Trao đổi trực tuyến tại:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Trao đổi trực tuyến tại:"

Transcript

1 Trao đổi trực tuyến tại:

2 HÌNH HỌC VI PHÂN Đỗ Ngọc Diệp và Nông Quốc Chinh

3 Mục lục 1 Đường và mặt bậc hai Siêu phẳng afin Thuật khử Gauss-Jordan giải hệ phương trình tuyến tính Đa tạp tuyến tính và phương pháp toạ độ Các phép biến đổi (tuyến tính) trong hình học Đường bậc hai với phương trình chính tắc Ellipse Hyperbola Parabola Đưa phương trình đường bậc hai trong mặt phẳng về dạng chính tắc Phân loại siêu mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều Đưa phương trình mặt bậc hai tổng quát về dạng chính tắc Phân loại dời hình các đường bậc hai trong mặt phẳng Euclid Phân loại dời hình các mặt bậc hai trong không gian Euclid 3 chiều Phương pháp toạ độ cong Các đường bậc 2 tham số hoá Các mặt bậc hai tham số hoá Bài tập củng cố lý thuyết Lý thuyết đường cong trong R n Cung tham số hoá và cung chính quy Độ dài đường cong trong R n. Đường trắc địa Mục tiêu trực chuẩn. Mục tiêu Frénet. Độ cong. Độ xoắn Định lí cơ bản Bài tập củng cố lý thuyết

4 Hình học vi phân 2 3 Đại số tensơ, đại số ngoài, tensơ đối xứng Tích tensơ các không gian véctơ Tích ngoài và tích tensơ đối xứng Đại số tensơ Đại số ngoài Lý thuyết mặt cong trong R Mảnh tham số hoá chính quy và mặt tham số hoá Mục tiêu Darboux của đường cong trên mặt dìm Dạng toàn phương cơ bản Đạo hàm Weingarten và ký hiệu Christoffel Đạo hàm thuận biến Độ cong Riemann Các định lí cơ bản của lí thuyết mặt dìm Đường cong trên mặt cong Đường cong trên mặt Độ cong pháp dạng và độ cong trắc địa của đường cong trên mặt Phương chính và độ cong Gauss Một số tính chất đặc trưng của đường trên mặt cong Định lí Gauss -Bonnet Bài tập củng cố lý thuyết Định lý ánh xạ ngược và Định lý ánh xạ ẩn Định nghĩa đạo ánh và các tính chất cơ bản Đạo hàm riêng và vi phân Định lí hàm (ánh xạ) ngược Định lí hàm (ánh xạ) ẩn Bó các hàm trơn Bài tập củng cố lý thuyết Đa tạp khả vi Định nghĩa. Ví dụ Ánh xạ trơn giữa các đa tạp Phân thớ tiếp xúc, đối tiếp xúc Không gian tiếp xúc. Phân thớ tiếp xúc Không gian đối tiếp xúc. Phân thớ đối tiếp xúc Đa tạp con. Đa tạp thương Điều kiện dìm và điều kiện ngập Cấu trúc vi phân cảm sinh

5 Hình học vi phân Định lí Godeman Ví dụ Tôpô các đa tạp Bài tập củng cố lý thuyết Sơ lược về hình học Riemann tổng quát Sơ lược về hình học symplectic tổng quát

6 Giới thiệu Ở trường phổ thông, hình học được dạy và học theo quan điểm hình học Euclid. Các vật thể hình học được cấu thành từ các mảnh phẳng và mảnh cầu. Quan hệ so sánh giữa các vật thể hình học được thực hiện bởi các phép dời hình; hai vật thể hình học được xem là bằng nhau nếu chúng có thể được chồng khít lên nhau qua những phép dời hình. Đại số tuyến tính và hình học giải tích xét các vật thể hình học được cấu thành từ các mảnh phẳng và các mảnh bậc 2 tổng quát. Các quan hệ so sánh được xét như các phép biến đổi tuyến tính hoặc afin. Các đường bậc hai được đưa về 9 dạng chính tắc, các mặt bậc hai trong không gian 3-chiều được đưa về 17 dạng chính tắc. Trong hình học đại số bằng phương pháp phân loại có thể nghiên cúu các đường và mặt hoặc siêu mặt bậc 3 hay, tổng quát hơn, bậc bất kì. Phép biến đổi cho phép là các phép biến đổi đa thức hoặc song hữu tỉ. Quan điểm nói trên được phát triển trong cùng một ngữ cảnh củahình học vi phân khi mà các vật thể được cấu tạo từ các mảnh tham số hoá bằng các toạ độ địa phương,mà nói chung các hàm toạ độ địa phương là các hàm trơn bất kì. Các phép biến đổi là các phép vi phôi. Do vậy các vật thể hình học trong hình học vi phân đa dạng hơn, nhiều chiều hơn và theo một nghĩa nhất định là trơn chu hơn các vật thể hình học trong các môn hình học trên. Phương pháp nghiên cứu của hình học vi phân tương đối đa dạng. Trước hết hình học vi phân sử dụng các phép tính vi phân và tích phân trong không gian Euclid R n để xây dựng các phép tính vi phân và tích phân tương ứng trên các vật thể hình học. Đồng thời nó cũng vận dụng các phương pháp tôpô, tôpô đại số, phương pháp tổ hợp, phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng,... để tìm ra các tính chất của các đối tượng hình học. Giáo trình này được biên soạn trong khuôn khổ chương trình cho sinh viên các năm cuối đại học. Các tác giả đã dạy chương trình này cho các lớp của Đại học Huế,Đại học Thái nguyên, Đại học Quy Nhơn. Thực tế giảng dạy đã gợi ý cho các các tác giả chọn lọc các nội dung này, sao cho vừa phải, không quá nhiều và cũng không quá nghèo nàn. 4

7 Hình học vi phân 5 Giáo trình gồm có các chương chính sau: Chương 1 đuợc dành cho việc nhìn lại lý thuyết đuờng và mặt bậc 1 và 2. Mục đích của chương này là tạo ra một khởi điểm hình học cho việc học tiếp tục. Chương 2 được dành cho việc nghiên cứu các đường cong trong không gian Euclid n-chiềụ. Chương 3 được dành cho việc xây dựng lại khái niệm về tensơ và đại số tensơ. Chương 4 là chương trọng tâm, dành cho lý thuyết mặt cong trong không gian Euclid R 3. Trong chương 5 chúng tôi trình bày phép toán vi phân nhiều chiều cho các ánh xạ trơn, đồng thời nhấn mạnh các định lí ánh xạ ẩn và định lí ánh xạ ngược. Hai định lí này đóng vai trò trung tâm trong việc nghiên cứu các đa tạp con trong R n được xác định bởi hệ phương trình hàm. Trong chương 6 chúng tôi trình bày lý thuyết tổng quát các đa tạp khả vi. Đó chính là các đối tượng trung tâm của hình học vi phân. Cuối mỗi chương có một số bài tập bổ sung cho phần lí thuyết. Các bài tập luyện tập cơ bản, cần đuợc giảng viên chọn từ các nguồn khác. Giáo trình được biên soạn lần đầu không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp cho việc biên sọan, nội dung và hình thức của giáo trình. Các tác giả

8 Chương 1 Đường và mặt bậc hai Trong chương này chúng ta sẽ hệ thống hoá lại những khái niệm và kết quả nghiên cứu đường và mặt trong Đại số tuyến tính và Hình học giải tích dưới một cách nhìn thống nhất là tham số hoá và toạ độ hoá. Cách nhìn thống nhất này sẽ cho một hình dung sơ bộ về phương pháp nghiên cứu của hình học vi phân cổ điển. 1.1 Siêu phẳng afin Trong Đại số tuyến tính, các siêu phảng afin đóng vai trò cơ bản, các m-phẳng được xem như giao của hệ các siêu phẳng afin. Trong hình học afin, siêu mặt afin là đối tượng cơ bản. Các giao của các siêu mặt bậc 2 cho ta các đối tương kiểu các nhát cắt cầu, nhát cắt ellipsoid, v.v Thuật khử Gauss-Jordan giải hệ phương trình tuyến tính Để giải hệ phương trình tuyến tính ta có thể sử dụng thuật khử Gauss-Jordan là thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên ma trân của hệ phương trình đã cho. Chúng tôi cho rằng học viên đã biết kĩ về những vấn đề liên quan Đa tạp tuyến tính và phương pháp toạ độ Ta xét bài toán nghiên cứu tập nghiệm (hạt nhân) của phương trình véctơ ϕ(x) = b, trong đó ϕ : V W là một ánh xạ tuyến tính. Không gian nghiệm là một m-phẳng afin dạng x 0 + L với L là một mặt phẳng qua gốc toạ độ, là không gian nghiệm (hạt nhân) của ánh xạ tuyến tính ϕ(x) = 0. 6

9 Hình học vi phân 7 Toạ độ hoá các không gian véctơ V và W bằng cách chọn trong mỗi không gian một cơ sở tuyến tính, ta quy bài toán về giải hệ phương trình tuyến tính. Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát với n biến và m phương x 1 b 1 trình Ax = b, với x = x 2... và cột vế phải b = b Theo Định x n lý Kronecker-Kapelli, hệ phương trình là có nghiệm khi và chỉ khi rank[a] = rank[a b]. Nghiệm của hệ là một không gian afin con. Nếu ta chọn toạ độ hoá bằng cách chọn một cơ sở của không gian nghiệm rồi bổ sung thành một cơ sở của toàn bộ R n thì ta có thể nói rằng: Có thể tách biến x = (x, y) với x = (x 1,..., x n r ), y = (y 1,..., y r ) sao cho r = rank[a] và ma trận con a 1,n r+1... a 1,n a r,n r+1... a r,n là khả nghịch. Các biến x 1,..., x n r là biến tự do. Các biến y 1,..., y r là các biến phụ thuộc, là các hàm tuyến tính theo x 1,..., x n r theo quy tắc Cramer cho hệ a 1,n r+1 y a 1,n y r = b 1 n r i=1 a 1,ix i a r,n r+1 y a r,n y r = b r n r i=1 a r,ix i Như vậy ta có thể tìm một cơ sở trong không gian nghiệm mà trong đó các véctơ nghiệm tương ứng với x = (x 1,..., x n r ) của x 0 + L. Nói một cách khác, ta có một đẳng cấu afin giữa R n r và không gian con afin x 0 + L. Nếu xem không gian con afin như là vật thể hình học độc lập thì các phép biến đổi hình học cho phép chính là các phép biến đổi afin. Việc chọn cách tách biến như trên cho phép "tọa độ hoá" không gian (đa tạp) afin đó. Một ví dụ khác là các hình thu được nhờ compa. Theo quan điểm trừu tượng compa là công cụ có tác dụng duy nhất là vẽ các đường tròn hoặc là các cung của nó. Một lý thuyết tổng quát các mặt bậc 2 được nghiên cứu trong phần cuối của một giáo trình đại số tuyến tính. Trong trường hợp này các phép biến đổi cho phép là các phép biến đổi bảo toàn các dạng bậc 2, tức là các phép biến đổi afin trực giao. Ví dụ với mặt cầu phép biến đổi cho phép là các phép biến đổi trong không gian Euclid (các phép quay, các phép phản xạ, tịnh tiến). Bài toán quy về việc nghiên cứu hệ một hay nhiều phương trình, bất phương trình bậc 2, ví dụ dạng toàn phương. Lại một lần nữa, câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: có thể chăng nghiên cứu các mặt tổng quát hơn là mặt bậc 2? b m

10 Hình học vi phân 8 Bài toán cơ bản là các việc làm nói trên có thể thực hiện hay không khi hệ phương trình phi tuyến (không là tuyến tính hoặc các phương trình có bậc lớn hơn 2). Trả lời câu hỏi này, hình học vi phân dùng toàn bộ công cụ vi tích phân của giải tích. Đó cũng chính là nội dung của hình học các đa tạp khả vi. Tuy nhiên để có được điều đó ta phải huy động toàn bộ phép tính vi tích phân trong R n ở dạng tổng quát nhất Các phép biến đổi (tuyến tính) trong hình học Trong một không gian, điều quan trọng hơn cả là chúng ta chấp nhận các phép biến đổi nào. Nếu chấp nhận đủ nhiều các phép biến đổi được coi là biến đổi tương đương thì có đủ nhiều các vật thể hình học được đồng nhất với nhau. Nếu hạn chế chỉ xét các phép biến đổi hình học là tuyến tính thì chúng ta có nhóm biến đổi là nhóm tuyến tính tổng quát G = GL(R n ) = GL n (R) của không gian, gồm tất cả các phép biến đổi tuyến tính khả nghịch. Chúng ta thu được hình học afin [aphin]. Nếu chúng ta hạn chế hẹp hơn, chỉ chấp nhận các phép biến đổi là bảo toàn khoảng cách, hoặc tích vô hướng, chúng ta có nhóm O(n) các biến đổi trực giao và hình học chính là hình học Euclid. 1.2 Đường bậc hai với phương trình chính tắc Ellipse Trong hình học giải tích, ellipse được định nghĩa như quỹ tích các điểm M mà tổng khoảng cách đến hai điểm F 1 và F 2 cho trước là một đại lượng không đổi 2a. Các điểm F 1 và F 2 đó được gọi là các tiêu điểm. Gọi khoảng cách giữa hai điểm F 1 và F 2 là 2d. Chọn trung điểm của đoạn F 1 F 2 là gốc O của hệ toạ độ Descartes, chọn véctơ e 1 sao cho OF 2 = de 1. Bổ sung thêm một véctơ e 2 để có một cơ sở trực chuẩn thuận hướng và do vậy có hệ toạ độ Descartes O, e 1, e 2. Trong hệ toạ độ này điểm M có các toạ độ là (x, y) và ta có phương trình đường ellipse Hyperbola x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, với b = a 2 d 2 Trong hình học giải tích, hyperbola được định nghĩa như quỹ tích các điểm M mà trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách đến hai điểm F 1 và F 2 cho trước là một đại lượng không đổi.

11 Hình học vi phân 9 Gọi khoảng cách giữa hai điểm F 1 và F 2 là 2d. Chọn trung điểm của đoạn F 1 F 2 là gốc O của hệ toạ độ Descartes, chọn véctơ e 1 sao cho OF 2 = de 1. Bổ sung thêm một véctơ e 2 để có một cơ sở trực chuẩn thuận hướng và do vậy có hệ toạ độ Descartes O, e 1, e 2. Trong hệ toạ độ này điểm M có các toạ độ là (x, y) và ta có phương trình đường ellipse Parabola x 2 a 2 y2 b 2 = 1, với b = d 2 a 2 Trong hình học giải tích, parabola được định nghĩa như quỹ tích các điểm M mà khoảng cách đến một điểm F và một đường thẳng l trong mặt phẳng cho trước là bằng nhau. Qua điểm F, ta hạ đường vuông góc với đường thẳng l tại điểm P. Gọi trung điểm đoạn P F là gốc toạ độ O. Chọn các véctơ trực chuẩn e 1 và e 2 sao cho OF = pe 2. Gọi (x, y) là các toạ độ điểm M trong hệ toạ độ O, e 1, e 2. Khi đó ta có phương trình đường parabola là x 2 = 4py. 1.3 Đưa phương trình đường bậc hai trong mặt phẳng về dạng chính tắc Định lí (Định lí phân loại) Bằng phép biến đổi toạ độ thích hợp, mỗi đường bậc hai tổng quát trong mặt phẳng Euclid afin 2-chiều đều được đưa về một trong số 9 đường chính tắc sau: 1. Đường ellipse 2. Đường ellipse ảo: 3. Đường hyperbola 4. Đường parabola x 2 a 2 + y2 b 2 = 1. x 2 a 2 + y2 b 2 = 1. x 2 a 2 y2 b 2 = 1. x 2 p = 2y, p > 0.

