Metode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare
|
|
- ψυχή Ιωαννίδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Metode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare Eliminare gaussiană, descompunere LU, Cholesky Radu T. Trîmbiţaş Universitatea Babeş-Bolyai March 27, 206 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, 206 / 59
2 Rezolvarea sistemelor liniare Rezolvarea sistemelor liniare În notaţie matricială, un sistem se scrie sub forma unde A K n n, b K n. Soluţia x = A b Ax = b În majoritatea problemelor practice inversarea este nenecesară şi nerecomandabilă Exemplu extrem, n = : 7x = 2, cu soluţia x = 2 7 = 3, o operaţie / Rezolvat prin inversare ne dă x = 7 2 = = , două operaţii /,* Consideraţii similare se aplică şi la sisteme cu mai multe ecuaţii şi chiar la sisteme cu aceeaşi matrice A şi membri drepţi diferiţi Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
3 Un exemplu numeric Un exemplu numeric I Considerăm exemplul x x 2 x 3 = 0.3E + E 2 E 2, 0.5E + E 3 E 3. Coeficientul 0 al lui x se numeşte pivot, iar cantităţile -0.3 şi 0.5 obţinute prin împărţirea coeficienţilor lui x din celelalte ecuaţii se numesc multiplicatori x x 2 x 3 = Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
4 Un exemplu numeric Un exemplu numeric II Pasul 2, eliminarea lui x 2 din a treia ecuaţie. Pivotul, coeficientul lui x 2, -0. este mai mic decât alţi coeficienţi. Din acest motiv ecuaţiile 2 şi 3 trebuie interschimbate, operaţie numită pivotare. În acest caz nu este necesară, dar în general este crucială x x 2 x 3 = Pasul 3, 0.04E 2 + E 3 E 3 (Cât ar fi multiplicatorul fără interschimbare?) x x 2 x 3 = Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
5 Un exemplu numeric Un exemplu numeric III Ultima ecuaţie 6.2x 3 = 6.2 ne dă x 3 =. Înlocuind în a doua ecuaţie 2.5x = 2.5 = x 2 =. Înlocuind în prima ecuaţie 0x + ( 7)( ) = 7 = x = 0. Soluţia este x = 0 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
6 Un exemplu numeric Un exemplu numeric IV Verificare = Algoritmul poate fi exprimat mai compact în formă matricială, fie L = 0.5 0, U = , P = Matricea L este matricea multiplicatorilor, U este matricea finală, P descrie pivotarea şi LU = PA Matricea originală poate fi exprimată ca produs de matrice cu o structură mai simplă. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
7 Factorizare LU Factorizare LU Algoritmul folosit aproape universal pentru rezolvarea sistemelor liniare este eliminarea gaussiană. Cercetările din perioada au evidenţiat aspecte ale EG netratate până atunci: alegerea pivoţilor şi interpretarea corectă a efectului erorilor de rotunjire EG are două stadii, triunghiularizarea matricei iniţiale şi substituţia inversă Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
8 Matrice de permutare şi triunghiulare Matrice de permutare şi triunghiulare I O matrice de permutare se obţine din matricea identică prin permutări de linii sau coloane. O astfel de matrice are exact un pe fiecare linie şi coloană şi în rest 0. P = Efect: PA permutare de linii, AP permutare de coloane MATLAB utilizează şi vectori de permutare ca indici de linie sau coloane; fie p = [ ], P*A şi A(p,:) sunt echivalente, la fel A*P şi A(:,p). Notaţia vectorială este mai rapidă şi utilizează mai puţină memorie. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
9 Matrice de permutare şi triunghiulare Matrice de permutare şi triunghiulare II Soluţia sistemului Px = b, P matrice de permutare, este x = P T b, adică o rearanjare a compunentelor lui b. O matrice triunghiulară superior are toate elementele nenule deasupra diagonalei principale sau pe ea, adică a ij = 0 dacă i > j. Analog se definesc şi matricele triunghiulare inferior. La rezolvarea sistemelor liniare sunt importante şi matricele triunghiulare inferior care au toate elementele de pe diagonala principală egale cu unit lower triangular matrices. Sistemele liniare cu matricea triunghiulară sunt uşor de rezolvat în timp Θ(m 2 ). Măsura complexităţii -Numărul de operaţii în virgulă flotantă. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
10 Matrice de permutare şi triunghiulare Algoritm pentru sistem triunghiular superior function x = backsubst(u,b) %BACKSUBST - backward substitution %U - upper triangular matrix %b - right hand side vector n=length(b); x=zeros(size(b)); for k=n:-: x(k)=(b(k)-u(k,k+:n)*x(k+:n))/u(k,k); end Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
11 Matrice de permutare şi triunghiulare Algoritm pentru sistem triunghiular inferior function x=forwardsubst(l,b) %FORWARDSUBST - forward substitution %L - lower triangular matrix %b - right hand side vector x=zeros(size(b)); n=length(b); for k=:n x(k)=(b(k)-l(k,:k-)*x(:k-))/l(k,k); end Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, 206 / 59
12 Descompunerea LU Descompunerea LU Transformă A C m m într-o matrice triunghiulară superior, U scăzând multiplii de linii Fiecare L i introduce zerouri sub diagonală în coloana i: L m... L 2 L }{{} A = U = A = LU unde L = L L 2... Lm L A L L A Triunghiularizare triunghiulară L L 2 L A L 3 0 L 3 L 2 L A Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
13 Matricele L k Matricele L k La pasul k se elimină elementele de sub A kk : x k = [ x x kk x k+,k x mk ] T L k x k = [ x x kk 0 0 ] T Multiplicatorii l jk = x jk /x kk apar in L k : L k =... l k+,k.... l mk Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
14 Construcţia lui L Construcţia lui L Matricea L conţine toţi multiplicatorii într-o singură matrice (cu semne +) L = L L 2... L m = l 2 l 3 l l m l m2 l m,m Definim l k = [0,..., 0, l k+,k,..., l m,k ] T. Atunci L k = I l k e k. Avem L k = I + l k ek, deoarece e k l k = 0 şi (I l k ek ) (I + l kek ) = I l kek l kek = I De asemenea, L k L k+ = I + l kek + l k+ek+, deoarece e k l k+ = 0 şi (I + l k ek ) ( I + l k+ ek+) = I + lk ek + l k+ek+ + l kek l k+ek+ Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
15 Eliminare gaussiană fără pivotare Eliminare gaussiană fără pivotare Se factorizează A C m m în A = LU Eliminare gaussiană fără pivot U := A; L = I ; for k := to m do for j := k + to m do l jk := u jk /u kk ; u j,k:m := u j,k:m l jk u k,k:m ; Ciclul interior poate fi scris utilizând operaţii matriciale în loc de cicluri for Număr de operaţii (complexitatea) m k= 2(m k)(m k) 2 m k= k m3 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
16 Eliminare gaussiană cu produs exterior Eliminare gaussiană cu produs exterior Ciclul interior poate fi scris cu operaţii matriciale în loc de for Eliminare gaussiană cu produs exterior for k := to m do rows := k + : m; A rows,k := A rows,k /A k,k ; A rows,rows := A rows,rows A rows,k A k,rows ; A k+:m,k+:m A k+:m,k A k,k+:m se numeşte complement Schur al lui A în raport cu a k,k. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
17 Stabilitatea EG Necesitatea pivotării I EG aşa cum a fost prezentată este instabilă. Pentru anumite matrice EG poate eşua, datorită tentativei de împărţire la zero [ ] 0 A = Matricea este nesingulară şi bine condiţionată; conda = Fenomenul este mai general; este evidenţiat de o uşoară perturbaţie a lui A [ ] 0 20 A = Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
18 Stabilitatea EG Necesitatea pivotării II Acum procesul nu eşuează; se obţine (în aritmetica exactă) [ ] [ ] L = 0 20, U = În aritmetica în virgulă flotantă, dublă precizie, 0 20 nu este reprezentabil exact, el se va rotunji la 0 20 Factorii calculaţi ai descompunerii vor fi [ ] [ ] L = 0 20, Ũ = Produsul LŨ nu este apropiat de A [ ] [ LŨ = ] = [ ] Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
19 Stabilitatea EG Necesitatea pivotării III Rezolvând sistemul se obţine x = [ 0 LŨx = [ 0 ], dar soluţia corectă este x = ] [ Explicaţie: EG nu este nici regresiv stabilă, nici stabilă (ca algoritm de factorizare). Mai mult, matricele triunghiulare obţinute pot fi foarte prost condiţionate, introducându-se astfel o sursă suplimentară de instabilitate. Observaţie: Dacă un pas al unui algoritm nu este regresiv stabil, algoritmul întreg poate fi instabil. ] Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
20 Pivotare Pivotare La pasul k, am utilizat elementul k, k al matricei ca pivot şi am introdus zerouri în coloana k a liniilor rămase x kk x kk Dar, orice alt element i k din coloana k poate fi utilizat ca pivot: 0 0 x ik x ik 0 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
21 Pivotare Pivotare Pivotare De asemenea, se poate utiliza orice altă coloană j k: 0 0 x ij x ij 0 Alegând diferiţi pivoţi ne asigurăm că putem evita pivoţii nuli sau foarte mici În loc să utilizăm pivoţi în poziţii diferite, putem interschimba linii sau coloane şi să utilizăm algoritmul standard (pivotare) O implementare concretă poate face pivotarea indirect, fără a muta fizic datele Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
22 Pivotare Pivotare parţială Pivotare parţială Alegerea pivoţilor dintre toţi candidaţii valizi este costisitoare(pivotare completă) Considerăm doar pivoţii din coloana k şi interschimbăm liniile(pivotare parţială) x ik Selecţie pivot Cu operaţii matriceale: P x ik Interschimbare linii L L m P m... L 2 P 2 L P A = U x ik Eliminare Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
23 Factorizarea PA = LU Factorizarea PA = LU Pentru a combina toţi L k şi toţi P k în forma dorită de noi, rescriem factorizarea precedentă sub forma L m P m... L 2 P 2 L P A = U ( L m L 2L ) (Pm P 2 P ) A = U unde L k = P m P k+ L k P k+ P m Aceasta ne dă factorizare (descompunerea) LU a lui A PA = LU Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
24 Eliminarea gaussiană cu pivotare parţială Eliminarea gaussiană cu pivotare parţială Factorizează A C m m în PA = LU Eliminare gaussiană cu pivotare parţială U := A; L := I ; P := I ; for k := to m do Alege i k care maximizeaza u ik ; u k,k:m u i,k:m ; {interschimbare} l k,:k l i,:k ; P k,: P i,: ; for j := k + to m do l jk := u jk /u kk ; u j,k:m := u j,k:m l jk u k,k:m ; Algoritmul devine mai eficient dacă se fac toate calculele în situ (în matricea A). Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
25 Eliminarea gaussiană cu pivotare parţială Cod MATLAB pentru descompunerea LUP function [L,U,P]=lup(A) %LUP - LUP decomposition of A %permute effectively lines [m,n]=size(a); P=zeros(m,n); piv=(:m) ; for i=:m- %pivoting [pm,kp]=max(abs(a(i:m,i))); kp=kp+i-; %line interchange if i~=kp A([i,kp],:)=A([kp,i],:); piv([i,kp])=piv([kp,i]); end %Schur complement lin=i+:m; A(lin,i)=A(lin,i)/A(i,i); A(lin,lin)=A(lin,lin)-... A(lin,i)*A(i,lin); end; for i=:m P(i,piv(i))=; end; U=triu(A); L=tril(A,-)+eye(m); adu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
26 Eliminarea gaussiană cu pivotare parţială Exemplu Exemplu Rezolvaţi sistemul prin descompunere LUP. Soluţie: Avem x = Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
27 Eliminarea gaussiană cu pivotare parţială Exemplu Exemplu (continuare) Deci L = , U = Sistemele triunghiulare corespunzătoare sunt 0 0 y = Pb = cu soluţia y = [8, 0, ] T 2 0 2, P = 8 4 3, Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
28 Eliminarea gaussiană cu pivotare parţială Exemplu Exemplu (continuare) şi x = 8 0, cu soluţia x = [,, ] T. Verificare PA = LU = = = Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
29 Pivotare totală Pivotare totală Dacă se selectează pivoţi din coloane diferite, sunt necesare matrice de permutare la stânga Q k : Punem L m P m L 2 P 2 L P AQ Q 2 Q m = U (L m L 2L )(P m P 2 P )A(Q Q 2 Q m ) = U L = (L m L 2L ) P = P m P 2 P Q = Q Q 2 Q m pentru a obţine PAQ = LU Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
30 Pivotare totală Liu Hui c. 220 c. 280 Matematician chinez, a discutat eliminarea,,gaussiană în comentariile sale asupra lucrării,,cele nouă capitole ale artei matematice 263 AD Carl Friedrich Gauss Matematică, astronomie, geodezie, magnetism 809 GE (Ca adolescent în Braunschweig a descoperit teorema binomială, reciprocitatea pătratică, media aritmetico-geometrică... ) : Universitatea din Göttingen adu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
31 Stabilitatea LU Stabilitatea LU fără pivotare Stabilitatea LU fără pivotare Pentru A = LU calculată fără pivotare: LŨ = A + δa, δa L U = O(eps) Eroare se referă la LŨ, nu la L sau Ũ Notă: la numitor apare L U, nu A L şi U pot fi arbitrar de mari, de exemplu [ ] [ ] [ A = = Deci, algoritmul este nestabil ] Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
32 Stabilitatea LU Stabilitatea LU cu pivotare Stabilitatea LU cu pivotare Daca se face pivotare, toate elementele lui L sunt în modul, deci L = O() Pentru a măsura creşterea lui U, se introduce factorul de creştere care implică U = O(ρ A ) ρ = max ij u ij max ij a ij Pentru descompunerea PA = LU calculată cu pivotare: LŨ = PA + δa, δa A = O(ρeps) Dacă ρ = O(), atunci algoritmul este regresiv stabil Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
33 Stabilitatea LU Factorul de creştere Factorul de creştere I Considerăm matricea = Nu apare nici o pivotare, deci aceasta este o factorizare PA = LU Factorul de creştere ρ = 6 = 2 m (se poate arăta că acesta este cazul cel mai nefavorabil) Deci, ρ = 2 m = O(), uniform, pentru toate matricele de dimensiune m Regresiv stabil conform definiţiei, dar rezultatul poate fi inutil Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
34 Stabilitatea LU Factorul de creştere Factorul de creştere II Totuşi, nu se ştie exact de ce, factorii de creştere sunt mici în practică Conjectură: factorii de creştere de ordin mai mare ca /2 sunt rari în practică adică, pentru orice α > /2 şi M > 0, probabilitatea evenimentului ρ > m α este mai mică decât m M, pentru m suficient de mare. α > 2 M > 0 m 0, m > m 0 P(ρ > m α ) < m M. Problemă deschisă: conjectura este adevărată sau falsă? Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
35 Descompunerea Cholesky Matrice SPD Matrice SPD Reamintim: A R m m este simetrică dacă a ij = a ji, sau A = A T A C m m este hermitiană dacă a ij = a ji, sau A = A O matrice hermitiană A este hermitian pozitiv definită dacă x Ax > 0 pentru x = 0 x Ax este întotdeauna real deoarece x Ay = y Ax Simetric pozitiv definită, sau SPD, pentru matrice reale dacă A este m m PD şi X are rang maxim, atunci X AX este PD Deoarece (X AX ) = X AX, şi dacă x = 0 atunci Xx = 0 şi x (X AX )x = (Xx) A(Xx) > 0 Orice submatrice principală a lui A este PD, şi orice element diagonal a ii > 0 matricele PD au valori proprii reale pozitive şi vectori proprii ortonormali Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
36 Descompunerea Cholesky Factorizarea Cholesky Factorizarea Cholesky Se elimina sub pivot şi la dreapta pivotului (datorită simetriei): [ a w A = ] [ ] [ α 0 α w = ] /α w K w/α I 0 K ww /a [ ] [ ] [ α 0 0 α w = ] /α w/α I 0 K ww = R A /a 0 I R unde α = a K ww /a este o submatrice principală a matricei PD R AR deci elementul ei din stânga sus este pozitiv, Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
37 Descompunerea Cholesky Factorizarea Cholesky Factorizarea Cholesky Se aplică recursiv şi se obţine A = (R R 2... R m)(r m... R 2 R ) = R R, r ii > 0 Existenţa şi unicitatea: orice matrice HPD are o factorizare Cholesky unică Algoritmul recursiv de pe folia precedentă nu eşuează niciodată Rezultă şi unicitatea, deoarece α = a este determinat unic (dat) la fiecare pas şi la fel, întreaga linie w/α Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
38 Descompunerea Cholesky Algoritmul de factorizare Cholesky Algoritmul de factorizare Cholesky Factorizează matricea HPD A C m m în A = R R: Factorizare Cholesky R := A; for k := to m do for j := k + to m do R j,j:m := R j,j:m R k,j:m R k,j /R k,k R k,k:m := R k,k:m / R k,k Complexitatea (număr de operaţii) m m k= j=k+ 2(m j) 2 m k k= j= j m k 2 m3 3 k= Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
39 Descompunerea Cholesky Exemplu Exemplu Să se rezolve sistemul folosind descompunerea Cholesky. x = Soluţie: Calculând radicalii pivoţilor şi complementele Schur se obţine B = Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
40 Descompunerea Cholesky Exemplu Exemplu Sistemele corespunzătoare sunt: 2 y = cu soluţia y = [ 4 2 ] T şi 2 cu soluţia x = [ ] T. x = , Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
41 Descompunerea Cholesky Stabilitateatea Stabilitatea Factorul Cholesky calculat R satisface R R = A + δa, δa A = O(eps) algoritmul este regresiv stabil Dar, eroarea în R poate fi mare, R R / R = O(κ(A)eps) Rezolvare Ax = b pentru HPD A şi cu două substituţii Numărul de operaţii Cholesky m 3 /3 Algoritm regresiv stabil: (A + A) x = b, A A = O(eps) Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
42 Descompunerea Cholesky Stabilitateatea John von Neumann ( ) André Louis Cholesky (875-98) adu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
43 Backslash în MATLAB Backslash în MATLAB x=a\b pentru A densă realizează următorii paşi Dacă A este triunghiulară superior sau inferior se rezolvă prin substituţie inversă sau directă Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
44 Backslash în MATLAB Backslash în MATLAB x=a\b pentru A densă realizează următorii paşi Dacă A este triunghiulară superior sau inferior se rezolvă prin substituţie inversă sau directă 2 Dacă A este o permutare a unei matrice triunghiulare, se rezolvă prin substituţie (utilă pentru [L,U]=lu(A) căci L este permutată) Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
45 Backslash în MATLAB Backslash în MATLAB x=a\b pentru A densă realizează următorii paşi Dacă A este triunghiulară superior sau inferior se rezolvă prin substituţie inversă sau directă 2 Dacă A este o permutare a unei matrice triunghiulare, se rezolvă prin substituţie (utilă pentru [L,U]=lu(A) căci L este permutată) 3 Dacă A este simetrică sau hermitiană Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
46 Backslash în MATLAB Backslash în MATLAB x=a\b pentru A densă realizează următorii paşi Dacă A este triunghiulară superior sau inferior se rezolvă prin substituţie inversă sau directă 2 Dacă A este o permutare a unei matrice triunghiulare, se rezolvă prin substituţie (utilă pentru [L,U]=lu(A) căci L este permutată) 3 Dacă A este simetrică sau hermitiană Se verifică dacă toate elementele diagonale sunt pozitive Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
47 Backslash în MATLAB Backslash în MATLAB x=a\b pentru A densă realizează următorii paşi Dacă A este triunghiulară superior sau inferior se rezolvă prin substituţie inversă sau directă 2 Dacă A este o permutare a unei matrice triunghiulare, se rezolvă prin substituţie (utilă pentru [L,U]=lu(A) căci L este permutată) 3 Dacă A este simetrică sau hermitiană Se verifică dacă toate elementele diagonale sunt pozitive Se încearca cu Cholesky; daca se termina cu succes se rezolvă prin substituţie Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
48 Backslash în MATLAB Backslash în MATLAB x=a\b pentru A densă realizează următorii paşi Dacă A este triunghiulară superior sau inferior se rezolvă prin substituţie inversă sau directă 2 Dacă A este o permutare a unei matrice triunghiulare, se rezolvă prin substituţie (utilă pentru [L,U]=lu(A) căci L este permutată) 3 Dacă A este simetrică sau hermitiană Se verifică dacă toate elementele diagonale sunt pozitive Se încearca cu Cholesky; daca se termina cu succes se rezolvă prin substituţie 4 Dacă A este Hessenberg, se reduce la o matrice triunghiulară superior şi apoi se rezolvă prin substituţie inversă Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
49 Backslash în MATLAB Backslash în MATLAB x=a\b pentru A densă realizează următorii paşi Dacă A este triunghiulară superior sau inferior se rezolvă prin substituţie inversă sau directă 2 Dacă A este o permutare a unei matrice triunghiulare, se rezolvă prin substituţie (utilă pentru [L,U]=lu(A) căci L este permutată) 3 Dacă A este simetrică sau hermitiană Se verifică dacă toate elementele diagonale sunt pozitive Se încearca cu Cholesky; daca se termina cu succes se rezolvă prin substituţie 4 Dacă A este Hessenberg, se reduce la o matrice triunghiulară superior şi apoi se rezolvă prin substituţie inversă 5 Dacă A este pătratică, se factorizează PA = LU şi se rezolvă prin substituţie inversă Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
50 Backslash în MATLAB Backslash în MATLAB x=a\b pentru A densă realizează următorii paşi Dacă A este triunghiulară superior sau inferior se rezolvă prin substituţie inversă sau directă 2 Dacă A este o permutare a unei matrice triunghiulare, se rezolvă prin substituţie (utilă pentru [L,U]=lu(A) căci L este permutată) 3 Dacă A este simetrică sau hermitiană Se verifică dacă toate elementele diagonale sunt pozitive Se încearca cu Cholesky; daca se termina cu succes se rezolvă prin substituţie 4 Dacă A este Hessenberg, se reduce la o matrice triunghiulară superior şi apoi se rezolvă prin substituţie inversă 5 Dacă A este pătratică, se factorizează PA = LU şi se rezolvă prin substituţie inversă 6 Dacă A nu este pătratică, se face factorizare QR cu metoda Householder, şi se rezolvă problema de aproximare în sensul celor mai mici pătrate adu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
51 Descompunere QR Descompunere QR Fie A C m n. Se numeşte descompunere QR a lui A perechea de matrice (Q, R) unde Q C m n este unitară, R C n n este triunghiulară superior şi A = QR. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
52 Descompunere QR Metoda lui Householder Triunghiularizare Householder Metoda lui Householder înmulţeşte cu matrice unitare pentru a transform matricea într-una triunghiulară; de exemplu la primul pas: r 0 Q A = La sfârşit, am obţinut un produs de matrice ortogonale Triunghiularizare ortogonală Q n... Q 2 Q }{{} A = R Q Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
53 Introducerea de zerouri Introducerea de zerouri Q k introduce zerouri sub diagonală în coloana k Păstrează zerourile introduse anterior 0 Q 0 Q A Q A Q 2 Q A Q3 0 0 Q 3 Q 2 Q A Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
54 Reflectori Householder Reflectori Householder Fie Q k de forma Q k = [ I 0 0 F unde I este (k ) (k ) şi F este (m k + ) (m k + ) Creăm reflectorul Householder F care introduce zerouri: x 0 x =. Fx = ]. 0 = x e Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
55 Reflectori Householder-Ideea Reflectori Householder-Ideea Ideea: reflectăm în raport cu hiperplanul H, ortogonal pe v = x 2 e x, aplicând matricea unitară F = I 2 vv v v A se compara cu proiectorul P v = I vv v v adu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
56 Reflectori Householder-Ideea Determinarea reflectorului reflexie Householder: P = I 2uu T, u 2 = ; P simetrică şi ortogonală, deoarece P = P T şi ( ) ( ) PP T = I 2uu T I 2uu T = I 4uu T + 4uu T uu T = I Dorim Px = [c, 0,..., 0] T = ce (anulăm toate componentele lui x exceptând prima) Px = x 2u(u T x) = ce = u = 2u T x (x ce ) x 2 = Px 2 = c obţinem u paralel cu ũ = x ± x 2 e, deci u = ũ/ ũ 2. Orice alegere de semn corespunde; vom alege ũ = [x + sign(x ) x 2, x 2,..., x n ] T, u = ũ/ ũ 2. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
57 Alegerea reflectorului Alegerea reflectorului Putem aplica reflexia oricărui multiplu z al lui x e cu z = Proprietăţi numerice mai bune pentru v mare, de exemplu v = sign(x ) x e + x Notă: sign(0) =, dar în MATLAB, sign(0)==0 adu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
58 Algoritmul lui Householder Algoritmul lui Householder Calculează factorul R al descompunerii QR a matricei m n A (m n) Lasă rezultatul în A, memorând vectorii de reflexie v k pentru utilizare ulterioară Factorizare QR prin metoda Householder for k := to n do x := A k:m,k ; v k := sign(x ) x 2 e + x; v k := v k / v k 2 ; A k:m,k:n = A k:m,k:n 2v k (v k A k:m,k:n) Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
59 Aplicarea sau obţinerea lui Q Aplicarea sau obţinerea lui Q Calculăm Q b = Q n... Q 2 Q b şi Qx = Q Q 2... Q n x implicit Pentru a crea Q explicit, aplicăm pentru x = I Calculul implicit al lui Q b for k := to n do b k:m = b k:m 2v k (v k b k:m); Calculul implicit al lui Qx for k := n downto do x k:m = x k:m 2v k (v k x k:m); Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
60 Complexitatea QR-Householder Complexitatea QR-Householder Cea mai mare parte a efortului Operaţii pe iteraţie: A k:m,k:n = A k:m,k:n 2v k (v k A k:m,k:n) 2(m k)(n k) pentru produsele scalare v k A k:m,k:n (m k)(n k) pentru produsul exterior 2v k ( ) (m k)(n k) pentru scăderea A k:m,k:n 4(m k)(n k) total Incluzând ciclul exterior, totalul devine n k= 4(m k)(n k) = 4 n k= ( mn k (m + n) + k 2 ) 4mn 2 4(m + n)n 2 /2 + 4n 3 /3 = 2mn 2 2n 3 /3 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
61 Complexitatea QR-Householder Figure: Alston S. Householder ( ), matematician american. Contribuţii importante: biologie matematică, algebră liniară numerică. Cartea sa The Theory of Matrices in Numerical Analysis a avut un mare impact asupra dezvoltării analizei numerice şi a informaticii. Figure: James Wallace Givens (90-993) Pionier al algebrei liniare numerice şi informaticii adu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
62 Complexitatea QR-Householder Exemplu Calculaţi descompunerea QR a matricei [ 3 A = 4 Soluţie. Reflexia pentru prima coloană este P = I 2uu T. Vectorul u se determină astfel: [ ] [ ] [ ] x + sign(x ũ = ) x = =. 4 4 x 2 ũ = = 4 5 ] u = ũ ũ =. [ ]. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
63 Complexitatea QR-Householder Matricea de reflexie este [ 0 P = 0 [ 3 = ] [ ] = Q T. ] [ ] T Se obţine: [ 3 Q = 5 4 ] [ R = Q T 3 A = ] [ 3 4 ] = [ ]. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
64 Complexitatea QR-Householder Rotaţii Givens Rotaţii Givens I O rotaţie Givens [ cos θ sin θ R(θ) = sin θ cos θ ] roteşte un vector x R 2 în sens trigonometric cu unghiul θ Rotaţia Givens cu unghiul θ în coordonatele i şi j se obţine cu ajutorul matricei de mai sus, punând elementele ei în liniile şi coloanele i şi j şi în rest elementele matricei unitate. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
65 Complexitatea QR-Householder Rotaţii Givens Rotaţii Givens II R(i, j, θ) := i j... i cos θ sin θ... j sin θ cos θ... Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
66 Complexitatea QR-Householder Rotaţii Givens Rotaţii Givens III Dându-se x, i şi j putem anula x j alegând cos θ şi sin θ astfel încât [ ] [ ] cos θ sin θ xi = sin θ cos θ x j [ ] xi 2 + xj 2, 0 adică cos θ = x i x 2 i + x 2 j, sin θ = x j x 2 i + x 2 j. Algoritmul QR bazat pe rotaţii Givens este analog algoritmului bazat pe reflexii Householder, dar când anulăm coloana i se anulează un element la un moment dat. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai Metode ) directe pentru sisteme de ecuaţii liniare March 27, / 59
Metode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare
Metode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare Eliminare gaussiană, descompunere LU, Cholesky Radu T. Trîmbiţaş Universitatea Babeş-Bolyai March 26, 2008 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai
Διαβάστε περισσότεραSisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραActivitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare
METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Mădălina-Andreea
Διαβάστε περισσότεραCap.2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II)
Cap.2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II) Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic
Διαβάστε περισσότεραMetode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi
Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem
Διαβάστε περισσότεραNoţiuni introductive
Metode Numerice Noţiuni introductive Erori. Condiţionare numerică. Stabilitatea algoritmilor. Complexitatea algoritmilor. Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII
9 PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII 81 Introducere Problema de valori proprii a unui operator liniar A: Ax = λx x vector propriu, λ valoare proprie În reprezentarea unei baze din < n problemă matricială
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραProblema celor mai mici pătrate
Seminar 3 Problema celor mai mici pătrate Acest seminar este dedicat metodelor numerice pentru rezolvarea unei probleme numerice foarte importante întâlnită în multe aplicaţii, aşa numita problemă a celor
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder
METODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Alexandru
Διαβάστε περισσότεραRezolvarea sistemelor liniare determinate
Seminar 2 Rezolvarea sistemelor liniare determinate Acest seminar este dedicat metodelor numerice de rezolvare a sistemelor liniare determinate, i.e. al sistemelor liniare cu numărul de ecuaţii egal cu
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραMetode Numerice Curs I Introducere. Ion Necoara
Metode Numerice Curs I Introducere Ion Necoara 2014 Personal Curs: Prof. dr.. Ion Necoara (ion.necoara@acse.pub.ro) Laborator: drd. Andrei Patrascu (andrei.patrascu@acse.pub.ro) Examinare 25 puncte laborator,
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότερα3. Vectori şi valori proprii
Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau
Διαβάστε περισσότεραI. Noţiuni introductive
Metode Numerice Curs 1 I. Noţiuni introductive Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate astfel încât să fie rezolvate numai prin operaţii aritmetice. Prin trecerea
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραLaborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότερα, m ecuańii, n necunoscute;
Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Διαβάστε περισσότεραsistemelor de algebrice liniarel
Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότεραCalculul valorilor proprii
Laborator 5 Calculul valorilor proprii 5.1 Valori şi vectori proprii Definiţia 5.1 Fie A C n n. Un vector x C n n este un vector propriu al matricei A, asociat valorii proprii λ C, dacă sunt satisfăcute
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραSisteme de ecuaţii diferenţiale
Curs 5 Sisteme de ecuaţii diferenţiale 5. Sisteme normale Definiţie 5.. Se numeşte sistem normal sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi dx dt = f (t, x, x 2,..., x n ) dx 2 dt = f 2(t, x, x
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραLaborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare
Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare 1 Metode iterative clasice Metodele iterative sunt intens folosite, in special pentru rezolvarea de probleme mari, cum sunt cele de discretizare
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραLectia VII Dreapta si planul
Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότεραDescompunerea valorilor singulare
Laborator 6 Descompunerea valorilor singulare 6.1 Preliminarii 6.1.1 Descompunerea valorilor singulare Vom introduce descompunerea valorilor singulare (DVS) ale unei matrice prin următoarea teoremă. Teorema
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραNicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI
Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE
CAPITOLUL FUNCŢIONALE LINIAE BILINIAE ŞI PĂTATICE FUNCŢIONALE LINIAE BEIA TEOETIC Deiniţia Fie K X un spaţiu vecorial de dimensiune iniă O aplicaţie : X K se numeşe uncţională liniară dacă: ese adiivă
Διαβάστε περισσότεραProiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera Cuprins Scheme de algoritmi Divide et impera Exemplificare
Διαβάστε περισσότεραLectia III Produsul scalar a doi vectori liberi
Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale
3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότερα