Τάξη: Β - Εισηγητές: ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2013

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Τάξη: Β - Εισηγητές: 03 / 06 / 013 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ 1 η Θεωρία: α) Τι ονομάζεται ημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου; β) Ποια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη και ποια είναι η σχέση της με το τόξο στο οποίο βαίνει; γ) Ποιο πολύγωνο λέγεται κανονικό; η Θεωρία: α) Ποια παράσταση λέγεται αριθμητική και ποια αλγεβρική; β) Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; Πως συμβολίζεται; γ) Τι παριστάνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης y ax και από πού διέρχεται; ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η Άσκηση: Δίνονται οι ανισώσεις : x 1 x 7 x και (x 3) 3( x) 5 4 α) Να λύσετε τις ανισώσεις. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων αυτών. η Άσκηση: Ένας κύλινδρος έχει ύψος υ την λύση της εξίσωσης 3( x ) 4 x 10 και ακτίνα βάσης ρ = 5 cm. α) Να δείξετε ότι υ =x= 10 cm. β) Να βρείτε το εμβαδό της ολικής επιφάνειας και τον όγκο του κυλίνδρου 3 η Άσκηση: Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Να βρεθούν : α) Το μήκος της πλευράς ΑΓ. β) Το μήκος της πλευράς ΑΒ. γ) Το εμβαδό του τριγωνου ΑΒΓ =90 ο δίνονται ΒΓ=10 cm και συν =0,6 ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Να απαντήσετε σε ένα (1) θέμα θεωρίας και σε δύο () ασκήσεις. Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ

2 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΡΟΔΟΥ Ρόδος 10/6/013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ονοματεπώνυμο :... ΘΕΩΡΙΑ: Να απαντήσετε μόνο σε << 1 >> από τα θέματα θεωρίας!!!! ΘΕΜΑ 1 0 : α) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: ( α β ) =... ( ) 3 α+ β =... β) Να αποδείξετε τις ταυτότητες: ( ) α+ β = α + αβ + β, α β = ( α β) ( α+ β) γ) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με Σ αν είναι σωστές, ή με Λ αν είναι λανθασμένες ( ) ( ) α β = β+ α α β ( α β) = α αβ β ( ) α β = β βα+ α ΘΕΜΑ 0 : Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων xoy σημείο Μ έχει συντεταγμένες (x,y ). H γωνία ω που σχηματίζεται με κορυφή την αρχή των αξόνων Ο(0,0), αρχική πλευρά τον θετικό ημιάξονα Οχ και τελική την ημιευθεία ΟΜ είναι οξεία. α) Να συμπληρώσετε τα παρακάτω : ημω = συνω =., εφω =.. β) Να συμπληρωθούν: ( ) ( ) ( ) ηµ 180 ω =, συν 180 ω =, εφ 180 ω =, γ) Να αποδείξετε ότι : ηµ ω + συνω = 1

3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ: Να απαντήσετε μόνο σε << >> από τα 3 θέματα ασκήσεων!!! ΘΕΜΑ 1 0 : α) Να παραγοντοποιηθούν και να βρεθεί το Ε.Κ.Π. τους. x + 8 =... x 16 =... x 8 =... β ) Να λυθεί η εξίσωση, αφού γράψετε πρώτα τους κατάλληλους περιορισμούς για τους οποίους ορίζονται οι όροι της. x+ 4 4 x = x+ 8 x 16 x 8 ΘΕΜΑ 0 α) Να συμπληρώσετε τα κενά: ηµ10 =... συν150 =... ηµ135 =... συν135 =... β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : 3ηµ45 συν135 ηµ60 συν150 A= ο εφ45 εφ45 γ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : ( ) ( ) B= συν150 συν30 + ηµ45 ηµ135 ΘΕΜΑ 3 0 α) Να υπολογίσετε τις ρίζες ρ 1, ρ της εξίσωσης : x 5x+ 3= 0 β) Aν ρ 1 η μεγαλύτερη και ρ η μικρότερη ρίζα της προηγούμενης εξίσωσης, να βρείτε τη λύση (x,y) που επαληθεύει το παρακάτω σύστημα, (με όποια μέθοδο επιθυμείτε): x+ 3y= ρ x y= ρ 1 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ ΤΟΥΡΤΟΥΝΗΣ Α. ΠΙΤΣΗΣ Κ.