12 Hình học vi phân Cặp hai đường thẳng song song 6. Cặp hai đường thẳng ảo song song: 7. Cặp hai đường thẳng ảo cắt nhau: 8. Cặp hai đường thẳng cắt nhau: 9. Cặp hai đường thẳng trùng nhau: x 2 a 2 = 1. x 2 a 2 = 1. x 2 a 2 + y2 b 2 = 0. x 2 a 2 y2 b 2 = 0. x 2 = Phân loại siêu mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều Định lí (Định lí phân loại) Bằng phép biến đổi toạ độ thích hợp, mỗi mặt bậc hai tổng quát trong không gian Euclid ba chiều đều được đưa về một trong số 17 mặt chính tắc sau: 1. Mặt ellipsoid: 2. Mặt ellipsoid ảo: 3. Mặt nón ảo: x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1. x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1. x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 0.

13 Hình học vi phân Mặt elliptic hyperboloid một tầng 5. Mặt elliptic hyperboloid hai tầng x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1. x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = Mặt nón bậc hai: 7. Mặt elliptic paraboloid x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = Mặt trụ elliptic 9. Mặt trụ elliptic ảo: x 2 p + y2 q 10. Cặp mặt phẳng ảo cắt nhau: 11. Mặt hyperbolic paraboloid: 12. Mặt trụ hyperbolic: x 2 p y2 q 13. Cặp hai mặt phẳng cắt nhau: = 2z, p > 0, q > 0. x 2 a 2 + y2 b 2 = 1. x 2 a 2 + y2 b 2 = 1. x 2 a 2 + y2 b 2 = 0. = ±2z, p > 0, q > 0. x 2 a 2 y2 b 2 = ±1. x 2 a 2 y2 b 2 = 0.

14 Hình học vi phân Mặt trụ parabolic x 2 = 2pz, p > Cặp hai mặt phẳng song song: 16. Cặp hai mặt phẳng ảo song song: 17. Cặp hai mặt phẳng trùng nhau: x 2 = k 2, hay x = ±k, k 0. x 2 = k 2, hay x = ±ik, k 0. x 2 = 0. Chứng minh. Định lí được chứng minh bằng cách chọn phép đổi toạ độ thích hợp làm biến mất phần tuyến tính. Dạng toàn phương và hệ số tự do quyết định đạng của mặt cong. Trường hợp 1: Dạng toàn phương có ba giá trị riêng khác 0: λ 1, λ 2, λ 3 : Phương trình được đưa về dạng λ 1 x 2 + λ 2 y 2 + λ 3 z 2 = c 1a. Các giá trị λ 1, λ 2, λ 3 cùng dấu, quy về λ 1 > 0, λ 2 > 0, λ 3 > 0 1. Nếu c > 0 ta có thể đặt a 2 = c λ 1, b 2 = c λ 2, c 2 = c λ Nếu c < 0, ta có thể đặt a 2 = c λ 1, b 2 = c λ 2, c 2 = c λ Nếu c = 0 ta có thể đặt a 2 = 1 λ 1, b 2 = 1 λ 2, c 2 = 1 λ 3. 1b. Các giá trị riêng khác dấu, quy về λ 1 > 0, λ 2 > 0, λ 3 < 0 4. Nếu c > 0 ta có thể đặt a 2 = c λ 1, b 2 = c λ 2, c 2 = c λ Nếu c < 0, ta có thể đặt a 2 = c λ 1, b 2 = c λ 2, c 2 = c λ Nếu c = 0 ta có thể đặt a 2 = 1 λ 1, b 2 = 1 λ 2, c 2 = 1 λ 3. Trường hợp 2: Có đúng một giá trị riêng bằng không, ví dụ λ 1 0, λ 2 0, λ 3 = 0: 2a. λ 1 và λ 2 cùng dấu: λ 1 > 0, λ 2 > 0, λ 3 = 0. Khi có một giá trị riêng λ 3 = 0 thì hệ số tự do lại có thể làm triệt tiêu. Nếu hệ số bậc nhất theo z khác 0 ta có thể đặt là ±2p, p > 0. Ta có

15 Hình học vi phân Nếu hệ số bậc nhất theo z triệt tiêu, ta có phương trình dạng Ta có ba trường hợp: λ 1 x 2 + λ 2 y 2 = c. 8. Nếu c > 0 ta có thể đặt a 2 = c λ 1, b 2 = c λ 2, c 2 = c λ Nếu c < 0, ta có thể đặt a 2 = c λ 1, b 2 = c λ 2, c 2 = c λ Nếu c = 0 ta có thể đặt a 2 = 1 λ 1, b 2 = 1 λ 2, c 2 = 1 λ 3. 2b. λ 1 và λ 2 khác dấu: λ 1 > 0, λ 2 < 0, λ 3 = Nếu c > 0 ta có thể đặt a 2 = c λ 1, b 2 = c λ Nếu c < 0, ta có thể đặt a 2 = c λ 1, b 2 = c λ Nếu c = 0 ta có thể đặt a 2 = 1 λ 1, b 2 = 1 λ 2. Trường hợp 3: Có đúng một giá trị riêng khác 0, ví dụ λ 1 0, λ 2 = λ 3 = 0. Khi đó phương trình tổng quát có dạng λ 1 x 2 + 2a 1 x + 2a 2 y + 2a 3 z + a 0 = 0. Nếu D = a a ta thực hiện phép đổi toạ độ trực giao: x = x y = a 3 D y + a 2 D z z = a 2 D y + a 3 D z Trong hệ toạ độ mới này, phương trình có dạng Thực hiện phép tịnh tiến toạ độ ta có các trường hợp λ 1 x 2 + 2a 1 x + 2Dz + a 0 = 0 x = a 1 λ 1 + x y = y z = a 0 D

16 Hình học vi phân Nếu D = 0 thì phương trình tổng quát có dạng λ 1 x 2 + 2a 1 x + a 0 = 0 Thực hiện phép tịnh tiến toạ độ theo trục x ta nhận được phương trình mới dạng: λ 1 x 2 + a 0 = 0. có ba trường hợp: 15. λ 1 > 0, a 0 < 0, ta đặt k 2 = a 0 λ λ 1 > 0, a 0 > 0, ta đặt k 2 = a 0 λ λ 1 > 0, a 0 = 0, chia hai vế cho λ Đưa phương trình mặt bậc hai tổng quát về dạng chính tắc Giả sử (O, e 1,..., e n ) và (Õ, ẽ 1,..., ẽ n ) là hai hệ toạ độ Descartes với [ẽ 1,..., ẽ n ] = [e 1,..., e n ]A, là phép chuyển toạ độ OÕ = n b i e i i=1 với tức là x = (x 1,..., x n ) x = ( x 1,..., x n ) x i = x = A x + b, n A i j x j + b j. j=1 Nói cách khác qua phép biến đổi tọa độ, OM = OÕ + ÕM = b + n x j ẽ j. j=1

17 Hình học vi phân 15 Siêu mặt bậc 2 là quĩ tích các điểm M trong không gian Euclid afin A V thoả mãn phương trình 0-điểm của một hàm bậc 2 q(m) = ϕ( OM, OM) + 2f( OM) + c = 0, trong đó phần bậc 2 ϕ là không đồng nhất bằng 0. Nếu trên siêu mặt bậc 2 có điểm tâm đối xứng Õ, tức là ÕM thoả mãn phương trình q(m) = 0 nếu ÕM thoả mãn, thì viết trong gốc tọa độ tại Õ phần bậc nhất triệt tiêu f(õm) = ϕ( OÕ, ÕM) + f(õm) = 0. Giả sử M là một điểm trên siêu mặt đang xét. Đường thẳng D có phương e qua M gồm các điểm có dạng OM + te. Cho nên giao của nó với siêu mặt bậc 2 cho bởi S : q(m) = 0 gồm các điểm mà t thoả mãn phương trình At 2 + 2Bt + C = 0, với A = ϕ(e, e), B = f(e)+ϕ(om, e), C = q(m). Phương e là phương không tiệm cận nếu ϕ(e, e) 0. Nếu véctơ e không thuộc hạt nhân của ϕ, tức là ϕ(e, e) 0 thì siêu phẳng kính liên hợp với phương e được cho bởi ϕ(om, e) + f(e) = 0. Hai véctơ u, v trong không gian afin A V là liên hợp với nhau qua hàm (bậc 2) ϕ, nếu ϕ(u, v) = 0. Véctơ tự do e được gọi là phương chính của hàm bậc hai q(m) nếu nó liên hợp với tất cả các véctơ vuông góc với nó, tức là ϕ(e, u) = 0, với mọi u e. Kết qủa cơ bản của hình học giải tích phân loại các siêu mặt bậc hai được thể hiện ở định lý sau: Định lí Mỗi siêu mặt bậc hai S : q(m) = ϕ(om, OM) + 2f(OM) + c = 0 trong không gian Euclid afin A V, bằng các phép biến đổi afin đẳng cự, đều được đưa về dạng chính tắc trong hệ toạ độ chính tắc (O, e 1,..., e n ) với e i là các phương chính của q(m): 1. Trường hợp có tâm đối xứng: q(m) = λ 1 (x 1 ) λ r (x r ) 2 + c với r n, λ i 0, λ 1... λ r, điểm gốc O ở tâm đối xứng. 2. Trường hợp không có tâm đối xứng: q(m) = λ 1 (x 1 ) λ r (x r ) 2 2px r+1, trong đó 0 < r n 1, λ i 0, λ 1... λ r, p > 0

18 Hình học vi phân 16 Nhận xét Nếu trong trường hợp λ 1... λ r > 0 ta thêm các phép biến đổi siêu việt đưa tọa độ Descartes về toạ độ cực x 1 = r cos(θ 1 )... cos(θ n 1 ) x 2 = r cos(θ 1 )... sin(θ n 1 ) x n 1 = r cos(θ 1 ) sin(θ 2 ) x n = r sin(θ 1 ) với r (0, ), (θ 1,..., θ n 1 ) [0, 2π) n 2 ( π, π ), thì siêu mặt ellipsoid 2 2 có dạng r 2 + c = 0. Tương tự trong trường hợp có λ i với dấu âm, ta xét các hàm lượng giác hyperbolic, cũng có kết quả tương tự. Như vậy việc mở rộng nhóm biến đổi cho phép mô tả cấu trúc các siêu mặt bậc hai. 1.6 Phân loại dời hình các đường bậc hai trong mặt phẳng Euclid Chúng ta xét nhóm các phép biến đổi afin đẳng cấu đẳng cự trong mặt phẳng. Dễ dàng nhận thấy rằng " Hai dường bậc 2 trong mặt phẳng là tương đương dời hình với nhau nếu và chỉ nếu chúng thu được từ nhau bằng phép biến đổi afin đẳng cấu đẳng cự". Ta có mệnh đề sau. Mệnh đề Gọi T là nhóm các phép tịnh tiến trong mặt phẳng, O(2) là nhóm các biến đổi trực giao (quay và phản xạ). Khi đó nhóm các phép biến đổi dời hình đẳng cấu với tích nửa trực tiếp O(2) R Phân loại dời hình các mặt bậc hai trong không gian Euclid 3 chiều Tương tự như trên, chúng ta xét nhóm các phép biến đổi afin đẳng cấu đẳng cự trong không gian Euclid afin 3-chiều. Dễ dàng nhận thấy rằng " Hai mặt bậc 2 trong không gian Euclid 3-chiều là tương đương dời hình với nhau nếu và chỉ nếu chúng thu được từ nhau bằng phép biến đổi afin đẳng cấu đẳng cự". Ta có mệnh đề sau. Mệnh đề Gọi T là nhóm các phép tịnh tiến trong không gian Euclid 3-chiều, O(3) là nhóm các biến đổi trực giao (quay và phản xạ). Khi đó nhóm các phép biến đổi dời hình đẳng cấu với tích nửa trực tiếp O(3) R 3.

19 Hình học vi phân Phương pháp toạ độ cong Chúng ta nhắc lại một số phép biến đổi toạ độ quen biết: Toạ độ cực trong mặt phẳng { x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, { r = x2 + y 2, ϕ = x arccos x, 2 +y 2 với 0 < r <, 0 ϕ < 2π. Toạ độ cực hyperbolic trong mặt phẳng { x = r cosh ϕ, y = r sinh ϕ. Toạ độ cầu trong không gian 3-chiều x = r cos θ cos ϕ, y = r cos θ sin ϕ, z = r sin θ. r = x 2 + y 2 + z 2, ϕ = x arccos x, 2 +y 2 θ = arcsin z x 2 +y 2 +z 2, với 0 < r <, 0 ϕ < 2π, π 2 θ < θ 2. Toạ độ trụ trong không gian 3-chiều x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z. Toạ độ cầu trong không gian n-chiều x 1 = r cos θ 1... cos θ n 1, x 2 = r cos θ 1... sin θ n 1, x n = r sin θ 1.

20 Hình học vi phân Các đường bậc 2 tham số hoá Trong các hệ toạ độ thích hợp các đường bậc 2 có dạng rất đơn giản. Ví dụ trong hệ toạ độ elliptic { x = r cos ϕ, a y = r sin ϕ, b x 2 a 2 r = + y2, b 2 x ϕ = arccos q phương trình đường ellipse trở thành r = 1, 0 ϕ < 2π. a x 2 a 2 + y2 b 2 Hệ qủa Qua phép biến đổi toạ độ elliptic nói trên, đường ellipse được biến thành đoạn đóng-mở. Các phép biến đổi toạ độ tương tự được áp dụng cho các đường cong bậc 2 khác Các mặt bậc hai tham số hoá Trong các hệ toạ độ thích hợp các đường bậc 2 có dạng rất đơn giản. Ví dụ trong hệ toạ độ cầu elliptic x x r = = r cos θ cos ϕ, a 2 + y2 + z2, a 2 b 2 c 2 y = r cos θ sin ϕ, ϕ = arccos q x, x b a 2 z a = r sin θ. c 2 + y2 b z θ = arcsin 2 q c x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 với 0 < r <, 0 ϕ < 2π, π < θ < θ. phương trình mặt ellipsoid trở 2 2 thành r = 1, 0 ϕ < 2π, π θ < π. 2 2 Hệ qủa Qua phép biến đổi toạ độ cầu elliptic nói trên, mặt ellipsoid được biến thành hình vuông đóng-mở. Các phép biến đổi toạ độ tương tự được áp dụng cho các mặt cong bậc 2 khác. Nhận xét Bằng cách chấp nhận thêm các phép biến đổi siêu việt (kiểu các phép đổi toạ độ phi tuyến nói trên) các đường và mặt bậc 2 trở thành các hình hình học hết sức đơn giản. Những phép biến đổi như thế chính là các phép biến đổi vi phôi (các ánh xạ khả vi, khả nghịch và nghịch đảo cũng là khả vi tại mọi điểm). Phân loại các vật thể hình học với độ chính xác đến vi phôi chính là phương pháp của hình học vi phân. c 2,

21 Hình học vi phân Bài tập củng cố lý thuyết 1. Dùng các hệ toạ độ thích hợp, hãy tham số hoá các đường bậc Dùng các hệ toạ độ thích hợp, hãy tham số hoá các mặt bậc Dùng các hệ toạ độ thích hợp, hãy tham số hoá các đường conic. 4. Xây dựng vi phôi đĩa mở với không gian Euclid chứa nó. 5. Qua phép đổi toạ độ thích hợp, hãy tham số hoá đường bậc 2 và mặt bậc 2 bất kì.

22 Chương 2 Lý thuyết đường cong trong R n Hình học Riemann và symplectic tổng quát sẽ được giới thiệu sơ bộ trong chương này. Để làm rõ bản chất của hình học chúng tôi chỉ chú trọng vào các đường cong và mặt cong. Hình học các đa tạp nhiều chiều là chuyên ngành về lý thuyết đa tạp có metric. 2.1 Cung tham số hoá và cung chính quy Trước hết chúng ta nhận xét rằng tồn tại các phép vi phôi giữa khoảng mở (a, b) bất kì với toàn bộ R, ví dụ có thể chọn hàm π tan( b a x + π a + b 2 a b ) : (a, b) ( π 2, π 2 ) R. Hàm này có đạo hàm liên tục và khả nghịch, hàm ngược chính là hàm b a π cũng có đạo hàm liên tục. arctan x + a + b 2 : R ( π 2, π ) (a, b) 2 Định nghĩa Cung tham số hoá trong R n là ảnh của một song ánh liên tục ϕ từ một khoảng mở (a, b) = R vào R n. Ví dụ. Cung tham số hoá xác định bởi các hàm toạ độ Descartes x(t) = a cos t, ϕ : y(t) = a sin t, z(t) = bt, với t R. 20

23 Hình học vi phân 21 Định nghĩa Hai tham số hoá ϕ : (a, b) R n và ψ : (c, d) R n được gọi là tương thích với nhau, nếu chúng sai khác nhau một vi phôi, tức là tồn tại một ánh xạ khả vi liên tục, khả nghịch và ánh xạ ngược là khả vi liên tục α : (a, b) (c, d) sao cho ψ α = ϕ. Định nghĩa Đường cong liên tục là ảnh của một ánh xạ liên tục từ một khoảng mở (a, b) vào R n. Đường cong tham số hoá là hợp của một họ các cung tham số hoá. Nói cách khác ta có thể chia đường cong thành hợp các cung tham số hoá. Ví dụ. Đường tròn S 1 có thể chia thành hợp của hai cung tham số hoá, mỗi cung là S 1 trừ đi một điểm khác nhau, ví dụ, S 1 = U 1 U 2 với các cung U 1 = S 1 \ {N}, U 2 = S 1 \ {S}, trong đó N là điểm cực bắc và S là điểm cực nam trên vòng tròn. Định nghĩa (Cung tham số hoá chính quy) Điểm P cho bởi r(t) trên cung tham số hoá r : (a, b) R n được gọi là điểm chính quy, nếu đạo hàm r (t) của tham số hóa là khác 0. Cung tham số hoá được gọi là cung chính quy, nếu mọi điểm của nó là chính quy. Đường cong được gọi là đường cong chính quy, nếu nó là hợp của các cung tham số hoá chính quy. Nhận xét rằng nếu một điểm là chính quy trong một tham số hoá thì, theo quy tắc đạo hàm của hàm hợp, nó cũng là chính quy trong mọi tham số hoá tương thích khác. Bởi thế khái niệm chính quy không phụ thuộc việc chọn tham số hoá. Định nghĩa (tham số hoá đường cong) Mỗi hệ toạ độ Descartes trong không gian Euclid E n R n cho ta một tham số hoá địa phương các khoảng mở của đường cong bằng các hàm thành phần: t R ( 1, 1) r(t) E n x(t) R n. Khi đó x(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), với x i (t) là các hàm trơn. Véctơ tiếp xúc với đường cong tại một điểm x = x(t), với t cố định là (ẋ 1 (t),..., ẋ n (t)) trong toạ độ Descartes của R n Độ dài đường cong trong R n. Đường trắc địa Khái niệm đường cong chính quy trùng với khái niệm đa tạp con một chiều.

24 Hình học vi phân 22 Đường cong trong đa tạp M = R n được gọi là đường cong dìm trong M = R n, nếu nó là đa tạp con một chiều trong mỗi bản đồ tọa độ điạ phương, tức là được xác định bởi hệ phương trình với hạng của ma trận Jacobi là n 1. Ví dụ 1. γ = {(x, sin( 1 x )); 0 x 1} là đường cong dìm trong R2. Nhưng γ {(0, y), 1 y 1} thì không thể là đa tạp con dìm trong mặt phẳng R 2. Các điểm (0, y) không là điểm chính quy, vì chúng không có đạo hàm liên tục. 2. Ảnh của đường thẳng y = θx, với hệ số góc θ vô tỉ không thể là đường dìm trong xuyến T 2 = R 2 /Z 2. Định lí (Bài toán Cauchy cho đường cong) Nếu trường véctơ ξ(x) là trường véctơ trơn trên cung tham số hoá thì bài toán Cauchy { ẋ(t) = ξ(x(t)) x(0) = x có nghiệm duy nhất và nghiệm đó gọi là đường cong qua điểm x. Độ dài của một véctơ tiếp xúc ξ(x(t)) = ẋ(t) là ẋ(t) = (ẋi ) 2. Định nghĩa Độ dài của cung nối hai điểm x 0 = x(t 0 ) và x = x(t) là s(t 0, t) = t t 0 ẋ(t) dt = t t 0 (ẋi (t)) 2 dt. Chúng ta không thể nói tới đường thẳng trong đa tạp M. Nhưng chúng ta có thể xét tới những đường có tính chất của đường thẳng. Định nghĩa (Đường trắc địa) Đường cong trong R n nối 2 điểm x 0 và x có độ dài ngắn nhất được gọi là đường trắc địa nối hai điểm đó. Định lí (Bài toán biến phân cho đường trắc địa) Đường trắc địa là nghiệm của bài toán biến phân L(x, ẋ) = t1 t 0 ẋ(t) dt min

25 Hình học vi phân 23 và thoả mãn phương trình vi phân tương ứng với bài toán biến phân đó ẍ(t) = 0. Tức là đường đi ngắn nhất nối hai điểm x 0 và x 1 trong R n là đường thẳng đi qua hai điểm đó. Thật vậy, theo nguyên lí Fermat, đường cong có độ dài ngắn nhất khi đạo hàm biến phân triệt tiêu, lấy đạo hàm biến phân của phiếm hàm ta có phương trình t δ ẋ(t) 2 dt = 0. t 0 Đạo hàm biến phân giao hoán với tích phân ta có t t 0 (δẋ(t), ẋ(t))dt = 0. Đạo hàm biến phân và đạo hàm theo t giao hoán với nhau cho nên ta có thể đổi chỗ t Lấy tích phân từng phần theo t ta có t Cho nên ta có ( d δx(t), ẋ(t)) = 0. t 0 dt t 0 (ẍ(t), δx(t))dt = 0, δx(t). ẍ(t) = 0. Suy ra x(t) = a + L.t tức là đường thẳng. Vì với t = t 0 có x = x 0 và với t = t 1 có x = x 1, suy ra x(t) = x 0 + (x 1 x 0 )t. Nếu đường cong là chính quy thì ṡ(t) 0. Theo định lí hàm ngược, tồn tại hàm ngược t = t(s). Khi đó ta có thể chọn chính s là một tham số của đường cong. Định nghĩa Tham số hoá đường cong theo tham số độ dài của nó từ một điểm cố định x 0 = x(t 0 ) đến một điểm x = x(t) bất kì được gọi là tham số hoá tự nhiên x = x(s) = x(t(s)), s R.

26 Hình học vi phân 24 Mệnh đề Trong hệ tham số hoá tự nhiên của đường cong, véctơ tiếp xúc luôn có độ dài là 1, n i=1 d ds xi (s) = x = 1. Chứng minh. Thật vậy, trong tham số hoá tự nhiên, cho nên theo định lí hàm ngược, x i = x i (t(s)), x (s) = d dt x(s) = ẋ(t) ds ds = ẋ(t)) n i=1 (ẋi (t)) 2 = ẋ(t) ẋ(t). Vì vậy ta có, x (s) = Mục tiêu trực chuẩn. Mục tiêu Frénet. Độ cong. Độ xoắn. Giả sử chúng ta có đường cong x(t) := (x 1 (t),..., x 3 (t), t ( 1, 1), x(0) = x = (x 1,..., x 3 ). Mệnh đề Trong hệ tham số hoá tự nhiên của đường cong, đạo hàm véctơ tiếp xúc τ(s) theo biến tham số độ dài s là một véctơ τ (s) vuông góc với véctơ tiếp xúc τ(s). Chứng minh. Thật vậy, chúng ta đã biết rằng (τ(s), τ(s)) = τ(s) 2 1. Do vậy, Tức là τ (s) τ(s), s. d ds (τ(s), τ(s)) = 2(τ (s), τ(s)) 0.

27 Hình học vi phân 25 Định nghĩa Véctơ chuẩn hoá n(s) = tuyến của đường cong tại x(s). τ (s) τ (s) được gọi là véctơ pháp Định nghĩa Đại lượng k(s) := τ (s) gọi là độ cong tại điểm x(s). Nhận xét (Ý nghĩa hình học của độ cong) Độ cong k(s) của đường cong chính quy tại x(s) là 1, với R là bán kính của đường tròn tiếp xúc với R đường cong, tâm ở điểm cuối của véctơ τ (s). Thật vậy, chúng ta có công thức khai triển Taylor bậc nhất τ(s + s) τ(s) = τ ( s) s + ε, với ε = o( s) và s là một điểm trung gian giữa s và s + s. Do vậy ta có k(s) = 1 s lim τ(s + s) τ(s) s 0 Theo hệ thức trong tam giác của hình học sơ cấp, τ θ (s) = k(s) = lim s 0 s [trong đó θ là góc giữa véctơ τ(s) và véctơ τ(s + s).] = lim s 0 θ 2 sin θ 2. 2 sin θ 2 s = lim s 0 θ 2 sin θ 2 2. = 1 sin θ R.s sin θ R. 2 2 Định nghĩa (Hệ quy chiếu Frénet) Véctơ τ(s) là véctơ tiếp xúc. Véctơ n(s) = τ (s) được gọi là véctơ pháp tuyến. Véctơ b(s) = τ(s) n(s) τ (s) được gọi là véctơ trùng pháp tuyến. Hệ quy chiếu τ(s), n(s), b(s) được gọi là hệ quy chiếu Frénet. Mặt phẳng sinh bởi hai véctơ đơn vị τ(s) và n(s) được gọi là mặt mật tiếp. Mặt phẳng sinh bởi n(s) và b(s) được gọi là mặt pháp diện. Mặt phẳng sinh bởi hai véctơ τ(s) và b(s) được gọi là mặt trực đạc. Theo định nghĩa ta có b(s) = τ(s) n(s), cho nên theo quy tắc đạo hàm, d ds b(s) cùng phương (nhưng có thể không cùng hướng) với n(s), tức là d ds b(s) b(s), n(s). Đặt κ(s) là hệ số tỉ lệ sao cho d ds b(s) = κ(s) n(s).

28 Hình học vi phân 26 Định nghĩa Hệ số κ(s) được gọi là độ xoắn của đường cong tại x(s). Nhận xét Trong mặt mật tiếp ta có thể nhìn thấy hình ảnh của đường cong như đường cong phẳng chính quy tiếp xúc với trục τ, nằm về phía n. Trong mặt trực đạc ta cũng nhìn thấy đường cong là đường cong phẳng tiếp xúc với trục τ nhưng có thể nằm về hai phiá. Trong mặt pháp diện ta nhìn thấy hai nhánh đường cong theo hình gấp nếp. Định lí (Công thức Frénet) hay là d ds d ds d τ(s) = k(s). n(s) n(s) = k(s). τ(s) + κ(s) b(s) ds d b(s) = κ(s). n(s) ds τ(s) n(s) b(s) == 0 k(s) 0 k(s) 0 κ(s) 0 κ(s) 0. τ(s) n(s) b(s). Chứng minh. Trước hết theo định nghĩa, Theo định nghĩa Cho nên d τ(s) = k(s) n(s). ds b(s) = τ(s) n(s). d ds b(s) = d ds τ(s) n(s) + τ(s) d ds n(s) = = k(s). n(s) n(s) + τ(s) d ds n(s) = τ(s) d ds n(s). Vì lẽ ( n(s), n(s)) 1 nên ( d n(s), n(s)) 0. Tức là d n(s) ds ds của hai véctơ còn lại. Nhưng ( τ(s), n(s)) 0 suy ra Từ ( n, b) = 0 suy ra Cho nên ( τ(s), d n(s) ds ) = (d τ, n) = k(s). ds ( d n ds, b) = ( n, d b ds ) = κ. d n ds = k(s). τ(s) + κ(s). b(s). là tổ hợp tuyến tính

29 Hình học vi phân 27 Nhận xét Trong lân cận điểm x(s), ảnh của đường cong lên mặt mật tiếp và mặt trực đạc là các đường cong tiếp xúc với τ(s). Hình chiếu trực giao của đường cong lên mặt pháp diện là hai nhánh cùng đi từ gốc tọa độ tiếp xúc với phương n(s) có kì dị hình nếp gấp. Do vậy cơ sở Frénet cho một nghiên cứu định tính đường cong tại lân cận mỗi điểm. Từ đó suy ra rằng hình ảnh của đường cong trong hệ toạ độ Frénet là tiếp xúc với phương τ(s) và là giải kì dị với phương n(s). 2.4 Định lí cơ bản Nhận xét Các khái niệm độ dài đường cong, độ cong của cung chính quy là những khái niệm bất biến qua đẳng cấu affine trực giao còn khái niệm độ xoắn của cung song chính quy định hướng bất biến qua các phép biến đổi affine trực giao, bảo toàn định hướng. Trên thực tế độ cong và độ xoắn xác định chính đường cong. Chúng ta phát biểu kết quả cơ bản của lí thuyết đường cong bỏ qua chứng minh. Định lí (Định lí cơ bản) Cho hai hàm số k(s) 0 và κ(s) khả vi lớp C l, l 0 trên khoảng mở J R. 1. Tồn tại cung chính quy định hướng với tham số hoá tự nhiên J R 3, s r(s), khả vi lớp C l+2, nhận k(s) và κ(s) là độ cong và độ xoắn tương ứng. 2. Nếu tồn tại hai cung chính quy r và ρ với tính chất trên, thì tồn tại một phép dời hình (tức là một đẳng cấu affine trực giao bảo toàn định hướng biến chúng sang nhau, r = f ρ. Sẽ rất thuận tiện khi chúng ta có thể dẫn ra công thức tính độ cong và độ xoắn trong tham số hoá bất kì. Mệnh đề Giả sử t r(t) là một tham số hoá bất kì của một cung cong. Khi đó k(t) = r(t) r(t) r(t) 3, κ(t) = ( r(t) r(t)). r(t) r(t) r(t) 2.

