale lui T mai mari ca doi, avem: at a Xa ( F) at + FT a + F Petru acest ca particular, spectrul semalului recostituit se apropie de spectrul semalului aalogic de badă elimitată, dacă frecveţa de eşatioare creşte suficiet de mult

25 Lăcrimioara GRAMA, Ali GRAMA, Coreliu RUSU, Filtre umerice aplicații și probleme, Ed UTPRESS, Cluj-Napoca, Capitolul Filtrări selective Problema Proiectarea uui FTJ ideal aproximat pri truchiere: Se doreşte proiectarea uui FTS cu răspus ifiit la impuls, de ordiul îtâi, cu frecveţa de tăiere (la db) egală cu 7 (pulsaţia) Fucţia de trasfer petru FTS de ordiul îtâi este dată de (): a siωc HTS ( ), a + a cosωc Petru a evalua fucţia de trasfer, trebuie evaluat î prealabil parametrul a : si 7 9, cos a 5 57 Î coseciţă, fucţia de trasfer corespuătoare FTS de ordiul îtâi este: + 5 HTS ( ) Problema Proiectarea uui FTB: Acest exemplu urmăreşte proiectarea uui FTB, cu răspus ifiit la impuls, de ordiul al doilea, cu lăţimea de badă egală cu şi frecveţa cetrală 6 Fucţia de trasfer petru FTB de ordiul doi este dată de relaţia: a HTB ( ), b( + a) + a ude costatele a şi b se evalueaă î fucţie de frecveţa cetrală şi de lăţimea de badă a filtrului: a ω arccosb, B arccos + a Petru filtrul cosiderat frecveţa cetrală este 6, ca atare b cos6 9, iar bada este, adică: a cos 9 + a Pe a îl aflăm reolvâd ecuaţia de ordiul doi ± 679 ± 756 a 5 9a a+ 9 a, 6 6 a 96 Fucţiile de trasfer corespuătoare FTB de ordiul al doilea sut: 5 H TB ( ) 5, H ( ) TB Petru ambele fucţii de trasfer avem erourile:, ± 666 ± 77 Polii fucţiei HTB ( ) sut p, ± j675, iar modulul lor este 7, ceea ce e idică faptul că sut î iteriorul cercului uitate Ca atare, acest sistem este BIBO stabil 956 ± 75 Polii fucţiei HTB ( ) sut p, 57 ± j, iar modulul lor este, ceea ce e idică faptul că sut î afara cercului uitate Ca atare, această fucţie u este stabilă 5

26 Problema Evaluarea fucției de sistem: Se urmăreşte evaluarea fucţiei de sistem petru u filtru cu răspus fiit la impuls, de faă liiară, cu coeficieţi reali, căruia i se cuoaşte ordiul şi localiarea câtorva ditre erouri Cosiderăm u filtru cu răspus fiit la impuls de faă liiară, cu coeficieţi reali, cu M, cu erourile localiate astfel: 5, + j5, + j Petru determiarea fucţiei de sistem, iiţial trebuie localiate celelalte cici erouri Deoarece ordiul filtrului cu răspus fiit la impuls este M, trebuie să avem erouri Zeroul real 5 determiă existeţa îcă a uui erou real, reciprocul său: 5 Zeroul complex + j5, aflâdu-se î iteriorul cercului uitate ( 5), determiă existeţa eroului complex-cojugat: precum şi a erourilor reciproce: * j5 + j5 5 + j + j j + j * Zeroul complex + j, aflâdu-se pe cercul uitate ( ), determiă existeţa * eroului complex-cojugat: Fucţia de trasfer corespuătoare acestor erouri va fi: M ( ) H Problema FTJ cu poli: Cosiderâd u FTJ cu doi poli, caracteriat de fucţia de sistem: b H( ), se doreşte determiarea valorile parametrilor b p şi p, astfel îcât răspusul î frecveţă, H ( ω ), să satisfacă codiţiile: H şi H Răspusul î frecveţă corespuător acestui FTJ este: b H ( ω) ( pe ω ) b La frecveţa ω, avem: H( ) b p ( p) La frecveţa ω, avem: Deci H ( p) ( p) b pe p cos si p + jp ( p) ( p) H p p p + ( p p + p + p ) 6

