Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare
|
|
- Δαυίδ Μιχαηλίδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare 1. Matrici şi determinanţi Reamintim aici câteva proprietăţi ale matricilor şi determinanţilor. Definiţia 1.1. Fie K un corp (comutativ) şi m, n N. O funcţie A : {1,..., m} {1,..., n} K s.n. matrice cu m linii, n coloane (sau de tip (m, n)) şi coeficienţi în K. Notaţia Notăm cu M m,n (K) mulţimea matricilor cu m linii, n coloane şi coeficienţi în K. Dacă m = n, atunci notăm M n (K) şi numim elementele acestei mulţimi matrici pătratice. 2. Dacă A M m,n (K), atunci se notează de obicei A(i, j) = a ij, iar matricea A este privită ca un tablou a a 1n A =... = [a ij ] 1 i m;1 j n = [a ij ] a m1... a mn Observaţia 1.3. Orice matrice A M m,n (K) poate fi privită ca: l A o coloană cu m vectori (linie) din K n : A = 1., unde l A i = (a i1,..., a in ); o linie cu n vectori coloană din K m : A = [c A 1,..., c A n ], unde c j = (a 1j,..., a mj ) t. Definiţia ) Dacă A = [a ij ] M mn (K) şi B = [b ij ] M mn (K), atunci adunarea matricilor A şi B este dată de A + B = [a ij + b ij ] M mn (K). 2) Dacă A = [a ij ] M mn (K) şi B = [b ij ] M n (K), atunci înmulţirea matricilor matricilor A şi B este dată de AB = [c ij ] M mp (K), unde c ij = n k=1 a ikb kj. 3) Dacă A = [a ij ] M mn (K) α K, atunci înmulţirea matricii A cu scalarul α este dată de αa = [αa ij ]. 1 l A m
2 2 MATRICI ŞI SISTEME DE ECUAŢII LINIARE Observaţia 1.5. Au loc următoarele proprietăţi: (M mn (K), +) este un grup abelian; Înmulţirea matricilor este asociativă (când poate fi efectuată) nu este comutativă! (M n (K), +, ) este un inel cu unitate. Unitatea inelului este: I n = = [δ ij], cu i {1,..., n}, δ ii = 1 şi i, j {1,..., n}, i j, δ ij = 0. (AB) t = B t A t, unde A t = [a ji ] notează transpusa matricii A = [a ij ]. Definiţia 1.6. Dacă A = [a ij ] M n (K), atunci numărul s.n. determinantul lui A. Example 1.7. n = 2 det(a) = σ S n ɛ(σ)a 1σ(1)... a nσ(n) Propoziţia 1.8. Proprietăţi ale determinanţilor-sinteză) 1) det(a) = det(a t ); 2) Dacă o linie (coloană) a matricii A este 0, atunci det(a) = 0; 3) Dacă σ S n, atunci det[a σ(i)j ] = det[a iσ(j) ] = ɛ(σ) det[a ij ]; 4) Dacă A M n (K) şi A este obţinută din A prin permutarea a două linii (coloane), atunci det(a) = det(a ); 5) Dacă în matricea A două linii (coloane) sunt egale, atunci det(a) = 0. 6) Dacă A = [a ij ] şi pentru un indice k, j {1,..., n}, a kj = a kj + a kj, atunci det(a) = det(a ) + det(a ), unde A = [a ij] şi A = [a ij] cu a ij = a ij pentru i k; 7) Dacă o linie (coloană) a matricii A este o combinaţie liniară de celelalte linii (coloane), atunci det(a) = 0. 8) Valoarea determinantului nu se modifică dacă adăugăm la o linie (coloană) o combinaţie liniară de celelalate linii (coloane).
3 2. RANGUL UNEI MATRICI 3 9) Dacă A, B M n (K) şi α K, atunci det(ab) = det(a) det(b) şi det(αa) = α n det(a). Dacă A este obţinută din A prin înmulţirea unei linii (coloane) cu α, atunci det(a ) = α det(a). 10) (complemenţi algebrici) Dacă A = [a ij ] M n (K) şi A ik reprezintă matricea obţinută din A prin scoaterea liniei i şi coloanei k, atunci Γ ik = ( 1) i+k det(a ik ) s.n. complemenul algebric ataşat coeficietului a ik. Au loc egalităţile: n det(a) = a ik Γ ik i=1 (dezvoltarea determinantului după coloana k); n det(a) = a ij Γ ij j=1 (dezvoltarea determinantului după linia i). 2. Rangul unei matrici Definiţia 2.1. Dacă A = [a ij ] M mn (K), p, q N şi 1 i 1 < i 2 < < i p m; 1 j 1 <... j q n sunt două şiruri strict crescătoare de numere naturale, atunci matricea a i1 j 1 a i1 j 2... a i1 j q a i2 j 1 a i2 j 2... a i2 j q [a il j k ] = a ip j 1 a ip j 2... a ip j q M pq(k) s.n. submatrice (de tip (p, q)) a matricii A. Un determinant al unei submatrici de tip (p, p) s.n. minor de grad p. Observaţia 2.2. Maricea A are C p mc q n submatrici de tip (p, q). Definiţia 2.3. Spunem că o matrice A are rangul r (şi notăm rang(a) = r) dacă A are un minor de grad r nenul şi toţi minorii de ordin superior lui r ataşaţi lui A sunt nuli. Teorema 2.4. Dacă A M mn (K), atunci rang(a) = rang[c A 1,..., c A n ] = rang[l A 1,..., l A m]
4 4 MATRICI ŞI SISTEME DE ECUAŢII LINIARE Dacă rang(a) = r, Corolarul 2.5. rang(a) = r dacă şi numai dacă A are un minor de grad r nenul şi orice minor de grad > r este nul. Observaţia 2.6. Teorema 2.4 ne arată că putem folosi algoritmul furnizat de lema substituţiei pentru determinarea rangului unei matrici. Example 2.7.
5 3. TRANSFORMĂRI ELEMENTARE 5 3. Transformări elementare Definiţia 3.1. Fie a = [v 1,..., v i,..., v j,..., v n ] un sistem de vectori din K-spaţiul vectorial V. Spunem că efectuăm o transformare elementară asupra sistemului a dacă îl modificăm într-unul din următoarele moduri: permutăm (intervertim) doi vectori din sistem, obţinând un sistem: a = [v 1,..., v j,..., v i,..., v n ] înmulţim un vector cu un scalar α 0, obţinând un sistem: a = [v 1,..., αv i,..., v j,..., v n ] adunăm la un vector din sistem un alt vector din sistem înmulţit cu un scalar α K, obţinând sistemul: a = [v 1,..., v i + αv j,..., v j,..., v n ] Propoziţia 3.2. Fie a un sistem de vectori din K-spaţiul vectorial V şi b un sistem de vectori obţinut din a prin aplicarea succesivă a unui număr finit de transformări elementare. Atunci a = b. Corolarul 3.3. Dacă a şi b sunt ca în propoziţia anterioară, atunci rang(a) = rang(b). Definiţia ) Fie A = [a ij ] = [c A 1,..., c A n ] = [l A 1,..., l A n ] M mn (K). Spunem că efectuăm o transformare elementară pe linii, respectiv coloane, asupra matricii A dacă modificăm matricea efectuând o transformare elementară asupra coloanelor, respectiv liniilor, sale. 2) Două matrici A, B M mn (K) sunt elementar echivalente (pe linii, respectiv coloane) dacă B este obţinută din A prin aplicarea succesivă a unui număr finit de transformări elementare numai asupra liniilor repectiv numai asupra coloanelor lui A. Definiţia 3.5. O matrice B = [b ij ] M mn (K) are o formă eşalon cu r linii (coloane) nenule dacă sunt îndeplinite condiţiile: (i) liniile (coloanele) r + 1, r + 2,... sunt nule;
6 6 MATRICI ŞI SISTEME DE ECUAŢII LINIARE (ii) dacă n 0 (i) repezintă numărul elementelor nule de la începutul liniei (coloanei) i, atunci 0 n 0 (1) < n 0 (2) < < n 0 (r). Dacă, în plus, 1 i r n 0 (i) = i 1, atunci B are o formă trapezoidală. O matrice din M mn cu formă trapezoidală cu n linii nenule s.n. matrice triunghiulară. Dacă singurele elemente posibil nenule din B sunt b 11,..., b rr, atunci spunem că B are formă diagonală. Example 3.6. Teorema 3.7. Orice matrice este elementar echivalentă cu o matrice eşalon. Aplicaţii. 1. Aflarea rangului unui sistem de vectori şi a unei baze a subspaţiului generat Fie V un K-s.v., e = [e 1,..., e n ] o bază a lui V şi a = [v 1,..., v m ] un sistem de vectori din V. scriem coordonatele vectorilor din a în
7 baza e: 4. SCHIMBAREA BAZEI UNUI SPAŢIU VECTORIAL 7 v 1 = (α 11,..., α 1n )e t,..., v m = (α m1,..., α mn )e t şi considerăm matricea A = [α ij ] M mn (K). Avem egaliatea (formală): v 1 α α 1n e 1 a t =. = = Ae t. v m α m1... α mn e n Fie B M mn (K) o matrice eşalon cu r linii nenule, echivalentă pe linii cu A, B = [l A 1,..., l A m] t. Teorema 3.8. a) rang(a) = r;. b) Sistemul de vectori [l A 1 e t,..., l A r e t ] este o bază pentru a. 2. Aflarea rangului unei matrici Corolarul 3.9. Dacă A este o matrice, elementar echivalentă pe linii cu o matrice eşalon cu r linii nenule, atunci rang(a) = r. Example Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial Problema 4.1. Fie V un K-s.v. şi a = [v 1,..., v n ], b = [w 1,..., w n ] două baze din V. Să se găsească o formulă de calcul a coordonatelor unui vector x în baza b, atunci când ştim coordonale sale în baza a. Soluţie. Fie x = (α 1,..., α n )a t = (β 1,..., β n )b t. Scriem coordonatele vectorilor din a în baza b: v 1 = (α 11,..., α 1n )b t,..., v n = (α n1,..., α nn )b t
8 8 MATRICI ŞI SISTEME DE ECUAŢII LINIARE şi considerăm matricea A = [α ij ] M mn (K). Avem egaliatea (formală): v 1 α α 1n w 1 a t =. = = Ub t, v m α n1... α nn w n unde U = [α ij ] M n (K). Dacă x = (α 1,..., α n )a t = (β 1,..., β n )b t, atunci (α 1,..., α n )Ub t = (β 1,..., β n )b t, deci (β 1,..., β n ) = (α 1,..., α n )U. Definiţia 4.2. Matricea U construită anterior s.n. trecere de la baza a la baza b. Notaţia 4.3. Situaţia prezentată se notează: a U b. Am demonstrat matricea de Teorema 4.4. Dacă a şi b sunt baze ale K-s.v. V, a U b şi x = (α 1,..., α n )a t = (β 1,..., β n )b t, atunci (β 1,..., β n ) = (α 1,..., α n )U Teorema 4.5. Fie V un K-s.v. şi a, b şi c baze ale lui V. Dacă a U b, b U c, atunci a UV c a = Ub = UV c. Corolarul 4.6. Dacă a U b şi b U a, atunci UV = V U = I n 5. Matrici inversabile Definiţia 5.1. O matrice U M n (K) s.n. inverabilă dacă există V M n (K) astfel încât UV = V U = I n. În această situaţie V se notează cu U 1 şi s.n. inversa lui U. Corolarul 5.2. Dacă a U b şi b U a, atunci U şi V sunt inversabile şi V = U 1. Teorema 5.3. O matrice A M n (K) este inversabilă dacă şi numai dacă det(a) 0.
9 5. MATRICI INVERSABILE 9 Observaţia 5.4. Demontraţia teoremei anterioare ne furnizează o metodă de calcul a inversei unei matrici. Teorema 5.5. O matrice A M n (K) este inversabilă dacă şi numai dacă sistemul de vectori format din liniile (coloanele) sale reprezintă o bază a K-spaţiului vectorial K n. Observaţia 5.6. Este suficient să cerem ca sistemul de vectori să fie liniar independent.
10 10 MATRICI ŞI SISTEME DE ECUAŢII LINIARE Observaţia 5.7. Dacă A M n (K) este invesabilă, atunci A 1 este matricea de trecere de la baza canonică la baza [l A 1,..., l n A] (sau [c A 1,..., c n A]). Liniile (coloanele) matricii A 1 sunt date de cordonatele vectorilor din baza canonică în baza [l A 1,..., l n A] (respectiv [c A 1,..., c n A]). Metode de calcul pentru inversa unei matrici. II. Folosind lema substituţiei c A 1... c A n e 1... e n e t A I n ca 1. I n A 1 III. Folosind transformări elementare Dacă A este inversabilă atunci A I n. Metoda: [A I n ] [I n A 1 ] (se lucrează numai pe linii!) Example 5.8. c A n 6. Matricea unei aplicaţii liniare Fie U şi V două K-spaţii vectoriale, a = [a 1,..., a m bază în U şi b = [b 1,..., b n ] bază în V. Dacă f : U V este o aplicaţie liniară, calculăm coordonatele vectorilor f(a i ) în baza b: adică f(a 1 ) = (α 11,..., α 1n ) f(a m ) = (α m1,..., α mn ) ( ) f(a 1 ). f(a m ) = [α ij ] Definiţia 6.1. Matricea (α ij ) M mn (K) dată de formula ( ) s.n. matricea aplicaţiei liniare f în perechea de baze (a, b). Ea se notează cu [f] ab. Dacă U = V şi a = b, atunci notăm matricea corespunzătoare cu [f] a. Observaţia 6.2. Formula ( ) poate fi scrisă formal f(a t ) = [f] ab b t. b 1. b n b 1. b n b 1. b n,
11 6. MATRICEA UNEI APLICAŢII LINIARE 11 Reciproc, dacă A M mn (K), atunci!f : U V aplicaţie liniară astfel încât [f] ab = A. Aplicaţia f este construită cu condiţia ( ). Dacă x = (α 1,..., α m )a t, atunci f(x) = (α 1,..., α m )[f] ab b t. Observaţia 6.3. (α 1,..., α m )[f] ab reprezintă coordonatele lui f(x) în baza b. Propoziţia 6.4. (legătura între operaţii) Fie U, V şi W trei K-spaţii vectoriale în care sunt fixate bazele a, b, respectiv c. a) Dacă f, g : U V sunt aplicaţii liniare şi α K, atunci [f + g] ab = [f] ab + [g] ab, [αf] ab = α[f] ab. b) Dacă f : U V şi g : V W sunt aplicaţii liniare, atunci [g f] ac = [f] ab [g] bc. Propoziţia 6.5. (schimbarea bazei) Fie f : U V o aplicaţie liniară, a şi a baze în U, respectiv b şi b baze în V. Dacă a A a şi bb B, atunci [f] a b = A 1 [f] ab B.
12 12 MATRICI ŞI SISTEME DE ECUAŢII LINIARE Reamintim rang(f) = dim K (Im(f)), def(f) = dim K (Ker(f)). Propoziţia 6.6. Dacă f : U V este o aplicaţie liniară, a este bază în U şi b este bază în V, atunci def(f) = dim K (U) rang[f] ab. rang(f) = rang[f] ab, Example 6.7. f : R 4 R 3, f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +x 3 x 4, x 1 + 3x 2 x 3 + x 4, 2x 1 3x 2 + 2x 3 2x 4 ). 7. Vectori şi valori proprii Definiţia 7.1. Fie V un K-s.v. şi f : V V un endomorfism al lui V. Un vector x V \ {0} s.n. vector propriu ataşat lui f dacă există λ K astfel încât f(x) = λx. În aceste condiţii spunem că λ este o valoare proprie a lui f, corespunzătoare vectorului propriu x. Mulţimea Spec(f) = {λ K λ este valoare proprie pentru f} s.n. spectrul lui f. Propoziţia 7.2. Fie V un K-s.v. şi f : V V un endomorfism al lui V. Sunt adevărate afirmaţiile: a) Unui vector propriu îi corespunde o singură valoare proprie. b) Un sistem format din vectori proprii corespunzători la valori proprii distinte este liniar independent.
13 7. VECTORI ŞI VALORI PROPRII 13 c) Dacă λ Spec(f), atunci mulţimea V λ = {v V f(v) = λv} este un subspaţiu nenul al lui V şi f(v λ ) V λ. Observaţia 7.3. V λ = Ker(f λ1 V ) este mulţimea vectorilor proprii corespunzători lui λ la care se adaugă vectorul nul. Definiţia 7.4. Dacă λ Spec(f), atunci V λ s.n. subspaţiul vectorilor proprii ataşati lui λ. Numărul d λ = dim K (V λ ) s.n. multiplicitatea geometrică a lui λ. Definiţia 7.5. Fie V un K-s.v. cu dim K (V ) = n, b o bază în V şi f : V V un endomorfism al lui V. Polinomul P f (X) = det([f] b XI n ) s.n. polinomul caracteristic ataşat lui f. Teorema 7.6. Fie V un K-s.v. şi f : V V un endomorfism al lui V. a) Valoarea polinomului caracteristic P f (X) este idependentă de baza în care acesta se calculează. b) λ Spec(f) P f (λ) = 0.
14 14 MATRICI ŞI SISTEME DE ECUAŢII LINIARE Definiţia 7.7. Ordinul de multiplicitate a unei valori proprii λ ca rădăcină a polinomului caracteristic s.n. multiplicitatea algebrică a lui λ şi se noteaă cu m λ. Propoziţia d λ m λ dim K (V ). Observaţia 7.9. Teoria vectorilor şi valorilor proprii poate fi făcută şi pentru matrici pătratice, ţinând cont e faptul că orice matrice A M n (K) determină un endomorfism al K-spaţiului vectorial V. Definiţia Fie A M n (K). a) Polinomul P A (X) = det(a XI n ) s.n. polinomul caracteristic ataşat lui A. b) Un scalar λ K s.n. valoare proprie pentru A dacă P A (λ) = 0. Notăm cu Spec(A) mulţimea valorilor proprii ataşate lui A. c) Un n-uplu α = (α 1,..., α n ) K n \{0} s.n. vector propriu pentru A dacă α(a λi n ) = 0 pentru un λ K. d) Dacă λ Spec(f), atunci d A = n rang(a λi n ) s.n. multiplicitatea geometrică a lui A. m λ =ordinul de multiplicitate a rădăcinii λ pentru P A (X) s.n. multiplicitatea algebrică a lui λ. Definiţia Două matrici A, A M n (K) sunt asemenea dacă există B M n (K) a.i. A = B 1 AB Observaţia Două matrici asemenea au acelaşi polinom caracteristic. Definiţia Spunem că o matrice A M n (K) este simetrică dacă A = A t. Teorema Dacă A M n (R) este o matrice simetrică, atunci Spec(A) R.
15 8. ENDOMORFISME (MATRICI) DIAGONALIZABILE Endomorfisme (matrici) diagonalizabile Definiţia 8.1. Fie V un K-s.v. şi f : V V un endomorfism al lui V. Spunem că f este diagonalizabil dacă există o bază b a lui V astfel înât [f] b să fie diagonală. O matrice este diagonalizabilă dacă este asemenea cu o matrice diagonală. Teorema 8.2. Un endomorfism f al K-spaţiului vectorial V este diagonalizabil dacă şi numai dacă V are o bază formată din vectori proprii ai lui f. Teorema 8.3. Fie V un K-s.v. şi f : V V un endomorfism al lui V (A M n (K)). Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) f (respectiv A) este diagonalizabil. b) λ Spec(f), m λ = d λ. Observaţia 8.4. Ca să găsim forma diagonală trebuie să determinam o bază formată din vectori proprii. Procedeu practic de diagonalizare Pentru diagonalizare endomorfismului f : V V cu dim K (V ) = n, se parcurg următorii paşi: 1) Se fixează o bază b a lui V şi se determină matricea [f] b ; 2) Calculăm P f (X) şi determinăm Spec(f); 3) Se determină m λ, λ Spec(f). Dacă λ Spec(f) n, atunci f nu este diagonalizabil; Dacă λ Spec(f) = n, atunci se trece la 4); 4) Pentru fiecare λ Spec(f) calculăm d λ = n rang([f] b λi n );
16 16 MATRICI ŞI SISTEME DE ECUAŢII LINIARE Dacă λ a.i. m λ d λ, atunci f nu este diagonalizabil; Dacă λ, m λ d λ, atunci f este diagonalizabil şi se trece la pasul 5); 5) Pentru fiecare λ Spec(f) determinăm o bază a λ în V λ = Ker(f λ1 V ). 6) Reuniunea bazelor a λ este o bază în care f are forma diagonală. Observaţia 8.5. Pentru diagonalizarea matricilor se respectă paşii 2) 5) din algoritmul anterior. Pasul 6) se înlocuieşte cu: 6 ) Matricea care are pe linii vectorii determinaţi la pasul 5) are proprietatea: BAB 1 este matrice diagonală (A notează matricea iniţială). Example 8.6. A = Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 9.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale (S) a 11 X 1 + a 12 X a 1n X n = b 1 a 21 X 1 + a 22 X a 2n X n = b 2, a ij, b i K. a m1 X 1 + a m2 X a mn X n = b m Dacă b 1 = = b n = 0, atunci spunem că (S) este un sistem omogen. 2) Un vector x = (x 1,..., x n ) K n este soluţie pentru (S) dacă înlocuind necunoscutele sistemului cu componentele vectorului X i := x i toate egalităţile ce se obţin sunt adevărate. 3) Sistemul (S) este compatibil dacă are cel puţin o soluţie şi este incompatibil dacă nu are soluţii. (S) este compatibil determinat dacă are exact o soluţie, iar dacă are cel puţin două suluţii, atunci spunem că este compatibil nedeterminat. Definiţia 9.2. Fiind dat un sistem (S), matricea A = (a ij ) s.n. a a 1n b 1 matricea sitemului (S). Matricea A e =.... s.n. a m1... a mn b m matricea extinsă ataşată lui (S). Observaţia 9.3. (Forma matriceală) Dacă A = [a ij ] este matricea sistemului (S), atunci sistemul poate i scris sub forma: (S) AX t = b t,
17 9. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE 17 unde X = (X 1,... X n ) şi b = (b 1,..., b m ). Observaţia 9.4. (Forma vectorială) Dacă privim coloanele matricii A ca vectori coloană din K-spaţiul vectorial K n, atunci sistemul poate fi pus sub forma: (S)X 1 c A X n c A n = b t Teorema 9.5. (Kroneker-Capelli) Sistemul de ecutaţii liniare (S) este compatibil dacă şi numai dacă rang(a) = rang(a e ). Observaţia 9.6. Criteriul lui Rouché, studiat în liceu este o consecinţă a teoremei Kroneker-Capelli. Teorema 9.7. Soluţiile unui sistem omogen (S) cu n necunoscute formează un subspaţiu al K-spaţiului vectorial K n, de dimensiune n rang(a).
18 18 MATRICI ŞI SISTEME DE ECUAŢII LINIARE Corolarul 9.8. Un sistem omogen (S) are doar soluţia banală (0,..., 0) dacă şi numai dacă n = rang(a). Observaţia 9.9. Din demonstraţia teoremei se deduce că subspaţiul soluţiilor unui sistem omogen coincide cu nucleul aplicaţiei liniare f : K n K m cu [f] ee = A t, unde e şi e sunt bazele canonice. Prin urmare, pentru determinarea solţiilor unui sistem omogen se pot aplica metodele prezentate pentru determinarea nucleelor de aplicaţii liniare. Teorema Fie (S) AX t = b t un sistem de ecuaţii liniare şi (S 0 ) sistemul omogen AX t = 0 (obţinut prin înlocuirea coloanei b cu 0). Dacă x 0 este o soluţie particulară a lui (S) şi S 0 este mulţimea soluţiilor lui (S 0 ), atunci mulţimea soluţiilor sistemului (S) este S = x 0 + S 0 = {x 0 + y y S 0 }. 10. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare Teorema (Regula lui Cramer) Un sistem (S) AX t = b t cu n ecuaţii şi n necunoscute (adică A M n (K)) este compatibil determinat dacă şi numai dacă det(a) 0. În aceste condiţii soluţia este x = (x 1,..., x n ) cu x i = (det(a)) 1 det[c A 1,..., c A i 1, b t, c A i+1,..., c A n ], i {1,..., n}.
19 10. REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE 19 Metode de rezolvare I. Metoda lui Cramer II. Folosind lema substituţiei Observaţia Este suficient să găsim o bază pentru spaţiul soluţiilor sistemului omogen (numit sistem fundamental de soluţii şi o soluţie particulară. Example Să se rezolve sistemul x 1 x 2 + 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 2 x 1 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1 3x 1 + 2x 2 + x 3 4x 4 + 4x 5 = 3 III. Metoda lui Gauss Definiţia Spenem că două sisteme de ecuaţii liniare sunt echivalente dacă ambele sunt compatbile şi au aceleaşi soluţii sau dacă ambele sunt incompatibile. Teorema Dacă sistemele (S) şi (S ) au matricile extinse echivalente pe linii, atunci ele sunt echivalente.
20 20 MATRICI ŞI SISTEME DE ECUAŢII LINIARE Metoda lui Gauss constă în aducerea matricii extinse la o fomă eşalon şi rezolvarea sistemului care are ca matrice extinsă matricea eşalon obţinută. Example Ex. anterior Metoda lui Gauss-Jordan se bazează pa acelaşi principiu ca şi metda lui Gauss, cu diferenţa că se aduce matricea la o formă care este diagonală pe primele n coloane (corespunzătoare matricii sistemlui). Example a) Ex. anterior. Example Să se rezolve cu toate metodele studiate sistemele: 3x 1 + 4x 2 + x 3 + 2x 4 = 3 a) 6x 1 + 8x 2 + 2x 3 + 5x 4 = 7 9x x 2 + 3x x 4 = 13 3x 1 + 4x 2 + x 3 + 2x 4 = 3 b) 6x 1 + 8x 2 + 2x 3 + 5x 4 = 7 9x x 2 + 3x x 4 = 14
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραSpaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.
Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi
Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem
Διαβάστε περισσότεραActivitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere
Διαβάστε περισσότερα, m ecuańii, n necunoscute;
Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραAdriana-Ioana Lefter DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs
Adriana-Ioana Lefter MATEMATICĂ (ALGEBRĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs Cuprins Partea 1 ALGEBRĂ 1 Capitolul 1 Matrice şi determinanţi 3 11 Corpuri 3 12 Matrice 4 13
Διαβάστε περισσότεραGheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE
Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI GEOMETRIE IAŞI, 005 CUPRINS 1 MATRICE ŞI SISTEME ALGEBRICE LINIARE 5 1.1 Matrice şi determinanţi.......................... 5 1. Sisteme de ecuaţii algebrice
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραCursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =
Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραNicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI
Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază
Διαβάστε περισσότεραAlgebră liniară CAPITOLUL 3
Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραCURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n
CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραAriadna Lucia Pletea Adrian Corduneanu Mircea Lupan LECŢII DE ALGEBRĂ LINIARĂ
Ariadna Lucia Pletea Adrian Corduneanu Mircea Lupan LECŢII DE ALGEBRĂ LINIARĂ IASI, 005 1 Cuprins Capitolul 1 1.1. Matrice şi determinanţi...5 1.1.1. Determinantul unei matrice pătratice...8 1.1.. Matricea
Διαβάστε περισσότεραSala: 2103 Octombrie 2014 CURS 1: ALGEBRĂ. Fie K corp comutativ cu elementul neutru la înmulţire notat prin 1 iar 0 la adunare.
Sala: 2103 Octombrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 1: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότερα2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...
Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραSala: Octombrie 2014 SEMINAR 1: ALGEBRĂ. este un Q-spaţiu vectorial, faţă de operaţiile uzuale de adunare şi înmulţire cu un număr raţional.
Sala: Octombrie 24 SEMINAR : ALGEBRĂ Conf univ dr: Dragoş-Pătru Covei Programul de studii: CE, IE, SPE Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat distribuit
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραAlgebră liniară CAPITOLUL 1
Algebră liniară CAPITOLUL SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE. Definiţia spaţiilor vectoriale Pentru a introduce noţiunea de spaţiu vectorial avem nevoie de noţiunea de corp comutativ de caracteristică
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραelemente de geometrie euclidiană
Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Fizică Algebră liniară şi elemente de geometrie euclidiană Adrian NECULAE - Curs pentru uzul studenţilor - Timişoara - 2010 Tipografia Universităţii de
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότερα1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n
1 Preliminarii Fie M, A mulţimi nevide şi n N. Se muneşte operaţie n ară (sau lege de compoziţie n-ară) definită pe M orice aplicaţie τ : M n M (M n = } M {{... M } ). In cazul n = 2, obţinem operaţiile
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE
CAPITOLUL FUNCŢIONALE LINIAE BILINIAE ŞI PĂTATICE FUNCŢIONALE LINIAE BEIA TEOETIC Deiniţia Fie K X un spaţiu vecorial de dimensiune iniă O aplicaţie : X K se numeşe uncţională liniară dacă: ese adiivă
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII
9 PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII 81 Introducere Problema de valori proprii a unui operator liniar A: Ax = λx x vector propriu, λ valoare proprie În reprezentarea unei baze din < n problemă matricială
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότερα1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.
Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI GEOMETRIE. Teorie şi probleme
ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ. Teorie şi probleme Florian MUNTEANU Departamentul de Matematici Aplicate, Universitatea din Craiova Al. Cuza 3, 585 Craiova, Dolj, România
Διαβάστε περισσότεραSisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE ANALITICĂ. Mihai-Sorin Stupariu
GEOMETRIE ANALITICĂ Mihai-Sorin Stupariu Sem. al II-lea, 007-008 Cuprins 1 Elemente de algebră liniară 3 1.1 Spaţii vectoriale. Definiţie. Exemple................ 3 1. Combinaţii liniare. Baze şi repere..................
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder
METODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Alexandru
Διαβάστε περισσότεραSisteme de ecuaţii diferenţiale
Curs 5 Sisteme de ecuaţii diferenţiale 5. Sisteme normale Definiţie 5.. Se numeşte sistem normal sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi dx dt = f (t, x, x 2,..., x n ) dx 2 dt = f 2(t, x, x
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραContract POSDRU/86/1.2/S/ POSDRU ID * Bucureşti 2012
Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Algebră Liniară POSDRU ID 62485 * Bucureşti 212 Prefaţă Algebra liniară şi geometria analitică stau la baza pregătirii matematice universitare, oferind modelări bazate pe
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare
METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Mădălina-Andreea
Διαβάστε περισσότεραLectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi
Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότεραIon CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM
Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM IAŞI 2007 2 Cuprins 1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior 7 1.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi variabili 7 1.2
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραOANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.
ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune
Διαβάστε περισσότεραLectia III Produsul scalar a doi vectori liberi
Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραLaborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu
ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραPseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare
Pseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare Adrian REISNER 1 1. Pseudoinversă a unui endomorfism într-un spaţiu vectorial de dimensiune finită. Fie S un R-spaţiu vectorial de dimensiune
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότερα