Metode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare
|
|
|
- Λάχεσις Οικονόμου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Metode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare Eliminare gaussiană, descompunere LU, Cholesky Radu T. Trîmbiţaş Universitatea Babeş-Bolyai March 26, 2008 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
2 Descompunerea LU Descompunerea LU Transformă A C m m într-o matrice triunghiulară superior, U scăzând multiplii de linii Fiecare L i introduce zerouri sub diagonală în coloana i: 1 L m 1... L 2 L }{{} 1 A = U = A = LU unde L = L1 L Lm 1 L 1 A L L 1 A Triunghiularizare triunghiulară L L 2 L 1 A L 3 0 L 3 L 2 L 1 A Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
3 Matricele L k Matricele L k La pasul k se elimină elementele de sub A kk : x k = [ x 11 x kk x k+1,k x mk ] T L k x k = [ x 11 x kk 0 0 ] T Multiplicatorii l jk = x jk /x kk apar in L k : 1 L k =... 1 l k+1,k l mk 1 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
4 Construcţia lui L Construcţia lui L Matricea L conţine toţi multiplicatorii într-o singură matrice (cu semne +) L = L 1 1 L L 1 m 1 = 1 l 21 1 l 31 l l m1 l m2 l m,m 1 1 Definim l k = [0,..., 0, l k+1,k,..., l m,k ] T. Atunci L k = I l k e k. Avem Lk 1 = I + l k ek, deoarece e k l k = 0 şi ( I lk ek ) ( I + lk ek ) = I lk ek l kek = I De asemenea, Lk 1 L 1 k+1 = I + l kek + l k+1ek+1, deoarece e k l k+1 = 0 şi ( I + l k ek ) ( ) I + l k+1 ek+1 = I + l k ek + l k+1ek+1 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
5 Eliminare gaussiană fără pivotare Eliminare gaussiană fără pivotare Se factorizează A C m m în A = LU Eliminare gaussiană fără pivot U := A; L = I ; for k := 1 to m 1 do for j := k + 1 to m do l jk := u jk /u kk ; u j,k:m := u j,k:m l jk u k,k:m ; Ciclul interior poate fi scris utilizând operaţii matriciale în loc de cicluri for Număr de operaţii (complexitatea) m k=1 2(m k)(m k) 2 m k=1 k m3 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
6 Eliminare gaussiană cu produs exterior Eliminare gaussiană cu produs exterior Ciclul interior poate fi scris cu operaţii matriciale în loc de for Eliminare gaussiană cu produs exterior for k := 1 to m 1 do rows := k + 1 : m; A rows,k := A rows,k /A k,k ; A rows,rows := A rows,rows A rows,k A k,rows ; Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
7 Eliminare gaussiană cu produs exterior De ce este necesară pivotarea Necesitatea pivotării Să considerăm sistemul x 1 x 2 x 3 = cu soluţia exactă [0, 1, 1] T. Presupunem că lucrăm pe o maşină ipotetică cu AVF în baza 10, cu precizia de 5 cifre. Primul pas al eliminării gaussiene produce x x 2 = x Elementul (2,2) este mic in raport cu celelalte elemente ale matricei. Totuşi, să realizăm eliminarea fără interschimbări. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
8 Eliminare gaussiană cu produs exterior Necesitatea pivotării Pivotare Pasul următor (E 2 ) + (E 3 ) (E 3 ) ( 5 + ( ) (6) ) x 3 = ( ( ) (6.001) ) Rezultatul lui ( ) (6.001) este care nu este reprezentat exact pe maşina noastră ipotetică. Se rotunjeşte la Rezultatul este adăugat la 2.5 şi rotunjit din nou. Ambele cifre 5 marcate ( ) x 3 = ( ) se pierd datorită erorilor de rotunjire. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
9 Pivotare Eliminare gaussiană cu produs exterior Necesitatea pivotării Pe maşina noastră ipotetică, ultima ecuaţie devine x 3 = Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
10 Pivotare Eliminare gaussiană cu produs exterior Necesitatea pivotării Pe maşina noastră ipotetică, ultima ecuaţie devine Substituţia inversă începe cu x 3 = x 3 = comparat cu soluţia exacta x 3 = = , Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
11 Pivotare Eliminare gaussiană cu produs exterior Necesitatea pivotării Pe maşina noastră ipotetică, ultima ecuaţie devine Substituţia inversă începe cu x 3 = x 3 = comparat cu soluţia exacta x 3 = 1. Ecuaţia a doua devine = , x = cu soluţia x 2 = = Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