27 ± ( p) p + p p p+ p, Valoarea p satisface această ecuaţie Î coseciţă, fucţia de sistem corespuătoare filtrului dorit este: H( ) Problema 5 FTB: Se urmăreşte proiectarea uui FTB, cu frecveţa cetrală la ω şi cu caracteristica răspusului î frecveţă de valoare ulă la ω şi ω Valoarea modului răspusului î frecveţă este la ω 9 Deoarece frecveţa cetrală este ω, filtrul va avea polii: p re Caracteristica răspusului î frecveţă are valoare ulă la ω şi ω, deci erourile vor fi: j e și j e Î coseciţă, fucţia de sistem este: ( )( + ) H( ) G G r + jr + r Factorul de câştig, G, se determiă evaluâd răspusul î frecveţă al filtrului, adică: j, ± j H ω, la ω, e r H G G G j r + re H ω, la ω 9, adică: Valoarea lui r se determiă evaluâd răspusul î frecveţă, 9 ( ) cos si r + j r e H re + r cos r si cos si r + ( ) cos 9 9 r 9 r cos r si + r cos + r r cos + r cos + r r r ± 569 r, 65 ± 7 r trebuie să aibă o valoare subuitară, ca atare soluţia aleasă este este G 55 Fucţia de sistem corespuătoare FTB proiectat este: H( ) r 69, de ude valoarea câştigului Problema 6 Filtru de rejecție obțiut di FTS: Acest exemplu ilustreaă covertirea uui FTS îtru filtru de rejecţie Se cosideră u FTS cu fucţia de sistem: H( ), a<, şi se doreşte a obţierea uui filtru de rejecţie, ce rejecteaă frecveţa ω şi armoicele corepuătoare 7

28 Petru filtrul de rejecţie se vor determia ecuaţia cu difereţe fiite şi coeficieţi costaţi şi diagrama poli-erouri Frecveţele ce trebuie rejectate sut: ω, ±, ±, ±,, ca atare fucţia de trasfer va fi de ordi (trebuie să aibă erouri): Y ( ) H( ) a X Ecuaţia cu difereţe fiite corespuătoare este: y ay + x x ± Fucţia de sistem corespuătoare filtrului de rejecţie are erouri la, j ± e, e j ±, e j, ± şi poli la, j ± p a ae, ae j ±, ae j, a Răspusul î frecveţă al filtrului de rejecţie este dat de relaţia ω ω jω ω e ( e e ω e ) e cosω H ( ω) ω ae a cosω+ ja si ω a cosω+ ja si ω cosω ( ω) H acosω + a arcsiω arcta, cosω arccosω H ( ω) arcsiω arcta, cosω < arccosω Răspusul î frecveţă al FTS este dat de relaţia: ω ω ω e e cos H ( ω) ω ae a cosω+ ja siω Petru FTS modulul răspusului î frecveţă este: ω cos H ω, acosω + a iar faa răspusului î frecveţă: H ( ω) arcsiω ω arcta, cos arccosω arcsiω ω arcta, cos < arccosω Capitolul Filtre cu răspus fiit la impuls Problema 7 Evaluarea răspusului î frecveță: Se cosideră u sistem LTI cu răspusul la impuls, h( ), real şi lugimea M, pară Se doreşte determiarea răspusului î frecveţă, H ( ω ), ştiid că a cosω partea reală a răspusului î fecveţă este HR ( ω), a < acosω + a Prima dată evaluăm secveţa pară h( ), pe care o otăm hpar H ( ω) H ( ) j, ω R R e Meţioăm că

29 ude H R ( ) Probleme reolvate a a a + a a + a a a a a + a + + a + a a a Se observă că polii sut p ( a)( a ) ( a ) ( a ) a a a şi p a Sistemul fiid stabil, cercul uitate este cupris î regiuea de covergeţă, care va fi u iel circular cupris ître p şi p, care coţie cercul uitate Adică, regiuea de covergeţă (ROC Regio of Covergece) este: ROC: a < < a Î coseciţă, hpar ( ) este o secveţă bilaterală, î care polul p p a, o parte ecauală Aplicâd trasformata î iversă lui H h ( ) Î prealabil H par R trebuie descompus î fracţii simple: a determiă o parte cauală, iar polul A A HR ( ) + a a + + a a a a + a a A a a a a a a a + + a + A a a aa a a a a aa a a HR + a a Partea pară a răspusului la impuls va fi: ( ) R, vom obţie secveţa ( a ) hpar ( ) Z { HR ( ) } + a a + a a + δ ( ) a Răspusul la impul î fucţie de partea pară a răspusului la impuls este: h h u h δ, par Deci, răspusul total la impuls este: iar trasformata sa Fourier: H par a u( ) h ( ω), ae ω Problema FTJ cu răspus fiit la impuls: Se urmăreşte determiarea fucţiei de sistem, răspusului î frecveţă, răspusului la impuls (simetric) şi ecuaţiei de itare-ieşire corespuătoare uui FTJ FIR de faă liiară, de lugime, al cărui răspus î frecveţă satisface codiţiile: H R şi H R 9

30 Fiid vorba despre u filtru FIR, de lugime M, fucţia de sistem este: ( ) ( ) H b h h h h h Răspusul la impuls fiid smetric şi M, avem: h( ) h( ) h( ) h( M ) h h Ca atare, fucţia de sistem poate fi scrisă ca: H h + h + h + h Ştiid că: răspusul î fecveţă este: ( ω) j H H ω e ( ω) ( ) ( ) H h h e h e h e ω ω jω Filtrul FIR, fiid de faă liiară: H( ω) e h( ) e + h e + h e + h( ) e ω ω ω ω ω j j e h( ) e + e + h e + e ω ω ω ω ω j j ω ω ω ω ω ω e h( ) cos + h cos e h( ) cos + h cos Di H R ( ) şi H R vom obţie u sistem de două ecuaţii cu două ecuoscute, adică: ( h( ) + h ) h( ) + h h( ) h h( ) + h h( ) + h + h + h h( ) h h( ) h ( ) h ( ) + h + h + h ( ) Fucţia de sistem corespuătoare filtrulu FIR este: H( ) ( + ) + ( + ) iar răspusul î frecveţă ω ω ω + ω ω ω H ω e cos + cos e cos + + cos Dar ( ω) ( ω) H H e Î coseciţă, modulul răspusului î frecveţă este: j H( ω) ω + ω H ( ω) cos + cos iar faa răspusului î frecveţă: ω ω + ω, cos + cos > H ( ω) ω ω + ω, cos + cos <

31 Se poate evalua şi timpul de îtăriere de grup: d H( ω) τg ( ω) dω Petru filtrele FIR de faă liiară, petru orice M (par sau impar), timpul de îtâriere de grup are valoare costată: d H( ω) M τg ( ω) α dω Răspusul la impuls este: + + h( ),,, { 7,7,7,7} iar ecuaţia de itrare-ieşire: + + y( ) x( ) + x( ) + x( ) + x( ) + x( ) + x( ) + x( ) + x( ) Capitolul Filtre cu răspus ifiit la impuls Problema 9 Obțierea uui filtru digital ditr-uul aalogic pri metoda ivariaței răspusului la impuls: Se urmăreşte trasformarea uui filtru aalogic îtr-uul digital IIR, folosid metoda ivariaţei răspusului la impuls s + Se cosideră u filtru aalogic descris pri fucţia de sistem: Ha ( s) ( s + ) + 9 Prima dată determiăm eroul şi polii fucţiei de sistem aalogice: s+ ero s+ + 9 s + s+ 9 ± 6 66 ± 6 ± j6 p, ± j p polii p + j Cei doi poli au valori complex-cojugate h t, ci se determiă Petru proiectarea filtrului IIR u trebuie determiat răspusul la impuls a direct H( ), după ce î prealabil H ( s ) se descompue î fracţii simple, astfel: a A A Ha ( s) + s+ + j s+ s+ + j A sj s+ + j6 sj s+ + j + j A s + j s+ + j + j + + j j6 s + j Ha ( s) + s+ + j s+ Pe baa relaţiilor () (5) N N c c Ha ( s), H( ) pt s p e e pt,, N

32 obţiem fucţia de trasfer a filtrului digital, de forma : H( ) + T T T jt e e e e Cei doi poli complex-cojugaţi pot fi combiaţi petru a forma u filtru cu doi poli, cu fucţia de sistem: T jt T T T T T e e + e e e ( e + e ) H( ) T T T jt T T T T e e e e e e + e + e T T e cos T e cos T T T T T e cost + e e cost + e Se observă că eroarea de alias este mai semificativă la T 5, decât la T Odată cu modificarea lui T, frecveţa de reoaţă se deplaseaă; petru valori mici a lui T, eroarea de alias este micşorată Problema Obţierea uui filtru digital ditr-uul aalogic pri metoda trasformării biliiare: Acest exemplu urmăreşte trasformarea uui filtru aalogic îtr-uul digital IIR, folosid metoda ivariaţei răspusului la impuls s + 5 Se cosideră u filtru aalogic descris pri fucţia de sistem: Ha ( s) Filtrul s digital trebuie să aibă frecveţa de reoaţă la ω r Se observă că frecveţa de reoaţă corespuătoare filtrului aalogic este Ω r Această frecveţă aalogică trebuie mapată î frecveţa discretă ωr, selectâd o valoare corespuătoare petru parametrul T Di relaţia () ωr Ω r ta ta, T T T reultă că T Î cocluie, maparea care trebuie făcută coform relaţiei (7) petru obţierea filtrului digital este: s + Filtrul digital va avea fucţia de sistem: H( ) ( )( + ) + 5( + ) ( ) + ( )( + ) + ( + ) 6 65 s T Obsevăm că la umitor, coeficietul lui are o valoare mică (poate fi aproximat cu ero Fucţia de H va fi î acest ca: sistem H Polii şi erourile acestui filtru sut: ± p, 975e j 9976, 996 Î acest exemplu, parametrul T a fost ales astfel îcât frecveţa de reoaţă corespuătoare filtrului aalogic să corespudă cu frecveţa de reoaţă a filtrului digital,

33 De obicei, proiectarea filtrului îcepe cu specificaţiile î domeiul digital Aceste specificaţii î Ω T ta ω frecveţă sut trasformate î domeiul aalogic, pri relaţia () Filtrul aalogic este proiectat petru aceste specificaţii şi covertit îtr-u filtru digital pri H, astfel trasformarea biliiară (7) Î această procedură parametrul T dispare di expresia lui îcât poate avea o valoare arbitrară Problema ilustreaă acest lucru Problema Obțierea uui FTJ digital ditr-uul aalogic pri metoda trasformării biliiare: Se doreşte proiectare uui FTJ IIR, porid de la u FTJ aalogic, folosid metoda trasformării biliiare Se urmăreşte proiectarea uui FTJ, cu u sigur pol, cu lăţimea de badă la db, pri Ω p trasformarea biliiară aplicată filtrului aalogic Ha ( s), ude Ω p este lăţimea de badă a s +Ω p filtrului aalogic la db Î domeiul aalogic, frecveţa discretă ωp corespude la ωp Ω p ta ta T T T Fucţia de sistem corespuătoare filtrului aalogic este Ha ( s) T s + T Aplicâd trasformarea biliiară, reultă: 77 T + + H T + T Răspusul î frecveţă corespuător filtrului digital este: ω 77( + e ) H ( ω) ω 5e La H şi la ω H 77 (răspusul dorit) ω,, Problema Metoda Padé, parametrii IIR: Acest exemplu urmăreşte evaluarea parametrilor uui filtru h, folosid metoda Padé IIR petru care se ştie răspusul al impuls dorit, filtrului cu fucţia de sistem: H( ) d Se presupue că răspusul la impuls dorit este: hd ( ) u( ) Se vor determia parametrii b + b, folosid aproximarea Padé + a Î acest exemplu, H( ) se poate potrivi exact cu Hd ( ), selectâd parametrii după cum urmeaă: b, b, a Vom aplica acum aproximarea Padé, să vedem dacă îtr-adevăr obţiem acelaşi reultat H impulsul uitate, obţiem răspusul la impuls Cosiderâd la itrarea lui h( ) ah( ) + bδ ( ) + bδ ( ) Petru avem ah( ) h ( ) a h ( ) h d d

34 Îlocuid h d Probleme reolvate dat iiţial î ultima relaţie, obţiem: u( ) a u( ) u( ) au ( ) a b folosim relaţia Petru a afla costatele b şi cu codiţia h( ) h ( ) h ah ah anh N + b d Cosiderâd îl obţiem pe b + b b Cosiderâd îl obţiem pe b Î cocluie + b b H( ) Hd ( ) Acest exemplu arată că aproximarea Padé are ca reultat o potrivire perfectă cu H d, câd fucţia de sistem dorită este o fucţie raţioală şi se cuoaşte umărul de poli şi erouri di fucţia de sistem h se determiă di specificaţiile Acesta lucru u se îtâmplă î geeral î practică, deoarece d răspusului dorit î frecveţă, H d ω O soluţie de a obţie o aproximare buă a filtrului dorit cu metoda Padé, este de a îcerca diverse valori petru M şi N, pâă câd răspusul î frecveţă al filtrului reultat coverge la răspusul î frecveţă dorit cu o eroare de aproximare acceptabil de mică Problema Proiectare FTB: Se doreşte proiectarea uui FTB, calat pe frecveţa ω, petru care: H Se va determia fucţia de sistem corespuătoare şi răspusul la impuls Fiid vorba despre u FTB calat pe frecveţa ω, polii corespuători sut: ± j ± jω p, re re r cos ± j si ± jr, iar fucţia de trasfer este: G G G H( ) ( p )( ) ( )( p + jr r ) + r Vom evalua acum răspusul î frecveţă corespuător FTB: G G H( ω) H( ) e j ω ω + re + r ( cosω jsi ω) Modulul răspusului î frecveţă este: G G H ( ω) cos + r cosω + r si ω + r ω + r Dar H şi H, ca atare vom avea u sistem de două ecuaţii cu două ecuoscute:

35 G + r cos + r G + r + r r + r G G G + r G r + r r r + + r + r cos + r 7 t 5 r, ± 67 r t ± 6 6 ± 7 r r + t, t r, ± 9 + r Valoare lui r trebuie să fie poitivă şi subuitară, aşa că alegem r 67 G Fucţia de trasfer este: H( ) 5 + H î fracţii simple: Petru a obţie răspusul la impuls, trebuie să despărţim j67 j67 + H 75( 67) 75( 67) 75( 67) h + j u j + u Capitolul Structuri petru implemetarea sistemelor discrete Problema Filtru FIR: Acest exemplu urmăreşte descrierea modului de realiare a formei directe şi a celei laticiale petru u filtru FIR Se va realia implemetarea î formă directă şi laticială şi se vor determia ecuaţiile de itrareieşire corespuătoare, petru filtrul FIR cu fucţia de sistem: 5 H( ) Fucţia de trasfer petru u filtru FIR este dată de relaţia (), iar răspusul la impuls al acestuia este idetic cu coeficieţii b Petru filtrul cosiderat M ; răspusul la impuls este: 5 h( ),,,, iar implemetarea î formă directă este cea di figura 5 Figura Forma directă petru filtrul FIR H( ) Ieşirea filtrului FIR este dată de relaţia (6), adică 5 y( ) x( ) + x( ) + x( ) + x( ) Petru implemetarea laticială fucţia de trasfer a uui filtru FIR este H( ) A ( ) 5 H( ) A ( ) + + +, adică M 5

36 , dat de 5 B ( ) Folosid testul de stabilitate Schür-Coh, dat de relaţia (5), petru m, obţiem A( ) KB ( ) A K A ( ) + + Pri urmare K α, iar poliomul reciproc B ( ) este B ( ) + + Repetâd decremetarea recursivă, petru m, obţiem: A( ) KB ( ) A K A ( ) + Pri urmare K α, iar poliomul reciproc B ( ) este B ( ) + Implemetarea laticială petru acest filtru FIR este cea di figura Se observă că K α ( ) Poliomul reciproc al lui A ( ) este B 5 H Figura Structura laticială petru filtrul FIR 6

37 Cu ajutorul ecuaţiilor recursive (), (9) şi ţiîd cot de relaţia (7), putem evalua ieşirea y Îcepem cu evaluarea ieşirilor corespuătoare primului stagiu, adică petru m : f( ) f( ) + Kg( ) x( ) + x( ) g( ) Kf( ) + g( ) x( ) + x( ) Cotiuăm cu m, evaluâd ieşirile celui de-al doilea stagiu f( ) f( ) + Kg( ) x( ) + x( ) + x + x f ( ) x( ) + x( ) + x( ) g( ) Kf( ) + g( ) x + x + x + x g ( ) x( ) + x( ) + x( ) y este dată de relaţia () Petru m, obţiem Î caul implemetării laticiale, ieşirea ieşirea y( ), corespuătoare filtrului FIR y( ) f ( ) f ( ) + K g ( ) x + x + x + x + x + x 5 y( ) x( ) + x( ) + x( ) + x( ) ( ) Problema 5 Determiarea filtrului FIR pe baa coeficieților laticiali: Se doreşte determiarea fucţiei de trasfer a uui filtru FIR, cuoscâdu-se coeficieţii laticiali Se cosideră coeficieţii laticiali: K, K şi K, H şi corespuători uei structuri laticiale cu trei stagii Se va determia fucţia de trasfer coeficieţii filtrului FIR petru realiarea î forma directă α m ( ), răspusul la impuls al filtrului h ( ) şi ieşirea sistemului y( ) Î fial se vor ilustra grafic structura laticală şi implemetarea î formă directă Petru determiarea fucţiei de trasfer şi a coeficieţilor filtrului FIR petru implemetarea î formă directă, se vor utilia relaţiile () (5) Problema se reolvă recursiv, îcepîd cu m A( ) A( ) K + B( ) + Pri urmare, coeficieţii filtrului FIR corespuători structurii laticiale cu u sigur stagiu, sut daţi de relaţiile () (5), adică α( ) α K Deoarece Bm ( ) este reciprocul lui Am ( ) B ( ) + Se adaugă al doilea stagiu structurii laticiale Petru m, reultă A( ) A( ) K B( ) Parametrii filtrului FIR corespuători structurii laticiale cu două stagii sut: α() α() α() 7

38 iar poliomul reciproc B ( ) este B ( ) + + Î fial, pri adăugarea celui de-al treilea stagiu î structura laticială, reultă poliomul A ( ) A( ) A( ) + K B( ) şi, ca urmare, filtrul FIR î formă directă este caracteriat de coeficieţii α() α() α() α() B este B ( ) + + H A, adică iar poliomul reciproc Î caul sistemului FIR, fucţia de trasfer H( ) A ( ) + + Petru determiarea răspusului la impuls se aplică trasformata î iversă fucţiei de sistem: h( ) Z { H( ) },,, Cosiderâd relaţia (6), ieşirea sistemului este y( ) x( ) + x( ) x( ) + x( ) Avâd daţi coeficieţii laticiali, implemetarea corespuătoare este cea di figura 5 M H + + Figura 5 Structura laticială petru filtrul FIR Cu coeficieţii formei directe evaluaţi aterior α() α() α() α() putem realia implemetarea acestui filtru, ca î figura 6 H + + Figura 6 Structura directă petru filtrul FIR Problema 6 Filtru FIR, implemetare cu eșatioare î frecveță: Se urmăreşte implemetarea uui filtru cu răspus fiit la impuls, petru care se cuosc valorile eşatioaeleor î domeiul frecveţă Se va realia atât implemetarea î formă directă, cât şi cea cu eşatioare î frecveţă, petru a evideţia complexitatea de calculul petru cele două structuri Se cosideră filtrul FIR cu faă liiară, cu M 5 şi α, descris de eşatioaele î frecveţă:,,, H,, 5,,7

39 Deoarece filtrul este de faă liiară, răspusul său la impuls preită o formă de simetrie, care va coduce, î caul implemetării î forma directă, la reducerea umărului de multiplicări de la 5 la Numărul de sumatoare este Diagrama bloc a formei directe de implemetare este ilustrată î figura 7 Figura 7 Implemetarea î formă directă petru filtrul FIR de faă liiară cu M 5 Petru implemetarea cu eşatioare î frecveţă folosim relaţiile (7), (9), respectiv () H şi perechile şi elimiăm toţi coeficieţii cu câştig ero, H( ) Coeficieţii cu câştig eul sut corespuătoare H( M ), petru, Petru M 5, fucţiile de trasfer H ( ), respectiv H ( ) sut: H ( ) 5 H ( ) ( ), 5 ( 5 )/ H( ) A + B + cos + 5 A + B A + B A( ) + B( ) cos + cos + cos j 5 5 A H( ) + H( M ), + ( ) B H e H M e Cosiderâd răspusul la impuls simetric, obţiem succesiv: petru A H + H petru petru j 5 5 B H e + H( ) e cos 5 A H + H j 5 5 B H e + H( ) e cos 5 A( ) H( ) + H 6 6 j B( ) H( ) e + H e cos 5 H este 6 + cos + cos + cos cos + cos + cos Î coseciţă, H ( ) 9