30 Hình học vi phân 28 Chứng minh. Thật vậy, r(t) = r(t) = r(t) τ(t), {}} { r(t) τ(t) + r(t) τ(t), r(t) r(t) = r(t) 2 τ(t) τ(t), Cho nên, Chúng ta lại có r(t) r(t) = τ(t) r(t) 3 r(t) k(t) = r(t) r(t) r(t) 3. τ(t) = k(t) b(t). r(t) r(t) r(t) 3 = τ(t) k(t) n(t) = k(t) b(t). Cho nên, ( r(t) r(t)). r = r(t) 3 k(t) b. Chúng ta chỉ cần quan tâm đến thành phần chứa b trong r(t), Cho nên ta có r(t) = {}} { r(t) τ + r(t) τ = s(t) τ + ṡ 2 k n, r(t) =... + ṡ 2 kn (s).ṡ =... + ṡ 3 k(s(t))κ(s(t)) b(s(t)). ( r r). r(t) = ṡ 6 k 2 κ. κ(t) = ( r(t) r(t)). r(t) r(t) r(t) 2. Ví dụ. Cho đường cong tham số hoá là t r(t) = a ε(t) + b e 3, với ε(t) = cos t e 1 + sin t e 2. Khi đó, r(t) = a ε(t + π 2 ) + b e 3 r(t) = a ε(t + π = aε(t).

31 Hình học vi phân 29 r(t) = a ε(t + π 2 ). r = a 2 + b 2. r r = a a 2 + b 2. Cho nên, ( r r) r = a 2 b. k(t) = κ(t) = a a 2 + b. 2 b a 2 + b Bài tập củng cố lý thuyết 1. Cho đường cong tham số hoá là đường xoắn ốc x(t) = r cos t, y(t) = r sin t, z(t) = t. Hãy tính độ cong và độ xoắn tại điểm bất kì. 2. Tính độ cong và độ xoắn của đường ellipse tại một điểm bất kì. 3. Tính độ cong và độ xoắn của đường hyperbola tại một điểm bất kì. 4. Tính độ cong và độ xoắn của đường parabola tại một điểm bất kì. 5. Cho đường cong bậc 2 tổng quát q(x, y, z) = a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2a 12 xy + 2b 1 x + 2b 2 y + c = 0. Hãy tính độ cong và độ xoắn tại một điểm bất kì.

32 Chương 3 Đại số tensơ, đại số ngoài, tensơ đối xứng 3.1 Tích tensơ các không gian véctơ Định nghĩa Giả sử V và W là hai không gian véctơ trên trường k. Kí hiệu V W là không gian véctơ tự do sinh bởi V W. Phần tử tổng quát trong V W có dạng tổ hợp tuyến tính hình thức λ v,w (v, w), v V,w W trong đó tổng được hiểu theo nghĩa đại số, tức là chỉ có một số hữu hạn các hệ số λ v,w k là khác 0. Xét không gian véctơ con L, sinh bởi tất cả các phần tử có dạng (v 1 + v 2, w) (v 1, w) (v 2, w), (v, w 1 + w 2 ) (v, w 1 ) (v, w 2 ), (λw, w) (v, λw). Khi đó không gian thương V W/L được gọi là tích tensơ của hai không gian véctơ V và W và được kí hiệu là V k W. Các phần tử trong không gian thương được kí hiệu là v w := (v, w) + L. Hệ qủa Trong tích tensơ ta luôn có các hệ thức thể hiện tính song tuyến (v 1 + v 2 ) w = v 1 w + v 2 w, v (w 1 + w 2 ) = v w 1 + v w 2, (λv) w = v (λw). 30

33 Hình học vi phân 31 Hệ qủa Nếu e 1,..., e n là một cơ sở của không gian véctơ V và f 1,..., f m là một cơ sở của không gian véctơ W. Thì các véctơ e i f j, i = 1, n, j = 1, m sinh ra tích tensơ V k W Ngược lại ta có thể dùng chính các phần tử sinh này để định nghĩa tích tensơ. Định nghĩa (Định nghĩa II) Giả sử không gian véctơ V có một cơ sở là e i, i = 1, n và không gian véctơ W có một cơ sở là f j, j = 1, m. Kí hiệu hình thức (e i f j = (e i, f j ) là cặp các véctơ cơ sở. Khi đó bao tuyến tính hình thức { n } m V k W := e i f j, i = 1, n, j = 1, m = λ ij e i f j i=1 j=1 được gọi là tích tensơ của hai không gian véctơ với cơ sở. Hệ qủa (Tính chất phổ dụng) Tồn tại ánh xạ song tuyến tính tự nhiên ı : V W V W. Nếu B : V W F là một ánh xạ song tuyến tính, thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính ϕ B : V W F từ tích tensơ V W vào F sao cho B = ϕ B ı. Ngược lại ta có thể dùng tính chất phổ dụng làm định nghĩa tích tensơ. Định nghĩa (Định nghĩa III) Tích tensơ của hai không gian véctơ V và W là một cặp gồm một không gian véctơ, kí hiệu là V W và một ánh xạ song tuyến tính ı : V W V W sao cho với mọi cặp gồm một không gian véctơ F và một ánh xạ song tuyến tính B : V W F, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính ϕ B : V W F sao cho B = ϕ ı. Mệnh đề Ba định nghĩa I-III là tương đương nhau. Chứng minh. Dễ thấy ngay Định nghĩa I suy ra Định nghĩa II và Định nghĩa II suy ra Định nghĩa III. Ngược lại, từ Định nghĩa III suy ra Định nghĩa II vì do Định nghĩa II có tính phổ dụng. Từ Định nghĩa II suy ra Định nghĩa I do lí luận theo số chiều. 3.2 Tích ngoài và tích tensơ đối xứng Định nghĩa Giả sử V 1,..., V n là các không gian véctơ trên trường cơ sở k. Ta có thể tạo ra tổng trực tiếp của các tích tensơ các không gian véctơ xếp thứ tự V i1... V in. 0 1,..., n 1 A S n i 1,..., i n

34 Hình học vi phân 32 Không gian véctơ con sinh bởi các phần tử dạng v 1... v n := 1 sgn(σ)v σ(1)... v σ(n) n! σ S n được gọi là tích ngoài và được kí hiệu là V 1... V n. Không gian véctơ con sinh bởi các phần tử dạng v 1 s... s v n := 1 v σ(1)... v σ(n) n! σ S n được gọi là tích đối xứng và được kí hiệu là V 1 s... s V n. Dễ thấy các tính chất hiển nhiên sau của tích ngoài và tích đối xứng Mệnh đề Tích ngoài có tính chất phản xứng v σ(1)... v σ(n) = sgn(σ)v 1... v n, 2. Tích đối xứng có tính chất đối xứng 3.3 Đại số tensơ v σ(1) s... s v σ(n) = v 1 s... s v n. Định nghĩa Tensơ p-thuận biến và q-phản biến, hay còn gọi là tensơ kiểu (p, q) là các phần tử của tích tensơ T p,q (V ) := } V. {{.. V } V }. {{.. V } p-lần q-lần Ta qui ước T 0,0 (V ) = k. Định nghĩa Cùng với phép nhân là tích tensơ, không gian véctơ T (V ) := T p,q (V ) := V }. {{.. V } V }. {{.. V } p+q=0 p+q=0 p-lần q-lần trở thành đại số kết hợp, được gọi là đại số tensơ. Hệ qủa Nếu e 1,..., e n là một cơ sở của V, f 1 = e 1,..., f n = e n là cơ sở đối ngẫu của V tương ứng thì f i 1... f ip e j1... e jq là cơ sở của T p,q. Mỗi tensơ trong cơ sở này có dạng t = t j 1,...,j q i 1,...,i p f i 1... f ip e j1... e jq. 1 i 1,...,i p,j 1,...,j q n dim T p,q (V ) = n p.n q.

35 Hình học vi phân 33 Giả sử [ẽ 1,..., ẽ n ] = [e 1,... e n ]C là phép chuyển cơ sở. Khi đó [ f 1,..., f n ] T = C T [e 1,... e n ] T là phép chuyển cơ sở trong V Tức là nếu ẽ = C i e i thì f j = D j j f j, với D = C 1 Mệnh đề Đại số ngoài Chúng ta qui ước 0,0 (V ) = k. t j 1,...,j q i = 1,...,i Di 1 p i... D ip i 1 p Cj 1 j 1... C j q j q t j 1,...,j q i 1,...,i p. Định nghĩa Cùng với phép nhân là tích ngoài, không gian véctơ (V ) := p+q=0 p,q (V ) := p+q=0 V}.{{.. V } V}.{{.. V} p-lần q-lần trở thành đại số kết hợp, được gọi là đại số ngoài, hay đại số Grassman. Hệ qủa Nếu e 1,..., e n là một cơ sở của V, f 1 = e 1,..., f n = e n là cơ sở đối ngẫu của V tương ứng thì f i 1... f ip e j1... e jq là cơ sở của p,q (V ). Mỗi tensơ trong cơ sở này có dạng t = t j 1,...,j q i 1,...,i p f i 1... f ip e j1... e jq. 1 i 1 <...<i p,j 1 <...<j q n dim p,q (V ) = C p nc q n.

36 Chương 4 Lý thuyết mặt cong trong R Mảnh tham số hoá chính quy và mặt tham số hoá Định nghĩa Mảnh tham số hoá S là một ánh xạ từ một đĩa mở U trong R 2 vào R 3 cho bởi ánh xạ r : U R 3, (u, v) r(u, v) S R n. Nếu r(u 0, v 0 ) là một điểm cố định thì các đường cong r(., v 0 ) : U R R n và r(u 0,.) : U R R n là hai đường toạ độ tham số hoá mặt cong. Định nghĩa Hai tham số hoá ϕ : U R 3 và ψ : V R 3 được gọi là tương thích nếu có vi phôi α : U V sao cho ϕ = ψα Định nghĩa Mặt cong tham số hoá là hợp của một họ nào đó các mảnh tham số hóa đôi một tương thích lẫn nhau. Định nghĩa Điểm r(u 0, v 0 ) được gọi là điểm chính quy, nếu các đường toạ độ là chính quy tại điểm này, tức là hai véctơ r u(u, v 0 ) và r v(u 0, v) là độc lập tuyến tính trong không gian tiếp xúc T r(u,v) S. Điểm không chính quy còn được gọi là điểm kì dị của mảnh tham số hoá. 4.2 Mục tiêu Darboux của đường cong trên mặt dìm Nhắc lại khái niệm mặt dìm trong R 3. Trong một bản đồ toạ độ địa phương, mỗi điểm của đa tạp được đánh số bởi bộ các số. Nếu đa tạp là 2-chiều trong không gian R 3. Thì nó còn được gọi đơn giản là mảnh tham số hoá. 34

37 Hình học vi phân 35 Tại điểm chính quy của mảnh tham số hoá đi qua điểm r(u, v) mặt phẳng tiếp xúc T r(u,v) S được sinh ta bởi hai véctơ tiếp xúc r u(u, v) và r v(u, v) của các đường toạ độ nói trên. Định nghĩa Đường thẳng vuông góc với mặt tiếp xúc T r(u,v) S gọi là pháp tuyến của mảnh tham số hoá tại điểm r(u, v). Véctơ n(u, v) := r u(u, v) r v(u, v) r u(u, v) r v(u, v) được gọi là véctơ pháp tuyến tại r(u, v). Định lí (phương trình mặt tiếp xúc) Nếu mặt tham số hoá S được cho bởi các toạ độ r(u, v) = (x 1 (u, v),..., x 3 (u, v)) và ξ = (X 1,..., X n ) là các toạ độ của điểm trong mặt tiếp xúc tại r(u 0, v 0 ), thì phương trình của mặt tiếp xúc được cho bởi ( ξ r(u 0, v 0 ), r u (u 0, v 0 ) r v(u 0, v 0 )) = 0 Trong trường hợp n = 3, các tọa độ tuyến tính của không gian tiếp xúc là (X 1,..., x 3 ) = (X, Y, Z) phương trình viết thành dạng X x(u 0, v 0 ) Y y(u 0, v 0 ) Z z(u 0, v 0 ) x u(u 0, v 0 ) y u(u 0, v 0 ) z u(u 0, v 0 ) x v(u 0, v 0 ) y v(u 0, v 0 ) z v(u 0, v 0 ) = 0 Hơn thế nữa, vì hệ toạ độ Descartes trong R 3 là vuông góc chính tắc cho nên phương trình của mặt tiếp xúc cũng được cho bởi (X x(u 0, v 0 )). u (u 0, v 0 ) z u(u 0, v 0 ) v(u 0, v 0 ) z v(u 0, v 0 ) + +(Y y(u 0, v 0 )). z u(u 0, v 0 ) x u(u 0, v 0 ) z v(u 0, v 0 ) x v(u 0, v 0 ) + +(Z z(u 0, v 0 )). x u(u 0, v 0 ) u(u 0, v 0 ) x v(u 0, v 0 ) v(u 0, v 0 ) = 0. Định nghĩa Mặt dìm trong R 3 là một tập con trong R 3 sao cho mỗi điểm có một lân cận là mảnh tham số hoá chính quy.

38 Hình học vi phân Dạng toàn phương cơ bản Trong mục này và các mục còn lại, ta chỉ xét trường hợp không gian ba chiều R 3, n = 3. Trường hợp n bất kỳ cũng có thể xét tương tự. Tuy nhiên một số khái niệm cần được cải tiến một cách thích hợp. Giả sử S là một mặt dìm trong R 3 và n = n(u, v) là véctơ pháp tuyến tại điểm r(u, v) S. Với mỗi véctơ tiếp xúc ξ T p S với mặt tại điểm p = r(u, v) chúng ta có đạo hàm thuận biến D ξ, tác động trên các hàm hay nhát cắt theo công thức D ξ f(p) := d dt t=0f(x(t)), trong đó x(t) là đường cong trên mặt S đi qua điểm p, nhận ξ là véctơ tiếp xúc, tức là thoả bài toán Cauchy: { ẋ(t) = ξ(x(t)) x(0) = p Theo tính chất của phép đạo hàm, vì n là véctơ đơn vị nên Nghĩa là D ξ n T p S. 2(D ξ n(u, v), n(u, v) = D ξ ( n(u, v), n(u, v)) = D ξ 1 = 0. Định nghĩa Ánh xạ cho bởi công thức h p : T p S T p S, ξ h p (ξ) := D ξ n T p S, được gọi là ánh xạ Weingarten. Khi p thay đổi, ta kí hiệu ánh xạ đó là h. Các tính chất cơ bản của ánh xạ Weingarten: Mệnh đề Với mọi điểm p S, h p là ánh xạ tuyến tính đối xứng từ T p S vào chính nó, tức là (h p (ξ), η) = (ξ, h p (η)). Chứng minh. Thật vậy, với mọi hệ tham số hoá (u, v) r(u, v) S, ta có (h p ( ξ), η) = (D ξ η, η).

