1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial"

Transcript

1 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem de coordonate pentru fiecare astfel de bază. Se pune în mod firesc problema stabilirii unei legături între coordonatele aceluiaşi vector atunci când se schimbă bazele. Înainte de a formula, Teorema.. care rezolvă deplin această problemă, trebuie să introducem noţiunea de matrice de trecere (de la o bază la o altă bază ' a spaţiului V). Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune finită, n şi fie = {u, u,, u n }, ' = {v, v,, v n } două baze în acest spaţiu. Fie a ij, j =,,n coordonatele vectorului v i în baza, adică v i = a i u + a i u +.+ a in u n, i =,,n. Matricea A = (a ij ), i, j =,,n este o matrice nesingulară *). Întradevăr, presupunem prin absurd că A este singulară *). Considerăm ecuaţia vectorială (..) α v + α v + + α n v n = 0. Avem α [a u + a u +. + a n u n ] + α [a u + a u +. + a n u n ] + + α n [a n u + a n u +.+ a nn u n ] = 0. Rearanjând termenii, conform axiomelor spaţiului vectorial, obţinem [α a + α a + + α n a n ]u + [α a + α a + + α n a n ]u + + [α a n + α a n + + α n a nn ]u n = 0. De aici se obţine sistemul algebric liniar şi omogen α a + α a + +α n a n = 0 *) Prin matrice nesingulară înţelegem o matrice inversabilă. Analog, o matrice singulară este o matrice care nu este inversabilă.

2 Spaţii vectoriale finit dimensionale α a + α a + +α n a n = 0. α a n + α a n + +α n a nn = 0. Matricea asociată acestui sistem este în mod evident A T. Aceasta fiind singulară, conform presupunerii făcute, deducem că sistemul admite şi soluţii nebanale, adică există α, α,,α n, nu toţi nuli, astfel încât să aibă loc (..). Astfel, rezultă că familia ' nu este liniar independentă, şi am obţinut o contradicţie. Deci matricea A este nesingulară. Definiţia.. Matricea A introdusă mai sus se numeşte matricea de trecere de la baza la baza ' sau matricea schimbării de baze. Teorema.. Dacă un vector x V are coordonatele x = (x, x,, x n ) în baza = {u, u,, u n } şi coordonatele ξ = (ξ, ξ,, ξ n ) în baza ' = {v, v,, v n } iar A = (a ij ), i,j =,,n este matricea de trecere de la baza la ' atunci legătura între cele două sisteme de coordonate este dată de formula: (..) ξ T = (A T ) - x T. Demonstraţie. Folosind definiţia matricei de trecere, avem succesiv x = ξ v + ξ v + + ξ n v n = ξ [a u + a u a n u n ] + ξ [a u + a u a n u n ] + + ξ n [a n u + a n u a nn u n ] = [ξ a + ξ a + + ξ n a n ]u + [ξ a + ξ a + + ξ n a n ]u + + [ξ a n + ξ a n + + ξ n a nn ]u n. Pe de altă parte are loc şi egalitatea x = x u + x u + + x n u n. Folosind Teorema.., care asigură unicitatea coordonatelor într-o bază, obţinem: x = ξ a + ξ a + + ξ n a n

3 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială x =ξ a + ξ a + + ξ n a n x n =ξ a n + ξ a n + + ξ n a nn. Relaţiile de mai sus vor fi scrise sub formă matricială astfel x T = A T ξ T. Deoarece matricea de trecere A este inversabilă (şi la fel transpusa sa) înmulţim relaţia precedentă cu (A T ) - şi obţinem concluzia. Exemplul.. Fie spaţiul vectorial real R în care vom considera bazele introduse în Exemplul... Conform Observaţiei.., se deduce că matricea de trecere de la baza canonică la baza ' este chiar matricea care are pe linii componentele vectorilor din baza ', adică A = 0. Atunci coordonatele unui vector x = (x, x, x ) R în baza ' 0 0 vor fi date de formula de mai jos (conform teoremei de mai sus): ξ T = x T. 0. Lema substituţiei În această secţiune vom prezenta Lema substituţiei, un rezultat clasic de algebră liniară, precum şi aplicaţiile acesteia. După cum se va vedea, asocierea unui algoritm la acest rezultat face din el un instrument de lucru deosebit de util atât în programarea calculatoarelor, cât şi în

4 Spaţii vectoriale finit dimensionale efectuarea "de mână" a unor calcule ce comportă lucrul cu spaţii vectoriale de dimensiuni mari. Lema.. (Lema Substituţiei) Fie = {u, u,, u n } o bază în spaţiul vectorial V şi y V, y 0 cu coordonatele (y, y,, y n ) în baza. Dacă coordonata y i corespunzătoare indicelui i este nenulă, atunci familia = {u, u,, u i-, y, u i+,, u n } este bază pentru spaţiul V. Mai mult, dacă (v, v,, v i-, v i, v i+,,v n ) sunt coordonatele unui vector v V în baza, atunci coordonatele lui v în baza vor fi v' p = v p - v i ( y i ) - y p, p N *, p n, p i, v' i = ( y i ) - v. Demonstraţie. Înainte de a începe demonstraţia, facem observaţia că dacă y 0 atunci cel puţin una din coordonatele sale în baza este nenulă, în caz contrar am obţine y = 0. Avem y = y u + y u + + y i- u i- + y i u i + y i+ u i+ + + y n u n. Prin adunarea vectorului - y - y i u i în ambii membrii ai relaţiei de mai sus se obţine - y i u i = y u + y u + + y i- u i- - y + y i+ u i+ + + y n u n. Înmulţind noua relaţie cu (- y i ) - avem (..) u i = (- y i ) - y u + (- y i ) - y u + + (- y i ) - y i- u i- - (- y i ) - y + (- y i ) - y i+ u i+ + + (- y i ) - y n u n. De aici se deduce, conform Exerciţiului.., că familia = { u, u,,u i-, y i, u i,, u n } este un sistem de generatori pentru V. Deoarece Teorema.. ne asigură că din orice sistem de generatori putem extrage o bază a spaţiului, deducem că este chiar o bază.

5 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Într-adevăr, dacă am găsi o submulţime strictă a lui care să fie bază atunci aceasta ar avea un număr de elemente mai mic strict decât n ceea ce ar contrazice Corolarul... Dacă (v, v,.,v i-, v i, v i+,, v n ) sunt coordonatele unui vector v în baza atunci v = v u + v u + + v i- u i- + v i [(- y i ) - y u + (- y i ) - y u + + (- y i ) - y i- u i- - (- y i ) - y + (- y i ) - y i+ u i+ + +(- y i ) - y n u n ] + v i+ u i+ + + v n u n. Regrupând termenii conform axiomelor spaţiului vectorial, avem v = [v - v i ( y i ) - y ]u + [v - v i ( y i ) - y ]u + + [v i- - v i ( y i ) - y i- ]u i- + [v i y - i ]u i + [v i+ - v i ( y i ) - y i+ ]u i+ +.+ [v n - v i ( y i ) - y n ]u n. de mai jos. În cazul spaţiilor R n rezultatul din lemă este sintetizat de tabelele Tabelul.. Tabelul.. 7

6 Spaţii vectoriale finit dimensionale Tabelul.. conţine coordonatele vectorilor y şi v în baza iar Tabelul.. conţine coordonatele aceloraşi vectori în baza obţinută prin înlocuirea vectorului u i din baza cu vectorul y. Vom indica o celulă oarecare din cele două tabele precizând numele liniei şi coloanei din care face parte, de exemplu vom vorbi despre celula (u i, v). Elementul y i 0 din Tabelul..(adică coordonata nenulă a vectorului y care face posibilă aplicarea Lemei..) se numeşte pivot, iar coloana (respectiv linia) din Tabelul.. ce conţine pivotul se numeşte coloana pivotului (respectiv linia pivotului). Astfel, se poate enunţa următorul algoritm de obţinere a coordonatele vectorilor y şi v în noua bază, ', adică de obţinere a elementelor Tabelului.. din elementele Tabelului... a) Prima coloană a Tabelului.. va conţine lista vectorilor din noua bază. b) Coloana pivotului din Tabelul.. se transformă astfel: pivotul se înlocuieşte cu iar celelalte elemente (din coloană) cu 0 şi se obţine coloana coordonatelor vectorului y din Tabelul... c) Elementele de pe linia pivotului din Tabelul.. se împart la pivot şi obţinem linia corespunzătoare vectorului y în Tabelul... d) Restul elementelor din Tabelul.. se obţin cu "regula dreptunghiului": Valoarea care va fi introdusă în celula (u i, v) din Tabelul.. se determină astfel: Se formează dreptunghiul care are pe diagonală pivotul şi elementul aflat în celula (u i, v) din Tabelul.. (element notat E.T). Se calculează diferenţa dintre E.T şi raportul dintre produsul elementelor de pe diagonala dreptunghiului care nu conţine pivotul şi pivot, adică cu valoarea 8

7 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială prod.elem.de pediag.ce nu continepivot E.T-. pivot Valoarea obţinută se transcrie în Tabelul.. în celula (u i, v). De exemplu, pentru obţinerea coordonatei v' se formează dreptunghiul y, v, v i, y i (vezi Tabelul..) şi aplicând regula dreptunghiului avem v' = v n - viy y i. Aplicaţii ale Lemei substituţiei. Determinarea matricei de trecere de la o bază la alta. O primă aplicaţie a Lemei substituţiei o constituie determinarea matricei de trecere de la o bază la alta. Exemplul.. Fie = {e = (,, ), e = (0,, ), e = (, 0, )} şi = { u = (,, ), u = (,, 0), u = (, 0, 0)} două baze în R iar x R un vector ale cărui coordonate în baza sunt (-,, ). Să se determine matricea de trecere de la baza la ' şi respectiv coordonatele vectorului x în baza '. Tabelul.. Rezolvare: Deoarece cunoaştem coordonatele oricărui vector în baza canonică c = {E = (, 0, 0), E = (0,, 0), E = (0, 0, )}, vom începe algoritmul cu un tabel 9

8 Spaţii vectoriale finit dimensionale format în care coordonatele vectorilor e, e, e, u, u, u sunt calculate relativ la baza canonică. Aplicând succesiv Lema substituţiei, vom înlocui toţi vectorii bazei canonice cu cei ai bazei, rezultatele calculelor fiind redate în Tabelul... În ultimele trei linii si respectiv coloane ale acestuia se pot citi coordonatele vectorilor din baza ' în baza, adică matricea de trecere A de la baza la '. Deci A =. Pentru a găsi coordonatele vectorului x în baza ' datele vor fi prelucrate conform tabelului de mai jos. Tabelul... Calculul inversei unei matrice. Fie A o matrice inversabilă de ordinul n, cu elemente reale. Notăm cu C i A, i =,,n, coloanele matricei A şi fie A - = (α ij ), i, j =,,n. 0

9 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Dacă I este matricea identică de ordinul n, atunci I = (E T,, E T i,, E T n ), unde E j = (,...,,...0 ) 0, j =,,n sunt vectorii bazei canonice din j R n. Se observă că relaţia AA - = I poate fi scrisă sub forma α j C A + + α ij C i A + + α nj C n A = E T j, j =,,n, ceea ce este echivalent cu faptul că elementele de pe coloana j a matricei inverse sunt coordonatele vectorului E j al bazei canonice din R n în baza formată din vectorii reprezentaţi *) de coloanele matricei A. Exerciţiu: Să se arate că dacă A este o matrice de ordinul n, inversabilă atunci vectorii reprezentaţi de coloanele matricei A formează o bază în R n. 0 Exemplul.. Să se cerceteze dacă matricea A = 0 0 este inversabilă şi în caz afirmativ să i se determine inversa. Aplicăm Lema substituţiei şi avem: Tabelul.. E E E E E E E E E E E E E E E E E E E * prin vector din R n corespunzător coloanei unei matrice cu n linii vom înţelege vectorul ale cărui componente sunt elementele coloanei respective.

10 Spaţii vectoriale finit dimensionale E E E E E E 0 0 / / -/ / / / / / -/ 0 E E E E E / 7/ -/ / / -/ / -/ / Deoarece toţi vectorii care constituie coloanele lui A au intrat în componenţa unei baze, deducem, conform Lemei substituţiei, că rangul matricei este egal cu dimensiunea acesteia, deci matricea este inversabilă. Inversa matricei A poate fi citită în ultimele coloane ale tabelului de mai sus, A - = 9 / 7 / / 7 / / / / / /.. Calculul rangului unei matrice. Din Propoziţia.. se poate deduce că pentru a determina rangul unei matrice A cu n linii şi m coloane şi elemente numere reale este suficient să determinăm numărul maxim de vectori liniar independenţi din sistemul de vectori format din coloanele matricei A. Pentru a determina acest număr se poate folosi Lema substituţiei, înlocuind vectorii bazei canonice din R n, atât timp cât este posibil, cu vectorii corespunzători coloanelor matricei A. În momentul în care

11 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială înlocuirea vectorilor din bază, cu alţi vectori corespunzători coloanelor matricei A, nu mai este posibilă se obţine rangul matricei lui A, egal cu numărul vectorilor intraţi în bază. Exemplul.. Să se determine rangul matricei A = Calculele corespunzătore aplicării Lemei substituţiei se regăsesc în tabelul de mai jos. Tabelul.. E 0 - E E E E E E E E / / / E

12 Spaţii vectoriale finit dimensionale Conform celor spuse mai sus, rangul matricei este egal cu i deoarece doar trei dintre vectorii, i {,,,,,} au intrat în componenţa unei baze. Maximalitatea acestui număr este asigurată de Corolarul... Într-adevăr, vectorii C A, C A, C A vor constitui o bază pentru spaţiul generat (se va vedea secţiunea.7 a acestui capitol) de vectorii C i A, i {,,,,, } şi orice altă subfamilie formată din mai mult de vectori va fi liniar dependentă.. Rezolvarea sistemelor liniare. Considerăm un sistem liniar de forma Ax = b, unde A este o matrice cu n linii şi m coloane, n, m N *, cu elemente numere reale iar x şi b sunt matrice coloană cu m şi respectiv n elemente. Notăm cu A matricea extinsă asociată sistemului (este matricea A la care se adaugă coloana b a termenilor liberi). Se cunosc următoarele rezultate:. Dacă rang A = rang A = not r atunci sistemul este compatibil. a) Dacă r = m (m este numărul de necunoscute) atunci sistemul este compatibil determinat (soluţia există şi este unică). b) Dacă r < m atunci sistemul este compatibil nedeterminat (sistemul are o infinitate de soluţii).. Dacă rang A rang A atunci sistemul este incompatibil. Pentru a determina în care din situaţiile de mai sus ne aflăm putem aplica Lema substituţiei. Astfel, a) faptul că sistemul este incompatibil sau compatibil determinat sau nu (situaţiile şi de mai sus) se poate stabili folosind metoda

13 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială prezentată în paragraful precedent pentru determinarea rangului matricei asociate sistemului şi respectiv matricei extinse. b) dacă sistemul este compatibil determinat, este uşor de văzut că x T reprezintă coordonatele vectorului b T în baza formată din vectorii asociaţi coloanelor matricei A şi deci putem aplica Lema substituţiei pentru determinarea acestora. c) dacă sistemul este compatibil nedeterminat, cu variabilele secundare x k+,, x m şi ecuaţiile principale corespunzătoare liniilor,,, k ale matricei A (ordinea aceasta fiind obţinută în urma unei eventuale renumerotări), atunci obţinem sistemul (..) a... a k ak x.... a kk x k b = b k a a k+ kk+ x x k+.. k+... a... a m km x x m m = not β. Pentru a determina variabilele principale în funcţie de cele secundare se poate proceda ca în cazul b) prezentat mai sus. Exemplul.. Să se rezolve sistemul scris sub formă matricială Ax = b, unde A este matricea de la Exemplul.., x T = (x, x, x, x, x, x ) şi b T = (, -,, 0). În primul rând, studiem existenţa soluţiilor. Am stabilit deja în exemplul precedent că rangul matricei A este. Trebuie să calculăm şi rangul matricei extinse. Tabelul..7 b E 0 - E E E

14 Spaţii vectoriale finit dimensionale b 0 - E E E b E E b / / / E Din tabelul de mai sus se deduce că vectorul b poate fi introdus în bază în locul vectorului E, deci rangul matricei extinse este. Deoarece rang A rang A rezultă că sistemul este incompatibil. Exemplul.. Să se rezolve sistemul de la Exemplul.. în cazul în care b T = (, -,, 8). Aplicăm Lema substituţiei şi obţinem: Tabelul..8 b E 0 - E E E b 0 - E E E b E E b / /

15 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială / E În această situaţie este clar că rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse, deoarece coordonata vectorului b corespunzătoare vectorului E ( în ultima bază) este 0 şi acesta nu va putea intra în locul lui E într-o nouă bază. Deci sistemul este compatibil determinat. Sistemul a cărui matrice (respectiv matrice extinsă) poate fi citită în primele (respectiv 7) coloane şi ultimele linii ale tabelului de mai sus va fi echivalent cu sistemul de la început, deoarece este obţinut numai prin transformări elementare (înmulţiri ale unei ecuaţii cu un scalar nenul şi adunarea acesteia cu o altă ecuaţie a sistemului). În acest sistem, necunoscutele principale vor fi x, x, x iar ecuaţiile principale vor fi ec, ec şi ec. Folosind relaţia (..) corespunzătoare noului sistem rezultat din tabelul de mai sus avem: Tabelul x +x -/x 0 0 -x +x -/x 0 0 -x + /x b Din ultimul tabel obţinem x = -- x + x - /x, x = - x + x - /x, x = - x + /x, x, x, x R. Acestea sunt soluţiile sistemului discutat. 7

16 Spaţii vectoriale finit dimensionale. Completarea unui familii de vectori liniar independenţi din R n la o bază. Este uşor de văzut că aplicarea de una sau mai multe ori a Lemei substituţiei reprezintă o altă demonstraţie a Teoremei.. (exerciţiu). Exemplul.. Se consideră familia de vectori din R, F = {v = (,,,,, ), v = (0,,,,, ), v = (, 0, -, 0,, -)}. Să se verifice dacă aceasta este liniar independentă şi în caz afirmativ să se completeze la o bază din R. Vom aplica Lema substituţiei pentru a înlocui pe rând vectorii bazei canonice din R cu vectorii familiei F. Dacă toţi vectorii familiei F vor intra în componenţa unei baze atunci F este familie liniar independentă iar baza respectivă va constitui o soluţie a problemei. Tabelul..0 a) v v v b) v v v E 0 v 0 E 0 E 0 - E - E 0 - E 0 E 0 - E E 0 - E - E 0 - c) v v v d) v v v v 0 v 0 0 E E v 0 - v 0 0 E 0 0 E E 0 0 E E v 0 0 Din tabelul de mai sus rezultă că familia F este liniar independentă iar = {v, v, v, E, E, E } este baza căutată. 8

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile

Διαβάστε περισσότερα

2 Variabile aleatoare

2 Variabile aleatoare Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este

Διαβάστε περισσότερα

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare..

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare.. I. Modelarea funcţionării diodei semiconductoare prin modele liniare pe porţiuni În modelul liniar al diodei semiconductoare, se ţine cont de comportamentul acesteia atât în regiunea de conducţie inversă,

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR ŞI LUCRǍRI DE LABORATOR Simina Mariş Liliana Brǎescu Timişoara 007 Introducere Procesul de

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1 Introducere în MATLAB

Laborator 1 Introducere în MATLAB MATLAB este unul dintre cele mai răspândite programe, în special în teoria reglării automate, pentru calculul ştiinţific şi numeric. Pe lângă calculul efectiv, MATLAB oferă şi posibilităţi de reprezentare

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE ELECTRICITATE

PROBLEME DE ELECTRICITATE PROBLEME DE ELECTRICITATE 1. Două becuri B 1 şi B 2 au fost construite pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 100 V, iar un al treilea bec B 3 pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 200 V. Puterile

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03A DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Notaţii si noţiuni preliminare Variabila aleatoare: X,Y,U,V,etc., descrisă de funcţie de repartiţie. Variabila aleatoare este asaociată unei populaţii statistice;

Διαβάστε περισσότερα

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016 APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU Cuprins CAPITOLUL 4 AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU...38 4. Introducere...38 4.2 Modelul la foarte joasă frecvenţă al amplficatorului operaţional...38 4.3 Amplificatorul neinversor.

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 61 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum cu

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea unui amplificator

Proiectarea unui amplificator Proiectarea unui amplificator sl. dr. Radu Damian Notă importantă. În acest document nu există "informaţia magică" ascunsă în două rânduri de la mijlocul documentului. Trebuie parcurs pas cu pas fără a

Διαβάστε περισσότερα

1. Elemente de bază ale conducţiei termice

1. Elemente de bază ale conducţiei termice 1. 1.1 Ecuaţiile diferenţiale ale conducţiei termice Calculul proceselor de schimb de căldură necesită cunoaşterea distribuţiei temperaturii în spaţiu şi timp. Distribuţia temperaturii se obţine prin rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

Coduri grup - coduri Hamming

Coduri grup - coduri Hamming Capitolul 5 Coduri grup - coduri Hamming 5. Breviar teoretic Dacăîn capitolul precedent s-a pus problema codării surselor pentru eficientiezarea unei transmisiuni ce se presupunea a nu fi perturbată de

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu 1. Ce se întămplă cu numărul de electroni transportaţi pe secundă prin secţiunea unui conductor de cupru, legat la o sursă cu rezistenta internă neglijabilă dacă: a. dublăm tensiunea la capetele lui? b.

Διαβάστε περισσότερα

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2 TABILIZATOAE DE TENINE ELECTONICĂ Lucrarea nr. 5 TABILIZATOAE DE TENINE 1. copurile lucrării: - studiul dependenţei dintre tensiunea stabilizată şi cea de intrare sau curentul de sarcină pentru stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.

Διαβάστε περισσότερα

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii.

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii. FitVisible Aceasta este versiunea electronică a cărţii Metode Numerice publicată de Editura Tehnică. Cartea a fost culeasă folosind sistemul L A TEX a lui Leslie Lamport, o extindere a programului TEX

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN Montajul Experimental În laborator este realizat un amplificator cu tranzistor bipolar în conexiune cu emitorul comun (E.C.) cu o singură

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα

Electronică Analogică. Redresoare -2-

Electronică Analogică. Redresoare -2- Electronică Analogică Redresoare -2- 1.2.4. Redresor monoalternanţă comandat. În loc de diodă, se foloseşte un tiristor sau un triac pentru a conduce, tirisorul are nevoie de tensiune anodică pozitivă

Διαβάστε περισσότερα

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4.1 Metoda Drumului Critic (C.P.M. Critical Path Metod) 4.1.1 Consideraţii generale Metodele şi tehnicile utilizate

Διαβάστε περισσότερα

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE 4 POLAZAA ANZSOALO POLA ircuitul de polarizare are rolul de a poziţiona într-un punct de pe caracteristica statică, numit Punct Static de uncţionare (PS) ezultă că circuitul de polarizare trebuie să asigure

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme Capitolul Diode semiconductoare 3. În fig. 3 este preentat un filtru utiliat după un redresor bialternanţă. La bornele condensatorului

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

Termostat pentru acvarii

Termostat pentru acvarii Termostat pentru acvarii Pentru pastrarea in interiorul acvariilor a unei temperaturi de +26±1 C se poate realiza o schema electronica simpla, sigura in functionare si in acelasi timp ieftina. Alimentata

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1.

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1. Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a X-a 1 of 2 4/14/2008 12:27 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1 1 Un termometru cu lichid este gradat intr-o scara de temperatura liniara,

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII Tema lucrării: 1) Determinarea puterii rotatorii specifice a zahărului 2) Determinarea concentraţiei unei soluţii de zahăr 3) Determinarea dispersiei

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme mecanice de criptare

Sisteme mecanice de criptare Prelegerea 3 Sisteme mecanice de criptare Sistemele de criptare pot fi aduse la un grad mai mare de complexitate şi securitate dacă se folosesc mijloace mecanice de criptare. Astfel de mecanisme special

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ Σύμφωνα με τη Γραμματική της Ρουμανικής Γλώσσας, τα αριθμητικά διακρίνονται σε: 1. Απόλυτα αριθμητικά α. Απλά: unu, doi, trei... (ένα, δύο, τρία) κ.λπ. β. Σύνθετα: doisprezece, treizeci...

Διαβάστε περισσότερα

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg CURSUL AL IV-LEA 1 Reprezentarea grafică a datelor statistice - Consideraţii generale Sunt două metode de bază în statistică: numerică şi grafică. Folosind metoda numerică putem calcula statistici ca media

Διαβάστε περισσότερα

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE Cuprins CAPITOLL 8 STABILIZATOARE DE TENSINE REALIZATE C CIRCITE INTEGRATE ANALOGICE...220 8.1 Introducere...220 8.2 Stabilizatoare de tensiune realizate cu amplificatoare operaţionale...221 8.3 Stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic.

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. PRELUCRARI DE DATE CU PROGRAMUL MICROSOFT EXCEL LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. Lansati programul

Διαβάστε περισσότερα

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC Lucrarea nr. 3 STDIL SI VERIFICAREA NI MLTIMETR NMERIC I. INTRODCERE Aparatele de măsurare de tip multimetru permit măsurarea mărimilor electrice cele mai uzuale: tensiune, curent, rezistenţă. Primele

Διαβάστε περισσότερα

3.6. Formule de calcul pentru medie şi dispersie

3.6. Formule de calcul pentru medie şi dispersie Dragomirescu L., Drane J. W.,, Biostatisticã pentru începãtori. Vol I. Biostatisticã descriptivã. Editia a 6 revãzutã, Editura CREDIS, Bucureşti, 7p. ISB 78-7-74-46-8..6. Formule de calcul pentru medie

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII CAPITOLL 4 AMPLIFICATOAE DE MĂSAE. APLICAŢII 4.. Noţiuni fundamentale n amplificator este privit ca un cuadripol. Dacă mărimea de ieşire este de A ori mărimea de intrare, unde A este o constantă numită

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOEHICULELOR CU ROŢI 5.1 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOEHICULELOR ŞI CONDIŢIA DE ÎNAINTARE A ACESTORA Se consideră cazul general al unui autovehicul care

Διαβάστε περισσότερα

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή - Διεύθυνση Andreea Popescu Str. Reşiţa, nr. 4, bloc M6, sc. A, ap. 12. Turnu Măgurele Jud. Teleorman 06102. România. Ελληνική γραφή διεύθυνσης: Όνομα Παραλήπτη Όνομα και νούμερο οδού Ταχυδρομικός κώδικας,

Διαβάστε περισσότερα

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive 1. Scopul lucrării: Iniţierea studenţilor cu proiectarea asistată de calculator (CAD) a unei scheme electrice în vederea simulării funcţionării acesteia;

Διαβάστε περισσότερα

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã Emil Budescu BIOMECANICA GENERALã IASI 03 C U P R I N S pag. I. Introducere în biomecanica 3. Obiectul de studiu 3. Terminologie 7 3. Aspecte de baza ale biomecanicii 4. Aspecte de baza ale anatomiei si

Διαβάστε περισσότερα

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP)

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP) Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =

Διαβάστε περισσότερα

Exercitii : Lecţia 1,2,3

Exercitii : Lecţia 1,2,3 Exercitii : Lecţia 1,2,3 1.Notarea câmpurilor Tabla de şah are 64 de pătrăţele numite câmpuri. Fiecare câmp poate fi identificat de coloana şi linia pe care se află, orice câmp se află la intersecţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

De la problemă la algoritm

De la problemă la algoritm De la problemă la algoritm Procesul dezvoltării unui algoritm, pornind de la specificaţia unei probleme, impune atât verificarea corectitudinii şi analiza detaliată a complexităţii algoritmului, cât şi

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE BASCULANTE BISTABILE

CIRCUITE BASCULANTE BISTABILE 6 CICUITE BACULANTE BITABILE 6. Introducere Circuitele basculante bistabile sau, mai scurt, circuitele bistabile sunt circuite care pot avea la ieşire două stări stabile: logic şi logic. Circuitul poate

Διαβάστε περισσότερα

OSCILOSCOPUL ANALOGIC

OSCILOSCOPUL ANALOGIC OSCILOSCOPUL ANALOGIC 1. Scopul aplicaţiei Se urmăreşte studierea osciloscopului analogic HM303-6 al firmei germane HAMEG. Lucrarea prezintă principiul de funcţionare al osciloscopului la nivel de schemă

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Tema I FORMAREA IMAGINII

Tema I FORMAREA IMAGINII Tema I FORMAREA IMAGINII Nevoia de imagini a omului modern creste de la zi la zi. In general, functiile imaginilor sunt urmatoarele : - functia documentara - prezinta concret, imaginea unor termeni si

Διαβάστε περισσότερα

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element.

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element. 1.Multimi Definitie Multimea este o colectie de obiecte/simboluri. Fiecare obiect dintr-o multime este un element al multimii si este scris/specificat o singura data. Mutimile se noteaza, de obicei cu

Διαβάστε περισσότερα

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare:

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare: 1 2 Fiind o aplicaţie din pachetul Microsoft Office, Microsoft Excel prezintă o interfaţă asemănătoare cu editorul de text Microsoft Word având aceeaşi organizare a sistemului de meniuri şi a barelor de

Διαβάστε περισσότερα

NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR. Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu

NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR. Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu CUPRINS CAPITOLUL 1 - OBIECT ŞI DOMENIU DE APLICARE...2 CAPITOLUL 2 -

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - exerciţii

Statisticǎ - exerciţii Statisticǎ - exerciţii Ştefan Balint, Tǎnasie Loredana 1 Noţiuni de bazǎ Exerciţiu 1.1. Presupuneţi cǎ lucraţi pentru o firmǎ de sondare a opiniei publice şi doriţi sǎ estimaţi proporţia cetǎţenilor care,

Διαβάστε περισσότερα

. TEMPOIZATOUL LM.. GENEALITĂŢI ircuitul de temporizare LM este un circuit integrat utilizat în foarte multe aplicaţii. În fig... sunt prezentate schema internă şi capsulele integratului LM. ()V+ LM Masă

Διαβάστε περισσότερα

FIZICĂ. Elemente de termodinamica. ş.l. dr. Marius COSTACHE

FIZICĂ. Elemente de termodinamica. ş.l. dr. Marius COSTACHE FIZICĂ Elemente de termodinamica ş.l. dr. Marius COSTACHE 1 ELEMENTE DE TERMODINAMICĂ 1) Noţiuni introductive sistem fizic = orice porţiune de materie, de la o microparticulă la întreg Universul, porţiune

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar aracteristici statice Determinarea unor parametri de interes A.Scopul lucrării - Determinarea experimentală a plajei mărimilor eletrice de la terminale în care T real

Διαβάστε περισσότερα

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare -

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare - GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE - exemplu de proiectare - Presupunem ca se doreste obtinerea unui oscilator cu urmatoarele date de proiectare: Frecventa de oscilatie reglabila in intervalul 2 5

Διαβάστε περισσότερα

PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI

PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI Tema 3. Distilarea și extracția. Obiectivele cursului: În cadrul acestei teme vor fi discutate următoarele subiecte: - operația unitară de concentrare a amestecurilor

Διαβάστε περισσότερα

User s Manual Air Purifier with Ionizer. Εγχειρίδιο Χρήστη Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Υ Σ Κ Ε Υ Ε Σ. Ιονιστής/Καθαριστής αέρα SPRING

User s Manual Air Purifier with Ionizer. Εγχειρίδιο Χρήστη Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Υ Σ Κ Ε Υ Ε Σ. Ιονιστής/Καθαριστής αέρα SPRING Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Υ Σ Κ Ε Υ Ε Σ SPRING User s Manual Air Purifier with Ionizer Εγχειρίδιο Χρήστη Ιονιστής/Καθαριστής αέρα Σας ευχαριστούµε για την επιλογή ηλεκτρικών συσκευών INVENTOR. Για την σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ANEXA INTRODUCERE MODELUL GLM

ANEXA INTRODUCERE MODELUL GLM ANEXA Prezentare model actuarial GLM INTRODUCERE Societățile de asigurare folosesc metode actuariale pentru a determina aceste variabile utilizându-se în general o modelare de tipul generalized linear

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea 6 DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE REZISTENȚĂ HIDRAULICĂ LINIARĂ. 6.1 Considerații teoretice

Lucrarea 6 DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE REZISTENȚĂ HIDRAULICĂ LINIARĂ. 6.1 Considerații teoretice 4 Lucrarea 6 DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE REZISTENȚĂ HIDRAULICĂ LINIARĂ 6.1 Considerații teoretice O instalaţie care asigură transportul şi distribuţia fluidelor (lichide, gaze) între o sursă şi un consumator

Διαβάστε περισσότερα

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1)

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1) ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE Note de curs (draft v1.1) Prefaţă Când dorim să reprezentăm obiectele din lumea reală într-un program pe calculator, trebuie să avem în vedere: modelarea obiectelor din

Διαβάστε περισσότερα

ARHETIPURI 1. de Corrado Malanga. Traducere în limba română de Alexandra Blănaru

ARHETIPURI 1. de Corrado Malanga. Traducere în limba română de Alexandra Blănaru ARHETIPURI 1 de Corrado Malanga Traducere în limba română de Alexandra Blănaru Prefață De obicei nu îmi încep scrierile cu prefețe inutile, dar în acest caz trebuie să-l lămuresc pe cititor cu privire

Διαβάστε περισσότερα

1 CIRCUITUL ELECTRONIC

1 CIRCUITUL ELECTRONIC S.D.Anghel Bazele electronicii analogice şi digitale CICUITUL ELECTONIC. Elemente de circuit. eţea electrică Un circuit electronic este un ansamblu de comonente electronice conectate între ele entru generarea

Διαβάστε περισσότερα

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2.1. Consideraţii generale Utilizarea automobilului constă în transportul pe drumuri al pasagerilor, încărcăturilor sau al utilajului special montat pe

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3 Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a VII-a Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VII-a» Attempt 1 1 Pentru a deplasa uniform pe orizontala un corp de masa m = 18 kg se actioneaza asupra lui

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache 2 * Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea 5. Sursa de tensiune continuă cu diode

Lucrarea 5. Sursa de tensiune continuă cu diode Cuprins I. Noţiuni teoretice: sursa de tensiune continuă, redresoare de tensiune, stabilizatoare de tensiune II. Modul de lucru: Realizarea practică a unui redresor de tensiune monoalternanţă. Realizarea

Διαβάστε περισσότερα

ANUL al V-lea Nr. 2/2015. Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu

ANUL al V-lea Nr. 2/2015. Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu DIDACTICA MATEMATICĂ SUPLIMENT AL GAZETEI MATEMATICE ANUL al V-lea Nr. 2/2015 Modele de lecţii Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu de Eugen Păltănea Propunem o tematică

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗ Η ΚΟΙΝΟΤΙΚΗ ΟΔΗΓΙΑ 2002/14 ΚΑΙ Η ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΤΗΣ ΣΤΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ INFORMARE ȘI CONSULTARE

ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗ Η ΚΟΙΝΟΤΙΚΗ ΟΔΗΓΙΑ 2002/14 ΚΑΙ Η ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΤΗΣ ΣΤΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ INFORMARE ȘI CONSULTARE 1 ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗ Η ΚΟΙΝΟΤΙΚΗ ΟΔΗΓΙΑ 2002/14 ΚΑΙ Η ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΤΗΣ ΣΤΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ INFORMARE ȘI CONSULTARE Παναγιώτης Κατσαμπάνης Panagiotis Katsampanis Παρουσίαση στο Βουκουρέστι στις 15/04/16

Διαβάστε περισσότερα

PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ 1. LIMBA ENGLEZĂ

PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ 1. LIMBA ENGLEZĂ PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ Anexa nr. 2 Extras din Metodologia organizării şi desfăşurării admiterii în Academia Forţelor Terestre Nicolae

Διαβάστε περισσότερα

PicoScope 6. Software-ul PC Osciloscop. Ghidul utilizatorului. psw.ro r41 Copyright Pico Technology Ltd. Toate drepturile rezervate.

PicoScope 6. Software-ul PC Osciloscop. Ghidul utilizatorului. psw.ro r41 Copyright Pico Technology Ltd. Toate drepturile rezervate. PicoScope 6 Software-ul PC Osciloscop Ghidul utilizatorului Manual de utilizare PicoScope 6 I Cuprins 1 Bun venit...1...2 2 Privire de ansamblu PicoScope 6 3 Introducere...3 1 Declaraţie legală...3 2

Διαβάστε περισσότερα

Supapa de siguranta cu ventil plat si actionare directa cu arc

Supapa de siguranta cu ventil plat si actionare directa cu arc Producator: BIANCHI F.LLI srl - Italia Supapa de siguranta cu ventil plat si actionare directa cu arc Model : Articol 447 / B de la ½ la 2 Cod Romstal: 40180447, 40184471, 40184472, 40184473, 40184474,

Διαβάστε περισσότερα

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Subiectul I Pentru fiecare dintre cerinţele de mai jos scrieţi pe foaia de examen, litera corespunzătoare răspunsului corect. 1.

Διαβάστε περισσότερα

STUDIUL COMPARATIV AL CURBELOR DE TITRARE A UNOR ACIZI

STUDIUL COMPARATIV AL CURBELOR DE TITRARE A UNOR ACIZI REACŢIA CHIMICĂ STUDIUL COMPARATIV AL CURBELOR DE TITRARE A UNOR ACIZI Reacţia de titrare a unui acid tare respectiv a unui acid slab (notat în general HA) cu o bază tare se reprezintă prin echilibrul:

Διαβάστε περισσότερα

UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE

UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE COLEGIUL UCECOM SPIRU HARET BUCURESTI UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE Elev : Popa Maria Clasa :a-xi-a A Indrumator:prof.Chirescu Emil APLICATII PRACTICE CE POT FI REALIZATE

Διαβάστε περισσότερα