40 Deoarece H Probleme reolvate, filtrul cu u sigur pol u ecesită operaţii de multiplicare Cele trei filtre cu doi poli ecesită trei multiplicări fiecare, deci, î total, ouă multiplicări Numărul total de aduări este Pri urmare, implemetarea cu eşatioare î frecveţă a filtrului FIR este, di puct de vedere al calculului, mult mai eficietă decât forma directă de implemetare Diagrama bloc petru acest tip de implemetare este cea di figura Figura Implemetarea cu eşatioare î frecveţă, FIR de faă liiară, M 5 Problema 7 Filtru FIR, implemetare cascadă: Acest exemplu ilustreaă implemetarea î forma cascadă petru u sistem FIR, căruia i se cuoaşte relaţia de itrare-ieşire Se cosideră sitemul descris de ecuaţia cu difereţe fiite şi coeficieţi costaţi: 5 y( ) x( ) cos x( ) x( ) + cos x( ) x( ) Se va determia fucţia de sistem corespuătoare şi se va implemeta sistemul î forma cascadă Fiid vorba despre u sistem FIR, relaţia de itrare-ieşire este dată de ecuaţia (), iar fucţia de sistem de ecuaţia () Ca atare, fucţia de trasfer corespuătoare acestui sistem este 5 H( ) cos + cos Fucţia de trasfer se poate obţie şi aplicâd trasformata î, ecuaţiei cu difereţe fiite: 5 Y ( ) X ( ) cos X ( ) X ( ) + cos X ( ) X ( ) Y ( ) X ( ) cos + cos Y ( ) 5 H( ) cos + cos X

41 Implemetarea î cascadă presupue scrierea fucţiei de sistem dată de relaţia () sub forma H,, K, ca î relaţia () ude, î caul implemetării cu module de uui produs de factori ordiul doi: H + b + b Petru că fucţia de trasfer este de ordiul patru, petru implemetarea î cascadă, avem: H H H Î prealabil trebuie aflate rădăciile fucţie de trasfer, adică erourile fucţiei Se observă că şi sut două ditre soluţii, de ude reultă: Petru aflarea lui ( )( ) H + H, împărţim H( ) la 5 cos + cos H : / cos + + cos cos cos 7 7 / + / 6 6 / / / / cos Zerourile lui H sut H cos cos ± cos cos ± cos cos ± j si , ± j 7, e Î cocluie, cele două fucţii de sistem sut: H ( ) ( )( + ) 7 j 7 H ( ) cos + e e 7 6 iar implemetarea î cascadă este ilustrată î figura 9 Figura 9 Implemetarea î forma cascadă petru filtrul FIR

42 Problema Filtru IIR, implemetare directă, cascadă și paralelă: Se cosideră u sistem cu poli şi erouri descris de fucţia de sistem j + e e 5 5 H( ) j ( )( + ) e e y şi se va implemeta sistemul î forma I directă, forma caoică, Se va determia ieşirea sitemului forma cascadă, respectiv forma paralelă Fiid vorba despre u sistem IIR cu poli şi erouri, ieşirea este dată de relaţia (), iar fucţia de trasfer de relaţia () Petru sistemul cosiderat N şi M Fucţia de trasfer este: + cos H( ) ( ) cos + ( ) H( ) Ieşirea, ţiâd cot de coeficieţii a şi b 5 a a a a b b b b b este 5 y( ) y( ) + y( ) y( ) + y( ) x( ) x( ) x( ) + x( ) x( ) Petru implemetarea sub forma I directă, fucţia de sistem trebuie scrisă ca u produs de două fucţii de sistem: ua care coţie toate erourile fucţiei de trasfer, şi ua care coţie toţi polii acesteia, ca î relaţiile (55) (57) Î caul de faţă 9 H ( ) H ( ) iar implemetarea sub forma I directă este cea di figura Dacă se plaseaă filtrul umai cu poli, îaitea celui care are doar erouri, se obţie forma caoică (forma a II-a directă), ca î figura Petru implemetarea sub forma cascadă sistemul trebuie diviat îtr-o cascadă de subsisteme de ordiul doi, ca î relaţia (5), ude fiecare subsistem este de forma (59) Rădăciile complexcojugate, atât petru umărător, cât şi petru umitor, vor fi combiate împreuă, petru a evita calculele cu umere complexe Sistemul propus va fi compus ditr-o cascadă de două susbsisteme de ordiul al doilea, date de relaţiile: + + H ( ) 6 +