4 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ Σχολ. Έτος: Τάξη: Γ Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 013 Θέμα 1 ο (ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ) α ) Διατυπώστε το κριτήριο ισότητας τριγώνων Π-Γ-Π. β ) Να χαρακτηρίστε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στη κόλλα σας, δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. 1. Αν δυο τρίγωνα είναι ίσα, θα έχουν τις πλευρές τους και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες μια προς μια. Ο λόγος των περιμέτρων δυο ομοίων τριγώνων. είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας τους. Αν δυο τρίγωνα έχουν δυο γωνίες ίσες μια προς 3. μια, τότε είναι όμοια. Ο λόγος των εμβαδών δυο ομοίων σχημάτων είναι 4. ίσος με τον κύβο του λόγου ομοιότητας τους. Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Θέμα ο (ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ) α ) Δώστε τον ορισμό του μονωνύμου. β ) Να χαρακτηρίστε τους προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στη κόλλα τους, δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη Τα μονώνυμα με το ίδιο κύριο μέρος λέγονται όμοια. Σ Λ Το πολυώνυμο αχ +βχ+γ, είναι βαθμού 3. Σ Λ (α+β) 3 = α 3 +3 α β+β 3 Σ Λ (α-β)(α+β) = α -β Σ Λ

5 Θέμα 3 ο (ΑΣΚΗΣΗ) Δίνονται τα πολυώνυμα : Α(x) = (x+1) (x+1) B(x) = (x-1) (x+1) Γ(x) = x x α ) βρείτε το πολυώνυμο Α(x) - B(x) 1 β ) υπολογίστε τον αριθμό Γ(- ) Θέμα 4 ο (ΑΣΚΗΣΗ) Η Γ τάξη του Γυμνασίου Εξαπλατάνου πήγε εκδρομή στα Ιωάννινα και το κόστος τους εκδρομής ήταν Επειδή 5 μαθητές αρρώστησαν και δεν πήγαν τελικά εκδρομή, το εισιτήριο για τους υπολοίπους αυξήθηκε κατά 10 στον καθένα. α ) πόσοι μαθητές πήγαν εκδρομή ; β ) πόσο πλήρωσε ο καθένας ; Δίνεται : 305 = 55 Θέμα 5 ο (ΑΣΚΗΣΗ) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και σημείο Ο στο εσωτερικό του τριγώνου τέτοιο ώστε να ισχύει ΟΒ=ΟΓ. Αφού κάνετε σχήμα, αποδείξτε ότι : α ) ΟBˆ Γ = ΟĜΒ β ) ΑBˆ Ο = ΑĜΟ γ ) τα τρίγωνα ΑΒΟ και ΑΓΟ είναι ίσα. ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) 1 ) ΕΠΙΛΕΞΤΕ ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ) ΟΛΑ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΣΤΟ ΓΡΑΠΤΟ ΣΑΣ. 3 ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΙΝΑΙ ΙΣΟΒΑΘΜΑ Εξαπλάτανος, 1/5/013 Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ ΚΟΣΟΓΛΟΥ ΙΟΡΔΑΝΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

6 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο β ) 1.Σ. Λ 3.Σ 4. Λ ΘΕΜΑ Ο β ) 1.Σ. Λ 3.Λ 4. Σ ΘΕΜΑ 3 Ο α ) Α(x) - B(x) = (x+1) (x+1) - (x-1) (x+1) = (χ+1)(χ+1--χ+1) Α(x) - B(x) = (χ+1) 0 = β ) Γ(- ) =(- ) (- ) = +1 = 4 4 ΘΕΜΑ 4 Ο χ : οι μαθητές που πήγαν εκδρομή χ+5 : οι μαθητές της Γ τάξης του Γυμνασίου = x x + 5 Πρέπει να λύσω την εξίσωση : + 10 και θα προκύψει δεκτή λύση χ = 5 μαθητές οι οποίοι πλήρωσαν από 60 ο καθένας. ΘΕΜΑ 5 Ο α ) ΟΒ=ΟΓ άρα το ΟΒΓ ισοσκελές, συνεπώς ΟBˆ Γ = ΟĜ Β β ) οι γωνίες Β και Γ είναι ίσες γιατί το ΑΒΓ είναι ισοσκελές και επειδή απέδειξα το α) προκύπτει ΑBˆ Ο = ΑĜ Ο. γ ) ισχύει το Π-Γ-Π, άρα είναι ίσα.

7 Μ ά θ η μ α : Τ ά ξ η : 3 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΩΡΑΙΟΚΑΣΤΡΟΥ Γ ΡΑ ΠΤΗ ΑΠΟΛΥΤ Η ΡΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΕΡΙΟΔ Ο Υ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥ ΝΙ Ο Υ 013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Η μ ε ρ ο μ η ν ί α : Ε Ι Σ Η Γ Η Τ Ε Σ : ΚΑΡΥΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΝΤΑΜΠΑΛΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΘΕΩΡΙΑ (Να απαντήσετε ΜΟΝΟ το ένα (1) από τα δύο () θέματα θεωρίας). ΘΕΩΡΙΑ Α: Α1. Τι ονομάζουμε ταυτότητα; Α. Να συμπληρώσετε και να αποδείξετε την ταυτότητα ότι ( )( a )... Α3. Να γράψετε στη κόλλα σας τα γράμματα της στήλης Α και δίπλα τον αριθμό της στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. α ΣΤΗΛΗ Α β 3 γ ( ) 1 3 δ ΣΤΗΛΗ Β a ΘΕΩΡΙΑ Β: Β1. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. Β. Να μεταφέρεται τις παρακάτω προτάσεις στην κόλλα σας με συμπληρωμένα τα κενά. α) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την γωνία τους ίση, τότε είναι ίσα. β) Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση και τις στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. Β3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο οι γωνίες της βάσης του είναι ίσες. β) Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος. γ) Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. δ) Αν δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.

8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Α (Να απαντήσετε ΜΟΝΟ τις από τις 3 ασκήσεις). Δίνεται το σύστημα (Σ 1 ) x 5 3y (x ) 3(y ) 5 Α1.Να φέρετε το (Σ 1 ) μετά από πράξεις στη ισοδύναμη μορφή : (Σ ) 5x 6y 53 x 3y 3 Α. Να λύσετε το σύστημα (Σ ) με όποια αλγεβρική μέθοδο θέλετε. ΑΣΚΗΣΗ Β: Δίνεται η κλασματική εξίσωση x x 4x 4 x 1 x 4 Β1. Να παραγοντοποιηθούν τα παρακάτω πολυώνυμα 3 A x x 4x 4και Bx 4 Β. Να βρείτε το Ε.Κ.Π. της κλασματικής εξίσωσης και να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ορίζονται οι όροι της κλασματικής εξίσωσης. Β3. Να λυθεί η κλασματική εξίσωση. ΑΣΚΗΣΗ Γ: Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει Γ1. Να δείξετε ότι Γ. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ημω και εφω 5 x13 1 x o o Όπου x οποιαδήποτε γωνία με 0 x 180 Γ3. Να δείξετε ότι: ΘΕΩΡΗΘΗΚΕ Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ ΚΑΡΥΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΚΑΡΥΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΝΤΑΜΠΑΛΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ

9 3 o ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΣΧ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ Μυτιλήνη ΘΕΩΡΙΑ Α α) Τι λέγεται πολυώνυμο; Τι λέγεται βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μια ή περισσότερες μεταβλητές του; β) Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1. Κάθε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί και ως πολυώνυμο, οπότε λέγεται πολυώνυμο.. Ένα πολυώνυμο που δεν έχει όμοιους όρους λέγεται αν έχει τρεις όρους. 3. Ο αριθμός μηδέν λέγεται πολυώνυμο. γ) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: 1. ( αβ) ( αβ) ΘΕΩΡΙΑ Β α) Πότε δυο τρίγωνα είναι ίσα; β) Γράψτε δύο κριτήρια ισότητας τριγώνων. β) Να χαρακτηρίστε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις: 1. Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές δεν βρίσκονται ίσες γωνίες.. Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. 3. Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση, τότε είναι ίσα. ΑΣΚΗΣΗ 1 η 3 Δίνεται η παράσταση: x 1 x 1 x 3 5x 1 α) Να αποδείξετε ότι x 6x 7. β) Να λύσετε την εξίσωση A 0 γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση: x 49.

10 ΑΣΚΗΣΗ η Δίνεται το σύστημα: 4 x y 3 x y 17 y 1x y1 y 4 3 α) Να αποδείξετε, κάνοντας τις πράξεις, ότι το σύστημα παίρνει τη μορφή: β) Να λύσετε το σύστημα. x10y 17 3x 4y 1 ΑΣΚΗΣΗ 3 η Δίνεται μια αμβλεία γωνία ω για την οποία ισχύει α) Να υπολογίσετε το ημω και την εφω. β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Να γράψετε ένα θέμα θεωρίας και δύο ασκήσεις Καλή επιτυχία!! Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ Θεοδωρής Δ. ΣΤΡΑΤΑΚΗΣ ΜΙΧΑΗΛ Βογιατζής Δ.

11 ΠΑΝΑΡΕΣΕΙΟ ΓΤΜΝΑΙΟ ΚΑΛΛΟΝΗ Χ. ΕΣΟ /06/013 ΠΕΡΙΟΔΟ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΓΡΑΠΣΕ ΑΠΟΛΤΣΗΡΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΓΤΜΝΑΙΟΤ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΘΕΩΡΙΑ (ΕΠΙΛΕΓΕΣΕ ΚΑΙ ΑΠΑΝΣΑΣΕ Ε ΕΝΑ ΑΠΟ ΣΑ ΔΤΟ) ΘΕΜΑ 1 Α. Σι ονομάηεται ταυτότθτα; (Μονάδεσ 1,6) Β. Να αποδείξετε ότι για οποιουςδιποτε πραγματικοφσ αρικμοφσ,. (Μονάδεσ 3) ιςχφει Γ. Να χαρακτθρίςετε τισ παρακάτω προτάςεισ ωσ ωςτζσ () ι Λανκαςμζνεσ (Λ): 1. x x. x 1 x 1 a 1 a 4a 1 3. a a 6a 1a 8 (Μονάδεσ ) ΘΕΜΑ Α. Πότε δφο τρίγωνα λζγονται ίςα; Β. Να γράψετε ζνα κριτιριο ιςότθτασ ορκογωνίων τριγϊνων. Γ. Να χαρακτθρίςετε τισ παρακάτω προτάςεισ ωσ ωςτζσ () ι Λανκαςμζνεσ (Λ): 1. ε δφο τρίγωνα απζναντι από ίςεσ γωνίεσ βρίςκονται ίςεσ πλευρζσ.. ε δφο ίςα τρίγωνα απζναντι από ίςεσ πλευρζσ βρίςκονται ίςεσ γωνίεσ. 3. Δφο ορκογϊνια τρίγωνα είναι ίςα αν ζχουν δφο πλευρζσ ίςεσ. 4. Αν ζνα ςθμείο ιςαπζχει από τισ πλευρζσ μιασ γωνίασ τότε ανικει ςτθ διχοτόμο τθσ. ΘΕΜΑΣΑ ΑΚΗΕΩΝ (ΕΠΙΛΕΓΕΣΕ ΚΑΙ ΑΠΑΝΣΑΣΕ Ε ΔΤΟ ΑΠΟ ΣΑ ΣΡΙΑ)

12 ΑΚΗΗ 1 Δίνονται οι παραςτάςεισ: x x x x x xx 4 και x 1. Να αποδείξετε ότι x 4x 1. Να αποδείξετε ότι x x 3 3x 9x x 9 9 6x x 3x.. (Μονάδεσ 1,6) για x 3 και x 0. (Μονάδεσ ) 3. Να βρείτε για ποιεσ τιμζσ του πραγματικοφ αρικμοφ x ιςχφει ΑΚΗΗ x x x x Ζνασ τοπογράφοσ ζχει ςχεδιάςει ςϋ ζνα ορκοκανονικό ςφςτθμα ςυντεταγμζνων δφο δρόμουσ ΑΒ και ΓΔ που ενϊνουν τα χωριά Α, Β και Ε, Η τθσ νιςου Λζςβου αντίςτοιχα. Ο δρόμοσ ΑΒ βρίςκεται πάνω ςτθν ευκεία x y a x y x3 y1 :. 4 0 : 1 ενϊ ο δρόμοσ ΕΗ πάνω ςτθν ευκεία 1. Να υπολογίςετε τθν τιμι του πραγματικοφ αρικμοφ α αν γνωρίηετε ότι ο δρόμοσ περνάει από το ςθμείο,3. (Μονάδεσ 1,6). Αν και οι δρόμοι διαςταυρϊνονται ςτο ςθμείο Μ, να βρείτε τισ ςυντεταγμζνεσ του Μ. (Μονάδεσ 3) 3. Αν για τθ γωνία που ςχθματίηουν οι δφο δρόμοι ιςχφει, να αποδεί ξετε ότι = 3 10

13 ΑΚΗΗ 3 Δίνεται ιςοςκελζσ τρίγωνο. Από τθν κορυφι φζρνουμε τθν θμιευκεία παράλλθλθ ςτθ. Αν μια θμιευκεία y τζμνει τθν x και x +3, όπου x κετικόσ πραγματικόσ αρικμόσ, τότε: x x ςτο και τθν ςτο ζτςι ϊςτε 1. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια και να γράψετε το λόγο ομοιότθτασ ωσ ςυνάρτθςθ του x. (Μονάδεσ ). Αν ο λόγοσ των εμβαδϊν τουσ είναι 4 να υπολογίςετε τθν 5. (Μονάδεσ 3) 3. Να υπολογίςετε τθν περίμετρο του τριγϊνου αν γνωρίηετε ότι 8cm. (Μονάδεσ 1,6) ασ ευχόμαςτε επιτυχία Ο Διευθυντήσ Η Ειςηγήτρια Βαςιλείου Γεώργιοσ Χαραλαμποποφλου Μαγδαληνή

14 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΙΣΤΙΑΙΑΣ ΤΑΞΗ Γ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 013 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. (α) Ποια συνάρτηση ονομάζεται τετραγωνική; (β) Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: (ι) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx +βx+γ, με α 0, είναι.. (ιι) Η κορυφή της προηγούμενης γραφικής παράστασης, είναι το σημείο. (ιιι) Ο άξονας συμμετρίας της είναι η ευθεία. (ιv) Αν α > 0, συνάρτηση αυτή παίρνει τιμή την y=, όταν x= ΘΕΜΑ. (α) Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή και να κάνετε το αντίστοιχο σχήμα. (β) Για δύο σημεία Δ, Ε των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντιστοίχως ενός τριγώνου ΑΒΓ, ισχύει:. Τι συμπέρασμα μπορούμε να εξάγουμε σχετικά με την ευθεία ΔΕ; Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1. Να λυθεί η εξίσωση: x (x-)+(x-1) +x(3x-)=1

15 ΘΕΜΑ. (α) Να λυθεί το σύστημα: x+3y=11-3x+y=3 (β) Αν η λύση του παραπάνω συστήματος επαληθεύει και την εξίσωση: α (α+1)x +(α-β)y = αβ(α+1), όπου τα α, β είναι πραγματικοί αριθμοί, τότε να αποδείξετε ότι α=β (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ 3. Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και διάμετρο ρ=11. Θεωρούμε δύο χορδές ΑΒ και ΓΔ, οι οποίες τέμνονται στο σημείο Ε. (α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΔΒΕ και ΑΓΕ είναι όμοια (β) Αν ΔΕ=8, ΕΓ=x, ΕΒ=x+1 και ΕΑ=3x-3, (ι) Να βρείτε το x, (Μονάδες ) (ιι) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΔΑΓ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 1) Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ Καρανικολός Ευστάθιος Ιωάννου Δημήτριος Πραμάτιας Γεώργιος

16 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΗΞΟΥΡΙΟΥ ΛΗΞΟΥΡΙ, 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 013 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ 013 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 η Α. Να εξηγήσετε τους όρους: ακέραια αλγεβρική παράσταση, μονώνυμο, πολυώνυμο. Β. Τι ονομάζεται ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο και τι μέγιστος κοινός διαιρέτης δύο ή περισσότερων ακέραιων αλγεβρικών παραστάσεων; Γ. Πότε μια αλγεβρική παράσταση ονομάζεται ρητή; Ποιες τιμές δε μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές της; ΘΕΩΡΙΑ η Α. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Β. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. Γ. Αν τα ευθύγραμμα τμήματα α και β είναι ανάλογα προς τα ευθύγραμμα τμήματα γ και δ, ποια ισότητα τα συνδέει; ΑΣΚΗΣΗ 1 η Α. Δίνεται η παραβολή με εξίσωση: ώστε να παρουσιάζει ελάχιστο για χ=6 την τιμή y=-8. Β. Δίνεται η παραβολή με εξίσωση: y x 6kx. Να βρείτε τα k και λ y x 1x p. Να βρείτε τις τιμές των μ και p για τις οποίες έχει την ίδια κορυφή με την παραβολή του πρώτου ερωτήματος. Η κορυφή της παραβολής αυτής είναι μέγιστο ή ελάχιστο για την καμπύλη; ΑΣΚΗΣΗ η Α. Να λυθεί η εξίσωση: x x 3 x Β. Η μία από τις ρίζες της εξίσωσης, ισούται με το ημίτονο μιας αμβλείας γωνίας ω. Να βρείτε τη γωνία ω. Γ. Αν ω=150 ο, να βρείτε την τιμή της παράστασης: A

17 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΗΞΟΥΡΙΟΥ ΛΗΞΟΥΡΙ, 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 013 ΑΣΚΗΣΗ 3 η 1 1 x 6 Δίνεται η παράσταση: A : 3 3 x 4x 4x x 8x x 4x Α. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: 3 3 x 4x 4x, x 8x, x 4x Β. Να αποδείξετε ότι Γ. Να λύσετε την εξίσωση: 1 A, ά x 0, x, x, x 6. x 1 A. x

18 ΓΥΜΝΑΣΙΟ Λ. Τ. ΛΕΧΑΙΟΥ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ I. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Να συμπληρωθούν οι σχέσεις: (α+β) =. και (α-β) 3 =. Γ. Να αποδειχθεί η ταυτότητα: (α-β) =α -αβ+β. ΘΕΜΑ ο Α. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Β. Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια; II. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Α. Να παραγοντοποιείστε τις παραστάσεις: χ -9, χ +6χ, χ -6χ+9 Β. Να βρείτε για ποιες τιμές του χ ορίζεται η εξίσωση: 3 1 = 3 x 9 x 6x+ 9 x + 6x Γ. Να λυθεί η παραπάνω εξίσωση. ΑΣΚΗΣΗ η Αν 0 < ω < 180 και 3 συνω =, να υπολογισθούν: 5 α. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω. β. Η τιμή της παράστασης 5ηµω 3εϕω Α= + ηµ ω + συν (180 ω). 10συνω ΑΣΚΗΣΗ 3 η Ένας αγρότης στον Άσσο Κορινθίας έχει δύο κτήματα στα οποία καλλιεργεί επιτραπέζια σουλτανίνα (είδος σταφυλιού). Στο 1 ο κτήμα η καλλιέργεια γίνεται βιολογικά και στο ο χρησιμοποιώντας τον παραδοσιακό τρόπο. Η συνολική παραγωγή και από τα δύο κτήματα είναι 0 τόνοι την οποία πούλησε 3 ΕΥΡΩ το κιλό την βιολογική σουλτανίνα και 1, ΕΥΡΩ το κιλό την παραδοσιακή. Α. Αν από την πώληση των σταφυλιών εισέπραξε ΕΥΡΩ δείξτε ότι η παραγωγή του 1 ου κτήματος είναι 8 τόνοι και του ου 1 τόνοι. Β. Αν η απόδοση της βιολογικής καλλιέργειας είναι τόνοι ανά στρέμμα και της παραδοσιακής 4 τόνοι ανά στρέμμα να βρείτε πόσα στρέμματα είναι το κτήμα με την βιολογική καλλιέργεια και πόσα το κτήμα με την παραδοσιακή καλλιέργεια.

19 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους) 1. Στη κόλλα σας να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ονοματεπώνυμο, ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Τα θέματα να μην τα αντιγράψετε. Τα σχήματα που θα χρησιμοποιήσετε στο τετράδιο μπορούν να γίνουν και με μολύβι.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος του φωτοαντιγράφου αμέσως μόλις σας παραδοθεί. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με τη κόλλα σας και το φωτοαντίγραφο. 3. Να απαντήσετε στη κόλλα σας ΕΝΑ θέμα θεωρίας και ΔΥΟ θέματα ασκήσεων. 4. Διάρκεια εξέτασης: Δύο () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 5. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: τριάντα (30 ) λεπτά μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! Λέχαιο 3 / 06 / 013 Η ΔΙΕΥΘΥΝΤΡΙΑ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ

20 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡ. Δ/ΝΣΗ ΠΡΩΤ/ΘΜΙΑΣ & ΔΕΥΤ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 013 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Γ 1 ο ΘΕΜΑ, θεωρία Α) Τι ονομάζουμε βαθμό ενός πολυωνύμου; Αν τα πολυώνυμα P(x) και Q(x) έχουν βαθμούς ν και k αντίστοιχα με ν k, τότε να γράψετε το βαθμό που έχουν τα πολυώνυμα P(x) + Q(x), P(x) - Q(x), P(x) Q(x), 5 P(x) και [Q(x)]. Β) Τι ονομάζουμε αλγεβρική ταυτότητα; Να αποδείξετε τις ταυτότητες (α + β)(α β) = α β και (α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ - β 3. ο ΘΕΜΑ, θεωρία Να διατυπώσετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να διατυπώσετε ένα κριτήριο ομοιότητας τριγώνων. Να διατυπώσετε τον Νόμο των ημιτόνων. Να διατυπώσετε τον Νόμο των Συνημιτόνων. ΑΣΚΗΣΗ 1 η Α. Να παραγοντοποιηθεί η αλγεβρική παράσταση y 3 x ( 3 1) xy. Β. Να δειχθεί ότι η εξίσωση y 3x y x 0 παριστάνει δύο ευθείες για τις οποίες: 1. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η κάθε ευθεία με τον άξονα xx.. Να βρεθεί τo σημείο τομής των δύο ευθειών. 3. Να βρεθεί η γωνία των δύο ευθειών. ΑΣΚΗΣΗ η Δίνεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 8 και Μ το μέσο του. Κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΒΜΝ και την ευθεία (ε) που είναι κάθετη στο ΑΒ στο σημείο Α. Από το Β φέρουμε την ευθεία που είναι κάθετη στο ΜΝ, το τέμνει στο σημείο Κ και τέμνει την ευθεία (ε) στο σημείο Λ. 1. Να αποδείξετε ότι ΛΜ = ΛΝ.. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΛΒ και ΜΚΒ είναι όμοια. 3. Να υπολογίσετε το μήκος ΑΝ. ΑΣΚΗΣΗ 3 η α) Να βρεθούν οι αριθμοί a, b, αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = ax + bx τέμνει τον άξονα xx, για x = και διέρχεται από το σημείο Α(1, 1). β) Αν a = - 1 και b =, τότε: i) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες xx, yy. ii) Να βρεθεί η κορυφή της παραβολής που εκφράζεται από την παραπάνω συνάρτηση. iii) Να σχεδιασθεί η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης. Θεσσαλονίκη, 3 Ιουνίου 013 Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ Κουκουλάς Κωνσταντίνος Φυσικός Ρ/Η Μυλωνάς Νικόλαος Πούλος Ανδρέας