39 Hình học vi phân 37 Chúng ta nhận xét rằng chỉ cần chứng minh mệnh đề cho các trường véctơ cơ sở ξ = r u(u, v), và η = r v(u, v). Với các trường véctơ này dễ thấy ngay là h p ( r u) = D r u n = ( n r)(u, v) u và tương tự h p ( r v) = D r v n = ( n r)(u, v). v Mặt khác, chúng ta thấy là ( n r(u, v), r u) = 0, nên ta cũng có ( u n r(u, v), r v) + ( n r(u, v), u r v) = 0. Cho nên Tương tự ta cũng có (h p ( r u), r v) = ( n r, u r v). (h p ( r v), r u) = ( n r, v r u). Vì các đạo hàm riêng cấp 2 là đối xứng u r v = 2 u v r = 2 v u r = v r u, nên (h p ( r u), r v) = (h p ( r v), r u). Định nghĩa Mỗi giá trị riêng của h p được gọi là độ cong chính tại p của mặt S. Mỗi véctơ riêng của h p xác định một phương gọi là phương chính tại p của S. Định thức của tự đồng cấu h p gọi là độ cong Gauss tại S. Một nửa giá trị vết của h p, tức là 1 2 trace(h p) được gọi là độ cong trung bình tại p của S. Nhận xét Từ các tính chất của tự đồng cấu tuyến tính đối xứng suy ra rằng chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau đây:

40 Hình học vi phân Ánh xạ Weingarten có hai gía trị riêng thực phân biệt. Gọi k 1 k 2 là hai giá trị riêng đó. Khi đó hai phương chính tại p được hoàn toàn xác định, vuông góc với nhau và là hai trục của đường ellipse (h p ( ξ), ξ). Hai phương chính e 1, e 2 lập thành cơ sở trực chuẩn. Độ cong Gauss là Độ cong trung bình là K(p) = k 1.k 2. H(p) = 1 2 (k 1 + k 2 ). 2. Ánh xạ Weingarten có một giá trị riêng thực kép, k = k 1 = k 2 Khi đó mọi phương là phương chính. Mỗi cơ sở trực chuẩn e 1, e 2 là cơ sở trực chuẩn gồm các véctơ riêng. Độ cong Gauss là K(p) = k(p) 2 0. Độ cong trung bình là H(p) = k(p). Định nghĩa Những điểm p như thế được gọi là điểm rốn của mặt S. a Nếu k = k 1 = k 2 = 0 thì điểm p được gọi là điểm dẹt. b Nếu k = k 1 = k 2 0 thì điểm p được gọi là điểm cầu. Nói chung, điểm p của S được gọi là điểm elliptic, hyperbolic, hay parabolic tuỳ thuộc độ cong Gauss là âm, dương hay bằng 0. Nhận xét Khi đổi định hướng của S bằng cách xét n thay cho n thì ánh xạ Weingarten h p được thay bởi h p. Nên độ cong trung bình đổi dấu còn độ cong Gauss không đổi dấu. Do đó định nghĩa độ cong Gauss có nghĩa cả cho các mặt không định hướng. Định nghĩa Dạng song tuyến tính I p : T p S T p S R, ( ξ, η) ( ξ, η) được gọi là dạng cơ bản I tại p của mặt S và dạng song tuyến tính II p : T p S T p S R, ξ, η) (h p ( ξ), η) được gọi là dạng cơ bản II tại p của S.

41 Hình học vi phân 39 Trong tham số hoá địa phương (u, v) U r(u, v) S chúng ta xét các hàm số E(u, v) := I( r u, r u) L(u, v) := II( r u, r u) F (u, v) := I( r u, r v) M(u, v) := II( r u, r v) G(u, v) := I( r v, r v) N(u, v) := II( r v, r v) là các hệ số của ma trận Gram-Schmidt của các dạng đó. Nếu các véctơ tiếp xúc ξ, η có phân tích theo cơ sở r u, r v là thì ξ = ξ 1 r u + ξ 2 r v, η = η 1 r u + η 2 r v, I p ( ξ, η) = (E r 1 )ξ 1 η 1 + (F r 1 )(ξ 1 η 2 + ξ 2 η 1 ) + (G r 1 )ξ 2 η 2, II p ( ξ, η) = (L r 1 )ξ 1 η 1 + (M r 1 )(ξ 1 η 2 + ξ 2 η 1 ) + (N r 1 )ξ 2 η 2, Định lí (Công thức tính độ cong Gauss và độ cong trung bình) K(p) = LN M 2 (u, v), EG F 2 EN + GL 2F M 2H(p) = (u, v). EG F 2 Chứng minh. Chúng ta xét cơ sở ξ = r u, η = r v. Nếu h p ( ξ) = α ξ + b η, thì theo định nghĩa, h p ( η) = c ξ + d η, K(p) = ad bc, H(p) = 1 (a + d). 2 Do đó ta thấy ngay h p ( ξ) h p ( η) = K(p) ξ η, h p ( ξ) η + ξ h p ( η) = 2H(p) ξ η. Lấy tích vô hướng cả hai vế của cả hai đẳng thức trên với ξ η và chú ý rằng với bốn véctơ tuỳ ý trong R 3, ( α β).( γ α. γ α. δ) = δ β. γ β. δ,

42 Hình học vi phân 40 ta có h p ( ξ). η h p ( η). ξ K(p) = ξ. ξ η. ξ h p ( ξ). η η. ξ 2H(p) = ξ. ξ η. ξ h p ( ξ). η h p ( η). η II( ξ, ξ) II( η) ξ. η = η. η h p ( ξ). η h p ( η). ξ η. η η. ξ ξ. η ξ. ξ η. η η. ξ II( ξ, η) II( η, η), h p ( η). η) ξ. η ξ. η, η. η I( ξ, ξ) I( ξ, η) I( η, ξ) I( η, η) 4.4 Đạo hàm Weingarten và ký hiệu Christoffel Kí hiệu (u 1, u 2 ) = (u, v), e 1 = 1 =, e u 1 2 = 2 = { i e j = 2 k=1 Γk ije k + b ij n i n = 2 k=1 ck i e k. Ta có: u 2 Mệnh đề trong đó b k I := 2 j=1 b ijĝ jk. c k i = b k i, Thật vậy, do n là véctơ pháp tuyến của mặt, cho nên n = 1, n e i. Ta có b ij = ( e j u i, n). Vì và ( e j u i, n) + (e j, n u i ) = (e j, n u i ) = k u i (e j, n) = 0 c k i g kj, nên b ij = k c k i g kj.

43 Hình học vi phân 41 Theo qui tắc nâng chỉ số, b k i = j b ij ĝ jk, với Cho nên, suy ra c k i = b k i. ĝ = (g ij ) 1 = ĝ ij. Hệ qủa { i e j = 2 k=1 Γk ije k + b ij n i n = 2 k=1 bk i e k. [ ] L M b ij = M N là ma trận hệ số của ánh xạ Weingarten. Định nghĩa Các hệ số Γ k ij trong công thức đạo hàm Weingarten được gọi là ký hiệu Christoffel. Giả sử chúng ta có một phép đổi toạ độ địa phương { ũ1 = ũ 1 (u 1, u 2 ), ũ 2 = ũ 2 (u 1, u 2 ), với ma trận Jacobi T = [ ] ũ i u j và ma trận nghịch đảo là S = T 1. Các kí hiệu Christoffel và các hệ số dạng toàn phương loại II ứng với ánh xạ Weingarten sẽ thay đổi {Γ k ij, b ij } { Γ m pq, b pq } Định lí { Γ k ij = m Sk Tj m m u i b ij = ± p,q T p + m p q Sk mt p i T q Γ j m pq, i T q j b pq. Chứng minh. Ta có ẽ q ũ p = m Γ m pqe m + b pq n và theo công thức đổi biến, e j = T q j ẽq

44 Hình học vi phân 42 cho nên e j u = (T q j ẽq) = T q j i u i u i ẽq + T q ẽ q j u. i q q q e j u = T i j m ẽm + (T q ũ p j u ) ẽq i ũ = p m q p = Tj m ẽm + (T q j T p i γm pq)ẽ m + (T q j T p b i pq )ñ m q p m q p = ( T j m u i Sk m)e k + (T q j T p i γm pqsm)e k k + m k q p m k + (T q j T p b i pq )ñ. q p Định lí Γ k ij = Γ k ji, j, k. Chứng minh. Theo định nghĩa, Cho nên, 2 r e j = r u j = r u j. u i u j = k Γ k ij + b ij n. Vì b ij đối xứng theo i, j và đạo hàm cấp hai nên Γ k ij đối xứng theo i, j. 2 r cũng đối xứng theo i, j u i u j 4.5 Đạo hàm thuận biến Giả sử A j 1,...,j s i 1,...,i r là một tensơ kiểu (r, s). Định nghĩa Đạo hàm thuận biến cuả tensơ A kiểu (r, s) là một tensơ kiểu (r + 1, s) được cho bởi công thức i A j 1,...,j s i 1,...,i r := Aj1,...,js i 1,...,i r + u i s m=1 v m r Γ wn ii n A j 1,...,j s i 1,...,w n,...,i r. n=1 w n Γ im ivm A j 1,...,v m,...,j s i 1,...,i r

1. Ma trận A = Ký hiệu tắt A = [a ij ] m n hoặc A = (a ij ) m n

1. Ma trận A = Ký hiệu tắt A = [a ij ] m n hoặc A = (a ij ) m n Cơ sở Toán 1 Chương 2: Ma trận - Định thức GV: Phạm Việt Nga Bộ môn Toán, Khoa CNTT, Học viện Nông nghiệp Việt Nam Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 1 / 22 Mục lục 1 Ma trận 2 Định thức 3 Ma

Διαβάστε περισσότερα

Năm Chứng minh Y N

Năm Chứng minh Y N Về bài toán số 5 trong kì thi chọn đội tuyển toán uốc tế của Việt Nam năm 2015 Nguyễn Văn Linh Năm 2015 1 Mở đầu Trong ngày thi thứ hai của kì thi Việt Nam TST 2015 có một bài toán khá thú vị. ài toán.

Διαβάστε περισσότερα

Năm Chứng minh. Cách 1. Y H b. H c. BH c BM = P M. CM = Y H b

Năm Chứng minh. Cách 1. Y H b. H c. BH c BM = P M. CM = Y H b huỗi bài toán về họ đường tròn đi qua điểm cố định Nguyễn Văn inh Năm 2015 húng ta bắt đầu từ bài toán sau. ài 1. (US TST 2012) ho tam giác. là một điểm chuyển động trên. Gọi, lần lượt là các điểm trên,

Διαβάστε περισσότερα

I 2 Z I 1 Y O 2 I A O 1 T Q Z N

I 2 Z I 1 Y O 2 I A O 1 T Q Z N ài toán 6 trong kì thi chọn đội tuyển quốc gia Iran năm 2013 Nguyễn Văn Linh Sinh viên K50 TNH ĐH Ngoại Thương 1 Giới thiệu Trong ngày thi thứ 2 của kì thi chọn đội tuyển quốc gia Iran năm 2013 xuất hiện

Διαβάστε περισσότερα

Năm 2017 Q 1 Q 2 P 2 P P 1

Năm 2017 Q 1 Q 2 P 2 P P 1 Dùng phép vị tự quay để giải một số bài toán liên quan đến yếu tố cố định Nguyễn Văn Linh Năm 2017 1 Mở đầu Tư tưởng của phương pháp này khá đơn giản như sau. Trong bài toán chứng minh điểm chuyển động

Διαβάστε περισσότερα

Suy ra EA. EN = ED hay EI EJ = EN ED. Mặt khác, EID = BCD = ENM = ENJ. Suy ra EID ENJ. Ta thu được EI. EJ Suy ra EA EB = EN ED hay EA

Suy ra EA. EN = ED hay EI EJ = EN ED. Mặt khác, EID = BCD = ENM = ENJ. Suy ra EID ENJ. Ta thu được EI. EJ Suy ra EA EB = EN ED hay EA ài tập ôn đội tuyển năm 015 guyễn Văn inh Số 6 ài 1. ho tứ giác ngoại tiếp. hứng minh rằng trung trực của các cạnh,,, cắt nhau tạo thành một tứ giác ngoại tiếp. J 1 1 1 1 hứng minh. Gọi 1 1 1 1 là tứ giác

Διαβάστε περισσότερα

SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 LẦN 1

SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 LẦN 1 SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 0 LẦN THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Môn: TOÁN; Khối D Thời gian làm bài: 80 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ CHÍNH THỨC I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ

Διαβάστε περισσότερα

Q B Y A P O 4 O 6 Z O 5 O 1 O 2 O 3

Q B Y A P O 4 O 6 Z O 5 O 1 O 2 O 3 ài tập ôn đội tuyển năm 2015 guyễn Văn Linh Số 8 ài 1. ho tam giác nội tiếp đường tròn () có là tâm nội tiếp. cắt () lần thứ hai tại J. Gọi ω là đường tròn tâm J và tiếp xúc với,. Hai tiếp tuyến chung

Διαβάστε περισσότερα

Kinh tế học vĩ mô Bài đọc

Kinh tế học vĩ mô Bài đọc Chương tình giảng dạy kinh tế Fulbight Niên khóa 2011-2013 Mô hình 1. : cung cấp cơ sở lý thuyết tổng cầu a. Giả sử: cố định, Kinh tế đóng b. IS - cân bằng thị tường hàng hoá: I() = S() c. LM - cân bằng

Διαβάστε περισσότερα

5. Phương trình vi phân

5. Phương trình vi phân 5. Phương trình vi phân (Toán cao cấp 2 - Giải tích) Lê Phương Bộ môn Toán kinh tế Đại học Ngân hàng TP. Hồ Chí Minh Homepage: http://docgate.com/phuongle Nội dung 1 Khái niệm Phương trình vi phân Bài

Διαβάστε περισσότερα

O 2 I = 1 suy ra II 2 O 1 B.

O 2 I = 1 suy ra II 2 O 1 B. ài tập ôn đội tuyển năm 2014 guyễn Văn inh Số 2 ài 1. ho hai đường tròn ( 1 ) và ( 2 ) cùng tiếp xúc trong với đường tròn () lần lượt tại,. Từ kẻ hai tiếp tuyến t 1, t 2 tới ( 2 ), từ kẻ hai tiếp tuyến

Διαβάστε περισσότερα

Năm 2014 B 1 A 1 C C 1. Ta có A 1, B 1, C 1 thẳng hàng khi và chỉ khi BA 1 C 1 = B 1 A 1 C.

Năm 2014 B 1 A 1 C C 1. Ta có A 1, B 1, C 1 thẳng hàng khi và chỉ khi BA 1 C 1 = B 1 A 1 C. Đường thẳng Simson- Đường thẳng Steiner của tam giác Nguyễn Văn Linh Năm 2014 1 Đường thẳng Simson Đường thẳng Simson lần đầu tiên được đặt tên bởi oncelet, tuy nhiên một số nhà hình học cho rằng nó không

Διαβάστε περισσότερα

O C I O. I a. I b P P. 2 Chứng minh

O C I O. I a. I b P P. 2 Chứng minh ài toán rotassov và ứng dụng Nguyễn Văn Linh Năm 2017 1 Giới thiệu ài toán rotassov được phát biểu như sau. ho tam giác với là tâm đường tròn nội tiếp. Một đường tròn () bất kì đi qua và. ựng một đường

Διαβάστε περισσότερα

Môn: Toán Năm học Thời gian làm bài: 90 phút; 50 câu trắc nghiệm khách quan Mã đề thi 116. (Thí sinh không được sử dụng tài liệu)

Môn: Toán Năm học Thời gian làm bài: 90 phút; 50 câu trắc nghiệm khách quan Mã đề thi 116. (Thí sinh không được sử dụng tài liệu) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I LỚP TRƯỜNG THPT TRUNG GIÃ Môn: Toán Năm học 0-0 Thời gian làm bài: 90 phút; 50 câu trắc nghiệm khách quan Mã đề thi (Thí sinh không được sử dụng tài liệu)

Διαβάστε περισσότερα

M c. E M b F I. M a. Chứng minh. M b M c. trong thứ hai của (O 1 ) và (O 2 ).

M c. E M b F I. M a. Chứng minh. M b M c. trong thứ hai của (O 1 ) và (O 2 ). ài tập ôn đội tuyển năm 015 Nguyễn Văn inh Số 5 ài 1. ho tam giác nội tiếp () có + =. Đường tròn () nội tiếp tam giác tiếp xúc với,, lần lượt tại,,. Gọi b, c lần lượt là trung điểm,. b c cắt tại. hứng

Διαβάστε περισσότερα

https://www.facebook.com/nguyenkhachuongqv2 ĐỀ 56

https://www.facebook.com/nguyenkhachuongqv2 ĐỀ 56 TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU TỔ TOÁN Câu ( điểm). Cho hàm số y = + ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN NĂM HỌC 5-6 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 8 phút (không tính thời gian phát đề ) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ

Διαβάστε περισσότερα

HÀM NHIỀU BIẾN Lân cận tại một điểm. 1. Định nghĩa Hàm 2 biến. Miền xác định của hàm f(x,y) là miền VD:

HÀM NHIỀU BIẾN Lân cận tại một điểm. 1. Định nghĩa Hàm 2 biến. Miền xác định của hàm f(x,y) là miền VD: . Định nghĩa Hàm biến. f : D M (, ) z= f( M) = f(, ) Miền ác định của hàm f(,) là miền VD: f : D HÀM NHIỀU BIẾN M (, ) z= f(, ) = D sao cho f(,) có nghĩa. Miền ác định của hàm f(,) là tập hợp những điểm

Διαβάστε περισσότερα

Năm Pascal xem tại [2]. A B C A B C. 2 Chứng minh. chứng minh sau. Cách 1 (Jan van Yzeren).

Năm Pascal xem tại [2]. A B C A B C. 2 Chứng minh. chứng minh sau. Cách 1 (Jan van Yzeren). Định lý Pascal guyễn Văn Linh ăm 2014 1 Giới thiệu. ăm 16 tuổi, Pascal công bố một công trình toán học : Về thiết diện của đường cônic, trong đó ông đã chứng minh một định lí nổi tiếng và gọi là Định lí

Διαβάστε περισσότερα

x y y

x y y ĐÁP ÁN - ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP THPT Bài Năm học 5 6- Môn: TOÁN y 4 TXĐ: D= R Sự biến thiên lim y lim y y ' 4 4 y ' 4 4 4 ( ) - - + y - + - + y + - - + Bài Hàm số đồng biến trên các khoảng

Διαβάστε περισσότερα

L P I J C B D. Do GI 2 = GJ.GH nên GIH = IJG = IKJ = 90 GJB = 90 GLH. Mà GIH + GIQ = 90 nên QIG = ILG = IQG, suy ra GI = GQ hay Q (BIC).

L P I J C B D. Do GI 2 = GJ.GH nên GIH = IJG = IKJ = 90 GJB = 90 GLH. Mà GIH + GIQ = 90 nên QIG = ILG = IQG, suy ra GI = GQ hay Q (BIC). ài tập ôn đội tuyển I năm 015 Nguyễn Văn inh Số 7 ài 1. (ym). ho tam giác nội tiếp đường tròn (), ngoại tiếp đường tròn (I). G là điểm chính giữa cung không chứa. là tiếp điểm của (I) với. J là điểm nằm

Διαβάστε περισσότερα

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC NGÀY THI : 19/06/2009 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC NGÀY THI : 19/06/2009 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ TI TUYỂN SIN LỚP NĂM ỌC 9- KÁN OÀ MÔN : TOÁN NGÀY TI : 9/6/9 ĐỀ CÍN TỨC Thời gian làm bài: phút (không kể thời gian giao đề) ài ( điểm) (Không dùng máy tính cầm tay) a Cho biết

Διαβάστε περισσότερα

có thể biểu diễn được như là một kiểu đạo hàm của một phiếm hàm năng lượng I[]

có thể biểu diễn được như là một kiểu đạo hàm của một phiếm hàm năng lượng I[] 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Chúng ta đều biết: không có lý thuyết tổng quát cho phép giải mọi phương trình đạo hàm riêng; nhất là với các phương trình phi tuyến Au [ ] = 0; (1) trong đó A[] ký hiệu toán

Διαβάστε περισσότερα

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Tru cập website: hoc36net để tải tài liệu đề thi iễn phí ÀI GIẢI âu : ( điể) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) 8 3 3 () 8 3 3 8 Ta có ' 8 8 9 ; ' 9 3 o ' nên phương trình () có nghiệ phân

Διαβάστε περισσότερα

A 2 B 1 C 1 C 2 B B 2 A 1

A 2 B 1 C 1 C 2 B B 2 A 1 Sáng tạo trong hình học Nguyễn Văn Linh Sinh viên K50 TNH ĐH Ngoại thương 1 Mở đầu Hình học là một mảng rất đặc biệt trong toán học. Vẻ đẹp của phân môn này nằm trong hình vẽ mà muốn cảm nhận được chúng

Διαβάστε περισσότερα

KỸ THUẬT ĐIỆN CHƯƠNG IV

KỸ THUẬT ĐIỆN CHƯƠNG IV KỸ THẬT ĐỆN HƯƠNG V MẠH ĐỆN PH HƯƠNG V : MẠH ĐỆN PH. Khái niệm chung Điện năng sử ụng trong công nghiệ ưới ạng òng điện sin ba ha vì những lý o sau: - Động cơ điện ba ha có cấu tạo đơn giản và đặc tính

Διαβάστε περισσότερα

Bài Tập Môn: NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH

Bài Tập Môn: NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH Câu 1: Bài Tập Môn: NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH Cho văn phạm dưới đây định nghĩa cú pháp của các biểu thức luận lý bao gồm các biến luận lý a,b,, z, các phép toán luận lý not, and, và các dấu mở và đóng ngoặc tròn

Διαβάστε περισσότερα

ĐỀ SỐ 16 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN 2017 Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian giao đề (50 câu trắc nghiệm)

ĐỀ SỐ 16 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN 2017 Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian giao đề (50 câu trắc nghiệm) THẦY: ĐẶNG THÀNH NAM Website: wwwvtedvn ĐỀ SỐ 6 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN 7 Thời gian làm bài: phút; không kể thời gian giao đề (5 câu trắc nghiệm) Mã đề thi 65 Họ, tên thí sinh:trường: Điểm mong muốn:

Διαβάστε περισσότερα

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 8 phút Câu (, điểm) Cho hàm số y = + a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho b) Viết

Διαβάστε περισσότερα

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1- Độ dài đoạn thẳng Ax ( ; y; z ), Bx ( ; y ; z ) thì Nếu 1 1 1 1. Một Số Công Thức Cần Nhớ AB = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ). 1 1 1 - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Διαβάστε περισσότερα

CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG

CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Tăng Vũ 1. Đường thẳng Euler. Bài toán 1. Trong một tam giác thì trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp cùng nằm trên một đường thẳng. (Đường thẳng

Διαβάστε περισσότερα

Vectơ và các phép toán

Vectơ và các phép toán wwwvnmathcom Bài 1 1 Các khái niệm cơ bản 11 Dẫn dắt đến khái niệm vectơ Vectơ và các phép toán Vectơ đại diện cho những đại lượng có hướng và có độ lớn ví dụ: lực, vận tốc, 1 Định nghĩa vectơ và các yếu

Διαβάστε περισσότερα

c) y = c) y = arctan(sin x) d) y = arctan(e x ).

c) y = c) y = arctan(sin x) d) y = arctan(e x ). Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học ĐỀ CƯƠNG BÀI TẬP GIẢI TÍCH I - TỪ K6 Nhóm ngành 3 Mã số : MI 3 ) Kiểm tra giữa kỳ hệ số.3: Tự luận, 6 phút. Nội dung: Chương, chương đến hết

Διαβάστε περισσότερα

Ngày 26 tháng 12 năm 2015

Ngày 26 tháng 12 năm 2015 Mô hình Tobit với Biến Phụ thuộc bị chặn Lê Việt Phú Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Ngày 26 tháng 12 năm 2015 1 / 19 Table of contents Khái niệm biến phụ thuộc bị chặn Hồi quy OLS với biến phụ

Διαβάστε περισσότερα

Tuyển chọn Đề và đáp án : Luyện thi thử Đại Học của các trường trong nước năm 2012.

Tuyển chọn Đề và đáp án : Luyện thi thử Đại Học của các trường trong nước năm 2012. wwwliscpgetl Tuyển chọn Đề và đáp án : Luyện thi thử Đại ọc củ các trường trong nước năm ôn: ÌN Ọ KÔNG GN (lisc cắt và dán) ÌN ÓP ài ho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh, tm giác đều, tm giác vuông cân

Διαβάστε περισσότερα

ĐỀ BÀI TẬP LỚN MÔN XỬ LÝ SONG SONG HỆ PHÂN BỐ (501047)

ĐỀ BÀI TẬP LỚN MÔN XỬ LÝ SONG SONG HỆ PHÂN BỐ (501047) ĐỀ BÀI TẬP LỚN MÔN XỬ LÝ SONG SONG HỆ PHÂN BỐ (501047) Lưu ý: - Sinh viên tự chọn nhóm, mỗi nhóm có 03 sinh viên. Báo cáo phải ghi rõ vai trò của từng thành viên trong dự án. - Sinh viên báo cáo trực tiếp

Διαβάστε περισσότερα

1.6 Công thức tính theo t = tan x 2

1.6 Công thức tính theo t = tan x 2 TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 1 Công thức lượng giác 1.1 Hệ thức cơ bản sin 2 x + cos 2 x = 1 1 + tn 2 x = 1 cos 2 x tn x = sin x cos x 1.2 Công thức cộng cot x = cos x sin x sin( ± b) = sin cos

Διαβάστε περισσότερα

ĐỀ 83. https://www.facebook.com/nguyenkhachuongqv2

ĐỀ 83. https://www.facebook.com/nguyenkhachuongqv2 ĐỀ 8 https://www.facebook.com/nguyenkhachuongqv GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số - https://huongphuong.wordpress.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA 016 LẦN TRƯỜNG THPT MINH

Διαβάστε περισσότερα

* Môn thi: VẬT LÝ (Bảng A) * Ngày thi: 27/01/2013 * Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ:

* Môn thi: VẬT LÝ (Bảng A) * Ngày thi: 27/01/2013 * Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ: Họ và tên thí sinh:. Chữ kí giám thị Số báo danh:..... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 0 CẤP TỈNH NĂM HỌC 0-03 ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Gồm 0 trang) * Môn thi: VẬT LÝ (Bảng A) * Ngày thi:

Διαβάστε περισσότερα

Batigoal_mathscope.org ñược tính theo công thức

Batigoal_mathscope.org ñược tính theo công thức SỐ PHỨC TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG Batigoal_mathscope.org Hoangquan9@gmail.com I.MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN. Khoảng cách giữa hai ñiểm Giả sử có số phức và biểu diễn hai ñiểm M và M trên mặt phẳng tọa

Διαβάστε περισσότερα

A. ĐẶT VẤN ĐỀ B. HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

A. ĐẶT VẤN ĐỀ B. HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN . ĐẶT VẤN ĐỀ Hình họ hông gin là một hủ đề tương đối hó đối với họ sinh, hó ả áh tiếp ận vấn đề và ả trong tìm lời giải ài toán. Làm so để họ sinh họ hình họ hông gin dễ hiểu hơn, hoặ hí ít ũng giải đượ

Διαβάστε περισσότερα

Chương 1: VECTOR KHÔNG GIAN VÀ BỘ NGHỊCH LƯU BA PHA

Chương 1: VECTOR KHÔNG GIAN VÀ BỘ NGHỊCH LƯU BA PHA I. Vcto không gian Chương : VECTOR KHÔNG GIAN VÀ BỘ NGHỊCH LƯ BA PHA I.. Biể diễn vcto không gian cho các đại lượng ba pha Động cơ không đồng bộ (ĐCKĐB) ba pha có ba (hay bội ố của ba) cộn dây tato bố

Διαβάστε περισσότερα

Chứng minh. Cách 1. EO EB = EA. hay OC = AE

Chứng minh. Cách 1. EO EB = EA. hay OC = AE ài tập ôn luyện đội tuyển I năm 2016 guyễn Văn inh ài 1. (Iran S 2007). ho tam giác. ột điểm nằm trong tam giác thỏa mãn = +. Gọi, Z lần lượt là điểm chính giữa các cung và của đường tròn ngoại tiếp các

Διαβάστε περισσότερα

Tối ưu tuyến tính. f(z) < inf. Khi đó tồn tại y X sao cho (i) d(z, y) 1. (ii) f(y) + εd(z, y) f(z). (iii) f(x) + εd(x, y) f(y), x X.

Tối ưu tuyến tính. f(z) < inf. Khi đó tồn tại y X sao cho (i) d(z, y) 1. (ii) f(y) + εd(z, y) f(z). (iii) f(x) + εd(x, y) f(y), x X. Tối ưu tuyến tính Câu 1: (Định lý 2.1.1 - Nguyên lý biến phân Ekeland) Cho (X, d) là không gian mêtric đủ, f : X R {+ } là hàm lsc bị chặn dưới. Giả sử ε > 0 và z Z thỏa Khi đó tồn tại y X sao cho (i)

Διαβάστε περισσότερα

Lecture-11. Ch-6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biếnđổi Laplace

Lecture-11. Ch-6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biếnđổi Laplace Ch-6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biếnđổi Laplace Lecture- 6.. Phân tích hệ thống LTI dùng biếnđổi Laplace 6.3. Sơđồ hối và thực hiện hệ thống 6.. Phân tích hệ thống LTI dùng biếnđổi Laplace 6...

Διαβάστε περισσότερα

x i x k = e = x j x k x i = x j (luật giản ước).

x i x k = e = x j x k x i = x j (luật giản ước). 1 Mục lục Chương 1. NHÓM.................................................. 2 Chương 2. NHÓM HỮU HẠN.................................... 10 Chương 3. NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH....................... 14 2 CHƯƠNG

Διαβάστε περισσότερα

Sử dụngụ Minitab trong thống kê môi trường

Sử dụngụ Minitab trong thống kê môi trường Sử dụngụ Minitab trong thống kê môi trường Dương Trí Dũng I. Giới thiệu Hiện nay có nhiều phần mềm (software) thống kê trên thị trường Giá cao Excel không đủ tính năng Tinh bằng công thức chậm Có nhiều

Διαβάστε περισσότερα

ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN (Chương trình đào tạo tín chỉ, từ Khóa 2011)

ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN (Chương trình đào tạo tín chỉ, từ Khóa 2011) Đề cương chi tiết Toán cao cấp 2 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TP. HCM KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập Tự do Hạnh phúc 1. Thông tin chung về môn học ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC

Διαβάστε περισσότερα

x = Cho U là một hệ gồm 2n vec-tơ trong không gian R n : (1.2)

x = Cho U là một hệ gồm 2n vec-tơ trong không gian R n : (1.2) 65 TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 53, 2009 HỆ PHÂN HOẠCH HOÀN TOÀN KHÔNG GIAN R N Huỳnh Thế Phùng Trường Đại học Khoa học, Đại học Huế TÓM TẮT Một phân hoạch hoàn toàn của R n là một hệ gồm 2n vec-tơ

Διαβάστε περισσότερα

Tôi có thể tìm mẫu đơn đăng kí ở đâu? Tôi có thể tìm mẫu đơn đăng kí ở đâu? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα

Tôi có thể tìm mẫu đơn đăng kí ở đâu? Tôi có thể tìm mẫu đơn đăng kí ở đâu? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα - Γενικά Tôi có thể tìm mẫu đơn đăng kí ở đâu? Tôi có thể tìm mẫu đơn đăng kí ở đâu? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα Khi nào [tài liệu] của bạn được ban hành? Για να ρωτήσετε πότε έχει

Διαβάστε περισσότερα

PHÂN TÍCH ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG HÀI TRONG TRẠM BÙ CÔNG SUẤT PHẢN KHÁNG KIỂU SVC VÀ NHỮNG GIẢI PHÁP KHẮC PHỤC

PHÂN TÍCH ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG HÀI TRONG TRẠM BÙ CÔNG SUẤT PHẢN KHÁNG KIỂU SVC VÀ NHỮNG GIẢI PHÁP KHẮC PHỤC Luận văn thạc sĩ kỹ thuật 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP --------------------------------------- VŨ THỊ VÒNG PHÂN TÍCH ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG HÀI TRONG TRẠM BÙ CÔNG SUẤT PHẢN KHÁNG KIỂU SVC

Διαβάστε περισσότερα

- Toán học Việt Nam

- Toán học Việt Nam - Toán học Việt Nam PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌ KHÔNG GIN ẰNG VETOR I. Á VÍ DỤ INH HỌ Vấn đề 1: ho hình chóp S. có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng () là điểm H thuộc

Διαβάστε περισσότερα

Tính: AB = 5 ( AOB tại O) * S tp = S xq + S đáy = 2 π a 2 + πa 2 = 23 π a 2. b) V = 3 π = 1.OA. (vì SO là đường cao của SAB đều cạnh 2a)

Tính: AB = 5 ( AOB tại O) * S tp = S xq + S đáy = 2 π a 2 + πa 2 = 23 π a 2. b) V = 3 π = 1.OA. (vì SO là đường cao của SAB đều cạnh 2a) Mặt nón. Mặt trụ. Mặt cầu ài : Trong không gin cho tm giác vuông tại có 4,. Khi quy tm giác vuông qunh cạnh góc vuông thì đường gấp khúc tạo thành một hình nón tròn xoy. b)tính thể tích củ khối nón 4 )

Διαβάστε περισσότερα

+ = k+l thuộc H 2= ( ) = (7 2) (7 5) (7 1) 2) 2 = ( ) ( ) = (1 2) (5 7)

+ = k+l thuộc H 2= ( ) = (7 2) (7 5) (7 1) 2) 2 = ( ) ( ) = (1 2) (5 7) Nhớm 3 Bài 1.3 1. (X,.) là nhóm => a X; ax= Xa= X Ta chứng minh ax=x Với mọi b thuộc ax thì b có dạng ak với k thuộc X nên b thuộc X => Với mọi k thuộc X thì k = a( a -1 k) nên k thuộc ax. Vậy ax=x Tương

Διαβάστε περισσότερα

Chương 12: Chu trình máy lạnh và bơm nhiệt

Chương 12: Chu trình máy lạnh và bơm nhiệt /009 Chương : Chu trình máy lạnh và bơm nhiệt. Khái niệm chung. Chu trình lạnh dùng không khí. Chu trình lạnh dùng hơi. /009. Khái niệm chung Máy lạnh/bơmnhiệt: chuyển CÔNG thành NHIỆT NĂNG Nguồn nóng

Διαβάστε περισσότερα

ĐỀ SỐ 1. ĐỀ SỐ 2 Bài 1 : (3 điểm) Thu gọn các biểu thức sau : Trần Thanh Phong ĐỀ THI HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN LỚP O a a 2a

ĐỀ SỐ 1. ĐỀ SỐ 2 Bài 1 : (3 điểm) Thu gọn các biểu thức sau : Trần Thanh Phong ĐỀ THI HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN LỚP O a a 2a Trần Thanh Phong 0908 456 ĐỀ THI HỌC KÌ MÔN TOÁN LỚP 9 ----0O0----- Bài :Thưc hiên phép tính (,5 đ) a) 75 08 b) 8 4 5 6 ĐỀ SỐ 5 c) 5 Bài : (,5 đ) a a a A = a a a : (a > 0 và a ) a a a a a) Rút gọn A b)

Διαβάστε περισσότερα

Bài giảng Giải tích 3: Tích phân bội và Giải tích vectơ HUỲNH QUANG VŨ. Hồ Chí Minh.

Bài giảng Giải tích 3: Tích phân bội và Giải tích vectơ HUỲNH QUANG VŨ. Hồ Chí Minh. Bài giảng Giải tích 3: Tích phân bội và Giải tích vectơ HUỲNH QUANG VŨ Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. E-mail: hqvu@hcmus.edu.vn e d c f 1 b a 1 TÓM

Διαβάστε περισσότερα

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ. đến va chạm với vật M. Gọi vv, là vận tốc của m và M ngay. đến va chạm vào nó.

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ. đến va chạm với vật M. Gọi vv, là vận tốc của m và M ngay. đến va chạm vào nó. HOC36.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP IỄN PHÍ CHỦ ĐỀ 3. CON LẮC ĐƠN BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VA CHẠ CON LẮC ĐƠN Phương pháp giải Vật m chuyển động vận tốc v đến va chạm với vật. Gọi vv, là vận tốc của m và ngay sau

Διαβάστε περισσότερα

KỸ THUẬT ĐIỆN CHƯƠNG II

KỸ THUẬT ĐIỆN CHƯƠNG II KỸ THẬT ĐỆN HƯƠNG DÒNG ĐỆN SN Khái niệm: Dòng điện xoay chiều biến đổi theo quy luật hàm sin của thời gian là dòng điện sin. ác đại lượng đặc trưng cho dòng điện sin Trị số của dòng điện, điện áp sin ở

Διαβάστε περισσότερα

MALE = 1 nếu là nam, MALE = 0 nếu là nữ. 1) Nêu ý nghĩa của các hệ số hồi quy trong hàm hồi quy mẫu trên?

MALE = 1 nếu là nam, MALE = 0 nếu là nữ. 1) Nêu ý nghĩa của các hệ số hồi quy trong hàm hồi quy mẫu trên? Chương 4: HỒI QUY VỚI BIẾN GIẢ VÀ ỨNG DỤNG 1. Nghiên cứu về tuổi thọ (Y: ngày) của hai loại bóng đèn (loại A, loại B). Đặt Z = 0 nếu đó là bóng đèn loại A, Z = 1 nếu đó là bóng đèn loại B. Kết quả hồi

Διαβάστε περισσότερα

A E. A c I O. A b. O a. M a. Chứng minh. Do XA b giao CI tại F nằm trên (O) nên BXA b = F CB = 1 2 ACB = BIA 90 = A b IB.

A E. A c I O. A b. O a. M a. Chứng minh. Do XA b giao CI tại F nằm trên (O) nên BXA b = F CB = 1 2 ACB = BIA 90 = A b IB. Đường tròn mixtilinear Nguyễn Văn Linh Sinh viên K50 TNH ĐH Ngoại thương 1 Giới thiệu Đường tròn mixtilinear nội tiếp (bàng tiếp) là đường tròn tiếp xúc với hai cạnh tam giác và tiếp xúc trong (ngoài)

Διαβάστε περισσότερα

Phụ thuộc hàm. và Chuẩn hóa cơ sở dữ liệu. Nội dung trình bày. Chương 7. Nguyên tắc thiết kế. Ngữ nghĩa của các thuộc tính (1) Phụ thuộc hàm

Phụ thuộc hàm. và Chuẩn hóa cơ sở dữ liệu. Nội dung trình bày. Chương 7. Nguyên tắc thiết kế. Ngữ nghĩa của các thuộc tính (1) Phụ thuộc hàm Nội dung trình bày hương 7 và huẩn hóa cơ sở dữ liệu Nguyên tắc thiết kế các lược đồ quan hệ.. ác dạng chuẩn. Một số thuật toán chuẩn hóa. Nguyên tắc thiết kế Ngữ nghĩa của các thuộc tính () Nhìn lại vấn

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Tam giác. R 2 2Rr = d 2 (2.1.1) 1 R + d + 1. R d = 1 r (2.1.2) R d r + R + d r = ( R + d r. R d r

2.1 Tam giác. R 2 2Rr = d 2 (2.1.1) 1 R + d + 1. R d = 1 r (2.1.2) R d r + R + d r = ( R + d r. R d r Một số vấn đề về đa giác lưỡng tâm Nguyễn Văn Linh Sinh viên K50 TNH ĐH Ngoại thương 1 Giới thiệu Một đa giác lồi được gọi là lưỡng tâm khi đa giác đó vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp đường tròn. Những đa giác

Διαβάστε περισσότερα

Câu 2. Tính lim. A B. 0. C D Câu 3. Số chỉnh hợp chập 3 của 10 phần tử bằng A. C 3 10

Câu 2. Tính lim. A B. 0. C D Câu 3. Số chỉnh hợp chập 3 của 10 phần tử bằng A. C 3 10 ĐỀ THAM KHẢO THPT QUỐC GIA 8 MÔN TOÁN (ĐỀ SỐ ) *Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam website: wwwvtedvn Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại wwwvtedvn Thời gian làm bài: 9 phút (không kể thời gian

Διαβάστε περισσότερα

MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU...

MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU... MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU... 5 Chƣơng I: Mở đầu... 8 1.1 Tập hợp và các cấu trúc đại số... 8 1.1.1 Tập hợp và các tập con... 8 1.1.2 Tập hợp và các phép toán hai ngôi... 9 1.3 Quan hệ và quan hệ tương đương...

Διαβάστε περισσότερα

Bài Giảng Môn học: OTOMAT VÀ NGÔN NGỮ HÌNH THỨC

Bài Giảng Môn học: OTOMAT VÀ NGÔN NGỮ HÌNH THỨC Bài Giảng Môn học: OTOMAT VÀ NGÔN NGỮ HÌNH THỨC TS. Nguyễn Văn Định, Khoa CNTT Lời nói đầu Ngôn ngữ là phương tiện để giao tiếp, sự giao tiếp có thể hiểu là giao tiếp giữa con người với nhau, giao tiếp

Διαβάστε περισσότερα

ỨNG DỤNG PHƯƠNG TÍCH, TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG TRONG BÀI TOÁN YẾU TỐ CỐ ĐỊNH

ỨNG DỤNG PHƯƠNG TÍCH, TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG TRONG BÀI TOÁN YẾU TỐ CỐ ĐỊNH ỨNG DỤNG PHƯƠNG TÍH, TRỤ ĐẲNG PHƯƠNG TRNG ÀI TÁN YẾU TỐ Ố ĐỊNH. PHẦN Ở ĐẦU I. Lý do chọn đề tài ác bài toán về Hình học phẳng thường xuyên xuất hiện trong các kì thi HSG môn toán và luôn được đánh giá

Διαβάστε περισσότερα

Tứ giác BLHN là nội tiếp. Từ đó suy ra AL.AH = AB. AN = AW.AZ. Như thế LHZW nội tiếp. Suy ra HZW = HLM = 1v. Vì vậy điểm H cũng nằm trên

Tứ giác BLHN là nội tiếp. Từ đó suy ra AL.AH = AB. AN = AW.AZ. Như thế LHZW nội tiếp. Suy ra HZW = HLM = 1v. Vì vậy điểm H cũng nằm trên MỘT SỐ ÀI TOÁN THẲNG HÀNG ài toán 1. (Imo Shortlist 2013 - G1) ho là một tm giác nhọn với trực tâm H, và W là một điểm trên cạnh. Gọi M và N là chân đường co hạ từ và tương ứng. Gọi (ω 1 ) là đường tròn

Διαβάστε περισσότερα

7. Phương trình bậc hi. Xét phương trình bậc hi x + bx + c 0 ( 0) Công thức nghiệm b - 4c Nếu > 0 : Phương trình có hi nghiệm phân biệt: b+ b x ; x Nế

7. Phương trình bậc hi. Xét phương trình bậc hi x + bx + c 0 ( 0) Công thức nghiệm b - 4c Nếu > 0 : Phương trình có hi nghiệm phân biệt: b+ b x ; x Nế TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁCH GIẢI CÁC DẠNG ÀI TẬP TÁN 9 PHẦN I: ĐẠI SỐ. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.. Điều kiện để căn thức có nghĩ. có nghĩ khi 0. Các công thức biến đổi căn thức.. b.. ( 0; 0) c. ( 0; > 0) d. e.

Διαβάστε περισσότερα

Nội dung. 1. Một số khái niệm. 2. Dung dịch chất điện ly. 3. Cân bằng trong dung dịch chất điện ly khó tan

Nội dung. 1. Một số khái niệm. 2. Dung dịch chất điện ly. 3. Cân bằng trong dung dịch chất điện ly khó tan CHƯƠNG 5: DUNG DỊCH 1 Nội dung 1. Một số khái niệm 2. Dung dịch chất điện ly 3. Cân bằng trong dung dịch chất điện ly khó tan 2 Dung dịch Là hệ đồng thể gồm 2 hay nhiều chất (chất tan & dung môi) mà thành

Διαβάστε περισσότερα

(CH4 - PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI, SO SÁNH VÀ KIỂM ĐỊNH) Ch4 - Phân tích phương sai, so sánh và kiểm định 1

(CH4 - PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI, SO SÁNH VÀ KIỂM ĐỊNH) Ch4 - Phân tích phương sai, so sánh và kiểm định 1 TIN HỌC ỨNG DỤNG (CH4 - PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI, SO SÁNH VÀ KIỂM ĐỊNH) Phan Trọng Tiến BM Công nghệ phần mềm Khoa Công nghệ thông tin, VNUA Email: phantien84@gmail.com Website: http://timoday.edu.vn Ch4 -

Διαβάστε περισσότερα

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (Phần 04) Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (Phần 04) Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Khó học LTðH KT-: ôn Tán (Thầy Lê á Trần Phương) THỂ TÍH KHỐ HÓP (Phần 4) ðáp Á À TẬP TỰ LUYỆ Giá viên: LÊ Á TRẦ PHƯƠG ác ài tập trng tài liệu này ñược iên sạn kèm the ài giảng Thể tich khối chóp (Phần

Διαβάστε περισσότερα

Ví dụ 2 Giải phương trình 3 " + = 0. Lời giải. Giải phương trình đặc trưng chúng ta nhận được

Ví dụ 2 Giải phương trình 3  + = 0. Lời giải. Giải phương trình đặc trưng chúng ta nhận được CHƯƠNG 6. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Những ý tưởng cơ bản của phương trình vi phân đã được giải thích trong Chương 9, ở đó chúng ta đã tập trung vào phương trình cấp một. Trong chương này, chúng ta nghiên

Διαβάστε περισσότερα

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1. Phép tịnh tiến : a. Định nghĩa :Cho cố định. Với mỗi điểm M, ta dựng điểm M sao cho MM ' = T (M) = M sao cho : MM ' = b. Biể thức

Διαβάστε περισσότερα

TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH NIÊN KHÓA: * * CHUYÊN ĐỀ

TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH NIÊN KHÓA: * * CHUYÊN ĐỀ TRƯỜNG THT HUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH NIÊN KHÓ: 2011-2012 * * HUYÊN ĐỀ ỘT SỐ ÀI TOÁN HÌNH HỌ HẲNG LIÊN QUN ĐẾN TỨ GIÁ TOÀN HẦN Người thực hiện han Hồng Hạnh Trinh Nhóm chuyên toán lớp 111 Kon Tum, ngày 26

Διαβάστε περισσότερα

Chương 11 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN ĐƠN BIẾN

Chương 11 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN ĐƠN BIẾN Chương 11 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN ĐƠN BIẾN Ths. Nguyễn Tiến Dũng Viện Kinh tế và Quản lý, Trường ĐH Bách khoa Hà Nội Email: dung.nguyentien3@hust.edu.vn MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG Sau khi học xong chương này, người

Διαβάστε περισσότερα

ShaMO 30. f(n)f(n + 1)f(n + 2) = m(m + 1)(m + 2)(m + 3) = n(n + 1) 2 (n + 2) 3 (n + 3) 4.

ShaMO 30. f(n)f(n + 1)f(n + 2) = m(m + 1)(m + 2)(m + 3) = n(n + 1) 2 (n + 2) 3 (n + 3) 4. ShaMO 30 A1. Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 6 và a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 12. Chứng minh rằng 36 4 ( a 3 + b 3 + c 3 + d 3) ( a 4 + b 4 + c 4 + d 4) 48. A2. Cho tam giác ABC, với I

Διαβάστε περισσότερα

BÀI TẬP. 1-5: Dòng phân cực thuận trong chuyển tiếp PN là 1.5mA ở 27oC. Nếu Is = 2.4x10-14A và m = 1, tìm điện áp phân cực thuận.

BÀI TẬP. 1-5: Dòng phân cực thuận trong chuyển tiếp PN là 1.5mA ở 27oC. Nếu Is = 2.4x10-14A và m = 1, tìm điện áp phân cực thuận. BÀI TẬP CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT BÁN DẪN 1-1: Một thanh Si có mật độ electron trong bán dẫn thuần ni = 1.5x10 16 e/m 3. Cho độ linh động của electron và lỗ trống lần lượt là n = 0.14m 2 /vs và p = 0.05m 2 /vs.

Διαβάστε περισσότερα

CHƯƠNG I NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

CHƯƠNG I NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN Chương Những khái niệm cơ bản - CHƯƠNG I NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN DẠNG SÓNG CỦA TÍN HIỆU Hàm mũ Hàm nấc đơn vị Hàm dốc Hàm xung lực Hàm sin Hàm tuần hoàn PHẦN TỬ ĐIỆN Phần tử thụ động Phần tử tác động ĐIỆN

Διαβάστε περισσότερα

có nghiệm là:. Mệnh đề nào sau đây đúng?

có nghiệm là:. Mệnh đề nào sau đây đúng? SỞ GD & ĐT TỈNH HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT MINH CHÂU (Đề có 6 trng) ĐỀ THI THỬ THPT QG MÔN TOÁN LẦN NĂM HỌC 7-8 MÔN TOÁN Thời gin làm bài : 9 Phút; (Đề có câu) Họ tên : Số báo dnh : Mã đề 84 Câu : Bất phương

Διαβάστε περισσότερα

TRANSISTOR MỐI NỐI LƯỠNG CỰC

TRANSISTOR MỐI NỐI LƯỠNG CỰC hương 4: Transistor mối nối lưỡng cực hương 4 TANSISTO MỐI NỐI LƯỠNG Ự Transistor mối nối lưỡng cực (JT) được phát minh vào năm 1948 bởi John ardeen và Walter rittain tại phòng thí nghiệm ell (ở Mỹ). Một

Διαβάστε περισσότερα

TUYỂN TẬP ĐỀ THI MÔN TOÁN THCS TỈNH HẢI DƯƠNG

TUYỂN TẬP ĐỀ THI MÔN TOÁN THCS TỈNH HẢI DƯƠNG TUYỂN TẬP ĐỀ THI MÔN TOÁN THCS TỈNH HẢI DƯƠNG hieuchuoi@ Tháng 7.006 GIỚI THIỆU Tuyển tập đề thi này gồm tất cả 0 đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Nguyễn Trãi Tỉnh Hải Dương (môn Toán chuyên) và

Διαβάστε περισσότερα

g(0, 1) = g(1, 0) = 0 g( x) = g(x)

g(0, 1) = g(1, 0) = 0 g( x) = g(x) Phép tính vi phân trên R n 1 BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài tập 1.1. Cho hàm f : R R, (x, y) sin x. Dùng định nghĩa chứng minh Df(a, b) = α, với α xác định bởi α(x, y) = (cos a)x. Bài tập 1.. Cho hàm f : R n R thỏa

Διαβάστε περισσότερα

B. chiều dài dây treo C.vĩ độ địa lý

B. chiều dài dây treo C.vĩ độ địa lý ĐỀ THI THỬ LẦN 1 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG QUẢNG NINH MÔN VẬT LÝ LỜI GIẢI: LẠI ĐẮC HỢP FACEBOOK: www.fb.com/laidachop Group: https://www.facebook.com/groups/dethivatly.moon/ Câu 1 [316487]: Đặt điện áp

Διαβάστε περισσότερα

1.3.2 L 2 đánh giá Nghiệm yếu Nghiệm tích phân, điều kiện Rankine-Hugoniot... 25

1.3.2 L 2 đánh giá Nghiệm yếu Nghiệm tích phân, điều kiện Rankine-Hugoniot... 25 Giáo trình Phương trình vi phân đạo hàm riêng Đặng Anh Tuấn Ngày 30 tháng 3 năm 2016 Mục lục 1 Phương trình đạo hàm riêng cấp 1 1 1.1 Siêu mặt không đặc trưng......................... 1 1.1.1 Một số ký

Διαβάστε περισσότερα

1.5.2 Hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng... 13

1.5.2 Hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng... 13 Mục lục Lời nói đầu 5 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Không gian L p và tính đo được.............. 7 1.2 Hàm biến phân bị chặn và tích phân Stieltjes...... 8 1.3 Không gian xác suất,biến ngẫu nhiên,lọc.........

Διαβάστε περισσότερα

CÁC CÔNG THỨC CỰC TRỊ ĐIỆN XOAY CHIỀU

CÁC CÔNG THỨC CỰC TRỊ ĐIỆN XOAY CHIỀU Tà lệ kha test đầ xân 4 Á ÔNG THỨ Ự TỊ ĐỆN XOAY HỀ GÁO VÊN : ĐẶNG VỆT HÙNG. Đạn mạch có thay đổ: * Kh thì Max max ; P Max còn Mn ư ý: và mắc lên tếp nha * Kh thì Max * Vớ = hặc = thì có cùng gá trị thì

Διαβάστε περισσότερα

@misc{milneft, title={lý thuyết trường và lý thuyết Galois (v.4.53)} year={2017}, note={xem \url{ pages={178} }

@misc{milneft, title={lý thuyết trường và lý thuyết Galois (v.4.53)} year={2017}, note={xem \url{  pages={178} } James S. Milne LÝ THUYẾT TRƯỜNG VÀ LÝ THUYẾT GALOIS Phiên bản 4.53, Ngày 27 Tháng 5, 2017 Người dịch: Nguyễn Đức Khánh, Lê Minh Hà Tham gia hiệu đính: Đoàn An Khương, Mạc Đăng Trường, Phạm Minh Hoàng,

Διαβάστε περισσότερα

1.3.3 Ma trận tự tương quan Các bài toán Khái niệm Ý nghĩa So sánh hai mô hình...

1.3.3 Ma trận tự tương quan Các bài toán Khái niệm Ý nghĩa So sánh hai mô hình... BÀI TẬP ÔN THI KINH TẾ LƯỢNG Biên Soạn ThS. LÊ TRƯỜNG GIANG Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 0, tháng 06, năm 016 Mục lục Trang Chương 1 Tóm tắt lý thuyết 1 1.1 Tổng quan về kinh tế lượng......................

Διαβάστε περισσότερα

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải. Đường tròn cung dây tiếp tuyến BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : 1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). 2. FA.FH

Διαβάστε περισσότερα

Ý NGHĨA BẢNG HỒI QUY MÔ HÌNH BẰNG PHẦN MỀM EVIEWS

Ý NGHĨA BẢNG HỒI QUY MÔ HÌNH BẰNG PHẦN MỀM EVIEWS Ý NGHĨA BẢNG HỒI QUY MÔ HÌNH BẰNG PHẦN MỀM EVIEWS CẦN KÍ TÊN Ý NGHĨA XEM HIỆU 1 Dependent Variable Tên biến phụ thuộc Y Phương pháp bình Method: Least phương tối thiểu (nhỏ OLS Squares nhất) Date - Time

Διαβάστε περισσότερα

Dao Động Cơ. T = t. f = N t. f = 1 T. x = A cos(ωt + ϕ) L = 2A. Trong thời gian t giây vật thực hiện được N dao động toàn phần.

Dao Động Cơ. T = t. f = N t. f = 1 T. x = A cos(ωt + ϕ) L = 2A. Trong thời gian t giây vật thực hiện được N dao động toàn phần. GVLê Văn Dũng - NC: Nguyễn Khuyến Bình Dương Dao Động Cơ 0946045410 (Nhắn tin) DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA rong thời gian t giây vật thực hiện được N dao động toàn phần Chu kì dao động của vật là = t N rong thời

Διαβάστε περισσότερα

CƠ HỌC LÝ THUYẾT: TĨNH HỌC

CƠ HỌC LÝ THUYẾT: TĨNH HỌC 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights reserved. The First E CHƯƠNG: 01 CƠ HỌC LÝ THUYẾT: TĨNH HỌC ThS Nguyễn Phú Hoàng CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC Khoa KT Xây dựng Trường CĐCN Đại

Διαβάστε περισσότερα

Dữ liệu bảng (Panel Data)

Dữ liệu bảng (Panel Data) 5/6/0 ữ lệu bảng (Panel ata) Đnh Công Khả Tháng 5/0 Nộ dung. Gớ thệu chung về dữ lệu bảng. Những lợ thế kh sử dụng dữ lệu bảng. Ước lượng mô hình hồ qu dữ lệu bảng Mô hình những ảnh hưởng cố định (FEM)

Διαβάστε περισσότερα

Thuật toán Cực đại hóa Kì vọng (EM)

Thuật toán Cực đại hóa Kì vọng (EM) Thuật toán Cực đại hóa Kì vọng (EM) Trần Quốc Long 1 1 Bộ môn Khoa học Máy tính Khoa Công nghệ Thông tin Trường Đại học Công nghệ Thứ Tư, 30/03/2016 Long (Đại học Công nghệ) Thuật toán EM 30/03/2016 1

Διαβάστε περισσότερα

gặp của Học viên Học viên sử dụng khái niệm tích phân để tính.

gặp của Học viên Học viên sử dụng khái niệm tích phân để tính. ĐÁP ÁN Bài 1: BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Tình huống dẫn nhập STT câu hỏi Nội dung câu hỏi Những ý kiến thường gặp của Học viên Kiến thức liên quan (Giải đáp cho các vấn đề) 1 Tính diện tích Hồ Gươm?

Διαβάστε περισσότερα

Xác định nguyên nhân và giải pháp hạn chế nứt ống bê tông dự ứng lực D2400mm

Xác định nguyên nhân và giải pháp hạn chế nứt ống bê tông dự ứng lực D2400mm Xác định nguyên nhân và giải pháp hạn chế nứt ống bê tông dự ứng lực D2400mm 1. Giới thiệu Ống bê tông dự ứng lực có nòng thép D2400 là sản phẩm cung cấp cho các tuyến ống cấp nước sạch. Đây là sản phẩm

Διαβάστε περισσότερα

Liên hệ:

Liên hệ: Giáo trình Vi tích phân 2 Bộ môn Giải tích (Kho Toán Tin học, Đại học Kho học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh) Bản ngày 19 tháng 1 năm 218 2 Đây là giáo trình cho các môn toán Vi tích phân 2 cho khối B

Διαβάστε περισσότερα

MATHSCOPE.ORG. Seeking the Unification of Math. Phan Đức Minh Trương Tấn Sang Nguyễn Thị Nguyên Khoa Lê Tuấn Linh Phạm Huy Hoàng Nguyễn Hiền Trang

MATHSCOPE.ORG. Seeking the Unification of Math. Phan Đức Minh Trương Tấn Sang Nguyễn Thị Nguyên Khoa Lê Tuấn Linh Phạm Huy Hoàng Nguyễn Hiền Trang MTHSOPE.ORG Seeking the Unification of Math Phan Đức Minh Trương Tấn Sang Nguyễn Thị Nguyên Khoa Lê Tuấn Linh Phạm Huy Hoàng Nguyễn Hiền Trang Tuyển tập các bài toán HÌNH HỌ PHẲNG ác bài toán ôn tập tuyển

Διαβάστε περισσότερα

Μετανάστευση Σπουδές. Σπουδές - Πανεπιστήμιο. Για να δηλώσετε ότι θέλετε να εγγραφείτε

Μετανάστευση Σπουδές. Σπουδές - Πανεπιστήμιο. Για να δηλώσετε ότι θέλετε να εγγραφείτε - Πανεπιστήμιο Θα ήθελα να εγγραφώ σε πανεπιστήμιο. Για να δηλώσετε ότι θέλετε να εγγραφείτε Tôi muốn ghi danh vào một trường đại học Θα ήθελα να γραφτώ για. Tôi muốn đăng kí khóa học. Για να υποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1 Dãy số và các bài toán về dãy số Giớithiệu Định nghĩa và các định lý cơ bản Một số phương pháp giải bài toán về dãy số...

1 Dãy số và các bài toán về dãy số Giớithiệu Định nghĩa và các định lý cơ bản Một số phương pháp giải bài toán về dãy số... Mục lục 1 Dãy số và các bài toán về dãy số 4 1.1 Giớithiệu... 4 1. Định nghĩa và các định lý cơ bản................... 5 1.3 Một số phương pháp giải bài toán về dãy số............. 8 1.3.1 Dãy số thực:

Διαβάστε περισσότερα