2. Probleme rezolvate Principiile termodinamicii şi ecuaţii de stare

Transcript

1 76. robleme rezolvate În ontinuare vom analiza problemele de bază propuse pentru rezolvare în timpul leţiilor pratie [3]... rinipiile termodinamiii şi euaţii de stare roblema. Folosind prima lege a termodinamiii, să se determine legătura dintre apaităţile termie ale sistemului şi. Rezolvare: Fie ă starea sistemului este dată în funţie de volumul şi temperatura. Energia internă a sistemului în starea de ehilibru ( ),. Atuni d d d. (.) Cantitatea de ăldură obţinută de sistem în proesul vasistati, d d dq d d, (.) iar daă proesul are lo la volum onstant, atuni d dq,. (.3) Capaitatea termiă la presiune onstantă este Q, (.4) astfel înât:. (.5)

2 Rezultatul obţinut îl vom aplia pentru gazul ideal, desris în euaţia de stare (.3). Conform legii lui Joule (pag.3), energia gazului ideal, are se găseşte la temperatură onstantă, nu depinde de volumul pe are îl oupă. Astfel, pentru gazul ideal. (.6) Din (.3) rezultă m R µ (.7) şi, prin urmare, obţinem formula (.4) pentru m µ moli de gaz: m R. µ (.8) roblema. Să se determine entropia a n moli de gaz ideal (perfet). Rezolvare: om folosi expresia pentru diferenţiala entropiei (.3), unde substituim (vezi (.)) dq d d. Astfel, dq d d ds. (.9) În funţie de parametrii şi ( S S(, )), ţinând ont de d d (.3), reprezentăm ds nc R. Daă C este onsiderată onstantă, atuni S n( C ln R ln ) S, (.) unde S este o onstantă de integrare. S Din (.9) rezultă:. (.) Daă examinăm entropia în funţie de parametrii şi ( S S(,) ), atuni, reprezentând euaţia de stare în forma,, obţinem: ( ) 77

3 78 d d d nr d d, iar din (.9) rezultă: ( ) d R d R C n ds (.) şi ( ) ln ln S R C n S. (.3) În mod analogi se determină funţia ( ), S S. roblema 3. Să se afle entropia gazului van der Waals şi să se determine euaţia adiabatei lui. Rezolvare: Expresia (.) pentru dq se va substitui în (.3). Se obţine: d d ds. (.4) Deoaree (.4) este diferenţiala totală, atuni are lo ondiţia de egalitate a derivatelor mixte de ordinul doi (vezi şi p..8). Calulând derivatele, şi egalâd relaţiile obţinute, u ondiţia ă energia internă este funţie de stare, se obţine:, (.5) a rezultat al apliării legii a doua a termodinamiii pentru sistemul eretat. Din (.4) urmează:

4 ds d d. (.6) Folosind euaţia van der Waals (vezi pag.) pentru n, se obţine: R a b, de unde R, b (.7) astfel înât d d ds C R b (.8) Capaitatea termiă C, are se onţine în (.8), depinde doar de. Într-adevăr, diferenţiind (.5) după, se obţine: sau. (.9) Conform relaţiei (.7), pentru gazele reale partea dreaptă a formulei (.9) este egală u zero. Definitiv se obţine: d S n C R ln( b) S. (.) Într-un proes adiabati S onst şi d C Rln ( b) onst R d b exp C. (.) sau ( ) onst roblema 4. Să se determine energia internă a gazului, are se desrie de euaţia van der Waals. Rezolvare: Înlouind în formula (.5) expresia R a, (.) b 79

5 8 se obţine: a, (.3) de unde rezultă: ( ) ( ) f a,. (.4) Diferenţiind (.4) după, obţinem: ( ) C d df, onst d C f ) (. Astfel, onst a d C ), (. (.5) roblema 5. Să se determine în variabilele: a), ; b),. Rezolvare: a) Înlouind relaţia (.5) în formula generală (.5), pentru se obţine:, (.6) Din euaţia de stare în formă diferenţială (.) rezultă egalitatea, astfel înât. (.7) b) Din euaţia de stare (.) avem:

6 şi. (.8) roblema 6. Să se aluleze C C pentru gazul van der Waals. Rezolvare: Folosind euaţia van der Waals (vezi pag.) pentru n, se obţine: R R a,. (.9) 3 b ( b) Substituind aeste expresii în formula (.7), se obţine: R C C. (.3) a ( b) 3 R În azul gazelor rarefiate, desompunând rezultatul obţinut în serie după oreţiile lui van der Waals şi limitându-ne la termenii mii de ordinul întâi, se poate srie: a C C R (.3) R a sau C C R. (.3) R ( ) roblema 7. Exprimaţi diferenţa apaităţilor termie prin oefiienţii termii. Rezolvare: Coefiienţii termii se determină prin relaţiile de la pag.: Coefiientul de ompresibilitate izotermă: Coefiientul izobar de dilatare termiă: κ ; α ; 8

7 Coefiientul izoor al presiunii: β, unde şi sunt, respetiv, volumul mediu şi presiunea medie a sistemului. Din (.8) se obţine: α. κ (.33) roblema 8. oate să se realizeze egalitatea pentru apă? Rezolvare: oate, deoaree pentru apă t < 4 C, α < ; < t 4 C, α ; t 4 C, α >. > roblema 9. Arătaţi ă în intervalul de temperatură < t <4 C apa la omprimare adiabatiă se răeşte, dar nu se înălzeşte a restul substanţelor lihide şi gazoase. Rezolvare: Folosim prima lege a termodinamiii (.), pe are o reprezentăm u ajutorul formulei (.5) şi oefiienţilor termii de mai sus în felul următor: α dq d d. (.34) κ α În azul proesului adiabati dq, astfel înât d d. κ La omprimare d < şi, deoaree în intervalul t < 4 C, α <, rezultă ă d <. < roblema. În termodinamiă, de rând u modulul de ε κ, se introdue prin elastiitate izotermi ( ) analogie modulul de elastiitate adiabati ε S ( ) S. Să se 8

8 83 determine raportul S ε ε şi să se aluleze viteza sunetului în gazul ideal. Rezolvare: Introduând apaităţile termie în euaţia (vezi (.)) d d dq d d, pentru proesul adiabati se obţine relaţia: ( ) d d γ, unde γ. (.35) entru a srie aeastă euaţie în variabilele şi, folosim euaţia de stare: d d d. (.36) Substituind relaţia (.36) în (.35), obţinem: d d γ (.37) sau S γ, (.38) unde a fost folosită euaţia de stare în formă diferenţială (.). Astfel, γ ε ε S S. (.39) Într-un mediu elasti viteza de propagare a undelor longitudinale ρ ε u, unde ε este modulul de elastiitate, iar ρ este densitatea mediului. Răspândirea sunetului în lihid sau gaz onstituie un proes adiabati, deoaree viteza de omprimare şi rarefiere a mediului elasti la răspândirea sunetului este atât de mare, înât în timpul perioadei de osilaţii nu are lo shimbul de ăldură. Astfel, ρ γ ρ γ ε ρ ε S u. (.4)

9 Introduând volumul molar obţine: µ ρ, unde µ este masa molară, se γ u. (.4) µ În az partiular, pentru un mol de gaz ideal desris de euaţia (.3), putem srie: γ R u id. (.4) µ Formula (.4) stă la baza uneia dintre ele mai exate metode de determinare a raportului. roblema. Să se determine viteza undei sonore, are se propagă în gazul real desris de euaţia van der Waals. Rezolvare: Folosind a doua relaţie din formulele (.9), din (.4) rezultă: γ R a u uid 3 µ ( b) b a R. (.43) roblema. Să se arate reşterea entropiei la transmiterea ăldurii de la un orp mai ald la altul mai ree. Să se onsidere ă temperaturile orpurilor vor deveni egale, iar apaităţile termie nu depind de temperatură (gaz perfet). Rezolvare: Notăm masa, apaitatea termiă speifiă şi temperatura orpurilor respetiv prin m,, şi m,,. Fie. Din euaţia bilanţului termi pentru azul ând apaitatea termiă nu depinde de temperatură, aflăm temperatura finală m m. (.44) m m ariaţia entropiei la transmiterea de ăldură este 84

10 dq S dq mln mln. (.45) Introduând parametrul x şi notând m C şi m, obţinem reprezentarea C ( x) C C x S f Cln Cln. (.46) C C C C C x C Când, x şi S f ( ). CC Când >, x> şi f ( x) >, iar, prin C Cx x urmare, f ( x) > f () şi S >. roblema 3. Două gaze identie perfete, are onstau din aelaşi număr de moli n, dar are au temperaturi diferite şi, se află în două vase u volumele şi. resiunea. asele sunt apoi reunite. Să se găseasă variaţia entropiei, onsiderând apaitatea termiă onstantă. Rezolvare: ână la unirea vaselor, entropia ambelor gaze (egală u suma entropiilor lor), onform euaţiei (.3) obţinute în problema, este S n ( Cln R ln). (.47) ermenul onstant îl omitem. După unirea vaselor, temperatura gazelor se egalează. Alătuind euaţia bilanţului termi, aflăm în azul apaităţii termie onstante temperatura omună a gazelor: ( ). (.48) Astfel, gazul onstă din n moli şi oupă volumul n R ( ), iar presiunea sa rămâne aeeaşi: 85

11 R n. (.49) Entropia gazului, atuni ând vasele sunt reunite, este S nc ln R ln. (.5) Astfel, variaţia entropiei ( ) S S S nc ln >. (.5) 4 roblema 4. Două gaze ideale identie, are au aeeaşi temperatură şi aelaşi număr de moli, dar sunt la presiuni diferite şi, se află în două vase. asele apoi se reunes. Să se determine variaţia entropiei. Rezolvare: Deoaree apaitatea termiă a gazului ideal nu poate fi onsiderată onstantă, atuni din formula (.3) pentru entropie avem S n( ϕ ( ) R ln). (.5) ermenul onstant îl omitem, dat fiind faptul ă în problemă se va alula diferenţa entropiilor S. ână la unirea vaselor, entropia iniţială a ambelor gaze este egală u suma entropiilor lor (vezi proprietatea de aditivitate, pag.4) şi se determină din relaţia S n ( ϕ ( ) R ln ). (.53) După unirea vaselor, temperatura gazelor rămâne aeeaşi, deoaree se păstrează energia ambelor gaze, însă presiunea se determină din relaţia: ( ) nr, (.54) de unde rezultă:, (.55) iar entropia devine egală u 86

12 S n ϕ ( ) R ln (.56) şi, în final, variaţia de entropie, a diferenţă între (.56) şi (.53), este ( ) S nr ln >. (.57) 4 roblema 5. resupunând ă între entropia S şi numărul de mirostări ale sistemului Ω (sau, ehivalent, probabilitatea de stare W) există areva dependenţă funţională (prinipiul lui Boltzmann) şi apliând proprietăţile generale ale entropiei şi ale probabilităţii, să se determine relaţia lui Boltzmann S B k B ln Ω (vezi formula (.3)). Rezolvare: Conform prinipiului lui Boltzmann sris pentru probabilitatea de stare W, S B f (W ). (.58) Daă însă sistemul onstă din două subsisteme, atuni () () S B f ( W ), S B f ( W ) şi, în virtutea aditivităţii entropiei, se obţine: () () S S S f W f W f W. (.59) ( ) ( ) ( ) B B robabilităţile subsistemelor independente W W W, de f din (.59) se obţine: f W f W f W. (.6) aeea la determinarea funţiei ( W ) ( ) ( ) ( ) W Diferenţiind euaţia (.6) în raport u W şi W, putem srie: ( W ) f ( WW ) W şi f ( W ) f ( W W ) W f, (.6) de unde, înmulţind (.6) u probabilităţile W şi W, respetiv, obţinem egalitatea părţilor stângi ale expresiilor date: ( W ) W f ( W ) W onst f (.6) şi, în final, integrând formula (.6), pentru fieare probabilitate separat se obţine: 87

13 f ( W ) onst lnw. (.63) Revenind la (.58) şi la numărul de mirostări ale sistemului Ω, preum şi determinând onstanta din (.63) apliând aeastă euaţie pentru un gaz partiular, de exemplu, pentru gazul ideal, se obţine relaţia lui Boltzmann S B k B ln Ω... Metoda funţiilor arateristie roblema 6. Să se demonstreze ă H. Rezolvare: Din (.37): Din (.64) rezultă: dq ds dh (, ) d H H d. (.64) d H, (.65) H H. (.66) rin urmare, luând diferenţa dintre (.65) şi (.66), se obţine: H. (.67) roblema 7. Să se exprime derivatele entropiei ( S ) şi ( S ) prin oefiienţii termodinamii (vezi pag. şi problema 7). 88