12 Pivotare Eliminare gaussiană cu produs exterior Necesitatea pivotării În fine, x 1 se obţine din ecuaţia 10x 1 + ( 7)( 1.5) = 7, care dă x 1 = Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
13 Pivotare Eliminare gaussiană cu produs exterior Necesitatea pivotării În fine, x 1 se obţine din ecuaţia care dă 10x 1 + ( 7)( 1.5) = 7, x 1 = În loc de [0, 1, 1] T, am obţinut [ 0.35, 1.5, ] T. Inacceptabil! Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
14 Eliminare gaussiană cu produs exterior Necesitatea pivotării Pivotare În fine, x 1 se obţine din ecuaţia 10x 1 + ( 7)( 1.5) = 7, care dă x 1 = În loc de [0, 1, 1] T, am obţinut [ 0.35, 1.5, ] T. Inacceptabil! Nu am avut o acumulare a erorilor de rotunjire, iar matricea este bine condiţionată. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
15 Pivotare Eliminare gaussiană cu produs exterior Necesitatea pivotării Necazurile provin de la alegerea unui pivot mic la al doilea pas al eliminării. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
16 Eliminare gaussiană cu produs exterior Necesitatea pivotării Pivotare Necazurile provin de la alegerea unui pivot mic la al doilea pas al eliminării. Pivotul conduce la un multiplicator de , iar la ultima ecuaţie se ajunge la coeficienţi de 10 3 ori mai mari decât în problema originală. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
17 Eliminare gaussiană cu produs exterior Necesitatea pivotării Pivotare Necazurile provin de la alegerea unui pivot mic la al doilea pas al eliminării. Pivotul conduce la un multiplicator de , iar la ultima ecuaţie se ajunge la coeficienţi de 10 3 ori mai mari decât în problema originală. Erorile de rotunjire mici în raport cu aceşti coeficienţi sunt inacceptabile comparativ cu matricea originală şi soluţia exactă. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
18 Eliminare gaussiană cu produs exterior Necesitatea pivotării Pivotare Necazurile provin de la alegerea unui pivot mic la al doilea pas al eliminării. Pivotul conduce la un multiplicator de , iar la ultima ecuaţie se ajunge la coeficienţi de 10 3 ori mai mari decât în problema originală. Erorile de rotunjire mici în raport cu aceşti coeficienţi sunt inacceptabile comparativ cu matricea originală şi soluţia exactă. Eliminarea gaussiană fără pivotare este instabilă! Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
19 Eliminare gaussiană cu produs exterior Necesitatea pivotării Pivotare Necazurile provin de la alegerea unui pivot mic la al doilea pas al eliminării. Pivotul conduce la un multiplicator de , iar la ultima ecuaţie se ajunge la coeficienţi de 10 3 ori mai mari decât în problema originală. Erorile de rotunjire mici în raport cu aceşti coeficienţi sunt inacceptabile comparativ cu matricea originală şi soluţia exactă. Eliminarea gaussiană fără pivotare este instabilă! Dacă efectuăm (E 2 ) (E 3 ), nu mai apar multiplicatori mari şi rezultatul final este precis. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
20 Eliminare gaussiană cu produs exterior Necesitatea pivotării Pivotare Necazurile provin de la alegerea unui pivot mic la al doilea pas al eliminării. Pivotul conduce la un multiplicator de , iar la ultima ecuaţie se ajunge la coeficienţi de 10 3 ori mai mari decât în problema originală. Erorile de rotunjire mici în raport cu aceşti coeficienţi sunt inacceptabile comparativ cu matricea originală şi soluţia exactă. Eliminarea gaussiană fără pivotare este instabilă! Dacă efectuăm (E 2 ) (E 3 ), nu mai apar multiplicatori mari şi rezultatul final este precis. Dacă multiplicatorii sunt < 1 în modul avem garanţia că soluţia este precisă. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
21 Eliminare gaussiană cu produs exterior Necesitatea pivotării Pivotare Necazurile provin de la alegerea unui pivot mic la al doilea pas al eliminării. Pivotul conduce la un multiplicator de , iar la ultima ecuaţie se ajunge la coeficienţi de 10 3 ori mai mari decât în problema originală. Erorile de rotunjire mici în raport cu aceşti coeficienţi sunt inacceptabile comparativ cu matricea originală şi soluţia exactă. Eliminarea gaussiană fără pivotare este instabilă! Dacă efectuăm (E 2 ) (E 3 ), nu mai apar multiplicatori mari şi rezultatul final este precis. Dacă multiplicatorii sunt < 1 în modul avem garanţia că soluţia este precisă. Aceasta se asigură prin pivotare parţială. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
22 Pivotare Pivotare La pasul k, am utilizat elementul k, k al matricei ca pivot şi am introdus zerouri în poziţia k a liniilor rămase x kk x kk Dar, orice alt element i k din coloana k poate fi utilizat ca pivot: 0 0 x ik x ik 0 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
23 Pivotare Pivotare Pivotare De asemenea, se poate utiliza orice altă coloană j k: 0 0 x ij x ij 0 Alegând diferiţi pivoţi ne asigurăm că putem evita pivoţii nuli sau foarte mici În loc să utilizăm pivoţi în poziţii diferite, putem interschimba linii sau coloane şi să utilizăm algoritmul standard (pivotare) O implementare concretă poate face pivotarea indirect, fără a muta fizic datele Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
24 Pivotare parţială Pivotare Pivotare parţială Alegerea pivoţilor dintre toţi candidaţii valizi este costisitoare(pivotare completă) Considerăm doar pivoţii din coloana k şi interschimbăm liniile(pivotare parţială) x ik Selecţie pivot Cu operaţii matriceale: P 1 x ik Interschimbare linii L 1 L m 1 P m 1... L 2 P 2 L 1 P 1 A = U x ik Eliminare Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
25 Factorizarea PA = LU Factorizarea PA = LU Pentru a combina toţi L k şi toţi P k în forma dorită de noi, rescriem factorizarea precedentă sub forma L m 1 P m 1... L 2 P 2 L 1 P 1 A = U ( L m L 2L 1 ) (Pm 1 P 2 P 1 ) A = U unde L k = P m 1 P k+1 L k P 1 k+1 P 1 m 1 Aceasta ne dă factorizare (descompunerea) LU a lui A PA = LU Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
26 Eliminarea gaussiană cu pivotare parţială Eliminarea gaussiană cu pivotare parţială Factorizează A C m m în PA = LU Eliminare gaussiană cu pivotare parţială U := A; L := I ; P := I ; for k := 1 to m 1 do Select i k to maximize u ik ; l k,1:k 1 l i,1:k 1 ; p k,: p i,: ; for j := k + 1 to m do l jk := u jk /u kk ; u j,k:m := u j,k:m l jk u k,k:m ; Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
27 Exemplu Eliminarea gaussiană cu pivotare parţială Exemplu Rezolvaţi sistemul x = prin descompunere LUP. Soluţie: Avem Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
28 Eliminarea gaussiană cu pivotare parţială Exemplu (continuare) Exemplu Deci L = , U = Sistemele triunghiulare corespunzătoare sunt y = Pb = cu soluţia y = [8, 0, 1] T , P = 8 4 3, Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
29 Eliminarea gaussiană cu pivotare parţială Exemplu (continuare) Exemplu şi x = 8 0 1, cu soluţia x = [1, 1, 1] T. Verificare PA = LU = = = Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
30 Pivotare totală Pivotare totală Dacă se selectează pivoţi din coloane diferite, sunt necesare matrice de permutare la stânga Q k : Punem L m 1 P m 1 L 2 P 2 L 1 P 1 AQ 1 Q 2 Q m 1 = U (L m 1 L 2L 1)(P m 1 P 2 P 1 )A(Q 1 Q 2 Q m 1 ) = U L = (L m 1 L 2L 1) 1 P = P m 1 P 2 P 1 Q = Q 1 Q 2 Q m 1 pentru a obţine PAQ = LU Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
31 Pivotare totală Liu Hui c. 220 c. 280 Matematician chinez, a discutat eliminarea,,gaussiană în comentariile sale asupra lucrării,,cele nouă capitole ale artei matematice 263 AD Carl Friedrich Gauss Matematică, astronomie, geodezie, magnetism 1809 GE (Ca adolescent în Braunschweig a descoperit teorema binomială, reciprocitatea pătratică, media aritmetico-geometrică... ) : Universitatea din Göttingen adu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
32 Stabilitatea LU Stabilitatea LU fără pivotare Stabilitatea LU fără pivotare Pentru A = LU calculată fără pivotare: LŨ = A + δa, δa L U = O(eps) Eroare se referă la LŨ, nu la L sau Ũ Notă: la numitor apare L U, nu A L şi U pot fi arbitrar de mari, de exemplu [ ] [ ] [ A = = Deci, algoritmul este nestabil ] Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
33 Stabilitatea LU Stabilitatea LU cu pivotare Stabilitatea LU cu pivotare Daca se face pivotare, toate elementele lui L sunt 1 în modul, deci L = O(1) Pentru a măsura creşterea lui U, se introduce factorul de creţere care implică U = O(ρ A ) ρ = max ij u ij max ij a ij Pentru descompunerea PA = LU calculată cu pivotare: LŨ = PA + δa, δa A = O(ρeps) Dacă ρ = O(1), atunci algoritmul este regresiv stabil Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
34 Factorul de creştere Stabilitatea LU Factorul de creştere Considerăm matricea = Nu apare nici o pivotare, deci aceasta este o factorizare PA = LU Factorul de creştere ρ = 16 = 2 m 1 (se poate arăta că acesta este cazul cel mai nefavorabil) Deci, ρ = 2 m 1 = O(1), uniform, pentru toate matricele de dimensiune m Regresiv stabil conform definiţiei, dar rezultatul poate fi inutil Totuşi, nu se ştie exact de ce, factorii de creştere sunt mici în practică Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
35 Descompunerea Cholesky Matrice SPD Matrice SPD Reamintim: A R m m este simetrică dacă a ij = a ji, sau A = A T A C m m este hermitiană dacă a ij = a ji, sau A = A O matrice hermitiană A este hermitian pozitiv definită dacă x Ax > 0 pentru x = 0 x Ax este întotdeauna real deoarece x Ay = y Ax Simetric pozitiv definită, sau SPD, pentru matrice reale dacă A este m m PD şi X are rang maxim, atunci X AX este PD Deoarece (XAX ) = X AX, şi dacă x = 0 atunci Xx = 0 şi x (X AX )x = (Xx) A(Xx) > 0 Orice submatrice principală a lui A este PD, şi orice element diagonal a ii > 0 matricele PD au valori proprii reale pozitive şi vectori proprii ortonormali Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
36 Factorizarea Cholesky Descompunerea Cholesky Factorizarea Cholesky Se elimina sub pivot şi la dreapta pivotului (datorită simetriei): [ a11 w A = ] [ ] [ α 0 α w = ] /α w K w/α I 0 K ww /a 11 [ ] [ ] [ α α w = ] /α w/α I 0 K ww = R1 A /a 11 0 I 1 R 1 unde α = a 11 K ww /a 11 este o submatrice principală a matricei PD R 1 AR 1 deci elementul ei din stânga sus este pozitive 1, Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
37 Factorizarea Cholesky Descompunerea Cholesky Factorizarea Cholesky Se aplică recursiv şi se obţine A = (R 1 R 2... R m)(r m... R 2 R 1 ) = R R, r ii > 0 Existenţa şi unicitatea: orice matrice HPD are o factorizare Cholesky unică Algoritmul recursiv de pe folia precedentă nu eşuează niciodată Rezultă şi unicitatea, deoarece α = a 11 este determinat unic (dat) la fiecare pas şi la fel, întreaga linie w/α Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
38 Descompunerea Cholesky Algoritmul de factorizare Cholesky Algoritmul de factorizare Cholesky Factorizează matricea HPD A C m m în A = R T R: Factorizare Cholesky R := A; for k := 1 to m do for j := k + 1 to m do R j,j:m := R j,j:m R k,j:m R k,j /R k,k R k,k:m := R k,k:m / R k,k Complexitatea (număr de operaţii) m m k=1 j=k+1 2(m j) 2 m k k=1 j=1 j m k 2 m3 3 k=1 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
39 Exemplu Descompunerea Cholesky Exemplu Să se rezolve sistemul folosind descompunerea Cholesky. x = Soluţie: Calculând radicalii pivoţilor şi complementele Schur se obţine B = Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
40 Exemplu Descompunerea Cholesky Exemplu Sistemele corespunzătoare sunt: y = cu soluţia y = [ ] T şi cu soluţia x = [ ] T. x = , Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
41 Stabilitatea Descompunerea Cholesky Stabilitateatea Factorul Cholesky calculat R satisface R R = A + δa, δa A = O(eps) algoritmul este regresiv stabil Dar, eroarea în R poate fi mare, R R / R = O(κ(A)eps) Rezolvare Ax = b pentru HPD A cu şi două substituţii Numărul de operaţii Cholesky m 3 /3 Algoritm regresiv stabil: (A + A) x = b, A A = O(eps) Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
42 Backslash în MATLAB Backslash în MATLAB x=a\b pentru A densă realizează următorii paşi 1 Dacă A este triunghiulară superior sau inferior se rezolvă prin substituţie inversă sau directă Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
43 Backslash în MATLAB Backslash în MATLAB x=a\b pentru A densă realizează următorii paşi 1 Dacă A este triunghiulară superior sau inferior se rezolvă prin substituţie inversă sau directă 2 Dacă A este o permutare a unei matrice triunghiulare, se rezolvă prin substituţie (utilă pentru [L,U]=lu(A) căci L este permutată) Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
44 Backslash în MATLAB Backslash în MATLAB x=a\b pentru A densă realizează următorii paşi 1 Dacă A este triunghiulară superior sau inferior se rezolvă prin substituţie inversă sau directă 2 Dacă A este o permutare a unei matrice triunghiulare, se rezolvă prin substituţie (utilă pentru [L,U]=lu(A) căci L este permutată) 3 Dacă A este simetrică sau hermitiană Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
45 Backslash în MATLAB Backslash în MATLAB x=a\b pentru A densă realizează următorii paşi 1 Dacă A este triunghiulară superior sau inferior se rezolvă prin substituţie inversă sau directă 2 Dacă A este o permutare a unei matrice triunghiulare, se rezolvă prin substituţie (utilă pentru [L,U]=lu(A) căci L este permutată) 3 Dacă A este simetrică sau hermitiană Se verifică dacă toate elementele digonale sunt pozitive Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
46 Backslash în MATLAB Backslash în MATLAB x=a\b pentru A densă realizează următorii paşi 1 Dacă A este triunghiulară superior sau inferior se rezolvă prin substituţie inversă sau directă 2 Dacă A este o permutare a unei matrice triunghiulare, se rezolvă prin substituţie (utilă pentru [L,U]=lu(A) căci L este permutată) 3 Dacă A este simetrică sau hermitiană Se verifică dacă toate elementele digonale sunt pozitive Se încearca cu Cholesky; daca se termina cu succes se rezolvă prin substituţie Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
47 Backslash în MATLAB Backslash în MATLAB x=a\b pentru A densă realizează următorii paşi 1 Dacă A este triunghiulară superior sau inferior se rezolvă prin substituţie inversă sau directă 2 Dacă A este o permutare a unei matrice triunghiulare, se rezolvă prin substituţie (utilă pentru [L,U]=lu(A) căci L este permutată) 3 Dacă A este simetrică sau hermitiană Se verifică dacă toate elementele digonale sunt pozitive Se încearca cu Cholesky; daca se termina cu succes se rezolvă prin substituţie 4 Dacă A este Hessenberg, se reduce la o matrice triunghiulară superior şi apoi se rezolvă prin substituţie inversă Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
48 Backslash în MATLAB Backslash în MATLAB x=a\b pentru A densă realizează următorii paşi 1 Dacă A este triunghiulară superior sau inferior se rezolvă prin substituţie inversă sau directă 2 Dacă A este o permutare a unei matrice triunghiulare, se rezolvă prin substituţie (utilă pentru [L,U]=lu(A) căci L este permutată) 3 Dacă A este simetrică sau hermitiană Se verifică dacă toate elementele digonale sunt pozitive Se încearca cu Cholesky; daca se termina cu succes se rezolvă prin substituţie 4 Dacă A este Hessenberg, se reduce la o matrice triunghiulară superior şi apoi se rezolvă prin substituţie inversă 5 Dacă A este pătratică, se factorizează PA = LU şi se rezolvă prin substituţie inversă Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
49 Backslash în MATLAB Backslash în MATLAB x=a\b pentru A densă realizează următorii paşi 1 Dacă A este triunghiulară superior sau inferior se rezolvă prin substituţie inversă sau directă 2 Dacă A este o permutare a unei matrice triunghiulare, se rezolvă prin substituţie (utilă pentru [L,U]=lu(A) căci L este permutată) 3 Dacă A este simetrică sau hermitiană Se verifică dacă toate elementele digonale sunt pozitive Se încearca cu Cholesky; daca se termina cu succes se rezolvă prin substituţie 4 Dacă A este Hessenberg, se reduce la o matrice triunghiulară superior şi apoi se rezolvă prin substituţie inversă 5 Dacă A este pătratică, se factorizează PA = LU şi se rezolvă prin substituţie inversă 6 Dacă A nu este pătratică, se face factorizare QR cu metoda Householder, şi se rezolvă problema de aproximare în sensul celor mai mici pătrate adu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
50 Descompunere QR Descompunere QR Fie A C m n. Se numeşte descompunere QR a lui A perechea de matrice (Q, R) unde Q C m n este unitară, R C n n este triunghiulară superior şi A = QR. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
51 Descompunere QR Triunghiularizare Householder Metoda lui Householder Metoda lui Householder înmulţeşte cu matrice unitare pentru a transform matricea într-una triunghiulară; de exemplu la primul pas: r 11 0 Q 1 A = La sfârşit, am obţinut un produs de matrice ortogonale Triunghiularizare ortogonală Q n... Q 2 Q }{{} 1 A = R Q Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
52 Introducerea de zerouri Introducerea de zerouri Q k introduce zerouri sub diagonală în coloana k Păstrează zerourile introduse anterior 0 Q 1 0 Q A Q 1 A Q 2 Q 1 A Q3 0 0 Q 3 Q 2 Q 1 A Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
53 Reflectori Householder Reflectori Householder Fie Q k de forma Q k = [ I 0 0 F unde I este (k 1) (k 1) şi F este (m k + 1) (m k + 1) Creăm reflectorul Householder F care introduce zerouri: x 0 x =. Fx = ]. 0 = x e 1 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
54 Reflectori Householder-Ideea Reflectori Householder-Ideea Ideea: reflectăm în raport cu hiperplanul H, ortogonal pe v = x 2 e 1 x, aplicând matricea unitară F = I 2 vv v v A se compara cu proiectorul P v = I vv v v Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
55 Alegerea reflectorului Alegerea reflectorului Putem aplica relexia oricărui multiplu z al lui x e 1 cu z = 1 Proprietăţi numerice mai bune pentru v mare, de exemplu v = sign(x 1 ) x e 1 + x Notă: sign(0) = 1, dar în MATLAB, sign(0)==0 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
56 Algoritmul lui Householder Algoritmul lui Householder Calculează factorul R al descompunerii QR a matricei m n A (m n) Lasă rezultatul în A, memorând vectorii de reflexie v k pentru utilizare ulterioară Factorizare QR prin metoda Householder for k := 1 to n do x := A k:m,k ; v k := sign(x 1 ) x 2 e 1 + x; v k := v k / v k 2 ; A k:m,k:n = A k:m,k:n 2v k (v k A k:m,k:n) Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
57 Aplicarea sau obţinerea lui Q Aplicarea sau obţinerea lui Q Calculăm Q b = Q n... Q 2 Q 1 b şi Qx = Q 1 Q 2... Q n x implicit Pentru a crea Q explicit, aplicăm pentru x = I Calculul implicit al lui Q b for k := 1 to n do b k:m = b k:m 2v k (v k b k:m); Calculul implicit al lui Qx for k := n downto 1 do x k:m = x k:m 2v k (v k x k:m); Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
58 Complexitatea -Householder QR Complexitatea -Householder QR Cea mai mare parte a efortului Operaţii pe iteraţie: A k:m,k:n = A k:m,k:n 2v k (v k A k:m,k:n) 2(m k)(n k) pentru produsele scalare v k A k:m,k:n (m k)(n k) pentru produsul exterior 2v k ( ) (m k)(n k) pentru scăderea A k:m,k:n 4(m k)(n k) total Incluzând ciclul exterior, totalul devine n k=1 4(m k)(n k) = 4 n k=1 ( mn k (m + n) + k 2 ) 4mn 2 4(m + n)n 2 /2 + 4n 3 /3 = 2mn 2 2n 3 /3 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
59 Complexitatea -Householder QR Figure: Alston S. Householder ( ), matematician american. Contribuţii importante: biologie mtematică, algebră liniară numerică. Cartea sa The theory of matrices in numerical analysis a avut un mare impact asupra dezvoltării analizei numerice şi a informaticii. Figure: James Wallace Givens ( ) Pionier al algebrei liniare numerice şi informaticii adu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 26, / 42
Metode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare
Metode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare Eliminare gaussiană, descompunere LU, Cholesky Radu T. Trîmbiţaş Universitatea Babeş-Bolyai March 27, 206 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai
Sisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Criptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
Cap.2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II)
Cap.2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II) Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Curs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare
METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Mădălina-Andreea
Noţiuni introductive
Metode Numerice Noţiuni introductive Erori. Condiţionare numerică. Stabilitatea algoritmilor. Complexitatea algoritmilor. Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate
CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Lucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi
Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Metode Numerice Curs I Introducere. Ion Necoara
Metode Numerice Curs I Introducere Ion Necoara 2014 Personal Curs: Prof. dr.. Ion Necoara (ion.necoara@acse.pub.ro) Laborator: drd. Andrei Patrascu (andrei.patrascu@acse.pub.ro) Examinare 25 puncte laborator,
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Conice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem
Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
I. Noţiuni introductive
Metode Numerice Curs 1 I. Noţiuni introductive Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate astfel încât să fie rezolvate numai prin operaţii aritmetice. Prin trecerea
Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
METODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder
METODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Alexandru
Ecuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Rezolvarea sistemelor liniare determinate
Seminar 2 Rezolvarea sistemelor liniare determinate Acest seminar este dedicat metodelor numerice de rezolvare a sistemelor liniare determinate, i.e. al sistemelor liniare cu numărul de ecuaţii egal cu
Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Principiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII
9 PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII 81 Introducere Problema de valori proprii a unui operator liniar A: Ax = λx x vector propriu, λ valoare proprie În reprezentarea unei baze din < n problemă matricială
10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Calculul valorilor proprii
Laborator 5 Calculul valorilor proprii 5.1 Valori şi vectori proprii Definiţia 5.1 Fie A C n n. Un vector x C n n este un vector propriu al matricei A, asociat valorii proprii λ C, dacă sunt satisfăcute
SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera Cuprins Scheme de algoritmi Divide et impera Exemplificare
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare
Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare 1 Metode iterative clasice Metodele iterative sunt intens folosite, in special pentru rezolvarea de probleme mari, cum sunt cele de discretizare
2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
3. Vectori şi valori proprii
Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau
Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI
Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază
a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
CAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE
CAPITOLUL FUNCŢIONALE LINIAE BILINIAE ŞI PĂTATICE FUNCŢIONALE LINIAE BEIA TEOETIC Deiniţia Fie K X un spaţiu vecorial de dimensiune iniă O aplicaţie : X K se numeşe uncţională liniară dacă: ese adiivă
Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Problema celor mai mici pătrate
Seminar 3 Problema celor mai mici pătrate Acest seminar este dedicat metodelor numerice pentru rezolvarea unei probleme numerice foarte importante întâlnită în multe aplicaţii, aşa numita problemă a celor
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
, m ecuańii, n necunoscute;
Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +
Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Cap2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative
Cap2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru
Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare
Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare 1. Matrici şi determinanţi Reamintim aici câteva proprietăţi ale matricilor şi determinanţilor. Definiţia 1.1. Fie K un corp (comutativ) şi m, n N. O funcţie A : {1,...,
EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul