Rezolvarea sistemelor liniare determinate
|
|
- Θεμιστοκλῆς Πολίτης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Seminar 2 Rezolvarea sistemelor liniare determinate Acest seminar este dedicat metodelor numerice de rezolvare a sistemelor liniare determinate, i.e. al sistemelor liniare cu numărul de ecuaţii egal cu numărul necunoscutelor. Această problemă apare frecvent în probleme mai complexe iar o rezolvare eficientă şi precisă a sistemelor liniare determinate contribuie esenţial la eficienţa şi stabilitatea unor algoritmi mai complecşi. 2.1 Preliminarii Fie un sistem liniar de n ecuaţii cu n necunoscute. Un astfel de sistem poate fi scris concis în forma: Ax = b, A IR n n, b IR n, x IR n. Problema este de a calcula vectorul x al necunoscutelor atunci când A şi b sunt date. Problema are o soluţie unică doar dacă matricea A este nesingulară, i.e. are o inversă A 1. În acest caz: x = A 1 b. Pentru detalii despre teoria sistemelor liniare vezi cursul şi bibliografia recomandată. Aici ne vom concentra asupra unor sfaturi referitoare la metodele numerice pentru rezolvarea problemei de mai sus. De asemenea, vom arăta cum se rezolvă cu ajutorul calculatorului probleme înrudite, cum ar fi calculul determinantului sau al inversei unei matrice. 1. Nu folosiţi metode binecunoscute cum ar fi Cramer sau formula x = A 1 b. Există metode mai bune, i.e. metode numerice mai precise şi mai eficiente. 2. Cea mai bună metodă de rezolvare a unui sistem liniar triunghiular este substituţia numerică. Dacă A este o matrice inferior triunghiulară nesingulară, atunci vom folosi metoda substituţiei înainte. Dacă A este o matrice superior triunghiulară nesingulară, atunci vom folosi metoda substituţiei înapoi. 1
2 2 SEMINAR 2. REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DETERMINATE 3. Cea mai bună metodă de rezolvare a unui sistem general liniar determinat este metoda reducerii şi substituţiei, i.e. în prima fază sistemul este redus la unul sau două sisteme triunghiulare iar în a două fază sistemul(le) triunghiular(e) este(sunt) rezolvat(e) prin substituţie. 4. Cea mai populară schemă de reducere este eliminarea gaussiană cu pivotare parţială (algoritmul GPP). Cea mai bună este eliminarea gaussiană cu pivotare completă (algoritmul GPC). Nu uitaţi că o strategie de pivotare este necesară totdeauna. Fară pivotare este posibil ca eliminarea gaussiană să nu poată reduce o matrice dată la o formă triunghiulară. 5. Eliminarea gaussiană este echivalentă cu metoda factorizării LU. Metoda factorizării LU trebuie să fie utilizată împreună cu o strategie de pivotare adecvată. 6. Aşa numita metodă Gauss-Jordan, care reduce un sistem dat la unul diagonal este cu aproximativ 30% mai puţin eficientă decât eliminarea gaussiană. Aşadar eliminarea gaussiană este mai bună. 7. Cea mai bună metodă de rezolvare a unui sistem liniar simetric pozitiv definit este folosirea factorizării Cholesky. 8. Nu calculaţi determinanţi şi inversele matricelor fară o cerinţă explicită. Asemenea expresii ca α = c T A 1 b pot fi calculate fară calculul lui A Probleme rezolvate Sisteme triunghiulare şi probleme înrudite Problema 2.1 Fie două matrice nesingulare superior bidiagonalale B, C R n n (b ij = c ij = 0 pentru i > j sau i < j 1), un vector d R n şi matricea A = BC. Daţi soluţii eficiente pentru: a. rezolvarea sistemului liniar Ax = d; b. calculul determinantului δ = det A; c. calculul inversei X = A 1. Soluţie a.vom analiza două scheme de calcul. a1) Prima este: 1. Se calculează A = BC 2. Se rezolvă Ax = d. Pentru a fi eficientă acestă schemă trebuie să exploateze faptul că matricea A are o structură de matrice superior triunghiulară bandă de laţime 3, i.e. a ij = 0 pentu i > j şi j > i + 2 (demonstraţi!), în calcularea lui A ca şi în adaptarea metodei substituţiei înapoi pentru rezolvarea sistemului superior triunghiular Ax = d. Algoritmul este: 1. pentru i = 1 : n 1. pentru j = 1 : n 1. a i,j = 0
3 2.2. PROBLEME REZOLVATE 3 2. a i,i = b i,i c i,i 3. dacă i < n 1. a i,i+1 = b i,i c i,i+1 + b i,i+1 c i+1,i+1 4. dacă i < n 1 1. a i,i+2 = b i,i+1 c i+1,i+2 2. x n dn a n,n 3. x n 1 (dn 1 an 1,nxn) a n 1,n 1 4. pentru i = n 2 : 1 : 1 1. x i (di ai,i+1xi+1 ai,i+2xi+2) a i,i Efortul de calcul este de N fl 10n flopi. a2) Schema a doua evită calcularea explicită a matricei A: 1. Se rezolvă sistemul superior bidiagonal By = d 2. Se rezolvă sistemul superior bidiagonal Cx = y. Adaptând metoda substituţiei înapoi pentru rezolvarea sistemelor superior bidiagonale rezultă algoritmul: 1. y n dn b n,n 2. pentru i = n 1 : 1 : 1 1. y i (di bi,i+1yi+1) b i,i 3. x n yn c nn 4. pentru i = n 1 : 1 : 1 1. x i (yi ci,i+1xi+1) c i,i Efortul de calclul in acest caz este de N op 6n flopi, aşadar al doilea algoritm este aproape de două ori mai eficient decât primul. b. Avem δ = det A = det B C = det B det C = Π n i=1 b iic ii. Aşadar algoritmul este: 1. δ = 1 2. pentru i = 1 : n 1. δ = δ b i,i c i,i c. Vom prezenta doi algoritmi alternativi. c1. Primul algoritm se bazează pe relaţia X = A 1 = C 1 B 1 şi are următoarea schemă de calcul: 1. Se calculează Y = B 1 2. Se calculează Z = C 1 3. Se calculează X = ZY. Aşadar, trebuie să stim să calculăm inversa unei matrice superior bidiagonale. Pentru calcularea ei, vom proceda ca şi în cazul superior triunghiular (vezi cursul), i.e. vom rezolva ecuaţia matriceală BY = I n, care, partiţionată pe coloane, devine By j = e j, j = 1 : n, aici y j = Y (:, j). Bineînţeles, Y este o matrice superior triunghiulară şi, în concluzie,
4 4 SEMINAR 2. REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DETERMINATE y j (j + 1 : n) = 0. Este uşor de văzut ca primele j elemente ale lui y j pot fi calculate, în ordine inversă, cu ajutorul relaţiilor y jj = 1 b jj, y ij = bi,i+1yi+1,j b ii, i = j 1 : 1 : 1. Dacă coloanele lui Y sunt calculate în ordine inversă, atunci Y poate suprascrie B în timpul calculului. În concluzie, algoritmul este: 1. pentru j = n : 1 : 1 1. b j,j y j,j = 1 b j,j 2. pentru i = j 1 : 1 : 1 1. b ij y ij = bi,i+1yi+1,j b ii Numărul flopilor necesari pentru a inversa o matrice bidiagonală este: N fl = n j=1 (1 + 2(j 1)) n 2. Pentru a multiplica cele două matrice superior triunghiulare Z and Y vom folosi formula economică x ij = j k=i z iky kj şi faptul că produsul este o matrice superior triunghiulară. Introducând o sintaxă de forma B Y = UBINV(B) pentru calculul inversei unei maricte superior bidiagonale cu suprascriere, primul algoritm de inversare devine: 1. B Y = UBINV(B) 2. C Z = UBINV(C) 3. pentru i = 1 : n 1. pentru j = 1 : n 1. x ij = 0 2. pentru j = i : n 1. pentru k = i : j 2. x ij = x ij + c ik b kj Efortul de calcul este de N (1) fl 2n 2 + n 3 /6 n 3 /6 flopi. c2. Al doilea algoritm se bazează pe rezolvarea ecuaţiei matriceale BCX = I n folosind schema de calcul: 1. Se rezolvă ecuaţia matriceală BY = I n 2. Se rezolvă ecuaţia matriceală CX = Y Prima instrucţiune este echivalentă cu inversarea lui B şi are nevoie de n 2 flopi. A doua instrucţiune va fi efectuată pe coloanele, i.e. vom rezolva sistemele CX(:, j) = Y (:, j), şi ţinând cont că Y (j + 1 : n, j) = 0 vom avea X(j + 1 : n, j) = 0 (i.e. se ştie faptul că X este superior triunghiulară), aşadar trebuie să rezolvăm doar sistemele bidiagonale C(1 : j, 1 : j)x(1 : j, j) = Y (1 : j, j), j = 1 : n. Al doilea algoritm este: 1. B Y = UBINV(B) 2. pentru j = n : 1 : 1 1. pentru i = j + 1 : n 1. x ij = 0 2. x jj = bjj c jj 3. pentru i = j 1 : 1 : 1 1. x ij = (bij ci,i+1xi+1,j) c ii
5 2.2. PROBLEME REZOLVATE 5 Al doilea algoritm necesită N (2) fl n 2 + 3n2 2 = 5n2 2 flopi. În concluzie, al doilea algoritm este net mai bun decât primul: de exemplu, dacă n = 3000 atunci N (1) fl flopi şi N (2) flopi; aşadar, în acest caz, primul algoritm necesită un timp de execuţie de fl 200 de ori mai mare decât al doilea. Observaţie. Compararea celor doi algoritmi precedenţi arată că este mai avantajoasă rezolvarea sistemelor liniare decât calcularea inversei unei matrice. Această recomandare este valabilă totdeauna, după cum vom vedea în probleme viitoare. Problema 2.2 Presupunem că matricea nesingulară A R n n are o factorizare LU şi că L, U sunt cunoscute. Scrieţi un algoritm care să calculeze elementul (i, j) al matricei A 1 in aproximativ (n j) 2 + (n i) 2 flopi. Soluţie. Matricea A fiind nesingulară, aşa vor fi şi matricele L, U şi În concluzie A 1 = (LU) 1 = U 1 L 1. A 1 (i, j) = e T i A 1 e j = e T i U 1 L 1 e j = x T y, aici x T = e T i U 1 = U 1 (i, :) şi y = L 1 e j = L 1 (:.j). Deoarece matricele L 1 şi U 1 sunt inferior şi, respectiv, superior truiunghiulare, avem x(1 : i 1) = 0 şi y(1 : j 1) = 0. Pentru a calcula vectorul x = x(i : n) şi ỹ = y(j : n) este suficient să rezolvăm sistemele liniare: x T (i : n)u(i : n, i : n) = [ ] 1 0 L(j : n, j : n)y(j : n) = Deci, A 1 (i, j) = x T y = n k=max(i,j) x ky k. Primul sistem liniar poate fi scris în următoarea formă: 1 U T 0 (i : n, i : n)x(i : n) =., 0 aşadar trebuie să rezolvăm două sisteme inferior tiunghiulare de grad n i şi n j, respectiv un produs scalar a doi vectori. Prin urmare numărul de flopi necesari sunt: N fl = (n i) 2 + (n j) 2 + 2(n max(i, j)) (n i) 2 + (n j) Eliminarea gaussiană şi probleme înrudite Problema 2.3 Fie H R n n o matrice superior Hessenberg nesingulară (h ij = 0, pentru i > j + 1). a. Dacă toate submatricele lider principale ale lui H sunt nesingulare, adaptaţi algoritmul de eliminare gaussiană pentru rezolvarea sistemului liniar Hx = b, unde b R n este un vector; calculaţi numărul de operaţii. b. Adaptaţi algoritmii GP P şi LSS GP P pentru aceeaşi problemă. c. Adaptaţi algoritmul Crout pentru calculul factorizării LU al matricei H.. 0
6 6 SEMINAR 2. REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DETERMINATE Soluţie. Matricele Hessenberg apar în probleme mai complexe cum ar fi calcularea valorilor proprii şi a vectorilor proprii. a. Este evident că multiplicatorii µ ij vor fi zero pentru i > j + 1. Atunci, eliminarea gaussiană pentru o matrice Hessenberg va avea forma: Algoritmul G HESS. Dată o matrice superioară Hessenberg H R n n cu H(1 : k, 1 : k) nesingulare pentru k = 1 : n 1, algoritmul efectuează eliminarea gaussiană fară pivotare. Multiplicatorii gaussieni şi matricea superior triunghiulară rezultată vor suprascrie matricea H. 1. pentru k = 1 : n 1 1. h k+1,k µ k+1,k = h k+1,k h kk 2. pentru j = k + 1 : n 1. h k+1,j h k+1,j µ k+1,k h kj Acest algoritm necesită N fl = n 1 k=1 (1 + 2(n k)) n2 flopi. Vectorul b va fi modificat în funcţie de valorile particulare ale multiplicatorilor: 1. pentu k = 1 : n 1 1. b k+1 b k+1 h k+1,k b k executând 2n flopi. Atunci, un sistem superior triunghiular trebuie rezolvat (cu un plus de n 2 flopi). b. Pivotarea parţială nu alternează structura superioar Hessenberg a matricei (dar pivotarea completă da). La fiecare pas k, pentru a determina pivotul trebuie să comparăm doar h kk şi h k+1,k. Algoritmul de triunghiularizare prin eliminare gaussiană cu pivotare parţială a unei matrice superior Hessenberg este: Algoritmul GP P HESS. Dată o matrice superior Hessenberg H R n n, algoritmul efectuează eliminarea gaussiană cu pivotare parţială. Multiplicatorii gaussieni şi matricea superior triunghiulară rezultată vor suprascrie matricea H. Permutările sunt stocate în vectorul p. 1. pentru k = 1 : n 1 1. p(k) = k 2. dacă h k+1,k > h kk 1. p(k) = k pentru j = k : n 1. h kj h k+1,j 3. h k+1,k µ k+1,k = h k+1,k h kk 4. pentru j = k + 1 : n 1. h k+1,j h k+1,j µ k+1,k h kj Introducând sintaxa [H, p] GP P HESS(H) pentru apelul algoritmului de mai sus csi folosind funcţiile MATLAB T RIU pentru a extrage partea superior triunghiulară dintr-o matrice, algoritmul pentru rezolvarea unui sistem liniar Hessenberg devine:
7 2.2. PROBLEME REZOLVATE 7 Algoritmul LSS GP P HESS. Fiind dată o matrice superior Hessenberg nesingulară H R n n şi un vector b R n, algoritmul calculează soluţia x R n a sistemului Hx = b folosind eliminarea gaussiană cu pivotare parţială. 1. [H, p] GP P HESS(H) 2. pentru k = 1 : n 1 1. dacă p(k) = k b k b k+1 2. b k+1 b k+1 h k+1,k b k 3. x = UT RIS(T RIU(H), b) Acest algoritm necesită N fl 2n 2 flopi (în comparaţie cu 2n3 3 flopi necesari algoritmului fundamental LSS GP P ). c. Presupunem că toate submatricele lider principale ale lui H sunt nesingulare. Algoritmul G HESS calculează factorizarea LU Doolittle a matricei H. Observăm că L este inferior bidiagonală. Desigur, în factorizarea Crout LU matricea L va fi deasemeni inferior bidiagonală. Ţinând cont de acest lucru şi de faptul că termenii diagonali ai lui U sunt egali cu 1, din identitatea H = LU va rezulta: pasul 1. l 11 = h 11, l 21 = h 21 şi din h 1j = l 11 u 1j avem u 1j = h 1j l 11, j = 2 : n. pasul k. Presupunând ca am calculat primele k 1 coloane ale lui L şi primele k 1 linii ale lui U, din h kk = l k,k 1 u k 1,k + l kk şi h k+1,k = l k+1,k avem l kk = h k,k l k,k 1 u k 1,k şi l k+1,k = h k+1,k. Deasemeni, din egalitatea h kj = l k,k 1 u k 1,j + l kk u kj vom obţine u kj = h kj l k,k 1 u k 1,j l kk, j = k + 1 : n. În concluzie algoritmul Crout pentru o matrice superior Hessenberg este: Algoritmul CROUT HESS. Dată o matrice superior Hessenberg H R n n cu H(1 : k, 1 : k) nesingulare pentru k = 1 : n 1, algoritmul calculează o matrice inferior bidiagonală L şi o matrice superior triunghiulară unitate U astfel încât H = LU. Matricea L suprascrie triunghiul inferioar a lui H iar partea strict superioară a lui U suprascrie triunghiul strict superioar a lui H. 1. pentru j = 2 : n 1 1. h 1j u 1j = h 1j h pentru k = 2 : n 1. h kk l kk = h k,k h k,k 1 h k 1,k 2. dacă k = n 1. RETURN 3. pentru j = k + 1 : n 1. h kj u kj = h kj h k,k 1 h k 1,j h kk Problema 2.4 Elaboraţi un algoritm pentru rezolvarea ecuaţiei matriceale AX = B, unde A R n n este nesingulară şi B R n p.
8 8 SEMINAR 2. REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DETERMINATE Soluţie. Ecuaţia matriceală AX = B este formată din p sisteme liniare: Ax j = b j, pentru j = 1 : p, unde x j şi b j sunt notaţii pentru coloana j din X respectiv B, i.e. x j = X(:, j), b j = B(:, j). Folosirea algoritmului: 1. pentru j = 1 : p 1. Se rezolvă Ax j = b j folosind LSS GPP nu este o idee bună, întrucât numărul de operaţii ar fi 2pn3 3. În schimb, GP P poate fi folosit doar o dată pentru a triunghiulariza A, ca în următorul algoritm: 1. [M, U, p] = GP P (A) 2. pentru j = 1 : p 1. pentru k = 1 : n 1 1. b kj b p(k),j 2. pentru i = k + 1 : n 1. b ij b ij u ik b kj 2. x j = UT RIS(U, b j ) Numărul operaţiilor este 2n3 3 + O(pn2 ) flopi. Problema 2.5 Propuneţi un algoritm care să rezolve sistemul liniar Ax = f, unde A C n n este nesingulară şi f C n, folosind numai aritmetica reală. Soluţie. Dacă notăm A = B + ic, f = g + ih, x = y + iz, aici B, C R n n şi g, h, y, z R n, sistemul Ax = f poate fi scris sub forma: { By Cz = g, Cy + Bz = h, sau Du = e, cu [ ] [ ] [ ] B C D = R 2n 2n g, e = R 2n y, u = R 2n. C B h z În concluzie trebuie să rezolvăm un sistem liniar de 2n ecuaţii de 2n necunoscute, e.g. folosind algoritmul GPP care necesită (2n)3 3 = 8n3 3 flopi. Problema 2.6 Descrieţi o variantă de eliminare gaussiană care introduce zerouri deasupra diagonalei principale, în ordinea n : 1 : 2, şi care produce factorizarea A = UL, unde U este superior triunghiulară unitate şi L este inferior triunghiulară. Soluţie. Definim o matrice superior triunghiulară elementară (STE) de ordin n şi indice k astfel: N k = I n n k e T k, n k = ν 1k. ν k 1,k 0. 0.
9 2.2. PROBLEME REZOLVATE 9 Această tip de a matrice poate fi folosit pentru a introduce zerouri pe primele k 1 poziţii ale unui vector dat x cu x k 0. Întradevăr, (N kx)(i) = x(i) ν ik x k, i = 1 : k 1 şi, deci, dacă ν ik = x i /x k, atunci (N k x)(i) = 0, i = 1 : k 1. Bineînteles (N k x)(i) = x i, i = k : n. Dacă x k = 0, atunci N k x = x pentru orice matrice STE N k. Este uşor de văzut că dacă A(k : n, k : n) este nesingulară pentru toţi k = n : 1 : 1, atunci există matricele superior triunghiulare elementare N k astfel încât matricea L = N 2 N 3 N n 1 N n A este inferior triunghiulară. Schema de calcul este, 1. pentru k = n : 1 : 2 1. Se calculează matricea STE N k astfel încât (N k A)(1 : k 1, k) = 0 2. A N k A Ordinea inversă de aplicare a transformărilor elementare este esenţială pentru a nu modifica zerourile create la paşii anteriori. Algoritmul este: Algoritmul G. (O versiune a eliminării gaussiene). Dată o matrice A R n n cu A(k : n, k : n) nesingulare pentru k = n : 1 : 2, algoritmul calculează matricea inferior triunghiulară L = N 2 N 3 N n 1 N n A. Matricea L suprascrie partea inferioar triunghiulară a lui A şi multiplicatorii gaussieni ν ik suprascriu partea strict superior triunghiulară a matricei A. 1. pentru k = n : 1 : 2 1. pentru i = 1 : k 1 1. a ik ν ik = a ik a kk 2. pentru j = 1 : k 1 1. pentru i = 1 : k 1 1. a ij a ij ν ik a kj Algoritmul G oferă o factorizare UL, i.e. furnizează o matrice unitate superior triunghiulară U şi una inferior triunghiulară L astfel încât A = U L. Întradevar, din L = N 2 N 3 N n 1 N n A rezultă A = Nn 1 Nn 1 1 N L = U L, unde U = Nn Nn 1 1 N 2 1 este superior triunghiulară ca un produs de matrice superior triunghiulare. Mai mult, = I n + n k e T k şi N 1 k U = Nn 1 Nn 1 1 N 2 1 = I n + 1 ν 12 ν 1,n 1 ν 1n n 0 1 ν 2,n 1 ν 2n n k e T k = k= ν n 1,n (demonstraţi). În concluzie, algoritmul G calculează factorizarea UL. Efortul de calcul este N fl 2n3 3 flops.
10 10 SEMINAR 2. REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DETERMINATE Problema 2.7 Fie u, v R n doi vectori nenuli şi A = I n + uv T. a. Dacă A este nesingulară şi b R n, scrieţi un algoritm eficient pentru rezolvarea sistemului liniar Ax = b. b. Dacă A este nesingulară, scrieţi un algoritm eficient care calculează X = A 1. Soluţie. Desigur, putem calcula A aplicând metode cunoscute precum eliminarea gaussiană sau factorizarea LU. Dar probleme speciale necesită deseori soluţii speciale. În acest caz obţinem algoritmi mai eficienţi dacă procedăm astfel: a. Determinantul lui A = I n + uv T is 1 + v T u (vezi seminarul 1). Să multiplicăm Ax = b la stânga cu v T. Vom avea v T x + v T uv T x = v T b. Deoarece A este nesingulară, i.e. 1 + v T u 0 rezultă α = v T x = vt b 1 + v T. În concluzie, x = b αu. Un algoritm foarte u eficient care necesită doar N fl 4n flopi, este: 1. α = vt b 1 + v T u 2. pentru i = 1 : n 1. x i = b i α u i b. Dacă A este nesingulară, un algoritm eficient pentru a calcula X = A 1 este următoarea schemă: 1. pentru j = 1 : n 1. Rezolvă AX(:, j) = e j folosind algoritmul de la punctul a. ˆTinând seama de faptul că v T e j şi notând β = 1 + v T u = 1 + n i=1 u iv i forma sa detaliată este: 1. β = 1 2. pentru i=1:n 1. β = β + u i v i 3. pentru j = 1 : n 1. α = v j β 2. pentru i = 1 : n 1. X(i, j) = αu i 3. X(j, j) = 1 X(j, j) Algoritmul necesită doar N fl n 2 flopi Sisteme simetrice pozitiv definite. Factorizarea Cholesky Problema 2.8 Fie T R n n o matrice simetrică, tridiagonală, pozitiv definită. Scrieţi un algoritm eficient care calculează factorizarea Cholesky T = LL T a lui T ;
11 2.2. PROBLEME REZOLVATE 11 Soluţie. Vom proceda ca în cazul general (vezi cursul). Pasul 1. Din egalitatea T = LL T avem: t 11 = l 2 11, t 21 = l 21 l 11 şi 0 = l i1 l 11, i = 3 : n; în concluzie l 11 = t 11, l 21 = t 21 l 11, l i1 = 0, i = 3 : n, i.e. matricea L este bidiagonală în prima sa coloană. Pasul k. Presupunem că am calculat primele k 1 coloane ale lui L şi că L este bidiagonală în primele k 1 coloane. Din egalitatea T = LL T avem: t kk = lk,k 1 2 +l2 kk, t k+1,k = l k+1,k l kk şi 0 = l ik l kk, i = k + 2 : n; în concluzie l kk = t kk l 2 k,k 1, l k+1,k = t k+1,k l kk, l ik = 0, i = k + 1 : n, i.e. matricea L este bidiagonală şi în coloana k; prin inducţie, L este o matrice inferior bidiagonală. Algoritmul este: Algoritm CHOL T RID. Dată o matrice simetrică, tridiagonală, pozitiv definită T R n n, acest algoritm suprascrie partea inferior triunghiulară cu matricea L din factorizarea Cholesky T = LL T. 1. t 11 l 11 = t t 21 l 21 = t21 l pentru k = 2 : n 1. t kk l kk = t kk lk,k dacă k = n atunci stop 3. t k+1,k l k+1,k = t k+1,k l kk Problema 2.9 Dacă A R n n este simetrică şi pozitiv definită, propuneţi un algoritm pentru calculu factorizării A = UU T, unde U este superior triunghiulară şi are toate elementele diagonale pozitive. Soluţie. Este uşor de văzut că trebuie început cu calculul elementului (n, n) al matricei superior triunghiulare U şi că putem calcula U pe coloane în ordine inversă. Vom numerota paşii de calcul cu numărul coloanei calculate a matricei U. Pasul n. Din egalitatea A = UU T avem: a nn = u 2 nn şi a in = u in u nn, i = 1 : n 1; în concluzie u nn = a nn, u in = a in u nn, i = 1 : n 1. Pasul k. Presupunem că am calculat ultimele k + 1 : n coloane ale lui U. Din egalitatea A = UU T avem: a kk = u 2 kk + n j=k+1 u2 kj şi a ik = u ik u kk + n j=k+1 u iju kj, i = 1 : k 1; în concluzie n u kk = a kk u 2 kj, u ik = a ik n j=k+1 u iju kj, i = 1 : k. u kk j=k+1 Matricea A fiind pozitiv definită, argumentele rădăcinilor pătrate sunt pozitive (demonstraţi). Algoritmul este:
12 12 SEMINAR 2. REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DETERMINATE Algoritmul UUT. Dată o matrice simetrică A R n n, acest algoritm stabileşte dacă matricea este pozitiv definită, în caz afirmativ, suprascrie partea superioară cu matricea U din factorizarea A = UU T.) 1. dacă a nn 0 atunci 1. Imprimă ( A nu este pozitiv definită ) 2. stop 2. a nn u nn = a nn 3. pentru i = 1 : n 1 1. a in u in = ain u nn 4. pentru k = n 1 : 1 : 1 1. α a kk n j=k+1 u2 kj 2. dacă α 0 atunci 1. Imprimă ( A este pozitiv definită ) 2. stop 3. a kk u kk = α 4. dacă k = 1 atunci stop 5. pentru i = 1 : k 1 1. a ik u ik = (a ik n uiju kj j=k+1 u kk Algoritmul UUT necesită aproximativ N fl = n3 3 flopi şi în plus n extrageri de rădăcini pătrate. Memoria necesară este de M fl = n2 2 (o matrice simetrică este de obicei stocată în una din parţile sale triunghiulare). ) 2.3 Probleme propuse Problema 2.10 Considerăm date matricele H R n n, nesingulară superior triunghiulară şi R R n n, superior triunghiulară unitate. Propuneţi algoritmi eficienţi pentru: a. Rezolvarea sistemului liniar HRx = b, cu b R n. b. Când toate submatricele lider principale ale lui H sunt nesingulare, factorizarea Crout a lui A = HR poate fi obţinută folosind următoarele două scheme: Schema 1. Schema 2. Care este mai eficientă? 1. Se calculează A = HR. 2. Se calculează factorizarea Crout a lui A: A = LU. 1. Se calculează factorizarea Crout a lui H: H = LŪ. 2. Se calculează U = ŪR. Problema 2.11 Propuneţi un algoritm eficient pentru a rezolva sistemul liniar A k x = b, unde A R n n este nesingulară, b R n şi k N, k > 1. [ ] A 0 Problema 2.12 Fie B =, cu A, R R R A n n, nesingulare, R superior triunghiulară. Factorizarea LU a lui A există şi e cunoscută ca (A = LU). a. Propuneţi un algoritm pentru calcularea factorizării LU a lui B, B = LŨ.
13 2.4. BIBLIOGRAFIE 13 b. Propuneţi un algoritm pentru a rezolva sistemul liniar Bx = d, unde d R 2n este un vector dat. Calculaţi numărul de operaţii pentru amândoi algoritmi. Problema 2.13 Fie A [ R 2n 2n o] matrice nesingulară cu toate submatricele lider principale nesingulare, A = 2 A1 A, cu A A 3 A 1, A 2, A 3, A 4 R n n and A 3 este superior triunghiulară. 4 a. Scrieţi un algoritm pentru rezolvarea sistemului liniar Ax = b, unde b R 2n este un vector dat. b. Acelaşi lucru, păstrând numai ipoteza că A este nesingulară. Problema 2.14 Fie A R n n o matrice nesingulară tridiagonală (a ij = 0, pentru i > j+1 or i < j 1). a. Adaptaţi algoritmul de eliminare gaussiană pentru acest tip de matrice. b. Propuneţi algoritmul care rezolvă Ax = b, cu b R n. Problema 2.15 Dacă A, B R n n este o matrice nesingulară, propuneţi un algoritm care rezolvă sistemul liniar (AB) k x = c, unde c R n. Problema 2.16 Propuneţi o variantă a algoritmului LSS GP P pentru rezolvarea sistemului liniar Ax = b folosind eliminarea gaussiană cu pivotare parţială, fară a reţine multiplicatorii. Problema 2.17 Dacă A R n n este simetrică, propuneţi un algoritm pentru a testa dacă matricea A este pozitiv definită sau nu. Problema 2.18 Fie T R n n o matrice simetrica, tridiagonală, pozitiv definită şi matricea T = AA T. Propuneţi un algoitm eficient pentru: a. a rezolva sistemul liniar T x = b, unde b R n ; b. calcularea det(t ); c. calcularea inversei lui T. 2.4 Bibliografie 1. B. Jora, B. Dumitrescu, C. Oară, Numerical Methods, UPB, Bucharest, G.W. Stewart, Introduction to Matrix Computations, Academic Press, G. Golub, Ch. Van Loan, Matrix Computations, 3-rd edition, John Hopkins University Press, G.W. Stewart, Matrix Algorithms, vol.1: Basic Decompositions, SIAM, G.W. Stewart, Matrix Algorithms, vol.2: Eigensystems, SIAM, B. Dumitrescu, C. Popeea, B. Jora, Metode de calcul numeric matriceal. Algoritmi fundamentali, ALL, Bucureşti, 1998.
14 14 SEMINAR 2. REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DETERMINATE 2.5 Programe MATLAB În această secţiune sunt date programele MATLAB pentru implementarea algoritmilor prezentaţi în acest seminar. Programele au fost testate şi pot fi obţinute de la autorul lor menţionat în comentariile ataşate. 1: function [ delta]=determinant(b,c) 2: % 3: % Problema calculeaza determinanul unei matrice superior tridiagonala A(nxn). 4: % (A fiind rezultatul unei inmultiri a doua matrice superior bidiagonale 5: % B(nxn) si C(nxn)).Ca date de intrare avem cele doua matrice B respectiv C 6: % care inmultite dau A, iar ca date de iesire avem determinanul notat cu delta. 7: % Apelul: delta=determinant(b,c) 8: % 9: % Dumitru Iulia, aprilie : % 11: 12: [n,m]=size(b); 13: 14: %analizam daca matricea e patratica 15: if n =m 16: error( Matricea nu e patratica ); 17: end 18: 19: %analizam daca matricele B si C sunt superior bidiagonale 20: for i=1:n 21: for j=i+2:n 22: if B(i,j) =0 23: error( Matricea B nu e superior bidiagonala ); 24: end 25: if C(i,j) =0 26: error( Matricea C nu e superior bidiagonala ); 27: end 28: end 29: for j=1:i-1 30: if B(i,j) =0 31: error( Matricea B nu e superior bidiagonala ); 32: end 33: if C(i,j) =0 34: error( Matricea C nu e superior bidiagonala ); 35: end 36: end 37: end 38: 39: delta =1; 40: for i=1:n
15 2.5. PROGRAME MATLAB 15 41: delta = delta *B(i,i)*C(i,i); 42: end 1: function [ B]=UBINV(B); 2: % 3: % Algoritmul calculeaza inversa unei matrice patratica 4: % B(nxn) superior bidiagonala. Inversa suprascrie 5: % triunghiul superior al matricei B. 6: % Apelul: B=UBINV(B) 7: % 8: % 9: % Dumitru Iulia, aprilie : % 11: [n,m]=size(b); 12: 13: %analizam daca matricea e patratica 14: if n =m 15: error( Matricea nu e patratica ); 16: end 17: 18: for i=1:n 19: for j=i+2:n 20: if B(i,j) =0 21: error( Matricea B nu e superior bidiagonala ); 22: end 23: end 24: for j=1:i-1 25: if B(i,j) =0 26: error( Matricea B nu e superior bidiagonala ); 27: end 28: end 29: end 30: 31: for j=n:-1:1 32: B(j,j)=1/B(j,j); 33: for i=j-1:-1:1 34: B(i,j)=-B(i,i+1)*Y(i+1,j)/ B(i,i); 35: end 36: end 1: function [ x]=ubsm1(b,c,d) 2: % 3: % Programul calculeaza solutia sistemului liniar Ax=d, unde A=B*C. Ca date 4: % de intrare avem vectorul d si matricele nesingulare superior bidiagonale
16 16 SEMINAR 2. REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DETERMINATE 5: % B(nxn) respectiv C(nxn) care inmultite dau matricea A(nxn). Pasi de 6: % rezolvare: intai se calculeaza matricea A superior tridiagonala cu formula 7: % A=B*C apoi se rezolva sistemul liniar Ax=d. 8: % Nota: folosim numele de UBSM pentru upper bidiagonal matrix solver 9: % Apelul: x=ubsm1(b,c,d) 10: % 11: % Dumitru Iulia, aprilie : % 13: 14: [n,m]=size(b); 15: 16: %analizam daca matricea e patratica 17: if n =m 18: error( Matricea nu e patratica ); 19: end 20: 21: %analizam daca matricele B si C sunt superior bidiagonale 22: for i=1:n 23: for j=i+2:n 24: if B(i,j) =0 25: error( Matricea B nu e superior bidiagonala ); 26: end 27: if C(i,j) =0 28: error( Matricea C nu e superior bidiagonala ); 29: end 30: end 31: for j=1:i-1 32: if B(i,j) =0 33: error( Matricea B nu e superior bidiagonala ); 34: end 35: if C(i,j) =0 36: error( Matricea C nu e superior bidiagonala ); 37: end 38: end 39: end 40: 41: for i=1:n 42: for j=1:m 43: A(i,j)=0; 44: end 45: A(i,i)=B(i,i)*C(i,i); 46: if i<n 47: A(i,i+1)=B(i,i)*C(i,i+1)+B(i,i+1)*C(i+1,i+1); 48: end 49: if i<n-1 50: A(i,i+2)=B(i,i+1)*C(i+1,i+2); 51: end
17 2.5. PROGRAME MATLAB 17 52: end 53: x(n)=d(n)/a(n,m); 54: x(n-1)=(d(n-1)-a(n-1,m)*x(n)) / A(n-1,m-1); 55: for i=n-2:-1:1 56: x(i)=(d(i) - A(i,i+1)*x(i+1)- A(i,i+2)*x(i+2))/ A(i,i); 57: end 1: function [ x]=ubsm2(b,c,d) 2: % 3: % Problema calculeaza sistemul liniar Ax=d. Ca date de intrare avem 4: % vectorul d si matricele nesingulare superior bidiagonale B(nxn) 5: % respectiv C(nxn) care inmultite dau matricea A(nxn). Pasi de rezolvare: 6: % se inlocuieste A cu B*C in sistem, rezultand B*C*x=d. Notand y=c*x avem 7: % B*y=d. Algoritmul urmator calculeaza intai y apoi x. 8: % Apelul: x=ubsm2(b,c,d) 9: % 10: % Dumitru Iulia, aprilie : % 12: 13: [n,m]=size(b); 14: 15: %analizam daca matricea e patratica 16: if n =m 17: error( Matricea nu e patratica ); 18: end 19: 20: %analizam daca matricele B si C sunt superior bidiagonale 21: for i=1:n 22: for j=i+2:n 23: if B(i,j) =0 24: error( Matricea B nu e superior bidiagonala ); 25: end 26: if C(i,j) =0 27: error( Matricea C nu e superior bidiagonala ); 28: end 29: end 30: for j=1:i-1 31: if B(i,j) =0 32: error( Matricea B nu e superior bidiagonala ); 33: end 34: if C(i,j) =0 35: error( Matricea C nu e superior bidiagonala ); 36: end 37: end 38: end 39:
18 18 SEMINAR 2. REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DETERMINATE 40: y(n)=d(n)/b(n,m); 41: for i=n-1:-1:1 42: y(i)=(d(i)-b(i,i+1)*y(i+1))/b(i,i); 43: if B(i,i)==0 44: error( Matricea nu este nesingulara ) 45: end 46: end 47: x(n)=y(n)/c(n,m); 48: for i=n-1:-1:1 49: x(i)=(y(i)-c(i,i+1)*x(i+1))/c(i,i); 50: if C(i,i)==0 51: error( Matricea nu este nesingulara ) 52: end 53: end 1: function [ X]=UTRIINVa(B,C) 2: % 3: % Algoritmul calculeaza inversa unei matrice superior tridiagonale 4: % patratice A(nxn).Ca date de intrare avem doar matricele superior 5: % bidiagonale B(nxn) si C(nxn). Matricea A este rezultatul inmultirii 6: % celor doua matrice. Pasii de calculare ai inversei sunt urmatorii: 7: % se calculeaza inversa matricei B care se suprascrie in B si inversa 8: % matricei C care se suprascrie in C. Inversa matricei A este rezultatul 9: % inmultirii celor doua matrice. 10: % Apelul: X=UTRIINVa(B,C) 11: % 12: % Dumitru Iulia, aprilie : % - 14: 15: [n,m]=size(b); 16: 17: %analizam daca matricea e patratica 18: if n =m 19: error( Matricea nu e patratica ); 20: end 21: 22: %analizam daca matricele B si C sunt superior bidiagonale 23: for i=1:n 24: for j=i+2:n 25: if B(i,j) =0 26: error( Matricea B nu e superior bidiagonala ); 27: end 28: if C(i,j) =0 29: error( Matricea C nu e superior bidiagonala ); 30: end 31: end
19 2.5. PROGRAME MATLAB 19 32: for j=1:i-1 33: if B(i,j) =0 34: error( Matricea B nu e superior bidiagonala ); 35: end 36: if C(i,j) =0 37: error( Matricea C nu e superior bidiagonala ); 38: end 39: end 40: end 41: 42: Y=UBINV(B); %calculeaza inversa matricei B 43: B=Y; 44: Z=UBINV(C); %calculeaza inversa matricei C 45: C=Z; 46: for i=1:n %efectueaza inmultirea noilor matrice B si C 47: for j=1:n 48: X(i,j)=0; 49: end 50: for j=i:n 51: for k=i:j 52: X(i,j)=X(i,j)+C(i,k)*B(k,j); 53: end 54: end 55: end 1: function [ X]=UTINVb(C,B) 2: % 3: % Algoritmul calculeaza inversa unei matice superior tridiagonala 4: % patratica A(nxn).Ca date de intrare avem doar matricele superior 5: % bidiagonale B(nxn) si C(nxn). Matricea A este rezultatul inmultirii 6: % celor doua matrice. Pasii de calculare ai inversei sunt urmatorii: 7: % se rezolva ecuatia maticeala BY=In (se calculeaza practic inversa 8: % matricei B) apoi ecuatia CX=Y (X reprezinta inversa maticei A). 9: % In algoritm se foloseste o problema rezolvata anterior: inversa unei 10: % matrice superior bidiagonala patratica, cu suprascriere (algoritmul UBINV) 11: % Apelul: X=UTRIINVb(B,C) 12: % 13: % Dumitru Iulia, aprilie : % - 15: 16: [n,m]=size(b); 17: 18: %analizam daca matricea e patratica 19: if n =m 20: error( Matricea nu e patratica ); 21: end
20 20 SEMINAR 2. REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DETERMINATE 22: 23: %analizam daca matricele B si C sunt superior bidiagonale 24: for i=1:n 25: for j=i+2:n 26: if B(i,j) =0 27: error( Matricea B nu e superior bidiagonala ); 28: end 29: if C(i,j) =0 30: error( Matricea C nu e superior bidiagonala ); 31: end 32: end 33: for j=1:i-1 34: if B(i,j) =0 35: error( Matricea B nu e superior bidiagonala ); 36: end 37: if C(i,j) =0 38: error( Matricea C nu e superior bidiagonala ); 39: end 40: end 41: end 42: 43: Y=UBINV(B); 44: B=Y; 45: for j=n:-1:1 46: for i=j+1:n 47: X(i,j)=0; 48: end 49: X(j,j)=B(j,j)/C(j,j); 50: if C(j,j)==0 51: error( Matricea nu este nesingulara ) 52: end 53: for i=j-1:-1:1 54: X(i,j)=(B(i,j)-C(i,i+1)*X(i+1,j))/C(i,i); 55: if C(i,i)==0 56: error( Matricea nu este nesingulara ) 57: end 58: end 59: end 60: 61: 62: 63: 64: 65: 66:
21 2.5. PROGRAME MATLAB 21 1: function [ x]=utris(u,b) 2: % 3: % Fiind data o matrice superior triunghiulara patratica A (nxn) si un 4: % vector b, algoritmul calculeaza sistemul liniar Ax=b. 5: % UTRIS=upper triunghiular solver. 6: % Apelul: x=utris(u,b) 7: % 8: % Dumitru Iulia, aprilie : % - 10: 11: [m,n] = size(u); 12: 13: if m =n 14: % in caz ca nu este o matrice patratica 15: x = [ ];%x devine o matrice nula 16: return; 17: end 18: 19: if m =length(b) 20: error( Nu exista solutie pentru ); 21: end 22: 23: for i=n:-1:1 24: s = b(i); 25: if i<n 26: for k=i+1:n 27: s = s - U(i,k)*x(k); 28: end 29: end 30: x(i) = s/u(i,i); 31: if U(i,i)==0 32: error( Matricea nu este nesingulara ) 33: end 34: end 1: function [ H,b,miu]=G HESS(H,b) 2: % 3: % Fiind data o matrice superior Hessenberg nesingulara, patratica (nxnx) 4: % cu toate submaticele lider principale nesingulare, se cere rezolvarea 5: % sistemului liniar Hx=b. Algoritmul reprezinta o adaptare a algoritmului 6: % de eliminare gaussiana fara pivotare. Algoritmul G HESS calculeaza 7: % factorizarea LU Doolittle a matricei H. 8: % Apelul: H,b,miu=G HESS(H,b) 9: % 10: % Dumitru Iulia, aprilie : %
22 22 SEMINAR 2. REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DETERMINATE 12: 13: [n,m]=size(h); 14: 15: %analizam daca matricea e patratica 16: if n =m 17: error( Matricea nu e patratica ); 18: end 19: 20: %analizam daca matricea este superior Hessenberg 21: for i=3:n 22: for j=1:i-2 23: if H(i,j) =0 24: error( Matricea H nu e superior Hessenberg ) 25: end 26: end 27: end 28: 29: for k=1:n-1 %Multiplicatorii gaussieni si matricea 30: miu(k+1,k)=h(k+1,k)/h(k,k); %superior triunghiulara rezultata vor 31: if H(k,k)==0 %suprascrie matricea H. 32: error( Matricea nu este nesingulara ) 33: end 34: H(k+1,k)=miu(k+1,k); 35: for j=k+1:n 36: H(k+1,j)=H(k+1,j)-miu(k+1,k)*H(k,j); 37: end 38: b(k+1)=b(k+1)-h(k+1,k)*b(k); 39: end 1: function [ H]=CROUT HESS(H) 2: % - 3: % Data o matrice superior Hessenberg H nesingulara patratica (nxn) 4: % algoritmul calculeaza o matrice inferior bidiagonala L si o matrice 5: % superior unitate triunghiulara U astfel incat H=L*U. Matricea L este 6: % suprascrisa partii inferior triunghiulare a matricei A(inclusiv diagonala) 7: % iar matricea U este suprascrisa partii superior triunghiulare a 8: % matricei A(fara diagonala). 9: % Apelul: H=CROUT HESS(H) 10: % 11: % Dumitru Iulia, aprilie : % - 13: 14: [n,m]=size(h); 15: 16: %analizam daca matricea e patratica 17: if n =m
23 2.5. PROGRAME MATLAB 23 18: error( Matricea nu e patratica ); 19: end 20: 21: %analizam daca matricea este superior Hessenberg 22: for i=3:n 23: for j=1:i-2 24: if H(i,j) =0 25: error( Matricea H nu e superior Hessenberg ) 26: end 27: end 28: end 29: 30: for i=1:n 31: U(i,i)=1; 32: end 33: 34: for j=2:n-1 35: U(1,j)=H(1,j)/H(1,1); 36: H(1,j)=U(1,j); 37: end 38: 39: for k=2:n 40: L(k,k)=H(k,k)-H(k,k-1)*H(k-1,k); 41: H(k,k)=L(k,k); 42: if k =n 43: for j=k+1:n 44: U(k,j)=(H(k,j)-H(k,k-1)*H(k-1,j))/H(k,k); 45: if H(k,k)==0 46: error( Matricea nu este nesingulara ) 47: end 48: H(k,j)=U(k,j) 49: end 50: end 51: end 1: function [ H,p]=GPP HESS(H) 2: % 3: % Data o matrice superior Hassenberg H patratica(de ordin n), algoritmul 4: % efectueaza eliminarea gaussiana cu pivotare partiala. Multiplicatorii 5: % gaussieni si matricea superior triunghiulara rezultata vor suprascrie 6: % matricea H. 7: % Apelul: H,p=GPP HESS(H) 8: % 9: % Dumitru Iulia, aprilie : % - 11:
24 24 SEMINAR 2. REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DETERMINATE 12: [n,m]=size(h); 13: 14: %analizam daca matricea e patratica 15: if n =m 16: error( Matricea nu e patratica ); 17: end 18: 19: %analizam daca matricea este superior Hessenberg 20: for i=3:n 21: for j=1:i-2 22: if H(i,j) =0 23: error( Matricea H nu e superior Hessenberg ) 24: end 25: end 26: end 27: 28: for k=1:n-1 29: p(k)=k; 30: max = abs( H(k,k) ); 31: if abs( H(k+1,k) ) >max 32: max = abs( H(k+1,k) ); 33: end 34: p(k)=k+1; 35: for j=k:n 36: temp = H(k,j); 37: H(k,j) = H(k+1,j); 38: H(k+1,j) = temp; 39: end 40: miu(k+1,k) = H(k+1,k)/H(k,k); 41: if H(k,k)==0 42: error( Matricea nu este nesingulara ) 43: end 44: H(k+1,k)=miu(k+1,k); 45: for j = k+1:n 46: H(k+1,j)=H(k+1,j)-miu(k+1,k)*H(k,j); 47: end 48: end 49: 1: function [ x]=lss GPP HESS(H,b) 2: % - 3: % Fiind data o matrice superior Hassenberg nesingulara H patratica (de 4: % ordin n) si un vector b, algoritmul calculeaza solutia x a sistemului 5: % Hx=b folosind eliminarea gaussiana cu pivotare partiala. 6: % Apelul: x=lss GPP HESS(H,b) 7: %
25 2.5. PROGRAME MATLAB 25 8: % Dumitru Iulia, aprilie : % - 10: 11: [n,m]=size(h); 12: 13: %analizam daca matricea e patratica 14: if n =m 15: error( Matricea nu e patratica ); 16: end 17: 18: %analizam daca matricea este superior Hessenberg 19: for i=3:n 20: for j=1:i-2 21: if H(i,j) =0 22: error( Matricea H nu e superior Hessenberg ) 23: end 24: end 25: end 26: 27: %conditionam ca numarul liniilor vectorului b sa fie egal cu numarul coloanelor 28: %matricei H 29: if m =length(b) 30: error( Nu exista solutie pentru ); 31: end 32: 33: [H,p]=GPP HESS(H); 34: for k=1:n-1 35: if p(k)==k+1 36: temp=b(k); 37: b(k)=b(k+1); 38: b(k+1)=temp; 39: end 40: b(k+1)=b(k+1)-h(k+1,k)*b(k); 41: end 42: 43: x=utris(triu(h),b) 44: 1: function [ A,miu,p]=GPP(A) 2: % 3: % Data o matrice patratica A(nxn), algoritmul suprascrie triunghiul 4: % superior al lui A cu matricea superior triunchiulara U. Triunghiul 5: % strict inferior al lui A este suprascris de multiplicatorii gaussieni 6: % miu. In vectorul p se memoreaza intregii i(k), care definesc permutarile 7: % de linii. 8: % Apelul: A,miu,p=GPP(A)
26 26 SEMINAR 2. REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DETERMINATE 9: % 10: % Dumitru Iulia, aprilie : % 12: 13: 14: [n,m] = size(a); 15: 16: %analizam daca matricea e patratica 17: if n =m 18: error( Matricea nu e patratica ); 19: end 20: 21: for k=1:n-1 22: ik = k; 23: max = abs( A(k,k) ); 24: 25: for i=k:n 26: if abs( A(i,k) ) >max 27: ik = i; 28: max = abs( A(i,k) ); 29: end 30: end 31: 32: p(k)=ik; 33: 34: for j=k:n 35: temp = A(k,j); 36: A(k,j) = A(ik,j); 37: A(ik,j) = temp; 38: end 39: 40: for i=k+1:n 41: miu(i,k) = A(i,k)/A(k,k); 42: if A(k,k)==0 43: error( Matricea nu este nesingulara ) 44: end 45: A(i,k)=miu(i,k); 46: 47: end 48: 49: for i=k+1:n 50: for j = k+1:n 51: A(i,j)=A(i,j)-miu(i,k)*A(k,j); 52: end 53: end 54: end 55:
27 2.5. PROGRAME MATLAB 27 1: function [ X]=MMS(A,B) 2: % - 3: % Fiind date doua matrice: A (nxn) si B (nxp) se cere sa se rezolve ecuatia 4: % matriceala A*X=B. 5: % Apelul: X=MMS(A,B) 6: % 7: % Dumitru Iulia, aprilie : % - 9: 10: [n,m]=size(a); 11: 12: %analizam daca matricea e patratica 13: if n =m 14: error( Matricea A nu e patratica ); 15: end 16: 17: [n,p]=size(b); 18: 19: [M,U,p]=GPP(A); 20: for j=1:p 21: for k=1:n-1 22: B(k,j)=B(p(k),j); 23: for i=k+1:n 24: B(i,j)=B(i,j)-U(i,k)*B(k,j); 25: end 26: X(j)=UTRIS(U,B(j)); 27: end 28: end 1: function [ A]=G prim(a) 2: % - 3: % Data fiind matricea patratica A(nxn) algoritmul calculeaza matricea 4: % L pe care o suprascrie partii inferioare triunghiulare a lui A si 5: % multiplicatorii miu pe care ii suprascriu partii superior triunghiulare 6: % a lui A. Practic alogritmul ofera o factorizare UL (furnizeaza o 7: % matrice unitate superior triunghiulara U si una inferior triunghiulara 8: % L astefl incat A=U*L) 9: % Apelul: A=G prim(a) 10: % 11: % Dumitru Iulia, aprilie : % - 13: 14: [n,m]=size(a);
28 28 SEMINAR 2. REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DETERMINATE 15: 16: %analizam daca matricea e patratica 17: if n =m 18: error( Matricea nu e patratica ); 19: end 20: 21: for k=n:-1:2 22: for i=1:k-1 23: miu(i,k)=a(i,k)/a(k,k); 24: if H(k,k)==0 25: error( Matricea nu este nesingulara ) 26: end 27: A(i,k)=miu(i,k); 28: end 29: for j=1:k-1 30: for i=1:k-1 31: A(i,j)=A(i,j)-miu(i,k)*A(k,j); 32: end 33: end 34: end 1: function [ T]=CHOL TRID(T) 2: % 3: % Fiind data o matrice T patratica (de ordin n), tridiagonala, simetrica 4: % pozitiv definita, nesingulara care satisface relatia: T=L*L transpus 5: % algoritmul suprascrie partea inferior triunghiulara a matricei T cu 6: % matricea L. Obs: matricea L rezulta prin identificare a fi inferior 7: % bidiagonala. 8: % Apelul: T=CHOL TRID(T) 9: % 10: % Dumitru Iulia, aprilie : % 12: 13: [n,m]=size(t); 14: 15: %analizam daca matricea e patratica 16: if n =m 17: error( Matricea nu e patratica ); 18: end 19: 20: for i=1:n-2 21: for j=i+2:n 22: if T(i,j) =0 23: error( Matricea nu e tridiagonala ) 24: end 25: end
29 2.5. PROGRAME MATLAB 29 26: end 27: 28: for i=3:n 29: for j=1:i-2 30: if T(i,j) =0 31: error( Matricea nu e tridiagonala ) 32: end 33: end 34: end 35: 36: for i=1:n-1 37: if T(i,i+1) =T(i+1,i) 38: error( Matricea nu este simetrica ) 39: end 40: end 41: 42: L(1,1)=sqrt(T(1,1)); 43: T(1,1)=L(1,1); 44: L(2,1)=T(2,1)/L(1,1); 45: T(2,1)=L(2,1); 46: for k=2:n 47: L(k,k)=sqrt(T(k,k)-L(k,k-1)*L(k,k-1)); 48: T(k,k)=L(k,k); 49: if k =n 50: L(k+1,k)=T(k+1,k)/L(k,k); 51: if L(k,k)==0 52: error( Matricea nu este nesingulara ) 53: end 54: T(k+1,k)=L(k+1,k); 55: end 56: end 1: function [ A]=UUT(A) 2: % 3: % Fiind data o matrice simetrica si pozitiv definita, propuneti un algoritm 4: % pentru factorizarea A=U*U transpus. Aici U este superior triunghiulara si 5: % are elemente pozitive pe diagonala. Practic, algoritmul stabileste daca 6: % matricea A este pozitiv definita, in caz afirmativ, suprascrie partea 7: % superioara cu matricea U. 8: % Apelul: A=UUT(A) 9: % 10: % Dumitru Iulia, aprilie : % 12: 13: [n,m]=size(a); 14:
30 30 SEMINAR 2. REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DETERMINATE 15: %analizam daca matricea e patratica 16: if n =m 17: error( Matricea nu e patratica ); 18: end 19: 20: for i=1:n 21: for j=n:-1:i+1 22: if A(i,j) =A(j,i) 23: error( Matricea nu este simetrica ) 24: end 25: end 26: end 27: 28: if A(n,n)<=0, 29: error( A nu este pozitiv definita ); 30: end 31: U(n,n)=sqrt(A(n,n)); 32: A(n,n)=U(n,n); 33: for i=1:n-1 34: U(i,n)=A(i,n)/U(n,n); 35: A(i,n)=U(i,n); 36: end 37: for k=n-1:-1:1 38: s=0; 39: for j=k+1:n 40: s=s+u(k,j)*u(k,j); 41: end 42: alpha=a(k,k)-s; 43: if alpha <= 0 44: error( A nu este pozitiv definita ); 45: end 46: U(k,k)=sqrt(alpha); 47: A(k,k)=U(k,k); 48: if k 1 49: for i=1:k-1 50: suma=0; 51: for j=k+1:n 52: suma=suma+u(i,j)*u(k,j); 53: end 54: U(i,k)=(A(i,k)-suma)/U(k,k); 55: if U(k,k)==0 56: error( Matricea nu este nesingulara ) 57: end 58: A(i,k)=U(i,k); 59: end 60: end 61: end
31 2.5. PROGRAME MATLAB 31 62: 63:
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραSisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi
Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραActivitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραMetode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare
Metode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare Eliminare gaussiană, descompunere LU, Cholesky Radu T. Trîmbiţaş Universitatea Babeş-Bolyai March 26, 2008 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai
Διαβάστε περισσότεραProblema celor mai mici pătrate
Seminar 3 Problema celor mai mici pătrate Acest seminar este dedicat metodelor numerice pentru rezolvarea unei probleme numerice foarte importante întâlnită în multe aplicaţii, aşa numita problemă a celor
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare
METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Mădălina-Andreea
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραCap.2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II)
Cap.2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II) Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραMetode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare
Metode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare Eliminare gaussiană, descompunere LU, Cholesky Radu T. Trîmbiţaş Universitatea Babeş-Bolyai March 27, 206 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραDescompunerea valorilor singulare
Laborator 6 Descompunerea valorilor singulare 6.1 Preliminarii 6.1.1 Descompunerea valorilor singulare Vom introduce descompunerea valorilor singulare (DVS) ale unei matrice prin următoarea teoremă. Teorema
Διαβάστε περισσότεραCalcul matriceal elementar
Seminar 1 Calcul matriceal elementar Acest seminar este prima prezentare a calculului matriceal. Calculele matriceale elementare nu sunt prezente în curs dar sunt intens utilizate. Fără o înţelegere profundă
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare
Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare 1 Metode iterative clasice Metodele iterative sunt intens folosite, in special pentru rezolvarea de probleme mari, cum sunt cele de discretizare
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότερα, m ecuańii, n necunoscute;
Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότερα1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραLaborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραIV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI
V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele
Διαβάστε περισσότεραLaborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραCalculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală
Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.
Διαβάστε περισσότερα3. Vectori şi valori proprii
Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII
9 PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII 81 Introducere Problema de valori proprii a unui operator liniar A: Ax = λx x vector propriu, λ valoare proprie În reprezentarea unei baze din < n problemă matricială
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραCursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =
Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραSisteme de ecuaţii diferenţiale
Curs 5 Sisteme de ecuaţii diferenţiale 5. Sisteme normale Definiţie 5.. Se numeşte sistem normal sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi dx dt = f (t, x, x 2,..., x n ) dx 2 dt = f 2(t, x, x
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder
METODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Alexandru
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραMetode Numerice Curs I Introducere. Ion Necoara
Metode Numerice Curs I Introducere Ion Necoara 2014 Personal Curs: Prof. dr.. Ion Necoara (ion.necoara@acse.pub.ro) Laborator: drd. Andrei Patrascu (andrei.patrascu@acse.pub.ro) Examinare 25 puncte laborator,
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραMatrici şi sisteme de ecuaţii liniare
Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare 1. Matrici şi determinanţi Reamintim aici câteva proprietăţi ale matricilor şi determinanţilor. Definiţia 1.1. Fie K un corp (comutativ) şi m, n N. O funcţie A : {1,...,
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότεραCalculul valorilor proprii
Laborator 5 Calculul valorilor proprii 5.1 Valori şi vectori proprii Definiţia 5.1 Fie A C n n. Un vector x C n n este un vector propriu al matricei A, asociat valorii proprii λ C, dacă sunt satisfăcute
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραTranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραTeme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice
Teme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice As. Ruxandra Barbulescu Septembrie 2017 Orice nelamurire asupra enunturilor/implementarilor se rezolva in cadrul laboratorului de MN,
Διαβάστε περισσότεραMetode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότεραOvidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραDreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραProiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραAdriana-Ioana Lefter DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs
Adriana-Ioana Lefter MATEMATICĂ (ALGEBRĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs Cuprins Partea 1 ALGEBRĂ 1 Capitolul 1 Matrice şi determinanţi 3 11 Corpuri 3 12 Matrice 4 13
Διαβάστε περισσότερα